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Este documento describe números primos gemelos, que son pares de números primos consecutivos que difieren en 2. Explica que solo existen 35 pares de primos gemelos menores a 1000, y que el par más grande conocido hasta ahora es de más de 10^300863034895 dígitos. También resume propiedades como que solo el 5 pertenece a dos pares, y que la suma de los inversos de los primos gemelos converge a un valor llamado la constante de Brun. Finalmente, la conjetura de los números primos establece que existen infinitos pares de pri
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La segunda propiedad es:
Para un par (m, m+2) es primo gemelo sí y solo si cumple:
4( (m - 1)! + 1 ) = - m en [mod (m(m + 2))].
En palabras, al dividir 4((m-1)!+1) por m(m+2) nos da un
resto igual a -m en módulo (m(m+2)), para cualquier primo
gemelo.
Visualización del funcionamiento de la aritmética modular, la herramienta utilizada para
probar esta propiedad.
9 + 4 = 1 en mod(12) y 9 + 4 = -11 en mod(12)](https://image.slidesharecdn.com/2024-t14-primosgemelos-240127193800-aa70d528/85/2024-T14-Primos_Gemelos-ppsx-8-320.jpg)
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- 1. PRIMOS GEMELOS Realizado por Sergio Cámara Asensio y Luis Marco Andrés Paul Stäckel (quién les dio nombre)
- 2. ÍNDICE ● ¿Qué es un número primo? ● Los números primos gemelos ● Ejemplos de números primos gemelos ● Propiedades de los números primos gemelos ● Distribución ● Teorema de Brun ● Conjetura de los números primos
- 3. ¿QUÉ ES UN NÚMERO PRIMO? Es bien sabido por mucha gente que un número primo es aquel número natural (1, 2, 3, 4, … ) que tiene solo dos divisores, por un lado el propio número, todo número natural tiene como divisor así mismo, por lo que para diferenciar los del segundo divisor debe ser el 1, ya que el 1 divide a todos los números. Como ejemplo sencillo tenemos los números primos 2, 3, 5, 7, 11, ... Mientras otros números como el 4, 9, también cumplen estas condiciones pero tienen un divisor más en el caso del 4 el 2 y en el caso del 9 el 3. Ahora vamos a entrar a un mundo nuevo dentro de los números primos, los primos gemelos, nombrados así por Paul Stäckel. Criba de Eratóstenes, algoritmo para calcular números primos menos a un número dado.
- 4. LOS NÚMEROS PRIMOS GEMELOS Como hemos dicho antes entramos en una subdivisión de los números primos. Sean p y q números primos de manera de que p<q, son llamados primos gemelos si p y q distan de dos unidades en una recta real, es decir, q-p=2. Una forma más simple de verlo es que q=p+2, así que la pareja (p,q)=(p,p+2) es una pareja de números primos gemelos. Todos los números primos, excepto el 2, son impares. Los únicos dos números primos consecutivos son el 2 y el 3. La cuestión surge de encontrar dos números primos que sean impares consecutivos, es decir que la diferencia del mayor al menor sea 2.
- 5. EJEMPLOS DE NÚMEROS PRIMOS GEMELOS Ahora veremos parejas de números primos que cumplen las condiciones impuestas para ser primos gemelos. En los primos antes de 1000 existen 35 parejas de primos gemelos: (3, 5), (5, 7), (11, 13), (17, 19), (29, 31), (41, 43), (59, 61), (71, 73), (101, 103), (107, 109), (137, 139), (149, 151), (179, 181), (191, 193), (197, 199), (227, 229), (239, 241), (269, 271), (281, 283), (311, 313), (347, 349), (419, 421), (431, 433), (461, 463), (521, 523), (569, 571), (599, 601), (617, 619), (641, 643), (659, 661), (809, 811), (821, 823), (827, 829), (857, 859), (881, 883). Y se puede ver la distribución de los encontrados hasta ahora en la siguiente página .
- 6. EJEMPLOS DE NÚMEROS PRIMOS GEMELOS ENORMES A partir de 2007 se crearon dos proyectos para estudiar grandes números primos, Twin Prime Search y PrimeGrid, generando el par de primos gemelos más grande conocido hasta la fecha en Agosto 2022 siendo: 2996863034895 · 21290000 ± 1 Se expresa así, pues la pareja dista dos y por tanto se puede expresar como el número entre ambos primos ± 1 Ej: la pareja (3,5) también se expresa como 4 ± 1.
- 7. PROPIEDADES (1) La primera propiedad de estos números es: 5 es el único primo que pertenece a dos parejas de primos gemelos siendo estas (3,5) y (5,7). Esto es porque todo par de primos gemelos mayor que (3,5) es de la forma (6n-1,6n+1) o también posible escribirlo como 6n±1, para n algún número natural, lo que implica es que todo número entre dos parejas de primos gemelos es un múltiplo de 6.
- 8. PROPIEDADES (2) La segunda propiedad es: Para un par (m, m+2) es primo gemelo sí y solo si cumple: 4( (m - 1)! + 1 ) = - m en [mod (m(m + 2))]. En palabras, al dividir 4((m-1)!+1) por m(m+2) nos da un resto igual a -m en módulo (m(m+2)), para cualquier primo gemelo. Visualización del funcionamiento de la aritmética modular, la herramienta utilizada para probar esta propiedad. 9 + 4 = 1 en mod(12) y 9 + 4 = -11 en mod(12)
- 9. PROPIEDAD (3) Para esta tercera propiedad nos dirigiremos a 1915 cuando Viggo Brun probó que la suma de los inversos de los números primos gemelos es convergente, el valor de este número se le llama la constante de Brun, con notación B2 Mientras que la suma de los inversos de todos los primos si que diverge, la estimación más precisa hasta el momento de la constante es: 1,902160583104.
- 10. DISTRIBUCIÓN Ahora vamos a hablar de la distribución de estos números ya que todavía no está demostrado si existen infinitos primos gemelos o no, pero la mayoría de las investigaciones apuntan a que sí. De ser cierto lo anteriormente dicho se probaría la Conjetura de los números primos gemelos. La prueba más cercana a esto es la conjetura de Hardy-Littlewood que postula una ley de distribución de estas parejas de primos:
- 11. DISTRIBUCIÓN Hablando de la constante C2, es la constante de los números primos gemelos definida mediante el producto de Euler: Esta conjetura aunque está justificada informalmente no está demostrada realmente y por tanto no se puede tomar como cierta, pero ha ayudado a descubrir muchas de las parejas de números primos gemelos.
- 12. TEOREMA DE BRUN Este teorema es el que demuestra que la suma de los inversos de los números primos gemelos converge. Además, su mismo argumento sirve para demostrar que el número de primos gemelos menores que un número N no excede: Para alguna constante C>0, especificamente, este número está acotado por: Donde C’=8C2 la constante de los números primos gemelos anteriormente nombrada.
- 13. CONJETURA DE LOS NÚMEROS PRIMOS Esta conjetura establece que hay infinitos primos p tales que p + 2 también es primo. Durante los años se ha intentado encontrar una demostración de esta conjetura, hasta el momento se ha podido probar para algún número entero N menor que 70 millones, hay infinitos pares de números primos que difieren en N (Yitang Zhang, 2013) un poco lejos de 2, que es lo necesario para los primos gemelos. Un año después, 2014, se consiguió probar para un N menor que 246 y asumiendo las conjetura de Elliott-Halberstam (relacionada con la distribución de números primos) el límite es 6, en otras palabras, sin tomar en cuenta la anterior conjetura, existen infinitas parejas de números primos que distan algún valor menor que 246, y asumiendo la conjetura, existirían infinitas parejas de números primos que distan algún valor menor que 6, muy cerca a 2 la distancia necesaria para los primos gemelos.