Probabilidad.pptx

Introducción
• La probabilidad es una de la certidumbre
futuro y se expresa
asociada a un
como un número entre 0 y 1.
Una forma tradicional de estimar algunas probabilidades
sería obtener la frecuencia de un acontecimiento
determinado mediante la realización de experimentos, de
los que se conocen todos los resultados posibles, bajo
condiciones suficientemente estables.
medida
suceso o evento

Introducción
Un suceso puede ser improbable (con probabilidad
cercana a cero), probable (probabilidad intermedia) o
seguro (con probabilidad uno).
La teoría de la probabilidad se usa extensamente en áreas
como la estadística, la física, la matemática, las ciencias, la
administración, contaduría, economía, etc.
Es la rama de las matemáticas que estudia, mide o
determina los experimentos o fenómenos.

Conceptos básicos
• Un experimento es una observación de un
fenómeno que ocurre en la naturaleza:
1. Determinísticos: Son aquellos en donde no hay
incertidumbre acerca del resultado que ocurrirá
cuando éstos son repetidos varias veces.
Aleatorios: Son aquellos en donde no se puede
2.
anticipar el resultado que ocurrirá, pero si se tiene
conocimiento de todos los resultados posibles del
experimento cuando éste es ejecutado.

Ejemplos experimentos deterministas
• Experimento determinista:
o Un coche que circula a una velocidad constante durante un determinado
tiempo, recorre siempre el mismo espacio.
o Una combinación de sustancias en determinadas proporciones y temperatura
producen siempre el mismo resultado de mezcla.
o Un examen con ninguna respuesta correcta produce siempre el mismo
resultado: 0.

Experimentos aleatorios
Ejemplos:
• Tirar dardos en un blanco determinado
• Lanzar un par de dados
• Obtener una carta de una baraja
• Lanzar una moneda

Ejemplos de experimentos aleatorios
• Lanzamiento de tres monedas hasta obtener dos
águilas.
Lanzamiento de una moneda tres veces hasta obtener dos
águilas. ¿Existe alguna diferencia con el inciso anterior?
Lanzamiento de una moneda tres veces y la
realización del conteo referente a la cantidad de soles que
aparecen en estos lanzamientos.
Lanzamiento de un dado, observando la cara superior
que resulte (1, 2, 3, 4, 5, 6)
•
•
•
En estos casos no podemos predecir los resultados.

Ejemplos de experimentos aleatorios
• Lanzamiento de dos dados y la realización del conteo
de la suma que resulta en sus caras superiores.
• Un inspector de control de calidad analiza lotes de 60
. El proceso de control de calidad
consiste en elegir cinco artículos sin reemplazo y
determinar si son buenos o defectuosos.
• Sea un lote de 60 artículos que tiene 10 defectuosos.
Entonces, se define el proceso de seleccionar los
artículos sin reemplazo y anotar los resultados hasta
obtener el último defectuoso.
artículos cada uno

o
Espaci muestral
• Espacio muestral. Por cada experimento , el espacio
muestral se define como el conjunto S de todos los
resultados posibles que puede tener 
• Tipos de espacio muestral
o Espacios muestrales discretos
o Espacios muestrales continuos

os s
Espaci muestrale discretos
• Son espacios muestrales cuyos elementos resultan de
hacer conteos, y por lo general son subconjuntos de
los .
1. Finitos: Tiene un número de eventos elementales
numerables.
Infinitos numerables: Tiene infinitos eventos simples,
pero pueden ponerse en correspondencia biunívoca con
los números naturales.
2.
números enteros

os s
Espaci muestrale continuos
• Son espacios muestrales cuyos elementos resultan de
hacer mediciones y por lo general son intervalos en la
recta.
Siempre son infinitos no numerables, pero no pueden
ponerse en correspondencia biunívoca con los números
naturales (por ejemplo: tiempo invertido en realizar una
tarea).
1.
Se dice que un evento A es infinito si para cualquier
evento D={1, 2, 3, 4,…, n} no existe un valor de n∈
N con
el que se pueda establecer una correspondencia
biunívoca entre A y D.

Definición de evento
Un evento o suceso es un resultado particular de un
experimento aleatorio (subconjunto del espacio
muestral), y por lo general se le representa por las
primeras letras del alfabeto.
• Evento nulo o vacío. Es aquel que no tiene elementos.
Evento seguro: Es el espacio muestral que puede ser
considerado como un evento.

Ejemplos de eventos
Eventos finitos
Si al contar los elementos de un evento, el proceso de
conteo termina en el tiempo, es decir, resulta una cantidad
determinada, entonces dicho evento se llama finito.
• A: Número par resultado del lanzamiento de un dado:
A={2, 4, 6}.
A: Al menos se observan cuatro soles en seis
lanzamientos de una moneda: A={4, 5, 6}.

Ejemplos de eventos
• Evento nulo
En una supervisión para el control de calidad se inspecciona un
lote con 30 artículos entre los cuales hay dos defectuosos. Sea el
evento A: “Extraer 4 artículos al mismo tiempo que contenga 3
defectuosos”. Como el lote tiene únicamente 2 defectuosos,
entonces no existen eventos que contengan 3 defectuosos; por
tanto, A= ∅, o simplemente A={ } .
El evento nulo suele definirse como por ∅ o { }.
Ejemplo: A= “Lanzamiento de un par de dados y que la suma de
los números de sus lados sea mayor a 13”. Es decir, A={ }, el
evento A no tiene ningún elemento, puesto que la máxima suma
de los números de las caras en el lanzamiento de dos dados es
12.

Ejemplos de eventos
Eventos numerables. Si entre sus elementos y el conjunto
de los números naturales, N, o algún subconjunto de este
existe una correspondencia en la que a cada elemento del
evento A le corresponde uno y solo un elemento de N (o de
algún subconjunto de N), además a cada elemento de N (o
de algún subconjunto de N), le corresponde un elemento
de A.

Ejemplos de eventos
Eventos numerables
El conjunto A={x | x es una vocal}. Se puede poner en
correspondencia con el subconjunto de los números
naturales {1,2,3,4,5} de la siguiente forma
a→1; e→2; i→3; o→4; u→5

Ejemplos de eventos
Eventos numerables
• El conjunto de los enteros Z. Este evento es numerable,
ya que podemos ponerlo en correspondencia con el
conjunto
manera:
de los números naturales de la siguiente
-
-
Al cero le corresponde el uno
Al -1 le corresponde el 2

Ejemplos de eventos
Eventos infinitos
• E: “La cantidad de lanzamientos de una moneda
hasta obtener la primera águila”, E ={1, 2, 3,…}.
El evento cuyos elementos son todos los puntos del
intervalo indicado en donde los extremos son
diferentes, E = (2, 7).
El evento que representa la temperatura corporal de una
persona. Este evento es infinito ya que al medir la
temperatura puede ocurrir cualquier valor dentro de un
intervalo.

Ejemplos de eventos
Eventos infinitos
Un evento numerable es infinito, si al contar los resultados
posibles del evento el proceso de conteo no
termina en el tiempo. También cualquier evento no
contable es infinito.

Conceptos básicos
Ejemplo de experimento aleatorio:
• Introducción de 3 ratas en un laberinto en forma de “T”
con salidas a la izquierda y a la derecha (no se
qué salida tomará cada rata).
• Espacio muestral:
S = [III, IID, IDI, DII, DDI, DID, IDD, DDD]
sabe
• Evento A: las tres ratas salen por el mismo sitio
A =[III, DDD]

Repaso con ejemplos
• Experimentos:
o Aleatorios
o Determinísticos
• Espacio muestral o espacio de eventos: es el conjunto
de todos los posibles resultados de un experimento
• Al lanzar un (simétrico o bien
fabricado o no cargado, ¿cuántos posibles resultados
se pueden obtener?
• S={1,2,3,4,5,6}
• N(S)=6 → Cardinalidad
dado sano o insesgado

• Al lanzar dos dados sanos simultáneamente
• S= {(1,1) (1,2) (1,3) (1,4) (1,5) (1,6)
(2,1)
(3,1)
(4,1)
(5,1)
(6,1)
(2,2)
(3,2)
(4,2)
(5,2)
(6,2)
(2,3)
(3,3)
(4,3)
(5,3)
(6,3)
(2,4)
(3,4)
(4,4)
(5,4)
(6,4)
(2,5)
(3,5)
(4,5)
(5,5)
(6,5)
(2,6)
(3,6)
(4,6)
(5,6)
(6,6)}
n(S) = 36

• Al lanzar una moneda sana o insesgada
• S={A,S}
• Al lanzar simultáneamente dos monedas sanas son
• S={AA, AS, SA,
SS}
n(S)=4
• Al lanzar tres monedas:
• S={AAA,AAS,ASA,ASS,
SAA,SAS,SSA,SSS}
• N(S)=8

• Al lanzar un dado suponiendo que está bien
construido
a ¿Cuál es la probabilidad de que aparezca un número par?
S={1,2,3,4,5,6}
P={2,4,6}
P(P)=3/6=1/2=0.5
n(S)=6
n(P)=3
P(P)= resultados esperados/total de resultados posibles.
¿Cuál es la probabilidad de que el resultado sea mayor
que 2?
S={1,2,3,4,5,6}
M={3,4,5,6}
P(M)=4/6=2/3=
n(S)=6
n(M)=4
0.66

Relaciones entre eventos
• Pueden existir relaciones entre los elementos de
eventos
Los eventos A y B correspondientes a un mismo
experimento son iguales, si cualquier resultado de A es
también elemento de B y viceversa:
• Los eventos A={a, e, i, o, u} y el evento B={x | x es una
vocal}; en este caso, A = B.
Los eventos A={1, 3, 5, 7, 9} y el evento B={x | x es un
número dígito impar}; en este caso, A = B.

• Subevento. Sean los eventos A y B
, se dice que A es subevento de
en
B si cualquier
B. Lo anterior
entonces a ∈
elemento que esté en A está
se simboliza A ⊂ B. Es decir, A
también
⊂ B; si a ∈ A,
B. Cuando existe al menos un elemento
de A que no está en B, entonces se dice que A ⊄ B.
Dados los eventos A={a, e, i, o, u} y B={x | x es una
letra del alfabeto}, se cumple A⊂B.
Sean A=[2, 5]y B=[−9, 20], vemos que A⊂B.
•
•
• Sean A=[2, 5]y B= ,10], en este caso A⊄B, puesto que
2∈ A, pero 2∉ B .
(2
un mismo experimento
correspondientes a

Eventos mutuamente excluyentes. Los eventos A y B,
de un mismo experimento, son mutuamente excluyentes
si no tienen resultados comunes.
• Es decir, para cualquier a ∈ A, se cumple a ∉ B; de
igual manera, para todo b ∈ B, tenemos que b ∉ A.
Diagrama Venn-Euler

• Ejemplos de eventos mutuamente excluyentes.
Sean los eventos A={a, e, i, o, u} y B={x | x es una
consonante}; en este caso, A y B son mutuamente
excluyentes, ya que no existe ningún elemento que sea
vocal y consonante al mismo tiempo.
• Sean A = [2, 5] y B = [9, 20]; en este caso, A y B son
mutuamente excluyentes.

Relación entre eventos
Unión de eventos. Dados dos eventos A y B de un mismo
espacio muestral su unión se representa por A  B (evento
que contiene los elementos que están en A
o en ambos evento ocurre si al menos uno de los dos
eventos ocurre).
• A  B={x|xA o xB } la unión de los eventos A y B.

• Ejemplos de unión de dos eventos.
• Sean los eventos A={a, e, i, o, u} y B={e, o, h, w}.
Entonces: A U B={a, e, i, o, u, h, w} .
• Sean los eventos A=[−1, 5) y B=(3, 8]. Entonces: AB=[−1,
8].
• Sean los eventos A=[2, 5) y B=(3, 4]. Entonces: AB=[2,
5)= A.
Observe que en el último ejemplo (3, 4] ⊂ [2, 5), y la unión fue [2, 5).
En general, si A ⊂ B, se cumple que A ∪ B = A.

Intersección de eventos. Dados dos eventos A y B de un
mismo espacio muestral su intersección se representa A 
B (evento que contiene los elementos que están en A y en
B al mismo tiempo). El evento ocurre cuando A y B
suceden simultáneamente.
• A  B={x|xA y xB } la intersección entre los eventos
A y B.

• Ejemplos de intersección de eventos.
• Sean los eventos A={a, e, i, o, u} y B={
AB={e, o}.
h, w}. Luego,
• Sean los eventos A=[−1, 5) y B=(3, 8]. Luego, AB=(3, 5).
• Sean los eventos A=[2, 5) y B=(3, 4]. Luego, AB=(3, 4]= B.
Observe que en el último ejemplo (3, 4] ⊂ [2, 5), y la intersección fue (3, 4].
e, o,

• Diferencia entre eventos.
La diferencia del evento A menos el evento B,
correspondientes a un mismo experimento, es otro
evento formado por los elementos del evento A y que
no pertenecen al evento B. La diferencia la
simbolizaremos de la
B).
• A−B={x|xA y xB}la
B.
siguiente manera: A − B (A menos
diferencia del conjunto A menos
.

• Ejemplos de diferencia entre eventos.
• Sean los eventos A={a, e, i, o, u} y B={
A−B={a, i, u} y B−A={h, w}.
, h, w}. Luego,
• Sean los eventos A=[−1, 5) y B=(3, 8]. Luego, A−B=[−1, 3]
y B−A=[5, 8].
• Sean los eventos A=[2, 5) y B=(3, 4]. Luego, B−A=.
• Sean los eventos A=[2, 5) y B=(13, 24]. Luego, A − B = A
y B − A = B.
e, o

• Evento complementario
El complemento del evento A es otro evento formado por
los resultados del experimento que pertenecen al espacio
muestral, pero que no pertenecen al evento A.
Ac
• El complemento del evento A, se simboliza como
A' o Ā (complemento de A).
o
Ac
• ={x|x S y xA} el evento complementario de A.
.

• Ejemplos de evento complementario
• Sea S ={x | x es una letra del alfabeto} y B={x | x es una
Bc
consonante}. Luego, ={a, e, i, o, u}.
Ac
• Sea S =[−4,10] y A=[−1, 5), entonces =[−4,−1)[5,10] o
Ac
bien representado como =[−4,-2][5,10].
-4 -1 4 10
A

Definición de probabilidad
La probabilidad de un evento es un número que
cuantifica en términos relativos las opciones de que
ocurra ese evento.
Se trata de un concepto ideal que implica la
repetición de un número infinito de veces del
experimento aleatorio.

Propiedades de relaciones entre eventos
• Sean A, B y C elementos de un mismo espacio muestral
S entonces:
o Propiedad Conmutativa: A  B = B  A, A  B = B  A
o Propiedad Asociativa: A  (B  C)= (A  B)  C, A  (B  C)= (A  B)  C
o Propiedad Distributiva: A  (B  C)= (A  B) (A  C), A  (B  C)= (A  B) (A  C)
o Leyes de De Morgan: A  B =�∩�ത, A ∩B =�∪�ത
Estas propiedades se pueden aplicar a más de dos eventos

Algunas propiedades de probabilidad
• Notación: P(A) es la probabilidad de un evento A dentro del
espacio muestral  y ∅ es el conjunto vacío
Propiedad Descripción de la propiedad
0≤P(A)≤1 La probabilidad de un evento es un número
comprendido entre 0 y 1 (ambos incluidos).
P(E) = 1 La probabilidad del evento seguro es 1.
P(A  B) = P(A) + A y B son incompatibles, es decir A  B = ∅
P(B)

P(A)+P(A’)=1 La suma de las probabilidades de un evento
A y su contrario vale 1, (i.e., probabilidad de
es p(A’)=1-p(A)
P(∅)=0 Probabilidad del evento imposible es cero
P(A  B)=P(A)+P(B)- La probabilidad de la unión de dos eventos
P(AB) es la suma de sus probabilidades restándole
la probabilidad de su intersección

P(A| B) = P(A∩ B) / P(B) Probabilidad condicional. La
probabilidad de A, una vez que B ha
ocurrido.
Cada vez que se calcula P(A| B)
esencialmente se calcula P(B) con
respecto del espacio muestral reducido de
A en vez del espacio muestral original
S.
P(A∪ B) = P(A) + P(B) − Si Ay B son eventos mutuamente
P(A∩ B) excluyentes: P(A∪B) = P(A) + P(B)

P(A∩B) = P(A) ⋅ P(B | A) = P(B) ⋅ Si A y B son eventos independientes: P(A∩B) =
P(A| B) P(A) ⋅ P(B)

P(AjB)=P(BAj) P(Aj) / P(B) condicionado a que el evento B haya ocurrido.
Teorema de Bayes nos expresa la probabilidad
de que ocurra un evento determinado (Aj)
Las probabilidades P(Aj) se designan
probabilidades “a priori” o probabilidades
de las causas.
Las probabilidades P(AjB) se designan
probabilidades “a posteriori”, si el evento B
ya ha ocurrido, probabilidad de que sea
debido a la causa.

Propiedades: ejemplos
• Seleccionar al azar un estudiante del grupo para ser
delegado(a).
• Tamaño del grupo: 80
• Número de mujeres: 65
• Probabilidad del suceso A: “ser mujer”
nA
PA
n
• P(A) = 65/80 = 0.8125

Propiedades ejemplos
• Se lanza un dado, cuál es la probabilidad de:
• Que caiga 3: 1/6 = 0.16
• Que caiga menos de 10: P(<10)=1
• Que caiga el número 8: evento imposible P(8)=0
• Que no caiga 5: 1-P(5) = 1 – 1/6 = 5/6 = 0.83

Ejemplo
• Que caiga más de 8
• Que caiga 2, 3, 4, 5, ó 6
• Que caiga menos de 7

Ejemplo
• Que caiga más de 8:
P(>8) = 0
• Que caiga 2, 3, 4, 5, ó 6
P(no caiga 1) = 1 – P(caiga 1)
= 1 – 1/6 = 5/6 = 0.83
• Que caiga menos de 7
P(<7) = 1

Ejercicio 1: planteamiento
•
a)
b)
c)
La probabilidad que la palabra tenga el menos cinco letras.
La probabilidad de que la palabra tenga al menos una cuatro vocales.
La probabilidad de que la palabra tenga al menos cinco letras y que cuatro sean
vocales.
Suponga que de esta oración selecciona una palabra de
forma aleatoria . Encontrar:

Ejercicio 1: solución
a Cualquiera de las palabras puede ser seleccionada. La oración tiene
11 palabras, de las cuales 6 tienen al menos 5 letras.
P(al menos 5 letras) = 6/11.
b) Probabilidad de que la palabra tenga al menos una cuatro
vocales. Suponiendo que las dos vocales no tienen que ser
diferentes (tres “a” en la palabra cuentan como tres vocales)
P(al menos 5 letras) = 3/11.
c) La probabilidad de que la palabra tenga al menos cinco letras y
que cuatro
P(al
vocales.
menos 5 letras, cuatro vocales) = 3/11.
51

• ¿Cuántos hijos debería tener una familia para que la
probabilidad de que tener un hijo de cada sexo sea 0,95?
Asumir que ambos sexos son igualmente probables.
Proceso de Admisión 2020 52

• Supongamos que:
o Número de hijos que la familia tendrá: n
o Evento de que al menos un hijo y una se encuentran entre los n hijos: An
o Probabilidad del evento
��
de que los n hijos sean del mismo sexo.
Se desea encontrar n de forma que
𝑃 �� = 1 − ��(��) ≥ 0,95
𝑐
•
𝑐
𝑐
֞��(��) ≤
0,05
Los eventos Hn=“n niños” y Mm=“n niñas” son una partición
𝑐
• de
��,
1
y 𝑃
��
= 𝑃 𝑀� = 2𝑛
2
𝑐
��(�
��) =
֞40 ≤
2𝑛
2𝑛
֞� ≥ ��
��
satisface esta
Elmenor número que
Proceso de Admisión 2020
expresión es 6
53

Suponiendo que las mujeres y los hombres existen en igual número, y
asumiendo que el y que el 0,25% de las
mujeres son daltónicas, estimar:
a) Probabilidad de que una persona seleccionada al azar sea daltónica
(D).
b) Probabilidad de que una persona daltónica sea un hombre (H).
Recomendaciones al resolver un problema:
Identificar los eventos
Identificar o relacionar qué se solicita en el problema.
5% de los hombres son daltónicos

Suponiendo que las mujeres y los hombres existen en igual número, y
asumiendo que el 5% de los hombres son daltónicos y que el 0,25% de las
mujeres son daltónicas, estimar:
a) Probabilidad de
(D).
Probabilidad de
que una persona seleccionada al azar sea daltónica
b) que una persona daltónica sea un hombre (H).

• Mediante el teorema de la probabilidad total
1 5 + 1 0
, 25
=0,02625
o 𝑃 𝐷 = 2 100 2 100
• Usando el Teorema de Bayes
��(
��)
� �/
�
o 𝑷
��𝑫
= 𝑷
��𝑯
= = �.
��
��(��) ��
�,��

En una población de ratones con cinco individuos, dos de
ellos están marcados. Si durante una sesión de trampeo se
capturan dos individuos, ¿Cuál es la
probabilidad de que los dos individuos capturados no
tengan marca?

• Identificando a los dos ratones con marca como M1 y
M2 y a los tres
posibles:
par1=M1M2
par4=M1S3
par7=M2S3
par10=S2S3
sin marca S1, S2 S3, hay 10 pares
par2=M1S1
par5=M2S1
par8=S1S2
par3=M1S2
par6=M2S2
par9=S1S3
• ={par1,par2, par3,par4,par5,par6,par7,par8,par9,par10}
• Probabilidad de un par cualquiera = 1/10
• A={par8,par9,par10}
• P(A)=3/10 = 0.333

• Un tirador hace dos disparos a un blanco. La
probabilidad de que acierte en el blanco es 0.8,
independientemente del disparo que haga. ¿Cuál es
la
o
o
o
o
probabilidad de que el tirador:
a) Acierte ambos disparos?
b) Acierte sólo uno de los dos disparos?
c) Acierte por lo menos un disparo?
d) No acierte ninguno de los dos disparos?

• Sean los eventos Ai: que el tirador da en el blanco en
el disparo i (i =1, 2). Por aplicación directa
propiedades de probabilidad.
de las
a) P(A1A2)=P(A1)P(A2)= 0.8*0.8 = 0.64
b) =
P(A1)P(�2)+P(�1)P(A2)
= 0.8*0.2+
0.2*0.8 = 0.32
c) P(A1A2)= P(A1)+ P(A2)- P(A1) P(A2) = 0.8
0.96
+ 0.8 - 0.64 =
d) P(�1�2) = P(�1)P(�2) = 0.2*0.2 =
0.04
P(A1 2)+P( 1A2)
� �

Un procesador de computadora puede provenir de
cualquiera de tres fabricantes (F1, F2 y F3) con
probabilidades: p1= 0.25; p2 = 0.50; p3 = 0.25,
respectivamente.
• Se sabe que las probabilidades de que un procesador
funcione correctamente durante 10,000 horas es 0.1;
0.2 y 0.4 respectivamente para los 3 fabricantes:
a) Calcular es la probabilidad de que un procesador elegido al azar
funcione durante 10,000 horas. Evento C: que funcione correctamente.
b) Si el procesador funcionó correctamente durante el periodo de
10,000 horas ¿cuál es la probabilidad de que haya provenido del
fabricante F3?

3
P(C / Fi )P(Fi )
a) P(C) =
i1
=
=
0.1*0.25
0.225
+ 0.2*0.5 + 0.4*0.25

b) P(F3/C) = P(C/F3) P(F3) / P(C)
= (0.4 * 0.25) / 0.225 = 0.444

• De 150 pacientes examinados en una clínica se
encontró que 90 tenían enfermedades cardiacas, 50
tenían diabetes y 30 tienen ambos
¿Qué porcentaje de los pacientes tenía uno u
padecimientos?
padecimientos
otro de los

• Sea C el evento paciente cardiaco
• Sea D el evento paciente diabético
• Sea CD evento del paciente cardiaco y diabético
• P(C) = 90/150 P(D) = 50/150 P(CD ) = 30/150
• P(CD) = P(C) + P(D) – P(CD)
= 90/150 + 50/150 -30/150 = 11/15
• Probabilidad de uno u otro: 0.73

• Suponga que una oficina tiene 100 máquinas calculadoras.
Algunas de esas máquinas son eléctricas (E), mientras que otras
son manuales (M). Además, algunas son nuevas (N), mientras que
otras son usadas (U). La tabla siguiente muestra el número de
máquinas de cada categoría.
• Una persona entra en la oficina, escoge una máquina al azar,
descubre que es nueva. ¿Cuál es la probabilidad de que sea
eléctrica? Exprese en fórmula el cálculo de la probabilidad
condicional solicitada.
y
E M Total
N 40 30 70
U 20 10 30
Total 60 40 100

• En términos de notación, se requiere encontrar P(EN)
o Sólo considerando el espacio muestral reducido N (es decir, las 70 máquinas
nuevas) se tiene: P(EN) = 40/70 = 4/7.
o Usando la definición de probabilidad condicional se tiene que:
P(EN)
P(N)
P(EN)=

• Si Pedro tiene un llavero y solo una
de
de
ellas abre una puerta. ¿Cuál es la probabilidad
que si prueba las llaves, logre abrir la puerta al
tercer intento ?
sin usar una llave más de una vez
con 4 llaves

• Procedimiento:
o Definir eventos:
• Evento Fi1: Falla en el primer intento
• Evento Fi2: Falla en el segundo intento
• Evento Ai3: Acierta en el tercer intento
o En el primer y segundo intento falla, por lo que hay que considerar solo como
.
o En el tercer intento hay que considerar como caso favorable únicamente el
o Como además no se repite ninguna llave, de un intento a otro habrá una llave
menos.
o La probabilidad de que logre abrir al tercer intento es:
P(abre 3er intento): P(Fi1)*P(Fi2)*P(Ai3)
P(abre 3er intento): 3/4 * 2/3 * 1/2 = 6/24 =1/4 = 0.25
caso en que la llave es correcta.
casos favorables aquellos en que la llave no es correcta

• se extraen
. ¿Cuál es la
probabilidad de que la primera sea el as de trébol y la
?
segunda sea un 4
consecutivamente
De un naipe de 52 cartas
2 cartas al azar, sin reemplazo

• Eventos:
o A: Extraer un as de trébol de un mazo de 52 carta.
�� =��
�� é��
�
P(A)= =
��
��
�
��
��
��
�
�
o B: Extraer un 4 de un mazo de 51 cartas
�� =��
�á�� ú��
P(B)= =
��
��
�
��
��
�
�
• La probabilidad de que la primera sea el as de trébol y
la segunda sea un 4 es:
� *
�
P(A)*P(B) = = 0,0015083
��
��

• Si A y B son dos eventos mutuamente excluyentes y la
la
probabilidad
probabilidad
de
de
A es 0.2 y la de B es 0.5. ¿Cuál
eventos?
es
que ocurran ambos

• La probabilidad solicitada es P(AB).
• Debido a que se trata de eventos mutuamente
excluyentes, ambos no
• Por lo tanto, P(AB)=0
suceden a la vez.

• Una empresa de venta por correo ofrece un regalo
sorpresa a todos los clientes quienes hacen compras
20 euros o más. Hay cinco tipos
que se eligen al azar:
de regalo sorpresa
1.
2.
3.
4.
5.
Llavero y navajita
Bolígrafo y linterna
Abrecartas y linterna
Navajita y abrecartas
Bloc de notas y abrecartas
• Si un cliente hace dos compras de más de 20 euros y
recibe dos regalos, ¿cuáles son el espacio muestral y
los eventos elementales?

Sea i el evento de que recibe el regalo sorpresa
número i para i=1,...,5. El espacio muestral es
S={(1,1),(1,2),…(4,5),(5,5)}
o Donde (i,j) significa que con la primera pedida de regalo recibe el regalo i y
con la segunda pedida recibe el regalo j.
o La probabilidad de cada evento elemental es 1/25
o Probabilidades de los eventos:
• A: El cliente recibe (por lo menos) una linterna
• B: El cliente recibe (por lo menos) un abrecartas
• A y B: el cliente recibe (por lo menos) un abrecartas y una linterna
• A = {(1,2),(1,3) ,(2,1) ,(2,2) ,(2,3) ,(2,4) ,(2,5) ,(3,1) ,(3,2) ,(3,3) ,(3,4) ,(3,4)
,(4,2) ,(4,3) ,(5,2) ,(5,3)}
• Por lo tanto: P(A) = 16/25

Ejercicio 12: solución (cont.)
o Igualmente, recibe un abrecartas con regalos 3,4,5 es decir que no recibe una
abrecartas con los regalos 1 y 2.
�
ഥ
= �, � , �,
� , �, � , �, �
= �/�� y : 𝐏
�
o
� −
�
�
�
�
ഥ
o Por lo tanto: 𝐏 = =
��
��
o Considerando A  B:
P(A  B) =
� − 𝐏
=
� − 𝐏
o Se sabe que:
�
�
�
�
�,
�
= �
�
𝐏 �� =
𝑷
�∩
�
� + 𝑷
�
− 𝑷
�
�
�� + ��
− 𝑷
�
�
=
��
��
�
�
𝑷 �� = = �.
��
�
�

En una habitación se encuentra el siguiente número de
personas: 5 hombres mayores de 21, 4 hombres menores
de 21, 6 mujeres mayores de 21 y tres mujeres
menores de 21. Si elige una
los siguientes eventos:
o A= {la persona es mayor de 21}
o B= {la persona es menor de 21}
o C={la persona es hombre}
o D={la persona es mujer}
persona al azar. Se definen
• Encontrar
a)
b)
P(B  D)
P(AcCc)

• Tenemos el siguiente cuadro de personas
• P(B  D) = P(B) + P(D) – P(B ∩ D) = 7/18 + 9/18 – 3/18 =
13/18
• Como Ac=B y Cc=D, entonces P(Ac  Cc) = P(B  D)
=3/18 = 1/6
C={Hombre} D={Mujer} Totales
A={mayores de 21} 5 6 11
B={menores de 21} 4 3 7
Totales 9 9 18

• Se lanza una moneda 8 veces, hallar la
de que:
probabilidad
a) se
b) se
obtengan
obtengan
exactamente 5 caras.
a lo sumo 4 sellos.

Respuesta al inciso a)
• El principio de multiplicación nos dice que en nuestro
28
espacio muestral hay un total de
equiprobables de 8 caras y sellos
sucesiones
• Para obtener exactamente 5 caras, elegimos 5 de los 8
puestos de la sucesión. Esto lo podemos hacer
maneras.
de (8)
5
P(exactamente 5 caras) = (�) 28
/ = 7/32
�

Respuesta al inciso b)
• El evento A = “A lo sumo cuatro sellos” puede escribirse
como A =  A , donde A es el evento “Exactamente
4
i i
𝑖 = 0
i sellos”. Nótese que esta unión es disjunta, por lo tanto:
8
𝑖
163
4 4
−8
• σ��
=0
σ��
=0
𝑃 � = ��(
�𝑖)
= 2 =
256

• A dart is thrown at a target consisting of three areas. Each
throw has a probability of 0.2, 0.3, and 0.5 of landing in areas 1, 2, and 3,
respectively. Find the probability that the dart lands exactly three times in
each of the areas.
Binomial probability law→ generalización a múltiples eventos
Al tener eventos mútuamente excluyentes: p1 + p2 +….+ pM = 1
Número total de repeticiones independientes n=9, k que el evento de interés
ocurre
Eventos de interés (k1, k2, k3,…,kM)
•
•
•
•
• P[(k1, k2, k3,…,kM)] = p1^k1 p2^k2 p3^k3
• P(3,3,3) = 9!/3!3!3! [0.2^3* 0.3^3* 0.5^3] = 0.04536
(n! / k1!, k2!, k3!,…,kM! )
nine times

• De un directorio telefónico se le solicita escoger de forma aleatoria 10
números telefónicos y anotar el último dígito de cada uno de los números
telefónicos seleccionados. ¿Cuál es la probabilidad de que se obtenga
cada uno de los enteros del 0 al 9 solamente una vez?
10-4
• Aprox. 3.6 x

r n
Erro correctio coding
• A communication system transmits binary information (0,1) over a channel that
introduces random bit errors with probability e= 10-3. The transmitter transmits each
information bit three times, and a decoder takes a majority vote of the received bits to
decide on what the transmitted bit was. Find de probability that the receiver
will make an incorrect decision.
• Hint: The receiver can correct a single error, but it will make the wrong decision if the
channel introduces two or more errors. Consider each transmission as a Bernoulli trial in
which a “success” corresponds to the introduction of an error. Thus, compute the
probability of two or more errors in three Bernoulli trials.

Estadística

Definición
La estadística se ocupa de los métodos científicos que se
utilizan para recolectar, organizar, resumir, presentar y
analizar datos así como para obtener conclusiones
válidas y tomar decisiones razonables con base en
este análisis.

Población y muestra
• Población. Cuando se recolectan datos sobre las
características de un grupo de individuos o de objetos, por
ejemplo, estatura y peso de los estudiantes de una
universidad o cantidad de pernos defectuosos y no
defectuosos producidos en determinado día en una
fábrica, suele ser imposible o poco práctico observar
todo el grupo, en especial si se trata de un grupo
grande.
Muestra. En vez de examinar todo el grupo (i.e.,
población o universo), se examina sólo una parte del
grupo, al que se le llama muestra.
•

Tipos de población
• Poblaciones finitas. Por ejemplo, todos los pernos
producidos determinado día en una fábrica es finita.
Poblaciones infinitas. Por ejemplo, población que
consta de todos los resultados (cara o cruz) que se
pueden obtener lanzando una y otra vez una moneda
es infinita.

Estadística inductiva
Si la muestra es representativa de la población, el
análisis de la muestra permite inferir conclusiones
válidas acerca de la población.
A la parte de la estadística que se ocupa de las condiciones
bajo la cuales tales inferencias son válidas se le llama
estadística inductiva o inferencial.
• Como estas inferencias no pueden ser absolutamente
ciertas, para presentar estas conclusiones
lenguaje de la probabilidad.
se emplea el

Estadística descriptiva
A la parte de la estadística que únicamente trata de
describir y analizar un grupo dado, sin sacar ninguna
conclusión ni hacer inferencia alguna acerca de un
grupo más grande, se le conoce como estadística
descriptiva o deductiva.

Distribuciones de frecuencias
• Datos en crudo. Datos recolectados que aún no se
han organizado.
Ordenación. Ordenación se le llama a los datos
numéricos en bruto dispuestos en orden creciente o
decreciente de magnitud. A la diferencia entre el
como
número mayor y el número menor se le conoce
el rango de los datos.

Medias de tendencia central
• La media aritmética, o brevemente la media, de un
conjunto de N números X1 , X2 , X3 , . . . , XN se denota
así: X y está definida como
• Si los números X1 , X2 , X3 , . . . , Xk se presentan con
frecuencias f1 , f2 , f3 , . . . , fk la media aritmética es

• Ejemplo de media aritmética
• La media aritmética de los números 8, 3, 5, 12 y 10 es
• Si 5, 8, 6 y 2 se presentan con frecuencias 3, 2, 4 y 1,
respectivamente, su media aritmética es

• Media aritmética ponderada. Algunas veces los
números X1 , X2 , X3 , . . . , XN se les asignan ciertos
factores de ponderación (o pesos) w1, w2, w3,…,wk

• Media aritmética ponderada.
• Si en una clase, al examen final se le da el triple de
valor que a los exámenes parciales y un estudiante
obtiene 85 en el examen final, y 70 y 90 en los dos
exámenes parciales, su puntuación media es

Propiedades de la media aritmética
En un conjunto de números, la suma algebraica de las
desviaciones de estos números respecto a su media
aritmética es cero.
Las desviaciones de los números 8, 3, 5, 12 y 10 de su
media aritmética, 7.6, son
o 8 − 7.6 = 0.4
o 3 − 7.6 = -4.6
o 5 − 7.6 = -2.6
o 2 − 7.6 = 4.4
o 10 −7.6 = 2.4
• La suma algebraica es 0.4 − 4.6 − 2.6 + 4.4 + 2.4 = 0

Medidas de dispersión
El grado de dispersión de los datos numéricos respecto a
un valor promedio se llama dispersión o variación de los
datos.
• Existen varias medidas de dispersión (o variación); las
más usadas son el rango, la desviación media, el
rango semiintercuartil, el rango percentil 10-90 y la
desviación estándar.

El rango
El rango de un conjunto de números es la diferencia
entre el número mayor y el número menor del conjunto.
• El rango del conjunto 2, 3, 3, 5, 5, 5, 8, 10, 12 es 12 − 2 =
10. Algunas veces el rango se da mediante el número
menor y el número mayor; así, por ejemplo, en el caso
del conjunto anterior, simplemente se indica de 2 a 12
o 2-12.

El rango
• El rango de los conjuntos: a) 12, 6, 7, 3, 15, 10, 18, 5 y b)
9, 3, 8, 8, 9, 8, 9, 18.
En ambos casos, rango = número mayor − número
menor = 18 − 3 = 15. Sin embargo, como se puede ver en
las ordenaciones de los conjuntos a) y b),
a) 3, 5, 6, 7, 10, 12, 15, 18
b) 3, 8, 8, 8, 9, 9, 9, 18
en el conjunto a) hay mucha más variación que en el
conjunto b). En efecto, b) consta casi únicamente de ochos
y nueves.
Nota: Dado que el rango no indica diferencia alguna entre estos conjuntos, en este caso no es una buena medida
de dispersión. Cuando hay valores extremos, el rango no suele ser una buena medida de la dispersión.

Desviación media
• La desviación media, o desviación promedio, de un
conjunto de N números X1, X2, . . . , XN

Desviación media
• Ejemplo. Encuentre la desviación media del conjunto
2, 3, 6, 8, 11.
• Si X1, X2, . . . , XN se presentan como frecuencias f1, f2, . .
. , fN la desviación se expresa como

o
Rang semiintercuartil
• El rango semiintercuartil, o desviación cuartil, de un
conjunto de datos se denota Q y está definido por Q =
(Q3-Q1) / 2
Donde Q1 y Q3, son el primero y tercer cuartiles de los
datos.

• MA = 1 / A
• A= ½ (1/v1 + 1/v2)

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