Problema 14.3
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El documento presenta el problema de un planeador social que busca maximizar el consumo a largo plazo sujeto a una restricción presupuestaria. Se resuelve el problema y se grafica el diagrama de fase, mostrando la relación positiva entre el consumo y la producción. Existen tres casos posibles para el estado estacionario dependiendo de si el ingreso esperado es mayor, igual o menor que los pagos por depreciación e impuestos. Finalmente, se discute cómo afectarían diferentes formas de financiamiento del gasto público a la trayectoria del consumo.
Problema 14.3
- 1. Equipo T-Económica José de Gregorio (2007) Macroeconomía Ejercicio 14.3 1 El problema del planeador social es: max lim ⟶ − 1 1 − (1) sujeto a: = + + ! + " a. Interprete la restricción presupuestaria. El lado derecho de la restricción puede ser interpretado como un ingreso espe- rado. El lado izquierdo + + ! + " y recordando que # = + ! , no es más que los usos de dicho ingreso esperado, esto es + # + en un contexto en el que = ". b. Resolver el problema y graficar el diagrama de fase. La función de Lagrange es: ℒ , , , , & = − 1 1 − + & + + ! + " − (2) la condición de primer orden o Principio del Máximo1 es: 'ℒ ' = + & = 0 (3) 'ℒ ' = ) 'ℒ ' ′ + ⟹ &-! − . = &′ (4) 'ℒ '& = + + ! + " − = 0 (5) de (3) se tiene: & = − ⟹ & = / + (6) de (6) en (4) y reduciendo, obtenemos la evolución del consumo: 0 = ′ = 1 − / − ! (7) que junto con (5) forman el diagrama de fase del problema planteado: ′ = − / − ! (8) 1 Véase Galéev y Tijomírov (1991) Breve curso de la Teoría de Problemas Extremales, Editorial MIR.
- 2. Equipo T-Económica José de Gregorio (2007) Macroeconomía Ejercicio 14.3 2 = − − ! − " Figura 1.- Diagrama de fase del Ejercicio 14.3 c. Del sistema (8) tenemos: = 0 ⟹ = 0 ∨ − ! − / = 0 Γ , , !, / = 0 por el teorema de funciones implícitas, si Γ3 = 45 43 6 0 entonces existirá: ∗ = Γ8 , !, / (9) En efecto, Γ3 = 9 0 por lo que existirá una función del tipo (9). Por el mismo teorema de funciones implícitas2 tenemos lo siguiente: ' ∗ ' = − Γ: Γ3 = − ; 0 (10) el resultado (10) establece sin ambigüedad que la relación entre ∗ y es positiva. Ahora para = 0: 2 Lázaro (2012) Análisis Matemático, Tomo III. Editorial Moshera.
- 3. Equipo T-Económica José de Gregorio (2007) Macroeconomía Ejercicio 14.3 3 = 0 ⟹ − − ! − " = 0 ⟺ = − ! − " (11) por lo que el estado estacionario para , resultará de remplazar (9) en (11), resultando: ∗ = ∗ − ! ∗ − " (12) recordemos que " por condición del problema, " está sujeto a un presupuesto equilibrado, esto es: " = " con " = 1 o " = . Entonces, derivando (12) y aplicando la regla de la cadena3, dado (9), tenemos: ' ∗ ' = ∗ + ' ∗ ' − ! − 1 (13) Este resultado, a diferencia de (10) es ambiguo, es decir, no puede establecerse de manera unívoca el signo del resultado. Reordenando (13) convenientemente, tenemos: ' ∗ ' = ∗ + ∗ ' ∗ ' − )! ' ∗ ' + "′ + (14) siendo: ∗ + ∗ ' ∗ ' (15) la variación del ingreso esperado debido al cambio en , siendo adicionalmente: ! ' ∗ ' + "′ (16) la variación de la depreciación e impuestos respectivamente. A partir de la comparación (15) y (16) pueden presentarse tres casos: i. 4=∗ 4: ; 0 ⟺ ∗ + ∗ 43∗ 4: ; ! 43∗ 4: + " en el margen, el ingreso esperado es mayor al pago de depreciación e impuestos (Figura 2). 3 Lázaro (1999) Cálculo diferencial, Editorial Moshera.
- 4. Equipo T-Económica José de Gregorio (2007) Macroeconomía Ejercicio 14.3 4 Figura 2.- Caso i. ii. 4=∗ 4: 9 0 ⟺ ∗ + ∗ 43∗ 4: 9 ! 43∗ 4: + "′ En este caso, el ingreso esperado no alcanza para reponer el capital utilizado (depre- ciación) y el pago de impuestos (Figura 3). Figura 3.- Caso ii.
- 5. Equipo T-Económica José de Gregorio (2007) Macroeconomía Ejercicio 14.3 5 iii. 4=∗ 4: = 0 ⟺ ∗ + ∗ 43∗ 4: = ! 43∗ 4: + "′ Al igual que el caso anterior, el ingreso esperado compensa exactamente el pago de de- preciación e impuestos (Figura 4). Figura 4.- Caso iii. d. Se considera los dos aspectos de la pregunta: i. Se financia el aumento del gasto público con deuda, no debería cambiar la trayectoria del consumo, pues si se financia con deuda, esta deuda deberá ser cancelada por au- mentos futuros de los impuestos, esto es, opera la equivalencia ricardiana. ii. Si el impuesto fuera a los ingresos -1 − ">. , este sí es distorsionante, pues al- tera la estructura de la ecuación de evolución del consumo, alterando su trayectoria.