Problemario de rectas
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Este documento presenta una serie de problemas relacionados con rectas en el plano cartesiano. Incluye problemas para encontrar ecuaciones de rectas dados puntos o condiciones como pendiente, paralelismo o perpendicularidad. También incluye problemas para determinar distancias entre puntos y rectas, hallar mediatrices, y verificar propiedades geométricas como triángulos rectángulos y rombos.
Problemario de rectas
- 1. PROBLEMARIO DE RECTAS. 1. Usando pendientes probar que los puntos A = (2,1), B = (−4, −2), C = 1, 1 2 son colineales. En los problemas del 2 al 9, hallar una ecuación de la recta que satisface las condiciones dadas y llevarla a la forma explicita = + . 2. Pasa por el punto (1,3) y tiene pendiente 5. 3. Tiene pendiente -3 y pasa por el origen. 4. Pasa por los puntos (1,1) y (2,3). 5. Interseca al eje X en 5 y al eje Y en 2. 6. Pasa por el punto (1,3) y es paralela a la recta 5y + 3x − 6 = 0. 7. Pasa por el punto (4,3) y es perpendicular a la recta 5x + y − 2 = 0. 8. Es paralela a 2y + 4x − 5 = 0 y pasa por el punto de intersección de las rectas 5x + y = 4 ; 2x + 5y − 3 = 0. 9. Interseca a los ejes coordenados a igual distancia del origen y pasa por (8,6). 10. Dada la recta L: 2y − 4x − 7 = 0 a. Encontrar la recta que pasa por el punto P = (1,1) y es perpendicular a L. b. Hallar la distancia del punto P = (1,1) a la recta L. 11. Usando pendientes probar que los puntos A = (3,1), B = (6,0), C = (4,4) son los vértices de un triangulo rectángulo. Hallar el área de dicho triangulo. 12. Determinar cuáles de las siguientes rectas son paralelas y cuáles son perpendiculares: a. L : 2x + 5y − 6 = 0 c. L : 4x + 3y − 6 = 0 e. L : −5x + 2y − 8 = 0 b. L : 5x + y − 3 = 0 d. L : 4x + 3y − 9 = 0 f. L : −x + 5y − 20 = 0 13. Hallar la mediatriz de cada uno de los siguientes segmentos de extremos a. (1,0) y (2, −3) b. (−1,2) y (3,10) c. (−2,3) y (−2, −1) 14. Los extremos de una de las diagonales de un rombo son (2, −1) y (14,3). Hallar una ecuación de la recta que contiene a la otra diagonal. Sugerencia: las diagonales de un rombo son perpendiculares. 15. Hallar la distancia del origen a las recta 4x + 3y − 15 = 0.
- 2. 16. Hallar la distancia del punto (0, −3) a las recta 5x − 12y − 10 = 0. 17. Hallar la distancia del punto (1, −2) a las recta x − 3y = 5. 18. Hallar la distancia entre las rectas paralelas 3x − 4y = 0, 3x − 4y = 10. 19. Hallar la distancia entre las rectas paralelas 3x − y + 1 = 0, 3x − y + 9 = 0. 20. Hallar la distancia de Q = (6, −3) a la recta que pasa por P = (−4,1) y es paralela a la recta 4x + 3y = 0. 21. Determinar el valor de C en la recta L: 4x + 3y + C = 0 sabiendo que la distancia del punto Q = (5,9) a L es 4 veces la distancia del punto P = (−3,3) a L. 22. Hallar las rectas paralelas a la recta 5x + 12y − 12 = 0 y que distan 4 unidades de ésta. 23. Determinar para que valores de k y de n las rectas: kx − 2y − 3 = 0 , 6x − 4y − n = 0 a. Se intersecan en un único punto. c. Son paralelas no coincidentes. b. Son perpendiculares. d. Son coincidentes. 24. Determinar para que valores de k y de n las rectas: kx + 8y + n = 0 , 2x + ky − 1 = 0 a. Son paralelas no coincidentes b. Son coincidentes c. Son perpendiculares 25. Un cuadrado tiene por centro C = (1, −1) y uno de sus lados está en la recta x − 2y = −12. Hallar las ecuaciones de las rectas que contienen a los otros lados. 26. Probar que los puntos A = (1,4), B = (5,1), C = (8,5) y D = (4,8) son los vértices de un rombo (cuadrilátero de lados iguales). Verifique que las diagonales se cortan perpendicularmente.