Rect

Problemas de Matemáticas

1) Calcular la ecuación general de la recta mediatriz del segmento de extremos A(–3; –6) y B(5; –10).

x–6 y–5
2) Hallar la ecuación general de la recta paralela a la recta = y que pasa por el punto
–6 –11
A(12; 3).

x – 14 y + 2
3) Determinar la ecuación general de la recta perpendicular a la recta = y que pase por el
–9 5
punto A(16; –2).
Jol
4) Hallar las ecuaciones continua, general y explícita de la recta que pasa por los puntos A(17; 4) y
B(–15; 5).

x + 12 y + 11
ley
5) Calcular la distancia que hay desde el punto A(9; 15) a la recta = .
11 6

6) Tenemos un triángulo de vértices A(11; –14), B(–7; 2) y C(14; –4), hallar:
a) Ecuación general de la mediana que pasa por el vértice A.
b) Ecuación general de la mediana que pasa por el vértice B.
'
c) Baricentro (corte de las medianas).
sA

7) Dado el triángulo de vértices A(–6; 11), B(2; –3) y C(18; –3), calcular la ecuación general de la
altura que parte de A y su longitud.

x – 15 y – 13 7x 55
8) Calcular la distancia entre las rectas r: = y s: y = –
cad

6 7 6 3

x+9 y–1
9) Hallar el ángulo que forman las rectas r: (x, y) = (5; 17) +  (3; 19) y s: =
6 14
e

10) Obtener las ecuaciones vectorial, paramétrica, continua, general y explícita de la recta que pasa por el
punto A(10; 12) y tiene la dirección del vector v(–13; 4).
mia

11) Dado el triángulo de vértices A(11; –13), B(12; –2) y C(–5; 14), calcular:
a) Ecuación general de la recta de cada lado. b) Área.

12)Calcular la ecuación general de la recta mediatriz del segmento de extremos A(–3; –2) y
B(13; –10)


x y – 19
13) Hallar la ecuación general de la recta paralela a la recta = y que pasa por el punto
–5 –6
A(17; 0).

–11x 9
14) Determinar la ecuación general de la recta perpendicular a la recta y = – y que pase por el
14 7
punto A(11; 19).

15) Hallar las ecuaciones continua, general y explícita de la recta que pasa por los puntos A(–12; 3) y
Jol
B(2; –11).

16) Calcular el valor o valores del parámetro q para que la recta 20x + qy + 95 = 0 diste 12 unidades
del punto P(11; 1).
ley
8x 52
17) Estudiar la posición relativa de las rectas r: 8x – 9y = 0 y s: y = + indicando el punto de
9 9
corte si es posible.

18) Dadas las rectas r1: 4x + y + 10 = 0 y r2: 9x + ry + 2 = 0 calcular el valor del parámetro r en cada
'
uno de los siguientes casos: a) Las rectas son paralelas. b) Las rectas son perpendiculares (ortogonales).
sA

c) La recta r2 pasa por el punto P(–6; 9).

x+3 y+8
19) Dada la recta = , calcular el valor del parámetro q para que el punto P(–3; q) esté sobre
–4 –2
esa recta.
cad

20) Hallar los valores del parámetro p para que la recta (x, y) = (–13; –11) +  (6; 8) diste 8 unidades
del punto P(p; –3).

21) Calcular el valor del parámetro q para que los puntos A(–6; 8), B(3; –12) y C(11; q) estén
e

alineados y hallar la ecuación general de la recta que forman.
mia

22) Dadas las rectas r1: 8x + ky + 5 = 0 y r2: 8x – 11y + m = 0, calcular el valor de los parámetros k
y m para que las rectas sean perpendiculares (ortogonales) y la recta r2 pase por el punto P(–2; –18).

23) Hallar un punto situado sobre la recta 3x – 7y + 12 = 0 que equidiste de los puntos A(6; –6) y
B(–1; –11).

24) Hallar el punto de corte y el ángulo que forman el siguiente par de rectas:
x–3 y+8
r: = ; s: (x, y) = (–7; –6) + t (9; 7)
–1 9


25) Calcular el valor o valores del parámetro m para que la recta 4x + my – 72 = 0 diste 4 unidades del
punto P(11; 16).

x y
26) Estudiar la posición relativa de las rectas r: = y s: x – 15y – 53 = 0 indicando el punto de
15 1
corte si es posible.

x – 10 y – 11
27) Dadas las rectas r1: = y r2: 10x + my + 9 = 0 calcular el valor del parámetro m en
4 –3
Jol
cada uno de los siguientes casos: a) Las rectas son paralelas. b) Las rectas son perpendiculares
(ortogonales). c) La recta r2 pasa por el punto P(–3; –5).

28) Calcular los valores del parámetro h para que la recta –y + h = 0 sea tangente a la circunferencia
ley
siguiente e indicar los puntos de tangencia.
x2 + (y + 2)2 = 36

29) Hallar el centro, el radio y la ecuación de la circunferencia que pasa por los puntos A(8; 1), B(12; 3)
y C(10; –3)
' sA
30) Los puntos A(–5; 4) y B(1; –6) son los extremos del diámetro de una circunferencia. Determinar el
centro, el radio y la ecuación de esta circunferencia.

31) Hallar los puntos de corte de las siguientes circunferencias:
C1: x2 + (y – 4)2 = 82
C2: x2 + y2 + 30 x – 32 y + 276 = 0
cad

32) Estudiar la posición relativa de los puntos P(–27; 15) y Q(2; 9) respecto a la circunferencia:
x2 + (y – 6)2 = 90

33) El punto A(20; –11) se encuentra sobre la circunferencia x2 + y2 – 28 x + 6 y + 105 = 0, hallar la
e

ecuación de la recta tangente a la circunferencia que pasa por A.
mia

34) Hallar la ecuación de la circunferencia con centro en C(0; 1) y radio 10.

35) Calcular el centro y el radio de la circunferencia de ecuación:
x2 + y2 – 16 x + 14 y + 73 = 0

36) Estudiar la posición relativa de la circunferencia (x + 6)2 + y2 = 50 respecto a cada una de las rectas
siguientes e indicar los puntos de intersección cuando sea posible.
a) 4x + 3y – 1 = 0 b) 7x – y + 96 = 0 c) x + 7y + 56 =0


37) Calcular los valores del parámetro k para que la recta 4x – 3y + k = 0 sea tangente a la
circunferencia siguiente e indicar los puntos de tangencia.
(x – 1)2 + y2 = 100

38) Hallar el centro, el radio y la ecuación de la circunferencia que pasa por los puntos A(3; 1),
B(–1; –1) y C(–3; 13)

39) Los puntos A(–7; 8) y B(–13; 0) son los extremos del diámetro de una circunferencia. Determinar
el centro, el radio y la ecuación de esta circunferencia.
Jol
40) Hallar los puntos de corte de las siguientes circunferencias:
C1: x2 + y2 + 2 x + 22 y + 37 = 0
C2: (x – 19)2 + (y + 6)2 = 170
ley
41) Estudiar la posición relativa de los puntos P(–2; –11) y Q(9; 3) respecto a la circunferencia:
x2 + y2 – 14 x – 2 y + 25 = 0

42) El punto A(–28; –13) se encuentra sobre la circunferencia x2 + y2 + 34 x + 20 y + 259 = 0, hallar
'
la ecuación de la recta tangente a la circunferencia que pasa por A.
sA

43) Hallar la ecuación de la circunferencia con centro en C(–4; 12) y radio 52 .

4
44) Una elipse tiene los focos en F ' (–4; –5) y F(–4; 19) y su excentricidad vale . Determinar:
5
a) Centro. b) Vértices. c) Ecuación. d) Semiejes.
cad

45) Tenemos la elipse de ecuación 289 x2 + 64 y2 – 18496 = 0
Hallar: a) Semiejes. b) Focos. c) Centro. d) Vértices. e) Excentricidad.

46) Una elipse centrada en el origen tiene vértices en los puntos (13; 0) y (0; 12). Calcular: a) Focos.
e

b) Ecuación. c) Excentricidad.
mia

47) Tenemos una elipse centrada en el punto (4; 7) y con vértices en (29; 7) y (4; 31). Determinar:
a) Focos. b) Los otros dos vértices. c) Ecuación. d) Excentricidad.

x2 y2
48) Sea la elipse de ecuación + =1
144 225
Determinar: a) Semiejes. b) Focos. c) Centro. d) Vértices. e) Excentricidad.

49) Los focos de una elipse son F ' (–12; 4) y F(2; 4) y su semieje mayor vale 25. Determinar:
a) Centro. b) Vértices. c) Ecuación. d) Excentricidad.


(x + 2)2 (y + 8)2
50) Se tiene la elipse de ecuación + =1
900 576
Calcular: a) Semiejes. b) Focos. c) Centro. d) Vértices. e) Excentricidad.

51) En una elipse los focos están sobre los puntos F ' (0; –24) y F(0; 24) y presenta un vértice en
(10; 0). Calcular: a) Centro. b) Los otros vértices. c) Ecuación. d) Excentricidad.

52) Se tiene la elipse de ecuación 169 x2 + 144 y2 – 676 x – 1440 y – 20060 = 0
Jol
21
53) Una elipse tiene los focos en F ' (–22; 1) y F(20; 1) y su excentricidad vale . Determinar:
29
a) Centro. b) Vértices. c) Ecuación. d) Semiejes.
ley
54) Se tiene la elipse de ecuación 9 x2 + 25 y2 – 3600 = 0

55) Una elipse centrada en el origen tiene vértices en los puntos (20; 0) y (0; 16). Determinar:
a) Focos. b) Ecuación. c) Excentricidad.
' sA

56) Tenemos una elipse centrada en el punto (3; 9) y con vértices en (27; 9) y (3; 35). Calcular:
a) Focos. b) Los otros dos vértices. c) Ecuación. d) Excentricidad.

x2 y2
57) Tenemos la elipse de ecuación + =1
576 676
cad


58) Se tiene la hipérbola de ecuación 16 x2 – 9 y2 + 128 x – 72 y + 1408 = 0
Hallar: a) Semieje. b) Focos. c) Centro. d) Vértices. e) Excentricidad.
e

25
59) Una hipérbola tiene los focos en F ' (6; –28) y F(6; 22) y su excentricidad vale . Calcular:
7
mia

a) Centro. b) Vértices. c) Ecuación. d) Semieje

60) Sea la hipérbola de ecuación 16 x2 – 9 y2 + 576 = 0
Calcular: a) Semieje. b) Focos. c) Centro. d) Vértices. e) Excentricidad. f) Asíntotas.

61) Una hipérbola centrada en el origen tiene un vértice en el punto (0; 9) y las ecuaciones de sus
3
asíntotas son y = ± x. Determinar: a) Focos. b) Ecuación. c) Excentricidad.
4


5
62) Tenemos una hipérbola con una excentricidad de con los vértices en los puntos (–3; 0) y
3
(–3; –12). Determinar: a) Centro. b) Focos. c) Ecuación.

y2 x2
63) Sea la hipérbola de ecuación – =1
576 49
Determinar: a) Semieje. b) Focos. c) Centro. d) Vértices. e) Excentricidad. f) Asíntotas.

64) Los focos de una hipérbola son F ' (–5; –25) y F(–5; 27) y su semieje vale 10. Determinar:
Jol

(y + 4)2 (x – 6)2
441 400
ley
Determinar: a) Semieje. b) Focos. c) Centro. d) Vértices. e) Excentricidad.

66) En una hipérbola los focos están sobre los puntos F ' (0; –13) y F(0; 13) y tiene un vértice en
(0; 12). Determinar: a) Centro. b) El otro vértice. c) Ecuación. d) Excentricidad. e) Asíntotas.

67) Se tiene la hipérbola de ecuación 144 x2 – 25 y2 + 2304 x + 250 y + 12191 = 0
' sA
Calcular: a) Semieje. b) Focos. c) Centro. d) Vértices. e) Excentricidad.

13
68) Una hipérbola tiene los focos en F ' (–1; –21) y F(–1; 31) y su excentricidad vale . Hallar:
5
a) Centro. b) Vértices. c) Ecuación. d) Semieje
cad

69) Se tiene la hipérbola de ecuación 9 x2 – 16 y2 + 576 = 0

70) Una hipérbola centrada en el origen tiene un vértice en el punto (0; 7) y las ecuaciones de sus
7
asíntotas son y = ± x. Hallar: a) Focos. b) Ecuación. c) Excentricidad.
e

24
mia

5
71) Tenemos una hipérbola con una excentricidad de con los vértices en los puntos (4; 12) y
4
(4; –4). Calcular: a) Centro. b) Focos. c) Ecuación.

y2 x2
144 256

73) Los focos de una hipérbola son F ' (–4; –14) y F(–4; 26) y su semieje vale 16. Determinar:


(y + 4)2 (x + 8)2
74) Se tiene la hipérbola de ecuación – =1
225 64
Determinar: a) Semieje. b) Focos. c) Centro. d) Vértices. e) Excentricidad.

75) El vértice de una parábola se encuentra en el punto V(0; 0) y su directriz es la recta y = 6.
Determinar: a) Foco. b) Ecuación.

76) Tenemos la parábola de ecuación x2 – 16 x – 36 y + 280 = 0. Calcular: a) Foco. b) Vértice.
c) Recta directriz.
Jol
77) Una parábola tiene su foco en el punto F(2; –5) y el vértice en V(2; –2). Calcular: a) Recta
directriz. b) Ecuación.
ley
78) Se tiene la parábola de ecuación x2 + 16 y = 0. Determinar: a) Foco. b) Vértice. c) Recta directriz.

79) Sea la parábola de ecuación x2 = 12 y. Determinar: a) Foco. b) Vértice. c) Recta directriz.

80) El foco de una parábola está sobre el punto F(6; 0) y su recta directriz es x = –6. Calcular:
a) Vértice. b) Ecuación.
' sA

81) Sea la parábola de ecuación (x + 2)2 = – 8 (y – 6). Determinar: a) Foco. b) Vértice. c) Recta
directriz.

82) El vértice de una parábola se encuentra en el punto V(0; 0) y su directriz es la recta y = –8.
Calcular: a) Foco. b) Ecuación.
cad

83) Tenemos la parábola de ecuación x2 – 4 x + 4 y – 16 = 0. Determinar: a) Foco. b) Vértice.
c) Recta directriz.

84) Una parábola tiene su foco en el punto F(–1; –3) y el vértice en V(3; –3). Determinar: a) Recta
e

directriz. b) Ecuación.
mia

85) Sea la parábola de ecuación x2 – 16 y = 0. Determinar: a) Foco. b) Vértice. c) Recta directriz.

86) Tenemos la parábola de ecuación y2 = – 24 x. Determinar: a) Foco. b) Vértice. c) Recta directriz.

87) El foco de una parábola está sobre el punto F(0; –5) y su recta directriz es y = 5. Determinar:
a) Vértice. b) Ecuación.


88) Sea la parábola de ecuación (x + 6)2 = – 36 (y – 4). Determinar: a) Foco. b) Vértice. c) Recta
directriz.

89) Hallar la ecuación del plano que pasa por los puntos A(5; 5; 4), B(6; 6; 3) y C(13; 15; 13).

90) Determinar la ecuación del plano que pasa por el punto A(–3; 0; –9) y es paralelo al plano
 : 3x + 2y – 4z – 30 = 0.

91) Determinar la ecuación general del plano que contiene al punto A(7; 7; –6) y es paralelo a los
Jol
vectores v(5; –1; 4) y u(2; –6; 3).

92) Calcular la ecuación del plano que pasa por los puntos A(–6; –1; 3) y B(–3; –1; –1) y es paralelo al
vector u(–9; 4; 0).
ley
93) Determínese la ecuación general del plano que pasa por el punto B(1; –3; –3) y contiene a la recta

r : –7y – z – 26 = 0
–7x – 3z – 15 = 0
' sA
94) Calcular la ecuación general de un plano que pase por los puntos A(10; –9; 1) y B(12; –4; 9) y sea

paralelo a la recta r : 2x + y – 7 = 0
–2z + 4 = 0

95) Calcular la ecuación del plano que contenga al punto A(9; 3; 10) y sea perpendicular al vector
cad

v(3, 1, –10).

96) Hallar la ecuación de un plano que pase por el punto A(8; 5; 8) y sea perpendicular a la recta

r : 4x + 4y + z – 56 = 0
e

5x + 2y + 2z – 70 = 0
mia

x=2+t x–3 y–9 z+6
97) Calcular la ecuación del plano que contiene a las rectas r : y = 8 + 6t y s : = =
1 6 –6
z = –7 – 6t

98) Hallar la ecuación general de un plano si contiene a la recta r : 2y + z – 10 = 0 y es paralelo a la
2x – 4 = 0
x–3 y–3 z+2
recta s : = =
3 6 –7


99) Un plano pasa por el punto A(–2; –6; –8). Determinar su ecuación general si es también paralelo a
x–4 y–3 z–5
las rectas r : 3y – 3z + 6 = 0 y s : = =
3x – 4z – 12 = 0 8 –7 6

100) Hallar la ecuación del plano que contiene a los puntos A(2; 4; –1) y B(5; 9; 0) y es perpendicular
al plano  : 5y + 4z + 23 = 0.

x–6 y+7 z–7
101) Determinar la ecuación general del plano que contiene a las rectas r : = = y
3 8 –7
Jol
x–6 y+7 z–7
s: = =
1 1 0

102) Determinar la ecuación continua de la recta que contiene al punto A(8; –1; 11) y es paralela al
ley
vector v(2; 1; 9).

103) Calcular la ecuación continua de la recta que pasa por los puntos A(5; 1; –2) y B(12; –1; –3).

104) Hallar la ecuación continua de una recta que contiene al punto A(–7; 5; –8) y es paralela a la recta
'
r: 9y + 7z – 7 = 0
sA
9x – 6z – 3 = 0

105) Determinar la ecuación continua de la recta que contiene al punto A(1; 6; –1) y es paralela al vector
v(0; 0; –1).

106) Calcular la ecuación continua de la recta que contiene al punto A(–5; –1; –2) y es perpendicular al
cad

plano  : 5x + 4y + z – 7 = 0.

107) Hallar la ecuación continua de la recta que pasa por el punto A(4; –8; 6), es paralela al plano
x = 13 + 4t
 : 12x – 5y – 4z – 63 = 0 y corta a la recta r: y = 12 + 10t
e

z = 13 + 2t
mia

108) Determinar la ecuación continua de una recta que pase por el punto A(4; –6; –4) y sea paralela a la

recta r: x + y + 1 = 0
4x + y + z + 2 = 0

109) Calcular la ecuación continua de la recta que contiene al punto A(0; –4; –3) y es perpendicular al
plano  : –5x – 3y + z + 3 = 0.


110) Hallar la ecuación continua de la recta que pasa por el punto A(7; 8; 7), es paralela al plano
x = 9 + 5t
 : 6x + 7y – 25z + 85 = 0 y corta a la recta r: y = –3 + 5t
z = 4 + 3t

111) Determinar la ecuación continua de la recta que es secante perpendicularmente a la recta

x – 18 y + 10 z + 12
r: = = en el punto A(0; –4; 0) y es paralela al plano  : 2x + y + 2 = 0
–9 3 6
Jol
112) Calcular la ecuación continua de una recta que pase por el punto A(11; –5; 0), y corte a las rectas
x – 15 y – 3 z – 7 x – 20 y – 4 z + 1
r1 : = = y r2 : = =
0 0 9 3 –3 2
ley

x + 5 y – 16 z – 7
r: = = en el punto A(–7; 8; 1) y es paralela al plano  : x + y + z – 10 = 0
1 4 3
' sA
114) Calcular la ecuación continua de una recta que pase por el punto A(–4; 4; 2), y corte a las rectas
x 8 y – 9 z – 12 x 25 y – 14 z – 15
r1 : + = = y r2 : + = =
2 4 8 –3 7 7

cad

x – 12 y + 10 z – 16
r: = = en el punto A(–2; 2; 4) y es paralela al plano  : –5x + 5y – 5z – 6 = 0
–7 6 –6

116) Hallar los valores del parámetro m para que el punto A (6; m; –4) diste 2 unidades del plano
 : 2x – 3y – 6z – 43 = 0
e

117) Determinar el valor del parámetro n para que el punto A (8; 2; 6) diste 2 unidades del plano
mia

 : 2x + ny – 6z + 28 = 0

118) Calcular el valor del parámetro m para que los puntos A (2; 3; –3), B (7; 7; 0), C (–3; –5; 5) y
D (m; –21; 7) sean coplanarios.

119) Determinar el valor del parámetro k para que los puntos A (4; 9; 12), B (3; –4; 9) y C (1; k; 3)
estén alineados.

120) Hallar los valores del parámetro n para que el punto A (8; –3; n) diste 4 unidades del plano
 : 2x – 3y + 6z + 57 = 0


121) Determinar el valor del parámetro r para que el punto A (6; 7; –1) diste 6 unidades del plano
 : rx – 2y + 2z + 40 = 0

122) Calcular el valor del parámetro n para que los puntos A (–6; –3; 3), B (–7; –7; 2),
C (–8; 0; –6) y D (n; 11; –13) sean coplanarios.

123) Determinar el valor del parámetro a para que los puntos A (6; –6; 5), B (–1; 2; –3) y
C (27; a; 29) estén alineados.
Jol
124) Hallar los valores del parámetro m para que el punto A (m; 5; 3) diste 13 unidades del plano
 : 7x – 4y – 4z – 43 = 0

125) Determinar el valor del parámetro n para que el punto A (2; –2; 6) diste 2 unidades del plano
 : 8x + ny – 4z + 16 = 0
ley
126) Calcular el valor del parámetro q para que los puntos A (–3; 7; –3), B (0; 10; 4),
C (–7; –6; –1) y D (–10; q; –8) sean coplanarios.

127) Determinar el valor del parámetro m para que los puntos A (1; 8; –8), B (–1; –8; –9) y
'
C (–3; –24; m) estén alineados.
sA

128) Hallar los valores del parámetro k para que el punto A (–6; 4; k) diste 4 unidades del plano
 : 4x – 7y – 4z + 76 = 0

129) Determinar el valor del parámetro p para que el punto A (–2; –5; 2) diste 2 unidades del plano
cad

 : 4x + 4y + pz + 32 = 0

130) Estudiar la posición relativa del plano y la recta siguientes y calcular el punto de corte cuando sea
posible.

 : x – y – 2z – 2 = 0, r: x + 3y + 2z – 18 = 0
e

7x – 5y – z = 0
mia

posible.

 : 5x + 4y + 8z – 14 = 0, r: 5x – y + z – 16 = 0
5x – 6y – 6z – 16 = 0

posible.

 : x + 3y + 2z = 0, r: x – y – 2z + 4 = 0
5x + 3y – 2z + 12 = 0


posible.

 : x + 5y + 6z – 6 = 0, r: 2x + y + 3z – 12 = 0
x + 4y + 14 = 0

posible.

 : x – 7y – 2z – 16 = 0, r: 6x – 3y – 5z – 4 = 0
Jol
5x + 4y – 3z + 15 = 0

posible.

 : 2x + y – z + 9 = 0, r: x + y – 2z + 4 = 0
ley
x – y + 4z + 6 = 0

posible.

 : x – 3z – 10 = 0, r: 2x + 5y – 2z – 8 = 0
'
3x + y – 3 = 0
sA

posible.

 : x – y + 3z + 8 = 0, r: x – 2y + 8 = 0
2x – y + 9z + 18 = 0
cad

posible.

 : 2x + 3y + z – 1 = 0, r: 3x + 4y – z + 1 = 0
x + 2y + 3z – 3 = 0
e

mia

posible.

 : x + 6y – 8z + 4 = 0, r: x + 5y – 5z + 3 = 0
6x + 5y + 3z – 7 = 0

posible.

 : x – 3y + 5z + 7 = 0, r: x+y+8=0
x + 5y – 5z + 7 = 0


posible.

 : x – y – 3z – 1 = 0, r: 2x – y – z + 2 = 0
x + 2z + 3 = 0

posible.

 : x + 5y + z + 15 = 0, r: x+y–z–1=0
Jol
7x + 2y – z + 7 = 0

143) Estudiar la posición relativa del plano y la recta siguientes según los valores del parámetro q y
hallar el punto de intersección cuando sea posible.

 : (q + 1) x – 6y + 4z = –6, r: 6x – 2y – z = 12
ley
4x + y – 3z = 15

144) Estudiar la posición relativa del plano y la recta siguientes en función del parámetro a y calcular el
punto de corte (si es posible) para el caso a = 5.

 : 2y + z = 13, r: 2x + 4y + az = 1
'
x – 3y – 9z = 13
sA

145) Estudiar la posición relativa del plano y la recta siguientes según los valores del parámetro k y

 : 2x + 9y + z = 1, r: 3x + 3y + 5z = –16
–5x + ky – 6z = 15
cad

146) Estudiar la posición relativa del plano y la recta siguientes en función del parámetro m y calcular el
punto de corte (si es posible) para el caso m = –2.

 : 7x – 2y – z = –16, r: x + y + 2z = 5
(m + 3) x + y + z = 4
e

147) Estudiar la posición relativa del plano y la recta siguientes según los valores del parámetro n y
mia


 : 4x + 5y + 5z = –1, r: x – y – 10z = –7
10x + 8y + (n–5) z = –16

148) Estudiar la posición relativa del plano y la recta siguientes en función del parámetro p y calcular el
punto de corte (si es posible) para el caso p = 8.

 : x + py + z = 19, r: 4x – y + 6z = –15
3x – 2y + 5z = –13



 : 11x + 3y + z = 6, r: 7x + 3y + 2z = 6
qx – 2z = 0


 : –x + ay + 5z = 8, r: x + y + z = –1
Jol
8x – 4y – z = –14


 : 2x + y – 3z = 17, r: x – y – 3z = –2
ley
x + 2y + kz = 19

punto de corte (si es posible) para el caso m = 11.

 : x + 3y + z = –14, r: 2x + 5y – 3z = –5
'
–2x – 7y + (m–3) z = –9
sA

153) Estudiar la posición relativa del plano y la recta siguientes según los valores del parámetro n y

 : 4x + 3y + 6z = 1, r: 6x + 5y + 8z = 5
–10x – 8y + nz = –6
cad

154) Estudiar la posición relativa del plano y la recta siguientes en función del parámetro p y calcular el
punto de corte (si es posible) para el caso p = 0.

 : 2x – y – 3z = 9, r: 3x – 5y + pz = 1
x – 4y + 7z = –16
e

mia


 : x + 4y – z = –2, r: 2x + 5y – 8z = 2
–x – y + qz = –4


 : 2x – y + z = –1, r: ax – 2y – 2z = 18
6x – 2y + z = 12

Jo l


ley
 : 2x – 5y + 2z = –1, r: 3x – 4y – 4z = –12
5x – 9y + (k + 1) z = –13

punto de corte (si es posible) para el caso m = 1.

'
 : x + 4y – 2z = –19, r: –3x + 6y + mz = –13

sA
3y – 2z = –7

159) Estudiar la posición relativa de los siguientes pares de rectas indicando el punto de corte cuando sea
posible.
x = 7 + 8 x–7 y+3 z–8
r1 : y = 9 + 4 , r2 : = =
z = –3 + 6
–9 –7 9 cad
posible.
emi
x = –2 +  x = 1 – 2
r1 : y=6 , r2 : y=6
z = 8 + 4 z = 20 – 8

posible.
a
x–9 y–8 z–2 x – 6 y – 3 z – 12
r1 : = = , r2 : = =
9 4 0 18 8 0

posible.

x – 22 y – 7 z + 17 x=9+
r1 : = = , r2 : y = 6 + 9
7 5 –7
z = 7 + 10

posible.

r1 : –8y + 9z – 136 = 0 , r2 : 4y – z – 25 = 0
–8x – 7z + 152 = 0 4x + 3z + 15 = 0

G

Jo l

posible.

ley
x = –4 + 7 x = 10 + 14
r1 : y = –3 + 10 , r2 : y = 17 + 20
z = 1 + 4 z = 9 + 8

posible.

r1 : 7y + 8z + 27 = 0 ,
7x + 8z + 76 = 0
r2 :
' sA
x = –1 – 16
y = –7 – 16
z = 12 + 14

posible.
r1 : (x, y, z) = (13; 4; 18) +  (5; 5; 8), r2 : + =
–5
cad
x 2 y – 3 z – 20
2
=
5

posible.
emi
x = 10 + 7
r1 : y = –1 + 6 , r2 : (x, y, z) = (1; 2; 4) +  (–3; 9; 6)
z = –1 + 8

posible.
a
x = 2 + 9 x+7 y+7 z–4
r1 : y = –3 + 4 , r2 : = =
–18 –8 –8
z = 8 + 4

posible.

r1 : (x, y, z) = (8; 1; 1) +  (5; 5; –6), r2 : –12y – 10z + 168 = 0
–12x – 10z – 36 = 0

posible.

x–3 y z – 13 x = –7 – 9
r1 : = = , r2 : y = 2 – 5
1 –7 4
z = 19 + 10

Jo l

171) Hallar la posición relativa de las rectas siguientes según los valores que tome el parámetro w.
x = 6 + 8 x+2 y z–2

ley
r1 : y = –4 – 4 , r2 : = =
8 w –9
z = –7 – 9

172) Estudiar la posición relativa de las siguientes rectas en función del parámetro n y calcular (si es
posible) el punto de corte.

'
x = –1 – 5 x–2 z–n

sA
y
r1 : y = –5 – 9 , r2 : = =
–1 –2 2
z = –11 – 2

173) Determinar la posición relativa de las dos siguientes rectas según los valores del parámetro p.
x–5 y+6 z–8 x + 5 y – 10 z
r1 : = = , r2 : = =
0 –5 –7 0 5 p
cad
174) Hallar la posición relativa de las rectas siguientes según los valores que tome el parámetro p.
x–7 y–4 z+3 x–5 y–2 z+5
r1 : = = , r2 : = =
–1 –1 –1 1 p 1
emi
175) Estudiar la posición relativa de las siguientes rectas en función del parámetro p y calcular (si es
x + 17 y + 6 z – p
r1 : (x, y, z) = (–12; –7; –6) +  (–4; –7; 2), r2 : = =
9 6 4

176) Determinar la posición relativa de las dos siguientes rectas según los valores del parámetro q.
a
x–5 y+6 z+3
r1 : –9x – 4y + 90 = 0 , r2 : = =
9z – 81 = 0 –4 9 q

177) Hallar la posición relativa de las rectas siguientes según los valores que tome el parámetro n.
x = –1 +  x + 3 y – 18 z – 4
r1 : y = 4 – 7 , r2 : = =
–1 n 3
z = –2 – 3

x+3 y–7 z–n
r1 : 4y + 6z – 20 = 0 , r2 : = =
4x – 2z + 12 = 0 2 –4 –8

179) Determinar la posición relativa de las dos siguientes rectas según los valores del parámetro n.
x–3 y+3 z+5
r1 : (x, y, z) = (1; 9; –5) +  (–6; –9; –7), r2 : = =
18 27 n

Jo l

180) Hallar la posición relativa de las rectas siguientes según los valores que tome el parámetro h.
x – 20 y + 10 z + 8
r1 : –7x – 9y + 50 = 0 , r2 : = =

ley
7z + 56 = 0 9 h 0

181) Estudiar la posición relativa de las siguientes rectas en función del parámetro a y calcular (si es
x = 11 – 7 x – 13 y – 14 z – a

'
r1 : y = 4 – 3 , r2 : = =
–8 –8 –8

sA
z = 15 – 8

182) Determinar la posición relativa de las dos siguientes rectas según los valores del parámetro r.
x + 3 y – 6 z – 10
r1 : (x, y, z) = (11; –5; 7) +  (5; –2; –3), r2 : = =
10 –4 r

r1 : =
y
=
z–9
, r2 :
cad
183) Hallar la posición relativa de las rectas siguientes según los valores que tome el parámetro n.
x–5 x + 7 y – 9 z + 12
= =
4 –3 7 12 n 21

emi
x–2 y–7 z–n
r1 : 7y + 9z – 40 = 0 , r2 : = =
7x – z + 48 = 0 9 0 –4

185) Determinar la posición relativa de las dos siguientes rectas según los valores del parámetro h.
a
x–4 y+1 z–3 x + 9 y – 10 z + 4
r1 : = = , r2 : = =
–5 4 –5 –5 4 h

186) Hallar la posición relativa de las rectas siguientes según los valores que tome el parámetro h.
x – 1 y – 12 z x + 1 y – 10 z + 6
r1 : = = , r2 : = =
1 1 3 1 h 3

187) Estudiar la posición relativa de las siguientes rectas en función del parámetro p y calcular (si es
x – 2 y – 17 z – p
r1 : (x, y, z) = (3; –4; –9) +  (1; –7; –8), r2 : = =
0 7 –1

188) Determinar la posición relativa de las dos siguientes rectas según los valores del parámetro n.
x – 10 y – 6 z – 4 x y – 2 z – 12
r1 : = = , r2 : = =
6 –1 1 –6 1 n

Jo l

189) Hallar la posición relativa de las rectas siguientes según los valores que tome el parámetro r.
x–1 y–5 z–4 x+5 y–6 z–4
r1 : = = , r2 : = =

ley
–6 1 0 –18 r 0

' sA
cad
emi
a

Jo l

Soluciones:
1) 2x – y – 10 = 0

ley
2) 11 x – 6y – 114 = 0
3) 9x – 5y – 154 = 0
x – 17 y – 4 –x 145
4) = , x + 32y – 145 = 0, y= +
–32 1 32 32
160 157
5)

'
157

sA
–16
6) a) 26x + 15y – 76 = 0, b) 22x + 39y + 76 = 0, c) Baric. 6;
3
7) x + 6 = 0, 14
83 85
8)
85
9) 14° 13' 33,47" cad
x = 10 – 13 , x – 10 y – 12
10) (x, y) = (10; 12) +  (–13; 4), =
y = 12 + 4 –13 4
–4x 196
4x + 13y – 196 = 0, y= +
13 13
emi
203
11) a) a: 16x + 17y – 158 = 0, b: 27x + 16y – 89 = 0, c: 11x – y – 134 = 0, b)
2
12) 2x – y – 16 = 0
13) 6x – 5y – 102 = 0
14) 14 x – 11y + 55 = 0
x + 12 y – 3
= , x + y + 9 = 0, y = –x – 9
a
15)
14 –14
2775
16) q1 = ; q2 = –15
143
17) Rectas paralelas
9 52
18) a) r = b) r = –36 c) r =
4 9
19) q = –8
20) p1 = –17; p2 = 3
–268
21) q= ; 20x + 9y + 48 = 0
9
64
22) k= ; m = –182
11
–235 9
23) ;
64 64
24) (2; 1); 58° 27' 54,75"
11
25) m1 = ; m2 = 3
15
26) Rectas paralelas

Jo l

40 –15 –21
27) a) m = b) m = c) m =
3 2 5

ley
28) h1 = –8 tangente en (0; –8); h2 = 4 tangente en (0; 4)
29) (11; 0); r = 10 ; (x – 11)2 + y2 = 10; x2 + y2 – 22 x + 111 = 0
30) (–2; –1); r = 34 ; (x + 2)2 + (y + 1)2 = 34; x2 + y2 + 4 x + 2 y – 29 = 0
31) (–9; 3); (–1; 13)
32) P exterior; Q interior

'
33) 3x – 4y – 104 = 0

sA
34) x2 + (y – 1)2 = 100; x2 + y2 – 2 y – 99 = 0
35) (8; –7); r = 40
36) b) Secante en (–5; 7) y (1; –1); c) Exterior; a) Tangente en (–7; –7)
37) k1 = 46 tangente en (–7; 6); k2 = –54 tangente en (9; –6)
38) (–2; 6); r = 50 ; (x + 2)2 + (y – 6)2 = 50; x2 + y2 + 4 x – 12 y – 10 = 0
39)
40)
41)
(6; –5); (8; –13)
P exterior; Q interior
cad
(–10; 4); r = 5; (x + 10)2 + (y – 4)2 = 25; x2 + y2 + 20 x – 8 y + 91 = 0

42) 11x + 3y + 347 = 0
43) (x + 4)2 + (y – 12)2 = 52; x2 + y2 + 8 x – 24 y + 108 = 0
emi
44) a) (–4; 7) b) (–13; 7), (5; 7), (–4; –8), (–4; 22)
(x + 4)2 (y – 7)2
c) + =1 d) 9, 15
81 225
45) a) 8, 17 b) F ' (0; –15), F(0; 15) c) (0; 0)
15
d) (–8; 0), (8; 0), (0; –17), (0; 17) e)
17
a
x 2 y 2 5
46) a) F ' (–5; 0), F(5; 0) b) + =1 c)
169 144 13
47) a) F ' (–3; 7), F(11; 7) b) (–21; 7), (4; –17)
(x – 4)2 (y – 7)2 7
c) + =1 d)
625 576 25
48) a) 12, 15 b) F ' (0; –9), F(0; 9) c) (0; 0)
3
d) (–12; 0), (12; 0), (0; –15), (0; 15) e)
5
49) a) (–5; 4) b) (–30; 4), (20; 4), (–5; –20), (–5; 28)
(x + 5)2 (y – 4)2 7
c) + =1 d)
625 576 25
50) a) 30, 24 b) F ' (–20; –8), F(16; –8) c) (–2; –8)
3
d) (–32; –8), (28; –8), (–2; –32), (–2; 16) e)
5
x 2 y2 12
51) a) (0; 0) b) (–10; 0), (0; –26), (0; 26) c) + =1 d)
100 676 13~

Jo l

52) a) 12, 13 b) F ' (2; 0), F(2; 10) c) (2; 5)
5
(–10; 5), (14; 5), (2; –8), (2; 18)

ley
d) e)
13
53) a) (–1; 1) b) (–30; 1), (28; 1), (–1; –19), (–1; 21)
(x + 1)2 (y – 1)2
c) + =1 d) 29, 20
841 400
54) a) 20, 12 b) F ' (–16; 0), F(16; 0) c) (0; 0)

'
4
(–20; 0), (20; 0), (0; –12), (0; 12)

sA
d) e)
5
x 2 y 2 3
55) a) F ' (–12; 0), F(12; 0) b) + =1 c)
400 256 5
56) a) F ' (3; –1), F(3; 19) b) (–21; 9), (3; –17)
(x – 3)2 (y – 9)2 5
c) + =1 d)
576 676 13
57) a)

d)
24, 26 b) F ' (0; –10), F(0; 10)

(–24; 0), (24; 0), (0; –26), (0; 26)
cad c) (0; 0)

e)
5
13
58) a) 12 b) F ' (–4; –19), F(–4; 11) c) (–4; –4)
5
emi
d) (–4; –16), (–4; 8) e)
4
(y + 3)2 (x – 6)2
59) a) (6; –3) b) (6; –10), (6; 4) c) – = 1 d) 7
49 576
60) a) 8 b) F ' (0; –10), F(0; 10) c) (0; 0)
5 4
d) (0; –8), (0; 8) e) f) y = ± x
4 3
a
y 2 x2 5
61) a) F ' (0; –15), F(0; 15) b) – =1 c)
81 144 3
(y + 6)2 (x + 3)2
62) a) (–3; –6) b) F ' (–3; –16), F(–3; 4) c) – =1
36 64
63) a) 24 b) F ' (0; –25), F(0; 25) c) (0; 0)
25 24
d) (0; –24), (0; 24) e) f) y = ± x
24 7
(y – 1)2 (x + 5)2 13
64) a) (–5; 1) b) (–5; –9), (–5; 11) c) – =1 d)
100 576 5
65) a) 21 b) F ' (6; –33), F(6; 25) c) (6; –4)
29
d) (6; –25), (6; 17) e)
21
y2 x2 13 12
66) a) (0; 0) b) (0; –12) c) – = 1 d) e) y = ± x
144 25 12 5
67) a) 12 b) F ' (–8; –8), F(–8; 18) c) (–8; 5)
13
d) (–8; –7), (–8; 17) e)
12

Jo l

(y – 5)2 (x + 1)2
68) a) (–1; 5) b) (–1; –5), (–1; 15) c) – = 1 d) 10
100 576

ley
69) a) 6 b) F ' (0; –10), F(0; 10) c) (0; 0)
5 3
d) (0; –6), (0; 6) e) f) y = ± x
3 4
y 2 x2 25
70) a) F ' (0; –25), F(0; 25) b) – =1 c)
49 576 7
(y – 4) 2 (x – 4)2

'
71) a) (4; 4) b) F ' (4; –6), F(4; 14) c) – =1

sA
64 36
72) a) 12 b) F ' (0; –20), F(0; 20) c) (0; 0)
5 3
d) (0; –12), (0; 12) e) f) y = ± x
3 4
(y – 6)2 (x + 4)2 5
73) a) (–4; 6) b) (–4; –10), (–4; 22) c) – =1 d)
256 144 4
74) a) 15 b) F ' (–8; –21), F(–8; 13)

d) (–8; –19), (–8; 11) e)
17
cad c) (–8; –4)

15
75) a) F(0; –6) b) x = – 24 y
2

76) a) F(8; 15) b) V(8; 6) c) y = –3
emi
77) a) y = 1 b) (x – 2)2 = – 12 (y + 2)
78) a) F(0; –4) b) V(0; 0) c) y = 4
79) a) F(0; 3) b) V(0; 0) c) y = –3
80) a) V(0; 0) b) y2 = 24 x
81) a) F(–2; 4) b) V(–2; 6) c) y = 8
a
82) a) F(0; 8) b) x2 = 32 y
83) a) F(2; 4) b) V(2; 5) c) y = 6
84) a) x = 7 b) (y + 3)2 = – 16 (x – 3)
85) a) F(0; 4) b) V(0; 0) c) y = –4
86) a) F(–6; 0) b) V(0; 0) c) x = 6
87) a) V(0; 0) b) x2 = – 20 y
88) a) F(–6; –5) b) V(–6; 4) c) y = 13
89) 19 x – 17y + 2z – 18 = 0
90) 3x + 2y – 4z – 27 = 0
91) 3x – y – 4z – 38 = 0
92) 4x + 9y + 3z + 24 = 0
93) 2x – 13y – z – 44 = 0
94) 16 x + 8y – 9z – 79 = 0
95) 3x + y – 10z + 70 = 0
96) 2x – y – 4z + 21 = 0
97) 12 x – 7y – 5z – 3 = 0
98) 5x – 6y – 3z + 20 = 0
99) 3x – 4z – 26 = 0
100) 5x – 4y + 5z + 11 = 0

Jo l

101) 7x – 7y – 5z – 56 = 0
x – 8 y + 1 z – 11
102) = =

ley
2 1 9
x–5 y–1 z+2
103) = =
7 –2 –1
x+7 y–5 z+8
104) = =
6 –7 9
x–1 y–6 z+1

'
105) = =

sA
0 0 –1
x+5 y+1 z+2
106) = =
5 4 1
x–4 y+8 z–6
107) = =
1 0 3
x–4 y+6 z+4
108) = =

109)
–1

–5
x
=
–3
1
y+4 z+3
=
1
3 cad
x–7 y–8 z–7
110) = =
7 –6 0
emi
x y+4 z
111) = =
2 –4 5
x – 11 y + 5 z
112) = =
2 4 –1
x+7 y–8 z–1
113) = =
–1 –2 3
a
x+4 y–4 z–2
114) = =
–6 1 2
x+2 y–2 z–4
115) = =
0 1 1
7
116) m1 = –7, m2 =
3
117) n=3
118) m = –18
119) k = –30
–55
120) n1 = –9, n2 =
3
121) r = –1
122) n = –8
123) a = –30
192
124) m1 = –6, m2 =
7
125) n = –8
126) q = –9
127) m = –10

Jo l

128) k1 = –3, k2 = 15
129) p=7

ley
130) Secantes en el punto P (4, 6, –2)
131) Recta paralela al plano
132) Recta contenida en el plano
133) Secantes en el punto P (2, –4, 4)
Recta contenida en el plano

'
135)

sA
136) Secantes en el punto P (1, 0, –3)
139) Secantes en el punto P (2, –1, 0)
142)
143)
Secantes en el punto P (–1, –2, –4)
Recta contenida en el plano si q = 3.
cad
Secantes en el punto P (0, –3, –6) si q  3
144) Rect a paralela al plano si a = –13. Secantes en un punto si a  –13.
Para a = 5 secantes en el punto P (–5, 9, –5)
emi
145) Recta contenida en el plano si k = –12.
Secantes en el punto P (3, 0, –5) si k  –12
146) Rect a paralela al plano si m = –5. Secantes en un punto si m  –5.
Para m = –2 secantes en el punto P (–1, 4, 1)
147) Recta contenida en el plano si n = –5.
Secantes en el punto P (–4, 3, 0) si n  –5
a
148) Rect a paralela al plano si p = 1. Secantes en un punto si p  1.
Para p = 8 secantes en el punto P (–9, 3, 4)
149) Recta contenida en el plano si q = 8.
Secantes en el punto P (0, 2, 0) si q  8
150) Rect a paralela al plano si a = 7. Secantes en un punto si a  7.
Para a = 4 secantes en el punto P (–2, –1, 2)
151) Recta contenida en el plano si k = 0.
Secantes en el punto P (5, 7, 0) si k  0
Para m = 11 secantes en el punto P (–1, –3, –4)
153) Recta contenida en el plano si n = –14.
Secantes en el punto P (–5, 7, 0) si n  –14
154) Rect a paralela al plano si p = 4. Secantes en un punto si p  4.
Para p = 0 secantes en el punto P (2, 1, –2)
155) Recta contenida en el plano si q = 7.
Secantes en el punto P (6, –2, 0) si q  7
156) Rect a paralela al plano si a = 12. Secantes en un punto si a  12.
Para a = 0 secantes en el punto P (3, –1, –8)

G

Jo l

157) Recta contenida en el plano si k = –3.
Secantes en el punto P (–8, –3, 0) si k  –3

ley
Para m = 1 secantes en el punto P (–7, –5, –4)
159) Se cruzan en el espacio
160) C oincidentes
161) Paralelas
Secantes (incidentes) en el punto P (8; –3; –3)

'
162)

sA
164) C oincidentes
165) Paralelas
166) Secantes (incidentes) en el punto P (8; –1; 10)
168) C oincidentes
169)
170)
Paralelas cad
Secantes (incidentes) en el punto P (2; 7; 9)
Se cortan (secantes) si w  –4. Coincidentes si w = –4.
171)
172) Se cruzan si n  –5. Se cortan en P (4; 4; –9) si n = –5.
173) Se cruzan en el espacio si p  7. Paralelas si p = 7.
emi
174) Se cortan (secantes) si p  1. Coincidentes si p = 1.
175) Se cruzan si p  –12. Se cortan en P (–8; 0; –8) si p = –12.
176) Se cruzan en el espacio si q  0. Paralelas si q = 0.
177) Se cortan (secantes) si n  7. Coincidentes si n = 7.
178) Se cruzan si n  –12. Se cortan en P (–5; 11; –4) si n = –12.
179) Se cruzan en el espacio si n  21. Paralelas si n = 21.
a
180) Se cortan (secantes) si h  –7. Coincidentes si h = –7.
181) Se cruzan si a  15. Se cortan en P (–3; –2; –1) si a = 15.
182) Se cruzan en el espacio si r  –6. Paralelas si r = –6.
183) Se cortan (secantes) si n  –9. Coincidentes si n = –9.
184) Se cruzan si n  –5. Se cortan en P (–7; 7; –1) si n = –5.
185) Se cruzan en el espacio si h  –5. Paralelas si h = –5.
186) Se cortan (secantes) si h  1. Coincidentes si h = 1.
187) Se cruzan si p  –3. Se cortan en P (2; 3; –1) si p = –3.
188) Se cruzan en el espacio si n  –1. Paralelas si n = –1.
189) Se cortan (secantes) si r  3. Coincidentes si r = 3.

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