Problemas Comunicaciones ll
- 1. PTIV: Problemas Tema IV (Comunicaciones digitales) 1 1) Se desea transmitir un mensaje de 100 caracteres alfanuméricos en 2 segundos. Los caracteres se codifican con ASCII de 7 bits, más un bit de paridad. El sistema de transmisión empleado utiliza un alfabeto de M=16 símbolos. Determinar el número de símbolos en el mensaje, la velocidad de símbolo y la velocidad binaria. Si ahora se utiliza un alfabeto de M=64 símbolos, ¿qué cambia?. 2) Se considera un sistema de transmisión digital basado en el conjunto de señales {sm(t)}m=1,..,4 de la figura. a) Indicar para que valor de c constituye ψ1, ψ2 un sistema ortonormal. b) Hallar el desarrollo de las señales respecto del sistema ortonormal (obsérvese que puede hacerse de forma gráfica) c) Calcule la relación entre a y b para que el conjunto de señales formen una constelación cuadrada tipo 4-QAM. 3) Una fuente binaria entrega un uno o un cero con probabilidades respectivas p0=p1=1/2 cada T=10-3 seg. El símbolo “1” se transmite enviando una tensión de 1V. El símbolo “0” se codifica con la ausencia de señal (= 0V). En el camino se suma un ruido blanco gaussiano. El receptor consta de un filtro paso-bajo de ancho de banda suficientemente grande para no distorsionar la señal de información y limitar la potencia de ruido a Pno=0.52 W. Si después del filtro sólo se toma una muestra de la señal recibida: a) Diseñar la regla óptima de decisión. b) Determinar la Pe.
- 2. PTIV: Problemas Tema IV (Comunicaciones digitales) 2 4) Un sistema de comunicaciones puede transmitir dos símbolos (“0” y “1”) enviando la señal correspondientes. Por el camino se añade ruido y finalmente se muestrea obteniendo una cantidad z en el receptor. z es una variable aleatoria, cuya fdp es la siguiente, dependiendo de que se haya enviado un “1” o un “0”: 2(1 ), 0 1 1 , 0 2 ( | "0") , ( | "1") 2 0, 0, z z z z f z tx f z tx resto resto ⎧ − ≤ ≤ − ≤ ≤ ⎧ ⎪ = = ⎨ ⎨ ⎩ ⎪ ⎩ En recepción se hace la decisión comparando con un umbral γ. a) Determinar las probabilidades P(dec “0”|tx “1”) y P(dec “1”|tx “0”) b) Suponiendo que los símbolos son equiprobables p0=p1=1/2, hallar el umbral óptimo y la Pe c) Hacer lo mismo suponiendo p0=2/3 y p1=1/3. 5) Una transmisión digital en banda base utiliza un código Manchester (ver transp. 11 tema III.1). Suponiendo que el canal añade ruido blanco gaussiano con densidad espectral de potencia η, diseñe el receptor óptimo y calcule la potencia de señal transmitida si la Pe debe ser inferior a 10-6 (utilizar curvas de la transp. 8 tema III.1). Datos: La atenuación del canal es 30 dB, la d.e.p. es η=10-8 W/Hz y el caudal de información es Rb=48kbps. 6) Se considera un sistema de transmisión digital formado por las señales de la figura, con T=1. a) Hallar una base ortonormal del subespacio de señal mediante el algoritmo de Gram-Schmidt b) Hallar las coordenadas de cada señal de la constelación respecto de la base c) Diseñar un receptor óptimo para este sistema d) Si la componente de señal recibida r(t) es la de la figura, hallar su proyección sobre el espacio de señal y la parte ortogonal a él. e) ¿Qué señal decidirá el receptor qué se ha mandado? ¿Qué vector de ruido ha supuesto el receptor que se ha producido?
- 3. PTIV: Problemas Tema IV (Comunicaciones digitales) 3 7) Sean las constelaciones de las figuras 1,2,3 y 4. a) Si el valor de A en todos los casos es igual, ¿que constelación tendrá mejor comportamiento frente al ruido, la 3 o la 4?. b) Determinar el valor de A en cada una de ellas para que la potencia media sea igual en todas a Ps. c) De entre todas ellas, ¿cual tiene mejor comportamiento en canales con problemas de no-linealidades y/o desvanecimientos? 8) Un sistema transmite señales cada periodo T con M amplitudes diferentes Am=A(2m- 1-M), proporcionales a un pulso de la forma g(t)= e-at , 0≤t≤T, a>0. El ruido del sistema se puede modelar como una fuente de ruido blanco y gaussiano de densidad espectral η a la entrada del receptor. Entre el emisor y el receptor hay un canal de ancho de banda ilimitado cuyo efecto es una atenuación de 50dB. a) Escribir las señales del código de línea, determinar una base del subespacio de señal y representar la constelación b) Diseñar un receptor óptimo para este sistema, indicando los instantes de muestreo y la regla de decisión. Suponga a partir de ahora que M=2. c) Calcular la Probabilidad de error teórica de este sistema para el caso de M=2 señales. d) Si en el receptor llega una potencia de 10 mW, η=10-8 W/Hz y se quiere diseñar el sistema para tener una PE=10-5 , ¿que régimen binario máximo Rbmax puede haber en el sistema?. e) Si la potencia del receptor está atenuada 30 dB respecto de la del emisor, ¿Si se escoge a como el inverso de periodo de símbolo, cuánto vale A?. f) Si el sistema se cambia y ahora se transmiten los pulsos con dos amplitudes 0 y A’, para la misma potencia de 10 mW en el receptor, ¿podría mejorar el régimen binario máximo?, ¿cuánto?¿cambiaría el valor de A’? g) Si se trasmitieran M=8 señales, ¿cual sería Rbmax? (utilizar las curvas de la transp. 18 del tema III.4).
- 4. PTIV: Problemas Tema IV (Comunicaciones digitales) 4 9) Se muestrea con la frecuencia de muestrea fs mínima posible una señal de 4 KHz de ancho de banda. Las muestras se cuantifican con 256 niveles que se transmiten por un sistema de modulación digital. La modulación puede ser 2-ASK, QPSK ó 64 QAM. a) Indicar, para cada una de ellas la mínima anchura de banda necesaria para transmitir sin IES. b) ¿Qué modulación elegiría en el caso de que sólo se dispusieran de 25KHz de ancho de banda de canal y hubiese un amplificador fuertemente no lineal? c) Si se utilizara FSK, cual debería ser la separación entre portadoras? ¿Qué ancho de banda se requeriría para M=2? 10) En un sistema de transmisión digital a través de un canal paso-bajo de ancho de banda Wc se utiliza una modulación digital PAM en banda base. Se conoce la forma del espectro X(f)=G(f)Hc(f)Hr(f) del pulso básico a la salida del filtro del receptor, que debido al ancho de banda limitado del canal es cero para frecuencias mayores que |f|>Wx=Wc (Wx es el ancho de banda del espectro X(f)). a) Para cada uno de los casos de la figura, indicar cual es la máxima velocidad de símbolo posible que puede utilizarse en el sistema sin que haya Interferencia entre símbolos (IES). b) ¿Si la única restricción del sistema fuera la IES, cuál será la máxima velocidad binaria que se puede transmitir por el canal? ¿Existiría alguna otra limitación?.