Problemas de Algebra Pre-Universitaria Ccesa007.pdf

ÁLGEBRA MANUAL DE PREPARACIÓN PRE-UNIVERSITARIA
IDEA, DISEÑO Y REALIZACIÓN
Departamento de Creación Editorial de Lexus Editores
© LEXUS EDITORES S.A.
Av. Del Ejército 305 Miraflores, Lima-Perú
www.lexuseditores.com
Primera edición, febrero 2008
Hecho el Depósito Legal en la Biblioteca
Nacional del Perú: 2008-01600
ISBN: 978-9972-209-44-4
EDICIÓN 2008

PRESENT
PRESENTACIÓN
ACIÓN
Si usted, estimado lector, considera que la matemática es una de las materias
de mayor complejidad en los planes de estudio escolar, pre-universitario y
superior, o desea profundizar y repasar temas y ejercicios que le permitirán el
dominio progresivo y la maestría avanzada en el tema, ha abierto el libro apro-
piado.
Desde siempre Lexus Editores ha desarrollado recursos metodológicos ten-
dientes a mejorar la articulación teórica y práctica entre el nivel secundario y
la universidad. Esta vez, ha deseado crear un manual educativo que sirva
como herramienta de auto-evaluación para los alumnos que se encuentran en
etapa pre-universitaria. De esta manera, ellos mismos serán capaces de juzgar
sus capacidades con vista a iniciar sus estudios superiores.
Se ha tenido el especial cuidado de seleccionar un grupo altamente calificado
para la redacción de esta obra, conformado por estudiantes universitarios y
docentes especializados, a fin de lograr un manual de preparación pre-univer-
sitaria en Álgebra en la que se destaca el desarrollo de complejos ejercicios,
usando métodos apropiados, fáciles y amigables.
Este manual conduce al lector de una manera didáctica a lo largo de la asigna-
tura, pasando de lo más sencillo a lo más complejo, con numerosos ejercicios
resueltos y propuestos, brindándole de esta manera una base muy sólida para
que destaque durante su paso por las aulas universitarias, al ostentar adecua-
do conocimiento y dominio de la materia.
Un DVD, producido con la más alta tecnología digital e infográfica, acompaña
esta obra, para demostrar al estudiante que lo dificultoso puede verse siempre
en términos entendibles y amenos. Es prácticamente como tener un profesor
en casa a tiempo completo.
Los Editores

Conceptos Fundamentales … … … … … … … … … … … … … … … 13
Expresión algebraica / Clasificación de las expresiones algebraicas … … … … … … … … … 13
Término algebraico … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … 14
Teoría de exponentes … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … 14
Potenciación … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … 15
Leyes que rigen a los exponentes … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … 15
Multiplicación de potencias de bases iguales … … … … … … … … … … … … … … … … 15
División de potencias de bases iguales / Exponente cero … … … … … … … … … … … … … 15
Exponente negativo / Potencia de un producto / Potencia de un cociente … … … … … … … 15
Potencia negativa de un cociente / Potencia de potencia / Raíz de una potencia … … … … … 16
Raíz de un producto … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … 17
Leyes de los signos en las operaciones algebraicas … … … … … … … … … … … … … … … 17
Multiplicación / División … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … 17
Potenciación / Radicación … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … 18
Ejercicios Resueltos … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … 18
Ejercicios Propuestos … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … 25
Ecuaciones exponenciales … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … 26
Solución de una ecuación exponencial … … … … … … … … … … … … … … … … … … 26
Valor numérico de las expresiones algebraicas … … … … … … … … … … … … … … … … 31
Grado de las Expresiones Algebraicas … … … … … … … … … … … 39
Grado … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … 39
Grado de un monomio / Grado de un polinomio … … … … … … … … … … … … … … … 39
Notación Polinómica … … … … … … … … … … … … … … … … … … 50
Polinomio … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … 50
Valor numérico de un polinomio … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … 50
Cambio de variable en un polinomio … … … … … … … … … … … … … … … … … … … 50
Ejercicios Resueltos … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … 51
SUMARIO
SUMARIO
Pag.

Polinomios Especiales … … … … … … … … … … … … … … … … … 59
Polinomio ordenado / polinomio completo … … … … … … … … … … … … … … … … … 59
Polinomio homogéneo … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … 59
Polinomios idéntico / Polinomio idénticamente nulos … … … … … … … … … … … … … 60
Polinomio entero en “x” … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … 60
Expresiones Algebraicas … … … … … … … … … … … … … … … … 70
Suma y resta … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … 70
Supresión de signos de colección / Introducción de signos de colección … … … … … … … 70
Multipicación de expresiones algebraicas … … … … … … … … … … … … … … … … … … 74
Propiedades de la multiplicación … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … 74
Casos que se presentan en la multiplicación … … … … … … … … … … … … … … … … 76
Productos notables … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … 76
Valor numérico de una expresión algebraica … … … … … … … … … … … … … … … … 82
División algebraica / Definición … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … 90
Propiedades de la división / Casos de la división … … … … … … … … … … … … … … … 90
Método normal … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … 90
Método de coeficientes separados / Método de Horner … … … … … … … … … … … … … 91
Regla de Ruffini … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … 99
Teorema del resto o de Descartes … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … 105
Regla práctica para hallar el resto … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … 105
Divisibilidad Algebraica … … … … … … … … … … … … … … … … 115
Principios de la divisibilidad algebraica … … … … … … … … … … … … … … … … … … 115

Cocientes Notables … … … … … … … … … … … … … … … … … … 126
Definición … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … 126
Forma general de los coeficientes notables … … … … … … … … … … … … … … … … … 126
Estudio del primer caso / Estudio del segundo caso … … … … … … … … … … … … … … 126
Estudio del tercer caso / Estudio del cuarto caso … … … … … … … … … … … … … … … 127
Desarrollo del cociente notable … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … 127
Reglas prácticas para escribir el desarrollo de cualquier cociente notable … … … … … … … 127
Determinación de un término cualquiera de un cociente notable … … … … … … … … … … 128
Factorización … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … 136
Definición / Método para factorizar … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … 136
Factor común / Factor común monomio / Factor común polinomio … … … … … … … … … … 136
Factor común por agrupación … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … 136
Método de identidades … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … 139
Diferencia de cuadrados … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … 139
Trinomio cuadrado perfecto … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … 139
Suma o diferencia de cubos … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … 139
Método del aspa … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … 142
Aspa simple … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … 142
Aspa doble … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … 143
Aspa doble especial … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … 146
Método de divisores binomios … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … 149
Finalidad / Divisor binomio … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … 149
Fundamento teórico … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … 149
Ceros de un polinomio … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … 149
Determinación de los posibles ceros de un polinomio … … … … … … … … … … … … … … 149
Formas de factorización … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … 149
Método de artificios de cálculo … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … 152
Reducción a diferencia de cuadrados … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … 152

Métodos de sumas y restas … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … 153
Cambio variable … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … 155
Factorización recíproca … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … 157
Polinomio recíproco … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … 157
Procedimiento para factorizar un polinomio reciproco … … … … … … … … … … … … … … 157
Ejercicicios Resueltos … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … 157
Factorización simétrica y alternada … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … 159
Polinomio simétrico … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … 159
Representación de expresiones simétricas … … … … … … … … … … … … … … … … … … 159
Propiedad fundamental de un polinomio simétrico … … … … … … … … … … … … … … … 160
Polinomio alterno … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … 160
Propiedades fundamentales de un polinomio alterno … … … … … … … … … … … … … … … 160
Propiedades de los polinomios simétricos y alternos … … … … … … … … … … … … … … … 160
Factorización de un polinomio simétrico y alternos … … … … … … … … … … … … … … 160
Otros artificios … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … 163
Ejercicios Propuestos … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … 164
Máximo Común Divisor y Mínimo Común Múltiplo … … … … … 169
Máximo común divisor … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … 169
Mínimo común múltiplo … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … 169
Fracciones Algebraicas … … … … … … … … … … … … … … … … … 173
Principales conceptos / Definición … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … 173
Signos de una fracción … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … 173
Cambios de signo en una fracción … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … 173
Simplificación de fracciones … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … 174
Operaciones con fracciones algebraicas … … … … … … … … … … … … … … … … … … 175
Suma y resta … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … 175
Multiplicación y división … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … 176
Introducción el Binomio de Newton … … … … … … … … … … … … 183
Factorial de un número … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … 183
Propiedades de los factoriales … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … 183

Variaciones / Permutaciones / Combinaciones … … … … … … … … … … … … … … … … 185
Propiedades de las combinaciones … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … 186
Desarrollo del binomio de Newton / Método de inducción … … … … … … … … … … … … 190
Fórmula del término general … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … 191
Término central … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … 194
Triángulo de Pascal o de Tartaglia … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … 196
Desarrollo del binomio de Newton con exponente negativo y/o fraccionario … … … … … … 200
Propiedades del desarrollo del binomio … … … … … … … … … … … … … … … … … … 200
Radicación … … … … … … … … … … … … … … … … … … 206
Elementos de una raíz / Signo de las raíces … … … … … … … … … … … … … … … … … 206
Raíz de un monomio … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … 206
Raíz cuadrada de un polinomio / Regla práctica … … … … … … … … … … … … … … … … 207
Raíz cuadrada por el método de coeficientes indeterminados … … … … … … … … … … … 207
Raíz cúbica de polinomios / Regla práctica general … … … … … … … … … … … … … … 208
Raíces dobles / Concepto … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … 212
Transformación de radicales dobles en radicales simples o sencillos … … … … … … … … … 212
Descomposición de radicales múltiples en simples … … … … … … … … … … … … … … … 219
Operaciones con Raíces … … … … … … … … … … … … … … … … 227
Principales conceptos … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … 227
Valor Aritmético de un radical / Valor algebraico de un radical … … … … … … … … … … 227
Radicales homogéneos / Homogenización de radicales … … … … … … … … … … … … … 227
Radicales semejantes / Teorema fundamental de los radicales … … … … … … … … … … … 227
Suma de radicales / Multiplicación de radicales … … … … … … … … … … … … … … … 228
Potencia de radicales / Raíz de radicales … … … … … … … … … … … … … … … … … … 228
Racionalización … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … 234
Fracción irracional / Factor racionalizante … … … … … … … … … … … … … … … … … 234
Casos … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … 235

Primer caso / Ejercicios Resueltos … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … 235
Segundo caso / Ejercicios Resueltos … … … … … … … … … … … … … … … … … … … 235
Tercer caso / Ejercicios Resueltos … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … 237
Cuarto Caso / Ejercicios Resueltos … … … … … … … … … … … … … … … … … … … 238
Verdadero Valor de Fracciones Algebraicas … … … … … … … … … 243
Formas singulares o determinadas … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … 243
Formas indeterminadas … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … 243
Verdadero valor / Cálculo del verdadero valor … … … … … … … … … … … … … … … … 243
Forma 0/0 … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … 243
Forma ∞/∞ / Ejercicios Resueltos … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … 247
Forma ∞ - ∞ / Ejercicios Resueltos … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … 249
Forma 0 . ∞ / Ejercicios Resueltos … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … 251
Cantidades Imaginarias y Números Complejos … … … … … … … 255
Cantidades imaginarias / Definición … … … … … … … … … … … … … … … … … … … 255
Unidad imaginaria, Potencias de la unidad imaginaria … … … … … … … … … … … … … 255
Transformación de la potencia im donde “m” es entero y positivo … … … … … … … … … … 255
Números complejos, Definición … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … 264
Clase de números complejos / Complejo real / Complejo puro … … … … … … … … … … … 264
Complejo nulo / Complejos iguales … … … … … … … … … … … … … … … … … … … 264
Complejos conjugados / Complejos opuestos … … … … … … … … … … … … … … … … 264
Representación gráfica de un complejo … … … … … … … … … … … … … … … … … … 264
Representación cartesiana / Representación polar o trigonométrica … … … … … … … … … 264
Operaciones con complejos / Suma de complejos … … … … … … … … … … … … … … … 265
Multiplicación de complejos / Propiedades … … … … … … … … … … … … … … … … … 265
División de complejos … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … 265
Potencia de un complejo / Propiedades … … … … … … … … … … … … … … … … … … 266
Raíz de un complejo … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … 266
Raíces cúbicas de la unidad … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … 269
Propiedades / Ejercicios Resueltos … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … 269

Ecuaciones … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … 277
Principales conceptos / Igualdad / Ecuaciones equivalentes … … … … … … … … … … … … 277
Clases de Igualdades / Igualdad absoluta / Igualdad relativa o ecuación … … … … … … … … 277
Clasificación de las ecuaciones … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … 277
Principios fundamentales que permiten transformar las escuaciones … … … … … … … … 277
Ecuaciones de primer grado con una incógnita / Discución de la solución … … … … … … … 278
Problemas Resueltos … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … 282
Sistema de ecuaciones … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … 290
Sistema de ecuaciones lineales / Sistemas equivalentes … … … … … … … … … … … … … 290
Solución del sistema … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … 290
Clasificación de los sistemas de ecuaciones … … … … … … … … … … … … … … … … … 290
Principios fundamentales para la trasformación de sistema de ecuaciones … … … … … … … 290
Métodos de eliminación y resolución / Método de sustitución … … … … … … … … … … 290
Método de igualación / Método de reducción … … … … … … … … … … … … … … … … 291
Problemas Resueltos … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … 298
Determinantes … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … 307
Definición … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … 307
Signos de un elemento … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … 307
Determinante de un segundo orden … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … 307
Valor determinante de segundo orden … … … … … … … … … … … … … … … … … … … 308
Determinante de tercer orden … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … 308
Regla de Sarrus … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … 308
Forma práctica de la regla de Sarrus … … … … … … … … … … … … … … … … … … … 309
Menor complementario de un determinante … … … … … … … … … … … … … … … … … 309
Desarrollo de un determinante por menores complementarios … … … … … … … … … … … 310
Propiedades de los determinantes … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … 310
Método de los determinantes para hallar la solución de un sistema de ecuaciones … … … … 310
Regla de Cramer … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … 310
Discusión de la solución de los sistemas lineales / Ejercicios Resueltos … … … … … … … … 317
Ecuaciones de Segundo Grado … … … … … … … … … … … … … … … … 326
Resolución de una ecuación de segundo grado con una incógnita … … … … … … … … … … 326
Deducción de la fórmula general … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … 326

Discución de las raíces de la ecuación de segundo grado … … … … … … … … … … … … … 327
Propiedades de las raíces de una ecuación de segundo grado … … … … … … … … … … … 327
Forma de una ecuación de segundo grado conociendo raíces … … … … … … … … … . 327
Ecuaciones reductibles a cuadráticas / Ecuaciones bicuadradas … … … … … … … … … … 339
Propiedades de las raíces de una ecuación bicuadrada … … … … … … … … … … … … … … 339
Formación de una ecuación bicuadrada … … … … … … … … … … … … … … … … … … 339
Ecuaciones recíprocas … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … 340
Ecuaciones binomias y trinomias … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … 343
Ecuaciones que se resuelven mediante artificios / Ejercicios Resueltos … … … … … … … … 345
Sistema de ecuaciones de segundo grado / Ejercicios Resueltos … … … … … … … … … … 352
Sistemas diversos / Ejercicios Resueltos … … … … … … … … … … … … … … … … … … 356
Ecuaciones exponenciales … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … 358
Desigualdad e Inecuaciones … … … … … … … … … … … … … … … … 363
Desigualdades, definiciones importantes … … … … … … … … … … … … … … … … … … 363
Propiedades de las desigualdades … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … 363
Ejercicios sobre desigualdades … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … 364
Clases de desigualdades … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … 365
Inecuaciones de primer grado con una incógnita … … … … … … … … … … … … … … … 365
Solución a una inecuación … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … 366
Intervalo abierto / Intervalo cerrado … … … … … … … … … … … … … … … … … … … 366
Valor absoluto / Ejercicios Resueltos … … … … … … … … … … … … … … … … … … 366
Inecuaciones / Sistema de inecuaciones … … … … … … … … … … … … … … … … … … 367
Sistema de inecuaciones con una incógnita … … … … … … … … … … … … … … … … … 367
Sistemas de inecuaciones con dos o más incógnitas … … … … … … … … … … … … … … 367
Inecuaciones de segundo grado / Ejercicios Resueltos … … … … … … … … … … … … … … 370
Inecuaciones irracionales / Ejercicios Resueltos … … … … … … … … … … … … … … … … 372
Progresiones … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … 375
Progresión aritmética (P.A.) o “progresión por diferencia” / Propiedades … … … … … … … … 375
Medios aritméticos o diferenciales / Definición … … … … … … … … … … … … … … … … 375

Interpolación de medios aritméticos … … … … … … … … … … … … … … … … … … … 376
Progresión geométrica (P.G.) o “progresiones por cociente” … … … … … … … … … … … … 379
Representación de una progresión geométrica / Propiedades … … … … … … … … … … … … 379
Medios geométricos o proporcionales / Definición … … … … … … … … … … … … … … … 380
Interpolar medios geométricos entre dos números dados … … … … … … … … … . . … 380
Logaritmos … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … 388
Sistema de logaritmos … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … 389
Propiedades generales de los logaritmos … … … … … … … … … … … … … … … … … … 390
Cologaritmo / Antilogaritmo … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … 390
Cambio de un sistema de logaritmos a otro … … … … … … … … … … … … … … … … … 390
Logaritmos como progresiones / Definición … … … … … … … … … … … … … … … … … 396
Base del sistema de logaritmos definido por una P.G. una P.A. … … … … … … … … … … … 396
Sistema de logaritmos neperianos … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … 397
Sistema de logaritmos decimales / Vulgares o de Briggs … … … … … … … … … … … … … 398
Propiedades del sistema logaritmos … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … 398
Cálculo de la mantisa … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … 398
Transformar un logaritmo totalmente negativo en otro
parcialmente negativo y viceversa … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … 398
Cálculo logaritmico / Suma de logaritmos / Resta de logaritmos … … … … … … … … … … 399
Producto de logaritmos / Multiplicación y división de logaritmos entre si … … … … … … … 399
Conversión de logaritmos decimales a logaritmos neperianos … … … … … … … … … … … 400
Conversión de logaritmos neperianos a logaritmos decimales … … … … … … … … … … … 400
Interés Compuesto … … … … … … … … … … … … … … … … … … … 404
Principales conceptos / Deducción de la fórmula … … … … … … … … … … … … … … … 404
Caso en que el tiempo es múltiplo del período de capitalización … … … … … … … … … … 405
Anualidades, Definición … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … 405
Anualidad de capitalización (Ac) / Deducción de la fórmula … … … … … … … … … … … 405
Anualidad de amortización (Aa) / Deducción de la fórmula … … … … … … … … … … … … 406

Á L G E B R A
- 13 -
CONCEPTOS FUNDAMENT
CONCEPTOS FUNDAMENTALES
ALES
El álgebra es la parte de la matemática que estudia a
la cantidad en su forma más general obteniendo ge-
neralizaciones sobre el comportamiento operacional
de los números. Estudia de esta manera, funciones
numéricas; para lo cual se emplea números, letras y
signos de operación.
Como el estudio de una función conduce finalmente
al planteamiento de una ecuación o igualdad, se dice
también que el álgebra es la ciencia que estudia las
ecuaciones. Utiliza conceptos y leyes propias. Estos
son analizados a continuación:
EXPRESIÓN ALGEBRAICA
Es el conjunto de números y letras unidos entre sí
por los signos de operación de la suma, la resta, la
multiplicación, la división, la potenciación y la radi-
cación.(*)
Ejemplos:
Son expresiones algebraicas las siguientes:
i) x
ii) 4x
iii) 4x2
+ 5y2
+ 7z2
_________
iv) 3x5
+ 7 √ x2
- 5xy4
________________
3x2
y - 3xy7
No son expresiones algebraicas:
i) 5x
ii) loga
x
iii) sen x
Es necesario aclarar que todas las expresiones que
tienen números y letras son expresiones algebraicas;
a excepción de las últimas tres, que reciben el nom-
bre de funciones trascendentes y que son utilizadas
muy a menudo en el cálculo superior. Para una
mayor ilustración, indicaremos la definición de las
siguientes funciones trascendentes:
Función exponencial.- Representada por una base nu-
mérica y un exponente literal, como por ejemplo:
7x
(base = 7, exponente = x).
Función logarítmica.- Representada por el símbolo
“log.” y que se toma en una cierta base a un determi-
nado número. Ejemplo: logb
N y se lee logaritmo en
base b del número N.
Función trigonométrica.- Representada por las fun-
ciones seno, coseno, tangente y sus complementos
aplicados sobre un número real. Ejemplo: sen x, que
se lee: “seno de x”.
CLASIFICACIÓN DE LAS EXPRESIONES
ALGEBRAICAS
Según el tipo de número o variable de sus expo-
nentes, radicales o denominadores las expresiones al-
gebraicas pueden clasificarse en:
Enteras
Racionales
{Fraccionarias
Expresiones
{
Algebraicas
Irracionales
a) Expresión algebraica racional
Es aquella que se caracteriza porque tiene expo-
nentes enteros o no tiene letras en su cantidad su-
bradical (es decir, al interior de la raíz).
(*)Las letras son empleadas tanto para repre-
sentar valores conocidos o datos (en este
caso; por convención, se usa las primeras
letras del alfabeto) como valores desconoci-
dos (se usa las últimas letras del alfabeto).

- 14 -
α
α α
Ejemplos:
i) 4ax2
+ 5y3
+ 7z4
ii) 4x -7
+ 2y -3
+ 11z-7
1 1 1
iii) –– x4
+ –– x8
+ –– x4
3 5 3
x2
4z2
2z3
iv) –––– + –––– + ––––
3yz 7xy2
9y4
NOTA:
Se entiende por cantidad subradical a la parte de una
raíz que se encuentra en el interior del radical. De este
modo:
__
n
√A , se lee “raíz n de A”
Donde n = índice, A = cantidad subradical
a.1) Expresión algebraica racional entera
nentes enteros positivos o no tiene letras en su
denominador.
Ejemplos:
i) 2x2
+ 5y7
+ 12y15
1 1 1
ii) ––
– + ––
– + ––
– z4
3x 5y 4
iii) 4x2
y3
z4
- 8w4
t5
a.2) Expresión algebraica racional fraccionaria
nentes negativos o tiene letras en su denominador.
Ejemplos:
i) 4x -3
+ 7y -9
+ 12z -4
1 2 7
ii) ––
– + ––
– + –––
–
3x 5y 4z2
4x2
+ 3y3
+ 7z4
iii) ––––––––––––
4x5
+ 5yz
iv) 4x4
+ 5y3
+ 8z5
+ 9t-2
b) Expresión algebraica irracional
nentes fraccionarios o tiene letras en su cantidad
subradical.
Ejemplos:
i) 5x1/2
+ 7y1/3
+ 8z1/5
ii) 4x -1/3
+ 8y -1/5
+ 7z -1/8
________ __
iii) √4x2
+ 5y2
+ 8 √z
2 7 8
iv) –––– + –––– + ––––
__ __ __
√x √y √z
___
v) 4x20
+ 5y8
+7x14
+ 9 √xyz
Resumen de las características de las expresiones
algebraicas.
Racionales Enteras
Exponente Exponente
entero entero positivo
Subradical Denominador
sin letras sin letras
{Fraccionarias
Expresiones Exponente
Algebraica
{ entero negativo
Denominador
con letras
Irracionales
Exponente
fracción
Subradical
con letras
TÉRMINO ALGEBRAICO
Es aquella expresión algebraica cuyas partes no es-
tán separadas ni por el signo más ni por el signo
menos. En otras palabras, un término algebraico es
un monomio.
Ejemplos:
i) 4x2
ii) +5y3
z4
iii) -3x4
y5
z8

Á L G E B R A
- 15 -
Partes de un Término Algebraico
coeficiente
(-7) x4
exponente
parte literal
TEORIA DE EXPONENTES
La Teoría de Exponentes tiene por objeto estudiar to-
das las clases de exponentes que existen y las relacio-
nes que se dan entre ellos.
La operación que permite la presencia del exponente
es la potenciación, la cual se define así:
POTENCIACIÓN
Es la operación que consiste en repetir un número
llamado base tantas veces como factor, como lo indi-
que otro llamado exponente; al resultado de esta ope-
ración se le denomina potencia, y se representa así:
Potencia = (base)exponente
Ejemplos:
i) 27
= 2 . 2 . 2 . 2 . 2 . 2 . 2 = 128
144424443
7 factores 2
ii) 55
= 5 . 5 . 5 . 5 . 5 = 3 125
14243
5 factores 5
iii) 46
= 4 . 4 . 4 . 4 . 4 . 4 = 4 096
1442443
6 factores 4
En general:
an
= a . a . a . a . … . a
1442443
“n” factores a
NOTA:
Recuerdese que para efectos del estudio algebrai-
co, la base es literal y el exponente es numérico:
x5
, y4
, z8
, etc.
LEYES QUE RIGEN A LOS EXPONENTES
Multiplicación de Potencias de Bases Iguales.
Se escribe la base común y como exponente se escri-
be la suma de ellos.
am
. an
= am+n
Ejemplos:
i) x5
. x7
= x5+7
= x12
ii) x8
. x6
. x-3
. x-8
. x12
= x8+6-3-8+12
= x15
iii) 2m+3
. 2m+4
. 24-2m
= 2m+3+m+4+4-2m
= 211
= 2 048
División de Potencias de Bases Iguales.
Se escribe la base común y como exponente se escri-
be la diferencia de dichos exponentes.
am
––– = am-n
an
Ejemplos:
x8
i) ––– = x8-3
x3
x12
ii) ––– = x12-(-3)
= x12+3
= x15
x-3
2m+3
iii) –––– = 2m+3-(m-3)
= 2m+3-m+3
= 26
= 64
2m-3
5x+2
. 5x+3
5x+2+x+3
52x+5
iv) –––––––– = –––––– = ––––
52x+1
52x+1
52x+1
= 52x+5- (2x+1)
= 54
= 625
Exponente Cero.
Toda cantidad diferente de cero, con exponente cero,
es igual a la unidad. Así:
a0
= 1, donde: a ≠ 0
Ejemplos:
i) 57
0
= 51
= 5
ii) 42
9
0
= 42
1
= 42
= 16
iii) 24
0
+ 57
0
+ 87
0
= 2 + 5 + 8 = 15

- 16 -
α
α α
Exponente Negativo
Toda cantidad diferente de cero, elevada a un expo-
nente negativo, es igual a una fracción cuyo numera-
dor es 1 y cuyo denominador es igual a la misma ex-
presión pero con el signo del exponente cambiado a
positivo. Así:
1
a-n
= –– , donde: a ≠ 0
an
Ejemplos:
1 a2
i) x-3
= –– ii) –– = a2
b4
x3
b4
1 a-3
b5
iii) 2-1
= –– = 0,5 iv) –– = ––
2 b-5
a3
Potencia de un Producto.
Es igual a elevar cada factor a dicha potencia.
(a.b)n
= an
. bn
Ejemplos:
i) (a . b)5
= a5
.b5
___ 2
ii) (√3x ) = 3x2
iii) x4
y4
= (xy)4
3x . 2x (3 . 2)x 6x
iv) –––––– = ––––
––– = ––
6x
6x
6x
Potencia de un Cociente.
Se eleva tanto el numerador como el denominador a
dicha potencia.
a n
an
(––
)= ––
b bn
Ejemplos:
x 4
x4
x7
x 7
i)
(––
)= –– ii) –– =
(––
)
y y4
y7
y
3 3
33
27 8n
8 n
iii)
(––
)= –– = ––– iv) ––– =
(––
)= 4n
5 53
125 2n
2
Potencia Negativa de un Cociente.
Se invierte el cociente y la potencia se transforma en
positiva. Luego, puede procederse como en el caso
anterior.
a -n
(––
)=
(––
)
b bn
Ejemplos:
2 -2
5 2
52
25
i)
(––
)=
(––
)= –– = –––
5 2 22
4
1 -3
5 3
ii)
(––
)=
(––
)= 53
= 125
5 1
1 -2
1 -3
1 -4
2 2
3 3
5 4
iii)
(––
)+
(––
)+
(––
)=
(––
)+
(––
)+
(––
)
2 3 5 1 1 1
= 4 + 27 + 625 = 656
Potencia de Potencia.
Se escribe la misma base y el nuevo exponente es
igual al producto de los exponentes.
(am
)n
= am . n
Ejemplos:
i) (x2
)3
= x(2)(3)
= x6
ii) [(x3
)4
]5
= x(3)(4)(5)
= x60
iii)(x-3
)-4
= x12
iv) (x-2
)5
= x-10
Nota:
Para el caso de tener muchos exponentes, se
puede generalizar la regla como sigue:
{ [(am
)n
]r
}s
= am . n . r . s
RAÍZ DE UNA POTENCIA
Se escribe la base y como nuevo exponente, la divi-
sión del exponente de la potencia entre el índice del
radical.
p
__ _
n
√ap
= an

Á L G E B R A
- 17 -
Ejemplos:
10
__ _
_
i)
5
√ x10
= x 5
= x2
___
___
___
48 12
___ _
_ _
___ __
ii)
3
√ 4
√x48
= √x4
= 3√x12
= x 3
= x4
______
____
_______ _______
__
____ __
__
___ __
____
___ ___ ___
iii) √√√ √ x64
= √√ √ x32
= √ √x16
= x8
= x4
Nota:
Cuando se tiene muchos radicales, se puede
gene-ralizar la regla como sigue:
_________
______
____
_ 1
__ __ ___
√√√ √ a =
mnsr
√a = a mnsr
Exponente Fraccionario
Toda cantidad elevada a un exponente fraccionario es
igual a la raíz de dicha cantidad, cuyo índice es el
denominador de la fracción y el numerador per-
manece como exponente. Por lo tanto:
p
_ __
a
n
=
n
√ap
Ejemplos:
3
_ __
i) a 5
=
5
√a3
1
_ __
ii) 8 3
=
3
√8 = 2
2
_ __ 2
iii)64 3
= (
3
√64 ) = (4)2
= 16
RAÍZ DE UN PRODUCTO
Es igual a extraer la raíz de cada factor, y luego efec-
tuar el producto.
__ __ __
n
√ab =
n
√a .
n
√b
Ejemplo:
______ ___ ___
i)
5
√x10
y25
=
5
√x10
.
5
√y25
= x2
y5
__ __ __
ii)
7
√xy =
7
√x .
7
√y
Raíz de un Cociente.
Se extrae la raíz tanto del numerador como del deno-
minador, y luego se procede a dividir estas raíces
resultantes.
__ __
a
n
√a
n
–– = ––––
__
√b
n
√b
Ejemplos:
_____ ___
x20 5
√x20
x4
i)
5
––– = ––––– = ––
___
√ y35 5
√x20
y7
_____ ___
16
4
√x20
2
ii)
4
––– = –––––– = ––
____
√y35 4
√625 5
Introducción de un Factor en un Radical.
Se multiplica el exponente del factor por el índice del
radical, de la siguiente forma.
__ ______
ap
n
√b =
n
√apn
. b
Ejemplos:
_
_ ______ ____
i) x2
5
√y =
5
√x(2)(5)
y =
5
√x10
y
_
_
_ _______ ____
i) x2
3
√y2
=
3
√x(5)(3)
y2
=
3
√x15
y2
LEYES DE LOS SIGNOS EN LAS
OPERACIONES ALGEBRAICAS
MULTIPLICACIÓN
El producto de dos términos de signos iguales es po-
sitivo, y de signos diferentes es negativo.
a) [+] . [+] = [+]
b) [-] . [-] = [+]
c) [+] . [-] = [-]
d) [-] . [+] = [-]
DIVISIÓN
La división de dos términos de signos iguales es po-
sitivo, y de signos diferentes es negativo:

- 18 -
α
α α
[+] [+]
a) ––– = [+] b) ––– = [-]
[+] [-]
[-] [-]
c) ––– = [+] d) ––– = [-]
[-] [+]
POTENCIACIÓN
La potencia de una base con exponente par, siempre
es positiva; pero la potencia de una base con expo-
nente impar, depende del signo de la base:
a) [+]par
= [+]
b) [+]impar
= [+]
c) [-]par
= [+]
d) [-]impar
= [-]
RADICACIÓN
Si el índice es impar, el resultado tendrá el mismo
signo que la cantidad subradical. Si el índice es par y
la cantidad subradical es positivo, el resultado tendrá
doble signo; positivo y negativo;pero, si la cantidad
subradical es negativa el resultado será una cantidad
imaginaria, que no existirá en el campo real.
___
a)
impar
√[+] = [+]
___
b)
impar
√[-] = [-]
___
c)
par
√[+] = [±]
___
d)
par
√[+] = cantidad imaginaria
Nota:
Para efectos de estudio, se empleará, en el caso
(c), raíces de índice par y cantidad subradical po-
sitivas; el signo aritmético de la raíz; es decir, el
valor positivo.
EJERCICIO RESUELTOS
Sobre las leyes de la teoría de exponentes y los
signos en las operaciones algebráicas.
1.- Calcular el valor de:
2x+4
+ 36(2x-2
)
E = ––––––––––––––––––––––––––––––
2x+5
- 2(2x+3
) - 4(2x+1
) - 6(2x-1
)
Solución:
Por la ley de la teoría de exponentes se conoce
que:
am
am+n
= am
. an
; am-n
= ––
an
Aplicando al ejercicio:
2x
2x
. 24
+ 36
(–––
)
22
E = ––––––––––––––––––––––––––––––––––––
2x
2x
. 25
- 2(2x
. 23
) - 4(2x
. 21
) - 6
(–––
)
2
Operando apropiadamente:
16 . 2x
+ 9 . 2x
E = ––––––––––––––––––––––––––––
32 . 2x
- 16 . 2x
- 8 . 2x
- 3 . 2x
Se hace el cambio de 2x
= a, para hacer más sim-
ple las operaciones:
16a + 9a 25a
E = ––––
–––––––––––––– = –––– = 5
32a - 16a - 8a - 3a 5a
Rpta.: = 5
4
-n
–
43
(8 3
)
E = ––––––––––
[4(4-1
)n
]2
Solución:
Transformemos el numerador, para escribir con
base 4:
-n -n -n
4 4
_ _
(8 3
) = [(23
)3 ] = (24
)n
= [(22
)2] = 4
Reemplazando en la expresión original:
43
. 4-2n
43
. 4-2n
43-2n
E = –––––––– = ––––––– = –
–
–
–
–
–
(41
. 4-n
)2
(41-n
)2
42-2n
E = 43-2n(2-2n)
= 43-2n-2+2n
= 41
= 4
Rpta.: = 4

3.- Hallar el valor de la expresión:
___________
n
20n+1
E = ––––––––––
√4n+2
+ 22n+2
Solución:
Transformando el denominador:
4n+2
+ 22n+2
= 4n+2
+ 22(n+1)
= 4n+2
+ (22
)n+1
= 4n+2
+ 4n+1
= 4n+1
(41
+1)
= 4n+1
. 5
reemplazando en la expresión, y transformando
el numerador:
__________
n
(4 . 5)n+1
E = –––––––––
√ 4n+1
. 5
operando en el numerador:
__________
n
4n+1
. 5n+1
E = –––––––––
√ 4n+1
. 51
simplificando y descomponiendo la potencia:
_______
__
n
5n
. 51
E = ––––––– =
n
√5n
= 5n
= 5
√ 41
Rpta.: 5
216
. 353
. 803
E = –––––––––––––
154
. 149
. 302
Solución:
Se sabe que: (a . b)n
= an
. bn
descomponemos en factores primos, para aplicar
esta ley:
(3 . 7)6
(7 . 5)3
(24
. 5)3
E = –––––––––––––––––––––
(3 . 5)4
(2 . 7)9
(2 . 3 . 5)2
aplicando la ley anterior:
36
. 76
. 73 . 53
. 212
. 53
E = ––––––––––––––––––––––
34
. 54
. 29
. 79
. 22
. 33
. 52
multiplicando potencias de bases iguales:
36
. 79
. 56
. 212
E = ––––––––––––––
36
. 79
. 56
. 211
simplificando:
212
E = ––– = 212-11
= 21
= 2
211
Rpta.: 2
_
_
-6
√3
_
____
3
√3 __
E = [√3√3 ]
Solución:
Escribimos la raíz principal en la forma expo-
nencial:
–
–
-6
√3
_
_
√3
E =
[ –––
]
_
3
√3
3
luego, transformamos los exponentes:
31/2 -1/6 1 1 -1/6
––– 3 (–– - ––) 3
2 3
31/3
3
E = [(3) ] = [(3) ]
1
- –
1 6 1 1 1 1
– 3 – - – – - –
6 6 6 6 6 0
= 3 = (3)3 . 3
= (3)3
= 33
= 31
= 3
[3 ]
Rpta.: 3
6.- Simplificar la expresión:
1 1 -2
– –
E =
{ }
m-1
[m(m3
) 2
]5
Solución:
Efectuando operaciones:
1 -2 1 1 -2
– – –
E = (m-1
)-2
[(m1
)5
] {[(m3
)2
]5
}
2 3 2 3
- – - – 2 - – - –
E = m2
. m 5
. m 5
= m 5 5
Á L G E B R A
- 19 -

2 + 3 5
2 - ––– 2 - –
E = m 5
= m 5
= m2-1
= m1
= m
Rpta.: m
7.- Calcular:
_________
2n+1
E = n
––––––
––––
__
____
__
√n+2
√4 √4n
Solución:
Trabajando con el denominador:
___
___
__ _____
n+2
√4√4n
=
n+2
√4 . 4n/2
___
__ ____
n+2 n n+2 n+2
1+ –– –––
= √4 2
= √4 2
___
____
n+2
n+2 n+2 _
_
_
_
_
_ ___
–––
= √(2)2 2
=
n+2
√2n+2
= 2n+2
= 2
reemplazando, descomponiendo y simplificando:
n
––––––
n
2n
. 21 ___ _
E = –––––– =
n
√2n
= 2n
= 21
= 2
√ 2
Rpta.: 2
8.- Calcular:
_____________
n
10n
+ 15n
+ 6n
E = ––––––––––––
√5-2
+ 2-n
+ 3-n
Solución:
En primer lugar transformemos el denominador:
_____________
n
10n
+ 15n
+ 6n
––––––––––––
E = 1 1 1
–– + –– + ––
√ 5n
2n
3n
Dando común denominador en el denominador
de la raíz:
_________________
n
10n
+ 15n
+ 6n
––––––––––––––
E = 6n
+ 15n
+ 10n
(––––––––––––
)
√ 5n
. 2n
. 3n
Luego:
_________________
n
10n
+ 15n
+ 6n
–––––––––––––– ––––––––––
1 n
(5 . 2 . 3)n
–––––––––––––– =
√–––––––––
E = 10n
+ 15n
+ 6n
1
[––––––––––––
]
√ (5 . 2 . 3)n
Simplificando:
n
––– –
E =
n
√(30)n
= 30
n
= 301
= 30
Rpta.: 30
9.- Calcular:
1
_
2n+1
. 5n+1
- 2n
. 5n n
E =
[–––––––
–––––––––
]
23
. 52
+ 5n
Solución:
Separemos los exponentes que aparecen suma-
dos:
1
_
2n
. 21
. 5n
. 51
- 2n
. 5n n
E =
[–––––––––––––––––––
]
23
. 52
+ 5n
Hagamos que: 2n
= a; 5n
= b:
1 1
1
_ _ _
10ab - ab n
9ab n
E =
[––––––––
] =
[––––
] = a n
8b + b 9b
1 n
_ _
reponiendo: E = (2n
)
n
= 2
n
= 21
= 2
Rpta.: 2
10.- Calcular:
(3n + 6) veces (2n + 3) veces
6447448 6447448
x . x . x . … . x x . x . x … . x 1
E =
[––––––––––––––
][––––––––––––
][––––
]
x . x . x . … . x x6
xn+2
1442443
(4n - 2) veces
Solución:
Cada expresión se reduce:
x3n+6
x2n+3
1
E =
[––––
][––––
][––––
]
x4n-2
x6
xn+2
- 20 -
α
α α

Que se puede escribir así:
x3n
x6
x2n
x3
1 x3n+2n
. x6+3
E = ––––– . ––––– . ––––– = ––––––––––
x4n
x-2
x6
xn
x2
x4n+n
. x-2+6+2
x3n
x6
x2n
x3
E = ––––– = ––––– = x9-6
= x3
x4n
x-2
x6
Rpta.: x3
11.- Resolver:
x-1
_______
____ ____
√ 3
√ 23x-1
-
3x-7
√8x-3
= 0
Solución:
Transpongamos términos:
x-1
_______
____ ____
√ 3
√ 23x-1
=
3x-7
√8x-3
= 0
3x-1 x-3
___ ___
23(x-1)
= (23
)3x-7
3x-1 x-3
___ ___
2 3x-3
= 2 3x-7
Si igualamos los exponentes (dado que son fun-
ciones exponenciales):
3x - 1 3x - 9
––––– = ––––––
3x - 3 3x - 7
(3x - 1)(3x - 7) = (3x - 3) (3x - 9)
9x2
- 21x - 3x + 7 = 9x2
- 27x - 9x + 27
simplificando:
-21x - 3x + 27x + 9x = 27 - 7
12x = 20
5
Rpta.: x = ––
3
12.- Resolver:
___
3 x-1
4 9
(––
) –– = –––
4 √3 16
Solución:
Transformemos buscando una base común:
3 x-1
4 1/2
3 2
(––
) (––
) =
(––
)
4 3 4
3 x-1
3 -1/2
3 2
(––
) (––
) =
(––
)
4 4 4
1
3 x-1- ––
3 2
(––
) 2
=
(––
)
4 4
igualando los exponentes:
x - 1 1 2
–––
–– - –– = ––
1 2 1
eliminado los denominadores:
2x - 2 - 1 = 4
2x = 7
Rpta.: x = 7/2
13.- Hallar el valor de:
––––––––––––––
____
n
256n+1
n+1
√4n2-1
E = –––––
––––––––
1
– __
_
√ 64n+1
n
√4-1
Solución:
Previamente se opera en forma parcial:
• 256n+1
= (64 . 4)n+1
= 64n+1
. 4n+1
____ n2-1 n2-12 (n+1)(n-1)
–––– ––––– –––––––––
•
n+1
√4n2-1
= 4
n+1
= 4 n+1
= 4 n+1
= 4n-1
1
- ––
-1 1
1 –– ––
– ___ 1 1
_
_ _
_
•
n
√4-1
= 4n
= 4n
= 4-n
Reemplazando las expresiones transformadas, en
la expresión inicial:
________________
n
64n+1
. 4n+1
. 4n-1
E = ––––––––––––––
√ 64n+1
. 4-n
simplificando y efectuando:
_______
n
4n+1+n-1
E = ––––––
√ 4-n
_____ _____ ___
E =
n
√42n-(-n)
=
n
√42n+n
=
n
√43n
3n
–––
E = 4n
= 43
= 64
Rpta.: 64
Á L G E B R A
- 21 -

2a 2b
–– ––
4a-b
+ 12 . 4a-b
R = ––––––––––––
____
a-b
√4a+b
Solución:
La expresión se puede escribir así:
2a 2b 2a 2b
–– –– –– ––
4a-b
+ 12 . 4a-b
4a-b
12 . 4a-b
R = –––––––––––– = ––––– + ––––––––
a+b a+b a+b
–– –– ––
4a-b
4a-b
4a-b
Operando convenientemente:
2a a+b
–
–
–
– - –
–
–
– 12
R = 4 a-b a-b
+ –––––––––
a+b 2b
–
–
–
– - –
–
–
–
4 a-b a-b
y, efectuando los exponentes:
2a-a-b
–––– 12
R = 4 a-b
+ ––––––
a+b-2b
–––––
4 a-b
Simplificando:
a-b
––– 12
R = 4 a-b
+ ––––––=4+3=7
a-b
–––
4 a-b
Rpta.: 7
–––––––––––––––
n
3
81 n
E = _______ 3
3 n+1
3
3
√[√2163 ]
Solución:
Por convenir, se realiza las siguientes equiva-
lencias:
• 33n
= x
n n n
• 813
= (34
)3
+ ( 33
)4
= x4
• 33
n+1
= 3(3
n
. 3
1
) = 3(3
n
. 3) = (33
n
)3
= x3
• 216 = 63
Reemplazando los equivalentes en la expresión
propuesta:
__________
x4
E = x
_____
√[3
√(63
)x3
]
Efectuando operaciones, de adentro hacia afuera:
______
_____ _______ _______
x4 x4 x4
E = x = 3x3
x
= x
1
_____ __
√[3
√(63
)x3
] √[6 3 ] √[ 6x3
]
x4
–––– ––
E =
x4
√6x4
= 6x4
= 6
Rpta.: 6
_______ ________
n-1 n-1
4n-1
+ 1 5n-1
+ 1
E = –––––– + –––––––
√41-n
+ 1 √51-n
+ 1
_______ _____
___
n-1 n-1
6n-1
+ 1 7n-1
+ 1
+ –––––– + –––––––
√61-n
+ 1 √71-n
+ 1
Solución:
Desarrollando el caso general:
_______ ________
n-1 n-1
an-1
+ 1 an-1
+ 1
–––––– = –––––––––
√a1-n
+ 1 √a-(n-1)
+ 1
_______ _____
___
n-1 n-1
an-1
+ 1 an-1
+ 1
= –––––– = –––––––
1
1 + an-1
–––– + 1
––––––––
√ a n-1
√ an-1
_______
n-1
an-1
+ 1
–––––– n-1
1 ___
= –––––– = a n-1
= a
an-1
+ 1
––––
––––
√a n-1
Por lo tanto, por analogía:
___
_____
n-1
4n-1
+ 1
––––––– = 4
√41-n
+ 5
___
_____
n-1
5n-1
+ 1
––––––– = 5
√51-n
+ 5
__
_
_____
n-1
6n-1
+ 1
––––––– = 6
√61-n
+ 5
___
_____
n-1
7n-1
+ 1
––––––– = 7
√71-n
+ 5
- 22 -
α
α α

Luego: E = 4 + 5 + 6 + 7 = 22
Rpta.: 22
17.- Simplificar:
––––––––––––
–––––––
n ––––––––––
n
x4n2
+ x3n2
x3n
+ –––––––––
E = √ x2n2
+ xn2
–––––––––––––
––––
√ xn
+ 1
Solución:
Resolviendo por partes:
–––––––––– –––––––––––––
n n
x4n2
+ x3n2
x3n2
(xn2
+ 1)
––––––––– = –––––––––––––
√x2n2
+ xn2
√ x4n2
(xn2
+ 1)
______ ____
=
n
√x3n2-n2
=
n
√x2n2
= x2n
Reemplazando:
–––––
––––– –––––
––––––––
n n
x4n2
+ x3n2
x3n2
(xn2
+ 1)
E = ––––––––– = –––––––––––––
√x2n2
+ xn2
√ x4n2
(xn2
+ 1)
2n
____ _
_
=
n
√x2n
= x n
Rpta.: x2
18.- Simplificar:
n
_____
_____________
______
_________
n
________________
________
n
_____
_____
_
____
______
n
____
__
_
______
___
___
__
E = √xn
√xn2
√xn3
√xn4
…
n
√ xnn
Extrayendo raíz a cada factor, sucesivamente:
n2
–––––––––––––––––––––––––––––––
––
n
_________
___
__
____
___
n
___
___
_
___
_
__
_____
_
___
_
__
E = x . √xn2
√xn3
√xn4
…
n
√ xnn
n3
___________
_
__
____
___
n
__
__
___
_
__
__
______
_
___
_
__
E = x . x . √xn3
√xn4
…
n
√ xnn
n4
___
___
_
___
______
_
____
E = x . x . x . √xn4
…
n
√ xnn
por lo que, al final se obtendrá:
E = x . x . x . x … x = xn
1442443
“n” veces
Rpta.: xn
__ –––––––––– 7
7
√7 7
-1
7
__
[√7
√7
]
E = ––––––––––––––––––––––––––––
__ __
7
√7
-7
√7
__ __
-7
√7 -
7
√7
[(7 ) (7 ) ]
Solución:
__
Si definimos
7
√7 = x, luego:
1
_ __
• 77-1
= 77
=
7
√7 = x
1
–– -– 1 1 1
•
-7
√7 = 7 7
= ––– = –––– = ––
__
71/2 7
√7
x
Reemplazando:
__
(
x
√xx
)7
E = ––––––––––––
x
1 1
_ _
(7 x
) (7-x
) x
x7
x7
= –
–––– = –– = 7
7 .7-1
70
Reponiendo el valor de x:
__
E = ( 7
√7 )7
= 7
Rpta.: 7
20.- Señalar el exponente de “x” después de simpli-
ficar (hay “n” radicales):
4
––––––––––
––––––––––––––––
4
___________
__
4
___
___
_
_
___
_
__
__
E = √x3
√x3
√x3
4
√ x3
Solución:
Suponiendo n = 1, se obtiene que:
4-1
__ __
4
√x3
= x3/4
= x 4
Suponiendo n = 2, se obtiene que:
_______ ___________
___ _______ ______
•
4
√x3
4
√ x3
=
4
√x3
4
√ x3.4
. x3
=
42
√x12
. x3
42 - 1
15 –––
––
= x 16
= x4 2
Á L G E B R A
- 23 -

Suponiendo n = 3, se obtiene:
4
_______
____
_______ 63 43-1
___ ___ __ ___
• √x3
4
√x3
4
√ x3
=
43
√x63
= x4 3
= x4 3
Suponiendo n = 4, se obtiene:
4
_________________
4
________
____
_______ 43-1
___ ___ ___
• √x3
√x3
4
√x3
4
√ x3
=
44
√x255
= x4 4
y, así sucesivamente.
Para “n” casos se puede generalizar como:
4n-1
___
E = x 4 n
4n
- 1
luego, el exponente es: –––––
4n
1
–
2n
. 12n+2
30n+1 n
6n + ––––––––– . –––––
4n+2
5n-1
E =
[––––––––––––––––––––––––––––
]
23 . 5n
. 14n
2n+1
. 5n
+ 25 . 10n
- ––––––––––
7n
Solución:
Trabajando por partes:
2n
. 12n+2
2n
(4 . 3)n+2
2n
. 4n+2
. 3n+2
• ––––––– = ––––––––– = ––––––––––––
4n+2
4n+2
4n+2
= 2n
. 3n
. 32
= 9 . 6n
30n+1
(6 . 5)n+1
6n+1
. 5n+1
• –––– = –––––––– = ––––––––– = 6n
. 6 = 6 . 6n
5n+1
5n+1
5n+1
• 2n+1
. 5n
= 2 . 2n
. 5n
= 2(2 . 5)n
= 2 . 10n
23 . 5n
. (14)n
23 . 5n
. (7 . 2)n
• –––––––––––– = –––––––––––––––– =23 . 10
7n
7n
Reemplazando:
1
_
n
6n
+ 9 . 6n
- 6 . 6n
E =
[–––––––––––––––––––––––
]
2 . 10n
+ 25 . 10n
- 23 . 10n
1
_
n
4 (6)n
E =
[––––––
]
4 (10)n
1
_
n
6 n
6
E =
[(–––
)] = ––
10 10
Rpta.: 0,6
22.- Simplificar:
__
bb
√b ––
√b
-b
-b
-b
b
E = [b ]
Solución:
Trabajando con el exponente:
1
_____
__ __ __ -1
bb
√b –– (bb
√b ) (bb
√b )
√b = b = b
1
–
-1
-b
-1
-b
(b b ) (b b
) -b
[b ]
b = b = b b
A continuación, hagamos que x = b-b-b
, y reem-
placemos en E:
E = [bb-x
]bx
= bb-x . bx
= bb0
= b1
= b
Rpta.: b
23.- Calcular:
______________
_________
____
52n
. 2n+1
+ 50n
E = n
––––––
––––––– .
n+1
√5n2-1
5n
. 8 - 5n+1
–––––––––––––––
–––––––
__
_ __
_
√ √5-1 1/n
√5-1
Solución:
Operando por partes:
• 52n
. 2n+1
+ 50n
= (52
)n
. 2n
. 2 + 50n
= 25n
. 2n
. 2 + 50n
= (25 . 2)n
. 2 + 50n
= 50n
. 2 + 50n
= 50n
. 3 (I)
• 5n
. 8 - 5n+1
= 5n
. 8 - 5n
. 5 = 5n
. 3 (II)
n2-1 (n+1)(n-1)
___ ______
• 5 n+1
= 5 n+1
= 5n-1
(III)
1
__ __
•
1/n
√5-1
= (5-1
)(1/n)
= (5-1
)n
= 5-n
(IV)
- 24 -
α
α α

Reemplazando (I), (II), (II) y (IV) en E:
1 1
_ _
50n
. 3 n
50 n n
–––––– . 5n-1
(–––
). 5n-1
5n . 3 5
E =[––––––––––––]= [––––––––––]
5-1
. 5-n
5-1-n
1 1
_ _
10n
. 5n-1 n
2n
. 5n
. 5n-1 n
=
[–––––––––
] =
[––––––––––––
]
5-1-n
5-1-n
1 1
_ _
= [2n
. 5n+n-1+1+n
] n
= [2n
. 53n
]
n
= [(2 . 53
)n
]n
= 2 . 53
= 250
Rpta.: 250
__
__
3 .
3
√3 -1
__ __
3
√3
3
√3 ––
3
√3 -1
__
E = [ 3
√3 √3 ]
Solución:
__
Haciendo x =
3
√3 , por lo tanto x3
= 3
Reemplazando:
1
1
x3 . –
–
x
x
___
E = [xx
.
x
√x3
]
Efectuando las operaciones necesarias:
x2
x2
1
_
3 x 3 1
_ _ . _
E = [xx
. (xx
) ] = (xx
)x2
[x x x
]
= xx3
. x3
= x3
. 3 = 3 . 3 = 9
Rpta.: 9
Á L G E B R A
- 25 -
1. Calcular:
1
_
2
______ ____
____
__
___ ____
_ __
__
___
___
_ ___ ___ _
__
_
_
__ __ __ __ __
√√√√2 √√√2 √√2 √2 √2√2√2√2
E = [ ]
2
__
1
a) 2 b) √2 c) ––––
__
√2
1
d) –– e) 4
2
2. Hallar E = a.b en la relación:
ab
. ba
= 221/2
1
__
a) 1 b) –––– c) √2 d) 2 e) 4
__
√2
3. Simplificar:
__ __ __ __ __ __ 252-1
5
√5
5
√5
5
√5
5
√5
5
√5
5
√5
__
E =
5
√5
__
a) 3 125 b) 625 c) 25 d) 5 e)
5
√5
4. Calcular “n” en la igualdad:
___________________
_
_______________
____
____
_____ 32
-1
__
(––)
√x3
√x3
√x3
…… √x3
= x
93
1444442444443
“n” radicales
a) 6 b) 3 c) 5 d) 4 e) 8
5. Efectuar:
____________________________
_
____________
_________
______________
______
1 3 -2
3
3 3
4
5 -6 5
5 -10
_
J =
( )√(––
) √(––
) √(––
) √(––
)
36
5 5 3 3
__
__ __ __ __ 5
3
a)
5
√6 b)
3
√5 c)
6
√5 d)
6
√3 e) ––
√5
6. Efectuar:
156
. 124
. 59
. 63
––––––––––––––––––––––
1011
. 313
. 54
a) 1 b) 3 c) 5 d) 2 e) 6
EJERCICIOS PROPUESTOS

ECUACIONES EXPONENCIALES
Son igualdades relativas cuyas incógnitas aparecen
como exponentes. Se entiende por igualdad relativa a
aquella que se verifica para algunos valores que se le
asigne a sus incógnitas.
Ejemplos de ecuaciones exponenciales:
i) 5x
= 125
ii) 238x
= 512
iii) [A
4
x
]
2
-x
= A16
45
SOLUCIÓN DE UNA ECUACIÓN
EXPONENCIAL
Es el valor o valores que verifican la igualdad relativa.
Ejemplos:
i) 5x
= 125 ⇒ x = 3, dado que: 53
= 125
ii) 7x+1
= 343 ⇒ x = 2, dado que: 72+1
= 73
= 343
Para obtener la solución se debe tener en cuenta:
1) Las bases de las potencias deben ser iguales.
2) Para que haya igualdad, los exponentes de las po-
tencias, como consecuencia, deben ser iguales.
En resumen:
Si Am
= An
∴ m = n
EJERCICIOS RESUELTOS
1.- Resolver:
9 x
8 x-1
2
(––
) (––
) = ––
4 27 3
Solución:
Transformando las potencias:
x x-1
3 2
2 3
2
[(––
) ].
[(––
) ] = ––
2 3 3
Efectuando operaciones e invirtiendo la potencia:
x-1
3
3 2x
3 -1
3 -1
(––
) {[(––
) ]} =
(––
)
2 2 2
3 2x
3 -3+3
3 -1
(––
) (––
) =
(––
)
2 2 2
3 2x-3x+3
3 -1
(––
) =
(––
)
2 2
Igualando los exponentes:
-x + 3 = -1
x = 4
Rpta.: 4
2.- Resolver:
3x
+ 3x-1
+ 3x-2
+ 3x-3
+ 3x-4
= 363
7. Efectuar:
1
–
2
-1
1
1
- (––) -1
- –
1 1 2
1 -3
1 -16
2
E =
[(––
) (––
) +
(–––
) +
(––
) ]
2 4 125 81
a) 1/2 b) 1/4 c) 2 d) 4 e) 3
8. Calcular:
2
x––––––––
xxx
- [xxx
]
xx
2xx
xx
E =
{√x
} __
a) 1 b) x c) x2
d) √x e) xx
9. Calcular: __
________________
_
_
____
________
________
4
√x3
4
√x3
4
√ x3
… ∞
E = –––––––––––––––––
__
_
______________
_____
_______
_______
5
√x3
5
√x3
5
√x3
… ∞
__
a) 1/x b) x c) x2
d) x3
e)
4
√x
10. Hallar la suma de exponentes de las variables x,
y, z después de simplificar:
___
___ ___
___ ___
___
___ ___ ___
xa yb
zc
E =
a
b
––
b
c
––
c a
––
√√yb
√√ zc
√√xa
a) a b) b c) c d) 1 e) 0
- 26 -
α
α α

Solución:
3x
3x
3x
3x
3x
+ –– + –– + –– + –– = 363
3 32
33
34
haciendo y = 3x
, se obtiene:
y y y y
y + –– + –– + –– + –– = 363
3 9 27 81
eliminado denominadores:
81y + 27y + 9y + 3y = y = 363 . 81
reduciendo:
121y = 363 . 81
363 . 81
y = –––––––
121
y = 243
pero: y = 3x
= 243 = 35
∴ x = 5
Rpta.: 5
3.- Resolver:
9x+2
= 9x
+ 240
Solución:
Descomponiendo las potencias:
9x
. 92
= 9x
+ 240
haciendo: y = 9x
(a)
81y = y + 240
de donde: y = 3
Sustituyendo en (a):
9x
= 3
o:
9x
= 91/2
ˆ x = 1/2
Rpta.: 1/2
4.- Resolver:
[58
x
]
4
-x
= 5
1660
Solución:
58x . 4-x
= 51660
igualando exponentes:
8x
. 4-x
= 1660
transformando:
(23
)-x
(22
)
x
= (24
)
60
23x
. 2-2x
= 2240
23x-2x
= 2240
2x
= 2240
∴ x = 240
Rpta.: 240
5.- Resolver:
1
4x
(––)
1 2
(––
) = 0,7071
4
Solución:
1
__ _
1
√2 2 2 - –
Obsérvese que: 0,7071 = ––– = –––– = 2 2
2 2
1
4x
1 1 1
2
1
4
1/2
(––) –– –– (––) (––)
1 2
1 2
1 4
1 2
1 2
(––
) =
(––
) =
(––
) =
(––
) =
(––
)
4 2 4 4 4
de donde: 4x
= 41/2
1
luego: x = ––
2
Rpta.: 1/2
6.- Resolver:
xx3
= 3
Solución:
Haciendo el cambio de variable:
y = x3
(a)
Á L G E B R A
- 27 -

Extrayendo raíz cúbica:
__ __
3
√x3
=
3
√y
__
x =
3
√y (b)
reemplazando (a) y (b) en la ecuación inicial:
__
(3
√y )y
= 3
o, también:
1 y
–
(y 3
)= 3
y
–
y3
= 3
Elevando al cubo, se tendrá:
yy
= 33
de donde: y = 3
reemplazando en (b):
__
x =
3
√3
__
Rpta.:
3
√3
7.- Resolver:
[539
]
33
x
= 599
Solución:
53
9
. 3
3
x
= 59
9
o:
53
9+3
x
= 59
9
de donde:
39+3
x
= 99
= (32
)9
= 318
9 + 3x
= 18
3x
= 9 = 32
luego: x = 2
Rpta.: 2
8.- Calcular el valor de “n”:
_________
n-1
xn2
+ xn2+5
––––––––– = x5
√ xn
+ xn+5
Solución:
Descomponiendo las potencias:
_____________
n-1
xn2
+ xn2
. x5
––––––––––– = x5
√ xn
+ xn
. x5
factorizando los numeradores y denominadores:
___
__________
n-1
xn2
(1 + x5
)
––––––––––– = x5
√ xn
(1 + x5
)
___
_
__
n-1
xn2
–––– = x5
√ xn
____
n-1
√xn2-n
= x5
n(n-1)
____
x (n-1)
= x5
xn
= x5
luego:
n = 5
Rpta.: 5
9.- Resolver la siguiente ecuación exponencial:
3
3
x
= 27
9
x-4
Solución:
Como 27 = 33
entonces:
33x
= (33
)9x-4
= 33.9x-4
3x
= 3 . 9x-4
= 3 . (32
)
x-4
= 31
. 32x-8
= 32x-7
3x
= 32x-7
x = 2x - 7
∴ x = 7
Rpta.: 7
- 28 -
α
α α

10.- Resolver la siguiente ecuación exponencial:
__
[(ax
)
x
]
x-x
= a√1/8
Solución:
___
1
––
(ax2
)x-x
= a√ 23
__
ax2 . x-x
= a√2-3
___
x2
. x-x
= √2-3
1
x2-x
= 2-3/2
= (2-1
)
3/2
=
(––
)3/2
2
1
2 - –
1 2
x2-x
= (––
)
2
por comparación:
1
x = ––
2
1
Rpta.: ––
2
11.- Resolver:
–––––––––––
n
xn
+ an
1
–––––––––– = ––
√ (b2
a)n
+ xn
b
Solución:
Elevando a la potencia “n” ambos miembros de la
igualdad:
xn
+ an
1
–––––––––– = ––
(b2
a)n
+ xn
b
bn
(xn
+ an
) = (b2
a)n
+ xn
bn
xn
+ bn
an
= b2n
an
+ xn
transponiendo términos:
bn
xn
- xn
= b2n
an
- bn
an
xn
(bn
-1) = bn
an
(bn
-1)
simplificando:
xn
= bn
an
xn
= (ab)n
∴ x = ab
Rpta.: ab
12.- Resolver:
bx
n-x
= xx
x
x
n
donde : b = xx
x
Solución:
Reemplazando “b” en la ecuación:
(xxx
)
xn-x
= xxxxn
xxx . xn-x
= xxxxn
xxx+n-x
= xxxxn
xxn
= xxxxn
xn
= x
xxn
igualando exponentes nuevamente:
n = xxn
Elevando a la “n” potencia e intercambiando los
exponentes:
nn
= (xxn
)n
= (xn
)
xn
de aquí se obtiene:
xn
= n
de donde:
__
x =
n
√n
__
Rpta:
n
√n
13.- Resolver:
x x
- –
– –
–
18 18
= x-1
. 12 18
Solución:
Transformando los exponentes negativos en po-
sitivos:
x
1 1 –
–
––––– = –– . 12 18
x
–
–
18 18
Á L G E B R A
- 29 -

transponiendo:
x x x
–
– –
– –
–
x = 18 18
. 12 18
= (18 . 12) 18
x x
–
– –
–
x = (32
. 2 . 22
. 3) 18
= (33
. 23
) 18
x
–
–
x = [(3 . 2)3
]18
efectuando:
x
–
–
x = 6 6
1
elevando a la ––:
x
1 1
–
– –
–
x x
= 6 6
por lo tanto:
x = 6
Rpta.: 6
14.- Resolver:
(bb
. x)x
= bb
1-b
Solución:
Elevando a la potencia bb
:
(bb
. x)bb . x
= bb1-b. bb
= bb1-b+b
= bb
luego:
(bb
. x) bb . x
= bb
identificando exponentes:
b
bb
. x = b ; x = ––
bb
∴ x = b1-b
Rpta.: b1-b
15.- Resolver:
1 1
x - –– x + ––
4x
- 3 2
= 3 2
- 22x-1
Solución:
Transformando adecuadamente:
1
3x –– 4x
4x
- ––––– = 3x
. 3 2
- –––
––
1 1
–
– –
–
3 2
4 2
Transponiendo términos negativos:
1
4x –– 3x
4x
+ –––= 3x
. 3 2
+ –––
––
__
2 √3
1
__
1
4x
(1 + ––
)= 3x
(√3 + ––
––
)
__
2 √3
3 3 + 1
4x
(––
)= 3
x
(–––––
)
__
2 √3
3 4
4x . –– = 3x . –––––
__
2 √3
8 . 3x
4x
= –––
–––
__
3√3
4x
8 43/2
4 3/2
––– = ––––– = –––– =
(––
)
__
3x
3√3
33/2
3
4 x
4 3/2
(––
) =
(––
)
3 3
por lo tanto:
3
x = ––
2
3
Rpta.: ––
2
16.- Resolver:
2 2 2 2
–
– -x –
– + x (––
) - x2
9 9 9
––––– ––––– ––––
1 1
–
– + x –
– - x
√m 3
= √m 3
= √m2
Solución:
Transformando a fórmulas exponenciales:
1 1
–
– + x –
– - x
3 3
2
––––– –––––
––––––
2 2
–
– - x –
– + x
m 9
= m 9
. m(2/9)2 - x2
- 30 -
α
α α

de aquí:
1 1
–
– + x –
– - x
3 3 2
––––– ––––– + ––––––
2 2 2 2
–
– - x –
– + x (––
) - x
2
m 9
= m 9 9
1 1
–– + x –– - x
3 3 2
––––––– = ––––––– + –––––––––––––––
2 2 2 2
–– - x –– + x
(–– + x
)(–– - x
)
9 9 9 9
Eliminado denominadores:
1 2 1 2
(–– + x
)(–– + x
) =
(–– - x
)(–– - x
)+ 2
3 9 3 9
2 x 2 2 x 2
––– + –– + –– x + x2
= ––– - –– - –– x + x2
+ 2
27 3 9 27 3 9
eliminando términos y transponiendo:
x x 2 2
–– + –– + –– x + –– x = 2
3 3 9 9
eliminando denominadores:
3x + 3x + 2x + 2x = 18
10x = 18
x = 1,8
Rpta.: 1,8
17.- Resolver la ecuación exponencial:
1
xx
= ––
–––
__
4
√2
Solución:
Trabajando con el segundo miembro:
1 1
_ _
4 8
1 1 1 1
_ _ _ _
1 4
1 2
1 8
1 2
xx
=
(––
) =
[(––
) ]=
(––
) =
[(–––
) ]
2 4 4 16
1
––
1 16
xx
=
(–––
)
16
como consecuencia:
1
x = –––
16
1
Rpta.: –––
16
VALOR NUMÉRICO DE LAS
EXPRESIONES ALGEBRAICAS
Se denomina valor numérico de una expresión alge-
braica al valor que toma dicha expresión cuando se le
asigna determinados valores a sus letras.
1.- Hallar el valor numérico de:
––––––––––––––––––––––––––––––
1
-1 -1
-(––
)
1 1 1
2
(––
) (- ––
) - (––
)
z y x
1 1 1
E = (––
) -
(––
) +
(––
)
√ z y x
para: x = 4, y = 2, z = 3
Solución:
Reemplazando los valores asignados:
––––––––––––––––––––––––––––––
1
-1 -1 (––
)
1 1 1
2
(––
) (- ––
) - (––
)
3 2 4
1 1 1
E = (––) - (––) + (––)
√ 3 2 4
Efectuando operaciones y transformaciones:
__________________________
1
- –
–
1 -3
1 -2
1 2
= (––) - (––) + (––)
√ 3 2 4
_________________
= √(3)3
- (2)2
+ (4)1/2
––––––––– ––
–
= √27 - 4 + 2 = √25 = 5
Rpta.: 5
2.- Calcular el valor numérico de:
2
ab1-a
+ ba1-b
E =
[––––––––––
]
ab1+a
+ ba1+b
para: ab
= 2 y ba
= 0,5
Á L G E B R A
- 31 -

Solución:
Transformando previamente:
2 2
ab . b-a
+ ba . a-b
ab(ba)-a
+ ba(ab)-b
E =
[––––––––––––
]=
[–––––––––––––
]
ab . ba
+ ba . ab
ab . ba
+ ba . ab
reemplazando los datos:
2 2
1 1 1 1
–– –– –– ––
(ab
)
ba
+ (ba
) ab
20,5
+ (0 5) 2
E =
[–––––––––––––
]=
[––––––––––––
]
(ab
) ba
+ (ba
) ab
20,5
+ (0 5) 2
2 2
1
–
–
1 2 1
22
+
(––
) 4 + ––––
__
2 √2 4
2
E =
[––––––––––
]=
[––––––––
]=
[––––
]
1
–
–
–
––
1
–– 1
√2
2 2
+ –– √2 + ––
4
4
16
E = ––– = 8
2
Rpta.: E = 8
E = xxx+xx+xx
; para: xxx
= 2
Solución:
Transformando la expresión:
E = xxx
. xxx+xx
= xxx
. xxx
. xxx
= (xxx
)
(xxx
)
(xxx
)
Reemplazando el dato:
E = (2)
(2)
(2)
= 24
= 16
Rpta.: E = 16
1
- –
–
2
__________
_____
______
_
__
____
____
_
___
__
_
_
√x
3
√x2
√x3
3
√ x4
E =
[–––––––––––––––––
]
_____
___
___
___
____
__
___
__
__
__
__
__
__
_
1/2
√x √x
3
√x
3
√x
para: x = 16
Solución:
Transformando el numerador y denominador se-
paradamente:
_______________
___________
_____
__
__ __
√x
3
√x2
√x3
3
√ x =
36
√ x43
= x43/36
_____________
_____
_____
___
__
_
__
__ __
1/2
√x √x
3
√x
3
√x =
9
√x31
= x31/9
reemplazando:
1 1 1
- –
– - –
– - –
–
9 9 9
43
43 31 43 - 124
––
––-–– –––––
x 36
E =
[––––
] = [x36 9
] = [x 36
]
31
––
x 9
1
- –
–
9
81 81 1 1
- –
–
–
– (––
)(––
) –– –––
= [x 36
] = x 36 9
= x 4
=
4
√x
___
E =
4
√16 = 2
Rpta.: E = 2
E = xxy
si se cumple las condiciones siguientes:
xa
yb
= 2a
(1)
xb
ya
= 2b
(2)
Solución:
Multiplicando (1) . (2):
xa+b
. ya+b
= 2a+b
de aquí:
xy = 2 (3)
Dividiendo (1) entre (2):
xa-b
–––– = 2a-b
ya-b
x
–– = 2
y
- 32 -
α
α α

Luego, se deduce que:
x = 2y (4)
Sustituyendo (4) en (3):
(2y) (y) = 2
2y2
= 2
∴ y = 1
Sustituyendo en (4):
x = 2y
∴ x = 2(1) = 2
Por lo tanto:
E = (x)xy
= (2)2.1
= 4
Rpta.: E = 4
________
x + b a2
- 2bx
E = ––––– –––––––
x - b √a2
+ 2bx
_____
_
para x = √a2
- b2
___________
________
(a2
- 2bx) (x + b)2
E = ––––––––––––––––
√(a2
+ 2bx) (x - b)2
Solución:
Introduciendo factores:
Operando el cuadrado cada expresión:
_______________
____
_______
(a2
- 2bx) (x2
+ 2bx + b2
)
E = ––––––––––––––––––––––
√(a2
+ 2bx) (x2
- 2bx + b2
)
______
si x = √ a2
- b2 ⇒ x2
= a2
- b2
reemplazando:
_______________
________
________
(a2
- 2bx) (a2
- b2
+ 2bx + b2
)
E = ––––––––––––––––––––––––––
√(a2
+ 2bx)(a2
- b2
+ 2bx + b2
)
________
_____
________
(a2
- 2bx) (a2
+ 2bx)
E = ––––––––––
––––––––
√(a2
+ 2bx) (a2
- 2bx)
Rpta.: E = 1
E = x5xxx. [x x(xx-1 - 1) + 1]
para: xxxx
= 2
Solución:
E = x5xxx. [xx+1
. xx-1 - x + 1]
= x5xxx.[xxx - x + 1]
E = x5x
x
x
.(xxx - x)+ xx
= x5xxx+xx-x
. xxx
E = x5xxxx
. xxx
el orden de los factores exponentes no altera el
producto y sacando 5:
E = [( xxxx
)xxxx
]5
Reemplazando xxxx
= 2 se obtiene:
E = [(2)2
]5
= 210
= 1 024
Rpta.: 1 024
_____ _____
b√b + x + x √b + x
E = –––––––
––––––––––
__
x√x
__
b
3
√a2
para:x = –––––––––
__ __
3
√b2
-
3
√a2
Solución:
Factorizando y efectuando:
_____ _____
___
(√b + x ) (x + b) √(b + x)3
E = –––––––
–––––––
–– = ––––––––
__ __
√x3
√x3
_____
_____ __________
b+x 3
b 3
=
(–––––
) =
(–– +1
)
√ x √ x
Á L G E B R A
- 33 -

Reemplazando “x”:
–––––––––––––––––
b 3
–––––––– + 1
__
b
3
√a2
E =
[–––––––––
]
__ __
√ 3
√b2
-
3
√a2
–––––––––––––––––
3
__ __
3
√b2
-
3
√a2
E =
[–––––––––– + 1
]
__
√ 3
√a2
––––––––––––––––––––––
3
__ __ __
3
√b2
-
3
√a2
+
3
√a2
E =
[––––––––––––––– + 1
]
__
√ 3
√a2
–––––––––
3
––––
__
3
√b2
b2
b
E =
[–––––
]= ––– = ––
__
√ 3
√a2 √ a2
a
b
Rpta.: E = ––
a
_____________ ________________
√(a + b)(b + c + d) √(a + b + c)(c + d + b)
E = –––––––
–––––––– + –––––––––––––
–––––
b cd
_____________
√(a + b)(a + c + d)
+ –––
––––––––––––
a
si: ab + ac + ad + bc + bd = 0
Solución:
Efectuando operaciones se obtiene:
_______________________
√ab + ac + ad + b2
+ bc + bd
E = –––––––––––––––––––––––––
b
____________________________
√(c + d)2
+ ab + ac + bc + bd + ad
+ –––––––––––––––––––––––––––––
c + d
reemplazando por el valor del dato se obtiene:
__ ______ __
√b2
√(c + d)2
√a2
b c + d a
E = ––– + ––––––– + ––– = –– + –––– + ––
b c + d a b c + d a
E = 1 + 1+ 1 = 3
Rpta.: E = 3
10.- Calcular el valor numérico de E = x+y, en la si-
guiente ecuación:
––––––
__
abn-1
––––– = bx
n-y
√ab
––
√n-1
√ab
Solución:
Efectuando operaciones en el primer miembro:
–––––––––––– ––––––––––––
1 1 n-2 n2-2n+1-1
n-2
1 - ––– n-1 - –––
=
n-2
––– –––––––––
√a n-1
. b n-1
√a n-1
. b n-1
––––––––––––
(n-2) n(n-2) 1 n
n-2
–––– –––––– ––– ––––
√a n-1
. b n-1
= an-1
. b n-1
Igualando el segundo miembro:
1 n 1 1 1 1
–––– –––– –––– –––– x + –––– ––––
a n-1
. b n-1
= bx
. a n-y
. b n-y
= b n-y
. a n-y
Por lo tanto, se puede deducir que:
1 1
–––– = ––––
n - 1 n - y
n - y = n - 1
y = 1
Del mismo modo, también se deduce que:
1 n
x + –––– = –––––
n - y n - 1
1 n
x + –––– = –––––
n - 1 n - 1
1 n
x + –––– = ––––– ⇒ x = 1
n - y n - 1
∴ E = x + y = 1 + 1 = 2
Rpta.: E = 2
- 34 -
α
α α

Á L G E B R A
- 35 -
1. Calcular el valor de:
____________
____
9n+1/4
√3n-2
–––––
–––––––
–––
–––––
E =
n
__
1
–– √3n
√ √ 3
__
a) 3 b) √3 c) 9 d) 27 e) 81
__
1 xm
+
m
√x
m2-1
E = ––
[––––––––––
]
m m + 1
______
__
para x =
m+1
√ m-1
√mm
__
a) 1 b) mm
c) m d) √m e) mm+1
3. Simplificar la expresión:
x
_____
____ ___
1
x+1
1- –
–
–
x
E = [√(xx-2
)
x2- 1
]
__
a) x2
b) xx
c)
x
√x d) 1 e) x
1
–
–
_______________
_________
___
y =
aa
√aa-a
a
√aaa aa
√aa2a
. a-2a-1
__
a) aa
b) a2a
c) a d) √a e) a-a
5. Simplificar:
-2
1 1
–
– –
–
2 5
{(ab)-1
[ab{(ab)3
} ] }
E = ––––––––––––––––––––––––––––––
-2n m
1
2n
1 1
–
– –
–
–
– –
–
2
m
_
_
_ _
_
_
{[(√ab √ab ) ] [am
bm
] }
a 1
a) ab b) –– c) ––– d) 1 e) a
b ab
6. Simplificar:
______________________
__
m
2m+3
. 72m+1
- 2m+1
. 72m
J = –––––––––––––––––––––– . (m
√3 )
-1
√2m+5
. 72m
- 2m+1
. 72m+1
__ ___
a) 3 b)
m
√9 c)
m
√27 d) 3m
e) 1
7. Si xy
= yx
, calcular:
––––––––––––––
2xy-x
-x-y -y-x
G = √[x-y
] [y-x
]
a) x b) yx
c) y d) x-y
e) yx
8. Calcular:
–––––––––––––––––––––––
n-1
10n-1
+ 6n-1
+ 15n-1
C = –––––––––––––––––––––––––
√ (2n-1
)
-1
+ (3n-1
)
-1
+ (5n-1
)
-1
a) 1 b) 6 c) 30 d) 10 e) 18
9. Calcular:
1
- –
–
–
–
–
–
–
–
___
–––––––––––––––
√2
√2
__
_
_
R = √2
(√2
√2
)
-1
__
–– √2
a) 1/2 b) √2 c) –––– d) 2 e) 4
2
10. Simplificar:
_________________
_
_
_
√x
-1
√x
√x
__
E = √(x x-1
) (√x
x-1
)
__ __ __
a) x b) √x c) 1 d) x√x e) √x5
11. Simplificar:
_____
__
xn-1
. (xn
)-12n
(xn-1
)
n-1
3√x2
√x-3
R =
[–––––––––––––––––––
].
[–––––––––––
]
____
______
__ __ __
__
-n
√x-2
.
-n
√x-2
…
-n
√x-2
√(x
3
√x10
)
-1
144424443
n2
–– veces
2
a) x6
b) x9
c) x3
d) x e) 1

12. Simplificar:
{[(a2
)
3
]
4
}
-1/16
. a-11/6
. {a2
[a3
(a2
)
-2
]
-1
}
2
L = ––––––––––––––––––––––––––––––––––––––
-12 27
_______
_____
_ ________
___
______
__
_
__ _______
_
__
__
___ _____
__ __
[3
√a √a √a
3
√ a ] . [√√ 3
√a
3
√a-4]
a) a10
b) a8
c) a12
d) a13
e) 1
13. Calcular:
-1
_
_
_
_
√7 √7
√7
√7
__
√7 ___________
-7 –––––
___
___
__ __
7
y = [√√ 7
√7 ] [√√7 ]
__
a) 7 b) 1 c) √ 7 d) 49 e) 343
14. Señalar el exponente de “x”, después de simpli-
ficar:
__
4
√x
72
–––––
___
√6x
–––––
__
8
√x
P =
[––––––––
]
__ __
3
√x .
9
√x
––––––––
__
√x
a) 3 b) 2 c) 4 d) 1 e) 5
15. Efectuar:
–
– –
– –
–
–
– √4 –
– √2 –
– √3
_
_
√3
_
_
√4
_
_
√2
[√4 ] [√4 ] [√4 ]
1
J =
(––––––––––––
)
_ _ _
(√6 + √3 - √2 )
2
_ _ _ _ _
a) 2
√3
b) 3
√2
c) 6
√6
d) 2
√6
e) 6
√2
16. Efectuar:
——————————————
1
— 1
— 1
— 1
—
1
–
R =
{[(2 )
-1
+
(3 )
-2
+
(2 )
-2
]
-1
. (3 )
-(3)
-1
}
-2
[2
-1
+ 3
-1
+ 6
-1
]
-1
(1
—
)
-(1
– )
-1
1
—
2
2
+ (5 )
-1
a) 25 b) 16 c) 4 d) 9 e) 81
17. Efectuar:
1
1
1
–
- –
–
2
2
6
––––––––––––– –––––––––––
________
_____ _____
__ __
4√3 √3
3
√4√3 √3
A =
[ –––––––––––––
][ ––
––––––––––
]
_______
_____ ___
_____
___ ___
√3
√8 (27
4
√27 ) √9√64
4
√27
a) 1/2 b) 1/3 c) 1/9 d) 1/4 e) 2
18. Calcular:
________________
______
__________________
_
____ _________
32n
+ 8 16 90n n
32n
+ 16n
––––––– + ––– ––– - ––––––––
√√25n-8
+ 1 5 √ 62n
√ 8n
+ 4n
C = –––––––––––––––––––––––––––––––––––
–––––––––– –––––––
n+1
23n+2 1-n
31-n
+ 1
––––
–––––– - –
–––
––––
√ 8n+1
- 23n+2
√3n-1
+ 1
a) 1 b) 0 c) -1 d) -2 e) 1/2
19. Expresar en forma simplificada:
____________________________
_
________________________
__________________
__________
______
__
L = √xn
√xn-1
√xn-2
… √x3
√x2
√x
__ __ __
a) xn
√x b) xn-1
n
√x c) xn-1 2n
√x
__
_
d)
n2
√xn2
e) x
16
- ––
30
____
__
_
_______
_______
___
___
____
__
1
––
√x
––––––
√ x
––––––––
√ x
–––––––––
––––
E =
[√ x
]
__
1
a) x b) √x c) x2
d) –– e) 1
x
21. Resolver la ecuación exponencial:
_ ____
__
x-x2x2
=
√2
√√2
__ __
√2 √2 1
a) 1 b) ––– c) ––– d) –– e) 2
2 3 2
- 36 -
α
α α

22. Hallar el valor de “x” y n en la siguiente igual-
dad:
xxx
...xn
= 2
-2
__
a) x = 2 b) x = √2 c) x = 2-8
n = 1/4 n = 2 n = 2-2
d) x = 2-5
e) x = 2-8
n = 2-2
n = 1/8
23. Calcular “x” en:
________
xn
+ 9n
1
n
––––––– = ––
√81n
+ xn
3
a) 27 b) 9 c) 3 d) 81 e) 243
24. Calcular “x” después de resolver:
_
_____
4
√6 561 . 12√x
= 6x
1 1
a) –– b) 4 c) 9 d) –– e) 16
4 9
25. Calcular el valor de “a” después de resolver:
aa
= bb
ab
= 2a
siendo a ≠ b.
1 1
a) –– b) 2 c) –– d) 8 e) 4
2 4
26. Resolver y dar un valor de “x” en:
(3x + y)x-y
= 9
____
x-y
√324 = 18x2
+ 12xy + 2y2
a) -3/4 b) -9/4 c) 5/4 d) 3/4 e) 9/4
27. Resolver la ecuación exponencial:
xx2x2
= 4
__
__
√2 1 1
a) √2 b) ––– c) ––– d) 2 e) –––
2 2 4
28. Resolver y dar el valor de “y” en:
(2x)x+y
= (y)2x+y
2x y
(2x)
x
= (–––)
y
-3 9 3 -9 9
a) –– b) ––– c) –– d) ––– e) ––
4 16 4 16 4
29. Resolver:
x2x-1
= 2
1 1 1 1 1
a) –– b) –– c) - –– d) - –– e) –––
2 4 2 4 16
30. Resolver:
22x+2
- 2 . 32x+2
= 6x
1 -1
a) 2 b) 1 c) -2 d) –– e) ––
2 2
31. Si E = 16, calcular “x” siendo:
E = 4
xx
. 4
-xx
. 4
x-x
. 4
-x-x
. 2
xx
a) 2 b) -2 c) 3 d) -3 e) 4
_______
_ _____
___
_ _____
____
__
___
_ __
___
_ __
___
_
__
__ __ __
F = (√a√b √c )(√b √c √a )(√c√a √b )
si abc = u8
a) u3
b) u5
c) u7
d) u9
e) u11
33. Calcular el valor de A = xyz si:
(0,1)0,4
(0,2)0,3
(0,3)0,2
(0,4)0,1
= 2x
. 3y
. 5z
a) 0,1 b) -0,1 c) 0,12 d) -0,12 e) 1/5
34. Calcular el valor de “n” en:
__
{[81
-8
-3
-1
]
-2
+ [27
-9
-2
-1
]
-4
}
n
= 3
4
√2
1 1 1 1 1
a) –– b) –– c) –– d) –– e) ––
2 3 4 9 8
Á L G E B R A
- 37 -

35. Hallar el valor numérico de:
___
______
_
__
____
__
3
x
5
√x √x
R = –––––––––
______
__
√√x5
√x
___
para x =
7
√260
a) 4 b) 8 c) 16 d) 32 e) 2
36. Calcular Y = x-X5
, si se cumple que:
x5xxxx5
= 3 125
__
1
a) 5 b)
5
√5 c) –– d) 5
5
e) 5
-5
5
37. Calcular el valor de E = P
p
_
– –––
–
_
_
__
si √x
√x
= 2 y P =
√x
√x
√x
√x
a) 64 b) 32 c) 16 d) 4 e) 2
m
38. Calcular L = –– siendo:
n
__ _
__ _
_
__
_ __
m = √10
√10
√10
. . . ∞
n = √5
√5
√5
. . . ∞
__
1
a) √10 b) 10 c) 2 d) 5 e) ––
5
39. Calcular el valor numérico de:
_________
_____
_ _ ________
√2 √2
-3/2
_
√a√8 √a-2
b-12
C = –––––––––––––––––––––––
––––––––––––––––
––––
1
1
––
-–
– ––––––––––
√2
2 __
1 3√2
___ ___
__ _
√a√32
√a√2
a2
________
_
_____
__
. (√a3
√a √a-1 )
para a = 2 b = 6
a) 4 b) 2 c) 8 d) 6 e) 12
40. Hallar el valor numérico de:
E = 223 . 156 - 223 . 134 - 22 . 119
+ 104 . 8 - 103 . 30
a) 25 b) 32 c) 30 d) 7 e) 0
- 38 -
α
α α
CLAVE DE RESPUESTAS
1)C 2)A 3)E 4)C 5)D 6)E
7)C 8)C 9)A 10)D 11)C 12)D
13)B 14)D 15)E 16)A 17)D 18)A
19)C 20)B 21)B 22)C 23)A 24)B
25)C 26)C 27)A 28)E 29)B 30)C
31)A 32)E 33)A 34)C 35)A 36)C
37)D 38)C 39)B 40)C

GRADO
Es una características de la expresión algebraica, que
viene dados por el exponente de sus letras, el cual
debe ser un número entero y positivo, y permite
determinar el número de soluciones de una
ecuación. Puede ser de dos tipos: relativo y absoluto.
El primero se refiere a una sola letra y el segundo a
todas sus letras.
GRADOS DE UN MONOMIO
Monomio. Es la mínima expresión algebraica que
tiene un sólo término algebraico. Como toda expre-
sión algebraica tendrá dos grados que son:
Grado Absoluto. (G.A.). El grado absoluto de un
monomio está dado por la suma de los exponentes de
todas sus letras.
Grado relativo. (G.R.). Está dado por el exponente
de la letra referida a dicho monomio.
Ejemplo:
Determinar los grados siguiente monomio:
M = 45
x7
y8
z4
Solución:
Se debe dar como respuesta los dos grados es de-
cir, el grado absoluto y el relativo.
1) G.A.M. = 7 + 8 + 4 = 19
GRx
= 7 con respecto a x
2) G.R.M. =
{GRy
= 8 con respecto a y
GRz
= 4 con respecto a z
GRADOS DE UN POLINOMIO
Polinomio.
Es una expresión algebraica que tiene 2 o más tér-
minos algebraicos; recibe el nombre de binomio
cuando tiene 2 términos; trinomio cuando tiene 3
términos, etc.
Grado Absoluto de un Polinomio (G.A.P.). Está dado
por el término que tiene mayor grado absoluto.
Grado Relativo de un Polinomio (G.R.P.). Está dado
por el término de mayor exponente de la letra referi-
da en dicho polinomio.
Ejemplo:
Determinar los grados del siguiente polinomio.
P = 4x4
y3
z5
+ 8x5
y4
z6
+ 9x6
y2
z8
Solución:
Como no se especifica qué grado debe darse, se
obtendrán los dos grados: absoluto y relativo.
G.A. de 4x4
y3
z5
… es 12
Grado
(1) Absoluto =
{G.A. de 8x5
y4
z6
… es 15
de P
G.A. de 9x6
y2
z8
… es 16
Luego: G.A.P. = 16
Grado Relativo con respecto
a x = 6 (por ser el mayor
exponente)
Grado Grado Relativo con respecto
a y = 4 (por ser el mayor
exponente)
(2) Relativo =
{
de P
Grado Relativo con respecto
a z = 8 (por ser el mayor
Á L G E B R A
- 39 -
GRADO DE LAS EXPRESIONES
GRADO DE LAS EXPRESIONES
ALGEBRAICAS
ALGEBRAICAS

1.- Hallar “a” y “b” si el Grado Absoluto del
monomio es igual a 17, y su coeficiente tiene el
mismo valor que el Grado relativo con respecto a
“x”. Siendo el monomio:
M = (a + b) x2(a-1)
y3b
Solución:
DATOS:
i) G.A.M. = 17
Efectuando:
2a - 2 + 3b = 17
Luego por el enunciado (1):
2a + 3b = 19 (I)
2(a - 1) + 3b = 17
ii) 2(a - 1) = a + b
efectuando: 2a - 2 = a + b
o también: a - b = 2 (II)
De (II): a = 2 + b (III)
reemplazando (III) en (I):
2(2 + b) + 3b = 19
de donde: b = 3
En (III): a = 2 + 3 = 5
Rpta.:
a = 5
b = 3
2.- Hallar el valor que debe darse a “m” para que la
expresión:
_________
___
xm-1 4
√xm
3
––––––––
_______
M = √ 6
√x5m-4
sea de 6to. Grado.
Solución:
Simplificando la expresión:
–––––––
––– –––––––––––––––
m
–
– m 5m-4
xm-1
x4 m-1 + –– - –––
M =
3
––
––––––– =
3
x 4 6
5m-4
–––
√ x 6
√
m 5m-4
m-1 + –– - –––
4 6
––––––––––––
también: M = x 3
Para que la expresión sea de 6to. Grado el expo-
nente debe ser igual a 6.
m - 1 m 5m - 4
––––– + ––– - –––––– = 6
3 12 18
Dando común denominador y eliminado deno-
minadores:
12(m - 1) + 3m - 2(5m - 4) = 36 . 6
12m - 12 + 3m - 10m + 8 = 216
5m = 220
Rpta.: m = 44
3.- Hallar el grado absoluto de la expresión:
____ ____
M =
a+b
√xc
ya
b+c
√wa
zc
si se cumple la siguiente expresión:
(b + c)
-1
+ (b - a)
-1
+ (b - c)
-1
+ (b + a)
-1
= 0
Solución:
El grado absoluto de M será la suma de los expo-
nentes de x, y, w, z.
c + a c + a (c + a) (b + a + b + c)
G.A.M. = –––– + –––– = ––––––––––––––––––
a + b b + c (a + b)(b + c)
(a + c)2
+ 2b(a + c)
G.A.M. = ––––––––––––––––
ab + ac + bc + b2
a2
+ c2
+ 2ac + 2ab + 2bc
= –––––––––
––––––––––––– (I)
b2
+ ab + ac + bc
de la condición:
1 1 1 1
–––– + –––– + –––– + –––– = 0
b + c b - a b - c b + a
- 40 -
α
α α

Agrupando y efectuando de acuerdo a lo señalado
gráficamente:
b - c + b + c b + a + b - a
–––––––––– + ––––––––––– = 0
b2
- c2
b2
- a2
2b 2b
∴ ––––– + ––––– = 0
b2
- c2
b2
- a2
dividiendo entre 2b:
1 1
––––– + ––––– = 0
b2
- c2
b2
- a2
b2
- a2
+ b2
- c2
––––––––––
––––– = 0
(b2
- c2
)(b2
- a2
)
Para que la expresión sea cero, el numerador
debe ser cero, así:
b2
- a2
+ b2
- c2
= 0
2b2
= a2
+ c2
(II)
Reemplazando (II) en el G.A.M. (I):
2b2
+ 2ac + 2bc + 2ba
G.A.M. = ––––––––––––––––––
b2
+ ab + ac + bc
2(b2
+ ac + bc + ab)
= ––––––––––––––––– = 2
b2
+ ab + ac + bc
Rpta.: G.A.M. = 2
4.- Si se cumple que:
1 2 3 n
–– + –– + –– + … + –––– = m
2 3 4 n + 1
Hallar el grado de:
xn+m
M = –––––––––––––––––––––––––
–– –– ––
√x
3
√x
4
√x . . . “n” factores
Solución:
El grado pedido es:
1 1 1 1
G.A.M. = n + m -
(–– + –– + –– + … + ––––
)
2 3 4 n + 1
de la condición:
2 - 1 3 - 1 4 - 1 5 - 1 n + 1 - 1
–––– + –––– + –––– + –––– + … + ––––––– = m
2 3 4 5 n + 1
2 1 3 1 4 1 5 1 n+1 1
–
– - –
– + –
– - –
– + –
– - –
– + –
– - –– +…+ ––
–– - ––
–– =m
2 2 3 3 4 4 5 5 n+1 n+1
1 1 1 1 1
1 - –– + 1 - –– + 1 - –– + 1 - –– +…+ 1 - –––– = m
2 3 4 5 n + 1
1 1 1 1 1
(1 + 1 + 1 + …+ 1) (–– + –– + –– + –– + … + ––––
)= m
1442443 2 3 4 5 n + 1
n
haciendo:
1 1 1 1 1
–– + –– + –– + –– + … + –––– = p
2 3 4 5 n + 1
n - p = m p = n - m (I)
Sustituyendo en el G.A.M.
= n + m - (n - m) = n + m - n + m = 2m
Rpta.: G.A.M. = 2m
5.- Hallar el grado de la expresión:
_____________
________
______________
________
3
√4 + 2
3
√4 + 2
3
√ 4 + … ∞
M = 4a
x
Solución:
El grado es el exponente de x:
_____________
________
______________
________
3
√4 + 2
3
√4 + 2
3
√ 4 + … ∞ = m
Elevando al cubo se obtiene:
____
____________
_________
4 + 2
3
√4 + 2
3
√ 4 + … ∞ = m3
pero se puede reemplazar la raíz por su valor que
es “m”:
4 + 2m = m3
m3
- 2m - 4 = 0
probando para m = 2, se obtiene:
(2)3
- 2(2) - 4 = 0
Rpta.: G.A.M. = 2
Á L G E B R A
- 41 -

6.- Calcular el valor de “m” si el grado de la expre-
sión es de 7mo. Grado:
-1
–––––––––––––––
–––––
–––––
__ –––––––––––––
––––
-m –––––––––
m
–––––
–
m
√m
xm
m
√x
m
√x3m
3
––––––––––––––––
__
M = √ √ (x4
.
m
√x )
m
Solución:
Multiplicando los índices de los radicales mayores:
1
__
–
m
-m
-1
.
m
√m = m-m
-1
. m m
= m-m
-1
. mm
-1
= m0
= 1
Luego la expresión propuesta es igual a:
_________
_____
3m3
1 –
–
–
–
–
xm
m
√x
m
√x3m
3
xm
. xm
. x m2
M = –––––––––––––– = –––––––––––––
__
(x4
.
m
√x )
m
x4m
. x
xm
. x1/m
. x3m
= –––––––––––––
x4m
. x1
1
–– - 1
M = x
m
de acuerdo con el dato:
1 1
G.A.M.: –– - 1 = 7 ; –– = 8
m m
1
Rpta.: M = ––
m
7.- Si el grado relativo a “x” en el monomio:
_________ ______
___
_____ _____
__ __
a
√x
b
√y
b
√z
a
√y
b
√z
b
√x
M = ––––––––––––––––––––––––––
__ __
ab
√x
b+1
√y
es igual a 10, hallar el G.R. respecto a “y” en el
monomio.
______
_
__
M1
= [ab
2
√x
b+1
√y ]
b
3
+ 1
Solución:
Para determinar el G.Rx en el monomio M se cal-
cula el exponente de “x”:
1 1 1
G.Rx: –– + ––– - ––– = 10 (I)
a ab2
ab
Para determinar el grado relativo de “y” (G.R.y)
en el monomio M1 se calcula el exponente de “y”:
b3
+ 1 (b + 1)(b2
- b + 1)
G.R.y
= ––––––––– = ––––––––––––––––
ab2
(b + 1) (b + 1)ab2
b2
b 1
= ––– - ––– + –––
ab2
ab2
ab2
Se observará que tiene el mismo valor que el
G.R.x
, es decir = 10, luego:
1 1 1
GRy = ––– - ––– + ––– = GRx = 10
a ab ab2
Rpta.: GRy M1
= 10
8.- Hallar el grado absoluto de la expresión:
1 3
(––
)
2 __
_
x√2 n 16
(6
√y )n
M = –––––––––––––––––––––––––
_________________
[n+1
√ x . x4
. x9
… xn2
]2n+1
Dato:
n(2n + 1)(n + 1)
12
+ 22
+ 32
+ … + n2
= ––––––––––––––
6
Solución:
1
–– n
8 _
_
_
x√2 n 16
y 6
M = –––––––––––––––––––––––––
______________
[n+1
√ x12 + 22 + 32 +… + n2
]2n+1
1
–– n
8 _
_
_
x√2 n (24)
y 6
M = –––––––––––––––––––––––––
1
––––––––
(2n + 1)(n + 1)
n(2n + 1)(n + 1)
–––––––––
6
[x ]
n
_
_
_ _
x√2 n √2
y 6
M = –––––––––––
n
–
x 6
__ __
n n
El G.A.M. = √2 n √2 + –– - –– = 2n
6 6
Rpta.: G.A.M. = 2n
- 42 -
α
α α

9.- Hallar el coeficiente del monomio:
1
M = 9
a
(- ––
)
b
x3a+2b
y3a-b
3
Si su grado absoluto es 8 y el grado relativo
respecto a “y” es 1.
Solución:
Por primer dato: es decir la suma de exponentes
de “x” es “y” es 8:
G.A.M.: 3a + 2b + 3a - b = 8
6a + b = 8 (α)
Por segundo dato: es decir el exponente de “y” es
igual a 1:
G.R.y : 3a - b = 1 (β)
Sumando (α) y (β):
9a = 9 ; a = 1
En (α):
6(1) + b = 8 ; b = 2
Sustituyendo estos valores en el coeficiente:
1
9
a
(- ––
)
b
3
se tiene:
1 1 1
9
a
(- ––
)
b
= 9
1
(- ––
)
2
= 9 (––
)= 1
3 3 9
Rpta.: Coeficiente = 1
10.- En el siguiente monomio:
xn
ym
z5n
M = ––––––––––––
x1-m
yn-3
zm-2
El grado relativo respecto a “x” es 12, el grado rel-
ativo respecto a “y” es 10, hallar el grado relativo
respecto a “z”.
Solución:
Para hallar el grado respecto a “z” debe de calcu-
larse los valores de “m” y “n”.
DATOS:
Por dato (1), la diferencia de exponentes de x es 12:
GRx : n - (1-m) = 12
n - 1 + m = 12
n + m = 13 (α)
Por dato (2), la diferencia de exponentes de y es 10:
GRy: m - (n - 3) = 10
m - n + 3 = 10
m - n = 7 (β)
Sumando (α) y (β):
2m = 20 ; m = 10
reemplazando en (α):
n + 10 = 13 ; n = 3
Luego:
G.R.z = 5n - (m - 2) = 5n - m + 2
Sustituyendo los valores de m y n:
G.R.z = 5(3) - 10 + 2
G.R.z = 7
11.- Hallar el valor de “m” para que la siguiente
expresión sea de 2do. grado absoluto:
___________
3
√(a-2
bm/5
)-1/2
M =
[–––––––––––
]
__________
______
4
√a3
√a0
bm/5
Solución:
Trabajando con el numerador:
______
____
3
1
1 m 1
- ––
(-2)
(––
) (––
)(––
)
2
2 5 2 1 m
–––––– –––––– – - ––
√(a-2
bm/5
) = a 3
b 3
= a
3
b
30
___________
_
_______
m 3 m
- –– – - ––
4
√a3
√a0
b 5
= a 4
b 40
Á L G E B R A
- 43 -

Reemplazando los equivalentes en la proposición
1 m -3
–– ––
1 3 m m
-3
a 3
b 30
––- –– - –– + ––
M =
[––––––––
]=
[a 3 4
b 30 40
]
3 m
–– ––
a4
b 40
-5 -10m -5 m 5 m
–– ––– –– -–– –– ––
M = [a12
b 120
]
-3
= [a 12
b 12
]-3
= a 4
b 4
Por el Dato G.A.M.:
5 m
–– + –– = 2 ; 5 + m = 8
4 4
Rpta.: m = 3
12.- Hallar la suma de los grados relativos respecto a
“x” e “y” en la siguiente expresión:
(x + y) (x2
+ y2
) (x3
+ y3
) (x4
+ y4
)…(xn
+ yn
)
M = –––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
(–– + ––
)(–– + ––
)(–– + ––
)(–– + ––
)…
(–– + ––
)
x y x2
y2
x3
y3
x4
y4
xn
yn
n(n+ 1)
Dato: 1 + 2 + 3 + 4 … n= –––––––
2
Solución:
Operando con el denominador, se obtiene:
(x + y) (x2
+ y2
) (x3
+ y3
) (x4
+ y4
)…(xn
+ yn
)
M = –––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––
x+y x2
+y2
x3
+y2
x4
+y4
xn
+yn
(–––––
)(––––––
–
)(––––––
–
)(––––––
–
)…
(––––––
–
)
xy x2
y2
x3
y3
x4
y4
xn
yn
Simplificando se obtiene:
M = (xy)(xy)2
(xy)3
(xy)4
… (xy)n
= (xy)1+2+3+…+n
n(n+1) n(n+1) n(n+1)
–
–
–
–
–
– –
–
–
–
–
– –
–
–
–
–
–
M = (xy) 2
= x 2
y 2
Luego el grado absoluto es la suma de los expo-
nentes:
n(n + 1) n(n + 1) 2n(n + 1)
G.A.M. = ––––––––+–––––
––– = –––––––– n(n + 1)
2 2 2
Rpta.: G.A.M. = n (n + 1)
13.- Si an
bn
= kn
donde k es una constante, calcular el
G.A. de:
____
_______ ___________
kn
+ b2n
kn
+ a2n
M = ––––––––– = ––––––––––
√a-2n
kn
+ 1 √b-2n
kn
+ 1
Solución:
Trabajando con cada expresión.
____
_______ ___________
kn
+ b2n
an
bn
+ b2n
M1
= ––––––––– = ––––––––––
√a-2n
kn
+ 1 √b-2n
an
bn
+ 1
____________
bn
(an
+ bn
)
= –––––––––––
bn
–– + 1
√ an
________
_
_____
bn
an
(an
+ bn
)
M1
= –––––
––––––––
√ (bn
+ an
)
n n
__ – –
M1
= √bn
an
= b 2
a 2
____
__
_______ ___________
an
bn
+ a2n
an
(bn
+ an
)
M2
= –––––––––– = ––––––––––
√a-2n
an
bn
+1 an
–– + 1
√ bn
________
_____
an
bn
(an
+ bn
)
= –––––
––––––––
√ (an
+ bn
)
n n
_ _
M2
= a 2
b 2
por lo tanto:
n n 2n
G.A.M1
= –– + –– = ––– = n
2 2 2
n n
G.A.M2
= –– + –– = n ∴
2 2
Rpta.: G.A.M. = n
14.- Calcular el valor de “x” e “y” en el monomio:
_______
3
√ax+y
by+6
M = –––––––––
a2/3
b1-y
si es de 2do. grado respecto a “a” y de 7mo. grado
absoluto.
- 44 -
α
α α

Solución:
i) Por el dato (1):
x + y 2
G.A.M2
= ––––– - –– = 2 (α)
2 2
ii) Por dato (2):
G.A.M.:
x + y 2 y + 6
––––– - –– + ––––– - (1 - y) = 7 (β)
3 3 3
reemplazando (α) en (β) se obtiene:
y + 6
2 + ––––– - (1 - y) = 7
3
y + 6
––––– - (1 - y) = 5
3
y + 6 - 3(1 - y) = 15
Rpta.: y = 3
x + 3 2
En (α): ––––– - –– = 2
3 3
Rpta.: x = 5
15.- Si m > n > 0 y la expresión:
______________
m-n
√(xm+n
+ ym-n
)m+n
M = ––––––––––––––––––
–––––––––––––––
2mn
m+n m-n
m+n
–
–– –
–– –
––
√(ym-n
+ z m+n
)m-n
es de grado absoluto cero, calcular:
p = m . n(m - n)
Solución:
Para determinar el grado de M, debe hallarse los
mayores exponentes tanto en el numerador como
en el denominador; la diferencia de estos expo-
nentes es el G.A.M.
G.A.M.:
(m + n)(m + n)
–––––
––
––––––––
(m + n)(m + n) (m - n)(m - n)
–––––––––
–––––– - –––––
–
––––––––– = 0
m - n 2mn
Operando:
(m + n)2
(m + n)2
––––––– - –––
–––––––––
(m - n) 2mn(m - n)2
(m + n)2
dividiendo todo entre –––––––:
m - n
1
–––––––––– = 0 ; 2mn(m - n) - 1 = 0
2mn(m - n)
1
2mn (m - n) = 1 ; mn (m-n) = –– ∴
2
1
Rpta.: ––
2
16.- Hallar el grado de la siguiente expresión alge-
braica:
1
1 + –
– 1
1
1
1 1 + –
–
1 + –
– 1 + –
–
2
3 n
M = … x2
. x4
. x6
… . x2n
Solución:
Operando:
(1+––
)(1+––
)(1+––
)…
(1+––
)
1 1 1 1
1 2 3 n
M = x2+4+6+8+…+2n
el índice se tiene:
1 1 1 1 1
(1 + ––
)(1 + ––
)(1 + ––
)(1 + ––
) …
(1 + ––
)
1 2 3 4 n
2 3 4 5 n + 1 n + 1
=
(––
)(––
)(––
)(––
)…
(–––––
)= –––––
1 2 3 4 n 1
en el exponente de “x” se tendrá:
2 + 4 + 6 + 8 +… +2n = 2(1 + 2 + 3 + 4… + n)
n + 1
= 2(n)(–––––
)
2
reemplazando, la expresión compleja se transfor-
ma en:
n(n+1)
–––– ––––
M =
n+1
√xn(n+1)
= x (n+1)
= xn
∴
Rpta.: G.A.M. = n
Á L G E B R A
- 45 -

- 46 -
17.- Dado el polinomio:
P = 2xab-4
+ 3ya2(b-4)
+ 4(xy)ab-4
+ 5y4+ab-4
Si la suma de los grados absolutos de todos los
términos del polinomio es (a6
+2)2
calcular el
valor de b.
Solución:
Llamando I, II, III y IV a los términos del poli-
nomio. El grado absoluto de cada término es:
G.A.T. (I) = ab-4
G.A.T. (II) = a2(b-4)
G.A.T. (III) = ab-4
+ ab-4
G.A.T. (IV) = 4 + ab-4
La suma de los grados absolutos según enun-
ciado es:
ab-4
+ a2(b-4)
+ ab-4
+ ab-4
+ 4 + ab-4
= (a6
+ 2)2
en el primer término haciendo: ab-4
= y, se obtiene:
y + y2
+ y +y +4 + y = (a6
+ 2)2
y2
+ 4y + 4 = (a6
+ 2)2
(y + 2)2
= (a6
+ 2)2
de aquí:
y + 2 = a6
+ 2 y = a6
Reponiendo valor de y:
ab-4
= a6
b - 4 = 6
Rpta.: b = 10
18.- Calcular m y n para que el polinomio:
P = 3xm+1
yn-3
+ 7xm+2
yn-1
+ 11xm+3
yn-2
sea de grado absoluto 8 y de grado relativo
respecto a “y” igual a 5.
Solución:
Llamando I, II y II, a los términos del polinomio.
Por dato y recordando que el grado absoluto del
polinomio es igual al grado del término, de más
alto grado:
G.A.t (I) = m + n + 1 - 3
= m + n - 2
G.A.P
.
{G.A.t (II) = m + 2 + n - 1
}= m + n + 1
= m + n + 1
G.A.t (III) = m + 3 + n - 2
= m + n + 1
G.A.P.: m + n + 1 = 8
m + n = 7 (α)
Por dato y recordando que G.R. y es igual al
grado del término de más alto grado relativo:
n - 3
G.R.y:
{n - 1
}= n - 1 = 5
n - 2
n = 6
En (α):
m + 6 = 7
m = 1
Rpta.: m = 1, n = 6
19.- Dados los siguientes polinomios:
P = 5xm+11
yn-3
+7xm+7
yn-2
+6xm+2
yn+1
Q = 2x2m+6
yn+2
+12x2m+2
yn+7
+8x2m
yn+10
Determinar el G.A. del polinomio Q, sabiendo
que: el grado absoluto de P es 16 y el menor
exponente de “y” en el polinomio Q es 4.
Solución:
Por el dato (1):
G.A.t (I) = m + n + 8
G.A.P.
{G.A.t (II) = m + n + 9
} m + n + 9
G.A.t (III) = m + n + 3
Por dato (1):
G.A.P.: m + n + 9 = 16
De donde: m + n = 7 (α)
α
α α

Por el dato (2):
menor exponente de “y” en Q:
n + 2 = 4
∴ n = 2
En (α): m + 2 = 7
m = 5
El grado absoluto de Q es:
G.A.t (I) = 2m + n + 8
G.A.Q.
{G.A.t (II) = 2m + n + 9
}2m + n + 10
G.A.t (III) = 2m + n + 10
reemplazando valores de m y n:
G.A.Q. = 2(5) + (2) + 10 = 22
Rpta.: G.A.Q. = 22
20.- Si en el polinomio:
P = 4xm+n-2
ym-3
+8xm+n+5
ym-4
+ 7xm+n-6
ym+2
se verifica que la diferencia entre los grados rela-
tivos de “x” é “y” es 5 y además que el menor
exponente de “y” es 3. Hallar su grado absoluto.
Solución:
Por el dato (1)
m + n - 2
G.R.x
:
{m + n + 5
} = m + n + 5
m + n - 6
m - 3
G.R.y
:
{m - 4
}= m + 2
m + 2
Por dato (1) :
G.R.x
- G.R.y
= 5 ; esto es:
(m + n + 5) - (m + 2) = 5 ;
de aquí: n = 2
Por el dato (2):
el menor exponente de y” es:
m - 4 = 3 Luego: m = 7
De acuerdo con el pedido, el G.A.P. es igual al
mayor grado de todos los términos, es decir:
G.A.t (I) = 2m - 5 + n
G.A.P
.
{G.A.t (II) = 2m + n + 1
}= 2m + n + 1
G.A.t (III) = 2m + n - 4
= 2(7) + 2 + 1
= 17
Rpta.: G.A.P. = 17
1. Si el monomio:
––––––––
–––
–––––
M = 26
a
√xb
y
b
√xa
yb2
es de grado absoluto 4, y los grados relativo a “x”
é “y” son iguales. Calcular el valor de:
E = 3b - 2a
a) 1 b) 5 c) -4 d) -1 e) -2
2. ¿Qué valor debe tomar “x” para que el monomio:
___
{[(√a-x
)
x
]
-2
}
x
M = –––––––––––
1
–
{[4
b-x2
]-4
}
x
sea de grado 120?
a) 4 b) 5 c) 2 d) 3 e) 7
3. Hallar el valor de “m” de tal manera que la
expresión:
Á L G E B R A
- 47 -

- 48 -
-m
_________
_____
_
__
√a √a2
√a3
––––––––––––––
[a3
(a2
)[(a1/2
)1/3
]1/2 ]
sea de grado 120
a) 10 b) 20 c) 30 d) 40 e) 120
4. Hallar el grado del siguiente monomio:
_____________
__
____
_______
______
M = 7x
3
√6 +
3
√6 +
3
√6 + … ∞
a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 6
5. Hallar el grado del nomonio:
M = 4x(bc)4
y(ac)4
z(ab)4
si se cumple:
yz - a2
= xz - b2
= xy - c2
= x2
+ y2
+ z2
- d2
= 0
y además abcd = m
a) m b) m2
c) m4
d) m8
e) m12
6. Hallar el grado de la expresión:
–––––––––––––
xn+m
yn-m+2
z2n
M = –––––––––––––
√xn-m
ym+n+2
z2m
siendo n = 164
-2
-1
; m = 32125
-3
-10
a) 5 b) 4 c) 3 d) 2 e) 1
7. Hallar el valor de:
––––––––––––––––––––––––––––––
2 -2
4 -1
1 -3 ––
V =
(–––
) +
(–––
) +
(- –––––
) . √a
–––
√ 11 11 3
√17
siendo el valor de “a” el que se obtiene, para que
la expresión:
–––
––––––
–––
3
xa-2
√x3a
M = ––––––––
√ xa+1
sea de primer grado.
a) 8 b) 9 c) 10 d) 12 e) 16
8. Hallar el valor de “m” si la expresión:
––––––––––––––
–––––
M =
mm
√xm
3m
m-m
√x(m
m
)
es de grado 32.
––
1 1
a) 4 b) 2 c) √2 d) –– e) ––
2 4
9. ¿Cuántas letras se deben tomar en el siguiente
monomio:
M = a6
b24
c60
d120
…
para que su grado sea 6 006?
a) 12 b) 10 c) 15 d) 13 e) 11
10. Hallar el grado de la expresión:
––––––––––––––––––––––
–––––––
––––––––
––––––––––––––––
––––––––––––
––––––––
––––––––––––––
–
–––
––––––––
M = 5x
√10 - √4 - √6 + √6 + √6 + … ∞ veces
a) 2 b) 3 c) 5 d) 10 e) 4
11. Si el grado absoluto de la expresión:
––––––––––––––– –––––––––
αβγ
√(a + b + c)αβ+βγ+αγ 3
√(xyz) p+q+r
M = ––––––––––––––––––––––––––––––
––
(x + y + z)p+q
αγ
√zα
es nulo, hallar el valor de:
α + β
J = –––––
αβ
a) r b) p + q c) -r d) -1 e) -q
12. Si m > n > 0 y la expresión:
––––––––––––––––
m-n m-n
––––
√[xm+n
+ ym-n
](m-n)n
E = ––––––––––––––––––––––––––––––––
––––––––––––––––––––––––––––
2mn m-n
–––
m+n m-n m-n
––– –––
√[x2m-1
+ z2m-2]2
[y m-n
+ z m+n ]
es de grado nulo. Calcular:
m n
E = –– + ––
n m
a) 5 b) 4 c) 6 d) 7 e) 3
α
α α

______ –––
–––
m + n
13. Si A =
(
2
––––– )√m2
-n2
√m + n
hallar el grado de:
––
–– ––
––
m+n m-n
––
–– –
–
–
–
√ m-n √m-n
m + n
(–––––)
[A + A ] m + n
M = –––––––––––––––––––––––––
––––––
m + n 2m
––
––––
(–––––)
√m - n m - n
a) 1 b) 2 c) m d) m-n e) 0
14. Hallar el valor de “m” para que el monomio:
1
2
–
––––
–––
– –– 2
x 3
3
√xm
√x
M =
[––––––––––––
]
––––––
––
3
√xm
√x-3
sea de segundo grado.
a) 3 b) 2 c) 4 d) 5 e) 7
15. Hallar m y n si el polinomio:
P (x,y) = 4x2m+n-4
ym+n+2
+ 7x2m+n-3
ym+n+1
+ 9x2m+n-2
ym+n
es de grado absoluto veintiocho y la diferencia de
los grados relativos de “x” é “y” es 6. Dar m + n
a) 10 b) 12 c) 8 d) 14 e) 16
16. Se tienen dos polinomios P y Q, si el polinomio
P es de grado 10 respecto a “x”. En el polinomio
Q el grado respecto a “x” es 5 grados menos que
el grado respecto a “y”. Hallar el grado respecto
a “y” en el polinomio Q, siendo:
P (x,y) = xm2 +1
yn-1
+ 3xm2-1
yn+1
+ 7xm2+1
yn
Q (x,y) = 2xm+7
yn-6
- 5xm
yn-2
+ 9xm-1
yn-3
a) 10 b) 5 c) 15 d) 12 e) 2
17. Determinar el grado absoluto de Q, si el grado
absoluto de P es 20 y el mayor exponente de “y”
en Q es 10.
P (x,y) = 3xn+7
ym-1
+ 6xn+8
ym
+ 5xn
ym+1
Q (x,y) = 4xm+1
yn
+ 7xm+2
yn+1
+ 8xm+3
yn+2
a) 15 b) 16 c) 17 d) 18 e) 19
18. Hallar E = m + n si el G.A. del polinomio:
P (x,y) = 4xm+3
yn-2
+ 5xm+1
yn+1
+ 7xm
yn+2
es de grado absoluto 8 y el grado relativo a “x”
supera en una unidad al grado relativo a “y”.
a) 5 b) 4 c) 3 d) 6 e) 10
19. Calcular el valor de “x” para que la expresión
sea de segundo grado:
–– –– –– ––
M =
x
√a
x
√a2
x
√a3 …
x
√ax
a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5
20. Si el grado absoluto de:
–– –– –– ––
b
√x
a a
√yb a
√z
b
√w
M1
= ––––––––––––––––––––
______
ab
√xa2
yab
es igual a 7, hallar el grado respecto a “x” en el
monomio:
–––––––
a
√xy
a
zb4
M2
= ––––––––––––––––––––
b
–––––––––––––––––
√xyb
2
(za3
)
-1
(za3
)
-2
a) 5 b) 4 c) 3 d) 6 e) 7
CLAVE DE RESPUESTAS
1) A 2) B 3) D 4) B 5) C
6) D 7) A 8) A 9) E 10) B
11) C 12) C 13) E 14) C 15) A
16) B 17) C 18) D 19) C 20) E
Á L G E B R A
- 49 -

- 50 -
NOT
NOTACIÓN POLINÓMICA
ACIÓN POLINÓMICA
α
α α
Notación polinómica es la representación de un poli-
nomio, mediante sus variables y constantes.
Se denomina variable a toda magnitud que cambia
de valor, se le representa por las últimas letras del
abecedario: x,y,z, etc.
Se denomina constante a toda magnitud que tiene
un valor fijo, no cambia su valor; se le representa por
las primeras letras del abecedario: a,b,c, etc.
POLINOMIO
Polinomio es una expresión que consta de más de un
término general, un polinomio se representa de la
siguiente manera:
P (x, y) , se lee “polinomio en x,y”.
donde P es el nombre genérico:
(x, y) son las variables x é y.
Por lo tanto:
P(x,y), significa que el polinomio es de nombre
P y de variables x, y.
Ejemplos:
i) P(x,y) = 4x2
+ 5y2
+ 7
ii) P(x, y, z) = 4x3
+ 7xy + 6z2
iii) P(x) = 4x3
+ 5x2
+ 7x
En general se tendrá:
P (x,y,z) = ax2
+ by3
+ cz5
123
nombre variables constantes
genérico
VALOR NUMERICO DE
UN POLINÓMIO
Es el valor que toma dicho polinomio, cuando se
reemplaza en él valores asignados a sus variables.
Ejemplo.- Sea el polinomio:
P(x, y) = x2
+ y2
- 5
hallar P(2,4)
Solución:
Se reemplaza los valores de x e y, así:
P(2,4) = 22
+ 52
- 5 = 4 + 25 - 5 = 24
CAMBIO DE VARIABLE EN UN POLINOMIO
Es la expresión que se obtiene al cambiar la variable
del polinomio por otra.
Ejemplo: Sea el polinomio:
P(x) = 4x2
+ 5x + 6
calcular P(y + 1)
Solución:
Se reemplaza x por y+1; así:
P(y + 1) = 4(y + 1)2
+ 5(y + 1) + 6
efectuando operaciones:
P(y + 1) = 4(y2
+ 2 + 1) + 5y + 5 + 6
P(y + 1) = 4y2
+ 8y + 4 + 5y + 11
P(y + 1) = 4y2
+ 13y + 15

1.- Calcular:
E = Q [P(-2)]
siendo: P (x) = 3x3
+ 5x2
+ 2x + 8 y:
Q(x) = (2x + 1)n
(5x2
- 1)2n-1
+ (x + 5)n
(x + 1)
+ (2x + 5)n
(x - 1)
Solución:
Cálculo de P (-2):
P(-2) = 3(-2)3
+ 5(-2)2
+ 2(-2) + 2(-2) + 8
= -24 + 20 - 4 + 8 = 0
∴ P(-2) = 0
Cálculo de Q [P(-2)]
Q [P(-2)] = Q[0] = (0 + 1)n
(0 - 1)2n-1
+ (0 + 5)n
(0 + 1) + (0 + 5)n
(0 - 1)
Q[0] = (1)n
(-1)2n-1
+ 5n
+ 5n
(-1)
Q[0] = (1) (-1) + 5n
- 5n
= -1 ∴
Rpta.: E = Q [P(-2)] = - 1
2.- Si P (x) = x2
- x + 2, calcular:
R = P{P[2 - P(-1)]}
Solución:
Cálculo de P (-1):
P(-1) = (-1)2
- (-1) + 2 = 1 + 1 + 2 = 4
Cálculo de P[2 - P(-1)]:
P[2 - P (-1)] = P[2 - 4] = P[-2]
P{-2} = (-2)2
- (-2) + 2 = 4 + 2 + 2 = 8
Cálculo de P{P{2 - P(-1)}}:
P{P[2
- P(-1)]} = P {8} = 82
- (8) + 2
= 64 - 8 + 2 = 58
P{P[2 - P(-1)]} = 58
x - 1
3.- Si P (x) = –––––– , calcular:
––
–
√x + 1
R = P{P[P(25)]}
Solución:
Calculando por partes:
25 - 1 24 24
P(25) = ––––––– = ––––– = ––– = 4
––
–
√25 + 1 5 + 1 6
4 - 1 3 3
P[P(25)] = P [4] = ––––– = –––––– = –– = 1
4 + 1 2 + 1 3
1 - 1 0
P{P[P(25)]} = P[1] = ––––– = –– = 0
1 + 1 2
Rpta.: E = P{P[P(25)]} = 0
4.- Si P(x) = x(2 - x) + 5, calcular:
P(x) - P(-x)
R = ––––––––––––––––––––––
–– –
–
P(x) + (x + √5 ) (x - √5 )
Solución:
Cálculo de P(-x):
P(-x) = (-x) [2-(-x)] + 5 = -x(2+x) + 5
= -2x - x2
+ 5
Por otro lado:
–
– –
– –
–
(x + √5 )(x - √5 ) = x2
- (√5 )
2
= x2
- 5
además: P(x) = 2x - x2
+ 5
reemplazando:
2x - x2
+ 5 - (-2x - x2
+ 5)
R = –––––––––––––––––––––––––
2x - x2
+ 5 + (x2
-5)
2x - x2
+ 5 + 2x + x2
- 5 4x
R = ––––––––––––––––––––––––– = ––– = 2
2x - x2
+ 5 + x2
-5 2x
Rpta.: R = 2
5.- Calcular:
E = P(x + 1) + P(x - 1) - 2 P(x),
si: P(x) = 3x2
+ 2x + 4
Á L G E B R A
- 51 -

- 52 -
Solución:
Cálculo de P(x + 1):
P(x + 1) = 3(x + 1)2
+ 2(x + 1) + 4
= 3(x2
+ 2x + 1) + 2(x + 1) + 4
= 3x2
+ 6x + 3 + 2x + 2 + 4
= 3x2
+ 8x + 9
Cálculo de P(x - 1):
P(x - 1) = 3(x - 1)2
+ 2(x - 1) + 4
= 3(x2
- 2x + 1) + 2(x - 1) + 4
= 3x2
- 6x + 3 + 2x - 2 + 4
= 3x2
- 4x + 5
reemplazando en la expresión propuesta:
E= (3x2
+ 8x + 9)+ (3x2
- 4x + 5) - 2(3x2
+ 2x + 4)
E = 6x2
+ 4x + 14 - 6x2
- 4x - 8 = 6
Rpta.: E = 6
6.- Si f(x) = x - 2a, g(x) = 2x + a y además:
f[g(x)] - g[f(x)] = f[g(a)] + 19
calcular “a”
Solución:
Cálculo de f[g(x)]:
f[g(x)] = f[2x + a] = 2x + a - 2a = 2x - a
Cálculo de g[f(x)]:
g[f(x)]= g(x - 2a)= 2(x -2a) + a = 2x - 4a + a
= 2x - 3a
Cálculo de f[g(a)]:
g(a) = 2(a) + a = 3a
f[g(a)] = f(3a) = 3a - 2a = a
reemplazando en la segunda condición:
(2x - a) - (2x - 3a) = a + 19
2x - a - 2x + 3a = a + 19
2a = a + 19
Rpta.: a = 19
x
7.- Si P(x) = –––––– ;
1 + x
1
F(x) = –––
–––– y
1 + x
G(x) = x
1
y además: P{F[G(x)]} = –––
10
Calcular “x”
Solución:
Como: G(x) = x
F[G(x)] = F(x)
1 1
–––––– –––––
F(x) 1 + (x) 1 + x 1
P[F(x)] =–––––
––– = ––
–––––– = –––––––– = ––––––
1 1 + x + 1 2 + x
1 + F(x) 1+ ––––– –––
––––––
1 + x 1 + x
Por otro lado:
1
P[F(x)] = ––––
10
Igualando los valores del polinomio en P:
1 1
–––––– = –––
2 + x 10
de donde: x = 8
8.- Si: P [(x + 3)x
] =
1 x2 1 2x+1 2x
_ __ __ ___
(x2
+ 6x + 9) 2 2
3 2x
. x + 3 2x
[––––––––––––––] . [ ]
x + 3
Calcular P(4)
Solución:
Transformando por partes:
1 x2 1 x2
_ __ _
_ __
_
(x2
+ 6x + 9) 2 2
[(x + 3)2
] 2 2
[––––––––––––––] = [–––––––––––]
x + 3 x + 3
x2 x2
–– ––
2 2
x + 3
[–––––] = (1) = 1
x + 3
α
α α

1 2x + 1 2x 1 2x
–– ––––––
– ––
[32x
. x + 3 2x
] = [32x
(x + 3)]
2
1 2x
––
= (32x
) (x + 3)2X
= 3 [(x + 3)
x
]
Como la expresión transformada es:
P[(x + 3)x
] = 3[(x + 3)x
]2
P (4) = 3(4)2
= 3(16) = 48
Rpta.: P(4) = 48
1
- ––
2
P [x
x
x
]= nx + n2
x2
+ n3
x3
+ … (considerar
“n” términos)
Calcular:
1
P
[–––––––––––
]
––
√ n
- 1
(n )
n
Solución:
Sea:
1
- ––
2 1
P [x
x
x
]= P
[–––––––––––
]
––
√n
- 1
(n ) n
luego se tendrá:
1
- ––
2
-1
–
–
√n
-(n )
1
x
x
x
= ––––––––––– = n
-1
––
√n
(n )
n
-1
–– –– ––
√n -√n -1 √n
(n ) +n (n )
1 1 1
= (––) = (––) = (––)
n n n
1
- ––
2
1
––
__ 1
(––)
√n n
2
n
1 1 1
1
- –– (––) (––) (––)
2 n n n
1 1 1
x
x
x
= (––) (––) (––)
n n n
1
por comparación: x = ––
n
reemplazando en el polinomio propuesto:
1 1 1 1
P
[–––––––––––
]= n(––) + n2
(––) + n3
(––)
-1 n n2
n3
––
√n
(n )
n
+ … = 1 + 1 + 1 + …
14243
“n” términos
Rpta.: = n
x + 3
9.- Si P(x) = –––––– , calcular: P[P(x)]
x - 1
Solución:
P(x) + 3
P[P(x)] = –––
–––––
P(x) - 1
reemplazando P(x):
x + 3 x + 3 + 3(x - 1)
––––– + 3 ––––––––––––––
x - 1 x - 1
P[P(x)] = –––––––––– = ––––––––––––––
x + 3 x + 3 - 3(x - 1)
––––– - 1 ––––––––––––––
x - 1 x - 1
x + 3 + 3x - 3
= –––––––––––––
x 3 - x + 1
4x
P[P(x)] = ––– = x
4
kx + 1
10.- Si P(x) = –––
–
––– y P[P(x)]es independiente de “x”
x - 8
Calcular: E = 64k2
Solución:
Cálculo de P[P(x)]
Á L G E B R A
- 53 -

kx + 1 k2
x + k + x - 8
k
(––––––
)+ 1 ––––––––––––––
kP(x) + 1 x - 8 x - 8
P[P(x)] = ––––––––– = –––––––––––– = ––––––––––––––
P(x) - 8 kx + 1 kx + 1 - 8x + 64
–––––– - 8 ––––––––––––––
x - 8 x - 8
(k2
+ 1)x + (k - 8)
P[P(x)] = ––––––––––––––––
(k - 8)x + 65
si es independiente de “x” se debe cumplir:
k2
+ 1 k - 8
––––– = –––––
k - 8 65
65(k2
+ 1) = (k - 8)2
Esta propiedad será demostrada en el Capítulo
de Polinomios Especiales.
Operando:
65k2
+ 65 = k2
- 16k + 64
64k2
+ 16k + 1 = 0
(8k + 1)2
= 0
8k + 1 = 0
1
de donde: k = - ––
8
luego:
1 1
E = 64k2
= 64(- ––)2
= 64(–––)= 1
8 64
Rpta.: E = 1
11.- Si P(x) = ax2
+ b y: P[P(x)] = 8x4
+ 24x2
+ c
Calcular : E = a + b + c
Solución:
Cálculo de P[P(x)]:
P[P(x)] = a [P(x)]2
+ b = a(ax2
+ b)2
+ b
= a3
x4
+ 2a2
bx2
+ ab2
+ b
= a3
x4
+ 2a2
bx2
+ (ab2
+ b) (A)
Como: P[P(x)] = 8x4
+24x2
+ c (B)
igualando (A) y (B):
a3
x4
+ (2a2
bx2
) + (ab2
+ b) = 8x4
+ 24x2
+ c
Igualando coeficientes de términos idénticos:
a3
= 8 ; a = 2
2a2
b = 24 ; b = 3
ab2
+ b = c ; c = 21
luego: E = 2 + 3 + 21 = 26
Rpta.: E = 26
12.- Sabiendo que: P(x - 1) = x2
- x + 1, calcular P(10)
Solución:
Sea: P(x) = ax2
+ bx + c (A)
luego:
P(x - 1) = a(x - 1)2
+ b(x - 1) + c
= ax2
- 2a x + a + bx - b + c
P(x - 1) = ax2
- (2a - b)x + (a - b + c)
Como: P(x - 1) = x2
- x + 1
Igualando coeficientes de términos idénticos:
a = 1
-(2a - b) = -1 ; 2a - b = 1
b = 1
a - b + c = 1 c = 1
Sustituyendo valores en (A):
P(x) = x2
+ x + 1
luego:
E = P(10) = (10)2
+ 10 + 1 = 111
Rpta.: E = 111
13.- Sabiendo que:
P(x + 2) = 6x + 1
y además: P[F(x)] = 12x - 17
Calcular F(15)
- 54 -
α
α α

Á L G E B R A
- 55 -
Solución:
Cálculo de P(x):
Sea P(x) = (ax + b)
luego:
P(x + 2) = a(x + 2) + b
= ax + (2a + b) (A)
Como por dato:
P(x + 2) = 6x + 1 (B)
Igualando los coeficientes de los términos idénti-
cos (A) y (B):
a = 6
2a + b = 1
b = -11
por lo tanto:
P(x) = ax + b = 6x -11
Cálculo de P[F(x)]:
P[F(x)] = 6F(x) - 11 = 12x - 17
6F(x) = 12x - 17 + 11
6F(x) = 12x - 6
F(x) = 2x - 1
Cálculo de F(15) = 2(15) - 1 = 29
Rpta.: F(15) = 29
x - 1 x + 1
14.- Si R(x) = ––––– ; S(x) = –––––
x + 1 x - 1
y además:
1
S[-R {S [R(-x)]}] = - ––
5
Calcular “x”
Solución.
Por partes:
-x - 1 x + 1
1) R(-x) = ––––– = –––––
-x + 1 x - 1
x + 1
––––– + 1
x + 1 x - 1
2) S[R(-x)] = S(–––––) = –––––––––
x - 1 x + 1
––––– - 1
x - 1
x + 1 + x - 1
–––––––––––
x - 1
= –––––––––––
x + 1 - x + 1
–––––––––––
x - 1
2x
S[R(-x)] = ––– = x
2
x - 1
3) R{S[R(-x)]} = R(x) = ––––––
x + 1
x - 1
4) S[-R{S[R(-x)]}] = S [-(––––––)]
x + 1
1 - x 1 - x + 1 + x
––––– + 1 –––––––––––––
1 - x 1 + x 1 + x
= S (–––––)= ––––––––– = –––––––
–––––––
1 + x 1 - x 1 - x - 1 - x
––––– - 1 ––––––
––––––––
1 + x 1 + x
2 1
= –––– = - ––
-2x x
1
5) Por el dato este valor es igual a - –– así:
5
1 1
- –– = - ––
x 5
Rpta.: x = 5
15.- Cuál es la variación que experimenta P(x), cuan
do “x” varía de -2 a -4, si:
x
P(x) = ––––––
1
1 - –––
x
Solución:
Para x = -2:
-2 -2 -2 4
P(-2) = ––––––– = ––––– = ––– = - ––
1 1 3 3
1 - –––– 1 + –– ––
(-2) 2 2
Para x = -4:
-4 -4 -4 16
P(-4) = ––––––– = ––––– = ––– = - –––
1 1 5 5
1 - –––– 1 + –– ––
(-4) 4 4

- 56 -
El cambio que experimenta es:
4 -16 4 16 -20 + 48 28
- –– - (–––)= - –– + ––– = –––––––– = –––
3 5 3 5 15 15
Como la diferencia es positiva, disminuye, luego disminuye en 28/15.
1. Si P(x) = x2n
+ x4n
+ x6n
+ …………
(2n + 1) sumandos; hallar:
E = P(1) + P(2) - P(-2) + P(3) - P(-3)
a) 2n b) 2n + 1 c) n
n 2n + 1
d) –– e) ––––––
2 2
2. Si: P(x+2) = 2(x+2)3
+ x2
+ 4x + 4
Calcular E = P(3)
a) 60 b) 63 c) 68 d) 65 e) 70
x2
+ 3x + 2
3.- Si f(x) = ––––––––––––
x2
- 3x - 2
calcular el valor de:
f(3) + 2f(2) + f(0)
E = –––––––––––––––––
f(3) + f(2) + 2f(1)
a)1,17 b) 2,5 c) 3,5
d) 4,5 e) 5,5
4.- Encontrar el valor de “a” para que:
f(x) = x4
+ a2
x2
- x
y g(x) = 2x3
- a - x + 1
tengan el mismo valor cuando x = 1
a) 0 y -1 b) -1 y 2 c) 1 y -1
d) 1 y 2 e) 0 y -2
5. Expresar como y = f(x) la expresión:
9
x4
y2
+ 3x3
y2
+ –– x2
y2
- 2x2
y - 3xy + 1 = 0
4
2x 2
a) y = ––––––– b) y = ––––––––
3x2
+ 2 2(2x + 3)
2 4x3
+ 13x2
c) y = ––––––– d) y = ––––––––––
2x2
- 3x 2(2x2
+ 3x)
2x
e) y = –––––––
3x2
- 2
6. Qué relación debe existir entre los valores m, n y
p para que la función:
mx2
+ p
f(x) = ––––––––
nx - p
sea siempre igual a la unidad y además x adopte-
un solo valor:
a) n2
+ 4mp = 0 b) n2
- 4mp = 0
c) n2
+ 3mp = 0 d) n2
- 8mp = 0
e) n2
+ 8mp = 0
1
7. Si P(x) = x - –– , calcular:
2
1
E = [2P(––)+ P(x) - P(-x)]4
x
1
a) x b) –– c) 1
x
1
d) ––– e) 0
2x
α
α α

8. Si P(x) = 2x3
- 7x2
+ 6, calcular:
-P [-P[-P(3)]]
E = ––––––––––––– {-P(2)}
3
a) 3 b) 1 c) 6 d) 9 e) 18
9. Hallar y = f(x) a partir de:
7x2
+ 2xy - 5y2
- 8x + 4y + 1 = 0
a) x+1 b) x2
+ 2 c) 2x - 1
1 1
d) –– x + 1 e) –– (7x + 1)
5 5
10. Sabiendo que f(x) = x2
- 2x + 1, hallar:
2
1
f(––)
2
[f (x) ]
E = –––––––––––––––––
f(x + 1) - f(x - 1)
a) 1/2 b) 1/6 c) 1/8 d) 1/4 e) 1/16
11. Si P (x) = x, y además:
P[F(x) + G(x)] = x + 4
P[F(x) - G(x)] = x - 2
Calcular:
F[G(x)]
a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5
12. Calcular el valor de E = (mn)2
+ 5 sabiendo que
P[P(x)] es independiente de “x” siendo:
mx + 1
P(x) = ––––––
x - n
a) 5 b) 4 c) 9 d) 6 e) 14
13. Si P(x) = (x2
+ 1)3
- (x2
- 1)3
hallar:
–––
1
P
( ––
)
√ 2
a) 5 b) 4 c) 2 d) 1 e) 3
14. ¿Cuál es la variación de:
1
P(x) = ––––––
x2
- n
si “x” varía entre 0,4 a 0,5?
1
a) Aumenta en ––
6
1
b) Disminuye en ––
6
c) No sufre variación
12
d) Aumenta –––
5
12
e) Disminuye –––
5
15. Si P(x) = x3
- 4x2
+ 3x - 3, hallar:
E = P[P(4)]
a) 417 b) 429 c) 212
d) 414 e) 180
16. Si P (x,y) = x3
+ y3
+ 3(x2
y + xy2
), calcular:
E = P(a + 1, 2 - a)
a) 1 b) 8 c) 27
d) 64 e) 125
17. Si P(x) = x2
-1, calcular:
E = P[P(x)] - x2
P(x)
Á L G E B R A
- 57 -

a) x2
b) 0 c) x
d) -x2
e) 1
x + 3
18. Si P(x) = ––––
–– , calcular:
x - 1
E = P[P(x)]
a) x b) 1 c) -x
d) 1/x e) x + 1
x + 2
19. Si P(x) = ––––
–– , calcular:
x - 1
E = P[ P {P[P(2)]}]
a) 18/15 b) 16 c) 6/5
d) 4 e) 0
20. Si P(x) = (x-1)2
-1; calcular:
P(x) + P(x + 2)
P = ––––-––––––––––
x2
a) 6 b) 1 c) 2
d) 4 e) 3
- 58 -
CLAVE DE RESPUESTAS
1) D 2) B 3) A 4) A 5) B
6) D 7) E 8) C 9) E 10) D
11) D 12) D 13) A 14) A 15) B
16) C 17) D 18) B 19) A 20) C
α
α α

POLINOMIOS ESPECIALES
POLINOMIOS ESPECIALES
Á L G E B R A
- 59 -
Son ciertos polinomios que por su importancia, es
necesario conocer. Los más usados son:
Polinomio Ordenado
Polinomio Completo
Polinomio Homogéneo
Polinomios Idénticos
Polinomios Idénticamente Nulos
Polinomios Entero en “x”
POLINOMIO ORDENADO
Con respecto a una letra, es aquel que se caracteriza
porque los valores de los exponentes de la letra con-
siderada van aumentando o disminuyendo, según
que la ordenación sea ascendente o descendente (cre-
ciente o decreciente).
Ejemplo:
Sea el polinomio:
P(x,y) = 4x3
y12
+ 5x7
y8
+ 4x12
y2
P es ordenado con respecto a “x” en forma ascen-
dente y es ordenado con respecto a “y” en forma
descendente.
POLINOMIO COMPLETO
Con respecto a una letra, es aquel que se caracteriza
porque todos los exponentes de la letra considerada
existen, desde el mayor hasta el cero inclusive;
denominando este último, “término independiente”
del polinomio con respecto a esa letra.
Ejemplos:
i) Sea el polinomio:
P(x,y) = 4x3
+ 5x2
y + 7xy2
+ 8y3
P es un polinomio completo con respecto a “x” y
su término independiente con respecto a esa
letras es 8y3
. También es completo con respecto
a “y” y su término independiente con respecto a
esta letra es 4x3
.
ii) P(x) = 9ax3
- 3x2
+ bx + (q + c)
Donde el término independiente es: (q + c)
PROPIEDADES DE UN POLINOMIO
COMPLETO
1) Si es de grado “n” (G.P. o grado del polinomio),
el número de términos,T.P. es igual al G.P. más
uno. Es decir:
# T.P. = G.P. + 1
2) El grado del polinomio completo es igual al
número de términos menos uno.
G.P. = # T.P. - 1
3) La diferencia de grados relativos de dos térmi-
nos consecutivos es igual a la unidad:
G.R.t(x + 1) - G.R.t(x) = 1
4) El término independiente contiene a la variable
con exponente cero.
POLINOMIO HOMOGENEO
Es aquel que se caracteriza por que todos sus térmi-
nos tienen igual grado absoluto (G.A.).

Ejemplo:
Sea el polinomio:
P(x,y) = 4x7
y12
+ 8x4
y15
+ 6x2
y17
123 123 123
t(I) t(II) t(III)
en este polinomio, se verifica que:
G.A.t(I) = G.A.t(II) = G.A.t(III) = 19
TERMINOS SEMEJANTES
Son aquellos que tienen igual parte literal, afectada
por los mismos exponentes, sin interesar los coefi-
cientes.
Ejemplo:
Los términos:
2x2
y3
, -5x2
y3
, -17x2
y3
son semejantes.
POLINOMIOS IDENTICOS
Son aquellos que se caracterizan porque sus términos
semejantes tienen iguales coeficientes.
La identidad de polinomios, se representa así: (≡).
En general una identidad se expresa de la siguiente
manera:
ax2
+ by2
+ cz2
≡ mx2
+ ny2
+ tz2
Como son idénticos, debe cumplirse siempre que:
a = m
b = n
c = t
Ejemplo:
Hallar a y b en la identidad:
2ax2
+ 15y2
≡ 12x2
+ 5by2
Solución:
Como es identidad se cumple que:
2a = 12 ⇒ a = 6
15 = 5b ⇒ b = 3
POLINOMIOS IDENTICAMENTE NULOS
Son aquellos que se caracterizan porque todos sus
coeficientes son idénticos a cero.
Ejemplo:
Si el polinomio:
P(x) = ax3
+ bx2
+ cx + d
es idénticamente nulo, quiere decir que:
a = b = c = d = 0
POLINOMIO ENTERO EN “x”
Es aquel que se caracteriza porque todos sus expo-
nentes son enteros y su única variable es “x”.
Un polinomio P(x), entero en “x” se representa así:
De primer grado:
P(x) = ax + b
De segundo grado:
P(x) = ax2
+ bx + c
De tercer grado:
P(x) = ax3
+ bx2
+ cx + d
y así, sucesivamente.
1.- Hallar m, p y b para que el polinomio:
P(x) = 5xm-18
+ 18xm - p + 15
+ 7xb - p + 16
123 14243 14243
t(I) t(II) t(III)
sea completo y ordenado en forma descendente.
Solución:
Como el polinomio debe estar ordenado en forma
descendente, los exponentes deben ir disminuyen-
do desde el t(I) hasta el t(III).
Como es completo, el menor exponente que es
igual a cero (por ser término independiente) co-
rresponde al t(III), el anterior igual a 1 y el prime-
ro igual a 2, así:
- 60 -
α
α α

Á L G E B R A
- 61 -
b - p + 16 = 0 (a)
m - p + 15 = 1 (b)
m - 18 = 2 (c)
∴ m = 20
En (b) :
20 - p + 15 = 1
∴ p = 34
En (a):
b - 34 + 16 = 0
∴ b = 18
Rpta.: m = 20
p = 34
b = 18
2.- Hallar la suma de coeficientes del siguiente po-
linomio:
––––
b b
√aa - b a b2 a
P(x, y) = axa
+ bx . y12
+ –– x3
y13
+ –– yb
b a
123 14243 14243 123
t(I) t(II) t(III) t(IV)
si es homogéneo.
Solución:
Si es homogéneo, se cumple:
G.A.t (I) = G.A.t (II) = G.A.t (III) = G.A.t (IV)
Entonces:
____
ab
=
b
√aa - b + 12 = 3 + 13 = ba
123 123 14243 123
(α) (β) (γ) (φ)
haciendo: (α) = (φ)
a
–
ab
= ba
⇒ a = b b
(ρ)
haciendo: (β) = (γ)
a - b
–––– ––––
b
√aa - b + 12 = 16 → a b
= 4
a
a ––
–– - 1
a b
ab
= 4 → ––– = 4 (θ)
a
Sustituyendo (ρ) en (θ) se obtiene:
a a
–– ––
a b
a b
––– = (––) = 4 = 22
a
b
––
b b
de aquí:
a
–– = 2
b
a = 2b (ξ)
reemplazando (ξ) en (ρ):
2b
––
–
b
(2b) = (b)
2b = b2
∴ b = 2
En (ξ) ; a = 2(2) = 4
Finalmente, la suma de coeficientes del polinomio es:
a b2
∑ de coeficientes = a + b + –– + ––
b a
4 4
= 4 + 2 + –– + ––
2 4
= 6 + 2 + 1
= 9
Rpta.: ∑ de coeficientes = 9
m
3.- Hallar –– si el polinomio:
n
P(x,y) = 3xm
yn
(2x2m+1
+ 7y6n+1
)
es homogéneo
Solución:
P(x,y) = 6x3m+1
yn
+ 21xm
y7n+1
123 14243
t(I) t(II)
Como es homogéneo, se cumple que:
G.A.t (I) = G.A.t (II)
∴ 3m + 1 + n = m + 7n + 1
3m - m = 7n - n

m 6
2m = 6m ; –– = –– =3
n 2
m
Rpta.: –– = 3
n
4.- Calcular la suma de los coeficientes del poli-
nomio homogéneo:
P(x,y) = 3pxn
2
-5
y12
+ 5(p - q)xp
yq
123 14243
t(I) t(II)
+ (13q + 4)xn2
y3n-14
144424443
t(III)
Solución:
Como es homogéneo:
G.A.t (I) = G.A.t (II) = G.A.t (III)
n2
- 5 + 12 = p + q = n2
+ 3n - 14
14243 123 14243
(α) (β) (γ)
haciendo α = γ :
n2
- 5 + 12 = n2
+ 3n - 14
21 = 3n
n = 7
haciendo α = β :
n2
- 5 + 12 = p + q
reemplazando “n”:
72
- 5 + 12 = p + q
56 = p + q (θ)
La suma de coeficientes del polinomio es:
S = 3p + 5(p - q) + 13q + 4
= 3p + 5p - 5q + 13q + 4
= 8p + 8q + 4 = 8(p + q) + 4
= 8(56) + 4
Rpta.: S = 452
5.- Si la expresión:
–––––––––––––––––––––––––––
x+y+z+3
P(x,y,z) = √y3
z3
x3y+3z
+ x3
z3
y3x+3z
+ x3
y3
z3x+3y
es homogénea, hallar su grado absoluto.
Solución:
Si es homogénea, los grados absolutos de cada tér-
mino deben ser iguales, es decir:
3+3+3y+3z 3+3 +3x+3z 3+3 +3x +3y
––––––––––––= ––––––––––– = ––––––––––– = G.A.
x+y+z+3 x+y +z+3 x+y +z +3
Usando la propiedad de serie de razones iguales:
3+3+3y+3z + 3+3 +3x+3z + 3+ 3 +3x +3y G.A.
––––––––––––––––––––––––––––––––––––– = ––
––
x+y+z+3 + x+y +z+ 3 + x+y +z +3 1
6(3 + x + y + z)
–––––––––––––– = 2 = G.A.
3(x + y + z + 3)
Rpta.: G.A. = 2
6.- Si el polinomio:
P(x)=(x2
- x + 3) (a - b) + (x2
- x + 4)(b - c)
+(x2
+ x + 5)(c-a)
es idénticamente nulo, hallar:
b + c
R = –––––– (I)
a
Solución:
Para que se anule el polinomio, siendo a, b y c
constantes, se debe cumplir:
a - b = 0 ⇒ a = b
b - c = 0 ⇒ b = c
c - a = 0 ⇒ c = a
a = b = c
Haciendo: a = b = c = t: y reemplazando en (I):
t + t
R = ––––– = 2
t
Rpta.: R = 2
P(x,y) = 2(a + b - c - d2
)x2
+ 3(b - de)xy
+ 4(b + c - a - e2
)y2
es idénticamente nulo, hallar el valor de:
d2
b 2a
E = –– + –– + ––
–
b e2
c
- 62 -
α
α α

Solución:
Si es idénticamente nulo, sus coeficientes son nu-
los, es decir:
a + b - c - d2
= 0 (I)
b - de = 0 (II)
b + c - a - e2
= 0 (III)
De (II) se obtiene:
b = de (IV)
Sumando (I) + (III) se tiene:
2b = d2
+ e2
(V)
Sustituyendo (IV) en (V):
2de = d2
+ e2
(V)
0 = d2
- 2de + e2
0 = (d - e)2
d - e = 0
d = e (1)
Sustituyendo dos veces en (IV):
b = d2
= e2
(2)
Sustituyendo en (I):
a + d2
- c - d2
= 0
a = c (3)
Sustituyendo adecuadamente (1), (2) y (3) en la
expresión pedida:
d2
b 2a
E = –– + –– + ––– = 1 + 1 + 2 = 4
d2
b a
Rpta.: E = 4
8.- Dado el polinomio:
P(x,y) = 5x5
- 4x4
y + xy4
encontrar el mayor coeficiente de otro polinomio
Q(x,y) sabiendo que:
1) S(x,y) = P(x,y) + Q(x,y) es completo y
homogéneo.
2) La suma de coeficientes de S(x,y) es 20.
3) Cada coeficiente de Q(x,y) es igual al que ante-
cede más 1.
Solución:
Dadas las condiciones, S(x,y) debe ser homogéneo
de grado cinco.
Como S (x,y) = P(x,y) + Q(x,y) es completo y
homogéneo de grado cinco, luego:
Q(x,y) = mx3
y2
+ nx2
y3
+ y5
ya que:
S(x,y) = 5x5
- 4x4
y + mx3
y2
+ nx2
y3
+ xy4
+ y5
es completo y homogéneo de grado 5.
Por la segunda condición:
5 -4 + m + n + 1 + p = 20
m + n + p = 18 (α)
Por la tercera condición:
m = a ; n = a + 1 ; p = a + 2
en (α): a + a + 1 + a + 2 = 18
a = 5
El polinomio buscado es:
Q(x,y) = 5x3
y2
+ 6x2
y3
+ 7y5
Rpta.: El mayor coeficiente es 7.
9.- Hallar el número de términos en el siguiente poli-
nomio:
P(x) = (m - 1)xm-6
+ (m - 2)xm-5
+ (m - 3)xm-4
+ …
si es completo.
Solución:
Se observa que los exponentes del polinomio van
aumentando, es decir que está ordenado en forma
ascendente.
Si el polinomio es completo, existe un exponente
cero, que corresponde al término independiente y
pertenece, en este caso, al primer término, es
decir:
m - 6 = 0 ⇒ m = 6
Á L G E B R A
- 63 -

reemplazando este valor:
P(x) = 5x0
+ 4x1
+ 3x2
+ 2x3
+ x4
+ 0x5
+ …
Como solamente hasta el término en x4
es com-
pleto, entonces tiene 5 términos.
Rpta.: El polinomio tiene 5 términos.
10.- Hallar el valor de p y q si se cumple la siguiente
identidad de polinomios:
13 - 2x ≡ p(2 - x) + q(1 + x)
Solución:
Efectuando operaciones y ordenando:
13 - 2x ≡ 2p - px + q + qx
13 - 2x ≡ (2p + q) + (q - p)x
Identificando los coeficientes:
2p + q = 13 (I)
q - p = -2 (II)
Restando (I) - (II):
2p + q - q + p = 15
3p = 15
p = 5
En (I) :
2(5) + q = 13
q = 3
Rpta.: p = 5
q = 3
OTRO MÉTODO: Como los valores de “q” y “p” no
dependen de los valores de “x”, se asigna valores a
“x”, de tal manera que se elimine incógnitas. Así:
Para x = 2; reemplazando:
13 - 2(2) = p(2 - 2) + q(1 + 2)
9 = 3q
q = 3
Para x = -1; reemplazando:
13 -2(-1) = p[2 - (-1)] + q(1 - 1)
15 = p[3]
p = 5
Rpta.: p = 5
q = 3
Se observa que este método es más sencillo; a con-
tinuación, se resuelve varios problemas con este
método.
11.- Hallar “m”, “n” y “p” en la siguiente identidad:
7x2
- 6x + 1 ≡ m(x -1)(x -2) + n(x - 3)(x - 2)
+ p(x - 3)(x - 1)
Solución:
Dando valores convenientes a “x”.
Para x = 1(desaparecen el primer y el tercer térmi-
no del miembro derecho)
7(1)2
- 6(1) + 1 = n(1 - 3) (1 - 2)
2 = n(-2)(-1)
n = 1
Para x = 2:
7(2)2
- 6(2) + 1 = p(2 - 3)(2 - 1)
17 = p(-1)(1)
p = -17
Para x = 3:
7(3)2
- 6 (3) + 1 = m(3 - 1)(3 - 2)
63 - 18 + 1 = m(2)(1)
m = 23
Rpta.: m = 23
n = 1
p = -17
12.- Calcular “p” y “q” en la identidad:
p(x + 5)2
- q(x - 5)2
= 3(x + 5)2
+ 4(2p + q)x
Solución:
Dando valores a “x”:
Para x = -5
p(5)2
- q(-5)2
= 3(5)2
25p - 25q = 75
p - q = 3 (I)
- 64 -
α
α α

Á L G E B R A
- 65 -
Para x = -5:
p(0)2
- q(-10)2
= 3(0)2
+ 4(2p + q)(-5)
- q(100) =- 20(2p + q)
5q = 2p + q
4q = 2p
p = 2q (II)
Reemplazando (II) en (I):
2q - q = 3
q = 3
En (II): p = 6
Rpta.: p = 6
q = 3
13.- Calcular E = m + n + p en la siguiente identidad:
10x2
+ 5mx - 5 ≡ m(x2
- 1) + n(x-2)(x-1)
+ p(x - 2)(x + 1)
Solución:
Dando valores a “x”; para x = 2:
10(2)2
+ 5m(2) - 5 = m(22
- 1)
40 + 10m - 5 = 3m
35 = -7m
m = -5
Reemplazando en la identidad:
10x2
- 25x - 5 ≡ -5(x+1)(x -1) + n(x-2)(x-1)
+p(x-2)(x+1)
Para x = 1:
10(1)2
- 25(1) - 5 = p (1 - 2) (1 + 1)
10 - 30 = p(-1)(2)
p = 10
Para x = -1:
10(-1)2
- 25(-1) - 5 = n (-1 - 2) (-1 - 1)
10 + 25 - 5 = n(-3)(-2)
30 = 6n
n = 5
El valor pedido será:
E = m + n + p = -5 + 10 + 5 = 10
Rpta.: E = 10
14.- Calcular E = a + b + c en la siguiente identidad:
18x3
- 3x2
- 4x + 1 a(bx + a)a
(cx - a)b
Solución:
Analizando la identidad se observa que el produc-
to indicado es de tercer grado, lo que hace nece-
sario que a = 1 y b = 2, ya que uno de primer grado
con uno de segundo da como resultado uno de
tercero. Luego, la identidad es:
18x3
- 3x2
- 4x + 1 ≡ (bx + 1) (cx - 1)2
18x3
- 3x2
- 4x + 1 ≡ (bx + 1) (c2
x2
- 2cx + 1)
≡ bc2
x3
- 2bcx2
+ bx + c2
x2
- 2cx + 1
Identificando coeficientes:
bc2
= 18 (α)
- 2bc + c2
= - 3 (β)
b - 2c = -4
b = 2c - 4 (θ)
(θ)en (β): -2c(2c - 4) + c2
= -3
-4c2
+ 8c + c2
= -3
3c2
- 8c - 3 = 0
También: (3c + 1)(c - 3) = 0
y de aquí: c = 3
En (θ): b = 2
∴ E = a + b + c = 1 + 2 + 3 = 6
Rpta.: E = 6
15.- Calcular “d” en:
2x3
+ 6x2
+ 15x + 20 ≡ a(x + c)3
+ b(x + d)

Solución:
Efectuando y ordenando:
2x3
+ 6x2
+ 15x =20 ≡ ax3
+ 3ax2
c
+(3ac2
+ b)x + (ac3
+ bd)
a = 2
3ac = 6 ⇒ c = 1
15 = 3ac2
+ b ⇒ b = 9
20 = ac3
+ db ⇒ d = 2
Rpta.: d = 2
16.- Calcular E = a + b, si la fracción:
(a - b)x2
+ xy + (3b - a + 1) y2
–––––––––––––––––––––––––––––
(a + b)x2
+ 5xy + 2(3a - 2b) y2
es independiente de x é y.
Solución:
Si la fracción es independiente de “x” e “y”, toma
un valor constante que no depende de estos valores;
sea “k” este valor:
(a - b)x2
+ xy + (3b - a + 1) y2
––––––––––––––––––––––––––––– ≡ k
(a + b)x2
+ 5xy + 2(3a - 2b) y2
Efectuando:
(a - b)x2
+ xy +(3b - a + 1)y2
≡ k(a + b)x2
+ 5kxy + 2(3a - 2b)ky2
a - b
a - b = k (a + b) ⇒ k = –––––
a + b
1
1 = 5k ⇒ k = ––
5
3b - a + 1
3ab - a + 1 = 2k(3a - 2b) ⇒ k = ––––––––––
2 (3a - 2b)
Por lo tanto:
a - b 1 3b - a + 1
––––– = –– = –––
––––––
a + b 5 2(3a - 2b)
123 123 14243
(α) (β) (γ)
(α) = (β):
a - b 1
––––– = ––
a + b 5
5a - 5b ≡ a + b
de donde: 2a = 3b (1)
(β) = (γ):
1 3b - a + 1
–– = ––––
–––––
5 2(3a - 2b)
6a - 4b = 15b - 5a + 5
de donde: 11a - 19b = 5 (2)
De (1) y (2) se obtiene:
a = -3
b = -2
Por lo tanto:
E = a + b = -2 - 3 = -5
Rpta.: E = -5
P(x) = (ab - ac-n2
)x2
+ (bc - ba - 2n)x
+(ca - cb-1)
es idénticamente nulo, calcular el valor de:
1 2 1
E = –– - –– + ––
a b c
Solución:
Si es idénticamente nulo, se cumple:
ab - ac - n2
= bc - ba - 2n = ca - cb - 1 = 0
14243 14243 14243
(α) (β) (γ)
Sumando (α) + (β) + (γ) se obtiene:
ab - ac - n2
+ bc - ba -2n + ca - cb - 1 = 0
n2
+ 2n + 1 = 0
(n + 1)2
= 0
n = -1
Por lo tanto:
(α): ab - ac - 1 = 0 ⇒ ab - ac = 1 (I)
(β): bc - ba + 2 = 0 ⇒ bc - ba = -2 (II)
(γ): ca - cb - 1 = 0 ⇒ ca - cb = 1 (III)
- 66 -
α
α α

De la ecuación (I):
1
b - c = ––
a
De la ecuación(II):
2
c - a = ––
b
De la ecuación (III):
1
a - b = ––
c
Entonces, el valor pedido será:
E = b - c + c - a + a - b = 0
Rpta.: E = 0
18.- Sabiendo que el polinomio:
P(x)= n(n2
-1)xa2-a+1
- 2xn(n + 1)a
2
-a+2
+ (n-2)xa2+a-1
1442443 1442443 1442443
t(I) t(II) t(III)
es homogéneo, hallar la suma de sus coeficientes.
Solución:
Si es homogéneo, se cumple:
G.A.t(I)
= G.A.t(II)
= G.A.t(III)
a2
- a + 1 = n(n + 1)a2
- a + 2 = a2
+ a - 1
123 1442443 123
(α) (β) (γ)
Haciendo (α) = (γ):
a2
- a + 1 = a2
+ a - 1
a = 1
Haciendo (α) = (β):
a2
- a + 1 = n(n + 1)a2
- a + 2
reemplazando el valor hallado de a = 1:
1 - 1 + 1 = n(n + 1) (1) - 1 + 2
0 = n(n + 1)
de aquí: n = 0 ó n = -1
Para n = 0, la suma de coeficientes es:
n(n2
- 1) - 2 + n - 2
- 2 - 2 = -4
Para n = -1, la suma de coeficientes es:
(-1) (0) -2 - 1 - 2 = -5
Rpta.: S = -4 o S = -5
19.- De un polinomio P(x,y) completo y homogéneo
de grado 8 y ordenado crecientemente respecto a
“x” se ha tomado tres términos consecutivos,
que son:
… + xa
yb + 2
+ B + xb
ya + 2
+ …
Hallar el grado respecto a “y” de la expresión “B”.
Solución:
Para que B reúna las condiciones establecidas debe
tener la forma:
B = xb-1
ya+3
observando que: a = b - 2
Por lo tanto, se deduce que la serie es:
… + xa
yb+2
+ xb-1
ya+3
+ xb
ya+2 +
…
123 123 123
t(α) t(β) t(γ)
Por ser homogéneo:
G.A.t(α) = G.A.t(β) = G.A.t(γ)
a + b + 2 = a + b + 2 = a + b + 2 = 8
∴ a + b = 6 (I)
Por ser completo, la diferencia de grados relstivos
es 1:
b - 1 - a = 1
b - a = 2 (II)
De (I) y (II) se obtiene:
b = 4
a = 2
∴ la expresión es:
B = x3
y5
y su grado relativo a “y” es 5.
Rpta.: G.R.B
(y) = 5
20.- Calcular E = 2B + 3C en la identidad:
6 Ax + B C
–––––––––––––––––– = –––––––– + –––––––
(2x2
+ 1) (3x + 1) x2
+ m x + n
Solución:
6 (Ax + B) (x + n) + C (x2
+ m)
––––––––––––––––––– = –––––––––––––––––––––––––
1 1
6
(x2
+ ––
)(x + ––
) (x2
+ m) (x + n)
2 3
Á L G E B R A
- 67 -

de esta relación como es una identidad, se cumple:
1 1
a)
(x2
+ ––
)(x + ––
)= (x2
+ m) (x + n)
2 3
de donde:
1
m = ––
2
1
n = ––
3
además:
1 1
b) 1 ≡ (Ax + B)
(x + ––
) + C
(x2
+ ––
)
3 2
efectuando:
A B C
1 ≡ Ax2
+ –– x + Bx + –– + Cx2
+ ––
3 3 2
A B C
1 ≡ (A + C)x2
+
(–– + B
)x +
(–– + ––
)
3 3 2
identificando coeficientes:
A + C = 0 (I)
A
–– + B = 0 (II)
3
B C
–– + –– = 1 (III)
3 2
De (III), efectuando, se tiene el valor de E:
E = 2B + 3C = 6
Rpta.: E = 6
- 68 -
α
α α
1. Si el polinomio:
P(x) = (n - 2)xn-9
+ (n - 3)xn-8
+ (n - 4)xn-7
es ordenado y completo hallar el número de tér-
minos.
a) 9 b) 10 c) 7 d) 6 e) 5
2. Hallar la suma de los coeficientes del siguiente
polinomio homogéneo:
P(x,y,z) = a2
xaa-5
- b4
ya3
+ ab-2
zba+1
a) 48 b) 64 c) 12 d) 50 e) 46
3. Calcular E = m + n + p en la identidad:
m n p x2
- 10x + 13
–––– + –––– + –––– ≡ ––––––––––––––––
x - 1 x - 2 x - 3 (x - 1)(x - 2)(x - 3)
a) 10 b) 9 c) 8 d) 2 e) 2
4. Calcular E = a + b + c + d si el polinomio es com-
pleto, ordenado descendentemente:
P(x) = 2xc+d-1
+ 5xb-c+1
+ 7xa+b-4
+ 8xa-3
a) 5 b) 9 c) 4 d) 3 e) 2
5. Si el trinomio:
–––– –––– ––––
P =
a
√ xa+b +
b
√ xb-c +
c
√ xa+c
es homogéneo de grado 10, de qué grado será el
monomio:
––– ––– ––
–
M =
a
√ xb +
c
√xa +
b
√xc
a) 5 b) 27 c) 9 d) 12 e) 8
6. Calcular la suma de coeficientes, si el polinomio:
P (x,y,z) = (m + n)xmn
+ (m - n)ynm
+ (m2
- n2
)zmm-n
es homogéneo.
a) 12 b) 4 c) 2 d) 8 e) 20
7. ¿Cuál es la condición necesaria y suficiente para
que:
P(x,y,z,w) = xm+n+p
+ yn+p+q
+ zp+q+m
+ wm+n+q
sea homogéneo:
a) m = n +p + q b) m = n = p = q
c) m = -n = -p = -q d) m = n - p + q
e) m + n = p + q

8. Si el polinomio es homogéneo:
4ay
bx
2 ax+y
cz
P(a,b,c,) = ax
b5
cz
+ cy
az
b - ––––
–– - –– ––––
––––
c 3 a3
––
z
√xy
calcular: E = [xzx-x
]
a) 10 b) 16 c) 64 d) 27 e) 256
9. Dado el polinomio homogéneo:
P = 3a4
- 2a2
b2
+ 5ab3
determinar el polinomio que debe agregarse a P
para que el polinomio resultante sea un poli-
nomio homogéneo y completo, tal que la suma
de sus coeficientes sea 16 y su valor numérico
para a = 2, b = 1 sea 88.
a) 2ab3
+ 4b4
b) 3a3
b - 5b4
c) 4a3
b + 6b4
d) 6a3
b + 4b4
e) 3a3
b + 6b4
10. Si el polinomio P(x,y) homogéneo, es de doble
grado que el polinomio Q (x,y) y además que el
grado con respecto a “y” en P(x,y) es el doble
que en Q(x,y) hallar la suma de coeficientes de
P(x,y) + Q(x,y) siendo:
P (x,y) = mnx4m
y3n+2
- nx2m
y5n+4
- mx3n
y5n+1
Q (x,y) = mnx3m-1
yn
- mxm-2
y3n+1
- nxm-1
y3n
a) 12 b) 10 c) 2 d) 4 e) 6
11. Calcular la suma de los coeficientes del poli-
nomio:
P(x,y)= 8axn2 -2
y4
+ 6(a-b)xa+b
+(20b-5)xn2
y3n-6
a) 147 b) 157 c) 227 d) 237 e) 247
12. Calcular el valor de E = m-n siendo m > n de tal
manera que se cumple:
m(x + n) + n (x + m) ≡ 3x - 56
a) 14 b) 11 c) 10 d) 16 e) 18
13. Calcular el valor de “d” en:
4x4
+ 4x2
+d ≡ (x2
- x+ 2) (ax2
+bx+c)+bx4
-2x
a) 2 b) 1 c) 0 d) 3 e) 4
14. Calcular “a” en:
5x2
+ (a + 5)x - 64 ≡ 5(x - 2)(x + 4) + 3(x - a)
a) 5 b) 7 c) 8 d) 3 e) 1
15. Calcular “c” en la identidad:
3x5
- 2x4
+ 3x - 7 ≡ a(x-1)5
+ b(x-1)4
+ c(x-1)3
+ d(x - 1)+ e
a) 10 b) 20 c) 22 d) 18 e) 13
Á L G E B R A
- 69 -
CLAVE DE RESPUESTAS
1) C 2) D 3) E 4) B 5) B
6) E 7) B 8) B 9) D 10) C
11) E 12) B 13) E 14) C 15) C

- 70 -
α
α α
SUMA Y RESTA
Para sumar o restar expresiones algebraicas, se suma o
se resta términos semejantes. Se denomina términos
semejantes a aquellos que tienen la misma parte literal
afectada por los mismos exponentes, los coeficientes
pueden ser iguales o diferentes.
En las expresiones algebraicas se utiliza los “signos
de agrupación”, conocidos también el con nombre de
signos de colección. Los más importantes son:
Paréntesis ( ) corchetes [ ]
llaves { } barra horizontal ——-
barra vertical ⎟
⎟
SUPRESIÓN DE SIGNOS DE COLECCIÓN
Es la operación que permite eliminar los signos de
agrupación; se opera así:
1) Cuando el signo de colección está precedido del
signo más, se elimina sin producir ningún cambio:
a + (b - c) = a + b - c
2) Cuando el signo de colección está precedida del
signo menos, se elimina cambiando de signo a
todos, los términos que se encontraban dentro de
él, así:
a - (b - c) = a - b + c
INTRODUCCIÓN DE SIGNOS DE
COLECCIÓN
Es la operación que permite agrupar dos o más tér-
minos en uno; esta operación se realiza así:
1) Cuando va a ir precedido del signo más, se escribe
el signo de colección respectivo, sin realizar
ningún cambio de signo a los términos que
quedan dentro de él. Así:
a + b - c = a + (b - c)
2) Cuando va a ir precedido del signo menos, se
escribe el signo de colección respectivo cambian-
do del signo a todos los términos que se intro-
ducen. Así:
a - b + c = a - (b - c)
1.- Simplificar:
––––
E = -{a - 2b -[2a - 3b - (2a - 3b - a - b )]}
Solución:
Eliminemos en primer término la barra y a contin-
uación el paréntesis:
E = - {a - 2b - [2a - 3b - 2a + 3b + a - b]}
Se observa que la barra, por estar con signo menos
alteró los signos al ser retirada.
Eliminando la llave:
E = - a + 2b + [2a - 3b - 2a + 3b + a - b]
Eliminando el corchete:
E = - a + 2b + 2a - 3b - 2a + 3b + a - b = b
Rpta.: E = b

2.- Simplificar:
–––––
–––––
E =2a-3b-2c+d-{-a -[b-(a-b - c - -d+b-a+c)]}
Solución:
Eliminando paréntesis y barra:
E =2a-3b-2c+d- {-a -[b - a + b + c + b - a + c-d]}
Eliminado corchetes y llaves:
E =2a-3b-2c+d+ a+b-a+b+c+b -a+c-d = a
Rpta.: E = a
3.- Simplificar:
E = (-x-x-x- … -x) + (3x + 3x + 3x + …+3x)
14243 1442443
n
(n-2) veces –– veces
3
Solución:
Efectuando por partes:
(-x-x-x- … -x) = (n - 2)(-x) = -nx + 2x
14243
(n-2) veces
n
(3x + 3x + 3x + …+3x) = (3x) (––)= nx
1442443 3
n
(––)veces
3
Luego:
E = (-nx + 2x) + (nx) = 2x
Rpta.: E = 2x
4.- Simplificar:
E=(n+n+n+…+n)- [10
n+20
n+30
n+…+(n-2)0
n]
14243
(n + 2) veces
Solución:
(n+n+n+…+n) = (n + 2)n = (n2
+ 2n) (I)
14243
(n + 2) veces
Por otro lado, y en general, se tiene que a0
=1,
luego la expresión:
[10
n + 20
n + 30
n + 40
n +… + (n - 2)0
n]
es igual a:
[n + n + n + … + n]
debe hallarse el número de términos, para lo cual
basta, con fijarse en el coeficiente que tenía origi-
nalmente, por lo tanto será:
[n + n + n + … +n] = [n(n - 2)] = [n2
- 2n] (II)
14243
(n - 2) veces
Reemplazando (I) y (II) en la expresión dada:
E=(n2
+ 2n)-[n2
- 2n]= n2
+ 2n - n2
+ 2n = 4n
Rpta.: E = 4n
5.- Simplificar:
R=-{(a + a + … + a) - (-b - b -…)
14243 14243
“m” veces (2m - 1) veces
-[(a + 2b) + (a + 2b) + … + (a+2b)]}
144424443
“m” veces
Solución:
(a + a + … + a) = (m . a)
1442443
“m” veces
(-b - b - …) = (-b) (2m - 1) = (-2m + b)
14243
(2m -1) veces
[(a+2b)+(a+2b)+…+(a+2b)]= (a+2b)m = am+2bm
1442443
“m” veces
Reemplazando en la expresión:
R = - [ma -(-2mb + b) - (am+2bm)]
R = - ma = b - b - 2mb + am + 2bm = b
Rpta.: R = b
Á L G E B R A
- 71 -

- 72 -
1. Si los polinomios:
A = 3x4
- 5x2
+ x - 1
B = 2x4
+ x3
- 2x + 3
C = 4x3
- x2
+ 7
D = 3x2
- 4x + 2
E = x4
- 2x3
+ 5x
F = -x3
- 9x
G = -x4
- 3x3
- x2
+ 3x - 9
Calcular :
M = A - {B + C - [D - E - (F + G)]} - x3
a) 2x4
b) x3
c) x4
d) x3
e) 2x
2. Hallar P + Q siendo:
––––––––––––––––
–––––––––––––
––
–––
P = -{-x - y - -x - -y - [-x - -y - x]}
––––––––––––––––––––––––––
––––––––––––––
––––––––
––––––
–––––––––––––
––––––––––––
Q = 2x + -3x- -y - y - x + 2(x - y) - 2y
a) 2y b) 3y c) y d) -y e) -2y
3. Simplificar:
–––––––––––––––
––-––
E = - [a - b - (a - b - a - (a - -b - a))] - b
a) 2a b) a c) 3a d) b e) 2b
4. Simplificar:
E = -(-2x - 2x - 2x -… -2x) - 2[(2x - x)
1442443
n veces
+(3x - 2x) + (4x - 3x)+(5x - 4x) + …
+…(n + 1) x - nx]
a) nx b) x c) 0
d)(n+1)x e) -nx
5. Simplificar:
–––––
E = 2a - {3b + (2b - c) - 4c + [2a - (3b - c - 2b)]}
a) 2c b) 3c c) 5c d) 4c e) 0
6. Simplificar:
––––––––––––––––
––––––––
–––––
––
––––
–– –––––––––––––
E = - -x - -x - … - -x- -x - - x - x - … -x
1442443 1442443
(2n+1) veces (n-1) veces
a) 0 b) nx c) x d) 2x e) 2nx
7. Simplificar:
––––––––––
E = - {a - 2b + c - 2a - 3d + c + [-(d - 2c)
–––––––
+ (a - -2b + c - d - 2c)]}
a) a b) b c) c d) d e) 0
8. Simplificar:
––––––
––––––
E = 2x - {-y + [2 - (-x - y - 2 + (x - y)]}
a) x b) 0 c) y d) 2y e) 2x
9. Simplificar:
––––––––––––––––––––––
–––––––––––––
–––
–––
E = - {-2b - 2(-3b + a - 2a - 3b - 2a - b - -3a - 3)}
a) 2 b) 6 c) a d) 2a e) 3b
10. Simplificar:
––––––––––––––––––––––––––––––
–––––––––––––––––
–––– –––
E = -a-b - -4a-b-{a-3b-2a-b-(4a-b-2a-b)}
a) 2a b) a c) 3a d) 4a e) 5a
11. Simplificar:
––––––––
E = [(a + a + a + … +a) - a + b - c +
1442443
(n+1) veces
+ ( -b - b - b - … -b) + b +
14442443
2n veces
+ (c + c + c + … + c)] + na + 3nc
1442443
(3n-1) veces
α
α α

a) b b) 2na c) nb d) nc e) na
12. Una persona A, tiene a pesetas, otra persona B
tiene b pesetas, las dos juntan su dinero y gastan
en tres ocasiones diferentes una suma descono-
cida x. En el momento de separarse, A toma una
suma c. Lo que le queda a B es:
a) a + b + 3c - x b) a + b + x - c
c) a + b - x - c d) a + b - 3x - c
e) a + b + 3x - c
13. Tengo en la mano izquierda 3 piezas de mone-
da más que en la derecha; si tomo 5 de éstas
para ponerlas en la primera, ¿cuántas hay en
cada una, siendo x el número piezas de mone-
da de la derecha?
a) En la izquierda hay doble que en la derecha.
b) En la derecha hay x-5, y en la izquierda x + 8.
c) El número de piezas es igual en las dos
manos.
d) Hay (x + 3) en la mano derecha y x=8 en la
izquierda.
e) En la mano derecha hay doble que en la
izquierda.
CLAVE DE RESPUESTAS
1) C 2) C 3) C 4) C 5) D
6) B 7) B 8) C 9) B 10) D
11) C 12) B 13) B
Á L G E B R A
- 73 -

MULTIPLICACIÓN DE EXPRESIONES
ALGEBRAICAS
Es la operación que consiste en obtener una expre-
sión llamada producto total, conociendo otras dos
llamadas multiplicando y multiplicador.
PRODUCTO INDICADO
Como su nombre lo indica es la expresión todavia no
efectuada, donde se indica multiplicando y multipli-
cador.
Ejemplo: (a + b + mc)(ax - b)
PROPIEDADES DE LA MULTIPLICACIÓN
1) El grado del producto es igual a la suma de los gra-
dos de los factores.
2) El término independiente del producto es igual al
producto de los términos independientes de los
factores.
Ejemplo:
Hallar el grado y el término independiente del
producto siguiente:
(4x4
+5x2
+6) (7x5
+6x2
+2) (3x2
+6x-3) (2x-5)
14243 14243 14243 123
f(1) f(2) f(3) f(4)
Solución:
1) Grado del producto =
grado de f(1) + grado de f(2)
+ grado de f(3) + grado de f (4)
G.P. = 4 + 5 + 2 +1
G.P. = 12
2) Término independiente del producto
T.I.P. = [T.I. de f(1)] [T.I. de f(2)]
.[T.I. de f(3)] [T.I. de f(4)]
T.I.P. = (6) (2) (-3) (-5)
T.I.P. = 180
1.- Calcular el valor de “n” si el grado del producto:
(x + 1) (x2
+ 2) (x3
+ 3) (x4
+ 4) … (xn
+ n)
es igual a 210.
n(n + 1)
Dato: 1= 2 + 3 = 4 + …. + n = –––––––––
2
Solución:
Grado de producto =1 + 2 + 3 + 4 + … + n = 210
Por dato del problema:
n(n + 1)
––––––––– = 210
2
n(n + 1) = 420
n(n + 1) = 20 . 21
∴ n = 20
Rpta.: n = 20
2.- Hallar el valor de “n” si el grado del producto de
los tres polinomios:
P(x) = (2xnnn
+ 3xnnn
+ 1)nnn
Q(x) = (3xnnn
+ 4xn
+ 2)
2
R(x) = (5x + 3)
es 289
Dato: a2
+ 2a + 1 = (a + 1)2
Solución:
El grado del producto es:
(nnn
)(nnn
) + (nnn
) 2 + 1 = 289
haciendo: nnn
= a se obtiene:
(a) (a) + 2a + 1 = 289
a2
+ 2a + 1 = 289
(a + 1)2
= 289
a + 1 = 17
a = 16
- 74 -
α
α α

Reemplazando:
a = nnn
= 16 = 222
Por lo tanto: n = 2
Rpta.: n = 2
3.- Hallar el grado de los polinomios P y Q sabiendo
que el grado de P3
(x) . Q(x) es 17 y el grado de
P2
(x) . Q3
(x) es 23.
Solución.
Sean los grados de los polinomios P y Q, respec-
tivamente m y n, por lo tanto:
El grado de P3
(x) será:
3m
Mientras que el grado de P3
(x) . Q(x) será:
3m + n = 17 (α)
El grado de P2
(x) será:
2m
El grado de Q3
(x) será:
3n
y, el grado de P2
(x) . Q3
(x) será:
2m + 3n = 23 (β)
Calculemos los valores de “m” y “n” con (α) y (β):
Multiplicando (α) . (-3) y luego sumando (β):
-9m - 3n = -51
2m + 3n = 23
–––––––––––––––
- 7m = -28
m = 4
Reemplazando en (α):
3(4) + (n) = 17
n = 5
Rpta.: Grado de P (x) = 4
Grado de Q(x) = 5
4.- Hallar el grado del siguiente producto indicado:
[x(2)(1)
+ 1] [x(4)(4)
+ 1] [x(6)(9)
+ 1][x(8)(16)
+ 1] …
considerar “n” factores.
n(n + 1) 2
Datos: 13
+ 23
+ 33
+ 43
+ …+ n3
= [––––––––]
2
Solución:
El grado del producto indicado es:
G.P.I. = (2)(1) + (4)(4) + (6)(9) + (8)(16) + …
Extrayendo factor común 2:
G.P.I. = 2 [1 + 2 . 4 + 3 . 9 + 4 . 16 + …]
G.P.I. = [13
+ 23
+ 33
+ 43
+ … + n3
]
n(n + 1) 2
n2
(n + 1)2
G.P.I. = 2 [––––––––] = ––––––––––
2 2
n2
(n + 1)2
G.P.I. = ––––––––––
2
5.- Hallar el valor de “n” si el término independiente
del producto:
(x2
+ 2) (x4
+ 4) (x8
+ 8) (x16
+ 16) … (x2
+ 2n)
es 2325
n(n + 1)
Dato: 1 + 2 + 3 4 + … + n = ––––––––
2
Solución:
El término independiente del producto es:
(2) (4) (8) (16) … (2n
) = 2325
(2)1
(2)2
(2)3
(2)4
… (2n
) = 2325
que se escribe también como:
21+2+3+4+ … +n
= 2325
Por dato se tiene:
n(n + 1)
–––––
2 2
= 2325
Á L G E B R A
- 75 -

n(n + 1)
de aquí: –––––––– = 325
2
n(n + 1) = 650
n(n + 1) = 25 . 26
Rpta.: n = 25
CASOS QUE SE PRESENTAN EN LA
MULTIPLICACIÓN
I) Cuando son dos monomios.
Se multiplica los signos, luego los coeficientes y
por último las partes literales utilizando la teoría
de los exponentes.
II) Cuando son dos polinomios.
En este caso se puede utilizar dos métodos.
a) Método normal.- Se ordenan los polinomios
preferentemente en forma descendente y se es-
criben uno debajo del otro. A continuación se
multiplica separadamente cada término del
multiplicador, por cada uno de los términos del
multiplicando, sus signos, sus coeficientes y
sus letras; y se obtiene los productos parciales,
los cuales se escriben en forma ordenada uno
debajo del otro del mismo grado y se suma or-
denadamente obteniéndose el producto total.
Ejemplo: Efectuar:
(4x3
+ 5x2
y + 7xy2
- 2y3
)(2x2
-5xy+3y2
)
Solución:
Disposición de la operación:
4x3
+ 5x2
y + 7xy2
- 2y3
2x2
- 5xy + 3y2
––––––––––––––––––––––––––––––
8x5
+ 10x4
y + 14x3
y2
- 4y2
x3
-20x4
y - 25x3
y2
- 35x2
y3
+ 10xy4
+12x3
y2
+ 15x2
y3
+ 21xy4
- 6y5
––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––
8x5
- 10x4
y + x3
y2
- 24x2
y3
+ 31xy4
- 6y5
b) Método de Coeficientes Separados.-
En este método se debe tener en cuenta lo si-
guiente:
1) Los polinomios deben estar ordenados descen-
dentemente.
2) Se escriben los coeficientes del multiplicando, y
multiplicador en línea horizontal, uno debajo
del otro.
3) Se opera como en el método anterior, corriendo
un lugar hacia la derecha después de obtener
cada producto parcial.
4) Para obtener el grado del producto total se apli-
ca la propiedad del grado del producto.
5) Este método es recomendable para polinomios
de una sola variable.
6) En caso de faltar una potencia de la variable se
completa con coeficiente cero.
Ejemplo: Efectuar:
(4x3
+ 7x2
- 6) (2x2
- 3x-4)
Solución:
La operación se dispone de la siguiente manera:
4 + 7 + 0 - 6
2 - 3 - 4
–––––––––––––––––––––––
8 + 14 + 0 - 12
- 12 - 21 - 0 + 18
- 16 - 28 - 0 + 24
––––––––––––––––––––––––––––––––––––––
8 + 2 - 37 - 40 + 18 + 24
El grado del producto es:
3 + 2 = 5
El producto total es:
8x5
+ 2x4
- 37x3
- 40x2
+ 18x + 24
PRODUCTOS NOTABLES
DEFINICIÓN.-
Denominados también “identidades algebraicas”.
Son aquellos productos cuyo desarrollo es clásico y
por ésto se le reconoce fácilmente. Los más impor-
tantes son:
- 76 -
α
α α

I) Cuadrado de una suma y una diferencia.
• (a + b)2
= a2
+ 2ab + b2
• (a - b)2
= a2
- 2ab + b2
En general
(a ± b)2
= a2
± 2ab + b2
II) Producto de una suma por su diferencia.
Es igual a la diferencia de cuadrados:
(a + b)(a - b) = a2
- b2
III) Cuadrado de un trinomio.
(a + b + c)2
= a2
+b2
+ c2
+ 2ab + 2ac + 2bc
IV) Cubo de una suma o diferencia.
• (a + b)3
= a3
+ 3a2
b + 3ab2
+ b3
• (a - b)3
= a3
- 3a2
b + 3ab2
+b3
(a ± b)3
= a3
± 3a2
b + 3ab2
± b3
V) Producto de dos binomios que tienen un tér-
mino común.
(x + a) (x + b) = x2
+ (a + b)x + ab
VI) Producto de un binomio por un trinomio que
da una suma o diferencia de cubos.
• (a + b) (a2
- ab + b2
) = a3
+ b3
• (a - b) (a2
+ ab + b2
) = a3
- b3
De manera general:
(a ± b) (a2
ab + b2
) = a3
± b3
VII) Identidades de Legendre
• (a + b)2
+ (a - b)2
= 2(a2
+ b2
)
• (a + b)2
- (a - b)2
= 4ab
VIII) Identidades de Lagrange
• (ax + by)2
+ (bx - ay)2
= (x2
+ y2
)(a2
+ b2
)
• (ax + by + cz) + (bx - ay)2
+
+ (cx - az)2
+ (cy - bz)2
= (a2
+ b2
+ c2
)(x2
+ y2
+ z2
)
1.- Efectuar:
––––––––––––––––––
––––––
–––––
2
n
E = √b2
n
+ √b2n+1
- a2n
.
––––––––––––––
–––
––––––
–––––
2
n
√b2
n
- √b2n+1
- a2n
Solución: Haciendo el cambio:
b2
n
= x
b2n+1
= b2n
. 2 = [b2n
]
2
= x2
a2n
= y
Se obtiene:
__________ ________
__
_____ _____
2
n
2
n
E = √x + √x2
- y . √x - √ x2
- y
Por tener iguales índices los radicales, se escribe:
n ________________________
––––– –––––
E = √ (x + √ x2
- y)(x - √x2
- y)
Efectuando el producto notable de una suma por
su diferencia:
_____________ _______
__ __
_____
2
n
2
n
2
n
E = √ x2
- (√ x2
- y)2
= √x2
- x2
+ y = √y
Reponiendo: y = a2n
___
2 n
–
–
–
E =
2n
√ a2n
= a2 n
= a
Rpta.: E = a
––––––––––––––––––––––––––––––––––––––
E=
32
√1+ 3(22
+1)(24
+1)(28
+1)(216
+1)(232
+1)(264
+1)
Á L G E B R A
- 77 -

- 78 -
Solución:
Se puede escribir que: 3 = 22
- 1; reemplazando este
valor en la expresión, se obtendrá sucesivamente:
(22
- 1)(22
+ 1) = 24
- 1
(24
- 1)(24
+ 1) = 28
- 1
(28
- 1)(28
+ 1) = 216
- 1
(216
- 1)(216
+ 1) = 232
- 1
(232
- 1)(232
+ 1) = 264
- 1
(264
- 1)(264
+ 1) = 2128
- 1
Finalmente la expresión quedará así:
128
–––––––––– –––– –
–
–
E =
32
√1 + 2128
- 1 =
32
√2128
= 2 32
= 24
= 16
Rpta.: E = 16
3.- Efectuar:
R = (a + b + c)(a + b - c)+(a + b - c)(a -b + c)
+(a - b + c)(b + c- a)+(b - c +a)(b-c- a) - 4ab
Solución:
Reescribiendo la expresión de la manera siguiente:
R = [(a + b) + c][(a + b) - c] + [a + (b - c)]
[a - (b - c)] + [c + (a - b)][c - (a - b)]
+[(b - c) + a][(b - c) - a] - 4ab
Efectuando los productos notables:
R = (a + b)2
- c2
+ a2
-(b - c)2
+ c2
- (a - b)2
+ (b - c)2
- a2
- 4ab
Reduciendo términos semejantes se obtiene:
R = (a + b)2
- (a - b) - 4ab
R = 4ab - 4ab = 0
Rpta.: R = 0
4.- Efectuar:
(x+ a + b + c)(x + a + b + d) - cd
L = –––––––––––––––––––––––––––––––––
x + b + c + d
(x + a + b)(x + a + c) - bc
- ––––––––––––––––––––––––
x + a + b + c
Solución:
Haciendo: x + a + b = m ; x + a = n ; se obtiene:
(m + c)(m + d) - cd (n + b)(n + c) - bc
L = ––––––––––––––––––– - ––––––––––––––––––
m + c + d n + b + c
Efectuando los productos notables de binomios
con términos común:
m2
+ (c + d)m + cd - cd n2
+ (b + c)n + bc - bc
L = ––––––––––––––––––––– - –––––––––––––––––––
m + c + d n + b + c
Factorizando m y n:
m(m + c + d) n(n + b + c)
L = ––––––––––––– - –––––––––––– = m - n
(m + c + d) (n + b + c)
Reponiendo los valores dados a m y n:
L = x + a + b - (x + a) = b
Rpta.: L = b
5.- Efectuar:
y = (a + b + c)(a - b + c)(a + b - c)(-a + b + c)
+ (c2
- a2
- b2
)2
Solución:
Se puede escribir asi:
y =[(a + b) + c][(a + b) - c][c + (a - b)][c -(a - b)]
+ (c2
- a2
- b2
)2
Efectuando el primer término con el segundo y el
tercero con el cuarto:
y =[(a + b)2
- c2
][c2
- (a - b)2
] + (c2
- a2
- b2
)2
y = (a+b)2
c2
- (a2
-b2
)2
- c4
+ c2
(a-b)2
+ [c2
-(a2
+ b2
)]2
y = -c4
+ [(a + b)2
+ (a - b)2
]c2
- (a2
- b2
)2
+ c4
-2(a2
+b2
)c2
+ (a2
+ b2
)2
Ordenando:
y = -c4
+ 2(a2
+ b2
)c2
+ c4
- 2(a2
+ b2
)c2
+ [(a2
+ b2
)2
- (a2
- b2
)2
]
y = (a2
+ b2
)2
- (a2
- b2
)2
= 4a2
b2
Rpta.: y = 4a2
b2
α
α α

6.- Efectuar:
E = (x - 1)(x + 4)(x + 2)(x - 3) + (x - 2)(x + 5)
(x + 3)(x - 4) - 2(x2
+ x - 10)2
Solución:
Ordenemos de la siguiente manera:
E = (x - 1)(x + 2)(x + 4)(x - 3) + (x - 2)(x + 3)
(x + 5)(x - 4) - 2(x2
+ x-10)2
tomando de 2 en 2 factores:
(x2
+ x - 2)(x2
+ x - 12) + (x2
+ x - 6)
(x2
+ x - 20) - 2(x2
+ x - 10)2
Haciendo x2
+ x = a:
E = (a - 2)(a - 12) + (a - 6)(a - 20) - 2(a - 10)2
efectuando:
E= a2
- 14a + 24 + a2
- 26a + 120 - 2a2
+ 40a - 200=-56
Rpta.: E = -56
7.- Simplificar
E = (a2b
+ ab
ba
+ b2a
+ ab
- ba
)2
- (a2b
+ ab
ba
- ab
+ b2a
+ ba
)2
+ 4b3a
Solución:
Ordenando cada expresión:
E = [(a2b
+ ab
ba
+ b2a
) + (ab
- ba
)]2
- [(a2b
+ ab
ba
+ b2a
) - (ab
- ba
)]2
+ 4b3a
Haciendo: a2b
+ ab
ba
+ b2a
= x ; ab
- ba
= y
E = (x + y)2
- (x - y)2
+ 4b3a
y, aplicando Legendre:
E = 4xy + 4b3a
reponiendo valores de x é y:
E = 4(a2b
+ ab
ba
+ b2a
)(ab
- ba
) + 4b3a
los paréntesis dan una diferencia de cubos:
E = 4(a3b
- b3a
) + 4b3a
= 4a3b
- 4b3a
+ 4b3a
= 4a3b
Rpta.: E = 4a3b
8.- Simplificar:
E = (a + b - x)2
+ (b + x - a)2
(x + a - b)2
+ (a + b + x)2
- 4(a2
+ b2
+ x2
)
Solución:
Ordenando:
E =[(a + b) - x]2
+ [(a + b) + x]2
+[x - (a - b)]2
+ [x + (a - b)]2
- 4(a2
+ b2
+ x2
)
Utilizando Legendre, primero con segundo, y ter-
cero con cuarto sumandos:
E = 2[(a + b)2
+ x2
] + 2[x2
+ (a - b)2
]
- 4(a2
+ b2
+ x2
)
efectuando y ordenando:
E = 2[(a + b)2
+ (a - b)2
] + 4x2
- 4(a2
+ b2
) - 4x2
reduciendo con Legendre nuevamente:
E = 2[2(a2
+ b2
)] - 4(a2
+ b2
)
E = 4(a2
+ b2
) - 4(a2
+ b2
) = 0 ∴
Rpta.: E = 0
9.- Simplificar:
(a4
x4
+ b4
)2
+ (b4
x4
- a4
y4
)2
+ (x8
+ y8
)(a8
+ b8
)
P = –––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––
(a4
y4
- b4
x4
)2
+ (a4
x4
+ b4
y4
)2
Solución:
Por Lagrange:
(a4
x4
+ b4
y4
)2
+ (b4
x4
- a4
y4
)2
= (x8
+ y8
)(a8
+ b8
)
(a4
y4
- b4
x4
)2
+ (a4
x4
+ b4
y4
)2
= (x8
+ y8
)(a8
+ b8
)
por lo tanto:
(a8
+ b8
)(x8
+ y8
) + (x8
+ y8
)(a8
+ b8
)
P = –––––––––––––––––––––––––––––––––– = 2
(x8
+ y8
)(a8
+ b8
)
Rpta.: P = 2
Á L G E B R A
- 79 -

10.- Simplificar:
x y 2
x y 2 2
x
2
y 2 2
[(–– + ––
) +
(–– - ––
)] - 4
[(––
)-
(––
)]
y x y x y x
J = ––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––
x
3
y 3 2
x
3
y 3 2
[(––
) +
(––
)]-
[(––
) -
(––
)]
y x y x
Solución:
x y
Haciendo: –– = a ; –– = b:
y x
[(a + b)2
+ (a - b)2
]2
- 4 (a2
- b2
)2
J = ––––––––––––––––––––––––––––––––
[a3
+ b3
]2
- [a3
- b3
]2
Aplicando Legendre:
4(a2
+ b2
)2
- 4(a2
- b2
)2
4a2
b2
4
J = –––––––––––––––––––––– = –––––- = ––––
4a3
b3
a3
b3
ab
4
= –––––––– = 4
x y
(––
)(––
)
y x
Rpta.: J = 4
(x2
- a2
)2
(x3
+ a3
)3
(x2
+ ax + a2
)2
A = –––––––––––––––––––––––––––––––
(x3
- a3
)2
(x + a)5
(x2
- ax + a2
)3
Solución:
Aplicando los productos notables en forma inversa:
[(x+a)(x-a)]2
[(x+a)(x2
-ax+a2
)]3
(x2
+ax+a2
)2
A = ––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––
[(x-a)(x2
+ax+a2
)]2
(x+a)5
(x2
-ax+a2
)3
Efectuando:
(x+a)2
(x-a)2
(x+a)3
(x2
-ax+a2
)3
(x2
+ax+a2
)2
A = –––––––––––––––––––––––––––––––––––––––=1
(x-a)2
(x2
+ax+a2
)2
(x+a)5
(x2
-ax+a2
)3
Rpta.: A = 1
12.- Simplificar:
(a+b+c)(a+b+d)+(a+c+d)(b+c+d)-(a+b+c+d)2
C = –––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––
(ad-bc)2
+(ac+bd)2
-(a2
+b2
)(c2
+d2
)+ab+cd
Solución:
En el numerador, hagamos que:
a + b = x ; c + d = y
N = (x + c)(x + d) + (y + a)(y + b) - (x + y)2
N = x2
+(c+d)x+cd+y2
+(a+b)y+ab-x2
-2xy-y2
N = xy + cd + xy + ab - 2xy = cd + ab
En el denominador, observamos que se puede
aplicar Lagrange a los dos primeros términos:
(ad - bc)2
+ (ac + bd)2
= (a2
+ b2
)(c2
+ d2
)
De esta manera:
D = (a2
+ b2
)(c2
+ d2
) - (a2
+ b2
)(c2
+ d2
) + ab + cd
D = ab + cd
Sustituyendo estos equivalentes en la expresión :
N cd + ab
C = –– = ––––––––– = 1
D ab + cd
Rpta.: C = 1
13.- Simplificar:
E = (a2n
+ b2n
-c2n
)(b2n
+c2n
-a2n
) + 2c2n
(c2n
- a2n
)
+ (an
- bn
) (an
+ bn
)(a2n
+ b2n
)
Solución:
Apliquemos productos notables y operemos:
E= b4n
- (a2n
-c2n
)2
+ 2c4n
- 2c2n
a2n
+ (a2n
- b2n
)(a2n
+ b2n
)
Efectuando:
E = b4n
- a4n
+ 2a2n
c2n
+ 2c4n
- c4n
+ 2a2n
c2n
+ a4n
- b4n
= c4n
Rpta.: E = c4n
14.- Efectuar:
a(b2
+ c2
)(b2
+ c2
- a2
) b(c2
+ a2
)(c2
+ a2
- b2
)
R = ––––––––––––––––––– + ––––––––––––––––––––
2bc 2ac
c(a2
+ b2
)(a2
+ b2
- c2
)
+ ––––––––––––––––––––
2ab
Solución:
Haciendo el siguiente artificio para obtener un
denominador común:
- 80 -
α
α α

a2
(b2
+ c2
)2
- a4
(b2
+ c2
) + b2
(c2
+ a2
)2
- b4
(c2
+ a2
)
R = –––––––––––––––––––– –––––––––––––––––––––
2abc 2abc
c2
(a2
+ b2
)2
- c4
(a2
+ b2
)
+ –––
––––––––––––––––––
2abc
a2
b4
+ 2a2
b2
c2
+ a2
c4
- a4
b2
- a4
c2
+ b2
c4
R = ––––––––––––––––––––––––––––––––––––
2abc
+ 2a2
b2
c2
+ b2
a4
- b4
c2
- a2
b4
+ c2
a4
+ 2a2
b2
c2
––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––
+ b4
c2
- a2
c4
- c4
b2
–––––––––
––––––––
Reduciendo términos semejantes:
6a2
b2
c2
R = ––––––––= 3abc
2abc
Rpta.: R = 3abc
15.- Efectuar:
R = [(x - 1)2
(x + 1)2
(x2
- 1)3
(x2
+ 1)5
(x4
+ 1)5
(x8
- 1)3
]1/8
- x8
Solución:
Efectuando por pares para ir reduciendo de
izquierda a derecha:
(x - 1)2
(x + 1)2
= [(x - 1) (x + 1)]2
= (x2
- 1)2
éste con el siguiente factor:
(x2
- 1)2
(x2
- 1)3
= (x2
- 1)5
este con el siguiente factor, y asi sucesivamente etc.
(x2
- 1)5
(x2
+ 1)5
= [(x2
- 1)(x2
+ 1)]5
= (x4
- 1)5
(x4
- 1)5
(x4
+ 1)5
= [(x4
- 1)(x4
+ 1)]5
= (x8
- 1)5
(x8
- 1)5
(x8
- 1)3
= (x8
- 1)8
finalmente, al sustituir en la expresión:
E = [(x8
- 1)8
]1/8
- x8
E = x8
- 1 - x8
= -1
Rpta.: E = -1
16.- Efectuar:
__________________________
E =√(a2
+ b2
+ c2
+ ab + ac + bc)2
––––––––––––––––––––––
- (a + b + c)(a2
+ b2
+ c2
)
Solución:
Efectuando el trinomio al cuadrado:
__________________________
E =√(a2
+ b2
+ c2
+ ab + ac + bc)2
________________________________________
- (a2
+ b2
+ c2
+ 2ab + 2ac + 2bc)(a2
+ b2
+ c2
)
haciendo: a2
+ b2
+ c2
= x ;
ab + ac + bc = y ;
____________________
E = √(x + y)2
- (x + 2y) (x)
efectuando:
_____________________
E = √x2
+ 2xy + y2
- x2
-2xy = y = ab + bc + ca
Rpta.: E = ab + ac + bc
17.- Efectuar:
E = (a + b + c)(a +b +c + 1) + (a + b - c)(a + b - c - 1)
+(a - b - c)(a -b - c + 1)+(a - b + c)(a -b +c - 1)
Solución:
Efectuando cada producto:
E = (a + b + c)2
+ a + b + c + (a + b - c)2
-a -b + c
+ (a - b - c)2
+(a - b - c)+(a - b + c)2
-a+b-c
reduciendo y aplicando Legendre:
E = 2[(a + b)2
+ c2
] + 2 [(a - b)2
+ c2
]
E = 2[2(a2
+ b2
) + 2c2
] = 4(a2
+ b2
+ c2
)
Rpta.: E = 4(a2
+ b2
+ c2
)
18.- Efectuar:
(a+b+c)3
+2(a3
+b3
+c3
)-3(a3
+ab2
+ac2
+ba2
+b3
)
-3(bc2
+ca2
+cb2
+c3
)
Solución:
(a + b + c)3
=[(a + b) + c]3
=(a+b)3
+3(a+b)2
c
+ 3(a+b)c2
+c3
= a3
+ b3
+ c3
+ 3a2
b + 3a2
c
+ 3b2
a + 3b2
c + 3c2
a + 3c2
b + 6abc
Á L G E B R A
- 81 -

Reemplazando en la expresión principal:
P = a3
+ b3
+ c3
+ 3a2
b +3a2
c+ 3b2
c +3b2
a + 3c2
a
+3c2
b+ 6abc+ 2a3
+ 2b3
+ 2c3
- 3a3
-3ab2
- 3ac2
- 3ba2
- 3b3
- 3bc2
- 3ca2
- 3cb2
- 3c3
= 6abc
Rpta.: P = 6abc
19.- Efectuar:
E =(x2
+ x + 1)(x2
- x + 1)(x4
-x2
+ 1)(x8
- x4
+ 1)
(x16
- x8
+ 1)- x16
(x16
+ 1)
Solución:
Analizando el producto conforme aumenta el
número de factores:
1) Producto de 2 factores:
(x2
+x+1)(x2
-x+1) = [(x2
+ 1) + x][(x2
+ 1) - x]
= [(x2
+ 1)2
- x2
] = x4
+ 2x2
+ 1 - x2
= x4
+ x2
+ 1 = x22
+ x22-1
+ 1
2) Producto de 3 factores:
(x2
+ x + 1)(x2
- x + 1)(x4
- x2
+ 1)
= (x4
+ x2
+ 1)(x4
- x2
+ 1) = [(x4
+ 1) + x2
]
. [(x4
+1)-x2
] = (x4
+1)2
-x4
=x8
+2x4
+1-x4
= x8
+ x4
+ 1 = x22
+ x23-1
+ 1
3) Para 4 factores teniendo en cuenta, la ley de
formación:
(x2
+x+1)(x2
-x+1)(x4
-x2
+1)(x8
-x4
+1)
= x24
+ x24-1
+ 1
4) Para 5 factores:
(x2
+ x + 1)(x2
- x + 1)(x4
- x2
+ 1)(x8
- x4
+ 1)
(x16
- x8
+ 1) = x25
+ x25-1
+ 1
Finalmente, reemplazando en la expresión:
E = x32
+ x16
+ 1 - x32
- x16
= 1
Rpta.: E = 1
20.- Efectuar:
E = (a - b + c - d)(a + b + c + d)
+ (a + b - c -d)(a - b -c + d)
-2 [(a + b)(a - b) + (c + d)(c - d)]
Solución:
Agrupamos los términos de la siguiente manera:
E =[(a + c)-(b + d)][(a + c) + (b + d)]
+ [(a - c) + (b - d)][(a - c) - (b - d)]
- 2 [(a2
- b2
+ c2
- d2
]
E = (a + c)2
- (b + d)2
+ (a - c)2
- (b - d)2
- 2(a2
- b2
+ c2
- d2
)
Aplicando Legendre:
E = 2(a2
+ c2
) - 2(b2
+ d2
) - 2(a2
- b2
+ c2
- d2
)
E = 2a2
+ 2c2
- 2b2
- 2d2
- 2a2
+ 2b2
- 2c2
+ 2d2
Rpta.: E = 0
VALOR NUMÉRICO DE UNA EXPRESIÓN
ALGEBRAICA
Es el valor que toma dicha expresión cuando se le
atribuye ciertos valores numéricos a sus letras.
Puede ser:
a) Valor numérico sin condición.
Es aquel que se obtiene al reemplazar inmediata-
mente los valores atribuidos a sus letras.
Ejemplo: Hallar el valor de:
_________________
____ ____________
E =√(a - y) (√2bx + x) + √(a - x)(b + y)
para a = 16; b = 10 ; x = 5 ; y = 1
Solución:
Reemplazando los valaores asignados:
____________________
_______ ____________
E =√(16 - 1)(√2(10)(5) + 5)+ √(16 - 5)(10 + 1)
_________ ______
E = √15(10 + 5) + √11 . 11
E = 15 + 11 = 26
Rpta.: E = 26
- 82 -
α
α α

b) Valor numérico con condición.
Es aquel que se caracteriza porque utiliza una
condición de intermedio. Para determinarlo se
emplea la condición simplificándola y luego
aplicándola con la expresión misma y luego cam-
biándola con la condición.
Ejemplo: Determinar el valor de:
a b a c b c
E = –– + –– + –– + –– + –– + ––
b a c a c b
si, a + b + c = 0
Solución:
Trabajando con la expresión:
a c b c a b
E =
(–– + ––
)+
(–– + ––
)+
(–– + ––
)
b b a a c c
efectuando parcialmente:
a + c b + c a + b
E = ––––– + ––––– + –––––
b a c
de la condición:
a + c = -b
b + c = -a
a + b = -c
reemplazando en la expresión:
-b -a -c
E = ––– + ––– + ––– = -1 - 1 - 1 = -3
b a c
Rpta.: E = -3
a2
+ b2
+ c2
a2
b2
c2
E =
[–––––––––––
][––– + ––– + –––
]
ab + ac + bc bc ac ab
__ __ __ __
para: a = √5 - √3 ; b = √2 - √5 ;
__ __
c = √3 - √2
Solución:
Sumando los tres valores de a, b, c:
__ __ __ __ __ __
a + b + c = √5 - √3 + √2 - √5 + √3 -√2 = 0
Es la misma condición del ejercicio ilustrativo,
es decir: a + b + c = 0; en este caso, puede asegu-
rarse valores diferentes a “a”, “b” y “c” de tal ma-
nera que la suma sea cero ya que la expresión es
homogénea. Sean estos valores diferentes a cero:
a = 1, b = 2, c = -3 y reemplazando:
1 + 4 + 9 1 4 9
E =
[–––––––––
][- ––– - ––– + –––
]
2 - 3 - 6 6 3 2
efectuando:
14 -1 - 8 + 27
E = -
[–––
][––––––––––
]= (-2)(3) = -6
7 6
Rpta.: E = -6
2.- Si se tiene que:
1 1 2x
a = ––––– ; b = ––––– ; c = –––––
x - y x + y y2
- x2
Calcular:
(a2
+ ab2
+ b2
)(a2
+ ac + c2
) - (b2
- bc + c2
)2
E = ––––––––––––––––––––––––––––––––––––
bc(b2
+ c2
)
Solución:
Sumando los tres datos:
1 1 2x
a + b + c = ––––– + ––––– + ––––––
x - y x + y y2
- x2
1 1 2x
= ––––– + ––––– + ––––––
x - y x + y y2
- x2
x + y + x - y - 2x 0
a + b + c = ––––––––––––––– = –––––– = 0
x2
- y2
x2
- y2
Resulta que esta condición también es igual a la del
ejemplo ilustrativo, por lo tanto: a = 1, b = 2, c = -3.
(1 + 2 + 4)(1 - 3 + 9) - (4 + 6 + 9)2
R = ––––––––––––––––––––––––––––––
-6(4 + 9)
(7)(7) - (19)2
-312
= –––––––––––– = ––––– = 4
-6(13) -78
Rpta.: R = 4
Á L G E B R A
- 83 -

x2
+ y2
+ z2
= xy + xz + yz,
calcular:
7
–––––––––– 8
––––––––––
x8
+ y8
+ x8
x9
+ y9
+ z9
E =
√–––––––––– +
√––––––––––
(x + y + z)8
(x + y + z)9
9
––––––––––––
x10
+ y10
+ z10
+
√––––––––––––
(x + y + z)10
Solución:
La condición, se multiplica por “2”:
2x2
+ 2y2
+ 2z2
= 2xy + 2xz + 2yz
2x2
+ 2y2
+ 2z2
- 2xy - 2xz - 2yz = 0
(x2
- 2xy + y2
) + (y2
- 2yz + z2
)+(x2
-2xz + z2
) = 0
Escribiendo los equivalentes de cada paréntesis:
(x - y)2
+ (y - z)2
+ (x - z)2
= 0
para que la suma de tres números positivos sea
cero, cada uno de ellos debe ser cero, por lo tanto:
x - y = 0 x = y
y - z = 0 y = z
x - z = 0 x = z
de lo anterior:
x = y = z = t
reemplazando en la expresión, cuyo valor se
quiere calcular:
7
––
–––––––– 8
–––
–––––––
t8
+ t8
+ t8
t9
+ t9
+ t9
E =
√––
–––––––– +
√–––––––––
(t + t + t)8
(t + t + t)9
9
–––––
–––––––
t10
+ t10
+ t10
+
√–––––––––––
(t + t + t)10
7
––––– 8
––––– 9
–––––
3t8
3t9
3t10
E =
√––––– +
√––––– +
√–––––
(3t)8
(3t)9
(3t)10
7
––––– 8
––––– 9
–––––
1 1 1
E =
√––––– +
√––––– +
√–––––
37
38
39
1 1 1
E = –– + –– + –– = 1
3 3 3
Rpta.: E = 1
–––––
––––––––––
x4
+ x2
y2
+ y4
E =
√––––––––––––––
x4
+ 2x2
y2
+ y4
________
siendo: x + y = 4
3
√p2
- q2
-1
_______
xy = 5(
3
√p2
- q2
-1)2
Solución:
El numerador se puede escribir así:
x4
+ x2
. y2
+ y4
= (x4
+ 2x2
y2
+ y4
) - x2
y2
= (x2
+y2
)2
- (xy)2
x4
+ x2
. y2
+ y4
= (x2
+ y2
+ xy)(x2
+ y2
- x) (1)
El denominador se puede escribir así:
x4
+ 2x2
y2
+ y4
= (x2
+ y2
)2
(2)
________
Del dato, haciendo
3
√p2
- q2
- 1 = b; por lo tanto:
x + y = 4b (α)
xy = 5b2
(β)
Elevando al cuadrado (α):
x2
+ 2xy + y2
= 16b2
(γ)
reemplazando (β) en (γ):
x2
+ 10b2
+ y2
= 16b2
x2
+ y2
= 6b2
(θ)
Sustituyendo (1) y (2) en la expresión principal:
______________________
___
(x2
+ y2
+ xy)(x2
+ y2
- xy)
E =
√––––––––––––––––––––––––
(x2
+ y2
)2
_____________________
___
√(x2
+ y2
+ xy)(x2
+ y2
- xy)
= ––––––––––––––––––––––––––
x2
+ y2
- 84 -
α
α α

Sustituyendo (θ), (β) en esta última expresión:
___________________ ____
______
√(6b2
+ 5b2
)(6b2
- 5b2
) √(11b2
)(b2
)
E = ––––––––––––
–––––––––– = –––––––––––
6b2
6b2
__ __
√11b2
√11
= –––––– = ––––
6b2
6
__
_
√11
Rpta.: E = ––––
6
5.- Calcular:
a b c
R = –––– + –––– + ––––
__ __ __
_
√bc √ac √ab
__ __
si: a + √ac = b + √bc
a ≠ b ; abc ≠ 0
Solución:
De la condición:
__ __
a - b = √bc - √ac
Considerando a - b como una diferencia de cuadrados:
_
_ _
_ _
_ _
_ _
_ _
_ _
_
(√a + √b ) (√a - √b ) = - √c (√a - √b )
Simplificando:
_
_ _
_ _
_
√a + √b = - √c (1)
elevando al cubo:
_
_ _
_ _
_
(√a + √b )3
= (-√c )3
_
_ _
_ _
_ _
_ _
_ _
_ _
_
(√a )3
+ 3(√a )2
√b +3√a (√b )2
+ (√b )3
= -(√c )3
_
_ _
_ _
_ _
_ _
_ _
_ _
_
(√a )3
+ (√b )3
+ (√c )3
= - 3√a √b (√a + √b )
_
_ _
_ _
_
Como √a + √b = -√c, de (1) se tiene:
_
_ _
_ _
_ _
_ _
_ _
_
(√a )3
+ (√b )3
+ (√c )3
= 3√a √b √c (2)
Dando común denominador a la expresión que se
quiere calcular:
_
_ _
_ _
_
(√a )3
+ (√b )3
+ (√c )3
R = –––––––––––––––––––––––
___
_
√abc
Sustituyendo (2) en esta última:
_
_ _
_ _
_
3√a √b √c
R = ––––––––––––– = 3
___
√abc
Rpta.: R = 3
6.- Calcular:
–––––––––––––
__ __ __ __
√√x + 3 √y √x √y
G = ––––––––––––––– + –––– + –––– + 1
–––––––––––––
__ __ __ __
√2√y - √x √y √x
1 1 4
si se cumple: –– + –– = –––––
x y x + y
Solución:
De la condición, efectuando operaciones:
y(x + y) + x(x + y) = 4xy
yx + y2
+ x2
+ xy = 4xy
x2
- 2xy + y2
= 0 ; (x - y)2
= 0
x - y = 0
x = y
Sustituyendo en la expresión propuesta todo por x:
–––––––––––––
__ __ __ __
√√x + 3 √x √x √x
G = ––––––––––––––– + –––– + –––– + 1
–––––––––––––
__ __ __ __
√ 2√x - √x √x √x
––––
__
2√√x
G = ––––––– + 1 + 1 + 1 = 2 + 1 + 1 + 1 = 5
––––
__
√√x
Rpta.: G = 5
E = aa
bb
- ab
ba
si se sabe que:
a2b
+ b2b
= 5 (1)
aa+b
+ ba+b
= 7 (2)
a2a
+ b2a
= 26 (3)
Á L G E B R A
- 85 -

Solución:
Multiplicando (1) por (3):
(a2b
+ b2b
)(a2a
+ b2a
) = 130
a2a +2b
+ a2b
b2a
+ a2a
b2b
+ b2a+2b
= 130
o también, reordenando:
a2b
b2a
+ a2a
b2b
+ a2a+2b
+ b2a+2b
= 130 (4)
Elevando al cuadrado (2):
(aa+b
+ ba+b
)2
= 49
a2a+2b
+ 2aa+b
ba+b
+ b2a+2b
= 49
de aquí:
a2a+2b
+ b2a+2b
= 49 - 2aa+b
ba+b
(5)
reemplazando (5) en (4):
a2a
b2b
+ a2b
b2a
+ 49 - 2aa+b
ba+b
= 130
a2a
b2b
- 2aa+b
ba+b
+ a2b
b2a
= 130 - 49
(aa
bb
)2
- 2aa
. ab
. ba
. bb
+ (ab
ba
)2
= 81
(a2
b2
)2
- 2(aa
ab
)(ab
ba
) + (ab
ba
)2
= 81
o sea:
(aa
bb
- ab
ba
)2
= 81
extrayendo raíz:
aa
bb
- ab
ba
= 9
sustituyendo en E:
E = aa
bb
- ab
ba
= 9
Rpta.: E = 9
8.- Sabiendo que se cumple que:
____ ____ ____
(2√a + b + a + b)(√a + b - a)(√a + b - b)
––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––– = 1
____ ____ ____
(2√a + b - a - b)(√a + b + a)(√a + b + b)
1 1
Calcular: E = –– + ––
a b
Solución:
Los primeros factores del numerador y del
denominador pueden ser reescritos así:
––––– ––––– –––––
2 √a + b + (a + b) = √ a + b(2 + √a + b )
––––– ––––– –––––
2 √a + b - (a + b) = √ a + b(2 - √a + b )
Por lo tanto, sustituyendo y simplificando la con-
dición resulta en:
____ ____ ____
(2 + √a + b) (√a + b - a) (√a + b - b)
––––––––––––––––––––––––––––––––––––– = 1
____ ____ ____
(2 - √a + b) (√a + b + a) (√a + b + b)
transponiendo y efectuando:
___
__ __
___
a + b - (a + b) √a + b + ab 2 - √a + b
––––––––––––––––––––––––– = –––––––––––
___
__ __
___
a + b +(a + b) √a + b + ab 2 + √a + b
Aplicando la propiedad de proporciones que dice. Si:
m q m + n q + p
–– = –– ⇔ ––––– = –––––
n p m - n q - p
se obtendrá:
2 [(a + b) + ab] 4
––––––––––––––– = ––––––––
____ ____
-2(a + b) √a + b -2√a + b
simplificando:
a + b + ab
–––––––––– = 2
(a + b)
o:
a + b ab
–––
–––
–+ –––
–––
–= 2
a + b a + b
ab
de aquí: ––––– = 1
a + b
a + b
invirtiendo: ––––– = 1
ab
descomponiendo:
1 1
–– + –– = 1
a b
Lo cual sustituimos en E:
1 1
E = –– + –– = 1
a b
Rpta.: E = 1
- 86 -
α
α α

(x + y + 2z)2
+ (x + y - 2z)2
= 8(x + y)z
hallar:
x + y 9
x - z 7
z - x 8
E = (––––) + (––––) + (––––)
2z z - y z - y
Solución:
Haciendo en la condición:
x + y = a ; 2z = b
se tendrá:
(a + b)2
+ (a - b)2
= 4(a)(b)
aplicando Legendre:
2(a2
+ b2
) = 4ab ; a2
+ b2
= 2ab
a2
- 2ab + b2
= 0
(a - b)2
= 0 ; a - b = 0
a = b
Reponiendo los valores de a y b:
x + y = 2z (α)
x + y = z + z
x - z = z - y (β)
Reemplazando (α) y (β) en la expresión que se
quiere calcular:
2z 9
x - z 7
z - x 8
E = (–––) + (––––) + [––––––]
2z x - z -(z - y)
simplificando:
E = (1)9
+ (1)7
+ (-1)8
= 3
Rpta.: E = 3
10.- Dadas las condiciones:
_________ _________
__ __
4
√
n
√x + 2ab +
4
√
n
√ x - 2ab = a (α)
_________ _________
__ __
√
n
√x + 2ab + √
n
√ x - 2ab = b (β)
Calcular:
_________ _________
__ __
R=
4
√
n
√x + 2ab -
4
√
n
√ x - 2ab (γ)
Solución:
Multiplicando (α) y (γ):
_________ _________
__ __
(4
√
n
√x + 2ab +
4
√
n
√x - 2ab )
_________ _________
__ __
. (4
√
n
√x + 2ab -
4
√
n
√ x - 2ab )= R . a
Por productos notables: suma por diferencia, da
diferencia de cuadrados:
_________ _________
__ __
√
n
√x + 2ab - √
n
√x - 2ab = Ra (φ)
Multiplicando (β) y (φ):
_________ _________
__ __
(√
n
√x + 2ab + √
n
√ x - 2ab )
_________ _________
__ __
. (√
n
√x + 2ab - √
n
√ x - 2ab )= Rab
Por productos notables, da una diferencia de
cuadrados:
__ __
(n
√x + 2ab) - (n
√ x - 2ab) = Rab
__ __
n
√x + 2ab -
n
√x + 2ab = Rab
4ab = Rab
4ab
R = –––– = 4
ab
Rpta.: R = 4
Á L G E B R A
- 87 -

- 88 -
α
α α
1. Calcular el valor de “n” si el grado del producto:
P(x) = (x1
+ 1) (x4
+ 4) (x9
+ 9)…(xn2
+ n2
)
es 285.
a) 6 b) 10 c) 9
d) 8 e) 7
2. Hallar el grado del producto indicado:
P(x) = (x22
+ 1)(x23
+ 1)(x24
+ 1) ……
hasta 20 términos.
a) 530 b) 630 c) 730
d) 210 e) 430
3. Hallar el grado de P(x), si los grados de los poli-
nomios:
P3
(x)
P2
(x) . Q(x) y ––––––
Q (x)
son 27 y 23 respectivamente.
a) 7 b) 12 c) 10
d) 9 e) 8
14 16
(x - 1)7
(x2
+ x + 1)7
(x + 1)12
(x2
- x + 1)12
[–––––––––––––––––
] [––––––––––––––––––
–
]
(x3
- 1)7
(x3
+ 1)12
a) x b) 1 c) (x + 1)30
d) (x - 1)30
e) x30
5. Simplificar:
(x - 3)(x - 1)(x + 1)(x + 4) - (x - 2)(x + 3)(x + 5)
––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––
(x - 3)(x - 5)(x + 2)(x + 4) - (x2
- x - 13)2
+ 50
(x - 4) - 12(x + 4) (x - 3)
–––––––––––––––––––––––––
a) x2
+ x + 5 b) 40 c) 48
d) x2
- x + 6 e) 42
6. Simplificar:
(x2
+ y2
)4
+ x4
y4
- (x2
+ xy + y2
)2
(x2
- xy + y2
)2
- 2x2
y2
(x2
+ y2
)2
a) x8
b) y8
c) x4
y4
d) 0 e) x8
y8
7. Efectuar:
(x - y)2
- (y - z)2
+ (z - w)2
- (w - x)2
+ 2(x - z)(y - w)
a) x2
b) y2
c) 2xy
d) w2
e) 0
8. Efectuar:
(x -2)(x + 2)(x2
+ 2x + 4)(x2
- 2x + 4)
- (x3
- 8)2
+ 128
a) 0 b) 16x3
c) x3
d) x6
e) 16x6
9. Simplificar:
(x - y + z - w) . (x + y - z + w) +
= (y+w) (y+w-2z) + z2
a) 0 b) y2
c) x2
d) z2
e) xy
10. Al efectuar:
(a2
x-2
- a3
x3
+ a4
x-4
)(ax-1
+ a2
x-2
)
se obtiene un producto de la forma
a α
b β
(––) + (––)
x x
dar el valor de (α) + (β).
a) 4 b) 2 c) 6
d) 9 e) 5

11. Simplificar:
(a + b + c + d)2
+ (a - b - c + d)2
+(a - b + c - d)2
+ (a + b - c - d)2
- 4(a2
+ b2
+ c2
+ d2
)
a) a2
b) c2
c) b2
d) 0 e) a2
+ b2
12. Simplificar:
(a + b + c)2
+(a - b)2
+ (a - c)2
+ (b - c)2
- 3(a2
+ b2
+ c2
)
a) a2
b) b2
c) c2
d) a2
+ b2
+ c2
e) 0
13. Efectuar:
(a + b + c)3
- (a - b + c)3
- 6b [(a + c)2
- b2
]
a) 8a3
b) 8b3
c) 8c3
d)0 e) 8abc
14. Efectuar:
(a - b)(x - a)(x - b) + (b - c)(x - b)(x - c)
+ (c - a)(x - c)(x - a) + (a - b)(b - c)(c - a)
a) a3
b) b3
c) c3
d) 0 e) abc
15. Simplificar:
________________________________________
E =√(a+b+c)(a+b-c)(a-b+c)(a-b-c) + 4a2
b2
+c2
a) a2
b) b2
c) a2
+ b2
d) 0 e) a2
- b2
16. Efectuar:
E = 2a [(1 + a)2
+ (1 - a)2
+ (1 - a2
)]
+ 6(1 - a2
) + 2(1 - a)3
a) 1 b) 0 c) a3
d) 8a3
e) 8
17. Simplificar:
R =(x - y)2
+(x - y + z)(x + y - z)+(y- z+x)(y+z-x)
+(z - x + y)(z + x - y) + z(z - 2x)
a) 2yz b) 2xy c) 2xz
d) 0 e) yz
18. Efectuar:
y = (a - b)2
+ (b - c)2
+ (c - a)2
+ 2 [a(b - a) + b(c - b) + c(a - c)]
a) a2
b) b2
c) c2
d) 0 e) a2
+ b2
+ c2
19. Simplificar:
(a + 1)(a - 1)(a4
+ a2
+ 1)(a6
- a3
+ 1)(a6
+ a3
+ 1)
P= –––––––––––––––––––––––––––––––––––––––
a9
+ 1
a) a9
- 1 b) a18
+ 1 c) a9
+ 1
d) I e) -1
20. Simplificar:
E =(a-b)(a+b-c) + (b-c)(b+c-a) + (c-a)(c+a-b)
a) 0 b) a2
c) b2
d) c2
e) a2
+ b2
Á L G E B R A
- 89 -
CLAVE DE RESPUESTAS
1) C 2) C 3) C 4) B 5) C
6) D 7) E 8) B 9) C 10) D
11) D 12) E 13) B 14) D 15) C
16) E 17) A 18) D 19) A 20) A

- 90 -
α
α α
DIVISIÓN ALGEBRAICA
DEFINICIÓN.-
División algebraica es la operación que consiste en
obtener una expresión llamada cociente, conocidas
otras dos, llamadas dividendo y divisor.
NOTA IMPORTANTE
En toda división, tramos la siguiente nomen-
clatura de grados:
1) °⏐D⏐ = grado del dividendo
2) °⏐ d⏐ = grado del divisor
3) °⏐ q⏐ = grado del cociente
4) °⏐R⏐ = grado del residuo o resto
PROPIEDADES DE LA DIVISIÓN
1) En toda división, el grado del cociente es igual al
grado del dividendo menos el grado del divisor:
°⏐q⏐ = °⏐D⏐ - °⏐D⏐
2) En toda división el grado del dividendo es mayor
o igual que el grado del dividendo:
°⏐D⏐ ≥ °⏐d⏐
3) En toda división el grado del divisor es mayor que
el grado del resto:
°⏐d⏐ °⏐R⏐
4) En toda división el grado máximo del resto es
igual al grado del divisor menos 1:
°⏐Rmáximo⏐ = °⏐d⏐ - 1
5) En el caso de polinomios homogéneos, el grado
del resto es mayor que el grado del divisor:
°⏐R⏐ °⏐d⏐
6) En el caso de polinomios homogéneos, no se
cumple la propiedad 4.
CASOS DE LA DIVISIÓN
I.- Cuando se trata de dos monomios.
a) Se divide los signos mediante la regla de los
signos.
b) Se divide los coeficientes.
c) Se divide las letras aplicando Teoría de expo-
nentes.
Ejemplo:
Dividir:
-16x4
y8
z5
E = ––––––––––
-4x2
y5
z4
Efectuando:
E = 4x2
y3
z
II.- Cuando se trata de dos polinomios.
Se puede utilizar cualquiera de los siguientes
métodos:
a) Método normal
b) Método de coeficientes separados.
c) Método de Horner.
d) Método de Ruffini.
Método Normal. Para dividir mediante este méto-
do se debe seguir los siguientes pasos:
1) Se ordena los polinomios, generalmente en
forma decreciente.
2) Se escribe en línea horizontal uno a contin-
uación del otro, utilizando el signo de la
división aritmética.
3) Se divide el primer término del dividendo entre
el primer término del divisor, obteniéndose el
primer término del cociente
4) Este término se multiplica por cada uno de los
términos del divisor para restarlos a los corres-
pondientes términos del dividendo. A este resto,
se añade el siguiente término del dividendo.
5) Se divide el primer término del resto obtenido
entre el primer término del divisor y se obtiene
el segundo término del cociente.
6) Se procede desde el paso 4 sucesivamente
hasta terminar la división.

Á L G E B R A
- 91 -
Ejemplo:
Efectuar la siguiente división:
6x5
+ 5x4
y - 26x3
y2
+ 33x2
y3
- 24xy4
+ 6y5
–––––––––––––––––––––––––––––––––––––––
2x2
- 3xy + y2
Procedimiento:
6x5
+5x4
y-26x3
y2
+33x2
y3
-24xy4
+6y5
2x2
-3xy+y2
-6x5
+9x4
y-3x2
y2
3x3
+7x2
y-4xy2
+7y3
–––––––––––––––––––––––––
+14x4
y-29x3
y2
+33x2
y3
-14x4
y+21x3
y2
-7x2
y3
––––––––––––––––––––––––––
-8x3
y2
+26x2
y3
-24xy4
+8x3
y2
-12x2
y3
+4xy4
––––––––––––––––––––––––
+14x2
y3
-20xy4
+6y5
-14x2
y3
+21xy4
-7y5
___________________
xy4
-y5
El cociente es:
3x3
+ 7x2
y - 4xy2
+ 7y3
El resto es :
xy4
- y5
Método de coeficientes separados. En
este caso, además de las consideraciones anterio-
res se debe tener en cuenta:
1) Se trabaja solamente con los coeficientes y sus
correspondientes signos del dividendo y divisor.
2) En caso de faltar un término con una potencia
de la variable, se coloca en su lugar cero, tanto
en el dividendo como en el divisor.
3) De esta manera, se obtiene los coeficientes con
sus signos del polinomio cociente.
4) Para determinar el grado del cociente y resto se
aplica las siguientes propiedades:
°⏐q⏐ = °⏐D⏐ - °⏐d⏐
°⏐R⏐ = °⏐d⏐ - 1
5) Este método es recomendable para polinomios
de una sola variable.
Ejemplo:
Efectuar la división:
6x5
- 20x4
- 13x3
+ 25x2
- 12x + 7
––––––––––––––––––––––––––––
3x2
- x + 1
6 - 20 - 13 + 25 - 12 + 7 3 - 1 + 1
-6 + 2 - 2 2 - 6 - 7 + 8
–––––––––––––––
- 18 - 15 + 25
+ 18 - 6 + 6
––––––
––––––––
- 21 + 31 - 12
+ 21 - 7 + 7
–––––––––––––––––
24 - 5 + 7
- 24 + 8 - 8
–––––––––––––
–––––
+ 3 - 1
El cociente es de grado:
°⏐q⏐ = °⏐D⏐ - °⏐d⏐ = 5 - 2 = 3
El cociente es:
q = 2x3
- 6x2
- 7x + 8
El resto es de grado:
°⏐R⏐ = °⏐d⏐ - 1 = 2 - 1 = 1
El resto es:
R = 3x - 1
Método de Horner. Este método es un caso
particular del método de coeficientes separados y
se emplea para la división de dos polinomios de
cualquier grado.
Procedimiento:
1) Se escribe los coeficientes del dividendo en
una fila con su propio signo.
2) Se escribe los coeficientes del divisor en una
columna a la izquierda del primer término del
dividendo; el primero de ellos, con su propio
signo y los restantes, con signos cambiados.
3) El primer término del dividendo se divide
entre el primer término del divisor, obtenién-
dose el primer término del cociente.

4) Se multiplica este término del cociente sola-
mente por los términos del divisor, a los cuales
se cambió de signo, colocándose los resultados
a partir de la segunda fila, corriendo a un lugar
hacia la derecha.
5) Se reduce la siguiente columna y se coloca el
resultado en la parte superior para dividirlo
entre el primer coeficiente del divisor y obten-
er el segundo término del cociente.
6) Se multiplica este cociente por los términos del
divisor a los cuáles se cambió de signo,
colocándose el resultado en la tercera fila y
corriendo un lugar hacia la derecha.
7) Se continúa este procedimiento hasta obtener
el término debajo del último término del divi-
dendo, separando inmediatamente los térmi-
nos del cociente y resto.
8) Para obtener los coeficientes del residuo se
reduce directamente cada una de las columnas
que pertenecen.
Ejercicio:
Efectuar la división de polinomios:
8x5
+ 14x4
+ 5x3
+ 16x2
+ 3x + 2
–––––––––––––––––––––––––––
4x2
+ x + 3
Solución:
Los grados del cociente y residuo serán
°⏐q⏐ = °⏐D⏐ - °⏐d⏐ = 5 - 2 = 3
°⏐R⏐ = °⏐d⏐ - 1 = 2 - 1 = 1
Procedimiento:
12 - 4 + 8
4 8 + 14 + 5 + 16 + 3 + 2
-1 - 2 - 6
-3 - 3 - 9
+ 1 + 3
- 2 - 6
2 + 3 -1 + 2 4 - 4
1442443 123
coeficientes coeficientes
del cociente del resto
Explicación:
1) Se divide 8 entre 4, igual a 2, este resultado es
el primer coeficiente del cociente.
2) 2 se multiplica por los términos del divisor a
los cuales se cambió de signo (-1, -3), dando
como resultado(-2, -6) que se coloca en la
segunda fila, corriendo un lugar hacia la
derecha.
3) Se suma la segunda columna (correspondiente
al dividendo) y el resultado se divide entre 4,
igual a 3; este valor es el segundo coeficiente
del cociente.
4) 3 se multiplica por (-1, -3) y de la tercera fila (-3, -9)
corriendo, un lugar hacia la derecha.
5) Se suma la tercera columna, da -4, se divide
entre 4, da -1, ese resultado es el tercer coefi-
ciente del cociente.
6) -1 se multiplica por (-1, -3) y da la fila ( +1, +3)
corriendo un lugar hacia la derecha.
7) Se suma la cuarta columna, da +8, se divide
ente 4, da 2, este resultado es el cuarto coefi-
ciente del cociente.
8) 2 se multiplica por (-1, -3) y da la fila -2 y -6.
9) Como el último término de este producto
queda debajo del último coeficiente del divi-
dendo 2, se separa con una línea los términos
obtenidos, los cuales pertenecen al cociente.
10) Se reduce las siguientes columnas, da (4 , -4) y se
baja directamente, son los coeficientes del resto.
Escribiendo su parte literal:
Q(x) = 2x3
+ 3x2
- x + 2
R(x) = 4x - 4
1.- Hallar el valor de “m” para que la división sea
exacta, en:
x4
- ma2
x2
+ a4
–––––––––––––––
x2
- ax + a2
- 92 -
α
α α

Solución:
Dividiendo por el método normal. Si la división
es exacta, el residuo debe ser un polinomio idén-
ticamente nulo.
x4
+ 0 - mx2
a2
+ 0 + a4
x2
- ax + a2
-x4
+ x3
a - x2
a2
x2
+ xa - ma2
––––––––––––––––––––
x3
a - (m+1)x2
a2
-x3
a+ x2
a2
- xa3
––––––––––––––––––––––––––––––––
- mx2
a2
- xa3
+ a4
mx2
a2
- mxa3
+ ma4
–––––––––––––––––––––––––––––––
- (1 + m)xa3
+ (1 + m)a4
Si la división es exacta:
-(1 + m)xa3
+ (1 + m)a4
≡ 0
Factorizando:
(1 + m) (-xa3
+ a4
) ≡ 0
Igualando a cero los factores:
1 + m = 0 ; m = -1
Rpta.: m = -1
2.- Hallar m + n + p si la división que sigue no deja
resto:
12x5
- 9x4
+ 14x3
- mx2
+ nx - p
–––––––––––––––––––––––––––
3x3
+ 2x - 6
Solución:
Utilizando el método de coeficientes separados, el
resto debe ser un polinomio idénticamente nulo.
12 - 9 + 14 - m + n - p 3 + 0 + 2 - 6
-12 - 0 - 8 + 24 4 - 3 + 2
–––––––––––––––––––––––––––––
- 9 + 6 + 24 -m + n
+ 9 + 0 + 6 - 18
–––––––––––––––––––––––
––––
+ 6 + 30 - m + n -18 - p
- 6 - 0 - 4 + 12
––––––––––––––––
–––––––––––––
30 - m + n - 22 - p + 12
Como la división no deja resto:
30-m + n - 22 - p + 12 = 0
m + n + p = 20
3.- Calcular p y q, si la división es exacta:
x4
+ px2
+ q
–––
–––––––––
x2
- 6x + 5
Solución:
Para que una división sea exacta, el resto debe ser
un polinomio idénticamente nulo. Dividiendo
por el método de Horner:
6 +p+31
1 1 0 +p 0 +q
+6 +6 -5
-5 +36 -30
6p+186 -5p-155
1 +6 p+31 6p+156 -5p+q-155
Luego, el cociente es (grado2):
Q(x) = x2
+ 6x + (p + 31)
el resto es:
(6p + 156)x + (-5p + q - 155)
Por condición:
R(x) ≡ 0x + 0
∴ (6p + 156)x + (-5p + q - 155) ≡ 0x + 0
6p + 156 = 0 ⇒ p = -26
-5p + q-155 = 0 ⇒ q = 25
Rpta.: p = -26, q = 25
4.- Determinar m y n si la división:
x4
- 3x3
a + x2
a2
+ mxa3
+ na4
–––––––––––––––––––––––––––
x2
- ax + a2
deja como resto:
7xa3
+ 3a4
Á L G E B R A
- 93 -

Solución:
Aplicando la división normal se tendrá:
x4
- 3x3
a + x2
a2
+ mxa3
+ na4
x2
- ax + a2
-x4
+ x3
a - x2
a2
x2
- 2xa - 2a2
–––––––––––––––––––––––––––––––––
- 2x3
a - 0x2
a2
+ mxa3
+ 2x3
a - 2x2
a2
+ 2xa3
––––––––––––––––––––
––––––––––––––––––––––
- 2x2
a2
+ (m+2)xa3
+ na4
+ 2x2
a2
+ 2a3
x + 2a4
––––––––––––––––––––
––––––––––––––––––
(m+4)xa3
+ (n+2)a4
El resto es:
(m + 4)xa3
+ (n + 2)a4
Por dato, el resto es:
7xa3
+ 8a4
∴ (m + 4)xa3
+ (n + 2)a4
≡ 7xa3
+ 8a4
(m + 4)a3
= 7a3
⇒ m = 3
(n + 2)a4
= 8a4
⇒ n = 6
Rpta.: m = 3, n = 6
5.- Calcular m y n si el resto de división es: 2x - 3
12x4
- 23x3
+ 8mx2
- 35x + n
–––––––––––––––––––––––––––
4x2
- 5x + m
Solución:
Dividiendo por el método de Horner:
-8 5m-10
4 12 -23 +8m -35 +n
+5 15 -3m
-m
-10 +2m
25m-50 -5m2
+10m
––––––––– –––––––––
–
4 4
5m-10 33m-190 -5m2
+10m
3 -2 –––––– ––––––––– n + ––––
–––––––
4 4 4
El resto es:
33m - 190 -5m2
+ 10m
R(x) =(––––
––––––)x + (n + ––––––––––)
4 4
Por condición:
R(x) = 2x - 3
Luego:
33m - 190 -5m2
+ 10m
(–––––––––)x + (n + ––––––––––)≡ 2x - 3
4 4
33m - 190
––––––––– = 2 ⇒ m = 6
4
10m - 5m2
n + ––––––––– = -3 ⇒ n = 27
4
Rpta.: m = 6
n = 27
6.- Si la división:
20x4
+ 6ax3
- 3bx2
- 17cx + 9d
–––––––––––––––––––––––––
5x2
- 7x + 2
da un cociente cuyos coeficientes van aumentando
de 4 en 4, y deja un resto igual a 34x + 3. Hallar el
valor de:
E = (a + b) - (c + d)
Solución:
5 20 +6a -3b -17c +9d
+28 -8
+7 56 -16
-2
84 -24
4 8 12 -17c+68 9d-24
Explicación:
El cociente es:
4x2
+ 8x + 12
- 94 -
α
α α

Para el cociente:
1) El segundo coeficiente es 8 ya que aumenta de
4 en 4, luego:
6a + 28
–––––––– = 8 ⇒ a = 2
4
2) El tercer coeficiente es 12, luego:
-3b - 8 + 56
–––––––––––– = 12 ⇒ b = -4
4
El resto es:
(-17c + 68)x + (9d - 24) ≡ 34x + 3
-17c + 68 = 34 ⇒ c = 2
9d - 24 = 3 ⇒ d = 3
Por lo tanto: E = (2 - 4) - (2 + 3) = -7
Rpta.: E = -7
a + b xa
- bx + c
E = –––––– ,si la división ––––––––––– es exacta.
c + 1 x2
- 2x + 1
Solución:
(a + 1) terminos
64444444744444448
1 1 0 0 0 ……… 0 -b +c
2 -1
+2
4 -2
-1
2n-2 -n+1
2n -n
1 +2 +3 …(n-1) n -b+n+1 c-n
El cociente es:
Q(x) = xa-2
+ 2xa-3
+ 3xa-4
+ … + n
El resto es:
R(x) = (-b + n + 1)x + (c - n)
El coeficiente “n” del cociente corresponde al ter-
mino (a - 1) en el dividendo; se tendrá:
1) n = a - 1 ⇒ a = n + 1
2) Si la división es exacta:
R(x) ≡ 0x + 0
Luego:
(-b + n + 1)x + (c-n) ≡ 0x + 0
-b + n + 1 = 0 ⇒ b = n + 1
c - n = 0 ⇒ c = n
En la expresión pedida, reempalzamos los valores
de a, b y c:
n + 1n + 1
E = –––
––––––– = 2
n + 1
Rpta.: 2
a2
+ ab + b2
8.- Calcular: E = ––––––––––– ,
a2
- 3b2
x4
+(a - b)x3
+ (a - b)x + b2
Si la división: ––––––––––––––––––––––– es exacta
x2
- (a - b)x + b2
Solución:
1 1 (a-b) 0 (a-b) b2
a-b a-b -b2
-b2
2(a-b)2
-2b2
(a-b)
(a-b){2(a-b)2
-b2
}
-b2
{2(a-b)2
-b2
}
1 2(a-b) [2(a-b)2
-b2
]
(a-b)(2a2
-4ab-b2
+1)
+b2
[1-{2(a-b)2
-b2
}]
Á L G E B R A
- 95 -

El cociente es:
x2
+ 2(a - b)x + {2(a - b)2
- b2
}
El resto es:
R(x) = (a - b) (2a2
- 4ab - b2
+ 1)x
+ b2
[1- {2(a - b)2
- b2
}]
Por condición:
R(x) ≡ 0x + 0
Luego:
(a - b) (4a2
+ 8ab)x + b2
[1- {2(a - b)2
}] ≡ 0x + 0
a = b
(a - b) (4a2
- 8ab) = 0
{a = 2b
En la expresión; para a = b:
a2
+ a2
+ a2
3a2
3
E = –––––––––– = –––– = - –––
a2
- 3a2
-2a2
2
En la expresión; para a = 2b:
4b2
+ 2b2
+ b2
E = –––––––––––– = 7
4b2
- 3b2
Rpta.: E = -3/2 y E = 7
9.- Hallar A + B + C, si la división:
Ax4
+ (A + B)X3
+ (A + B + C)x2
+ (B + C)x - A - B
––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––
Ax2
+ Bx + C
no deja resto.
Solución:
A A
A A (A+B) (A+B+C) (B+C) -(A+B)
-B -C
-B
-B -C
-C
-B -C
1 1 1 0 -(A+B+C)
El coeciente es:
x2
+ x + 1
El resto es -(A + B + C)
Condición: R = 0
Luego: -(A + B + C) = 0
A + B + C = 0
Rpta.: A + B + C = 0
10.- Calcular “a” y “b” si la división:
x7
+ ax + b
––––––––––– es exacta.
x2
+ 2x + 1
Solución:
-2 +3 -4 +5 -6
1 1 0 0 0 0 0 a +b
-2 -1
-2
+4 +2
-1
-6 -3
+8 +4
-10 -5
+12 +6
1 -2 +3 -4 +5 -6 a+7 b+6
El cociente es:
q(x) = x5
- 2x4
+ 3x3
- 4x2
+ 5x - 6
El resto es:
R(x) = (a + 7)x + (b + 6)
Como la división es exacta:
R(x) ≡ 0
Εs decir:
(a + 7)x + (b + 6) ≡ 0x + 0
a + 7 = 0 ⇒ a = -7
b + 6 = 0 ⇒ b = -6
- 96 -
α
α α

11.- Calcular la relación entre p y q si la división de:
x4
+ (p + 2m)x + q - 1 entre x2
+ mx - 1 es exacta.
Solución:
-m m2
+1
1 1 0 0 p+2m q-1
-m +1
-m
+m2
-m
+1
-m3
-m m2
+1
1 -m m2
+1 p-m3
m2
+q
El cociente es:
q(x) = x2
- mx + (m2
+ 1)
El resto es:
R(x) = (p - m3
)x + (m2
+ q)
Como la división es exacta:
R(x) ≡ 0
por lo tanto:
(p - m3
)x + (m2
+ q) ≡ 0x + 0
p - m3
= 0 ⇒ p = m3
(I)
m2
+ q = 0 ⇒ -q = m2
(II)
Elevando (I) al cuadrado y (II) al cubo se obtiene:
p2
= m6
, -q3
= m6
,
y de estas dos últimas relaciones se obtiene final-
mente que:
p2
= -q3
12.- Hallar el valor de “n” si el grado de P(x) y Q(x)
es igual a 3 y 4 respectivamente y se conoce que
el grado de la expresión:
{P7
(x) + Q5
(x)}2n
–––––––––––––––––
{P5
(x) + Q4
(x)}n+3
es igual a 4.
Solución:
Determinemos el grado de cada expresión:
°⏐P7
(x)⏐ = 7 . 3 = 21
°⏐Q5
(x)⏐= 5 . 4 = 20
°⏐P5
(x)⏐ = 5 . 3 = 15
°⏐Q4
(x)⏐= 4 . 4 = 16
°⏐P7
(x) + Q5
(x)⏐ = 21
°⏐P5
(x) + Q4
(x)⏐ = 16
°⏐P7
(x) + Q5
(x) ⏐2n
= 21 . (2n) = 42n
°⏐Q5
(x) + Q4
(x) ⏐n+3
= 16(n + 3)
El grado de la expresión es:
° {P7
(x) + Q5
(x)}2n
⏐–––––––––––––––––
⏐= 42n - 16(n + 3)
{P5
(x) + Q4
(x)}n+3
Por condición:
42n - 16(n + 3) = 4
n = 2
Rpta.: n = 2
13.- Si la división:
x4
- ax2
+ bx - c
–––––––––––––––––– es exacta. Calcular:
x3
- 3dx2
+ 3d2
x - d3
a3
E = ––––
b2
Á L G E B R A
- 97 -

Solución:
+3d
1 1 0 -a +b -c
+3d -3d2
+d3
+3d
9d2
-9d3
+3d4
-3d2
+d3
1 3d -a+6d2
b-8d3
-c+3d4
El cociente es:
x + 3d
Por condición del problema el R ≡ 0
Luego:
(-a + 6d2
)x2
+ (b - 8d3
)x + (-c + 3d4
) ≡ 0x2
+ 0x + 0
identificando los coeficientes:
-a + 6d2
= 0 ⇒ a = 6d2
b - 8d3
= 0 ⇒ b = 8d3
-c + 3d4
= 0 ⇒ c = 3d4
Sustituyendo estos valores en la condición:
a3
(6d2
)3
216d6
E = ––– = –––––– = –––––– = 3,375
b2
(8d3
)2
64d6
Rpta.: E = 3,375
14.- Hallar la condición para que la división:
x3
+ mx2
+ nx + a . b
––––––––––––––––––
x2
+ ax + b
sea exacta.
Solución:
+m-a
1 1 m n +ab
-a -b
-a
-a(m-a) -b(m-a)
-b
1 m-a n-b-a(m-a) ab-b(m-a)
El cociente es:
x + (m - a)
Por condición: R ≡ 0
luego:
[n - b - a(m - a)]x + [ab - b(m - a)] ≡ 0x + 0
(n - b) - a(m - a) = 0 (α)
ab - b(m - a) = 0 (β)
reduciendo(β): ab - bm + ab = 0
de donde:
2a = m
o :
a = m/2
Sustituyendo el valor de m en (α):
n - b - a(2a - a) = 0
de donde: n - b = a2
Sustituyendo el valor de a = m/2
m2
n - b = ––– ; 4(n - b) = m2
4
m2
Rpta.: La condición es que (n - b) = ––– = a2
4
15.- Calcular m, n y p si el resto es 5x2
+ 7x + 8, dada
la siguiente división:
8x5
+ 4x3
+ mx2
+ nx + p
––––––––––––––––––––––––
2x3
+ x2
+ 3
- 98 -
α
α α

Solución:
Dividiendo por Horner:
-4 +6
2 8 0 +4 +m +n +p
-4 0 -12
-1
+2 0 +6
0
-3 -3 0 -9
4 -2 3 m-15 n+6 p-9
El cociente es:
4x2
- 2x + 3
El resto es:
(m - 15)x2
+ (n + 6)x + (p - 9)
Por condición el resto es:
5x2
+ 7x + 8
Por lo tanto:
(m - 15)x2
+ (n + 6)x + (p - 9) ≡ 5x2
+ 7x + 8
m - 15 = 5 ⇒ m = 20
n + 6 = 7 ⇒ n = 1
p - 9 = 8 ⇒ p = 17
Rpta.: m = 20, n = 1, p = 17
REGLA DE RUFFINI
Se utiliza para dividir polinomios cuando el divi-
sor es un binomio de primer grado. Se estudia 3
casos:
a) Cuando el coeficiente del primer término del
divisor es igual a 1.
Su forma general es : x ± b
Se opera así:
• Se escribe los coeficientes del dividendo en
línea horizontal.
• Se escribe el término independiente del divi-
sor, con signo cambiado, un lugar a la izquier-
da y abajo del coeficiente del primer término
del dividendo.
• Se divide como en el caso de Horner, teniendo
presente que el primer coeficiente del cocien-
te, es igual al primer coeficiente del dividendo
• Para obtener el cociente, se separa la última
columna que viene a ser el resto.
Ejemplo:
Obtener el cociente y el resto en la división:
4x4
- 5x3
+ 6x2
+ 7x + 8
––––––––––––––––––––––
x + 1
Procedimiento:
4 -5 +6 +7 +8
-1 -4 +9 -15 +8
4 -9 +15 -8 16 resto
14444244443
coeficientes del cociente
Grado del cociente:
°⏐q⏐ = °⏐D⏐ - °⏐d⏐ = 4 - 1 = 3
cociente:
q = 4x3
- 9x2
+ 15x - 8
resto: R = 16
b) Cuando el coeficiente del primer término del
divisor es diferente de cero.
Su forma general es: ax ± b
Se procede así:
• Se transforma el divisor, extrayendo como fac-
tor común, el primer término del divisor; es
decir:
b
(ax ± b) = a(x ± ––)
a
Á L G E B R A
- 99 -

b
• Se divide entre (x ± ––), como en el primer
caso.
a
• Los coeficientes del cociente obtenido se divi-
den entre el primer coeficiente del divisor.
• El resto obtenido no sufre alteración.
Ejemplo:
Hallar cociente y resto en:
18x5
- 29x3
- 5x2
- 12x - 16
––––––––
–––––––––––––––––
3x + 2
2
i) Se factoriza 3 así: 3(x + ––)
3
2
ii) Se divide entre x + ––
3
iii) Previamente, se completa el dividendo con
cero,que es el coeficiente de x4
.
18 0 -29 -5 -12 -16
2
- –– -12 +8 +14 -6 +12
3
18 -12 -21 +9 -18 -4 resto
144444244443
coeficientes del cociente
El grado del cociente obtenido es:
5 - 1 = 4
Cociente primario = 18x4
- 12x3
- 21x2
+ 9x - 18
Dividiendo todo el cociente primario entre 3,
porque es el primer coeficiente del divisor, se tiene:
El cociente verdadero:
q = 6x4
- 4x3
- 7x2
+ 3x - 6
El resto: R = -4
c) Cuando el divisor es de la forma: axn
+ b.
En este caso para que la división se pueda efectu-
ar, los exponentes de la variable del dividendo
deben ser múltiplos del exponente de la variable
del divisor.
Ejemplo:
Hallar el cociente y el resto en:
6x36
+ 17x27
- 16x18
+ 17x9
+ 12
–––––––––––––––––––––––––––
3x9
+ 1
Procedimiento
Observemos que los exponentes de la variable
del dividendo son múltiplos del exponente 9 del
divisor, luego se puede aplicar el método.
Haciendo x9
= y, la división es:
6y4
+ 17y3
- 16y2
+ 17y + 12
––––––––––––––––––––––––
3y + 1
Aplicando el segundo caso:
6 +17 -16 +17 +12
1
- –– -2 -5 +7 -8
3
6 -15 -21 +24 +4
Cociente primario:
6y3
+ 15y2
- 21y + 24
Dividiendo entre 3 da el verdadero cociente:
2y3
+ 5y2
- 7y + 8
reemplazando y = x9
, el cociente es:
q = 2x27
+ 5x18
- 7x9
+ 8
el resto es:
R = +4
1.- Hallar el resto y el cociente en:
x3
- 2x2
+ (2 - a2
- 2a)x - 2a - 2
––––––––––––––––––––––––––––
x - a - 2
- 100 -
α
α α

Solución:
Dividiendo por Ruffini:
1 -2 +2-a2
-2a -2a-2
a+2 a+2 a2
+2a 2a+4
1 a 2 +2
Rpta.: Cociente: q = x2
+ ax + 2
Resto: R = 2
2.- Hallar el resto de la siguiente división:
__ __
x5
+ (3√2 - 2 )x3
+ 2√2 + 7
–––––––––––––––––––––––––
__
x - √2 + 1
Solución:
Aplicando Ruffini:
_
_ __
1 0 3√2 -2 0 0 +2√2 +7
__ __ __ __ __
√2 -1 √2 -1 3-2√2 1 √2 -1 3-2√2
__ __ __
1 √2 -1 √2 +1 1 √2 -1 +10
Rpta.:
Cociente:
__ __ __
q = x4
+ (√2 - 1)x3
+ (√2 + 1)x2
+ x + √2 - 1
Resto: R = 10
3.- Calcular “m” si la división es exacta:
6x3
- 3x2
- mx - 6
–––––––––––––––––
2x - 3
Solución:
6 -3 -m -6
3 3
–– +9 +9 ––(9-m)
2 2
3
6 +6 9-m ––(9-m) -6
2
Cociente primario:
6x2
+ 6x + 9 - m
Dividiendo entre 2 da el cociente real:
9 - m
3x2
+ 3x + –––––
2
Según el problema, el resto debe ser cero, es decir:
3
–– (9 - m) - 6 = 0
2
m = 5
Rpta.: m = 5
4.- Sea el polinomio:
abcx3
- (a2
c+b2
a+ c2
b)x2
+ (a2
b + b2
c + c2
a)x - abc
a b
se anula para x = –– y para x = ––
b c
Hállese otro valor que también lo reduzca a cero.
Solución:
abc -a2
c-b2
a-c2
b a2
b+b2
c+c2
a -abc
↓
a
–– a2
c -a2
b-ac2
abc
b
–––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––
abc -b2
a-c2
b b2
c 0
↓
b
–– ab2
-b2
c
c
–––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––
abc -c2
b 0
↓
c
––
a c2
b
–––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––
abc 0
c
El otro valor es: ––
a
c
porque al dividir entre el valor –– dado para x
a
se anula.
c
Rpta.: ––
a
5 .- Hallar el residuo de la división de:
6x3
- 5x2
+ ax - 1 entre 2x + 1
Á L G E B R A
- 101 -

sabiendo que su cociente toma el valor numérico
de 2 para x = 1.
Solución:
6 -5 +a -1
↓
1 1
- –– -3 +4 - –– (a+4)
2 2
1
6 -8 a+4 -–– (a+4) - 1
2
El cociente primario:
6x2
- 8x + a + 4
dividiendo entre 2 ,el cociente es:
a + 4
3x2
- 4x +
(–––––
)
2
El valor numérico para x = 1 será:
a + 4
3(1)2
- 4(1) + ––––– = 2
2
a + 4
3 - 4 + ––––– = 2
2
eliminado denominadores:
6 - 8 + a + 4 = 4
∴ a = 2
Si el resto es:
1
R = - –– (a + 4) - 1
2
sustituyendo. a = 2:
1
R = - –– (2 + 4) - 1
2
R = -4
Rpta.: El residuo es -4
- 102 -
α
α α
1. Calcular A + B si la división:
2x4
+ 3x2
+ Ax + B
–––––––––––––––––
2x2
+ 2x + 3
es exacta
a) 2 b) 4 c) 5
d) 12 e) 0
2. Calcular m + n + p si la división deja como resto:
2x2
+ x - 5
3x5
- 2x4
- 3x3
+ mx2
+ nx + p
––––––––––––––––––––––––––
3x3
- 2x2
+ 1
a) 3 b) 2 c) -1
d) 0 e) 10
3. En la división:
3x4
+ 2x3
+ Ax2
+ 7x - 12
––––––––––––––––––––––
x3
+ x2
- 3
el cociente es: 3x + B; el resto: -4x2
+ Cx - 15
Hallar ABC.
a) 80 b) 16 c) 50
d) 210 e) 49
4. El residuo en la división es -16:
6x4
- x3
y - 6x2
y2
+ 5xy3
- 3y4
–––––––––––––––––––––––––
2x2
+ xy - 2y2
Hallar el valor de “y”
a) 1 b) 3 c) 2
d) -1 e) 4

Á L G E B R A
- 103 -
5. Cuando el polinomio:
8x4
- Ax3
+ Bx2
+ Cx + D
se divide entre: 2x2
- x + 1; se obtiene un cociente
cuyos coeficientes van disminuyendo de 1 en 1 a par-
tir del primer término y un residuo igual a 5x + 1.
Hallar: A + B + C + D
a) 24 b) 21 c) 15
d) 12 e) 16
6a + 6b + 2c
6. Calcular: –––––––––––
b
si el polinomio: x3
- 7a2
+ 6b3
entre: x2
- (a + c)x + ac, deja como resto cero
a) 2 b) 8 c) 4
d) -6 e) 5
7. En la siguiente división exacta:
x3
+ (2a + m)x2
+ (a2
+ b + n)x + ab
––––––––––––––––––––––––––––––––
x2
+ ax + b
dar el valor de:
n2
+ a2
m2
E = ––––––––––––
2a2
m2
+ m2
b2
a) 1 b) 5 c) 4
d) 2 e) 7
8. Si a y b son mayores que cero. Calcular:
E = a +m, sabiendo que el resto de la división:
3x4
- 4x3
+ ax2
+ 5x - 2
–––––––––––––––––––––
x2
- x + m
es R = 8x - 2
a) 13 b) 3 c) 5
d) 10 e) 16
9. Si el polinomio: x3
+ 2mx2
+ 5ax + b, es divisible
entre: x2
- 3mx + 2a. Encontrar el valor de (a/b).
1 2
a) ––– b) ––– c) 5m
5m 5m
5m 5
d) ––– e) –––
2 m
10. Indicar el resto que resulta al dividir:
8x3
+ 4x2
- 6mx + 15 entre (2x - 1), sabiendo que
la suma de los coeficientes del cociente es 28.
a) -1 b) 1 c) -35
d) 35 e) 36
11. Hallar la relación existente entre “m”, “n”, “p”
si la siguiente división es exacta:
(3x3
- mx2
+ nx + p)
––––––––––––––––––
(x2
- a)
a) m + n = p b) 2m - n = 3p
c) mn = -3p d) m-n = 2p
e) Ninguna
12. Hallar n - m si la división es exacta:
2mx3
- mx2
+ 3nx - 6
––––––––––––––––––––
2x2
- 3x + 1
a) 4 b) -4 c) 2
d) 3 e) 10
13. Evaluar:
__
P(x) = x8
- 2x4
- 16x2
+ 4√3
___
__
___
__
para x = √1 + √3
a) -4 b) 3 c) 11
d) 15 e) 4
14. Al efectuar la división:
nx4
+ (n - n2
+ 1)x3
+ x2
- n2
x + n2
- 7
––––––––––––––––––––––––––––––––
x - n + 1
se observa que la suma algebraica de los coefi-
cientes del cociente es cero. El valor de este
último:

a) 4 b) 12 c) -4
d) 1 e) -3
15. El siguiente esquema representa la división por
el método Horner:
1 3 a 1 b c
m g d
2 e f
g h
n -2 p 4 -3
determinar (m + p)
a) -4 b) 4 c) 12
d) 0 e) 3
16. Hallar el valor de E = n - m, si la división:
12x4
+ 29x3
- 5mx2
- 49x + n
––––––––––––––––––––––––––
4x2
+ 7x - m
es exacta.
a) 5 b) 32 c) -27
d) 37 e) 27
17. Hallar el resto de la división:
x4
- (a + 2)x3
+ ax2
+ x + a2
+ a
––––––––––––––––––––––––––––
x - a - 1
a) 1 b) 0 c) -1
d) 4 e) Ninguna
18. En el polinomio:
__ __ _
_ _
_ _
_
P(x) = (√3 - √2 )x5
- 2√2 x3
- 2√3 x + 12 + 2√6
__ __
Calcular P(√3 + √2 )
a) -6 b) -2 c) 6
d) 2 e) 3
19. En la siguiente división: calcular m + n + p
8x5
- 4x3
+ mx2
+ nx + p
–––––––––––––––––––––––––
2x3
+ x2
+ 3
si el resto es igual a: 5x2
-3x + 7
a) 27 b) 40 c) 35
d) 85 e) Ninguna
20. Determinar a2
+ b2
para que la división:
6x4
+ 4x3
- 5x2
- 10x + a
––––––––––––––––––––––
3x2
+ 2x + b
sea exacta
a) 625 b) 25 c) 650
d) 620 e) 600
- 104 -
CLAVE DE RESPUESTAS
1) A 2) B 3) A 4) C 5) E
6) B 7) A 8) A 9) A 10) D
11) C 12) E 13) E 14) C 15) B
16) E 17) B 18) C 19) A 20) C
α
α α

TEOREMA DEL RESTO O DE
DESCARTES
Este teorema tiene por objetivo determinar el resto
en una división, sin efectuar la división.
ENUNCIADO.- El resto de dividir un polinomio ra-
cional y entero en “x” entre un binomio de la forma
“ax ± b” es igual al valor numérico que adquiere di-
cho polinomio cuando se reemplaza en él, x por b/a.
DEMOSTRACIÓN
En forma general, definamos:
Dividendo : P(x), racional y entero
Divisor : ax ± b
Cociente : q(x)
a
Resto : R = P
( ––
)
b
Toda división es de la forma:
D = dq + R
D = dividendo
d = divisor
q = cociente
R = resto
Reemplazando por sus equivalentes:
P(x) ≡ (ax ± b) q(x) + R (1)
b
Si definimos x como: x = ––
a
y reemplazamos en (1):
b b b
P( ––
)=
[a
(––
) b
]q
( ––
)+ R
a a a
b b
P
( ––
)=
( b ± b
). q
( ––
)+ R
a a
El primer factor del segundo es cero, luego:
b
P
( ––
)= R
a
o finalmente:
b
R = P
( ––
)
a
REGLA PRÁCTICA PARA HALLAR EL
RESTO
1º Se iguala el divisor a cero:
ax ± b = 0
2º Se despeja “x”:
b
x = ––
a
3º Se reemplaza en el polinomio dividendo “x” por.
b
x = ––
a
b
∴ R = P
( ––
)
a
Ejemplo:
Hallar el resto de las siguientes divisiones:
(x - 3)64
+ (x - 3)40
+ (x - 1)16
- 164
i) ––––––––––––––––––––––––––––––
x - 3
Solución:
• x - 3 = 0
• x = 3
Sustituyendo
• R = P(3) = (3-3)64
+ (3-3)40
+ (3-1)16
- 164
R = 0 + 0 + 216
- 164
R = 216
- (24
)4
= 216
- 216
= 0
∴ R = 0
6x4
+ x3
- 19x2
+ 14x - 15
ii) –––––––––––––––––––––––
2x - 3
1º 2x - 3 = 0
3
2º x = ––
2
Sustituyendo
3 3 4
3 3
3 2
3º R = P(––)= 6(––)+ (––)- 19(––)
2 2 2 2
3
+ 14(––)- 15
2
Á L G E B R A
- 105 -

- 106 -
243 27 171
R = –––– + ––– - –––– + 21 - 15
8 8 4
simplificando: R = -3
1.- Hallar el resto de la división:
nxn
+ (n-1)xn-1
+ (n-2)xn-2
- 3n + 16
–––––––––––––––––––––––––––––––––
x - 1
Solución:
De acuerdo con la regla práctica:
• x - 1 = 0
• x = 1
Sustituyendo:
• R = n(1)n
+ (n - 1)(1)n-1
+ (n - 2)(1)n-2
- 3n + 16
R = n + n-1 + n-2 - 3n + 16
simplificando: R = 13
(x + a)7
- (x7
+ a7
)
––––––––––––––––
x + 2a
Solución:
Utilizando la regla práctica:
• x + 2a = 0
• x = -2a
Sustituyendo
• R = (-2a + a)7
- [(-2a)7
+ a7
]
R = (-a)7
- (-128a7
+ a7
) = (-a)7
- (-127a7
)
R = -a7
+ 127a7
R = 126a7
3.- Hallar el resto en:
(x + y)2
+ (x + y)(2z - 1) + z(z - 1)
––––––––––––––––––––––––––––––
x + y + z - 3
Solución:
• x + y + z-3 = 0
• x = 3 - y - z
• R = (3 - y - z + y)2
+ (3 - y - z + y) (2z - 1)
+ z(z - 1)
Efectuando operaciones y simplificando:
R = (3 - z)2
+ (3 - z) (2z - 1) + z(z - 1)
R = 6
(5x4
+ 7x2
+ 5)2
+ (5x4
+ 7x2
+ 7)3
+ 8
–––––––––––––––––––––––––––––––––
5x4
+ 7x2
+ 8
Solución:
Efectuemos el siguiente cambio de variable:
5x4
+ 7x2
= y
Reemplazando, se obtiene la división equivalente:
(y + 5)2
+ (y + 7)3
+ 8
––––––––––––––––––––
y + 8
• y + 8 = 0
• y = -8
• R = (-8 + 5)2
+ (-8 + 7)3
+ 8 = 9 - 1 + 8 = 0
R = 16
(x - 1)4n
(x3
+ 8)3
(x - 4)3
––––––––––––––––––––––
x2
- 2x + 2
Solución:
Efectuando operaciones en el dividendo:
(x - 1)4n
(x3
+ 8)3
(x - 4)3
= [(x - 1)2
]2n
[(x + 2)(x2
- 2x + 4)]3
(x - 4)3
= (x2
- 2x + 1)2n
(x + 2)3
(x2
- 2x + 4)3
(x - 4)3
α
α α

Ordenando:
= (x2
- 2x + 1)2n
(x2
- 2x + 4)3
[(x + 2)(x - 4)]3
= (x2
- 2x + 1)2n
(x2
- 2x + 4)3
[x2
- 2x - 8]3
Sustituyendo este equivalente en el numerador:
(x2
- 2x + 1)2n
(x2
- 2x + 4)3
(x2
- 2x - 8)3
––––––––––––––––––––––––––––––––––
x2
- 2x + 2
y, haciendo: x2
- 2x = y:
resulta en:
(y + 1)2n
(y + 4)3
(y - 8)3
–––––––––––––––––––––
y + 2
Para hallar el resto se aplica la regla práctica:
• y + 2 = 0
• y = -2
• R = (-2 + 1)2n
(-2 + 4)3
(-2 - 8)3
= (1)(2)3
(-10)3
R = -8 000
6.- Hallar el resto en la división:
[3 + (x + 1)(x + 2)(x + 3)(x + 4)]4
–––––––––––––––––––––––––––––––––
x(x + 5) + 5
Solución:
Efectuando operaciones en el dividendo:
[3 + (x + 1)(x + 2)(x + 3)(x + 4)]4
–––––––––––––––––––––––––––––––––
x(x + 5) + 5
{3 + (x2
+ 5x + 4) (x2
+ 5x + 6)}4
–––––––––––––––––––––––––––––––––
x2
+ 5x + 5
haciendo: x2
+ 5x = y
[3 + (y + 4)(y + 6)]4
–––––––––––––––––––
y + 5
Para hallar el resto se aplica la regla práctica:
• y + 5 = 0
• y = -5
• R = [3 + (-5 + 4)(-5 + 6)]4
R = 16
a3
b3
+ a3
c3
+ b3
c3
- 3a2
b2
c2
–––––––––––––––––––––––
ab + ac + bc
Solución:
Agrupando convenientemente en el numerador:
(ab)3
+ (ac)3
+ (bc)3
- 3(ab)(ac)(bc)
––––––––––––––––––––––––––––––
ab + ac + bc
Considerando que la variable es el producto ab,
se calcula el resto por la regla práctica:
• ab + ac + bc = 0
• ab = -ac - bc = -(ac + bc)
• R =[-(ac + bc)]3
+ (ac)3
+ (bc)3
- 3[-(ac + bc)](ac)(bc)
R = -(ac + bc)3
+(ac)3
+(bc)3
+ 3(ac + bc)(ac)(bc)
R = - (ac)3
- 3(ac)2
(bc) - 3(ac)(bc)2
- (bc)3
+(ac)3
+(bc)3
+3(ac)2
(bc) + 3(ac)(bc)2
reduciendo términos semejantes:
R = 0
a - b a b (a + b)(a2
- b2
)
(––––
)x2
- –– x - –– x + ––––––––––––
2ab b a 2ab
––––––––––––––––––––––––––––––––––––
(a + b)2
x - ––––––
a - b
Solución:
Aplicando la regla práctica del resto:
(a + b)2
x - ––––––
–– = 0
a - b
Á L G E B R A
- 107 -

- 108 -
(a + b)2
x = ––––––
––
a - b
a - b (a + b)2 2
a (a + b)2
R =
(–––––
)[––––––
] - –– ––––––
2ab a - b b (a - b)
b (a + b)2
(a + b)(a2
- b2
)
- –– –––––– + –––––––––––––
a (a - b) 2ab
Simplificando y agrupando:
(a + b)4
(a + b)2
a b
R = ––––––––– - –––––––
[–– + ––
]
2ab(a - b) a - b b a
(a + b)(a2
- b2
)
+ –––––––––––––
2ab
Efectuando el corchete y multiplicando numerador
y denominador por 2:
(a + b)4
2(a + b)2
(a2
+ b2
)
R = ––––––––– - –––––––––––––––
2ab(a - b) 2ab(a - b)
(a + b)(a + b)(a - b)(a - b)
+ –––––––––––––––––––––––
2ab(a - b)
(a + b)4
- 2(a + b)2
(a2
+ b2
) + (a + b)2
(a - b)2
R = ––––––––––––––––––––––––––––––––––––
2ab(a - b)
Sacando el factor común (a + b)2
:
(a + b)2
[(a + b)2
- 2(a2
+ b2
) + (a - b)2
]
R = –––––––––––––––––––––––––––––––––
2ab(a - b)
Aplicando Legendre a los términos señalados:
(a + b)2
[2(a2
+ b2
) - 2(a2
+ b2
)]
R = ––––––––––––––––––––––––––––
2ab(a - b)
(a + b)2
[0]
R = –––––––––––
2(ab)(a - b)
R = 0
(x - 1)n + 2
+ x2n + 1
–––––––––––––––––––––
x2
- x + 1
Solución:
Aplicando la regla práctica del resto:
• x2
- x + 1 = 0
• x2
= x - 1
Reemplazando en el denominador esta equivalencia:
D = (x - 1)n+2
+ (x-1)n
. x
sacando factor común (x - 1)n
:
D = (x - 1)n
[(x - 1)2
+ x]
D = (x - 1)n
[x2
- 2x + 1 + x] = (x - 1)n
[x2
- x + 1]
Sustituyendo:
x2
= x - 1
se tiene:
• R = (x - 1)n
(x - 1 - x + 1) = (x - 1)n
(0) = 0
R = 0
(x + y)4m
- (x - y)4m
–––––––––––––––––––
(8xy) (x2
+ y2
)
Solución:
Transformando el divisor mediante la aplicación
de productos notables e identidades:
8xy(x2
+ y2
) = [4xy][2(x2
+ y2
)]
= [(x + y)2
- (x - y)2
] [(x + y)2
+ (x - y)2
]
= (x + y)4
- (x - y)4
Haciendo: (x + y)4
= a, (x - y)4
= b, se obtiene:
am
- bm
––––
–––––
a - b
Para hallar el resto se sigue la regla práctica:
• a - b = 0
• a = b
• R = am
- am
R = 0
α
α α

11.- Calcular “m” y “n” si la división:
xm
(x - a)3m
- 256(3a - x)2n
––––––––––––––––––––––––––
x - 2a
es exacta.
Solución:
Cálculo del resto, siguiendo la regla práctica:
• x - 2a = 0
• x = 2a
• R = (2a)m
(2a -a)3m
- 256(3a - 2a)2n
Según enunciado:
(2a)m
(2a -a)3m
- 256(3a - 2a)2n
= 0
efectuando:
2m
. am
. a3m
= 256a2n
2m
a4m
= 28
a2n
Identificando factores con bases iguales:
2m
= 28
⇒ m = 8
a4m
= a2n
⇒ 4m = 2n
n = 2m
n = 2(8) = 16
Rpta.: m = 8
n = 16
12.- Hallar “m” si la división no deja resto:
x8
+ (y2
- z2
)2
- mx4
(y2
+ z2
)
––––––––––––––––––––––––––
x2
- y - z
Solución:
Calcularemos del resto, siguiendo la regla práctica:
• x2
- y - z = 0
• x2
= y + z
• R = (y + z)4
+ (y2
- z2
)2
- m(y + z)2
(y2
+ z2
)
Por enunciado:
(y + z)4
+ (y2
- z2
)2
- m(y + z)2
(y2
+ z2
) = 0
Por enunciado:
(y + z)4
+ (y + z)2
(y - z)2
= m(y + z)2
(y2
+ z2
)
(y + z)4
[(y + z)2
+ (y - z)2
] = m(y + z)2
(y2
+ z2
)
simplificando y aplicando Legendre:
2(y2
+ z2
) = m(y2
+ z2
)
de donde: m = 2
13.- Hallar “m” si la división deja por resto 49a7
.
(x + 3a)7
- (x7
+ ma7
)
–––––––––––––––––––––
x + 2a
Solución:
Cálculo del resto, siguiendo la regla práctica:
• x + 2a = 0
• x = -2a
• R = (-2a + 3a)7
- [(-2a)7
+ ma7
]
Por condición del problema:
(-2a + 3a)7
- [(-2a)7
+ ma7
] = 49a7
de donde:
a7
- (-128a7
+ ma7
) = 49a7
a7
+128a7
- ma7
= 49a7
operando: m = 80
14.- Calcular “m” si la división es exacta:
m(x + y + z)3
- (x + y)3
- (x + z)3
- (x + z)3
–––––––––––––––––––––––––––––––––––––––
x + y + 2z
Solución:
Cálculo del resto:
• x + y + 2z = 0
• x = -y - 2z
Á L G E B R A
- 109 -

• R = m(-y -2z + y + z)3
- (-y - 2z + y)3
- (y + z)3
- (-y - 2z + z)3
Por condición del problema: R = 0 igualando a
cero y operando:
m(-z)3
- (-2z)3
- (y + z)3
-[-(y + z)]3
= 0
-mz3
+ 8z3
- (y + z)3
+ (y + z)3
= 0
8z3
= mz3
m = 8
15.- Hallar “m” para que el polinomio:
x3
+ x2
- 3mx + 5
al dividirlo entre (x - 1) de como resto el doble
del resto de dividir dicho polinomio entre (x - 2).
Solución:
Cálculo de R1
(resto de la primera división):
• x - 1 = 0
• x = 1
• R1
= (1)3
+ (1)2
- 3m(1) + 5
R1
= 7 - 3m
Cálculo de R2
(resto de dividir entre x - 2):
• x - 2 = 0
• x = 2
• R2
= (2)3
+ (2)2
- 3m(2) + 5 = 8 + 4 - 6m + 5
R2
= 17 - 6m
Condición del problema:
R1
= 2R2
reemplazando:
7 - 3m = 2(17 - 6m)
efectuando: m = 3
E = 2m + 5n
si el resto de la división:
mx8
+ nx6
- 3x5
- 1
––––––––––––––––––
x3
+ 1
es igual a 8x2
- 5
Solución:
Cálculo del resto:
• x3
+ 1 = 0
• x3
= -1
El polinomio dividendo se puede escribir así:
m(x3
)2
x2
+ m(x3
)2
- 3(x3
)x2
- 1
luego el resto es:
• R = m(-1)2
x2
+ n(-1)2
- 3(-1)x2
- 1
operando:
R = (m + 3)x2
+ (n - 1)
este resto es idéntico al resto que el problema
indica; o sea:
(m + 3)x2
+ (n - 1) ≡ 8x2
- 5
m + 3 = 8 ⇒ m = 5
n - 1 = -5 ⇒ n = -4
∴ E = 2(5) + 5(-4) = 10 - 20 = -10
Rpta.: E = -10
17.- Hallar el valor de “m” si la división es exacta.
(2m+3) (x+y+z)2
- (y+z-x)3
+ m(z+x-y)3
- (x+y-z)3
––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––
xyz
Solución:
Cálculo del resto:
• haciendo xyz = 0
• x = 0
- 110 -
α
α α

• R = (2m + 3)(y + z)3
- (y + z)3
+ m(y + z)3
- (y - z)3
= 0
agrupando e igualando a cero, por condición:
[(2m + 3)(y + z)3
- (y + z)3
]
+ {m [-(y - z)]3
- (y - z)3
} = 0
extrayendo factor común: (y + z)3
en el corchete
y, -(y - z)3
en la llave:
(y + z)3
(2m + 3 - 1) - (y - z)3
(m + 1) = 0
factorizando:
(m + 1) [2(y + z)3
- (y - z)3
] = 0
Igualando los factores a cero, basta con igualar a
cero el primer factor:
m + 1 = 0
m = -1
a
18.- Hallar el valor de E = –– si en la división:
b
(a - b)xn
+ (a - b)2
xn-1
+ (a - b)3
xn-2
–––––––––––––––––––––––––––––––––––
x - a + b
se obtiene como residuo : 3bn+1
Solución:
Cálculo del resto:
• x - a + b = 0
• x = a - b
• R = (a - b)(a - b)n
+ (a - b)2
(a - b)n-1
+ (a - b)3
(a - b)n-2
Pero, según el problema: R = 3bn+1
igualando y operando:
(a - b)n+1
+ (a - b)n+1
+ (a - b)n+1
= 3bn+1
3(a - b)n+1
= 3bn+1
entonces: a - b = b
a
–– = 2
b
∴ E = 2
b2
E = ––––––––
a2
+ c2
si la división:
(a + b)x3
+ (b - c)x2
+ (b + c)x + (a - b)
–––––––––––––––––––––––––––––––––––––
x2
+ h2
es exacta.
Solución:
Para hallar el resto:
• x2
+ h2
= 0
• x2
= -h2
El dividendo se puede escribir así:
(a + b)2
(x2
)(x) + (b - c)x2
+ (b + c)x + (a - b)
Luego, el resto será:
• R = (a + b)(-h2
)(x) + (b - c)(-h2
)
+ (b + c)x + (a - b)
Igualando a cero y operando:
-(a + b)h2
x + (b + c)x - (b - c)h2
+ (a - b) ≡ 0
[-(a + b)h2
+ (b + c)]x + [-(b - c)h2
+ (a - b)] ≡ 0
identificando coeficientes a cero:
• -(a + b)h2
+ (b + c) = 0
b + c
h2
= ––––– (α)
a + b
• -(b - c)h2
+ (a - b) = 0
a - b
h2
= ––––– (β)
b - c
igualando (α) = (β) :
b + c a - b
–––––– = ––––––
a + b b - c
Producto de medios igual a producto de extremos:
b2
- c2
= a2
- b2
2b2
= a2
+ c2
Á L G E B R A
- 111 -

También:
a2
+ c2
2 = ––––––
b2
1
∴ E = ––
2
20.- Determinar “m” para que el polinomio:
x4
+ y4
+ z4
- m(x2
. y2
+ y2
. z2
+ x2
. z2
)
sea divisible entre x + y + z
Solución:
Cálculo del resto:
• x + y + z = 0 ∴
• x = -y - z
• R = {-(y + z)}4
+ y4
+ z4
-m[{-(y + z)}2
(y2
+ z2
)
+y2
. z2
]
Como es divisible, el resto es cero; igualando a
cero y operando:
(y + z)4
+ y4
+ z4
= m[(y + z)2
(y2
+ z2
) +y2
z2
]
[(y + z)2
]2
+ y4
+ z4
= m[(y2
+ 2yz + z2
)(y2
+ z2
)
+ y2
z2
]
(y2
+ 2yz + z2
)2
+ y4
+ z4
= m[y4
+ 2y3
z + 2y2
z2
+ 2yz3
+ z4
+ y2
z2
]
y4
+ 4y2
z2
+ z4
+ 4y3
z + 2y2
z2
+ 4yz3
+ y4
+ z4
= m[y4
+ z4
+ 2y3
z + 3y2
z2
+ 2yz3
]
2(y4
+ z4
+ 2y3
z + 3y2
z2
+ 2yz3
)
=m(y4
+ z4
+ 2y3
z + 3y2
z2
+ 2yz3
)
m = 2
Rpta.: m= 2
- 112 -
α
α α
1. Calcular el resto que se obtiene al dividir:
(x2
+ x + 1)2n
+ (x2
- x - 1)n
––––––––––––––––––––––––
(x2
-x)
siendo “n” un número impar positivo.
a) 1 - (2x + 1)n b) -2x + 1
c) 2x + 1 d) 0
e) -2x
2. Hallar el resto de:
xn+1
- (n + 1)x + n
–––––––––––––––––
(x + 1) (x - 1)
para n = número par positivo.
a) nx b) x c) 0
d) nx - n e) -nx + m
3. Sabiendo que el polinomio x4
+ ax2
+ b es divisi-
ble entre x2
+ bx + a, calcular el resto de la
división del polinomio entre ax + b.
a) 1 b) 2 c) 3
d) 4 e) 5
4. Calcular el valor de “a” de tal manera que la
expresión:
xn
-axn-1
+ ax - 1
sea divisible por (x - 1)2
n n n - 2
a) ––––– b) ––––– c) ––––
––
n + 2 n - 2 n
n + 2
d) ––––– e) n
n
5. Calcular el valor de “m” de manera que el poli-
nomio:
x3a+2
+ x3b+1
+ mx3c
sea divisible entre x2
+ x + 1

Á L G E B R A
- 113 -
a) 2 b) 3 c) 4
d) 1 e) 7
6. Calcular m de manera que la división:
x4
(y + z)2
+ y4
(x + z)2
+ z4
(x + y)2
––––––––––––––––––––––––––––––––
x2
(y + z)x + yz
+ 2(xy + xz + yz)3
- mx2
y2
z2
––––––––––––––––––––––––
Se exacta:
a) 1 b) 2 c) 3
d) 4 e) 5
7. Hallar la diferencia m - n, si la división es exacta:
3x2
+ mxy + 4y2
+ 5y + ny
–––––––––––––––––––––––
x + y
a) 2 b) -2 c) 12
d) -12 e) 7
8. Si un polinomio P(x) se divide entre (x2
+ x + 1)
el resto es 3x + 2, si el cociente se divide entre
(x3
+ 7), el resto es 2x2
- x + 3. Hallar el resto de
la división de P(x) entre:
(x2
+ x + 1)(x3
+ 7)
Dar la suma de sus coeficientes.
a) 10 b) 14 c) 15
d) 17 e) 19
9. Si el siguiente polinomio:
(mx + 1)2
+ (m + x)2
+ mx
es divisible ente (x + 1). Calcular “m”.
a) 2 b) -2 c) 4
d) 5 e) 0
10. Calcular “m” si el resto de la división de:
x3
- mx2
+ 7x - 1 entre x - 2
es el triple del resto de dividir:
x2
- (m + 2)x - 11 entre x + 2
a) -3 b) 4 c) 5
d) 3 e) -4
11. Si el polinomio:
P(x) = 2x3
+ 3x2
- 32x + 15
se anula para x = -5 y x = 3. Calcular el otro valor
de x para el cual también se anula.
a) 162 b) -1/2 c) 1
d) -1 e) Ninguna
12. Hallar m + n si la siguiente división es exacta:
(m+1)x28
- (n+2)x22
+ mx15
- nx8
+ (2m - 2)x7
+ 1
entre (x7
+ 1)
a) 3 b) 4 c) 7
d) 1 e) -1
13. Hallar el resto al dividir:
P(x) = (x - 1)6
x3
(2 - x)3
entre (x2
- 2x -2)
a) +128 b) -128 c) -216
d) 216 e) 0
14 Al dividir un polinomio P(x) entre (x + a)4
se
obtuvo como residuo:
(x3
- 3a2
x + 2a3
)
Calcular el resto de dividir P(x) entre (x + a)2
a) x + a b) 4 c) xa2
+ 4a3
d) 4a3
e) x + 4a
15. Al dividir un polinomio P(x) entre (x - 3)2
deja
un residuo (x - 3). ¿Cuál es el resto de dividir el
cuadrado de P(x) entre (x - 3)?

- 114 -
a) 3 b) 9 c) 0
d) -3 e ) 8
16. Al dividir un polinomio P(y) entre (y - 3) se
obtuvo un cociente Q(y) y un resto igual a - 2;
al dividir Q(y) entre (y + 2) se obtiene un resto
igual a 2. Calcular el término independiente del
residuo al dividir P(y) entre (y - 3)(y + 2).
a) -8 b) 8 c) 12
d) -12 e) 15
17. Hallar el término cuadrático de un polinomio P(x)
de cuarto grado, si se sabe que sus respectivos coe-
ficientes son números enteros consecutivos, se
sabe además que si se divide dicho polinomio
entre (x - 1) el resto es 35.
a) 5 b) 6 c) 7
d) 8 e) 9
18. Si al dividir un polinomio P(x) entre x4
-1 se
obtuvo como residuo:
3x3
+ bx2
+ cx - 2
si se sabe además que el resto de dividir P(x)
entre (x2
- 1) es dos veces más que el resto de la
división de P(x) entre (x2
+ 1). Decir cuánto
vale: b + c.
a) -5 b) -3 c) 2
d) 3 e) 5
19. Hallar el residuo de:
[x
3
n+2
+ 3
3 n
]÷ [x 9
+ 3]
a) 3n
b) 3
3 n
+ 1 c) 3
3 n
- 1
d) 0 e) 1 - 3
n 3
20. Hallar el resto de dividir el polinomio:
(x - n) (x - p) (x - m)(x - p)
P (x) = –––––––––––– a + –––––––––––– b
(m - n)(m - p) (n - m)(n - p)
(x - m)(x - n)
+ ––––––––––––– c
(p - m)(p - n)
entre el divisor (x - m)(x - n)(x - p)
a) x2
+ x + 1 b) x c) x2
+ 1
d) x - 1 e) x2
- 1
CLAVE DE RESPUESTAS
1) E 2) C 3) C 4) B 5) D
6) B 7) C 8) E 9) A 10) D
11) A 12) D 13) C 14) D 15) C
16) A 17) C 18) E 19) D 20) B
α
α α

DIVISIBILIDAD ALGEBRAICA
DIVISIBILIDAD ALGEBRAICA
Este capítulo tiene por finalidad determinar poli-
nomios desconocidos, dadas ciertas condiciones, y
también obtener restos que no se puede obtener
fácilmente por división o por aplicación directa del
teorema del resto.
Para tal efecto, se necesita conocer los siguientes
principios:
PRINCIPIOS DE LA DIVISIBILIDAD
ALGEBRAICA
1º Para determinar la suma de coeficientes de un po-
linomio se hace la variable, o variables, igual a 1.
Es decir:
∑ de coeficientes de P(x,y) = P(1,1)
donde: ∑ significa sumatoria.
2º Para determinar el término independiente de un
polinomio se hace la variable respecto a la cual se
refiere el polinomio, igual a cero. Esto es:
T.I. del polinomio P(x) = P(0)
3º Si un polinomio es divisible separadamente entre
dos o más binomios, será divisible entre el pro-
ducto de ellos.
Si P(x) ÷ (x - a), R = 0
P(x) ÷ (x - b), R = 0
P(x) ÷ (x - c), R = 0
entonces:
P(x) ÷ (x - a)(x - b)(x - c), R = 0
4º Si un polinomio es divisible entre el producto de
varios binomios, será divisible separadamente por
cada uno de ellos. Esto significa que:
Si P(x) ÷ (x - a)(x - b)(x - c), R = 0
entonces:
P (x) ÷ (x - a), R = 0
P (x) ÷ (x - b), R = 0
P (x) ÷ (x - c), R = 0
5º En toda división, si al dividendo y divisor se le
multiplica por una misma cantidad el resto queda
multiplicado por dicha cantidad. Para determinar
el resto verdadero se divide el resto obtenido
entre la cantidad por la cual se multiplicó divi-
dendo y divisor.
En general: D = dq + R
multiplicando por “m”:
D . m = d . m . q + R . m
Resto obtenido R . m
Resto verdadero = ––––––––––––––– = ––––– = R
m m
6º En toda división, si al dividendo y divisor se le
divide por una misma cantidad, el resto queda
dividido por dicha cantidad. Para determinar el
Á L G E B R A
- 115 -

resto verdadero, se multiplica el resto obtenido
por la cantidad por la cual se dividió dividendo y
divisor.
En general: D = dq + R
dividiendo entre “m”:
D d R
–– = –– . q + ––
m m m
El resto verdadero = Resto obtenido . m
R
= –– . m = R
m
1.- Hallar la suma de coeficientes del polinomio:
P(x) = (8x3
-7x + 2)n+3
(5x5
- 3x + 7)n-1
- (10x - 1)n+1
(4x - 1)n-1
Solución:
Como se pide calcular la suma de coeficientes del
polinomio, se halla su valor para x = 1:
P(1) = (8 - 7 + 2)n+3
(5 - 3 + 7)n-1
- (10 - 1)n+1
(4 - 1)n-1
P(1) = (3)n+3
(9)n-1
- (9)n+1
(3)n-1
P(1) = (3n+3
) (32
)n-1
- (32
)n+1
(3)n-1
P(1) = 3n+3
. 32n-2
- 32n+2
. 3n-1
P(1) = 33n+1
- 33n+1
= 0
∴ ∑ coeficientes = P(1) = 0
Rpta.: ∑ coeficientes = 0
P(x) = (5x - 1)2n-1
(2x + 5)n
+ [(3x + 1)(x + 5)]n
+ (x2
+ n)(x - 2)
tiene como término independiente (-36)
Calcular n.
Solución:
Se halla el T.I., para lo cual se hace x = 0:
P(0) = (-1)2n-1
(5)n
+ [(1)(5)]n
+ (n)(-2)
2n - 1 es número impar, por lo tanto:
(-1)2n-1
= -1
entonces:
P(0) = (-1) (5)n
+ 5n
- 2n = -5n
+ 5n
- 2n
P(0) = -2n
Este es el T.I., según el enunciado su valor es -36.
Luego:
∴ -2n = -36
n = 18
Rpta.: n = 18
3.- Determinar E = abc si el polinomio:
x5
- 2x4
- 6x3
+ ax2
+ bx + c
es divisible entre (x - 1)(x + 1)(x - 3)
Solución:
si el polinomio es divisible entre (x -1)(x +1)(x - 3),
será divisible separadamente entre (x-1), (x + 1) y
(x-3).
Dividiendo tres veces consecutivas por Ruffini:
1 -2 -6 +a +b +c
1 +1 -1 -7 +a-7 +b+a-7
1 -1 -7 a-7 b+a-7 a+b+c-7
-1 -1 +2 +5 -a+2
1 -2 -5 a-2 b-5
3 +3 +3 -6
1 +1 -2 a-8
Los restos deben ser cero, así:
a + b + c - 7 = 0 (α)
b - 5 = 0 (β)
a - 8 = 0 (γ)
De (γ): a = 8
De (β): b = 5
De (α): 8 + 5 +c - 7 = 0
c = -6
∴ E = (8)(5)(06) = -240
- 116 -
α
α α

4.- Determinar “a” y “b” si el polinomio:
ax8
+ bx7
+ 1
es divisible entre (x-1)2
Solución:
Como es divisible entre (x - 1)2
será divisible
doblemente por (x - 1). Dividiendo consecutiva-
mente entre (x - 1), por Ruffini:
a b 0 0 0 0 0 0 1
↓
1 a a+b a+b a+b a+b a+b a+b a+b
a a+b a+b a+b a+b a+b a+b a+b a+b+1
↓
1 a 2a+b 3a+2b 4a+3b 5a+4b
6a+5b 7a+6b
a 2a+b 3a+2b 4a+3b 5a+4b 6a+5b
7a+6b 8a+7b
Por ser divisible debe cumplirse que:
i) a + b + 1 = 0 ⇒ a + b = -1 (α)
-7b
ii) 8a + 7b = 0 ⇒ a = –––– (β)
8
Sustituyendo en (β) en (α):
-7b
–––– + b = -1
8
b = -8
Sustituyendo en (β):
-7b
a = –––– (-8)
8
a = 7
5.- Hallar el cociente entre “q” y “r” si el cociente es
exacto:
x5
- 5qx + 4r
–––––––––––––
(x-c)2
Solución:
Si el cociente es exacto, el polinomio dividendo
es divisible entre (x - c)2
y también dos veces es
divisible entre (x - c), dividiendo por Ruffini:
1 0 0 0 -5q +4r
↓
c c c2
c3
c4
-5qc+c5
1 c c2
c3
-5q+c4
4r-5qc+c5
↓
c c 2c2
3c3
+4c4
1 2c 3c2
4c3
-5q+c4
+4c4
Como el cociente es exacto, debe cumplirse que:
i) 4r - 5qc + c5
= 0 (α)
ii) -5q + 5c4
= 0
c4
= q (β)
Sustituyendo (β) en (α):
4r - 5c5
+ c5
= 0
r = c5
(γ)
De (β) a la quinta y (γ) a la cuarta potencia, se
obtiene:
c20
= q5
(ρ)
r4
= c20
(θ)
de estas dos últimas relaciones:
r4
= q5
6.- Hallar “n” y “a” si la división es exacta:
(x2
+ x + 2)4
- a [(x + 1)2
- x + 1]3
- nx4
(x + 1)4
––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––
x3
- 1
Solución:
Como el divisor es:
x3
- 1 = (x - 1)(x2
+ x + 1)
Por productos notables, el dividendo será divisi-
ble entre (x - 1)(x2
+ x + 1) y también entre cada
uno de ellos. Si es divisible por (x - 1), aplicando
el Teorema del resto se obtiene:
Á L G E B R A
- 117 -

R =P(1)= (1+1+2)4
- a(4-1+1)3
- n(1)4
(2)4
= 0
256 - 64a - 16 n = 0
4a + n = 16 (α)
Si es divisible entre (x2
+ x + 1), aplicamos el Teore-
ma del Resto, previo cambio de forma del dividen-
do, de esta manera:
(x2
+ x + 2)4
- a(x2
+ 2x + 1 - x + 1)3
- n(x2
+ x)4
o: (x2
+ x + 2)4
- a (x2
+ x + 2)3
- n(x2
+ x)4
(Dividendo)
Igualando a cero el divisor:
x2
+ x + 1 = 0 x2
+ x= -1
Sustituyendo en el dividendo:
R = (-1 + 2)4
- a(-1 + 2)3
- n(-1)4
= 1 - a - n
Como la división es exacta el resto es cero, esto es:
1 - a - n = 0
a + n = 1 (β)
Restando (α) - (β):
3a = 15
a = 5
Sustituyendo en (α):
n = -4
7.- Calcular “a” y “b” si el polinomio:
2x4
+ ax3
+ bx2
+ 27x - 10
es divisible entre x2
- 6x + 5
Solución:
Transformando a producto el divisor por produc-
tos notables, entonces el polinomio será divisible
separadamente por (x - 5) y (x - 1)
x2
- 6x + 5 = (x - 5)(x - 1)
Dividiendo por Ruffini dos veces:
2 +a +b 27 -10
↓
1 2 a+2 a+b+2 a+b+29
2 a+2 a+b+2 a+b+29 a+b+29-10
↓
5 10 5a+60 30a+5b+310
2 a+12 6a+b+62 31a+6b+339
a + b + 29 - 10 = 0
a + b = -19 (α)
También:
31a + 6b + 339 = 0
31a + 6b = -339 (β)
De (α):
b = -19 - a
sustituyendo en (β):
31a + 6(-19 - a) = -339
a = -9
sustituyendo en (α):
-9 + b = -19
b = -10
8.- Un polinomio de tercer grado cuyo primer coefi-
ciente es 1, es divisible por (x - 2) y (x - 1) y al
ser dividido por (x - 3) da resto 20. Hallar su tér-
mino independiente.
Solución:
Datos:
i) P(x) es de tercer grado
ii) Primer coeficiente es 1
iii) P(x) ÷ (x - 2), R = 0
iv) P(x) ÷ (x - 1), R = 0
v) P(x) ÷ (x - 3), R = 20
Incógnita: T.I. = P(0)
- 118 -
α
α α

De los datos (3) y (4) se obtiene:
P(x) ÷ (x - 2)(x - 1), R = 0
En toda división:
D = dq + R
si R = 0, la división es exacta, para este problema,
por lo tanto:
P(x) ≡ (x - 2)(x - 1) q(x)
Por dato (1), P(x) es de tercer grado:
P(x) ≡ (x - 2)(x - 1) q(x)
123 14243 123
3er.grado 2do.grado 1er.grado
se concluye que q(x) es de primer grado y es de
la forma:
q(x) = ax + b
Luego: P(x) ≡ (x - 2)(x - 1)(ax - b)
Por dato (2) el primer coeficiente es 1, luego:
a = 1
Por lo tanto se puede escribir:
P(x) ≡ (x - 2)(x - 1)(x + b) (α)
Por dato (5); P(3) = 20
Sustituyendo x = 3 en (α) e igualando a 20:
(3 - 2) (3 - 1) (3 + b) = 20
b = 7
El polinomio buscado es:
P(x) ≡ (x - 2)(x - 1)(x + 7)
P(0) = (0 - 2)(0 - 1)(0 + 7) = 14
9.- Un polinomio P(x) divisible entre:
(xn-1
+ 1)
tiene como T.I. -3 y grado “n”. Calcular el valor
de “n” si se sabe que al dividirlo separadamente
entre (x - 1) y (x - 3), los restos que se obtienen
son: -2 y 732 respectivamente.
Solución:
Datos:
i) P(x) ÷ (xn-1
+ 1), R = 0
ii) P(x) es de grado “n”
iii) P(x) ÷ (x - 1), R = -2
iv) P(x) ÷ (x - 3), R = +732
v) T.I. de P(x) es -3
Incógnita: n
Por el dato (1):
P(x) ≡ (xn-1
+ 1) q(x)
Por el dato (2):
P(x) ≡ (xn-1
+ 1) q(x)
123 14243 123
grado n grado (n-1) grado (1)
144424443
grado n
por lo tanto, q(x) es de primer grado y de la forma:
q(x) = ax + b
y, el polinomio adopta la forma:
P(x) ≡ (xn-1
+ 1) (ax + b)
Por dato 5:
T.I. = P(0) = -3 (α)
P(0) ≡ (0 + 1)(0 + b) (β)
Igualando (α) y (β)
(0 + 1)(0 + b) = -3
b = -3
Con lo cual el polinomio hasta este momento
tiene la forma:
P(x) ≡ (xn-1
+ 1) (ax - 3)
Por el dato (3):
P(1) = -2
P(1) = (1n-1
+ 1)(a - 3) = -2
Á L G E B R A
- 119 -

Esto es:
(1n-1
+ 1)(a - 3) = -2
a = 2
El polinomio finalmente será:
P(x) ≡ (xn-1
+ 1)(2x - 3)
Por el dato (4):
P(3) = 732 (ρ)
P(3) = (3n-1
+ 1)(6 - 3) (π)
Igualando (ρ) y (π):
(3n-1
+ 1)(6 - 3) = 732
3n-1
+ 1 = 244 ; 3n-1
= 243 3n-1
= 35
Como las bases son iguales, los exponentes tam-
bién serán iguales:
n - 1 = 5 ; n = 6
10.- Un polinomio P(x) de sexto grado tiene raíz
cuadrada exacta, es divisible separadamente
por (x2
+1) y (x + 3) y si se le divide por (x + 2)
el resto es 225.
Hallar la suma de sus coeficientes.
Solución:
Datos:
i) P(x) es de sexto grado
ii) P(x) tiene raíz exacta
iii) P(x) ÷ (x2
+ 1), R = 0
iv) P(x) ÷ (x + 3), R = 0
v) P(x) ÷ (x + 2), R = 225
Por los datos (2), (3) y (4):
P(x) ÷ (x2
+ 1)2
, R = 0
P(x) ÷ (x + 3)2
, R = 0
de aquí se concluye que:
P(x) ÷ (x2
+ 1)2
(x + 3)2
, R = 0
luego:
P(x) ≡ (x2
+ 1)2
(x + 3)2
q(x)
Por dato (1):
P(x) ≡ (x2
+ 1)2
(x + 3)2
q(x)
123 123 123 123
6to. grado 4to. 2do. 0
144424443
6to.grado
se concluye que q(x) es de grado cero y toma la
forma de:
q(x) = A
el polinomio será:
P(x) ≡ (x2
+ 1)2
(x + 3)2
A
Por el dato (5):
P(-2) = 225
P(-2) ≡ (4 + 1)2
(-2 + 3)2
A = 225
(5)2
(1)2
A = 225
A = 9
El polinomio es:
P(x) = (x2
+ 1)2
(x + 3)2
(9)
La suma de coeficientes será:
P(1) = (1 + 1)2
(1 + 3)2
9 = (4)(16)9 = 576
P(1) = 576
11.- Determinar el polinomio P(x) de 5to. grado que
sea divisible entre (2x4
- 3) y que al dividirlo
separadamente entre (x + 1) y (x - 2) los restos
obtenidos sean 7 y 232 respectivamente.
Solución:
Datos:
P(x) ÷ 5to. grado
P(x) ÷ (2x4
- 3), R = 0
P(x) ÷ (x + 1), R = 7
P(x) ÷ (x - 2), R = 232
- 120 -
α
α α

a) Como P(x) ÷ (2x4
- 3), da R = 0
P(x) = (2x4
- 3) q(x)
b) Como P(x) es de 5to. grado, q(x) es de primer
grado:
q(x) = ax + b
Luego: P(x) = (2x4
- 3) (ax + b) (α)
c) Aplicando el Teorema del resto:
P(x) ÷ (x + 1)
haciendo: x + 1 = 0
x = -1
R = P(-1) = 7
En (α):
P(-1) = [2(-1)4
- 3][a(-1) + b] = 7
(-1)(-a + b) = 7
+a - b = 7 (β)
d) P(x) ÷ (x - 2)
haciendo: x - 2 = 0
x = 2
R = P(2) = 232
En (α):
P(2) = [2(2)4
- 3][a(2) + b] = 232
29(2a + b) = 232
2a + b = 8 (γ)
Sumando (β) y (γ):
3a = 15
a = 5
En (β):
5 - b = 7
b = -2
e) Reemplazando valores en (a):
P(x) = (2x4
- 3)(5x - 2)
efectuando:
P(x) = 10x5
- 4x4
- 15x + 6
(x - 3)8
+ (x - 4)5
+ 6
–––––––––––––––––––
(x - 3)(x - 4)
Solución:
En toda división se cumple:
D = dq + R
En este caso:
(x -3)8
+ (x - 4)5
+ 6 ≡ (x - 3)(x - 4) q(x) + ax + b
Como es una identidad, se cumple para cualquier
valor de x, así:
para x = 3 se obtiene:
(3 - 3)8
+(3 - 4)5
+ 6 ≡ (3 - 3)(3 - 4) q(3) + 3a + b
-1 + 6 = 3a + b
3a + b = 5 (α)
para x = 4 se obtiene:
(4 -3)8
+ (4-4)5
+ 6 ≡ (4 - 3)(4 - 4) q(4) + 4a + b
4a + b = 7 (β)
restando (β) - (α):
a = 2
En (α): 6 + b = 5
b = -1
R = ax + b
R = 2x - 1
(x - 5)3
(x + 4)2
(x3
- 3x - 17)n
–––––––––––––––––––––––––––
(x - 2)(x + 4)(x - 5)
Solución:
Dividiendoaldividendoyaldivisorentre(x-5)(x+4),
se obtiene:
(x - 5)2
(x + 4) (x3
- 3x - 17)n
––––––––––––––––––––––––––
(x - 3)
Á L G E B R A
- 121 -

Aplicando el Teorema del resto:
x - 3 = 0
x = 3
Sustituyendo en el dividendo:
R =(3 - 5)3
(3 + 4)(27 - 9 -17)n
= (4)(7)(1)n
= 28
Como previamente se dividió, dividendo y divi-
sor entre el producto (x-5) (x+4), para obtener el
resto verdadero se tendrá que multiplicar el resto
28 por (x-5) (x+4), así:
R.verdadero = 28(x - 5)(x + 4)
efectuando:
R = 28x2
- 28x - 560
x102
- x51
-x4
+ 2
––––––––––––––––
x2
- x + 1
Solución:
Multiplicando el dividendo y divisor por (x+1) se
obtiene:
(x102
- x51
- x4
+ 2)(x + 1)
––––––––––––––––––––––
(x2
- x + 1)(x + 1)
efectuando:
x103
- x52
- x5
+ 2x + x102
- x51
- x4
+ 2
–––––––––––––––––––––––––––––––––
x3
+ 1
descomponiendo parcialmente en potencias de “x3
”:
(x3
)34
(x) - (x3
)17
(x) - (x3
)(x2
) + 2x + (x3
)34
––––––––––––––––––––––––––––––––––––
x3
+ 1
- (x3
)17
- (x3
)(x) + 2
–––––––––––––––––
aplicando Teorema del resto:
x3
+ 1 = 0
∴ x3
= -1
R = (-1)34
(x) - (-1)17
(x) - (-1)(x2
) + 2x
+ (-1)34
- (-1)(x) + 2 - (-1)17
R = x + x + x2
+ 2x + 1 + x + 2 + 1
R = x2
+ 5x + 4 = (x + 1)(x + 4)
Como se ha multiplicado dividendo y divisor por
(x + 1), se tendrá que dividir por este mismo
valor el resto para obtener el verdadero.
El resto verdadero será:
(x + 1)(x + 4)
R. verdadero = –––––––––––––
(x + 1)
R. verdadero = x + 4
15.- Si se divide un polinomio P(x) entre (x - 1) se
obtiene un resto que es 3; al cociente se divide
entre (x + 1), el resto es 5; al nuevo cociente se
divide entre (x + 2), el resto es 8. Hallar el resto
de la división P(x) entre (x - 1)(x + 1)(x + 2)
Solución:
Datos:
i) P(x) ÷ (x - 1) = q(x), R = 3
ii) q(x) ÷ (x +1) = q1
(x), R = 5
iii) q1
(x) ÷ (x + 2) = q2
(x), R = 8
Operando para resolver el ejercicio:
Por el dato (1):
P(x) = (x - 1) q(x) + 3 (α)
Por el dato (2):
q(x) = (x + 1) q1
(x) + 5 (β)
Por el dato (3):
q1
(x) = (x + 2) q2
(x) + 8 (γ)
Sustituyendo (γ) en (β):
q(x) = (x + 1) [(x + 2) q2
(x)+8] + 5
q(x) = (x + 1) (x + 2) q2
(x) + 8(x + 1) + 5 (φ)
Sustituyendo (φ) en (α):
P(x) = (x - 1) [(x + 1)(x + 2) q2
(x)
+ 8(x + 1) + 5] + 3
- 122 -
α
α α

Á L G E B R A
- 123 -
efectuando:
P(x) = (x - 1)(x + 2)(x + 1) q2
(x)
+ 8(x + 1)(x - 1) + 5(x - 1) + 3
P(x) = (x - 1)(x + 1)(x + 2) q2
(x)
+ 8x2
- 8 + 5x - 5 + 3
P(x) = (x - 1)(x + 1)(x + 2) q2
(x)
+ 8x2
+ 5x - 10
La división completa será en consecuencia:
P(x)÷(x -1)(x + 1)(x + 2) = q2
(x)+ (8x2
+ 5x -10)
Rpta.: 8x2
+ 5x-10
1. Un polinomio P(x) de tercer grado y de primer
coeficiente la unidad, al ser dividido entre el
polinomio:
(x2
+ 3x + 1)
deja de residuo cero. ¿Entre cuáles de los siguientes
binomios es divisible P(x) si al dividir P(x) entre
(x+1) deja de residuo -1?
a) x + 4 b) x = 2 c) x + 3
d) x - 1 e) x - 3
2. ¿Cuál es la suma de los coeficientes del polinomio
f(x) si se sabe que es de tercer grado, su primer
coeficiente es la unidad, es divisible entre:
(x - 2)(x + 1) y carece de término cuadrático?
a) 4 b) 1 c) 2
d) -3 e) -4
3. Al dividir dos polinomios enteros en “x” se
observa que el término independiente del divi-
dendo es 5 veces el término independiente del
divisor y el residuo 2 veces el del divisor. Hallar
el término independiente del cociente.
a) 1 b) 3 c) 2
d) 4 e) 5
4. Hallar el valor de (m-n) sabiendo que el poli-
nomio:
P(x) = 10x5
+ x4
- 9x3
+16x2
+ mx + n
es divisible entre (x - 1)(2x + 3)
a) 4 b) -4 c) 0
d) 8 e) -18
5. ¿Cuál es el valor de “m” si el polinomio:
P(x) = x3
+ m(a - 1)x2
+ a2
. (mx + a - 1)
es divisible entre x - a +1?
a) a b) a2
+ 1 c) a + 1
d) -1 e) -a
6. ¿Qué valor deberá asignarse a “α” para que el
polinomio:
5x3
- α(x2
+ x - 1)
admita como divisor a : 5x2
+ 2x - 4?
a) -4 b) 6 c) 8
d) 8 e) 7
7. Al dividir un polinomio P(x) entre x3
+ 1, se
obtiene como resto:
6x2
+ 2x - 3
Hallar la suma de los coeficientes del resto de
dividir P(x) entre (x - 1)(x + 1), sabiendo que la
suma de los coeficientes de P(x) es 8.

- 124 -
a) 6 b) 12 c) 4
d) 8 e) 5
8. Averiguar el valor de (a2
- b2
) si la diferencia
entre los restos que se obtienen al dividir sepa-
radamente el polinomio:
ax4
+ bx3
+ c
entre (x2
+ 1) y (x3
+ 1) respectivamente es:
2x - 12
a) -24 b) -16 c) -20
d) -12 e) -8
9. Hallar el resto que se obtiene al dividir:
x3a
+ 2x3b+1
+ x3c+2
+ 1
–––––––––––––––––––
x2
+ x + 1
a) x - 1 b) x c) x + 1
d) -x e) faltan datos
10. Hallar el resto de la división:
(x + 2)6
+ 2x3
+ 6
–––––––––––––––––
(x + 3) (x + 1)
a) 3x + 1 b) 26x + 31 c) 4x + 1
d) 1 e) 2
11. Un polinomio P(x) al dividirlo entre x2
+ x + 1 y
x 2
- x + 1 nos da como resto 1 - x y 3x + 5. Hallar
el resto que daría al dividirlo entre:
x4
+ x2
+ 1
a) 1 b) 4 c) 6
d) 12 e) -6
12. El resto de dividir un polinomio M(x) entre (x - 2)5
es:
x3
-2x + 1
Otro polinomio N(x) al dividirlo entre (x - 2) da
como resto:
2x2
+ 3x - 6
Si en ambos casos el polinomio es el mismo, ¿Cuál
es el resto de dividir M(x) + N(x) entre x2
- 4x + 5?
a) 20x - 25 b) x + 5 c) 4x =2
d) 3x +1 e) x
13. Hallar a y b de manera que:
x3
+ ax2
+11x + 6 y x3
+ bx2
+ 14x + 8
sea divisible por x2
+ mx + n
a) a = 1 b) a = 5 c) a = 8
b = 3 b = 7 b =10
d) a = 6 e) a = 4
b = 7 b = 3
14. Un polinomio de 4to. grado en x, cuyo primer
coeficiente es la unidad es divisible por (x2
- 1)
y por (x - 4) y al dividirlo por (x + 3) da como
residuo 56. Calcular cuánto dará de residuo al
dividirlo por (x - 2).
a) 48 b) 12 c) 24
d) 50 e) 15
15. Encontrar un polinomio de sexto grado, cuyo
T.I. es 100, que tenga raíz cuadrada exacta, que
sea divisible entre (x2
+ 2) y que al dividirlo
entre (x - 1) el resto obtenido sea 81. Hallar el
resto del mencionado polinomio cuando se le
divide por (x + 1).
a) 36 b) 144 c) 225
d) 324 e) 441
16. Un polinomio de grado n + 1 cuyo primer coefi-
ciente es 1 es divisible entre (xn
+ 2). Si el resto de
dividirlo separadamente entre (x + 1) y (x + 2)
son respectivamente 12 y 258. Calcular “n”.
a) 2 b) 4 c) 6
d) 8 e) 5
α
α α

17. Tres números reales y diferentes verifican las
condiciones siguientes:
a3
+ pa + q = 0
b3
+ pb + q = 0
c3
+ cp + q = 0
q ab + ac + bc
Calcular : E = ––
–
(–––––––––––––
)
p abc
a) 1 b) -1 c) a
d) b e) c
18. Un polinomio P(x) de 2do. grado y el primer coe-
ficiente la unidad al ser dividido entre (x - 2) da
como resultado un cierto cociente Q(x) y un
resto 6. Si se divide P(x) entre el cociente
aumentado en 3 la división resulta exacta. Hallar
el resto de dividir P(x) entre (x - 5).
a) 5 b) 20 c) 10
d) 4 e) 12
19. Calcular “a” si se cumple la siguiente identidad:
3x5
- 2x4
+ 3x - 7 ≡ a(x - 1)5
+ b(x - 1)4
+ c(x - 1)3
+ d(x - 1)2
+ e(x - 1) + f
a) 22 b) 18 c) 10
d) 13 e) 8
20. Hallar el resto de la siguiente división:
a(x - b)2n
+ b(x - a)2n
–––––––––––––––––––––
(x - a)(x - b)
a) ax - b b) bx - a
c) (a + b)2n
x + b d) (a - b)2n
x
e) (a + b)2n
x
CLAVE DE RESPUESTAS
1) B 2) E 3) B 4) C 5) D
6) C 7) D 8) A 9) C 10) B
11) C 12) A 13) D 14) A 15) E
16) C 17) B 18) B 19) B 20) D
Á L G E B R A
- 125 -

- 126 -
COCIENTES NOT
COCIENTES NOTABLES
ABLES
α
α α
DEFINICIÓN.-
Se denomina cocientes notables, a ciertos cocientes
cuyo desarrollo se puede escribir sin efectuar la
división. Se caracterizan por ser cocientes exactos.
FORMA GENERAL DE LOS COCIENTES
NOTABLES
Todo cociente notable se puede presentar de la si-
guiente forma general:
xm
± am
––––––––––
x ± a
donde se observa:
1) El dividendo y el divisor tienen, cada uno, dos
términos.
2) Las bases del dividendo y divisor “x”, “a”
respectivamente son iguales.
3) Los exponentes en cada uno de los términos
del dividendo son iguales.
4) Hay cuatro formas de cocientes notables, que
se obtiene combinando los signos:
+ + - -
(–– , –– , –– , ––
)
+ - + -
Como consecuencia, se presenta 4 casos.
xm
+ am
ESTUDIO DEL PRIMER CASO: –––––––
x + a
Dividendo: xm
+ am
Divisor: x + a
Cociente: C.N.
Resto: 0
Aplicando Teorema del resto, regla práctica:
1º x + a = 0
2º x = -a
3º R = (-a)m
+ am
= 0
Hay dos casos:
a) Que “m” sea par, luego:
R = (-a)m
+ am
= am
+ am
= 2am
≠ 0
No es cociente notable, porque el resto es dife-
rente de cero.
b) Que “m” sea impar, luego:
R = (-a)m
+ am
= -am
+ am
Sí es cociente notable.
CONCLUSIÓN.- La forma:
xm
+ am
––––––––––
x + a
es C.N. cuando “m” es impar.
xm
- am
ESTUDIO DEL SEGUNDO CASO: –––––––
x + a
Cálculo del resto:
1º x + a = 0
2º x = -a
3º R = (-a)m
- am
para que sea cero, m debe ser número par así:
R = am
- am
= 0

Á L G E B R A
- 127 -
xm
- am
––––––––––
x - a
es C.N. cuando “m” es un número par.
xm
+ am
ESTUDIO DEL TERCER CASO: –––––––
x - a
Cálculo del resto:
1º x - a= 0
2º x = a
3º R = (a)m
+ am
= 2am
≠ 0
Como el resto es diferente de cero, no es C.N.
xm
+ am
––––––––––
x - a
no es cociente notable para ningún valor de “m”.
xm
- am
ESTUDIO DEL CUARTO CASO: ––
–––––
x - a
Cálculo del resto:
1º x - a = 0
2º x = a
3º R = (a)m
- am
= 0
Como el resto es cero, sí es C.N.
xm
- am
––––––––––
x - a
es cociente notable para cualquier valor de “m”
DESARROLLO DEL COCIENTE
NOTABLE
Para desarrollar el C.N. se realiza la división por
Ruffini, aplicado a un caso, pero se generaliza para
los tres casos de cocientes notables con las reglas
prácticas que se hará al final de la demostración.
xm
+ am
Sea el C.N. ––––––– para m = # impar
x + a
1 0 0 0 … 0 +am
↓
-a -a +a2
-a3
+am-1
-am
1 -a +a2
-a3
… +am-1
0
El cociente es de grado = m - 1
q(x) = -xm-1
- xm-2
a1
+ xm-3
a2
- xm-4
a3
+ … + am-1
Por lo tanto:
xm
+ am
––––––– = xm-1
- xm-2
a1
+xm-3
a2
-xm-4
a3
+ …+am-1
x + a
REGLAS PRACTICAS PARA ESCRIBIR EL
DESARROLLO DE CUALQUIER COCIENTE
NOTABLE
1) El primer término del cociente es igual alcociente
entre el primer término del dividendo y el primer
término del divisor.
2) El último término del cociente es igual al cociente
entre el segundo término del dividendo y el segun-
do término del divisor.
3) A partir del segundo término del cociente el expo-
nente de “x” comienza a disminuir de 1 en 1 hasta
el valor cero.
4) También a partir del segundo término del cociente,
aparece “a” con exponente “1” y en cada término
posterior su exponente aumenta de 1 en 1 hasta
“m - 1”.
5) Para los signos de cada término se debe tener en
cuenta:
a) Cuando el divisor es de la forma (x + 1) los
signos de los términos del cociente son
alternados (+) y (-) comenzando por (+).
b) Cuando el divisor es de la forma (x - a) los
signos de los términos del cociente son
positivos.
NOTA.- El dividendo en ambos casos (a y b)
puede ser:
(xm
+ am
) ó (xm
- am
)

- 128 -
Ejemplos:
Desarrollar:
x5
+ a5
i) –––––– = x4
- x3
a + x2
a2
- xa3
+ a4
x + a
x6
- a6
ii) –––––– = x5
- x4
a + x3
a2
- x2
a3
+ xa4
- a5
x + a
x8
- a8
iii) –––––– =x7
+x6
a+x5
a2
+x4
a3
+x3
a4
+x2
a5
+xa6
+a7
x - a
x10
+ a20
(x2
)5
+ (a4
)5
iv) ––––––– = –––––––––– = (x2
)4
- (x2
)3
(a4
)
x2
+ a4
(x2
) + (a4
)
+ (x2
)2
(a4
)2
- (x2
)(a4
)3
+ (a4
)4
o, en forma inmediata:
x10
+ a20
––––––– = x8
- x6
a4
+ x4
a8
- x2
a12
+ a16
x2
+ a4
DETERMINACIÓN DE UN TÉRMINO
CUALQUIERA DE UN COCIENTE NOTABLE
En forma general:
xm
± am
––––––– = xm-1
xm-2
a1
+ xm-3
a2
x ± a
xm-4
a3
+ xm-5
a4
… ± am-1
DEDUCCIÓN DE LA FORMULA, para el término k.
1er. término: (signo)xm-1
a1-1
2do. término:(signo)xm-2
a2-1
3er. término: (signo)xm-3
a3-1
4to. término: (signo)xm-4
a4-1
.
.
.
10mo. término: (signo)xm-10
a10-1
.
.
kmo. término: (signo)xm-k
ak-1
∴ t(k) = (signo)xm-k
ak-1
REGLA PARA EL SIGNO
1) Cuando el divisor es de la forma (x - a) el signo de
cualquier término es positivo.
2) Cuando el divisor es de la forma (x + a) el signo de
los términos que ocupan un lugar par son negativos
y los que ocupan lugar impar son positivos.
Ejemplo:
Hallar el t25
y t40
en el desarrollo del C.N.:
x150
- a100
––––––––––
x3
+ a2
Solución: Dando la forma de C.N.:
(x3
)50
- (a2
)50
––––––––––––
(x3
) + (a2
)
de donde:
1ra. base del divisor: (x3
)
2da. base del divisor: (a2
)
m = 50
Luego para k = 25:
t(25)
= +(x3
)50-25
(a2
)25-1
t25
= +x75
a48
Para k = 40:
t40
= -(x3
)50-40
(a2
)40-1
t40
= -x30
a78
CONDICIÓN NECESARIA Y SUFICIENTE
PARA QUE EL COCIENTE:
xm
± an
–––––––– SEA NOTABLE
xp
± aq
Establecidas las condiciones de divisibilidad, el
cociente:
xm
± an
––––––––
xp
± aq
será notable cuando:
xm
± an
(xp
)r
± (aq
)r
––––––– = –––––––––––
xp
± aq
xp
± aq
α
α α

donde:
pr = m
m
∴ r = –– (α)
p
qr = n
n
∴ r = –– (β)
q
m n
Es decir, los cocientes entre –– y –– , deben ser
enteros e iguales.
p q
NÚMERO DE TÉRMINOS DEL COCIENTE NOTABLE
De (α) y (β):
m n
–– = –– = # de términos del cociente notable.
p q
1.- Simplificar:
1 x x2
x3
xn
xn-1
E = –– + –– + –– + –– + … + –––– + ––––––––
a a2
a3
a4
an+1
an+1
(a - x)
Solución:
Sumando todos menos el último sumando:
1 x x2
xn
–– + –– + –– +…+ ––––
a a2
a3
an+1
an
+ an-1
x + an-2
x2
+ an-3
x3
+…+ xn
= –––––––––––––––––––––––––––
an+1
escribiendo el numerador como C.N.:
an+1
- xn+1
–––––––––
1 x x2
xn
a - x
–– + –– + –– + …+ ––– = –––––––––
a a2
a3
an+1
an+1
an+1
- xn+1
= –––––––––
an+1
(a - x)
Sustituyendo en la expresión:
an+1
- xn+1
xn+1
an+1
- xn+1
+ xn+1
E = ––––––––– + ––––––––– = –––––––––––––––
an+1
(a - x) an+1
(a - x) an+1
(a - x)
simplificando:
an+1
1
E = ––––––––– = –––– = (a - x)-1
an+1
(a - x) a - x
Rpta.: E = (a - x)-1
2.- Hallar el término independiente del cociente:
(x + a)n
- an
––––––––––
x
Solución:
Dando la forma de C.N. y desarrollando:
(x + a)n
- an
–––––––––– = (x + a)n-1
+ (x + a)n-2
a1
(x + a) - a
+ (x + a)n-3
a2
+ … + an-1
El término independiente del C.N. es:
P(0) = an-1
+ an-2
a1
+ an-3
. a2
+ … + an-1
1444442444443
“n términos”
= an-1
+ an-1
+ an-1
+...+an-1
144424443
“n veces”
T.I.C. = nan-1
3.- Simplificar:
x78
+ x76
+ x74
+ … + x4
+ x2
+ 1
E = ––––––––––––––––––––––––––––
x38
+ x36
+ x34
+ … + x4
+ x2
+ 1
Solución:
Escribiendo el numerador y denominador como C.N.:
(x2
)40
- 140
–––––––––––
(x2
) - 1
E = –––––––––––
(x2
)20
- 120
–––––––––––
(x2
) - 1
efectuando y simplificando:
x80
- 1 (x40
)2
- 12
E = ––––––– = –––––––––
x40
- 1 x40
- 1
(x40
+ 1) (x40
- 1)2
E = ––––––––––––––– = x40
+ 1
(x40
- 1)
4.- Hallar el cociente y el resto en:
x34
+ x2
-1
––––––––––––––––––––––––––––––
x32
+ x30
+ x28
+ … + x4
+ x2
+ 1
Solución:
Transformando el divisor a Cociente Notable:
Á L G E B R A
- 129 -

x34
+ x2
- 1 (x34
+ x2
- 1)(x2
- 1)
–––––––––– = –––––––––––––––––
x34
- 1 x34
- 1
––––––
x2
- 1
x36
+ x4
- x2
- x34
- x2
+ 1
= ––––––––––––––––––––––
x34
- 1
Dividiendo por el método normal:
x36
- x34
+ x4
- 2x2
+ 1 x34
- 1
-x36
+ x2
x2
- 1
- x34
+ x4
- x2
+ 1
+ x34
- 1
+ x4
- x2
Resto Verdadero
Como Resto verdadero = –––––––––––––––
x2
- 1
x4
- x2
= –––––– = x2
x2
- 1
Rpta.: El cociente es : q(x) = x2
- 1
5.- Hallar (m + n) si el t (25) del desarrollo de:
x129m
- a86n
––––––––––
x3m
- a2n
es x270
a288
Solución:
Cálculo de t(25):
Escribiendo la división como C.N.:
(x3m
)43
- (a2n
)43
–––––––––––––––
(x3m
) - (a2n
)
t(25) = + (x3m
)43-25
(a2n
)25-1
= x54m
a48n
= x270
a288
Por datos:
identificando los exponentes:
54m = 270 ⇒ m = 5
48n = 288 ⇒ n = 6
6.- Si los grados absolutos de todos los términos van
disminuyendo de 3 en 3 y si además el t(40) de su
desarrollo tiene grado absoluto (G.A.) = 87, hallar
el número de términos siendo el C.N.:
xnp
- ap
–––––––
xn
- a
Solución:
1) Cálculo del t(40):
t(40) = (xn
)p-40
(a)40-1
Por dato:
G.A.t(40) = n(p - 40) + 39 = 87
n(p - 40) = 48 (α)
2) Cálculo del t(41):
t(41) = (xn
)p-41
(a)41-1
t(41) = (xn
)p-41
(a)40
por ser término consecutivo, y los grados absolu-
tos según el problema disminuyen de 3 en 3, se
tiene:
G.A.t(41) = n(p - 41) + 40 = 84
n(p - 41) = 44 (β)
Dividiendo (α) : (β):
n(p - 40) 48 12
–––––––– = ––– = –––
n(p - 41) 44 11
∴ p = 52
7.- Si el siguiente cociente:
x6n+3
+ a6n-22
––––––––––––––
n - 6 n - 8
(––––) (––––)
x 2
+ a 2
es notable. Calcular:
a) El valor de n.
b) El número de términos.
c) El término 19.
- 130 -
α
α α

Solución:
Si es C.N., por fórmula:
6n + 3 6n - 22
–––––– = ––––––– = # de términos.
n - 6 n - 8
––––– –––––
2 2
a) Simplificando:
6n + 3 6n - 22
–––––– = –––––––
n - 6 n - 8
Multiplicando medios y extremos:
(6n + 3)(n - 8) = (6n - 22)(n - 6)
6n2
- 48n + 3n - 24 = 6n2
- 36n - 22n + 132
13n = 156
∴ n = 12
b) El número de términos es:
6n + 3 6(12) + 3 75
# = –––––– = ––––––––– = –––– = 25
n - 6 12 - 6 3
––––– ––––––
2 2
c) El cociente notable es:
x75
+ a50
(x3
)25
+ (a2
)25
–––––––– = ––––––––––––
x3
+ a2
(x3
) + (a2
)
Por fórmula:
t19
= +(x3
)25-19
(a2
)19-1
t19
= x18
a36
8.- En el cociente notable:
xa
- yb
–––––––
x3
- y7
hay un término central, que es igual a:
xc
y231
Hallar: E = a + b + c
Solución:
Si es cociente notable, llamando m al número de
términos, se tiene:
a b
–– = –– = m (α)
3 7
Luego, el k- ésimo término será:
t(k) = (x3
)m-k
(y7
)k-1
si hay término central, entonces:
(x3
)m-k
(y7
)k-1
= xc
y231
3(m - k) = c (β)
7(k - 1) = 231
∴ k = 34
El lugar del término central es 34, entonces habrá:
… … … … … 34 … … … … …
14424431442443
33 33
14444444244444443
m = 33 + 33 + 1 = 67 términos
a b
En (α) : –– = –– = m = 67
3 7
a
de aquí: –– = 67 ⇒ a = 201
b
b
–– = 67 ⇒ b = 469
7
En (β):
3(67 - 34) = c ⇒ c = 99
Luego, el valor pedido es:
E = 201 + 469 + 99 = 769
9.- Sabiendo que el t(5) del cociente notable:
a4x
- b4x
––––––––––––
a5
y
-9
- b5y -9
es: a176
b64
. Calcular el número de términos.
Solución:
Desarrollando el Cociente Notable:
a4x
- b4
––––––––––– = a4x -(5y - 9)
+ a4x -2(5y - 9)
a5y -9
- b5y -9
. b5y-9
+ a4x -3(5y -9)
. b2(5y -9)
+ a4x -4(5y -9)
. b3(5y -9)
+ a4x -5(5y -9)
+ b4 (5y -9)
+…
Á L G E B R A
- 131 -

Por dato:
t(5)
= a4x -5(5y -9)
b4(5y -9)
= a176
b64
identificando exponentes de a:
4x
- 5(5y
- 9) = 176 (α)
exponentes de b:
4(5y
- 9) = 64
5y
- 9 = 16
5y
= 52
de donde: y = 2
En (α): 4x
- 5(16) = 176
4x
= 256 = 44
∴ x = 4
El número de términos es:
4x
44
256
–––––– = –––––– = –––– = 16
5y
- 9 52
- 9 16
10.- Cuál es el lugar que ocupa un término en el
sigueinte C.N.:
x350
- y140
––––––––––
x5
- y2
contado a partir del primer término sabiendo que
la diferencia del grado absoluto (G.A.) de éste
con el G.A. del término que ocupa la misma posi-
ción contado a partir del extremo final es 9.
Solución:
a) Cálculo del t(k) contado a partir del extremo
inicial:
T(k) = (x5
)70-k
(y2
)k-1
G.A.t(k) = 5(70 - k) + 2(k - 1) = 348 - 3k
b) Cálculo del t(k) contado a partir del extremo
final.
Sean los términos y sus respectivas posiciones.
“n”
644444447444444448
1 , 2 , 3, 4 , … ……, k, …… ……, n
1442443
↑ (n - k)
678
(n - k + 1)
El t(k) contado a partir del extremo final ocupa la
posición n - k + 1 contado a partir del extremo
inicial. Luego:
t(n - k + 1) = t(70 - k + 1) = t(71 - k)
= (x5
)70-(71-k)
(y2
)71-k-1
t(71 - k) = (x5
)k-1
(y2
)70-k
G.A. :
t(71 - k) = 5(k - 1) + 2(70 - k) = 3K + 135
Por la condición del problema:
(348 - 3k) - (3k + 135) = 9
de donde: k = 34
El término ocupa el lugar 34.
- 132 -
α
α α

Á L G E B R A
- 133 -
1. Si la expresión es un cociente notable:
x2(4m+1)
- y5m
––––––––––––
xm-1
+ ym-3
hallar el valor de “m”:
a) 3 b) 6 c) 8
d) 5 e) N.A.
2. En el desarrollo del cociente:
x120
- y30
––––––––
x4
- y
un término que ocupa el lugar k supera en gra-
do absoluto en 30 unidades el grado absoluto del
término que ocupa el lugar k - 1 contado a par-
tir de la derecha. Hallar k.
a) 8 b) 9 c) 10
d) 11 e) 12
3. ¿Qué relación debe cumplirse entre los valores a
y b de tal manera que la expresión:
xa+b
yab
- ya3 + b3 +ab
––––––––––––––––
(xy)ab
- ya2 + b2
sea cociente notable?
a) ab = -1 b) a + b = 1 c) a + b = -1
d) ab = 1 e) a = b
4. En el siguiente cociente:
x2
- y2
–––––––––––
x3m -1
- y3m -1
tiene como segundo término x16
y8
. Hallar el
número de términos.
a) 5 b) 7 c) 4
d) 6 e) 9
5. En el desarrollo de:
x371
- y212
–––––––––
x7
- y4
un término que ocupa la posición “r” contando
a partir del extremo, supera en G.A. en 12
unidades al término que ocupa la posición (r - 2)
contado a partir del primer término. Hallar el
G.A. del t(r + 7).
a) 250 b) 244 c) 254
d) 256 e) 260
6. Hallar m y n sabiendo que el término tercero del
desarrollo de:
x4n+3
+ y3(2m-1)
––––––––––––––
xm
+ yn
es igual a x14
y16
a) n = 7 b) n = 7 c) n = 8
m = 4 m = 8 m = 7
d) n = 1 e) Ninguno
m = 3
7. Siendo “n” un número natural, calcular el lugar
que ocupa el término de grado 135 en el sigu-
iente cociente notable:
x2n2 -3
- y2n2 + 22
–––––––––––––
xn-3
+ yn-2
a) 16 b) 17 c) 18
d) 19 e) 20
8. Simplificar:
1 x x2
xn
–––– + ––––
––– + ––––
––– + … + ––––––––
a - x (a - x)2
(a - x)3
(a - x)n+1
L = ––––––––––––––––––––––––––––––––––––
1 x x2
xn
–––– - ––––
––– + ––––
––– - … - ––––––––
a - x (a - x)2
(a - x)3
(a - x)n+1

- 134 -
siendo: “a” diferente de x”
“n” es número impar.
a) a b) a - x c) a + x
a x
d) ––––– e) –––––
a - 2x a - x
9. Siendo n un número impar, calcular el cuadrado
del término central del siguiente desarrollo con-
siderado como C.N.:
1 (p + q)n
- (p - q)n
––
[–––––––––––––––––––
]
2 q
a) (p + q)n-1
. (p - q)n
b) (p + q)n-1
. (p - q)n+1
c) (p + q)n
. (p - q)n-1
d) (p2
- q2
)n
e) (p2
- q2
)n-1
10. Calcular el término idéntico de los desarrollos de:
x75
- y100
x102
- y68
––––––––– –––––––––
x3
- y4
x3
- y2
a) x10
y12
b) x40
y25
c) x45
y36
d) x20
y40
e) x12
y13
11. Sabiendo que (x - a)2
= A y x2
- b = B, cuánto
términos en función de A y B tiene el cociente:
(x - a)32
- (x2
- b)16
–––––––––––––––––––
x2
- 2ax + b
a) 15 b) 14 c) 32
d) 16 e) 10
12. Hallar el coeficiente de x2
y2
en el cociente:
(x2
+ xy + y2
)3
+ (x2
- xy + y2
)3
–––––––––––––––––––––––––––
2(x2
+ y2
)
a) 1 b) 2 c) 3
d) 4 e) 5
13. Cuántos términos tiene el siguiente producto:
(xn+5
+ xn+4
+ xn+3
+ … + x7
+ x6
)
(2x8
- 5x7
+ 8x6
- 5x5
)
a) 1 b) 2 c) 3
d) 6 e) 4
14. Hallar el término entero del desarrollo del
cociente notable:
__ __
16
3
√4 - 8√ 2
––––––––––––––
__ __
3
√4 - √2
a) 512 b) 256 c) 1 024
d) 2 048 e) 4096
15. Calcular la suma de todos los valores de “n” si el
cociente:
xn
- x-2n
––––––––
x - x-2
debe tener 20 términos enteros.
a) 58 b) 61 c) 60
d) 119 e) 121
16. En el desarrollo de un cociente notable se obtu-
vieron dos términos consecutivos:
… - x18
y27
+ x16
y30
- …
hallar el dividendo del cociente notable.
a) x40
+ y60
b) x40
- y60
c) x20
- y30
d) x20
- y30
e) x30
+ y45
17. Encontrar el número de términos del desarrollo
de:
xa
- ya
––––––––––––
–– ––
b
√x -
b
√y
donde a y b son número enteros.
α
α α

a) a - b b) ab c) a - b - 1
d) ab - 1 e) a - b + 1
18. Hallar el primer término del cociente notable:
(a + b + c)4
- (a + b - c)4
–––––––––––––––––––––––––
c
a) 2(a + b - c)3
b) 2(a - b + c)3
c) 2(a - b - c)3
d) 2(a + b + c)3
e) 2(a - b - c)3
19. Hallar el número de términos del C.N.:
xp
- y507
–––––––––
x3
- yp
a) p - 3 b) 507 - p c) 36
d) 13 e) 468
20. Hallar α + β en la identidad:
4xy[(x + y)6
- (x2
- y2
)2
(x + y)2
+ (x2
- y2
)2
(x + y)2
- (x + y)6
] = (x + y)α
- (x + y)β
a) 4 b) 6 c) 8
d) 14 e) 16
CLAVE DE RESPUESTAS
1) B 2) D 3) D 4) A 5) D
6) A 7) A 8) D 9) E 10) C
11) D 12) E 13) D 14) A 15) D
16) B 17) C 18) D 19) C 20) E
Á L G E B R A
- 135 -

- 136 -
F
FACTORIZACIÓN
ACTORIZACIÓN
α
α α
DEFINICIÓN.-
Es la operación que tiene por finalidad transformar
una expresión algebraica racional y entera en otra
equivalente, que sea igual al producto de sus factores
primos racionales y enteros. En general, factorizar
significa convertir una suma algebraica en un pro-
ducto de factores.
MÉTODOS PARA FACTORIZAR
(A) FACTOR COMÚN
De dos o más expresiones algebraicas, es la parte
numérica y/o literal que esté repetida en dichas
expresiones. El factor común puede ser de tres tipos:
1) Factor común monomio
2) Factor común polinomio
3) Factor común por agrupación
A.1) FACTOR COMÚN MONOMIO.
Cuando el factor común a todos los términos
del polinomio es un monomio.
Ejemplo: Factorizar:
72x2a
yb
+ 48xa+1
yb+1
+ 24xa
y2b
El factor común es 24xa
yb
, de esta manera:
72x2a
yb
+ 48xa+1
yb+1
+ 24xa
y2b
= 24xa
yb
(3xa
+ 2xy + yb
)
Explicación.- Para sacar el factor común monomio:
en primer lugar se saca el coeficiente común (24),
a continuación, se saca las letras comunes afec-
tadas por los menores exponentes (xa
yb
), luego se
divide cada término del polinomio entre el factor
común monomio y los resultados se escribe dentro
del paréntesis.
A.2) FACTOR COMÚN POLINOMIO.
Cuando el factor común que aparece es un
polinomio.
(a + 1)7
(a2
+ 1)10
- (a + 1)5
(a2
+ 1)11
El factor común es (a + 1)5
(a2
+ 1)10
, así:
(a + 1)7
(a2
+ 1)10
- (a + 1)5
(a2
+ 1)11
= (a + 1)5
(a2
+ 1)10
[(a + 1)2
- (a2
+ 1)]
efectuando:
= (a + 1)5
(a2
+ 1)10
[a2
+ 2a + 1 - a2
- 1]
= (a + 1)5
(a2
+ 1)10
(2a)
Luego:
(a + 1)7
(a2
+ 1)10 - (a + 1)5
(a2
+ 1)11
= 2a(a + 1)5
(a2
+ 1)10
A.3) FACTOR COMÚN POR AGRUPACIÓN.
Cuando no hay un factor común a todos los tér-
minos del polinomio.
Ejemplo: Factorizar
xm+n
+ ym+n
+ (xy)m
+ (xy)n

xm
xn
+ ym
yn
+ xm
ym
+ xn
yn
No hay factor monomio ni polinomio, por lo
tanto se agrupa términos de 2 en 2:
(xm
xn
+ xm
ym
) + (ym
yn
+ xn
yn
)
sacando factores comunes en cada paréntesis:
xm
(xn
+ ym
) + yn
(ym
+ xn
)
sacando el factor común binomio:
(xn
+ ym
) (xm
+ yn
)
1.- Factorizar:
E =(x+3)(x+2)(x+1) + (x+2)(x+1) + (x+1)
Solución:
Extrayendo factor común (x + 1)
E = (x + 1) [(x + 3)(x + 2) + (x + 2) +1]
efectuando:
E = (x + 1)[x2
+ 5x + 6 + x + 2 + 1]
E = (x + 1)(x2
+ 6x + 9)
E = (x + 1)(x + 3)2
2.- Factorizar:
E = (x + y)9
(x - y)5
- (x2
- y2
)7
Solución:
Transformemos previamente:
(x2
- y2
)7
= [(x + y)(x - y)]7
= (x + y)7
(x - y)7
De este modo:
E = (x + y)9
(x - y)5
- (x + y)7
(x - y)7
extrayendo factor común (x + y)7
(x - y)5
:
E = (x + y)7
(x - y)5
[(x + y)2
- (x - y)2
]
efectuando por Legendre:
E = (x + y)7
(x - y)5
[4(x . y)]
finalmente:
E = 4xy(x + y)7
(x - y)5
3.- Factorizar:
E = (x + 1)4
+ (x + 2)3
+(x + 3)2
- 7(x + 2) + 2
Solución:
Haciendo x + 1 = a, se obtiene:
E = a4
+ (a + 1)3
+ (a + 2)2
- 7(a + 1) + 2
operando:
E = a4
+ a3
+ 3a2
+ 3a + 1 + a2
+ 4a + 4 - 7a -7 + 2
simplificando:
E = a4
+ a3
+ 4a2
factorizando:
E = a2
(a2
+ a + 4)
reponiendo el valor de a:
E = (x + 1)2
[(x + 2)2
+ (x + 1) + 4]
efectuando:
E = (x + 1)2
[x2
+ 2x + 1 + x + 1 + 4]
E = (x + 1)2
(x2
+ 3x + 6)
4.- Factorizar:
E = xy
yx
+ xy +xy+1
+ yx+1
Solución:
Agrupando en forma adecuada:
E = (xy
yx
+ xy+1
) + (yx+1
+ xy)
extrayendo factor común en cada agrupación:
E = xy
(yx
+ x) + y(yx
+ x)
el paréntesis es un factor común, luego:
E = (yx
+ x) (xy
+ y)
Á L G E B R A
- 137 -

5.- Factorizar:
) )
E = x6
y + x4
z3
- x6
z + y6
z - x4
y2
z - x2
y5
( (
–––
–– ––––
––––
- y4
z3
+ x2
y4
z
–––– –––––
–––
–––
Solución:
Agrupemos los que tienen igual señal y extraigamos
factores comúnes:
E =x2
y(x4
- y4
)+ z3
(x4
- y4
)- x2
z(x4
- y4
)
- y2
z(x4
- y4
)
extrayendo factor común al polinomio:
E = (x4
- y4
)(x2
y + z3
- x2
z - y2
z)
agrupando al interior del segundo paréntesis:
E = (x4
- y4
)[x2
(y - z) - z(y2
- z2
)]
E = (x2
+ y2
)(x2
- y2
)[x2
(y - z) - z(y + z)(y - z)]
finalmente:
E = (x2
+ y2
)(x + y)(x - y)(y - z)(x2
- zy - z2
)
6.- Factorizar:
E = (a + b + c)(ab + ac + bc) - abc
Solución:
Agrupemos covenientemente:
E = [(a + b) + c] [c(a + b) + ab] - abc
E = c(a + b)2
+ abc + c2
(a + b) + ab(a + b) - abc
E = c(a + b)2
+ c2
(a + b) + ab(a + b)
factorizando:
E = (a + b)(ac + bc + c2
+ ab)
agrupando nuevamente:
E = (a + b) [c(a + c) + b(a + c)]
factorizando dentro del corchete:
E = (a + b)(a + c)(b + c)
7.- Factorizar:
E = 1 + xy + a(x + y) - (xy + 1)a - x - y
Solución:
Agrupando:
E =[(1 + xy) - (1 + xy)a] + [a(x + y) - (x + y)]
extrayendo factor común en cada corchete:
E = (1 + xy) (1 - a) - (x + y)(1 - a)
factorizando (1 - a):
E = (1 - a)(1 + xy - x - y)
E = (1 - a)[(1 - x) - (y - xy)]
E = (1 - a)[(1 - x) - y(1 - x)]
finalmente:
E = (1 - a)(1 - x)(1 - y)
8.- Factorizar:
(z - x - y)(2a - b) - (x + y - z)(a + 2b)
Solución:
Se observa que un factor tiene signo diferente que
el otro, factorizando el signo:
(z - x - y)(2a - b) - [-(z - x - y)] (a + 2b)
efectuando los signos y quitando corchetes:
(z -x -y)(2a - b) + (z - x - y)(a + 2b)
factorizando:
(z - x - y)(2a - b + a + 2b)
(z - x - y)(3a + b)
9.- Factorizar:
E = bd(a2
+ c2
) + bc(a2
+ d2
)+ ad(b2
+c2
)
+ ac(b2
+ d2
)
Solución:
E = a2
bd + bc2
d + a2
bc + bcd2
+ ab2
d
–––– –––– (
–––– ––––
+ ac2
d + ab2
c + acd2
–––– ( ––
–
- 138 -
α
α α

Factorizando por pares, como se indica:
E = a2
b(d+c) + bcd(c+d) + ab2
(d+c)+acd(c+d)
extrayendo factor común:
E = (d + c) (a2
+ bcd + ab2
+ acd)
factorizando por pares:
E = (d + c) [ab(a + b) + cd(b + a)]
factorizando (a + b):
E = (d + c)(a + b)(ab + cd)
E = (a + b)(c + d)(ab + cd)
10.- Factorizar:
E = (a + b + c)3
- a3
- b3
- c3
Solución:
Agrupando:
E = [(a + b) + c]3
- a3
- b3
- c3
Efectuando el corchete:
E =(a + b)3
+ 3(a + b)2
c + 3(a + b)c2
+ c3
- a3
- b3
- c3
efectuando:
E = a3
+ b3
+ 3a2
b + 3ab2
+3(a+b)2
c + 3(a+b)c2
+ c3
-a3
- b3
- c3
reduciendo:
E = 3ab(a + b) + 3(a + b)2
c + 3(a + b)c2
factorizando:
E = 3(a + b) [ab + c(a + b) + c2
)]
efectuando:
E = 3(a + b)(ab + ac + bc +c2
)
factorizando por pares:
E = 3(a + b) [a(b + c) + c(b + c)]
factorizando (b + c):
E = 3(a + b)(b + c)(a + c)
(B) MÉTODO DE IDENTIDADES
B.1) DIFERENCIA DE CUADRADOS.
Es una diferencia de dos cuadrados perfectos.
Para factorizar, se extrae la raíz cuadrada de los
cuadrados perfectos y se forma un producto de
la suma de las raíces multiplicada por la difer-
encia de ellas. En general:
a2m
- b2n
= (am
+ bn
) (am
- bn
)
B.2) TRINOMIO CUADRADO PERFECTO.
Se caracteriza por:
1) Tener 2 términos que son cuadrados perfectos.
2) El otro término es el doble producto de las
raíces cuadradas de los cuadrados perfectos.
3) Los cuadrados perfectos siempre deben tener
signo positivo.
El trinomio de estos caracteres se reduce a un
binomio al cuadrado así:
a2m
± 2am
bn
+ b2n
= (am
± bn
)2
B.3) SUMA O DIFERENCIA DE CUBOS.
Se caracterizan por tener 2 cubos perfectos. Para
factorizar se recuerda el producto notable, así:
a3m
+ b3n
= (am
+ bn
)(a2m
- am
bn
+ b2n
)
a3m
- b3n
= (am
- bn
)(a2m
+ am
bn
+ b2n
)
EJERCICIO RESUELTOS
1.- Factorizar:
E = x4
+ y4
+ 2xy(x2
+ y2
) + 3x2
y2
Solución:
Se puede reescribir como:
E = (x4
+ y4
+ 2x2
y2
) + 2xy(x2
+ y2
) + x2
y2
factorizando el trinomio cuadrado perfecto:
E = (x2
+y2
)2
+ 2(x2
+ y2
)(xy) + (xy)2
Á L G E B R A
- 139 -

toda la expresión es un trinomio cuadrado per-
fecto, así:
E = [(x2
+ y2
) + xy]2
E = (x2
+ xy + y2
)2
2.- Factorizar:
E = x6
+ 2x5
- 3x4
+ 4x2
- 1
Solución:
Descomponiendo -3x4
, así:
-3x4
= x4
- 4x4
y, reemplazando se obtiene:
E = x6
+ 2x5
+ x4
- 4x4
+ 4x2
- 1
agrupando:
E = (x6
+ 2x5
+ x4
) - (4x4
- 4x2
+ 1)
factorizando los trinomios cuadrados perfectos:
E = (x3
+ x2
)2
- (2x2
- 1)2
ésta es una diferencia de cuadrados, luego:
E = (x3
+ x2
+ 2x2
- 1) (x3
+ x2
- 2x2
+ 1)
finalmente:
E = (x3
+ 3x2
- 1) (x3
-x2
+ 1)
3.- Factorizar:
E = (a2
+ b2
- c2
- d2
)2
- 4(ab + cd)2
Solución:
Es una diferencia de cuadrados, luego se transfor-
ma en el producto de una suma por una diferencia:
E = [(a2
+ b2
- c2
- d2
) + 2(ab + cd)]
[(a2
+ b2
- c2
- d2
) - 2(ab + cd)]
reordenando los términos dentro de cada corchete:
E = [(a2
+ 2ab + b2
) - (c2
- 2cd + d2
)]
[(a2
- 2ab + b2
) - (c2
+ 2cd + d2
)]
reduciendo los trinomios cuadrados perfectos:
E = [(a + b)2
- (c - d)2
][(a - b)2
- (c + d)2
]
factorizando las diferencias de cuadrados:
E = [( a+ b) + (c - d)][(a + b) - (c - d)]
[(a - b) + (c + d)][(a - b) - (c + d)]
E = (a+b+c-d)(a+b-c+d)(a-b+c+d)(a-b-c-d)
4.- Factorizar:
E = (a + b)7
+ c3
(a + b)4
- c4
(a + b)3
- c7
Solución:
Haciendo (a + b) = x:
E = x7
+ c3
x4
- c4
x3
- c7
agrupando por parejas:
E = x4
(x3
+ c3
) - c4
(x3
+ c3
)
factorizando (x3
+ c3
):
E = (x3
+ c3
) (x4
- c4
)
desarrollando cada paréntesis:
E = (x + c) (x2
- xc + c2
)(x2
+ c2
) (x + c)(x - c)
reponiendo el valor de x:
E = (a+b+c) [(a+b)2
- (a+b)c+c2
][(a+b)2
+ c2
]
(a + b + c)(a + b - c)
E = (a + b+ c)2
(a + b - c) [(a + b)2
+c2
][(a + b)2
- (a + b)c + c2
]
5.- Factorizar:
E = (x + y)3
+ 3xy(1 - x - y) - 1
Solución:
Factorizando el signo en el paréntesis:
E = (x + y)3
+ 3xy[-(x + y - 1)] - 1
quitando el corchete:
E = (x + y)3
- 3xy(x + y -1) - 1
- 140 -
α
α α

agrupando:
E =[(x + y)3
-1] - 3xy(x + y - 1)
factorizando la diferencia de cubos en el corchete
y luego desarrollando:
E =[(x+y)-1][(x+y)2
+(x+y)+1]-3xy(x+y-1)
E = (x + y - 1)(x2
+ 2xy + y2
+ x + y + 1 - 3xy)
E = (x + y - 1)(x2
- xy + y2
+ x + y + 1)
6.- Factorizar:
E = (z2
- y2
)2
(x2
- a2
) + 4x2
y2
z2
Solución:
Efectuando el cuadrado indicado:
E = (z4
- 2z2
y2
+ y4
)(x2
- a2
) + 4x2
y2
z2
E = z4
x2
- 2x2
y2
z2
+ x2
y4
- a2
z4
+ 2a2
y2
z2
- a2
y4
+ 4x2
y2
z2
reduciendo y agrupando:
E = (z4
x2
+ 2x2
y2
z2
+ x2
y4
) - (a2
z4
- 2a2
y2
z2
+ a2
y4
)
cada paréntesis es un cuadrado perfecto, que es
igual a:
E = (z2
x + xy2
)2
- (az2
- ay2
)2
Es una diferencia de cuadrados que se puede
escribir así:
E = (z2
x + xy2
+ az2
- ay2
)(z2
x + xy2
- az2
+ ay2
)
7.- Factorizar:
E = 2(x4
+ y4
+ z4
) - (x2
+ y2
+ z2
)2
- 2(x + y + z)2
(x2
+ y2
+ z2
) - (x + y + z)4
Solución:
Sumando y restando (x2
+y2
+z2
)2
:
E = 2(x4
+ y4
+ z4
) - 2(x2
+ y2
+ z2
)2
+ [(x2
+ y2
+ z2
)2
- 2(x + y + z)2
(x2
+ y2
+ z2
)
+ (x + y + z)4
]
El corchete es el desarrollo de un binomio al
cuadrado, luego:
E = 2(x4
+ y4
+ z4
) - 2(x2
+ y2
+ z2
)2
+ [(x2
+ y2
+ z2
) - (x + y + z)2
]2
factorizando 2 y efectuando el segundo parénte-
sis fuera y dentro del corchete:
E = 2(x4
+ y4
+ z4
- x4
- y4
- z4
- 2x2
y2
-2x2
z2
- 2y2
z2
) + [x2
+ y2
+ z2
- x2
- y2
- z2
- 2xy - 2xz - 2yz]2
reduciendo:
E = -4(x2
y2
+ x2
z2
+ y2
z2
) + 4[xy + xz + yz]2
nótese que el signo en el corchete se elimina
debido al cuadrado. Factorizando 4:
E = 4[(xy + xz + yz)2
- (x2
y2
+ x2
z2
+ y2
z2
)]
efectuando:
E = 4[x2
y2
+ x2
z2
+ y2
z2
+ 2x2
yx + 2xy2
z + 2xyz2
- x2
y2
- x2
z2
- y2
z2
]
reduciendo:
E = 4[2x2
yz + 2xy2
z + 2xyz2
]
factorizando, finalmente:
E = 8xyz(x + y + z)
8.- Factorizar:
E =(x6
+ x5
+ x4
+ x3
+ x2
+ x + 1)2
- x6
Solución:
Factorizando la diferencia de cuadrados:
E = (x6
+ x5
+ x4
+ x3
+ x2
+ x + 1 + x3
)
(x6
+ x5
+ x4
+ x3
+ x2
+ x + 1-x3
)
reduciendo y agrupando convenientemente:
E =[(x6
+ 2x3
+ 1) + (x5
+ x2
) + (x4
+ x)]
[(x6
+ x5
+ x4
) + (x2
+ x + 1)]
Á L G E B R A
- 141 -

factorizando sucesivamente:
E = [(x3
+ 1)2
+ x2
(x3
+ 1) + x(x3
+ 1)]
[x4
(x2
+ x + 1) + (x2
+ x + 1)]
E = (x3
+ 1)(x3
+ 1 + x2
+ x)(x2
+ x + 1)(x4
+ 1)
E = (x + 1)(x2
- x + 1)[x(x2
+ 1) + (x2
+ 1)]
(x2
+ x + 1)(x4
+ 1)
E = (x + 1)(x2
-x +1)(x2
+1)(x+1)(x2
+x + 1)
(x4
+ 1)
E = (x +1)2
(x2
+1)(x2
+ x +1)(x2
+ x +1)(x4
+ 1)
9.- Factorizar:
E = ab2
c4
- a4
b2
c + a2
b4
c - a2
bc4
+ a4
bc2
- ab4
c2
Solución:
Agrupando y factorizando por parejas:
E = ab2
c2
(c2
- b2
) + a4
bc(c - b) - a2
bc(c3
- b3
)
descomponiendo en sus factores, diferencia de
cuadrados y diferencia de cubos:
E = ab2
c2
(c + b)(c - b) + a4
bc(c - b)
- a2
bc(c - b)(c2
+ cb + b2
)
factorizando:
E = abc(c - b)(bc2
+ b2
c + a3
- ac2
- acb - ab2
)
–– ––– –
– –– ––– ––
––– –
– ––– ––
–
– ––
agrupando por parejas en la forma señalada:
E = abc(c - b)[c2
(b - a)+ bc(b- a)-a(b+a)(b-a)]
factorizando (b - a) en el corchete:
E = abc(c - b)(b - a)(c2
+ bc - ab - a2
)
agrupando y factorizando en el tercer paréntesis:
E = abc(c - b)(b - a) [(c + a)(c - a) + b(c - a)]
finalmente:
E = abc(c - b)(b - a)(c - a)(a + b + c)
10.- Factorizar :
E = x3
(x3
+ 2y2
- x) + y(y3
- 2x2
- y)
Solución:
Efectuando:
E = x6
+ 2x3
y2
- x4
+ y4
- 2x2
y - y2
efectuando:
E = (x6
+ 2x3
y2
+ y4
) - (x4
+ 2x2
y + y2
)
los paréntesis son desarrollos de binomios al
cuadrado:
E = (x3
+ y2
)2
- (x2
+ y)2
factorizando; finalmente:
E = (x3
+ y2
+ x2
+ y)(x3
+ y2
- x2
- y)
(C) MÉTODO DEL ASPA
C.1) ASPA SIMPLE.
Se utiliza para factores trinomios de la forma:
ax2n
± bxn
± c
o de la forma: x2n
± bxn
± c
Para factorizar, se descompone en dos factores
los términos ax2n
o x2n
, según sea el caso. Se
coloca estos factores en las puntas de la
izquierda del aspa. El término independiente,
incluyendo el signo, también se descompone en
dos factores,los cuales se coloca en las puntas
de la derecha del aspa. El término central del
trinomio debe ser igual a la suma de los porduc-
tos del aspa. Por último los factores de la nueva
expresión son las sumas en forma horizontal de
los extremos del aspa.
x4n
+ 7x2n
+ 12
a) x4n
se descompone en dos factores:
x2n
. x2n
b) 12 tambien se descompone en dos factores:
4 . 3
- 142 -
α
α α

Se pone estos factores en los extremos izquierdo
y derecho del aspa respectivamente:
x2n
+4
x2n
+3
c) La suma de los productos:
3x2n
+ 4x2n
= 7x2n
es igual al término central.
Nótese que la expresión factorizada es el produc-
to de la suma, tomada horizontalmente, así:
x4n
+ 7x2n
+ 12 = (x2n
+ 4) (x2n
+ 3)
x2n
+4
x2n
+3
1.- Factorizar:
E = 64x12
y3
- 68x8
y7
+ 4x4
y11
Solución:
Extrayendo factor común: 4x4
y3
:
E = 4x4
y3
(16x8
- 17x4
y4
+ y8
)
aplicando aspa simple al paréntesis, donde:
16x8
= (16x4
)(x4
) y8
= (-y4
)(-y4
)
16x4
-y4
x4
-y4
La expresión propuesta factorizada será:
E = 4x4
y3
(16x4
- y4
)(x4
- y4
)
factorizando las diferencias de cuadrados en
forma sucesiva:
E = 4x4
y3
(4x2
+ y2
)(2x + y) (2x - y)
(x2
+ y2
)(x + y)(x - y)
2.- Factorizar:
E = (5x + 4y)3
+ (10x + 8y)2
+ 15x + 12y
Solución:
Extrayendo factor común 2 en el segundo parén-
tesis y 3 en los dos últimos sumandos:
E = (5x + 4y)3
+ [2(5x + 4y)]2
+ 3(5x + 12y)
haciendo 5x + 4y = a, se obtiene:
E = a3
+ 4a2
+ 3a
extrayendo factor común “a” y aplicando aspa el
paréntesis:
E = a(a2
+ 4a + 3)
a -3
a +1
La expresión será:
E = a(a + 3)(a + 1)
reemplazando el valor de a:
E = (5x + 4y)(5x + 4y + 3)(5x + 4y + 1)
3.- Factorizar:
E = 22m+5
- 3 . 2m+2
- 35
Solución:
La expresión se puede escribir como:
E = 22m
. 25
- 3 . 2m
. 22
- 35
E = 32 .(2m
)2
- 12 . (2m
) - 35
haciendo: 2m
= a:
E = 32a2
- 12a - 35
Á L G E B R A
- 143 -

aplicando aspa:
32a2
= (8a) . (4a) -35 = (+7)(-5)
8a +7
4a -5
La expresión será:
E = (8a + 7)(4a - 5)
reemplazando “a” por su valor:
E = (23
. 2m
+ 7)(22
. 2m
- 5)
finalmente:
E = (2m+3
+ 7) (2m+2
- 5)
4.- Factorizar:
abcx2
-(a2
b2
+ c2
)x + abc
Solución:
Aplicando aspa simple, donde:
abcx2
= (abx)(cx) abc = (-c)(-ab)
abx -c
cx -ab
Luego la expresión factorizada es:
E = (abx - c)(cx - ab)
5.- Factorizar:
E = (a + d)4
- 2(b2
+ c2
)(a + d)2
+ (b2
- c2
)2
Solución:
Haciendo (a + d)2
= x, y desarrolando el tercer término
(b2
- c2
)2
= [(b + c) (b - c)]2
= (b + c)2
(b - c)2
se obtiene:
E = x2
- 2(b2
+ c2
)x + (b + c)2
(b - c)2
Aplicando aspa simple, donde:
x2
= (x)(x)
(b + c)2
(b -c)2
= [-(b + c)2
] [-(b - c)2
]
x -(b + c)2
x -(b - c)2
Comprobación para el término central:
-(b - c)2
x - (b + c)2
x = -[(b + c)2
+ (b - c)2
]x
= -2(b2
+ c2
)x
por lo tanto:
E = [x - (b + c)2
] [x - (b - c)2
]
reemplazando el valor de x:
E = [(a + d)2
- (b + c)2
] [(a + d)2
- (b - c)2
]
factorizando la diferencia de cuadrados:
E = [(a + d) + (b + c)][(a + d) - (b + c)][(a + d)
+ (b - c)]](a + d) - (b - c)]
finalmente:
E =(a + d + b + c)(a + d - b - c)
(a + d + b - c)(a + d - b + c)
C.2) ASPA DOBLE.
Se aplica para factorizar polinomios de la forma:
ax2n
± bxn
yn
± cy2n
± dxn
± eyn
± f
y también para algunos polinomios de 4° grado.
PROCEDIMIENTO:
Primero se ordena convenientemente; es decir, en
forma decreciente para una de las variables, luego
se traza y ejecuta un aspa simple para los tres
primeros términos con rayas continuas o llenas.
A continuación, y pegada a este aspa, se traza otra
- 144 -
α
α α

de tal modo que el producto de los elementos del
extremo derecho de este aspa–multiplicados ver-
ticalmente sea el término independiente.
Finalmente: primer factor es la suma de los ele-
mentos tomados horizontalmente de la parte
superior; el segundo factor es la suma de los ele-
mentos tomados horizontalmente de la parte
inferior.
Ejemplo:
Factorizar:
12x2
- 7xy - 10y2
+ 59y - 15x - 63
4x -5y +7
(I) (III) (II)
3x +2y -9
verificando los términos:
(I) 8xy + (II) 45y + (III) -36x
-15xy 14y +21x
–––––– –––– –––––
- 7xy 59y -15x
EXPLICACIÓN:
1) A los 3 primeros términos se les aplica un aspa
simple (I) :
12x2
- 7xy - 10y2
4x -5y
(I)
3x +2y
se verifica (I): 8xy
-15xy
––––––
- 7xy
2) A los términos 3°, 4° y 6°, se les aplica un aspa
simple (II):
-10y2
+ 59y - 63
-5y +7
(II)
+2y -9
se verifica (II): 45y
+14y
–––
––
59y
3) A los términos 1°, 5° y 6° se les aplica un aspa
simple (III):
12x2
- 15x - 63
4x +7
(III)
3x -9
se verifica (III): -36x
+21x
–––––
-15x
Luego la expresión factorizada es:
(4x - 5y + 7)(3x + 2y - 9)
1.- Factorizar:
15x2
+ 14xy + 3y2
+ 23y + 41x + 14
5x +3y +2
(I) (III) (II)
3x +y +7
Verificando los términos:
(I) 5xy + (II) 21y + (III) 35x +
9xy 2y 6x
––––– ––––– –––––
14xy 23y 41x
La expresión factorizada es:
(5x + 3y + 2)(3x + y + 7)
Á L G E B R A
- 145 -

2.- Factorizar:
abx2
+ (a2
+ b2
)xy + aby2
+ (a - b)y - (a - b)x - 1
ax +by +1
bx +ay -1
(ax + by + 1)(bx + ay -1)
3.- Factorizar:
6x4
- 5x2
y - 25y2
- 5yz - 23x2
z + 20z2
3x2
+5y -4z
2x2
-5y -5z
(3x2
+ 5y - 4z)(2x2
- 5y - 5z)
4.- Factorizar:
2x2m
+ 5xm
yn
- 3y2n
+ 7yn
+ 7xm
+ 6
2xm
-yn
+3
xm
+3yn
+2
(2xm
- yn
+ 3)(xm
+ 3yn
+ 2)
5.- Factorizar:
28xy - 44y2
- 23y + 35x + 40
Solución:
Se observa que falta un término, que es “x2
”, se
completa con 0x2
y se completa el polinomio:
0x2
+ 28xy - 44y2
+ 35x - 23y + 40
Ox +4y +5
(I) (III) (II)
7x -11y +8
E = (4y + 5)(7x - 11y + 8)
C.3) ASPA DOBLE ESPECIAL.
Se utiliza para factorizar polinomios de 4to grado
de la forma general:
ax4
± bx3
± cx2
± dx ± e
Para factorizar se procede así:
a) Se descompone los términos extremos (primero y
quinto) en sus factores primos con signos adecuados.
b) Se efectúa el producto de los factores primos
en aspa y se reduce. De esta manera se obtiene
un término de 2° grado.
c) A este resultado se le debe sumar algebraica-
mente otro término de 2° grado para que sea
igual al tercer término.
d) Con este otro término de 2do. grado colocado
como tercer término del polinomio, se
descompone en sus factores en forma conve-
niente tal, que cumpla los requisitos del aspa
doble:
• Aspa simple entre el primer término y el térmi-
no de segundo grado ubicado como sustituto,
para verificar el segundo término.
• Aspa simple auxiliar entre el sumando de segun-
do grado ubicado y el quinto término para veri-
ficar el 4to. término.
e) Los factores se toman en forma horizontal.
x4
- 4x3
+ 11x2
- 14x + 10
Solución:
Descomponiendo los extremos en sus factores:
x4
- 4x3
+ 11x2
- 14x + 10
x2
+5
(I)
x2
+2
Para (I): 2x2
5x2
––––
7x2
- 146 -
α
α α

Á L G E B R A
- 147 -
Como el tercer término es 11x2
y el producto en
aspa de los extremos es 7x2
faltarán 4x2
que es la
cantidad que se debe agregar.
Se descompone 4x2
en sus factores en forma conve-
niente y se verifica el segundo y cuarto términos:
x4
- 4x3
+ 4x2
- 14x + 10
x2
-2x +5
(II) (III)
x2
-2x +2
(II) -2x3
(III) - 4x
-2x3
-10x
–––– ––––
-4x3
-14x
Como verificar las condiciones del aspa doble, los
términos están bien descompuestos.
(x2
- 2x + 5)(x2
- 2x + 2)
1.- Factorizar:
x4
- 10x3
+ 19x2
- 18x + 9
Solución:
Descomponiendo los términos extremos:
x4
- 10x3
+ 19x2
- 18x + 9
x2
+9
(I)
x2
+1
En el aspa (I):
9x2
+ x2
= 10x2
se observa que faltan 19x2
- 10x2
= 9x2
.
Luego:
x4
- 10x3
+ 9x2
- 18x + 9
x2
-9x +9
(II) (III)
x2
-x +1
Verificando el aspa doble:
(II) -x3
(III) - 9x
-9x3
- 9x
––––– –––––
-10x3
-18x
(x2
- 9x + 9)(x2
- x + 1)
2.- Factorizar:
2x8
+ x6
- 16x4
+ 8x2
- 1
Solución:
Descomponiendo los términos extremos:
2x8
+ x6
- 16x4
+ 8x2
- 1
(I)
2x4
+1 = –––
x4
(I)
-2x4
x4
-1 = ––––
- x4
Como el tercer término es -16x4
y el producto
en aspa de los extremos es -x4
falta -15x2
que es
la cantidad que se debe agregar. Se descompo-
ne -15x2
en sus factores en forma conveniente
y se verifica el 2do. y 4to. términos:
2x4
-5x2
+1
(II) (III)
x4
+3x2
-1

En (II): 6x6
En (III): +5x2
-5x6
+3x2
–––– ––––
+x6
+8x2
Como se verifica las condiciones del aspa doble,la
expresión factorizada es:
(2x4
- 5x2
+ 1)(x4
+ 3x2
- 1)
3.- Factorizar:
5x4
- 11x2
- 4x + 1
Solución:
Completando el polinomio con 0x3
y descom-
poniendo los términos extremos:
5x4
+ 0x3
- 11x2
- 4x + 1
5x2
-1 = -x2
(I)
-5x2
x2
-1 =––––
-6x2
faltarían:
(-11x2
) - (-6x2
) = -5x2
Verificando el aspa doble:
5x4
+ 0x3
- 5x2
- 4x + 1
5x2
5x -1
(II) (I) (III)
x2
-x -1
(5x2
+ 5x - 1)(x2
- x - 1)
4.- Factorizar:
x4
+ 2x3
- x - 6
Solución:
Completando el polinomio con 0x2
y descom-
poniendo los términos extremos:
x4
+ 2x3
+ 0x2
- x - 6
(I)
x2
+x -3 = –––
-3x2
(II) (I) (III)
-2x2
x2
+x +2 = ––––
- x2
falta: 0x2
- (-x2
) = x2
Verificación del aspa doble:
(II) x3
+ x3
= 2x3
(III) 2x - 3x = -x
El polinomio factorizado es:
(x2
+ x - 3)(x2
+ x + 2)
5.- Factorizar:
x4
- 3x3
- 9x2
+ 4
Solución:
Completando el polinomio con 0x y descom-
poniendo a los términos extremos:
x4
- 3x3
- 9x2
+ 0x + 4
(I)
x2
+4x -4 = –––
-4x2
(II) (I) (III)
-x2
x2
+x -1 = ––––
- 5x2
falta: -9x2
- (-5x2
) = -4x2
Verificación del aspa doble:
(II) x3
(III) +4x
-4x3
-4x
–––– ––––
-3x3
0x
El polinomio factorizado es:
(x2
- 4x - 4) (x2
+ x - 1)
- 148 -
α
α α

(D) MÉTODO DE DIVISORES BINOMIOS
FINALIDAD.-Permite la factorización de un poli-
nomio de cualquier grado que acepte factores de
primer grado de la forma general:
x ± B ; Ax ± B
por ejemplo: x + 2 ; 2x + 3
DIVISOR BINOMIO
Es aquel que siendo de primer grado está contenido
un número entero de veces en un polinomio.
Ejemplo:
P(x) = x2
- 5x + 6
contiene exactamente a (x - 2) ya que si se calcula el
resto, éste es igual a cero.
FUNDAMENTO TEORICO
Este método se fundamenta en la aplicación del teo-
rema del resto -en forma- inversa y de la división de
Ruffini.
Si P(x) : (x-a), da R = 0; (x-a) es un divisor de P(x).
si x = a y R = P(a) = 0, por el teorema del resto: x -a = 0.
∴ x-a es un divisor del polinomio P(x).
CEROS DE UN POLINOMIO
Son todos los valores que puede tomar la variable de
un polinomio y que hacen que su valor numérico sea
igual a cero.
Ejemplo:
Sea el polinomio:
P(x) = x3
+ 3x2
+ 5x - 9
Valor numérico para x =1:
P(1) = 1 + 3 + 5 - 9
P(1) = 0
Por lo tanto el número 1 es un cero del poli-
nomio. Se observa que al obtener un cero del
polinomio se obtiene también un divisor binomio
que es (x - 1).
DETERMINACIÓN DE LOS POSIBLES CEROS DE
UN POLINOMIO
(1) Cuando el primer coeficiente del polinomio es
“1” se toman todos los divisores del término
independiente con su doble signo.
P(x) = x3
+ 4x2
+ 7x - 12
P.C. = ±1, ±2, ±3, ±4, ±6, ±12
(2) Cuando el coeficiente del primer término es
diferente de “1”, se procede como en el caso ante-
rior y además, se considera las fracciones que
resultan de dividir todos los divisores del térmi-
no independiente entre los divisores del primer
coeficiente.
P(x) = 4x3
+ 3x2
+ 3x - 9
Posibles ceros:
1 3 1 3 9 9
±1, ±3, ±9, ± –– , ± –– , ± –– , ± –– , ± –– , ± ––
2 2 4 4 2 4
FORMAS DE FACTORIZACIÓN
(1) Se determina por los menos un cero del poli-
nomio.
(2) De acuerdo con el cero, se halla el divisor, que es
un divisor binomio o factor.
(3) El otro factor se determina dividiendo el poli-
nomio entre el divisor obtenido mediante la
regla de Ruffini.
OBSERVACIONES
• El número de ceros, está determinado por el
grado del polinomio.
• El número de ceros mínimo debe ser tal que, al
dividir sucesivamente, por Ruffini, se obtenga
un cociente de segundo grado.
x3
-4x2
-25x + 28
Á L G E B R A
- 149 -

Solución:
(1)Se determinan los posibles ceros del poli-
nomio para valores de:
x = ±1, ±2, ±4, ±7, ±14, ±28
(2)Para x = 1, el valor numérico del polinomio es:
(1)3
- 4(1)2
- 25(1) + 28 = 1 - 4 - 25 + 28 = 0
luego (x - 1) es un factor.
(3) Dividiendo el polinomio entre el factor
obtenido, usando la regla de Ruffini:
1 -4 -25 +28
1 +1 -3 -28
1 -3 -28 0
de donde se obtiene el cociente:
x2
- 3x - 28
que, es el otro factor buscado.
(4)Luego el polinomio factorizado es:
(x - 1)(x2
- 3x - 28)
y, finalmente podemos convertir a:
(x - 1)(x + 4)(x - 7)
1.- Factorizar:
E = x4
- 4x3
- x2
+ 16x - 12
Solución:
Para x = 1
P(1) = 0 ∴ (x - 1) es un factor
Para x = 2
P(2) = 0 ∴ (x - 2) es otro factor.
Dividiendo dos veces por Ruffini:
1 -4 -1 +16 -12
↓
1 +1 -3 -4 +12
1 -3 -4 +12 0
↓
2 +2 -2 -12
1 -1 -6 0
El otro factor es (x2
- x - 6), el cual se factoriza
por el método del aspa:
x -3
x 2
resulta: (x - 3)(x + 2)
Por lo tanto el polinomio factorizado es:
(x - 1)(x - 2)(x - 3)(x + 2)
2.- Factorizar:
x5
+ 4x4
- 10x2
- x + 6
Solución:
Posibles ceros: ±1, ±2, ±3, ±6
Para x = 1; P(1) = 0, luego (x - 1) es un factor.
Para x = -1; P(-1) = 0, luego (x + 1) es otro factor.
Para x = -2; P(-2) = 0, luego (x + 2) es otro factor.
Dividiendo tres veces por Ruffini:
1 +4 +0 -10 -1 +6
↓
1 +1 +5 +5 -5 -6
1 +5 +5 -5 -6 0
↓
-1 -1 -4 -1 +6
1 +4 +1 -6 0
↓
-2 -2 -4 +6
1 +2 -3 0
- 150 -
α
α α

El otro factor es: x2
+ 2x - 3, el cual se factoriza
por el aspa:
x +3
x -1
que resulta en: (x + 3)(x - 1)
Por lo tanto el polinomio factorizado es:
(x - 1)(x + 1)(x + 2)(x + 3)(x - 1)
3.- Factorizar:
2(2x - a)3
- 27a2
x
Solución:
Desarrollandose el cubo:
2(8x3
-12x2
a + 6xa2
- a3
)-27a2
x
16x3
- 24x2
a + 12xa2
- 2a3
- 27a2
x
reduciendo:
16x3
- 24x2
a - 15a2
x - 2a3
aplicando divisores binomios:
a a
Posibles ceros: ±a, ±2a, ± ––, ± –– , ……
2 4
Para x = 2a; P(2a) = 0; luego tiene divisor (x - 2a)
que es un factor.
Dividiendo el polinomio por Ruffini entre (x- 2a):
16 -24a -15a2
-2a3
↓
2a +32a +16a2
+2a3
16 +8a +a2
0
en consecuencia el otro factor: 16x2
+ 8a2
+ a2
; el
cual, se factoriza por el método del aspa:
4x a
4x a
Resultando en: (4x + a)(4x +a)
Finalmente el polinomio factorizado es:
(x -2a)(4x + a)2
4.- Factorizar:
E = 4(x2
+ xy + y2
)3
- 27x2
y2
(x + y)2
Solución:
Efectuando y agrupando:
4(x2
+ xy + y2
)3
- 27(xy)2
(x2
+ 2xy + y2
)
haciendo un cambio de variables para tener en
forma más sencilla el polinomio:
x2
+ y2
= a
xy = b
se obtiene:
E = 4(a + b)3
- 27(b)2
(a + 2b)
E = 4(a3
+ 3a2
b + 3ab2
+ b3
) - 27b2
(a + 2b)
E = 4a3
+ 12a2
b + 12ab2
+ 4b3
- 27b2
a - 54b3
E = 4a3
+ 12a2
b - 15ab2
- 503
P.C. = ±b, ±2b, ±5b, ±25b, ±50b, …
Para a = 2b:
P(2b) = 4(2b)3
+ 12(2b)2
b - 15(2b)b2
- 50b3
P(2b) = 32b3
+ 48b3
- 30b3
- 50b3
= 0
Luego, un factor es (a - 2b); el otro factor podemos
hallarlo por Ruffini:
4 +12b -15b2
-50b3
↓
2b 8b +40b2
+50b3
4 +20b +25b2
0
Por lo tanto, el otro factor es: 4a2
+ 20ab + 25b2
que se puede expresar también como:
(2a + 5b)2
y, que factorizado da:
(2a + 5b)(2a + 5b)
Á L G E B R A
- 151 -

Luego, el polinomio factorizado es:
(a - 2b)(2a + 5b)(2a + 5b)
Reponiendo el valor de (a = x2
+ y2
) y (b = xy)
E = (x2
+y2
-2xy)[2(x2
+y2
)+5xy][2(x2
+y2
)+5xy]
E =(x - y)2
(2x2
+ 5xy + 2y2
)2
Factorizando el segundo paréntesis por aspa simple:
[2(x2
+ y2
) + 5xy]
2x2
+ 2y2
+ 5xy
2x y
x 2y
(2x + y)(x + 2y)
E = (x - y)2
[(2x + y)(x + 2y)]2
E = (x - y)2
(2x + y)2
(x + 2y)2
(E) MÉTODO DE ARTIFICIOS DE
CALCULO
E.1) REDUCCIÓN A DIFERENCIA DE
CUADRADOS:
Este método consiste en transformar una expre-
sión (trinomio en general), a una diferencia de
cuadrados, sumando y restando una misma can-
tidad de tal manera que se complete el trinomio
cuadrado perfecto.
a4
+ 2a2
b2
+ 9b4
Solución:
Analizando el trinomio, se observa que los extre-
mos son cuadrados perfectos, para que sea el de-
sarrollo de una suma al cuadrado, el término in-
termedio debe ser doble del producto de las raí-
ces de estos términos; es decir, debe ser:
2(a2
) . (3b2
) = 6a2
b2
Luego, se observa que le falta 4a2
b2
Sumando y restando 4a2
b2
se obtiene:
E = (a4
+ 6a2
b2
+ 9b4
) - (4a2
b2
)
el primer paréntesis es el desarrollo de un
binomio al cuadrado:
E = (a2
+ 3b2
)2
- (2ab)2
E = (a2
+ 3b2
- 2ab)(a2
+3b2
+ 2ab)
1.- Factorizar:
E = 49x4m
+ 5x2m
y4n
+ y8n
Solución:
Se observa que los extremos son cuadrados per-
fectos, luego el término intermedio debe ser:
2(7x2m
) . (y4n
) = 14x2m
y4n
Sumando y restando 9x2m
y4n
:
E = (49x4m
+ 14x2m
y4n
+ y8n
) - 9x2m
y4n
E = (7x2m
+ y4n
)2
- (3xm
y2n
)2
E = (7x2m
+ y4n
- 3xm
y2n
)(7x2m
+ y4n
+ 3xm
y2n
)
2.- Factorizar:
E = (2x6
+ 1)3
+ (x + 1)3
(x - 1)3
( x4
+ x2
+ 1)3
Solución:
La expresión se puede escribir como:
E = (2x6
+ 1)3
+ [(x2
- 1)(x4
+ x2
+ 1)]3
efectuando:
E = (2x6
+ 1)3
+ [(x6
- 1)]3
factorizando la suma de cubos:
E = [(2x6
+ 1) + (x6
- 1)] [(2x6
+ 1)2
+(x6
- 1)2
- (2x6
+ 1)(x6
- 1)]
- 152 -
α
α α

E = [3x6
] [(4x12
+ 1 + 4x6
+ x12
- 2x6
+ 1)
- (2x6
+ 1)(x6
- 1)]
E = [3x6
] [(5x12
+ 2x6
+ 2) - (2x12
- 2x6
+ x6
- 1)]
E = (3x6
)(5x12
+ 2x6
+ 2 - 2x12
+ 2x6
- x6
+ 1)
E = (3x6
)(3x12
+ 3x6
+ 3)
factor común del segundo paréntesis:
E = (3x6
) 3(x12
+ x6
+ 1)
Sumando y restando al segundo paréntesis x6
:
E = 9x6
(x12
+ x6
+ 1 - x6
+ x6
)
E = 9x6
[(x12
+ 2x6
+ 1) - (x6
)]
E = 9x6
[(x6
+ 1)2
- (x3
)2
]
E = 9x6
(x6
+ 1 + x3
)(x6
+ 1 - x3
)
3.- Factorizar:
E = a4
+ b4
+ c4
- 2a2
b2
- 2a2
c2
- 2b2
c2
Solución:
Sumando y restando 4a2
b2
:
E = a4
+b4
+c4
- 2a2
b2
-2a2
c2
- 2b2
c2
+ 4a2
b2
- 4a2
b2
agrupando:
E = (a4
+ b4
+ c4
+ 2a2
b2
- 2a2
c2
- 2b2
c2
) - 4a2
b2
factorizando:
E = (a2
+ b2
- c2
)2
- (2ab)2
es una diferencia de cuadrados, luego:
E = (a2
+ b2
- c2
- 2ab)(a2
+ b2
- c2
+ 2ab)
agrupando:
E = [(a2
- 2ab + b2
) - c2
][(a2
+ 2ab + b2
) - c2
]
E = [(a - b)2
- c2
][(a + b)2
- c2
]
finalmente desarrollando las diferencias de
cuadrados
E = (a - b - c)(a - b + c)(a + b - c)(a + b + c)
E.2) MÉTODOS DE SUMAS Y RESTAS
Consiste en sumar y restar una misma cantidad de
tal manera que se forme una suma o diferencia de
cubos al mismo tiempo que se presenta el factor:
x2
+ x + 1 ó x2
- x + 1
Algunas veces también se completa el polinomio.
Ejemplos:
i) Factorizar: x5
+ x4
+ 1
Solución:
Primera forma: Completando el polinomio.
Sumando y restando:
x3
+ x2
+ x
agrupando y factorizando así:
E = x3
(x2
+ x + 1) + (x2
+ x + 1) - x(x2
+ x + 1)
finalmente:
E = (x2
+ x + 1) (x3
- x + 1)
Segunda forma: Sumando y restando x2
:
E = x5
- x2
+ x4
+ x2
+ 1
agrupando y factorizando:
E = x2
(x3
- 1) + (x4
+ x2
+ 1)
sumando y restando x2
al segundo paréntesis:
E = x2
(x -1)(x2
+ x +1)+(x2
+ x + 1) (x2
- x + 1)
E = (x2
+ x + 1)(x3
- x2
+ x2
- x + 1)
finalmente:
E = (x2
+ x + 1)(x3
- x + 1)
ii) Factorizar: x5
+ x - 1
Solución:
Sumando y restando x2
:
E = x5
+ x2
- x2
+ x + 1
Á L G E B R A
- 153 -

- 154 -
agrupando:
E = x2
(x3
+ 1) - (x2
- x + 1)
factorizando suma de cubos:
E = x2
(x + 1)(x2
- x + 1) - (x2
- x + 1)
finalmente:
E = (x2
- x + 1) (x3
+ x2
- 1)
iii) Factorizar: x6
(x4
+ 2) + (x + 1)(x - 1)
Solución:
Efectuando:
E = x10
+ 2x6
+ x2
- 1
agrupando:
E = (x10
+ 2x6
+ x2
) - 1
el paréntesis es el desarrollo de una suma al
cuadrado:
E = (x5
+ x)2
-1
factorizando:
E = (x5
+ x - 1)(x5
+ x + 1) (I)
del ejercicio (ii), recordemos que:
(x5
+ x - 1) = (x2
- x + 1)(x3
+ x2
- 1) (a)
Por otra parte factorizando: (x5
+ x + 1), suman-
do y restando x2
sumando y restando x2
:
x5
+ x + 1 = x5
+ x + 1 + x2
- x2
agrupando y factorizando:
x5
+ x + 1 = x2
(x3
- 1) + (x2
+ x + 1)
x5
+ x + 1 = x2
(x - 1)(x2
+ x + 1) + (x2
+ x + 1)
x5
+ x + 1 = (x2
+ x + 1)(x3
- x2
+ 1) (b)
Sustituyendo(a) y (b) en (I):
E = (x2
+ x +1)(x3
- x2
+ 1)(x3
+ x2
- 1)(x2
- x + 1)
iv) Factorizar: x7
+ x5
- 1
Solución:
Sumando y restando x:
E = x7
- x + x5
+ x - 1 (I)
previamente, veamos que:
(x7
- x) = x(x6
- 1) = x(x3
+ 1)(x3
- 1)
(x7
- x) = x(x + 1)(x2
- x + 1)(x3
- 1) (a)
también por el ejercicio número (ii)
x5
+ x - 1 = (x2
- x + 1)(x3
+ x2
- 1) (b)
sustituyendo (a) y (b) en (I):
E = x(x + 1)(x2
- x + 1)(x3
- 1)
+ (x2
- x + 1)(x3
+ x2
-1)
E = (x2
- x + 1) (x5
- x2
+ x4
- x + x3
+ x2
- 1)
finalmente:
E = (x2
- x + 1)(x5
+ x4
+ x3
- x - 1)
v) Factorizar: x7
+ x6
- x5
+ x3
- 2x + 1
Solución:
Descomponiendo -2x = -x - x
E = x7
+ x6
- x5
+ x3
- x - x + 1
Sumando y restando x2
:
E = x7
+ x6
- x5
+ x3
- x - x + 1 + x2
- x2
–– –– –– –– –– –– –– –– ––
–– –– –– –– –– ––
–– –– ––
agrupando en la forma señalada:
E = x5
(x2
+ x - 1) + x(x2
+ x - 1) - (x2
+ x - 1)
E = (x2
+ x - 1)(x5
+ x - 1)
por el ejercicio número(ii), se sabe el resultado
del segundo paréntesis:
E = (x2
+ x - 1)(x2
- x + 1)(x3
+ x2
- 1)
vi) Factorizar: x3
+y3
+z3
- 3xyz
α
α α

Solución:
Trataremos de formar (x + y)3
, sumando y
restando:3x2
y, 3y2
x:
E =(x3
+ y3
+ 3x2
y + 3y2
x) - 3xyz - 3x2
y - 3xy2
+ z3
E =(x + y)3
+ z3
- 3xy(x + y + z)
E = [(x + y) + z] [(x + y)2
- (x + y) z + z2
]
- 3xy(x + y + z)
Extrayendo factor común (x + y + z):
E =(x + y + z)(x2
+ y2
+ 2xy - xz - zy + z2
- 3xy)
finalmente:
E = (x + y + z)(x2
+ y2
+ z2
- xy - xz - yz)
E.3) CAMBIO DE VARIABLE
Consiste en cambiar una variable por otra, de tal
manera que se obtenga una forma de factoriza-
ción más simple.
Ejemplo:
Factorizar:
E = 1 + x(x + 1)(x + 2)(x + 3)
Solución:
Agrupemos adecuadamente, así:
E = 1 + [x(x + 3)][(x + 1)(x + 2)]
= 1 + (x2
+ 3x)(x2
+ 3x + 2)
haciendo x2
+ 3x = a:
E = 1 + a(a + 2)
efectuando:
E = 1+ a2
+ 2a
es el desarrollo de una suma al cuadrado, por lo que:
E = (a + 1)2
reemplazando a por su valor:
E = (x2
+ 3x + 1)2
1.- Factorizar:
E = (2x2
- 9x + 1)2
+ 24x(x - 1)(2x - 1)
Solución:
Efectuando los dos binomios:
E = (2x2
- 9x + 1)2
+ 24x(2x2
- 3x + 1)
haciendo 2x2
+ 1 = a:
E = (a - 9x)2
+ 24x(a - 3x)
efectuando:
E = a2
- 18ax + 81x2
+ 24ax - 72x2
reduciendo:
E = a2
+ 6ax + 9x2
que es el desarrollo de una suma al cuadrado, así:
E = (a + 3x)2
reemplazando “a” por su valor:
E = (2x2
+ 3x + 1)2
factorizando por aspa simple el paréntesis:
2x +1
(2x + 1)(x + 1)
x +1
luego:
E = [(2x + 1)(x + 1)]2
= (2x + 1)2(x + 1)2
2.- Factorizar:
E = 4[ab(x2
- y2
) + xy(a2
- b2
)]2
+[(a2
- b2
)(x2
- y2
) - 4abxy]2
Solución:
Haciendo:
ab = m; x2
- y2
= n;
xy = r; a2
- b2
= s;
E = 4(mn + rs)2
+ (ns - 4mr)2
Á L G E B R A
- 155 -

- 156 -
E = 4m2
n2
+ 8mnrs + 4r2
s2
+ n2
s2
- 8mnr + 16m2
r2
reduciendo y agrupando convenientemente:
E = n2
(4m2
+ s2
) + 4r2
(4m2
+ s2
)
factorizando:
E = (4m2
+ s2
)(n2
+ 4r2
)
reemplazando los valores asignados:
E = [(a2
- b2
)2
+ 4a2
b2
][(x2
- y2
)2
+ 4x2
y2
]
efectuando:
E = (a4
+ 2a2
b2
+ b4
)(x4
+ 2x2
y2
+ y4
)
E = (a2
+ b2
)2
(x4
+ y)2
3.- Factorizar:
E = x(ax - 1)(ax - a - 1)(x + 1) + a
Solución:
Efectuando de la siguiente manera:
E = [x(ax - a - 1)][(ax - 1)(x + 1)] + a
efectuando:
E = (ax2
- ax - x)(ax2
+ ax - x - 1) + a
haciendo ax2
- x = y
E = (y - ax)(y + ax - 1) + a
efectuando nuevamente y simplificando:
E = y2
- y - ax(ax - 1)+a
reemplazando y por el valor asignado:
E = (ax2
- x)2
- (ax2
- x) - ax(ax - 1) + a
extrayendo el factor común en los dos primeros
paréntesis:
E = x2
(ax - 1)2
- x(ax - 1) - ax(ax - 1) + a
agrupando y factorizando en los dos primeros y
los dos últimos:
E = x(ax - 1)[(ax - 1)x - 1] - a[x(ax - 1) - 1]
factorizando el corchete:
E = [(ax - 1)x - 1] [x(ax - 1) - a]
E = (ax2
- x - 1)(ax2
- x - a)
4.- Factorizar:
E = (a + 2b + c)(b + 2c + a)(c + 2a + b)
+ (a + b)(a + c)(b + c)
Solución:
Se puede reescribir la expresión como:
E = (a + b + b + c)(b + c + c + a)(c + a + a + b)
+ (a + b)(a + c)(b + c)
haciendo:
a + b = x; b + c = y; a + c = z;
E = (x + y)(y + z)(x + z) + xyz
efectuando progresiva y convenientemente:
E = [y2
+ (x + z)y + xz][x + z] + xyz
E = y2
(x + z) + (x + z)2
y + xz(x + z) + (xyz)
agrupando de dos en dos y extrayendo factor
común:
E = y(x + z)[y + x + z] + xz(x + y + z)
factorizando:
E = (x + y + z)(xy + yz + xz)
reponiendo los valores asignados:
E = (a + b + b + c + a + c) [(a + b)(b + c)
+ (b + c)(a + c) + (a + b)(a + c)]
reduciendo y efectuando:
E = 2(a+b+c) [b2
+ab +ac + bc + c2
+ ac + bc + ab
+ a2
+ ac + ab + bc]
α
α α

E = 2(a + b + c) (a2
+ b2
+ c2
+ 3ab + 3ac + 3bc)
E = 2(a + b + c) [(a + b + c)2
+ ab + ac + bc]
E .4) FACTORIZACIÓN RECÍPROCA
POLINOMIO RECÍPROCO.- Es aquel que se ca-
racteriza porque los coeficientes de los términos
equidistantes del centro son iguales.
El polinomio:
P(x) = Ax4
+ Bx3
+ Cx2
+ Dx + E
es recíproco siempre y cuando A = E; B = D.
Ejemplos:
i) 4x4
+ 9x3
+ 7x2
+ 9x + 4
ii) 7x6
+ 4x5
+ 5x4
+ 8x3
+ 5x2
+ 4x + 7
PROCEDIMIENTO PARA FACTORIZAR UN POLI-
NOMIO RECIPROCO.
1) Se extrae, como factor común, la parte literal
del término central, que al final se debe elimi-
nar.
2) Se realiza el siguiente cambio de variables:
1
x + –– = a
x
1 1
x2
+ –– = a2
- 2 x3
+ –– = a3
- 3a
x2
x3
3) Se realiza las operaciones y se factoriza.
4) Se repone los valores asignados a las variables.
1.- Factorizar:
6x4
+ 5x3
+ 6x2
+ 5x + 6
Solución:
Extrayendo factor común x2
:
5 6
E = x2
(6x2
+ 5x + 6 + –– + ––
)
x x2
agrupando de la siguiente manera:
1 1
E = x2
[6
(x2
+ ––
)+ 5
(x + ––
)+ 6
]
x2
x
haciendo:
1 1
x + –– = a ; x2
+ –– = a2
- 2
x2
x
E = x2
[6(a2
- 2) + 5a + 6]
efectuando:
E = x2
(6a2
+ 5a - 6)
aplicando aspa simple al paréntesis:
3a -2
(3a - 2)(2a + 3)
2a +3
luego:
E = x2
(3a - 2)(2a + 3)
reemplazando el valor de “a”:
1 1
E = x2
[3
(x + ––
)- 2
][2
(x + ––
)+ 3
]
x x
operando:
3x2
+ 3 - 2x 2x2
+ 2 + 3x
E = x2
[–––––––––––][–––––––––––]
x x
Simplificando:
E = (3x2
- 2x + 3)(2x2
+ 3x + 2)
2.- Factorizar:
E = x6
+ 15x5
+ 78x4
+ 155x3
+ 78x2
+ 15x + 1
Solución:
Extrayendo factor común “x3
”
y agrupando:
1 1 1
E = x3
[(x3
+ ––)+15(x2
+ ––)+78(x + ––)+ 155]
x3
x2
x
Á L G E B R A
- 157 -

haciendo:
1
x + –– = a
x
1 1
x2
+ –– = a2
- 2 x3
+ –– = a3
- 3a
x2
x3
E = x3
(a3
- 3a + 15a2
- 30 + 78a + 155)
E = x3
(a3
+ 15a2
+ 75a + 125)
E = x3
[a3
+ 3(a2
)(5) + 3(a)(52
) + (5)3
]
que se puede escribir como:
E = x3
(a + 5)3
reemplazando a por el valor asignado:
1
E = x3
(x + –– + 5)3
x
x3
(x2
+ 1 + 5x)3
E = –––––––––––––
x3
E = (x2
+ 5x + 1)3
3.- Factorizar:
E = x7
+ 8x6
+ 17x5
+ 9x4
+ 9x3
+ 17x2
+ 8x + 1
Solución:
Como se observa el polinomio tiene un número
par de términos; por lo tanto, factorizaremos por
divisores binomios previamente:
Para x = -1 se obtiene P(-1) = 0, luego un factor
es (x + 1) y el otro se obtiene dividiendo por
Ruffini:
1 +8 +17 +9 +9 +17 +8 +1
↓
-1 -1 -7 -10 +1 -10 -7 -1
1 +7 +10 -1 +10 +7 +1 0
El otro factor es:
E1
= x6
+ 7x5
+ 10x4
- x3
+ 10x2
+ 7x + 1
Este es un polinomio recíproco, al que aplicare-
mos el método de factorización recíproca:
1 1 1
E1
= x3
[(x3
+ –– )+ 7(x2
+ –– )+ 10(x + –– )- 1]
x3
x2 x
haciendo:
1
x + –– = a
x
1 1
x2
+ –– = a2
- 2 x3
+ –– = a3
- 3a
x2
x3
E1
= x3
(a3
- 3a + 7a2
- 14 + 10a - 1)
E1
= x3
(a3
+ 7a2
+ 7a - 15)
llamando:
E2
= a3
+ 7a2
+ 7a - 15
factorizando por divisiones sucesivas; para a = 1,
P(1) = 0; luego un factor es (a - 1) y dividiendo
por Ruffini:
1 +7 +7 -15
↓
1 +1 +8 +15
1 +8 +15 0
El otro factor es:
a2
+ 8a + 15 = (a + 3)(a + 5)
Luego:
E2
= a3
+ 7a2
+7a - 15 = (a - 1)(a + 3)(a + 5)
por lo tanto:
E1
= x3
(a - 1)(a + 3)(a + 5)
reponiendo el valor de a:
1 1 1
E1
= x3
(x + –– - 1)(x + –– + 3)(x + –– + 5)
x x x
efectuando:
x2
- x + 1 x2
+ x + 3x x2
+ 1 + 5x
E1
= x3
(–––––––––)(––––––––––)(––––––––––)
x x x
- 158 -
α
α α

Á L G E B R A
- 159 -
Simplificando:
E1
= (x2
- x + 1)(x2
+ 3x + 1)(x2
+ 5x + 1)
finalmente:
E = (x + 1)(x2
- x + 1)(x2
+ 3x + 1)(x2
+ 5x + 1)
E.5) FACTORIZACIÓN SIMETRICA Y
ALTERNADA
POLINOMIO SIMETRICO.- Se dice que un poli-
nomio es simétrico respecto a sus variables cuan-
do su valor no se altera por el intercambio de
cualquier par de ellas y además es homogéneo.
P(x,y,z) = z2
(x + y) + y2
(x + z) + x2
(y + z) + 2xyz
Nótese que la expresión sigue una forma circular
o cíclica:
z
x y
intercambiando dos cualquiera de sus variables
sean éstas “x” ó “y”, es decir reemplazando a “x”
por “y” y a “y” por “x”, se tiene:
P(x,y,z) = z2
(y + x)+ x2
(y + z) +y2
(x + z) +2y . xz
ordenando en forma circular:
P(x,y,z) = z2
(x + y) + y2
(x + z) +x2
(y + z) + 2xyz
se obtiene la misma expresión, entonces la expre-
sión es simétrica.
REPRESENTACIÓN DE EXPRESIONES SIMÉTRICAS
Con dos variables: x, y.
Forma particular Forma general
1er.Grado x + y A(x + y)
2do.Grado x2
+ xy +y2
A(x2
+ y2
) + Bxy
3er.Grado x3
+ x2
y + xy2
+ y3
A(x3
+y3
)+B(x2
y+xy2
)
Con tres variables: x, y, z.
Forma particular Forma general
1er.Grado x + y + z A(x + y + z)
2do.Grado x2
+ y2
+ z2
+ xy + xz + yz A(x2
+y2
+ z2
) + B(xy + xz + yz)
3doGrado x3
+ y3
+ z3
+ x2
y + x2
z A(x3
+ y3
+ z3
) + B(x2
y + x2
z + y2
z + y2
x + z2
x + z2
y)
+ y2
z + y2
x + z2
x + z2
y + xzy + Cxyz

- 160 -
α
α α
PROPIEDAD FUNDAMENTAL DE UN POLI-
NOMIO SIMÉTRICO.- Las operaciones de un poli-
nomio simétrico con expresiones simétricas dan
como resultado también expresiones simétricas.
POLINOMIO ALTERNO.- Se dice que un poli-
nomio es alterno respecto a sus variables, cuan-
do su signo se altera pero no su valor absoluto al
intercambiar un par cualquiera de ellas, y es
homogéneo.
Ejemplo:
Sea el polinomio:
P(x,y,z) = x2
(z - y) + y2
(x - z) + z2
(y - x)
El polinomio sigue una forma circular o cíclica:
y
z x
intercambio “x” e “y”, se tiene:
y2
(z - x) + x2
(y - z) + z2
(x - y)
cambiando de signos:
-y2
(x - z) - x2
(z - y) - z2
(y - x)
-[x2
(z - y) + y2
(x - z) + z2
(y - x)]
o también: -P(x,y,z)
Por lo tanto, el polinomio es alterno.
PROPIEDADES FUNDAMENTALES DE UN POLI-
NOMIO ALTERNO.
(1) No hay expresiones alternas que contengan más
de dos variables y sean de primer grado.
(2) Generalmente los polinomios alternos son circu-
lares o cíclicos y están escritos en forma de dife-
rencia.
(3) El producto de una expresión simétrica por una
alterna da como resultado una expresión alterna.
PROPIEDADES DE LOS POLINOMIOS
SIMÉTRICOS Y ALTERNOS.
(1) Una expresión simétrica o alterna de variables
x,y,z, si es divisible entre “x”, entonces también
será divisible entre “y”, y entre “z”.
(2) Una expresión simétrica o alterna de variables
x,y,z, si es divisible entre (x ± y), entonces tam-
bién será divisible entre (y ± z) y (z ± x).
FACTORIZACIÓN DE UN POLINOMIO
SIMÉTRICO Y ALTERNO.
1º Se averigua si el polinomio es simétrico o alter-
no.
2º Encontrar los factores de la expresión aplican-
do el Teorema del Resto y ampliarlo aplicando
las propiedades del polinomio simétrico y
alterno.
3º Calcular el cociente, planteando la identidad
de 2 polinomios y aplicando el criterio de los
valores numéricos.
(x - y)3
+ (y - z)3
+ (z - x)3
Solución:
1) Intercambiando “x” por “y” la expresión es
alterna.
2) Cálculo de los factores.
Valor numérico para x = y :
(y - y)3
+(y - z)3
+(z - y)3
= (y - z)3
+[-(y - z)]3
= (y - z)3
- (y - z)3
= 0
∴ El polinomio es divisible entre (x - y).
Por ser el polinomio alterno, también será divisi-
ble entre los factores obtenidos en forma circular
en el sentido indicado.
x
z y

Es decir: (y - z), (z - x).
∴ El polinomio es divisible entre el producto:
(x - y)(y - z)(z - x).
3) Se plantea la identidad de polinomios siguiente:
(x - y)3
+ (y - z)3
+ (z - x)3
144442444443
3er.Grado
≡ (x - y)(y - z)(z - x) Q
1442443 . 14243
3er.Grado Grado cero
Por ser el polinomio de tercer grado, Q debe ser
de grado cero, es decir debe ser un número:
(x-y)3
+(y-z)3
+(z-x)3
≡ Q(x - y)(y - z)(z - x)
Probemos un juego de valores para x,y,z.
Para x = 1, y = 2, z = 3:
(1 - 2)3
+(2 - 3)3
+(3 - 1)3
= Q(1 - 2)(2 - 3)(3 - 1)
(-1)3
+ (-1)3
+ (2)3
= Q (-1)(-1)(2)
-1 - 1 = 8 = Q(2)
3 = Q
la expresión factorizada es finalmente:
3(x - y)(y - z)(z - x)
1.- Factorizar:
E = (a3
+ b3
)(a-b)+(b3
+ c3
)(b-c) + (c3
+ a3
)(c-a)
Solución:
1) Intercambiando a por b, el polinomio es alterno.
2) Para a = 0:
-b4
+ (b3
+c3
)(b - c) + c4
≠ 0
(no hay factores monomios)
3) Para a = b:
(b3
+ c3
)(b - c) + (b3
+ c3
)(c - b) = 0
Como se anula, entonces un factor es (a - b), y
como es alterno, los otros factores siguen un
orden circular, en el sentido indicado, es decir:
a
(b - c)
(c - a)
c b
4) El polinomio es de 4to.grado y los factores
obtenidos dan producto de 3er.grado, por lo
que hace falta un polinomio de primer grado
simétrico y de tres variables de la forma:
M(a + b + c)
Realizando la identidad de polinomios:
E = (a3
+ b3
)(a - b) + (b3
+ c3
)(b - c)
+ (c3
+ a3
)(c-a) ≡ M(a+b+c)(a-b)(b-c)(c-a)
Dando valores para a = 1, b = 0, c = 2, se obtiene:
1 - 16 + 9 = M(3)(1)(-2)(1)
∴ M = 1
finalmente:
E = (a + b + c)(a - b)(c - a)(b - c)
2.- Factorizar:
E = (a + b)5
- a5
- b5
Solución:
1) Intercambiando “a” y “b” el polinomio, es
simétrico.
2) Para a = 0; V.N.P. = 0, un factor es “a” y el otro
“b” por propiedad de polinomios simétricos.
3) Para a = -b. V.N.P. = 0; otro factor es (a + b).
4) El polinomio es de 5to. grado y ab(a + b) es de
3er. grado, falta un polinomio simétrico de
2do. grado de dos variables de la forma:
M(a2
+ b2
) + Nab
Á L G E B R A
- 161 -

- 162 -
α
α α
realizando la identidad de polinomios:
E = (a + b)5
- a5
- b5
= a . b(a+b){M(a2
+ b2
) + Nab}
dando valores para a = 1, b = 1:
32 - 1 - 1 = 1(2)(2M + N)
2M + N = 15 (I)
para a = 1, b = 2:
243 - 1 - 32 = 2(3) (5M + 2N)
5M + 2N = 35 (II)
resolviendo (I) y (II), para lo cual operamos
(I) (-2) + (II):
-4M - 2N = -30
5M +2N = 35
–––––––––––––
M = 5
10 + N = 15
N = 5
E = ab(a + b)[5(a2
+ b2
) + 5ab]
E = 5ab(a + b)(a2
+ b2
+ ab)
3.- Factorizar:
E = (a + b + c)4
- (b + c)4
- (a + c)4
- (a + b)4
+ a4
+ b4
+ c4
Solución:
i) Intercambiando a por b, el polinomio es simé-
trico.
ii) Haciendo a = 0, se obtiene:
E = (b + c)4
-(b + c)4
- c4
- b4
+ b4
+ c4
= 0
Luego, “a” es un factor; y los otros, “b” y “c”.
iii) El producto abc es de tercer grado y como el
polinomio es de cuarto grado, se necesita un
polinomio simétrico de primer grado y de tres
variables de la forma M(a + b + c).
Realizando la identidad de polinomios:
E = (a + b + c)4
- (b + c)4
- (a + c)4
- (a + b)4
+ a4
+ b4
+ c4
≡ Mabc(a + b + c)
dando valores a = 1, b = 2, c = -1:
(1 + 2 - 1)4
- (2 - 1)4
- (1 - 1)4
- (1 + 2)4
+ (1)4
+ (2)4
+ (-1)4
= M(1)(2)(-1)(1 + 2 - 1)
16 - 1 - 81 + 1 + 16 + 1 = -4M
M = 12
entonces, finalmente:
E = 12(abc)(a + b + c)
4.- Factorizar:
E = m3
(n - p) + n3
(p - m) + p3
(m - n)
Solución:
1) Intercambio n por p, el polinomio es alterno.
2) Cálculo de los factores. Para n = p:
VE
= m3
(p - p) + n3
(p - m) + n3
(m - p)
VE
= 0 + n3
(p - m) + n3
[-(p - m)]
VE
= n3
(p - m) - n3
(p - m) = 0
Luego, E es divisible por “n - p”.
Por ser el polinomio alterno, también será divisi-
ble entre los factores obtenidos en forma circular
en el sentido indicado.
n
m p
es decir: (p - m), (m - n).
Luego, E es divisible entre:(n - p)(p - m) (m - n)
3) E = Q (n - p)(p - m)(m - n)
123 123 14444424444443
4° 1° 3°

Por ser el polinomio de cuarto grado, Q debe ser
de primer grado y de la forma A(m + n + p); es
decir: simétrico, de primer grado y 3 variables:
m3
(n - p) + n3
(p - m) + n3
(m - n)
≡ A(m + n + p)(n - p)(p - m)(m - n)
Dando un juego de valores m = 1, n = 2, p = 3.
(1)3
(2 - 3) + 23
(3-1) + 33
(1 - 2)
= A(1 + 2 + 3)(2 - 3)(3 - 1)(1 - 2)
(1)(-1) +8(2) +27(-1) = A(6)(-1)(2)(-1)
-1 + 16 - 27 = 12A
∴ A = -1
El polinomio factorizado es, por lo tanto:
E = -(m + n + p)(n - p)(p - m)(m - n)
E.6) OTROS ARTIFICIOS.
Cualquier otro artificio matemático dependera
del cuidado,ingenioy atención que ponga el
operador para introducirla.
1.- Factorizar:
E = x6
+ 21x4
+ 119x2
- 1
Solución:
En este ejercicio, se trata de hallar dos trinomios
cuadrados perfectos. Se puede escribir la expre-
sión como:
E = x6
+ 22x4
+ 121x2
- (x4
+ 2x2
+ 1)
factorizando:
E = (x3
+ 11x)2
- (x2
+ 1)2
E = (x3
+ 11x + x2
+ 1)(x3
+ 11x - x2
- 1)
finalmente:
E = (x3
+ x2
+ 11x + 1)(x3
- x2
+ 11x - 1)
2.- Factorizar:
E = 4x4
+ 4xy2
- y4
+ 1
Solución:
Se trata de obtener dos trinomios cuadrados per-
fectos, sumando y restando 4x2
:
E = (4x4
+ 4x2
+ 1) - (4x2
- 4xy2
+ y4
)
factorizando:
E = (2x2
+ 1)2
- (2x - y2
)2
E = (2x2
+ 1 + 2x - y2
)(2x2
+ 1 - 2x + y2
)
finalmente:
E = (2x2
+ 2x - y2
+ 1)(2x2
- 2x + y2
+ 1)
3.- Factorizar: x3
+ y3
- 3xy + 1
Solución:
Sumando y restando: 3x2
y, 3xy2
:
E = (x3
+ 3x2
y + 3xy2
+ y3
) + 1- 3xy - 3x2
y - 3xy2
Se puede reescribir así:
E = (x + y)3
+ 13
- 3xy(x + y + 1)
E =[(x+y) +1][(x+y)2
- (x +y)+1] -3xy(x + y + 1)
factorizando (x + y + 1):
E =(x + y + 1)(x2
+ 2xy + y2
- x - y + 1 - 3xy)
E =(x + y + 1)(x2
- xy + y2
- x - y + 1)
4.- Factorizar:
(1 + x + x2
+ x3
+ x4
+ x5
)2
- x5
Solución:
Escribiendo como cociente notable:
1 - x6 2
E =
(–––––––
)- x5
1 - x
Á L G E B R A
- 163 -

- 164 -
1. Hallar “a” para que los polinomios tengan un fac-
tor común:
x3
-ax2
+ 19b - a - 4 ; x3
- (a + 1)x2
+ 23x - a - 7
a) 0 b) 4 c) 8
d) 3 e) -1
2. Indicar la suma de los coeficientes de un factor de:
x(x + a)(x + 1)(x2
+ a)
+ (2x2
+ x + a)(x2
- 2x + a)(x2
+ x + 2a)
a) 2 + a b) 1 + a c) 2(1 + a)
d) 2(a) e) (2 - a)
3. Calcular el número de factores de la siguiente
expresión:
{(x + b)2
+ b2
}2
(x2
- a2
) + 4x2
y2
(x + b)2
a) 2 b) 6 c) 8
d) 4 e) 3
4. Indicar el grado de uno de los factores de:
x5
- 2x3
- x + 1
a)1 b) 3 c) 4
d) 5 e) No se puede factorizar
5. Indicar uno de los factores de la siguiente expre-
sión:
(a + b + c)(b + c - a)(c + a - b)(a + b - c)
+ 2(a4
+ b4
+ c4
)
a)(a2
+ b2
+ c2
) b) (ab + ac + bc)
c)(a + b + c) d) No posee factores
e) abc
6. Indicar el coeficiente de x2
de uno de los factores de:
x(x + 2)(x2
+ 2x - 8)(x2
+ 2x - 3)
+ 35(x2
+ 2x + 2)2
a) 0 b) 1 c) 2
d) 5 e) 7
7. Calcular el valor numérico de uno de los factores
para x = 1.
x7
+ x6
- x5
+ x3
+ 2x2
- 1
a) 4 b) 3 c) 2
d) -1 e) 0
8. Calcular el coeficiente de “x2
” en uno de los fac-
tores de:
x12
- 2x4
- 2x2
- 3
a) 2 b) 1 c) -1
d) -2 e) 0
común denominador:
(1 - x6
)2
- x5
(1 - x)2
E = ––––––––––––––––––
(1 - x)2
efectuando el numerador:
1 - 2x6
+ x12
- x5
+ 2x6
- x7
E = –––––––––––––––––––––––
(1 - x)2
reduciendo, agrupando y factorizando:
(1 - x5
) - x7
(1 - x5
)
E = –––––––––––––––––
(1 - x)2
(1- x5
)(1 - x7
) 1- x5
1 - x7
E = ––––––––––––– =
(––––––
)(––––––
)
(1 - x)2
1 - x 1 - x
desarrollando por cocientes notables:
E =(1 + x + x2
+ x3
+ x4
)(1 + x + x2
+ x3
+ x4
+ x5
+ x6
)
α
α α

9. Calcular el término independiente de uno de los
factores de:
(x - 5)(x - 7)(x + 6)(x + 4) - 504
a) 9 b) 18 c) 6
d) 2 e) 12
10. Determinar “a” y “b” para que los polinomios ten-
gan un factor común de la forma: x2
+ px + q:
x3
+ ax2
+ 11x + 6 ; x3
+ bx2
+ 14x + 8
a) a = 6 b) a = 7 c) a = 5
b= 7 b = 6 b = 6
d) a= 6 e) a = 4
b = 5 b = 8
11. Indicar la suma de los coeficientes de un factor de:
(x4
+ 3x2
+ 1)2
+ (2x2
+ 3)2
a) 5 b) 10 c) 3
d) 2 e) 4
12. Calcular el grado de uno de los factores de:
x3
y(zx - y2
) +y3
z(xy - z2
) + z3
x(yz - x2
)
a) 5 b) 4 c) 3
d) 2 e) 1
13. Calcular la suma de los coeficientes de un factor
de:
a3
bxy + b2
a2
y2
- a2
b2
x - 2ab3
xy + a2
x2
y2
+ abxy3
- abx3
y - b2
x2
y2
a) (ab + 1) b) a2
+ b2
c) a2
- b2
d) 2 e) 0
14.Dar el término independiente de uno de los fac-
tores de 1er. grado de la expresión:
4-4(y + 3)2
-(y +4)(y + 2)3
+ 13(y + 4)3
(y + 2)
a) 1 b) 3 c) 10
d) 6 e) 15
expresión:
(a2
x2
+ 1)(a2
x2
+ 2)(a2
x2
- 3)(a2
x2
- 4) - 36
a) 2 b) 4 c) 3
d) 5 e) 6
32(a2
+ 4)5
- (a2
+ 5)5
- (a2
+ 3)5
a) 4 b) 5 c) 3
d) 1 e) No se puede factorizar
de:
2p(x2
+ y2
- xy) - p2
(x - y) - (x - y)(x2
+ y2
)
a) p b) p + 1 c) 2p + 1
d) 2p - 1 e) p + 2
expresión:
(4b2
c2
- 2ab2
c + a4
)2
- (4a2
- bc - a3
b)2
a) 8 b) 7 c) 5
d) 4 e) 3
19. Calcular la suma de los coeficientes de un factor de:
x10
- 10x6
+ 24x2
+ 14x - 49
a) 2 b) 1 c) -2
d) -4 e) 0
(x3
+ x2
y2
+ y3
)3
- (x3
+ x3
y3
+ y3
)2
a) 3 b) 5 c) 4
d) 6 e) 8
Á L G E B R A
- 165 -

- 166 -
factores de:
(x + 1)(x - 3)(x + 4)(x - 6) + 38
a) 2 b) -5 c) 3
d) 9 e) 1
22. Cuántos factores posee la expresión:
(x3
- y3
+ 3xy2
+ 6x2
y)3
+ (y3
- x3
+ 3xy2
+ 6y2
x)3
a) 8 b) 6 c) 4
d) 2 e) 5
de:
x6
+ x5
+ x4
+ x3
+ 2x2
+ 2x + 1
a) 3 b) 2 c) 0
d) 1 e) -1
24. Indicar el coeficiente de “x” en uno de los fac-
tores de:
x5
- x4
+ 2x2
- 2x + 1
a) 1 b) -1 c) 2
d) -2 e) 0
de:
x3
+ y3
- 3xy + 1
a) -1 b) +1 c) 2
d) 0 e) -3
26. ¿Cuál es el valor de “a” para que la expresión:
10x2
+ (a + 3)xy - (a - 7)y2
- x + (a - 3)y - 2
pueda descomponerse en dos factores?
a) 2 b) 10 C) 4
d)8 e) 6
27. Señalar la suma de los coeficientes de un factor
de:
(a - b)2
(a - c)2
+ (c - a)2
(c - b)2
+ (b - c)2
(b - a)2
a) 0 b) 2 c) -1
d) 1 e) 3
28. Señalar la suma de los coeficientes de un factor
de:
x3
(z - y2
) + y3
(x - z2
) + z3
(y - x2
) + xyz(xyz - 1)
a) 3 b) 2 c) -1
d) 1 e) 0
29. Calcular el coeficiente de ‘x” en uno de los fac-
tores de:
(x - 3)2
(x - 5)(x - ) - 5{(x - 4)(x - 2) + 3}
a) -12 b) 2 c) 3
d) 8 e) 4
de:
a5
+ b5
+ ab (a + b)(a2
+ b2
)
a) -2 b) 3 c) -1
d) -3 e) 0
31. Calcular el número de factores de:
x6
+ 5x2
- 6x4
+ 2x3
- 6x + 1
a) 6 b) 5 c) 4
d) 3 e) 2
32. Calcular la suma de los coeficientes de un fac-
tor de:
xy4
- x4
y + zy4
+zx4
+ yz4
+ xz4
a) 2 b) 4 c) 6
d) 3 e) 1
α
α α

factores de:
(x2
+ 2)(x2
+ 4)(x2
+ 5)(x2
+7) - 46x2
(x2
+ 9) -361
a) 80 b) 1 c) 2
d) 3 e) 9
de:
4(2x + 1)(x + 1)(2x + 3)(x + 2) - 3
a) 23 b) 20 c) 14
d) 2 e) 4
x6
(y3
- z3
) + y6
(z3
- x3
)+z6
(x3
- y3
)
a) 9 b) 6 c) 3
d) 4 e) 5
36. Calcular la suma de los coeficientes de uno de
los factores:
(2a2
+ 3ab - b2
)2
- 4(a2
- b2
)(a2
+ 3ab + 2b2
)
a) 2 b) 1 c) 0
d) -1 e) 3
de:
m(m2
+ mn - 1) - n(n2
+ mn - 1)
a) 3 b) -1 c) 2
d) -2 e) -3
de:
(x2
+ y + 1)3
- (x2
+ 1)(x2
- 3y + 1)2
a) a + 1 b) a + 2 c) 3a - 1
d) 1 e) 0
39. Calcular el grado de uno de los factores de:
x17
+ x2
+ 2x + 2
a) 3 b) 15 c) 7
d) 5 e) 4
40. Dar el término independiente del factor de 1er.
grado de:
(2x +1)3
+ (2x+2)3
+(2x+3)3
+.…(2n -1)terminos
a) n b) 2n c) 2n - 1
d) 2n + 1 e) n3
41. Señalar un factor de la expresión:
(z12
- x6
)(x4
- y6
) + (x4
- z8
)(x6
- y4
)
a) x2
y3
+ y4
z3
+ x4
z2
b) x2
y3
+ y3
z4
+ x2
z4
c) x2
y3
+ y2
z6
+ x3
z3
d) x2
y6
+ y3
z4
+ x2
z4
e) x2
y4
+ y3
z5
+ x4
z4
42. Reconocer la suma de los factores de la expre-
sión:
(x2
- z2
+ y2
+ 2xy + 1)2
- 4(x + y)2
a) 3(x + y + z) b) 4(x + y)
c) x + y + z d) x + y - z
e) x + y + 1
43. Factorizar:
(x3
+ z3
)3
y3
+ (x3
- y3
)z3
y dar el número de factores:
a) 6 b) 3 c) 5
d) 4 e) 9
44.Calcular la suma de los coeficientes de un factor
de:
(y + z - 2x)4
+ (z + x - 2y)4
+ (x + y - 2z)4
Á L G E B R A
- 167 -

- 168 -
a) 1 b) 6 c) -1
d) 3 e) 0
(x - a)3
(b - c)3
+ (x - b)3
(c - a)3
+ (x - c)3
(a - b)3
a) 6 b) 5 c) 2
d) 3 e) 4
46. Señalar un factor de:
6x2
+ 7xy - 5y2
+ 6xz + 23yz - 12z2
+ 5x - 22y
+ 37z - 21
a) 3x - 5y + 3x - 7 b) 2x + y + 4z -3
c) 3y - 5x - 3z + 7 d) 2x - y + 4z -3
e) 3x - 5y - 3z -7
47. Señalar un factor de:
14a2
b2
+ abcd - 3c2
d2
- 31abef + 17cdef
-10e2
f2
- 22ab + 3cd + 16ef + 8
a) 7ab + 3cd + 2ef - 4 b) 2ab + cd + 5ef + 2
c) 2ab + cd - 5ef -2 d) 7ab - 3cd - 2ef + 4
e) 2ab - cd - 5ef - 2
48. Calcular un factor de:
a3
x3
+ a2
x2
b + a2
x2
c + a2
x2
d + abcx + abdx
+ acdx + bcd
a)(ax + b2
) b) ax + c2
c) ax + d d) bx + a
e) bx + c
49. Determinar cuántos factores tiene:
4x3
y2
z2
+ 6x4
y2
z + 10x4
y2
z3
- 2x2
y3
z4
- 9x3
y3
z3
- 5x3
y3
z3
a) 2 b) 3 c) 4
d) 5 e) 6
50. Marcar un factor en:
a3
(b + c) - c2
(a2
+ b2
) + ab2
(a + b + c) + b4
a) a + b b) a2
+ c2
c) a + b + c
d) a + b - c e) a + c
CLAVE DE RESPUESTAS
1) C 2) A 3) D 4) B 5) A 6) C 7) B 8) B 9) C 10) A
11) B 12) D 13) A 14) E 15) C 16) A 17) A 18) D 19) A 20) A
21) B 22) B 23) A 24) B 25) D 26) B 27) A 28) E 29) A 30) B
31) B 32) C 33) A 34) A 35) B 36) A 37) A 38) C 39) B 40) A
41) B 42) B 43) E 44) E 45) A 46) D 47) C 48) C 49) C 50) D
α
α α

Á L G E B R A
- 169 -
MÁXIMO COMÚN DIVISOR Y
MÁXIMO COMÚN DIVISOR Y
MÍNIMO COMÚN MUL
MÍNIMO COMÚN MULTIPLO
TIPLO
MÁXIMO COMÚN DIVISOR
De dos o más expresiones algebraicas, es la expresión
de mayor grado posible que está contenida como fac-
tor, un número entero de veces en dichas expre-
siones. Para determinar el Máximo Común Divisor
se factoriza las expresiones y se forma EL PRODUC-
TO DE LOS FACTORES COMUNES CON SU
MENOR EXPONENTE.
MÍNIMO COMÚN MULTIPLO
De dos o más expresiones algebraicas, es la expresión
de menor grado posible que contenga un número
entero de veces como factor a dichas expresiones.
Para determinar el Mínimo Común Múltiplo se fac-
toriza las expresiones y se forma EL PRODUCTO DE
LOS FACTORES COMUNES Y NO COMUNES
CON SU MAYOR EXPONENTE.
1.- Hallar el Máximo Común Divisor y el Mínimo
Común Múltiplo de:
A = x5
- ax4
- a4
x + a5
B = x4
- ax3
- a2
x2
+ a3
x
Solución:
En A:
A = x4
(x - a) - a4
(x - a)
extrayendo factor común y desarrollando x4
- a4
:
A = (x - a)(x2
+ a2
) (x + a)(x - a)
A = (x - a)2
(x2
+ a2
)(x + a)
En B; extrayendo factor común:
B = x(x3
- ax2
- a2
x + a3
)
B = x[x2
(x - a) - a2
(x - a)]
B = x(x - a)(x + a)(x - a)
B = x(x - a)2
(x + a)
Máximo Común Divisor (A,B)
(x - a)2
(x + a)
Mínimo Común Múltiplo (A,B) :
x(x - a)2
(x + a)(x2
+ a2
)
2.- Hallar el M.C.D. y el m.c.m. de:
A = x2
(x2
+ 2y2
) + (y2
+ z2
)(y + z)(y - z)
B = (x2
+ y2
)(x2
+ y2
+ 2z2
) + z4
C = x4
+ 2x2
z2
+ z4
- y4
Solución:
Factorizando separadamente cada expresión:
Expesión A:
A = x4
+ 2x2
y2
+ (y2
+ z2
)(y2
- z2
)
A = (x4
+ 2x2
y2
+ y4
) - z4
= (x2
+ y2
)2
- (z2
)2
A = (x2
+ y2
+ z2
)(x2
+ y2
- z2
)

Expresión B:
B = (x2
+ y2
)2
+ 2z2
(x2
+ y2
) + z4
B = (x2
+ y2
+ z2
)2
Expresión C:
C = (x4
+ 2x2
z2
+ z4
) - y4
= (x2
+ z2
)2
- (y2
)2
C = (x2
+ z2
+ y2
)(x2
+ z2
- y2
)
M.C.D. (A,B,C) = x2
+ y2
+ z2
m.c.m.(A,B,C)= (x2
+y2
+ z2
)2
(x2
+y2
- z2
)(x2
+z2
-y2
)
3.- Hallar el M.C.D. y el m. c.m de:
A = x3
+ 5x2
+ 8x + 4
B = x3
+ 3x2
- 4
C = x3
+ 6x2
+ 12x + 8
Solución:
Factorizando cada expresión:
A = (x3
+ 2x2
) + (3x2
+ 8x + 4)
factorizando por aspa simple el segundo paréntesis;
3x +2
x +2
A = x2
(x + 2) + (3x + 2)(x + 2)
= (x + 2)(x2
+ 3x + 2)
factorizando por aspa simple el segundo paréntesis:
x +2
x +1
A = (x + 2)(x + 1)(x + 2) = (x + 1)(x + 2)2
Expresión B:
B = x3
+ 3x2
- 4 = x3
- x2
+ 4x2
- 4
factorizando por parejas:
B = x2
(x - 1) + 4(x2
- 1)
B = x2
(x - 1) + 4(x + 1)(x - 1)
B = (x - 1)(x2
+ 4x + 4) = (x - 1)(x + 2)2
Expresión C:
C = x3
+ 6x2
+ 12x + 8 = (x3
+ 8) + (6x2
+ 12x)
C = (x3
+ 23
) + (6x2
+ 12x)
C = (x + 2)(x2
- 2x + 4) + 6x(x + 2)
C = (x + 2)(x2
-2x+4 + 6x) =(x + 2)(x2
+ 4x + 4)
C = (x + 2)(x + 2)2
C = (x + 2)3
De esta manera:
M.C.D. (A,B,C) = (x + 2)2
m.c.m. (A,B,C) = (x + 2)3
(x + 1)(x - 1)
4.- Hallar el M.C.D. y el m.c.m. de:
A = 4x4
+ 4ax3
- 36a2
x2
+ 44a3
x - 16a4
B = 6x4
- 6ax3
- 18a2
x2
+ 30a3
x - 12a4
Solución:
Expresión A:
Factorizando por aspa doble especial:
4x2
-8ax +4a2
x2
+3ax -4a2
A = (4x2
- 8ax + 4a2
)(x2
+ 3xa - 4a2
)
para factorizar el segundo paréntesis se desdobla
3xa = 4xa - xa:
- 170 -
α
α α

A = 4(x2
- 2ax + a2
) (x + 4a)(x - a)
A = 4(x - a)2
(x + 4a)(x - a)
A = 4(x - a)3
(x + 4a)
Expresión B:
B = 6x4
- 6ax3
- 18a2
x2
+ 30a3
x - 12a4
Se factoriza 6 y luego el resto se factoriza por
doble aspa:
x2
+ax -2a2
x2
-2ax +a2
B = 6(x2
+ ax - 2a2
)(x2
- 2xa + a2
)
B = 6(x + 2a)(x - a)(x - a)2
= 6(x + 2a)(x - a)3
M.C.D. (A.B) = 2(x - a)3
m.c.m. (A,B) = 12(x - a)3
(x + 2a)(x + 4a)
Á L G E B R A
- 171 -
1. Hallar el M.C.D. de los polinomios:
A = x4
+ 3x3
- 10x2
+ 7x - 1
B = x4
- 8x3
+ 17x2
- 8x + 1
C = x3
- 6x2
+ 6x - 1
a) x2
+ 5x +1 b) x2
- 5x -1 c) x2
- 5x + 1
d) x2
+ x + 1 e) x2
- x + 1
A = 2x4
+ 3x3
-13x2
+ 13x - 21
B = 2x3
- 5x2
+ 5x - 6
a) x2
+ x - 3 b) x2
- x + 3 c) 2x2
+ x + 3
d) 2x2
- x + 3 e) 2x2
+ 2x + 3
3. Hallar el M.C.D. de:
A = x5
+ 3x4
+ 6x3
+ 4x2
+ 8x + 5
B = x4
+ 2x3
+ 3x2
- 2x + 5
a) x2
+ x + 5 b) x2
- 3x + 5 c) x2
+ 3x + 5
d) x3
+ x + 1 e) x2
- x + 1
A = x5
+ x + 1 ; B = x8
+ x4
+ 1 ; C= x6
- 1
a) x2
- x + 1 b) x2
+ x - 1 c) x2
- x - 1
d) x2
+ x + 1 e) x3
+ x + 1
A = x12
- y12
; B= x8
- y8
; C = x20
- y20
a) x + y b) x - y c) x2
+ y2
d) x2
- y2
e) x2
+ xy + y2
A = x4
- 3x3
- 10x2
+ 7x - 1
B = x4
- 8x3
+ 17x2
- 8x + 1
C = x4
- 6x2
+ 6x - 1
a) x2
+ 5x - 1 b) x2
- 5x + 1 c) x - 1
d) x + 1 e) x2
- x + 1
7. Sabiendo que el M.C.D. de los polinomios:
2x3
- x2
+ 3x + m , y , x3
+x2
+ n es x2
- x + 2
hallar el valor de m + n.

- 172 -
a) 2 b) 4 c) 6
d) 8 e) 10
8. El producto de dos expresiones es (x2
- 1)2
y el
cociente de su m.c.m. y su M.C.D. es (x - 1)2
.
Hallar el M.C.D.
a) x2
- 1 b) x2
+ 1 c) x - 1
d) x + 1 e) (x + 1)2
9. Hallar el cociente entre el M.C.D. absoluto y el
M.C.D. relativo de los polinomios:
6x3
+ x2
- 4x + 1 y 4x3
- 4x2
+ 3x - 1
a) 64/49 b) 49/64 c) 35/49
d) 49/25 e) 1/49
10. Si x + y + z + w = 0 hallar el m.c.m. de:
A = xyz2
- y2
zw - x2
zw + xyw2
B = (yzw + zwx + wxy + xyz)2
a) (xz - yw)(yz - xw)2
(x + w)2
b) (xw - yz)(xz - yz)(xy - zw)
c) (zw - xy)(xz - yw)(yz - xw)
d) Faltan datos
e) Ninguna de las anteriores
CLAVE DE RESPUESTAS
1) C 2) D 3) C 4) D 5) D
6) B 7) C 8) D 9) A 10) A
α
α α

FRACCIONES ALGEBRAICAS
PRINCIPALES CONCEPTOS
DEFINICIÓN.-
Una fracción algebraica es aquella expresión que
tiene por lo menos una letra en el denominador.
Ejemplos:
1 2x2
+ 3y4
i) –– ii) ––––––––––
x x - z
iii) 4x-2
y4
z5
SIGNOS DE UNA FRACCIÓN
En una fracción se halla tres signos:
1) Signo del numerador
2) Signo del denominador
3) Signo de la fracción
CAMBIOS DE SIGNO EN UNA FRACCIÓN
1) Cuando no hay factores indicados.
En toda fracción, se puede cambiar dos de sus
tres signos y la fracción no se altera. Así:
+a -a +a -a
F = + ––
– = - ––
– = - ––
– = + ––
–
+b +b -b -b
a - b
Ejemplo: Simplificar: E = –––––
b - a
Solución:
Cambiando de signo a la fracción y al numerador:
-(a - b) -a + b (b - a)
E = - –––––– = - –––––– = - –––––– = -1
b - a b - a (b - a)
2) Cuando la fracción tiene factores indicados.
En toda fracción, si se cambia de signo a un
número par de factores, la fracción no se altera; si
se cambia de signo a un número impar de fac-
tores, la fracción sí cambia de signo. Así:
Ejemplos:
i) Simplificar:
(a - b)(a - c)
E = –
–––––––––––
(b - a)(c - a)
Solución:
Cambiando de signo a un factor del numerador y
a un factor del denominador, se obtiene:
(b - a)(a - c)
E = –––––––––––– = +1
(b - a)(a - c)
ii) Simplificar:
1 1
E = ––––––––––– + –––––––––––
(a - b)(a - c) (a - b)(c - a)
Solución:
Cambiando de signo al factor (c - a) en la segun-
da fracción, se obtiene:
1 1
E = ––––––––––– - ––––––––––– = 0
(a - b)(a - c) (a - b)(c - a)
Á L G E B R A
- 173 -

SIMPLIFICACIÓN DE FRACCIONES
Para simplificar una fracción, se factoriza el nume-
rador y el denominador y se elimina los factores co-
munes.
1.- Simplificar
x3
+ (2a + b)x2
+ (a2
+ 2ab)x + a2
b
––––––––––––––––––––––––––––––
x3
+ (a + 2b)x2
+ (b2
+ 2ab)x + ab2
Solución:
Efectuando operaciones indicadas:
x3
+ 2ax2
+ bx2
+ a2
x + 2abx + a2
b
––––––––––––––––––––––––––––––
x3
+ ax2
+ 2bx2
+ b2
x + 2abx + ab2
ordenando y factorizando:
x(x2
+ 2ax + a2
) + b(x2
+ 2ax + a2
)
–––––––––––––––––––––––––––––––
x(x2
+ 2bx + b2
) + a(x2
+ 2bx + b2
)
Cada paréntesis es un binomio al cuadrado y fac-
torizando:
(x + a)2
(x + b)
E = –––––––––––––
(x + b)2
(x + a)
simplificando:
x + a
E = –––––
x + b
2.- Simplificar:
ab(x2
+ y2
) + xy(a2
+ b2
)
–––––––––––––––––––––
ab(x2
- y2
) + xy(a2
- b2
)
Solución:
Efectuando operaciones indicadas:
abx2
+ aby2
+ a2
xy + b2
xy
–––––––––––––––––––––––
abx2
- aby2
+ a2
xy - b2
xy
factorizando:
ax(bx + ay) + by(ay + bx)
–––––––––––––––––––––––
ax(bx + ay) - by(ay + bx)
(bx + ay)(ax + by)
E = –––––––––––––––––
(bx + ay)(ax - by)
simplificando:
ax + by
E = –––––––
ax - by
3.- Simplificar:
n -2n
1 1
(a2
- ––
)(a - ––
)
b2
b
E = –––––––––––––––––––
-n 2n
1 1
(b2
- ––
)(b + ––
)
a2
a
Solución:
Factorizaremos las diferencias de cuadrados en el
primer paréntesis del numerador y denominador:
n -2n
1 1 1
[(a + ––
)(a - ––
)] (a - ––
)
b b b
E = ––––––––––––––––––––––––––––––
-n 2n
1 1 1
[(b + ––
)(b - ––
)] (b + ––
)
a a a
quitando corchetes:
n n -2n
1 1 1
(a + ––
)(a - ––
) (a - ––
)
b b b
E = ––––––––––––––––––––––––––––
-n -n 2n
1 1 1
(b + ––
) (b - ––
) (b + ––
)
a a a
efectuando:
n -n
1 1
(a + ––
) (a - ––
)
b b
E = –––––––––––––––––––
n -n
1 1
(b + ––
) (b - ––
)
a a
n -n n -n
1 1 ab + 1 ab - 1
a + –– a - –– –––––– ––––––
b b b b
E=
[––––––
][––––––
]=
[––––––
][––––––
]
1 1 ab + 1 ab - 1
b + –– b - –– –––––– ––––––
a a a a
n -n 0
a a a
E =
(––
)(––
) =
(––
)
b b b
E = 1
- 174 -
α
α α

4.- Simplificar:
(x + 1)(x2
- 9)(x - 5) + 27
E = –––––––––––––––––––––––
(x + 2)(x2
- 16)(x - 6) + 48
Solución:
Descomponiendo la diferencia de cuadrados:
(x + 1)(x + 3)(x - 3)(x - 5) + 27
E = ––––––––––––––––––––––––––––
(x + 2)(x + 4)(x - 4)(x - 6) + 48
(x + 1)(x - 3)(x + 3)(x - 5) + 27
E = ––––––––––––––––––––––––––––
(x + 2)(x - 4)(x + 4)(x - 6) + 48
efectuando los productos de dos en dos:
(x2
- 2x - 3)(x2
- 2x - 15) + 27
E = ––––––––––––––––––––––––––
(x2
- 2x - 8)(x2
- 2x - 24) + 48
haciendo x2
- 2x = y:
(y - 3)(y - 15) + 27 y2
- 18y + 45 + 27
E = ––––––––––––––––– = ––––––––––––––––
(y - 8)(y - 24) + 48 y2
- 32y + 192 + 48
y2
- 18y + 72 (y - 12)(y - 6) y - 6
E = ––––––––––––– = ––––––––––––– = ––––––
y2
- 32y + 240 (y - 20)(y - 12) y - 20
reponiendo valores de y:
x2
- 2x - 6
E = ––––––––––
x2
- 2x -20
5.- Simplificar:
(x2
+ 3xy - 4y2
)4
- (x2
- 3xy - 4y2
)4
E = –––––––––––––––––––––––––––––
(x2
+ 2y2
)4
- (x2
- 4y2
)4
- (6y2
)4
Solución:
Trabajando con el numerador que es una diferen-
cia de cuadrados:
N = [(x2
+ 3xy - 4y2
)2
+ (x2
- 3xy - 4y2
)2
]
[(x2
+ 3xy - 4y2
)2
- (x2
- 3xy - 4y2
)2
]
N = {[(x2
- 4y2
) + 3xy]2
+ [(x2
- 4y2
) - 3xy]2
}
{[(x2
- 4y2
) + 3xy]2
- [(x2
-4y2
) - 3xy]2
}
aplicando Legendre:
N = {2[(x2
- 4y2
)2
+ 9x2
y2
]} [4(x2
- 4y2
)(3xy)]
N = 24xy(x4
- 8x2
y2
+ 16y4
+ 9x2
y2
)(x + 2y)(x - 2y)
N = 24xy(x4
+ x2
y2
+ 16y4
)(x + 2y)(x - 2y)
D = (x2
+ 2y2
)4
- (x2
- 4y2
)4
- (6y2
)4
haciendo x2
+ 2y2
= m; 6y2
= n
D = m4
- (m - n)4
- n4
= (m4
- n4
) - (m - n)4
D = (m2
+ n2
)(m + n)(m - n) - (m - n)4
D = (m - n)[(m2
+ n2
)(m + n) - (m - n)3
]
D = (m - n)[(m3
+ m2
n + mn2
+ n3
- m3
+ 3m2
n - 3mn2
+ n3
)]
D = 2n(m - n)(2m2
- mn + n2
)
reemplazando por sus valores originales:
D = 2(6y2
)(x2
+ 2y2
- 6y2
)[2(x2
+ 2y2
)2
- (x2
+ 2y2
)(6y2
) + (6y2
)2
]
D = 12y2
(x2
- 4y2
)[2x4
+ 8x2
y2
+ 8y4
- 6x2
y2
- 12y4
+ 36y4
]
D = 24y2
(x2
- 4y2
)(x4
+ x2
y2
+ 16y4
)
Por lo tanto, observando el numerador y denominador:
N x
E = –– ; E = ––
D y
OPERACIONES CON FRACCIONES
ALGEBRAICAS
SUMA Y RESTA
Para sumar o restar fracciones algebraicas se debe
tener en cuenta que:
(1) Se simplifican las fracciones si es necesario.
(2) Se halla el Mínimo Común Múltiplo, determi-
nando el mínimo común denominador de los
denominadores.
Á L G E B R A
- 175 -

(3) Se divide el mínimo común denominador
entre cada denominador y se multiplica por
el numerador respectivo.
(4) Se simplifica la fracción obtenida.
MULTIPLICACIÓN Y DIVISIÓN
Para multiplicar fracciones se recomienda factorizar
numeradores y denominadores y luego multiplicar
éstos entre sí.
Para dividir una fracción entre otra, se invierte la
fracción que actúa como divisor y se procede como
en el caso de la multiplicación.
1.- Resolver:
xa
+ yb
yb
+ zc
zc
+ xa
E = ––––––––––– + ––––––––––– + –––––––––––
(yb
-zc
)(zc
-xa
) (zc
-xa
)(xa
-yb
) (xa
-yb
)(yb
-zc
)
Solución:
Hallando el mínimo común denominador y
sumando:
(xa
+yb
)(xa
-yb
)+(yb
+ zc
)(yb
+ zc
)+(zc
+xa
)(zc
-xa
)
E = –––––––––––––––––––––––––––––––––––––––
(zc
- xa
)(yb
- zc
)(xa
- yb
)
Efectuando operaciones indicadas en el numerador:
x2a
- y2b
+ y2b
- z2c
+ z2c
- x2a
E = –––––––––
––––––––––––––––
(zc
- xa
)(yb
- zc
)(xa
- yb
)
reduciendo:
0
E = –––––––––––––––––––
(zc
- xa
)(yb
- zc
)(xa
- yb
)
E = 0
2.- Efectuar:
x4
- (x - 1)2
x2
- (x2
- 1)2
x2
(x - 1)2
- 1
E = ––––––––––– + ––––––––––– + –––––––––––
(x2
+ 1)2
- x2
x2
(x + 1)2
- 1 x4
- (x + 1)2
Solución:
Factorizando los numeradores y denominadores:
(x2
+ x -1)(x2
- x +1) (x + x2
-1)(x - x2
+1)
E =–––––––––––––––––– + ––––––––––––––––––
(x2
+1 + x)(x2
+1 - x) (x2
+ x +1)(x2
+ x -1)
(x2
- x + 1)(x2
- x - 1)
+ –––––––––––––––––––
(x2
+ x + 1)(x2
- x - 1)
simplificando:
x2
+ x - 1 x - x2
+ 1 x2
- x + 1
E = ––––––––– + ––––––––– + –––––––––
x2
+ x + 1 x2
+ x + 1 x2
+ x + 1
x2
+ x - 1+x - x2
+ 1 + x2
- x + 1
E = ––––––––––––––––––––––––––––
x2
+ x + 1
x2
+ x + 1
E = ––––––––––
x2
+ x + 1
E = 1
3.- Efectuar:
4ab + 2b2
- 12a2
b - 2a 7a
E = –––––––––––––– + –––––– + ––––––––
3(a2
- b2
) b - a 3(a + b)
Solución:
Cambiando de signos a la segunda fracción:
4ab + 2b2
- 12a2
2a - b 7a
E = –––––––––––––– + –––––– + ––––––––
3(a + b)(a - b) a - b 3(a + b)
dando mínimo común denominador:
4ab + 2b2
- 12a2
+ 3(2a - b)(a + b) + 7a(a - b)
E=––––––––––––––––––––––––––––––––––––––
3(a + b)(a - b)
4ab + 2b2
- 12a2
+ 6a2
+ 3ab - 3b2
+ 7a2
- 7ab
E = –––––––––––––––––––––––––––––––––––––
3(a2
- b2
)
(a2
- b2
)
E = ––––––––
3(a2
- b2
)
1
E = ––
3
- 176 -
α
α α

Á L G E B R A
- 177 -
4.- Efectuar:
a - b b - c
E = ––––––––––––––––– + ––––––––––––––––––
(b + c - a)(b - c - a) (c + a - b)(c - a - b)
c - a
+ –––––––––––––––––
(a + b - c)(a - b - c)
Solución:
Cambiando de signo a los dos factores de la
primera fracción:
a - b b - c
E = ––––––––––––––––– - –––––––
–––––––––––
(a - b - c)(a - b + c) (a - b + c)(a + b - c)
c - a
+ –––––––––––––––––
(a + b - c)(a - b - c)
dando común denominador:
(a-b)(a+b-c)-(b-c)(a-b-c)+(c-a)(a-b+c)
E =––––––––––––––––––––––––––––––––––––––
(a - b - c)(a - b + c)(a + b - c)
efectuando operaciones en el numerador:
a2
-b2
-ac +bc +b2
- c2
-ab +ac +c2
- a2
-bc+ab
E = –––––––––––––––––––––––––––––––––––––––
(a - b - c)(a - b + c)(a + b - c)
0
E = –––––––
–––––––––––––––––––
(a - b - c)(a - b + c)(a + b - c)
E = 0
5.- Simplificar:
4a2
- 1 4b2
- 1 4c2
- 1
E = ––––––––––– + ––––––––––– + –––––––––––
(a - b)(a - c) (b - c)(b - a) (c - a)(c - b)
Solución:
Cambiando de signo a un factor de la segunda
fracción y a los dos factores de la tercera fracción.
4a2
- 1 4b2
- 1 4c2
- 1
E = ––––––––––– - ––––––––––– + –––––––––––
(a - b)(a - c) (b - c)(a - b) (a - c)(b - c)
(4a2
-1)(b -c) - (4b2
- 1)(a-c) + (4c2
-1)(a -b)
E= ––––––––––––––––––––––––––––––––––––––
(a - b)(a - c)(b - c)
Factoricemos el numerador por el método de los
polinomios simétricos.
para a = b
V.N. = (4b2
- 1)(b - c) - (4b2
- 1)(b - c)
+ (4c2
- 1)(b - b) = 0
por lo tanto, un factor es a - b y los otros son:
a
c b (b - c)(c - a)
realizando la identidad de polinomios:
(4a2
- 1)(b - c) - (4b2
- 1)(a - c) + (4c2
- 1(a - b)
≡ M(a - b)(b - c)(c - a)
para a = 1, b = 2, c = 0
(4 - 1)(2) - (15)(1) + (-1)(-1) = M(-1)(2)(-1)
6 - 15 + 1 = M(2) M = -4
de esta manera:
N = -4(a - b)(b - c)(c -a)
N = 4(a - b)(b - c)(a - c)
Finalmente:
4(a - b)(a - c)(b - c)
E = ––––
––––––––––––––
(a - b)(a - c)(b - c)
E = 4
x y z
–––––––– = –––––––– = ––––––––
q + r - p r + p - q p + q - r
Calcular: E = (q - r)x + (r - p)y + (p - q)z

Solución:
Cuando se tiene una serie de razones se acostum-
bra a igualarlas a una constante; sea ésta igual a “t”.
x y z
–––––––– = –––––––– = –––––––– = t
q + r - p r + p - q p + q - r
de aquí: x = (q + r - p)t
y = (r + p - q)t
z = (p + q - r)t
reemplazando en E :
E = (q - r)[(q + r) - p]t + (r - p)[(r + p) - q]t
+ (p - q)[(p + q) - r]t
efectuando y factorizando t:
E = t(q2
-r2
-pq+rp+r2
-p2
-qr+pq+p2
-q2
-rp+qr)
E = t(0)
E = 0
__
____ __
_
____ __
____
__
_ __
_ __
_
√a √bc + √b √ac + √c √ab = 0
__ __ __
√a √b √c
calcular: –––– + –––– + –––– (1)
__ __ __
4
√bc
4
√ac
4
√ab
Solución:
Trabajando con la condición:
____ ____ ____
4
√a2
bc +
4
√b2
ac +
4
√abc2
= 0
____
dividiendo por
4
√abc , se tiene:
__ __ __
4
√ a +
4
√b +
4
√ c = 0 (2)
En (1), dando común denominador:
__ 3
__ 3
__ 3
(4
√ a ) + (4
√b ) + (4
√ c )
E = ––––––––––––––––––––– (3)
__
__
4
√abc
__ __ __
De (2):
4
√ a +
4
√b = -
4
√ c (α)
elevando al cubo:
__ 3
__ 2
__ __ __ 2
(4
√ a ) + 3(4
√a ) . (4
√ b )+ 3(4
√a )(4
√ b )
__ 3
__ 3
+ (4
√ b ) = -(4
√ c )
__ 3
__ 3
__ 3
(4
√ a ) + (4
√b ) + (4
√ c )
__ __ __ __
= - 3
4
√a ( 4
√b )(4
√a +
4
√ b ) (β)
reemplazando (α) en (β):
__ 3
__ 3
__ 3
(4
√ a ) + (4
√b ) + (4
√c )
__ __ __ ___
= - 3
4
√a (4
√ b )(-
4
√c )= 3
4
√abc
reemplazando en (3):
––––
3
4
√abc
E = –––––––
––––
4
√abc
E = 3
x y z
8.- Si –– = –– = –– ; calcular:
a b c
ax + by + cz x2
+ y2
+ z2
E = –––––––––––– - –––––––––––
a2
+ b2
+ c2
ax + by +cz
Solución:
Igualando la condición a “t”:
x y z
–– = –– = –– = t
a b c
de aquí:
x = at
y = bt
z = ct
reemplazando en E:
a2
t + b2
t + c2
t a2
t2
+ b2
t2
+ c2
t2
E = ––––––––––––– - ––––––––––––––
a2
+ b2
+ c2
a2
t + b2
t + c2
t
factorizando:
t(a2
+ b2
+ c2
) t2
(a2
+ b2
+ c2
)
E = –––––––––––– - ––––––––––––
a2
+ b2
+ c2
t(a2
+ b2
+ c2
)
E = t - t
E = 0
- 178 -
α
α α

9.- Calcular:
1 1 1
E = –––––––––– + –––––––––– + ––––––––––
b2
+ c2
- a2
c2
+ a2
- b2
a2
+ b2
- c2
si a + b + c = 0
Solución:
De la condición: b + c = -a
elevando al cuadrado:
b2
+ 2bc + c2
= a2
b2
+ c2
= a2
- 2bc (1)
También, pro la condición: c + a = -b
c2
+ 2ac + a2
= b2
c2
+ a2
= b2
- 2ac (2)
De la misma manera: a + b = -c
a2
+ 2ab + b2
= c2
a2
+ b2
= c2
- 2ab (3)
reemplazando (1), (2) y (3) en E:
1 1 1
E = ––––––––––– + ––––––––––– + ––––––––––
a2
+ 2bc - a2
b2
+ 2ac - b2
a2
+ 2bc - c2
1 1 1
E = - –––– - –––– - ––––
2bc 2ac 2ab
-a - b - c -(a + b + c)
E = –––––––– = ––––––––––
2abc 2abc
por la condición:
0
E = - –––––
2abc
E = 0
10.- Efectuar:
n
E = ––––––––––––––––––
––––––––––
n - 1
n + –––
–––––––––––––
–––––––––
n - 2
n - 1 + ––
––––––––––––––––
n - 2 +
.
.
.
2
+ –––––
–––––
1
2 + ––
––––
1
1 + ––
2
Solución:
Tratando de hallar una ley de formación,
empezando por el final, sucesivamente se
obtiene:
1 1 2 1 + 1
1) –––––– = –– = –– = –––––– ; n = 1
1 3 3 1 + 2
1 + –– ––
2 2
2 2 6 3 2 + 1
2) –––––– = –– = –– = –– = ––––– ; n = 2
2 8 8 4 2 + 2
2 + –– ––
3 3
3 3 24 4 3 + 1
3) –––––– = ––
– = ––
– = –– = ––––– ; n = 3
6 30 30 5 3 + 2
3 + –– ––
–
8 8
4 4 20 5 4 + 1
4) –––––– = ––
– = ––
– = –– = ––––– ; n = 4
6 24 24 6 4 + 2
4 + –– ––
–
5 5
por lo anterior se deduce que:
n + 1
E = –––––
n + 2
Á L G E B R A
- 179 -

- 180 -
1. Calcular:
x y z
––––––––––– + ––––––––––– + –––––––––––
(x - y)(z - x) (y - z)(x - y) (z - y)(y - z)
a) 1 b) -1 c) 0
d) xyz e) x + y + z
2. Calcular:
a + b a - b 2(a2
x + b2
y)
A = ––––––– + ––––––– - –––––––––––
ax + by ax - by a2
x2
+ b2
y2
4(a4
x3
- b4
y3
)
- –––––––––––
a4
x4
- b4
y4
a) 1 b) 0 c) a + b + c
d) abc e) -1
x + a x - b 2ab + 2b2
3. Calcular: E = ––––– + ––––– + ––––––––
b - x b + x x2
- b2
ba2
+ a + b
para x = ––––––––––
ab
2ab
a) –––––– b) 2ab c) ab + 1
ab + 1
d) a + b e) 1
2x + y 2x - y 2x + y 2x - y
E =
{–––––– + ––––––
}{–––––– - ––––––
}
2x - y 2x + y 2x - y 2x + y
(4x2
- y2
)
______
x 1 + xy
si x é y verifican: 2
(––
)= ––––––
y √1 - xy
a) 4 b) 16 c) 2
d) 1 e) -4
5. Calcular:
x3
- y3
x2
- y2
1 1
(––––––
)(––––––
)(–– + ––
)
x2
+ y2
x3
+ y3
x2
y2
E = –––––––––––––––––––––––––
(x + y)2
- xy 1 1
[–––––––––––
](–– - ––
)
(x - y)2
+ xy y x
x + y x - y
a) ––––– b) ––––– c) x + y
x - y x + y
d) x - y e) 1
6. Calcular:
-1
1 - x 1 + x
–––––––– + ––––––––
1 - x + x2
1 + x + x2
1
E =
[–––––––––––––––––––
]. ––
1 + x 1 - x x3
–––––––– - ––––––––
1 + x + x2
1 - x + x2
1
a) –– b) 2 c) 1
2
d) 4 e) -1
7. Dar el valor de la fracción:
(x2
+ y2
+ z2
)xy2
para x = a - b
A = ––––––––––––––
x5
+ y5
+ z5 y = b - c
z = c - a
a) 4/5 b) 2/5 c) 5
d) 2 e) 3
8. Simplificar:
(x2
+ 6x + 4)(x + 4)2
+ (x + 3)2
–––––––––––––––––––––––––
(x + 3)2
(x2
+ 6x + 4) + 1
dar el numerador:
a) x2
+ x + 1 b) x2
- x - 1 c) x2
- x + 1
d) x2
+ x - 1 e) x2
+ 1
9. Simplificar la fracción:
1
m + –––––––––––––––––
––
1
n + ––––––––––––––
––
1
m + –––
–––––––––
n + …
1
n + –––––––––––––––––
––
1
÷ m+ –––––––––––––
––
1
m + –––
–––
––––––
n + …
α
α α

a) mn b) m/n c) n/m
d) m e) n
10. Si a, b y c son números enteros que cumplen la
relación a + b + c = 0, dar el valor de la fracción:
a9
+ b9
+ c9
- 3a3
b3
c3
E = –––––––––––––––––
9abc
a) (b2
+ bc + c2
)3
b) (a + b + c)3
c) (ab + ac + bc)2
d) (a2
+ b2
+ c2
)3
e) (a2
- ac + c2
)2
11. Efectuar:
(a + c - b + x) (a + b - c + x)
––––––––––––––––––––––––
(b - a)(c - a)
(b + c - a + x)(a + b - c + x)
+ ––––––––––––––––––––––––
(c - b)(a - b)
(b + c - a + x)(a + c - b + x)
+ ––––––––––––––––––––––––
(a - c)(b - c)
a) 4abc b) ab + bc + ac
c) a + b + c d) 0
e) 1
12. Calcular el valor de la fracción F si:
x y z
––––––– = ––––––– = –––––––
b + c - a c + a - b a + b - c
2(ax + by + cz)(x + y + z)
siendo F = ––––––––––––––––––––––––
x(y + x) +y(x + z) + z(x + y)
a) a + b + c b) a + b - c c) a - b + c
d) b - a + c e)1
13. Calcular:
[(x + x-1
)2
+ (x - x-1
)2
]2
- 4(x + x-1
)2
(x - x-1
)2
A = –––––––––––––––––––––––––––––––––––––
(x4
+ x -4
)2
- (x4
- x -4
)2
a) -1 b) 2 c) 4
d) 1 e) 0
14. Sabiendo que se cumple que:
ax + by + cz = 0
simplificar la expresión:
(ay + bx)2
+ (cx + az)2
+ (bz - ay)2
E = –––––––––––––––––––––––––––––
x(a + x) + y(b + y) + z(c + z)
a) a + b + c b) ab + ac + bc
c) a2
+ b2
+ c2
e) 1
e) 0
15. Simplificar y hallar el valor de:
x3
+ (2a + b)x2
+ (a2
+ 2ab)x + a2
b
E = ––––––––––––––––––––––––––––––
x3
+ (a + 2b)x2
+ (2ab + b2
)x + ab2
___________________
(b - a)(b + a + 2x)
. ––––––––––––––– + 1
√ a2
+ 2ax + x2
a) 1 b) 4 c) 2
d) 3 e) 6
16. Conociendo el valor de a + b + c = 2p, calcular:
abc a
E = ––––––––––––––––– - ––
––––
(p - a)(p - b)(p - c) (p - a)
b c
- –––––– - ––––––
(p - b) (p - c)
a) 1 b) 2 c) 3
d) 0 e) -4
x y z
17. Si: –– = –– = –– , calcular el valor de:
a b c
x3
+ a3
y3
+ b3
z3
+ c3
–––––– + –––––– + ––––––
x2
+ a2
y2
+ b2
z2
+ c2
(x + y + z)3
+ (a + b + c)3
- ––––––––––––––––––––––
(x + y + z)2
+ (a + b + c)2
a) 1 b) x + a c) x + b
d) x + c E) 0
Á L G E B R A
- 181 -

- 182 -
18. Sabiendo que:
(x + y + z + w) (m + n + p + q) = 5329 y que:
x y z w
–– = –– = –– = –– Hallar el valor de:
m n p q
––––– ––––– ––––– –––––
E = 3 [√x . m + √y . n + √z . p + √w . q ]
a) 3 b) 12 c) 219
d) 73 e) 1
19. Si se cumple que:
m n n l
––––––– + ––––––– ––––––– + –––––––
(a - b)2
(a + c)2
(b + c)2
(a - b)2
––––––
––––––––––– = ––––––––––––––––––
a b
l m
––––––– + –––––––
(a + c)2
(b - c)2
= ––––––––––––––––––
c
al + bm
Calcular: E = –––––––
cn
a) 1 b) 4 c) 3
d) 0 e) 2
20. Simplificar:
xy (x - a)(y - a) (x - b)(y - b)
––– + ––––––––––– + –––––––––––
ab a(a - b) b(b - a)
––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––
(1 + ab)(1+ ac) (1 + ab)(1 + bc) (1 + ac)(1 + bc)
–––––––––––––+––––––––––––––+ ––––––––––––––
(a - b)(c - a) (b - a)(c - b) (c - a)(b - c)
a) a/b b) abc c) a +b + c
d) 1 e) 0
CLAVE DE RESPUESTAS
1) C 2) B 3) A 4) B 5) B
6) A 7) B 8) A 9) B 10) A
11) E 12) A 13) C 14) A 15) A
16) B 17) E 18) C 19) A 20) D
α
α α

INTRODUCCIÓN EL BINOMIO DE
INTRODUCCIÓN EL BINOMIO DE
NEWTON
NEWTON
FACTORIAL DE UN NÚMERO
Factorial de un número “n” es el producto indicado
de todos los números consecutivos desde “1” hasta
“n”. Se representa así:
n ó n! y se lee factorial de “n”
Por definición:
n = 1 . 2 . 3 . 4 . 5 . … . n ó
n = n(n - 1)(n - 2) . … . 3 . 2 . 1
Ejemplos:
i) 5 = 1 . 2 . 3 . 4 . 5 = 120
ii) 7 = 1 . 2 . 3 . 4 . 5 . 6 . 7 = 5 040
644474448
iii) 8 = 8 . 7 . 6 . 5 . 4 . 3 . 2 . 1
= 8 7 = 8 . 5 040 = 40 320
9 12 9 8 12 11
iv) ––––– = ––––––––––– = 9 . 12 = 108
8 11 8 11
PROPIEDADES DE LOS FACTORIALES
1º Si el n existe, el valor de “n” es entero y positivo.
2º El factorial de 0 es 1 y el factorial de 1 es 1 es decir
0! = 1 y 1! = 1.
3º Si el factorial de un número es igual a otro,
entonces los números son iguales, es decir:
a = b ∴ a = b
4º En factoriales se debe tener en cuenta que:
a) a ± b ≠ a ± b
b) a . b ≠ a . b
a a
c) –– ≠ ––
b b
1.- Simplificar:
n + n - 1 + n + 1
E = ––––––––––––––––––––––––––––
n + n + 2 - n(n + 2) n - 1
Solución:
Descomponiendo previamente los factoriales
hasta n - 1:
n = n n - 1
n + 1 = (n + 1)n n - 1
n + 2 = (n + 2)(n + 1)n n - 1
reemplazando en la expresión:
n n - 1 + n - 1 + (n + 1)n n - 1
E = ––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––
n n-1 +(n+2)(n+1)n n -1 - n(n+2) n - 1
factorizando:
n - 1(n + 1 + n2
+ n)
E = –––––––––––––––––––––––––––––––
n n - 1(1 + n2
+ 3n + 2 - n - 2)
Á L G E B R A
- 183 -

reduciendo y simplificando:
n - 1 (n + 1)2
1
E = ––––––––––––––––– = ––
n n - 1 (n + 1)2 n
E = n-1
2.- Simplificar:
nn!+1
. (n - 1)!(n+1)!
E = –––––––––––––––––
(n - 1)!n!n
n!n!
Solución:
Descomponiendo los factores previamente hasta
(n - 1)!:
n! = (n - 1)!n
(n + 1)! = (n - 1)!n(n + 1)
haciendo (n - 1)! = a:
nna+1
. (a)(n+1)na
E = ––––––––––––––
an2a
. (an)an
efectuando:
nna
. n . an2a
. ana
E = –––––––––––––––
an2a
. aan
. nan
E = n
3.- Calcular el valor de “n” en:
1 2n
(––––
)(––––––––––––––––––––––
)= 2 880
2n-2
1 . 3 . 5 . 7 . … . (2n - 1)
Solución:
Con la finalidad de introducir un factorial en el
denominador, se multiplica y divide por:
A = 2 . 4 . 6 . 8 . 10 . … . (2n)
A = (2 . 1)(2 . 2)(2 . 3)(2 . 4)(2 . 5). … .(2 . n)
A = (2 . 2 . 2 . 2 . … . 2)(1 . 2 . 3 . 4 . 5 . … . n)
144424443
“n” factores
esta expresión se puede reescribir así:
A = 2n
. n
luego, la expresión inicial sera:
1 2n . 2n
n
(––––
)(––––––––––––––––––––––––––
)= 2 880
2n-2
1 .2 . 3 . 4 .5 .6 .7. 8 . … . 2n
1 2n . 2n
n
––––– . –––––––––– = 2 880
2n
2n
–––––
22
simplificando:
4 n = 2 880
n = 720 = 6
∴ n = 6
4.- Calcular “n” en:
(720!119!
)5!
= 719!n!!
. 6!n!!
Solución:
Como: 5! = 120
6! = 720
reemplazando y efectuando:
(720!)119!120
= (719!)n!!
(720)n!!
(720!)120!
= (719! . 720)n!!
(720!)120!
= (720!)n!!
120! = n!!
como 120 = 5!:
n!! = 5!!
de donde: n = 5
n2
n - 1 + (2n2
- 3n +1) n - 2 + (n2
- 3n + 2) n - 3
3n - 120
= –––––––––
n + 1
Solución:
Factorizando por el aspa los paréntesis:
(1) 2n2
- 3n + 1 = (2n - 1)(n - 1)
(2) n2
- 3n + 2 = (n - 1)(n - 2)
reemplazando:
n . n n -1+(2n - 1)(n-1) n-2 +(n -1)(n-2) n - 3
3n - 120
= –––––––––
n + 1
- 184 -
α
α α

pero:
(n - 1) n - 2 = n - 1
(n - 1)(n - 2) n - 3 = (n - 1) n - 2 = n - 1
reemplazando:
3n - 120
n2
n - 1 + (2n - 1) n - 1 + n - 1 = ––
––––––––
n + 1
factorizando:
3n - 120
n - 1 (n2
+ 2n - 1 + 1) = ––––––––––
n + 1
transponiendo, simplificando y factorizando:
(n + 2)(n + 1) n n - 1 = 3n - 120
El primer miembro es n + 2 ; luego:
n + 2 = 3n - 120
de aquí:
n + 2 = 3n - 120
n = 61
VARIACIONES
Cada una de las ordenaciones, coordinaciones o
arreglo que puede formarse, tomando algunos o
todos los elementos de un conjunto de objetos, se
llama una variación. Se puede diferenciar dos de
ellas, bien en un objeto o bien en una diferente orde-
nación de los objetos.
FÓRMULA DEL NÚMERO DE VARIACIONES DE
“n” ELEMENTOS TOMADOS DE “r” EN “r”.
Equivale a calcular el número de maneras de que
podemos llenar “r” lugares cuando se tiene “n” obje-
tos diferentes a nuestra disposición, lo cual se logra
con la fórmula siguiente:
n n
Vr
= –––––––––
n - r
Donde:
n
Vr
: son variaciones de “n” elementos tomados de
“r” en “r”
n : el número total de elementos por agrupar
r : el número de elementos (ó lugares) que con-
forman un grupo.
Ejemplo: Sean los elementos a, b, c, d, ¿cuántas
variaciones se puede formar tomando las letras de
2 en 2?
Solución:
Formemos los grupos:
ab, ac, ad, bc, bd, cd
ba, ca, da, cb, db, dc
total serán 12.
Aplicando la fórmula, donde n = 4, r = 2:
4 4 4 4 . 3 2
V2
= ––––– = ––– = –––––––– = 12
4 - 2 2 2
PERMUTACIONES
Se llama permutaciones de “n” objetos, a los diferen-
tes grupos que con ellos se puede formar, de manera
que participando “n” objetos en cada grupo, difieran
solamente en el orden de colocación. El número de
permutaciones de “n” objetos será:
Pn
= n
donde:
“n” es el número de objetos.
Ejemplo.- Hallar el número de permutaciones de
tres letras: a,b,c.
Solución:
Los grupos serán:
abc, acb, bac, bca, cab, cba
Utilizando la fórmula:
P3
= 3 = 1 . 2 . 3 = 6
COMBINACIONES
Se llama así a los diferentes grupos que se puede for-
mar con “n” elementos tomándolos todos a la vez o
de “r” en “r” de modo que los grupos se diferencien
por lo menos en un elemento. Para determinar el
número de combinaciones de “n” elementos toma-
dos de “r” en “r” se utiliza la siguiente fórmula:
- 185 -
Á L G E B R A
ALGEBRA

n n
Cr
= ––––––––
r n - r
n
Cr
: combinaciones de “n” elementos tomados de
“r” en “r”.
n : número total de elementos.
r : el número de elementos que conforman cada
grupo.
Ejemplo.- ¿De cuántas maneras se puede combi-
nar 5 elementos tomados de 2 en 2?
Solución:
Sean los 5 elementos a, b, c, d, e.
Los grupos serán:
ab, ac, ad, ae
bc, bd, be
cd, ce
de
El número total de grupos formado es 10.
Aplicando la fórmula:
5 5
C2
= ––––––––
2 5 - 2
5 5 5 . 4 3
C2
= –––––– = –––––––– = 10
2 3 2 . 1 3
PROPIEDADES DE LAS COMBINACIONES
1º Combinaciones Complementarias.
Se dice que 2 combinaciones son complemen-
tarias cuando el número de combinaciones, de
“n” elementos tomados de “r” en “r”, es igual al
número de combinaciones de “n” elementos
tomados de “n - r” en “n - r”. Es decir:
n n
Cr
= Cn-r
CONSECUENCIA IMPORTANTE
Si se cumple que:
n n
Cr
= Cp
tomando combinaciones complementarias:
n n n
Cr
= Cp
= Cn-p
Luego por lo tanto:
a) r = p
b) r = n - p
r + p = n
2º Suma de Combinaciones.
Demostraremos la siguiente relación:
n n n+1
Cr
+ Cr+1
= Cr+1
Utilizando la fórmula de combinaciones:
n n n n
Cr
+ Cr+1
= ––––––– + –––––––––––––
r n - r r + 1 n - r - 1
n (r + 1) + n (n - r)
= ––––––––––––––––––––––
r + 1 n - r
n (r + 1 + n + r) n (n + 1)
= –––––––––––––– = –––––––––––
r + 1 n - r r + 1 n - r
n + 1
= –––––––––––
r + 1 n - r
n n n+1
Cr
+ Cr+1
= Cr+1
3º Propiedad sobre los índices.
n
Si el Cr
existe, luego:
a) n y r son números enteros positivos
b) n r
4º Degradación de índices.
Consiste en descomponer un número combinato-
rio en otro que tenga como índice superior uno
menor que el original y como índice inferior al
inmediato inferior. Es decir:
n
n n-1
Cr
= –– Cr-1
r
Demostración.-
n n n n - 1
Cr
= –––––––– = ––––––––––––
r n - r r r - 1 n - r
- 186 -
α
α α

n n n - 1 n n-1
Cr
=
(––
) –––––––––– = –– Cr-1
r r - 1 n - 1 r
Ejemplo.- Hallar el valor de “n” en la siguiente
igualdad:
n n-1
2 C4
= 5 C3
Solución:
Se sabe que:
n
n n-1
Cr
= –– Cr-1
r
aplicando lo anterior:
n n-1 n-1
2
(––
)C3
= 5 C3
4
Simplificando:
n
2
(––
)= 5
4
n
–– = 5
2
∴ n = 10
1.- ¿Cuántos números diferentes de 6 cifras puede
formarse con los 9 dígitos 1, 2, 3, …, 9 y en los
cuales no se repita ningún número?
Solución:
En este caso interesa el orden en el cual están dis-
puestos los 6 dígitos, por lo cual se trata de varia-
ciones:
9 9 9 9 . 8 . 7 . 6 . 5 . 4 3
V6
= ––––– = ––– = –––––––––––––––––––
9 - 6 3 3
9
V6
= 60,480
Rpta.: 60,480 números
2.- ¿De cuántas maneras diferentes puede aco-
modarse 7 personas en un banco?
Solución:
En el caso hay que considerar el orden en el cual
están dispuestas las personas y cómo entran en
todas ellas; por lo tanto se trata de permutaciones.
P7
= 7! = 7 . 6 . 5 . 4 . 3 . 2 . 1 = 5 040
Rpta.: 5 040 maneras.
3.- Si una cuadrilla tiene 14 hombres, ¿de cuántas
maneras pueden seleccionarse 11?
Solución:
Interesa seleccionar 11 hombres de 14 sin intere-
sar el orden, se trata entonces de una combinación.
14 14 14 . 13 . 12 11
C11
= ––––––– = –––––––––––––– = 364
11 3 11 . 3 . 2 . 1
Rpta.: 364 selecciones.
4.- Hallar el número de personas que asistieron a una
reunión si al despedirse se contó 78 apretones de
manos.
Solución:
Sean “n” las personas que habían en la reunión.
Para poder contar un apretón de manos es nece-
sario que dos personas se den la mano, luego si se
quiere contar el número total de apretones de
manos, será necesario combinar a las “n” per-
sonas de 2 en 2.
n
C2
= 78
n
–––––––––– = 78
2 n - 2
n(n - 1) n - 2
–––––––––––––– = 78
1 . 2 . n - 2
n(n - 1) = 156 = 13 . 12
Por comparación: n = 13
Rpta.: Asistieron 13 personas.
5.- Calcular el valor de “x” que satisface la igualdad:
x x
V2
. C2
= 450
Solución:
Utilizando las fórmulas conocidas:
x x
–––––– . –––––––– = 450
x - 2 2 x - 2
x(x - 1) x - 2 x(x - 1) x - 2
––––––––––––– . ––––––––––––– = 450
x - 2 1 . 2 x - 2
Á L G E B R A
- 187 -

x2
(x - 1)2
= 900
x(x - 1) = 30
x(x - 1) = 6 . 5
Por comparación: x = 6
6.- Calcular “n” y “p” en la siguiente igualdad:
2n 2n
Cp-2
= C10-p
Solución:
m m
Se sabe que Cr
= Cs
, de aquí:
a) r = s
b) r + s = m
aplicando esta teoría al ejercicio propuesto:
a) p - 2 = 10 - p
2p = 12
∴ p = 6
b) p - 2 + 10 - p = 2n
8 = 2n
∴ 4 = n
Rpta.: p = 6, n = 4
n n+1
C2
+ C3 7
–––––––– = ––
n+2
C4
5
Solución:
Degradando los índices:
n+1
n + 1 n
C3
=
(–––––
) C2
3
n+2
n + 2 n + 1
n + 2 n + 1 n
C4
=
(–––––
)C3
=
(–––––
)(–––––
)C2
4 4 3
reemplazando y factorizando:
n
n + 1
C2 (1 + –––––
)
3 7
–––––––––––––––– = ––
n + 2 n + 1 n 5
(–––––
)(–––––
)C2
4 3
simplificando:
n + 4
–––––
3 7
–––––––––––– = ––
(n + 2)(n + 1)
–––––––––––– 5
12
4(n + 4)(5) = 7(n + 2)(n + 1)
20n + 80 = 7n2
+ 21n + 14
igualando a cero:
7n2
+ n - 66 = 0
factorizando por el método del aspa simple:
7n +22
(7n + 22)(n - 3) = 0
n -3
igualando a cero cada factor, se obtiene:
22
n = 3 y n = - –––
7
Dado que “n” debe ser entero; entonces:
Rpta.: n = 3
8.- Calcular “x” en:
x-2 x-1 x-2 x 2x-21 2x-21
C20
+ C22
+ C21
+ C21
- C22
= C21
Solución:
Agrupemos de la siguiente manera:
x-2 x-1 x-2 x 2x-21 2x-21
(C20
+ C21 ) + C22
+ C21
= (C21 ) + (C22 )
aplicando la propiedad de suma de combinaciones
los paréntesis reiteradamente; y agrupando de nuevo:
x-1 x-1 x 2x 20
(C21
+ C22) + C21
= C22
x x 2x-20
C22
+ C21
= C22
x+1 2x-20
finalmente: C22
= C22
identificando índices superiores:
x + 1 = 2x - 20
x = 21
- 188 -
α
α α

9.- Calcular x e y ,si:
x x
a) Cy-1
= Cy
x x
b) 4Cy
= 5 Cy-2
Solución:
En la primera condición, desarrollando:
x x
Cy-1
= Cy
x x
–––––––––––––– = ––––––––––
y - 1 x - y + 1 y x - y
simplificando y descomponiendo los factoriales:
1 1
––––––––––––––––––– = ––––––––––––––––
y - 1 (x - y + 1) x - y y y - 1 x - y
simplificando se llega a:
x - y + 1 = y
x = 2y - 1 (α)
En la segunda condición, desarrollando:
x x
4 Cy
= 5Cy-2
4 x 5 x
–––––––– = –––––––––––––––
y x - y y - 2 x - y + 2
simplificando y descomponiendo los factoriales:
4 5
–––––––– = –––––––––––––––––––––––––––––
y x - y y - 2 (x - y + 2)(x - y + 1) x - y
simplificando y reemplazando x por su valor
dado en (α) y operando:
4 5
––––––––––– = –––––––––––––––––––––––––––––
y(y-1) y - 2 y - 2 (2y -1-y + 2)(2y - y +1- 1)
simplificando:
4 5
––––––– = –––––––––
y(y - 1) (y + 1)(y)
4y + 4 = 5y - 5
y = 9
En (α):
x = 2(9) - 1 = 17
x = 17
10.- Calcular el valor de “x” en:
m+2 m+1 m
(Cc+1
- Cx ) Cx-1
–––––––––––––––– = 2x - 12
m+1 m+2 m
(Cx )2
-Cx+1
Cx-1
Solución:
Degradando los índices:
m+2
m + 2 m+1
m + 2 m + 1 m
Cx+1
=
(–––––
)Cx
=
(–––––
)(–––––
)Cx-1
x + 1 x + 1 x
m+1
m + 1 m
Cx
=
(–––––
)Cx-1
x
reemplazando estos equivalentes en la expresión dada:
m + 2 m + 1 m
m + 1 m m
[(–––––
)(–––––
)Cx-1
-
(–––––
)Cx-1]Cx-1
x + 1 x x
––––––––––––––––––––––––––––––––––– =2x-12
m + 1 m 2
m + 2 m + 1 m m
[(–––––
)Cx-1]-
(–––––
)(–––––
)Cx-1
Cx-1
x x + 1 x
factorizando en el numerador y denominador:
m 2
m + 1 m + 2
(Cx-1)(–––––
)[––––– - 1
]
x x + 1
–––––––––––––––––––––––––––––– = 2x - 12
m 2
m + 1 m + 1 m + 2
(Cx-1)(–––––
)[(–––––
)- –––––
]
x x x + 1
m + 2 - x - 1
–––––––––––
x + 1
–––––––––––––––––––––– = 2x - 12
mx + m + x + 1 - mx - 2x
––––––––––––––––––––––
(x + 1)x
simplificando:
m - x + 1
––––––––
x + 1
–––––––– = 2x - 12
m - x + 1
––––––––
(x + 1)x
x = 2x - 12
x = 12
Á L G E B R A
- 189 -

DESARROLLO DEL BINOMIO DE
NEWTON
con exponente entero y positivo.
Haciendo uso de los productos notables, se calcula el
producto de “n” factores binomios; y de esta manera,
se indica cuál es el desarrollo de un binomio de la
forma (x + a)n
.
PROPIEDADES DEL BINOMIO DE NEWTON
1º Su desarrollo es un polinomio completo de (n+1)
términos.
2º Los coeficientes de los términos equidistantes de
los extremos son iguales; lo cual es evidente, por
ser números combinatorios complementarios.
3º El exponente de “x” en cada término es igual al
número de términos que le siguen y el de “a” al
que le preceden.
4º El coeficiente del primer término, es 1 y el coefi-
ciente del segundo término es igual al exponente
del primer término.
5º El coeficiente de cada término es igual al del ante-
rior multiplicado por el exponente de “x”, tam-
bién en el término anterior y dividido por el de
“a”, del término anterior aumentado en una
unidad.
6º Si los términos del binomio tienen signos contrar-
ios, los términos del desarrollo serán alternativa-
mente positivos y negativos siendo negativos los
que contengan potencias impares del término
negativo del binomio. Basta sustituir en el desar-
rollo “a” por “-a”.
7º Si los dos términos del binomio son negativos,
todos los términos del desarrollo serán positivos o
negativos según que el exponente sea par o impar.
En efecto, se tiene:
(-x - a)m
= [-1(x + a)]m
= (-1)m
(x + a)m
8º La suma de los coeficientes de los términos del
desarrollo de un binomio de cualquier grado es
igual a 2 elevado a esa potencia. Basta hacer en el
desarrollo de Newton x = a = 1 y se tiene:
m m m m m
2 = 1 + C1
+ C2
+ C3
+ … + Cm
9º La suma de los coeficientes de los términos de
lugar impar es igual a la suma de los de lugar par.
10º Con respecto a las letras “x” y “a”, el desarrollo
es un polinomio homogéneo de grado n.
MÉTODO DE INDUCCIÓN
(x + a)(x + b) = x2
+ (a + b)x + ab
(x + a)(x + b)(x + c)
= x3
+ (a + b + c)x2
+ (ab + ac + bc)x + abc
(x + a)(x + b)(x + c) - (x + d)
= x4
+ (a + b + c + d)x3
+(ab + ac + ad
+ bc + bd + cd)x2
+ (abc + abd + bcd + acd)x + abcd
Para n factores:
(x + a)(x + b)(x + c) … (x + k)
n n-1 n-2 n-3
= x +S1
x + S2
x + S3
x +…+ Sn
donde:
S1
= suma de las letras a, b, c, …, k.
S2
= suma de los productos de estas “n” letras
tomadas de 2 en 2.
S3
= suma de los productos de estas “n” letras
tomadas de 3 en 3.
Sn
= producto de todas las “n” letras.
Ahora:
Si a = b = c = d = … = k
es decir, si todas las letras son “a”:
n
n
S1
= C1
a =
(––––
)a = na
1
n
n (n - 1)
S2
= C2
a2
= –––––––– a2
2
n
n(n - 1)(n - 2)
S3
= C3
a3
= –––––––––––––– a3
1 . 2 . 3
n
n
Sn
= Cn
an
=
(––––
)an
= a2
n
- 190 -
α
α α

Luego, el producto de n factores (x + a) es igual
a (x + a)n
y su desarrollo es:
n n
(x + a)n
= xn
+ C1
xn-1
a + C2
xn-2
a2
n
+ C3
xn-3
a3
+…+ an
o también:
n(n - 1)
(x + a)n
= xn
+ nxn-1
a + ––––––– a2
xn-2
1 . 2
n(n - 1)(n - 2)
+ –––
–––––––––––– a3
xn-3
+ … +an
1 . 2 . 3
Ejemplo. Desarrollar:
4 4 4 4
(x + a)4
= x4
+ C1
x3
a + C2
x2
a2
+ C3
xa3
+ C4
a4
= x4
+ 4x3
a + 6x2
a2
+ 4xa3
+ a4
FÓRMULA DEL TÉRMINO GENERAL
Esta fórmula permite escribir un término cualquiera
del desarrollo del binomio.
Se sabe que:
n n n
(x + a)n
= C0
xn
+ C1
xn-1
a + C2
xn-2
a2
n n
+ C3
xn-3
a3
+…+ Cn
an
Siguiendo la ley de formación de todos los térmi-
nos del desarrollo:
n
1er. término: C1-1
x n-(1-1)
a1-1
n
2do. término:C2-1
x n-(2-1)
a2-1
n
3er. término: C3-1
x n-(3-1)
a3-1
n
4to. término: C4-1
x n-(4-1)
a4-1
.
.
. n
10mo. término: C10-1
x n-(10-1)
a10-1
.
.
. n
kmo. término: Ck-1
x n-(k-1)
ak-1
n
(k + 1) término: Ck+1-1
x n-(k+1-1)
ak-1-1
n
∴ tk+1
= Ck
xn-k
ak
donde:
(k + 1) = lugar que ocupa el término buscado.
Ck = combinaciones de “n” elementos tomados
de “k” en “k”.
n = exponente del binomio.
x = primer término del binomio.
a = segundo término del binomio.
k = lugar menos 1 del término buscado
Ejemplo.- Hallar el término 10 del desarrollo de
la potencia:
1 12
(27x5
+ –––
)
3x
Solución:
Nótese que:
n = 12 ; k + 1 = 10 ; k = 9
1er. término: 27x5
1
2do término:
(–––
)
3x
12
1 9
t9+1
= t10
= C9
(27x5
)12-9
(–––
)
3x
12
t10
= C9
(33
x5
)3
(3-1
x-1
)9
12 . 11 . 10
t10
= ––––––––––– . (39
. x15
)(3-9
x-9
)
3 . 2 . 1
t10
= 220x6
1.- Hallar “n” para que el t25
del desarrollo de:
x2
y2 5n+2
(––– + –––
)
––
y √x
contenga a “x” con exponente 44.
Á L G E B R A
- 191 -

Solución:
Cálculo de t25
:
5n+2
x2 5n+2-24
y2 24
t25
= C24 (–––
) (––––
)
––
y √x
El exponente de “x” en este término debe ser,
según el problema, igual a 44; es decir:
1
2(5n + 2 - 24) - –– (24) = 44
2
10n + 4 - 48 - 12 = 44
10n = 48 + 12 + 44 - 4
10n = 100
n = 10
2.- ¿Cuál es el número de términos en el desarrollo
de:
n n
(–––– x + y
)
8
si los coeficientes de los términos de lugares 7 y 8
son iguales?
Solución:
Cálculo de t7
:
n
n n-6
t7
= C6 (–––– x
) (y)6
8
El coeficiente del t7
es:
n n-6 n
A 7
=
(––––
) C6
8
Cálculo del t8
:
n
n n-7
t8
= C7 (–––– x
) (y)7
8
El coeficiente del t8
es:
n n-7 n
A8
=
(––––
) C7
8
n n-6 n
n n-7 n
(––––
) C6
=
(––––
) C7
8 8
simplificando:
n n n
(––––
)C6
= C7
8
desarrollando:
n n n
(––––
)–––––––––––––––––––= –––––––––––––––––––
8 6 n - 6 7 n - 7
simplificando y descomponiendo los factores:
n 1 1
(––––
)––––––––––––––––––––––––––––= –––––––––––
8 (n - 6) n - 7 6 7 6 n - 7
n 1
––––––– = ––
8n - 48 7
7n = 8n - 48
n = 48
Rpta.: Número de términos, según primera
propiedad:
n + 1 = 48 + 1 = 49
3.- Hallar el exponente de “a” en el término indepen-
diente (que no tiene x; en términos formales, es
independiente de “x”) en el desarrollo de la
potencia:
__ m+n
m
√a
(xm
+ ––––
)
xn
Solución:
Cálculo del término general:
__ k
m+n
m
√a
tk+1
= Ck
(xm
)m+n-k
(––––
)
xn
Si es independiente de x, el exponente de “x”
debe ser cero; es decir:
m(m + n - k) - nk = 0
m(m + n) - mk - nk = 0
m(m + n) = (m + n)k
- 192 -
α
α α

luego:
k = m
El exponente de “a” en este término es:
m
_
__ m m 1
(m
√a ) = a = a
Rpta.: El exponente es 1.
4.- Dado el binomio:
__
1
120
(5
√x + ––––
), determinar:
__
3
√x
a) El número de términos racionales e irra-
cionales que tiene el desarrollo.
b) Cuántos términos son enteros y cuántos son
fraccionarios.
Solución:
el término general de este desarrollo es:
120
__ 120-k 1
k
tk+1
= Ck
( 5
√x )
(––––
)
__
3
√x
120-k k
––– - –
120 5 3
tk+1
= Ck
x x
8k
24 - __
120 15
tk+1
= Ck
x
a) Para que sean racionales:
8k
24 - ––– = número entero
15
ésto se cumple para k = 0, 15, 30, 45, 60, 75, 90,
105, 120. Lo cual indica que hay 9 términos
racionales y como el desarrollo tiene 121 térmi-
nos, los irracionales son 112.
b) Para que sean enteros:
8k
24 - ––– = número entero y positivo
15
ésto se cumple para k = 0, 15, 30, 45. Hay 4 tér-
minos enteros y como existen 9 racionales, hay 5
fraccionarios.
5.- Calcular el valor de k en el desarrollo de (1+ x)43
,
si se sabe que los coeficientes de los términos de
lugares (2k + 1) y (k + 2) son iguales.
Solución:
Cálculo del término (2k + 1):
43
t2k+1
= C2k
(1)43-2k
(x)2k
43
su coeficiente: C2k
Cálculo del término k + 2:
43
tk+2
= Ck+1
(1)43-k-1
(x)k+1
43
su coeficiente: Ck+1
43 43
C2k
= Ck+1
para que estos coeficientes sean iguales, debe
cumplirse que:
2k + k + 1 = 43
luego: k = 14
Á L G E B R A
- 193 -
6.- Hallar el número de términos en el desarrollo de: (x2
+ y5
)n
, si la suma de los grados absolutos de todos
los términos es igual a 252.
Solución:
Cálculo del término general: El grado absoluto de este término es:
n
tk+1
= Ck
(x2
)n-k
( y5
) k
G.A.tk+1
= 2(n - k) + 5k = 2n + 3k
donde: k = 0, 1, 2, 3, …, n.
Mientras que los grados absolutos de los respectivos términos son 2n, 2n + 3, 2n + 6, 2n + 9,…
Por el dato inicial:
2n + (2n + 3) + (2n + 6) + … +[2n + 3(n - 2)] + [2n + 3(n - 1)] + [2n + 3n] = 252
7n
7n
7n

Sumando de 2 en 2 se obtiene:
(7n) + (7n) + (7n) + … + (7n) = 252
1444442444443
n + 1
––––– términos
2
Luego, se tendrá:
n + 1
7n(–––––) = 252
2
n(n + 1) = 72
n(n + 1) = 8 . 9
n = 8
Rpta.: El número de términos es 9.
7.- Sabiendo que A, B y C son coeficientes de tres
términos consecutivos del desarrollo de:(a + b)n
;
y, además que:
20
A + 2B + C = C10
hallar n2
.
Solución:
Sea tr+1
el primer término de los tres:
n
tr+1
= Cr
(a)n-r
(b)r
n
A = Cr
Sea tr+2
el segundo término:
n
tr+2
= Cr+1
(a)n-(r+1)
(b)r+1
n
luego: B = Cr+1
Sea tr+3
el tercer término:
n
tr+3
= Cr+2
(a)n-(r+2)
(b)r+2
n
luego: C = Cr+2
Reemplazando A, B y C en la condición del problema:
n n n 20
Cr
+ 2 Cr+1
+ Cr+2
= C10
n n n n 20
Cr
+ Cr+1
+ Cr+1
+ Cr+2
+ C10
aplicando la propiedad de las combinaciones:
r+1 r+1 20
Cr+1
+ Cr+2
= C10
aplicando nuevamente la propiedad anterior:
r+2 20
Cr+2
= C10
de aquí:
r + 2 = 10 ⇒ r = 8
n + 2 = 20 ⇒ n = 18
∴ n2
= 182
n2
= 324
TERMINO CENTRAL
En el desarrollo del Binomio de Newton, se denomina
así, al término que equidista de los extremos.
Se presenta dos casos:
1.- Cuando el exponente es par, de la forma (x + a)2n
,
existe un sólo término central y su lugar se deter-
mina según la fórmula:
2n
––
–– + 1 = n + 1
2
2.-Cuandoelexponenteesimpar,delaforma(x+a)2n+1
,
existen dos términos centrales y sus lugares se deter-
mina por las fórmulas:
1er.Central:
2n + 1 + 1
–––––––––– = n + 1
2
2do.Central:
n + 1 + 1 = n + 2
1.- Determinar a y b en la potencia:
xa yb b
(–––– + –––
)
yb-5
x
de modo que admita un solo término central cuya
parte literal sea x3
y15
.
Solución:
Como hay un término central, el lugar es:
b
–– + 1
2
- 194 -
α
α α

Por lo tanto:
b b
b - –– ––
2 2
b xa yb
t
b
= Cb
(––––
) .
(–––
)
(_
_ + 1
) –– yb-5
x
2 2
b b2
(––
) –––
2 2
b
x a
y
t
b
= Cb
. ––––––––– . ––––––––
(_
_ + 1
)
b
–– ––
2
2
b
2
y
(b - 5) . ––
x
2
b b
–– (a-1) –– (b-b+5)
b
t
b
= Cb
. x 2
y 2
(_
_ + 1
) ––
2 2
b b
–– (a-1) –– (5)
b
t
b
= Cb
. x 2
. y 2
(_
_ + 1
) ––
2 2
Como la parte literal es: x3
y15
, identificando
exponentes de x é y:
b
i) –– (a - 1) = 3
2
b(a - 1) = 6 (α)
b
ii) –– (5) = 15
2
b = 6 (β)
Sustituyendo en (α) da:
a = 1
Rpta.: a = 1 b = 6
2.- En el siguiente binomio:
1 2n-1
(x4
+ ––
)
x3
uno de sus términos centrales es independiente
de “x”. Calcular el número de términos.
Solución:
Como el exponente es impar hay 2 términos cen-
trales, cuyos lugares son:
1er. término central:
2n - 1 + 1
–––––––––– = n
2
2do. término central:
n + 1
Cálculo del tn
:
2n-1
tn
= Cn-1
(x4
)n
(x-3
)n-1
si es independiente de “x” su exponente es cero:
4n - 3(n - 1) = 0
de donde: n = -3
Pero es negativo por lo tanto no es la respuesta
buscada por no ser independiente “x”.
Cálculo del tn+1
:
2n-1
tn+1
= Cn
(x4
)n-1
(x-3
)n
si es independiente de “x” su exponente es cero:
4(n - 1) - 3n = 0
4n - 4 - 3n = 0 n = 4
Rpta.: El número de términos es 8.
3.- Si el término central del desarrollo de:
y n
(x2
- ––
)
x
es de grado absoluto seis. Calcular el exponente
que tiene “y” en ese término.
Solución:
Si hay un término central, “n” es un exponente
par, luego el lugar que ocupa el término central es:
n
–– + 1
2
n
Cálculo del t
(_
_ + 1
):
2
n n n
n - –– –– ––
n 2 y 2 n 2 yn/2
t
n
= Cn
(x2
)
(––
) = Cn
(x2
) ––—–
(_
_ + 1
)
–– x –– xn/2
2
2 2
n
n - ––
n 2 n/2 n n/2 n/2
t
n
= Cn
x y = Cn
x y
(_
_ + 1
) –– ––
2
2 2
Á L G E B R A
- 195 -

El grado absoluto del t
n
es:
(_
_ + 1
)
2
n n
–– + –– = 6
2 2
n = 6
Por lo tanto,el exponente de “y” en este término es:
n 6
–– = –– = 3
2 2
4.- Sabiendo que en el desarrollo de:
(x + y)2n+1
los términos centrales son de lugares “p” y “q”.
Hallar el valor de:
E = pq - n2
- 3n
Solución:
Como el exponente del binomio es impar, hay
dos términos centrales, cuyos lugares son:
1er. término central:
2n + 1 + 1 2n + 2
–––––––––– = ––––––– = n + 1
2 2
2do. término central:
n + 1 + 1 = n + 2
Por datos del problema:
n + 1 = p (I)
n + 2 = q (II)
Sustituyendo (I) y (II) en la expresión E:
E = (n + 1)(n + 2) - n2
- 3n
efectuando: E = 2
5.- Los coeficientes de los términos centrales de los
desarrollos de:
(x + y)2m
, y (x + y)2m-2
son entre sí como 18 es a 5. Calcular m.
Solución:
El término central de (x + y)2m
ocupa el lugar:
2m
––– + 1 = m + 1
2
el coeficiente del tm+1
de (x + y)2m
es:
2m
Cm
El término central de (x + y)2m-2
ocupa el lugar de:
2m - 2
––––––– + 1 = m
2
El coeficiente del tm
de (x + y)2m-2
es:
2m-2
Cm-1
2m
Cm 18
––––––– = –––
2m-2
5
Cm-1
2m
–––––––––
m m 2m m - 1 m - 1
–––––––––––– = –––––––––––––––––––––––
2m - 2 m m 2m - 2
––––––––––––
m - 1 m - 1
(2m)(2m - 1) 2m - 2 m - 1 m - 1 18
= ––––––––––––––––––––––––––––––– = ––
–
m m - 1 m m - 1 2m - 2 5
de aquí:
2(2m - 1) 18
––––––––– = –––
m 5
20m - 10 = 18m
2m = 10
m = 5
TRIÁNGULO DE PASCAL O DE TARTAGLIA
Permite determinar los coeficientes del desarrollo del
Binomio de Newton. Escribiendo en línea horizontal,
los coeficientes del desarrollo de la sucesivas poten-
cias del binomio forman el triángulo aritmético de
Pascal o de Tartaglia, de la siguiente manera:
- 196 -
α
α α

Á L G E B R A
- 197 -
Coeficientes de:
(x + a)0
= 1
(x + a)1
= 1 1
(x + a)2
= 1 2 1
(x + a)3
= 1 3 3 1
(x + a)4
= 1 4 6 4 1
(x + a)5
= 1 5 10 10 5 1
…
En este triángulo, un coeficiente cualquiera es
igual a la suma de los dos que van sobre él en la
línea anterior. Se utiliza para potencias pequeñas.
Ejemplo: Efectuar el desarrollo de (x3
+ y4
)5
for-
mando el triángulo de Pascal.
Solución:
1 (x + a)0
1 1 (x + a)1
1 2 1 (x + a)2
1 3 3 1 (x + a)3
1 4 6 4 1 (x + a)4
1 5 10 10 5 1 (x + a)5
Luego:
(x3
+ y4
)5
= (x3
)5
+ 5(x3
)4
y4
+ 10(x3
)3
(y4
)2
+ 10(x3
)2
(y4
)3
+ 5(x3
)1
(y4
)4
+ (y4
)5
(x3
+ y4
)5
= x15
+ 5x12
y4
+ 10x9
y8
+ 10x6
y12
+ 5x3
y16
+ y20
1. Calcular el valor de n en la siguiente expresión:
1 024 n - 1 [1 . 3 . 5 . 7 . …(2n - 3)]= 2(n - 1)
a) 12 b) 11 c) 14
d) 15 e) 13
2. Después de calcular “x” halle “E”:
(x + 3)3
x + 1
–––––––––––––––––––––– = 5
x + 1 + x + 2 + x + 3
x_______
E =
x
√10x - 4
a) 5 b) 6 c) 2
d) 7 e) 4
3. Calcular “n”:
2 + 2 2 + 3 3 + … + (n + 3) n + 3 = 60
a) 57 b) 56 c) 58
d) 59 e) 60
4. Obtener el valor de la expresión simplificada:
m! (m + 1) (m + 2)! (m + k)¡
––– + ––––––– + ––––––– + … + –––––––
0! 1! 2! k!
m + k m + k + 2
a) ––––––––– b) –––––––––––––
m + 1 k k + 1 m + 1
m + k m + k
c) –––––––––– d) –––––––
(m + 1) k m k
m + k + 1
e) –––––––––––
(m + 1) k
5. Después de operar, se obtiene:
a a - b
–– + 2 ––––
b b
a
––––––––––––––
[––
]
a a + b b
–– + –––
––
b b

- 198 -
a) a b) ab c) b
d) 1 e) a/b
6. Simplificar:
n!!(n!! + 1)!
. (n!! - 1)!(n!! - 1)!
E = –––––––––––––––––––––––––––––
(n!! - 1)(n!!)!
. (n!!)!(n!!)!n!!
a) 1 b) n c) n!
d) (n!)2
e) n2
7. Efectuar:
n n n n
[C1
C2
C3
… Cn][ 1 2 3 …… n
]2
a) ( n)n + 1
b) nn
c) ( n)n
d) ( n)n - 1
e) n
8 9 8 7 6
8. En: 9 Ca
= C8
C7
C6
C5
,
dar la diferencia absoluta de los valores de “a”
que se obtiene.
a) 2 b) 3 c) 5
d) 6 e) 7
9. Hallar x:
3n 3n+n2 x 3n 2n
Cn
C = C2n
Cn
2n+n2 x
a) -1 b) 1 c) 1/n
d) -1/n e) 1/2
2n
10. Hallar: Cn
, sabiendo que:
3n 2n 3n 3n n 3n
C2n
Cn
Cn-1
- Cn
Cn-1
Cn
= 0
a) 1 b) 12 c) 2
d) 3 e) 6
11. Calcular la siguiente suma:
n n n n
C0
C1
C2
Cn
––– + ––– + ––– … + ––––––
1 2 3 n + 1
2n+1
2n+1
+ 1
a) ––––––– b) –––––––––
n + 1 n + 1
2n+1
- 1 2n
- 1
c) ––––––– d) ––––––––
n n + 1
2n+1
- 1
e) –––––––
n + 1
12. Después de efectuar se obtiene:
n n n n-1 n n-2 n n-m
C0
Cm
+ C1
Cm-1
+ C2
Cm-2
+ … + Cm
C0
n n
a) 2n
Cm
b) 2m+n
C) 2m
Cm
n m m+n
d) 2n
Cn
e) Cm-n
13. Obtener la suma de todos los valores de “x”:
3x-2 3x-2 3x-1 3x 3x-1
Cx-2
+ Cx-3
+ Cx-3
+ Cx-3
= C3x-16
a) 25 b) 26 c) 24
d) 21 e) 22
14. En la quinta potencia de un binomio, el quinto
término vale 160x12
y el cociente de sus térmi-
nos centrales (en orden) es x2
. ¿Cuál es el
segundo término del binomio?
a) 2x4
b) x4
c) x-2
d) 2x2
e) x2
15. Si el polinomio:
P = ax4
+ Bx3
+ Cx2
+ Dx + E
es el desarrollo de la cuarta potencia de un
binomio. Hallar el valor de:
B8
C4
S = ––––––––––
(24)2
A7
D4
α
α α

si el binomio es (px + q)
a) p2
b) p3
c) q4
d) p2
q2
e) pq
16. El binomio (a2
+ b2
) al ser elevado a cierta poten-
cia, contiene en su desarrollo a18
b4
, además, sus
términos de orden (k - 3) y (2k - 11) tienen
iguales coeficientes. ¿De qué grado respecto a
“a” es el término (k + 6)?
a) 7 b) 5 c) 2
d) 9 e) No hay término
1 n
17. Si en el desarrollo de
(x + ––
)
x
el cociente de los sextos términos contados a
partir del comienzo del desarrollo y del extremo
final es igual a la unidad. Hallar “n”.
a) 6 b) 8 c) 12
d) 10 e) 14
18. Dar el valor más aproximado a:
––––––––––––
–––––––––
––––––
√2
3
√2 √ 14 . 4
a) 1,24 b) 1,98 c) 1,32
d) 1,16 e) 1,48
3
19. Dar el valor más apropiado a: –––––
––
–
√26
83 84 82
a) ––– b) ––– c) –––
82 81 81
80 84
d) ––– e) –––
81 83
20. En el desarrollo de (a + b)x+y
el segundo coefi-
ciente es igual al 4°; además en el desarrollo de
(x + y)a+b
el tercer coeficiente es igual al sétimo.
Dar el valor de E.
(a - 2x)8
+ (2y - b)8
E = ––––––––––––––––––
(b - 2y)8
a) 2 b) 1 c) 3
d) 4 e) -1
21. Calcular el número de términos diferentes, no
semejantes entre sí, del desarrollo de:
(x1
+ x2
+ x3
+ x4
+ … + xn
)3
n(2n + 1) n(2n + 1)(n + 1)
a) –––––––––– b) –––––––––––––––
3 6
n(n + 1)(n + 2) n(2n + 1)(2n + 2)
c) –––––––––––––– d) ––––––––––––––––
3 12
n(n + 1)(n + 2)
e) ––––––––––––––
6
22. ¿Qué exponente admite “z” en el término que
posee x8
en el desarrollo de:
1 n
(x2
yz + ––––)
xy2
z
a) 4 b) 5 c) 3
d) 2 e) 0
23. ¿Para qué valor de “n” aparece en el desarrollo:
__ __ __ n
(√a +
3
√b +
4
√c )
un término contenido abc?
a) 12 b) 9 c) 16
d) 8 e) 15
CLAVE DE RESPUESTAS
1) B 2) C 3) B 4) B 5) D
6) B 7) B 8) A 9) D 10) D
11) A 12) E 13) C 14) D 15) C
16) E 17) D 18) B 19) x 20) A
21) E 22) C 23) B
Á L G E B R A
- 199 -

DESARROLLO DEL BINOMIO DE
NEWTON CON EXPONENTE NEGATIVO
Y/O FRACCIONARIO
En este caso se utilizará:
n(n - 1)
(x + a)n
= xn
+ nxn-1
a1
+ –––––––– xn-2
a2
1 . 2
n(n - 1)(n - 2)
+ ––––––––––––– xn-3
a3
+ …
1 . 2 . 3
ya que la fórmula no tiene combinaciones.
Ejemplo.- Hallar los 5 primeros números en el
desarrollo de: (1 - x)-2
Solución:
(1 - x)-2
= (1)-2
+ (-2)(1)-2-1
(-x)
(-2)(-2 - 1)
+ –––––––––– (1)-2-2
(-x)2
2
(-2)(-3)(-2 - 2)
+ ––––––––––––– (1)-2-3
(-x)3
2 . 3
(-2)(-3)(-4)(-2 - 3)
+ ––––––––––––––––– (1)-2-4
(-x)4
2 . 3 . 4
Luego efectuando operaciones:
(1 - x)-2
= 1 + 2x + 3x2
+ 4x3
+ 5x4
+ …
PROPIEDADES DEL DESARROLLO DEL
BINOMIO:
1º El número de términos es infinito, y al desa-
rrollo se le conoce con el nombre de serie bi-
nómica de Newton.
2º Para determinar el desarrollo de (x + a)n
para un
número fraccionario y/o negativo, el valor de “x”
debe ser uno y además cumplir que x a . Los
valores de a deben ser tales que: 0 a 1.
3º Los términos del desarrollo con respecto a sus
signos, no tienen ninguna relación.
4º Para extraer la raíz de un número con aproxi-
mación por la serie binómica de Newton, se
utiliza la siguiente relación.
1
(1 + x)1/m
= 1 + –– x
m
donde 0 x 1.
5º Para determinar el término general en el desarrollo,
se utiliza la siguiente fórmula.
Sea el binomio (x + a)n
donde “n” es un número
fraccionario y/o negativo.
n(n - 1)(n - 2)(n - 3)…(n - r + 1)
tr+1
= ––––––––––––––––––––––––––––– xn-r
ar
r
donde:
tr+1
: es el término de lugar r + 1
n : es el exponente fraccionario y/o negativo del
binomio
x : es el primer término
a : es el segundo término
r + 1: es el lugar del término pedido.
_____
1.- Hallar
5
√921,6
Solución:
Se debe escribir 921,6 como un número que
tenga raíz quinta exacta y ponerlo como una
suma o resta.
921,6 = 1 024 - 102,4
_____
Notar que
5
√1 024 = 4
Aplicando la fórmula para extraer la raíz con
aproximación, y operando sucesivamente:
x
(1 + x)1/m
= 1 + ––
m
_____ ____________
5
√921,6 =
5
√ 1 024 - 102,4
1
_______________
––
102,4
_____
1 5
= √1 024
(1 - –––––
)=
5
√1 024
(1 - ––
)
1 024 10
1 1 1
= 4
(1 - –– . ––
)= 4
(1 - ––
)
10 5 50
= 4(1 - 0,02) = 4(0,98)
finalmente:
_____
5
√921,6 = 3,92
- 200 -
α
α α

2.- Hallar el número de términos que se debe tomar
del desarrollo de (1 - x)-2
para que la suma de sus
coeficientes sea 2 485.
Solución:
Desarrollando algunos términos, con la finalidad
de obtener la relación en que se encuentran los
coeficientes del desarrollo:
(1 - x)-2
= (1)-2
+ (-2)(1)-3
(-x)
(-2)(-3)
+ ––––––– (1)-4
(-x)2
2
(-2)(-3)(-4)
+ ––––––––––– (1)-5
(-x)3
+ …
2 . 3
= 1 + 2x + 3x2
+ 4x3
+ …
Se observa que los coeficientes del desarrollo son
1,2,3,4,5, etc.
Suponiendo que se tome “n” términos, la suma sería:
1 + 2 + + 3 + 4 + 5 + … + n = 2 485
que equivale a:
n(n + 1)
––––––––– = 2 485
2
n(n + 1) = 4 970
n(n + 1) = 70 . 71
por comparación: n = 70
Rpta.: Se deben tomar 70 términos.
3.- Encontrar el valor de “n” si en el desarrollo de:
(1 - x)-n
todos los términos tienen igual coeficiente.
Solución:
Como todos los términos tienen igual coeficiente,
basta calcular dos términos e igualar sus coefi-
cientes, desarrollando los dos primeros términos.
(1 - x)-n
= (1)-n
+ (-n)(1)-n-1
(-x)
(-n)(-n - 1)
+ ––
––––––––– (1)-n-2
(-x)2
+…
2
n(n + 1)
(1 - x)-n
= 1 + nx + –––––––– x2
+ …
2
igualando coeficientes:
n = 1
4.- Hallar el término general del desarrollo de:
(x - a)-n
Solución:
Utilizando la fórmula en este caso:
(-n)(-n - 1)(-n - 2)(-n - 3)…(-n - r + 1)
t(r+1)
= ––––––––––––––––––––––––––––––––––––––
r
. (x)-n-r
(-a)r
(-1)r
n(+n + 1)(n + 2)(n + 3)…(n + r - 1)
t(r+1)
= ––––––––––––––––––––––––––––––––––––––
r
. (x-n-r
) (-1)r
ar
[(-1)(-1)]r
n - 1 (n)(n + 1)(n + 2)(n + 3)
t(r+1)
= ––––––––––––––––––––––––––––––––––––––
r n - 1
…(n + r - 1) ar
–––––––––––– . ––––
xn+r
n + r - 1 ar
t(r+1)
= –––––––––– . –––––
r n - 1 xn + r
ó:
ar
t(r+1)
= cn+r-1
. –––––
r
xn + r
5.- Hallar el t10
del desarrollo de:
__
1
-3
(3
√x - ––––
)
__
√x2
Solución:
(-3)(-3 - 1)(-3 - 2)(-3 - 3)(-3 - 4)(-3 - 5)
t10
= –––––––––––––––––––––––––––––––––––––
9
(-3 - 6)(3 - 7)(-3 - 8) -3-9
1 9
__
––––––––––––––––––– . (3
√x ) (- ––––
)
__
3
√x2
__ -12
(-1)9
(3)(4)(5)(6)(7)(8)(9)(10)(11)( 3
√x )
t10
= ––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––
9
1 9
. (-1)9
(––––
)
__
3
√x2
(-1)9
(-1)9
3 . 4 . 5 . 6 . 7 . 8 . 9 . 10 . 11 1
t10
= ––––––––––––––––––––––––––––––––(x)-4
.
(––
)
1. 2 . 3 . 4 . 5 . 6 . 7 . 8 . 9 x6
Á L G E B R A
- 201 -

t10
= [(-1)(-1)]9
55x-10
t10
= 55x-10
______ ______
4
√ 15,84
8
√253,44
E = 1 - ––––––––––––––––––
_____ ______
5
√31,68
6
√ 63,36
Solución:
Teniendo en cuenta que:
15,84 = 16 - 0,16
253,44 = 256 - 2,56
31,68 = 32 - 0,32
63,36 = 64 - 0,64
Sustituyendo estos valores en la expresión a calcular:
_________ __________
4
√16 - 0,16
8
√256 - 2,56
E = 1 - ––––––––––––––––––––––––––
______
___ _________
5
√32 - 0,32
6
√ 64 - 0,64
________
__
_ __________ _____
2,56
4
√16
4
√1 - 0,16/16
8
√256 1- –––––
√ 256
E = 1 - ––––––––––––––––––––––––––––––––––
_______ ____
____
___
0,32
_
__
0,64
5
√32 1 - ––––
6
√64 1- –––––
√ 32 √ 64
_______ _____
___
4
1
8
1
2
( 1 - ––––
) 2
( 1 - ––––
)
√ 100 √ 100
E = 1 - –––––––––––––––––––––––––––––––
_______ _____
___
5
1
6
1
2
( 1 - ––––
) 2
( 1 - ––––
)
√ 100 √ 100
1/4 1/8
1 1
(1 - ––––
) (1 - ––––
)
100 100
E = 1 - –––––––––––––––––––––––
1/5 1/6
1 1
(1 - ––––
) (1 - ––––
)
100 100
1 1 1 1
–– + –– - –– - ––
4 8 5 6
1
E = 1 -
[1 - ––––
]
100
30+15-24-20
–––––––––––
120
1
E = 1 -
[1 - ––––
]
100
1
––––
120
1
E = 1 -
(1 - ––––
)
100
1 1
E = 1 -
[1 - –––– . ––––
]
100 120
1
E = 1 - 1 + ––––––
12 000
1
E = ––––––
12 000
7.- Hallar el cociente de los términos (k + 1) de los
desarrollos:
(1 - x)-n
y (1 + x)-n
Solución:
Calcular mediante la fórmula:
1) tk+1
del desarrollo (1 - x)-n
:
(-n)(-n - 1)(-n - 2)…(-n - k + 1)
t(k+1)
= –––––––––––––––––––––––––––
k
. (1)-n-k
(-x)k
(-1)k
(n)(n + 1)(n + 2)…(n + k - 1)
tk+1
= –––––––––––––––––––––––––––––––
k
. (-1)k
xk
(-1)k
(-1)k
n(n + 1)(n + 2)…(n + k - 1)
tk+1
= –––––––––––––––––––––––––––––––– xk
k
n(n + 1)(n + 2)…(n + k - 1)
tk+1
= ––––––––––––––––––––––––– xk
k
2) tk+1
del desarrollo de (1 + x)-n
:
(-n)(-n - 1)(-n - 2)…(-n + k + 1)
t(k+1)
= –––––––––––––––––––––––––––––
k
. (+1)-n-k
(+x)k
(-1)k
n(n + 1)(n + 2)…(n + k - 1)
tk+1
= –––––––––––––––––––––––––––– xk
k
- 202 -
α
α α

dividiendo ambos términos se obtiene:
n(n + 1)(n + 2)(n + 3)…(n + k - 1) xk
q = –––––––––––––––––––––––––––––––––––––
n(n + 1)(n + 2)(n + 3)…(n + k - 1)(-1)k
xk
1
q = ––––– = (-1)-k
(-1)-k
Rpta.: q = (-1)-k
8.- Encontrar la suma de los coeficientes de los 2n
primeros términos del desarrollo de:
(x + a)-2
Solución:
Desarrollando algunos términos para determinar
la ley de formación que siguen los coeficientes:
(x - a)-2
= (x)-2
+ (-2)(x)-3
(-a)1
(-2)(-3)
+ ––––––– (x)-4
(-a)2
2
(-2)(-3)(-4)
+ –––––––––– x-5
(-a)3
+ …
2 . 3
Por lo tanto:
(x - a)-2
= x-2
+ 2x-3
a + 3x-4
a2
+ 4x-5
a3
+ …
Los coeficientes de los términos son: 1,2,3,4,5, etc.
Luego, la suma de los 2n primeros términos será:
2n(2n + 1)
1 + 2 + 3 + 4 + … + 2n = –––––––––– = n(2n + 1)
2
Rpta.: n(2n + 1)
9.- Tres términos consecutivos cualesquiera del desa-
rrollo de (a - b)-n
son proporcionales a: 1, b y b2
;
hallar (a + n).
Solución:
Desarrollando los tres primeros términos:
(a - b)-n
= (a)-n
+ (-n)(a)-n-1
(-b)
(-n)(-n - 1)
+ –––––––––– a-n-2
(-b)2
+ …
2
(a - b)-n
= a-n
+ na-n-1
b
n(n + 1)
+ ––
–––––– a-n-2
b2
+ …
2
De acuerdo con la condición del problema:
a-n
na-n-1
b n(n + 1)a-n-2
b2
––– = ––––––– = –––––––––––––
1 b 2b2
De la primera relación:
a-n
= na-n-1
n = a-n .
an+1
n = a (1)
También, de la segunda relación:
n(n + 1)a-n-2
na-n-1
= –––––––––––
2a
n + 1 = 2a (2)
n + 1 = 2a
n + 1 = 2n
n = 1
a = 1
Como resultado:
a + n = 1 + 1 = 2
Rpta.: 2
10.- Calcular el valor de la siguiente expresión:
3
E = –––––
___
3
√26
Solución:
Cálculo de:
___________
__ __ 3
1
3
√26 =
3
√27 = 27
(1 - –––
)
√ 27
__ __
1
1/3
3
√26 =
3
√27
(1 - –––
)
27
__
1 1 1
3
√26 = 3
(1 - ––– . –––
)= 3
(1 - –––
)
27 3 81
Á L G E B R A
- 203 -

- 204 -
Sustituyendo este valor en la expresión pedida:
3 1
E = ––––––––––– = –––––––
1 81 - 1
3
(1 - –––
) –––––––
81 81
∴
81
E = –––
80
1. ¿Qué lugar ocupa en el desarrollo de:
x2 8
[–––––––––––––
]
x-(x + x-1
)-1
su término independiente?
a) 5° b) 4° c) 6°
d) 3° e) 7°
2. Si 0 x 1 desarrollar:
1
_______________
________
x-1
+ √x-2
(x + 1)
hasta tres términos:
x x
a) ––– (x2
+ 2x + 8) b) ––– (x2
+ 2x - 8)
16 16
x x
c) ––– (x2
+ 2x + 8) d) ––– (x2
+ 2x - 8)
12 16
x
e) ––– (x2
- 2x - 8)
12
1
3. Al efectuar ––––––––
(1 - ab)n
el coeficiente de un término es igual a la suma de
los términos más cercanos a él. Dar el coeficiente
del tercer término.
a) 1 b) 2 c) 3
d) 4 e) 5
4. Dar el valor más próximo de:
____________
_________
______
E = √2 √2 √ 14,4
a) 1,21 b) 1,98 c) 1,27
d) 0,92 e) 1,001
5. Hallar el término general de:
(x3
- y4
)-n
y dar su coeficiente t(k+1)
.
a)(k + 1) b) k
(k + 1)(k + 2)
c) k + 2 d) –––––––––––––
2
k + 2
e) –––––
2
6. Si para 0 x 1 se cumple que:
6x + 10x2
+ 15x3
+ … = 15
Calcular el valor de:
3x - x2
- 3
E = –––––––––––––
x3
- 3x2
+ 3x - 1
a) 17 b) 14 c) 13
d) 12 e) 15
7. El valor de “x” es muy pequeño, de tal manera
que su cuadrado y demás potencias superiores
pueden despreciarse, en consecuencia el equiva-
lente de:
(x + 9)1/2
––––––––
x + 1
α
α α

15 17
a) 2 + ––– x b) 1 + ––– x
4 8
17 13
c) 3 - ––– x d) 2 - ––– x
6 5
19
e) 2 + ––– x
5
8. Hallar el coeficiente de x4
en el desarrollo de:
1
–––––––––––––
(1 + 3x - 2x2
)4
a) 2 800 b) 2 850 c) 2 870
d) 2 875 e) 2 835
9. Hallar el término (k + 1) del desarrollo de:
(1 - 4x)-1/2
y dar su coeficiente.
a) C2k
b) C2k+1
c) C2k
k k k-1
d) C2k+1
e) Ck
k-1 k+1
__
_
10. Hallar la
5
√33 con aproximación de 5 cifras deci-
males.
a) 2,01233 b) 2,01234
c) 2,012345 d) 2,012245
e) 2,012244
CLAVE DE RESPUESTAS
1) A 2) E 3) A 4) B 5) A
6) E 7) C 8) D 9) A 10) C
Á L G E B R A
- 205 -

- 206 -
RADICACIÓN
RADICACIÓN
α
α α
DEFINICIÓN
Radicación es la operación que consiste en hallar una
cantidad algebraica “q”, llamada raíz, que al ser ele-
vada a un cierto índice reproduce una cantidad dada
“A”, llamada radicando o cantidad subradical.
En general:
__
√A = q ⇔ A = qn
ELEMENTOS DE UNA RAÍZ
En forma esquemática:
signo radical
n ––––––
√A = q
indice
raíz
cantidad subradical
o radicando
SIGNOS DE LAS RAICES
1.- La raíz de índice par de una expresión alge-
braica positiva tiene dos valores iguales y de
signos contrarios (+) y (-).
2.- La raíz de índice par de una expresión alge-
braica negativa carece de valor real y se llama
raíz imaginaria.
3.- La raíz de índice impar de expresiones alge-
braicas tiene el mismo signo del radicando.
En resumen:
par ––––––
1) √ (+) = (±)
par ––––––
2) √ (-) = imaginaria
impar ––––––
3) √ (+) = (+)
impar ––––––
4) √ (-) = (-)
RAÍZ DE UN MONOMIO
Para extraer a la raíz de un monomio se debe proced-
er así:
1º Se extrae la raíz del signo, de acuerdo con la
ley de signos de las raíces.
2º Se extrae la raíz del coeficiente.
3º Se divide los exponentes de las letras entre el
índice de la raíz.
Ejemplos.
Hallar:
__________
i)
4
√256x12
y8
z24
= 4x3
y2
z6
__________
ii)
5
√-32x10
y20
z25
= -2x2
y4
z5
n ––
√A = q
n ––
√A = q

RAÍZ CUADRADA DE UN POLINOMIO
Para extraer la raíz cuadrada a un polimonio se debe
emplear la siguiente regla práctica:
REGLA PRÁCTICA:
1º Se ordena y se completa. Luego, se agrupa de
2 en 2 los términos, empezando por la
derecha.
2º Se halla la raíz cuadrada del primer grupo de
la izquierda (que puede ser un solo término)
que será el primer término de la raíz cuadra-
da del polinomio; se multiplica esta raíz por
sí misma cambiando de signo el resultado y
se suma al polinomio dado, eliminándose la
primera columna.
3º Se baja los dos términos que forman el si-
guiente grupo, se duplica la raíz hallada y se
divide el primer término de los bajados en-
tre el duplo del primer término de la raíz. El
cociente es el segundo término de la raíz.
Este segundo término de la raíz con su pro-
pio signo se escribe al lado del duplo del
primer término de la raíz formándose un bi-
nomio, este binomio se multiplica por dicho
segundo término con signo cambiado, su-
mándose el producto a los dos términos que
se había bajado.
4º Se baja el siguiente grupo de dos términos. Se
duplica la parte de la raíz ya hallada y se divi-
de el primer término del residuo entre el pri-
mero de este duplo. El cociente es el tercer tér-
mino de la raíz. Este tercer término con su
propio signo se escribe al lado del duplo de la
raíz hallada y se forma un trinomio, este trino-
mio se multiplica por dicho tercer término de
la raíz con signo cambiado y el producto se su-
ma al residuo.
5º Se replica el procedimiento anterior, hasta
obtener un resto cuyo grado sea una unidad
menor que el grado de la raíz o un polimonio
idénticamente nulo.
Ejercicio:
Extraer la raíz cuadrada del polinomio:
x4
- 10x3
+ 28x2
- 20x + 4
Solución:
√ x4
- 10x3
+ 28x2
- 20x + 4 x2
- 5x + 2
–––––––––––––––––––
-x4
2(x2
) = 2x2
––––––––––––– –––––––––––––––––––
- 10x3
+ 29x2
(2x2
- 5x)(-5x)
–––––––––––––––––––
+ 10x3
- 25x2
2(x2
- 5x) = 2x2
- 10x
––––––––––––––––––– –––––––––––––––––––
+ 4x2
- 20x + 4 (2x2
- 10x + 2)(+2)
- 4x2
+ 20x - 4
–––––––––––––––––––
- - -
EXPLICACIÓN:
1) Se halla la raíz cuadrada de x4
que es x2
; éste
es el primer término de la raíz del polinomio;
x2
se eleva al cuadrado y da x4
; este cuadrado
se resta del primer término del polinomio y se
baja los dos términos siguientes: -10x3
+ 29x2
.
2) Se halla el duplo de x2
que es 2x2
.
3) Se divide (-10x3
) ÷ (2x2
) = -5x; éste es el segun-
do término de la raíz. Se escribe -5x al lado de
2x2
y se tiene un binomio 2x2
- 5x; este binomio
se multiplica por -5x y da -10x3
+ 25x2
. Este
producto se resta (cambiando los signos ) de -
10x3
+ 29x2
; la diferencia es 4x2
.
4) Se baja los dos términos siguientes y se tiene
4x2
- 20x + 4. Se duplica la parte de raíz halla-
da 2(x2
- 5x) = 2x2
- 10x.
5) Se divide (4x2
) ÷ (2x2
) = 2; éste es el tercer
término de la raíz. Este 2 se escribe al lado de
2x2
- 10x y se forma el trinomio 2x2
- 10x + 2,
que se multiplica por 2 y da: 4x2
- 20x + 4.
Este producto se resta (cambiándole de sig-
nos) del residuo 4x2
- 20x + 4 y da cero.
PRUEBA
Se eleva al cuadrado la raíz cuadrada x2
- 5x + 2 y
si la operación está correcta debe ser igual a la
cantidad subradical.
RAÍZ CUADRADA POR EL MÉTODO DE
COEFICIENTES INDETERMINADOS
Es te método será explicado mediante el siguiente
ejemplo, que pide extraer la raíz cuadrada del
polinomio
9x4
+ 6x3
+ 13x2
+ 7x + 6
Á L G E B R A
- 207 -

La raíz será un polinomio de segundo grado, y
por lo tanto de la forma:
ax2
+ bx + c
y el resto, si lo hay, será un polinomio de primer
grado de la forma:
mx + n
Recordemos que la cantidad subradical es igual al
cuadrado de la raíz más el residuo; ésto es:
9x4
+ 6x3
+13x2
+7x + 6 ≡ (ax2
+ bx + c)2
+ mx + n
≡ (a2
x4
+ 2abx3
+ (b2
+2ac)
x2
+ (2bc + m)x + (c2
+n)
a2
= 9 (I)
2ab = 6 (II)
b2
+ 2ac = 13 (III)
2bc + m = 7 (IV)
c2
+ n = 6 (V)
de (I): a = ±3
Suponiendo: a = +3, se deduce de las demás
igualdades que:
b = 1, c = 2,
m = 3, n = 2
si a = -3,el resultado es:
b = -1 c = -2,
m = 3, n = 2
Por consiguiente, el polinomio dado admite dos
raíces:
Primera raíz = 3x2
+ x + 2
Segunda raíz = 3x2
- x - 2
y el resto en ambos casos es: 3x + 2
RAÍZ CÚBICA DE POLINOMIOS
REGLA PRÁCTICA GENERAL
1º Se ordena El polinomio dado , se completa y
se separa en grupos de tres en tres términos,
empezando por la derecha.
2º Se extrae la raíz cúbica del primer término del
primer grupo de la izquierda, que será el
primer término de la raíz; este término se
eleva al cubo y se resta del primer término del
polinomio dado.
3º Se baja el siguiente grupo formado por los tres
siguientes términos del polinomio y se divide
el primero de ellos entre el triple del cuadra-
do de la raíz hallada; el cociente de esta
división es el segundo término de la raíz.
4º Se forma tres productos:
a) El triple del cuadrado del primer término de
la raíz por el segundo término de la raíz.
b) El triple del primer término de la raíz por el
cuadrado del segundo término de la raíz.
c) El cubo del segundo término de la raíz.
Se suma los resultados obtenidos de los pro-
ductos, se les cambia de signo y se les suma a
los tres términos del polinomio dividendo que
se habían bajado.
5º Se baja el siguiente grupo de términos,
dividiéndose el primer término del residuo
entre el triple del cuadrado del primer térmi-
no de la raíz, el cociente es el tercer término
de la raíz.
Se forma 3 productos:
a) El triple del cuadrado de la raíz hallada (1°
y 2° términos) por el tercer término de la
raíz.
b) El triple de la raíz hallada por el cuadrado
del tercer término.
c) El cubo del tercer término de la raíz.
Se suma los productos obtenidos, se cambia
de signo a sus términos y se les suma a los tér-
minos del residuo. Se repite hasta obtener co-
mo residuo un polinomio cuyo grado sea una
unidad menor que el doble del grado de la
raíz.
- 208 -
α
α α

Ejemplo:
Extraer la raíz cúbica de:
x6
- 6x5
+ 15x4
- 20x3
+ 15x2
- 6x + 1
Solución:
Se ordena el polinomio con respecto a “x” y se
dispone la operación de la siguiente manera:
3
√x6
- 6x5
+ 15x4
- 20x3
+ 15x2
- 6x +1 x2
- 2x + 1
––––––––––
––––––––
-x6
3(x2
)2
= 3x4
––––––––––––––––– ––––––––––
––––––––
-6x5
+ 15x4
- 20x3
(-6x5
) ÷ (3x)4
= -2x
––––––––––
––––––––
-6x5
- 12x4
+ 8x3
a) 3(x2
)2
(-2x) = -6x5
–––––––––––––––––––––––––
3x4
- 12x3
+ 15x2
- 6x +1 b) 3(x2
)(-2x)2
= 12x4
-3x4
+ 12x3
- 15x2
+ 6x - 1 c) (-2x)3
= -8x3
–––––––––––––––
––––––––––– ––––––––––
––––––––
- - - - - -6x5
+ 12x4
- 8x3
––––––––––
––––––––
(3x4
) ÷ (3x)4
= 1
––––––––––
––––––––
a) 3(x2
- 2x)2
(1)
= 3x4
- 12x3
+ 12x2
b) 3(x2
- 2x)(1)2
= 3x2
- 6x
c) (1)3
= 1
––––––––––
––––––––
3x4
-12x3
+15x2
-6x+1
La raíz cúbica obtenida es:
x2
- 2x + 1
EXPLICACIÓN
__
1) Se extrae la
3
√ de x6
y de x2
; éste será el primer
término de la raíz cúbica del polinomio; x2
se
eleva al cubo y da x6
. Este cubo se resta del
primer término del polinomio y se baja los tres
términos siguientes que son:
-6x5
+ 15x4
- 20x3
2) Se halla el triple del cuadrado de x2
que es:
3(x2
)2
= 3x4
3) Se divide (-6x5
) ÷ (3x4
) = -2x; éste es el segundo
término de la raíz. Se forma los tres grupos que
son:
a) 3(x2
)2
(-2x) = -6x5
b) 3(x2
) (-2x)2
= 12x4
c) (-2x)3
= -8x3
4) Estos productos, con signos cambiados, se
suma a los 3 términos anteriores; es decir:
-6x5
+ 15x4
- 20x3
+ 6x5
-12x4
+ 8x3
= 3x4
- 12x3
5) Se baja los 3 siguientes términos y se tiene:
3x4
- 12x3
+ 15x2
- 6x + 1
6) Se divide (3x4
) ÷ [3(x2
)2
] que da 1; éste último
es el tercer término de la raíz.
7) Se forma los siguientes productos:
a) 3(x2
- 2x)2
(1) = 3x4
- 12x3
+ 12x2
b) 3(x2
- 2x)(1)2
= 3x2
- 6x
c) (1)3
= 1
8) Los productos con signo cambiado pasan a
sumar a:
3x4
- 12x3
+ 15x2
- 6x + 1 - 3x4
+ 12x3
-15x2
+ 6x - 1 = 0
El residuo es cero.
9) La raíz obtenida es x2
- 2x + 1
PRUEBA
Para comprobar se eleva al cubo la raíz obtenida y
debe obtener ser como resultado el polinomio dado.
1.- Extraer la raíz cuadrada de:
4x6
- 4x5
+ 13x4
- 10x3
+ 11x2
- 6x + 1
Solución:
Siguiendo los pasos señalados:
Á L G E B R A
- 209 -

√4x6
-4x5
+13x4
-10x3
+11x2
-6x+1 2x3
-x2
+3x-1
–––––––––––––––––––
-4x6
2(2x3
)= 4x3
(divisor)
–––––––––––– –––––––––––––––––––
-4x5
+ 13x4
(4x3
-x2
)(-x2
)= -4x5
+x4
–––––––––––––––––––
+4x5
- x4
(4x3
- 2x2
+ 3x)(3x)
––––––––––––––––––––––
+12x4
- 10x3
+ 11x2
= 12x4
- 6x3
+ 9x2
–––––––––––––––––––
-12x4
+ 6x3
- 9x2
(4x3
-2x2
+6x-1)(-1)
––––––––––––––––––––
- 4x3
+ 2x2
- 6x +1 = -4x3
+ 2x2
+ 6x +1
+ 4x3
- 2x2
+ 6x - 1
––––––––––––––––
- - - -
Rpta.: La raíz es 2x3
- x2
+3x - 1
2.- Hallar m y n si la raíz cuadrada de:
16x4
- 32x3
+ 24x2
+ mx + n es exacta.
Solución:
Extrayendo la raíz cuadrada:
√16x4
- 32x3
+ 24x2
+ mx + n 4x2
- 4x + 1
–––––––––––––––––
-16x4
2(4x2
) = 8x2
(divisor)
––––––––––––––– –––––––––––––––––
-32x3
+ 24x2
(8x2
- 4x)(-4x)
+32x3
- 16x2
= -32x3
+ 16x2
––––––––––––––––––– –––––––––––––––––
8x2
+ mx + n (8x2
- 8x - 1)(1)
-8x2
+ 8x - 1 = 8x2
- 8x + 1
–––––––––––––––
(m + 8)x + (n - 1)
Si el polinomio tiene raíz cuadrada exacta, el
resto debe ser un polinomio idénticamente nulo:
(m + 8)x + (n - 1) ≡ 0x + 0
m + 8 = 0 ⇒ m = -8
n - 1 = 0 ⇒ n = 1
Rpta.: m = -8 , n = 1
3.- Hallar m y n si la raíz cuadrada de:
x4
+ 6x3
+ mx2
+ 12x + n
es exacta.
Solución:
m - 9
√ x4
+ 6x3
+ mx2
+ 12x + n x2
+ 3x + –––––
2
–––––––––––––
-x4 2(x)2
= 2x2
–––––––––––– –––––––––––––
+ 6x3
+ mx2
(2x2
+ 3x)(3x)
- 6x3
- 9x2
= +6x3
+ 9x2
––––––––––––––––––––––––––– –––––––––––––
m-9
(m - 9)x2
+ 12x + n
(2x2
+6x +––––
–
)
2
m-9
(––––
–
)
2
m-9 2
-(m- 9)x2
- 3(m - 9)x -
(––––
–
)
2
––––––––––––––––––––––––
m-9 2
[12 - 3(m-9)]x+
[n-
(––––
–
)]
2
si el polinomio tiene raíz cuadrada exacta, el resto
debe ser un polinomio idénticamente nulo,
luego:
m - 9 2
[12 - 3(m - 9)] x+
[n-
(––––––
–
)] 0x + 0
2
Por consiguiente:
1) 12 - 3(m -9) = 0
12 = 3(m - 9)
m = 13
m - 9 2
2) n -
(––––––
–
)= 0
2
m - 9 2
n =
(––––––
–
)
2
sustituyendo m:
13 - 9 2
n =
(–––––––
–
) = 4
2
Rpta.: m = 13 , n = 4
4.- Hallar “m” si la raíz cuadrada de:
4x30
- 4x18
+ 12x15
+ x6
+ mx3
+ 9
es exacta.
- 210 -
α
α α

Solución:
√4x30
- 4x18
+ 12x15
+ x6
+ mx3
+ 9 2x15
- x3
+ 3
––––––––––––
––
-4x30
2(2x15
) = 4x15
–––––––––––––––––– ––––––––––––
––
- 4x18
+ 12x15
+ x6
(4x15
- x3
)(-x3
)
+4x18
- x6
= -4x18
+ x6
–––––––––––––––––––––– ––––––––––––
––
+12x15
+ mx3
+ 9 (4x15
- 2x3
+ 3)(3)
-12x15
+ 6x3
- 9 = 12x15
- 6x3
+ 9
––––––––––––––––––
0 (m + 6)x3
0
si la raíz es exacta, el polinomio resto debe ser
idénticamente nulo.
∴ (m + 6)x3
≡ 0x3
m + 6 = 0
m = - 6
5.- Hallar “m” y “n” si la raíz cuadrada de:
4x4
+ mx3
+ nx2
+ 24x + 16
es exacta.
Solución:
Aplicando el método de coeficientes indetermi-
nados; para tal efecto, como el polinomio es de
cuarto grado, su raíz cuadrada será de la forma:
ax2
+ bx + c
luego por la propiedad de raíz cuadrada:
4x4
+ mx3
+ nx2
+ 24x + 16 ≡ (ax2
+ bx + c)3
4x4
+ mx3
+nx2
+ 24x +16 ≡ a2
x4
+ b2
x2
+ c2
+ 2abx3
+ 2acx2
+ 2bcx
4x4
+ mx3
+ nx2
+ 24x +16 ≡ a2
x4
+ 2abx3
+ (b2
+ 2ac)x2
+ 2bcx + c2
a2
= 4 ⇒ a = ±2
2ab = m (1)
2ac + b2
= n (2)
2bc = 24 (3)
c2
= 4 ⇒ a = 4
Para a = 2, c = 4; sustituyendo en la ecuación (3):
b = 3
sustituyendo en (1) y (2):
m = 12
n = 25
para: a = -2, c = -4; sustituyendo en (1), (2) y (3)
n = 25
b = -3
m = 12
Rpta.: m = 12 , n = 25
6.- Hallar m, n, p si la raíz cúbica de:
x6
+ 6x5
+ 9x4
- 4x3
+ mx2
+ nx + p
es exacta.
Solución:
Extrayendo la raíz cúbica:
3
√x6
+ 6x5
+9x4
- 4x3
+mx2
+nx + p x2
+ 2x - 1
––––––––––––––––
-x6
3(x2
)2
= 3x4
(divisor)
–––––––––––––– ––––––––––––––––
+ 6x5
+ 9x4
- 4x3
(6x5
) ÷ (3x4
) = 2x
––––––––––––––––
-6x5
- 12x4
- 8x3
3(x2
)2
(2x) = 6x5
––––––––––––––––––––––––
-3x4
- 12x3
+ mx2
+ nx + p 3(x2
)(2x)2
= 12x4
+3x4
+ 12x3
+ 9x2
- 6x + 1 (2x)3
= 8x3
––––––––––––––––––––– ––––––––––––––––
(m + 9)x2
+ (n - 6)x + (p +1) (6x5
+12x4
+ 8x3
)(-1)
––––––––––––––––
(-3x4
) ÷ (3x4
) = -1
––––––––––––––––
3(x2
+ 2x)2
(-1)
= -3x4
- 12x3
-12x2
3(x2
+ 2x)(-1)2
= 3x2
+ 6x
(-1)3
= -1
––––––––––––––––
(-3x4
- 12x3
- 9x2
+ 6x - 1)(-1)
Si la raíz cúbica es exacta el resto es un polinomio
idénticamente nulo, así:
(m + 9)x2
+ (n - 6)x + (p + 1) ≡ 0x2
+ 0x + 0
Á L G E B R A
- 211 -

- 212 -
α
α α
m + 9 = 0 m = -9
n - 6 = 0 n = 6
p + 1 = 0 p = -1
RADICALES DOBLES
CONCEPTO
Se denomina radical doble al que presenta la siguien-
te forma general:
________
__
_
√A ± √B
Ejemplos:
_____
___
__
__
_
_
i) √5 + √24
_____
__
____
___
_
_
ii) √11 - √120
TRANSFORMACIÓN DE RADICALES
DOBLES A RADICALES SIMPLES O
SENCILLOS
Todo radical doble se puede descomponer en la suma
o diferencia de dos radicales simples.
Deducción de la fórmula:
En general:
_____
____
__ __ __
√A ± √B = √ x ± √y
de donde se deduce que:
_____
____
__ __ __
√A + √B = √ x ± √y (I)
_____
____
__ __ __
√A - √B = √ x ± √y (II)
Porcedimiento para calcular “x” é “y”
1) Cálculo de “x”.
Sumando (I) + (II):
_____
____ _____
____
__ __ __
2 √ x = √A + √B + √A - √B
Elevando al cuadrado:
_____
____ ____
_
____
__ __ __ __
4x = A + √B + 2 √A + √B √A - √B + A - √B
______ ______
2A + 2√A2
- B A + √A2
- B
x = ––––––––––––––– = –––––––––––––
4 2
haciendo:
_____
C = √A2
- B
A + C
∴ x = ––
–––– (α)
2
2) Con procedimiento análogo, se debe determi-
nar el valor de “y”:
A - C
x = ––
–––– (β)
2
Sustituyendo los valores de “x” é “y”, en (I) y (II):
_______ _______
____
_____
__
A + C A - C
√A + √B = –––––– + ––––––
√ 2 √ 2
_______ _______
____
_____
__
A + C A - C
√A + √B = –––––– - ––––––
√ 2 √ 2
En resumen, la fórmula para descomponer una
raíz doble en raíces simples es:
_______ _______
____
_____
__
A + C A - C
√A ± √B = –––––– ± ––––––
√ 2 √ 2
donde:
_____
C = √A2
- B
Es decir que, para transformar raíces dobles, en
raíces simples, A2
- B debe ser un número cuadra-
do perfecto.
1.- Descomponer en radicales simples:
__________
__
_
√11 + 6√2
Solución:
Previamente, introduzcamos el 6 dentro del radi-
cal interior; y, aplicando la fórmula:

Á L G E B R A
- 213 -
_______ _______
____
_____
___
11 + C 11 - C
√11 + √72 = –––––– + –––––– (1)
√ 2 √ 2
Cálculo de C:
_______ ________ ___
C = √112
- 72 = √ 121 - 72 = √49 = 7
reemplazando en (1):
___
____ ___
____
____
_____
___
11 + 7 11 - 7 –– ––
√11 + √72 = –––––– + –––––– = √9 + √2
√ 2 √ 2
_____
____
___ __
√11 + √72 = 3 + √2
NOTA.-
Este ejercicio y sus similares se pueden
resolver dándole la forma de binomio al
cuadrado, bajo radical, y procediendo de la
siguiente forma general:
______
_______ _____________
__
_ __ __ 2
__ __
√a + b ± 2√ab = √(√ a ± √ b ) = √ a ± √b
Aplicando al ejercicio anterior:
____
______
__ __________ ___
__________
___ ___
_ ______
√11 + 6√ 2 = √11 + √72 = √11 + √4 . 18
___
_____
__
__
_
= √11 + 2√18
___
____
____ ___
____
_____
__
__ __
___
√11 + 2√18 = √11 + 2√9 . 2
_____________
____ __ __
= √9 + 2 + 2√9 . 2 = √ 9 + √ 2
∴
_______
____
__
__ __
√11 + 2 √18 = 3 + √2
______
_____ ___
_____ __________
____ _
__ ___
E = √12 + √140 - √ 8 +√28 + √11 - 2 √ 30
___
__
______
__
- √ 7 - 2 √ 6
Solución:
Transformando cada radical doble separada-
mente, haciendo que sean desarrollo de cuadrado
perfecto:
___
_______ ______
______
__
__ _____
(I) √12 + √140 = √12 + √4 . 35
_______
_________
___
__ ___ __
_
= √ 7 + 5 + 2 √ 7 . 5 = √ 7 + √ 5
__
_____
___ ___
__
______
____ _____
(II) √8 + √28 = √8 + √4 . 7
_______
_________
___
__ ___ __
_
= √ 7 + 1 + 2 √ 7 . 1 = √ 7 + √ 1
____
______ ______
___
______
__
_
_ __
___
(III) √11 - 2√ 30 = √6 + 5 - 2 √6 . 5
__ __
= √6 - √ 5
_____
____ ______
___
______
__
_
_ __
___
(IV) √7 - 2√6 = √6 + 1 - 2 √6 . 1
__ __
= √6 - √ 1
Sustituyendo en la expresión propuesta:
__ __ __ __ __ __
E = √7 + √ 5 - (√ 7 + √ 1 ) + √6 - √5
__ __
- (√ 6 - √1 )
quitando paréntesis:
__ __ __ __ __ __
E = √7 + √ 5 - √ 7 + √ 1 + √6 - √5
__ __
- √ 6 - √1
reduciendo: E = 0
OTRO MÉTODO
Aplicando la fórmula al mismo problema anterior
_______ _______
____
_____
__
A + C A - C
√A ± √B = –––––– + ––––––
√ 2 √ 2
______
_____ ___
_____ __________
____ _
__ ___
E = √12 + √140 - √ 8 +√28 + √11 - 2 √ 30
___
_______
__
- √ 7 - 2 √ 6
Solución:
Analizando cada término de la expresión:
Primer término:
_______ _______
____
_______
____
_
12 + C1
12 - C1
√12 + √140 = ––––––– + ––––––– (1)
√ 2 √ 2

Cálculo de C1
:
_________ ________ __
C1
= √ 122
- 140 = √144 - 140 = √ 4 = 2
Reemplazando en (1):
_______ _______
____
_______
____
_
12 + 2 12 - 2
√12 + √140 = –––––– + ––––––
√ 2 √ 2
__ __
= √7 + √5 (α)
Segundo término:
___
____ __
_____
_
_
_______
_
__
_
8 + C2
8 - C2
√8 + √28 = –––––– + –––––– (2)
√ 2 √ 2
Cálculo de C2
=
_____
__ _______ ___
C2
= √ 82
- 28 = √64 - 28 = √ 36 = 6
__
____ __
____
____
_____
_
__
_
8 + 6 8 - 6
√8 + √28 = ––––– + –––––
√ 2 √ 2
__
= √7 + 1 (β)
Tercer término:
___
___
______ ______
______
___ _____
√11 - 2 √30 = √11 - √4 . 30
___
_____ __
______
_
_
________
_
___
_
11 + C3
11 - C3
√8 + √120 = ––––––– + ––––––– (3)
√ 2 √ 2
Cálculo de C3
:
_______
__ ________ __
_
C3
= √ 112
- 120 = √121 - 120 = √ 1 = 1 (γ)
__________
____ __ __
√11 - √120 = √6 - √5
Cuarto término:
________ _____
______ _________
__ ______ ___
√7- 2 √ 6 = √7 - √ 22
. 6 = √7 - √24
___
____ __
_____
_
_
_______
_
__
_
7 + C4
8 - C4
√7 + √24 = –––––– + –––––– (4)
√ 2 √ 2
Cálculo de C4
:
___
__
__ ___
____ ___
C4
= √ 72
- 24 = √49 - 24 = √25 = 5 (δ)
_________
__ __ __ __
√ 7 - 2 √6 = √6 - √1 = √ 6 - 1 (λ)
Reemplazando los valores obtenidos en la
ecuación propuesta:
__ __ __ __ __ __ __ __
E = √7 +√5 - (√ 7+ √ 1 )+√6 - √5 -(√6 - √1 )
E = 0
3.- Simplificar:
__________________________________
___
___________________________
_
_________________
_
______
_
__ __ __ _
_
E =√2 - √3 +√9 + 5√3 - √3(√3 + 2)+√4 + 2√3
Solución:
Para simplificar se descompone en radicales simples.
a) Para descomponer en radicales simples, se em-
pieza a trabajar desde los radicales interiores
hacia los exteriores:
__________________________________
___
___________________________
_
_________________
_
______
_
__ __ __ _
_
E =√2 - √3 +√9 + 5√3 - √3(√3 + 2)+√4 + 2√3
123
I
_____
_____ _______________
__
_ ____ __ __
I = √4 + 2 √3 = √3 + 1 + 2 √3 . 1 = √3 + √1
sustituyendo en E:
________________________________
___
_________________________
_
_______________
_
__ __ __ _
_
_
E =√2 - √3 +√9 + 5√3 - √3(√3 + 2)+√3 + 1
________________________________________
__
_________
____
__________
__
_
_______
__ __ __
E = √2 - √3 + √9 + 5 √3 - √7 + 4 √3
14243
II
_________ ___________
__ ____
II = √7 + 4 √3 = √7 + 2 √4 . 3
______
______
____
_____ __ __ __
= √4 + 3 + 2 √4 . 3 = √4 + √3 = 2 +√3
sustituyendo en E:
______
________________
________
___________________
__ __ __
E = √2 - √3 + √9 + 5 √3 - (2 + √3 )
_______
____________________
____________
__ __
E = √2 - √3 + √7 + 4 √3
14243
III = II
- 214 -
α
α α

_____
____
__ __
III = II = √7 + 4 √3 = 2 + √3
Sustituyendo en la expresión principal:
E = 2
4.- Hallar el valor de E:
_________________________
____________
____________________
___________
___
_
______
_________
________
_
___
_
________________
_______
__
_
___
_____
_
__
_
_
E =√1 + 2 √1 + 2 √1 + 2 √1 + …+ 2√1 + 2√3 + 2√2
Solución:
Para hallar el valor se descompone en radicales
simples.
Por se la expresión una sucesión de radicales
dobles, se empieza por su parte interna:
_________________________
____________
____________________
___________
___
_
______
_________
________
_
___
_
________________
_______
__
_
___
_____
_
__
_
_
E =√1 + 2 √1 + 2 √1 + 2 √1 + …+ 2√1 + 2√3 + 2√2
123
I
_________ ______________
_
__ _____
I = √3 + 2 √2 = √2 + 1 + 2 √ 2 . 1
__ __ __
= √2 + √1 = √ 2 + 1
reemplazando en la expresión E:
____________________________________
_____________________________
___________
_
____________
______
_______
__
E =√1 + 2 √1 + 1√1 + … + 2√1 + 2 (√2 +1)
____________________________________
_____________________________
___________
_
____________
______
_______
__
E =√1 + 2 √1 + 1√1 + … + 2√3 + 2 √2
14243
I
___
____
___
__ __
I = √3 + 2 √2 = √2 + 1
reemplazando en la expresión E:
____________________________________
_____________________________
___________
_
____________
______
_______
__
E =√1 + 2 √1 + 2√1 + … + 2√1 + 2 (1+√2 )
____________________________________
_____________________________
___________
_
____________
______
_______
__
E =√1 + 2 √1 + 2√1 + … + 2√3 + 2 √2
se observa que el radical doble que se encuentra en
la parte interna al hacer la operación siempre es:
____
_____
__ __
√3 + 2 √2 = √2 + 1
y al reemplazar en la expresión se obtiene el
mismo resultado.
∴ Si se continua operando, se tendrá:
___
E = √2 + 1
5.- Simplificar:
______ ___
_____
____ ______
_
_____
__ __ __
E = √√2 - 1 (√56 + 40 √2 - √34 + 26 √2
______
____
__
+ √23 + 37√2 )
Solución:
Ninguno de los radicales dobles que tiene la
expresión puede transformarse directamente a
radicales simples, por ello entonces se efectuará
el producto de radicales.
Efectuando:
_________________ _________________
__ __ __ __
E =√(√2 - 1)(56 + 40√2 )-√(√2 - 1)(34 + 26√2 )
_________________
_
__ __
+ √(√2 - 1)(23 + 37√2 )
_______
___
_____ __________
____
__ __
E = √80 - 56 + 16√2 - √52 - 34 + 8 √2
_____________
__
+ √74 - 23 - 14√2
______
___
___ ___
__
_____ ____
______
__ __ __
E = √24 + 16 √2 - √18 + 8√2 + √51 - 14√2
transformando a radical simple, cada radical
doble:
___
__
______ ____
_______
__ __
__
a) √24 + 16√2 = √24 + 2√128
________
________
_____ __ __
= √16 + 8 + 2 √16. 8 = √16 + √8
____
_______
__ __
√24 + 16 √2 = 4 + 2 √2 (1)
___
______ _________ ____
___________
__ __ _____
b) √18 + 8√2 = √18 + 2 √32 = √16 + 2 + 2√ 16 . 2
___ __
= √16 + √2
Á L G E B R A
- 215 -

_________
__ __
√18 + 8√2 = 4 + √2 (2)
____
______ _____________
__ ____
__
c) √51 - 14√2 = √51 - 2 √49 . 2
___
______________
_____ __
_ __
= √49 + 2 - 2 √49 . 2 = √49 - √ 2
__________
__ __
√51 + 14√2 = 7 + √2 (3)
sustituyendo (1), (2) y (3) en la expresión:
E = 7
6.- Hallar la raíz cuadrada de:
__________
E2
=5x - 2 + 2 √6x2
- 7x - 3
Solución:
Al extraer la raíz cuadrada se tendrá:
___________________
__
__________
E = √5x - 2 + 2 √6x2
- 7x - 3
factorizando por el método del aspa al radical
interior se obtiene:
6x2
- 7x - 3 = (3x + 1)(2x - 3)
∴ sustituyendo:
______________________
__
_____________
E = √5x - 2 + 2 √(3x + 1)(2x - 3)
____
________
_
__
Dando la forma de √a + b + 2√ab , donde:
a = 3x + 1 , b = 2x - 3
_________________________________
______________
E = √(3x + 1)+(2x - 3) + 2√(3x + 1)(2x - 3)
_______ _______
= √(3x + 1) + √(2x - 3)
Luego:
____
__ ___
___
E = √3x + 1 + √2x - 3
7.- Descomponer en radicales simples:
__________
____
_______________________
______________________
E =√7x + 16y + 4 + 2√21xy + 39y2
+ 56x + 92y - 32
Solución:
Factorizando la expresión que aparece en el radi-
cal interior mediante el aspa doble:
0x2
+ 21xy + 39y2
+ 56x + 92y - 32
= (7x + 13y - 4)(3y + 8)
_________
_________________________
__________________
E = √7x + 16y + 4 + 2 √(7x + 13y - 4)(3y + 8)
o también:
___________
__________________________
____________
E = √(7x + 13y - 4)+(3y + 8) + 2√(7x + 13y - 4)
___
____
___
____ ___________ _____
(3y + 8) = √7x +13y - 4 +√3y + 8
8.- Transformar a radicales simples la siguiente
expresión:
______________________
____________
E = √5x - 2 + √24x2
- 14x - 5
Solución:
Factorizando el radical interior por el método del
aspa simple:
24x2
- 14x - 5 = (6x - 5)(4x + 1)
sustituyendo en E:
_______________________
______________
E = √5x - 2 + √(6x - 5)(4x + 1)
__
__________
_
__
Dándole la forma de √a + b + 2 √ab debido a que
falta el número 2 en el radical interior para que
sea el desarrollo de una suma al cuadrado, se
multiplica por 2 y se introduce 1/4 en la forma
1/2 . 1/2 para cada factor, ésto es:
________________________
______
__________________
6x - 5 4x + 1
E = √5x - 2 + 2
(–––––––
)(–––––––
)
√ 2 2
____________________________
__________
________________
6x - 5 4x + 1 6x - 5 4x + 1
=
(––
––––
)+
(––
––––
)+ 2
(––
––––
)(––
––––
)
√ 2 2 √ 2 2
________ ________
6x - 5 4x + 1
∴ E = ––
–––– + ––
––––
√ 2 √ 2
9.- Transformar en radicales simples:
________________
_______
1 1
E = √x + –– √2x - ––
2 4
- 216 -
α
α α

Solución:
Efectuando sucesivamente operaciones con la
finalidad de dar la forma conveniente se obtiene:
________
________ ___
__________
______
_____ _______
1 1 x 1
E =√x + ––
(2x - ––
)= √x + –– - ––
√4 4 √ 2 16
___________
________
_____
___
_____
1 x 1
=√x + 2 ––
(–– - ––
)
√4 2 16
_____________
_ _________________
_______ __________
x 1 1 1
=√x + 2 –– - –– = √x + 2 ––
(x - ––
)
√8 64 √ 8 8
_____________________
________
___________
1 1 1 1
= –– +
(x - ––
)+ 2 ––
(x - ––
)
√ 8 8 √ 8 8
____ ____ _______
______
1 1 1 8x - 1
E = –– + √x - –– = –– + ––––––
√ 8 8 √ 8 √ 8
10.- Simplificar:
_______________________
____________
E = √a + b + c + √c(2a + 2b + c)
______________
__________
__________
___
- √a + b + c - √c(2a + 2b + c)
Solución:
Transformando los radicales doble a radicales
simples:
_____________________________
_______
________
c 2a + 2b + c
√ a +b + c + 2 ––
(––––
––––––
)
√2 2
___________ ___
2a + 2b + c c
= –––––––––– + ––
√ 2 √2
_____________________________
_______
________
c 2a + 2b + c
√ a +b + c - 2 ––
(––––
––––––
)
√2 2
___________ ___
2a + 2b + c c
= –––––––––– - ––
√ 2 √2
sustituyendo en E:
___________ ___
2a + 2b + c c
E = –––––––––– + ––
√ 2 √2
___________ ___
2a + 2b + c c
-
( –––––––––– + ––
)
√ 2 √ 2
___
c
E = 2 ––
√2
__
_
E = √2c
11.- Simplificar:
_____
_______
_____ _____ ______
√a + b + √a - b √c - √c2
- d2
E = –––––––––––––––– - –––––––––––––––
____________
______ _____ ____
√a + √a2
- b2
√c + d - √c - d
Solución:
_
_
Multiplicando y dividiendo por√2 cada fracción:
__ _____ _____
√2 (√a + b + √a - b )
E = –––––––––––––––––––––
__________________
___________
√2 + 2√(a + b)(a - b)
____________________
____________
√ 2c - 2√(c + d)(c - d)
- ––––––––––––––––––––––
__ _____ ____
_
√2 (√c + d - √c - d )
transformando a radicales simples:
__ _____ _____ _____ _____
√2 (√a + b + √a - b ) (√c + d - √c - d )
E = ––––––––––––––––––– - –––––––––––––––––
_____ _____ __ _____ ____
(√a + b + √a - b ) √2 (√c + d -√c - d )
simplificando:
__ __
√2 1 2 - 1 1 √2
E = –––– - –––– = –––––– = –––– . ––––
__ __ __ __
1 √2 √2 √2 √2
__
√2
E = –––
2
12.- Simplificar:
_____
__________
______
√2x + 2 √x2
- 1
E = ––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––
______________________________________
________
__________________
_____
––––––––––
–––––
√-2 + 2 √2x2
+ 2x + 2 √x4
+ 2x3
- 2x - 1
Solución:
Transformando el denominador previamente:
________________________________
______
______________________
________
_______________
D = √-2 + 2 √2x2
+ 2x + 2 √x4
+ 2x3
- 2x - 1
1442443
I
1444442444443
II
Á L G E B R A
- 217 -

- 218 -
a) Factorizando I:
I = x4
+ 2x3
- 2x - 1 = (x4
- 1) + 2x(x2
- 1)
= (x2
+ 1)(x2
- 1) + 2x(x2
- 1)
I = x4
+ 2x3
- 2x -1 = (x2
- 1)(x2
+ 1 + 2x)
= (x2
- 1)(x + 1)2
b) Descomponiendo II en raíces simples:
_____________________
___________
___________________
II = √2x2
+ 2x + 2√(x2
- 1)(x2
+ 2x + 1)
________________________________________
________________
=√(x2
- 1) + (x2
+ 2x + 1) + 2√(x2
- 1)(x2
+ 2x +1)
_____ ___________ _____ ___
_____
= √x2
- 1 + √ x2
+ 2x + 1 = √x2
- 1 √(x + 1)2
_____
II = √x2
- 1 + x + 1
Sustituyendo, el valor del denominador será:
___________________ __________________
____ __
___
D =√-2 + 2(√x2
- 1 + x + 1)=√-2 + 2 √x2
- 1 + 2x +2
_____________
_____
= √2x + 2 √x2
- 1
Sustituyendo en la expresión se tendrá:
_________
_____
_____
√2x + 2 √x2
- 1
E = –––––––––––––––––––
_________
_____
_____
√2x + 2 √x2
- 1
E = 1
13.- Simplificar:
________ ___
______ _______
____
__ __ __
√9 - 4√2 + 2√3 + 2√2 + √12 + 8 √2
E = –––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––
___________ ___________ ________
___
__ ___ ___
√15 - 10 √2 + √13 + 4 √10 - √11 - 2 √10
Solución:
Transformando cada uno de los radicales dobles
en simples:
__
_______ __
_
_____
___ _______
________
__ __ ____
a) √9 - 4 √2 = √9 - 2 √8 = √ 8 + 1 - 2 √8 . 1
___ __
= √8 - 1 = 2 √ 2 - 1
__
____
____ __
_
______
___ _______
________
__ ____ ____
b) √3 + 2 √2 = √3 + 2√2 . 1 =√2 + 1 + 2 √2 . 1
__
= √2 + 1
____
__
_____ _____
_
_____ _______________
__ ___ ____
c) √12+ 8√2 = √12 +2√32 =√ 8 + 4 + 2 √8 . 4
__ __ __
= √8 + √ 4 = 2√2 + 2
_____
_____ ___
__
__
_____ _____
_
__
_________
__ ___ _____
d)√15-10√2 = √15 - 2√50 =√10+ 5 - 2√10. 5
__ __
= √10 - √5
_____
_____ _______
____ _______________
__ ___ ____
e) √13+4√10 =√13 +2√40 =√ 8 + 5 + 2 √8 .5
__ __ __ __
= √8 + √5 = 2√ 2 + √5
___________ _______
___________
___ _____ ___
f) √11 - 2 √10 = √10 + 1 - 2 √10 . 1 = √10 - 1
La raíz cuadrada de una expresión, tiene 2 solu-
ciones:
_________
__
___ ___
√11 - 2 √10 = ± (√10 - 1)
Obsérvese que en los ejercicios, se toma sola-
mente el valor aritmético, es decir:
_________
__
___ ___
√11 - 2 √10 = (√10 - 1)
Con esta aclaración sustituiremos estos valores
en la expresión:
__ __ __
2√2 - 1 + 2(√2 + 1) + 2 √2 + 2
E = ––––––––––––––––––––––––––––––––––––
___ __ __ __ ___
√10 - √5 + 2√2 + √5 - (√10 - 1)
__ __
6√2 + 3 3(2√2 + 1)
E = –––––––––– = ––––––––––––––
__ __
2√2 + 1 (2√2 + 1)
E = 3
ab
14.- Hallar el valor de E = –––– si el radical:
c
_____
________________
__________
√ax + by +√(ab + c)xy
puede descomponerse en dos radicales simples.
Solución:
Si el radical doble se puede descomponer en dos
radicales simples, la expresión debe ser un tri-
nomio cuadrado perfecto, de la forma:
______________ ____________
___ __ __ __ __
√a + b + 2 √ab = √ (√ a +√ b )2
=√a + √ b
por consiguiente:
___ ___ __________
2 √ax √by = √(ab + c)xy
α
α α

4(ax)(by) = (ab + c)xy
simplificando:
4ab = ab + c
3ab = c
ab 1
–– = ––
c 3
1
∴ E = ––
3
DESCOMPOSICIÓN EN RADICALES
SIMPLES, EL RADICAL DE LA FORMA:
______________________
__ __ __
√A + √B + √C + √D
Sea:
_______________
__
____
__
_ __
_ __
_ __
_ __
_ __
_
√A + √B + √C + √D = √x + √y + √z (I)
El objetivo es calcular x, y, z en función de los
valores conocidos A, B, C, D. Se procede así:
Se eleva (I) al cuadrado:
_________
___________
__
_ __
_ __
_ 2
__
_ __
_ __
_ 2
(√A + √B + √C + √D ) = (√x + √y + √z )
__
_ __
_ __
_
A + √B + √C + √D = x + y + z
__
_ __
_ __
_
+ 2√xy + 2√xz + 2√yz
identificando los términos racionales e irra-
cionales:
x + y + z = A (1)
__
_ __
_
2√xy = √B (2)
__
_ __
_
2√xz = √C (3)
__
_ __
_
2√yz = √D (4)
que es un sistema de 4 ecuaciones con 3 incógni-
tas. Resolviendo en el sistema conformado por las
ecuaciones (2), (3) y (4) se obtiene x, y, z. La
ecuación (1) es la ecuación de comprobación de
los valores obtenidos.
1.- Transformar a una suma de radicales simples:
_____________________________
__ __
_ __
_
√10 + 2 √6 + 2 √10 + 2 √15
Solución:
Sea:
___________
_____________
___
__ __
_ __
_ __ __ __
√10 + 2 √6 + 2 √10 + 2 √15 = √x + √y + √z
__ __
_ __
_
10 + 2 √6 + 2 √10 + 2 √15
__
_ __
_ __
_
= x + y + z + 2√xy + 2 √xz + 2 √yz
identificando las partes racionales e irracionales:
x + y + z = 10 (1)
(ecuación de comprobación)
__
_ __
_
2√xy = 2√6 ⇒ xy = 6 (2)
__
_ __
_
_
2√xz = 2√10 ⇒ xz = 10 (3)
__
_ __
__
2√yz = 2√15 ⇒ yz = 15 (4)
Multiplicando (2), (3) y (4) entre sí:
x2
y2
z2
= 3 . 2 . 5 . 2 . 5 . 3 = 52
. 32
. 22
extrayendo raíz cuadrada:
xyz = 5 . 3 . 2
de (2), xy = 6; por lo tanto:
6z = 30
z = 5
sustituyendo este valor:
En (3): x(5) = 10
x = 2
En (4): y(5) = 15
y = 3
Sustituyendo en (1) para comprobar:
x + y + z = 2 + 3 + 5 = 10
Á L G E B R A
- 219 -

Finalmente:
___________
_____________
___
__ __
_ __
_ __ __ __
√10 + 2 √6 + 2 √10 + 2 √15 = √2 + √3 + √5
2.- Extraer la raíz cuadrada:
__
_ __
_ __
_
24 + 4√15 + 4√21 + 2√35
Solución:
Haciendo:
___________
_____________
___
__
_ __
_ __
_ __ __ __
√24 + 4 √15 + 4√21 + 2 √35 = √x + √y + √z
__
_ __
_ __
_
24 + 4 √15 + 4 √21 + 2 √35
__
_ __
_ __
_
= x + y + z + 2√xy + 2 √xz + 2 √yz
x + y + z = 24 (1)
__
_ __
_
_
2√xy = 4√15 ⇒ xy = 60 (2)
__
_ __
_
_
2√xz = 4√21 ⇒ xz = 84 (3)
__
_ __
__
2√yz = 2√35 ⇒ yz = 35 (4)
Multiplicando (2), (3), (4):
x2
y2
z2
= 5 . 12 . 12 . 7 . 5 . 7
extrayendo la raíz cuadrada:
xyz = 12 . 7 . 5 (5)
De (2), xy = 60; por lo tanto:
60z = 60 . 7
z = 7
De (3):
xz = 84
7x = 84
x = 12
De (4):
yz = 35
7y = 35
y = 5
En (1): x + y + z = 12 + 5 + 7 = 24
De este modo:
___________
_____________
___
__
_ __
_ __
_ __ __ __
√24 + 4 √15 + 4√21 + 2 √35 = √12 +√5 + √7
3.- Extraer la raíz cuadrada de:
______
_______
_________________
__ __
_ __
__
√a + 3b + 4 + 4√a + 4√3b + 2√3ab
Solución:
Haciendo:
______
_______
_________________
__ __
_ __
__
√a + 3b + 4 + 4√a + 4√3b + 2√3ab
__ __ __
= √x + √ y + √ z
__ _
__ ___
a + 3b + 4 + 4√a + 4 √3b + 2 √3ab
__
_ __
_ __
_
= x + y + z + 2√xy + 2√xz + 2√yz
x + y + z = a + 3b + 4 (1)
__
_ __
_
_
2√xy = 4√ a ⇒ xy = 4a (2)
__
_ __
_
_
2√xz = 4√3b ⇒ xz = 12b (3)
__
_ __
__
2√yz = 2√3ab ⇒ yz = 3ab (4)
Multiplicando (2), (3), (4) entre sí:
x2
y2
z2
= 144a2
b2
xyz = 12ab (5)
de (2), xy = 4a; por lo tanto:
4ax = 12ab
z = 3b
En (3): x(3b) = 12b
x = 4
En (4): y(3b) = 3ab
y = a
En (1): x + y + z = 4 + a + 3b ∴
- 220 -
α
α α
A L G E B R A

El resultado final es:
______
_______
_________________
__ __
_ __
__
√a + 3b + 4 + 4√a + 4√3b + 2√3ab
__ __ __
= √4 + √ a + √3b
SIMPLES, EL RADICAL DE LA FORMA:
______________________
__ __ __
√A + √B - √C - √D
En este caso, los radicales simples deben llevar
algún signo negativo.
Sea:
_______________
__
____
__
_ __
_ __
_ __
_ __
_ __
_
√A + √B - √C - √D = √x + √y - √z
__
_ __
_ __
_
A + √B - √C - √D
_
__ _
__ _
__
= x + y + z + 2 √xy - 2 √xz - 2 √yz
x + y + z = A (1)
_
_
––
– –– –
–– √B
2 √xy = √B ⇒ √xy = –––– (2)
2
_
_
––
– –– –
–– √C
-2 √xy = -√C ⇒ √xz = –––– (3)
2
_
_
––
– –– –
–– √D
-2 √xy = -√D ⇒ √yz = –––– (4)
2
con las ecuaciones obtenidas se procede en forma
similar al procedimiento anterior.
1.- Transformar a radicales simples:
_________________________
__
_ __
_ __
_
√14 + 2 √10 - 2 √14 - 2 √35
Solución:
Haciendo:
___________
_____________
___
__
_ __
_ __
_ __ __ __
√14 + 2 √10 - 2√14 - 2 √35 = √x + √y - √z
__
_ __
_ __
_
14 + 2 √10 - 2 √14 - 2 √35
__
_ __
_ __
_
= x + y + z + 2√xy - 2√xz - 2√yz
x + y + z = 14 (1)
___ __
_ __
_ ___
2 √10 = 2√xy ⇒ √xy = √10 (2)
___ __
_ __
_ ___
-2 √14 = -2√xz ⇒ √xz = √14 (3)
___ __
_ __
_ ___
-2 √35 = -2√yz ⇒ √yz = √35 (4)
descomponiendo los dos miembros de las ecua-
ciones (2), (3) y (4) en factores:
__ __ __ __
De (2): √x √y = √2 . √5
__ __ __ __
De (3): √x √z = √2 . √7
__ __ __ __
De (4): √x √z = √2 . √7
de las dos primeras ecuaciones, el factor que se
_
_
_
repite en el primer miembro es √x y en el segun-
__
do miembro √2 , por consiguiente:
__ __
√x = √2
__ __
De (2), si √x = √2 :
__ __
√y = √5
__ __
De (3), si √x = √2 :
__ __
√z = √7
Estos valores de y, z satisfacen la ecuación (4):
∴ x = 2, y = 5, z = 7
Como comprobación se sustituye en (1):
x + y + z = 2 + 5 + 7 = 14
así:
___________
_____________
___
__
_ __
_ __
_ __ __ __
√14 + 2 √10 - 2√14 - 2 √35 = √2 + √5 - √7
Á L G E B R A
- 221 -

- 222 -
SIMPLES. EL RADICAL DE LA FORMA:
_________
__
3
√A ± √B
Demostremos que si:
_________
__ __
3
√A + √B = x + √y
también se cumple que:
_________
__ __
3
√A - √B = x - √y
Solución:
Haciendo:
_________
__ __
3
√A + √B = x + √y
elevando al cubo:
_________ 3
__ __ 3
(
3
√A + √B ) = (x + √y )
__ __ __ 2
__ 3
A + √B = x3
+ 3x2
√y + 3x(√y ) + (√y )
__ __ __
A + √B = x3
+ 3xy + 3x2
√y + y √y
igualando las partes racionales e irracionales:
A = x3
+ 3xy (I)
__ __ __
√B = 3x2
√y + y √y (II)
Restando (I) - (II) y ordenando:
__ __ __ 2
__ 3
A - √B = x3
+ 3x2
√y + 3x(√y ) - (√y )
__ __ 3
A - √B = (x - √y )
extrayendo la raíz cúbica queda demostrado que:
_________
__ __
3
√A - √B = x - √y
En forma general:
_________
__ __
3
√A ± √B = x ± √y
donde, conocidos los valores de A y B se debe cal-
cular “x” é “y” en función de los anteriores.
Por lo demostrado,si:
_________
__ __
3
√A - √B = x + √y (α)
_________
__ __
3
√A - √B = x - √y (β)
Multiplicando (α) . (β):
__________________
__ __ __ __
3
√(A + √B )(A - √B ) = (x + √y )(x - √y )
______
3
√A2
- B = x2
- y
______
haciendo: C =
3
√A2
- B se tendrá:
C = x2
- y
y = x2
- C (γ)
De (I) se sabe que:
A = x3
+ 3xy
sustituyendo el valor de “y”:
A = x3
+ 3x(x2
- C) = x3
+ 3x3
- 3xC
A = 4x3
- 3xC (Φ)
De donde por tanteos, se encuentra el valor de
“x” que sustituyendo en (γ) da el valor de “y”.
1.- Extraer la raíz cúbica:
__
7 + 5 √2
Solución:
Previamente igualemos:
____
______ __
_______
__ ___
3
√7 + 5 √2 =
3
√7 + √50
Haciendo:
____
_____
___ __
3
√7 + √50 = x + √y
Cálculo de C:
_______ _______
C =
3
√72
- 50 =
3
√49 - 50 = -1
sustituyendo en Φ, donde:
A = 4x3
- 3xC
α
α α

A = 4x3
- 3x(-1) = 7
∴ 4x3
+ 3x = 7
por tanteos, x = 1 evidentemente:
4(1)3
+ 3(1) = 7
sustituyendo valores en (γ):
y = x2
- C = (1)2
- (-1) = 2
_________
__ __
∴
3
√7 + 5 √2 = 1 + √2
2.- Transformar a radicales simples:
___________
__
3
√54 - 30 √3
Solución:
Sea:
___________
__ __
3
√54 - 30 √3 = x - √y
Cálculo de C:
______________
__
C =
3
√(54)2
-(30 √3 )2
______________ _____
C =
3
√2 916 - 2 700 =
3
√216 = 6
Si: 4x3
- 3Cx = A
Sustituyendo valores de A y C se tiene:
4x3
- 3(6)x = 54
x = 3
Sustituyendo valores de x y C:
y = x2
- C
y = (3)2
- 6 = 3
___________
__ __
∴
3
√54 - 30 √3 = 3 - √3
3.- Hallar la raíz cúbica de:
__ __
14 √5 + 18 √3
Solución:
Afectando de raíz cúbica a la expresión:
____________
____
__ __
3
√14 √5 + 18 √3
__
factorizando en el radicando: 3 √3
___________________
__
__
14√5
E =
3
√3 √3
(6 + –––––––
)
__
3 √3
_______________________
___
__ 3 14 5
=
3
√(√3 )
(6 + ––– –––
)
3 √ 3
_____________
___
__
14 5
E = √3
3
√6 + ––– –––
3 √3
Haciendo:
_____________
___
14 5
__
3
√6 + ––– ––– = x + √y
3 √3
Cálculo de C:
__________________
___
_
2 _________
14 5 980
C =
3
√(6)2
-
(–– –––
) =
3
√36 - ––––
3 √3 27
3
________
___ 3
_______
972 - 980 8 2
C = –––––––––– = - –––– = - –––
√ 27 √ 27 3
Sustituyendo valores de C y A en:
4x3
- 3Cx = A
2
4x3
- 3
(- –––
)x = 6
3
4x3
+ 2x = 6
2x3
+ x = 3
por tanteos: x = 1
sustituyendo valores de x, C en:
y = x2
- C
2 2 5
y = 1-
(- ––
)= 1 + –– = ––
3 3 3
Luego:
3
___________
_
___
___ ___
14 5 5
6 + ––– ––– = 1 + –––
√ 3 √ 3 √3
Á L G E B R A
- 223 -

- 224 -
Entonces, el valor de E será:
___
__ __ __
5
E = √ 3
(1 + –––
)= √3 + √5
√3
________________
__ __ __ __
∴
3
√14 √5 + 18 √3 = √3 + √5
1. Señalar la expresión equivalente a:
_______
____
___
______
x2
- x + 2
__
________ + √ x2
+ x - 1
√ 2
___________
______
__________
__________
3x2
+ 3x
a) ________ + 2 √ x4
+ 3x - 2
√ 2
_________________________
___________
3x2
+ 3x x4
+ 3x - 2
b) ________ + ––––––––––
√ 2 √ 2
___________
______
__________
__________
3x2
+ x
c) ________ + 2 √ x4
+ 3x - 2
√ 2
___________
______
__________
____________
3x2
+ x
d) ________ + √ 2(x4
+ 3x - 2)
√ 2
e) Ninguna
__ __ __
2. Si:
3
√a +
3
√b +
3
√c = 0; calcular:
(a + b + c)3n
L = –––––––––––––––––––
3n 1
___ + __
4 8
(81 )an
bn
cn
__
_
__
√3
a)3 b) √3 c) –––
–
3
1 1
d) –– e) ––
3 9
__
3. Si se sabe que: √5 = 2,23607; hallar el valor de:
___
______
__
√3 - √5
I = –––––––––––––––––
________
__ __
√2 + √7 - 3√5
a) 0,44721 b) 0,44720 c) 0,44719
d)0,44621 e) 0,44620
4. Simplificar:
_______________
42x2
- 9x3
- 10 √42x2
- 9x3
- 24
D = –––––––––––––––––––––––––––––––
_____________
√42x2
- 9x3
- 24 - 6
______________
a) √42x2
- 9x3
- 24 + 2
______________
b) √42x2
- 9x3
- 24 - 4
______________
c) √42x2
- 9x3
- 24 + 6
______________
d) √42x2
- 9x3
- 24 + 1
e) Ninguna
__ __
2 + √3 2 - √3
I = ––––––––––––––– + –––––––––––––––
__
______ ____
____
__ __ __ __
√2 + √2 + √3 √2 - √2 - √3
a)1,7321 b) 1,4142
c) 3,1462 d) 0,3139
e) Ninguna
_______
_____ ___________
__ __
T =
4
√97 + 56 √3 -
4
√97 - 56 √3
a) 4 b) 7,4642 c) 0,5358
d) 3,4642 e) Ninguna
α
α α

7. Reducir a su mínima expresión:
1 1 1
A= ––––––––– + –––––––––––– + ––––––––––––
_______ _________ _______
____
__ __ __ __
3
√7+5√2
3
√26 +15√3
3
√9√3 + 11√2
a) 3 b) 1 c) 5
__
d) 2 + √3 e) 0
8. ¿Qué valor deberá asignarse a “q” a fin de que el
polinomio:
S(x) = 4x2n
- 12xn+1
+ nqxn
+ 9x2
- 6nx + n2
a) 1 b) 2 c) 3
d) 4 e) 5
A - B
9. Calcular: E = ––
––– , sabiendo que:
C
___________________________
A = √x6
- 2x5
- 3x4
+ 2x3
+ 6x2
+ 4x + 1
____________________________
B = √x6
- 4x5
- 12x4
+ 2x3
+ 5x2
+ 2x + 1
C = x - 1
a) x + 1 b) x - 1 c) x
d) 2x e) 2x + 1
10.Calcular el menor valor que se le debe asignar a
(β) en:
P(x) = 16x4
+ 32x3
- 24x2
+ αx + β
para que su raíz cuadrada sea el cuadrado del
resíduo correspondiente.
a) 1 b) 2 c) 3
d) 4 e) 5
11. ¿Qué valor de “n” convierte a los polinomios:
(I) x4
+ mx3
+ nx2
+ px + 1
(II) x4
+ 4mx3
+ 6nx2
+ 4px + 1
en cuadrados perfectos?
a)1 b)2 c) 3
d) 4 e) 6
12. Transformar en radicales simples:
____________________________________________
n+1
_____________
_________________________
-2
1 1 1 1
6+4
(––– -1
)(- ––– +1
)(––– +1
)…(–––– +1
)+1
__ __ __ __
_
√ √√2 √2 √22
√22n
__ __ __
a) 2 + √2 b) 2 - √2 c) 1 + √2
__ __
d) 1 - √2 e) √2
13. Calcular la condición que deben cumplir los
coeficientes de:
(a + bx)2
+ (c + dx)2
a fin de que la expresión resulte un cuadrado
perfecto.
a) a = b b) a = b = c
c) a = b = c = d d) a = -b = c
e) a = b = -c = -d
14. Simplificar:
________
_____
________
_____
____ ________ _______
__ __ __
E =
4
√3 + √7 √√13 - √7 - √5 - √7
a) 1 b) 2 c) 3
d) 4 e) 5
15. Al descomponer en radicales simples:
______________________________
______________
__ __
√√ax + √by + √bx2
+ 2cxy + ay2
____
se obtiene una expresión de la forma k√x + y, dar
como resultado el valor de k.
__ __ ___
a) √2a b) √b c) √2b
_________
__ __
d) √√a + √b e) Ninguna
16. Reducir:
_____
________
______ ________________
___
_____ ___________
√a + 5b + 3 √2ab + b2
- √a + √2ab + b2
+ b
Á L G E B R A
- 225 -

- 226 -
____ ___ __
a) √a - b b) √2b c) √2a
__
___
d) √a + b e) Ninguna
17. Si se tiene que:
__
_____
__ __
√a + √b = α + √β
hallar el equivalente de:
E = α6
- 3α4
β + 3α2
β2
- β3
a) a - b b) a2
- b c) a - b2
d) 0 e) a2
- b2
18. Simplificar:
____
_______________________
___________
____
_______________________
______
____
_
_________
______________
___
________________
________
__ __
E = √6 + √6 +√6 +…+ √√6 + 4√ 2 + 7 - √2
a) 1 b) 2 c) 3
d) 4 e) 6
19. Simplificar:
1 1
E = –––––––––––––––– + ––––––––––––––––
__ __ __ __ __ __
√2 + √3 - √5 √3 + √5 - √2
__ __ __
1 3 √5 + √2 - √3
+ –––––––––––––––– + –––––––––––––––––
__ __ __ __
√5 + √2 - √3 2 √6
__ __ __
a) √2 /2 b) √2 c) √3
__ __
d) √3 /3 e) √6
20. Simplificar:
3
_____________________
3
___________
_____
______
____
√6 + √6 +
3
√6 + … ∞
a) 3 b) 2 c) 4
__
d) √2 e) 1
CLAVE DE RESPUESTAS
1) D 2) C 3) A 4) B 5) B
6) D 7) B 8) D 9) C 10) B
11) C 12) A 13) C 14) B 15) B
16) B 17) B 18) C 19) A 20) B
α
α α

OPERACIONES CON RAÍCES
OPERACIONES CON RAÍCES
VALOR ARITMÉTICO DE UN RADICAL
Se llama raíz aritmética o determinación aritmética
de una raíz enésima de un número real, al número
real y positivo que elevado a la potencia “enésima” es
igual al radicando. El valor aritmético del radical es
único y positivo.
VALOR ALGEBRAICO DE UN RADICAL
Se llama valor algebraico de un radical a toda expre-
sión de cualquier naturaleza, que elevada a la poten-
cia señalada por el índice, reproduce el radicando.
La raíz enésima de todo número B, tiene “n” valores
algebraicos. Estos “n” valores algebraicos son iguales
al valor aritmético multiplicado por las “n” raíces de
la unidad(ver este criterio explicado en capítulo de
Números Complejos)
RADICALES HOMOGÉNEOS
Son aquellos que tienen índices iguales.
Ejemplo:
5
___
5
____
__
5
√x , √ y2
z , √z4
son radicales homogéneos.
HOMOGENIZACIÓN DE RADICALES
Es la operación que se realiza para transformar radi-
cales de distinto índice a otros que tengan el mismo
índice.
Ejemplo:
___ __ ___
Homogenizar
3
√a2
b ,
4
√b3
,
5
√c4
d
Solución:
1.- Se halla el m.c.m. de los índices originales,
m.c.m. (3, 4, 5) = 60, éste será el índice
común de los radicales.
2.- Se eleva cada cantidad subradical a un expo-
nente que resulta de dividir el índice común
entre su índice original, así:
60
______ 60
______ 60
______
60 60 60
_
_ _
_ _
_
√(a2
b) 3
, √(b3
)4
, √(c4
d) 5
efectuando operaciones, resulta finalmente en:
60
______ 60
___ 60
______
√a40
b20
, √b45
, √c48
d12
RADICALES SEMEJANTES
Son aquellos que tienen igual índice e igual
radicando.
___ ___ ___
Ejemplo: 4x
5
√2a , 3
5
√2a , 7y
5
√2a
TEOREMA FUNDAMENTAL DE LOS
RADICALES
Si se multiplica o divide el índice y el exponente del
radicando por un mismo número no varía el valor
aritmético, pero el número de valores algebraicos
queda multiplicado o dividido por ese mismo
número.
Sea el valor aritmético de:
___
√Bm
= b (1)
Á L G E B R A
- 227 -

por definición: Bm
= bn
; elevando a la potencia “r”:
Bm.r
= bn.r
de donde:
___
_
nr
√Bm.r
= b (2)
de (1) y (2):
___ ____
n
√Bm
=
nr
√Bm.r
___
Se observa, por (1), que
n
√Bm
tiene “n” valores,
por ser una raíz enésima y por (2):
___
nr
√Bmr
tiene nr; es decir el número de valores ha queda-
do multiplicado por “r”.
SUMA DE RADICALES
Para sumar radicales semejantes, basta sacar dicho
radical como factor común; si no fueran semejantes,
la operación queda indicada.
MULTIPLICACIÓN DE RADICALES
1) Para multiplicar radicales homogéneos, se
extrae la raíz del mismo índice al producto de
los radicandos.
Ejemplo:
__ __ ___
n
√A
n
√B
n
√AB
2) Para multiplicar radicales de índice distinto,
se reduce al mismo índice común y se aplica
la regla anterior.
Así:
__ __ __
_ __
_ __
___
p
√x
q
√y =
pq
√xq
pq
√yp
=
pq
√xq
yp
DIVISIÓN DE RADICALES
1) Para dividir dos radicales homogéneos, se
extrae la raíz del mismo índice al cociente de
los radicandos.
Ejemplo:
__ n
___
n
√A A
–––– = –––
__
√B
n
√B
2) Si los radicales tienen índice diferente, se
reduce a índice común y se procede como en
el caso anterior.
Así:
__ _
__ pq
____
p
√x
pq
√xq
xq
–––– = –––––– = –––
__ _
__
√
q
√y
pq
√yp yp
POTENCIA DE RADICALES
Para elevar un radical a una potencia, se eleva el ra-
dicando a la misma potencia.
__ p
__
_
(
n
√x ) =
n
√xp
RAÍZ DE RADICALES
Para hallar la raíz de un radical, basta que tenga por
índice el producto de los índices:
n
___
__
__ __
√
m
√x =
nm
√x
1.- Efectuar:
m
______ 2m
______ 4m
______ 8m
___
_
___
__ __ __ __
E = √√2 - 1 √√2 + 1 √√2 + 1 √3 +√8
Solución:
Transformando el último radical:
8m
______ 8m
__________ 8m
_____
____
__ __
___ __
√3 +√8 = √3 + √4 . 2 = √3 + 2√ 2
4m
____
_______
____
____ 4m
____
_____
__ __ __
√ √3 + 2√2 = √√2 + √1
sustituyendo:
m
_____ 2m
______ 4m
____
__ 4m
____
__
__ __ __ __
E = √√2 - 1 √√2 + 1 √√2 + 1 √√2 + 1
homogenizando:
4m
____
_
__
__ 4m
_______
_
_ 4m
____
__ 4m
____
__
__ 4
__ 2
__ __
E = √(√2 -1) √(√2 +1) √√2 +1 √√2 + 1
también:
4m
_______________________________
_
__
__
__ 4
__ 2
__ __
E = √(√2 - 1) (√2 + 1) (√2 + 1) (√2 + 1)
4m
______________
_
__
__
__ 4
__ 4
E = √(√2 - 1) (√2 + 1)
- 228 -
α
α α

4m
________________
____ 4m
________
____
__ __ 4
__ 2 4
E = √[(√2 - 1) (√2 + 1)] = √[(√2 ) - 1]
______ __
E =
4m
√(2 - 1)4
=
m
√1
E = 1 valor aritmético
2.- Efectuar:
3
______ 8
___
_____
__ __
√√2 - 1 √3 + 2√ 2
R = ––––––––––––––––––
6 ______ 12 ___
_____
__ __
√√2 + 1 √5√2 - 7
Solución:
Transformando el segundo factor del numerador:
4
__________
8 ___
______ ___
__
_____ 4 ___
____
__ __ __
√3 + 2 √2 = √√3 + 2 √2 = √√2 + 1
sustituyendo:
3
______ 4
___
_____
__ __
√√2 - 1 √√ 2 + 1
R = ––––––––––––––––––
6
______ 12
___
_____
__ __
√√2 + 1 √5√2 - 7
homogenizando los radicales:
12
________________ 12
________________
__ 4
__ 3
__ 4
__ 3
(√2 - 1) (√2 + 1) (√2 - 1)(√2 + 1)
R = –––––––––––––––– = ––––––––––––––––
__ 2
__ __ __
√(√2 + 1)(5√2 - 7) √(3+2√2 )(5√2 -7)
Efectuando el producto en el denominador:
12
________________
__ 4
__ 3
(√2 - 1) (√2 + 1)
R = ––––––––––––––––
–
__
√ (√2 - 1)
12
________________ 4
_______________
__ 3
__ 3
__ __
R = √(√2 - 1) (√2 + 1) = √(√2 - 1)(√2 + 1)
4 ______
__ 2
____ __
R = √(√2 ) - 1 =
4
√2 - 1 =
4
√1
R = 1
3.- Efectuar:
___________
_______ _________________
___
__ ___
__
√x3
- 3x+(x2
- 1)√x2
- 4 - √x3
- 3x - (x2
-1)√x2
- 4
E = –––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––
_____
______ _________
__
___ __
___
√x + √x2
- 4 - √x - √x2
- 4
Solución:
Elevando al cuadrado la expresión dada:
___________
_______ _________
________
___
__ ___
__ 2
(√x3
-3x+(x2
-1)√x2
- 4 -√x3
-3x-(x2
-1)√x2
- 4))
E2
= –––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––
__________ _________
__
___ __
___ 2
(√x + √x2
- 4 - √x - √x2
- 4 )
efectuando:
____ _______________
x3
-3x + (x2
-1)√x2
- 4 - 2√[(x3
-3x) +(x2
-1)
E2
= –––––––––––––––––––––––––––––––––––––...
__
________
___
______________
___
__ ____ ____ ____
x +√x2
- 4 - 2√(x +√x2
-4)(x -√x2
- 4)+x -√x2
- 4
__________________________
____ ____ ____
.√x2
-4][(x3
- 3x) -(x2
-1)√x2
- 4]+x3
-3x -(x2
-1)√x2
- 4
... –––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––
reduciendo:
______________________
2x3
- 6x - 2 √(x3
- 3x)2
- (x2
- 1)2
(x2
- 4)
E2
= –––––––––––––––––––––––––––––––––––
_________
2x - 2 √x2
- (x2
- 4)
_________
__________________
2x3
-6x -2 √x6
- 6x4
+ 9x2
-(x6
-6x4
+9x2
-4)
E2
= –––––––
–––––––––––––––––––––––––––––––
__
2x - 2√4
__
2x3
- 6x - 2√4 x3
- 3x - 2
E2
= ––––––––––––––– = –––––––––
2x - 4 x - 2
dividiendo por Ruffini:
1 0 -3 -2
↓
2 2 4 +2
1 2 +1 0
el cociente es:
x2
+ 2x + 1 = (x + 1)2
Por lo que:
E2
= (x + 1)2
∴ E = x + 1
3
_________
_________ 3
___
______________
________ _____
___
__ __ __ __
3
4
√a 9√a 3
4
√a 9√a
–––––
– + –––
––
– - 1 + ––
–––
– - ––
–––
– -1
√ 2 √ 4 √ 2 √ 4
E = ––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––
3
_______________________________________
3
__
_____
___
_______ __
___
___
________
_____
___
___
__ ____
____
__ __ __ __
__
3
4
√a 9√a 3
4
√a 9√a
√4
√a +√––
––– + √––
––– -1+√––
–––– - √––
––– -1
2 4 2 4
Á L G E B R A
- 229 -

Solución:
Haciendo:
3
________
_________
________
__ __
3
4
√a 9√a
–––
–– + ––
–––– - 1 = A (1)
√ 2 √ 4
3
________
_________
________
__ __
3
4
√a 9√a
–––
–– - ––
–––– - 1 = B (2)
√ 2 √ 4
Sustituyendo:
A + B
E = ––––––––––––– (α)
3
__________
__
√ 4
√a + A + B
Elevando al cubo:
A3
+ B3
+ 3AB(A + B)
E3
= –––––––––––––––––––
__
4
√a + A + B
Elevando al cubo (1) y (2):
________
__ __
3
4
√a 9√a
–––
–– + ––
–––– - 1 = A3
(3)
2 √ 4
________
__ __
3
4
√a 9√a
–––
–– - ––
–––– - 1 = B3
(4)
2 √ 4
Sumando (3) y (4) se obtiene:
__
3
4
√a = A3
+ B3
sustituyendo en (α):
__
3
4
√a + 3AB(A + B)
E3
= ––––––––––––––––––– (β)
__
4
√a + A + B
Multiplicando (1) por (2):
3
_________
_____________________________
________ _______
___
__ __ __ __
3
4
√a 9√a 3
4
√a 9√a
(–––––
– + –––
––
– - 1)(––
–––
– - ––
–––
– -1)
√ 2 √ 4 2 √ 4
= A . B
efectuando:
3
________________
__ __
9√a 9√a
__
–––– - ( ––
–––
– -1)=
3
√1 = 1 = A . B
√ 4 4
Sustituyendo en (β):
__
3
4
√a + 3AB(A + B)
E3
= –––––––––––––––––––
__
4
√a + A + B
factorizando 3 en el numerador:
__
3(4
√a + A + B)
E3
= –––––––––––––––––––
__
4
√a + A + B
__
de donde: E =
3
√3
5.- Simplificar:
___
√6ny
E = ––––––––––––––––––
––––––––––––––––––––––––––
___________________ ___________________
__ __ __ ___
__ __ __ __ ___
__
√(√ax+√ny)(√ax+√ax-ny) - √(√ax-√ny)(√ax+√ax-ny)
Solución:
Trabajando con el denominador extrayendo fac-
tor común:
_______
_________
__
_ _______
√√ax + √ax - ny
________
___
___ ____
_______ ____
_
______
___ ____
__
_ ___ ___ ___ ___
D = √√ax +√ax- ny[√√ax +√ny - √√ax -√ny ](1)
Llamando al corchete (α):
____
_
_____ ___
_______
__
_ __
_ __
_ __
_
α = √√ax + √ny - √√ax - √ny
____________
__________
__ __ __ __ __ __
α2
= √ax + √ny - 2√(√ax + √ny)(√ax - √ny)
__ __
+ √ax - √ny
reduciendo:
__ ______ __ ______
α2
= 2 √ax - 2√ax - ny = 2(√ax - √ax - ny)
____
__________
__ __ ______
α = √2 √√ax - √ax - ny
sustituyendo en (1):
______
________ _____________
__ ______ __ __ ______
D = √√ax + √ax - ny (√2 √√ax - √ax - ny)
efectuando los radicales (diferencia de cuadrados):
__ _____________ __ __
_
D = √2 √(ax) - (ax - ny) = √2 √ny
- 230 -
α
α α

sustituyendo en E:
____ __ __ ___
√6ny √2 √3 √ny
E = –––––––– = ––––––––––––
__ ___ __ ___
√2 √ny √2 √ny
__
E = √3
6.- Efectuar:
____ ____ ____
√a - b + √b - c + √c - a
E = –––––––––––––––––––––––––––––––––––––––
__________ __________ _________ 1/2
[√(a - b)(b - c) + √(a - b)(c - a) + √(b - c)(c - a)]
Solución:
Elevando al cuadrado la expresión:
____ ____ ____ 2
(√a - b + √b - c + √c - a )
E = –––––––––––––––––––––––––––––––––––––––
__________ __________ _________
√(a - b)(b - c) + √(a - b)(c - a) + √(b - c)(c - a)
_________ _________
a-b + b-c+c-a+2√(a-b)(b-c) + 2√(a-b)(b-c)
E2
= ––––––––––––––––––––––––––––––––––––––
__________ __________ _________
√(a - b)(b - c) + √(a - b)(c - a) + √(b - c)(c - a)
_________
+ 2√(b - c)(c - a)
––––––––––––––––
reduciendo y factorizando:
___
_______ ___
_______ ___
_______
2[√(a - b)(b - c)+ √(a - b)(c - a)+ √(b - c)(c - a)]
E2
= ––––––––––––––––––––––––––––––––––––––
___
_______ ___
_______ ___
_______
[√(a - b)(b - c)+ √(a - b)(c - a)+ √(b - c)(c - a)]
simplificando: E2
= 2
__
∴ E = √2
7.- Simplificar:
3 3
_
_ _
_
__ 2
__ 2
(4 + √15 ) + (4 - √15)
E = –––––––––––––––––––––––––––
3 3
_
_ _
_
__ 2
__ 2
(6 + √35 ) - (6 - √35)
Solución:
Multiplicando y dividiendo por (2)3/2
se obtiene:
3 3
_
_ _
_
__ 2
__ 2
(8 + 2√15 ) + (8 - 2√15)
E = –––––––––––––––––––––––––––––
3 3
_
_ _
_
__ 2
__ 2
(12 + 2√35 ) - (12 - 2√35)
__ 3
__ 3
(8 + 2√15 ) + (8 - 2√15)
E = –––––––––––––––––––––––––––––
__ 3
__ 3
(12 + 2√35 ) - (12 - 2√35)
transformando los radicales dobles a simples:
__ __ 3
__ __ 3
(√5 + √3 ) + (√5 - √3 )
E = ––––––––––––––––––––––––––––––––
__ __ 3
__ __ 3
(√7 + √5 ) - (√7 - √5 )
elevando al cubo:
_
_ 3
_
_ 2
_
_ _
_ _
_ 2
_
_ 3
(√5 ) + 3(√5 )(√3 )+3(√5 )(√3 )+(√3 )
E = ––––––––––––––––––––––––––––––––––––
_
_ 3
_
_ 2
_
_ _
_ _
_ 2
_
_ 3
(√7 ) + 3(√7 )(√5 )+3(√7 )(√5 )+(√5 )
_
_ 3
_
_ 2
_
_ _
_ _
_ 2
_
_ 3
+ (√5 ) - 3(√5 )(√3 )+3(√5 )(√3 )+(√3 )
––––––––––––––––––––––––––––––––––––––
_
_ 3
_
_ 2
_
_ _
_ _
_ 2
_
_ 3
- (√7 ) + 3(√7 )(√5 )- 3(√7 )(√5 )+(√5 )
reduciendo:
_
_ 3
_
_ _
_ 2
2(√5 ) + 6(√5 )(√3 )
E = –––––––––––––––––––––––
_
_ 2
_
_ _
_ 3
6(√7 )(√5 ) + 2(√5 )
factorizando:
_
_ _
_ 2
_
_ 2
2(√5 )[(√5 ) + 3(√3 ) ]
E = ––––––––––––––––––––––––––
_
_ _
_ 2
_
_ 2
2(√5 )[3(√7 ) + (√5 ) ]
5 + 9 14 7
E = –––––– = ––– = –––
21 + 5 26 13
8.- Efectuar:
_____
_____ __________
___ __
__
√26 + √675 - √26 - √675
E = ––––––––––––––––––––––––––––
___
__
__
_____ __________
__
__ __
__
3
√26 + √675 +
3
√26 - √675
Solución:
Trabajando separadamente el numerador y
denominador:
_____
_
_____ ____
______
___ ___
N = √26 + √675 - √26 - √675
___________
___ ___ 2
___
N2
= 26 + √675 - 2 √262
-( √675) + 26 - √675
Á L G E B R A
- 231 -

reduciendo:
________
N2
= 52 - 2 √676 - 675 = 52 - 2 = 50
__
N = 5 √2
Efectuando el denominador:
3
_____
_
_____ 3
____
______
___ ___
D = √26 + √675 - √26 - √675
___
_ ___
_
D3
= 26 + √675 + 26 - √675
________________________
___
_ ___
_
+ 3 √(26 + √675 ) (26 - √675 ) . D
__
D3
= 52 + 3 √1 . D
D3
= 52 + 3D
D3
- 3D - 52 = 0
por tanteos:
D = 4
Sustituyendo en la expresión los valores del
numerador y denominador:
__
5 √2
E = ––––––
4
5
__
E = ––– √2
4
9.- Simplificar:
––
––
–
√1 + x 1 - x
E =
(–––––––––––––– + –––––––––––––
)
––
––
– ––
––
– ––
–––
–
√1 + x - √1 - x √1+ x2
+ x - 1
______
1
. (√ x2
- 1 - ––)
x
Solución:
Realizando operaciones sucesivamente, comen-
zando con las expresiones encerradas en el
primer paréntesis:
––
––
– ––
––
– 2
√1 + x (√1 - x )
• ––––––––––––– + ––––––––––––––––––––
––
––
– ––
––
– ––
––
– ––
––
– –––
– 2
√1 + x - √1 - x √1- x √1 + x - (√1- x)
––
––
– ––
––
– 2
√1 + x (√1 - x )
= ––––––––––––– + ––––––––––––––––––––
––
––
– ––
––
– ––
––
– ––
––
– –––
–
√1 + x - √1 - x √1- x (√1 + x - √1- x )
––
––
– ––
––
–
√1 + x √1 - x
= ––––––––––––– + –––––––––––––
––
––
– ––
––
– ––
––
– ––
––
–
√1 + x - √1 - x √1 + x - √1- x
––
––
– ––
––
–
√1 + x + √1 - x
= –––––––––––––––
––
––
– ––
––
–
√1 + x - √1 - x
A continuación, simplificando la expresión
encerrada en el segundo paréntesis:
___
___ _____
______
1 √1 - x2
1 √1 - x2
- 1
•(√x-2
- 1 - –– )= ––––––– - –– = –––––––––
x x x x
• Sustituyendo los equivalentes de los paréntesis
en la expresión dada:
––
––
– ––
––
– –––––
√1 + x + √1 - x √1 - x2
- 1
E =
(––––––––––––––
)(––––––––––
)
––
––
– ––
––
–
√1 + x - √1 - x x
––
––
– ––
––
–
Multiplicando y dividiendo por √1 + x + √1 - x
––
––
– ––
––
– –––––
(√1 + x + √1 - x ) √1 - x2
- 1
E =
{–––––––––––––––
}{––––––––––
}
(1 + x) - (1 - x) x
efectuando el cuadrado:
––––– –––––
2 + 2√1 - x2
√1 - x2
- 1
E =
{––––––––––––
}{––––––––––
}
2x x
––––– –––––
√1 - x2
+ 1 √1 - x2
- 1
E =
{––––––––––
}{––––––––––
}
x x
efectuando:
(1 - x2
) - 1 1 - x2
- 1 -x2
E = –––––––––– = –––––––– = –––
x2
x2
x2
10.- Simplificar:
_____ _____
x3
- 3x - 2 + (x2
- 1) √x2
- 4 x + 2
E =
[–––––––––––––––––––––––––
]( –––––
)
_____
x3
- 3x + 2 + (x2
- 1)√x2
- 4 √x - 2
Solución:
el numerador del corchete se puede escribir así:
_____
x3
-3x - 2 +(x2
- 1) √x2
- 4 = (x - 2)(x2
+ 2x+ 1)
_____
+ (x + 1)(x - 1) √x2
- 4
- 232 -
α
α α

_____ _____
= (x - 2)(x + 1)2
+(x + 1)(x -1)(√x + 2 √x - 2 )
_____ _____ _____
= √x - 2(x + 1)[√x - 2(x + 1) + (x - 1)√x + 2]
El denominador se puede escribir así:
_____
x3
-3x + 2 +(x2
- 1)√x2
- 4 = (x + 2)(x - 1)2
_____ _____
+ (x + 1)(x - 1) √x + 2 √x - 2
_____ _____ _____
= √x + 2(x - 1)[ √x + 2 (x - 1) + √x - 2 (x + 1)]
sustituyendo:
_____ _____ _____
√x - 2 (x + 1)[√x + 2 (x -1)+(x -1)√x + 2]
E =
{–––––––––––––––––––––––––––––––––––––
}
_____ _____ _____
√x + 2 (x - 1)[√x + 2 (x -1)+√x - 2 (x + 1)]
_____
√x + 2
. _______
_____
√x - 2
simplificando:
x + 1
E = –––––
x - 1
M N
__ __
N M
Z + Z
E = ––––––––––
M N
__ __
N M
Z - Z
sabiendo que:
MN
_______
M2 - N2
M + N
Z =
(––––––
)
M - N
Solución:
Factorizando en el numerador y en el denominador:
N M N
–– –– - ––
M N M
Z ( Z + 1)
E = ––––––––––––––––
N M N
–– –– - ––
M N M
Z ( Z - 1)
simplificando:
M2 - N2
_______
M . N
Z + 1
E = –––––––––––
M2 - N2
_______
M . N
Z - 1
reemplazando Z por su valor:
M . N M2 - N2
________ ________
M2 - N2 M . N
M + N
[(––––––
) ]
M - N + 1
E = ––––––––––––––––––––––––––
M . N M2 - N2
________ ________
M2 - N2 M . N
M + N
[(––––––
) ]
M - N - 1
simplificando los exponentes:
M + N M + N + M - N
–––––– + 1 –––––––––––––
M - N M - N 2M
E = –––––––––– = ––––––––––––– = –––
M + N M + N - M + N 2N
–––––– - 1 –––––––––––––
M - N M - N
M
E = ––
N
12.- Simplificar:
__
5 5 √2
E =
(––––––––– - ––––––––– - ––––––
––––
____
____ __
__
____ ____
____
__ __ __
√5 + √2 √5 - √2 √5 + √2
__
√2
__
+ –––––––––
)
2
+ 2√23
_______
__
√5 - √2
Solución:
Agrupando convenientemente y sumando se
obtiene:
__ __ 2
5 + √2 5 - √2
__
E =
(––––––––– - –––––––––
) + 2√23
___
_____ _______
__ __
√5 + √2 √5 - √2
simplificando:
_______ _______
__ __ 2
__
E = ( √5 + √2 - √5 - √2 ) + 2√23
Efectuando la potencia cuadrada:
___________________
__ __ __
E = 5 + √2 - 2 √ (5 + √2 )(5 - √2 ) + 5
__ __
- √2 + 2 √23
reduciendo
E = 10
Á L G E B R A
- 233 -

- 234 -
α
α α
__________________________________
____________________________
_____________________
__
_______________
__
___________
E = √10 - √4 - √6 + √6 + √6 + … (∞)
Solución:
Calculando previamente:
_______________________
_________________
___________
x = √6 + √6 + √6 + … (∞) veces
____
____________
____
______
_______
x2
= 6 + √6 + √6 + … (∞ - 1) veces
también:
____
__
_________
____
_____
______
x2
= 6 + √6 + √6 + … (∞ ) veces
luego, se puede escribir:
x2
= 6 + x
x2
- x = 6
x(x - 1) = 3 . 2
por comparación:
x = 3
Al sustituir en “E” se obtiene:
__________ ________
____ __ __
E = √10 - √4 - 3 = √10 - √1 = √9
E = 3
E = x3x
- 9xx+3
- 9xx+2
- 27xx+1
- x6
si se cumple que:
x
___________________________________
______________________
x = √x2
+ 2x + 3 +
x
√x2
+ 2x + 3+ …∞ radicales
Solución:
Elevando la condición, a la potencia “x”, quedará
la segunda raíz, que es igual a x, por recursión;
así:
xx
= x2
+ 2x + 3 + x
xx
= x2
+ 3x + 3 (α)
La expresión dada se factoriza parcialmente, así:
E = x3x
- x6
- 9xx+2
(x + 1) - 27x+1
de la condición (α):
xx
- x2
x + 1 = –––––– (β)
3
Sustituyendo en E:
xx
- x2
E = x3x
- x6
- 9xx+2
(––––––
)- 27x+1
;
3
E = x3x
- x6
- 3x2x+2
+ 3xx+4
- 27xx
. x
agrupando y reemplazando con(α):
E = (x3x
- 3x2x+2
+ 3xx+4
- x6
) -27(x2
+ 3x + 3)x
El primer paréntesis es una diferencia al cubo:
E = (xx
- x2
)3
- 27(x2
+ 3x + 3)x
reemplazando xx
- x2
= 3x + 3, deducido de (β):
E = (3x + 3)3
- 27x3
- 81x2
- 81x
efectuando el cubo:
E = 27x3
+ 81x2
+ 81x + 27 - 27x3
- 81x2
- 81x
reduciendo:
E = 27
RACIONALIZACIÓN
Es la operación que consiste en transformar un
denominador irracional en otro equivalente que sea
racional.
FRACCIÓN IRRACIONAL
Se llama así a un quebrado en cuyo denominador
está presente una raíz.
FACTOR RACIONALIZANTE
El factor racionalizante de una expresión irracional,
es también otra expresión irracional que multiplica-
da por la primera la convierte en una expresión
racional.
Cuando se racionaliza una fracción, desaparece todo
signo radical del denominador.
Nota.-
Para racionalizar se multiplica y divide la
fracción por el factor racionalizante.

Á L G E B R A
- 235 -
CASOS
PRIMER CASO.– Cuando el denominador irracional
es un monomio.
El factor racionalizante del denominador es un radi-
cal de igual índice, el radicando está elevado a un
exponente igual a la diferencia entre el índice de la
raíz y el exponente inicial del radicando.
1
1.- Racionalizar E = ––––––
___
n
√aq
Solución:
Multiplicando y dividiendo por:
___
F
. R. =
n
√an-q
___ ___
1 √an-q
n
√an-q
E = –––– . –––––– = ––––––
__ ___ __
n
√aq
n
√an-q
n
√aq
___
n
√an-q
E = ––––––
a
2.- Racionalizar:
1
E = –––––––––––––
__ __ __
5
√a3
3
√b2
7
√c4
Solución:
El factor racionalizante es:
___ ___ ___
F
.R. =
5
√a5-3
3
√b3-2
7
√c7-4
__ __ __
F
.R. =
5
√a2
3
√b
7
√c3
Multiplicando y dividiendo por el Factor
Racionalizante:
__ __ __
1
5
√a2
3
√b
7
√c3
E = –––––––––––– . –––––––––––––
__ __ __ __ __ __
5
√a3
3
√ b2
7
√c4
5
√a2
3
√b
7
√c3
__ __ __
5
√a2
.
3
√b
7
√c3
= ––––––––––––––
abc
SEGUNDO CASO.- Cuando el denominador presen-
ta radicales de índice iguales a dos, se racionaliza
multiplicando y dividiendo por la “conjugada” del
denominador.
Se denomina expresiones “conjugadas” a dos expre-
siones que están formadas, una por la suma y otra
por la resta de términos iguales.
NOTA.- Se debe recordar que:
__ __ __ __
( √a + √b )( √a - √b ) = a - b
Ejemplo:
__ __ __ __
(√5 + √2 ); (√5 - √2 ) son expresiones con-
jugadas.
1.- Racionalizar:
__
___
√a + b
E = ––––––––––––––
__
___ __
___
√a + b - √a - b
Solución:
Multiplicando y dividiendo por el F
.R.:
__
___ __
___
F
.R. = √a + b + √a - b
__
___ __
___ __
___
√a + b √a + b + √a - b
E =
(–––––––––––––––
)(–––––––––––
–––––
)
__
___ __
___ __
___ __
___
√a + b - √a - b √a + b + √a - b
Los denominadores son conjugados entre sí, es
un producto de suma por diferencia que da dife-
rencia de cuadrados:
__
___ __
___ __
___ __
____
√a + b(√a + b + √a - b ) a + b + √a2
- b2
E = –––––––––––––––––––––– = –––––––––––––
__
___ 2
__
___ 2
(√a + b ) - (√a - b ) 2b
2.- Racionalizar:
12
E = –––––––––
–––––––
__ __ __
√2 + √3 + √5
Solución:
Multiplicando y dividiendo por el Factor
Racionalizante:
__ __ __
F
.R. = (√2 + √3 ) - √5
__ __ __
12 (√2 + √3 ) - √5
E = ––––––––––––––––– = ––––––––––––––––––
__ __ __ __ __ __
(√2 + √3 ) + √5 (√2 + √3 ) - √5

efectuando:
__ __ __ __ __ __
12 (√2 + √3 - √5 ) 12 (√2 + √3 - √5 )
E = ––––––––––––––––– = ––––––––––––––––––
__ __ 2
__ 2
__
(√2 + √3 ) - (√5 ) 2 + 2 √6 + 3 - 5
__ __ __ __ __ __
12 (√2 + √3 - √5 ) 6 (√2 + √3 - √5 )
E = –––––––––––––
––––– = ––––––––––––––––––
__ __
2 √6 √6
__ __ __ __
6 (√2 + √3 - √5 ) √6
E = –––––––––––––––––– . ––––
__ __
2 √6 √6
__ __ __
= √12 + √18 - √30
__ __
E = 2√3 + 3√2 - 30
3.- Racionalizar:
6
E = –––––––––––––––––––––
__ __
_ __
_
5 - √6 + √10 - √15
Solución:
Factorizando el denominador:
__
_ __
_
D = 5 - √15 + √10 - 6
__ __ __ __ __ __
= √5 (√5 - √3 ) + √2 (√5 - √ 3 )
__ __ __ __
= (√5 - √3 )(√5 + √2 )
Por lo tanto:
6
E = ––––––––––––––––––––––
__ __ __ __
(√5 - √3 )(√5 + √2 )
__ __ __ __
F
.R. = (√5 + √3 )(√5 - √2 )
__ __ __ __
6(√5 - √3 )(√5 + √2 )
E = –––––––––––––––––––––––––––––––––––––––
__ __ __ __ __ __ __ __
(√5 - √3 )(√5 + √3 )(√5 + √2 )(√5 - √2 )
__ __ __ __ __ _
_ __ _
_
6(√5 + √3 )(√5 -√2 ) 6(√5 + √3 )(√5 + √2 )
E = ––––––––––––––––––– = ––––––––––––––––––
(5 - 3)(5 - 2) 2 . 3
__ __ __ __ __ __ __
E =(√5 + √3 )(√5 - √2 )= 5 + √15 - √10 - √6
4.- Efectuar:
__ __ __
3√2 4√3 √6
E = –––––––––– - –––––––––– + ––––––––––
________ ________ __
______
_
__ _
__ __
√9 +2√18 √8 +2√12 √5 +2√6
Solución:
Transformando los radicales dobles a simples:
__ __ __
3√2 4√3 √6
E = ––––––––– - ––––––––– + –––––––––
__ __ __ __ __ __
√6 + √3 √6 + √2 √3 + √2
racionalizando cada denominador, para lo cual se
multiplica y divide por la conjugada del denomi-
nador:
__ __ __ __ __ __ __ __ __
3√2 (√6 -√3 ) 4√3(√6 -√2 ) √6(√3 -√2 )
E = –––––––––––– - –––––––––––– + –––––––––––
6 - 3 6 - 2 3 - 2
simplificando:
__ __ __ __ __ __ __ __ __
E = √2(√6 -√3 )- √3(√6 -√2 ) + √6(√3 -√2 )
__
_ __ __
_ __ __
_ __
E = √12 - √6 - √18 + √6 + √18 - √12
reduciendo:
E = 0
5.- Efectuar:
__ ___ ___
10 √2 √10 + √18
__
E = –––––––––––––– - ––––––––––––– - √5
_______ ___
____
___ __ __ __
√18 -√3 + √5 √8 - √3 +√5
Solución:
Multiplicando y dividiendo cada fracción por 2,
se obtiene:
___
20 √20 + 6
__
E = –––––––––––––– - ––––––––––––– - √5
___
______ ________
__ __
6 - √6 + 2√5 4 + √6 - 2√5
transformando los radicales dobles a simples:
_
__
20 √20 + 6
__
E = –––––––––––––– - ––––––––––––– - √5
__ __
6 - (√5 + 1) 4 + (√5 - 1)
reduciendo:
___
20 √20 + 6
__
E = ––––––– - ––––––––– - √5
__ __
5 - √5 3 + √5
racionalizando y factorizando:
__ __
20(5 + √5 ) 2(√5 + 3) __
E = ––––––––––– - ––––––––––– - √5
__
25 - 5 (√5 + 3)
__ __
= 5 + √5 - 2 - √5
E = 3
- 236 -
α
α α

TERCER CASO.- Cuando el denominador irracional
es un binomio o trinomio cuyos radicales son de ter-
cer orden de la forma:
__ __ __ ___ __
3
√a ±
3
√b ó
3
√a2
±
3
√ab +
3
√b2
se debe recordar que:
__ __ __ _
__ __
(
3
√a ±
3
√b )(
3
√a2

3
√ab +
3
√b2
) = a ± b
Uno de los factores es el factor racionalizante del
otro.
1.- Hacer racional el denominador de:
7
E = ––––––––––––
__ __
3
√5 +
3
√2
Solución:
__
_ ____ __
_
F
.R. =
3
√52
- √5 . 2 +
3
√22
Multiplicando numerador y denominador de la
fracción por el F
.R.:
__
_ __
_ __
7(
3
√25 -
3
√10 +
3
√4 ) ____ ____ ___
E = ––––––––––––––––––– =
3
√25 -
3
√10 +
3
√4
5 + 2
2.- Racionalizar el denominador:
48
E = ––––––––––––––––––––––––––
_
__ __ _
__ __
3
√21 -
3
√3 +
3
√35 -
3
√5
Solución:
_
__ __ _
__ __
3
√21 -
3
√3 +
3
√35 -
3
√5
__ __ __ __ __
=
3
√7 (
3
√3 +
3
√5 ) - (
3
√3 +
3
√5 )
__ __ __
= (
3
√5 +
3
√3 )(
3
√7 - 1)
Luego:
48
E = ––––––––––––––––––––––
__ __ __
(
3
√5 +
3
√3 )(
3
√7 - 1)
__ _____ __ __ __
F
.R. =(
3
√52
-
3
√5 . 3 +
3
√32
)(
3
√7 +
3
√7 + 1)
fracción por el Factor Racionalizante:
_
__ _
__ _
__ _
__ __
48(
3
√25 -
3
√15 +
3
√9 )(
3
√49 +
3
√7 + 1 )
E = ––––––––––––––––––––––––––––––––––––––
(5 + 3)(7 - 1)
∴
_
__ _
__ _
__ _
__ __
E = (
3
√25 -
3
√15 +
3
√9 )(
3
√49 -
3
√7 + 1)
3.- Racionalizar:
__
3
3
√2
E = –––––––––––––––
__ __
3
√4 -
3
√2 - 2
Solución:
__ __ __ __ __ __
3
√4 -
3
√2 -
3
√23
= -
3
√2 (
3
√22
-
3
√2 + 1)
luego:
__
3
3
√2
E = ––––––––––––––––––
__ __ __
-
3
√2 (
3
√22
-
3
√2 + 1)
Simplificando:
3 . 1
E = - ––––––––––––
__ __
3
√22
-
3
√2 + 1
––
F
.R. =
3
√2 + 1
Luego:
__
3(
3
√2 + 1) ___
E = - –––––––––– = - (
3
√2 + 1)
2 + 1
4.- Simplificar después de racionalizar:
1 3
––––––––––– + –––––––––––
__ __ __ __
3
√4 +
3
√2 + 1
3
√4 -
3
√2 + 1
__
E = –––––––––––––––––––––––––– +
3
√2
1 3
––––––––––– - –––––––––––
__ __ __ __
3
√4 +
3
√2 + 1
3
√4 -
3
√2 + 1
Solución:
__ __
Los factores racionalizantes son (
3
√2 - 1) y (
3
√2 + 1),
respectivamente; luego racionalizando cada uno de
los quebrados parciales:
Á L G E B R A
- 237 -

__ __
3
√2 - 1 3(
3
√2 + 1)
–––––––––––– + –––––––––––
2 - 1 2 + 1 ––
E = ––––––––––––––––––––––– +
3
√2
__ __
3
√2 - 1 3(
3
√2 + 1)
–––––––––––– - –––––––––––
2 - 1 2 + 1
simplificando:
__ __
3
√2 - 1 +
3
√2 + 1
__
E = –––––––––––––––––– +
3
√2
__ __
3
√2 - 1 -
3
√2 - 1
––
2
3
√2
__ __ __
E = –––––– +
3
√2 = -
3
√2 +
3
√2
-2
E = 0
CUARTO CASO.- Cuando el denominador es un
binomio o polinomio cuyos radicales tienen índices
iguales pero mayores que 3, de las formas:
__ __
1)
n
√a ±
n
√b
__
__ __
___ __
____ _____ ___
_
2)
n
√an-1

n
√an-2
b +
n
√an-3
b2

n
√an-4
b3
+ …
n
√bn-1
En este caso, se debe recordar que:
__ __ __
__ _____ _____
(
n
√a -
n
√b )(
n
√an-1
+
n
√an-2
b +
n
√an-3
b2
____
+…+
n
√bn-1
)= a - b
para todo valor de n.
y, que:
__ __ __
__ _____ _____
(
n
√a -
n
√b )(
n
√an-1
-
n
√an-2
b +
n
√an-3
b2
____
+…+
n
√bn-1
)= a + b
para valores impares de “n”.
ademas:
__ __ __
__ _____ _____
(
n
√a -
n
√b )(
n
√an-1
-
n
√an-2
b +
n
√an-3
b2
____
+…+
n
√bn-1
)= a - b
para valores pares de “n”.
Uno de los factores es el F
.R.(factor racionaliza-
do) del otro.
1.- Racionalizar:
14
E = ––––––––––
___ __
5
√10 -
5
√3
Solución:
___ ______ ____
___
F
.R. =
5
√104
+
5
√103
. 3 +
5
√102
. 32
______ __
+
5
√10 . 33
+
5
√34
fracción por el F
.R.:
______ __
____ _
___ _
___ __
14(
5
√10 000 +
5
√3 000 +
5
√900 +
5
√270 +
5
√81)
E= ––––––––––––––––––––––––––––––––––––––
10 - 3
simplificando:
______ __
____ _
___ _
___ __
E = 2(
5
√10 000 +
5
√3 000 +
5
√900 +
5
√270 +
5
√81)
2.- Racionalizar:
N
E = ––––––––––––––––––––––––––––
__
_ ___ ___ __
4
√x3
+
4
√x2
y +
4
√xy2
+
4
√y3
Solución:
__ __
F
.R. =
4
√x -
4
√y
fracció por el F
.R.:
__ __
N (4
√x -
4
√y )
E = ––––––––––––
x - y
3.- Racionalizar:
6
E = ––––––––––––
__ __
2 + √2 -
4
√2
Solución:
Escribiendo el denominador como un binomio:
6
E = –––––––
––––––––
__ __
(2 + √2 ) -
4
√2
__ __
El F
.R. es: (2 + √2 ) +
4
√2
fracción por el factor racionalizante:
__ __
6[(2 + √2 ) +
4
√2 ]
E = ––––––––––––––––––
__ __ 2
(2 + √2 ) - ( 4
√2 )
- 238 -
α
α α

efectuando operaciones en el denominador:
__ __ __ __
6(2 + √2 +
4
√2 ) 6(2 + √2 +
4
√2 )
E = ––––––––––––––– = ––––––––––––––––
__ __ __
4+4√2 + 2 - √2 6 + 3√2
__ __ __ __
6(2 + √2 +
4
√2 ) 2(2 + √2 +
4
√2 )
E = ––––––––––––––– = ––––––––––––––––
__
__
3(2 + √2 ) 2 + √2
__
Para racionalizar,el F
.R. es (2 - √2 )
__ __
2(2 + 2
4
√2 -
4
√8 )
E = ––––––––––––––––––
4 - 2
__ __
∴ E = 2 + 2
4
√2 -
4
√8
4.- Simplificar:
__
(x - 1) (1 + x -
3
√x2
)
E = ––––––––––––––––––
__ __
1 +
3
√x + x
3
√x2
Solución:
__
En el denominador, hacemos
3
√x = y; se obtiene:
D = 1 + y + y5
Sumando y restando y2
:
D =(1+y+y2
) + (y5
-y2
) = (1+y+y2
) + y2
(y3
-1)
= (1 + y + y2
) + y2
(y - 1)(y2
+ y + 1)
= (y2
+ y + 1)(y3
- y2
+ 1)
__
Reemplazando y =
3
√x:
__ __ __
∴ D = (
3
√x2
+ √x + 1)(x -
3
√x2
+ 1)
sustituyendo en la expresión:
__
(x - 1) (1 + x -
3
√x2
)
E = –––––––––––––––––––––––––
__ __ __
(
3
√x2
+
3
√x + 1)(x -
3
√x2
+ 1)
simplificando:
x - 1
E = ––––––––––––
__ __
3
√x2
+
3
√x + 1
__
el F
.R. es
3
√x - 1
__
(x - 1) (
3
√x - 1)
E = ––––––––––––––
x - 1
__
E =
3
√x - 1
__
3
√3
5.- Racionalizar: E = ––––––––––
__ __
√3 +
6
√9
Solución:
Homogenizando los radicales:
__ __
6
√32
6
√32
E = ––––––––– = ––––––––––––
__ __ __ __
6
√33
+
6
√32
6
√32
(6
√3 + 1)
Simplificando:
1
E = ––––––––
__
6
√3 + 1
__
El F
.R. es (6
√3 - 1)
__
6
√3 - 1
E = ––
––––––
__
3
√3 - 1
se vuelve a racionalizar:
__ __
El F
.R. es: ( 6
√32
+
6
√3 + 1)
__ __ __
(6
√3 - 1) (3
√9 +
3
√3 + 1)
E = –––––––––––––––––––––––
3 - 1
__ __ __
(6
√3 - 1) ( 3
√9 +
3
√3 + 1)
E = –––––––––––––––––––––––
2
Á L G E B R A
- 239 -

- 240 -
1. Racionalizar:
20
E = –––––––––––––––––––––
__ __
_ _
__
7 + √6 + √14 + √21
__ __
_ _
__
a) 7 + √6 - √21 - √14
__
_ __ __
_
b) 7 + √21 - √6 - √14
__
_ __ __
_
c) 7 + √14 - √6 - √21
__
_ __ __
_
d) 7 + √14 + √6 - √21
__ __
_ _
__
e) 7 + √6 + √21 - √14
___
____ ____
___
_
__ __
2. Expresar la suma √4 -√15 + √2 - √3
como un solo radical.
_____
___ ____
___ _______
__ __ __
a) √3 - 2√3 b) √3 - √5 c) √4 - √3
___
____ ________
__ __
d) √2 + √5 e) √3 + 3√5
3. Luego de racionalizar:
1
I = ––––––––––––––––– , da:
__ __ __
3
√5 +
3
√2 -
3
√7
a) 70 b) 210 c) 140
d)150 e) 62
4. Simplificar:
____________
__
6 + 2√3
M = ––––––––––––
__
√ 33 - 19√3
__ __ __
a) √3 - 5 b) √3 + 5 c) 3 √3 + 5
__ __ __
d) 3√3 - 5 e) √3 + √5
__
2 + 2√2
f = –––––––––––––––––
__ __ __
1 + √2 + √3 + √6
a) 2,73… b) 0,73… c) 2,42…
__ __
d) 0,42… e) √3 - √2
6. Hallar el equivalente simplificado de:
__
2 + 2√2
–––––––––––––––––
__ __ __
1 + √2 + √3 + √6
__ __ __
a) √3 + 1 b) √3 - 1 c) √2 + 1
__ __ __
d) √2 - 1 e) √3 - √2
7. Hallar el valor numérico de E = x2
+ 2 para:
______
__
1
x = √√2 + 1 - ––––––––
______
__
√√2 + 1
__
a) 2 b) -2 c) √2
__
d) 2√2 E) Ninguno
_____ _____
√a + x + √a - x 2ab
y = ––––––––––––––––; para x = ––––––
_____ _____
√a + x - √a - x b2
+ 1
a) a b) b c) ab
__
___
d) a + b e) √a + b
9. Efectuar:
_____________ ____________
__ __ __ __
E =
3
√20√2 + 12√6 +
3
√20√2 - 12√6
α
α α

__ __
a) 1 b)2√2 c) 2√6
__ __
d) 2 e) 2(√2 + √6 )
10. Racionalizar:
__
2√6
E = –––––––––––––––
__ __ __
√3 + √2 + √5
__ __ __ __ __ __
a)√3 + √2 + √5 b)√3 - √2 + √5
__ __ __ __ __ __
c)√3 + √2 - √5 d)√3 - √2 - √5
6
__ __ __
e) –– (√3 - √2 - √5 )
2
11. Transformar en radicales simples:
__________________
____________
a2
_______________
√ b2
- ab + –– + √4ab3
- 8a2
b2
+ a3
b
4
____________
___
a2
a) √ab + √b2
- ab + ––
4
____________
___
a2
b) √ab - √b2
- ab - ––
4
____________
___
a2
c) √ab + √b2
- ab + ––
4
____________
___
a2
d) √ab + √b2
- 2ab + ––
4
____________
___
a2
e) √ab + √b2
+ ab + ––
4
12. Racionalizar:
__ __
2 (√15 - √7 )
–––––––––––––––––
__ __ __
1 + √3 + √5 + √7
__ __ __
a) √3 + √7 + √5 - 1
__ __ __
b) √5 + √7 - √3 - 1
__ __ __
c) 1 + √7 + √3 - √5
__ __ __
d) √3 + √7 - √5 - 1
__ __ __
e) √3 + √7 - √5 - 1
13. Simplificar:
__
____ __
____ __
____ __
____
√3x + 1 - √3x - 1 √2x + 1 - √2x - 1
––––––––––
––––––––– + ––––––––––––––––––
_______
______ _______
______
______ ______
__ __
√2 √3x + √9x2
- 1 √2 √2x + √4x2
- 1
5x2
+ –––––––––––––––––––
______ ______
√9x2
- 1 - √4x2
- 1
a) -x b) 2x c) x2
d) bx e) 3x
1 1
14. Si: a = ––––––– ; b= –––––––– ; hallar:
__ __
2 - √3 2 + √3
__
E = 7a2
+ 11ab - 7b2
- 5b√3
15. Después de racionalizar el denominador será:
N
––––––––––––––––––––
__ __ _____
3
√x +
3
√y -
3
√x + y
a) x + y + xy b) x2
+ y + xy2
c) x2
y - xy2
d)3x2
y + 3xy2
e) 3x2
y - 3xy2
16. Hallar el denominador racionalizado:
N
F = –––––––––––––
__ __
8
√2 +
4
√2 + 1
a) 3 b) 4 c) 7
d) 2 e) 1
Á L G E B R A
- 241 -

- 242 -
17. Señalar el producto de los términos que apare-
cen luego de transformar la expresión a radi-
cales simples:
____________________________________
__ __ __ _
__ _
__ _
_
_
V =√21 + 3√8 + 6√5 + 6√7 + √24 +√56 + 2√21
a) 42 b) 314 c) 342
d) 378 e) Ninguno
18. Simplificar:
a - b b - c
V = –––––––––––––– + –––––––––––––
____________ ____________
___
_ ___
_
√a + b + √4ab √b + c + √4bc
c - a
+ ––––––––––––––
_______
_____
___
_
√c + a + √4ca
a) a + b b) b + c c) 0
___
d) abc e) √abc
19. Calcular:
3
____________
____________
_______
V = √9ab2
+ (b2
+ 24a2
) √b2
- 3a2
3
____________
____________
_______
+ √9ab2
- (b2
+ 24a2
) √b2
- 3a2
a) 6a b) 6b c) 3a
d) 3b e) 2a
20. Simplificar y calcular la expresión:
1 1
- –– - ––
(z2
- a2
) 2
+ (z2
- a2
) 2
E = –––––––––––––––––––––
1 1
- –– - ––
(z2
- a2
) 2
- (z2
- a2
) 2
1
––
2
m2
+ n2
para: z =
(––––––––
)
2mn
m n m
a) –– b) –– c) - ––
n m n
n
d) - –– e) 1
m
CLAVE DE RESPUESTAS
1) A 2) B 3) B 4) C 5) B
6) B 7) D 8) B 9) B 10) C
11) D 12) E 13) D 14) B 15) D
16) C 17) D 18) C 19) A 20) D
α
α α

VERDADER0 V
VERDADER0 VALOR DE
ALOR DE
Á L G E B R A
- 243 -
FORMAS SINGULARES O DETERMINADAS
Si en una fracción, el numerador o el denominador,
se hacen cero o “infinito, resulta las siguientes for-
mas determinadas:
a 0 a ∞ 0 ∞
–– , –– , –– , –– , –– , ––
0 a ∞ a ∞ 0
Notación formal de las formas determinadas:
a
1) Lim –– = 0
x
a→0
x
2) Lim –– = ∞
a
a→0
x
3) Lim –– = 0
a
a→∞
a
4) Lim –– = ∞
x
a→∞
x
5) Lim –– = 0
a
a→∞
a→0
a
6) Lim –– = ∞
x
a→∞
a→0
donde la expresión:
a
Lim –– = 0
x
a→0
a
se lee “límite de la fracción –– cuando “a” tiende
a cero”.
x
NOTA.- El símbolo ∞, que se lee “infinito”, se
utiliza para representar un número variable
cuyos valores crecen indefinidamente hacia un
límite (el límite infinito), siendo siempre esos
valores mayores que cualquier número por
grande que sea.
FORMAS INDETERMINADAS
Si en una fracción, numerador y de nominador se
hacen cero o infinito al mismo tiempo, se obtiene las
siguientes formas indeterminadas:
0 ∞
–– , ––
0 ∞
Existen también otras formas indeterminadas que no
necesariamente proceden del cálculo con fracciones
y son las siguientes:
∞ - ∞ , 0 . ∞ , 1∞
, 00
VERDADERO VALOR
En una expresión algebraica, cuando para un valor
de las variables, la expresión adquiere forma indeter-
minada, hay que buscar su “verdadero valor” y se
llama “verdadero valor” de dicha expresión el valor
de la otra que sea equivalente a la dada.
CÁLCULO DEL VERDADERO VALOR
0
A-1) FORMA ––
0
Cuando una fracción x = a (“x” tiende a “a”) toma
la forma indeterminada:
0
––
0

es porque esta fracción contiene necesariamente
en el numerador y denominador el factor (x - a)
Para calcular el verdadero valor o levantar la inde-
terminación, se procede de la siguiente forma:
1º Se factoriza el numerador y denominador, bus-
cando el factor (x - a).
2º Se simplifica en el numerador y denominador
este factor.
3º Se sustituye nuevamente x = a. Si persiste la
indeterminación, se repite el procedimiento;
en caso contrario, el resultado obtenido es el
verdadero valor.
1.- Hallar el verdadero valor (V.V.) de la fracción:
2x2
- 5x - 3
E = ––––––––––– , para x = 3
x2
+ x - 12
Solución:
Sustituyendo x = 3 en la fracción:
2(3)2
- 5(3) - 3 0
E = –––––––––––––– = ––
(3)2
+ (3) - 12 0
0
toma la forma indeterminada –– , lo cual indica
que numerador y denominador 0 de esta fracción,
contienen el factor (x - 3).
1. Factorizando este factor en el numerador y
denominador:
(2x + 1)(x - 3)
E = ––––––––––––––
(x + 4)(x - 3)
2. Simplificando:
2x + 1
E = –––––––
x + 4
3. Para x = 3:
2(3) + 1 7
E = –––––––– = ––
3 + 4 7
∴ V.V.E = 1
2.- Calcular el V.V de la expresión:
x3
+ 2x2
- 5x - 6
E = ––––
–––––––––––– ; para x = 2
x3
- 3x2
- 4x + 12
Solución:
Para x = 2, la fracción toma la forma:
0
E = ––
0
Factoricemos el numerador y denominador de la
fracción, buscando el factor (x - 2). Por el méto-
do de Ruffini:
El numerador:
1 +2 -5 -6
↓
2 +2 +8 +6
1 +4 +3 0
∴ x3
+ 2x2
- 5x - 6 = (x - 2)(x2
+ 4x + 3) ;
El denominador:
1 -3 -4 12
↓
2 +2 -2 -12
1 -1 -6 0
∴ x3
- 3x2
- 4x + 12 = (x - 2)(x2
- x - 6)
Sustituyendo en E :
(x - 2)(x2
+ 4x + 3) x2
+ 4x + 3
E = –––––––––––––––– = ––––––––––
(x - 2)(x2
- x - 6) x2
- x - 6
para x = 2
4 + 8 + 3 15 15
∴ V.V.E = ––––––––– = ––– = - –––
4 - 2 - 6 - 4 4
3.- Hallar el V.V. de la fracción:
nxn+2
- xn+1
- (n + 1)xn
+ x +1
E = ––––––––––––––––––––––––––
x3
- x2
- x + 1
para x = 1
- 244 -
α
α α

Solución:
Para x = 1, la fracción E toma la forma indetermina-
da:
0
––
0
Factoricemos el numerador y denominador de la
fracción por el método de Ruffini.
Numerador:
n -1 -n-1 0 0 0 … +1 +1
↓
1 n n-1 -2 -2 -2 … -2 -1
n n-1 -2 -2 -2 -2 … -1 0
∴ Numerador = (x-1)[nxn+1
+ (n-1)xn
- 2xn-1
- … -1]
Denominador
1 -1 -1 +1
↓
1 +1 0 -1
1 0 -1 0
∴ Denominador = (x - 1) (x2
- 1)
sustituyendo en E:
(x-1) [nxn+1
+ (n-1)xn
- 2xn-1
- 2xn-2
- … -1]
E = –––––––––––––––––––––––––––––––––––––––
(x - 1)(x2
- 1)
nxn+1
+ (n - 1)xn
- 2xn-1
- 2xn-2
- … -1
E = –––––––––––––––––––––––––––––––––
(x + 1)(x - 1)
0
Para x = 1, nuevamente E = ––
0
Es necesario eliminar por segunda vez el factor (x - 1),
para lo cual se procede a una nueva factorización en el
numerador.
Numerador:
n (n-1) -2 -2 -2 … -2 -1
↓
1 n 2n-1 2n-3 2n-5… +3 1
n (2n-1)(2n-3) 2n-5 2n-7 … +1 0
Numerador:
(x - 1)[nxn
+ (2n - 1)xn-1
+ (2n - 3)xn-2
+ … +1]
luego:
(x -1)[nxn
+(2n - 1)xn-1
+ (2n - 3)xn-2
+ … + 1]
E = –––––––––––––––––––––––––––––––––––––––
(x + 1)(x - 1)
nxn
+ (2n - 1)xn-1
+ (2n - 3)xn-2
+ … + 1
E = –––––––––––––––––––––––––––––––––––
x + 1
para x = 1
n + (2n -1)+ (2n - 3) + (2n - 5) +…+ 5 + 3 + 1
E = –––––––––––––––––––––––––––––––––––––––
2
Cambiando el orden de la suma:
(2n -1) + (2n - 3)+ … +3 +1=1+ 3+…+(2n - 1):
n + [1 + 3 + 5 +…+ (2n - 3) + (2n - 1)]
E = ––––––––––––––––––––––––––––––––––––
2
Donde:
2n- 1 +1
1 + 3 + 5+ … +(2n - 3) + (2n - 1) = n
[––––––––
]= n2
2
luego:
n + n2
n(n + 1)
E = ––––
––– = ––––––––
2 2
4.- Si la fracción:
2x4
- 13x3
+ ax2
- 28x + 8
E = ––––––––––––––––––––––
x4
- 4x3
+ bx + 16x - 16
0
para x = 2, toma la forma –– . Calcular su ver
dadero valor. 0
Solución:
Se debe calcular en primer lugar los valores de a
y b. Si para x = 2, la fracción toma la forma 0/0,
entonces, el numerador será igual a cero:
2(2)4
- 13(2)3
+ a(2)2
- 28(2) + 8 = 0
32 - 104 + 4a - 56 + 8 = 0
a = 30
y el denominador también será igual a cero, así:
(2)4
- 4(2)3
+ b(2)2
+ 16(2) - 16 = 0
16 - 32 - 4b + 32 - 16 = 0
b = 0
Á L G E B R A
- 245 -

reemplazando este valor en la expresión:
2x4
- 13x3
+ 30x2
- 28x + 8
E = –––––––––––––––––––––––––
x4
- 4x3
+ 16x - 16
factoricemos, para el numerador empleando el
método del aspa doble especial.
2x2
-5x +2
x2
-4x +4
2x4
- 13x3
+ 30x2
- 28x + 8
= (2x2
- 5x + 2)(x2
- 4x + 4)
2x4
-13x3
+ 30x2
-28x + 8 = (2x -1)(x -2)(x-2)2
Para el denominador:
x4
- 4x3
+ 16x - 16 = (x4
- 16) - 4x(x2
- 4)
= (x2
+ 4)(x2
- 4) - 4x(x2
- 4)
= (x2
- 4)(x2
+ 4 - 4x)
= (x + 2)(x - 2)(x - 2)2
x4
- 4x3
+ 16x - 16 = (x + 2)(x - 2)3
Luego:
(2x - 1)(x - 2)3
2x - 1
E = ––––––––––––– = –––––––
(x + 2)(x - 2)3
x - 2
para x = 2:
2(2) - 1
E = ––––––––
2 + 2
3
V.V.E. = ––
4
5.- Hallar el V.V. de:
__ __ _____
√x - √2a + √x - 2a
R = ––––––––––––––––––––
____
___
√x2
- 4a2
para x = 2a
Solución:
Para x = 2a:
__ __ ______
√2a - √2a + √2a - 2a 0
R = –––––––––––––––––––––– = ––
________
√4a2
- 4a2 0
Lo que indica que ambos miembros de la frac-
ción, contienen al factor (x - 2a). Para factorizar
se debe racionalizar, multiplicando numerador y
denominador por el factor racionalizante del
numerador.
__ _____ __ __ _____ __
[(√x +√x - 2a )- √2a][√x + √x - 2a +√2a]
R = –––––––––––––––––––––––––––––––––––––––
___
____ __ _____ __
√x2
- 4a2
[(√x +√x - 2a ) + √2a ]
__ _____ 2
__ 2
(√x +√x - 2a ) - (√2a)
R = ––––––––––––––––––––––––––––
_____
__ __ _____ __
√x2
- 4a2
( √x +√x - 2a + √2a)
__ __
____
x + 2 √x √x - 2a + x - 2a - 2a
R = ––––––––––––––––––––––––––––
_____
__ __ _____ __
√x2
- 4a2
(√x +√x - 2a + √2a)
__ __
____
2(x - 2a) + 2 √x √x - 2a
R = –––––––––––––––––––––––––––
_____
__ __ _____ __
√x2
- 4a2
(√x +√x - 2a + √2a)
_____ _____ __
2√x - 2a (√x - 2a + √x )
R = ––––––––––––––––––––––––––––––––––
______ ______ __ _____ __
√x + 2a √x - 2a (√x +√x - 2a + √2a)
_____ __
2(√x - 2a + √x )
R = ––––––––––––––––––––––––––––––
_____ __ _____ __
√x + 2a (√x +√x - 2a + √2a)
para x = 2a
______ __
2(√2a - 2a + √2a)
R = –––––––––––––––––––––––––––––
______ __ ______ __
√2a +2a (√2a + √2a - 2a + √2a)
__
2√2a
= –––––––––––
___ __
√4a (2√2a)
2
R = –––––
__
4√a
__
√a
V.V. E = –––
2a
6.- Hallar el verdadero valor de:
3 125x
- 1 024x
L = –––––––––––––– ; para x = 0
5x
- 4x
- 246 -
α
α α

Solución:
Para x = 0:
3 1250
- 1 0240
1 - 1 0
L = –––––––––––– = –––––– = ––
50
- 40
1 - 1 0
reescribiendo la expresión:
(5x
)5
- (4x
)5
L = –––––––––––
5x
- 4x
desarrollando por Cocientes Notables y simplifi-
cando el factor (5x
- 4x
), que se manifiesta:
L =(5x
)4
+ (5x
)3
(4x
) + (5x
)2
(4x
)2
+ (5x
) (4x
)3
+ (4x
)4
para x = 0
L = (50
)4
+ (50
)3
(40
) + (50
)2
(40
)2
+ (50
) (40
)3
+ (40
)4
L = 5
∴ V.V.L = 5
__
√x - 8
R = ––––––
– ; para x = 64
__
3
√x - 4
Solución:
Para x = 64, toma la forma:
_
__
√64 - 8 0
R = –––––––– = ––
_
__
3
√64 - 8 0
homogenizando los radicales:
__
6
√x3
- 8
R = ––
–––––––
__
6
√x2
- 4
__
haciendo
6
√x = m:
m3
- 8
R = ––––––
m2
- 4
factorizando:
(m - 2)(m2
+ 2m + 4) m2
+ 2m + 4
R = ––––––––––––––––––– = –––––––––––––
(m - 2)(m + 2) m + 2
reponiendo:
__ __
6
√x2
+ 2
6
√x + 4
R = ––––––––––––––
__
6
√x + 2
para x = 64 = 26
:
____ _
__
6
√(26
)2
+ 2
6
√26
+ 4 4 + 4 + 4
R = ––––––––––––––––– = –––
––––––
__
6
√26
+ 2 2 + 2
∴ V.V.R = 3
∞
A-2) FORMA ––
∞
Para levantar la indeterminación de esta forma, se
divide el numerador y denominador entre la máxima
potencia de la variable, cuya presencia provoca la
indeterminación.
REGLA PRACTICA.- En la forma práctica, el V.V. se
obtiene analizando ambos miembros de la fracción.
1º Si el numerador es de mayor grado que el
denominador, el V.V es ∞, es decir:
°⏐N⏐ °⏐D⏐ ⇒ V.V. Expresión = ∞
2º Si el numerador es de menor grado que el
denominador, el V.V. es 0, es decir:
°⏐N⏐ °⏐D⏐ ⇒ V.V. Expresión = 0
3º Si el numerador y el denominador son de igual
grado, el V.V. es un cociente formado por la
suma de los coeficientes de los términos de
máxima potencia, del numerador y del denomi-
nador es decir:
Si °⏐N⏐ = °⏐D⏐, entonces:
Coeficiente de mayor grado de N
V.V.E = ––––––––––––––––––––––––––––
Coeficiente de mayor grado de D
1.- Calcular el V.V. de:
15x4
+ 6x3
+ 7x2
+ 5x + 9
R = –––––––––––––––––––––
5x4
+ 2x2
+ 7x + 6
para x = ∞
Á L G E B R A
- 247 -

Solución:
Cuando x = ∞:
∞ + ∞ + ∞ + ∞ + 9 ∞ forma
R = –––––––––––––––– = –– =
indeterminada
∞ + ∞ + ∞ + ∞ + 6 ∞
Según la regla práctica, por ser de igual grado
numerador y denominador de la fracción:
15
V.V.R = –––
5
V.V.R = 3
2.- Calcular el V.V. de:
(x4
+ x2
+ 1)10
+(x4
+ x + 1)10
+ (x2
+ 1)5
+16x40
R = ––––––––––––––––––––––––––––––––––––––
(3x20
+ 4x5
+ 5x2
+ 1)2
cuando x → ∞
Solución:
Cuando x → ∞:
(∞+∞+ 1)10
+ (∞+∞+ 1)10
+ (∞+ 1)10
+ ∞ ∞
R = –––––––––––––––––––––––––––––––––– = ––
(∞ + ∞ + ∞ + 1)2 ∞
Como el grado del numerador es 40 y el grado del
denominador también es 40; aplicando la regla
práctica:
(1)10
+ (1)10
+ 16(1)40
18
R = ––––––––––––––––––– = ––– = 2
(3)2
9
V.V.R = 2
___________ ________
_____
3
√8x15
+ 2x + 3 +
5
√32x25
+ 2x + 6
L = ––––––––––––––––––––––––––––––
–
___________
3x5
+ 4x + 6 + √x10
+ 5x + 7
para x = ∞.
Solución:
Cuando x → ∞, la fracción toma la forma∞/∞,
analizando los grados °⏐N⏐= °⏐D⏐ por la regla
práctica:
__ _
__
3
√8 +
5
√32 2 + 2
V.V.L = ––––––––––– = –––––
__
3 + √1 3 + 1
V.V.L = 1
(x - 2)17
(2x - 3)5
(3x - 1)2
R = ––––––––––––––––––––––
(x - 3)15
(2x - 1)7
(3x - 2)2
para x = ∞.
Solución:
∞
Cuando x = ∞,la fracción toma la forma ––
∞
Analizando los grados: °⏐N⏐ = 24 = °⏐D⏐
Aplicando la regla práctica:
(1)17
(2)5
(3)2
1
V.V.R = –––––––––––– = ––
(1)15
(2)7
(3)2
4
2n+1
+ 3n+1
A = –––––––––– ; para n = ∞
2n
+ 3n
Solución:
∞
Cuando n → ∞,la fracción toma la forma –– ;
∞
dividiendo el numerador y denominador entre
3n+1
:
2n+1
3n+1
2 n+1
–––– + –––––
(––
) + 1
3n+1
3n+1
3
A = ––––––––––––– = –––––––––––––––
2n
3n
2 n
1 1
–––– + –––––
(––
).
(––
)+ ––
3n+1
3n+1
3 3 3
2
∞
(––
) + 1
3 0 + 1
V.V.A. = ––––––––––––– = ––––– = 3
2
∞
1 1 1
(––
). –– + –– 0 + ––
3 3 3 3
a a n
Aclaración: Como –– 1 ⇒ (––) 1, luego:
b b
a
∞
(––) 1, y tiende a cero.
b
_____________
______
√2x2
+ √3x4
+ 1
J = ––––––––––––––––
______
________
______
4
√7x4
+ 4√3x8
+ 1
para x = ∞
- 248 -
α
α α

Solución:
∞
Cuando x → ∞, la fracción toma la forma –– ;
∞
Analizando los grados °⏐N⏐ = 1 = ° ⏐D⏐
________ ________
__ __
√2 + √3 √2 + √3
V.V.J = –––––––––– = ––––––––––––
4 –––––––– –––
–––––––
________
__ __
√7 + 4√3 √√7 + 4√3
________ ________
__ __
√2 + √3 √2 + √3
V.V.J = –––––––––––––– = –––––––––––––
______
____
___
____
__
_____ _________
____
_ __ __
√√7 + 2√4 . 3 √√4 + √3
_____
_
___
__
√2 + √3
V.V.J = –––––––––––
_____
_
___
__
√2 + √3
7.- Si el V.V. de la expresión E para:
125
x → ∞ es –
–––
512
indicar cuánto vale “n”.
(25x2
+ 7)n
(100x3
- 1)n-2
(2x5
- 1)
E = ––––––––––––––––––––––––––––
(80x4
+ 1)n
(5x - 2)n-1
Solución:
Analizando los grados :
°⏐N⏐ = 2n + 3n - 6 + 5 = 5n - 1
°⏐D⏐ = 4n + n - 1 = 5n - 1
se observa que los grados son iguales.
(25)n
(100)n-2
(2) 125
V.V.E = –––––––––––––– = ––––
(80)n
(5)n-1
512
(52
)n
(52
. 22
)n-2
(2) 125
––––––––––––––– = ––––
(24
. 5)n
. 5n-1
512
52n
. 52n-4
. 22n-4
. 21
125
–––––––––––––––––– = ––––
24n
. 5n
. 5n-1
512
54n-4
. 22n-3
125
––––––––––– = ––––
24n
. 52n-1
512
54n-4 - 2n+1
125
–––––––– = ––––
24n-2n+3
512
52n-3
53
–––– = ––
22n+3
29
52n
. 5-3
53
––––––– = ––
22n
. 23
29
5 2n
56
5 6
(––
) = ––– =
(––
)
2 26
2
2n = 6 ∴ n = 3
B-1) FORMA = ∞
∞ - ∞
∞
1)Si una expresión f (x), irracional cuando x → ∞,
toma la forma indeterminada∞ - ∞; se lleva ésta
∞
a la forma –– , multiplicando y dividiendo por su
∞
∞
F
.R o conjugada. Obtenida la forma –– , para hallar
∞
su V.V. se aplica la regla práctica.
2)Si una expresión f (x), para x = a, toma la forma
∞ - ∞ para hallar su V.V se efectúa las operaciones
indicadas, se simplifica y se reemplaza x = a.
____________
E = ax + b - √ a2
x2
+ abx + c
para x = ∞.
Solución:
Multiplicando y dividiendo por:
_______
_____
[(ax + b) + √a2
x2
+ abx + c]
______
_____ ________
___
[(ax+b)-√a2
x2
+abx +c][(ax+b)+√a2
x2
+ abx +c]
E= ––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––
___________
(ax + b) + √a2
x2
+ abx +c
(ax + b)2
- (a2
x2
+ abx + c)
E = –––
–––––––––––––––––––––
___________
ax + b + √a2
x2
+ abx +c
a2
x2
+ 2abx + b2
- a2
x2
- abx - c
E = ––––––––––––––––––––––––––
___________
ax + b + √a2
x2
+ abx +c
Á L G E B R A
- 249 -

abx + b2
- c
E = ––––––––––––––––––––––
___________
ax + b + √a2
x2
+ abx +c
∞
cuando x → ∞, E = –
––
∞
Analizando los grados: °⏐N⏐ = 1 = °⏐D⏐
ab ab b
V.V.E = –––––––– = ––– = ––
__
a + √a2 2a 2
__________
E = √x2
+ 10x + 8 - (x + 3)
para x = ∞.
Solución:
Cuando x → ∞:
E = ∞ - ∞
.R.:
_____
_____ ____
______
[√x2
+10x+ 8 -(x +3)][√x2
+10x +8+(x+3)]
E = ––––––––––––––––––––––––––––––––––––––
___________
√x2
+ 10x + 8 + (x + 3)
__________ 2
(√x2
+ 10x + 8) - (x + 3)2
E = –––––––––––––––––––––––––
___________
√x2
+ 10x + 8 + (x + 3)
x2
+10x +8 - x2
-6x -9 4x - 1
E = ––––––––––––––––––– = –––––––––––––––––
__________ __________
√x2
+ 10x + 8 + x + 3 √x2
+ 10x + 8 + x + 3
Cuando x → ∞:
∞
E = ––
∞
Analizando los grados °⏐N⏐ = °⏐D⏐ = 1
4
V.V.E = –––––––– = 2
_
__
√1 + 1
x + 6 x + 1
E = –––––– - ––––––– ; para x = 4
x2
- 16 x(x - 4)
Solución:
Para x = 4, la expresión toma la forma indetermi-
nada:
∞ - ∞
El primer denominador es diferencia de cuadra-
dos, efectuando y simplificando:
x + 6 x + 1
E = –––––––––––– - ––––––––
(x + 4)(x - 4) x(x - 4)
(x + 6)x - (x + 1)(x + 4)
E = ––––––––––––––––––––––
x(x + 4)(x - 4)
x2
+ 6x - x2
- 5x - 4
E = –––––––––––––––––
x(x + 4)(x - 4)
x - 4 1
E = ––––––––––––– = –––
–––––
x(x + 4)(x - 4) x(x + 4)
para x = 4:
1 1
V.V.E = –––––––– = ––––
4(4 + 4) 32
2 3
E = ––––– - ––––– ; para x = 1
1 - x2
1 - x3
Solución:
Para x = 1, la expresión toma la forma indetermi-
nada ∞ - ∞
Efectuando las operaciones indicadas:
2 3
E = –––––––––––– - ––––––––––––––––
(1 + x)(1 - x) (1 - x)(1 + x + x2
)
2(1 + x +x2
) - 3(1 + x)
E = –––––––––––––––––––––
(1 + x)(1 - x)(1 + x + x2
)
2 + 2x + 2x2
- 3 - 3x
E = ––––––––––––––––––––––
(1 + x)(1 - x)(1 + x + x2
)
2x2
- x - 1
E = –––––––––––––––––––––
(1 + x)(1 - x)(1 + x + x2
)
(2x + 1)(x - 1)
E = ––––––––––––––––––––––
(1 + x)(1 - x)(1 + x + x2
)
2x + 1
E = - ––––––––––––––––
(1 + x)(1 + x + x2
)
para x = 1
- 250 -
α
α α

Á L G E B R A
- 251 -
2(1) + 1 3 1
V.V.E = - ––––––––––––––– = - ––––– = - ––
(1 + 1)(1 + 1 + 1) 2(3) 2
B-2 FORMA 0 . ∞
∞
Cuando una expresión para x = a, toma la forma
indeterminada 0 x ∞, su V.V. se encuentra efectuan-
do las operaciones indicadas, simplificando y reem-
plazando x = a; o también, tratando de transformar-
lo, a otras formas conocidas.
1 1 7
E =
(–––––– - ––––––
) (–––––––––––
)
x + 3 3x - 1 x2
+ 6x - 16
para x = 2.
Solución:
Para x = 2, se obtiene 0 . ∞; efectuando opera-
ciones:
3x - 1 - x - 3 7
E =
[–––––––––––––
][–––––––––––
]
(x + 3)(3x - 1) (x + 8)(x - 2)
2(x - 2) 7
E =
[––––––––––––
][–––––––––––
]
(x + 3)(3x - 1) (x + 8)(x - 2)
14
E = ––––––––––––––––––
(x + 3)(3x - 1)(x + 8)
para x = 2
14 7
V.V.E = ––––––––– = ––
–––
(5)(5)(10) 125
______
3
E =
(
3
√1 + –– - 1
)x para x = ∞
x
Solución:
Cuando x → ∞ , E toma la forma 0 . ∞
.R.:
3
________
3
_______
3 2
3
(1 + ––) + 1 + –– + 1
√ x √ x
se tiene:
3
(1 + –– - 1
)x
x
E = ––––––––––––––––––––––––––
3
________
3
_______
3 2
3
(1 + ––) + 1 + –– + 1
√ x √ x
3
(––
)x
x
E = ––––––––––––––––––––––––––
3
________
3
_______
3 2
3
(1 + ––) + 1 + –– + 1
√ x √ x
3
(––
)x
x
E = ––––––––––––––––––––––––––
3
________
3
_______
3 2
3
(1 + ––) + 1 + –– + 1
√ x √ x
3
= ––––––––––––––––––––––––––
3
________
3
_______
3 2
3
(1 + ––) + 1 + –– + 1
√ x √ x
para x → ∞ :
3 3
V.V.E = ––––––––––––– = –––– = 1
__ __
3
√1 +
3
√1 + 1 3

- 252 -
x3
+ 3x2
- 2
1. Evaluar:
[–––––––––––––––
]
________
4x2
+
3
√27x9
+ 7
para x = ∞
1
a) –– b) ∞ c) 0
4
1
d) –– e) Indeterminado
3
2. Evaluar, para x = -5:
3 1
[––––––––––––
]-
[–––––––––––
]
x2
+ 7x + 10 x2
+ 9x + 20
a) 2 b) 3 c) 1
2 3
d) –– e) - ––
3 2
__
_
√ax - a2
x-1
3. Evaluar: –––––––––– para x = a
1 - ax-1
__
3 √a
a) 6a2
b) ––––– c) ––––
__
2√a a
3
d) –– e) Ninguna
2a
_
___________
______
1 - √2 - √4 - 3x
4. Evaluar: ––––––––––––––––––––
______________
___
______
1
1 - √2 - ––––––
√3 - 2x
para x = 1
-3
a) –– b) -2 c) -3
2
2
d) - –– e) Ninguna
3
5. Evaluar:
___
___
________________________
__________
__
_________________
__________
______
_______________
_____
_____
_____
___
__
______
_
___
_
_
_
____
__ __ __ __ __
_
_
√7+√7+√7+√7+√7+√7+…+√7+√7+√8+√28
__ __ __
a)2(√7 - 1) b)2(√7 + 1) c)√7 + 1
__ __
d) √7 - 1 e) 3√7 - 1
––––––
3
√5x + 7 + 2
6. Hallar: E = –––––––––––– ; para x = -3
___
___
√3 - 2x + x
5 5
a) 0 b) –– c) - ––
8 4
15 15
d) ––– e) - –––
8 8
7. Hallar el V.V. de la fracción:
2x - 1
T = x(2x + 1)
[1 - ––––––
] ; para x = 0
2x
7
a) ∞ b) –– c) 0
8
1 3
d) –– e) - ––
2 4
__
8. Siendo: i = √-1, evaluar:
T = (1 + i)401
- (1 - i)401
a) 0 b) i c) 2201
d) 2200
e) 2201
i
9. Hallar el V.V. de:
_____ __
3
√x + 1 √x
––––––– - ––––––––– para x = ∞
__ __ __
√x √x + √ x
a) 1 b) -1 c) 0
d) ∞ e) 2
__ __ 1/n
n
√a +
n
√b
[–––––––––––
] ; para x = ∞
2
α
α α

_
__
a) a b) b c) √ab
a
d) ab e) ––
b
nx + sen mx
––––––––––––– ; para x → 0
mx + sen nx
n2
+ m m
a) 1 b) –––––– c) ––
m2
+ n n
m2
+ n n
d) –––––– e) ––
n2
+ m m
12. Hallar el verdadero valor de la siguiente expre-
sión:
(a + b)x2
- (a2
+ b2
)x - 2abx + ab(a + b)
–––––––––––––––––––––––––––––––––––
(a - b)x2
- (a2
+ b2
)x + 2abx - ab(a - b)
a) 1 b) a c) a + b
d) a2
- b2
e) a2
+ b2
13. Calcular el V.V. de:
____ ___
__ _____
√x + 1 + √x2
- 1 - √x2
+ 1
V = –––––––––––––––––––––––––
____ ___
__ _____
√x - 1 + √x2
+ 1 - √x4
+ 1
si x = 1.
__ __
a) √2 b) 2 √2 c ) 3
d) 4 e) N.A.
14. Hallar el verdadero valor de:
1 p
E = n
{(1 + ––
)- 1
}cuando n → ∞
n
1
a) 1 b) p c) ––
p
d) p2
e) 2p
15. Calcular los valores de a y b para que la fracción:
x4
+ 4x3
+ ax2
+ 4x + 1
E = ––––––––––––––––––––
x4
+ 6x3
+ 12x2
+ bx + 3
0
tome la forma ––
0
para x = 1,
dar como respuesta: a + b + V.V. “E”
a) -10 b) -22 c) -32
d) +32 e) +10
16. Hallar el verdadero valor de:
1 2
–––––––––– - –– ; para x = 0
_____
√1 + x - 1 x
a) 1 b) 0 c) ∞
1 1
d) –– e) - ––
2 2
17. Calcular el verdadero valor de:
__ __
√a (a - 1) + √x (1 - x)
––––––––––––––––––––– ; para x = a
x - a
__ __
(1 + a)√a a√a
a) ––––––––– b) ––––––
2a 3
__
a√a 1 - 2a
c) ––––– d) –––––
2 2a
__
(1 - 3a) √a
e) –––––––––––
2a
_____________
__
____
2x + √15x2
+ √x4
+ 1
––––––––––––––––––––––
______________
__
______
3x + √96x2
+√16x4
+ 1
para x = ∞ .
2 4
a) ––– b) –––
13 13
6 5
c) ––– d) –––
13 13
10
e) –––
13
Á L G E B R A
- 253 -

- 254 -
__ __
m
√x -
m
√a
–––––––––– ; para x = a
__ __
p
√x -
p
√a
____
p p p
a) –– ap/m
b) –– ap-m
c) ––
mp
√ap+m
m m m
__
__
p m
d) ––
mp
√ap-m
e) ––
m p
___________ ____ __________
3
√27x6
+ 2x + 1 +
4
√x4
+1 + 2
5
√x10
+ 4x + 3
V = ––––––––––––––––––––––––––––––––––––
___________ _____ ________
3
√64x6
+ 2x - 1 +
4
√x8
+ 6 +
5
√x4
+ x2
- 2
para x = ∞
5
a)2 b) 1 c) ––
2
d) Ninguna e) 3
CLAVE DE RESPUESTAS
1) D 2) D 3) D 4) A 5) C
6) B 7) D 8) E 9) B 10) C
11) A 12) A 13) A 14) B 15) C
16) D 17) E 18) C 19) D 20) B
α
α α

CANTIDADES IMAGINARIAS Y
CANTIDADES IMAGINARIAS Y
NÚMEROS COMPLEJOS
NÚMEROS COMPLEJOS
CANTIDADES IMAGINARIAS
DEFINICIÓN.- Las cantidades imaginarias son las
raíces de índice par de cantidades negativas.
__ ___ ___
Ejemplos: √-4,
4
√-16,
8
√-12
__
UNIDAD IMAGINARIA.- La cantidad√-1 se le denom-
ina “unidad imaginaria”. Según la notación de Gauss, la
unidad imaginaria se representa por la letra “i”.
Por lo tanto:
__
i = √-1, por definición:
i2
= -1
__ __ __ __
Ejemplo: √-4 = √4 √-1 = 2√-1 = 2i
POTENCIAS DE LA UNIDAD IMAGINARIA
__
1) i1
= (√-1 )
1
= i
__ __
2) i2
= √-1 √-1 = -1
3) i3
= i2
. i = -i
4) i4
= i2
. i2
= 1
5) i5
= i4
. i = i
6) i6
= i4
. i2
= -1
7) i7
= i4
. i3
= -i
8) i8
= i4
. i4
= 1
Se observa que los resultados de las potencias de
la unidad imaginaria se repiten en períodos de 4
en 4 y estos valores son: i, -1, -i, 1.
TRANSFORMACIÓN DE LA POTENCIA im
,
DONDE “m” ES ENTERO Y POSITIVO
Suponiendo que se desea calcular im
, donde m 4:
1) Se divide m entre 4, de donde se tiene:
m = 4q + r
2) im
= i4q+r
= i4q
. ir
= (i4
)q
. ir
= ir
∴ im
= ir
donde r = 0, 1, 2, 3
r = 0 ⇒ i0
= 1
r = 1 ⇒ i1
= i
im
= ir
{r = 2 ⇒ i2
= -1
r = 3 ⇒ i3
= -i
CONCLUSIÓN
Cuando “i” está elevada a una potencia positiva, si el
exponente es múltiplo de 4, el resultado es la unidad;
si el exponente es igual a un múltiplo de cuatro más
1 el resultado es i; si es igual a múltiplo de cuatro
más 2 el resultado es -1; y si es igual al múltiplo de
cuatro más 3 el resultado es igual a -i.
Á L G E B R A
- 255 -

1.- Calcular
E = 5i476
-3i258
+4i327
-8i932
+4i441
Solución:
E = 5(1) - 3i2
+ 4(i)3
- 8(1) + 4(i)1
E = 5 - 3(-1) + 4(-i) - 8 + 4i = 5 + 3 - 4i - 8 + 4i
E = 0
2.- Simplificar:
i52
+ i421
+ i65
+ i74
+ i33
E = –––––––––––––––––––––––––––
i2541
+ i3244
+ i2 460
+ i3 581
+ i2 723
Solución:
Efectuando las potencias indicadas:
1 + i + i + (i2
) + i
E = –––––––––––––––
i + 1 + 1 + i + (i3
)
1 + i + i - 1 + i 3i
E = ––––––––––––– = –––
i + 1 - 1 + i + i 3i
E = 1
4.- Calcular la expresión:
i-5
+ i-15
+ i-49
- i-18
+ i-400
+ 2i-14
E = ––––––––––––––––––––––––––
i-6
+ i-50
- i-23
+ i-35
- i-441
Solución:
1 1 1 1 1 2
––– + ––– + ––– - ––– + ––– + –––
i5
i15
i49
i18
i400
i14
E = ––––––––––––––––––––––––––––––
1 1 1 1 1
––– + ––– - ––– + ––– - –––
i6
i50
i23
i35
i441
efectuando las potencias:
1 1 1 1 1 2
–– - ––– + –– - –––– + –– + ––––
i i3
i (-1) 1 (-1)
E = ––––––––––––––––––––––––––––
1 1 1 1 1
–––– - –––– - ––– + ––– - ––
(-1) (-1) i3
i3
2
3
––
i
E = ––––
i
- ––
i
E = - 3
(1 + i)9
4.- Calcular: E = –––––––
1 + i9
Solución:
Efectuando la potencia i9
= i
(1 + i)9
E = –––––– = (1 + i)8
(1 + i)
pero:
(1 + i)8
=[(1 + i)2
]4
= (1 + 2i + i2
) = (2 + i)4
∴ E = (2i)4
= 16i4
E = 16
(1 + i)9
5.- Calcular: E = ––––––
(1 - i)7
Solución:
Escribiendo como potencias pares:
(1 + i)8
(1 + i)
E = ––––––––––––––
(1 - i)6
(1 - i)
[(1 + i)2
]4
(1 + i) (2i)4
(1 + i)
E = –––––––––––––––– = –––––––––––
[(1 - i)2
]3
(1 - i) (-2i)3
(1 - i)
Multiplicando y dividiendo por (1 + i):
16i4
(1 + i)2
16(2i) 32i
E = –––––––––––––– = ––––––––––– = –––––
-8i3
(1 - i)(1 + i) -8(-i)(1 - i2
) 8i(2)
E = 2
6.- La expresión adjunta se cumple para dos valores
de “n” cuya suma se pide:
___________
n n
n + 1
(i )
––––––––– = i
4 n + 1
√ i
Solución:
Operando en el primer miembro:
- 256 -
α
α α

___________ ___________
( n )2 ( n )2
n + 1
i n + 1
i
–––––––
–––– = ––––––
–––––
n n
√ i4
. i √ ( i4
) . i
________
n +1
–––––––––––––––
( n )2
n + 1
i ( n )
2
- 1
–––––––– = √ i
√ i
n2 - 1 ( n + 1)( n - 1)
–––
– ––––––––––
= i n + 1
= i n + 1
= i
n - 1
Luego, la igualdad primitiva será:
i n-1
= i
identificando exponentes
n - 1 = 1 n = 2
∴ n = 2
otra solución se logra de:
i n-1
= i = i5
n - 1 = 5 n = 6
n = 3
∴ n = 3
Rpta.: La suma es 5.
7.- Simplificar:
_______
3n
__
√-8
__ __
E =
( –––––––
) . (- √-1 )
13n+5
. (√-1 )
2n+8
___
√ 4
√16
Solución:
Al efectuar operaciones en el primer factor resulta:
__ __ __
E = (√-1 )
3n
. (-√-1 )
13n+5
. (√-1 )
2n+8
E = (i)3n
. (-i)13n+5
. (i)2n+8
E = (i)3n
. (i3
)13n+5
. (i)2n+8
E = i3n
. i39n+15
. i2n+8
= i44n+23
E = i23
= i3
= -i ; E = -i
8.- Cuántos valores diferentes puede tomar la
expresión:
E = in
+ i-n
?
Solución:
Transformando la potencia:
1
E = in
+ ––
in
º
para n = 4:
1
E = 1 + –– = 2
1
º
para n = 4 + 1:
1 1 i i
E = i + –– = i + –– . –– = i + –– = 0
i i i -1
º
para n = 4 + 2:
1 1
E = i2
+ –– = -1 + –––– = -2
i2
(-1)
º
para n = 4 + 3:
1 1 i
E = i3
+ –– = -i + ––– . –– = - i + i = 0
i3
(-1) i
Rpta.: Para los valores siguientes de n, se vuelve
a repetir el ciclo, por lo tanto hay 3 valores
diferentes.
E = i2
+ 2i4
+3i6
+ 4i8
+ 5i10
+ … + (4n)i8n
Solución:
La suma indicada tiene 4n términos, la cual está
señalada por los coeficientes.
Desarrollando las potencias de i:
E =(-1) +2(1)+3(-1)+4(1)+…+(4n-1)(-1)+4n(1)
1444444442444444443
(4n) términos
E = -1 + 2 - 3 + 4 - 5 + 6 - … -4n +1 + 4n
123 123 123 14243
1 1 1 1
agrupando de 2 en 2 (cada grupo vale 1)
entonces:
E = 1 + 1 + 1 + 1 + … + = 2n
144424443
(2n) veces
E = 2n
Á L G E B R A
- 257 -

1 2 3 4 5 6 7
1 2 3 4 5 6 7
E = i1
+ i2
+ i3
+ i4
+ i5
+ i6
+ i7
Solución:
Analizando cada potencia:
1
1
1) i1
= i1
= i
2
2 4
2) i2
= i2
= i16
= 1
3 3 3
3 3 3
1 i
3) i3
= i(4k - 1)
= i4k+(-1)
= i-1
= –– . –– = -i
i i
4
4
4) i4
= i4
= 1
5
5
5) i5
= i (potencia es múltiplo de 4 + 1)
6
6
6) i6
= i4k
= 1
7 7
7 7
7) i7
= i(4k+3k)
= i4k+3k
= i4k
. i3k
= - i
Luego:
E = i + 1 - i + 1 + i + 1 - i = 3
11.- Calcular el vlaor de “n” en la igualdad:
n n
(1 + i)7n
+ C1
(1 + i)7n-7
(1 - i)7
+ C2
(1 + i)7n-14
(1 - i)14
+ … + (1 - i)7n
= 261
Solución:
Se observa que el primer miembro es el desarro-
llo de:
[(1 + i)7
+(1 - i)7
]n
= 26!
(binomio de Newton)
se puede escribir:
[(1 + i )(1 + i)6
+ (1 - i)(1 - i)6
]n
= 26!
{(1 + i)[(1 + i)2
]3
+ (1 - i)[(1 - i)2
]3
}n
= 26!
[(1 + i)(1 + 2i + i2
)3
+ (1 - i)(1 - 2i + i2
)3
]n
= 26!
[(1 + i)(1 + 2i - 1)3
+(1 - i)(1 - 2i - 1)3
]n
= 26!
[(1 + i)(2i)3
+ (1 - i)(-2i)3
]n
= 26!
[(1 + i)8i3
+ (1 - i)(-8i3
)]n
= 26!
[(1 + i)(-8i) + (1 - i){-8(-i)}]n
= 26!
[-8i(1 + i) + 8i(1 - i)]n
= 26!
[8i(-1 - i + 1 - i)]n
= 26!
[-16i2
]n
= 26!
[-16(-1)]n
= 26!
(16)n
= 26!
(24
)n
= 26!
24n
= 26!
4n
= 6!
6 . 5 . 4 . 3 . 2 . 1
n = ––––––––––––––––
4
n = 180
(1 + i)11
E = ––––––––
32(1 - i)
Solución:
Transformando:
(1+i)10
(1 + i)
E = –––––––––––––
32(1 - i)
[(1 + i)2
]5
(1 + i) (1 +i2
+ 2i)5
(1 + i)
E = ––––––––––––––– = ––––––––––––––––
32(1 - i) 32(1 - i)
(1 - 1 + 2i)5
(1 + i) (2i)5
(1 + i)
E = –––––––––––––––– = ––––––––––
32(1 - i) 32(1 - i)
32i5
(1 + i) (i2
)2
. i(1 + i)
E = –––––––––– = ––––––––––––
32(1 - i) (1 - i)
i(1 + i) i + i2
i - 1 -(1 - i)
E = ––––––– = ––––– = ––––– = –––––––
1 - i 1 - i 1 - i (1 - i)
E = -1
______ ______ _____ _____
E = (√12 + 5i + √12 - 5i )(√4 + 3i + √4 - 3i )
- 258 -
α
α α

Solución:
Elevando al cuadrado y extrayendo raíz cuadrada,
se obtiene:
____________________________________
______ ______ 2
_____ _____ 2
E =√(√12 + 5i + √12 - 5i ) (√4 + 3i +√4 - 3i )
operando:
__________________________________
_______________
E =√[12 + 5i + 2√(12 + 5i)(12 - 5i) + 12 - 5i]
_____________________________
_____________
[4 + 3i + 2√(4 + 3i)(4 - 3i) + 4 - 3i]
reduciendo:
________________________________
_________ _______
E =√(24 + 2√144 - 25i2
)(8 + 2√16 - 9i2
)
Como i2
= -1:
______________________________
________ ______
E = √(24 + 2√144 + 25 )(8 + 2√16 + 9 )
___________________ ______________
E = √(24 + 2 . 13)(8 + 2. 5) = √(24+26)(8+10)
______ ____
E = √50(18) = √900 = 30
E = 30
(1 + i)3
- (1 + i)2
E = –––––––––
––––––
(1 - i)6
Solución:
Extrayendo factor común en el numerador y
transfromando el denominador:
(1 + i)2
[(1 + i) - 1]
E = ––––––––––––––––––
[(1 - i)2
]3
(1 + i2
+ 2i)(1 + i - 1)
E = –––––––––––––––––––
(1 - 2i + i2
)3
(1 - 1 + 2i)(i) (2i)(i) 2i2
E = –––––––––––– = ––––––– = ––––
(1 - 2i - 1)3
(-2i)3
-8i3
2(-1) -2 1
E = –––––– = –––––– = - –––
-8i2
. i -8(-1)i 4i
Multiplicando y dividiendo por i:
1 i i i
E = - –––– . –– = - ––– = - ––––
4i i 4i2
4(-1)
1
E = ––
4
4
-(1-i)
E = (1 + i)-(1-i)
Solución:
Calculando en primer lugar el último exponente,
ésto es:
(1 - i)4
= [(1 - i)2
]2
= (1 - 2i + i2
)2
(1 - i)4
= (1 - 2i - 1)2
= (-2i)2
= 4i2
= 4(-1) = -4
la expresión que se obtiene es:
-(-4) 4
E = (1 + i)-(1-i)
= (1 + i)-(1-i)
luego, como (1 - i)4
= -4, se tiene:
E = (1 + i)-(-4)
= (1 + i)4
E = [(1 + i)2
]2
= (1 + 2i + i2
)2
= (1 + 2i - i)2
E = (2i)2
= 4i2
= 4(-1) = -4
E = -4
E = (1 - i-1
+ 1-2
- i-3
+ i-4
- i-5
+ …- i-223
)2
Solución:
Transformando en potencias positivas:
1 1 1 1 1 2
E =
(1 - –– + ––– - ––– + ––– - … - ––––
)
i i2
i3
i4
i223
también:
i223
- i222
+ i221
- i220
+ i219
- …- 1 2
E =
(–––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––)
i223
Á L G E B R A
- 259 -

Escribiendo como coeficiente notable:
2 2
i224
- 1 (i2
)112
- 1
–––––––– –––––––––
i + 1 i + 1
E =
{–––––––––
} =
{–––––––––––
}
i223
(i2
)112
. i
2 2
(-1)112
- 1 1 - 1
__________ _____
i + 1 i + 1
=
{––––––––––––
} =
{––––––––
}= 0
(-1)111
. i -i
E = 0
754! 21
–
–– C
E = {i753!
}i 15
Solución:
Cálculo de los exponentes:
754! 754 . 753!
–––– = ––––––––––– = 754
753! 753!
21 21
C = ––
––––
15
15 6
21 . 20 . 19 . 18 . 17 . 16 . 15
= ––––––––––––––––––––––––––
15 . 1 . 2 . 3 . 4 . 5 . 6
21
C15
= 21 . 19 . 17 . 8 = múltiplo de 4 = m4
como i4
= 1, se tiene:
m4 m4
E = {i754
}i
= {(i4
)188
. i2
}i
= {(i)188
. i2
}1
= (i2
)1
E = -1
E = 3i + 5i2
+ 7i3
+ 9i4
+ 11i5
.+…+(8n + 1)i4n
- 4n
Solución:
Transformando las primeras potencias, con la
finalidad de obtener una regla de formación
teniendo presente que:
i2
= -1 , i3
= -i , i4
= 1
se tendrá:
E = 3 i+ 5(-1) + 7(-i) + 9(1) + 11(i) + 13(-1)
+ 15(-i) + 17(1) + … + (8n + 1)(1) - 4n
E = 3i-5-7i+9+11i-13-15i +17+…+(8n+1)-4n
Agrupando de 4 en 4 términos:
E = (3i - 5 - 7i + 9) + (11i - 13 - 15i + 17) + …
+ (8n + 1) -4n
E = (4 - 4i) + (4 - 4i) + … + (4 - 4i) - 4n
“4n”
En este caso, se debe considerar ––– términos ya
4
que se han tomado de 4 en 4 y el número de tér-
minos es 4n; ésto se obtiene observando los expo-
nentes de i. De esta manera:
E = (4 - 4i)n - 4n = 4n - 4ni - 4n = -4ni
E = -4ni
x + y
19.- Calcular: E = –––––
x - y
si se cumple que:
(1 + i)2
+ (1 + i)4
+ (1 + i)6
+ (1 + i)8
= x + yi
Solución:
Se puede escribir el primer miembro:
(1 + i)2
+ {(1 + i)2
}2
+ {(1 + i)2
}3
+ {(1 + i)2
}4
= x + yi
Como:
(1 + i)2
= 1 + i2
+ 2i = 1 - 1 + 2i = 2i
entonces:
(2i) + (2i)2
+ (2i)3
+ (2i)4
= x + yi
efectuando:
2i + 4i2
+ 8i3
+ 16i4
= x + yi
Como:
i2
= -1, i3
= -i, 14
= 1
- 260 -
α
α α

se obtiene:
2i - 4 - 8i + 16 = x + yi
12 - 6i = x + yi
de aquí:
x = 12
y = -6
reemplazando en la expresión pedida:
12 - 6 6 1
E = –––––––– = ––– = ––
12 - (-6) 18 3
20.- Calcular el menor valor de n que verifica:
(1 + i)n
= 32i
Solución:
Como i = i5
y aque i4
= 1, se puede escribir:
1 + i)n
= 32i5
también:
(1 + i)n
= (2i)5
Como:
(1 + i)2
= 1 + 2i + i2
= 1 + 2i - 1 = 2i
se puede escribir:
(1 + i)n
= [(1 + i)2
]5
(1 + i)n
= (1 + i)10
por lo tanto: n = 10
Á L G E B R A
- 261 -
7
7
7
1. El valor de: (i7
) es:
a) 1 b) -1 c) i
d) -4 e) Ninguna
a + b
2. Racionalizar: –––––––––
__ __
√a + √b i
__ __ __ _
_
a) √a - √b i b) √a + √b i c) a + bi
__ __
d) a - bi e) (a + b) (√a - √b )i
31
29
23
22
21
58
57
E = [(i55
) ]
a) i b) -i c) 1
d) -1 e) Ninguna
i28!
+ i27! i50! + i52!
4. Efectuar:
(–––––––––
)
i26!
+ i25!
a) Imposible b) Indeterminado
c) Ninguno d) 1
e) 0
5. Efectuar:
-i5
i17
- ––– –––
i23
-i51
E =
{–––––
}{–––––
}
-i9
-i25
––
–– - –––
i39
i49
a) i b) -i c) 1
d) -1 e) 0
6. Calcular:
E = i - i2
+ i3
- i4
+ i5
- i6
+ i7
- i8
.... 4n términos
a) 1 b) i c) 0
d) -i e) -1

α
α α
- 262 -
7. Calcular:
E = i + 2i2
+ 3i3
+ 4i4
+ … + (n)in
a) 2n b) 3n c) 4n
d) n e) 1
8. Calcular:
E = i2
+ 3i4
+ 5i6
+ 7i8
+ ... +(2n - 1)i2n
n
a) n b) –– c) 2n
2
d) -2n e) 1
9. Efectuar:
4 8 12
3 7 11
2 6 10
E = i1
+ i5
+ i9
+ …
(4n+4)
(4n+3)
(4n+2)
+ i(4n+1)
a) n b) 4n c) ni
d) 4ni e) 2ni
10. Calcular:
E = (1 + i)200
- (1 - i)200
a) 2100
b) 0 c) 250
d) i e) -i
(1 + i)n
11. Calcular: ––––––––
(1 - i)n-2
para “n” entero y positivo.
a) 4in
b) 3in
c) 2in-1
d) in+1
e) 2in
12. Calcular “x” é “y” sabiendo que el siguiente
polinomio tiene raíz cuadrada exacta:
a2
+ 6a + 2ai + x - yi
a) x = 6 b) x = -6 c) x = -6
y = -8 y = -8 y = 8
d) x = 6 e) x = 8
y = -8 y = -6
13. Calcular:
E = (1 + i) + (2 + i2
) + (3 + i3
) + …
+ (4n + i4n
)
a) 2n(4n + 1) b) 2n(4n - 1)
c) 2n(4n + 2) d) 2n(4n - 2)
e) 8n2
x2
- y2
+ (x2
+ y2
)i
14. Si: –––––––––––––––
x - y + (x + y)i
es igual a 3, hallar x.
a) 1 b) 2 c) 3
d) 4 e) 5
ab
+ a2b
i
15. Si: –––––––– es un real puro
ba
+ b2a
i
Calcular ab
.
a) a b) b c) aa
1
_
d) a a
e) a2
______
________
16. Si: Z1
= √a2b
- b2a
+ 2ab
ba
i
______
________
Z2
= √b2a
- a2b
+ 2ab
ba
i
siendo Z1
+ Z2
= ab(1 + b), calcular:
ba-1
ab-1
E = ––––– + ––––
a b
a) a b) b c) ab
a
d) 1 e) ––
b
17. Si:
___
____
√5 + 12i = x + yi, hallar: x + y

Á L G E B R A
- 263 -
a) 3 b) 2 c) 5
d) 7 e) 4
_____ _____
√aai
+ 1 - √aai
- 1 (aai
- bbi
)(aai
+ bbi
)
––––––––––––––––– + –––––––––––––––––
_____ _____ ______ ______
√aai
+ 1 + √aai
- 1 √a2ai
- 1 - √b2bi
- 1
_____ _____
√bbi
+ 1 - √bbi
- 1
+ –––––––––––––––––
_____ _____
√bbi
+ 1 + √bbi
- 1
hallar la relación entre a y b.
a) a = -b b) a - b = 0
c) a = b2
d) b = a2
e) a2
= b3
(4n-3) (4n+3)
(4n-2) (4n+2)
i(4n-1)
+ i(4n+1)
= ni
calcular “n”.
a) 1 b) 0 c) 2
d) -1 e) -2
___________
1
___ __
E = –––– {-2 + √20 ± √-40 - 8 √5 }
5
512
a) 64 b) 512 c) 256 d) 64 e) 32
CLAVE DE RESPUESTAS
1) C 2) A 3) A 4) D 5) C
6) C 7) A 8) A 9) C 10) B
11) C 12) E 13) A 14) C 15) C
16) D 17) C 18) B 19) C 20) A

NÚMEROS COMPLEJOS
DEFINICIÓN.- Los números complejos son aquellos
que tienen una parte real y una imaginaria. Son de la
forma:
Z = a + bi
Donde a y b pueden ser números positivos, negativos
y aún nulos.
CLASES DE NÚMEROS COMPLEJOS
COMPLEJO REAL.- Es aquel cuya parte imaginaria
es nula.
COMPLEJO PURO.- Es aquel cuya parte real es nula.
COMPLEJO NULO.- Es aquel cuya parte real y cuya
parte imaginaria son nulas.
COMPLEJOS IGUALES.- Son dos complejos, que
tienen iguales sus partes reales e iguales sus partes
imaginarias.
Ejemplo: Si: a + bi = c + di
∴ a = c
b = d
COMPLEJOS CONJUGADOS.- Son dos complejos
que tienen iguales sus partes reales e iguales pero de
signos contrarios sus partes imaginarias.
Ejemplo:
Z1
= a + bi
son dos complejos
} conjugados
Z2
= a - bi
COMPLEJOS OPUESTOS.- Son dos complejos que
tienen iguales, pero de signos contrarios, tanto las
partes reales como las imaginarias.
Ejemplo:
Z1
= a + bi
son dos complejos
} opuestos
Z2
= -a - bi
REPRESENTACIÓN GRÁFICA DE UN
COMPLEJO
1.- REPRESENTACION CARTESIANA
Se realiza utilizando un sistema de ejes rectangulares
o cartesianos; en el eje “x” se representa los números
reales y las cantidades imaginarias en el eje “y”. Al
plano formado por los ejes real e imaginario se
denomina llama Plano de Gauss.
y eje imaginario
Plano de
b (a,b) GAUSS
r
i{
x
{ eje real a
1
Sea:
Z = a + bi
En el eje y:
i = unidad de medida de los valores imaginarios.
En el eje x:
1 = unidad de medida de los valores reales.
2.-REPRESENTACIÓN POLAR O
TRIGONOMÉTRICA
Para representar un complejo de esta manera, es
necesario conocer el “radio vector”, conocido con el
nombre de “módulo” y el ángulo que forma ésta con
la parte positiva del eje “x”.
Sea el complejo Z = a + bi, a representar en forma
polar.
y
M
r
}b
θ
x
1442443
0 a N
r = radio vector o módulo
θ = ángulo o argumento del módulo
- 264 -
α
α α

Apoyados en el gráfico podemos calcular los valores
de r y θ:
Cálculo del módulo.
En el triángulo rectángulo MNO:
(por Pitágoras)
__
__2
__
__2
__
__2
MN + NO = MO
b2
+ a2
= r2
________
∴ r = √a2
+ b2
(I)
Cálculo del argumento o ángulo θ.-
En el triángulo rectángulo MNO:
b
tg θ = ––
a
a
∴ θ = arc tg –– (II)
b
ya que según el gráfico: a = rcos θ y b = rsen θ, la
forma polar de a + bi será:
a + bi = r cos θ + ri senθ
ó:
a + bi = r(cos θ + i sen θ)
Ejemplo.- Expresar en forma polar:
8 + 6i
Solución:
Se sabe que:
8 + 6i = r(cos θ + i sen θ)
Ejecutemos el cálculo de r y θ, apoyados en las fór-
mulas (I) y (II):
______ ______ _______
r = √a2
+ b2
= √82
+ 62
= √64 + 36 = 10
b 6 3
θ = arc tg –– = arc tg –– = arc tg –– = 37°
a 8 4
Luego:
8 + 6i = 10(cos 37° + i sen 37°)
OPERACIONES CON COMPLEJOS
SUMA DE COMPLEJOS.- Para sumar dos o más
complejos, se suma las partes reales y las partes
imaginarias separadamente.
Ejemplo: Sean los números complejos:
Z1
= a + bi
Z2
= c + di
∴ (a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i
MULTIPLICACIÓN DE COMPLEJOS.- El produc-
to de números complejos puede ser: otro comple-
jo, un imaginario puro, o un número real. Para
efectuar el producto, se considera a los complejos
como binomios.
Ejemplo:
Si: (a + bi) (c + di) = ac + adi + bci + bdi2
= (ac - bd) + (ad + bc)i
o también en forma polar:
Z1
= a + bi = r(cos θ +i sen θ)
Z2
= c + di = r1
(cos θ1
+ i sen θ1
)
Z1
Z2
= r(cos θ + i sen θ) . r1
(cos θ1
+ i sen θ1
)
= rr1
[(cos θ cos θ1
- sen θsen θ1
)
+ i (sen θ cos θ1
+ cos sen θ1
) ]
∴ Z1
Z2
= r r1
[cos (θ + θ1
) + i sen (θ + θ1
)]
PROPIEDADES
1º El módulo del producto es igual al producto
de los módulos de los factores.
2º El argumento del producto es igual a la suma
de los argumentos de los factores.
DIVISIÓN DE COMPLEJOS.- El cociente de dos com-
plejos puede ser: otro complejo, un imaginario puro o
un número real. Para dividir dos complejos, se expre-
sa el cociente en forma de quebrado y se racionaliza el
denominador, multiplicando ambos miembros de la
fracción por la conjugada del denominador.
Á L G E B R A
- 265 -

Ejemplo:
Z1
Hallar: ––– , siendo: Z1
= a + bi
Z2
Z2
= c + di
∴
Z1 a + bi c - di (ac + bd) + (bc - ad)i
––– =
(––––––
)(–––––
)= ––––––––––––––––––
Z2
c + di c - di c2
- d2
i2
Z1 (ac + bd) + (bc - ad)i ac + bd bc-ad
––– = –––––––––––––––– =
(––––––
)+
(–––––
)i
Z2
c2
+ d2
c2
+d2
c2
+d2
o, también en forma polar:
Z1
r(cos θ + i sen θ) cos θ1
- i sen θ1
––– = –––––––––––––––– . –––––––––––––––
Z2
r1
(cos θ1
+ i sen θ1
) cos θ1
- i sen θ1
Z1
(cos θ cos θ1
+ sen θ sen θ1
)
––– =
[––––––––––––––––––––––––––
Z2
cos θ1
cos θ1
+ sen θ1
sen θ1
+ i (sen θ cos θ1
- cos θ sen θ1
)
–––––––––––––––––––––––––––
]
Z1
r
––– = –– [(cos θ cos θ1
+ sen θ sen θ1
)
Z2
r1
+ i(sen θ cos θ1
- cos θ sen θ1
)]
Z1
r
––– = –– [(cos (θ - θ1
) + i sen (θ - θ1
)]
Z2
r1
PROPIEDADES
1º El módulo del cociente es igual al cociente de
los módulos del dividendo y el divisor.
2º El argumento del cociente es igual a la diferen-
cia entre los argumentos del dividendo y el
divisor.
POTENCIA DE UN COMPLEJO.- La potencia de un
complejo puede ser: otro complejo, un número real o
un imaginario puro.
Para efectuar la operación se aplica el desarrollo del
Binomio de Newton; para potencias elevadas, es con-
veniente potenciar en forma polar.
[r(cos θ + i sen θ)]n
= rn
(cos θ + i sen θ)n
= rn
(cos θ + i senθ)
. (cos θ+i sen θ)(cos θ + i sen θ)
…(cos θ+i sen θ)
= rn
[cos (θ + θ + θ + … + θ)
1442443
n
+ i sen (θ + θ + … + θ) ]
1442443
n
[r(cos θ + i sen θ)]n
= rn
(cos nθ + i sen nθ)
PROPIEDADES
1º El módulo de la potencia es la potencia del
módulo de la base.
2º El argumento de la potencia es el argumento de
la base multiplicado por el exponente.
RAÍZ DE UN COMPLEJO.- La raíz de un complejo es
otro complejo, puro o real. Para extraer la raíz de
índice elevado, se opera con la forma polar:
_______________
n
√r (cos θ + i sen θ) = r1
(cos θ1
+ i sen θ1
) (I)
Elevando a la potencia “n” para calcular r1
y + θ1
,
en función de r y θ que se conoce.
El primer miembro de (I) se puede escribir así:
r[cos(θ + 2kπ) + i sen(θ + 2kπ)]
n
= r1
(cos nθ1
+ i sen nθ1
)
para que los complejos sean iguales.
n
1) r1
= r
__
∴ r1
=
n
√r
2) θ + 2kπ = nθ1
θ + 2kπ
∴ θ1
= –––––––
n
Sustituyendo los valores de r1
y θ1
en (I):
_______________ __
θ + 2kπ
n
√r(cos θ + i sen θ) =
n
√r [cos (–––––––)
n
θ + 2kπ
+ i sen (–––––––)]
n
donde k = 0,1,2,3,…, n - 1; ya que se debe obtener
“n” raíces.
- 266 -
α
α α

PROPIEDADES
1º El módulo de la raíz es la raíz del módulo del
radicando.
2º El argumento de la raíz es el argumento del ra-
dicando incrementado en 2kπ, dividido entre el
índice.
1.- Efectuar:
1 + i 1 - i 10 + 3i
E = ––––––– - ––––––– + –––––––
12 - 5i 5 - 12i 169
Solución:
Racionalizando las dos primeras fracciones:
(1 + i)(12 + 5i) (1 - i)(5 + 12i) (10 + 3i)
E = ––––––––––––– - –––––––––––– + ––––––––
122
- 25i2
52
- 122
i2
169
12+5i+12i-5 5+12i-5i+12 10 + 3i
E = ––––––––––––– - –––––––––––––– + ––––––
169 169 169
7 + 17i - 17 - 7i + 10 + 3i 13i i
E = ––––––––––––––––––––––– = –––– = –––
169 169 13
2.- Dos números complejos tienen el mismo módu-
lo. Uno de ellos es conjugado del otro. Sus argu-
mentos suman 510°. Calcular los argumentos de
ambos complejos.
Solución:
Sean los complejos:
r (cos θ1
+ i sen θ1
) y r(cos θ2
+ i sen θ2
)
Por datos:
r cos θ1
+ ri sen θ1
= r2
cos 2θ2
- r2
i sen 2θ2
identificando las partes reales y las partes imagi-
narias entre sí:
r cos θ1
= r2
cos 2θ2
(1)
r sen θ1
= -r2
sen 2θ2
(2)
dividiendo (2) : (1) miembro a miembro:
sen θ1
sen 2θ2
–––––– = - –––––––
cos θ1
cos 2θ2
tg θ1
= - tg 2θ2
pero: -tg α = tg(-α)
tg θ1
= tg(-2θ2
)
de aquí por por propiedad trigonométrica:
θ1
- (-2θ2
) = 360k
θ1
+ 2θ2
= 360k (3)
Por datos:
θ1
+ θ2
= 510° (4)
La solución aceptable de (3) y (4) es:
θ1
= 300º
θ2
= 210°
3.- Obtener “x” e “y” sabiendo que el siguiente poli-
nomio tiene raíz cuadrada exacta:
P = a2
+ 6a + 2ai + cx - yi
Solución:
Representando como (a+b) la raíz cuadrada del
polinomio:
a2
+ 6a + 2ai + x - yi = (a + b)2
a2
+ 2a(3 + i) + (x - yi) = a2
+ 2ab + b2
identificando términos:
b = 3 + i (1)
b2
= x - yi (2)
sustituyendo (1) en (2):
(3 + i)2
= x - yi
8 + 6i = x - yi
Identificando términos nuevamente:
x = 8
y = -6
Á L G E B R A
- 267 -

4.- El cociente de dos números complejos es imagi-
nario puro; su suma es real y vale 5. El módulo
del dividendo es doble que el del divisor. Hallar el
divisor.
Solución:
Siendo la suma real entonces los complejos son
de la forma:
( x + yi), (z - yi)
Por datos:
x + yi
––
–––– = bi (1)
z - yi
x + z = 5 (2)
______ ______
√x2
+ y2
= 2√z2
+ y2
(3)
De (1) se obtiene:
x + yi = bzi + by
identificando términos: x = by
y = bz
dividiendo miembro a miembro, resulta:
y2
= xz (4)
resolviendo el sistema (2), (3), (4):
x = 4
y = ±2
z = 1
∴ El divisor es: 1 ± 2i
5.- La diferencia de dos números complejos es real,
su producto vale 1 + 3i y la parte real de la suma
es igual a 3. Calcular la suma de los cuadrados de
los módulos.
Solución:
Por ser la diferencia real, los complejos serán de
la forma:
(a + bi) , (c + bi)
según datos:
(a + bi)(c + bi) = 1 + 3i
o, bien:
(ac - b2
) + b(a + c)i = 1 + 3i
ac - b2
= 1 (1)
b(a + c) = 3 (2)
además, por datos:
a + c = 3 (3)
(3) en (2): b = 1
En (1): ac = 2 (4)
De (3) y (4): a = 1; c = 2 ó a = 2, c = 1
Los complejos serán: 2 + i, y, 1 + i
6.- Calcular “a” sabiendo que:
a + 3i
––––––
2 - 5i
es un imaginario puro.
Solución:
a + 3i
–––––– = ki
2 - 5i
de aqui:
a + 3i = 5k + 2ki
identificando: a = 5k (α)
3 = 2k
3
k = ––
2
De (α):
3
a = 5
(––
)
2
a = 7 . 5
- 268 -
α
α α

7.- Hallar el módulo del complejo:
(4 + 3i)2
(-1 + i)4
Z = –––––––––––––––
__ 5
(√3 + i )
Solución:
Cálculo de los módulos r1
, r2
y r3
______
r1
= √42
+ 32
= 5
__________
__
r2
= √(-1)2
+ 12
= √2
__________
__ 2
r3
= √(√3 ) + 12
= 2
El módulo del complejo será:
__ 4
(5)2
(√2 ) 25 . 4
r = ––––––––––– = –––––––
(2)5
32
25
r = –––
8
__ 45
1 √3
E =
(–– + i ––––
)
2 2
Solución:
Aplicando las propiedades de los complejos:
______________
2
__ 2
1 √3
r =
(––
) +
(––––
) = 1
√ 2 2
__
√3
––––
2
__
q = arc tg –––– = arc tg √3 = 60°
1
––––
2
Por lo tanto:
E = [1(cos 60 + i sen 60°)]45
= (1)45
(cos 60 . 45 + i sen 60 . 45)
E = cos 2 700° + i sen 2 700°
= cos 180° + i sen 180°
E = -1
9.- Calcular la raíz cuadrada de 5 + 12i
Solución:
Suponiendo que la raíz cuadrada es de la forma
a + bi:
_______
√5 + 12i = a + bi
5 + 12i = (a + bi)2
= a2
- b2
+ 2abi
a2
- b2
= 5 (1)
2ab = 12 (2)
resolviendo (1) y (2) se obtiene:
a = ± 3
b = ± 2
_______
Rpta.: √5 + 12i = ± 3 ± 2i
RAÍCES CÚBICAS DE LA UNIDAD
EJEMPLO.- Determinar las raíces cúbicas de la
unidad.
Solución:
Utilizando la fórmula de la raíz se tendrá:
__ _____ ______________
3
√1 =
3
√1 + 0i =
3
√cos 0° + i sen 0°
0 + 2kπ 0 + 2kπ
= cos
(––––––––
)+ i sen
(––––––––
)
3 3
dando valores a k:
1) Para k = 0:
__
3
√1 = cos 0 + i sen 0 = 1 (A)
2) Para k = 1:
__
0 + 2π 0 + 2π
3
√1 = cos ––––––– + i sen –––––––
3 3
2π 2π
= cos –––– + i sen ––––
3 3
Á L G E B R A
- 269 -

__
1 √3
= - ––– + ––––– i (B)
2 2
3) Para k = 1:
__
0 + 4π 0 + 4π
3
√1 = cos ––––––– + i sen –––––––
3 3
4π 4π
= cos –––– + i sen ––––
3 3
__
1 √3
= - ––– - ––––– i (C)
2 2
1
__
–– 1 √3
En resumen:
3
√1:
{- –– + –––– i
2 2
__
1 √3
- –– - –––– i
2 2
PROPIEDADES
1º De las dos raíces complejas que aparecen en la
raíz cúbica de la unidad, una de ellas es el
cuadrado de la otra.
Si una raíz compleja es w, la otra es w2
, siendo
la tercera el número real 1.
__ __ __
∴
3
√1 = 1,
3
√1 = w,
3
√1 = w2
2º La suma de las tres raíces cúbicas de la unidad
es igual a cero:
1 + w + w2
= 0
3º Debido a que w es una de las raíces cúbicas de
la unidad, w3
= 1, y por lo tanto w3
elevada a
cualquier exponente es igual a la unidad.
Como:
w3
= 1
Elevando a la potencia k:
w3k
= 1
1.- Simplificar:
E = (1 - w)2
(1 - w2
)2
(1 - w4
)2
(1 - w5
)2
Solución:
Se sabe que:
w3
= 1; w4
= w; w5
= w2
sustituyendo:
E = (1 - w)2
(1 - w2
)2
(1 - w)2
(1 - w2
)2
E = [(1 - w)(1 - w2
)]4
= [1 - w2
- w + w3
]4
pero:
1 + w + w2
= 0
∴ 1 = -w - w2
y como:
w3
= 1
sustituyendo en E:
E = (1 + 1 + 1)4
E = 81
2.- Calcular:
E = (1 + w - w2
)3
- (1 - w + w2
)3
Solución:
Como:
1 + w + w2
= 0
1 + w = -w2
} sustituyendo en la
expresión
1 + w2
= -w
E = (-w2
- w2
)3
- (-w - w)3
= (-2w2
)3
- (-2w)3
E = -8w6
+ 8w3
= -8 + 8 = 0
E = 0
3.- Calcular:
E = (5 + 7w + 7w2
)12
- 270 -
α
α α

Solución:
La expresión se puede escribir:
E = [5 +7(w + w2
)]12
Como: 1 + w + w2
= 0, se tiene:
w + w2
= -1
∴ E = [5 + 7(-1)]12
= (-2)12
= 212
E = 4 096
4.- Simplificar:
E = w273
+ w542
+ w115
+ w439
+ w855
+ w668
Solución:
Transformando:
E = (w3
)91
+ (w3
)180
. w2
+ (w3
)38
. w + (w3
)146
. w
+(w3
)285
+ (w3
)222
. w2
Como w3
= 1, se tendrá:
E = 1 + w2
+ w + w + 1 + w2
E = 0 + 0
E = 0
E = (1+ w2
)10
+ (1- w + w2
) (1 + w - w2
)w - 5w
siendo w y w2
las raíces cúbicas de la unidad.
Solución:
Como:
1 + w2
= -w
1+ w2
+ w2
= 0
{1 + w = -w2
Sustituyendo en el ejercicio:
E = (-w)10
+ (-w - w) (-w2
- w2
)w - 5w
E = (-w)10
+ (-2w)(-2w2
)w - 5w
E = w10
+ 4w4
- 5w
Como w3k
= 1, luego:
E = (w3
)3
. w + 4(w3
) . w - 5w
E = (1)3
. w + 4(1) . w - 5w
E = w + 4w - 5w
E = 0
w50
y
w4
w3
E =
[{[(ww
)w
2
] } ]
siendo w, w2
las raíces cúbicas complejas de la
unidad.
Solución:
Efectuando el producto de potencias, se obtiene:
E = ww . w2 . w3 . w4 … w50
Efectuando la multiplicación de potencias, en el
exponente:
1 + 2 + 3 + 4…+50
E = ww
la suma de exponentes puede ser reemplazada
por:
50 . 51
____
2 1 275 425
E = ww
= ww
= w(w3 )
Como w3
= 1 se obtiene:
425
E = w(1)
= w1
E = w
E = (1 + w + w2
+ w3
+…+ w25
)(1 - w5
+ w10
- w15
… +w220
)
siendo, w, w2
, las raíces cúbicas complejas de la
unidad.
Solución:
Transformando cada paréntesis a cocientes nota-
bles se tendrá:
1 - w26
1 + w225
E =
(––––
–––
)(––––––
––
)
1 - w 1 + w5
Á L G E B R A
- 271 -

1 - (w3
)8
. w2
1 + (w3
)75
E =
[––––––––––––
][––––––––––––
]
1 - w 1 + (w3
) . w2
como w3
= 1:
1 - w2
1 + 1 (1+w)(1-w) 2
E =
[––––––
][––––––
]=
[–––––––––––
](––––––
)
1 - w 1 + w2
(1 - w) 1 + w2
Como:
1 + w + w2
= 0
1 + w = -w2
1 + w2
= -w
se tendrá:
-w2
2
E =
(–––
)(–––
)
1 -w
E = 2w
8.- Calcular el valor de “n”, si:
(1 - w)2n
= -2 187w
siendo w, w2
las raíces cúbicas completas de la
unidad.
Solución:
Desarrollando el cuadrado del primer miembro:
(1 + w2
- 2w)n
= -2 187w (1)
Como 1 + w + w2
= 0:
1 + w2
= -w (α)
También: w7
= w
2 187 = 37
(β)
Sustituyendo (α) y (β) en (I):
(-w - 2w)n
= -37
w7
(-3w)n
= (-3w)7
de aquí:
n = 7
9.- Si 1, w, w2
son las tres raíces cúbicas de 1, hallar el
valor de n que cumple con la siguiente identidad:
(1 + w) + (1 + w2
)2
+ (1 + w3
)3
+ (1 + w4
)4
+ …
+ (1 + w3n
)3n
= 584
Solución:
Como: 1 + w + w2
= 0
1 + w = -w2
1 + w2
= -w
y también: w3
= 1
w3k
= (w3
)k
= 1
w3k+1
= (w3
)k
. w = w
w3k+2
= (w3
)k
. w2
= w2
Luego, el primer miembro puede escribirse cómo:
(-w2
)+(-w)2
+(1 + 1)3
+ (1 + w)4
+ (1 + w2
)5
+ (1 + 1)6
+…+(1 + 1)3n
= 584
-w2
+ w2
+ 23
+ (-w2
)4
+ (-w)5
+ 26
+…+ 23n
= 584
23
+w8
- w5
+ 26
+ … + 23n
= 584
23
+ w2
- w2
+ 26
+ … + 23n
= 584
Se observa que, de dos en dos se elimina los tér-
minos, que son reducidos a w2
; quedando sólo
potencias de 2 elevado a un múltiplo de 3. Luego
la expresión de primer miembro es:
23
+ 26
+ 29
+ …… + 23n
= 584
23
(1 + 23
+ 26
+ … + 23n-3
) = 584
Escribiendo como Cociente Notable:
1 - 23n
23
(––––––
)= 584
1 - 23
8
––– (1 - 23n
) = 584
-7
1 - 23n
= -511
512 = 23n
29
= 23n
- 272 -
α
α α

3n = 9
n = 3
10.- Sabiendo que 1, w, w2
son las raíces cúbicas de
la unidad, calcular el valor de:
1 + w-1
+ w-2
+ w-3
+ … + w-54
E = –––––––––––––––––––––––––––––––––––––
1 + ( 53
)w + ( 53
)w2
+ … + ( 53
) w52
+ w53
1 2 52
Solución:
Transformando el numerador:
N = 1 + w-1
+ w-2
+ w-3
+ … + w-54
1 1 1 1
N = 1 + ––– + –––– + –––– + …+ ––––
w w2
w3
w54
w54
+ w53
+ w52
+ …+ 1
N = –––––––––––––––––––––––
w54
Escribiendo como Cociente Notable:
w55
- 1
–––––––
w - 1
N = –––––––
w54
como w3
= 1, se tendrá:
(w3
)18
. w - 1 w - 1
––––––––––– –––––
w - 1 w - 1
N = ––––––––––– = ––––– = 1
(w3
)18
1
Transformando el denominador:
D = 1 + ( 53
)w + ( 53
)w2
+ … + ( 53
) w52
+ w53
1 2 52
se puede escribir:
D = 1+C53
w + C53
w2
+ … + C53
w52
+ C53
w53
1 2 52 53
Se observa que es el desarrollo de:
D = (1 + w)53
como 1 + w + w2
= 0:
1 + w = -w2
entonces:
D = (-w2
)53
= -w106
= -(w3
)35
. w
dado que: w3
= 1:
D = -(1)35
. w = -w
1 w2
w2
E = - ––– . –
–––– = - –
––––
w w2
w3
E = -w2
11.- Sabiendo que 1,w,w2
son las raíces cúbicas de 1,
calcular:
E = (m - n)(wm - w2
n)(w2
m - wn)
Solución:
Extrayendo factor común w a los factores segun-
do y tercero, se obtiene:
E = (m-n) w (m-wn) w (wm-n),
o también:
E = w2
(m - n)(m - wn)(wm - n)
efectuando los dos factores últimos:
E = w2
(m - n) [m2
w - mn - w2
mn + wn2
]
––– –––––
–––– ––– ––––– –––
agrupando en forma conveniente:
E = w2
(m - n) [w(m2
+ n2
) - mn(1 + w2
)]
Como: 1 + w2
+ w = 0
∴ 1+ w2
= -w
Sustituyendo:
E = w2
(m - n) [w(m2
+ n2
) - mn(-w)]
E = w2
(m - n) [w(m2
+ n2
) + mnw]
Sacando factor común w:
E = w2
(m - n) w (m2
+ n2
+ mn)
E = w3
(m - n)(m2
+ mn + n2
)
como w3
= 1:
E = (m - n)(m2
+ mn + n2
)
E = m3
- n3
Á L G E B R A
- 273 -

- 274 -
1. Calcular el valor de b para que la expresión x sea
real:
–– ––
2a + ib 2a + 3bi
x = –––––– + ––––––––
3 - 2i 3 + 2i
a) 1 b) -1 c) 2
d) 0 e) -2
2. Indicar cuál es la forma polar del siguiente com-
plejo:
__
(3 - 3i)(2 - 2√3 i )2
r = –––––––––––––––––
__
(-3 - √3 i )(4 - 3i)
8 ––
a) ––– √3 (cos 382° + i sen 382°)
5
8 ––
b) ––– √2 (cos 82° + i sen 82°)
5
8 ––
c) ––– √6 (cos 382° + i sen 382°)
5
8 ––
d) ––– √6 (cos 82° + i sen 82°)
5
e) Ninguna
3. Si los siguientes cocientes:
a + 2i b + (a + 8)i
––––––– y –––––––––––
b - 3i a + bi
son respectivamente un número real y un
número imaginario puro, hallar el valor del
primer cociente.
2 2 2
a) - ––– b) ––– c) –––
3 3 5
2 2
d) ––– e) - ––– i
5 5
4. Siendo (1, w, w2
) las raíces cúbicas de la unidad,
calcular el valor de:
R = (5 + 7w + 5w2
)9
+ (3 + 3w - w2
)3
a) 238 b) 228 c) 668
d) 448 e) 558
5. Teniendo presente la igualdad de complejos:
(1 + i)2
+ (1 + i)4
+ (1 + i)6
+ (1 + i)8
= x + yi
x + y
determinar P(x,y) = ––––––
x - y
1 1 1
a) ––– b) ––– c) –––
2 4 5
1 1
d) ––– e) –––
6 3
6. Dé la suma de los n primeros valores positivos
que verifican la siguiente igualdad:
______
____ _____
____
ix+1
+ ix-1
ix+1
- ix-1
––––––––– + –––––––– = 2
√ ix+1
- ix-1
√ix+1
+ ix-1
n(n + 1) n(n - 1)
a) ––––––– b) ––––––– c) n2
2 2
d) n(n + 1) e) N.A.
7. Cuál debe ser el valor de b para que se cumpla:
(i - 1)-1
(i + 1)-1
+ (i - 1)-1
(-1 - i)-1
+ (i + 1)-1
(1 - i)-1
= a + bi
a) (-2)-1
b) -2 c) 2-1
d) 1 e) 0
8. Efectuar:
(3 + i)(4 + i) (2 + i)(3 + i) (3 + i)(5 + i)
E = –––
–––––––– + ––––––––––– + ––––––––––––
11 + 7i 1 + i 7 + 4i
a) 6 b) 3 + i c) 4
d) 2 + i e) 8
α
α α

9. Indicar el módulo de:
____
(2 + 3i)3
5
√1 - i
–––––––––––––––––––––
__ __
_ ____
(√5 + 2√2 i )
2 5
√1 + i
___
___
√13
__
a) √13 b) ––––– c) √5
13
__ __
d) √7 e) √5 /7
10. Hallar el módulo de un complejo, sabiendo que
éste, su conjugado y el origen del plano carte-
siano forman un triángulo equilátero; además la
suma del complejo con su conjugada es 4.
__ __
√3 4√3
a) 2 b) ––––– c) ––––––
2 3
__
3√2
d) –––––– e) 4
2
11. Siendo a 0, b 0, ¿cuál es el cuadrante donde
estará representado el complejo (a - bi) multi-
plicado por i + 425 en el plano de Gauss?
a) 1° cuadrante b) 2° cuadrante
c) 3° cuadrante d) 4° cuadrante
E) Ninguno
12. Indicar el coeficiente del término de primer
grado del resto que se obtiene de dividir:
(cos a + x sen a)n
÷ (x2
+ 1)
a) cos na b) sen na c) cos a
d) sen a e) -sen a
13. Efectuar:
__ __ __ __
√-a - √-b √-a + √-b
––––––––––– + ––––––
––––––
__ __ __ __
√-a + √-b √-a - √-b
E = ––––––––––––
––––––––––––––
__ __
√-a √-b
––––––––––– + ––––
––––––––
__ __ __ __
√-a + √-b √-a - √-b
__
a) 1 b) 2 c) √a
d) a e) b
14. Señalar la condición que debe cumplir “m” para
que la expresión:
(x + 1)m
+ xm
+ 1,
sea divisible entre (x2
+ x + 1)2
.
º º º
a) m = 6 + 5 b) m = 6 + 5 c) m = 6 + 4
º º
d) m = 6 e) m = 6 + 1
15. Escribir en forma cartesiana el siguiente comple-
jo:
__
(cos 17 + i sen 17)3
[√2 (cos 28 + i sen 28)]2
–––––––––––––––––––––––––––––––––––––––
(cos 7 + i sen 7)11
__ __ __
a) √3 - i b) i - √3 c) i - √2
__ __
d) √3 + i e) √2 + i
16. Si Z1
y Z2
son opuestos, hallar b, siendo:
Z1
= (a - 3)i3
+ (b - 2)i2
- ai + 2b
Z2
= (b + 1)i3
+ (1 - a)i2
+ 3i - 1
a) 1 b) -1 c) 2
d) -2 e) 3
17. ¿Qué condición debe tener “m” para que el poli-
nomio:
(x + 1)m
+ xm
+ 1
sea divisible por (x2
+ x + 1)?
a) 3k b) 3k - 1 c) 3k + 1
d) 6k + 1 e) 3k + 2
18. Si x = a + b ; y = aw + bw2
; z = aw2
+ bw.
Calcular: E = xyz.
a) a3
b) b3
c) a2
+ b2
d) a3
+ b3
e) a3
- b3
Á L G E B R A
- 275 -

- 276 -
19. Efectuar:
E = (2 + 5w + 2w2
)3
- (2 + 2w + 5w2
)3
a) 27 b) 54 c) 81
d) 729 e) 9
20. Simplificar:
(1 + w - w2
)(1 + w2
- w4
)(1 + w4
- w8
)(1 + w8
- w16
)
… 6n factores.
a) 4 b) 42n
c) 43n
d) 1 e) 4n
. CLAVE DE RESPUESTAS
1) D 2) C 3) A 4) D 5) E
6) D 7) A 8) E 9) B 10) C
11) C 12) A 13) B 14) C 15) D
16) A 17) C 18) D 19) B 20) C
α
α α

ECUACIONES
ECUACIONES
IGUALDAD .- Es la expresión de la equivalencia de
dos cantidades.
ECUACIONES EQUIVALENTES
Son ecuaciones que tienen las mismas soluciones; es
decir, que las soluciones de una, son también las de
la otra.
Ejemplo:
4x - 5 = 2x +13
x + 3 = 12
son ecuaciones equivalentes ya que x = 9 es la solu-
ción de ambas ecuaciones.
CLASES DE IGUALDADES
A) IGUALDAD ABSOLUTA
Llamada también identidad, o igualdad incondi-
cional. Es aquella que se verifica para cualquier valor
numérico de sus letras.
Ejemplos:
i) (a + b)2
= a2
+ 2ab + b2
ii) (x + a)(x + b) = x2
+ (a + b)x + ab
B) IGUALDAD RELATIVA O ECUACIÓN
Llamada también igualdad condicional. Es aquella
que se verifica para algunos valores particulares,
atribuidos a sus letras, llamadas incógnitas.
Ejemplos:
i) 5x + 2 = 17 ; se verifica para x = 3
x1
= 2
ii) x2
- 5x + 6 = 0; se verifica para
{x2
= 3
CLASIFICACIÓN DE LAS ECUACIONES
Esta se realiza atendiendo:
1) Al grado: Pueden ser de primer grado,
segundo grado, tercer grado,
etc.
2) A los coeficientes: Pueden ser numéricas o
literales.
3) A las incógnitas: Pueden ser de una, dos,
tres incógnitas, etc.
4) A las soluciones: Pueden ser compatibles e
incompatibles.
a)Compatibles.- Son aquellas que admiten solu-
ción y pueden ser, a su vez:
1º Determinadas.- Si admiten un número limi-
tado de soluciones.
2º Indeterminadas.- Si admiten un número
ilimitado de soluciones.
b) Incompatibles o absurdas.- Son aquellas que
no admiten solución.
PRINCIPIOS FUNDAMENTALES DE LAS
IGUALDADES QUE PERMITEN TRANS-
FORMAR LAS ECUACIONES
1er. PRINCIPIO.- Si a ambos miembros de una
ecuación se suma o resta una misma expresión o
un mismo número, resulta una ecuación equiva-
lente a la primera.
Á L G E B R A
- 277 -

- 278 -
α
α α
Ejemplo:
Sea la ecuación A = B donde A y B son el primer
y segundo miembro y “m” una cantidad cua-
lesquiera, entonces:
A ± m = B ± m
2do. PRINCIPIO.- Si a ambos miembros de una
ecuación se multiplica o divide por un mismo
número o por una misma expresión independiente
de x(m ≠ 0, m ≠ ∞) se obtiene una ecuación que es
equivalente a la primera.
Ejemplo:
Sea la ecuación: A = B
Multiplicando por m ≠ 0, m ≠ ∞ ; se tiene:
A . m = B . m
dividiendo entre m ≠ 0, m ≠ ∞ ; se tiene:
A B
––– = –––
m m
NOTA.- Obsérvese que si m está dependiendo
de la incógnita, se obtendrá soluciones
extrañas; o sea, soluciones que no pertenecen a
la ecuación.
3er. PRINCIPIO.- Si a ambos miembros se una
ecuación se eleva a una misma potencia o se extrae
una misma raíz, la ecuación que resulta es parcial-
mente equivalente a la primera.
Ejemplo:
Sea la ecuación:
A = B
o:
A - B = 0
Elevando los dos miembros a la “m”:
Am
= Bm
o:
Am
- Bm
= 0
factorizando por cocientes notables:
(A - B)(Am-1
+ Am-2
B + Am-3
B2
+ … + Bm-1
) = 0
A - B = 0
A = B
y:
Am-1
+ Am-2
B + Am-3
+ B2
+ … + Bm-1
= 0
(Ecuación donde aparecen soluciones extrañas).
En forma análoga, se obtiene para la raíz.
NOTA.- Se denomina soluciones extrañas, a
aquellas que se introducen o se pierden en una
ecuación al realizar ciertas operaciones.
ECUACIONES DE PRIMER GRADO CON
UNA INCOGNITA
Son aquellas que pueden reducirse a la forma:
ax + b = 0
siendo a y b coeficientes. La solución es:
a
x = - –––
b
DISCUSIÓN DE LA SOLUCIÓN
1) Si a ≠ 0, b ≠ 0, se tendrá:
a
x = - –––
b
2) Si a ≠ 0, b ≠ 0, se tendrá: x = 0.
3) Si a = 0, b = 0, se tendrá: x = indeterminada
4) Si a = 0, b ≠ 0; no se tendrá ninguna solución;
o, es una ecuación incompatible o absurda.
EJERCICIO RESUELTOS
1.- Resolver:
_____
x - √x2
- 8 = 4
Solución:
Transponiendo términos para lograr eliminar el
radical:
_____
x - 4 = √x2
- 8

_____ 2
(x - 4)2
= (√x2
- 8 )
x2
- 8x + 16 = x2
- 8
24 = 8x
x = 3
Para verificar la solución obtenida, se reemplaza
este valor en la ecuación propuesta, así:
____ __
3 - √9 - 8 = 3 - √1 = 3 - 1 = 2 ≠ 4
El valor x = 3, no satisface a la ecuación propues-
ta, luego se trata de una solución extraña. Como
no existe otra solución, la solución es incompati-
__
ble ya que aritméticamente √1 = 1, pero tambien
__
podría considerarse √1 = -1
2.- Resolver:
x2
- 6x + 10 x - 3 2
––––––––––– =
(–––––
)
x2
+ 8x + 17 x + 4
Solución:
Desarrollando la potencia:
x2
- 6x + 10 x2
- 6x + 9
––––––––––– = –––––––––––
x2
+ 8x + 17 x2
+ 8x + 16
haciendo un cambio de variable:
x2
- 6x = a
x2
+ 8x = b
se tendrá:
a + 10 a + 9
––
–––– = ––
––––
b + 17 b + 16
efectuando:
(a + 10)(b + 16) = (a + 9)(b + 17)
ab + 10b + 16a + 160 = ab + 17a + 9b + 153
transponiendo y simplificando los términos
iguales de ambos miembros:
10b - 9b + 16a - 17a = 153 - 160
de donde:
b - a = -7
sustituyendo valores de a y b:
(x2
+ 8x) - (x2
- 6x) = -7
simplificando:
7
14x = -7 x = - –––
14
finalmente:
1
x = - –––
2
3.- Resolver:
__________
______ ______________
___
___ ___
___ __
√x +11 + 5 √2x - 3 + √x + 3 + 3 √2x - 3 = 9 √2
Solución:
__
Multiplicando ambos miembros por √2 :
___
____________ ____
__________
__ _____ _____
√2 [√x +11+5 √2x -3 + √x+3+3√2x -3 ]= 9.2
Efectuando:
_________________ _______________
_____ _____
√2x + 22 + 10 √2x -3 + √2x +6 +6 √2x -3 = 18
Transformando los radicales dobles a simples:
_______
_____
_______ _____
___________
________ _______
√2x+22+2√25(2x-3) + √2x+6+2√9(2x-3) = 18
__________
_______________
____
_____
√25 + (2x - 3) + 2 √25(2x - 3)
_____
__________________
___
_____
+ √9 + (2x - 3) + 2 √9(2x - 3) = 18
___ _____ __ _____
√25 + √2x - 3 + √9 + √2x - 3 = 18
__
____
5 + 3 + 3 √2x - 3 = 18
_____
√2x - 3 = 5
2x - 3 = 25
28
x = –––
2
finalmente:
x = 14
4.- Resolver:
_____ _____
n
√2 + x
__ n
√2 + x
––––––– =
n
√2 - –––––––
2 x
Á L G E B R A
- 279 -

Solución:
El mínimo común múltiplo de los denomi-
nadores es (2x); multiplicando ambos miembros
de la ecuación por este valor:
_____ _____
(2x)
n
√2 + x
__
(2x)
n
√2 + x
––––––––––– = (2x)
n
√2 - –––––––––––
2 x
_____ __ _____
x
n
√2 + x = (2x)
n
√2x - 2
n
√2 + x
transponiendo términos, adecuadamente:
_____ _____ ___
x
n
√2 + x + 2
n
√2 + x = (2x)
n
√2x
factorizando:
_____ ___
(x + 2)
n
√2 + x = (2x)
n
√2x
elevando a la “n”:
_____ n
___ n
[ n
√2 + x (2 + x)] = [(2x)
n
√2x ]
efectuando:
(2 + x)(2 + x)n
= (2x)n
(2x)
(2 + x)n+1
= (2x)n+1
extrayendo raíz “n + 1”:
2 + x = 2x
∴ x = 2
5.- Resolver:
x2
+2x +2 x2
+8x + 20 x2
+4x+6 x2
+6x+12
––––––––– + –––––––––– = –––––––– + ––––––––
x + 1 x + 4 x + 2 x + 3
Solución:
Escribiendo los numeradores de la siguiente
manera:
(x+1)2
+1 (x+4)2
+ 4 (x+2)2
+2 (x+3)2
+3
–––––––– + ––––––––– = –––
–––––– + –––––––––
(x + 1) (x + 4) (x + 2) (x + 3)
descomponiendo las fracciones en fracciones par-
ciales:
(x + 1)2
1 (x + 4)2
4 (x + 2)2
––––––– + ––––– + ––––––– + ––––– = –––––––
x + 1 x + 1 x + 4 x + 4 (x + 2)
2 (x + 3)2
3
+ ––––– + ––––––– + ––––––
x + 2 (x + 3) (x + 3)
simplificando:
1 4
x + 1 + ––––– + x + 4 + –––––
x + 1 x + 4
2 3
= x + 2 + ––––– + x + 3 + –––––
x + 2 x + 3
reduciendo términos iguales:
1 4 2 3
––––– + ––––– = ––––– + ––––––
x + 1 x + 3 x + 2 x + 3
transponiendo adecuadamente:
4 3 2 1
––––– - ––––– = ––––– - ––––––
x + 4 x + 3 x + 2 x + 1
Efectuando operaciones en cada miembro:
x x
–––––––––––– = ––––––––––––
(x + 4)(x + 3) (x + 2)(x + 1)
Eliminado “x”(una solución es x = 0), se obtiene:
(x + 4) (x + 3) = (x + 2)(x + 1)
efectuando:
x2
+ 7x + 12 = x2
+ 3x + 2
4x = -10
finalmente:
5
x = - ––
2
6.- Resolver:
1 1 1 1 1
––
[––
[––
[––
[–– x - 1
]- 1
]- 1
]- 1
]- 1 = 0
3 3 3 3 3
Solución:
Efectuando operaciones en el corchete más inte-
rior y luego en los externos:
1 1 1 1 1
––
[––
[––
[–– x - –– - 1
]- 1
]- 1
]- 1 = 0
3 3 3 9 3
1 1 1 1 1
––
[––
[––– x - –– - –– -1
]- 1
]- 1 = 0
3 3 27 9 3
1 1 1 1 1
––
[––– x - ––– - –– - –– -1
]- 1 = 0
3 81 27 9 3
1 1 1 1 1
–––– x - ––– - ––– - –– - –– - 1 = 0
243 81 27 9 3
- 280 -
α
α α

Multiplicando toda la ecuación por 243:
x - 3 - 9 - 27 - 81 - 243 = 0
despejando x:
x = 363
7.- Resolver:
1 1 1
––––––––– = ––––––––––––– + –––––––––––––
ax + n + 1 (ax + 1)(ax + 2) (ax + 2)(ax + 3)
1 1
+ ––––––––––––– + … + –––––––––––––––––
(ax + 3)(ax + 4) (ax + n)(ax + n + 1)
Solución:
Descomponiendo las fracciones en fracciones
parciales:
1 1 1 1 1
––––––––– = ––––– - ––––– + ––––– - –––––
ax + n + 1 ax + 1 ax + 2 ax + 2 ax + 3
1 1 1 1
+ –––––– - –––––– + … + –––––– - ––––––––
ax + 3 ax + 4 ax + n ax + n + 1
reduciendo la segunda fracción con la tercera, la
cuarta con la quinta, y así sucesivamente, se
tiene:
1 1 1
–––––––– = –––––– - –––––––––
ax + n + 1 ax + 1 ax + n + 1
transponiendo:
2 1
––––––––– = ––––––
ax + n + 1 ax + 1
2(ax + 1) = ax + n + 1
ax + n + 1 = 2ax + 2
ax = n - 1
finalmente:
n - 1
x = ––
–––
a
8.- Resolver:
121(5x4
+ 10x2
+ 1)
––––––––––––––––– = 2x
61(x4
+ 10x2
+ 5)
Solución:
Haciendo transposiciones de términos:
121 x(x4
+ 10x2
+ 5)
––––––––– = –––––––––––––––
(61) . (2) 5x4
+10x2
+ 1
121 x5
+ 10x3
+ 5x
––––– = –––––––––––––
122 5x4
+ 10x2
+ 1
Por propiedad de proporciones, se sabe que:
a c
–– = ––
b d
a + b c + d
∴ ––––– = –––––
a - b c - d
aplicando esta propiedad:
121 + 122 x5
+ 5x4
+ 10x3
+ 10x2
+ 5x + 1
––––––––– = ––––––––––––––––––––––––––
121 - 122 x5
- 5x4
+ 10x3
- 10x2
+ 5x - 1
243 (x + 1)5
–––– = –––––––
-1 (x - 1)5
aplicando raíz quinta a ambos:
____
5
√-243 x - 1
–––––– =
(–––––
)
-1 x - 1
x + 1
-3 = –––––
x - 1
-3x + 3 = x + 1
De donde:
1
x = ––
2
9.- Resolver:
____ __
___
(x - a)√x - a + (x - b)√x - b
–––––––––––––––––––––––––– = a - b
____ ____
√x - a + √x - b
y dar el valor numérico de x cuando:
4a - b = 15
Solución:
Introduciendo los factores en los radicales:
____ 3
____ 3
(√x - a ) + (√x - b )
––––––––––––––––––– = a - b
____ ____
(√x - a ) + (√x - b )
desarrollando por cocientes notables y simplifi-
cando:
____ 2
____ ____ ____ 2
(√x - a ) - (√x - a )(√x - b) + (√x - b) = a - b
____ ____
x - a - (√x - a )(√x - b) + x - b = a - b
reduciendo:
____ ____
2(x - a) = √x - a √x - b
Á L G E B R A
- 281 -

Elevando al cuadrado y extrayendo raíz cuadrada
al paréntesis del primer miembro:
_______ ____ ____
2 √(x - a)2
= √x - a √x - b
____
dividiendo por √x - a:
____ ____
2√x - a = √x - b (I)
Observese que se ha eliminado la solución:
x - a = 0, x = a
Elevando al cuadrado (I):
4(x - a) = x - b
4a - b
x = ––––––
3
por dato: 4a - b = 15:
∴ x = 5
10.- Resolver:
1 1
––––––––––– + ––
–––––––––
(x + a)2
- b2
(x + b)2
- a2
1 1
= ––––––––––– + ––––––––––
x2
- (a + b)2
x2
- (a - b)2
Solución:
Factorizando los denominadores:
1 1
––––––––––––––––– + ––––––––––––––––––
(x + a + b)(x + a - b) (x + b + a)(x + b - a)
1 1
= –––––––––––––––––– + –––––––––––––––––
(x + a + b)(x - a - b) (x + a - b)(x - a + b)
transponiendo términos en forma conveniente:
1 1
––––––––––––––––– - ––––––––––––––––––
(x + a + b)(x + a - b) (x + a + b)(x - a - b)
1 1
= –––––––––––––––––– + –––––––––––––––––
(x + a - b)(x - a + b) (x + a + b)(x - a + b)
Restando parcialmente, en cada miembro de la
ecuación:
x - a - b -(x + a - b)
–––––––––––––––––––––––––
(x + a + b)(x + a - b)(x - a - b)
(x + a + b) - (x + a - b)
= ––––––––––––––––––––––––––
(x + a - b)(x + a + b)(x - a + b)
reduciendo los numeradores y simplificando
x + a + b, de los denominadores, tómese en
cuenta que al simplificar esta factor, se ha
eliminado la solución:
x = -b - a (1)
Que no es solución.
-2a 2b
––––––––––––––––– = –––––––––––––––––
(x + a - b)(x - a - b) (x + a - b)(x - a + b)
simplificando x + a - b, igual que la simplificación
anterior, se elimina la solución:
x = b - a (2)
Que no es solución.
-a b
––––––– = ––––––––
x - a - b x - a + b
-a(x - a + b) = b(x - a - b)
-ax + a2
- ab = bx - ba - b2
a2
+ b2
= x(a + b)
a2
+ b2
–
–––––– (3)
a + b
Luego, la solución es:
a2
+ b2
x = –
––––––
a + b
igualmente: x = -a - b
No es solución, porque no verificar la igualdad
relativa.
Del mismo modo: x = b - a No es solución.
PROBLEMAS RESUELTOS
1.- En cierto Instituto, estudian 500 postulantes en el
ciclo intensivo. De éstos, 329 dominan Álgebra;
186, Física; 295, Geometría; 83, Algebra y Física;
217, Algebra y Geometría; y 63, Física; y
Geometría. Hallar el número de alumnos que
dominan 3 cursos.
Solución:
Supongamos que “x” es el número de alumnos que
dominan los tres cursos a la vez; luego, de acuerdo
al problema se puede plantear el siguiente gráfico.
- 282 -
α
α α

Á L G E B R A
- 283 -
B
M
30 m
A
X 50 - x
C
20 m
N
217-x
Algebra 29+x 15+x Geometría
x
83-x 63-x
40+x
Física
Postulantes que dominan sólo Algebra:
329 - (217 - x + x + 83 - x) = 29 + x
Postulantes que dominan sólo Física:
186 - (83 - x + x + 63 - x) = 40 + x
Postulantes que dominan sólo Geometría:
295 - (217 - x + x + 63 - x) = 15 + x
De acuerdo con el problema, los postulantes de la
Academia son en total 500.
Luego:
29 + x + 217 - x + 83 - x + x + 15 + x + 63
- x + 40 + x= 500
reduciendo y despejando x:
Dominan los tres cursos:
x = 51 alumnos.
2.- Un barril contiene 120 litros de vino y 180 litros
de agua; un segundo barril contiene 90 litros de
vino y 30 litros de agua. ¿Cuántos litros debe
tomarse de cada uno de los barriles para formar
una mezcla homogénea que contenga 70 litros de
agua y 70 litros de vino?
Solución:
(1) (2) (3)
120 litros
90 litros 70 litros
vino
vino vino
180 litros
30 litros 70 litros
agua
agua agua
Supongamos que se extrae “x” litros del barril (1),
del segundo barril se debe extraer 140-x litros, ya
que la mezcla a formarse debe tener 140 litros.
Del primer barril se extrae:
120 litros vino
(x litros de mezcla)
(––––––––––––––––
)
300 litros mezcla
2
= –– x litros de vino.
5
Del segundo barril se extrae:
90 litros vino
[(140 - x)litros mezcla]
[–––––––––––––––
]
120 litros mezcla
3
= –– (140 - x) litros de vino
4
La mezcla a formarse, debe tener 70 litros de
vino. Por lo tanto:
2 3
–– x + –– (140 - x) = 70
5 4
de donde: x = 100
100 litros del primer barril y
40 litros del segundo barril.
3.- En ambas orillas de un río crecen dos palmeras,
una frente a la otra. La altura de una es de 30
metros y la de la otra de 20. La distancia entre
sus troncos, 50 metros. En la copa de cada
palmera hay un pájaro, ellos vuelan a la misma
velocidad. De súbito, los dos pájaros descubren
un pez que aparece en la superficie del agua,
entre las dos palmeras. Los pájaros se lanzaron y
alcanzaron al pez al mismo tiempo. ¿A qué dis-
tancia del tronco de la palmera mayor apareció
el pez?
Solución:

En la figura, aplicando el Teorema de Pitágoras, el
triángulo rectángulo BMA:
__
_2
AB = 302
+ x2
En el triángulo rectángulo CNA:
__
_2
AC = 202
+ (50 - x)2
__
_ __
_
Pero AB = AC, por cuanto los pájaros vuelan a la
misma velocidad, luego estas distancias son
iguales.
302
+x2
= 202
+(50 - x)2
efectuando:
900 + x2
= 400 + 2 500 - 100x + x2
100x = 2 000
x = 20
Rpta.: El pez apareció a 20 metros de la palmera
que tenía 30 metros de altura.
4.- ¿A qué hora, entre las 3 y las 4 las agujas de un
reloj forman por segunda vez un ángulo recto?
Solución:
Para resolver este tipo de problemas, se debe
tener en cuenta la siguiente relación:
Horario: velocidad como 5 en un hora
Minutero: velocidad como 60 en una hora
Dividiendo la esfera del reloj en 60 partes o minu-
tos; en un mismo instante, el espacio recorrido por
el horario es 1/12 del espacio recorrido por el
minutero.
Sea “x” en minutos, el espacio recorrido por el
minutero, desde las 12 hasta que forma ángulo
recto con el horario, después de las 3; en este
tiempo, el horario habrá recorrido x/12, espacio
recorrido desde las 3 hasta el punto donde se
forma el ángulo de 90 grados.
Cuando las agujas del reloj forman un ángulo
recto, el espacio comprendido entre éstas, es la
cuarta parte del total de la esfera, es decir 15 min-
utos, 15 partes o divisiones
x/12
x
x
Del gráfico: x = 15 + ––– + 15
12
x
x - ––– = 30
12
11x
–––– = 30
12
360 8
∴ x = –––– = 32 –––
11 11
8
Hora:3 horas 32 ––– minutos.
11
5.- ¿A qué hora entre las 2 y las 3, el horario y el
minutero estarán en direcciones opuestas?
Solución:
Cuando las agujas del reloj estan en direcciones
opuestas, el espacio comprendido entre éstas es la
mitad del total de las esfera es decir 30 minutos.
x/12
Sea “x”, en minutos, el espcio recorrido por el
minutero, desde la 12 hasta que se encuetra en
dirección opuesta al horario, desde las 2; en este
tiempo el horario habrá recorrido x/12, medido
desde las 2.
x
Del gráfico: x = 10 + ––– + 30
12
x
x - ––– = 40
12
10
30
- 284 -
15
15
x
α
α α

11x
–––– = 40
12
480 7
x = –––– = 43 –––
11 11
7
Hora: 2horas 43 ––– minutos
11
6.- ¿Qué hora es entre las 5 y las 6, cuando el
minutero encuentra al horario?
Solución:
Cuando el horario y el minutero coinciden, el
espacio comprendido entre éstos es igual a cero
ya que no hay separación entre ellos.
x/12
Sea “x” el espacio recorrido por el minutero, en el
mismo tiempo, el horario habrá recorrido: x/12.
Del gráfico:
x
x = ––– + 25
12
x
x - ––– = 25
12
11x
–––– = 25
12
300 3
x = –––– = 27 –––
11 11
3
Hora: 5 horas 27 ––– minutos.
11
7.- Averiguar en qué día y hora del mes de abril de
1 952 (año bisiesto) se verificó que la fracción
transcurrida del mes fue igual a la fracción
transcurrida del año.
Solución:
Por ser el año bisiesto, el mes de febrero tiene 29
días y el año 366 días.
Sea x los días transcurridos del mes de abril. El
número total de días transcurridos del año será:
Enero : 31
Febrero : 29
Marzo : 31
Abril : x
––––––––––––––
Total días : x + 91
De los 30 días que tiene el mes de abril, han tran-
scurrido x días, luego la fracción transcurrida del
mes será:
x
––– (I)
30
De los 366 días que tiene el año, han transcurri-
do (x+91) días, luego la fracción transcurrida del
año será:
x + 91
––––––– (II)
366
Por condición, (I) y (II) son iguales:
x x + 91
––– = –––––––
30 366
de donde:
2 730 1
x = –––––– = 8 –– días
336 8
Transformando:
1 1
––– de día en horas = ––– x 24 = 3 horas.
8 8
∴ x = 8 días y 3 horas
Luego, han transcurrido 8 días y 3 horas.
Rpta.:El día buscado será el 8 de abril a las 3
horas.
8.- ¿Qué día del año marcará la hoja de un
almanaque cuando el número de hojas arran-
cadas exceda en 2 a los 3/8 del número de hojas
que quedan?
(El año no es bisiesto).
Á L G E B R A
- 285 -
25
x

Solución:
El año no bisiesto tiene 365 dias, por tener en el
mes de febrero sólo 28 días.
Sea “x” el número de hojas arrancadas.
Luego (365 - x) representa el número de hojas
por arrancar.
Por condición:
1
x - ––– (365 - x) = 2
8
8x - 1 095 + 3x = 16
x = 101
Se arrancó 101 hojas, de las cuales corresponden
al mes de enero 31; a febrero 28; a marzo 31; en
total 90 días. El resto corresponde al mes de abril
que son 101 - 90 = 11 días, y que es el número de
hojas arrancadas en el mes de abril. El día que
marcará el almanaque será el 12 de abril.
9.- Dos móviles van en el mismo sentido. La veloci-
dad de uno es “n” veces la velocidad del otro. Si
en un determinado momento la ventaja es “na”
kilómetros y después de 2 horas se ha triplicado
la ventaja. ¿Cuál es la menor velocidad?.
Solución:
Sea A el punto donde se encuentra el automóvil
menos veloz y B el punto donde se halla el
automóvil más veloz. Sea: “E1
” el recorrido del
primer automóvil y “E2
” el recorrido del segundo
automóvil. El primero se halló en el punto C y el
segundo en el punto D.
E2
64444447444448
B C
A –––––––––––––––––––––––––––––––––––– D
1231231444424443
na km x 3na km
1442443
E1
Sea la velocidad del automóvil que parte de A
igual a VA
= V, y VB
= nV la velocidad del
automóvil que parte de B.
Sea “x” la distancia entre B y C; del gráfico se
plantea:
E2
= x + 3na = (nV)(2) = 2nV (1)
ya que han transcurrido 2 horas, y el espacio es
igual a velocidad por tiempo:
E1
= na + x = (V)(2) = 2V (2)
Por la misma razón.
x = 2nV - 3na (a)
de (1) y (2):
x = 2V - na (b)
Si: (α) = (β) :
2nV - 3na = 2V - na
de donde:
na
V = –––––
n - 1
na km
Rpta.: La menor velocidad es ––––– . ––––
n - 1 h
10.- De un depósito que contiene 729 litros de un áci-
do puro se ha extraído “a” litros y se ha rellenado
con agua. Después del mezclado se ha extraído
nuevamente “a” litros de la solución y se ha relle-
nado con agua, revolviendo la mezcla escrupulo-
samente. Después de repetir 6 veces tales opera-
ciones, el líquido del depósito contenía 64 litros
de ácido puro. Determinar el valor de “a”.
Solución:
Después que se extrajo del depósito por vez
primera “a” litros de ácido puro y se repuso con
agua, en éste quedó,“729 - a” litros de ácido puro.
Es evidente que un litro de la solución ahora con-
tiene:
729 - a
(–––––––
)litros de ácido puro.
729
En la segunda vez, se extrae del depósito:
729 - a
a .
(–––––––
)litros de ácido
729
y en éste queda:
729 - a (729 - a)2
729 - a - a .
(–––––––
)= –––––––– litros de
729 729 ácido.
- 286 -
α
α α

Á L G E B R A
- 287 -
Por consiguiente, al reponer la solución con agua
por segunda vez, un litro de la nueva solución
contiene:
(729 - a)2
(729 - a)2
––––––––– ÷ 729 = ––––––––– litros de ácido.
729 7292
Por lo tanto, la tercera sustracción disminuye la
cantidad de ácido en el depósito en:
(729 - a)2
a . ––––––––– litros.
7292
es decir, después de la tercera operación queda:
(729 - a)2
(729 - a)2
(729 - a)3
––––––––– - a . ––––––––– = ––––––––– litros de
729 7292
7292
ácido.
No es difícil notar, que la cantidad de ácido en el
depósito, después de la sexta operación, será igual a:
(729 - a)6
–––––––– litros
7295
Y por dato se tiene que:
(729 - a)6
–––––––– 64
7295
se observa que:
64 = 26
729 = 36
∴ (729 - a)6
= 26
.(36
)5
= 26
.330
Extrayendo raíz sexta a ambos miembros:
729 - a = 2 . 35
= 486
a = 729 - 486 = 243
Por lo tanto en cada operación se extrajo a = 243
litros.
1. Resolver la ecuación:
(5x4
+ 10x2
+ 1) (5a4
+ 10a2
+ 1)
–––––––––––––––––––––––––––– = ax
(x4
+ 10x2
+ 5)(a4
+ 10a2
+ 5)
1
a) a b) –– C) a2
a
d) a4
e) a-2
2. Si (a - 1)n
= a(a + 1)n-1
, calcular “x”:
______ __
n
√ax + 1 +
n
√ax
––––––––––––––– = a
______ __
n
√ax + 1 -
n
√ax
a) a b) an
c) a-n
a
d) 1 e) ––
n
3. Resolver:
1 1 1 1
–––––– + –––––– = –––––– + ––––––
__ __ __ __
√x + a √x + b √x - a √x - b
a
a) a + b b) a - b c) ––
b
b
d) –– e) ab
a
4. Resolver:
_____ _____
(a + x)
4
√a - x + (a - x)
4
√a + x
––––––––––––––––––––––––––––– = a
_____ _____
4
√a + x +
4
√a - x
1
a) a b) –– c) 2a
a
d) 0 e) -a
5. Resolver:
_____________ ____________
√(x + a) (x2
+ a) + 2√(x - a)(x2
- a2
)
____________ ____________
= 2√(x2
+ a)(x - a) + √(x + a)2
(x - a)
5a
a) Imposible b) 5a c) –––
3
3a
d) ––– e)2a
5

- 288 -
6. Resolver:
(a+b+c+x) (a+b+c+1)- x a+b+c+x-1
–––––––––––––––––––––––– = ––
–––––––––––
(a+x+c+b) (a+b+x-d)-cd x+a+b+c-d
a) 1 b) a c) b
d) c e) a + b + c
7. Resolver:
(x + 2)(x - 4) (x + 4)(x - 7) 5
––––––––––––– - –––––––––––––– = –––
7(x + 3)(x - 5) 12(x + 5)(x - 8) 84
a) 10 b) 25 c) 15
d) 18 e) 12
8. Resolver:
a + b c a + b c
(––––– + ––
)x ––––– - ––
a - b d a - b d
–––––––––––––– - ––––––––––
a c + d a c + d
–– - ––––– –– + –––––
b c - d b c - d
a + b c a + b c
(––––– + ––
)x ––––– - ––
a - b d a - b d
= –––––––––––––– - ––––––––––
a c + d a c + d
–– + ––––– –– - –––––
b c - d b c - d
a) -1 b) a c) b
d) c e) a + b + c
9. Resolver:
x - ab x - ac x - bc
––––– + ––––– + ––––– = a + b + c
a + b a + c b + c
a) ab + ac b) ab + ac + bc c) ac
d) ab e) 1
__
(x - 1)x x + √x
10. Resolver: –––––––– = ––––––––
__
4 x - √x
a) 0 b) 1 c) 4
d) 3 e) 2
11. Jorge y Rosario segaron una huerta en cierto
tiempo, si cada uno hubiera segado la mitad,
Jorge habría trabajado cinco días menos, mien-
tras Rosario hubiera trabajado siete días más.
¿En cuánto tiempo segaron la huerta Jorge y
Rosario?
a) 7 días b) 35 días
c) 12 días d) 14 días
e) 10 días
12. Una vía de tren eléctrico de 8 km de longitud,
está recorrida en 2 sentidos por vehículos que
parten cada 10 minutos y marchan a 10 km/h.
La primera salida ha sido simultáneamente de A
a B a las seis de la mañana. Un peatón parte de
A a las 8 y cuarto hasta B con velocidad de 4
km/h., hallar el número de trenes que encon-
trará en su recorrido.
a) 18 b) 14 c) 16
d) 12 e) 19
13. El latón es un aleación de cobre y zinc; el
bronce es una aleación de Cu, Zn y Sn, el
bronce es una aleación que contiene el 80% de
cobre, 4% de zinc y 16% de estaño. Analizando
una masa fundida de latón y bronce vemos que
contiene 74% de cobre, 16% de zinc y 10% de
estaño. Hallar la razón del cobre al zinc en la
composición del latón.
9 9 16
a) ––– b) –– c) –––
16 4 9
4 9
d) –– e) –––
9 14
14. Un negociante de terrenos compra una
propiedad a razón de S/. 5 000.00 la hectárea;
una vez que ha realizado el negocio se da cuen-
ta que el terreno tiene 8 áreas menos, pero ya
no existe lugar a reclamo; sin embargo vende el
terreno a S/. 60,00 el área (contenida exacta-
mente) y gana así el 12% de su inversión.
¿Cuántas áreas media el terreno?
α
α α

a) 108 b) 212 c) 112
d) 180 e) 190
15. ¿Cuántos litros de alcohol al 90% habrá que
mezclarlos con alcohol al 70% para obtener 10
litros de solución de alcohol al 85%?
a) 7 litros b) 7,5 litros
c) 6 litros d) 6,5 litros e) 9 litros
16. Cuando marchaba a lo largo de una línea de
tren observé que cada 11 minutos me alcanza-
ba uno de esos vehículos, y cada 4 minutos otro
de ellos pasaba en dirección contraria. Tanto los
vehículos como yo nos desplazábamos con
velocidad constante. ¿Cada cuántos minutos
salían los trenes de las estaciones terminales?
a) 4 min b) 12 min c) 8 min
d) 6 min e) 10 min
17. El barco explorador recibió la orden de hacer el
reconocimiento en la dirección que llevaba la
escuadra. Tres horas después, la nave debía
incorporarse a la escuadra. ¿Al cabo de cuánto
tiempo, a partir del momento en que se distan-
cia de la escuadra, debe iniciar el barco explo-
rador el regreso, si su velocidad es de 60 nudos,
y la de la escuadra de 40 nudos?
1
a) 2h b) 3 h c) 2 –– h
2
1
d) 3 –– h e) 4 h
2
18. Un corredor da una vuelta circular cada 40 seg.
Otro corredor recorre la pista en sentido con-
trario y se cruza con el anterior cada 15 seg.
¿Cuántos segundos emplea el segundo corredor
en cada vuelta a la pista?
a) 20 s b) 15 s c) 22 s
d) 17 s e) 24 s
19. Un escolar encola de nuevo todos sus sellos en
otro álbum. Si pega 20 sellos en cada hoja, en-
tonces no le alcanzará el albúm; si pega 28 se-
llos, le sobrará, por lo menos, una hoja vacía. Y
si al escolar se le regala igual álbum con 21 se-
llos, en cada hoja al escoger tendrá 500 sellos.
¿Cuántas hojas tiene el álbum?
a) 10 hojas b) 15 hojas
c) 12 hojas d) 16 hojas e) 17 hojas
20. ¿En cuántas posiciones pueden coincidir el
horario y el minutero de un reloj que marche
normalmente?
a) 12 b) 11 c) 10
d) 143 e) 144
CLAVE DE RESPUESTAS
1) B 2) D 3) E 4) D 5) E
6) E 7) B 8) A 9) B 10) C
11) B 12) C 13) D 14) C 15) B
16) D 17) C 18) E 19) C 20) B
Á L G E B R A
- 289 -

SISTEMA DE ECUACIONES
Se denomina sistema de ecuaciones a un conjunto de
ellas que se verifica para un mismo valor de las
incógnitas.
SISTEMA DE ECUACIONES LINEALES
Son aquellas cuyas ecuaciones son de primer grado.
SISTEMAS EQUIVALENTES
Dos o más sistemas son equivalentes cuando tienen
las mismas soluciones.
SOLUCIÓN DEL SISTEMA
Es un conjunto de valores de las letras llamadas
incógnitas, que al sustituir por estos valores en las
ecuaciones, todas se transforman en identidades.
CLASIFICACIÓN DE LOS SISTEMAS DE
ECUACIONES
De acuerdo a las soluciones se clasifican en:
(a) Compatibles:
Cuando el sistema tiene soluciones. Pueden ser:
a1
)Determinados.- Si el número de solu-
ciones es limitado.
a2
)Indeterminados.- Si el número de solu-
ciones es ilimitado.
(b) Incompatibles:
Cuando el sistema no tiene ninguna solución.
En general:
1) Son sistemas determinados: cuando tienen
igual número de ecuaciones que de incógnitas.
2) Son sistemas indeterminados: cuando tienen
más incógnitas que ecuaciones.
3) Imposibles: cuando tienen más ecuaciones que
incógnitas.
PRINCIPIOS FUNDAMENTALES PARA LA
TRANSFORMACIÓN DE SISTEMAS DE
ECUACIONES
PRIMER PRINCIPIO
Si en un sistema de ecuaciones se sustituye una de
ellas por la que resulta de sumarla o restarla miem-
bro a miembro con otra u otras cualquiera de las
restantes, el sistema obtenido es equivalente al dado.
SEGUNDO PRINCIPIO
Si en un sistema de ecuaciones se sustituye una de
ellas por la que resulta de sumarla o restarla miem-
bro a miembro, con la combinación lineal de una y
otras cualquiera de las restantes, el sistema obtenido
será equivalente al propuesto.
TERCER PRINCIPIO
Un sistema de ecuaciones se transforma en otro al
sustituir una de ellas por la ecuación obtenida multi-
plicándola miembro a miembro por otra o producto
de otras, o bien dividiéndola miembro a miembro por
otra o producto de otras, siempre que ninguna de las
soluciones del primer sistema anule a los miembros
de la última o últimas ecuaciones.
MÉTODOS DE ELIMINACIÓN Y
RESOLUCIÓN
Son muy variados, entre los más elementales se
encuentran los siguientes:
1) Sustitución
2) Igualación
3) Reducción
Se explica estos métodos con el siguiente sistema:
Resolver:
2x + 5y = 26 (I)
3x - 4y = -7 (II)
1) MÉTODO DE SUSTITUCIÓN
De una de las ecuaciones se despeja una de las
incógnitas en función de la otra y el resultado se
sustituye en la otra ecuación, obteniéndose una
ecuación con una sola incógnita.
- 290 -
α
α α

Á L G E B R A
- 291 -
El valor obtenido de esta ecuación se reemplaza
en cualquiera de las ecuaciones del sistema para
obtener el valor de la otra incógnita.
Así de (I):
26 - 5y
x = ––––––– (α)
2
Sustituyendo en (II):
26 - 5y
3
(–––––––
)- 4y = -7
2
78 - 15y - 8y = -14
92 = 23y
y = 4
Sustituyendo este valor en (α):
26 - 5(4)
x = –––––––––
2
x = 3
Rpta.: x = 3
y = 4
2) MÉTODO DE IGUALACIÓN
De las ecuaciones del sistema se despeja el valor
de la misma incógnita en función de la otra y se
igualan ambos resultados, obteniéndose una
ecuación con una incógnita. El valor obtenido de
esta ecuación se reemplaza en cualquiera de las
ecuaciones del sistema para determinar el valor
de la otra incógnita. Con el mismo ejemplo:
De (I):
26 - 5y
x = ––––––– (α)
2
De (II):
-7 + 4y
x = ––––––– (β)
3
(α) = (β):
26 - 5y -7 + 4y
––––––– = –––––––
2 3
78 - 15y = -14 + 8y
92 = 23y
y = 4
reemplazando en (α):
26 - 5(4)
x = ––––––––– = 3
2
Rpta.: x = 3
y = 4
3) MÉTODO DE REDUCCIÓN
Consiste en buscar que la incógnita a eliminar
tenga el mismo coeficiente, para lo cual se multi-
plica cada ecuación por el coeficiente que tenga
la incógnita en la otra, sumando o restando las
dos ecuaciones obtenidas, según tengan los coe-
ficientes de las incógnitas a eliminar signos con-
trarios o iguales. Con el mismo ejemplo:
(I) por 4:
8x + 20y = 104
(II) por 5:
15x - 20y = -35
Sumando miembro a miembro:
23x = 69
x = 3
2(3) + 5y = 26
y = 4
Rpta.: x = 3
y = 4
NOTA IMPORTANTE.- El método más prácti-
co y rápido es el de reducción y se aplicará en
la solución de los ejercicios.
Otros métodos:
• Coeficientes indeterminados o método de Be-
zout.
• Determinantes: Regla de Cramer.
• Método gráfico.

1.- Resolver:
__ __
5 √x - 3√y = 3 (I)
25x - 9y = 81 (II)
Solución:
Sustituyendo en (II) lo siguiente:
__
25x = (5 √x )
2
__
9y = (3 √y )
2
La ecuación toma la forma:
__ __
(5 √x )
2
- (3 √y )
2
= 81
__ __ __ __
(5 √x + 3 √y )(5 √x - 3 √y ) = 81 (III)
__ __
pero por (I): 5√x - 3 √y = 3
Sustituyendo en (III):
__ __
3(5 √x + 3 √y ) = 81
__ __
5 √x + 3 √y = 27 (IV)
Sumando la ecuación (I) y (IV):
__
10 √x = 30
__
√x = 3
x = 9
Sustituyendo este valor en (I):
__
5(3) - 3 √y = 3
__
12 = 3 √y
__
√y = 4
y = 16
Rpta.: x = 9
y = 16
2.- Resolver:
________ _________
3
√x + y + 2 - √2x - 3y - 7 = -3 (I)
________ _________
2
3
√x + y + 2 + 3 √2x - 3y - 7 = 14 (II)
Solución:
Haciendo que:
________
3
√x + y + 2 = a
_________
}(α)
√2x - 3y - 7 = b
el sistema toma la forma:
a - b = -3 (II
)
2a + 3b = 14 (III
)
aplicando reducción, para lo cual:
(II
) por 3: 3a - 3b = -9
(III
) por 1: 2a + 3b = 14
5a = 5
a = 1
sustituyendo en (II
):
1 - b = -3
b = 4
________
a)
3
√x + y + 2 = 1
x + y + 2 = 1
x + y = -1 (III)
_________
b) √2x - 3y - 7 = 4
2x - 3y - 7 = 16
2x - 3y = 23 (IV)
Resolviendo (III) y (IV) por reducción:
(III) por 3: 3x + 3y = -3
(IV) por 1: 2x - 3y = 23
- 292 -
α
α α

5x = 20
x = 4
4 + y = -1
y = -5
Rpta.: x = 4
y = -5
3.- Resolver:
2 3 7
––––––––– + ––––––––– = - ––– (I)
3x + y - 2 4x + y + 1 24
2 3 7
––––––––– - ––––––––– = - ––– (II)
3x + y - 2 4x + y + 1 24
Solución:
Haciendo que:
1
––––––––– = a
3x + y - 2
1
––––––––– = b
4x + y + 2
El sistema toma la forma:
7
2a + 3b = - ––– (A)
24
7
a - 2b = - ––– (B)
12
Aplicando reducción, para lo cual:
7
(A) por 1: 2a + 3b = - –––
24
7
(B) por -2: -2a + 4b = + –––
12
14 7 28 - 7 21 7
7b = ––– - ––– = –––––– = ––– = ––
12 24 24 24 8
1
b = ––
8
Sustituyendo en (A):
1 7
2a + 3
(––
)= - –––
8 24
1
de donde: a = - ––
3
Reemplazando estos valores en las definiciones
de a y b:
1 1
a) ––––––––– = - ––
3x + y - 2 3
3x + y -2 = -3
3x + y = -1 (III)
1 1
b) ––––––––– = ––
4x + y + 1 3
4x + y + 1 = 8
4x + y = 7 (IV)
Resolviendo (III) y (IV) por reducción:
(III) por -1: -3x - y = 1
(IV) por 1: 4x + y = 7
x = 8
3(8) + y = -1
y = -25
Rpta.: x = 8
y = -25
4.- Resolver:
1 1 1
––––––– - –––––––– = ––– (A)
____ _____
2√x - y 2√x + y 15
_____ _____ _____
15√x + y + 15 √x - y = 8√x2
- y2
(B)
Solución:
Extrayendo factor común a la ecuación (A):
1 1 1 1
––
(––––––– - –––––––
) = –––
____ _____
2 √x - y √x + y 15
Á L G E B R A
- 293 -

1 1 1
así: –––––– - ––––––– = ––– (I)
___
__ _____
√x - y √x + y 15
Dividiendo (B) por:
______ _____ ____
15 √x2
- y2
= 15 √x + y √x - y
se obtiene:
_____ _____
15√x + y 15√x - y
––––––––––––––– + –––––––––––––––
_____ ___
__ ____ _
____
15 √x + y √x - y 15√x - y √x + y
______
8√x2
- y2
= ––––––––––––––––
___
___ ___
__
15 √x + y √x - y
simplificando:
1 1 8
––––––– + ––––––– = ––– (II)
_____ _____
√x - y √x + y 15
Aplicando el método de reducción a (I) y (II),
sumando miembro a miembro:
2 2 8 10 2
–––––– = ––– + ––– = ––– = ––
___
__
√x - y
15 15 15 3
1 1
–––––– = ––
____
√x - y 3
____
√x - y = 3
x - y = 9 (III)
Sustituyendo en (II):
1 1 8
–– + –––––– = –––
_____
3 √x + y 15
1 8 1 8 - 5
––––––– = ––– - –– = ––––––
_____
√x + y 15 3 15
1 1
––––––– = ––
_____
√x + y 5
_____
√x + y = 5
x + y = 25 (IV)
Sumando miembro a miembro (III) y (IV):
2x = 34
x = 17
Sustituyendo en (IV):
17 + y = 25
y = 8
5.- Resolver:
m n m - n
––––– + ––––– = –––––– (I)
x - a y - b b - a
r s r + s
––––– + ––––– = –––––– (II)
x - a y - b b - a
Solución:
Aplicando el Método de Reducción:
(I) por “s”:
ms ns ms - ns
––––– + ––––– = –––––––
x - a y - b b - a
(II) por “n”:
nr ns nr + ns
––––– + ––––– = –––––––
x - a y - b b - a
ms nr ms - ns nr + ns
––––– + ––––– = –––––––– + ––––––––
x - a x - a b - a b - a
ms + nr ms - ns + nr + ns
–––––––– = –––––––––––––––––
x - a b - a
ms + nr ms + nr
–––––––– = –––––––––
x - a b - a
1 1
––––– = –––––
x - a b - a
x - a = b - a
x = b
m n m - n
––––– + ––––– = ––––––
b - a y - b b - a
n m - n m
––––– + ––––– = ––––––
y - b b - a b - a
- 294 -
α
α α

n n
––––– = - –––––
y - b b - a
y - b = -b + a
Rpta.: x = b y = a
6.- Resolver:
xy + x + y = 23
xz + x + z = 41
yz + y + z = 27
Solución:
Transformando cada ecuación, sumando “1” a
ambos miembros con la finalidad de factorizar:
1) xy + x + y + 1 = 23 + 1
agrupando:
x(y + 1) + (y + 1) = 24
(y + 1)(x + 1) = 24 (I)
2) xz + x + z + 1 = 41 + 1
x(z + 1) + (z + 1) = 42
(z + 1)(x + 1) = 42 (II)
3) yz + y + z + 1 = 27 + 1
y(z + 1) + (z + 1) = 28
(z + 1)(y + 1) = 28 (III)
Multiplicando miembro a miembro (I), (II) y
(III):
(x + 1)2
(y + 1)2
(z + 1)2
= 24 . 42 . 28
extrayendo raíz cuadrada a ambos miembros:
(x + 1)(y + 1)(z + 1) = 7 . 8 . 3 (IV)
dividiendo, miembro a miembro (IV) por (I):
(x + 1)(y + 1)(z + 1) 7 . 8 . 3
–––––––––––––––––– = –––––––––
(y + 1)(x + 1) 24
(z + 1) = 7
z = 6
sustituyendo en (III):
(7)(y + 1) = 28
y + 1 = 4
y = 3
sustituyendo en (I):
(4)(x + 1) = 24
x + 1 = 4
x = 5
Rpta.: x = 5
y = 3
z = 6
7.- Resolver:
xy - (a - 1)(x + y) = 2a - 1 (I)
yz - (b - 1)(y + z) = 2b - 1 (II)
xz - (c - 1)(x + z) = 2x - 1 (III)
Solución:
Efectuando operaciones en (I):
xy - a(x + y) + (x + y) = 2a - 1
xy + x + y + 1 = 2a + a(x + y)
factorizando:
x(y + 1) + (y + 1) = a(2 + x + y)
(x + 1)(y + 1) = a(x + y + 2)
1 x + y + 2
–– = –––––––––––––
a (x + 1)(y + 1)
1 (x + 1) + (y + 1) x + 1
–– = –––––––––––––––– = –––––––––––––
a (x + 1)(y + 1) (x + 1)(y + 1)
y + 1
+ –––––––––––––
(x + 1)(y + 1)
1 1 1
–– = ––––– + ––––– (I)1
a x + 1 y + 1
En forma análoga con (II) y (III):
1 1 1
–– = ––––– + ––––– (II)1
b y + 1 z + 1
Á L G E B R A
- 295 -

1 1 1
–– = ––––– + ––––– (III)1
c x + 1 z + 1
Sumando miembro a miembro a (I)1
, (II)1
y (III)1
:
1 1 1 1 1 1
–– + –– + –– = 2
(––––– + –––– + ––––
)
a b c x + 1 y + 1 z + 1
1 bc + ac + ba 1 1 1
––
(–––––––––––
) = ––––– + –––– + –––– (IV)1
2 abc x + 1 y + 1 z + 1
Sustituyendo (I)1
en (IV):
1 1 bc + ac + ba
––––– + –– = –––––––––––
z + 1 a 2abc
1 bc + ac + ba 1
––––– = ––––––––––– - ––
z + 1 2abc a
1 bc + ac + ba - 2bc ba + ac - bc
––––– = –––––––––––––––– = –––––––––––
z + 1 2abc 2abc
Invirtiendo:
2abc
z + 1 = ––––––––––
ab + ac - bc
2abc 2abc - ac - ac + bc
z = ––––––––––– - 1 = ––––––––––––––––
ab + ac - bc ab + ac - bc
2abc - ab - ac + bc
∴ z = –
––––––––––––––––
ab + ac - bc
Sustituyendo. (II)1
en (IV):
2abc + ab - ac - bc
y = ––––––––––––––––
bc + ac - ab
Sustituyendo. (III)1
en (IV):
2abc - bc - ab + ac
x = ––––––––––––––––
bc + ab -ac
8.- Después de resolver el sistema:
___ ___
a b
__ __
4
–– +
4
–– = √a + √b
√x √ y
___ ___
a b
__
4
–– +
4
–– = 2
4
√ab
√y √ x
Calcular: E = x -1
+ y -1
Solución:
Escribiendo:
__ __
√a =
4
√a2
__ __
√b =
4
√a2
El sistema toma la forma:
___ ___
a b
__ __
4
–– +
4
–– =
4
√a2
+
4
√b2
(I)
√x √ y
___ ___
a b
__
4
–– +
4
–– = 2
4
√ab (II)
√y √ x
Aplicando método de reducción:
__
(I) por
4
√b2
:
___ ___
ab b2
___ __
4
–– +
4
–– =
4
√a2
b +
4
√b3
(I)1
√x √ y
__
(II) por
4
√a :
___ ___
ab a2
___
4
–– +
4
–– = 2
4
√a2
b (II)1
√y √ y
restando miembro a miembro:
___ ___
b2
a2
_
__ __
4
–– +
4
–– =
4
√b3
-
4
√a2
b (I)1
√y √ y
factorizando:
___
1
__ __ __ __ __
4
–– (
4
√b2
-
4
√a2
) =
4
√b (
4
√b2
-
4
√a2
)
√y
simplificando:
___
1
__
–– =
4
√b
√y
elevando a la 4ta. potencia:
1
–– = b
y
1
∴ y = –– (1)
b
- 296 -
α
α α

___ ___
a b
__ __
4
–– +
4
–– =
4
√a2
+
4
√b2
(I)
√x √ y
––
b
___
a
__ __ __
4
–– +
4
√b2
=
4
√a2
+
4
√b2
(I)
√x
___
a
__
–– =
4
√a2
√x
elevando a la 4ta. potencia:
a
–– = a2
x
1
x = –– (2)
a
Con (1) y (2):
1 1 1 1
E = –– + –– = –– + –– = a + b
x y 1 1
––
– ––
–
a b
Rpta.: E = a + b
9.- Resolver:
xy
––––––– = c (I)
ay + bx
xz
––––––– = b (II)
az + cx
yz
––––––– = a (III)
bz + cy
Solución:
En (I):
Invirtiendo ambos miembros de la igualdad:
ay + bx 1
–––––––– = ––
xy c
descomponiendo en quebrados parciales:
ay bx 1
––– + ––– = ––
xy xy c
simplificando:
a b 1
–– + –– = –– (I)1
x y c
Análogamente en (II) y (III):
a c 1
–– + –– = –– (II)1
x y b
b c 1
–– + –– = –– (III)1
y z a
Sumando las ecuaciones (I)1
y (II)1
, y restando al
resultado la ecuación (III)1
a b a c b c 1 1 1
–– + –– + –– + –– - –– - –– = –– + –– - ––
x y x z y z c b a
reduciendo:
2a 1 1 1 ab + ac -bc
––– = –– + –– - –– = ––––––––––
x c b a abc
despejando “x”:
2a2
bc
x = –––
––––––––
ab + ca - bc
Sustituyendo en (I)1
y (II)1
:
2ab2
c
y = –––
––––––––
ab + bc - ac
2abc2
z = –––
––––––––
bc + ac - ab
10.- Resolver:
x + y + z = 15 (I)
x + y + t = 16 (II)
x + z + t = 13 (III)
y + z + t = 20 (IV)
Solución:
Sumando miembro a miembro todas las ecua-
ciones:
3(x + y + z + t) = 69
x + y + z + t = 23 (V)
Sustituyendo sucesivamente en (V):
(IV) en (V): x + 20 = 23
∴ x = 3
Á L G E B R A
- 297 -

(III) en (V): 18 + y = 23
∴ y = 5
(II) en (V): 16 + z = 23
∴ z = 7
(I) en (V): 15 + t = 23
∴ t = 8
Rpta.: x = 3, y = 5, z = 7, t = 8
PROBLEMAS RESUELTOS
1.- Cuatro hermanos tienen 810 soles. Si el dinero
del primero es aumentado en 20 soles, el segundo
es reducido en 20 soles, se duplica el del tercero y
el del cuarto se reduce a la mitad; entonces, todos
los hermanos tendrán la misma cantidad. ¿Qué
cantidad tenía cada hermano?
Solución:
Sean x, y, z, w, las cantidades iniciales de dinero
de cada uno de los hermanos.
Por enunciado:
x + y + z + w = 810 (I)
w
x + 20 = y - 20 = 2z = –– (II)
2
haciendo:
w
x + 20 = y - 20 = 2z = –– = k
2
se tendrá:
x + 20 = k ⇒ x = k - 20
y - 20 = k ⇒ y = k + 20
}(III)
k
2z = k ⇒ z = ––
2
w
–– = k ⇒ w = 2k
2
Sustituyendo (III) en (I):
k
k - 20 + k + 20 + –– + 2k = 810
2
9k
––– = 810
2
k = 180
reemplazando en (III):
x = 180 - 20 = 160
y = 180 + 20 = 200
180
z = –––– = 90
2
w = 2(180) = 360
2.- Una cierta tarea puede ser hecha por A y B en 70
días; por A y C en 84 días; y por B y C en 140
días. Se desea saber en qué tiempo haría toda la
tarea cada uno.
Solución:
Denominando 1 (unidad) a la tarea; x, y, z a los
tiempos, en días, que tardan en hacer la tarea A,
B y C individualmente. Entonces en 1 día:
1
A hace –– de la tarea
x
1
B hace –– de la tarea
y
1
C hace –– de la tarea
z
Por las condiciones del problema:
A y B hacen la tarea en 70 días, en 1 día hacen
1/70 de la tarea; luego:
1 1 1
–– + –– = ––– (1)
x y 70
A y C hacen la tarea en 84 días, en 1 día hacen
1 1 1
–– + –– = ––– (2)
x z 84
B y C hacen la tarea en 140 días, en 1 día hacen
1 1 1
–– + –– = ––– (3)
y 1 140
Sumando (1) + (2) + (3):
1 1 1 1
–– + –– + –– = ––– (4)
x y z 70
1 1 1
–– + ––– = –––
x 140 60
x = 105
- 298 -
α
α α

Á L G E B R A
- 299 -
1 1 1
–– + ––– = –––
y 84 60
y = 210
1 1 1
–– + ––– = –––
70 z 60
z = 420
Rpta.: A: 105 días, B: 210 días, C: 420 días.
3.- Un grupo de segadores debía segar dos prados, uno
tenía doble superficie que otro. Durante medio día
trabaja todo el personal del grupo en el prado
grande; después de la comida, una mitad del grupo
quedó en el prado grande, y la otra mitad trabajó
en el pequeño. Durante esa tarde fueron termina-
dos los dos prados a excepción de un reducido sec-
tor del prado pequeño, cuya siega ocupó todo el
día siguiente a un solo segador. ¿Con cuántos
segadores contaba el grupo?
Solución:
Sea “x” el número de segadores. Sea “y” la super-
ficie del sector segado por un trabajador en un
solo día.
La superficie del prado grande es: “xy”.Así durante
medio día “x” trabajadores, segaron:
1 xy
x . –– . y = –––
2 2
Durante la segunda parte del día, trabajó allí la
mitad del grupo; es decir x/2, que segó:
x 1 xy
–– . –– . y = –––
2 2 4
Como quiera que al final de la jornada, había
segado todo el prado, su área será:
xy xy 3xy
––– + ––– = ––––
2 4 4
Expresando la superficie del prado menor medi-
ante “x” e “y”. Durante medio día se ocuparon en
él, “x/2” trabajadores y segaron una superficie de:
1 x xy
–– . –– . y = –––
2 2 4
Agregando a ésto el sector que quedó sin segar,
que es igual a “y” (superficie segada por un traba-
jador en, una jornada) hallemos la superficie del
prado menor:
xy xy + 4y
––– + y = ––––––––
4 4
3xy xy + 4y
–––– = 2
(––––––––
)
4 4
3xy = 2y(x + 4)
3x = 2x + 8
x = 8
Rpta.: En el grupo había 8 hombres.
4.- Jorge le dice a Rosario: “Yo tengo el triple de la
edad que tú tenías, cuando yo tenía la edad que
tu tienes. Pero, cuando tú tengas las edad que yo
tengo, nuestras edades sumarán 105 años”. Hallar
la edad de Jorge y Rosario.
Solución:
Como el problema habla en tiempos distintos, se
tabula los datos así:
Pasado Presente Futuro
Jorge x
Rosario y
Según los datos, Jorge le dice a Rosario: “Yo tengo
tres veces la edad que tú tenías.
Jorge x
Rosario x/3 y
cuando yo tenía la edad que tú tienes:
Jorge y x
Rosario x/3 y
y cuando tú tengas la edad que yo tengo (Sea “r”
la edad de Jorge en el futuro):
Jorge y x r
Rosario x/3 y x

La suma de las dos edades será de 105 años.
r + x = 105
∴ r = 105 - x (I)
Como la diferencia de edades entre dos personas
en cualquier época es constante.
x
y - –– = x - y = r - x
3
123 123 123
(α) (β) (γ)
haciendo (α) = (β):
x
y - –– = x - y
3
x 4x
2y = x + –– = –––
3 3
2x
∴ y = ––– (II)
3
haciendo (β) = (γ):
x - y = r - x
2x - y = r (III)
Sustituyendo (I), (II) en (III):
2x
2x - ––– = 105
3
2x
2x - ––– + x = 105
3
∴ x = 45
2
En (II): y = –– (45) = 30
3
Jorge 45 años; Rosario 30 años.
5.- La hierba crece en todo el prado con igual rapidez
y espesura. Se sabe que 70 vacas se la comerían
en 24 días y 30 en 60 días. ¿Cuántas vacas se
comerían toda la hierba en 96 días?
Solución:
Sea el crecimiento diario de la hierba, expresado
en partes de las reservas de la misma en el prado:
“y”. En 24 días será: 24y.
Tomando el volumen del pasto como “1”,
entonces, en 24 días las vacas se comerían: 1+24y.
En una jornada las 70 vacas comerán:
1 + 24y
–––––––
24
y una vaca (de las 70) comerá:
1 + 24y
–––––––
24 . 70
En forma análoga: Si 30 vacas acaban con toda la
hierba del prado en 60 días, 1 vaca en 1 día comerá:
1 + 60y
–––––––
30 . 60
Pero la cantidad de hierba comida por una vaca en
un solo día es igual para los dos rebaños;por eso:
1 + 24y 1 + 60y
––––––– = –––––––
24 . 70 30 . 60
simplificando:
1 + 24y 1 + 60y
––––––– = –––––––
14 15
15 + 360y = 14 + 840y
1 = 480y
de donde:
1
y = ––––
480
Como “y” es la medida de crecimiento, se deter-
mina qué parte de la reserva inicial se come una
vaca al día:
1 1
1 + 24 –––– 1 + ––
1 + 24y 480 20 21
––––––– = ––––––––––– = –––––– = ––––––––––
24 . 70 24 . 70 24 . 70 20 . 24 . 70
1 + 24y 1
––––––– = –––––
24 . 70 1 600
Por último, se establece la ecuación para la solu-
ción definitiva del problema. Si el número de
vacas es “x”, entonces:
1 + 96y 1
––––––– = –––––
96 . x 1 600
1
1 + 96 ––––
480 1
–––––––––– = –––––
96x 1 600
1
1 + ––
5 1
–––––– = ––––
6x 100
- 300 -
α
α α

Á L G E B R A
- 301 -
6 1
–––– = –––
30x 100
1 1
–––– = –––
5x 100
de donde: x = 20
Rpta.: 20 vacas se comerían toda la hierba en 96
días.
6.- Un barco se desplaza 5 horas sin interrupción, río
abajo, desde la ciudad “A” a la ciudad “B”. De
vuelta, avanza contra la corriente, durante 7
horas. ¿Cuántas horas necesitará la balsa, para
desplazarse de la ciudad “A” a la “B” yendo a la
misma velocidad de la corriente?
Solución:
Expresando en “x” el tiempo (en horas) que
necesita el barco para recorrer la distancia que
separa A de B en agua estancada (es decir sólo en
la velocidad del barco) y en “y” el tiempo si se
desliza la balsa.
De esta manera, en una hora el barco recorre 1/x
__
de la distancia AB y la balsa (al igual que la corri-
ente) 1/y de la distancia.
Por tal razón, el barco marchando impulsado por
la corriente, en una hora recorre:
1 1
–– + ––
x y
__
de la distancia AB, y hacia arriba (contra la
corriente):
1 1
–– - ––
x y
Por las condiciones del problema, se deduce que
hacia abajo el barco en una hora hace 1/5 de la
distancia y hacia arriba 1/7.
De aquí el sistema siguiente:
1 1 1
–– + –– = –– (I)
x y 5
1 1 1
–– - –– = –– (II)
x y 7
Para resolver, sumando miembro a miembro:
2 1 1 7 + 5 12
–– = –– + –– = –––––– = –––
x 5 7 35 35
2 12
–– = –––
x 35
35
x = –––
6
6 1 1
––– + –– = ––
35 y 5
1 1 6 7 - 6 1
–– = –– + ––– = –––––– = –––
y 5 35 35 35
de donde: y = 35
Las balsas se deslizarán desde A hasta B en 35 días.
7.- Un asunto fue sometido a una votación de 600
personas y se perdió. Habiéndose votado de
nuevo con las mismas persona sobre el mismo
asunto fue ganado el caso por el doble de votos
que había perdido y la nueva mayoría fue con
respecto a la anterior como 8 es a 7. ¿Cuántas
personas cambiaron de opinión?
Solución:
Sea “x” el número de personas que conforman la
mayoría en la primera votación, la minoría será:
(600 - x); sea “y” el número de personas que cam-
biaron de opinión, en la segunda votación, luego la
mayoría: (600 - x + y) y la minoria (x - y); es decir:
Mayoria Minoria
1ra. votación
(se perdió) x 600 - x
2ra. votación
(se perdió) 600 - x + y x - y
En la primera votación se perdió por:
x - (600 - x) = 2x - 600
En la segunda votación, se ganó por:
(600 - x + y) - (x - y) = 600 - 2x + 2y

Como se ganó por el doble de votos por el que se
perdió, se tendrá:
600 - 2x + 2y = 2(2x - 600)
600 - 2x + 2y = 4x - 1 200
1 800 = 6x - 2y
3x - y = 900 (I)
Por la relación de las mayorías, en las primera y
segunda votación:
600 - x + y 8
–––––––––– = ––
x 7
4 200 - 7x + 7y = 8x
15x - 7y = 4 200 (II)
Aplicando reducción para resolver el sistema
conformado por (I) y (II):
(I) por (-7):
-21x + 7y = -6 300
(II) por (1):
15x - 7y = 4 200
-6x = -2 100
∴ x = 350
3(350) - y = 800
∴ y = 150
Rpta.: Cambiaron de opinión 150 personas.
8.- Un zorro perseguido por un galgo, le lleva 50
saltos de ventaja, y da 4 saltos mientras el galgo
sólo da 3; pero 2 saltos del galgo equivalen a 3 del
zorro. ¿Cuántos saltos dará el galgo para alcanzar
al zorro?
Solución:
Supongamos que el zorro dió “x” saltos hasta que
el galgo lo alcanzó, y que el galgo dio “y” saltos;
se puede plantear que:
“y” (saltos del galgo) - “x” (saltos del zorro) = 50
(saltos del zorro) (A)
Todo el problema consiste en convertir los saltos
del galgo en saltos del zorro.
Pero como 2 saltos del galgo equivalen a 3 del
zorro, luego:
2y = 3x
2y
x = –––
3
2y
y - ––– = 50
3
y = 150
El galgo da 150 saltos para alcanzar al zorro.
9.- Dos cirios de igual altura se encienden simultánea-
mente; el primero se consume en 4 horas y el segun-
do en 3 horas. ¿Cuántas horas después de haber
encendido los cirios, la altura del primero es doble
que la del segundo?
Solución:
Sea la altura de los cirios igual a “H”.
Supongamos que han transcurrido “x” horas
después que se han encendido.
Como el primero se agota en 4 horas, en una hora
se agota H/4 y en “x” horas: Hx/4 de su altura.
En forma análoga, para el segundo: como se agota
en 3 horas, en una hora se agota H/3 y en “x”
horas, Hx/3 de su altura.
Del primero queda:
Hx
H - –––
4
Del segundo queda:
Hx
H - –––
3
Hx Hx
H - ––– = 2
(H - –––
)
4 3
simplificando H:
4 - x 3 - x
––––– = 2
(–––––
)
4 3
- 302 -
α
α α

Á L G E B R A
- 303 -
12 - 3x = 24 - 8x
12 2
x = ––– = 2 –– horas
5 5
2
Convirtiendo –– horas a minutos
5
2
(––
)(60) = 24 minutos
5
Rpta.: Deben transcurrir 2 horas 24 minutos.
10.- Un mecánico recibió S/. 1 800 por el trabajo de
una obra. Su ayudante, que trabajó 4 días menos
recibió, S/. 800. Si el ayudante hubiera trabajado
los días que trabajó el mecánico y éste los que
trabajó el ayudante, hubieran recibido la misma
cantidad. Determinar el jornal de cada uno.
Solución:
Sean “x” e “y” los jornales del mecánico y del
ayudante, respectivamente, entonces:
Los días que trabajó el mecánico son:
1 800
–––––
x
Los días que trabajó el ayudante:
800
––––
x
Luego, se tendrá:
1 800 800
––––– - –––– = 4
x y
1 800y - 800x = 4xy (1)
también, por condición:
1 800 800
––––– y = –––– = x
x y
1 800y2
= 800x2
4
y2
= –– x2
9
2
∴ y = –– x (2)
3
2 2
1 800
(–– x
)- 800x = 4x
(–– x
)
3 3
3 600x - 2 400x = 8x2
1 200x = 8x2
x = 150
2
y = –– (150) = 100
3
Rpta.: Jornal de mecánico = 150
Jornal de ayudante = 100

- 304 -
1. Resolver y dar el valor de “y”:
x y 1
––– - ––– = –– (1)
4a 9b 6
x y 14
––– - ––– = ––– (2)
6a 5b 15
a) 2a b) 3a c) 3b
d) 2b e) 6a
2. Resolver y dar el valor de “y”?
_____ ____
5
__
√x + a - √y - a = –– √a (1)
2
_____ ____
3
__
√x + a - √y + a = –– √a (2)
2
8a 17a 8a
a) ––– b) ––– c) –––
17 8 15
15a 6
d) ––– e) –– a
8 7
3. Determinar y dar el valor de “z”:
ax + y + z = 1 (1)
x + ay + z = a (2)
x + y + az = a2
(3)
a) a + 1 b) a - 1 c) a
d) -(a + 2) e) a + 3
4. Resolver y dar el valor de “xyz”:
_____ _____ _____ _____
n
√a - xn
+
n
√b - yn
n
√c - zn
+
n
√b - yn
––––––––––––––––– = ––––––––––––––––
x + y y + z
_____ _____
n
√a - xn
+
n
√c - xn
= ––––––––––––––––– = 1
x + z
n
_____ n
_____ n
_____
abc abc abc
a) ____ b) ____ c) ____
√ 4 √ 8 √ 2
n
_____
____
abc
d)
n
√abc e) ____
√ 16
5. Resolver y dar el valor de “z”:
ax - ay z
––––––– + –– = 1 + a (1)
a - b c
by - bz x
––––––– + –– = 1 + b (2)
b - c a
cx - cz y
––––––– + –– = 1 + c (3)
a - c b
a) a b) b c) c
d) 1 e) a + b
(a + b)x + (a - b)y = 2ab (I)
(a + c)x + (a - c)y = 2ac (II)
a) a b) -a c) b
d) -b e) c
7. Resolver y dar el valor de “x”:
a3
x + a2
y + az + 1 = 0 (I)
b3
x + b2
y + bz + 1= 0 (II)
c3
x + c2
y + cz + 1 = 0 (III)
1
a) abc b) -abc c) ––––
abc
1
d) - –––– e) a
abc
_____ _______ __
√x + y + √2x + 4y = √2 + 4 (I)
______ _______ __
√x + 2y - √2x + 2y = 2 √2 - 2 (II)
a) 4 b) 2 c) 5 d) 3 e) 1
α
α α

x + 2y+ z + 3u = 24 (I)
2x - 3y + z - u = 3 (II)
3x - 2y - 3x + u = 6 (III)
5x - 5y + 2z - u = 17 (IV)
a) 4 b) 2 c) 5
d) 3 e) 1
10. Calcular el valor de “x” después de resolver:
(x + y) - (a + b) = (a + b)(x - a)(y - b) (I)
(x + z) - (a + c) = (a + c)(x - a)(z - c) (II)
(z + y) - (b + c) = (b + c)(z - c)(y - b) (III)
1 1 1
a) b + –– b) b + –– c) c + ––
a b c
1 1
d) a + –– e) b + ––
b c
11. Calcular “t” después de resolver:
1 1 1 13
–– + –– + –– = –––
x y z 12
1 1 1 31
–– + –– + –– = –––
x y t 30
1 1 1 19
–– + –– + –– = –––
x z t 30
1 1 1 47
–– + –– + –– = –––
y z t 60
a) 2 b) 3 c) 4
d) 5 e) 6
y + z + t - x = a (I)
z + t + x - y = b (II)
t + x + y - z = c (III)
x + y + z - t = d (IV)
b + c + d - a a + c + d - b
a) –––––––––– b) ––––––––––
4 4
a + b + d - c a + b + c - d
c) –––––––––– d) ––––––––––
4 4
a + b + c + d
e) –––––––––––
4
__ _____
4 √x -
4
√8 - y = 16 (I)
____ 4
y + (√y + 1) = 8 (II)
a) 3 b) 9 c) 13
d) 248 e) -248
x y z
–– + –– = ––
y x 2
z y 41x
–– + –– = ––––
y z 40
z x 29y
–– + –– = ––––
x z 40
a) 2 b) 3 c) 5
d) 8 e) 4
___
15. Una escalera tiene un tramo MN que no es auto-
___
mático y NR que es automático. Un hombre al
subir desde M hasta R se demora 10 seg. y
regresa a M en 30 s. Si toda la escalera fuera
automática subiría en 6 s.
En este caso, ¿cuánto se demoraría en bajar?
(El hombre en todo instante camina).
a) 31s b) 43s c) 40s
d) 39s e) 41s
16. Hace dos años tenía 6 veces tu edad. Dentro de
5 años tendré veinticinco veces la edad que tú
tenías cuando yo tenía la edad que tú tendrás
dentro de 11 años. ¿Qué edad tengo?
Á L G E B R A
- 305 -

- 306 -
a) 20 años b) 17 años c) 30 años
d) 18 años e) 19 años
17. Un galgo persigue a una liebre que le lleva 77
saltos, se sabe que 12 saltos del galgo equivalen
a 17 de la liebre, y que en el tiempo en que el
galgo da un número de saltos igual a los que ha
dado la liebre desde que el galgo comenzó la
persecución, la liebre había dado 116 saltos
más. Se pide el número de saltos que da la liebre
hasta que es alcanzada por el galgo.
a) 600 b) 500 c) 658
d) 558 e) 588
18. A y B parten al mismo tiempo de dos pobla-
ciones distintas caminado el uno hacia el otro.
Si B camina 1 km más aprisa que A, entonces se
encuentran al cabo de 6 horas; si B camina con
la misma velocidad que A, entonces se encuen-
tran al cabo de 7 horas. Calcular la distancia
entre las 2 poblaciones.
a) 40 km b) 42 km c) 45 km
d) 48 km e) 44 km
19. Dos compañeros, al tener una sola bicicleta,
partieron en el mismo instante del punto A
hacia el punto B; el primero de ellos se fue en
bicicleta y el segundo a pie. A cierta distancia
de A el primero dejó la bicicleta en el camino y
llegó caminando a B. El segundo, al llegar
donde estaba la bicicleta, siguió en ésta. Ambos
amigos llegaron juntos a B. En el camino de
regreso del punto B al punto A procedieron de
igual forma, pero el primer compañero recorrió
en bicicleta un kilómetro más que la vez
primera. Por esto el segundo amigo llegó al
punto A 21 minutos más tarde que el primero.
Determinar la velocidad de marcha del primero
si en bicicleta van a una velocidad de 20 km/h
y caminando, la velocidad del primero en 3
minutos por Km es mayor que la del segundo.
a) 5 km/h b) 4 km/h c) 3 km/h
d) 2 km/h e) 7 km/h
20. Tres obreros trabajando juntos pueden concluir
una obra en 10 días; si trabajan solo los dos
primeros la acabarán en 15 días, pero si laboran
los dos últimos culminan en 20 días. ¿Qué
tiempo tardan el primero y tercero juntos?
a) 12 días b) 11 días c) 10 días
d) 13 días e) 16 días
CLAVE DE RESPUESTAS
1) C 2) B 3) D 4) B 5) C
6) B 7) D 8) B 9) D 10) C
11) D 12) B 13) B 14) C 15) C
16) A 17) E 18) B 19) A 20) A
α
α α

DETERMINANTES
DETERMINANTES
DEFINICIÓN.-
Determinante es el desarrollo de una “matriz cuadra-
da”. Se le representa simbólicamente encerrando la
matriz entre dos barras verticales. El “orden” del
determinante está expresado por el número de “filas”
o “columnas” que tiene la matriz.
La “matriz es cuadrada” cuando el número de filas es
igual al número de columnas.
SIGNOS DE UN ELEMENTO
Se obtiene sumando los números ordinales que indi-
can la fila y columna del elemento.
(1) Si la suma es par el elemento tiene signo (+).
(2) Si es impar tiene signo (-).
Ejemplo:
Sea el determinante:
a1
a2
a3
b1
b2
b3
c1
c2
c3
El elemento c2
se encuentra en 3ra. (3) fila y 2da.
(2) columna, luego:
S = 3 + 2 = 5 (número impar)
luego, el elemento c2
tiene signo negativo (-).
El elemento a3
se encuentra en la 1ra. (1) fila y
3ra. (3) columna, luego:
S = 1 + 3 = 4 (número par)
luego el elemento a3
tiene signo positivo (+).
DETERMINANTE DE SEGUNDO
ORDEN
Es el desarrollo de una matriz cuadrada que tiene 2
filas y 2 columnas. Se le representa así:
a1
a2
∆ =
b1
b2
donde “∆” es el valor del determinante.
Los elementos son a1
, a2
, b1
, b2
,
Columnas.- Son el grupo de elementos en línea
vertical: (a1
, b1
) y (a2
, b2
).
Filas.- Son el grupo de elementos en línea hori-
zontal: (a1
, a2
) y (b1
, b2
).
Diagonal Principal.- Está formada por los ele-
mentos que van desde el primer elemento de la
primera fila al último de la segunda fila. Así:
a1
a2
∆ =
b1
b2
diagonal
principal
Á L G E B R A
- 307 -

Diagonal Secundaria.- Está formada por los ele-
mentos que van del primer elemento de la última
fila al último de la primera fila. Así:
diagonal
secundaria
a1
a2
∆ =
b1
b2
VALOR DEL DETERMINANTE DE
SEGUNDO ORDEN
Es igual al producto de los elementos de la diagonal
principal menos el producto de los elementos de la
diagonal secundaria.
(-)
a1
a2
∆ = = a1
b1
- b1
a2
b1
b2
(+)
Ejemplo.
Hallar:
-5 -7
∆ =
6 4
∆ = (-5)(4) - (6)(-7)
∆ = -20 + 42
∆ = 22
DETERMINANTE DE TERCER ORDEN
Es el desarrollo de una matriz cuadrada de 3 filas y 3
columnas.
Para determinar su valor se utiliza la “Regla de
Sarrus” o el método de “Menores Complementarios”,
que es más general.
REGLA DE SARRUS
1º Se repite las filas primera y segunda a con-
tinuación de la tercera (formando 2 filas
adicionales).
2º Se toma con signo positivo la diagonal princi-
pal (hacia abajo) y las dos paralelas a ella; y
con signo negativo, la diagonal secundaria
(hacia arriba) y las dos paralelas a la misma.
3º Se efectúan los productos de los elementos de
las diagonales y sus paralelas considerando
para cada producto el signo señalado en el
paso anterior.
Así:
a1
a2
a3
∆ = b1
b2
b3
c1
c2
c3
(-)
a1
a2
a3
(-)
b1
b2
b3
(-)
∆ = c1
c2
c3
(+)
a1
a2
a3
(+)
b1
b2
b3
(+)
∆ = a1
b2
c3
+ b1
c2
a3
+ c1
a2
b3
- c1
b2
a3
- a1
c2
b3
- b1
a2
c3
Ejemplo.
Hallar:
1 4 7
∆ = 2 5 8
3 6 9
- 308 -
α
α α

(-)
1 4 7
(-)
2 5 8
(-)
∆ = 3 6 9
(+)
1 4 7
(+)
2 5 8
(+)
∆ = (1)(5)(9) + (2)(6)(7) + (4)(8)(3)
- (3)(5)(7) - (6)(8)(1) - (2)(4)(9)
∆ = 45 + 84 + 96 - 105 - 48 - 72
∆ = 0
FORMA PRÁCTICA DE LA REGLA
DE SARRUS
Cuando se quiere evitar escribir las dos primeras filas
a continuación de la tercera, se efectúa los productos
de la siguiente manera: como se señala gráficamente.
a1
a2
a3
b1
b2
b3
c1
c2
c3
(+)
a1
a2
a3
b1
b2
b3
c1
c2
c3
(-)
Desarrollar:
a1
a2
a3
∆ = b1
b2
b3
c1
c2
c3
D = a1
b2
c3
+ b1
c2
a3
+ a2
b3
c1
- c1
b2
a3
- b1
a2
c3
- c2
b3
a1
Ejemplo numérico
Desarrollar:
1 1 1
∆ = 2 3 4
4 9 16
∆ = (3)(16)(1) + (2)(9)(1) + (1)(4)(4)
- (4)(3)(1) - (2)(1)(16) - (4)(9)(1)
∆ = 48 + 18 + 16 - 12 - 32 - 36
∆ = 1
MENOR COMPLEMENTARIO DE UN
DETERMINANTE
El menor complementario de un elemento en un
determinante, es otro determinante de menor orden,
que resulta después de suprimir en el determinante,
los elementos que pertenecen a la fila y columna de
dicho elemento.
Ejemplo.- Dado el determinante:
a1
a2
a3
∆ = b1
b2
b3
c1
c2
c3
Á L G E B R A
- 309 -

a1
a3
∴ ∆ =
c1
c3
es el menor complementario de b2
.
DESARROLLO DE UN DETERMINANTE
POR MENORES COMPLEMENTARIOS
El valor de un determinante es igual a la suma alge-
braica de los elementos de una línea cualquiera (fila
o columna), multiplicado cada uno de ellos por sus
respectivos menores complementarios, colocando a
cada producto el signo del elemento.
Desarrollar:
a1
a2
a3
∆ = b1
b2
b3
c1
c2
c3
desarrollando por los elementos de la 1ra. fila:
b2
b3
b1
b3
∆ = a1
- a2
c2
c3
c1
c3
b1
b2
+ a3
c1
c2
∆ = a1
(b2
c3
- c2
b3
) - a2
(b1
c3
- c1
b3
)
+ a3
(b1
c2
- b2
c1
)
∆ = a1
b2
c3
- a1
c2
b3
- a2
b1
c3
+ a2
c1
b3
+ a3
b1
c2
- a3
b2
c1
∆ = a1
b2
c3
+ a2
c1
b3
+ a3
b1
c2
- a1
c2
b3
- a2
b1
c3
- a3
b2
c1
Ejemplo.
Desarrollar por menos complementarios:
1 4 2
∆ = 3 4 5
9 16 25
Solución:
Tomando la primera fila:
4 5 3 5
∆ = (1) - (4)
16 25 9 25
3 4
+ (2)
9 16
∆ = (1)(100 - 80) - (4)(75 - 45) + (2)(48 - 36)
∆ = 20 - 120 + 24 = -76
PROPIEDADES DE LOS
DETERMINANTES
1º Si en un determinante se cambian las filas por
columnas y las columnas por filas, el valor del
determinante no se altera.
Ejemplo:
a1
a2
∆ = = a1
b2
- a2
b1
b1
b2
a1
b1
∆ = = a1
b2
- a2
b1
a2
b2
2º Si en un determinante se intercambian entre sí
dos filas o dos columnas, el determinante cam-
bia de signo.
Ejemplo:
a1
a2
∆ = = a1
b2
- a2
b1
b1
b2
- 310 -
α
α α

Á L G E B R A
- 311 -
intercambiando las dos filas:
b1
b2
∆ =
a1
a2
∆ = b1
a2
- a1
b2
∆ = -(a1
b2
-a2
b1
)
∆ = - ∆1
3º Si un determinante tiene 2 filas o 2 columnas
iguales, el determinante es igual a cero.
Ejemplo:
a1
a2
a3
∆ = b1
b2
b3
b1
b2
b3
∆ = a1
b2
b3
+ b1
b2
a3
+ a2
b3
b1
- b1
b2
a3
- b1
a2
b3
- b2
b3
a1
reduciendo: ∆ = 0
4º Si en un determinante se multiplica o divide
todos los elementos de una fila o columna por
un mismo número, el determinante quedará
multiplicado o dividido por este número.
Ejemplo:
a1
a2
a3
∆ = b1
b2
b3
c1
c2
c3
∆ = a1
b2
c3
+ b1
c2
a3
+ a2
b3
c1
- c1
b2
a3
- c2
b3
a1
- b1
a2
c3
Multiplicando todos los elementos de la primera
columna por “m”
ma1
a2
a3
∆ = mb1
b2
b3
mc1
c2
c3
∆ = ma1
b2
c3
+ mb1
c2
a3
+ a2
b3
mc1
- mc1
b2
a3
- c2
b3
ma1
- mb1
a2
c3
∆ = m [a1
b2
c3
+ b1
c2
a3
+ a2
b3
c1
- b2
c1
a3
- c2
b3
a1
- b1
a2
c3
]
∆1
= m ∆
OBSERVACIÓN IMPORTANTE
Si un determinante tiene en todos los elemen-
tos de una fila o columna un factor común,
éste se puede sacar como factor común del
determinante.
5º Si todos los elementos de la fila son nulos, el
determinante es nulo.
6º Si un determinante tiene dos filas cuyos ele-
mentos correspondientes son proporcionales,
el determinante es nulo.
7º Si en un determinante a los elementos de una
fila o columna se les aumenta o se les resta los
de la otra fila o columna paralela multiplicados
por un mismo número, el valor del determi-
nante no varía.
Ejemplo:
Sea el determinante:
a1
a2
∆ = = a1
b2
- a2
b1
b1
b2
Multiplicando la primera fila por “m” y sumán-
dole el resultado a la segunda fila, se obtiene:

a1
a2
∆ =
b1
+ma1
b2
+ma2
∆1
= a1
(b2
+ ma2
) - a2
(b1
+ ma1
)
∆1
= a1
b2
+ ma1
a2
- a2
b1
- ma2
a1
∆1
= a1
b2
+ a2
b1
∴ ∆ = ∆1
EJERCICIO RESUELTOS
_____________________
a2
2ab b2
E = b2
a2
2ab
√ 2ab b2
a2
Solución:
Desarrollando el determinante:
_______________________________
E = √a6
+ 8a3
b3
+ b6
- 2a3
b3
- 2a3
b3
- 2a3
b3
___________
___ ___
_____
E = √a6
+ 2a3
b3
+ b6
= √(a3
+ b3
)2
= a3
+ b3
a b c
∆ = 1 a an
ap
ap+1
ap+n
Solución:
Sacando ap
de la 3ra fila:
a b c
∆ = 1 a an
1 a an
por tener el determinante la 2da. y 3ra. fila
iguales el valor del determinante es cero.
∆ = ap
(0) = 0
2 -4 -1
2 x -2 = 5
1 3 2
Solución:
Desarrollando el determinate:
4x - 6 + 8 +x + 16 + 12 = 5
5x = 5 + 6 - 8 - 16 - 12
de donde:
x = -5
b-c c-a a-b
E = c-a a-b b-c
a-b b-c c-a
Solución:
Aplicando las propiedades establecidas, sumemos
a la primera fila, la segunda fila (la única fila que
se altera es aquella fila a la cual se suma, per-
maneciendo las otras iguales).
b-a c-b a-c
E = c-a a-b b-c
a-b b-c c-a
factorizando el signo en cada uno de los elemen-
tos de la primera fila:
-(a-b) -(b-c) -(c-a)
E = c-a a-b b-c
a-b b-c c-a
factorizando (-1) en el determinante, por la
propiedad (4):
- 312 -
α
α α

a-b b-c c-a
E = (-1) c-a a-b b-c
a-b b-c c-a
El valor del determinante es cero por tener la
primera y tercera fila iguales.
∴ E = (-1)(0) = 0
1 2 3 4
2 3 4 5
E =
3 4 5 6
4 5 6 7
Solución:
Aplicando el desarrollo por menores complemen-
tarios con respecto a la primera fila. Tomando
cada elemento con su respectivo signo:
3 4 5 2 4 5
E = (1) 4 5 6 - (2) 3 5 6
5 6 7 4 6 7
2 3 5 2 3 4
+ (3) 3 4 6 - (4) 3 4 5
4 5 7 4 5 6
desarrollando los determinantes de tercer orden:
E = (1)(105 + 120 + 120 - 125 - 108 - 112)
- (2)(70 + 90 + 96 - 100 - 72 - 84)
+ (3)(56 + 75 + 72 - 80 - 63 - 60)
- 4 (48 + 60 + 60 - 64 - 54 - 50)
E = (1)(0) - 2(0) + 3(0) - 4(0) = 0
E = 0
n 0 0 … 0
0 (n-1) 0 … 0
0 0 (n-2) … 0
0 0 0 … 0
0 0 0 … 0
E =
… … … … 0
… … … … 0
… … … … 0
0 0 0 … 1
Solución:
Desarrollando por menores complementarios con
respecto a la primera fila.
(n-1) 0 0 … 0
0 0 0 … 0
0 … … … 0
0 … … … 0
0 … … … 0
E = 0 … … … 0 + 0
0 … … …
… … … …
… … … …
… … … …
0 0 0 … 1
ya que los otros términos salen cero por que sus
coeficientes son ceros.
Á L G E B R A
- 313 -

En forma análoga:
(n-2) 0 0 0 … 0
0 (n-3) 0 0 … 0
0 0 0 0 … 0
0 0 0 0 … 0
E = (n)(n-1) + 0
… … . . … 0
… … . . … 0
… … . . … 0
0 0 0 0 … 1
ya que los otros términos valen cero.
En forma análoga:
E = (n)(n - 1)(n - 2)(n - 3) … (3)(2)(1)
pero, el producto es n ;
luego: E = n
x - 1 x2
- 1 x3
- 1
E = 2x - 4 x2
- 4 x3
- 8
3x - 9 x2
- 9 x3
- 27
Solución:
Se puede escribir:
(x -1) (x+1)(x-1) (x-1)(x2
+x+1)
E = 2(x-2) (x + 2)(x-2) (x-2)(x2
+2x+4)
3(x-3) (x+3)(x-3) (x-3)(x2
+3x+9)
Sacando los factores (x-1), (x-2) y (x-3) del
determinante:
1 (x+1) x2
+x+1
E = (x-1)(x-2)(x-3) 2 (x+2) x2
+2x+4
3 (x+3) x2
+3x+9
restando a los elementos de la segunda columna
los elementos de la primera columna:
1 x x2
+x+1
E = (x-1)(x-2)(x-3) 2 x x2
+2x+4
3 x x2
+3x+9
Sacando factor “x” fuera del determinante:
1 1 x2
+x+1
E = (x-1)(x-2)(x-3) 2 1 x2
+2x+4
3 1 x2
+3x+9
Aplicando menores complementarios con respec-
to a la 2da. columna:
2 x2
+2x+4
E = x(x-1)(x-2)(x-3) -(1)
3 x2
+3x+9
1 x2
+x+1 1 x2
+x+1
+ (1) - (1)
3 x2
+3x+9 2 x2
+2x+4
desarrollando los determinantes de 2do. orden:
E = x(x - 1)(x - 2)(x - 3)
. [-(2x2
+ 6x + 18 - 3x2
- 6x - 12)
+ (x2
+ 3x + 9 - 3x2
- 3x + 3)
- (x2
+ 2x + 4 - 2x2
- 2x - 2) ]
reduciendo:
E = x(x - 1)(x - 2)(x - 3)[x2
- 6 - 2x2
+ 6 + x2
- 2]
- 314 -
α
α α

E = x(x - 1)(x - 2)(x - 3)(-2)
E = -2x(x - 1)(x - 2)(x - 3)
8.- Calcular:
a b c
b c a
c a b
E = –––––––––––––––––––––––––––––––
b a c b b c
+ +
a c b a c a
Solución:
Desarrollando cada determinante:
acb + abc - a3
- b3
- c3
+ abc
E = ––––––––––––––––––––––––––
bc - a2
+ ac - b2
+ ab -c2
-(a3
+ b3
+ c3
-3abc)
E = ––––––––––––––––––––––
-(a2
+ b2
+c2
- ab - ac - bc)
a3
+ b3
+ c3
- 3abc
E = ––––––––––––––––––––
a2
+ b2
+ c2
- ab - ac - bc
pero, el numerador, por identidad algebráica es:
a3
+b3
+c3
-3abc = (a+b+c)(a2
+b2
+c2
-ab-ac-bc)
(a + b + c)(a2
+ b2
+ c2
- ab - ac - bc)
E = –––––––––––––––––––––––––––––––––
a2
+ b2
+ c2
- ab - ac - bc
E = a + b + c
9.- Demostrar que:
1 1 1
a b c = (c-b)(c-a)(b-a)
a2
b2
c2
Solución:
Desarrollando el determinante por el Método de
Sarrus:
∆ = bc2
+ ab2
+ a2
c - a2
b - b2
c - ac2
factorizando por el método de agrupación:
∆ = (bc2
- b2
c) - (ac2
- ab2
) + (a2
c - a2
b)
∆ = bc(c - b) - a(c + b)(c - b) + a2
(c - b)
∆ = (c - b)(bc - ac - ab + a2
)
∆ = (c - b) [(bc - ab) - (ac - a2)]
∆ = (c - b) [b(c - a) - a(c - a)]
∆ = (c - b)(c - a)(b - a)
A este determinante se le denomina“Determinante
de “Vandermonde”.
1 1 1
E = 4 5 7
16 25 49
Solución:
Escribiendo el determinante así:
1 1 1
E = 4 5 7
42
52
72
representa un determinante de Vandermonde:
∴ E = (7 - 5)(7 - 4)(5 - 4) = 2 . 3 . 1
E = 6
x2
(x+1)2
(x+2)2
(x+3)2
y2
(y+1)2
(y+2)2
(y+3)2
E =
z2
(z+1)2
(z+2)2
(z+3)2
t2
(t+1)2
(t+2)2
(t+3)2
Solución:
Desarrollando las potencias indicadas:
Á L G E B R A
- 315 -

x2
x2
+2x+1 x2
+4x+4 x2
+6x+9
y2
y2
+2y+1 y2
+4y+4 y2
+6y+9
E =
z2
z2
+2z+1 z2
+4z+4 z2
+6z+9
t2
t2
+2t+1 t2
+4t+4 t2
+6t+9
Efectuando las siguientes sustracciones:
a) 4ta. columna - 3ra. columna
b) 3ra. columna - 2da. columna
c) 2da. columna - 1ra. columna
luego:
x2
2x+1 2x+3 2x+5
y2
2y+1 2y+3 2y+5
E =
z2
2z+1 2z+3 2z+5
t2
2t+1 2t+3 2t+5
Acontinuación, las siguientes sustracciones:
a) 4ta. columna - 3ra. columna
b) 3ra. columna - 2da. columna
x2
2x+1 2 2
y2
2y+1 2 2
E =
z2
2z+1 2 2
t2
2t+1 2 2
por tener el determinante la 3ra. y 4ta. columnas
iguales, su valor es igual a cero:
E = 0
MÉTODO DE LOS DETERMINANTES
PARA HALLAR LA SOLUCIÓN DE UN
SISTEMA DE ECUACIONES
Este método permite emplear los determinantes para
la resolución de sistemas de ecuaciones mediante la
“Regla de Cramer”.
REGLA DE CRAMER
En todo sistema de ecuaciones (determinado), el va-
lor de cada incógnita es una fracción, cuyo denomi-
nador es el determinante del sistema, siendo el nu-
merador este mismo determinante en el que se ha
reemplazado la columna de los coeficientes de la in-
cógnita por los términos independientes.
EXPLICACIÓN
En el sistema:
a1
x + a2
y = a3
(I)
b1
x + b2
y = b3
(II)
se define:
a1
a2
∆s = determinante =
del sistema
b1
b2
a3
a2
∆x = determinante =
de x
b3
b2
a3
a3
∆y = determinante =
de la incognita y
b3
b3
Por la Regla de Cramer:
a3
a2
b3
b2
∆x
x = ––– = –––––––––––––––
∆s a1
a2
b1
b2
a1
a3
b3
b3
∆y
x = ––– = –––––––––––––––
∆s a1
a2
b1
b2
- 316 -
α
α α

DISCUSIÓN DE LA SOLUCIÓN DE LOS
SISTEMAS LINEALES
Dado el sistema:
a1
x + a2
y = a3
(I)
b1
x + b2
y = b3
(II)
∆x ∆y
x = ––– ; y = –––
∆s ∆s
1) Si ∆x ≠ 0, ∆s ≠ 0, es compatible determina-
do, tiene una sola solución.
2) Si ∆x = 0, ∆s = 0, el sistema es indetermina-
do, tiene muchas soluciones.
3) Si ∆x = 0, ∆s ≠ 0, el sistema es incompatible,
no tiene solución.
1.- Resolver el sistema:
x + y + z = 0 (1)
ax + by + cz = 0 (2)
bcx + acy + abz = 1 (3)
Solución:
Cálculo de cada determinante:
1 1 1
∆s = a b c
bc ac ab
∆s = ab2
+ a2
c + bc2
- b2
c - ac2
- a2
b
factorizando por agrupación:
∆s = b2
(a - c) + ac(a - c) - b(a + c)(a - c)
∆s = (a - c)(b2
+ ac - ab - bc)
∆s = (a - c)[b(b - a) - c(b - a)]
∆s = (a - c)(b - a)(b - c)
0 1 1
∆s = 0 b c = c - b
1 ac ab
1 0 1
∆y = a 0 c = a - c
bc 1 ab
1 1 0
∆y = a b 0 = b - a
bc ac 1
∆x (c - b) - (b - c)
x = ––– = –––––––––––––––– = –––––––––––––––
∆s (a-c)(b-a)(b-c) (a-c)(b-a)(b-c)
1
= - –––––––––––
(a-c)(b-a)
∆y a - c 1
y = ––– = –––––––––––––––– = –––––––––––
∆s (a-c)(b-a)(b-c) (b-a)(b-c)
∆z b - a 1
z = ––– = –––––––––––––––– = –––––––––––
∆s (a-c)(b-a)(b-c) (a-c)(b-c)
x + y + z = 1
ax + by + cz = d
a2
x + b2
y + c2
z = d2
Solución:
Al construir los determinantes se nota que son
determinantes de Vandermonde.
1 1 1
∆s = a b c
a2
b2
c2
∆s = (c - b)(c - a)(b - a)
Á L G E B R A
- 317 -

1 1 1
∆x = d b c
d2
b2
c2
∆s = (c - b)(c - d)(b - d)
1 1 1
∆y = a d c
a2
d2
c2
∆y = (c - d)(c - a)(d - a)
1 1 1
∆z = a b d
a2
b2
d2
∆z = (d - b)(d - a)(b - a)
∆x (c-b)(c-d)(b-d) (c-d)(b-d)
x = ––– = ––––––––––––––– = ––––––––––
∆s (c-b)(c-a)(b-a) (c-a)(b-a)
∆y (c-d)(c-a)(d-a) (c-d)(d-a)
y = ––– = ––––––––––––––– = ––––––––––
∆s (c-b)(c-a)(b-a) (c-b)(b-a)
∆z (d-b)(d-a)(b-a) (d-b)(d-a)
z = ––– = ––––––––––––––– = ––––––––––
∆s (c-b)(c-a)(b-a) (c-b)(c-a)
3.- Hallar el valor de “k” si el sistema:
(1 + 2k)x + 5y = 7 (1)
(2 + k)x + 4y = 8 (2)
no tiene solución.
Solución:
Para que el sistema no tenga solución:
∆s = 0
1 + 2k 5
∆s =
2 + k 4
El desarrollo del determinante se igual a cero:
4(1+2k) - 5(2+k) = 0
4 + 8k - 10 - 5k = 0
3k = 6
∴ k = 2
4.- Determinar “a” y “b” para que el sistema sea inde-
terminado:
3x + 5y = 1 (1)
ax - by = 4 (2)
Solución:
Si el sistema es indeterminado, entonces:
∆s = 0, ∆x = 0, ∆y = 0
por lo tanto:
3 5
∆s = = 0
a -b
-3b - 5a = 0
-3b = 5a
5
b = - –– a (α)
3
1 5
∆s = = 0
4 -b
-b - 20 = 0
b = -20
5
-20 = - –– a
3
a = 12
3 1
∆s = = 0
a 4
12 - a = 0
∴ a = 12
Rpta.: a = 12, b = -20
- 318 -
α
α α

(a + 2b)x - (a - 2b)y = 6a (1)
(a + 3c)x - (a - 3c)y = 4ab (2)
Solución:
Hallando los determinantes:
a + 2b -(a - 2b)
∆s =
a + 3c -(a - 3c)
∆s = -(a + 2b)(a - 3c) + (a - 2b)(a + 3c)
∆s = -a2
-(2b - 3c)a + 6bc + a2
+(-2b + 3c)a - 6bc
∆s = a(-2b + 3c - 2b + 3c) = a(6c - 4b)
∆s = 2a(3c - 2b)
6ac -(a - 2b)
∆x =
4ab -(a - 3c)
∆x = -6ac(a - 3c) + 4ab(a - 2b)
∆x = 2a [-3ac + 9c2
+ 2ab - 4b2
]
∆x = 2a [a(2b - 3c) + (2b + 3c)(2b - 3c)]
∆x = 2a(2b - 3c)(a - 2b - 3c)
a + 2b 6ac
∆y =
a + 3c 4ab
∆y = 4ab(a + 2b) - 6ac(a + 3c)
∆y = 2a(2ab + 4b2
- 3ac - 9c2
)
∆y = 2a[a(2b - 3c) + (2b + 3c)(2b - 3c)]
∆y = 2a(2b - 3c)(a + 2b + 3c)
Por la regla de Cramer:
∆x 2a(2b - 3c)(a - 2b - 3c)
x = ––– = ––––––––––––––––––––
∆s 2a(3c - 2b)
cambiando de signos en el numerador:
∆x 2a(3c - 2b)(3c + 2b - a)
x = ––– = ––––––––––––––––––––
∆s 2a(3c - 2b)
x = 3c + 2b - a
También:
∆y 2a(2b - 3c)(a + 2b + 3c)
y = ––– = –––––––––––––––––––––
∆s 2a(3c - 2b)
cambiando de signos en el numerador:
y = -(a + 2b + 3c)
Rpta.: x = 3c + 2b - a, y = -(3c + 2b + a)
1 1 1 1 1 1
E = 1 2 3 + 2 3 4
1 4 9 4 9 16
1 1 1
+ 3 4 5 + …
4 9 25
considerar “n” sumandos.
Solución:
Calculando cada sumando:
1 1 1 1 1 1
I = 1 2 3 = 1 2 3
1 4 9 12
22
32
I = (3 - 2)(3 - 1)(2 - 1) = (1)(2)(1) = 2
1 1 1 1 1 1
II = 2 3 4 = 2 3 4
4 9 16 22
32
42
II = (4 - 3)(4 - 2)(3 - 2) = (1)(2)(1) = 2
1 1 1 1 1 1
III = 3 4 5 = 2 3 4
4 9 16 22
32
42
III = (5 - 4)(5 - 3)(4 - 3) = (1)(2)(1) = 2
Á L G E B R A
- 319 -

Sustituyendo:
E = (2) + (2) + (2) + … + (2) = 2n
14444244443
“n” sumandos
E = 2n
x y z x y z x y z
–– + –– + –– = –– + –– + –– = –– + –– + ––
a b c b c a c a b
1 1 1
= –– + –– + ––
a b c
Solución:
Haciendo:
1 1 1
–– = m ; –– = n ; –– = r
a b c
podemos formar el siguiente sistema de ecua-
ciones:
mx + ny + rz = m + n + r (1)
nx + ry + mz = m + n + r (2)
rx + my + nz = m + n + r (3)
Calculando los determinantes:
m n r m+n+r n r
∆s = n r m = m+n+r r m
r n n m+n+r m n
1 n r
= (m+n+r) 1 r m
1 m n
m+n+r n r 1 n r
∆x = m+n+r r m = (m +n+r) 1 r m
m+n+r m n 1 m n
m m+n+r r m 1 r
∆y = n m+n+r m = (m +n+r) n 1 m
r m+n+r n r 1 n
realizando cambios mediante las propiedades:
1 m r 1 r m
= -(m+n+r) 1 n m = (m+n+r) 1 m n
1 r n 1 n r
1 n r
= (m+n+r) 1 r m
1 m n
m r m+n+r m n 1
∆z = n r m+n+r = (m +n+r) n r 1
r m m+n+r r m 1
1 n m 1 m n
= -(m+n+r) 1 r n = (m+n+r) 1 n r
1 m r 1 r m
1 n r
= (m+n+r) 1 r m
1 m n
Se concluye:
∆x = ∆s ; ∆y = ∆s ; ∆z = ∆s
Luego:
∆x ∆s
x = ––– = ––– = 1
∆s ∆s
∆y ∆s
y = ––– = ––– = 1
∆s ∆s
∆z ∆s
z = ––– = ––– = 1
∆s ∆s
8.- ¿Para qué valores de “k” el sistema de ecuaciones
lineales:
3x + ky = 5 + k (1)
2x + 5y = 8 (2)
tiene solución única?
- 320 -
α
α α

Á L G E B R A
- 321 -
Solución:
Para que el sistema tenga solución única: ∆s ≠ 0;
ésto es:
3 k
≠ 0
2 5
15 - 2k ≠ 0
15 ≠ 2k
k ≠ 7 . 5
(k puede ser cualquier valor diferente de 7 . 5)
9.- Calcular el valor de “x” al resolver el sistema:
cx + az = b (1)
ay + bx = c (2)
bz + cy = a (3)
Solución:
Ordenando y completando las ecuaciones:
cx + Oy + az - b (1)
bx + ay + Oz = c (2)
Ox + cy + bz = a (3)
Hallando los determinantes ∆s y ∆x:
c 0 a
∆s = b a 0 = abc + abc = 2abc
0 c b
b 0 a
∆x = c a 0
a c b
∆x = ab2
+ ac2
- a3
= a(b2
+ c2
- a2
)
Por la regla de Cramer:
∆x a(b2
+ c2
- a2
) b2
+ c2
- a2
x = ––– = –––––––––––– = –––––––––
∆s 2abc 2bc

- 322 -
__ __ __ __
√3 √2 √2 √2
__ __ __ __
-√2 √3 √2 √2
E =
__ __ __ __
-√2 -√2 √3 √2
__ __ __ __
-√2 -√2 √2 √3
a) 4 b) 9 c) 6
d) 49 e) 81
_
__
1+
3
√12 1 1 1
_
__
1 1-
3
√12 1 1
E =
_
__
1 1 1+
3
√18 1
_
__
1 1 1 1-
3
√18
a) 1 b) 12 c) 36
d) 29 e) 19
3. Calcular:
10 1 13 -14 1
5 7 12 -7 2
E = -15 4 11 21 3
25 -2 10 -35 4
-15 10 9 21 5
a) 1 b) 11 c) 12
d) 0 e) 6
4. Simplificar:
(b+c)2
a2
a2
b2
(c+a)2
b2
c2
c2
(a+b)2
E = –––––––––––––––––––––––––––––––
(a + b + c)3
a) abc b) 2abc c) 3abc
d) 4abc e) 6abc
5. Calcular:
1 1 1
- –– ––––– –––––
a a + c a + b
1 1 1
E = –––– - –– –––––
b + c b a + b
1 1 1
–––– ––––– - ––
b + c a + c c
a) a b) b c) c
d) a + b + c e) 0
6. Calcular:
-2a a + b a + c
E = a + b -2b b + c
a + c b + c -2c
a) 2(b + c)(a + c)(a + b)
a) 4(b + c)(a + c)(a + b)
c) (a + b)(a + c)(b + c)
d) a3
+ b3
+ c3
e) a3
+ b3
+ c3
- 3abc
α
α α

7. Calcular:
a3
3a3
3a 1
E = a3
a2
+ 2a 2a + 1 1
a 2a + 1 a + 2 1
1 3 3 1
a) (a + 1)6
b) (a - 3)6
c) (a - 1)6
d) (a - 2)6
e) (a + 2)6
4x 6x + 2 8x + 1
6x + 2 9x + 3 12x = 0
8x + 1 12x 16x + 2
-11 97 97
a) –––– b) ––– c) - –––
97 11 11
11
d) -97 E) + –––
97
9. Si:
-2bc c2
b2
∆1
= c2
-2ac a2
b2
a2
-2ab
y:
a b c
∆2
= b c a
c a b
∆1
Calcular: E = ––––––––––
abc ∆2
a) 1 b) -1 c) 2
d) -2 e) 3
10. Calcular:
1 2 3 4 5 6
2 3 4 5 6 7
3 4 5 6 7 8
E =
4 5 6 7 8 9
5 6 7 8 9 10
6 7 8 9 10 11
a) 1 b) -1 c) 2
d) -2 e) 0
11. Calcular:
x - y y(x + y)
E =
-2 (x + y)
a) x - y b) x c) y
d) (x + y) e) 2x
12. Calcular:
n n n
1 C1
C2
… Cr-1
n+1 n+1 n+1
1 C1
C2
… C r-1
n+2 n+2 n+2
1 C1
C2
… C r-1
. . . .
. . . .
. . . .
n+r-1 n+r-1 n+r-1
1 C1
C2
… C r-1
a) n b) r c) 1
d) n - r e) n + r
Á L G E B R A
- 323 -

- 324 -
13. Calcular:
30 11 20 38
6 3 0 9
∆ =
11 -2 36 3
19 6 17 22
a) 5 b) 7 c) 12
d) 9 e) 10
14. Calcular “c” en el sistema para que “x” exceda
en 4 unidades a “y”
7x - 4y = c (1)
3x + 2y = c (2)
a) 40 b) 52 c) 30
d) 32 e) 20
15. Calcular qué valor debe tomar el coeficiente “a”
para que el sistema sea incompatible.
ax + y + z + u = 2 (1)
x + y + z + u = -1 (2)
x + y - az = -3 (3)
(2a + 1)x + y + z = -5 (4)
1
a) 1 b) –– c) -1
3
1
d) –– e) -2
4
16. Calcular:
1 1 1
E = ––––– + ––––– + –––––
a + 1 b + 1 c + 1
después de resolver el sistema:
x = by + cz
y = ax + cz
z = ax + by
a) 1 b) 2 c) 3
d) 4 e) 6
17. Calcular “m” si el sistema es indeterminado:
(m - 1)x + (m + 1)y = 2(m2
- 1) (1)
(m2
- 1)x + (m2
+ 1)y = 2(m3
- 1) (2)
a) 2 b) -2 C) 1
d) -1 e) 3
18. Calcular el valor de “m” si el sistema:
x + my = 1 (1)
mx - 3my = 2m + 3 (2)
no tiene soluciones.
a) 3 b) -3 c) 1
d) -1 e) 2
19. Calcular “y” después de resolver el sistema:
ax + by + cz = d (1)
a2
x + b2
y + c2
z = d2
(2)
a3
x + b3
y + c3
z = d3
(3)
d(d - b)(d - c) d(d - a)(d - b)
a) –––––––––––––– b) ––––––––––––––
a(a - b)(a - c) c(c - a)(c - b)
d(d - a)(d - c) d(d - a)(d - b)
c) –––––––––––––– b) ––––––––––––––
b(b - a)(b - c) a(c - a)(a - b)
d(d - a)(d - b)
e) ––––––––––––––
b(c - a)(c - b)
α
α α

20. Calcular “x” al resolve el sistema:
x + y + z = 0 (1)
(b + c)x + (a + c)y + (a + b)z = 0 (2)
bcx + acy + abz = 1 (3)
1 1
a) –––––––––––– b) ––––––––––––
(a - b)(a - c) (b - a)(b - c)
1 a
c) –––––––––––– d) ––––––––––––
(a - c)(b - c) (b - a)(b - c)
b
e) ––––––––––––
(b - a)(b - c)
CLAVE DE RESPUESTAS
1) D 2) C 3) D 4) B 5) E
6) B 7) C 8) A 9) D 10) E
11) D 12) C 13) D 14) B 15) C
16) B 17) C 18) B 19) C 20) A
Á L G E B R A
- 325 -

- 326 -
ECUACIONES DE SEGUNDO
ECUACIONES DE SEGUNDO
GRADO
GRADO
Una ecuación de segundo grado o cuadrática con una
incógnita, es de la forma:
ax2
+ bx + c = 0
Esta forma se llama completa cuando a, b, c son
diferentes de cero. Cuando b ó c, ó ambos son cero
se denomina incompleta.
RESOLUCIÓN DE UNA ECUACIÓN DE
SEGUNDO GRADO CON UNA
INCÓGNITA
Se resuelve mediante dos métodos:
a) Factorizando mediante el aspa simple
b) Aplicando la fórmula general
Ejemplo.- Resolver la ecuación:
4x2
- 3x + 5
–––––––––– = 2
x2
- 2x + 13
Solución:
a) Efectuando e igualando a cero:
4x2
- 3x + 5 = 2x2
- 4x + 26
2x2
+ x - 21 = 0
factorizando:
(2x + 7)(x - 3) = 0
igualando cada factor a cero:
2x + 7 = 0 ⇒ x1
= -3 . 5
x - 3 = 0 ⇒ x2
= 3
b) Cuando la factorización no es inmediata, se
aplica la fórmula.
DEDUCCIÓN DE LA FÓRMULA GENERAL
Sea la ecuación:
ax2
+ bx + c = 0
Multiplicando ambos miembros por 4a:
4a2
x2
+ 4abx + 4ac = - 0
Pasando (4ac) al segundo miembro:
4a2
x2
+ 4abx = -4ac
Sumando a ambos b2
:
4a2
x2
+ 4abx + b2
= b2
- 4ac
El primer miembro es el desarrollo de un
binomio al cuadrado:
_______
(2ax + b)2
= √b2
- 4ac
_______
2ax + b = ± √b2
- 4ac
_______
2ax = -b ± √b2
- 4ac
finalmente se tiene la fórmula:
_______
-b ± √b2
- 4ac
x = ––
–––––––––––
2a
de lo cual se obtiene dos soluciones:
_______
-b ± √b2
- 4ac
x1
= ––
–––––––––––
2a
α
α α

_______
-b - √b2
- 4ac
x1
= ––
–––––––––––
2a
Ejemplo.- Resolver la ecuación:
4x2
- 5x = 19
Solución:
Igualando a cero:
4x2
- 5x - 19 = 0
donde:
a = 4; b = -5; c = -19
usando la fórmula:
______________
-(-5) ± √(-5)2
- 4(4)(-19)
x = –––––––––––––––––––––––
2(4)
________
5 ± √25 + 304
x = –––––––––––––
8
con las soluciones:
____
5 + √329
x1
= –––––––––
8
____
5 - √329
x2
= –––––––––
8
DISCUSIÓN DE LAS RAÍCES DE LA
ECUACIÓN DE SEGUNDO GRADO
Las raíces de la ecuación de segundo grado dependen
de la cantidad subradical ∆ o discriminante:
∆ = b2
- 4ac
Debido a esta función, a la cantidad subradical se le
denomina discriminante o invariante.
Los casos que se presentan son:
a) Si ∆ 0; o sea:
b2
- 4ac 0
las dos raíces son reales y desiguales.
b) Si ∆ = 0; o sea:
b2
- 4ac = 0
las dos raíces son iguales y reales.
c) Si ∆ 0; o sea:
b2
- 4ac 0
las dos raíces son complejas y conjugadas.
PROPIEDADES DE LAS RAÍCES DE
UNA ECUACIÓN DE SEGUNDO GRADO
Dada la ecuación:
ax2
+ bx + c = 0
sus raíces son:
_______
-b + √b2
- 4ac
x1
= –––––––––––––
2a
_______
-b - √b2
- 4ac
x2
= –––––––––––––
2a
1º SUMA DE RAÍCES:
b
x1
+ x2
= - ––
a
2º PRODUCTO DE RAÍCES:
c
x1
x2
= ––
a
FORMACIÓN DE UNA ECUACIÓN DE
SEGUNDO GRADO CONOCIENDO SUS
RAÍCES
Si “x1
” y “x2
” son las raíces de la ecuación que quie-
re formarse, de acuerdo a las dos propiedades ante-
riores, la ecuación se formará así:
x2
- (x1
+ x2
)x + (x1
x2
) = 0
1.- Resolver la ecuación:
(3 - x)3
+ (4 + x)3
––––––––––––––– = 7
(3 - x)2
+ (4 + x)2
Solución:
Efectuando las operaciones en el numerador y
denominador:
27 - 27x + 9x2
- x3
+ 64 + 48x + 12x2
+ x3
––––––––––––––––––––––––––––––––––– = 7
9 - 6x + x2
+ 16 + 8x + x2
Á L G E B R A
- 327 -

91 + 21x + 21x2
–––––––––––––– = 7
25 + 2x + 2x2
91 + 21x + 21x2
= 175 + 14x + 14x2
7x2
+ 7x - 84 = 0
x2
+ x-12 = 0
(x + 4)(x - 3) = 0
igualando a cero cada factor:
x + 4 = 0 ⇒ x1
= -4
x - 3 = 0 ⇒ x2
= 3
1 1 1 1
–– + ––––– + –– = –––––––––––
x a + b c x + a + b + c
Solución:
Transponiendo términos:
1 1 1 1
––––– + –– = ––––––––––– - ––
a + b c x + a + b + c x
efectuando operaciones en cada miembro:
c + a + b x - x - a - b - c
–––––––– = –––––––––––––
c(a + b) x(x + a + b + c)
(a + b + c) -(a + b + c)
––––––––– = –––––––––––––
c(a + b) x(x + a + b + c)
1 1
––––––––– = –––––––––––––
c(a + b) x(x + a + b + c)
x(x + a + b + c) = -c(a + b)
x2
+ (a + b + c)x + c(a + b) = 0
factorizando por el método del aspa:
(x + a + b)(x + c) = 0
x + a + b = 0 ⇒ x1
= -a - b
x + c = 0 ⇒ x2
= -c
_______
a + 2x + √a2
- 4x2
5x
–––––––––––––––– = –––
_______
a + 2x - √a2
- 4x2
a
Solución:
Aplicando la siguiente propiedad de propor-
ciones:
Si:
a c a + b c + d
–– = –– ⇒ ––––– = –––––
b d a - b c - d
se obtiene:
2(a + 2x) 5x + a
–––––––––– = ––––––
______
2 √a2
- 4x2 5x - a
que se puede reescribir de la siguiente forma:
________
√(a + 2x)2
5x + a
––––––––––––––– = ––––––
______ ______
√a + 2x √ a - 2x
5x - a
______
√a + 2x 5x + a
–––––––– = ––––––
______
√a - 2x 5x - a
a + 2x (5x + a)2
–––––– = ––––––––
a - 2x (5x - a)2
aplicando nuevamente la propiedad de propor-
ciones:
2a (5x + a)2
+ (5x - a)2
––– = ––––––––––––––––––
4x (5x + a)2
+ (5x - a)2
aplicando legendre:
a 2(25x2
+ a2
)
––– = ––––––––––––
2x 4(5x) (a)
(25x2
+ a2
)
a = –––––––––––
5a
5a2
= 25x2
+ a2
; 25x2
= 4a2
2a
∴ x = ± –––
5
- 328 -
α
α α

_____________ ___________
√x2
- 7ax + 10a2
- √x2
+ ax - 6a2
= x - 2a
Solución:
Factorizando los subradicales por el método del
aspa simple:
_____________ _____________
√(x - 5a)(x - 2a) - √(x - 2a)(x + 3a) = x - 2a
pasando x - 2 al primer miembro:
____________ _____________
√(x -5a)(x -2a) - √(x -2a)(x +3a) - (x -2a) = 0
_____
Factorizando: √x - 2a :
_____ _____ __
____ _____
√x - 2a [ √x - 5a - √x + 3a - √x - 2a ] = 0
Igualando el primer factor a cero:
_____
√x - 2a = 0
∴ x1
= 2a (resultado que sí satisface)
Igualando el segundo factor a cero:
_____ __
____ ___
___
√x - 5a - √x + 3a = √x - 2a
_____________
x - 5a - 2√(x - 5a)(x + 3a) + x + 3a = x - 2a
despejando “x”:
_____________
x = 2√(x - 5a)(x + 3a)
elevando al cuadrado y efectuando:
x2
= 4(x2
- 2ax - 15a2
)
x2
= 4x2
- 8ax - 60a2
3x2
- 8ax - 60a2
= 0
factorizando por método del aspa simple:
(3x + 10a) (x - 6a) = 0
3x + 10a = 0
10a
∴ x2
= - –––– ( solución extraña)
3
x - 6a = 0
∴ x3
= 6a(Solución extraña)
5.- Resolver:
x(x - 2a) a - x a - x a2
––––––––– + ––––– - ––––– = 1 - –––––
___ __ __ ___
√bc √c √b √bc
Solución:
Eliminando denominadores:
__ __ __ __ ___
x2
- 2ax + a √b - √b x - a √c + √c x = √bc - a2
ordenando:
__ __ __ __
x2
+ (√c - 2a - √b )x + (a √b - a √c
___ __
- √bc + √a2
) = 0
factorizando el segundo paréntesis aparte:
__ __ __
a √b - a √c - √bc + a2
__ __ __
= √b (a - √c ) + a(a - √c )
__ __
= (a - √c ) (a + √b )
luego, la ecuación es:
__ __ __ __
x2
+(√c - 2a -√b )x + (a -√c ). (a + √b ) = 0
factorizando por el aspa simple:
__ __
[x - (a - √c )] [x - (a + √b )] = 0
__ __
x - (a - √c ) = 0 ⇒ x1
= a - √c
__ __
x - (a + √b ) = 0 ⇒ x2
= a + √b
6.- Resolver:
______ ______ ______ _
__
√2x + 3 + √3x + 2 - √2x + 5 = √3x
Solución:
Transponiendo:
______ ______ ___ ______
√2x + 3 + √3x + 2 = √3x + √2x + 5
_______________
2x + 3 + 2√(2x + 3)(3x + 2) + 3x + 2
____
______
= 3x + 2 √3x(2x + 5) + 2x + 5
reduciendo:
_______________ _________
√(2x + 3) (3x + 2) = √3x(2x + 5)
Á L G E B R A
- 329 -

elevando al cuadrado y efectuando:
6x2
+ 4x + 9x + 6 = 6x2
+ 15x
x = 3
7.- Resolver:
a(b - c)x2
+ b(c - a)x + c(a - b) = 0
1 1 2
si : –– + –– = ––
a b c
Solución:
De la condición:
a + b 2 2ab
––––––– = –– ⇒ c = ––––––
ab c a + b
sustituyendo en la ecuación:
2ab 2ab
a
(b - –––––
)x2
+ b
(––––– - a
)x
a + b a + b
2ab
+ –––––– (a - b) = 0
a + b
ab + b2
- 2ab 2ab - a2
- ab
a
(–––––––––––
)x2
+ b
(–––––––––––
)x
a + b a + b
2ab
+ –––––– (a - b) = 0
a + b
a(b2
- ab)x2
+ b(ab - a2
)x + 2ab(a - b) = 0
ab(b - a)x2
+ ab(b - a)x + 2ab(a - b) = 0
ab(b - a)x2
+ ab(b - a)x - 2ab(b - a) = 0
Dividiendo entre ab(b - a):
x2
+ x - 2 = 0
factorizando:
(x + 2)(x - 1) = 0
∴ x1
= 1 , x2
= -2
8.- Resolver:
______ ______
3
√72 - x -
3
√16 - x = 2
Solución:
Elevando al cubo:
_____ ______ ______
72 - x - 3
3
√72 - x
3
√16 - x ( √72 - x
______
-
3
√16 - x ) - (16 - x) = 8
sustituyendo:
______ ______
3
√72 - x -
3
√16 - x = 2
resulta:
_____________
72 - x - 3
3
√(72 - x)(16 - x) (2) - 16 + x = 8
_____________
48 = 6
3
√(72 - x)(16 - x)
simplificando:
_____________
8 =
3
√(72 - x)(16 - x)
elevando al cubo:
512 = 1 152 - 88x + x2
x2
- 88x + 640 = 0
por el método del aspa:
(x - 80)(x - 8) = 0
que resulta en:
x1
= 80 ; x2
= 8
9.- Resolver:
____________________________
______________________
________________
x = √1 + √1 + √1…∞ radicales
Solución:
_____________________________
_______________________
_________________
x =1 + √1 + √1 + √1…(∞ - 1)radicales
pero se observa que:
_____________________________
_______________________
_________________
1 + √1 + √1 + √1…(∞ - 1)radicales = x
sustituyendo:
x2
= 1 + x
x2
- x - 1 = 0
- 330 -
α
α α

aplicando la fórmula:
_____ __
1 ± √1 + 4 1 ± √5
x = ––––––––––– = ––––––––
2 2
luego las raíces son:
__
1 + √5
x1
= –––––––– (solución satisfactoria)
2
__
1 + √5
x1
= –––––––– (es negativa, no es solución
2 válida)
10.- Resolver:
1 1 3
––––––––––––––– + ––––––––––––––– = ––
_____ _____ _____ _____
√5 + x - √5 - x √5 + x + √5 - x 4
Solución:
Racionalizando los denominadores:
_____ _____ _____ _____
√5 + x + √5 - x √5+ x - √5 - x 3
––––––––––––––– + ––––––––––––––– = ––
(5 + x) - (5 - x) (5 + x) - (5 - x) 4
_____ _____ _____ _____
√5 + x + √5 - x √5 + x - √5 - x 3
––––––––––––––– + ––––––––––––––– = ––
2x 2x 4
_____
2 √5 + x 3
––––––––– = ––
2x 4
_____
4√5 + x = 3x
elevando al cuadrado
16(5 + x) = 9x2
efectuando y ordenando:
9x2
- 16x - 80 = 0
factorizando:
(9x + 20)(x - 4) = 0
de donde se tiene las siguientes raíces:
x1
= 4 (Sí satisface)
20
x2
= - ––– (No es solución)
9
11.- Hallar el valor de “k” si las raíces de la ecuación
de segundo grado:
x2
+ 2 (k + 2)x + 9k = 0
son iguales.
Solución:
Para que una ecuación de segundo grado tenga
sus raíces iguales, es necesario que su discrimi-
nante sea igual a cero, es decir:
∆ = b2
- 4ac = 0
luego, igualando el discriminante de la ecuación
dada a cero:
[ 2(k + 2)]2
- 4(1)(9k) = 0
4(k2
+ 4k + 4) - 36k = 0
operando y ordenando:
k2
- 5k + 4 = 0
(k - 4)(k - 1) = 0
Rpta.: k1
= 4 ; k2
= 1
12.- ¿Qué valor debe tener “m” para que las raíces de
la ecuación:
mx2
- (m + 3)x + 2m + 1 = 0
difieran en 2 unidades?
Solución:
Si x1
y x2
son las raíces de la ecuación:
m + 3
x1
+ x2
= –––––– (1)
m
}Por propiedad
2m + 1
x1
x2
= ––––––– (2)
m
x1
- x2
= 2 (3) Por condición:
m + 3
––––– + 2
m m + 3 + 2m 3 + 3m
x1
= ––––––––– = ––––––––––– = –––––––
2 2m 2m
m + 3
––––– - 2
m m + 3 + 2m 3 - 3m
x2
= ––––––––– = ––––––––––– = –––––––
2 2m 2m
Sustituyendo estos valores en (2):
3 + 3m 3 - m 2m + 1
(–––––––
)(–––––
)=
(–––––––
)
2m 2m m
Á L G E B R A
- 331 -

9 - 3m + 9m - 3m2
––––––––––––––––– = 2m + 1
4m
9 - 3m2
+ 6m = 8m2
+ 4m
11m2
- 2m - 9 = 0
factorizando por el método del aspa simple:
(11m + 9)(m - 1) = 0
9
Rpta.: m1
= 1 ; m2
= - –––
11
13.- Si “z1
” y “z2
” son raíces de la ecuación:
_______
z2
- 2z √p2
- 2q + p2
- 2q = 0
además “x1
” y “x2
” son las raíces de:
x2
+ px + q = 0, hallar el valor de:
(z1
)2
+ (z2
)2
E = –––
––––––––
(x1
)2
+ (x2
)2
Solución:
De la primera ecuación, por propiedades de las
raíces de una ecuación de segundo grado:
______
z1
+ z2
= 2 √p2
- 2q (α)
z1
z2
= p2
- 2q (β)
de la segunda ecuación:
x1
+ x2
= -p (γ)
x1
x2
= q (φ)
el numerador de la expresión pedida es:
2 2 2
(z1
) + (z2
) = (z1
+ z2
) - 2z1
z2
(1)
remplazando(α) y (β)
2 2
______
(z1
) + (z2
) = (2√p2
- 2q )
2
- 2(p2
- 2q)
= 4(p2
- 2q) - 2(p2
- 2q)
2 2
∴ (z1
) + (z2
) = 2(p2
- 2q)
El denominador de la expresión pedida es:
2 2 2
(x1
) + (x2
) = (x1
+ x2
) - 2x1
x2
(2)
(γ) y (φ) en (2):
2 2
(x1
) + (x2
) = (-p)2
- 2q = p2
- 2q
Sustituyendo:
2(p2
- 2q)
E = ––––––––– = 2
p2
- 2q
Rpta.: E = 2
14.- Hallar la ecuación de segundo grado cuyas
raíces son:
__
√a
––––––––––––––
__ _____
√a ± √a - b
Solución:
Las raíces de la ecuación pedida son:
__ __
√a √a
x1
= –––––––––––––– ; x2
= ––––––––––––
__ ____ __ ____
√a + √a - b √a - √a - b
Racionalizando las raíces:
__ __ ____ ______
√a (√a - √a - b ) a - √a2
- ab
x1
= ––––––––––––––––– = ––––––––––––
a - (a - b) b
__ __ ____ ______
√a (√a +√a - b ) a +√a2
- ab
x2
= ––––––––––––––––– = ––––––––––––
a - (a - b) b
La suma de raíces:
______ ______
a - √a2
- ab a + √a2
- ab 2a
x1
+ x2
= –––––––––– + –––––––––– = –––
b b b
El producto de las raíces:
___ ____
a + √a2
- ab a - √a2
- ab
x1
x2
=
(––––––––––
)(––––––––––
)
b b
a2
- (a2
- ab) ab a
= ––––––––––– = ––– = ––
b2
b2
b
Para hallar la ecuación de segundo grado se
utiliza las propiedades de las raíces:
x2
- (x1
+ x2
) x + x1
x2
= 0
sustituyendo:
2a a
x2
-
(–––
)x + –– = 0
b b
- 332 -
α
α α

Eliminado denominadores, resulta finalmente:
bx2
- 2ax + a = 0
15.- Al resolver un problema que se reduce a una
ecuación de segundo grado, un estudiante
comete un error en el término independiente de
la ecuación y obtiene como raíces 8 y 2. Otro
estudiante comete un error en el coeficiente del
término de primer grado y obtiene como raíces
-9 y -1.
Hallar la ecuación correcta.
Solución:
Con los datos del problema se forma las ecua-
ciones equivocadas de los dos casos:
Primer caso:
x1
= 8 ; x2
= 2
luego:
x1
+ x2
= 10 ; x1
x2
=16
la ecuación sería:
x2
- 10x + 16 = 0
Segundo caso:
x1
= -9 ; x2
= -1
x1
+ x2
= -10 ; x1
x2
= 9
la ecuación sería:
x2
+ 10x + 9 = 0
Analizando las ecuaciones equivocadas de los dos
casos, se obtiene la ecuación correcta, ya que el
primer término de las dos ecuaciones es correcto,
el segundo término independiente es el del segun-
do caso, por lo tanto la ecuación correcta es:
x2
- 10x + 9 = 0
16.- En qué tiempo harán A,B,C un trabajo juntos, si
A sólo puede hacerlo en seis horas más, B en una
hora más y C en el doble del tiempo.
Solución:
Supongamos que los tres juntos demoran en eje-
cutar el trbajo “x” horas, entonces:
“A” demora (x + 6) horas
“B” tarda (x + 1) horas
“C” utiliza 2x horas
En una hora cada uno hace:
1
“A” : –––––– de la obra
x + 6
1
“B” : –––––– de la obra
x + 1
1
“C” : –––––– de la obra
2x
La suma de lo que hace cada uno en una hora
debe ser igual a lo que hacen los tres juntos en
una hora:
1 1 1 1
–––––– + –––––– + ––– = ––
x + 6 x + 1 2x x
Eliminado denominadores:
2x(x + 1) + 2x(x + 6) + (x + 6)(x + 1)
= 2 (x + 6)(x + 1)
efectuando:
2x2
+2x +2x2
+12x + x2
+ 7x + 6 = 2x2
+ 14x +12
transponiendo y reduciendo:
3x2
+ 7x - 6 = 0
factorizando:
(3x - 2)(x + 3) = 0
igualando a cero los factores:
2
3x - 2 = 0 ⇒ x1
= ––
3
x + 3 = 0 ⇒ x2
= -3
2
La solución es x1
= –– , ya que la solución:
3
x2
= -3 no tiene sentido.
2
Rpta.: Los 3 juntos demoran –– horas.
3
17.- Un grupo de abejas cuyo número era igual a la raíz
cuadrada de la mitad de todo su enjambre se posó
sobre un jazmín, habiendo dejado muy atrás a 8/9
de su enjambre, sólo una abeja del mismo enjam-
bre revoloteaba en torno a un loto, atraída por el
zumbido de una de sus amigas que cayó impru-
dentemente en la trampa de dulce fragancia.
¿Cuántas abejas formaban el enjambre?.
Á L G E B R A
- 333 -

Solución:
Sea el número de abejas del enjambre “x”.
La raíz cuadrada de la mitad del enjambre:
___
x
––
√2
8 8
Los –– del enjambre : –– x
9 9
El total del enjambre es:
___
x 8
–– + –– x + 1 + 1 = x (I)
√2 9
con la finalidad de simplificar la ecuación, se
introduce:
___
x
y = ––
√2
∴ x = 2y2
(α)
8
y + –– (2y2
) + 2 = 2y2
9
9y + 16y2
+ 18 = 18y2
2y2
- 9y - 18 = 0
La ecuación tiene dos raíces:
3
y1
= 6 , y2
= - ––
2
En (α):
x1
= 2(6)2
= 72
3 2
x2
= 2
(- ––
) = 4,5
2
(No existe media abeja; no es válida)
Rpta.: El enjambre constaba de 72 abejas.
18.- Regocíjanse los monos, divididos en dos bandos:
su octava parte al cuadrado se encuentra en el
bosque. Otros doce atronando el campo están.
¿Sabes cuántos monos en total hay en el grupo?
Solución:
Sea “x” el número total de la manada.
x 2
Su octava parte al cuadrado es (––)
8
Por lo tanto:
x 2
(––)+ 12 = x
8
Eliminado denominadores e igualando a cero:
x2
- 64x + 768 = 0
factorizando:
(x - 48)(x - 16) = 0
Las raíces son:
x1
= 48, x2
= 16
Rpta.: El problema tiene dos soluciones positivas:
en la manada puede haber 48 ó 16 monos.
Las dos soluciones satisfacen las condi-
ciones del problema.
19.- Una mujer compró un cierto número de naran-
jas a 18 soles . Al día siguiente, le hubieran dado
60 naranjas más por el mismo dinero, con lo
cual hubiera resultado un centavo más barata
cada naranja. ¿Cuántas naranjas compró?.
Solución:
Sea “x” el número de naranjas.
1 800
El precio de una naranja es ––––– centavos.
x
En el segundo día habría comprado naranjas al
1 800
precio de: –––––– centavos.
x + 60
El ahorro es 1 centavo, luego se puede escribir la
siguiente ecuación:
1 800 1 800
––––– - –––––– = 1
x x + 60
1 800(x + 60) - 1 800(x) = x(x + 60)
1 800x + 10 8000 - 1 800 = x2
+ 60x
x2
+ 60x - 108000 = 0
factorizando:
(x + 360) (x - 300) = 0
x1
= 300
x2
= -360 (No es solución)
Rpta.: La mujer compró 300 naranjas.
- 334 -
α
α α

Á L G E B R A
- 335 -
20.- En una fábrica se gasta diariamente, para los jor-
nales de 42 obreros, hombres y mujeres, la can-
tidad de S/. 4 320. Los jornales de los obreros
suman tanto como los de las obreras. Calcular el
número de éstas, sabiendo que el jornal del
hombre excede en 30 soles al de la mujer.
Solución:
Sea “x” el número de obreros, el número de obre-
ras será: (42 - x).
Siendo la suma de los jornales de obreros y obreras
iguales, cada uno de ellos será:
4 320
––––– = 2 160
2
de donde:
2 160
El jornal de cada hombre es: –––––
x
2 160
El jornal de cada mujer es: –––––
42 - x
Por condición, el jornal del hombre excede en 30
soles al de la mujer.
Entonces:
2 160 2 160
––––– - ––––– = 30
x 42 - x
2 160(42 - x) - 2 160x = 30(x)(42 - x)
72(42 - x) - 72x = x(42 - x)
3 024 - 72x - 72x = 42x - x2
x2
- 186x + 3 024 = 0
factorizando:
(x - 168)(x - 18) = 0
x1
= 168 (absurdo: excede el total)
x2
= 18
∴ x = 18 hombres
42 - x = 42 - 18 = 24 mujeres
Rpta.: Hay 24 obreros
1. Hallar una raíz, al resolver:
(x - a)4
+ (x - b)4
41
–––––––––––––––– = ––– (a - b)2
(x - a)2
+ (x - b)2
20
a - b 3b + a 3a - b
a) ––––– b) –––––– c) ––––––
2 2 2
3a + b a - 3b
d) –––––– e) ––
––––
2 2
2. Dar la suma de las raíces de la ecuación:
___________ ___________
√6x2
- 15x - 7 + √4x2
- 8x - 11
___________
- √2x2
- 5x + 5 = 2x - 3
1 5 7 3 9
a) –– b) –– c) –– d) –– e) ––
2 2 2 2 2
3. Dar una raíz al resolver:
_____ _____ _____ _____
√2x - 1 + √3x - 2 = √4x - 3 + √5x - 4
1 2 1
a) –– b) –– c) - 1 d) –– e) 1
3 3 3
4. Al resolver se obtiene como producto de las raíces
de la ecuación:
2x3
- 3x2
+ x + 1 3x3
-x2
+ 5x - 13
–––––––––––––– = ––––––––––––––
2x3
- 3x2
- x - 1 3x3
-x2
- 5x + 13
40 7 1 43
a) 40 b) ––
– c) ––
– d) ––
– e) ––
–
7 40 40 7
5. Calcular:
____ _
___
__
p √q b2
E = ––– + –––– + –––
√ q p √ a
si las raíces de la ecuación.
__
ax2
+ b(b - 2√a ) x + b2
= 0 están en la relación
de p/q
a) 1 b) -1 c) 2 d) -2 e) 0

- 336 -
6. Si las raíces de la ecuación de segundo grado:
p2
p2
(1 - q + ––
)x2
+ p(1 + q)x + q(q - 1) + –– = 0
2 2
son iguales. Calcular E = p2
/q.
1 1
a) 1 b) 4 c) –– d) –– e) 2
4 2
7. Si una de las raíces de la ecuación x2
+ px + q = 0
es el cuadrado de la otra, calcular el valor de:
E = p2
- q(3p - 1) + q2
a) p b) q c) 0 d) 1 e) -1
8. Calcular “a” de manera que las 2 ecuaciones:
(5a - 2)x2
- (a - 1)x + 2 = 0
(2b + 1)x2
- 5x + 3 = 0
tengan las mismas raíces.
4 1 7 13 11
a) –– b) –– c) –– d) ––
– e) ––
–
3 3 3 3 3
9. En la ecuación ax2
-(a - 5)x + 1 = 0, el producto
de las raíces es igual a la diferencia de las mis-
mas. Hallar la mayor raíz.
1 1 1 1 1
a) –– b) –– c) –– d) –– e) ––
3 2 4 6 5
10.Dar la ecuación de segundo grado cuyas raíces
sean iguales a cada una de las raíces de la
ecuación:
ax2
+ bx + c = 0
aumentada en la inversa de la otra raíz, de esa
misma ecuación.
a) ax2
+(c + a)x +(c + a) = 0
b) acx2
+ b(c - a)x +(c + a)2
= 0
c) acx2
+ b(c + a)x +(c + a) = 0
d) acx2
+bx +(c + a)2
= 0
e)acx2
+(a + b)x +(c + a)2
= 0
11. Para qué valor de “m” las raíces de la ecuación:
x2
+ 3x m - 1
–––––––– = ––––––
5x + 12 m + 1
serán iguales en magnitud, pero de signos con-
trarios.
a) 2 b) 3 c) 1 d) 4 e) 5
12. El resolver, una raíz será:
1 1 1 1
–––– + –––– = –– + ––
x - a x - b a b
ab ab
a) ––––– b) ––––– c) a - b
a + b a - b
d) b - a e) a + b
13. Determinar “m” en la ecuación:
x2
-(3m - 2)x +(m2
- 1) = 0 de modo que una raíz
sea triple de la otra.
11 11 14
a) 1 b) ––
– c) -1 d) - ––
– e) ––
–
14 14 11
__ __
E = (1 + √2 )
7
+ (1 - √2 )
7
a) 6 b) 14 c) 82 d) 478 e) 198
15. Calcular una de las raíces de las ecuaciones:
x2
+ px + q = 0 , x2
+ p’ x + q’ = 0
si ellas tienen una raíz común.
pq - p’q’ pq’ - p’q pq’ - p’q
a) ––––––– b) –––––––– c) ––––––––
q - q q’ - q q - q’
q’ - q q’ - q
d) ––––– e) ––––––––
p’ - q pq’ - p’q
16. Dadas las ecuaciones:
x2
+ pq + q’ = 0
x2
+ p’x + q” = 0
x2
+ p”x + q = 0
α
α α

Hallar:
p + p’ + p”
E = –––––––––
q + q’ + q”
sabiendo que p y q son raíces de la primera, p’ y
q’ son raíces de la segunda y p” y q” son raíces de
la tercera.
1 1 1 1
a) –– b) - –– c) –– d) - –– e) -1
2 2 3 3
17. Se han sacado 9 litros de un barril lleno de vino,
después se han llenado con agua y de esta mez-
cla se han sacado otros nueve litros, y el barril es
nuevamente llenado con agua. Si la cantidad de
vino que queda en el barril es a la cantidad de
agua que se le ha añadido como 16 es a 9. ¿Qué
capacidad tiene el barril?
a) 42 b) 49 c) 45 d) 46 e) 48
18. Dos ciclistas parten al mismo tiempo de dos
puntos A y B distantes 320 km ; uno de A en di-
rección a B y otro de B con dirección a A. El pri-
mero recorrió 8 km más por hora que el segun-
do y el número de horas que demoraron en en-
contrarse está representado por la mitad del nú-
mero de km que el segundo recorrió en una ho-
ra, ¿cuál es la distancia recorrida por el primer
ciclista?
a) 180 km b) 160 km c) 190 km
d) 182 km e) 192 km
19. Un grupo de hombres formados en cuadro de
manera que el marco lo constituirán tres filas de
hombres. Se observó que añadiendo 25 hombres
se podía forrar un cuadro lleno, en el cual el
número de hombres de cada lado excedería en
22 a la raíz cuadrada del número de hombres
que había en el lado mayor del primitivo. Se
pide hallar el número de hombres del lado
mayor del primitivo.
a) 81 b) 144 c) 64 d) 25 e) 49
20. Dos campesinas llevaron al mercado 100 naran-
jas en total, una de ellas tenía una cantidad ma-
yor de naranjas que la otra, no obstante ambas
obtuvieron de la venta iguales sumas de dinero.
Una vez vendidas todas, una de ellas, dijo a la
otra: Si yo hubiera llevado la misma cantidad de
naranjas que tú, habría recibido 15 soles. La se-
gunda contestó: Si yo hubiera llevado las tuyas
habría obtenido 6 2/3 nuevos soles. ¿Cuántas
naranjas llevó la primera campesina?
a) 42 b) 49 c) 45 d) 46 e) 48
CLAVE DE RESPUESTAS
1) C 2) D 3) E 4) B 5) C
6) B 7) C 8) D 9) A 10) B
11) D 12) E 13) E 14) D 15) C
16) B 17) C 18) E 19) A 20) C
Á L G E B R A
- 337 -

ECUACIONES REDUCTIBLES A
CUADRATICAS
ECUACIONES BICUADRADAS
Son aquellas ecuaciones de cuarto grado de la forma:
ax4
+ bx2
+ c = 0
Una ecuación bicuadrada se resuelve:
a) Factorizando e igualando a cero, ó
b) Haciendo x2
= y, lo que transforma a la ecuación
bicuadrada en una ecuación de segundo grado
de la forma:
ay2
+ by + c = 0
cuyas raíces son:
___
____
-b + √b2
- 4ac
y1
= ––––––––––––
2a
___
____
-b - √b2
- 4ac
y2
= ––––––––––––
2a
__
pero: x2
= y; luego x = ± √y
Sustituyendo el valor de y:
_____________
_______
-b + √b2
- 4ac
x1
= + √–––
––––––––––
2a
_____________
_______
-b + √b2
- 4ac
x2
= - √–––
––––––––––
2a
_____________
_______
-b - √b2
- 4ac
x3
= + √–––
––––––––––
2a
_____________
_______
-b - √b2
- 4ac
x4
= - √–––
––––––––––
2a
Se observa que las raíces son dos a dos iguales pero
de signos contrarios.
PROPIEDADES DE LAS RAÍCES DE UNA
ECUACIÓN BICUADRADA
1º SUMA DE RAÍCES.- La suma de las raíces de
una ecuación bicuadrada es siempre igual a cero.
x1
+ x2
+ x3
+ x4
= 0
2º PRODÚCTO DE RAÍCES.- El producto de las
raíces de una ecuación bicuadrada, es igual al tér-
mino independiente, con su propio signo, dividi-
do por el coeficiente de “x4
” es decir:
c
x1
. x2
. x3
. x4
= ––
4
3º La suma de los productos binarios de las raíces
es igual al coeficiente de “x2
” entre el coefi-
ciente de x4
, es decir:
b
x1
x2
+ x3
x4
= ––
a
FORMACIÓN DE UNA ECUACIÓN BICUADRADA
Para formar una ecuación bicuadrada se utiliza la
expresión:
x4
+(x1
x2
+ x3
x4
)x2
+ (x1
x2
x3
x4
) = 0
1.- Resolver
8 8
(x + 1 + ––
)(x - 1 + ––
)= 35
x x
Solución:
Escribiendo de la siguiente manera:
8 8
[(x + ––
)+1
] [( x + ––
)- 1
] = 35
x x
8 2
(x + ––
)- 1 = 35
x
64
x2
+ 16 + ––– - 1 = 35
x2
de donde:
x4
- 20x2
+ 64 = 0
factorizando:
∴ (x2
- 16)(x2
- 4) = 0
Rpta.: x1
= ± 4
x2
= ± 2
2.- Resolver la ecuación bicuadrada:
c4
x4
+ c2
(a2
- b2
)x2
- a2
b2
= 0
Solución:
Aplicando la fórmula de ecuación de segundo
grado:
- 338 -
α
α α

____________________
-c2
(a2
- b2
) ± √[c2
(a2
- b2
)]2
+ 4c4
a2
b2
x2
= –––––––––––––––––––––––––––––––––
2c4
__________________
-c2
(a2
- b2
) ± √c4
(a2
- b2
)2
+ 4c4
a2
b2
x2
= –––––––––––––––––––––––––––––––
2c4
_______________
-c2
(a2
- b2
) ± c2
√(a2
- b2
)2
+ 4a2
b2
x2
= –––––––––––––––––––––––––––––––
2c4
_____________
c2
[-(a2
- b2
) ± √a2
+ 2a2
b2
+ b4
]
x2
= ––––––––––––––––––––––––––––
2c4
[ -(a2
- b2
) ± (a2
+ b2
)]
x2
= ––––––––––––––––––––
2c2
de aquí, se obtiene las cuatro raíces que son:
b a
x1
= + –– ; x3
= –– i
c c
b a
x2
= + –– ; x4
= –– i
c c
3.- Determinar “p” en la ecuación x2
- px + 14 = 0
para que la diferencia de los cuadrados de las
raíces sea igual a 21.
Solución:
Siendo x1
y x2
las raíces de la ecuación de segun-
do grado se puede plantear.
Por dato: x2
- x2
= 21 (1)
1 2
x1
+ x2
= +p (2)
Por propiedades
{x1
x2
= 14 (3)
De (1): (x1
+ x2
)(x1
- x2
) = 21 (4)
dividiendo (4) por (2):
21
x1
- x2
= ––– (5)
p
de las ecuaciones (2) y (5):
21
p + –––
p
x1
= –––––––
2
21
p - –––
p
x2
= –––––––
2
21 21
p + ––– p + –––
p p
(–––––––
) (–––––––
)= 14
2 2
441
p2
- –––– = 56
p2
p4
- 56p2
- 441 = 0
factorizando:
(p2
- 63)(p2
+ 7) = 0
__
_
Rpta.: p1
= ± √63
__
p2
= ± √7 i
4.- En la ecuación bicuadrada, determinar “m” con la
condición que las raíces de:
x4
- (3m + 4) x2
+ (m + 1)2
= 0
estén en progresión aritmética
Solución:
Sean las 4 raíces en progresión aritmética:
x1
= a - 3r x2
= a - r
x3
= a + r x4
= a + 3r
Por la propiedad de la suma de raíces:
x1
+ x2
+ x3
+ x4
= a - 3r + a - r + a + r + a + 3r = 0
de donde se obtiene: a = 0
por lo tanto, las raíces son: -3r, -r, r, 3r. Conocidas
las raíces la ecuación es:
(x + 3r)(x + r)(x - r)(x - 3r) ≡ x4
- (3m + 4) x2
+ (m + 1)2
efectuando, se obtiene:
x4
- 10r2
x2
+ 9r4
≡ x4
- (3m + 4)x2
+ (m + 1)2
10r2
= 3m + 4 (α)
9r4
= (m + 1)2
(β)
Extrayendo raíz cuadrada en (β)
3r2
= (m + 1)
m + 1
r2
= ––––––
3
Á L G E B R A
- 339 -

sustituyendo este valor en (α):
m + 1
10
(––––––
)= 3m + 4
3
10m + 10 = 9m + 12
∴ m = 2
5.- Resolver:
x 2
x 2
10
(––––––
)+
(––––––
) = –––
x - 1 x + 1 9
Solución:
Efectuando:
x2
x2
10
––––––– + ––––––– = –––
(x - 1)2
(x + 1)2
9
Eliminando denominadores:
9x2
(x + 1)2
+ 9x2
(x - 1)2
= 10(x - 1)2
(x + 1)2
9x2
[(x + 1)2
+ (x - 1)2
] = 10 [(x - 1)(x + 1)]2
aplicando Legendre en el primer corchete, y efec-
tuando:
9x2
[2(x2
+ 1)] = 10(x2
- 1)2
18x2
(x2
+ 1) = 10(x4
-2x2
+ 1)
18x4
+ 18x2
= 10x4
-20x2
+ 10
8x4
+ 38x2
- 10 = 0
dividiendo entre 2:
4x4
+ 19x2
- 5 = 0
4x2
-1
x2
+5
(4x2
- 1) (x2
+ 5 ) = 0
Igualando cada factor a cero:
1
42
- 1 = 0 ⇒ x1
= ± ––
2
__
x2
+ 5 = 0 ⇒ x2
= ± √5 i
6.- Resolver:
(x + 1)5
- (x - 1)5
= 8x4
+ 30x2
- 6
Solución:
Efectuando las potencias:
(x5
+ 5x4
+ 10x3
+ 10x2
+ 5x + 1) - (x5
- 5x4
+ 10x3
-10x2
+ 5x - 1) = 8x4
+ 30x2
- 6
10x4
+ 20x2
+ 2 = 8x4
+ 30x2
- 6
2x4
- 10x2
+ 8 = 0
simplificando y factorizando:
(x2
- 4)(x2
- 1) = 0
cada factor se iguala a cero
x2
- 4 = 0 ⇒ x1
= ± 2
x2
- 1 = 0 ⇒ x2
= ± 1
ECUACIONES RECÍPROCAS
Son aquellas que tienen los coeficientes de los térmi-
nos equidistantes de los extremos iguales en valor y
en signo. Su forma general es:
Ax4
+ Bx3
+ Cx2
+ Bx + A = 0
Reciben este nombre porque no varían cuando se
sustituye “x” por su recíproco “1/x”.
La resolución de este tipo de ecuaciones se muestra
a través de los ejercicios.
1.- Resolver
2x4
- x3
- 6x2
- x + 2 = 0
Solución:
Para resolver una ecuación recíproca se procede así:
Se divide todo por x2
:
1 2
2x2
- x - 6 - –– + –– = 0
x x2
Agrupando adecuadamente:
1 1
2
(x2
+ ––
)-
(x + ––
)- 6 = 0 (A)
x2
x
- 340 -
α
α α

Haciendo:
1
x + –– = y (B)
x
por lo que:
1
x2
+ –– = y2
- 2
x2
Sustituyendo estos parámetros en (A):
2y2
- y - 10 = 0
de donde:
y1
= -2 ; y2
= 5/2
Sustituyendo estos valores en (B):
1
1) x + –– = - 2
x
∴ x1
= -1 ; x2
= -1
1 5
2) x + –– = ––
x 2
1
∴ x3
= 2 ; x4
= ––
2
3x3
- 13x2
+ 13x - 3 = 0
Solución:
Agrupemos convenientemente:
3(x3
- 1) - 13x(x - 1) = 0
factorizando:
3(x - 1)(x2
+ x + 1) -13x(x - 1) = 0
(x - 1)(3x2
+ 3x + 3 - 13x) = 0
(x - 1)(3x2
- 10x + 3) = 0
Igualando a cero cada factor:
x - 1 = 0 ⇒ x1
= 1
3x2
- 10x + 3 = 0 ⇒ x2
= 3
1
x3
= + ––
3
x5
- 4x4
+ 3x3
+ 3x2
- 4x + 1 = 0
Solución:
Agrupando así:
(x5
+ 1) - 4x (x3
+ 1) + 3x2
(x + 1) = 0
factorizando:
(x + 1)(x4
- x3
+ x2
- x + 1) - 4x(x + 1)(x2
- x + 1)
+ 3x2
(x + 1) = 0
(x +1)(x4
- x3
+ x2
- x + 1- 4x3
+ 4x2
- 4x +3x2
) = 0
(x + 1)(x4
- 5x3
+ 8x2
- 5x + 1) = 0
(1) x + 1 = 0 ⇒ x1
= -1 (I)
(2) x4
- 5x3
+ 8x2
- 5x + 1 = 0 (ec. recíproca)
dividiendo por “x2
”:
5 1
x2
- 5x + 8 - –– + –– = 0
x x2
agrupando:
1 1
(x2
+ ––
)- 5
(x + ––
)+ 8 = 0
x2
x
haciendo:
1 1
x + –– = y ; x2
+ –– = y2
- 2
x x2
sustituyendo estos cambios en la ecuación:
y2
- 2 - 5y + 8 = 0
y2
- 5y + 6 = 0
________
5 ± √25 - 4(6)
y = ––––––––––––––
2
∴ y1
= 3 ; y2
= 2
Sustituyendo los valores de y:
1
A) x + –– = 3
x
x2
+ 1
–
––––– = 3
x
x2
+ 1 = 3x
Á L G E B R A
- 341 -

igualando a cero
x2
- 3x + 1 = 0
resolviendo:
___
__
3 ± √9 - 4
x = –––––––––––
2
Por lo tanto:
__
3 + √5
x1
= –––––––
2
__
3 - √5
x2
= –––––––
2
1
B) Ademas: x + –– = 2
x
x2
+ 1
–
––––– = 2
x
x2
+ 1 = 2x
igualando a cero:
x2
- 2x + 1 = 0
resolviendo:
___
__
2 ± √4 - 4
x = –––––––––––
2
∴ x3
= 1 = x4
4.- Resolver:
x7
+ 8x6
+ 17x5
+ 9x4
+ 9x3
+ 17x2
+ 8x + 1 = 0
Solución:
Este es un proceso especial de recíprocas y sólo se
aplica a las expresiones de grado impar y admite
la raíz x = -1.
Aplicando Ruffini para obtener el otro factor:
1 +8 +17 +9 +9 +17 +8 +1
↓
-1 -1 -7 -10 +1 -10 -7 -1
1 +7 +10 -1 +10 +7 +1 0
La ecuación factorizada será:
(x6
+ 7x5
+ 10x4
- x3
+ 10x2
+ 7x + 1)(x - 1) = 0
x - 1 = 0 ⇒ x1
= 1 (primera solución)
x6
+ 7x5
+ 10x4
- x3
+ 10x2
+ 7x + 1 = 0
que es una ecuación recíproca de grado par, que
dividiendo entre x3
:
10 7 1
x3
+ 7x2
+ 10x - 1 + ––– + –– + –– = 0
x x2
x3
agrupando los términos de igual coeficiente:
1 1 1
(x3
+ ––
)+ 7
(x2
+ ––
)+ 10
(x + ––
)-1 = 0
x3
x2
x
haciendo:
1
x + –– = y (1)
x
elevando (1) al cuadrado:
1
x2
+ 2 + –– = y2
x2
1
x2
+ –– = y2
- 2 (2)
x2
elevando (1) al cubo:
3 1
x3
+ 3x + –– + –– = y3
x x3
1 1
x3
+ –– + 3
(x + ––
)= y3
(3)
x3
1
1
x3
+ –– = y3
- 3y (4)
x3
Sustituyendo (1), (2) y (4) en la ecuación:
(y3
- 3y) + 7(y2
- 2) + 10y - 1 = 0
y3
- 3y + 7y2
- 14 + 10y -1 = 0
y3
+ 7y2
+ 7y - 15 = 0
aplicando evaluación para factorizar:
Para y = 1.
V.N. = (1)3
+ 7(1)2
+ 7(1) - 15 = 0
- 342 -
α
α α

dividiendo por Ruffini:
1 +7 +7 -15
↓
1 +1 +8 +15
1 +8 +15 0
(y - 1)(y2
+ 8y + 15) = 0
(y - 1)(y + 3)(y + 5) = 0
y - 1 = 0 ⇒ y =1 (a)
y + 3 = 0 ⇒ y = -3 (b)
y + 5 = 0 ⇒ y = -5 (c)
1
Sustituyendo “y” por x + ––
x
1
(a) x + –– = 1 ; x2
- x + 1 = 0
x
___
__ __
1 ± √1 - 4 1 ± √3 i
x = –––––––––– ; x = ––––––––––
2 2
(2ª y 3ª solución)
1
(b) x + –– = -3 ; x2
+ 3x + 1 = 0
x
___
__ __
-3 ± √9 - 4 -3 ± √5
x = –––––––––– ; x = ––––––––
2 2
1
(c) x + –– = -5 ; x2
+ 5x + 1 = 0
x
___
___ __
-3 ± √25 - 4 -5 ± √21
x = ––––––––––– ; x = ––––––––
2 2
ECUACIONES BINOMIAS Y TRINOMIAS
A) Se denomina ecuaciones binomias a aquellas
ecuaciones enteras que solamente tienen dos tér-
minos. Son de la forma:
Axn
+ b = 0
Para resolver se factoriza y se iguala cada factor a
cero o se utiliza la fórmula de Moivré.
B) Ecuación trinomia es aquella ecuación entera que
tiene solamente 3 términos; de los cuales, dos tienen
incógnitas y en ellos los exponentes de la incógnita
son el uno duplo del otro, son de la forma:
ax2
n + bxn + c = 0
Para resolver, se factoriza y se iguala a cero cada
factor o se hace el cambio de variable xn
= y, con
lo cual la ecuación toma la forma de una ecuación
de segundo grado y de ésta, se obtiene dos ecua-
ciones binomias.
1.- Resolver: x3
- 27 = 0
Solución:
Factorizando el primer miembro:
(x - 3)(x2
+ 3x + 9) = 0
a) x - 3 = 0 ⇒ x = 3
___
1 ± √27 i
b) x2
+ 3x + 9 = 0 ; x = ––––––––––
2
Rpta.:
__
-3 + 3 √3 i
x1
= 3 ; x = –––––––––––
2
__
-3 - 3 √3 i
x3
= –––––––––––
2
2.- Resolver: x4
+ 625 = 0
Solución:
Factorizando; para lo cual se suma y resta 50x2
:
(x4
+ 50x2
+ 625) - 50x2
= 0
__
_
(x2
+ 25)2
- (√50 x)
2
= 0
__
_ __
_
(x2
+ 25 + √50 x)(x2
+ 25 - √50 x) = 0
Á L G E B R A
- 343 -

__
_
x2
+ √50 x + 25 = 0
__
_
x2
- √50 x + 25 = 0
resolviendo se obtiene cuatro raíces:
__ __
5√2 5√2
x1
= ––––– (1 + i) ; x3
= ––––– (1 - i)
2 2
Rpta.:
{ __ __
5√2 5√2
x2
= ––––– (-1 + i) ; x4
= ––––– (-1 - i)
2 2
3.- Resolver: x5
- 243 = 0
Solución:
Despejando el valor de “x”
__
x5
= 243 ; x = 3
5
√1
las raíces serán las raíces quintas de la unidad
multiplicadas por 3, aplicando MOIVRE:
__ _____ _____________
5
√1 =
5
√1 + 0i = √cos 0 + i sen 0
0 + 2kπ 0 + 2kπ
= cos
(–––––––
)+ i sen
(–––––––
)
5 5
Para K = 0:
cos 0 + i sen 0 = 1
Para K = 1:
_________
__ __
2π 2π √5 - 1 √10 + 2√5
cos ––– + i sen ––– = –––––– + i –––––––––––
5 5 4 4
Para K = 2:
_________
__ __
4π 4π √5 + 1 √10 - 2√5
cos ––– + sen ––– = - –––––– + i –––––––––––
5 5 4 4
Para K = 3: _________
__ __
6π 6π √5 + 1 √10 - 2√5
cos ––– + i sen ––– = - –––––– - i –––––––––––
5 5 4 4
Para K = 4:
_________
__ __
8π 8π √5 - 1 √10 +2√5
cos ––– + i sen ––– = –––––– + i –––––––––––
5 5 4 4
x1
= 3
_________
__ __
√5 - 1 √10 + 2√5
x2
= 3
{–––––– + i ––––––––––
}
4 4
_________
__ __
√5 + 1 √10 - 2√5
x3
= 3
{- –––––– + i ––––––––––
}
4 4
Rpta.:
_________
__ __
√5 + 1 √10 - 2√5
x4
= 3
{- –––––– - i ––––––––––
}
4 4
_________
__ __
√5 - 1 √10 + 2√5
x5
= 3
{–––––– - i ––––––––––
}
4 4
4.- Resolver: x8
- 15x4
- 16 = 0
Solución:
Haciendo x4
= y se obtiene:
y2
- 15y - 16 = 0
de donde:
(y - 16)(y + 1) = 0
Se tendrá:
(x4
- 16)(x4
+ 1) = 0
a) x4
-16 = 0
(x + 2)(x - 2)(x + 2i)(x - 2i)= 0
de donde:
x1
= -2 x2
= 2
x3
= 2i x4
= -2i
b) x4
+ 1 = 0
x4
= -1
__
x =
4
√-1
- 344 -
α
α α

aplicando MOIVRE:
__________________
x =
4
√cos 180° + i sen 180°
180º + 2kπ 180º + 2kπ
= cos
(–––––––––
)+ i sen
(––––––––––
)
4 4
Para k = 0:
__
√2
x5
= cos 45° + i sen 45° = –––
– (1 + i)
2
Para k = 1:
__ __
√2 √2
x6
= cos 135° + i sen 135° = - –––
– + –––
– i
2 2
__
√2
= –––
– (-1 + i)
2
Para k = 2:
__ __
√2 √2
x7
= cos 225° + i sen 225° = - –––
– - –––
– i
2 2
__
√2
= - –––
– (1 + i)
2
Para k = 3:
__ __
√2 √2
x8
= cos 315° + i sen 315° = - –––
– - –––
– i
2 2
__
√2
= –––
– (1 - i)
2
x1
= -2, x2
= 2, x3
= 2i,
x4
= -2i
Rpta.:
{ __ __
√2 √2
x5
= –––
– (1 + i) x6
= –––
– (-1 + i)
2 2
__ __
√2 √2
x7
= - –––
– (1 + i) x8
= ––––
– (1 - i)
2 2
ECUACIONES QUE SE RESUELVEN
MEDIANTE ARTIFICIOS
Mediante el empleo de incógnitas auxiliares se llega
a una ecuación de una forma conocida.
(12x - 1)(6x - 1)(4x - 1)(3x - 1) = 5
Solución:
Multipliquemos ambos miembros por 24 y aco-
modando este factor a los factores segundo, ter-
cero y cuarto de manera que aparezca 12 en cada
uno de ellos:
(12x - 1)[2(6x - 1)][3(4x - 1)][4(3x - 1)] = 5 . 24
(12x - 1)(12x - 2)(12x - 3)(12 - 4) = 120
haciendo:
12x = y (I)
entonces:
(y - 1)(y - 2)(y - 3)(y - 4) = 120
La única alternativa que queda es efectuar el pro-
ducto; éste se debe realizar de tal modo que se
generen términos comunes en los productos
obtenidos. Ordenando en forma conveniente:
(y - 1)(y - 4)(y - 2)(y - 3) = 120
(y2
- 5y + 4)(y2
- 5y + 6) = 120
haciendo:
y2
- 5y = z (II)
(z + 4)(z + 6) = 120
z2
+ 10z + 24 = 120
z2
+ 10z - 96 = 0
(z + 16)(z - 6) = 0
A) z - 6 = 0 ⇒ z = 6
B) z + 16 = 0 ⇒ z = -16
Sustituyendo valores en (II):
Para z = 6:
y2
- 5y = 6
y2
- 5y - 6 = 0
(y - 6)(y + 1) = 0
Á L G E B R A
- 345 -

de donde se obtiene:
y1
= 6, y2
= -1
Sustituyendo en (I)
y = 6:
12x = 6
1
∴ x1
= ––
2
y = -1:
12x = - 1
1
∴ x2
= - ––
12
Para z = -16:
y2
- 5y = -16
y2
- 5y + 16 = 0
_________ ___
5 ± √25 - 4(16) 5 ± √39 i
y = ––––––––––––––– = ––––––––––
2 2
Sustituyendo en (I) valores hallados de y:
___ __
_
5 + √39 i 5 + √39 i
(A) 12x = ––––––––– ⇒ x3
= –––––––––
2 24
___ __
_
5 - √39 i 5 - √39 i
(B) 12x = ––––––––– ⇒ x4
= –––––––––
2 24
__
_
1 5 + √39 i
x1
= –– ; x3
= –––––––––
2 24
Rpta.:
{ __
_
1 5 - √39 i
x2
= ––– ; x4
= –––––––––
12 24
2.- Resolver:
_____________
3x2
- 7 + 3 √ 3x2
- 16x + 21 = 16x
Solución:
Transponiendo términos e igualando a cero:
_____________
3x2
- 16x - 7 + 3 √ 3x2
- 16x + 21 = 0
Se observa que 3x2
- 16x es una cantidad que se
repite y para conseguir la cantidad subradical se
debe sumar 21; sumando y restando 21:
___________
(3x2
-16x + 21) - 7 - 21 + 3 √3x2
-16x + 21 = 0 (I)
haciendo:
____________
√3x2
- 16x + 21 = y
3x2
- 16x + 21 = y2
(II)
considerar y 0; sustituyendo en (I):
y2
+ 3y - 28 = 0
(y + 7)(y - 4) = 0
a) y + 7 = 0 ⇒ y = -7
(Solución que no satisface porque el radical tiene
signo positivo).
b) y - 4 = 0 ⇒ y = 4
pero por (II):
3x2
- 16x + 21 = 16
3x2
- 16x + 5 = 0
(3x - 1)(x - 5) = 0
1
de donde: x1
= –– ; x2
= 5
3
3.- Resolver:
–––––––––––– –––––––––––
x2
- 2x + 14 x2
+ 4x + 2
––––––––––– + –––––––––– = 2
√x2
+ 4x + 2 √x2
- 2x + 14
Solución:
Notar que cada término irracional es el inverso
del otro; por lo que se hace:
____________
x2
- 2x + 14
––––––––––– = y (1)
√ x2
+ 4x + 2
____________
x2
- 2x + 14 1
––––––––––– = ––
√ x2
+ 4x + 2 y
siendo y 0
- 346 -
α
α α

Sustituyendo en la ecuación:
1
y + –– = 2
2
y2
+ 1 = 2y
y2
- 2y + 1 = 0
(y - 1)2
= 0
y = 1
____________
x2
- 2x + 14
––––––––––– = 1
√ x2
+ 4x + 2
x2
- 2x + 14
––––––––––– = 1
x2
+ 4x + 2
x2
- 2x + 14 = x2
+ 4x + 2
luego:
6x = 12 ; x = 2
4.- Resolver:
_______ _______ _____
5
√(2 + x)2
+ 2
5
√(2 - x)2
= 3
5
√4 - x2
Solución:
_____
Dividiendo toda la ecuación entre
5
√4 - x2
:
_______ _______ ____
__
5
√(2 + x)2
2
5
√(2 - x)2
3
5
√4 - x2
––––––––– + –––––––––– = ––––––––
______ ______ _____
5
√4 - x2
5
√4 - x2
5
√4 - x2
5
_____________ 5
_____________
(2 + x)2
(2 - x)2
–––––––––––– + 2 –––––––––––– = 3
√(2 + x)(2 - x) √(2 + x)(2 - x)
5
_______ 5
_______
2 + x 2 - x
–––––– + 2 –––––– = 3
√ 2 - x √2 + x
haciendo:
5
_______ 5
_______
2 + x 2 - x 1
–––––– = y ; –––––– = ––
√ 2 - x √ 2 + x y
se tendrá:
2
y + –– = 3
y
y2
+ 2 = 3y
y2
- 2y + 2 = 0
(y - 2)(y - 1) = 0
de donde:
y = 2 ; y = 1
a) Para y = 2:
5
_______
2 + x
–––––– = 2
√2 - x
2 + x
–––––– = 32
2 - x
2 + x = 64 - 32x
33x = 62
62
x1
= –––
33
b) Para y = 1:
5
_______
2 + x
–––––– = 1
√2 - x
2 + x
–––––– = 1
2 - x
2 + x = 2 - x
2x = 0
x1
= 0
63
Rpta.: x1
= ––– ; x2
= 0
33
______
______ ___________
√3x2
- 4x + 34 + √3x2
- 4x - 11 = 9
Solución:
Haciendo:
___________
√3x2
- 4x + 34 = A
3x2
- 4x + 34 = A2
(1)
También haciendo:
___________
√3x3
- 4x - 11 = B
3x3
- 4x - 11 = B3
(2)
restando las ecuaciones (1) - (2):
A2
- B2
= 45 (3)
además según la ecuación propuesta:
A + B = 9 (4)
Á L G E B R A
- 347 -

Dividiendo la ecuación (3) por la ecuación (4),
se tiene:
A - B = 5 (5)
De las ecuaciones (4) y (5) se obtiene:
9 + 5
A = ––––– = 7
2
9 - 5
B = ––––– = 7
2
En (1): 3x2
- 4x + 34 = 72
3x2
- 4x - 15 = 0
(3x + 5)(x - 3) = 0
de donde:
5
x1
= - –– ; x2
= 3
3
En (2): 3x2
- 4x - 11 = 22
3x2
- 4x - 15 = 0
que es igual a la ecuación anterior, luego las solu-
ciones son las mismas.
5
Rpta.: x1
= - –– ; x2
= 3
3
6.- Resolver:
______ ______
x ( √b2
- x2
+ √c2
- x2
) = bc
Solución:
Elevando al cuadrado ambos miembros de la
ecuación:
______ ______
x2
( b2
- x2
+ c2
- x2
+ 2 √b2
- x2
√c2
- x2
)
= b2
c2
efectuando:
___
___ ___
___
(b2
+ c2
)x2
- x4
- x4
+ 2x2
√b2
- x2
√c2
- x2
= b2
c2
transponiendo términos:
___
___ ____
__
-x4
+ 2x2
√b2
- x2
√c2
- x2
= b2
c2
- (b2
+ c2
)x2
+ x4
factorizando el segundo miembro de la ecuación:
___
___ _____
-x4
+ 2x2
√b2
- x2
√c2
- x2
= (b2
- x2
)(c2
- x2
)
Igualando a cero:
___
___ _____
-x4
+ 2x2
√b2
- x2
√c2
- x2
- (b2
- x2
)(c2
- x2
) = 0
efectuando cambio de signos:
___
___ _____
x4
- 2x2
√b2
- x2
√c2
- x2
+ (b2
- x2
)(c2
- x2
) = 0
el primer miembro es un trinomio cuadrado per-
fecto, igual a:
______ ______
(x2
- √b2
- x2
√c2
- x2
)
2
= 0
sacando la raíz cuadrada:
___
___ ____
__
x2
- √b2
- x2
√c2
- x2
= 0
___
___ ____
__
x2
=√b2
- x2
√c2
- x2
x4
= b2
c2
- (b2
+ c2
)x2
+ x4
b2
c2
bc
x2
= –––––– x = ––––––––
______
b2
+ c2
√b2
+ c2
7.- Resolver:
______ _____ __
n
√a + x
n
√a + x
n
√x
–––––––– + ––––––– = ––––
a x b
Solución:
Sacando el factor común en el primer miembro:
___
_____
1 1
n
√x
n
√a + x
(–– + ––
)= –––––
a x b
___
_____
a + x
n
√x
n
√a + x
(–––––
)= –––––
ax b
Elevando a la potencia “n” a sus miembros:
a + x x
(a + x)
(––––––
)
2
= ––
ax bn
(a + x)n+1
x
–––––––– = ––
an
xn
bn
(a + x)n+1
an
–––––––– = ––
xn+1
bn
- 348 -
α
α α

a + x n+1
a n
(––––––
) =
(––
)
x b
a n+1
a n
(–– + 1
) =
(––
)
x b
aplicando raíz (n + 1) a ambos:
_____
a
n+1
a n
–– + 1 =
(––
)
x √ b
_____
a
n+1
a n
–– =
(––
) - 1
x √ b
a
Rpta.: x = ––––––––––––––
_____
n+1
a n
(––
) - 1
√ b
8.- Resolver:
4 [(x2
- 16)3/4
+ 8] = x2
+ 16(x2
- 16)1/4
Solución:
Haciendo:
(x2
- 16)1/4
= y
(x2
- 16)3/4
= y3
x2
- 16 = y4
de donde:
x2
= y4
+ 16 (I)
Sustituyendo estos valores en la ecuación propuesta:
4 (y3
+ 8) = y4
+ 16 + 16y
4y3
+ 32 = y4
+ 16 + 16y
y4
- 4y3
+ 16y - 16 = 0
factorizando por agrupación:
(y2
+ 4)(y2
- 4) - 4y(y2
- 4) = 0
(y2
- 4)(y2
+ 4 - 4y) = 0
a) y2
- 4 = 0 ⇒ y = ± 2
x2
= 24
+ 16 = 32
___ __
x = ± √32 = ± 4√2
b) y2
+ 4 - 4y = 0 ⇒ (y - 2)2
= 0
y = 2
__
x = ± 4√2 (la misma solución)
9.- Resolver:
_______ _____ __
1 + x - √2x + x2
√2 + x + √x
––––––––––––––––– = a3
(––––––––––––––
)
––––––– ––––– ––
1 + x + √2x + x2
√2 + x - √x
Solución:
Multiplicando por 2 numerador y denomi-
nador del primer miembro y agrupando conve-
nientemente:
_______ _____ __
2 + 2x - 2√2x + x2
√2 + x + √x
–––––––––––––––––– = a3
(––––––––––––––
)
_______ _____ __
2 + 2x + 2√2x + x2
√2 + x - √x
____
____ _____ __
(2 + x) - 2√(2 + x)x + x √2 + x + √x
–––––––––––
––––––––––– = a3
(––––––––––––
)
________ _____ __
(2 + x)+ 2√(2 + x)x + x √2 + x - √x
Numerador y denominador de la primera frac-
ción son trinomios cuadrados perfectos que se
pueden escribir así:
_____ __ 2
_____ __
√2 + x - √x √2 + x + √x
[–––––––––––––
]= a3
(––––––––––––––
)
_____ __ _____ __
√2 + x + √x √2 + x - √x
transponiendo:
_____ __ 3
√2 + x - √x
(–––––––––––––
)= a3
_____ __
√2 + x + √x
sacando raíz cúbica a ambos:
_____ __
√2 + x - √x a
––––––––––––– = ––
_____ __
√2 + x + √x 1
Á L G E B R A
- 349 -

- 350 -
por propiedad de proporciones:
_____
2 √2 + x a + 1
––––––––– = –––––
__
-2 √x a - 1
Simplificando y elevando al cuadrado:
2 + x a + 1 2
––––– =
(–––––
)
x a - 1
2 a + 1 2
–– + 1 =
(–––––
)
x a - 1
2 a + 1 2
–– =
(–––––
) - 1
x a - 1
2 (a + 1)2
- (a - 1)2
–– = –––––––––––––––
x (a - 1)2
2 4a
–– = ––––––
x (a - 1)2
(a - 1)2
∴ x = ––––––
2a
1. Hallar el valor de “m” si las raíces de la ecuación
bicuadrada:
x4
- (m + 4)x2
+ 4m = 0
están en progresión aritmética.
a) 15 b) 17 c) 36 d) 26 e) 41
1 1
x2
+ –– = b2
+ ––
x2
b2
1 1 1
a) b2
b) ––– c) ––– d) -b2
e) - –––
b b2
b2
3. Calcular una raíz de la ecuación:
____________ ____________
5
√20 - 20x + x2
+
5
√13 + 20x - x2
= 3
a) -19 b) 2 c) -2 d) 19 e) 3
4. Resolver y dar una raíz de:
______ ______
2
√2x2
+ 1 + √2x2
- 1 = –––––
––––
______
√3 - 2x2
___ ___
10 13 1
a) ––
– b) ––
– c) –––
–
√13 √10
__
√3
1 1
d) - –––– e) ––––
__ __
√3 √5
x4
- 5x2
- 6x - 5 = 0
__ __ __
1 + √2 1 - √2 1 + √2 i
a) ––––––– b) ––––––– c) ––––––––
2 2 4
__
1 - √2 i
d) –––––––– e) 1
2
__ __ 2mn
____
n
√x + 6
m
√x = 5 √xm+n
m-n
____ m+n
____ m+n
____
a) √62mn
b) √2mn
c) √3mn
m-n
____ m-n
____
d) √6mn
e) √22mn
______ ___
___
3
√a2
+ x2
+
3
√a2
- x2
a2
–––––––––––––––––––– = ––
______ ____
__
3
√a2
+ x2
+
3
√a2
- x2 b2
________ ______
__ ____
____
3a4
+ b4
3a4
- b4
3a4
- b4
a) ––––––– b) ––––––– c) a –––––––
√a4
+ 3b4
√a4
- 3b4
√a4
- 3b4
________ ______
__
3a4
+ b4
a4
+ 3b4
d) b ––––––– e) b –––––––
√a4
+ 3b4
√3a4
+ b4
α
α α

1 1 1 1 1 1
_ _ _ _ _ _
2 2 2 2 2 2
(x - a) (x - b) - (x - c) (x - d) = (a - c) (b - d)
ad + bc ad - bc ad - bc
a) ––––––––– b) ––––––––– c) –––––––––
a+b+ c+d a+b+ c+d a-b- c+d
ad + bc ad + bc
d) ––––––––– e) –––––––––
a-b- c+d a-b+ c-d
1 + x4
= 7(1 + x)4
__ __ __
3 + √5 -3 + √5 3 - √5
a) –––––––– b) –––––––– c) –––––––
2 2 2
__ __
5 + √11 i 5 - √11 i
d) ––––––––– e) ––––––––
2 2
10. Hallar una de las raíces de la ecuación:
3x2
(x2
+ 8) + 16(x3
- 1) = 0
2
a) - –– b) 1 c) -1 d) 2 e) -2
3
11. Hallar una de las raíces de la ecuación:
x5
- 4x4
- 10x3
+ 40x2
+ 9x - 36 = 0
a) 5 b) - 5 c) 2 d) -2 e) 4
1(x + 1)(x - 3) 1(x + 3)(x - 5)
12. Resolver: ––––––––––––– + –––––––––––––
5(x + 2)(x - 4) 9(x + 4)(x - 6)
2(x + 5)(x - 7) 92
- ––––––––––––––– = –––
13(x + 6)(x - 8) 585
__ __ ___
a) 1 + √9 b) 1 - √9 c) 1 + √19
___ ___
d) 1+ √19 i e) 1-√19 i
______ ___
___
13. Resolver:
4
√x + 27 +
4
√55 - x = 4
a) 26 b) -54 c) -26 d) 14 e) -14
14. Resolver:
12x5
- 8x4
- 45x3
+ 45x2
+ 8x - 12 = 0
a) -1 b) -2/3 c) -3/2 d) 1/2 e) 2
15. Una de las raíces de la ecuación:
__ __ __
7
√x +
5
√x = 3
35
√x6
__ n
3 - √5
tiene la forma:
(––––––––
). Calcular “n”.
2
a) 7 b) 5 c) 35 d) 2 e) 3
__ _______
4
√x +
3
√x + 343 = 7
a) 343 b) 7 c) -343 d) -7 e) 0
4 ________ 3 ______
__ _____ __
√√ 5 + x -
6
√5 - x2
= √√5 - x
___ __ __ ___
15 √15 √5 √5 10
a) ––– b) ––––– c) ––– d) - ––– e) –––
4 2 2 3 √ 3
_____
_____
2x2
√x4
- 1 + 2(x2
+ 1)
x4
- x2
+ √x4
- 1 = ––––––––––––––––––––
4
___ __ __ ___
15 √15 √5 √5 5
a) ––– b) ––––– c) ––– d) - ––– e) –––
4 2 2 3 √ 3
______ ______
5
√18 + x +
5
√15 - x = 3
a) 14 b) 18 c) -14 d) 17 e) 19
CLAVE DE RESPUESTAS
1) C 2) B 3) D 4) B 5) D
6) E 7) D 8) C 9) B 10) E
11) E 12) C 13) C 14) E 15) C
16) E 17) B 18) D 19) A
Á L G E B R A
- 351 -

- 352 -
α
α α
SISTEMAS DE ECUACIONES DE
SEGUNDO GRADO
x + y = 12 (1)
xy = 35 (2)
Solución:
Dada la suma y el producto de dos números, se
puede formar una ecuación de segundo grado de
acuerdo a la propiedad de las raíces de una
ecuación de segundo grado; entonces, sean “x” e
“y” las raíces de la ecuación:
t2
- 12t + 35 = 0
factorizando:
(t - 7)(t - 5) = 0
∴ t1
= 7 y t2
= 5
siendo 7 y 5 las raíces se tendrá:
x = 7 , y = 5
o:
x = 5 , y = 7
x + y = 10 (I)
x2
+ y2
= 58 (II)
Solución:
Como se conoce la suma, se busca el producto
para formar ecuación de segundo grado.
Elevando el cuadrado la ecuación (I):
x2
+ 2xy + y2
= 100 (III)
Sustituyendo (II) en (III):
2xy + 58 = 100
xy = 21 (IV)
De (I) y (IV):
x = 7 , y = 3
o:
x = 3 , y = 7
x3
+ y3
= 35 (I)
x + y = 5 (II)
Solución:
En (I), factorizando la suma de cubos:
(x + y)(x2
- xy + y2
) = 35
(x + y) [(x + y)2
- 3xy] = 35 (III)
Sustituyendo (II) en (III):
(5) (25 - 3xy) = 35 ; xy = 6 (IV)
De (II) y (IV) se obtiene:
x = 2 , y = 3
o:
x = 3 , y = 2
___
x + y - √xy = 19 (I)
x2
+ y2
+ xy = 931 (II)
Solución:
En la ecuación (II) sumando y restando xy:
(x2
+ 2xy + y2
) - xy = 931
___
(x + y)2
- (√xy )
2
= 931
___ ___
(x + √xy + y) (x - √xy + y) = 931 (III)
Dividiendo (III) entre (I)
___
x + √xy + y = 49 (IV)
Sumando (I) y (IV):
2(x + y) = 68
x + y = 34 (V)
Restando (IV) menos (I):
___
2 √ xy = 30
xy = 225 (VI)

Á L G E B R A
- 353 -
De (V) y (VI) se obtiene:
x = 25 , y = 9
o:
x = 9 , y = 25
5.- Resolver:
(x - y)(x2
- y2
) = 288
(x + y)(x2
+ y2
) = 400
Solución:
Efectuando operaciones en ambas ecuaciones:
x3
- x2
y - xy2
+ y3
= 288 (I)
x3
+ x2
y + xy2
+ y3
= 400 (II)
Sumando (I) más (II):
2 (x3
+ y3
) = 688
x3
+ y3
= 344
(x + y) [(x + y)2
- 3xy] = 344
(x + y)3
- 3xy(x + y) = 344 (III)
Restando (II) menos (I):
2xy(x + y) = 112
xy(x + y) = 56
Multiplicando por 3:
3xy(x + y) = 168 (IV)
Sumando (III) y (IV):
(x + y)3
= 512
x + y = 8 (V)
Sustituyendo (V) en (IV):
xy = 7 (VI)
De (V) y (VI) se obtiene:
x = 1 , y = 7
o:
x = 7 , y = 1
x + y + z = 13 (1)
x2
+ y2
+ z2
= 65 (2)
xy = 10 (3)
Solución:
De la ecuación (3):
2xy = 20
Sumando (2) y (3):
(x2
+ 2xy + y2
) + z2
= 85
haciendo x + y = u:
u2
+ z2
= 85 (4)
igualmente, haciendo x + y = u en (1):
u + z = 13 (5)
de las ecuaciones (4) y (5):
u = 7 , z = 6
o:
u = 6 , z = 7
Para: u = 7 , z = 6:
x + y = 7 ⇒ x = 2 , y = 5
xy = 10 ⇒ x = 5 , y = 2
Para: u= 6 , z = 7:
x + y = 6 ⇒ x = 3 ± i
xy = 10 ⇒ y = 3 ± i
x = 5 ó 2 x = 3 ± i
∴
{y = 2 ó 5 o
{y = 3 ± i
z = 6 z = 7
(x + y)(x + z) = 30 (1)
(y + z)(y + x) = 15 (2)
(z + x)(z + y) = 18 (3)

- 354 -
α
α α
Solución:
Multiplicando miembro a miembro (1), (2) y (3)
se tiene:
(x + y)2
(x + z)2
(y + z)2
= 30 . 15 . 18 = 152
. 62
Extrayendo raíz cuadrada:
(x + y)(x + z)(y + z) = ± 15 . 6 (4)
18(x + y) = ± 15 . 6
x + y = ± 5 (I)
15(x + z) = ± 15 . 6
x + z = ± 6 (II)
30(y + z) = ± 15 . 6
y + z = ± 3 (III)
De (I), (II) y (III) se obtiene:
x1
= 4 , y1
= 1 , z1
= 2
Rpta.:
{ x2
= -4 , y2
= -1 , z2
= -2
y2
+ yz + z2
= 49 (1)
z2
+ zx + x2
= 19 (2)
x2
+ xy + y2
= 39 (3)
Solución:
Restando (1) - (2):
y2
- x2
+ yz - zx = 30
(y + x) (y - x) + z(y - x) = 30
(y - x)(y + x + z) = 30 (4)
Restando (1) - (3):
z2
- x2
+ yz - xy = 10
(z - x)(z + x) + y(z - x) = 10
(z - x)(z + x + y) = 10 (5)
Dividiendo (4) por (5):
y - x
––––– = 3
z - x
y - x = 3z - 3x
y = 3z - 2x (6)
x2
+ x(2z - 2x) + (3z - 2x)2
= 39
x2
+ 3xz - 2x2
+ 9z2
- 12xz + 4x2
= 39
3x2
- 9xz = 9z2
= 39
x2
- 3xz + 3z2
= 13 (7)
Como (7) y (2) son homogéneas, se puede hacer
el siguiente artificio: x = mz, y remplazar:
En (2): z2
+ mz2
+ m2
z2
= 19 (α)
En (7): m2
z2
- 3mz2
+ 3z2
= 13 (β)
Dividiendo (α) por (β):
1 + m + m2
19
–––––––––– = –––
m2
- 3m + 3 13
19m2
- 57 m + 57 = 13 = 13m + 13m2
6m2
- 70m + 44 = 0
3m2
- 35m + 22 = 0
(3m - 2)(m - 11) = 0
2
∴ m = –– , m = 11
3
2
a) Si m = ––:
3
2
x = –– z (γ)
3

Á L G E B R A
- 355 -
sustituyendo el valor de m en (α):
2 4
z2
+ –– z2
+ –– z2
= 19
3 9
19z2
= 171
∴ z = ± 3
Sustituyendo en (γ):
x = ± 2
y = ± 5
b) Si m = 11:
x = 11z
y se obtiene:
11 19 1
x = ± –––– , y = –––– , z = ± ––––
__ __ __
√7 √7 √7
x1
= ± 2 ; y1
= ± 5 ; z1
= ± 3
Rpta.:
{ 11 19 1
x2
= ± –––– , y2
= –––– , z2
= ± ––––
__ __ __
√7 √7 √7
x + y + z = 19 (1)
x2
+ y2
+ z2
= 133 (2)
y2
= xz (3)
Solución:
x2
+ xz + z2
= 133 (4)
__
_
x + √xz + z = 19 (5)
En (4), sumando y restando xz dá:
(x + z)2
- xz = 133
__
(x + z)2
- (√xz)
2
= 133
__ __
(x + √xz + z) (x -√xz + z) = 133 (6)
Dividiendo (6) por (5):
__
x - √xz + z = 7 (7)
Sumando (5) y (7):
2(x + z) = 26
x + z = 13 (8)
restando (5) y (7):
__
2 √xz = 12
__
√xz = 6
xz = 36 (9)
Resolviendo (8) y (9):
z = 9 , x = 4
z = 4 , x = 9
Si: z = 9 , x = 4 ⇒ y = 6
Si: x = 9 , z = 4 ⇒ y = 6
z (x + y) = 234 (1)
y (z + x) = 220 (2)
x (y + z) = 168 (3)
Solución:
zx + zy = 234 (1)
yz + xy = 220 (2)
xy + xz = 168 (3)
Sumando (1), (2) y (3):
2(xy + xz + yz) = 622
xy + xz + yz = 311 (4)
xy = 77 (α)
xz = 91 (β)

yz = 143 (γ)
Multiplicando (α), (β) y (γ):
x2
y2
z2
= (7 . 11)(7 . 13)(13 . 11) = 112
. 72
. 132
Extrayendo raíz cuadrada:
xyz = ± 11 . 7 . 13 (φ)
Sustituyendo (α) en (φ):
z = ± 13
Sustituyendo (β) en (φ):
y = ± 11
Sustituyendo (γ) en (φ):
x = ± 7
SISTEMAS DIVERSOS
_______ ______
3
√5x + 14 +
3
√5y - 12 = 6 (I)
x + y = 14 (II)
Solución:
Multiplicando a la ecuación (II) por 5:
5x + 5y = 70
Sumando 14 a ambos miembros de la ecuación:
(5x + 14) + 5y = 70 + 14
Restando 12 a ambos miembros de la ecuación:
(5x + 14) + (5y - 12) = 72 (III)
haciendo:
_______
3
√5x + 14 = a
5x + 14 = a3
(A)
y:
_______
3
√5y - 12 = b
5y - 12 = b3
(B)
Se obtiene de (I) y (III):
a + b = 6 (I)a
a3
+ b3
= 72 (II)a
De (II)a
:
(a + b) [(a + b)2
- 3ab] = 72 (III)a
Sustituyendo (I)a
en (III)a
(6)(36 - 3ab) = 72
ab = 8 (IV)
Resolviendo (I)a
y (IV) se tendrá:
a = 2 , b = 2
o:
a = 2 , b = 4
Sustituyendo en (A) y (B) :
para a = 4: 64 = 5x + 14 ⇒ x = 10
b = 2: 8 = 5y - 12 ⇒ y = 4
para a = 2: 8 = 5x + 14 ⇒ x = -6/5
b = 4: 64 = 5y - 12 ⇒ y = 76/5
x + y + z = 2 (I)
x2
+ y2
+ z2
= 6 (II)
x3
+ y3
+ z3
= 8 (III)
Solución:
Elevando al cuadrado la ecuación (I):
x2
+ y2
+ z2
+ 2(xy + xz + yz) = 4 (IV)
Sustituyendo (II) en (IV):
xy + xz + yz = -1 (V)
Elevando al cubo la ecuación (I):
x2
+ y3
+ z3
+ 3x2
y + 3x2
z + 3y2
x + 3y2
z + 3z2
x +
+ 3z2
y + 6xyz = 8
x3
+ y3
+ z3
+ 3x(xy+xz+yz) + 3y(xy+xz+yz)
+ 3z2
(x + y) = 8
- 356 -
α
α α

Sustituyendo (V) y (III) en esta ecuación, se
obtiene:
3x(-1) + 3y(-1) + 3z2
(x + y) = 0
(3z2
- 3)(x + y) = 0 (VI)
De (I):
x + y = 2 - z (VII)
sustituyendo en (VI):
(3z2
- 3)(2 - z) = 0
3z2
- 3 = 0 ⇒ z = ± 1
2 - z = 0 ⇒ z = 2
Sustituyendo sucesivamente en (VII) y (II):
para z = 1:
x + y = 1 x = 2
{ ⇒
{
x2
+ y2
= 5 y = -1
para z = -1:
x + y = 3 x = 2
{ ⇒
{
x2
+ y2
= 5 y = -1
para z = 2
x + y = 0 x = 1
{ ⇒
{
x2
+ y2
= 2 y = -1
x1
= 2 , y1
= -1 , z1
= 1
Rpta.:
{ x2
= 2 , y2
= 1 , z2
= -1
x3
= 1 , y3
= -1 , z3
= 2
2(x + y) = 5xy (I)
8(x3
+ y3
) = 65 (II)
Solución:
De (II):
8(x + y)[(x + y)2
- 3xy] = 65
Sustituyendo (I) en esta ecuación, se obtiene:
2
5xy 5xy
8
(––––
)[(––––
)- 3xy
]= 65
2 2
haciendo xy = a:
25a2
4(5a)
[(–––––
)- 3a
]= 65
4
125a3
- 60a - 65 = 0
dividiendo por “5” toda la ecuación:
25a3
- 12a - 13 = 0
(a - 1)(25a2
+ 25a + 13) = 0
a - 1 = 0 , a = 1
25a2
+ 25a + 13 = 0, no tiene raíces reales.
Para a = 1:
xy = 1 (α)
En (I):
5
x + y = –– (β)
2
Resolviendo (α) y (β):
1
x1
= 2 , y1
= ––
2
Rpta.:
{ 1
x2
= –– , y2
= 2
2
x2
+ xy + xz - x = 2 (I)
y2
+ xy + yz - y = 4 (II)
z2
+ zx + yz - z = 6 (III)
Á L G E B R A
- 357 -

Solución:
Sumando las tres ecuaciones:
(x2
+ y2
+ z2
+ 2xy + 2xz + 2yz) - (x + y + z) = 12
o:
(x + y + z)2
- (x + y + z) = 12
haciendo (x + y + z) = t
t2
- t = 12
t2
- t - 12 = 0
cuyas raíces son:
t1
= 4 , t2
= -3
De (I):
x(x + y + z) - x = 2
sustituyendo el paréntesis:
xt - x = 2
2
x = –––– (1)
t - 1
De (II):
y(x + y + z) - y = 4
yt - y = 4
4
y = –––– (2)
t - 1
De (III):
z(z + x + y) - z = 6
zt - z = 6
6
z = –––– (3)
t - 1
Sustituyendo los valores de “t” en (1), (2) y (3):
1 3
x1
= - –– , y1
= -1 , z1
= - ––
2 2
Rpta.:
{ 3 4
x2
= –– , y1
= –– , z1
= 2
2 3
x + y + z = 9 (I)
1 1 1
–– + –– + –– = 1 (II)
x y z
xy + zx + yz = 27 (III)
Solución:
En (II) efectuando operaciones:
xy + xz + yz = xyz (II)
Sustituyendo (III) en (II):
27 = xyz (IV)
Multiplicando la ecuación (III) por z:
xyz + xz2
+ yz2
= 27z
pero xyz = 27, luego:
27 + z2
(x + y) = 27z
De (I):
x + y = 9 - z
sustituyendo:
27 + z2
(9 - z) = 27z
27 + 9z2
- z3
- 27z = 0
27 - 27z + 9z2
- z3
= 0
(3 - z)3
= 0
z = 3
Sustituyendo en (IV):
xy = 9 (α)
x + y = 6 (β)
resolviendo (α) y (β):
x = 3 , y = 3
Rpta.: x = 3 , y = 3 , z = 3
ECUACIONES EXPONENCIALES
Son ecuaciones donde la incógnita se halla como
exponente. No son ecuaciones algebraicas sino
“Ecuaciones trascendentes”, pero reducibles a alge-
braicas. Para resolver debe recordarse que “si las
bases de igualdades exponenciales son iguales, los
exponentes deben serlo”.
- 358 -
α
α α

1.- Resolver la ecuación exponencial:
1
xx
= –––
–
__
4
√2
Solución:
Transformando sucesivamente el segundo miembro:
1 1 1 1 1 1
_ _ _ _ _ _
4 2 4 8 2 8
1 1 1 1
xx
= (––) = [(––) ] = (––) = [(––) ]
2 4 4 16
finalmente:
1
__
16
1
xx
=
(––
)
16
luego, por comparación:
1
x = –––
16
2.- Resolver:
22x+2
- 6x
- 2 . 32x+2
= 0
Solución:
La ecuación se puede escribir
(2x)2
. 22
- [(2)(3)]x
- 2 . (3x
)2
. 32
= 0
4 .(2x
)2
- (2x
)(3x
) - 18(3x
)2
= 0
haciendo (2x
. = a ) y (3x
= b):
4a2
- ab - 18b2
= 0
factorizando:
(4a - 9b)(a + 2b) = 0
(a) 4a - 9b = 0
4a = 9b
a 9
–– = –– (α)
b 4
(b) a + 2b = 0
a = -2b (resultado absurdo)
Reponiendo los valores de a y b en (α)
2x
9
––– = ––
3x
4
2 x
3 2
(––
) =
(––
)
3 2
2 x
2 2
(––
) =
(––
)
3 3
x = -2
x + y = 2x
(I)
3x
(x + y) = 216 (II)
Solución:
Sustituyendo (I) en (II):
3x
. 2x
= 216
[(3)(2)]x
= 216
6x
= 216
6x
= 63
x = 3
3 + y = 23
y = 5
Rpta.: x = 3 ; y = 5
4.- Resolver:
_____ _
_
√
4
√6 561 . 12 x
= 6x
Solución:
Transformando 6 561 = 38
Luego, sustituyendo:
__
_ _
_
√
4
√38
. 12 x
= 6x
que se puede escribir:
_
_
√
32
. (3 . 22
)
x
= [(2)(3)]x
_ _
√ √
32
. 3 x
. 22 x
= 2x
.3x
__ _
√ √
32+ x-x
= 2x-2 x
para que la igualdad se cumpla, el único caso es
que sean igual a 1, ambos y para ser igual a 1 los
exponentes deben ser cero, así:
____
a) 2 + √x - x = 0
cuyas raíces son:
x1
= 4
x2
= -1 (absurdo)
Á L G E B R A
- 359 -

- 360 -
α
α α
__
b) x - 2 √x = 0
cuyas raíces son:
x1
= 4, x2
= 0
Rpta.: x = 4
5.- Resolver:
2
–
___
___ __
1
5 _______
2
(2√12 + 3 √3 + 6 ––
) = √32x -2x-2
√3
Solución:
Transformando el primer miembro:
2
_ _______
__ __ __ 5
(4 √3 + 3√3 + 2√3 ) = √32x2 -2x-2
2
_ _______
__ 5
(9 √3 ) = √32x2-2x-2
1 2
_ _ _______
2 2 5
(3 . 3 ) = √32x2 -2x-2
5 2
_ _ _______
2 5
(3 ) = √32x2 -2x-2
31
= 3x2 -x-1
x2
- x - 1 = 1
x2
-x - 2 = 0
de donde:
x1
= 2
x2
= -1
1. Resolver el sistema:
x2
- xy + y2
= 3 (I)
2x2
- xy - y2
= 5 (II)
1 4 1 4
a) x = - ––
–– , y = ––
–– b) x = ––
–– , y = ––
––
__ __ __ __
√7 √7 √7 √7
4 1 1 4
c) x = ––
–– , y = - ––
–– d) x = - ––
–– , y = ––
––
__ __ __ __
√7 √7 √7 √7
4 1
e) x = - ––
–– , y = ––
––
__ __
√7 √7
2. Resolver el sistema y dar el valor de “x” :
_________ ______
5√x2
- 3y - 1 + √x + 6y = 19 (I)
_________ ______
3√x2
- 3y - 1 = 1 + 2 √x + 6y (II)
a) 2 b) 4 c) 1 d) -1 e) -4
3. Resolver el sistema y dar el valor de “z”:
x + y + z = 14 (I)
y2
+ z2
- x2
= 46 (II)
yz = 9 (III)
a) 4 b) 9 c) 1 d) 2 e) 3
4. Resolver el sistema y dar un valor de “y”
_______
___
2√x2
- 12y + 1 x2
+ 17
y + ––––––––––––– = ––––––– (I)
3 12
_______
x 2 x 1 y
––
– + ––
– = –– + –– - ––
– (II)
8y 3 √3y 4 2x
5 1 1
a) 4 b) -3 c) - –– d) –– e) - ––
6 2 2
5. Resolver el sistema y dar un valor de “x”:
____________
x + y + √(x + 2)(y + 3) = 34 (I)
(x + 2)2
+ (y + 3)2
+ (x + 2)(y + 3) = 741 (II)

a) -1 b) -3 c) 3 d) 4 e) 2
6. Resolver y dar los valores de “x”:
___
x + √xy + y = 65 (1)
x2
+ xy + y2
= 2 275 (2)
a) x = ±4 b) x = ±6 c) x = ±2
d) x = ±5 e) x = ±7
7. Resolver el sistema y dar un valor de “y”:
_________
x(x + y) + √x2
+ xy + 4 = 52 (1)
______ ______
x + √x2
- y2
x - √x2
- y2
17
––––––––––– + ––––––––––– = –––
______ ______
x -√x2
- y2
x +√x2
- y2 4
a) 5 b) 15 c) -5 d) -15 e) 12
8. Resolver el sistema y dar un valor de “x”:
_____
___ _______
√x2
+ 12y + √y2
+ 12x = 133 (1)
x + y = 23 (2)
a) 8 b) 10 c) 4 d) 7 e) 6
9. Resolver y hallar el valor de “z”:
x2
- yz = -5 (1)
y2
- zx = 7 (2)
z2
- xy = 1 (3)
a) 2 b) -2 c) 3 d) -3 e) 1
10. Resolver y dar un valor de “y”:
x2
y + xy + x = 27 (1)
xy2
+ xy + y = 5 (2)
1
a) 6 b) -6 c) 3 d) -3 e) ––
2
11. Resolver el sistema y calcular x:
2x + y = 2z (1)
9z - 7x = 6y (2)
x3
+ y3
+ z3
= 216 (3)
a) 4 b) 5 c) 3 d) i e) 2i
12. Resolver el sistema y calcular “x”:
(x2
- y2
)(x - y) = 16xy (I)
(x4
- y4
)(x2
- y2
) = 640x2
y2
(II)
a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5
13. Calcular “x” al resolver el sistema
xy + ab = 2ax (1)
x2
y2
+ a2
b2
= 2b2
y2
(2)
b 2a 1
a) 4 b) –– c) ––– d) –– e) b
2a b a
__ __
x √y + y √x = 20 (1)
__ __
√x3
+ √y3
= 65 (2)
a) 25 b) 16 c) 64 d) 4 e) 9
x5
- y5
= 992 (1)
x - y = 2 (2)
a) 1 b) -1 c) -2 d) 5 e) 6
Á L G E B R A
- 361 -

- 362 -
α
α α
8x
- 3 (4x
) - 3 (2x+1
) + 8 = 0
a) -2 b) 0 c) -1 d) 1 e) 4
17. Resolver y dar el valor de “x”:
_____ __
x-y
√x + y = 2√3 (1)
(x + y) 2y-x
= 3 (2)
a) 1 b) 3 c) 7 d) 5 e) 2
18. Resolver y dar el valor de “a”:
aa
= bb
(1)
ab
= 2a (2)
__
1 1 √1 1
a) –– b) –– c) 2 d) ––– e) –
––
2 4 2 16
19. Resolver :
xxn +xm
+ mn = mxxn
+ nxxm
__ __ __
a)
n
√m b)
m
√n c) nn
d) nm
e)
n
√n
52y
+ 23
(1 + 3x-1
) = 689 (1)
51+2y
- 3z = 3 044 (2)
23
x
+ 32+z
= 737 (3)
a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5
CLAVE DE RESPUESTAS
1) C 2) B 3) C 4) E 5) C
6) D 7) E 8) B 9) E 10) E
11) C 12) C 13) E 14) B 15) C
16) B 17) C 18) B 19) E 20) D

Á L G E B R A
- 363 -
DESIGUALDADES E
DESIGUALDADES E
INECUACIONES
INECUACIONES
DESIGUALDADES
DESIGUALDAD
Es la relación que establece que dos cantidades
tienen diferente valor.
Los signos que se utilizan para designar desigual-
dades son:
se lee: “mayor que”
se lee: “menor que”
se lee: “mayor o igual que”
se lee: “menor o igual que”
Toda cantidad positiva “a” se considera mayor que
cero (a 0) y toda cantidad negativa “b” es menor
que cero (b 0).
DEFINICIONES IMPORTANTES
1) Una cantidad “a” es mayor que otra cantidad
“b”, si la diferencia (a - b) es positiva, es decir:
a b si a - b 0
2) Una cantidad “a” es menor que otra cantidad
“b”, si la diferencia (a - b) es negativa, es decir:
a b si a - b 0
PROPIEDADES DE LAS DESIGUALDADES
1º Si a ambos miembros de una desigualdad se suma
o se resta una misma cantidad, el sentido de la
desigualdad no se altera.
Sea: a b
se cumple que : a ± m b ± m
2º Si los dos miembros de una desigualdad se multi-
plica o divide por una misma cantidad positiva, el
sentido de la desigualdad no varía.
Sea: a b
se cumple que: am bm
a b
o: –– ––
m m
m 0
3º Si los dos miembros de una desigualdad se multi-
plica o divide por una misma cantidad negativa el
sentido de la desigualdad se invierte.
Sea: a b
se cumple: am bm
a b
o: –– ––
m m
m 0
4º Si se suma miembro a miembro dos o varias
desigualdades del mismo sentido, el resultado es
una desigualdad del mismo sentido.
Sea: a b, c d
entonces:
a + c b + d

5º Si se multiplica o divide miembro a miembro dos
o varias desigualdades del mismo sentido, cuyos
miembros son positivos, se obtiene una desigual-
dad del mismo sentido.
Sea: a b, y c d.
Multiplicando:
ac bd
Dividiendo:
a b
–– ––
c d
a 0, b 0, c 0, d 0
6º Si a ambos miembros de una desigualdad se eleva
a una misma potencia impar, el sentido de la
desigualdad no varía.
Sea: a b
se tiene: a2m+1
b2m+1
7º Si a ambos miembros de una desigualdad se eleva
a una misma potencia par, siendo los dos miem-
bros negativos, se obtiene una desigualdad de
signo contrario.
Sea: a b
entonces : a2n
b2n
a 0, b 0
8º Si a ambos miembros de una desigualdad se le
extrae una misma raíz de índice impar se obtiene
una desigualdad del mismo sentido.
Sea: a b
entonces:
2m+1 ––– 2m+1 –––
√a √b
EJERCICIOS SOBRE DESIGUALDADES
___
a + b
1.- Demostrar que ––––– √ ab
2
Solución:
Si a ≠ b
luego:
(a - b)2
0
(si a = b, no se cumple)
efectuando:
a2
- 2ab + b2
0
Sumando a ambos miembros 4ab:
a2
- 2ab + 4ab + b2
4ab
a2
+ 2ab + b2
4ab
(a + b)2
4ab
si son positivos ambos:
___
a + b 2√ab
de donde:
___
a + b
∴ –––
–– √ab
2
2.- Demostrar que:
a3
+ b3
+ c3
3abc; a, b, c son positivos.
Solución:
Si a, b, c, son positivos, entonces:
a + b + c 0 (1)
también:
(a - b)2
0
luego:
a2
+ b2
- 2ab 0 (2)
además:
(a - c)2
0
luego:
a2
+ c2
- 2ac 0 (3)
y:
(b - c)2
0
luego:
b2
+ c2
- 2ab 0 (4)
Sumando (2), (3) y (4):
2(a2
+ b2
+ c2
) - 2(ab + ac + bc) 0
- 364 -
α
α α

Á L G E B R A
- 365 -
a2
+ b2
+ c2
- ab - ac - bc 0 (5)
Multiplicando (1) y (5):
(a + b + c)(a2
+ b2
+ c2
- ab - ac - bc) 0
El primer miembro es una identidad algebraica,
luego:
a3
+ b3
+ c3
- 3abc 0
∴ a3
+ b3
+ c3
3abc
3.- Demostrar que: ax + by 1
Si: a2
+ b2
= 1 ; x2
+ y2
= 1
Donde a, b, x, y, son diferentes y positivos.
Solución:
De la condición del problema se escribe:
(a - x)2
0
∴ a2
+ x2
2ax (1)
(y - b)2
0
∴ y2
+ b2
2yb (2)
Sumando (1) y (2):
a2
+ b2
+ x2
+ y2
2(ax + by)
Sustituyendo las condiciones en esta desigualdad:
1 + 1 2(ax + by)
∴ ax + by 1
4.- Demostrar que:
(b + c)(a + c)(a + b) 8abc
(a,b,c, son positivos)
Solución:
Siendo a, b, c, números positivos, se tiene:
a2
+ b2
2ab (1)
c2
+ b2
2bc (2)
a2
+ c2
2ac (3)
Multiplicando (1) por c, (2) por a y (3) por b:
a2
c + b2
c 2abc (4)
c2
a + b2
a 2abc (5)
a2
b+ c2
b 2abc (6)
Sumando miembro a miembro (4), (5) y (6):
a2
c + b2
c + c2
a + b2
a + a2
b + c2
b 6abc
Sumando a ambos miembros 2abc:
(a2
c + 2abc + b2
c)+(c2
a + c2
b)+(a2
b + ba2
) 8abc
factorizando:
c(a + b)2
+ c2
(a + b) + ab(a + b) 8abc
(a + b)(ac + bc + c2
+ ab) 8abc
factorizando en el segundo paréntesis:
(a + b) [c(a + c) + b(a + c)] 8abc
∴ (a + b)(a + c)(b + c) 8abc
CLASES DE DESIGUALDADES
1.- DESIGUALDADES ABSOLUTAS.- Son aquellas
que se verifican para cualquier valor o sistemas
de valores, dado a sus letras.
Ejemplo:
(x - 5)2
+ 7 0
2.- DESIGUALDAD RELATIVA O INECUACIÓN.-
Son aquellas que se verifican para determina-
dos valores o sistemas de valores, asignados a
sus letras.
Ejemplo:
3x - 7 14
sólo se satisface para x 7
INECUACIONES DE PRIMER GRADO
CON UNA INCOGNITA
Son aquellas que pueden reducirse a la forma:
ax ± b 0
o:
ax ± b 0

SOLUCIÓN A UNA INECUACIÓN
Es todo valor de la incógnita, o conjunto de valores de
las incógnitas, que verifican la desigualdad.
Para expresar convenientemente las soluciones que
se obtengan al resolver inecuaciones es necesario
definir:
INTERVALO ABIERTO.- Es el conjunto de ele-
mentos “x”, limitados en sus extremos por los
elementos “a” y “b”; donde a b, para los cuales
se cumple que a x b. El intervalo abierto se
denota por ( a, b ).
Ejemplo:
Sea el intervalo (2, 5), según la definición se debe
tomar todos los números reales comprendidos
entre 2 y 5, a excepeción de éstos.
INTERVALO CERRADO.- Es el conjunto de ele-
mentos “x”, limitados en sus extremos por los
elementos “a” y “b”, donde a b, para los cuales
se cumple que a x b. El intervalo cerrado se
representa por [a,b].
Ejemplo:
Sea el intervalo [2,7], según la definición, los ele-
mentos que forman este intervalo, son todos los
números comprendidos entre 2 y 7, incluyendo
éstos.
VALOR ABSOLUTO.- El valor absoluto de un
número real “x”, representado por | x | , se define
por la siguiente regla:
| x | = x si x 0
| x | = -x si x 0
Ejemplo:
i) | 7 | = 7
ii) | -2 | = -(-2) = 2
7 7 7
iii)
|- ––
|= -
(- ––
) = ––
5 5 5
1.- Resolver:
3x 7 x 1 7x
––– - ––– - ––– –– + –––
5 10 20 5 20
Solución:
12x - 14 - x 4 + 7x
4x 18
9
x ––
2
En forma de intervalo será:
x ∈ (9/2, + ∞ ), que se lee: “x pertenece al inter-
valo abierto comprendido entre 9/2 e infinito”.
2.- Resolver:
5 2x 7 x 5 2
(6x - 2) –– -
(1 - –––
)–– 4x +
(–– - –––
)––
8 3 3 2 12 3
Solución:
Realizando transformaciones:
5 7 1
(3x - 1) –– - (3 - 2x) –– 4x + (6x - 5) –––
4 9 18
45(3x - 1) - 28(3 - 2x) 144x + 2(6x - 5)
135x - 45 - 84 + 56x 144x + 12x - 10
135x + 56x - 144x - 12x -10 + 84 + 45
35x 119
119
x ––––
35
17
x –––
5
En forma de intervalo:
17
x ∈ (- ∞, –––)
5
3.- Resolver 23x-5
42x-4
Solución:
Igualando las bases de las potencias: 23x-5
24x-8
Si una potencia es mayor que otra, en los expo-
nentes también deben cumplir esta desigualdad,
así:
3x -5 4x -8
- 366 -
α
α α

transponiendo y operando:
-x -3
multiplicando por (-1):
x 3
en forma de intervalo:
x ∈ ( - ∞,3 )
4.- Resolver:
5
––––––– 7
–––––––
5x + 13 8x + 1
––––––– –––––––
2 4
√3 √27
Solución:
Transformando, para que tenga la misma base:
5x + 13 8x + 1
––––––– –––––––
10 28
3 (33
)
5x + 13 24x + 3
––––––– –––––––
10 28
3 3
también:
5x + 13 24x + 3
––––––– –––––––
10 28
multiplicando por 280:
28(5x + 13) (24x + 3)10
Operando, simplificando y despejando x:
x 3,34
x ∈ ( - ∞, 3,34 )
INECUACIONES
SISTEMA DE INECUACIONES
1.- SISTEMA DE INECUACIONES CON UNA
INCOGNITA
Para resolver un sistema de este tipo:
1º Se halla las soluciones de cada inecuación en
forma separada.
2º Se comparan éstas para establecer las solu-
ciones comunes a todas las inecuaciones.
3º Se grafica las soluciones en la recta numérica,
para facilitar la solución.
2.- SISTEMAS DE INECUACIONES CON 2 ó MAS
INCOGNITAS
Para resolver este tipo de sistema, se trata de elimi-
nar una incógnita, restando inecuaciones de senti-
do contrario, procediendo de esta manera hasta
obtener una inecuación con una sola incógnita.
1.- Resolver:
3x
––– - 5 7 (1)
4
x
–– + 3 x - 9 (2)
2
Solución:
Resolviendo la inecuación (1), para lo cual se
multiplica por 4:
3x - 20 28
3x 48
x 16
Resolviendo la inecuación (2), para lo cual se
multiplica por 2:
x + 6 2x - 18
-x -24
x 24
Graficando las soluciones:
-∞ 0 16 24 +∞
La solución común es: 16 x 24
escribiendo como intervalo: x ∈ (16,24)
x - 2
2x - 1 ––––– (1)
2
Á L G E B R A
- 367 -

3x x + 1
––– - 2 ––––– (2)
5 10
2x - 7 3x - 1
–––––– –––––– (3)
5 4
Solución:
Resolviendo cada inecuación:
(1) 6x - 3 x - 2
6x - x 1
1
∴ x ––
5
(2) 6x - 20 x + 1
6x - x 21
21
∴ x –––
5
(3) 8x + 28 15x - 5
8x - 15x -5 - 28
33
∴ x –––
7
Graficando:
-∞ 0 1 21 33 +∞
–– ––– –––
5 5 7
La solución es:
21 33
––– x –––
5 7
21 33
x ∈
(––– , –––
)
5 7
3.- Resolver el sistema para valores enteros y posi-
tivos:
5x - 3y 2 (1)
2x + y 11 (2)
y 3 (3)
Solución:
Combinando las inecuaciones (1) y (2):
(1) por 2 : 10x - 6y 4
(2) por -5: -10x - 5y -55
-11y -51
51
y –––
11
Combinando este resultado con la inecuación(3):
51
3 y –––
11
El único valor entero y positivo para “y” com-
prendido en este intervalo es y = 4.
Sustituyendo este valor en (1) y (2):
En (1):
5x - 12 2
5x 14
14
x –––
5
En (2):
2x - 4 11
2x 7
7
x ––
2
para “x” se obtiene:
14 7
––– x ––
5 2
El único valor entero y positivo para “x” com-
prendido en este intervalo es 3:
x = 3
∴
y = 4
- 368 -
α
α α

4.- Resolver para valores enteros y positivos:
x + y + z 8 (1)
x - y + z 4 (2)
z - y 0 (3)
z 5 (4)
Solución:
De (3): z y
Restando (1) - (2) se obtiene:
y 2 (5)
2 y z (6)
De (4) y (6):
2 y z 5 (7)
Luego:
2 y 5
Los valores enteros que puede tomar “y” son”:
x = 3
o:
y = 4
(1) para y = 4, en (7):
4 z 5
No hay valor entero para “z”.
(2) para y = 3, en (7):
3 z 5
El valor entero para z = 4
Sustituyendo estos valores en (1) y (2):
x + 3 + 4 8 → x 1
x - 3 + 4 4 → x 3
de estas 2 últimas ecuaciones:
1 x 3
El valor entero para x = 2:
∴ x = 2 , y = 3 , z = 4
5.- Un matrimonio dispone de S/.320 para ir al cine
con sus hijos. Si comprasen entradas de S/.50
les faltaría dinero y si compraran de S/.40 les
sobraría dinero. ¿Cuántos son los hijos?
Solución:
Sea el número de hijos “x”.
En el primer caso gastarían:
50x + 100
por la condición:
50x + 100 320
de donde:
22
x –––
5
En el segundo caso gastarían:
40x + 80
Por la condición: 40x + 80 320
de donde:
240
x ––––
40
x 6
Luego:
22
––– x 6
5
El valor que debe tomarse para “x” es un número
entero y positivo, ya que representa el número de
hijos, en este caso:
x = 5
6.- En un gallinero había cierto número de gallinas.
Se duplicó el número y se vendió 27, quedando
menos de 54. Después se triplicó el número de
gallinas que había al principio y se vendió 78,
quedando más de 39. ¿Cuántas gallinas habían
al principio?
Solución:
Suponiendo que sea “x” el número de gallinas
que había al principio.
Á L G E B R A
- 369 -

Por datos del problema se puede escribir:
(1) 2x - 27 54
2x 81
x 40,5
(2) 3x - 78 39
3x 117
x 39
Luego:
39 x 40,5
es decir:
x = 40
Rpta.: inicialmente había 40 gallinas.
INECUACIONES DE SEGUNDO GRADO
Reciben este nombres las inecuaciones que, reduci-
das, toman la forma:
ax2
+ bx + c 0
o:
ax2
+ bx + c 0
Resolver una inecuación de segundo grado es hallar
el intervalo en donde se encuentra la incógnita, de
manera tal que se verifique la desigualdad. Se estudia
tres casos:
1er. Caso: Cuando la inecuación es:
ax2
+ bx + c 0
Se factoriza el trinomio. Suponiendo que se
puede factorizar de la siguiente manera:
p(x - r1
)(x - r2
) 0 (1)
siendo p 0, dividiendo entre “p”:
(x - r1
)(x - r2
) 0 (2)
Para que se verifique esta desigualdad, es nece-
sario que los dos factores sean o ambos positivos
o ambos negativos.
Sea (1) : x - r1
0 ⇒ x r1
x - r2
0 ⇒ x r2
Sea (2): x - r1
0 ⇒ x r1
x - r2
0 ⇒ x r2
Analizando estos dos sistemas se llega a la solu-
ción final.
2do. Caso.- Cuando la inecuación es
ax2
+ bx + c 0 (1)
En forma análoga a la anterior se llega a:
(x - r1
)(x - r2
) 0 (2)
Para que se verifique esta desigualdad de los dos
factores, uno es positivo y el otro negativo, o
viceversa:
Sea (1) : x - r1
0 ⇒ x r1
x - r2
0 ⇒ x r2
Si: r1
r2
∴ r1
x r2
Sea (2): x - r1
0 ⇒ x r1
x - r2
0 ⇒ x r2
Si: r1
r2
No hay solución.
3er. Caso.- Cuando la inecuación es ax2
+ bx + c 0
y tiene sus raíces complejas, solamente se verifica
para ese sentido, porque se trata de una desigualdad
absoluta. Véase el Ejercicio 4.
1.- Resolver : x2
- 7x + 12 0
Solución:
Factorizando el trinomio:
(x - 4) (x - 3) 0
- 370 -
α
α α

Estudiando los dos casos:
a) x - 4 0 x 4
∴ x 4
x - 3 0 x 3
b) x - 4 0 x 4
∴ x 3
x - 3 0 x 3
La solución general es:
x 4
o:
x 3
x ∈ (-∞, 3) ∪ (4, ∞)
3.- Resolver: x2
- 9x + 18 0
Solución:
Factorizando el trinomio:
(x - 6) (x - 3) 0
Analizando los 2 casos:
1) x - 6 0 ⇒ x 6
}No hay solución
común
x - 3 0 ⇒ x 3
2) x - 6 0 ⇒ x 6
}La solución es
3 x 6
x - 3 0 ⇒ x 3
En forma de intervalo: x ∈ (3,6)
x2
- 12x + 32 0 (I)
x2
- 13x + 22 0 (II)
Solución:
Resolviendo cada inecuación separadamente:
(I) (x - 4)(x - 8) 0
cuya solución es:
x 8
o:
x 4
(II) (x - 11)(x - 2) 0
cuya solución es:
2 x 11
Graficando la solución obtenida:
-∞ 2 4 8 11 +∞
la solución común es:
x ∈ (2,4) ∪ (8,11)
4.- Resolver x2
+ x + 1 0
Solución:
Como no es posible factorizar se plantea:
x2
+ x + 1 = 0
donde:
______
-1 ± √1 - 4
x = ––––––––––––
2
entonces:
___ ___
- 1 + √3 i - 1 - √3 i
x = –––––
––––– y = –––––––––
2 2
Nótese que las raíces son complejas luego se trata
del 3er. caso de inecuaciones.
y se puede escribir:
___ ___
-1 + √3 i - 1 - √3 i
[x -
(–––––
––––
)][x -
(––––––
––
––
)] 0
2 2
o también:
__ __
1 √3 1 √3
[(x + ––
)- ––
–– i
][(x + ––
)+ ––
–– i
] 0
2 2 2 2
Á L G E B R A
- 371 -

- 372 -
α
α α
efectuando:
2
__ 2
1 √3
(x + ––)-
(–––– i
) 0
2 2
2
1 3
(x + ––)+ –– 0
2 4
Se observa que cuando las raíces son complejas,
la relación de mayor es cierta y en el caso con-
trario no se cumple.
INECUACIONES IRRACIONALES
Son aquellas en las que las incógnitas se hallan afec-
tadas por radicales.
1.- Resolver:
_____
√x - 2 - 3 0
Solución:
Transponiendo:
_____
√x - 2 - 3 (I)
La expresión subradical debe ser positiva, para
que exista dentro del campor real, ésto es:
x - 2 0
x 2 (A)
Elevando al cuadrado (I):
x - 2 9
x 11 (B)
La solución es:
2 x 11
o:
x ∈ (2,11)
2.- Resolver:
_______
____
2x - 5 √x2
- 2x + 10
Solución:
Se debe cumplir que:
x2
- 2x + 10 0
Elevando al cuadrado la inecuación original:
4x2
- 20x + 25 x2
- 2x + 10
3x2
- 18x + 15 0
x2
- 6x + 5 0
factorizando:
(x - 5)(x - 1) 0
de donde:
x 5 o x 1
asi:
__________
√x2
- 2x + 10 0
2x - 5 0
x 2,5
Notar que x 1 no es solución.
-∞ -2 2 2,5 3 5 +∞
La solución común es: x 5 en forma de
intervalo:
x ∈ (5,+∞)

Á L G E B R A
- 373 -
1. Hallar los valores enteros y positivos que satis-
facen la inecuación.
3
––––––– –––––––
5x + 1 3(x + 1)
–––
–––– –––––––
2 5
√3 √9
a) 2 b) 3 c) 1 d) 5 e) 6
2. Hallar el número de valores enteros y positivos
que verifican:
5 3 2x 4 x 5
(x - ––)–– + ––
– - –– –– - (2x - 1) ––
2 2 3 5 2 6
a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5
3. Hallar el número de valores enteros y positivos
que verifican:
__
2 33
√2
8x-1
4x - ––
4
a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5
2x + 1 2 - x
4. Resolver: –––––– - ––
–––– 1
5 3
a) x 2 b) x 3 c) x 3
d) x 2 e) x 1
5x - 1 3x - 13 5x + 1
5. Resolver: –––––– - ––––––– ––––––
4 10 3
a) x 7 b) x 7 c) x 4
d) x 4 e) x 2
6. Resolver: | 3x - 5 | 3
2 8 2 5
a) x ∈ –– , –– b) x ∈ –– , ––
3 3 3 3
2 8 2 5
c) x ∈ - –– , –– d) x ∈ - –– , ––
3 3 3 3
2 11
e) x ∈ –– , –––
3 3
1
_
(x6 - 2x3+ 1) 2 1-x
1 1
7. Resolver: (––) (––)
2 2
a) x -1 b) x 1 c) x 0
d) x 2 e) x -2
x2
8. Resolver: ––––– x + 6
x - 2
a) x ∈ -∞ ,2 b) x ∈ 3 ,∞
c) x ∈ -∞ ,2 ∪ 3 ,∞ d) x ∈ -∞ ,3
e) x ∈ 2,∞
9. Hallar “a” en |x - a| b si es equivalente a:
2 x 4.
a) 2 b) 1 c) 3 d) 4 e) 5
10.- Calcular:
|5x - 20| - |3x - 20|
E = –––––––––––––––– si x ∈ -3, -2
x
a) 2 b) 1 c) 3 d) -2 e) 5
11. Para qué valores de “a” se verifica la desigualdad:
3a + 10
1 ––––––– 2
a + 7
3 3
a) a ∈ –– , 4 b) a ∈ - ––, 4
2 2
1 1
c) a ∈ –– , 4 d) a ∈ - ––, 4
2 2
5
e) a ∈ –– , 4
2
12. Para qué valores de “m” el sistema de ecua-
ciones:
9x + 7y m
3x + 5y 13
tiene soluciones positivas?

- 374 -
α
α α
91 26 26 91
a) m ––– b) m ––– c) ––– m –––
5 3 3 5
2 9 1 7
d) –– m –– e) –– m ––
3 7 5 5
13.- Resolver para valores enteros y dar el valor de “y”:
5x - 3y + 2z 7
2x + y + z 14
3y + x 15
y 3
a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5
14.- Resolver para valores enteros y positivos y dar
el valor de “y”:
-x + 2y 2
x - y -2
4x + y 7
a) 1 b) -4 c) 3 d) 5 e) 2
15. Resolver el sistema para valores enteros y posi-
tivos y dar el valor de z:
2y x
4y 7z
x 2x + 4
a) 5 b) 2 c) 1 d) 3 e) 4
16. Se sabe que el cuádruplo del número de mon-
edas que hay dentro de un bolso es tal, que dis-
minuído en 5, no puede exceder de 31, y que el
quíntuplo del mismo número de monedas
aumentado en 8, no es menor que 52. ¿Cuál es
dicho número?
a) 7 b) 12 c) 10 d) 9 e) 7
17. Un comerciante adquirió un cierto número de
especies de las que vendió 70 y le quedaron más
de la mitad. Al día siguiente le devolvieron seis,
pero logró vender 36, después de lo cual le
quedan menos de 42. ¿Cuántas especies forma-
ban el lote?
a) 140 b) 141 c) 142 d) 143 e) 144
3 5
18. Si x ∈ –– , –– ,
2 2
determinar el menor número M tal que:
x + 4
|––––––
| M
x - 4
1 13 11 12
a) 13 b) –– c) ––– d) ––– e) –––
3 3 3 5
19. Para qué valores de “a” se satisface el sistema de
desigualdes:
x2
+ ax - 2
- 3 ––––––––– 2
x2
- x + 1
a) x ∈ -1,3 b) x ∈ -1,5
c) x ∈ -1,7 d) x ∈ -1,2
e) x ∈ -1,6
x2
- 7x + 10
20. Resolver: ––––––––––– 0
x2
- 9x + 8
a) x ∈ 2,5 b) x ∈ 1,8
c) x ∈ -∞,1 d) x ∈ 8,+∞
e) x ∈ 2,8
CLAVE DE RESPUESTAS
1) C 2) A 3) C 4) D 5) B
6) A 7) B 8) C 9) B 10) D
11) B 12) C 13) D 14) E 15) C
16) D 17) B 18) C 19) A 20) A

Á L G E B R A
- 375 -
PROGESIONES
PROGESIONES
A) PROGESIÓN ARITMÉTICA (P.A.) O
“PROGRESIÓN POR DIFERENCIA”
Es una sucesión de números, en la cual cada uno de
ellos se obtiene sumando al anterior una cantidad
constante llamada “razón”.
Símbolos: t1
= primer término
tn
= término de lugar “n” o
enésimo término
r = razón
n = número de términos
Sn
= suma de “n” primeros
términos.
Representación de una Progresión Aritmética:
÷ t1
, t2
, t3
, …, tn-1
, tn
Por definición: tn
= tn-1
+ r
de donde:
r = tn
- tn-1
La progresión aritmética es creciente cuando la
razón es positiva; y, es decreciente cuando la
razón es negativa.
PROPIEDADES:
1º Valor de un término cualquiera:
tn
= t1
+ (n - 1) r
2º En una P.A. la suma de dos términos equidistantes
de los extremos es igual a la asuma de los
extremos.
Sea la P.A.: ÷ t1
… tp
… tq
… tn
siendo tp
y tq
equidistantes de los extremos:
t1
+ tn
= tp
+ tq
CONSECUENCIAS:
• En una P.A. de un número impar de términos, el
término central es igual a la semisuma de los
extremos:
t1
+ tn
tcentral
= –––––––
2
• En una P.A. de tres términos, el segundo térmi-
no es media aritmética entre los otros dos:
Sea la P.A.: ÷ t1
. t2
. t3
t1
+ t3
t2
= –––––––
2
3º La suma de los “n” primeros términos de una pro-
gresión aritmética es igual a la semisuma de los
extremos, multiplicada por el número de térmi-
nos. Es decir:
1
Sn
= –– (t1
+ tn
)n
2
MEDIOS ARITMÉTICOS O DIFERENCIALES
DEFINICIÓN.-
Son los términos de una P.A., comprendidos entre
sus extremos:
÷ t1
… tn
123
“m” medios aritméticos

INTERPOLACIÓN DE MEDIOS
ARITMÉTICOS
Es la operación que consiste en formar una P.A. co-
nociendo los extremos y el número de medios a in-
terpolar.
Sean los extremos a y b y “m” el número de medios.
La razón de interpolación es:
b - a
ri
= ––––––
m + 1
1.- Hallar el t50
en la siguiente P.A.:
2, 5, 8, 11, …
Solución:
Datos: r = 5 - 2 = 3
t1
= 2
n = 50
tn
= t1
+ (n - 1)r
Se tiene: t50
= t1
+ (50 - 1)r
t50
= 2 + (49)(3) = 149
Rpta.: t50
= 149
2.- En una P.A. se conoce:
t3
+ t6
= 57 (1)
t5
+ t10
= 99 (2)
hallar la razón y el primer término.
Solución:
Por la fórmula:
tn
= t1
+ (n - 1)r:
t3
= t1
+ 2r
}
t6
= t1
+ 5r
–––––––––––––
t3
+ t6
= 2t1
+ 7r = 57 (1)
t5
= t1
+ 4r
}
t10
= t1
+ 9r
–––––––––––––––
t50
+ t10
= 2t1
+ 13r = 99 (2)
Restando (2) - (1):
6r = 42
∴ r = 7
En (1):
2t1
+ 7 . 7 = 57
2t1
= 8
∴ t1
= 4
Rpta.: t1
= 4 , r = 7
3.- En una P.A. se conoce que t1
= a - 2; r = 2 - a;
Sn
= 10 - 5a. Calcular el valor de n.
Solución:
Con las fórmulas:
n
Sn
= (t1
+ tn
) –– (1)
2
tn
= t1
+ (n - 1)r (2)
n
Sn = [2t1
+ (n - 1)r] ––
2
sustituyendo valores:
n
10 - 5a = [2(a - 2) + (n - 1)(2 - a)] ––
2
n
5(2 - a) = [ -2(2 - a) + (n - 1)(2 - a)] ––
2
Dividiendo por (2 - a):
n
5 = (-2 + n - 1) ––
2
10 = n2
- 3n
n2
- 3 n - 10 = 0
factorizando:
(n - 5)(n + 2) = 0
Rpta.: n = 5
n = -2 (absurdo)
- 376 -
α
α α

4.- Hallar la razón de una P.A. si la suma de “n” tér-
minos es n(5n - 3)
Solución:
Sea la P.A.:
÷ t1
, t2
, t3
, …, tn
donde: Sn
= n(5n - 3), para todo n.
Si n = 1:
S1
= t1
= (1)(5 - 3) = 2
Si n = 2:
S2
= t1
+ t2
= 2(10 - 3) = 14
pero: t1
= 2
∴ t2
= 12
Luego, la razón: r = t2
- t1
= 10
Rpta.: r = 10
5.- En una P
.A. el primer término es 12, el número de
términos 9 y la suma es 252. En otra P
.A. el t1
= 2,
r = 6. Dos términos del mismo lugar de estas pro-
gresiones son iguales. ¿Cuál es su valor?
Solución:
Sea “tx
” el término buscado, de lugar “x”.
En la primera P.A.:
tx
= t1
+ (x - 1)r
Cálculo de “r”:
9
S9
= (t1
+ t9
) ––
2
reemplazando datos:
9
252 = (12 + t9
) ––
2
de donde:
t9
= 44
pero también:
t9
= t1
+ 8r
Sustituyendo datos:
44 = 12 + 8r
∴ r = 4 (1)
En la segunda P.A.:
tx
= t1
+ (x - 1)r
Sustituyendo valores:
tx
= 2 + (x - 1)6 (2)
Por condición del problema, (1) = (2):
12 + 4 (x - 1) = 2 + 6(x - 1)
x = 6
el término pedido es:
t6
= 2 + (5)(6) = 32
6.- En la P.A.:
÷ … 5 … 47 … 159,
el número de términos que hay entre 47 y 159 es
triple del número de términos que hay entre 5 y
47. Hallar la razón de esta progresión.
Solución:
Considerando la P.A. de razón “r”:
Por dato: ÷ … 5 … 47 … 159
123 123
n 3n
Del intervalo con extremos 5 y 47:
47 - 5 42
r = –––––– = ––––– (I)
n + 1 n + 1
Del intervalo con extremos 47 y 159:
159 - 47 112
r = –––––––– = –––––– (II)
3n + 1 3n + 1
Como se trata de la misma P.A. (I) y (II) son
iguales, entonces:
42 112
–––––– = ––––––
n + 1 3n + 1
n = 5
42
r = –––––– = 7
5 + 1
Rpta.: r = 7
Á L G E B R A
- 377 -

7.- El guardián de un pozo de una hacienda, ha plan-
tado a partir del pozo, cada 5 metros y en la direc-
ción norte, un total de 27 árboles y puede sacar
agua del pozo cada vez para el riego de un sólo
árbol. ¿cuánto tiene que andar para regar los 27
árboles y regresar al pozo, sabiendo que del pozo
al primer árbol hay 8 m. de distancia?
Solución:
1) El espacio que recorre para llevar agua al
primer árbol y regresar al pozo es:
8 + 8 = 16m.
2) El espacio que recorre para llevar agua al
segundo árbol y regresar al pozo es:
16 + 10 = 26m.
3) Para el tercer árbol: 26 + 10 = 36m.
4) …
5) …
La distancia total recorrida es:
S = 16 + 26 + 36 + …
Como la suma es de 27 sumandos:
27
S27
= (2t1
+ 26r) –––
2
27
S27
= (2 . 16 + 26 . 10) –––
2
S27
= 3 942 m
8.- Si la suma de “p” términos de una P
.A. es igual a la
suma de “q” términos. Calcular la suma de “p + q”
términos.
Solución:
Por la fórmula:
p
Sp
= [2t1
+ (p - 1)r] –– (1)
2
p
Sq
= [2t1
+ (p - 1)r] –– (2)
2
Por condición:
p q
[2t1
+ (p - 1)r]–– = [2t1
+ (q - 1)r]––
2 2
2t1
p + (p - 1)pr = 2t1
q + (q - 1)rq
2t1
(p - q) = r(q2
- q - p2
+p)
2t1
(p - q) = r [(p - q) - (p + q)(p - q)]
2t1
(p - q) = r(p - q)(1 - q - p)
2t1
= r(1 - q - p) (α)
CÁLCULO DE Sp+q
:
p + q
Sp+q
= [2t1
+ (p + q - 1)]
(–––––
) (β)
2
sustituyendo (α) en (β):
p + q
Sp+q
= [r(1 - q - p) + r(p + q - 1) ]
(–––––
)
2
p + q
Sp+q
= (1 - q - p + p + q - 1)
(–––––
) r
2
p + q
Sp+q
= (0)
(–––––
) r = 0
2
∴ Sp+q
= 0
La suma de “p + q” términos es cero.
9.- Se ha interpolado “m” medios aritméticos entre 3
y 57 y “m - 2” entre 5 y 19. Si la razón de la
primera es el triple de la segunda.
Hallar el número de términos de cada progresión.
Solución:
Datos:
÷ 3 … 57; su razón: r1
123
m
÷ 5 … 19; su razón: r2
123
m - 2
- 378 -
α
α α
8m 5m 5m

Á L G E B R A
- 379 -
Para la primera P.A.:
57 - 3 54
r1
= –––––– = –––––– (1)
m + 1 m + 1
Para la segunda P.A.:
19 - 5 14
r2
= –––––––––– = –––––– (2)
(m - 2) + 1 m - 1
Condición: r1
= 3r2
Sustituyendo (1) y (2) en (3):
54 14
–––––- = 3
(–––––
)
m + 1 m - 1
de donde m = 8
La primera P.A. tiene 10 términos.
La segunda P.A. tiene 8 términos.
10.- Cuántos medios “m” aritméticos se pueden
interpolar entre 8 y 48 de tal manera que se
forme una P.A. cuya suma de términos sea 588.
Solución:
8 … 48
144424443
m
Siendo “m” el número de medios interpolados, el
número de términos de la P.A. es “m + 2”.
48 - 8 40
∴ r = –––––– = ––––– (1)
m + 1 m + 1
m + 2
Sm+2
= [2t1
+ (m + 1)r]
(–––––
) (2)
2
De (1): (m + 1)r = 40
Sustituyendo este valor en (2) y también el valor
de la suma:
m + 2
588 = (2 . 8 + 40)
(–––––
)
2
56(m + 2) = 1 176
m = 19
B)PROGRESIÓN GEOMÉTRICA(P.G.)
O “PROGRESIONES POR COCIENTE”
Es una sucesión de números en la cual, el primer tér-
mino es distinto de cero y cada uno de los términos
siguientes se obtienen multiplicando al anterior por
una cantidad constante, llamada razón de la P.G.
Símbolos: t1
= primer término
tn
= término de lugar “n” o
término enésimo
q = razón
n = número de términos
Sn
= suma de “n” términos
Pn
= producto de “n” términos
REPRESENTACIÓN DE UNA PROGRESIÓN
GEOMETRICA
: : t1
: t2
: t3
: … : tn-1
: tn
Por definición: tn
= tn-1
q
tn
∴ q = –––––
tn-1
NOTA.- La razón de una P.G. se halla divi-
diendo dos términos consecutivos.
Si la razón es mayor que la unidad la P.G. es cre-
ciente y si la razón es menor que la unidad la
P.G. es decreciente.
PROPIEDADES:
1º Un término cualquiera tn
= t1
qn-1
(1)
2º En una P.G. el producto de dos términos equidis-
tantes de los extremos es igual al producto de los
extremos.
Sea la P.G.:
: : t1
: t2
: … : tp
: … : tq
: … : tn-1
: tn

donde tp
y tq
son equidistantes de los extremos:
tp
tq
= t1
tn
CONSECUENCIAS:
• En una P.G. de un número impar de términos,
el término central es igual a la raíz cuadrada del
producto de los extremos.
___
tcentral
= √t1
tn
• En una P.G. de tres términos, el segundo térmi-
no es media geométrica entre el primero y el
tercero.
Sea: t1
: t2
: t3
___
t2
= √t1
t3
3º En una P.G. limitada, de “n” términos, el produc-
to de sus términos es igual a la raíz cuadrada del
producto de sus extremos, elevado al número n
de términos de la P.G.
______
Pn
= √(t1
tn
)n
4º La suma de los “n” primeros términos de una P.G.
limitada, es:
q . tn
- t1
Sn
= ––––––––– (2)
q - 1
Sustituyendo (1) en (2), se obtiene otra fórmula:
t1
qn-1
. q - t1
Sn
= ––––––––––––
q - 1
qn
- 1
Sn
= t1 (–––––
)
q - 1
5º El límite de la suma de los términos de una P.G.
decreciente ilimitada es igual al primer término
dividido entre la diferencia de la unidad y la
razón:
t1
lim S = –––––
1 - q
para una P.G. decreciente: 0 q 1
cuando n → ∞ (se lee: “n” tiende a infinito”)
MEDIOS GEOMÉTRICOS O
PROPORCIONALES
DEFINICIÓN
Son los términos de una P.G. comprendidos entre sus
extremos:
: : t1
… tn
1442443
“m” medios geométricos
INTERPOLAR MEDIOS GEOMÉTRICOS
ENTRE DOS NÚMEROS DADOS
Es formar una P.G. entre dichos números. Sean los
números a y b y el número de medios “m”, la progre-
sión geométrica será:
a : … : b
1442443
“m”
m+1
_____
b
La razón de interpolación es: q1
= –
––
√ a
1.- Hallar el término de lugar 16 en la P.G.:
1 1 1
: : –––– : –––– : ––– : …
256 128 64
Solución:
1 1
Datos: t1
= –––– = –––
256 28
n = 16
q = 2
tn
= t1
qn-1
Se tiene:
1 1
t16
=
(–––
)(2)16-1
=
(–––
)215
= 27
28
28
∴ t16
= 128
- 380 -
α
α α

2.- En una P.G. se conoce que:
1
t1
= –– , t3
= 1 y tn
= 256
2
hallar la razón y el número de términos.
Solución:
Por fórmula t3
= t1
q2
Sustituyendo datos:
1
__
1 = –– q2
→ q2
= 2 → q = √2
2
Por la fórmula:
tn
= t1
qn-1
sustituyendo:
1
__ n-1
256 =
(–––
)(√2 )
2
__ n-1
512 = (√2 )
n-1
__
29
= (2) 2
n - 1
9 = –––––
2
18 = n -1
n = 19
__
q =√2
n = 19
3.- En una P.G. el primer término es 7, el último es
448 y la suma 889. Hallar la razón y el número
de términos.
Solución:
Por la fórmula:
tn
= t1
qn-1
sustituyendo datos:
448 = 7qn-1
qn
64 = ––
q
de donde:
qn
= 64q (1)
qn
- 1
Por la fórmula: Sn
= t1 (–––––
)
q - 1
qn
- 1
sustituyendo datos: 889 = 7
(–––––
)
q - 1
qn
- 1
127 = –––––– (2)
q - 1
64q - 1
Sustituyendo (1) en (2) 127 = –––––––
q - 1
de donde: q = 2 Sustituyendo en (1):
2n
= 64 . 2 = 128 = 27
∴ n = 7
Rpta.: q = 2 ; n = 7
4.- Una P.A. y otra P.G. de 3 términos cada una,
tienen el mismo primer término 4, y también el
segundo término es el mismo, pero desconocido.
El tercer término de la P.G. es 25/16 del tercer
término de la P.A. Hallar los números.
Solución:
Sean los progresiones:
4 . x . z (aritmética) (I)
4 : x : y (geométrica) (II)
En la P.A.:
4 + z
x = –––––– (1)
2
En la P.G.:
___ __
x = √4y = 2√y (2)
De la condición:
25
y = ––– z (3)
16
Á L G E B R A
- 381 -

______
25 5
__
5
__
x = 2 ––– z = 2
(–––
)√z = –– √z
√16 4 2
Sustituyendo este valor en (1):
5
__
4 + z
–– √z = ––––––
2 2
Elevando al cuadrado y transponiendo términos:
z2
- 17z + 16 = 0
(z - 16)(z - 1) = 0
Resolviendo: z = 16
z = 1 (no conviene)
4 + 16
Sustituyendo z = 16 en (1): x = ––––––
2
x = 10
__
Sustituyendo x = 10 en (2): 10 = 2 √y
y = 25
Las progresiones son: ÷ 4 . 10 . 16
÷ ÷ 4 ÷ 10 ÷ 25
5.- La suma de 6 términos de una P.G. es igual a 9
veces la suma de los 3 primeros términos. Hallar
la razón.
Solución:
De la condición:
S6
= 9S3
sustituyendo:
q6
- 1 q3
- 1
t1 (–––––
)= 9t1 (–––––
)
q - 1 q - 1
(q6
- 1) = 9(q3
- 1)
factorizando:
(q3
+ 1) (q3
- 1) = 9(q3
- 1)
q3
+ 1 = 9
q3
= 8
__
q =
3
√8
∴ q = 2
6.- Entre 3 y 768; 7 y 112 se ha interpolado el
mismo número de medios geométricos. Hallar la
razón de cada P.G. formada de manera que la
razón de la primera sea doble de segunda.
Solución:
Sean las P.G. formadas:
3… 768 ; donde q1
es la razón.
14243
m
7 … 112 ; donde q2
es la razón.
14243
m
En la 1ra. P.G.:
m+1
________
768
___
_
q1
= –––– =
m+1
√256 (1)
√ 3
En la 2da. P.G.:
m+1
________
112
_
__
q2
= –––– =
m+1
√16 (2)
√ 7
Por la condición: q1
= 2q1
Sustituyendo (1) y (2) en (3):
____ ___
m+1
√256 = 2
m+1
√16
Elevando a la potencia (m + 1):
256 = 2m+1
. 16
16 = 2m+1
24
= 2m+1
m + 1 = 4
∴ m = 3
- 382 -
α
α α

____
Sustituyendo en (1): q1
=
4
√256 = 4
___
Sustituyendo en (2): q2
=
4
√16 = 2
Rpta.: Las razones son 4 y 2
7.- El límite de la suma de los infinitos términos de
una P.G. decreciente es el doble de la suma de
sus “n” primeros términos. Hallar la razón.
Solución:
El límite de la suma de los términos de la P.G.
t1
Lim S = –––––– (1)
1 - q
Siendo la suma de los “n” primeros términos:
t1
(1 - qn
)
Sn
= ––––––––– (2)
1 - q
Por condición del problema: 2Sn
= Lim S
Sustituyendo (1) y (2) en esta condición del
problema:
1 - qn
t1
2t1 (–––––
)= –––––
1 - q 1 - q
2(1 - qn
) = 1
1
1 - qn
= ––
2
1
-qn
= –– - 1
2
1
qn
= ––
2
n
__
__
1
∴ q = ––
√2
8.- Se deja caer una bola desde una altura de 17 m; en
cada rebote la bola se eleva los 2/3 de altura desde
la cual cayó la última vez. ¿Qué distancia recorre la
bola hasta que queda teóricamente en reposo?
Solución:
a) Las distancias que recorre la bola en cada una
de sus caídas forman una P.G. indefinida de
primer término 17 y razón 2/3, esto es:
17
34
–––
3
68
___
9
34 68
: : 17 : ––– : ––– : …
3 9
17 17 . 3
Sc
= ––––– = –––––– = 51
2
1 - –– 1
3
b) En forma análoga, las distancias recorridas en
cada rebote forman la siguiente Progresión
indefinida:
34 68 136
: : ––– : ––– : –––– : …
3 9 27
Luego:
34
___
3
Sr
= –––––– = 34
2
1 - ––
3
La distancia total recorrida por la bola es:
DT
= Sc
+ Sr
= 51 + 34
DT
= 85 metros
Á L G E B R A
- 383 -

- 384 -
α
α α
9.- En un cuadrado de lado “a” se unen los puntos
medios de los cuatro lados y se forma otro
cuadrado cuyos puntos medios se unen también
para formar un nuevo cuadrado y así sucesiva-
mente. Hallar el límite de la suma de las áreas de
todos los cuadrados así formados.
Solución:
a
––
2
a
__
–– √2
2
a
__
2
a
Del gráfico:
lado área
1er. cuadrado a a2
a
__
a2
2do. cuadrado –– √2 ––
2 2
a a2
3er. cuadrado –– ––
2 4
a
__
a2
4to. cuadrado –– √2 ––
4 8
La suma de la sáreas de los cuadrados será:
a2
a2
S = a2
+ –– + –– …
2 4
Los infinitos sumandos son los términos de una
P.G. decreciente:
t1 a2
lím S = ––––– = ––––– = 2a2
1
1 - q 1 - ––
2
lím S = 2a2
10.- Hallar el límite de:
2 26 242
1 + –– + ––– + –––– + …
32
36
310
Solución:
Sea “S” la suma pedida:
3 1 3 1 5 1
lím S = 1 + –– - –– + –– - –– + ––– - ––– + …
32
32
36
36
310
310
1 1 1 1 1 1
lím S = 1 + –– - –– + –– - –– + –– - ––– + …
3 32
33
36
35
310
1 1 1
lím S = 1 +
(–– + –– + –– + …
)
3 33
35
1442443
S1
1 1 1
-
(–– + –– + ––– + …
)
32
36
310
1442443
S2
Cada uno de los paréntesis representa la suma de
los infinitos términos de una P.G. decreciente.
Llamando a dichas sumas S1
y S2
:
1
––
3 3
S1
= ––––––– = ––
1 8
1 - ––
32
1
––
32
32
9
S2
= ––––––– = ––– = –––
1 80 80
1 - ––
34
Sustituyendo S1
y S2
en lím S:
3 9 80 + 30 - 9
lím S = 1 + –– - ––– = ––––––––––
8 80 80
101
lím S = ––––
80

1. En la P.A. : 3 … 30 … P
, el número de términos
comprendido entre 3 y 30 es igual a los com-
prendidos entre 30 y P, si además la suma de
todos los términos es 570. Hallar la razón.
a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5
2. Si se sabe que:
• : : x - 4 : x : x + 2
• : : y + 1 : 3y : 9y + 6
• ÷ ÷ x . y . z ; calcular “z”
a) 4 b) 2 c) 6 d) 8 e) 10
3. La suma de los tres primeros términos de una P
.A.
es 42. La suma de los tres últimos términos es 312
y la suma de todos los términos 1062. Hallar el
número de términos de dicha progresión.
a) 20 b)18 c) 16 d) 18 e) 10
4. Si S1
, S2
, S3
, …, son la suma de “n’ términos de
una P.A. cuyos primeros términos son 1, 2, 3, 4,
…, y cuyas razones son 1, 3, 5, 7, … hallar el
valor de:
E = S1
+ S2
+ S3
+ … + Sp
n(n + 1) p(p + 1)
a) –––––––– b) –––––––– c) pn(p + 1)
2 2
pn(p - 1) pn(p + 1)
d) ––––––––– e) –––––––––
2 2
5. Si los términos de lugares p, q, r, de una P.A. son
a, b, c respectivamente, calcular:
E = (q - r)a + (r - p)b + (p - q) c
a) q b) r c) p
d) 0 e) a + b + c
6. Hallar el t20
de una P.A. si la suma de los “n”
primeros términos es 4n2
+ 2n.
a) 160 b) 158 c) 152
d) 150 e) 156
7. Si los números a1
, a2
, a3
, … an
, forman una P.A.
1 1 1
E = –––––––
––– + –––––
–––
––– + ––––––
––
––– + …
__ __ __ __ __ __
√a1
+ √a2
√a2
+ √a3
√a3
+ √a4
1 n - 1
… + –––––––––––– + ––––––––––
___ __ __ __
√an-1
+ √an
√a1
+ √an
__ __
a) √a1
b) √an
c) n
d) 1 e) 0
8. Entre dos números cuya suma es 2 1/6 se inter-
pola un número par de medios aritméticos, la
suma de éstos excede a su número en una
unidad. ¿Cuántos medios se han interpolado?
a) 10 b)6 c) 13 d) 12 e) 11
9. Un rollo de papel cuyo diámetro es de 300 cms
consta de 50 vueltas de papel fuertemente enrro-
llado en un cilindro macizo de 10 cm. de diáme-
tro. ¿Qué longitud tiene el papel?
a) 31,416 m b) 3,1416 m
c) 314,16 m d) 3141,6 m
e) 0,31416 m
Á L G E B R A
- 385 -

- 386 -
α
α α
10. La suma de “n” términos de una P.A. está en la
5n + 7
razón ––––––
7n + 1
Encontrar la razón de los términos que ocupan
el décimo tercer lugar.
1 1 3
a) –– b) –– c) ––
4 2 4
2 2
d) –– e) ––
5 3
11. Si la media aritmética entre (a - 4) y (10 - b) es
igual a su media geométrica, evaluar a + b.
a) 11 b) 6 c) 4 d) 14 e) 40
12. Hallar la suma límite de:
1 2 3
––– + ––– + ––– + …
10 102
103
5 7 10
a) –– b) –– c) –––
9 9 81
7 5
d) ––– e) –––
81 81
13. Si los términos de lugares m, n, p, k de una P.G.
___
son, a, b, c y √abc, respectivamente. Calcular:
n+p-2m
____
m+p-2n –––– m+n-2p ––––
bc ac ab
E = ––– + ––– + –––
√a2
√ b2
√c2
si la razón es t.
a) t b) 2t c) 3t
t 2t
d) –– e) ––
–
3 3
14. La suma de tres números en P.G. es 70, se mul-
tiplican los extremos por 4 y el intermedio por
5, los productos están en P.A., hallar el término
central.
a) 10 b) 20 c) 40 d) 60 e) 5
15. Si S1
, S2
, S3
, … Sp
, son la suma de las series
geométricas infinitas cuyos primeros términos
son 1, 2, 3, … p cuyas razones son:
1 1 1 1
–– , –– , –– , … , ––––
2 3 4 p + 1
E = S1
+ S2
+ S3
+ … + Sp
p p p
a) –– (p + 1) b) –– (p + 2) c) –– (p + 3)
2 3 2
p
d)–– (p + 3) e) p (p + 2)
3
16. Dos cuerpos que se encuentran a la distancia de
153 m uno del otro, se mueven al encuentro
mútuo. El primero recorre 100 m por segundo,
y el segundo recorrió 3 m en el primer segun-
do, en cada segundo siguiente recorre 5 m más
que en el anterior. ¿Después de cuántos segun-
dos los cuerpos se encuentran?
a) 4 b) 5 c) 8 d) 10 e) 6
17. La suma de los tres números positivos, que for-
man una P.A. es igual a 21. Si a estos números
les sumamos respectivamente 2, 3 y 9 los
nuevos números forman una P.G., hallar el pro-
ducto de ellos.
a) 3 b) 7 c) 11 d) 231 e) 77
18. El por ciento (por el peso) de alcohol de tres
soluciones forman una P.G. Si se mezclan la
primera, segunda y tercera solución en propor-
ción de peso de 2:3:4 se obtendrá una solución
de un 32% de alcohol. Si éstas se mezclan en
proporción de 3:2:1, se obtendrá una solución
de 22% de alcohol. ¿Qué por ciento de alcohol
contiene la segunda solución?
a) 12% b) 24% c) 48%
d)16% e) 20%

Á L G E B R A
- 387 -
19. Sobre el radio de una semicircunferencia
describimos otra circunferencia, sobre el radio
de esta nueva circunferencia describimos otra
nueva circunferencia y así sucesivamente.
Hallar la suma de las longitudes de todas las
semicircunferencias, siendo el radio de la
primera “r”.
r
a) r b) –– C) 2r
2
r r
d) –– e) ––
4 8
20. Tres números están en P.G., si al segundo se le
suma 2, se convierte en aritmética. Si a conti-
nuación se le suma 9 al tercero vuelve a ser
geométrica. Hallar el tercer número de la pro-
gresión inicial
a) 8 b) 10 c) 15 d) 16 e) 18
CLAVE DE RESPUESTAS
1) C 2) D 3) B 4) E 5) D
6) B 7) D 8) D 9) A 10) C
11) D 12) C 13) C 14) B 15) C
16) E 17) D 18) B 19) C 20) D

- 388 -
α
α α
LOGARITMOS
LOGARITMOS
DEFINICIÓN
Se llama logaritmo de un número, en una base dada,
positiva y distinta de la unidad, al exponente a que
debe elevarse la base para obtener dicho número.
NOTACIÓN
Sea el número “N” y la base “b”:
logb
N
es el “logaritmo en base b de N”
NOTACIÓN IMPORTANTE:
Sí: logb
N = x ⇒ bx
= N (1)
también: b
log bN
= N (2)
Ejemplos:
i) Si: 54
= 625, se tiene:
log5
625 = 4
1 -2
ii) Si:
(––
) = 9, se tiene:
3
log 1
9 = -2
–
3
__ __
1.- Hallar el logaritmo de 8
3
√4 en base
5
√2.
Solución:
Sea “x” el logaritmo buscado:
__
∴ log 8
3
√4 = x
__
5
√2
Por definición:
__ __
(
5
√2 )
x
= 8
3
√4
x 2 x 11
_ _ _ _
_
25
= 2 3
. 2 3
; 2 5
= 2 3
x 11
–– = –––
5 3
55
de donde: x = –––
3
__
55
∴ log 8
3
√4 = –––
__
5
√2 3
_____
_________________
4
_______________
5
___
______
__ __
log 3
5
√9 = √47 + √14 + √29 +
3
√x
___
15
√27
Solución:
Igualando a “y” el logaritmo y calculando este valor:
__
log 3
5
√9 = y
__
_
15
√27

Á L G E B R A
- 389 -
Por definición:
___ __
(
15
√27 ) = 3
5
√9
3 2
_ y
_
(315
) = 3 . 3 5
y 7
_ _
3 5
= 3 5
y 7
–– = ––
5 5
y = 7
Sustituyendo en la igualdad propuesta:
_____
____
______________
4
____
_______
_____
5
___
__
_____
__
7 = √47 + √14 + √29 +
3
√x
Elevando al cuadrado y transponiendo:
4
_______________
5
___
______
__
2 = √14 + √29 +
3
√x
Elevando a la cuarta potencia y transponiendo:
5
___
______
__
2 = √29 +
3
√x
Elevando a la quinta potencia y transponiendo:
__
3 =
3
√x
Elevando al cubo:
x = 27
3.- ¿Cuál es la base del logaritmo de:
_
_
√3
__
√3
si éste es igual a 3?
Solución:
Sea x la base buscada, luego:
_
_
√3
__
logx
√3 = 3
_
_
√3
__
Por definición: x3
= √3
Extrayendo la raíz cúbica:
3
______
1
_ __
_ √3
_ _
√3
_
_
_ √3 √3
___
_
__ __ 3
__ __
x =√√3 = √3 = √3 = √√3
_
√3
___
_
__
x = √√3
4.- Calcular “x” en la igualdad:
logx
x3
logx
x logx
x2
x + 27x = 9x + 27
Solución:
Aplicando la relación:
logb
bN
= N
x3
+ 27x = 9x2
+ 27
(x3
- 27) + (27x - 9x2
) = 0
(x - 3)(x2
+ 3x + 9) - 9x(x - 3) = 0
(x - 3)(x2
- 6x + 9) = 0
(x - 3)(x - 3)2
= 0
(x - 3)3
= 0
extrayendo raíz cúbica y despejando x:
x = 3
SISTEMA DE LOGARITMOS
Se denomina sistema de logaritmos al conjunto de
valores formados por los números positivos de la
expresión.
x = logb
N
Cada expresión de la forma x = logb
N constituye un
sistema de logaritmos; de donde se deduce que exis-
ten infinitos sistemas de logaritmos según cual sea la
base “b” que se elija. Los más utilizados son dos:
1.- El sistema de logaritmos naturales, hiperbóli-
cos o neperianos, cuya base “b” es el número
trascendente:
e = 2,718281…

- 390 -
α
α α
2.- El sistema de logaritmos decimales, vulgares o
de Briggs, cuya base “b” es el número 10.
PROPIEDADES GENERALES DE LOS
LOGARITMOS
Estas propiedades se cumplen para los infinitos sis-
temas de logaritmos.
1º Solamente existen sistemas de logaritmos cuyas
base es una cantidad positiva diferente de 1.
2º En el campo de los números reales no existen log-
aritmos de cantidades negativas.
3º Si la base es mayor que la unidad, entonces:
logb
∞ = +∞ y logb
0 = -∞
Si la base es menor que la unidad, entonces:
logb
∞ = -∞ y logb
0 = ∞
4º En todo sistema de logaritmos, el logaritmo de la
base es igual a la unidad.
logb
b = 1
5º En todo sistema de logaritmos, el logaritmo de la
unidad es cero.
logb
1 = 0
6º En todo sistema de logaritmos, el logaritmo de un
producto es igual a la suma de los logaritmos de
los factores.
logb
M . N = logb
M + logb
N
7º En todo sistema de logaritmos, el logaritmo de un
cociente es igual al logaritmo del dividendo
menos el logaritmo del divisor.
M
logb
––– = logb
M - logb
N
N
8º En todo sistema de logaritmos, el logaritmo de
una potencia es igual al exponente por el logarit-
mo de la base.
logb
Mn
= n logb
M
9º En todo sistema de logaritmos, el logaritmo de una
raíz de un número positivo es igual al logaritmo
del radicando dividido por el índice de la raíz.
__
_
logb
M
logb
n
√M = –––––––
n
10º En todo sistema de logaritmos, si se eleva a la base
y al número a una potencia “n” o a una raíz “n”, el
resultado es igual al logaritmo dado, no varía.
__
_
logb
N = log
bn
Nn
= log
n
√M
n
__
√b
COLOGARITMO.- De un número en una base
“b” es el logaritmo de la inversa del número en la
misma base. También es equivalente al logaritmo
del número en la base, precedido del signo
menos.
1
cologb
N = logb (–––
)= -logb
N
2
ANTILOGARITMO.- Se denomina antilogaritmo
en una base “b” al número que dio origen al loga-
ritmo.
Antilogb
x = bx
y por definición, también se obtiene:
Antilogb
logb
N = N
CAMBIO DE UN SISTEMA DE LOGARITMOS
A OTRO
El problema consiste en calcular el logaritmo de
un número “N” en una base “b” si se conoce el
logaritmo de “N” en base “a”.
Por definición:
logb
N
N = b
también:
loga
N
N = a
igualando los segundos miembros:
logb
N loga
N
b = a
tomando logaritmos en base “a”:
logb
N. loga
b = loga
N. loga
a
pero, loga
a = 1

Á L G E B R A
- 391 -
luego:
loga
N
logb
N = ––––––
loga
b
que es la regla de transformación para cambiar la
base de un logaritmo.
1.- Hallar el valor de “x”, sabiendo que:
1
log x = –– [log (log log ab22c
c
- log log a) - log log b]
Solución:
Transformando el segundo miembro; aplicando
propiedades de logaritmos:
1 log ab22c
log x = ––
[log log
(––––––––
)- log log b
]
c log a
1 b22c
log a
log x = ––
(log log
(–––––––––
)- log log b
)
c log a
1
log x = –– (log log b22c
- log log b)
c
1 log b22c
1 22c
log b
log x = –– log
(–––––––
)= –– log
(––––––––
)
c log b c log b
1
1 –
log x = –– log 22c
= log (22c
)
c
= log 22
= log4
c
log x = log 4
Levantando logaritmos:
x = 4
NOTA.- Cuando no se coloca la base de los
logaritmos se sobreentiende que la
base “b” es 10.
E = colog4
antilog2
log2
log2
antilog 0,5
log 0,2
625
Solución:
Reduciendo los valores desde la parte final hacia
el principio, resulta:
a) log 0,2
625 = log 1
625 = log 1
54
– –
5 5
1 - 4
= log 1
(5-1
)- 4
= log 1 (––
) = -4
– – 5
5 5
b) Por definición:
1 - 4
antilog 0,5
(-4) = (0,5)- 4
=
(––
) = 16
2
c) log2
16 = log2
(2)4
= 4 . log2
2 = 4
d) log2
4 = log2
22
= 2 . log
2
2 = 2
e) Por definición:
antilog2
2 = 22
= 4
f) colog4
4 = -log4
4 = -1
∴ E = -1
3.- Dado:
3
_______________
__ __ 2 1
loga
√[a(√ 3 - √2 ) ] = ––
2
calcular:
4
________________
__ __ 3
loga
√[a(√ 3 + √2 )]
Solución:
Sea “x” el logaritmo pedido, se tendrá:
4
________________
__ __ 3
loga
√[a(√ 3 + √2 )] = x
3
________________
__ __ 2 1
loga
√[a(√ 3 - √2 )] = ––
2
4
________________
__ __ 3
√[a(√ 3 + √2 )] = ax
3
________________ 1
__ __ 2
_
_
√[a(√ 3 - √2 )] = a 2

__ __ 3
[a(√ 3 + √2 )] = a4x
3
__ __ 2
_
_
[a(√ 3 - √2 )] = a 2
4x
__ __ _
_
a(√ 3 + √2 ) = a 3
3
__ __ _
_
a(√ 3 - √2 ) = a 4
Multiplicando miembro a miembro las dos últi-
mas igualdades, se tiene:
4x 3
_
_ +
_
_
a2
(3 - 2) = a 3 4
16x+9
__
__
a2
= a 12
16x + 9
2 = –––––––
12
de donde:
15
x = –––
16
4.- Hallar el valor de “x” en:
1 + log2
(x - 4)
––––––––––––––––––––– = 1
____
_ ____
log (√x + 3 - √x - 3 )
__
√2
Solución:
Transponiendo términos:
___
__ ____
1 + log2
(x - 4) = log (√x + 3 - √x - 3)
__
√2
Escribiendo: 1 = log2
2
_____ _____
log2
2 + log2
(x - 4) = log (√x + 3 - √x - 3 )
__
√2
_____ _____ 2
log2
(2)(x - 4) = log 2
. (√x + 3 - √x - 3 )
__
(√2 )
(prop.10)
_____ _____ 2
log2
(2x - 8) = log2
(√x + 3 - √x - 3 )
tomando antilogaritmos en la misma base o lo
que se llama “levantando logaritmos”:
____ ____
2x - 8 = (√x + 3 - √x - 3 )
2
_____
2x - 8 = x + 3 - 2 √x2
- 9 + x - 3
_____
- 8 = -2 √x2
- 9
_____
4 = √x2
- 9
16 = x2
- 9
x = ±5
x = -5 (NO)
Rpta.: x = 5
5.- Hallar el valor de “x” en:
_____
log(√x + 1 + 1)
- ––––––––––––––– = 3
______
log
3
√x - 40
Solución:
Pasando el denominador al segundo miembro y
transformando:
_____ _____
log(√x + 1 + 1) = 3 log
3
√x - 40
_____ _____
log(√x + 1 + 1) = log ( 3
√x - 40 )
3
tomando antilogaritmo o levantando logaritmos:
_____ _____
√x + 1 + 1 = x - 40 ; √x + 1 = x - 41
x + 1 = x2
- 82x + 1 681
x2
- 83x + 1 680 = 0 ; (x - 35)(x - 48) = 0
∴ x = 35 (NO) ; x = 48 (SI)
6.- Resolver:
log7
(x2
- 7x + 21) log7
4
2 = 3
Solución:
tomando logaritmos en base 7:
- 392 -
α
α α

log7
(x2
- 7x + 21) log7
2 = log7
4 . log7
3
log7
(x2
- 7x + 21) log7
2 = log7
22
. log7
3
log7
(x2
-7x + 21) log7
2 = 2 log7
2. log7
3
simplificando:
log7
(x2
- 7x + 21) = 2 log7
3
log7
(x2
- 7x + 21) = log7
32
Tomando antilogaritmos, o levantando logaritmos:
x2
- 7x + 21 = 9
x2
- 7x + 12 = 0
(x - 4)(x - 3) = 0
∴ x = 4 , x = 3
E = log2
x . log4x
8 . logx
4 . log2x
8
. log4
2x . log2
4x
Solución:
Aplicando la fórmula del cambio de base:
loga
N
logb
N = ––––––
loga
b
para escribir todos los logaritmos en base “2”.
Se tendrá:
log2
8 log2
4 log2
8
E = (log2
x)
(–––––
–––
) (–––––
–––
)(–––––
–––
)
log2
4x log2
x log2
2x
log2
2x
.
(–––––
–––
)(log2
4x)
log2
4
simplificando:
E = (log2
8) . (log2
8) = (log2
23
) . (log2
23
)
E = 3 log2
2 . 3 log2
2 = 3 . 3
Rpta.: E = 9
8.- Resolver:
(log x
2) . (log x
2) = log x
2
_
_ _
_
16 64
Solución:
Escribiendo cada uno de los logaritmos en base 2,
aplicando la fórmula de cambio de base:
log2
2 log2
2 log2
2
––––––– . ––––––––– = ––––––––
x x
log2
x log2(––
) log2 (––
)
16 64
1 1 1
–––––– . ––––––––––––– = –––––––––––––
log2
x log2
x - log2
16 log2
x - log2
64
1 1
––––––––––
––––––––––– = –––
–––––––––––
(log2
x)(log2
x - log2
24
) (log2
x - log2
26
)
1 1
––––––––––––––– = ––––––––––
log2
x(log2
x - 4) (log2
x - 6)
invirtiendo y efectuando:
(log2
x) . (log2
x) - 5(log2
x) + 6 = 0
factorizando:
(log2
x - 3) (log2
x - 2) = 0
log2
x - 3 = 0
log2
x = 3
∴ x1
= 23
= 8
log2
x - 2 = 0
log2
x = 2
∴ x2
= 22
= 4
Rpta.: x1
= 8 ; x2
= 4
9.- Sabiendo que:
loga
loga
b - loga
loga
c = 1
Calcular:
E = loga
logb
a - loga
logc
a
Á L G E B R A
- 393 -

Solución:
Por propiedad, la condición se escribe así:
loga
b
loga
{––––––
}= 1
loga
c
Por la 4ta. propiedad:
loga
b
–
––––– = a
loga
c
loga
b = a loga
c → loga
b = loga
ca
tomando antilogaritmos en base “a”:
b = ca
(1)
En la expresión pedida, transformando:
logb
a
E = loga
{––––––
}
logc
a
Cambiando la base de los logaritmos, a base “a”:
loga
a
––––––
loga
b
E - loga
{––––––
}
loga
a
––––––
loga
c
simplificando:
loga
c
E = loga (–––––––
) (2)
loga
b
En (1) tomando logaritmos en base “a”:
loga
b = a loga
c (3)
loga
c
E = loga (–––––––
)
a loga
c
simplificando:
1
E = loga (––
)= loga
1 - loga
a = 0 - 1
a
Rpta.: E = -1
10.- Resolver:
8 - log5
x log3
x
logx (–––––––––
) - 1 = 0
log5
x
Solución:
Efectuando el logaritmo de la potencia y pasando
“-1” al segundo miembro:
8 - log5
x
log3
x . logx (–––––––––
)= 1
log5
x
8 - log5
x 1
logx (–––––––––
)= ––––––
log5
x log3
x
En el segundo término cambiando la base “x”:
8 - log5
x 1
logx (–––––––––
)= ––––––
log5
x logx
x
–––
––––
logx
3
8 - log5
x
logx (–––––––––
)= logx
3
log5
x
Tomando antilogaritmos en base “x”:
8 - log5
x
–––––––– = 3 → 8 - log5
x = 3 log5
x
log5
x
8 = 4 log5
x → 2 = log5
x
Por definición:
x = 52
→ x = 25
x
log2
xy - log2
–– = 8 (1)
y
2log x
= 4log y
(2)
Solución:
log x log y 2 log y log y2
2 = (22
) = 2 = 2
de donde:
log x = log y2
- 394 -
α
α α

levantando logaritmos:
x = y2
(3)
log2
y3
- log2
y = 8
9 log2
y - log2
y = 8
8 log2
y = 8 → log2
y = 1
log y = ±1
y = 10
o:
y = 10-1
Sustituyendo los valores de “y” en (3):
y = 102
o:
y = 10-2
__
log
logx
√z = x (1)
1
–––––– - 1
_
x+1 2√2
__
√2
xx
x
. log z
x = x (2)
Solución:
1
____
log x
log z = x
o:
1
––––– log z = x
log x
log z = x log x
log z = log xx
∴ z = xx
(3)
En (3) tomando logaritmos en base “z”:
logz
z = logz
xx
= x logz
x
∴ 1 = x logz
x
1
logz
x = –– = x-1
(4)
x
1
––––––
_
x+1 2√2
__
√2
xx
x
. x -1
= x . x -1
simplificando:
1
––––––
_
x+1 2√2
__
√2
xx
x
= x
transformando:
1
____
_
√2
1
(––
–––
)
_
√2
xx
x
x
. x
= x
1
____
_
√2
1
xx
x
. x
=
(––––
)
__
√2
1
____
_
√2
1
(xx
)
xx
=
(––––
)
__
√2
por comparación:
2
__
1 1 1
xx
= ––––– =
(––
)
__
√2
2
otra vez por comparación:
1
x = ––
2
2
__
1
1 1
z =
(––
) = ––––
__
2 √2
1
Rpta.: x = ––
2
1
z = ––––
––
√2
Á L G E B R A
- 395 -

log2
x + log4
y + log4
z = 2 (1)
log3
x + log9
z + log9
x = 2 (2)
log4
z + log16
y + log16
x = 2 (3)
Solución:
Las ecuaciones se pueden escribir:
log4
x2
+ log4
y + log4
z = 2 (1)
log9
y2
+ log9
z + log9
x = 2 (2)
log16
z2
+ log16
y + log16
x = 2 (3)
o también:
log4
x2
yz = 2 → x2
yz = 16 (α)
log9
xy2
z = 2 → xy2
z = 81 (β)
log16
xyz2
= 2 → xyz2
= 256 (γ)
Multiplicando miembro a miembro (α), (β) y (γ):
x4
y4
z4
- (24
) . (34
) . (44
)
Extrtayendo la raíz cuarta:
xyz = (2).(3).(4) … (φ)
Dividiendo (α) ÷ (φ):
2
x = ––
3
Dividiendo (β) ÷ (φ):
27
y = –––
8
Dividiendo (γ) ÷ (φ):
32
z = –––
3
LOGARITMOS COMO PROGRESIONES
DEFINICIÓN
Dadas dos progresiones indefinidas, una geométrica
de razón “q” (q 0 y q ≠ 1) que tiene como uno de
sus términos “1” y otra aritmética de razón “r” que
tiene como uno de sus términos a “0”, ordenadas de
tal modo que el “1” de la P.G. y el “O” de la P.A. se
correspondan. Logaritmo de un término de la P.G. es
el término que le corresponde en la P.A.
Así, las progresiones siguientes definen un sis-
tema de logaritmos:
decreciente creciente
: : … q-n
… q-3
: q-2
: q-1
: 1 : q : q2
: q3
: q4
: … qn
: … -rn … -3r . -3r . r . 0 . r . 2r . 3r … nr…
donde: (1) logb
qn
= nr
(2) logb
q2
= 2r ; etc.
Si se desea hallar el logaritmo de un número “N”
que no se encuentra en la P.G., por ejemplo que
está comprendido entre q4
y q5
(q4
q5
) bastará
interpolar el número necesario de tal manera que
aparezca en la P.G. el número “N” y en la P.A. el
correspondiente logaritmo.
BASE DEL SISTEMA DE LOGARITMOS
DEFINIDO POR UNA P.G. Y UNA P.A.
Sea: logb
qn
= nr → qn
= bnr
__
∴ b =
r
√q
La base de todo sistema de logaritmos, en este
caso, es igual a la raíz de la “razón de la P.G.”,
cuyo índice es la “razón de la P.A.”
Ejemplo:
Hallar la base del sistema de logaritmos definido
por las progresiones:
1 1
: : … : ––– : –– : 1 : 9 : …
81 9
: … : -8 . -4 . 0 . 4 …
- 396 -
α
α α

Solución:
Se sabe que:
__
b =
r
√q (1)
Para la P.G. :
1
––
9
q = –––– = 9
1
–––
81
Para la P.A.:
r = -4 - (-8) = 4
__
b =
4
√9
__
∴ b = √3
PROPIEDADES
1º Hay infinitos sistemas de logaritmos.
2º En todo sistema de logaritmos, el logaritmo de
“1” es cero y el logaritmo de la base es la unidad.
3º Los números negativos no tienen logaritmos en el
campo de los números reales.
4º Si las dos progresiones son crecientes en el mis-
mo sentido, los números mayores que “1”, tienen
logaritmos positivos, y los menores que “1”, loga-
ritmos negativos.
SISTEMA DE LOGARITMOS NEPERIANOS
Se denomina sistema de logaritmos neperianos, natu-
rales o hiperbólicos, al sistema que tiene como base
el número trascendente “e” definido así:
n
1
e = lim
(1 + ––
) = 2,718281…
n → ∞ n
o:
1
––
e = lim (1 + α) α
= 2,718281…
α → 0
Este sistema viene definido por las expresiones
siguientes:
decreciente
: : … (1 + α)-n
: … :(1 + α)-1
creciente
: 1 : (1 + α) : (1 +α)2
: … : (1 + α)n
: … . -nα … -2α . -α . 0 . α . 2α . 3α … nα…
donde al ser infinitamente pequeño, real y posi-
tivo; la primera progresión contiene todos los
números y en la segunda están sus logaritmos.
CÁLCULO DE “e”.- Por definición:
1
––
e = lim (1 + α) α
α → 0
desarrollando por Binomio de Newton:
1 1
–– 1 ––- 1
e = lim
[(1)α
+
(––
)(1) α
(α) + …
α
1 1
(––
)(–– - 1
) 1
α α ––- 2
+ ––––––––––– (1)
α
(α)2
+ …
2
1 1 1 1
(––
)(–– -1
)(–– - 2
) (–– - k + 1
)
α α α … α
+ ––––––––––––––––––––––––––––––
k
1
––- 2
(1) α
(α)k
+ …
]
estableciendo el límite:
1 1 1
e + (1) + (1) + –– + –– + –– + …
2 3 4
1 1 1
e = 2 + –– + –– + –– +…
2 3 4
e = 2,718281 …
El logaritmo de un número “N” en base “e” se
representa por:
1n N
Á L G E B R A
- 397 -

- 398 -
α
α α
SISTEMA DE LOGARITMOS DECIMALES,
VULGARES O DE BRIGGS
Son logaritmos de base 10 definidos por las pro-
gresiones:
: : … 10- n
… : 10-3
: 10-2
: 10-1
: 1 : 10 :
: 102
: 103
: … 10n
: …
: … -n : … -3 .- 2 . -1 . -0 . 1 . 2 . 3 … n …
Este sistema de logaritmos es el que general-
mente se emplea en el cálculo numérico por coin-
cidir su base con la del sistema de numeración
decimal.
PROPIEDADES DEL SISTEMA DE LOGARITMOS
VULGARES
1º Los logaritmos de los números mayores que 1 son
positivos y los logaritmos de los números
menores que 1 son negativos.
2º Los logaritmos de potencias de 10, son iguales al
exponente de dicha potencia.
3º El logaritmo de un número comprendido entre dos
potencias consecutivas de 10 son decimales; por
ejemplo el logaritmo de un número comprendido
entre 102 y 103 está comprendido entre 2 y 3, la
parte entera se llama CARACTERISTICA y la parte
decimal se llama MANTISA.
Ejemplos:
En las Tablas de Logaritmos:
log 545 = 2,736397
(este es un número comprendido entre 102
y
103
), donde la característica es 2 y la mantisa es
igual a : 0,736397
4º La característica del logaritmo vulgar de un
número mayor o igual que uno, es positiva e igual
al número de cifras que hay en la parte entera,
menos una unidad.
Ejemplos:
i) 5 es un número de una cifra entera, luego:
log 5 tiene como característica 0.
ii) 27,95 es un número que tiene 2 cifras enteras,
luego:
log 27,95 tiene como característica 1.
iii) 457,383 es un número que tiene 3 cifras
enteras, luego:
log 457,383 tiene como característica 2.
5º La característica del logaritmo decimal de un
número menor que la unidad es negativa, o igual
al número de ceros que preceden a la primera
cifra significativa, considerando incluso el cero
de los enteros.
Ejemplos:
i) log 0,7 tiene como característica -1.
ii) log 0,0041 tiene como característica -3.
6º Si se multiplica o divide un número por la unidad
seguida de ceros, no altera la mantisa de su loga-
ritmo; pero la característica aumenta o disminuye
respectivamente de tantas unidades como ceros
acompañan a la unidad.
Ejemplo:
los logaritmos de los números:
0,000453 ; 0,00453 ; 0,0453 ; 0,453 ; 4,53
tienen diferentes características pero la misma
mantisa.
CÁLCULO DE LA MANTISA.- El cálculo de la man-
tisa del logaritmo de un número se lleva a cabo me-
diante el uso de la Tabla de Logaritmos.
TRANSFORMAR UN LOGARITMO
TOTALMENTE NEGATIVO EN OTRO
PARCIALMENTE NEGATIVO Y VICEVERSA
1) Para transformar un logaritmo totalmente negativo
en otro parcialmente negativo, se suma “-1” a la
característica, “+1” a la mantisa.
Ejemplo: Se procede así:
colog 75 = -log 75 = -2,875061
= -(2 + 0,8755061)

= -2- 0,875061 + 1 - 1
= (-2 - 1) + (1 - 0,875061)
ordenando: = -3 + 0,124939
–
colog 75 = 3,124939
2) Para transformar un logaritmo parcialmente negati-
vo en otro totalmente negativo, se suma y resta “1”.
Ejemplo: Se procede así:
–
log 0.071 = 2,851258
= -2 + 0,851258 + 1 - 1
= (-2 + 1) - (1- 0,851258)
= -1- 0,148742
= -1,148742
CÁLCULO LOGARITMICO
SUMA DE LOGARITMOS
Para sumar logaritmos de característica positiva, se
suma como si fueran números decimales cualquiera;
los logaritmos con característica negativa se suma
teniendo en cuenta el signo de la característica y las
mantisas se suma como cualquier número decimal.
Ejemplos:
–
i) 0,17096 + ii) 2,43128 +
–
1,23047 4,26081
–
3,73919 2,43128
––––––––– –––––––––
–
5,14062 7,12337
RESTA DE LOGARITMOS
Para restar logaritmos se efectúa la mantisa como si
se tratara de decimales cualesquiera, pero teniendo
en cuenta el signo de la característica cuando se
restan éstas.
Ejemplos:
i) 4,17096 - ii) 2,56937 -
–
1,23047 3,33646
––––––––– –––––––––
2,94049 5,23291
PRODUCTO DE LOGARITMOS
Para hallar el producto de un logaritmo por un
número entero, se efectúa como el producto de un
número decimal por otro, pero teniendo en cuenta el
signo de la característica.
Ejemplos:
––
i) 2,45234 x ii) 16,34783 x
2 3
––––––––– –––––––––
4,90468 47,04349
Si el número es negativo todo el producto es neg-
ativo, luego el resultado se transforma en carac-
terística negativa y mantisa positiva.
Ejemplos:
–
i) 2,56937 x ii) 2,33646 . (-3)
-2
–––––––––
-5,13874
Por partes:
(-2)(-3) = 6 (1)
(0,33646)(-3) = -1,00938
–
(0,33646)(-3) = 2,99062 (2)
Sumando (1) con (2) se obtiene:
–
2,33646 . (-3) = 4,99062
MULTIPLICACIÓN Y DIVISIÓN DE
LOGARITMOS ENTRE SI
Si los logaritmos que han de multiplicarse o dividirse
son positivos, se procede lo mismo que en
Aritmética.
Si uno de los dos logaritmos es parcialmente nega-
tivo; ésto es, si tienen característica negativa y
mantisa positiva, se transforma en su equivalente
totalmente negativo antes de efectuar la operación.
Ejemplos:
– –
i) Efectuar: (3,33646)( 2,56937)
Solución:
Transformando a negativo:
= (-2,66354)(-1,43063) = + 3,81054
Á L G E B R A
- 399 -

––
16, 34783
ii) Dividir: –––––––––
2, 64048
Solución:
Transformando a negativo:
- 15,65217
–––
––––––– = -5,92777
2,64048
CONVERSIÓN DE LOGARITMOS
DECIMALES A LOGARITMOS NEPERIANOS
Utilizando la fórmula del cambio de base:
log10
N
loge
N = ––––––– = 2,3026 log10
N
loge
N
Luego:
loge
N = 2,3026 log10
N
Ejemplo:
Hallar el logaritmo neperiano de 1 000.
log 1 000 = 2,3026 log 1 000
= 2,3026 . 3
= 6,9078
CONVERSIÓN DE LOGARITMOS
NEPERIANOS A LOGARITMOS DECIMALES
Por fórmula:
loge
N 1n M
log N = –––––– = ––––––– = 0,343 1n N
loge
10 2,3026
∴ log N = 0,4343 1n N
Ejemplo:
Hallar el logaritmo decimal de 16 si:
1n 4 = 1,36863
log 16 = 0,4343 1n 16 = 0,4343 1n 42
= 2(0,4343) 1n 4 = 2(0,4343)(1,36863)
log 16 = 1,20412
1.- Calcular:
______
_
E = log
4
√781,25 si log 2 = 0,301030
Solución:
Transformando la expresión E :
4
––––––––
–––––
781,25 . 100
E = log ––––––––––––
√ 100
4
–––––––
78125 1 78 125
E = log –––––– = –– log
(––––––
)
√ 100 4 100
1 1
E = –– (log 78 125 - log 100) = –– (log 57
- 2)
4 4
1 1 10
E = –– (7 log 5 - 2) = –– (7 log ––– - 2)
4 4 2
1 1
E = –– [7(log 10- log2) - 2] = –– [7(1 - log 2) - 2]
4 4
1 1
E = –– (7 - 7 log2 - 2) = –– (5 - 7 log 2)
4 4
1 1
E = –– [5 - 7(0,301030)] = –– (5 - 2,10721)
2 2
E = 0,7231975
2.- Hallar el número de cifras que tiene el siguiente
producto:
E = 540
. 280
si log2 = 0,30103
Solución:
Tomando logaritmos vulgares a ambos miembros,
resulta:
log E = 40 log 5 + 80 log 2
- 400 -
α
α α

Á L G E B R A
- 401 -
10
= 40
(log –––
)+ 80 log 2
2
= 40 (log 10 - log 2) + 80 log 2
= 40(1 - log 2) + 80 log 2
= 40 - 40 log 2 + 80 log 2
= 40 + 40 log 2
= 40(1 + log 2) = 40(1 + 0,301030)
log E = 52,04120
Como la característicaes 52, el producto es un
número que tiene 53 cifras enteras.
e1n(z-y)
+ e1n(z-x)
+ e1n(x+y)
E = ––––––––––––––––––––
(ex
+ ey
+ ez
)(x + y + z)
si se cumple que x = 1n 2, y = 1n 3, z = 1n 6.
Solución:
loga
N
Como por propiedad a = N, el numerador se
transforma:
(z - y) + (z - x) + (x + y)
E = –––––––––––––––––––––––––
(e1n 2
+ e1n 3
+ e1n 6
)(x + y + z)
simplificando y reemplazando por sus equivalentes:
2z
E = –––––––––––––––––––––––––––
(2 + 3 + 6) (1n 2 + 1n 6 + 1n 3)
2(log 6) 1n 62
E = ––––––––––––––– = –––––––––
(11)(1n 2 . 3 . 6) (11)1n 36
1
E = –––
11
log 2 3_______________ ____
E = (√log3
135
- log9
25)log √0,04
____
3
√0,125
a) 1 b) 3 c) 0 d) 4 e) 5
2. Sabiendo que:
(a - b)-1
+ (b - c)-1
= (a - c)-1
encontrar el valor de:
log(a - b) + log(b - c)
E = –––––––––––––––––––
log(a - c)
a) 1 b) 2 c) 3 d) 10 e) 9
3. Resolver:
log x log x2
(log b) . (log b)
1og x3
log xx
x2
+x
. (log b) … (log b) = (log b)
a) 200 b)100 c) 400
d) 20 e) 150
4. ¿Qué valor de “x” verifica la igualdad:
antilog 4
x = antilog 2
[colog (3 log 3)]
__ __
√6 √3
a) -1 b) 1 c) 3 d) 4 e) -2
5. Hallar el valor de ‘a” en la siguiente expresión:
_
_ _
_
_
_
√a
√a √a
__
__ __
log a
a . log a
a
√a . loga
√a = √2
__ __
√a √a
1
__
a) 1 b) 2 c) 3 d) –– e) √2
2

- 402 -
α
α α
__
6. Calcular E, si x =
10
√3
__ x __ x
log
√3
log 2
x log
√6
E = logx
(3 + 4 + 6 )
a) 11 b) 3 c) 10 d) 9 e) 12
7. Resolver el sistema. Hallar “x”:
x
log2
xy - log2
–– = 8 (1)
y
log x log y
2 = 4 (2)
1 2
a) 100 b) –––– c) –––
100 50
d) 1 e) 300
8. Si se verifican las ecuaciones, hallar xy:
log 2 log 5
(2x) = (5y)
log x log y
5 = 2
a) 1 b) 10 c) 0,1 d) 2 e) - 0,1
9. Proporcionar el valor de z del sistema tema:
xy xz
log ––– = m ; log ––– = n
az
ay
yz
log ––– = p
ax
1
a) a b) n + p c) –– a(n+p)
2
1
__ (n+p)
d) a 2
e) p
10. Del sistema adjunto proporcionar: logx
y.
log a log b
a x = b y … (1)
log a log b
b x = a y … (2)
a) 1 b) 2 c) 4 d) 3 e) 5
loga
x
1
11. Resolver:
(––––––
) = b2b
log x
a
a) ab
b) ba
c) a d) b e) -ab
12. Si “e” representa la base de logaritmos neperia-
nos, resolver: (L = 1n)
log x
Lx - e 1
logx (––––––
) = L
(––
)
Lx + e e
a) x = ell e /9
b) x = e 4e /9
c) x = e0e /9
d) x = e 9e /10
e) x = ee
13. Si: x = logb
. antilogb
. cologb
. antilogb
(-b-1
)
Calcular:
E = logb
[xb
- cologx
bx
]2
+ colog 1
bx2
+b2
–
–
x
a) 1 b) -1 c) -2 d) 2 e) 0
14. Resolver la siguiente ecuación:
3 log(logx)
––––––––––––
log [ log(log x)]
log(log x) = 27
a) 102
b) 103
c) 104
d) 101
e) 105
15. Si: bb1-b
= 5 Simplificar:
b logb
x
(bb
logb
x) = bb 2-b
a) 2 b) 3 c) 4 d) 5 e) 6
16. Hallar el valor de “x” en el siguiente sistema de
ecuaciones:
xy
= yx
; 8x
= 5y

Á L G E B R A
- 403 -
log 5 log 8
––
–
–––––––– ––
–
––––––––
log 8 - log 5 log 8 + log 5
log 8 log 5
a)
(––––––
) b)
(––––––
)
log 5 log 8
log 8 log 8
––
–
–––––––– ––
–
––––––––
log 8 + log 5 log 8 - log 5
log 8 log 8
c)
(––––––
) d)
(––––––
)
log 5 log 5
log 8
––
–
––––––––
log 8 - log 5
log 8
d)
(––––––
)
log 5
17. Resolver el sistema y dar:
a + (a + b)2
aa+b
x logy
x + y logx
y = ––––––––––––– (1)
a + b
aa+b+1
xy logxy
a = –––––––– (2)
a + b + 1
a) a b) ab c) -a
d) 1 e) 0
log2
x 2 loga
x
––––––– = –––––––– = log x - loga
x
2
––
log2
a log 1
a √a
__
2
–––
– –––
– –––
–
a)
3
√2b2
b) √2b2
c) -
3
√2b2
–––
–
d) √3b3
e) 2b2
4 - x
1 + logx
––––– = (log log n - 1)
10
¿Cuántas raíces tiene esta ecuación para un valor
determinado de “n”?
a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5
____________
_________
___ ___
√loga
4
√ax + logx
4
√ax
_________
_____________
4
___ 4
___
x a
+ log a
–– + log x
–– = a
√ √a √ x
a) a b) aa
c) a2
__
__
√a
d) √a e) a
CLAVE DE RESPUESTAS
1) E 2) B 3) B 4) A 5) B
6) E 7) A 8) C 9) D 10) A
11) A 12) C 13) D 14) B 15) D
16) A 17) A 18) A 19) B 20) C

- 404 -
α
α α
INTERÉS COMPUESTO
INTERÉS COMPUESTO
El interés compuesto, es un mecanismo mediante el
cual las ganancias se van sumando al capital, general-
mente cada año, para formar parte del mismo, produ-
ciendo nuevos intereses.
Simbología:
Monto = M = C + I = Capital + Intereses
Capital = C = Capital Impuesto
Tanto por Ciento = R (Interés producido por 100
soles en un año).
R
Tanto por uno = r = –––– (Interés producido por
un sol en un año). 100
Tiempo = t = (tiempo al que se impone el capital
generalmente en años).
DEDUCCIÓN DE LA FÓRMULA
Dado un capital “C” que se impone a interés com-
puesto al “r” por uno anual, durante un tiempo de
“t” años. Calcular el monto que se obtiene al final de
ese tiempo.
Por lo tanto el monto después de t años es:
M = C(1 + r)t
OBSERVACION IMPORTANTE.- En la fómula M = C(1 + r)t
, el exponente t y el tanto por uno “r”
siempre van expresados en la misma unidad, según sea el período, al fin del cual se capitalizan los
intereses de acuerdo con esto:
Capital Interés Monto
1er. año C Cr C + Cr = C(1+ r)
2do. año C(1 + r) Cr(1 + r) C(1 + r) + C(1 + r)r = C(1 + r)2
3er. año C(1 + r)2
Cr(1 + r)2
C(1 + r)2
+ C(1 + r)2
r = C(1 + r)3
… … … …
“t” años –– –– = C(1 + r)t

CASO EN QUE EL TIEMPO ES MULTIPLO
DEL PERIODO DE CAPITALIZACIÓN
En este caso: t = n + f
donde:
n = # entero de años
f = fracción de año
en este caso se utiliza la fórmula:
M = C(1 + r)n
(1 + fr)
INTERÉS
Para determinar el interés se observa que:
M = C + I
I = M - C = C(1 + r)t
- C
∴ I = C [(1 + r)t
-1]
ANUALIDADES
DEFINICIÓN.- Se denomina anualidad a la cantidad
fija que se entrega o impone todos los años para for-
mar un capital (anualidad de capitalización) o para
amortizar una deuda (anualidad de amortización).
ANUALIDAD DE CAPITALIZACIÓN (Ac
)
Es la cantidad fija que se impone al principio de cada
año al “r” por uno de interés compuesto para formar
un capital “C”, en un tiempo “t”.
DEDUCCIÓN DE LA FÓRMULA
La 1ra. anualidad en t años se convierte en:
Ac
(1 + r)t
La 2da. anualidad en (t - 1) años se convierte en:
Ac
(1 + r)t-1
La 3ra. anualidad en (t - 2) años se convierte en:
Ac
(1 + r)t-2
y así sucesivamente.
La última anualidad en un año se convierte en
Ac
(1 + r)
La suma producidos por las anualidades, debe ser
igual al capital por “c” por formar entonces:
C = Ac
(1 + r)t
+ Ac
(1 + r)t-1
+ Ac
(1 + r)t-2
+ … + Ac
(1 + r)
Sacando factor común Ac
(1 + r):
C = Ac
(1 + r)[(1 + r)t-1
+ (1 + r)t-2
+
+ (1 + r)t-3
+… + 1]
transformando a cociente notables:
(1 + r)t
- 1
C = Ac
(1 + r)
[–––––––––––
]
1 + r - 1
Á L G E B R A
- 405 -
exponente (tiempo) tanto por uno
capitalización anual t (en años) r (anual)
capitalización semenstral 2t r/2
capitalización trimestral 4t r/4
capitalización bimestral 6t r/6
capitalización mensual 12t r/12
capitalización diaria 360t r/360

Ac
(1 + r) [(1 + r)t
- 1]
C = –––––––––––––––––––
r
de donde:
Cr
Ac
= –––––––––––––––––
(1 + r)[(1 + r)t
- 1]
ANUALIDAD DE AMORTIZACIÓN (Aa
)
Es la cantidad fija que se impone al final de cada año
al “r” por uno de interés compuesto para amortizar
una deuda “C” y los intereses que produce, a interés
compuesto, en un tiempo “t”.
DEDUCCIÓN DE LA FÓRMULA.- La 1ra. anualidad
impuesta durante “t - 1” años, se convierte en:
Aa
(1 + r)t -1
La 2da. anualidad impuesta durante “t - 2” años
se convierte en:
Aa
(1 + r)t-2
La 3ra. anualidad en “t - 3” años se convierte en:
Aa
(1 + r)t-3
y asi sucesivamente.
La última anualidad Aa
, se deposita al final del
año t.
La suma de los montos producidos por las anu-
alidades, debe ser igual al capital prestado más
sus intereses, es decir:
C(1 + r)t
= Aa
(1 + r)t-1
+ Aa
(1 + r)t-2
+
+ Aa
(1 + r)t-3
+ … + Aa
Extrayendo factor común Aa
:
C(1 + r)t
= Aa
[(1 + r)t-1
+ (1 + r)t-2
+
+ (1 + r)t-3
+ … + 1]
también:
(1 + r)t
-1
C(1 + r)t
= Aa[–––––––––
]
1 + r - 1
Aa
[(1 + r)t
- 1]
C(1 + r)t
= ––––––––––––––
r
de donde:
Cr (1 + r)t
Aa
= ––––––––––
(1 + r)t
- 1
1.-¿Qué monto formará en 4 años, un capital de 1 000
dólares, imponiéndose al final de cada año a
interés compuesto del 10%?
Solución:
Datos: C = 1 000
t = 4
10
r = –––– = 0,1
100
De la fórmula:
M = C(1 + r)t
M = 1 000(1 + 0,1)4
+ 1 000(1 . 1)4
= 1 000(1,4641)
M = 1 464,1 dólares
2.- ¿Cuántos años estuvo impuesto a interés com-
puesto al 5%, un capital de S/. 3 200 000 que se
convirtió en S/. 4 084 101 ?
Solución:
Datos: M = 4 084 101
C = 3 200 000
R 5 1
r = –––– = –––– = –––
100 100 10
t = ?
Por la fórmula:
M = (1 + r)t
sustituyendo datos :
t
1
4’084,101 = 3’200,00
(1 + –––
)
20
t
4’084,101 21
–––––––––– =
(–––
)
3’200,000 20
- 406 -
α
α α

pero: 4’084,101 = 35
. 75
3’200,000 = 25
. 105
luego:
t 5
21 35
. 75
3 . 7
(–––
) = ––––––– =
(–––––
)
20 25
. 105
2 . 10
t 5
21 21
(–––
) =
(–––
)
20 20
t = 5 años
3.- ¿En cuántos años, lo más aproximadamente posi-
ble, al 15% de interés compuesto se duplica un
capital?
Datos: log 2 = 0,301030
log 1,15 = 0,06070
Solución:
Datos: C = x
M = 2x
t = ?
r = 0,15
Por fórmula:
M = C(1 + r)t
sustituyendo datos:
2x = x(1 + 0,15)t
2 = (1,15)t
tomando logaritmos:
log 2 = t log 1,15
log 2 0,301030
t = ––––––– = ––––––––– = 5
log 1,15 0,060070
Rpta.: En 5 años
4.- Una máquina al comienzo de un año fue valoriza-
da en S/. 10 000 y se sabe que al final de cada
año pierde 30% de su valor por desperfectos.
¿Dentro de cuántos años el valor de la máquina
será de S/. 2 401?
Solución:
Datos: C = 10 000
M = 2 401
r = 0,3
t = ?
En este caso, el tanto por uno actúa negativa-
mente, porque la máquina se desvaloriza:
M = C(1 + r)t
2 401 = 10 000 [1 + (-0,3)]t
2 401
––––––– = (0,7)t
10 000
74
7 4
––– =
(–––
)
104
10
74
7 t
––– =
(–––
)
104
10
t = 4
Rpta.: Dentro de 4 años.
5.- ¿Cuánto tiempo tiene que estar impuesto un ca-
pital “C” al r% de interés compuesto, para que el
monto final sea de “M” dolares?
Datos: log C = 3q - 2p
log M = p + 6q
log(1 + 0,01r) = 1,5(p + q)
Solución:
Por fórmula:
M = C(1 + r)t
tomando logaritmos:
log M = log C + t log(1 + r)
log M - log C = t . log(1 + r)
log M - log C log M - log C
t = ––––––––––––––– = ––––––––––––––
r
log (1 + ––––
) log (1 + 0,01r)
100
Á L G E B R A
- 407 -

sustituyendo valores:
p + 6q - 3q + 2p 3(p + q)
t = ––––––––––––––– = ––––––––– = 2
1,5(p + q) 1,5(p + q)
Rpta.: Tiene que estar impuesto 2 años.
6.- Para que un capital colocado al 100 r% de interés
compuesto aumente en un k% en “n” años, ¿qué
valor debe tener “r”?
Solución:
Datos:
M = C + 0,01 kC = (1 + 0,01k)C
C = C
t = n
r = ?
Por fórmula:
M = C(1 + r)t
Sustituyendo valores:
0,01kC + C = C(1 + r)n
Dividiendo entre “C” se tendrá:
0,01k + 1 = (1 + r)n
Extrayendo raíz enésima:
__
_______
n
√0,01k + 1 = 1 + r
____
_____
Rpta.: r =
n
√0,01k + 1 - 1
7.- Una cierta ciudad tenía una población de 250 000
personas en el año 1 985 y en 1 995 su población
alcanzó los 490 000 habitantes. ¿Cuál sería la
población estimada en 1 990 suponiendo que el
aumento de la población no es constante por año
sino proporcional al aumento de sus habitantes?
Solución:
usemos la fórmula:
M = C(1 + r)t
la población entre 1 985 y 1 990 es:
M1
= 250 000(1 + r)5
(1)
La población entre 1985 y 1995 es:
M2
= 250 000(1 + r)10
490 000 = 250 000(1 + r)10
49
––– = (1 + r)10
25
7
(1 + r)5
= –– (2)
5
Sustituyendo (2) en (1) :
7
M1
= 250 000
(––
) = 350,000
5
Rpta.: La población en 1990 fue de:
350, 000 habitantes.
8.- Dos capitales iguales han estado impuestos al
mismo tiempo a interés compuesto y han pro-
ducido iguales intereses. El primero, al 6,09%
capitalizando los intereses al fin de cada año. ¿A
qué tanto por ciento estuvo impuesto al segun-
do capital, cuyos intereses se capital semestral-
mente?
Solución:
Condiciones:
(1) Capitalización anual
C1
= C
t1
= t años
r1
= 0,0609
(2) Capitalización semestral
C2
= C
t2
= 2t semestres
1
r2
= r anual = –– semestral
2
Por enunciado:
I1
= I2
(A)
como: I = C [(1 + r)t
- 1]
I1
= C [(1 + 0,0609)t
- 1]
- 408 -
α
α α

r 2t
I2
= C
[(1 + –––
) - 1
]
2
r 2t
C [(1,0609)t
- 1] = C
[(1 + –––
) - 1
]
2
r 2t
(1,0609)t
- 1 =
(1 + –––
) - 1
2
r 2t
(1.0609)t
=
(1 + –––
)
2
2t
___________
________
r 2t
2t
√(1,0609)t
=
(1 + –––
)
√ 2
______
r
√1,0609 = 1 + ––
2
r
1,03 = 1 + ––
2
r
0,03 = ––
2
r = 0,06
como: R = 100r
∴ R = 6%
9.- ¿En cuánto se convertirá, S/. 30 000 al 4% anual,
durante 2 años, capitalizándose los intereses ca-
da trimestre?
Dato: (1,01)8
= 1,0824
Solución:
C = 30 000
R = 4%
4 0,04
r = –––– = 0,04 anual = –––––
100 4
r = 0,01 (trimestral)
t = 2 años = 2(4) = 8 trimestres
M = ?
M = C(1 + r)4t
M = 30 000(1 + 00,01)8
= 30 000(1,01)8
M = 30 000(1,0824) = 32’472,0000
M = 32 472
10.- Calcular el monto que produce un capital de
S/.40 000 impuesto al 6% de interés compuesto
durante un tiempo de 3 años y 4 meses. Dato:
(1,06)3
= 1,19016
Solución:
Datos: M = 40 000
r = 0,06
t = 3 años y 4 meses
4
f = –––
12
Por fórmula:
M = C(1 + r)t
(1 + ft)
sustituyendo datos:
4
M = 40 000(1 + 0,06)3
(1 + ––– . 0,06
)
12
M = 40 000(1,06)3
(1 + 0,02)
M = 4 . 104
(1,19016)(1,02) = 48 593,45
M = 48 593,45
11.- Un grupo de microbios se reproduce tan rápida-
mente que en una hora aumenta su volumen en
un 50%. ¿Cuántas horas serán necesarias para
que su volumen sea 40 veces su volumen ini-
cial? Datos: log 2 = 0,301030, log 3 = 0,47712
Solución:
El volumen de los microbios crece como si fuese
un capital depositado a interés compuesto.
Vi = V ; Vf = 40V
De la fórmula:
M = C(1 + r)t
sustituyendo datos:
40V = V(1 + 0,5)t
Á L G E B R A
- 409 -

simplificando y tomando logaritmos:
log 40 = t log(1,05)
log 40
t = ––––––––
log 1,5
log 22
. 10 2 log 2 + 1
t = –––––––––– = –––––––––––
3
log
(––
) log 3 - log 2
2
2(0,30103) + 1 1,60206
t = –––––––––––––––– = –––––––– = 9
0,47712 - 0,30103 0,17609
t = 9 horas
841
12.- ––– es la relación que existe entre los intereses
400 producidos por dos capitales iguales,
impuestos durante 4 años y 2 años respectiva-
mente, a interés compuesto y al mismo tiempo
tanto por ciento.¿Cuál es éste?
Solución:
Condiciones:
(1) (2)
C1
= c C2
= c
t1
= 4 t2
= 2
r1
= r r2
= r
R = ?
I1 841
–– = –––– (A)
I2
400
I1
= c [(1 + r)4
- 1] (1)
I2
= c [(1 + r)2
- 1] (2)
Sustituyendo (1) y (2) en (A):
c [(1 + r)4
- 1] 841
––––––––––––– = ––––
c [(1 + r)2
- 1] 400
factorizando:
[(1 + r)2
+ 1] [(1 + r)2
-1] 841
––––––––––––––––––––––– = ––––
[(1 + r)2
- 1] 400
841 841
(1 + r)2
+ 1 = –––– ; (1 + r)2
= –––– -1
400 400
441
(1 + r)2
= ––––
400
tomando raíz cuadrada:
21
1 + r = –––
20
21 1
r = ––– - 1 = –––
20 20
1
R = 100r = 100
(––
)= 5
20
R = 5%
13.- Hallar el monto que proporciona un capital,
sabiendo que este monto se triplica, cuando el
tiempo se duplica y el capital se multiplica a sí
mismo.
Solución:
La fórmula del interés compuesto es:
M = C(1 + r)t
(1)
Por condiciones del problema:
3M = C2
(1 + r)2t
(2)
Elevando (1) al cuadrado:
M2
= C2
(1 + r)2t
(3)
Dividiendo (3) entre (2):
M
–– = 1 ; M = 3
3
Rpta.: El monto es de S/. 3
14.- Una persona impone un capital al 4% de interés
compuesto durante 4 años, y otra impone el
mismo capital, al mismo porcentaje, pero
durante un año más, percibiendo: 250(1,04)4
más de interés. ¿Cuánto es el capital inicial?
Solución:
Se sabe que:
M = C + I
y que: M = C(1 + r)t
∴
- 410 -
α
α α

Para la primera persona:
M1
= C + I1
= C(1 + r)4
(I)
Para la segunda persona:
M2
= C + I2
= C(1 + r)5
(II)
Restando (II) - (I):
I2
- I1
= C(1 + r)4
[(1 + r) -1]
I2
- I1
= C(r) (1 + r)4
I2
- I1
C = ––––––––
r (1 + r)4
sustituyendo datos:
250(1,04)4
250 . 100
C = ––––––––––––––– = ––––––––– = 6 250
(1 + 0,04)4
(0,04) 4
C = S/. 6 250
15.- La asamblea de pobladores de un pueblo acordó
la construcción del local para una escuela pre-
supuestada en S/. 4 millones, cuya cantidad la
tomó a préstamo al 5% amortizable en 20 años.
Calcular la cantidad fija que debe amortizarse al
final de cada año para cancelar el préstamo más
sus intereses.
Dato: (1,05)20
= 2,65347
Solución:
Datos: C = 4 000 000
R = 5%
r = 0,05
t = 20
Por fórmula:
C . r (1 + r)t
Aa
= –––––––––––
(1 + r)t
- 1
sustituyendo datos:
4 . 106
. 0.05 (1 + 0,05)20
Aa
= ––––––––––––––––––––––
(1 + 0,05)20
- 1
4 . 106
. 0,05 (1,05)20
Aa
= –––––––––––––––––––
(1,05)20
- 1
2 . 105
. 2,65347 5,30694 . 105
Aa
= ––––––––––––––– = ––––––––––––
2,65347 - 1 1,65347
Aa
= 320 957,74 soles cada año.
16.- Una persona coloca a interés compuesto una
cierta cantidad durante 3 años con la finalidad
de tener un capital de S/. 7 282 . ¿Qué anualidad
debe imponer al 10% de interés compuesto?
Solución:
Datos: C = 7 282
r = 0,1
t = 3
Por fórmula:
Cr
Ac
= –––––––––––––––––
(1 + r) [(1 + r)t
- 1]
sustituyendo datos:
7 282 . 0,1 7 282 . 0,1
Ac
= –––––––––––––– = ––––––––––––––
(1,1) [(1,1)3
- 1] (1,1)(1,331 - 1)
7 282 . 0,1
= –––––––––––– = 2 000
(1,1) (0,331)
Ac
= S/. 2 000
17.- Se presta un capital que aumentado con sus
intereses acumulados al 5% durante 3 años
resulta de 10 000. ¿Cuál es el valor de la anual-
idad mediante la cual se ha de extinguir dicha
deuda en los 3 años?
Solución:
Datos: C = 10 000
r = 0,05
t = 3
Por fórmula:
C . r (1 + r)t
Aa
= –––––––––––
(1 + r)t
- 1
Á L G E B R A
- 411 -

sustituyendo datos:
104
. 5 . 10-2
(1,05)3
102
. 5 . 1,157625
Aa
= ––––––––––––––––– = –––––––––––––––
(1,05)3
- 1 1,157625 - 1
500 . 1,157625
Aa
= ––––––––––––– = 5 000
0,157625
Aa
= 5 000
18.- ¿Qué tiempo necesita una suma colocada a
interés compuesto y a 100r % para llegar a ser
“m” veces mayor?
Solución:
Datos: C = C1
M = mC1
r = r
t = ?
En la fórmula:
M = C(1 + r)t
sustituyendo M y C:
mC1
= C1
(1 + r)t
simplificando y tomando logaritmos:
log m = t log (1 + r)
log m
t = ––––––––––
log (1 + r)
19.- Una persona ha pedido prestado el 1 / 1 / 92 la
suma de S/. 100 000 y las pagó en dos anuali-
dades (de dos años cada una) de S/. 60 000 . El
primer pago lo hizo el 1 / 1 / 94 y el segundo el
1 / 1 / 96. Hallar el porcentaje.
Solución:
La deuda, más sus intereses acumulados, desde
1992 hasta 1996 asciende a:
100 000(1 + r)4
(1)
Como el primer pago de 60 000 lo realizó en
1994 estará produciendo intereses a favor
durante 2 años y conjuntamente con el segundo
harán un monto de:
60 000(1 + r)2
+ 60 000 (2)
de (1) y (2):
100 000(1 + r)4
= 60 000(1 + r)2
+ 60 000
haciendo (1 + r)2
= x,y simplificando:
5x2
- 3x - 3 = 0
cuya única raíz aceptable es:
x = 1,13
∴ (1 + r)2
= 1,13
r + 1 = 1,06 ; r = 0,06
El porcentaje es 6%.
20.- Una suma de S/. 30 000 ha sido colocada a
interés compuesto. Si se le hubiera dejado dos
años menos, el capital definitivo hubiera sido
inferior en S/.4 000. Si, por el contrario, se le
hubiera dejado dos años más, el capital hubiera
aumentado en 4 326,4. Hallar el porcentaje.
Solución:
Según los datos del problema:
C(1 + r)n
- C(1 + r)n-2
= 4 000 (1)
C(1 + r)n+2
- C(1 + r)n
= 4 326,4 (2)
Dividiendo (2) : (1):
C(1 + r)n
[(1 + r)2
- 1] 4 326,4
––––––––––––––––––––– = –––––––
C(1 + r)n-2
[(1 + r)2
- 1] 4 000
simplificando: (1 + r)2
= 1.0816
(1 + r)2
= 1,0816
1 + r = 1,04
r = 0,04
El porcentaje es 4%
- 412 -
α
α α

Á L G E B R A
- 413 -
1. Para amortizar un préstamo de S/. 1640, con
sus intereses, se han abonado dos anualidades
de S/. 882 . ¿Cuál fue el tanto por ciento con-
venido?
a) 2% b) 3% c) 4% d) 5% e) 6%
2. Hallar la cantidad “x” que debe añadirse a un
capital “C” para que colocado el total a interés
simple del 100r % sumen los intereses, durante
3 años, lo mismo que habría aumentado el cap-
ital “C”, si se hubiera colocado a interés com-
puesto del mismo tanto por ciento y durante
igual tiempo.
C(3 + r) Cr(3 + r) Cr(2 + r)
a) ––––––– b) –––––––– c) ––––––––
3 3 2
Cr(2 + r) C(r + 2)
d) –––––––– e) –––––––
3 2
3. Dos capitales iguales han estado impuestos el
mismo tiempo a interés compuesto y han pro-
ducido iguales intereses. El primero al 4,04%
capitalizando los intereses al fin de cada año. ¿A
qué tanto por ciento estuvo impuesto el segundo
capital, cuyos intereses se capitalizaron semes-
tralmente?
a) 5% b) 2% c) 6% d) 3% e) 4%
4. Hallar el tipo de interés efectivo equivalente a un
tipo nominal de 4% capitalizándose semestral-
mente.
a) 4% b) 5% c) 5,04%
d) 4,04% e) 6,04%
5. Hallar el tipo de interés nominal capitalizable
semestralmente, equivalente a un tipo de interés
efectivo de 8,16%.
a) 8% b) 4% c) 4,08%
d) 4,02% e) 1,2%
6. Se ha colocado S/. 400 000 a interés compues-
to. Si el tiempo de imposición hubiera sido un
año menos, el capital definitivo disminuiría en
S/. 22 050 soles y si hubiera sido un año más el
capital definitivo aumentaría en 23 152,50. Ha-
llar el tanto por ciento a que estuvo impuesto el
capital.
a) 4% b) 5% c) 6% d) 3% e) 4,2%
7. Una máquina al comienzo de un año fue valori-
zado en cierta cantidad y se sabe que al fin de
cada año pierde el 10% de su valor por desper-
fectos; al cabo de cuatro años el valor de la má-
quina será de 131 220. ¿Cuál es el valor de la
máquina?
a) 100 000 b) 205 000 c) 250 000
d) 200 000 e) 150 000
8. Hallar el interés compuesto que ha producido un
capital de 50 000 colocado al 6% durante 4 años,
3 meses y 10 días.
a) 15 170.8 b) 16 182,90
c) 14 109,6 d) 13 242,70
e) 18 000
9. Un capital está colocado a interés compuesto del
5% desde el 1° de enero de 1930. ¿Cuál será el
año en que el aumento de capital durante dicho
año valga tanto como el capital primitivo?
a) 1976 b) 1 992 c) 1 984
d) 1 980 e) 1 978
10. ¿Cuál es el capital que colocado a interés com-
puesto, al 5% durante 10 años, se ha convertido
en S/. 12 460 ?
a) S/. 10 520 b) S/. 3 280,55 c) S/. 7 750,50
d) S/. 7 760 e) S/. 7 376,00

- 414 -
α
α α
11. Un colegio que puede disponer durante 24 años
de una cantidad de S/. 8 000. ¿Qué capital debe
tomar prestado al 5% para que dicho capital
quede amortizado al cabo de 24 años?
a) S/. 100 000.00 b) S/. 200 500
c) S/. 110 387 d) S/. 150 000,50
e) S/. 127 285,75
12. Señalar la fórmula de amortización descom-
poniendo las anualidades en dos partes, una
empleada en el pago de los intereses del capital
y la otra en extinguir el capital.
Ar (1 + r)n
a) a = ––––––––––
(1 + r)n
- 1
(1 + r)n
(1 - rn)
b) a = ––––––––––––––
n
1
c) a = –– (1 + r)(rn-1
- A)
2
d) a = A(1 + r)n
A (r + 1)n
e) a = ––––––––
n + 1
13. Para formar un capital “C” dentro de “n” años.
¿Qué cantidad “x” se debe depositar al princi-
pio de cada año al 100r%, de interés com-
puesto?
C
a) –––––––
(1 + r)n
Cr
b) –––––––––
(1 + r)n
- 1
r
c) –––––––––––––––––
(1 + r) [(1 + r)n
- 1]
C (1- r)
d) –––––––– [(1 + r)n
- 1]
r
Cr (1 + r)n
e) ––––––––––
(1 + r)n
- 1
14. Para formar un capital “C” dentro de “n” años.
¿Qué cantidad se debe depositar al final de cada
año al 100 r% de interés compuesto?
Cr
a) ––––––––
(1 + r)n-1
Cr
b)
[––––– (1 - r)n
- 1
]
1 + r
C(1 + r) [(1 + r)n
- 1]
c) –––––––––––––––––––
r
Cr(1 + r )n
d) ––––––––––
(1 + r)n
- 1
C
e) –––––––
(1 + r)n
15. Una persona recibe un préstamo reembolsable
por medio de dos anualidades de “a” soles, pero
le resulta más ventajoso pagar cuatro anuali-
dades de S/. 441/841 “a”. Hallar el tanto por
ciento en que se efectuó la operación.
a) 5% b) 2% c) 6% d) 3% e) 4%
16. Se coloca un capital “C” al 100r% a interés
compuesto durante “n”: años pero al final de
cada uno de los “n - 1” primeros años, se retira
la quinta parte de los intereses que van pro-
duciendo. Hallar el capital que se tendrá al final
del año “n”.
a) C(1 + r)n
b) C(1 + r)n-1
r n-1
c) C
(1 + ––
) (1 + r)
2
4 n-1
c) C
(1 + –– r
) (1 + r)
5
e) (1 + r)-n+1

Á L G E B R A
- 415 -
17. Entregando una anualidad “x” al inicio de cada
año, Pedro forma un capital “M”; al cabo de “n”
años. Pablo amortiza una deuda “N” en el
mismo numero de años, entregando una anual-
idad “y”, si el interés fue compuesto del 100r%.
Calcular x/y si M = N.
a) (1 + r)n
b) (1 + r)-n
c) (1 + r)-n-1
d) (1 + r)-n-1
e) (1 + r)n+1
18. En el problema anterior, determinar M/N si x = y.
a) (1 + r)n
b) (1 + r)-n
c) (1 + r)-n+1
d) (1 + r)-n-1
e) (1 + r)n+1
19. ¿Cuánto tiempo tiene que estar impuesto un
capital a iterés compuesto al 100r% para que
aumente en 5 veces su valor?
log 5 log 6 log 3
a) ––––––––– b) ––––––––– c) –––––––––
log (1 + r) log (1 + r) log (1 + r)
log 6 log 6
d) –––––––––––– e) –––––––––––––
log (1 + 0,1r) log (1 + 0,01r)
20. ¿Por cúanto tiempo debe entregarse una anual-
idad de S/. 53 792 a interés compuesto al 6%,
para amortizar una deuda de 500 000?
a) 20 años b) 12 años c) 14 años
d) 18 años e) 16 años
CLAVE DE RESPUESTAS
1) D 2) B 3) E 4) D 5) A
6) B 7) D 8) D 9) B 10) D
11) C 12) A 13) E 14) A 15) C
16) D 17) C 18) E 19) B 20) C

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