Problemas

Ejercicios y Problemas del Curso
de Métodos Numéricos para
¿ingenieros?
Pedro Fortuny Ayuso
Curso 2011/12, EPIG, Gijón. Universidad de Oviedo
E-mail address: fortunypedro@uniovi.es

CC BY: Copyright c 2011–2012 Pedro Fortuny Ayuso
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CAPÍTULO 1
Aritmética finita y análisis del error
Ejercicio 1. La distancia de la Tierra a la Luna var´ıa en la ac-
tualidad (2012) entre 356400km y 406700km. Acótese el error absoluto
y el error relativo cometido al utilizar cualquiera de los valores de ese
intervalo como “distancia real”.
Ejercicio 2 (El calendario Gregoriano). Expl´ıquese el algoritmo
del Calendario Gregoriano, teniendo en cuenta que
• La duración de un año “real” es de 365.242374 d´ıas.
• Se quiere que el desfase entre el equinoccio de primavera y el
d´ıa 21 de marzo no llegue en ningún caso a los dos d´ıas.
Ejercicio 3. Se calcula la integral siguiente
1
0
e−x2
dx
utilizando el desarrollo limitado de Taylor de orden 4 del integrando,
que es:
T(e−x2
, x = 0, 4) = 1 − x2
+
x4
2
.
Calcúlense aproximadamente los errores absolutos y relativos cometi-
dos sabiendo que el valor exacto de la integral es 0.74682413+. ¿Son
notables?
Ejercicio 4. Al calcular 1−sen(π/2+x) para x pequeño, se produce
un tipo error conocido. ¿Cuál? ¿Cómo se puede arreglar la fórmula para
evitarlo?
Ejercicio 5. Calcular la siguiente suma:
4
i=1
1
7i
=
1
7
+
1
72
+
1
73
+
1
74
de las siguientes maneras:
• Truncando todos las operaciones a 3 d´ıgitos decimales.
• Redondeando todas las operaciones a 3 d´ıgitos decimales.
• Truncando todas las operaciones a 4 cifras significativas.
• Redondeando todas las operaciones a 4 cifras signficativas.
3

4 1. ARITMÉTICA FINITA Y ANÁLISIS DEL ERROR
En cada caso, calcúlense aproximadamente los errores absolutos y re-
lativos, teniendo en cuenta que dicha suma es aprox. 0.16659725.
Ejercicio 6. En la segunda operación de las siguientes, se trunca
un número cometiendo un error absoluto de 6.0 × 10−7
y un error
relativo de (aprox.) 4.82×10−4
(media diezmilésima). Calcular el error
absoluto y relativo que se comete al realizar la segunda operación en
lugar de la primera:
26493 −
33
0.0012456
26493 −
33
0.001245
y dar alguna explicación.
Ejercicio 7. Se sabe que dos cantidades, a y b son
a = 1.742 × 103
, b = 1.741 × 103
,
con errores absolutos acotados, respectivamente, por 1 y 0.5. Calcular
cotas, si se puede, de los errores absolutos y relativos de a + b, ab, a/b
y a − b. En caso de que no se pueda, explicar por qué.
Ejercicio 8. Un reloj digital de laboratorio comete un error (en
binario) de 0.0000101 segundos por cada pulso. Dicho reloj da un pulso
cada 3 segundos. ¿Cuánto tardará en desfasarse 1s? ¿Qué error relativo
comete?
Ejercicio 9. Se tiene un registro A que almacena valores en coma
flotante de 64 bits y otro registro B que almacena valores enteros sin
signo y tiene 16 bits. En determinado proceso solo interesa el valor en-
tero de A, no su parte decimal ¿Es razonable simplemente “traspasar”
la parte entera de A al registro B? ¿Cuál es el valor máximo que puede
almacenar B?
Ejercicio 10. El cambio Euro-peseta es (supongamos) 1Eu =
166.386pts, pero la ley obliga a que al realizar una transacción se re-
dondee a la unidad monetaria más cercana (a pesetas si se cambia a
pesetas, a céntimos si se cambia a Euros). Calcular:
• Los errores absolutos y relativos al cambiar 1 Euro por 166
pesetas.
• Los errores absolutos y relativos al cambiar 1 peseta por su
“equivalente” en Euros.
• Los errores absolutos y relativos al cambiar 1 céntimo por su
“equivalente” en pesetas.

CAPÍTULO 2
Solución de ecuaciones no lineales
Ejercicio 11. Utilizar el algoritmo Babilónico para calcular ra´ıces
cuadradas para calcular
√
600 y
√
1000 de manera que el error al elevar
al cuadrado sea menor que 0.1.
Ejercicio 12. Relacionar de alguna manera el algoritmo babilónico
de la ra´ız cuadrada con el algoritmo de Newton-Raphson.
Ejercicio 13. ¿Qué ocurre si se ejecuta el algoritmo de Newton-
Raphson con la función f(x) = x3
− x y el valor inicial x0 = 1/5?
Ejercicio 14. Compárese la velocidad de convergencia del algo-
ritmo de bisección en el intervalo [0, 1] y el de Newton-Raphson con
semilla 0.9 para la función f(x) = x7
− 0.9.
Ejercicio 15. Explicar qué ocurre si se utiliza el algoritmo de
Newton-Raphson con semilla x0 = 3 para la función f(x) = atan(x) −
.3. ¿Se puede remediar?
Ejercicio 16. Hacer dos iteraciones del algoritmo de la secante
para la función f(x) = tan(x) + .5 con semillas 0 y 0.1.
Ejercicio 17. Calcular con 5 d´ıgitos de precisión (utilizando el
algoritmo de Newton-Raphson) una ra´ız de cos(3x)−x. ¿Tiene sentido
este enunciado si no se saben calcular las funciones trigonométricas con
exactitud? ¿Qué puede hacerse?
Ejercicio 18. Calcular aproximadamente las ra´ıces positivas de
f(x) = cos(3x) − x utilizando el algoritmo de Newton-Raphson. Ase-
gurar que se obtienen al menos 4 decimales exactos.
Ejercicio 19. Considérense las funciones que verifican la siguiente
propiedad:
f(x)
f (x)
= 3x.
Sin resolver esa ecuación diferencial, explicar qué ocurre con el algorit-
mo de Newton-Raphson para dichas funciones.
5

6 2. SOLUCIÓN DE ECUACIONES NO LINEALES
Ejercicio 20. Se consideran las funciones g(x) = π + 1
2
sen(x
2
) y
f(x) = g(x) − x. Se pide:
• Comprobar que f tiene una única ra´ız real c y que está entre
0 y 2π.
• Calcular un valor aproximado de c utilizando el algoritmo de
Newton-Raphson.
• Calcular un valor aproximado de c con al menos 5 cifras exac-
tas, utilizando cualquier algoritmo y explicando por qué tiene
esas cifras exactas.
Ejercicio 21. Intentar utilizar el algoritmo del punto fijo para cal-
cular una ra´ız de f(x) = cos(x) − x entre x = 0 y x = 1 (el intervalo
[0, 1] no servirá, cuidado). Comparar la velocidad de convergencia de es-
te algoritmo con la del algoritmo de bisección y el de Newton-Raphson
para un problema equivalente de encontrar una ra´ız de otra función.
Ejercicio 22. De manera informal, se define el algoritmo de regula
falsi como aquél que, para buscar una ra´ız de una función continua f
en un intervalo [a, b] en que f(a)f(b) < 0 comienza con a y b y en cada
paso sustituye uno de los dos por el punto de corte de la recta que une
(a, f(a)) y (b, f(b)) con el eje OX. Se pide describirlo con precisión.
Ejercicio 23. En el algoritmo de Newton Raphson, ¿puede ocurrir
que |xn+1 − xn| < 10−7
pero que f(xn+1) > 1? ¿Por qué?
Ejercicio 24. Sea f : [0, 2] → [0, 2] una función derivable tal que
f(0) = 1.5, f(1) = 0 y f(2) = 0.5. ¿Cumple las hipótesis del teorema
de convergencia del punto fijo? ¿Tiene algún punto fijo? ¿Por qué?
Ejercicio 25. Expl´ıquese por qué el algoritmo de Newton-Raphson
aplicado a la función f(x) = atan(x) siempre diverge si se toma |x0| >
10. Idea: se tiene que atan(10) >
√
2.

CAPÍTULO 3
Solución de sistemas de ecuaciones lineales
Ejercicio 26. Se considera una matriz cuadrada n×n como sigue:
A =








1 −1 0 0 . . . 0
1 0 −1 0 . . . 0
1 0 0 −1 . . . 0
...
...
...
...
...
...
1 0 0 0 . . . −1
1 0 0 0 . . . 0








.
Se pide:
• Calcular su determinante.
• Explicar qué matrices intermedias ir´ıa dando el algoritmo de
Gauss.
• Calcular la descomposición LU de A.
• Resolver el sistema Ax = b de una manera más inteligente que
esa, para cualquier b.
Ejercicio 27. Explicar qué ocurre si se aplica el método de Gauss
con pivotaje parcial a una matriz n×n singular (es decir, a un sistema
incompatible o compatible indeterminado). ¿Y si se aplica el método
de Gauss sin pivotaje?
Ejercicio 28. Se tiene un sistema de ecuaciones Ax = b cuyos
datos se han obtenido a partir de mediciones con 4 cifras de precisión.
Se sabe que κ∞(A) = 400. Comentar.
Ejercicio 29. Compruébese que el número de condición para la
norma infinito de la matriz n × n siguiente:
Bn =






1 −1 −1 . . . −1
0 1 −1 . . . −1
0 0 1 . . . −1
...
...
...
...
...
0 0 0 . . . 1






es κ∞(Bn) = n2n−1
. ¿Está bien condicionada? Sin embargo, ¿Es dif´ıcil
resolver cualquier sistema Bnx = b?
7

8 3. SOLUCIÓN DE SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES
Ejercicio 30. ¿Tiene alguna relación el determinante de una ma-
triz con su número de condición? Desarrollar.
Ejercicio 31. Comprobar que el producto de matrices puede ha-
cerse por bloques. Es decir, si
A =
A11 A12
A21 A22
, B =
B11 B12
C21 C22
(por poner un ejemplo sencillo), donde los Aij y Bij son matrices con
dimensiones adecuadas, entonces
A × B =
A11B11 + A12B21 A11B12 + A12B22
A21B11 + A22B21 A21B12 + A22B22
Ejercicio 32. Comprobar que si Pij es la matriz de permutación
(i, j) de tamaño n × n y A es una matriz n × m, entonces PA consiste
en conmutar las filas i y j de A. Si B es una matriz de tamaño m × n,
entonces BP consiste en conmutar las columnas i y j de B.
Ejercicio 33. Se tiene una matriz “triangular rara”, como sigue:




a11 a12 . . . a1n−1 a1n
a21 a22 . . . a2n−1 0
a31 a32 . . . 0 0
an1 0 . . . 0 0



 .
¿Cómo lo resolver´ıas? ¿Por qué?
Ejercicio 34. Definamos una matriz tetratriangular como una ma-
triz 2n×2n que puede subdividirse en matrices triangulares superiores
n × n como sigue:
A =
A11 A12
A21 A22
(las Aij son matrices triangulares superiores). ¿Cómo resolver´ıas este
sistema? ¿Es dif´ıcil?
Ejercicio 35. Calcular el número de condición de la siguiente ma-
triz para la norma infinito:








1 a1 a2 . . . an−2 an−1
0 1 0 . . . 0 0
0 0 1 . . . 0 0
...
...
...
...
...
...
...
0 0 0 . . . 1 0
0 0 0 . . . 0 1








(para ello habrá, claro, que calcular la inversa).

3. SOLUCIÓN DE SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES 9
Ejercicio 36. Sea I una imagen en blanco y negro (digamos con
valores en una gama de 0 a 1) de 800 × 600 p´ıxeles. Se considera la
transformación de “desenfoque” que consiste en que el valor de gris de
cada p´ıxel se cambia por una combinación lineal de los valores de los
p´ıxeles adyacentes y él mismo, según la caja
a11 a12 a13
a21 a22 a23
a31 a32 a33
donde se supone que a22 (la ponderación del propio p´ıxel) es mayor que
la suma de todos los demás valores aij en valor absoluto. Se pide:
• Describir la matriz de dicha transformación si se entiende I
como un vector.
• Si se desea realizar la operación inversa (enfocar), ¿se puede
utilizar el algoritmo de Gauss-Seidel o el de Jacobi? ¿Piensas
que es mejor usar uno de estos (si es que se puede) o, por
ejemplo, la factorización LU? ¿Por qué?
• ¿Qué condiciones se han de dar para que la matriz de la trans-
formación sea simétrica? ¿Y definida positiva?
Ejercicio 37 (Factorización de Cholesky). Supóganse que se parte
de una matriz cuadrada A de tamaño n × n que es simétrica y definida
positiva (por tanto, es no singular y además se puede hacer el algoritmo
de Gauss sin pivotaje). Se realiza su factorización LU. Como se sabe,
todos los elementos de la diagonal de U son positivos. Se procede según
indica el siguiente algoritmo:
(1) Se empieza en la columna i = 1 de U. Se llama ai al elemento
(i, i) de U y se calcula li =
√
ai, su ra´ız cuadrada. Sean U0 = U
y L0 = L.
(2) Se tiene que Ui−1 = D(li)Ui, donde D es la matriz diagonal
que es igual a la identidad salvo que en el elemento (i, i) vale
li; Ui es la matriz triangular superior que es igual que Ui−1
salvo que en la fila i tiene todos sus elementos divididos por li
(compruébese esto).
(3) Se calcula Li = Li−1D(li), es decir, el producto por la derecha
de Li−1 y la misma D del paso anterior. Puesto que es un
producto por la izquierda, opera por columnas: la columna i
de Li es la de Li−1 multiplicada por li, y el resto de columnas
son iguales (compruébese todo esto).
(4) Nótese (compruébese) que los elementos de la columna i de
Li son los mismos que los de la fila i de Ui. Esto es fácil de
verificar por la forma que tienen L y U (y por tanto Li y Ui).
(5) Se incrementa i en uno hasta sobrepasar n y se repite todo el
proceso.

10 3. SOLUCIÓN DE SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES
Al terminar el proceso se tiene que A = ˜L ˜U, donde L y U son triangu-
lares inferior y superior pero con la propiedad de que las columnas de
˜L coinciden con las filas de ˜U: es decir, A = ˜L˜LT
. Esta factorización
se denomina factorización de Cholesky. Este algoritmo no es el que se
utiliza para calcular esta factorización. Véase el ejercicio siguiente, por
ejemplo.
Ejercicio 38 (Factorización de Cholesky (2)). La factorización de
Cholesky de una matriz A simétrica y definida positiva puede calcularse
también mediante el algoritmo de factorización LU modificado:
• En lugar de utilizar como divisor en el multiplicador el pivote,
se utiliza su ra´ız cuadrada.
• En la matriz U no se obtienen las filas de A, sino que se ob-
tienen las filas de A divididas por la ra´ız cuadrada del pivote.
• En la matriz L no se obtienen ni unos en la diagonal ni las
en las columnas los multiplicadores correspondientes a LU,
sino que, en la diagonal están las ra´ıces de los pivotes y en las
columnas los multiplicadores.
• Al ser A simétrica y definida positiva, queda L = UT
.
Esta es una manera directa de calcular la factorización de Cholesky,
que saca partido por anticipado de la condición de simétrica y definida
positiva de la matriz A.
Ejercicio 39. Se sabe que una matriz n × n tiene todos sus ele-
mentos menores que 1 y que en su inversa todos son menores que 1
salvo un elemento que es n. ¿Se puede acotar su número de condición
para la norma infinito?
Ejercicio 40. Se sabe que una matriz M tiene por norma infinito
0.1. Se quiere resolver un problema iterativo x = Mx + c. Se toma una
semilla x0 = (1, . . . , 1) y se obtiene un x1 con todas sus componen-
tes positivas y menores que 1. ¿Cúantas iteraciones hacen falta para
obtener una precisión de 10−6
? ¿En qué resultado te basas?
Ejercicio 41. Se sabe que una matriz A es estrictamente diagonal
dominante por filas y que, de hecho, |aii| ≥ 2 j=i |aij| para cada fila
i. Se pide:
• Explicar si el algoritmo de Jacobi aplicado al sistema Ax = b
(para cualquier b) converge o no.
• Calcular, si se inicia el algoritmo con el vector (1, 0, . . . , 0), un
número de iteraciones que garanticen que el error cometido es
menor que 10−6
.

3. SOLUCIÓN DE SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES 11
Ejercicio 42. Estudiar si el método de Jacobi convergerá para el
sistema 

10 1 0
−1 10 0
0 1 10




x1
x2
x3

 =


1
2
3

 .
Tomar una semilla x0 = (1, 2, 3) y, razonadamente, calcular un número
de interaciones que garantice que el error cometido es menor que 10−5
.
Ejercicio 43. Estudiar la convergencia del algoritmo de Jacobi
para un sistema Ax = b con
A =


1 2 3
4 5 6
7 8 2

 .
Misma pregunta para el algoritmo de Gauss-Seidel.

CAPÍTULO 4
Interpolación
Ejercicio 44. Se tienen cuatro puntos y se quiere construir un
spline de grado dos que los interpole de tal manera que la derivada en los
puntos intermedios sea continua. Calcular las ecuaciones que describen
este problema y explicar si el sistema que se obtiene es determinado o
indeterminado. Si es indeterminado, dar más condiciones para que sea
determinado.
Ejercicio 45. ¿Es cierto que, cuantos más puntos se tomen para
interpolar más se aproxima el polinomio interpolador de Lagrange a la
gráfica de una función? ¿En qué se puede uno apoyar para responder
a esto?
Ejercicio 46. ¿Utilizar´ıas el polinomio interpolador de Lagrange
para aproximar la función f(x) = ex
si conoces 5 valores? ¿Por qué?
Ejercicio 47. Se tiene una nube de 1000 puntos (coordenadas
(x, y)) y se quiere calcular la interpolación por m´ınimos cuadrados con
las funciones f(x) = 1, g(x) = x y h(x) = x2
. ¿Puede hacerse? ¿De que
tamaño queda el sistema lineal que se ha de resolver?
Ejercicio 48. Se tiene una nube de 300 puntos (coordenadas (x, y)).
Se sabe que existe una función de la forma f(x) = aebx
tal que el error
cuadrático total es 0.1. Se considera la nube de puntos (x, log(y)) y
se calcula la interpolación por m´ınimos cuadrados de esta nube para
las funciones 1, x; se obtiene que la mejor interpolación es 2 + 3x. ¿Es
posible que el error cuadrático total de la función e2
e3x
respeto de la
primera nube de puntos sea mayor que 0.1. ¿Por qué?
Ejercicio 49. Calcular los polinomios de base de Lagrange para
los siguiente puntos: (0, 2), (1, 3), (2, 4), (3, 10), (4, 20). Utilizarlos para
calcular el polinomio interpolador de Lagrange de grado 4 que pasa por
ellos.
Ejercicio 50. Escribir el sistema de ecuaciones del problema de
interpolación lineal por m´ınimos cuadrados para la nube de puntos
(0, 1), (1, 2), (2, 0), (3, 4), (5, −1) y las funciones f(x) = x, g(x) = x2
,
h(x) = x4
. No se pide resolverlo (hágase si se desea).
13

14 4. INTERPOLACIÓN
Ejercicio 51. Se tiene la siguiente nube de puntos: (0, 1), (1, 10),
(2, 11), (3, 12), (12, 13). ¿Es razonable pensar que siguen una distri-
bución lineal? ¿Qué tipo de función utilizar´ıas para aproximarlos por
m´ınimos cuadrados? (La respuesta no es única). Conviene hacer una
gráfica de los puntos.
Ejercicio 52. Considérese la tabla de datos siguiente:
x y
−2 0.0338
−1.5 0.0397
−1 0.4119
−0.5 1.862
0 3.013
0.5 1.856
1 0.4240
1.5 0.0485
2 0.0249
Se pide (hará falta tiempo o usar un ordenador):
• Calcular la tabla de (x, log(y)) (como siempre, log representa
el logaritmo natural).
• Interpolar linealmente la tabla que se ha calculado utilizando
las funciones 1 y x2
. Llámese g(x) a la función que resulta (de
la forma a + bx2
).
• Llamar f(x) a la función eg(x)
, es decir, ea
ebx2
, donde a y b son
los calculados antes. Calcular el error cuadrático total cometi-
do por f(x) respecto de la nube de puntos original.
• Calcular el error cudarático total cometido por la función 3e−2x2
respecto de la nube de puntos original.
• Comentar los dos últimos resultados con tu compañero.
Ejercicio 53. Se sabe que una tabla de datos representa el movi-
miento browniano unidimensional de una part´ıcula. ¿Usar´ıas un spline
cúbico para representarlos? ¿Por qué?
Ejercicio 54. Se sabe que una tabla de datos representa las veloci-
dades instantáneas de un coche (en una conducción normal) a lo largo
de un trayecto. ¿Usar´ıas un spline cúbico o una interpolación lineal a
trozos para representarlo gráficamente? ¿Por qué?
Ejercicio 55. Una tabla de datos representa las ganancias a la
ruleta de un jugador, a lo largo de una tarde. ¿La representar´ıas con
un spline o con una interpolación lineal? ¿Por qué?

4. INTERPOLACIÓN 15
Ejercicio 56. ¿Tiene sentido representar el spline cúbico de una
lista de datos que muestra una estad´ıstica (edad, ganancias)? ¿Por qué?
¿Qué es lo que usar´ıas para dar una idea de la relación? ¿Por qué?
Ejercicio 57. Plantear las ecuaciones necesarias para calcular el
spline cúbico “natural” que interpola la nube de datos:
x y
0 1
1 3
2 0
3 4
4 5
Misma pregunta para el spline “no-un-nudo”. Si se tiene un ordenador
a mano, resolver el sistema y dibujar los dos splines (si es que se sabe
cómo hacerlo).

CAPÍTULO 5
Derivación e Integración numéricas
Ejercicio 58. Se tiene la siguiente lista de datos correspondiente
a una función f(x):
1.03 1.04 1.05 1.07 1.09 1.13
2.5 2.8 2.9 3.1 2.95 2.97
Se pide
• Dar un valor aproximado de f (1.04).
• Dar un valor aproximado de f (1.09).
• Calcular aproximadamente f (1.03) y f (1.13).
Ejercicio 59. Dada la función f(x) = cos(x), se pide:
(1) Calcular
1
0
f(x) dx por el método del punto medio, del trape-
cio y de Simpson.
(2) Calcular el valor “exacto” de dicha integral.
(3) Calcular los errores absolutos y relativos cometidos en cada
caso. ¿Es mejor el trapecio o el punto medio en este caso?
Ejercicio 60. Considérese la función f(x) = tan(x) entre x = −1
y x = 1.5. Se pide:
(1) Calcular
1.5
−1
f(x) dx utilizando los métodos del punto medio,
trapecio y Simpson.
(2) Calcular el valor exacto de dicha integral.
(3) Calcular los errores absolutos y relativos en cada caso.
Ejercicio 61. Se sabe que la densidad de una barra metálica sigue
la función f(x) = sen(x)/x, para x desde 1 hasta 3. Se pide:
(1) Aproximar la masa utilizando las reglas del punto medio, del
trapecio y de Simpson simples.
(2) Hacer el mismo cálculo pero subdividiendo el intervalo en 3
subintervalos y aplicando las reglas compuestas en cada caso.
Ejercicio 62. Considérese f(x) = x7
− 15x3
+ 10x definida entre
x = −2 y x = 2. Calcúlense aproximaciones a su integral entre dichos
extremos utilizando:
• Las reglas del punto medio, del trapecio y de Simpson simples.
17

18 5. DERIVACIÓN E INTEGRACIÓN NUMÉRICAS
• Las mismas reglas compuestas dividiendo el intervalo en 2,
y en 3 subintervalos (es decir, hay que hacer dos veces este
apartado, una para 2 subintervalos y otra para 3).
• Calcular los errores relativos, absolutos, etc...

CAPÍTULO 6
Ecuaciones diferenciales
Ejercicio 63. Considérense los problemas de valor inicial siguien-
tes. Verif´ıquese que la solución propuesta es válida para cualquier valor
de la constante y calcúlese esta para la condición inicial propuesta.
• y = 0.03y para t ∈ [0, 1], con y(0) = 1000. Solución: y(t) =
ke0.03t
.
• y = t/y para t ∈ [0, 1], con y(0) = 1. Solución: y(t) =
√
t2 + k.
• y = e−y
para t ∈ [1, 3], con y(1) = 0. Solución: y(t) = ln(t+k).
• y = y/t2
para t ∈ [1, 2], con y(1) = 1. Solución: y(t) = ke−1/t
.
• y = 2t para t ∈ [0, 2], con y(0) = 1. Solución: y(t) = t2
+ k.
• y = y2
para t ∈ [0, 1/2], con y(0) = 1. Solución: y(t) =
1/(k − t).
Ejercicio 64. Para cada uno de los problemas anteriores, hágase
lo que sigue:
(1) Resolverlo de manera aproximada usando el método de Euler
con dos pasos equiespaciados.
(2) Calcular el error absoluto y relativo cometido en el instante
final (usando, claro, la solución exacta que se da).
(3) Resolverlo con cuatro pasos y comparar.
Ejercicio 65. Para cada uno de los problemas del ejercicio 63, se
pide
(1) Resolverlo de manera aproximada utilizando el método de Eu-
ler modificado con dos pasos equiespaciados.
(2) Calcular el error relativo y el absoluto.
(3) Mismo con cuatro pasos equiespaciados.
Ejercicio 66. Para cada uno de los problemas del ejercicio 63, se
pide
(1) Resolverlo de manera aproximada utilizando el método de
Heun con dos pasos equiespaciados.
(2) Calcular el error relativo y el absoluto.
(3) Mismo con cuatro pasos equiespaciados.
Ejercicio 67. Considérese la ecuación diferencial:
y = x2
+ y2
.
19

20 6. ECUACIONES DIFERENCIALES
¿Se puede decir algo sobre el crecimiento o decrecimiento de las solu-
ciones? Sea y(x) la solución que pasa por la condición inicial y(0) = 1.
¿Se puede saber si es cóncava o convexa? ¿Tiene algún punto cr´ıtico?
Mismas preguntas para la solución y(x) con y(0) = −1.
Ejercicio 68. Considérese la ecuación diferencial
y = y
. y sea y(x) la solución del problema con condición inicial y(−1) = 2.
¿Es y(x) creciente? ¿Tiene algún punto cr´ıtico? ¿Es cóncava o convexa?
Mismas preguntas para la solución del problema con la condición
inicial y(−1) = −2.
¿Qué pasa con la condición inicial y(1) = 0?
y = sen(y).
¿Es posible saber algo sobre los puntos en que las soluciones tienen
un máximo o un m´ınimo? ¿Y sobre la concavidad/convexidad de las
soluciones?
y = (x − 1)y.
Se considera la solución y1(x) del problema con condición inicial y(0) =
−1. ¿Tiene algún punto cr´ıtico? ¿Es máximo, m´ınimo o un punto de
inflexión?
Mismas cuestiones para la solución con condición inicial y(1) = 2.

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