Programa de calculo 10
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Este documento presenta el programa de Cálculo 10 de la Facultad de Ingeniería de la Universidad de Mérida, Venezuela. El curso es obligatorio y se imparte en el primer semestre. Su objetivo es garantizar que los estudiantes adquieran una sólida formación básica en matemáticas necesaria para su futuro aprendizaje en ingeniería. El curso utilizará un modelo de enseñanza directa centrado en el docente y dividirá el contenido en tres unidades sobre números reales y complejos, polinomios, ecuaciones e inecuaciones
Programa de calculo 10
- 1. FACULTAD DE INGENIERÍA ESCUELA BÁSICA Programa de Cálculo 10 MÉRIDA - VENEZUELA Identificación Materia: Cálculo 10. Ubicación: 1er semestre. TPLU: 6-0-0-6 Condición: Obligatoria. Departamento: Cálculo. Justificación El poco conocimiento de los estudiantes que ingresan a la Facultad de Ingeniería en aspectos básicos de la matemática ha ocasionado en los primeros semestres que un gran número de estudiantes repita el curso de cálculo 10. Por otro lado, es responsabilidad de este Departamento garantizar una formación sólida de estos estudiantes en los primeros semestres de la carrera, de modo que al ingresar al ciclo profesional, pueda adquirir, sin mayores complicaciones, los nuevos conocimientos que necesitará para su futura formación como ingeniero. Por esto, el Departamento de Cálculo ha diseñado un programa para el curso de Cálculo 10 adaptado a las necesidades de los estudiantes que ingresan a la Facultad de Ingeniería, con el objeto de garantizar la formación de estos alumnos y alumnas en los primeros temas en las matemáticas necesarios para una excelente formación en el Cálculo Diferencial Integral. Metodología Para desarrollar este curso de cálculo se ha pensado en utilizar como modelo de enseñanza el Modelo de Enseñanza Directa. Este modelo emplea la explicación y la modelización para enseñar conceptos y habilidades combinando para ello la práctica y la retroalimentación. Basado en la eficacia del docente, este modelo ubica al docente como centro de la enseñanza y responsable único del proceso. Cuando se aplica este modelo el docente asume la responsabilidad de estructurar el contenido, explicándoselo a los alumnos, dándoles oportunidades para practicar y brindando retroalimentación. Las Estrategias. Se debe planificar la enseñanza para hacer posible la consecución de un determinado grupo de objetivos. Para planificar la enseñanza se deben buscar los medios para identificar las capacidades humanas que lleven a resultados que hemos denominados objetivos específicos. Estos medios se refieren a estrategias que permitan dar mayor contexto organizativo a la información nueva que se aprenderá al presentarla de forma gráfica o escrita. Proporcionar una adecuada organización a la información que se ha de aprender mejora su significatividad lógica, y en consecuencia, hace más probable el aprendizaje significativo de los alumnos. Mayer (1984) se ha referido a este asunto de la organización entre las partes constitutivas del material que se ha de
- 2. aprender denominándolo: construcción de “conexiones internas”. Las estrategias se clasifican, de acuerdo al momento en el que se desarrolla el aprendizaje, en: • Preinstruccionales: Se refiere a las estrategias que se aplican antes de iniciar la acción educativa. • Coinstruccionales: Se refiere a las estrategias que se aplican durante la acción educativa. • Postinstruccionales: Se refiere a las estrategias que se aplican una vez finalizada la acción educativa. Contenidos y Objetivos Unidad 1: Números Reales y Complejos Tiempo de ejecución (1.5 semanas) Objetivos Terminales: Diferenciar los distintos conjuntos numéricos con sus operaciones y propiedades. Desarrollar operaciones con los distintos tipos de números. Encontrar la fracción generatriz de un número racional. Objetivos Específicos. Realizar operaciones con los números naturales, enteros y racionales. Realizar operaciones con los radicales. Desarrollar operaciones con los números complejos. Encontrar la fracción generatriz de un número racional. Contenidos Conceptuales. Números Naturales, Enteros, Racionales e Irracionales. Operaciones y Propiedades. Recta real, desigualdad y valor absoluto. Propiedades de la desigualdad. Propiedades del valor absoluto. Expansión decimal y fracción generatriz. Aproximación de irracionales. Números Complejos. Operaciones. Forma binómica y forma polar de un número complejo. Formula de Moivre. Raíces de un número complejo. Contenidos Procedimentales. Representación gráfica de los números racionales e irracionales. Uso de las operaciones y propiedades para resolver sumas, restas, multiplicación y división de números reales. Encontrar la fracción generatriz de una expansión decimal y viceversa. Representación de números complejos. Resolución de problemas donde se aplique el uso de las operaciones con números complejos. Contenidos Actitudinales. Importancia del número real o complejo como herramienta en el cálculo. Imposibilidad de expresar un número irracional como una expansión decimal. Importancia de operar con fracciones y no con expansión decimal para evitar la propagación del error.
- 3. Bibliografía Recomendada. Fleming, W. y Varberg, D. Álgebra y Trigonometría con Geometría Analítica. (3ra ed). México: Prentice Hall. Baldor, A. (2000. Aritmética. (16ma ed). México: Publicaciones Cultural. Eslava, M. y Velasco, J. (1997). Introducción a las Matemáticas Universitarias. Colombia-Bogotá: Mc Graw Hill. Zill, D., Dewar J (1999). Álgebra y Trigonometría. (2da ed). Colombia: McGraw Hill. Churchill, R., Brown J. (1992). Variable Compleja y Aplicaciones. (5ta ed). España: McGraw Hill. Unidad 2: Polinomios Tiempo de ejecución (1.5 semanas) Objetivos Terminales: Calcular operaciones de suma, resta, multiplicación, división y potenciación de polinomios. Factorizar polinomios vía casos o aplicando el Teorema del Factor. Objetivos Específicos. Reconocer los elementos de un polinomio Realizar operaciones de suma, resta, multiplicación y división de polinomios. Desarrollar productos notables. Reconocer los distintos casos de factorización. Aplicar los casos de factorización para factorizar polinomios. Aplicar la regla de Ruffini para calcular raíces y factorizar polinomios. Contenidos Conceptuales. Polinomios de una variable con coeficientes reales. Elementos de un polinomio. Igualdad de polinomios. Operaciones con polinomios. Productos notables. División por x − a : Regla de Ruffini. Teorema del Resto. Raíces de un polinomio. Factorización de polinomios en el campo real y en el campo complejo. Contenidos Procedimentales. Suma, resta, multiplicación y división de polinomios. Aplicación de los siguientes productos notables para desarrollar potencia de polinomios: ⎧(a + b )2 = a 2 + 2ab + b 2 ⎪ Suma y diferencia de cuadrados: ⎨ ⎪(a − b )2 = a 2 − 2ab + b 2 ⎩ ⎧(a + b )3 = a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + a 3 ⎪ Suma y diferencia de cubos: ⎨ ⎪(a − b )3 = a 3 − 3a 2 b + 3ab 2 − a 3 ⎩ Factorización de polinomios en el campo real vía factor común y por agrupación de términos. Aplicación de los siguientes casos de factorización para factorizar polinomios en el campo real:
- 4. ⎧a 2 + 2ab + b 2 = (a + b )2 ⎪ Trinomio de un cuadrado perfecto: ⎨ ⎪a 2 − 2ab + b 2 = (a − b )2 ⎩ Diferencia de cuadrados: a 2 − b 2 = (a − b )(a + b ) ( ⎧a 3 + b 3 = (a + b ) a 2 − ab + b 2 ⎪ ) Suma o diferencia de cubos: ⎨ ( ⎪a 3 − b 3 = (a − b ) a 2 + ab + b 2 ⎩ ) Trinomios de la forma (x + a )( x + b ) = x 2 + (a + b )x + ab . Aplicación de la Regla de Ruffini para determinar raíces complejas y factorizar polinomios en el campo complejo. Contenidos Actitudinales. El polinomio como el objeto de estudio en el álgebra, así como lo es, el número en la aritmética. Habilidad para desarrollar potencias de polinomios. Habilidad para factorizar en el campo real y complejo. Bibliografía Recomendada. Fleming, W. y Varberg, D. Álgebra y Trigonometría con Geometría Analítica. (3ra ed). México: Prentice Hall. Baldor, A. (2002). Álgebra. (20ma ed). México: Publicaciones Cultural. Zill, D., Dewar J (1999). Álgebra y Trigonometría. (2da ed). Colombia: McGraw Hill. Dávila, A., Navarro, P.,Carvajal, J. (2002). Introducción al Cálculo. Caracas- Venezuela: McGraw Hill. Unidad 3: Ecuaciones e Inecuaciones Tiempo de ejecución (1.5 semanas) Objetivos Terminales: Resolver ecuaciones polinomiales. Resolver inecuaciones. Resolver inecuaciones con valor absoluto. Objetivos Específicos. Reconocer una ecuación lineal y su solución. Reconocer una ecuación cuadrática y su solución. Reconocer una ecuación polinómica en general, su solución y la naturaleza de sus soluciones. Aplicar la ley de los signos para resolver inecuaciones cuadráticas e inecuaciones con cocientes. Contenidos Conceptuales. Ecuaciones polinómicas: lineal, cuadrática. Soluciones de una ecuación. Intervalos de la recta. Unión e intersección de intervalos. Inecuación y su solución. Inecuaciones lineales, cuadráticas y con cocientes. Ecuaciones con valor absoluto. Interpretación geométrica de una ecuación con valor absoluto.
- 5. Inecuaciones con valor absoluto. Interpretación geométrica de una inecuación con valor absoluto. Propiedades. Inecuaciones incondicionales. Contenidos Procedimentales. Aplicación de las operaciones algebraicas para resolver ecuaciones e inecuaciones. Aplicación de las propiedades de la desigualdad para resolver inecuaciones. Representación grafica de las soluciones de una inecuación. Contenidos Actitudinales. Interpretación geométrica del valor absoluto como una distancia. Utilización de esta interpretación para resolver ecuaciones e inecuaciones con valor absoluto. Diferencias entre las soluciones de una ecuación y una inecuación. Bibliografía Recomendada. Fleming, W. y Varberg, D. Álgebra y Trigonometría con Geometría Analítica. (3ra ed). México: Prentice Hall. Zill, D., Dewar J (1999). Álgebra y Trigonometría. (2da ed). Colombia: McGraw Hill. Dávila, A., Navarro, P.,Carvajal, J. (2002). Introducción al Cálculo. Caracas- Venezuela: McGraw Hill. Unidad 4: Tópicos del álgebra lineal Tiempo de ejecución (2.5 semanas) Objetivos Terminales: Aplicar las distintas operaciones con matrices y sus propiedades. Calcular el determinante de una matriz utilizando propiedades. Analizar y resolver un sistema de ecuaciones homogéneo y no homogéneo. Objetivos Específicos. Reconocer los diferentes tipos de matrices y sus propiedades. Realizar operaciones con matrices. Identificar las distintas operaciones elementales de filas o columnas. Identificar las propiedades del determinante y usar estas propiedades para calcular determinantes. Calcular determinantes de orden 3 usando la regla de Sarrus. Calcular el rango de una matriz. Analizar las soluciones de un sistema de ecuaciones lineales homogéneo y no homogéneo. Resolver matricialmente un sistema de ecuaciones lineales homogéneo y no homogéneo. Contenidos Conceptuales. Matrices. Matriz real de m filas y n columnas. Operaciones con matrices: Suma y propiedades, producto por un número real y propiedades, producto de matrices y propiedades. Tipos de matrices: matriz transpuesta y propiedades de la transposición, matrices cuadradas, matrices diagonales, matrices unitarias, matrices simétricas y antisimétricas, matrices invertibles. Matrices singulares y
- 6. no singulares. Inversa de una matriz no singular. Operaciones elementales de filas o columnas. Eliminación Gaussiana. Rango de una matriz. Determinantes. Determinante de una matriz. Regla de Sarrus para calcular determinantes de orden 3. Propiedades de los determinantes. Sistemas de Ecuaciones. Sistema de ecuaciones lineales homogéneo y no homogéneo. Solución de un sistema de ecuaciones lineales. Representación matricial de un sistema de ecuaciones. Matriz asociada y matriz ampliada de un sistema de ecuaciones lineales. Análisis de las soluciones de un sistema de ecuaciones lineales. Teorema de Rouché-Frobenius. Contenidos Procedimentales. Utilización de las propiedades para realizar operaciones con matrices. Cálculo de la inversa de una matriz usando los cofactores. Cálculo de la inversa de una matriz usando Gauss-Jordan. Cálculo del determinante de una matriz. Cálculo del rango de una matriz. Resolución de sistemas de ecuaciones lineales homogéneos y no homogéneos. Contenidos Actitudinales. Aplicación de la teoría de matrices en la resolución de sistemas de ecuaciones lineales. La no conmutatividad en el producto de matrices. Bibliografía Recomendada. Unidad 5: Tópicos de Geometría en el plano Tiempo de ejecución (2.5 semanas) Objetivos Terminales: Aplicar las distintas operaciones con vectores y sus propiedades. Calcular las distintas ecuaciones de la recta y su representación en el plano. Representar en el plano las diferentes Cónicas con sus elementos. Objetivos Específicos. Realizar operaciones elementales con vectores. Reconocer las propiedades de las operaciones con vectores. Calcular la ecuación general de la recta usando la ecuación punto-pendiente. Representar las rectas en el plano. Calcular la ecuación canónica de la cónica a partir de su ecuación general. Representar las distintas cónicas en el plano. Contenidos Conceptuales. Plano Cartesiano y elementos. Representación de puntos en el plano. Ecuación de la distancia y del punto medio. Vectores en el plano. Vector fijo. Vectores libres. Igualdad de vectores. Adición de vectores y propiedades de la suma de vectores. Producto por un escalar y propiedades. Producto escalar y propiedades. Módulo de un vector. Vectores canónicos. Combinación lineal. Dependencia e independencia lineal. Angulo entre vectores. Condiciones de paralelismo y perpendicularidad. Rectas en el plano. Pendiente de una recta. Interpretación geométrica. Ecuaciones de la recta: ecuación punto-pendiente, ecuación pendiente-intercepto y ecuación general. Representación de una recta en el plano. Recta vertical y
- 7. recta horizontal. Ángulos entre rectas. Condición de paralelismo y perpendicularidad. Posición relativa entre un punto y una recta. Posición relativa entre dos rectas. Cónicas. La circunferencia y elementos: ecuación canónica y ecuación general. La elipse y elementos: ecuación canónica y ecuación general. La parábola y elementos: ecuación canónica y ecuación general. La hipérbola y elementos: ecuación canónica y ecuación general. Contenidos Procedimentales. Utilización de las propiedades de vectores para realizar operaciones con vectores. Cálculo de la recta dado un punto y su pendiente, cálculo de la recta dados dos puntos, cálculo de la recta paralela o perpendicular a otra recta. Uso del quinto postulado de Euclides para representar rectas en el plano. Compleción del cuadrado para obtener la ecuación canónica de la cónica a partir de su ecuación general. Contenidos Actitudinales. Inicio de la geometría analítica gracias al aporte de Rene Descartes. El vector como un caso particular de una matriz. La recta como un objeto analítico y como un objeto geométrico. Las cónicas como expresiones algebraicas y como curvas en plano. La recta y las cónicas, nuestras primeras curvas en el plano. Bibliografía Recomendada. Fleming, W. y Varberg, D. Álgebra y Trigonometría con Geometría Analítica. (3ra ed). México: Prentice Hall. Fuentes M. (1996). Problemario de matemáticas universitarias. (4ta ed). Mérida-Venezuela: Kariña Editores. Unidad 6: Funciones reales de una variable real Tiempo de ejecución (2.5 semanas) Objetivos Terminales: Representar una función afectada por desplazamientos verticales, horizontales. Reflexión y compresión-alargamiento. Representar funciones definidas por partes. Determinar el dominio, rango de una función Objetivos Específicos. Definir funciones a partir de una cónica. Reconocer las funciones elementales con sus dominios y representación gráfica (bosquejo). Graficar funciones elementales o afectadas por desplazamientos verticales, horizontales. Reflexión y compresión-alargamiento. Determinar el dominio de una función de forma analítica. Determinar el dominio, rango de una función de forma geométrica. Reconocer a la función valor absoluto como una función por partes. Definir la función inversa de una función. Definir la composición entre dos funciones.
- 8. Contenidos Conceptuales. Función. Función real de una variable real: Dominio, rango y regla. Grafico de una función real. Catalogo de funciones elementales: Dominio, rango, cortes con los ejes y representación gráfica (bosquejo) de las siguientes funciones: Funciones Algebraicas: Lineales, potenciales, racionales e irracionales. Funciones Transcendentales: Logaritmo, exponencial, trigonométricas; seno, coseno y tangente. Función definida por partes (valor absoluto). Desplazamientos verticales, horizontales. Reflexión y compresión-alargamiento. Operaciones con funciones: suma, resta, multiplicación, división y composición. Inversa de una función: Intectividad, sobreyectividad, biyectividad. Inversa de las funciones trigonométricas seno, coseno y tangente. Contenidos Procedimentales. Cómo definir funciones a partir de una cónica. Cómo representar funciones a partir de una cónica. Determinación del dominio de una función de forma analítica. Determinación del rango y dominio de una función de forma geométrica. Cómo cambia el grafico de la función cuando el valor absoluto afecta la función o su argumento. Restricciones para definir funciones biyectivas, restricciones para poder calcular composiciones. Cálculo de la inversa de una función. Aplicación del concepto de función. Contenidos Actitudinales. Uso del concepto de función para resolver problemas aplicados a situaciones reales. Una función como una terna de tres objetos: dominio, conjunto de llegada y ley de correspondencia. No siempre es posible definir directamente la inversa de una función. No siempre es posible definir directamente la composición entre dos funciones. El conocimiento de las funciones como punto de partida en el estudio del Cálculo Diferencial Integral. Bibliografía Recomendada. • Saenz, J. (2005). Cálculo diferencial con funciones trascendentes tempranas para ciencias e ingeniería. (2da e.). Universidad Centroccidental Lisandro Alvarado. Hipotenusa. Barquisimeto. Unidad 7: Límite y Continuidad Tiempo de ejecución (3 semanas) Objetivos Terminales: Calcular límites en un punto, límites infinitos y límites al infinito. Calcular límites con indeterminaciones de la forma 0/0, ∝/∝, ∝−∝. Estudiar la continuidad de una función en un punto clasificando los puntos de discontinuidad. Objetivos Específicos. Calcular límite finito de una función en un punto. Calcular límites laterales. Calcular límites de funciones definidas por partes. Aplicar las propiedades de los límites en el cálculo de límites de funciones continuas. Aplicar los teoremas de la función acotada y la función intermedia en el cálculo de límites.
- 9. Calcular límites en un punto con indeterminaciones de la forma 0/0 para funciones raciones racionales e irracionales. Calcular límites al infinito con indeterminaciones de la forma ∝/∝, ∝−∝ para funciones raciones racionales e irracionales. Calcular límites al infinito. Identificar los tipos de discontinuidad. Estudiar el dominio de continuidad de una función. Contenidos Conceptuales. Definición no formal de límite en un punto. Definición formal. Límites laterales. Propiedades de los límites finitos. Límite infinitos propiedades de los límites infinitos. Límite al infinito y propiedades de los límites al infinito. Límite infinito y al infinito de las funciones potenciales, radicales, exponenciales, logarítmicas, arcotangente. Teorema de la función acotada y de la función intermedia. Indeterminación de la forma 0/0. Indeterminación de la forma ∝/∝, ∝−∝. Continuidad en un punto. Tipos de discontinuidad. Continuidad en un intervalo. Dominio de continuidad. Funciones continuas. Contenidos Procedimentales. Calculo de límites (finito, y al infinito) usando una tabla de valores y calculo de límites (finito y al infinito) usando la grafica de la función. Calculo de límites usando propiedades. Cálculo de límites de funciones definidas por partes. Uso del álgebra para calcular límites con indeterminaciones de la forma 0/0. Cambios de variable para resolver límites con indeterminaciones de la forma ∝/∝ Uso de senx la identidad lim para calcular límites con indeterminación 0/0 de funciones x →0 x que contienen funciones trigonométricas. Contenidos Actitudinales. Diferenciación entre el cálculo del límite y el cálculo de la imagen de una función en un punto. Importancia del reconocimiento de las graficas de las funciones para calcular. El límite como un tendencia de las imágenes (valor que tiende a un número) y no como un valor fijo que se alcanza. Conexión entre el cálculo de límites y la continuidad de la función. La continuidad como un concepto geométrico. Bibliografía Recomendada. • Saenz, J. (2005). Cálculo diferencial con funciones trascendentes tempranas para ciencias e ingeniería. (2da e.). Universidad Centroccidental Lisandro Alvarado. Hipotenusa. Barquisimeto.