Programa de estudio 7° básico matemática

Programa de Estudio
Séptimo Año Básico
Ministerio de Educación
Matemática

IMPORTANTE
En el presente documento, se utilizan de manera inclusiva los términos como “el
docente”, “el estudiante”, “el profesor”, “el alumno”, “el compañero” y sus respectivos
plurales (así como otras palabras equivalentes en el contexto educativo); es decir, se
refieren a hombres y mujeres.
Esta opción obedece a que no existe acuerdo universal respecto de cómo evitar la
discriminación de géneros en el idioma español, salvo usando “o/a”, “los/las” y otras
similares para referirse a ambos sexos en conjunto, y ese tipo de fórmulas supone una
saturación gráfica que puede dificultar la comprensión de la lectura.

Estimados profesores y profesoras:
La entrega de nuevos programas es una buena ocasión para reflexionar acerca de los desafíos que enfrentamos hoy
como educadores en nuestro país.
La escuela tiene por objeto permitir a todos los niños de Chile acceder a una vida plena, ayudándolos a alcanzar un
desarrollo integral que comprende los aspectos espiritual, ético, moral, afectivo, intelectual, artístico y físico. Es decir,
se aspira a lograr un conjunto de aprendizajes cognitivos y no cognitivos que permitan a los alumnos enfrentar su vida
de la mejor forma posible.
Los presentes Programas de Estudio, aprobados por el Consejo Nacional de Educación, buscan efectivamente abrir
el mundo a nuestros niños, con un fuerte énfasis en las herramientas clave, como la lectura, la escritura y el razona-
miento matemático. El manejo de estas habilidades de forma transversal a todos los ámbitos, escolares y no escolares,
contribuye directamente a disminuir las brechas existentes y garantizan a los alumnos una trayectoria de aprendizaje
continuo más allá de la escuela.
Asimismo, el acceso a la comprensión de su pasado y su presente, y del mundo que los rodea, constituye el fundamento
para reafirmar la confianza en sí mismos, actuar de acuerdo a valores y normas de convivencia cívica, conocer y respetar
deberes y derechos, asumir compromisos y diseñar proyectos de vida que impliquen actuar responsablemente sobre
su entorno social y natural. Los presentes Programas de Estudio son la concreción de estas ideas y se enfocan a su logro.
Sabemos que incrementar el aprendizaje de todos nuestros alumnos requiere mucho trabajo; llamamos a nuestros
profesores a renovar su compromiso con esta tarea y también a enseñar a sus estudiantes que el esfuerzo personal,
realizado en forma sostenida y persistente, es la mejor garantía para lograr éxito en lo que nos proponemos. Pedimos
a los alumnos que estudien con intensidad, dedicación, ganas de aprender y de formarse hacia el futuro. A los padres
y apoderados los animamos a acompañar a sus hijos en las actividades escolares, a comprometerse con su estableci-
miento educacional y a exigir un buen nivel de enseñaza. Estamos convencidos de que una educación de verdad se
juega en la sala de clases y con el compromiso de todos los actores del sistema escolar.
A todos los invitamos a estudiar y conocer en profundidad estos Programas de Estudio, y a involucrarse de forma opti-
mista en las tareas que estos proponen. Con el apoyo de ustedes, estamos seguros de lograr una educación de mayor
calidad y equidad para todos nuestros niños.
Felipe Bulnes Serrano
Ministro de Educación de Chile

Matemática
Programa de Estudio para Séptimo Año Básico
Unidad de Currículum y Evaluación
ISBN 978-956-292-341-5
Ministerio de Educación, República de Chile
Alameda 1371, Santiago
Primera Edición: 2011

Séptimo Año Básico / Matemática
Índice
Presentación 6
Nociones Básicas 8 Aprendizajes como integración de conocimientos,
habilidades y actitudes
10 Objetivos Fundamentales Transversales
11 Mapas de Progreso
Consideraciones Generales
para Implementar el Programa 13
16 Orientaciones para planificar
19 Orientaciones para evaluar
Matemática 24 Propósitos
25 Habilidades
26 Orientaciones didácticas
Visión Global del Año 28 Aprendizajes Esperados por semestre y unidad
Unidades 33
Semestre 1 35 Unidad 1 Números y Álgebra
49 Unidad 2 Geometría
Semestre 2 57 Unidad 3 Números y Geometría
73 Unidad 4 Datos y Azar
Bibliografía 87
Anexos 91

6
Presentación
El programa de estudio ofrece una propuesta para organizar y orientar el trabajo
pedagógico del año escolar. Esta propuesta pretende promover el logro de los
Objetivos Fundamentales (OF) y el desarrollo de los Contenidos Mínimos Obliga-
torios (CMO) que define el Marco Curricular1
.
La ley dispone que cada establecimiento puede elaborar sus propios programas
de estudio, previa aprobación de los mismos por parte del Mineduc. El presen-
te programa constituye una propuesta para aquellos establecimientos que no
cuentan con programas propios.
Los principales componentes que conforman la propuesta del programa son:
› una especificación de los aprendizajes que se deben lograr para alcanzar los
OF y los CMO del Marco Curricular, lo que se expresa a través de los Aprendi-
zajes Esperados2
› una organización temporal de estos aprendizajes en semestres y unidades
› una propuesta de actividades de aprendizaje y de evaluación, a modo
de sugerencia
Además, se presenta un conjunto de elementos para orientar el trabajo pedagó-
gico que se realiza a partir del programa y para promover el logro de los objetivos
que este propone.
Este programa de estudio incluye:
› Nociones básicas. Esta sección presenta conceptos fundamentales que es-
tán en la base del Marco Curricular y, a la vez, ofrece una visión general acerca
de la función de los Mapas de Progreso
› Consideraciones generales para implementar el programa. Consisten
en orientaciones relevantes para trabajar con el programa y organizar el tra-
bajo en torno a él
El programa es una
propuesta para lograr los
Objetivos Fundamentales
y los Contenidos
Mínimos Obligatorios
1 Decretos supremos 254 y 256 de 2009
2 En algunos casos, estos aprendizajes están formulados en los mismos términos
que algunos de los OF del Marco Curricular. Esto ocurre cuando esos OF se pueden
desarrollar íntegramente en una misma unidad de tiempo, sin que sea necesario su
desglose en definiciones más específicas.

7Séptimo Año Básico / Matemática
Presentación
› Propósitos, habilidades y orientaciones didácticas. Esta sección presenta
sintéticamente los propósitos y sentidos sobre los que se articulan los aprendi-
zajes del sector y las habilidades a desarrollar. También entrega algunas orien-
taciones pedagógicas importantes para implementar el programa en el sector
› Visión global del año. Presenta todos los Aprendizajes Esperados que se
debe desarrollar durante el año, organizados de acuerdo a unidades
› Unidades. Junto con especificar los Aprendizajes Esperados propios de la
unidad, incluyen indicadores de evaluación y sugerencias de actividades que
apoyan y orientan el trabajo destinado a promover estos aprendizajes3
› Instrumentos y ejemplos de evaluación. Ilustran formas de apreciar el lo-
gro de los Aprendizajes Esperados y presentan diversas estrategias que pue-
den usarse para este fin
› Material de apoyo sugerido. Se trata de recursos bibliográficos y electró-
nicos que pueden emplearse para promover los aprendizajes del sector; se
distingue entre los que sirven al docente y los destinados a los estudiantes
3 Relaciones interdisciplinarias. En algunos casos las actividades relacionan dos o más
sectores y se simbolizan con

8
Nociones Básicas
Aprendizajes como integración de conocimientos,
Los aprendizajes que promueven el Marco Curricular y los programas de estu-
dio apuntan a un desarrollo integral de los estudiantes. Para tales efectos, esos
aprendizajes involucran tanto los conocimientos propios de la disciplina como
las habilidades y actitudes.
Se busca que los estudiantes pongan en juego estos conocimientos, habilidades
y actitudes para enfrentar diversos desafíos, tanto en el contexto del sector de
aprendizaje como al desenvolverse en su entorno. Esto supone orientarlos hacia
el logro de competencias, entendidas como la movilización de dichos elementos
para realizar de manera efectiva una acción determinada.
Se trata una noción de aprendizaje de acuerdo con la cual los conocimientos,
las habilidades y las actitudes se desarrollan de manera integrada y, a la vez, se
enriquecen y potencian de forma recíproca.
Las habilidades, los conocimientos y las actitudes no se adquieren espontánea-
mente al estudiar las disciplinas. Necesitan promoverse de manera metódica y
estar explícitas en los propósitos que articulan el trabajo de los docentes.
Habilidades
Son importantes, porque…
…el aprendizaje involucra no solo el saber, sino también el saber hacer. Por otra
parte, la continua expansión y la creciente complejidad del conocimiento de-
mandan cada vez más capacidades de pensamiento que permitan, entre otros
aspectos, usar la información de manera apropiada y rigurosa, examinar críti-
camente las diversas fuentes de información disponibles y adquirir y generar
nuevos conocimientos.
Esta situación hace relevante la promoción de diversas habilidades, como re-
solver problemas, formular conjeturas, realizar cálculos en forma mental y es-
crita y verificar proposiciones simples, entre otras.
Se deben desarrollar de manera integrada, porque…
…sinesashabilidades,losconocimientosyconceptosquepuedanadquirirlosalum-
nos resultan elementos inertes; es decir, elementos que no pueden poner en juego
para comprender y enfrentar las diversas situaciones a las que se ven expuestos.
Habilidades,
conocimientos
y actitudes…
…movilizados para
enfrentar diversas
situaciones y desafíos…
…y que se desarrollan
de manera integrada
Deben promoverse de
manera sistemática
Son fundamentales en
el actual contexto social
Permiten poner en juego
los conocimientos

Nociones Básicas
Conocimientos
…los conceptos de las disciplinas o sectores de aprendizaje enriquecen la com-
prensión de los estudiantes sobre los fenómenos que les toca enfrentar. Les per-
miten relacionarse con el entorno, utilizando nociones complejas y profundas
que complementan, de manera crucial, el saber que han obtenido por medio del
sentido común y la experiencia cotidiana. Además, estos conceptos son funda-
mentales para que los alumnos construyan nuevos aprendizajes.
Por ejemplo, si se observa una información en un diario que contenga datos re-
presentados en tablas o gráficos, el estudiante utiliza sus conocimientos sobre
estadística para interpretar a esa información. Los conocimientos previos le capa-
citan para predecir sobre lo que va a leer para luego verificar sus predicciones en
la medida que entiende la información y así construir este nuevo conocimiento.
Se deben desarrollar de manera integrada, porque…
…son una condición para el progreso de las habilidades. Ellas no se desarrollan en
un vacío, sino sobre la base de ciertos conceptos o conocimientos.
Actitudes
…los aprendizajes no involucran únicamente la dimensión cognitiva. Siempre
están asociados con las actitudes y disposiciones de los alumnos. Entre los pro-
pósitos establecidos para la educación, se contempla el desarrollo en los ámbitos
personal, social, ético y ciudadano. Ellos incluyen aspectos de carácter afectivo y,
a la vez, ciertas disposiciones.
A modo de ejemplo, los aprendizajes de Matemática involucran actitudes como
perseverancia, rigor, flexibilidad y originalidad al resolver problemas matemá-
ticos, trabajo en equipo e iniciativa personal en la resolución de problemas en
contextos diversos y respeto por ideas distintas a las propias.
Se deben enseñar de manera integrada, porque…
…en muchos casos requieren de los conocimientos y las habilidades para su de-
sarrollo. Esos conocimientos y habilidades entregan herramientas para elaborar
juicios informados, analizar críticamente diversas circunstancias y contrastar cri-
terios y decisiones, entre otros aspectos involucrados en este proceso.
Enriquecen la
comprensión y la
relación con el entorno
Son una base para el
desarrollo de habilidades
Están involucradas en
los propósitos formativos
de la educación
Son enriquecidas por
los conocimientos
y las habilidades

10
A la vez, las actitudes orientan el sentido y el uso que cada alumno otorgue a los
conocimientos y las habilidades adquiridos. Son, por lo tanto, un antecedente
necesario para usar constructivamente estos elementos.
Objetivos Fundamentales Transversales (OFT)
Son aprendizajes que tienen un carácter comprensivo y general, y apuntan al
desarrollo personal, ético, social e intelectual de los estudiantes. Forman parte
constitutiva del currículum nacional y, por lo tanto, los establecimientos deben
asumir la tarea de promover su logro.
Los OFT no se logran a través de un sector de aprendizaje en particular; conse-
guirlos depende del conjunto del currículum. Deben promoverse a través de las
diversas disciplinas y en las distintas dimensiones del quehacer educativo (por
ejemplo, por medio del proyecto educativo institucional, la práctica docente, el
clima organizacional, la disciplina o las ceremonias escolares).
No se trata de objetivos que incluyan únicamente actitudes y valores. Supone
integrar esos aspectos con el desarrollo de conocimientos y habilidades.
A partir de la actualización al Marco Curricular realizada el año 2009, estos ob-
jetivos se organizaron bajo un esquema común para la Educación Básica y la
Educación Media. De acuerdo con este esquema, los Objetivos Fundamentales
Transversales se agrupan en cinco ámbitos: crecimiento y autoafirmación per-
sonal, desarrollo del pensamiento, formación ética, la persona y su entorno y
tecnologías de la información y la comunicación.
Orientan la forma de
usar los conocimientos
y las habilidades
Son propósitos
generales definidos
en el currículum…

…que deben
promoverse en toda la
experiencia escolar
Integran conocimientos,
Se organizan en
una matriz común
para educación
básica y media

Nociones Básicas
Mapas de Progreso
Son descripciones generales que señalan cómo progresan habitualmente los
aprendizajes en las áreas clave de un sector determinado. Se trata de formu-
laciones sintéticas que se centran en los aspectos esenciales de cada sector. A
partir de esto, ofrecen una visión panorámica sobre la progresión del aprendizaje
en los doce años de escolaridad4
.
Los Mapas de Progreso no establecen aprendizajes adicionales a los definidos en
el Marco Curricular y los programas de estudio. El avance que describen expresa
de manera más gruesa y sintética los aprendizajes que esos dos instrumentos
establecen y, por lo tanto, se inscribe dentro de lo que se plantea en ellos. Su
particularidad consiste en que entregan una visión de conjunto sobre la progre-
sión esperada en todo el sector de aprendizaje.
¿Qué utilidad tienen los Mapas de Progreso para el trabajo de los docentes?
Pueden ser un apoyo importante para definir objetivos adecuados y para evaluar
(ver las Orientaciones para Planificar y las Orientaciones para Evaluar que se
presentan en el programa).
Además, son un referente útil para atender a la diversidad de estudiantes dentro
del aula:
› permiten más que simplemente constatar que existen distintos niveles de
aprendizaje dentro de un mismo curso. Si se usan para analizar los desempe-
ños de los estudiantes, ayudan a caracterizar e identificar con mayor precisión
en qué consisten esas diferencias
› la progresión que describen permite reconocer cómo orientar los aprendiza-
jes de los distintos grupos del mismo curso; es decir, de aquellos que no han
conseguido el nivel esperado y de aquellos que ya lo alcanzaron o lo superaron
› expresan el progreso del aprendizaje en un área clave del sector, de manera
sintética y alineada con el Marco Curricular
Describen
sintéticamente
cómo progresa el
aprendizaje…
…de manera
congruente con el
Marco Curricular y los
programas de estudio
Sirven de apoyo para
planificar y evaluar…
…y para atender
la diversidad al
interior del curso
4 Los Mapas de Progreso describen en siete niveles el crecimiento habitual del apren-
dizaje de los estudiantes en un ámbito o eje del sector. Cada uno de estos niveles
presenta una expectativa de aprendizaje correspondiente a dos años de escolaridad.
Por ejemplo, el Nivel 1 corresponde al logro que se espera para la mayoría de los niños
y niñas al término de 2° básico; el Nivel 2 corresponde al término de 4° básico, y así
sucesivamente. El Nivel 7 describe el aprendizaje de un alumno o alumna que, al egre-
sar de la Educación Media, es “sobresaliente”, es decir, va más allá de la expectativa
para IV medio que describe el Nivel 6 en cada mapa.

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Mapa de progreso
Entrega una visión sintética del progreso del aprendizaje
en un área clave del sector, y se ajusta a las expectativas del
Marco Curricular.
Ejemplo:
Mapa de Progreso Números y Operaciones
Nivel 7 Comprende los diferentes conjuntos numéricos…
Nivel 6 Reconoce los números complejos como…
Nivel 5 Reconoce a los números racionales como…
Nivel 4 Reconoce a los números enteros como un conjunto
numérico en donde se pueden resolver problemas que no
admiten solución en los números naturales, reconoce sus
propiedades y los utiliza para ordenar, comparar y cuan-
tificar magnitudes. Establece proporciones y las usa para
resolver diversas situaciones de variación proporcional.
Comprende y realiza las cuatro operaciones con números
enteros. Utiliza raíces cuadradas de números enteros
positivos y potencias de base fraccionaria positiva, decimal
positivo o entero y exponente natural en la solución de
diversos desafíos. Resuelve problemas y formula conjeturas
en diversos contextos en los que se deben establecer rela-
ciones entre conceptos. Justifica la estrategia utilizada, las
conjeturas formuladas y los resultados obtenidos, utilizan-
do conceptos, procedimientos y relaciones matemáticas.
Nivel 3 Reconoce que los números naturales…
Nivel 2 Utiliza los números naturales hasta 1.000…
Nivel 1 Utiliza los números naturales hasta 1.000 para…
Programa de estudio
Orienta la labor pedagógica, esta-
bleciendo Aprendizajes Esperados
que dan cuenta de los Objetivos
Fundamentales y Contenidos Míni-
mos, y los organiza temporalmente a
través de unidades.
Ejemplo:
Aprendizaje Esperado 7º básico
Establecer relaciones de orden entre
números enteros y ubicarlos en la
recta numérica.
Marco Curricular
Prescribe los Objetivos Fundamentales y los Contenidos Mínimos obligatorios que todos
los estudiantes deben lograr.
Ejemplo:
Objetivo Fundamental 7º básico
Establecer relaciones de orden entre números enteros, reconocer algunas de sus propie-
dades, y efectuar e interpretar adiciones y sustracciones con estos números y aplicarlas
en diversas situaciones.
Contenido Mínimo Obligatorio
Representación de números enteros en la recta numérica y determinación de relaciones
de orden entre ellos…
Relación entre Mapa de Progreso, Programa de Estudio y Marco Curricular

Consideraciones Generales
para Implementar
el Programa
Consideraciones Generales para Implementar el Programa
Las orientaciones que se presentan a continuación destacan algunos elementos
relevantes al momento de implementar el programa. Algunas de estas orien-
taciones se vinculan estrechamente con algunos de los OFT contemplados en
el currículum.
Uso del lenguaje
Los docentes deben promover el ejercicio de la comunicación oral, la lectura y
la escritura como parte constitutiva del trabajo pedagógico correspondiente a
cada sector de aprendizaje.
Esto se justifica, porque las habilidades de comunicación son herramientas fun-
damentales que los estudiantes deben emplear para alcanzar los aprendizajes
propios de cada sector. Se trata de habilidades que no se desarrollan únicamente
en el contexto del sector Lenguaje y Comunicación, sino que se consolidan a tra-
vés del ejercicio en diversos espacios y en torno a distintos temas y, por lo tanto,
involucran los otros sectores de aprendizaje del currículum.
Al momento de recurrir a la lectura, la escritura y la comunicación oral, los do-
centes deben procurar:
Lectura
› la lectura de distintos tipos de textos relevantes para el sector (textos informa-
tivos propios del sector, textos periodísticos y narrativos, tablas y gráficos)
› la lectura de textos de creciente complejidad en los que se utilicen conceptos
especializados del sector
› la identificación de las ideas principales y la localización de información relevante
› la realización de resúmenes y la síntesis de las ideas y argumentos presenta-
dos en los textos
› la búsqueda de información en fuentes escritas, discriminándola y seleccio-
nándola de acuerdo a su pertinencia
› la comprensión y el dominio de nuevos conceptos y palabras
Escritura
› la escritura de textos de diversa extensión y complejidad (por ejemplo, repor-
tes, ensayos, descripciones, respuestas breves)
› la organización y presentación de información a través de esquemas o tablas
› la presentación de las ideas de una manera coherente y clara
› el uso apropiado del vocabulario en los textos escritos
› el uso correcto de la gramática y de la ortografía
La lectura, la escritura
y la comunicación oral
deben promoverse en
los distintos sectores
de aprendizaje
Estas habilidades se
pueden promover
de diversas formas

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Comunicación oral
› la capacidad de exponer ante otras personas
› la expresión de ideas y conocimientos de manera organizada
› el desarrollo de la argumentación al formular ideas y opiniones
› el uso del lenguaje con niveles crecientes de precisión, incorporando los
conceptos propios del sector
› el planteamiento de preguntas para expresar dudas e inquietudes y para
superar dificultades de comprensión
› la disposición para escuchar información de manera oral, manteniendo la
atención durante el tiempo requerido
› la interacción con otras personas para intercambiar ideas, analizar informa-
ción y elaborar conexiones en relación con un tema en particular, compartir
puntos de vista y lograr acuerdos
Uso de las Tecnologías de la Información y la
Comunicación (TICs)
El desarrollo de las capacidades para utilizar las Tecnologías de la Información
y la Comunicación (TICs) está contemplado de manera explícita como uno de
los Objetivos Fundamentales Transversales del Marco Curricular. Esto demanda
que el dominio y uso de estas tecnologías se promueva de manera integrada al
trabajo que se realiza al interior de los sectores de aprendizaje. Para esto, se debe
procurar que la labor de los estudiantes incluya el uso de las TICs para:
› buscar, acceder y recolectar información en páginas web u otras fuentes, y
seleccionar esta información, examinando críticamente su relevancia y calidad
› procesar y organizar datos, utilizando plantillas de cálculo, y manipular la in-
formación sistematizada en ellas para identificar tendencias, regularidades y
patrones relativos a los fenómenos estudiados en el sector
› desarrollar y presentar información a través del uso de procesadores de texto,
plantillas de presentación (power point) y herramientas y aplicaciones de ima-
gen, audio y video
› intercambiar información a través de las herramientas que ofrece internet,
como correo electrónico, chat, espacios interactivos en sitios web o comuni-
dades virtuales
› respetar y asumir consideraciones éticas en el uso de las TICs, como el
cuidado personal y el respeto por el otro, señalar las fuentes de donde se
obtiene la información y respetar las normas de uso y de seguridad de los
espacios virtuales
Debe impulsarse
el uso de las TICs a
través de los sectores
de aprendizaje
Se puede recurrir
a diversas formas
de utilización de
estas tecnologías

Atención a la diversidad
En el trabajo pedagógico, el docente debe tomar en cuenta la diversidad entre
los estudiantes en términos culturales, sociales, étnicos o religiosos, y respecto
de estilos de aprendizaje y niveles de conocimiento.
Esa diversidad conlleva desafíos que los profesores tienen que contemplar. Entre
ellos, cabe señalar:
› promover el respeto a cada uno de los estudiantes, en un contexto de toleran-
cia y apertura, evitando las distintas formas de discriminación
› procurar que los aprendizajes se desarrollen en relación con el contexto y la
realidad de los estudiantes
› intentar que todos los alumnos logren los objetivos de aprendizaje señalados
en el currículum, pese a la diversidad que se manifiesta entre ellos
Atención a la diversidad y promoción de aprendizajes
Se debe tener en cuenta que atender a la diversidad de estilos y ritmos de
aprendizaje no implica “expectativas más bajas” para algunos estudiantes. Por
el contrario, la necesidad de educar en forma diferenciada aparece al constatar
que hay que reconocer los requerimientos didácticos personales de los alumnos,
para que todos alcancen altas expectativas. Se aspira a que todos los estudiantes
alcancen los aprendizajes dispuestos para su nivel o grado.
En atención a lo anterior, es conveniente que, al momento de diseñar el traba-
jo en una unidad, el docente considere que precisarán más tiempo o métodos
diferentes para que algunos estudiantes logren estos aprendizajes. Para esto,
debe desarrollar una planificación inteligente que genere las condiciones que
le permitan:
› conocer los diferentes niveles de aprendizaje y conocimientos previos de
los estudiantes
› evaluar y diagnosticar en forma permanente para reconocer las necesidades
de aprendizaje
› definir la excelencia, considerando el progreso individual como punto de partida
› incluir combinaciones didácticas (agrupamientos, trabajo grupal, rincones) y
materiales diversos (visuales, objetos manipulables)
› evaluar de distintas maneras a los alumnos y dar tareas con múltiples opciones
› promover la confianza de los alumnos en sí mismos
› promover un trabajo sistemático por parte de los estudiantes y ejercitación
abundante
La diversidad
entre estudiantes
establece desafíos
que deben tomarse
en consideración
Es necesario atender
a la diversidad para
que todos logren
los aprendizajes
Esto demanda conocer
qué saben y, sobre
esa base, definir con
flexibilidad las diversas
medidas pertinentes

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Orientaciones para planificar
La planificación es un elemento central en el esfuerzo por promover y garantizar los
aprendizajes de los estudiantes. Permite maximizar el uso del tiempo y definir los
procesos y recursos necesarios para lograr los aprendizajes que se debe alcanzar.
Los programas de estudio del Ministerio de Educación constituyen una herra-
mienta de apoyo al proceso de planificación. Para estos efectos, han sido elabo-
rados como un material flexible que los profesores pueden adaptar a su realidad
en los distintos contextos educativos del país.
El principal referente que entrega el programa de estudio para planificar son
los Aprendizajes Esperados. De manera adicional, el programa apoya la pla-
nificación a través de la propuesta de unidades, de la estimación del tiempo
cronológico requerido en cada una y de la sugerencia de actividades para de-
sarrollar los aprendizajes.
Consideraciones generales para realizar la planificación
La planificación es un proceso que se recomienda realizar, considerando los
siguientes aspectos:
› la diversidad de niveles de aprendizaje que han alcanzado los estudiantes
del curso, lo que implica planificar considerando desafíos para los distintos
grupos de alumnos
› el tiempo real con que se cuenta, de manera de optimizar el tiempo disponible
› las prácticas pedagógicas que han dado resultados satisfactorios
› los recursos para el aprendizaje con que se cuenta: textos escolares, materia-
les didácticos, recursos elaborados por la escuela o aquellos que es necesa-
rio diseñar; laboratorio y materiales disponibles en el Centro de Recursos de
Aprendizaje (CRA), entre otros
Sugerencias para el proceso de planificación
Para que la planificación efectivamente ayude al logro de los aprendizajes, debe
estar centrada en torno a ellos y desarrollarse a partir de una visión clara de lo
que los alumnos deben aprender. Para alcanzar este objetivo, se recomienda
elaborar la planificación en los siguientes términos:
› comenzar por una especificación de los Aprendizajes Esperados que no se
limite a listarlos. Una vez identificados, es necesario desarrollar una idea lo
más clara posible de las expresiones concretas que puedan tener. Esto im-
plica reconocer qué desempeños de los estudiantes demuestran el logro de
los aprendizajes. Se deben poder responder preguntas como ¿qué deberían
La planificación
favorece el logro de
los aprendizajes
El programa sirve de
apoyo a la planificación
a través de un conjunto
de elementos elaborados
para este fin
Se debe planificar
tomando en cuenta la
diversidad, el tiempo real,
las prácticas anteriores y
los recursos disponibles
Lograr una visión lo más
clara y concreta posible
sobre los desempeños
que dan cuenta de
los aprendizajes…

ser capaces de demostrar los estudiantes que han logrado un determinado
Aprendizaje Esperado?, ¿qué habría que observar para saber que un aprendi-
zaje ha sido logrado?
› a partir de las respuestas a esas preguntas, decidir las evaluaciones a realizar
y las estrategias de enseñanza. Específicamente, se requiere identificar qué
tarea de evaluación es más pertinente para observar el desempeño espera-
do y qué modalidades de enseñanza facilitarán alcanzar este desempeño. De
acuerdo a este proceso, se debe definir las evaluaciones formativas y sumati-
vas, las actividades de enseñanza y las instancias de retroalimentación
Los docentes pueden complementar los programas con los Mapas de Progreso,
que entregan elementos útiles para reconocer el tipo de desempeño asociado
a los aprendizajes.
Se sugiere que la forma de plantear la planificación arriba propuesta se use
tanto en la planificación anual como en la correspondiente a cada unidad y al
plan de cada clase.
La planificación anual
En este proceso, el docente debe distribuir los Aprendizajes Esperados a lo largo
del año escolar, considerando su organización por unidades; estimar el tiempo
que se requerirá para cada unidad y priorizar las acciones que conducirán a lo-
gros académicos significativos.
Para esto, el docente tiene que:
› alcanzar una visión sintética del conjunto de aprendizajes a lograr duran-
te el año, dimensionando el tipo de cambio que se debe observar en los
estudiantes. Esto debe desarrollarse a partir de los Aprendizajes Esperados
especificados en los programas. Los Mapas de Progreso pueden resultar un
apoyo importante
› identificar, en términos generales, el tipo de evaluación que se requerirá para
verificar el logro de los aprendizajes. Esto permitirá desarrollar una idea de las
demandas y los requerimientos a considerar para cada unidad
› sobre la base de esta visión, asignar los tiempos a destinar a cada unidad. Para
que esta distribución resulte lo más realista posible, se recomienda:
- listardíasdelañoyhorasdeclaseporsemanaparaestimareltiempodisponible
- elaborar una calendarización tentativa de los Aprendizajes Esperados para el
año completo, considerando los feriados, los días de prueba y de repaso, y la
realización de evaluaciones formativas y retroalimentación
- hacer una planificación gruesa de las actividades a partir de la calendarización
- ajustar permanentemente la calendarización o las actividades planificadas
…y, sobre esa base,
decidir las evaluaciones,
las estrategias de
enseñanza y la
distribución temporal
Realizar este
proceso con una
visión realista de los
tiempos disponibles
durante el año

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La planificación de la unidad
Implica tomar decisiones más precisas sobre qué enseñar y cómo enseñar, con-
siderando la necesidad de ajustarlas a los tiempos asignados a la unidad.
La planificación de la unidad debiera seguir los siguientes pasos:
› especificar la meta de la unidad. Al igual que la planificación anual, esta visión
debe sustentarse en los Aprendizajes Esperados de la unidad y se recomienda
complementarla con los Mapas de Progreso
› crear una evaluación sumativa para la unidad
› idear una herramienta de diagnóstico de comienzos de la unidad
› calendarizar los Aprendizajes Esperados por semana
› establecer las actividades de enseñanza que se desarrollarán
› generar un sistema de seguimiento de los Aprendizajes Esperados, especifi-
cando los tiempos y las herramientas para realizar evaluaciones formativas y
retroalimentación
› ajustar el plan continuamente ante los requerimientos de los estudiantes
La planificación de clase
Es imprescindible que cada clase sea diseñada considerando que todas sus par-
tes estén alineadas con los Aprendizajes Esperados que se busca promover y con
la evaluación que se utilizará.
Adicionalmente, se recomienda que cada clase sea diseñada distinguiendo su
inicio, desarrollo y cierre y especificando claramente qué elementos se con-
siderarán en cada una de estas partes. Se requiere considerar aspectos como
los siguientes:
› inicio: en esta fase, se debe procurar que los estudiantes conozcan el propó-
sito de la clase; es decir, qué se espera que aprendan. A la vez, se debe buscar
captar el interés de los estudiantes y que visualicen cómo se relaciona lo que
aprenderán con lo que ya saben y con las clases anteriores
› desarrollo: en esta etapa, el docente lleva a cabo la actividad contemplada
para la clase
› cierre: este momento puede ser breve (5 a 10 minutos), pero es central. En
él se debe procurar que los estudiantes se formen una visión acerca de qué
aprendieron y cuál es la utilidad de las estrategias y experiencias desarrolladas
para promover su aprendizaje.
Realizar este proceso
sin perder de vista la
meta de aprendizaje
de la unidad
Procurar que los
estudiantes sepan qué y
por qué van a aprender,
qué aprendieron y
de qué manera

Orientaciones para evaluar
La evaluación forma parte constitutiva del proceso de enseñanza. No se debe
usar solo como un medio para controlar qué saben los estudiantes, sino que
cumple un rol central en la promoción y el desarrollo del aprendizaje. Para que
cumpla efectivamente con esta función, debe tener como objetivos:
› ser un recurso para medir progreso en el logro de los aprendizajes
› proporcionar información que permita conocer fortalezas y debilidades de los
alumnos y, sobre esa base, retroalimentar la enseñanza y potenciar los logros
esperados dentro del sector
› ser una herramienta útil para la planificación
¿Cómo promover el aprendizaje a través de la evaluación?
Las evaluaciones adquieren su mayor potencial para promover el aprendizaje si
se llevan a cabo considerando lo siguiente:
› informar a los alumnos sobre los aprendizajes que se evaluarán. Esto facilita que
puedan orientar su actividad hacia conseguir los aprendizajes que deben lograr
› elaborar juicios sobre el grado en que se logran los aprendizajes que se bus-
ca alcanzar, fundados en el análisis de los desempeños de los estudiantes. Las
evaluaciones entregan información para conocer sus fortalezas y debilidades. El
análisis de esta información permite tomar decisiones para mejorar los resulta-
dos alcanzados
› retroalimentar a los alumnos sobre sus fortalezas y debilidades. Compartir esta
información con los estudiantes permite orientarlos acerca de los pasos que
debe seguir para avanzar. También da la posibilidad de desarrollar procesos
metacognitivos y reflexivos destinados a favorecer sus propios aprendizajes; a
su vez, esto facilita involucrarse y comprometerse con ellos
¿Cómo se pueden articular los Mapas de Progreso del
Aprendizaje con la evaluación?
Los Mapas de Progreso ponen a disposición de las escuelas de todo el país un
mismo referente para observar el desarrollo del aprendizaje de los alumnos y
los ubican en un continuo de progreso. Los Mapas de Progreso apoyan el segui-
miento de los aprendizajes, en tanto permiten:
› reconocer aquellos aspectos y dimensiones esenciales de evaluar
› aclarar la expectativa de aprendizaje nacional, al conocer la descripción de
cada nivel, sus ejemplos de desempeño y el trabajo concreto de estudiantes
que ilustran esta expectativa
Apoya el proceso
de aprendizaje al
permitir su monitoreo,
retroalimentar a los
estudiantes y sustentar
la planificación
Explicitar qué se evaluará
Identificar logros
y debilidades
Ofrecer retroalimentación
Los mapas apoyan
diversos aspectos del
proceso de evaluación

20
› observar el desarrollo, la progresión o el crecimiento de las competencias de
un alumno, al constatar cómo sus desempeños se van desplazando en el mapa
› contar con modelos de tareas y preguntas que permitan a cada alumno evi-
denciar sus aprendizajes
¿Cómo diseñar la evaluación?
La evaluación debe diseñarse a partir de los Aprendizajes Esperados, con el obje-
to de observar en qué grado se alcanzan. Para lograrlo, se recomienda diseñar la
evaluación junto a la planificación y considerar las siguientes preguntas:
› ¿Cuáles son los Aprendizajes Esperados del programa que abarcará la
evaluación?
Si debe priorizar, considere aquellos aprendizajes que serán duraderos y pre-
rrequisitos para desarrollar otros aprendizajes. Para esto, los Mapas de Progre-
so pueden ser de especial utilidad
› ¿Qué evidencia necesitarían exhibir sus estudiantes para demostrar
que dominan los Aprendizajes Esperados?
Se recomienda utilizar como apoyo los Indicadores de Evaluación sugeridos
que presenta el programa.
› ¿Qué método empleará para evaluar?
Es recomendable utilizar instrumentos y estrategias de diverso tipo (pruebas
escritas, guías de trabajo, informes, ensayos, entrevistas, debates, mapas con-
ceptuales, informes de laboratorio e investigaciones, entre otros).
En lo posible, se deben presentar situaciones que pueden resolverse de distintas
maneras y con diferente grado de complejidad, para que los diversos estudiantes
puedan solucionarlas y muestren sus distintos niveles y estilos de aprendizaje.
› ¿Qué preguntas se incluirá en la evaluación?
Se deben formular preguntas rigurosas y alineadas con los Aprendizajes Espe-
rados, que permitan demostrar la real comprensión del contenido evaluado
› ¿Cuáles son los criterios de éxito?, ¿cuáles son las características de
una respuesta de alta calidad?
Esto se puede responder con distintas estrategias. Por ejemplo:
- comparar las respuestas de sus estudiantes con las mejores respuestas de
otros alumnos de edad similar. Se pueden usar los ejemplos presentados en
los Mapas de Progreso
Partir estableciendo
los Aprendizajes
Esperados a evaluar…
…y luego decidir qué
se requiere para su
evaluación en términos
de evidencias, métodos,
preguntas y criterios

- identificar respuestas de evaluaciones previamente realizadas que expresen
el nivel de desempeño esperado, y utilizarlas como modelo para otras eva-
luaciones realizadas en torno al mismo aprendizaje
- desarrollar rúbricas5
que indiquen los resultados explícitos para un des-
empeño específico y que muestren los diferentes niveles de calidad para
dicho desempeño
5 Rúbrica: tabla o pauta para evaluar

23
Matemática
Programa de Estudio
Séptimo Año Básico

24
Propósitos
El aprendizaje de la matemática ayuda a comprender
la realidad y proporciona herramientas para desenvol-
verse en la vida cotidiana. Entre ellas se encuentran el
cálculo, el análisis de la información proveniente de
diversas fuentes, la capacidad de generalizar situacio-
nes, formular conjeturas, evaluar la validez de resultados
y seleccionar estrategias para resolver problemas. Todo
esto contribuye a desarrollar un pensamiento lógico,
ordenado, crítico y autónomo, y a generar actitudes
como precisión, rigurosidad, perseverancia y confianza
en sí mismo, que se valoran no solo en la ciencia y la
tecnología, sino también en la vida cotidiana.
Aprender matemáticas acrecienta también las habilida-
des relativas a la comunicación; por una parte, enseña a
Matemática
presentar información con precisión y rigurosidad y, por
otra, a demandar exactitud y rigor en las informaciones
y argumentos que se recibe.
El conocimiento matemático y la capacidad para
usarlo provocan importantes consecuencias en el
desarrollo, el desempeño y la vida de las personas. El
entorno social valora el conocimiento matemático y
lo asocia a logros, beneficios y capacidades de orden
superior. Aprender matemática influye en el concep-
to que niños, jóvenes y adultos construyen sobre sí
mismos y sus capacidades; por lo tanto, contribuye a
que la persona se sienta un ser autónomo y valioso. En
consecuencia, la calidad, la pertinencia y la ampli-
tud de ese conocimiento afecta las posibilidades y la
Habilidades de pensamiento matemático
4° básico 5° básico 6° básico
Resolver problemas en contextos
significativos que requieren el uso
de los contenidos del nivel
diversos y significativos
significativos
Formular conjeturas y verificarlas,
para algunos casos particulares
Formular y verificar conjeturas,
en casos particulares
Ordenar números y ubicarlos en
la recta numérica
Ordenar números y ubicarlos en
la recta numérica
Realizar cálculos en forma mental
y escrita
y escrita
y escrita

Séptimo Año Básico / Matemática 25
Matemática
Habilidades
Al estudiar matemáticas, el estudiante adquiere el razo-
namiento lógico, la visualización espacial, el pensamien-
to analítico, el cálculo, el modelamiento y las destrezas
para resolver problemas. La tabla siguiente puede
resultar útil para:
› observar transversalmente las habilidades que se
desarrollan en el sector
› focalizarse en un nivel y diseñar actividades y evalua-
ciones que enfaticen dichas habilidades
› situarse en el nivel, observar las habilidades que se
pretendió enseñar en los años anteriores y las que se
trabajarán más adelante
› advertir diferencias y similitudes en los énfasis por
ciclos de enseñanza
7° básico 8° básico I medio
diversos y significativos, utilizando
los contenidos del nivel
diversos y significativos
Analizar estrategias de resolución de
problemas de acuerdo con criterios
definidos
Analizar la validez de los
procedimientos utilizados y de
los resultados obtenidos
Evaluar la validez de los resultados
obtenidos y el empleo de dichos
resultados para fundamentar
opiniones y tomar decisiones
Fundamentar opiniones y tomar
decisiones
Ordenar números y ubicarlos en la
recta numérica
y escrita
y escrita
Emplear formas simples de
modelamiento matemático
Emplear formas simples de
modelamiento matemático
Aplicar modelos lineales que repre-
sentan la relación entre variables
Verificar proposiciones simples,
para casos particulares
Diferenciar entre verificación y
demostración de propiedades
calidad de vida de las personas y afecta el potencial de
desarrollo del país.
La matemática ofrece también la posibilidad de trabajar
con entes abstractos y sus relaciones y prepara a los
estudiantes para que entiendan el medio y las múltiples
relaciones que se dan en un espacio simbólico y físico
de complejidad creciente. Se trata de espacios en los
que la cultura, la tecnología y las ciencias se redefinen
en forma permanente y se hacen más difíciles, y las
finanzas, los sistemas de comunicación y los vínculos
entre naciones y culturas se relacionan y se globalizan.

26
Se ha concebido este sector como una oportunidad
para que los estudiantes adquieran aprendizajes de vida.
La matemática es un área poderosa de la cultura, pues
permite comprender, explicar y predecir situaciones
y fenómenos del entorno. Por eso, es importante que
los docentes se esfuercen para que todos los alumnos
del país aprendan los conocimientos y desarrollen las
capacidades propias de esta disciplina. Estos programas
entregan algunas orientaciones que ayudarán a los
profesores a cumplir con este objetivo por medio de la
planificación y en el transcurso de las clases.
Los conceptos matemáticos: profundidad
e integración
Los estudiantes deben explorar en las ideas matemáti-
cas y entender que ellas constituyen un todo y no frag-
mentos aislados del saber. Tienen que enfrentar variadas
experiencias para que comprendan en profundidad los
conceptos matemáticos, sus conexiones y sus aplica-
ciones. De esta manera, podrán participar activamente
y adquirir mayor confianza para investigar y aplicar
las matemáticas. Se recomienda que usen materiales
concretos, realicen trabajos prácticos y se apoyen en la
tecnología, en especial en el ciclo básico.
El uso del contexto
Es importante que el docente aclare que esta disciplina
está enraizada en la cultura y en la historia; asimismo,
que impacta en otras áreas del conocimiento científico,
crea consecuencias y permite aplicaciones. Preguntarse
cómo se originaron los conceptos y modelos matemáti-
cos, en qué períodos de la historia y cómo se enlazaron
con la evolución del pensamiento, es un ancla impor-
tante para el aprendizaje. Se recomienda usar analogías
y representaciones cercanas a los estudiantes, en es-
pecial en las etapas de exploración. También se sugiere
aplicar las matemáticas a otras áreas del saber y en la
vida diaria, como un modo de apoyar la construcción
del conocimiento matemático.
Razonamiento matemático y resolución
de problemas
Esta disciplina se construye a partir de regularidades
que subyacen a situaciones aparentemente diversas
y ayuda a razonar en vez de actuar de modo mecá-
nico. Por eso es importante invitar a los estudiantes a
buscar regularidades. También se pretende desarrollar
y explicar la noción de estrategia, comparar diversas
formas de abordar problemas y justificar y demostrar las
proposiciones matemáticas. El docente debe procurar,
asimismo, que los alumnos conjeturen y verifiquen
cómo se comportan los elementos y las relaciones con
que se trabaja. Tienen que analizar los procedimientos
para resolver un problema y comprobar resultados,
propiedades y relaciones.
Aunque deben ser competentes en diversas habilidades
matemáticas, el profesor tiene que evitar que pongan
demasiado énfasis en los procedimientos si no com-
prenden los principios matemáticos correspondientes.
Uso del error
Usar adecuadamente el error ayuda a crear un am-
biente de búsqueda y creación. Un educador puede
aprovechar la equivocación para inducir aprendizajes
especialmente significativos, si lo hace de manera
constructiva. Se debe considerar el error como un
elemento concreto para trabajar la diversidad en clases
y permitir que todos los alumnos alcancen los aprendi-
zajes propuestos.
Aprendizaje matemático y desarrollo
personal
La clase de Matemática ofrece abundantes ocasiones
para el autoconocimiento y las interacciones sociales.
Es una oportunidad para la metacognición6
: ¿cómo
lo hice?, ¿cómo lo hicieron?, ¿de qué otra manera es
posible? Además, la percepción que cada cual tiene de
su propia capacidad para aprender y hacer matemática,
surge de la retroalimentación que le ha dado la propia
experiencia. En ese sentido, el docente tiene en sus ma-
nos un poderoso instrumento: reconocer los esfuerzos y
los logros de los alumnos. Otros aspectos que también
ayudan a que cada estudiante aumente la confianza en
sí mismo son valorar las diferencias, aceptar los éxitos o
las acciones de sus pares, crear un clima de confianza y
distinguir de qué modo enfrenta cada uno el triunfo o el
fracaso, sea propio o de los demás.
Orientaciones didácticas
6 Metacongición: manera de aprender a razonar sobre el propio razonamiento

Tecnologías digitales y aprendizaje
matemático
El presente programa propone usar software para am-
pliar las oportunidades de aprendizaje de los estudian-
tes. Estas tecnologías permiten representar nociones
abstractas a través de modelos en los que se puede
experimentar con ideas matemáticas; también se puede
crear situaciones para que los alumnos exploren las ca-
racterísticas, los límites y las posibilidades de conceptos,
relaciones o procedimientos matemáticos. Los procesa-
dores geométricos, simbólicos y de estadística son labo-
ratorios para investigar relaciones y ponerlas a prueba.
Con un procesador simbólico, se puede analizar y en-
tender números grandes o muy pequeños. Y se puede
estudiar el comportamiento de funciones, incluso las de
alta complejidad. Internet ofrece múltiples ambientes
con representaciones dinámicas de una gran cantidad
de objetos matemáticos. Los procesadores geométricos
permiten experimentar con nociones y relaciones de la
Matemática
geometría euclidiana, cartesiana o vectorial. Se trata de
un espacio muy atractivo para los estudiantes y que los
ayudará mucho a formarse para una vida cada vez más
influida por las tecnologías digitales.
Clima y motivación
Se debe propiciar un ambiente creativo para que los
alumnos formulen, verifiquen o refuten conjeturas
respecto de los problemas que abordan. Ese ambiente
debe admitir que el error, la duda y la pregunta son
importantes y valiosos para construir conocimiento;
asimismo, tiene que valorar los aportes de todos y
aprovecharlos para crear una búsqueda y una cons-
trucción colectiva. En ese espacio será natural analizar
acciones y procedimientos y explorar caminos alter-
nativos de una búsqueda y construcción colectivas.
Debe constituirse en un espacio en el que es natural el
análisis de las acciones y procedimientos, de modo de
comparar diversas alternativas.

28
Visión Global del Año
Aprendizajes Esperados por semestre y unidad
AE 05
Reconocer una proporción como una igualdad entre
dos razones.
AE 06
Caracterizar expresiones semejantes y reconocerlas en
contextos diversos.
AE 07
Establecer estrategias para reducir términos semejantes.
AE 08
Resolver problemas que impliquen plantear y resolver
ecuaciones de primer grado con una incógnita en el
ámbito de los números enteros y fracciones o decimales
positivos, y problemas que involucran proporcionalidad.
Tiempo estimado
63 horas pedagógicas
Unidad 1
Números y Álgebra
Semestre 1
AE 01
Identificar problemas que no admiten solución en los
números naturales y que pueden ser resueltos en los
números enteros.
AE 02
Establecer relaciones de orden entre números enteros y
ubicar estos números en la recta numérica.
AE 03
Sumar y restar números enteros e interpretar estas
operaciones.
AE 04
Reconocer propiedades relativas a la adición y sustracción
de números enteros y aplicarlas en cálculos numéricos.

Unidad 2
Geometría
AE 01
Construir rectas perpendiculares, paralelas y bisectrices
de ángulos, usando instrumentos manuales o procesa-
dores geométricos.
AE 02
Comprobar propiedades de alturas, simetrales, bisectri-
ces y transversales de gravedad de triángulos, utilizando
instrumentos manuales o procesadores geométricos.
AE 03
Construir triángulos a partir de la medida de sus lados
y/o ángulos, usando instrumentos manuales o procesa-
dores geométricos.
AE 04
Construir ángulos, utilizando instrumentos manuales o
un procesador geométrico.
Tiempo estimado

30
Semestre 2
Unidad 3
Números y Geometría
AE 01
Interpretar potencias de exponente natural cuya base es
un número fraccionario o decimal positivo.
AE 02
Interpretar potencias de base 10 y exponente entero.
AE 03
Conjeturar y verificar algunas propiedades7
de las po-
tencias de base y exponente natural.
AE 04
Calcular multiplicaciones y divisiones de potencias de
base y exponente natural.
AE 05
Calcular multiplicaciones y divisiones de potencias de
base 10 y exponente entero.
AE 06
Comprender el significado de la raíz cuadrada de un
número entero positivo.
AE 07
Determinar y estimar el valor de raíces cuadradas.
AE 08
Comprender el teorema de Pitágoras y el teorema
recíproco de Pitágoras.
AE 09
Utilizar estrategias para obtener el volumen en prismas
rectos y pirámides en contextos diversos, y expresar los
resultados en las unidades de medida correspondiente.
AE 10
Formular y verificar conjeturas, en casos particulares,
relativas a cambios en el perímetro de polígonos al
variar uno o más de sus elementos lineales.
AE 11
Formular y verificar conjeturas, en casos particulares,
relativas a cambios en el volumen de prismas rectos y
pirámides al variar uno o más de sus elementos lineales.
AE 12
Resolver problemas en contextos diversos:
a. Aplicando propiedades de las potencias de base y
exponente natural, y las potencias de base 10
y exponente entero
b. Utilizando el teorema de Pitágoras y el teorema
recíproco de Pitágoras
7 Se refiere, por ejemplo, a las propiedades de multiplicación y división de potencias de igual base, multiplicación de potencias de
igual exponente, potencia de una potencia. Solo para el caso de base 10 se trabaja el exponente entero.
Tiempo estimado

Unidad 4
Datos y Azar
AE 01
Analizar información presente en diversos tipos de tablas
y gráficos.
AE 02
Seleccionar formas de organización y representación de
datos de acuerdo al tipo de análisis que se quiere realizar.
Tiempo estimado
AE 03
Reconocer que la naturaleza y el método de selección
de muestras inciden en el estudio de una población.
AE 04
Predecir la probabilidad de ocurrencia de eventos a
partir de la frecuencia relativa obtenida en la realización
de experimentos aleatorios simples.

33
Unidades
Semestre 1
Semestre 2
Unidad 1
Números y Álgebra
Unidad 2
Geometría
Unidad 3
Unidad 4
Datos y Azar

35
Unidad 1
Números y Álgebra
Propósito
Se espera que en esta unidad los estudiantes sean
capaces de resolver problemas de adición y sus-
tracción con números enteros. También propone un
trabajo con razones y proporciones y, si bien es cierto
que este tema puede desde una mirada algebraica,
para este nivel el enfoque es numérico. Es decir, se
busca que los estudiantes comprendan los alcan-
ces de comparar dos magnitudes, estableciendo el
cuociente entre ambas, y puedan resolver diversas
situaciones, cuyos modelos representan situaciones
de variación proporcional.
El álgebra progresa naturalmente junto al ámbito nu-
mérico, ya que en este nivel se trabajan expresiones
donde los factores de los términos involucrados en
ellas están en el ámbito de los enteros y las fraccio-
nes y decimales positivos. El trabajo con ecuaciones
que se propone en este nivel continúa naturalmente
ampliando el ámbito numérico, ya que tanto los
coeficientes como los valores incógnitos pueden ser
números enteros, decimales o fracciones positivas.
Conocimientos previos
› Operatoria con números naturales
› Razón como cuociente entre cantidades
› Ecuaciones de primer grado con una incógnita en
el ámbito de los números naturales
Palabras clave
Números enteros, proporciones.
contenidos
› Números enteros
› Adición y sustracción de números enteros
› Proporción como igualdad de razones
› Ecuaciones de primer grado con una incógnita en
el ámbito de los números enteros, fracciones o
decimales positivos
Habilidades
› Analizar si un problema tiene soluciones en el
conjunto de los números naturales
› Resolver problemas que implican ordenar u operar
con números enteros
› Usar las proporciones para resolver problemas de
variación proporcional
› Discriminar entre las relaciones proporcionales
directas e inversas
› Resolver problemas que involucran cálculo de
porcentajes, usando proporciones
› Plantear ecuaciones de primer grado con una
incógnita que representan distintas situaciones
› Resolver ecuaciones de primer grado con una
incógnita y coeficientes enteros
› Resolver problemas y formular conjeturas en
diversos contextos en los que se deben establecer
relaciones entre conceptos
Actitudes
› Actitudes de perseverancia, rigor, flexibilidad y
originalidad al resolver problemas matemáticos
› Trabajo en equipo e iniciativa personal en la reso-
lución de problemas en contextos diversos

36
Aprendizajes
Esperados
aprendizajes esperados
Se espera que los estudiantes sean
capaces de:
indicadores de evaluación sugeridos
Cuando los estudiantes han logrado este aprendizaje:
AE 01
Identificar problemas que no
admiten solución en los nú-
meros naturales y que pueden
ser resueltos en los números
enteros.
› Dan ejemplos de problemas que admiten solución en los números
naturales.
› Dan ejemplos de problemas que admiten solución en los números enteros.
› Explican diferencias que se presentan en las ecuaciones asociadas a pro-
blemas que admiten solución en los números naturales y las ecuaciones
asociadas a problemas que admiten solución en los números enteros.
AE 02
Establecer relaciones de orden
entre números enteros y ubi-
car estos números en la recta
numérica.
› Ordenan de mayor a menor y viceversa números enteros.
› Intercalan números enteros entre dos enteros.
› Ubican en la recta numérica números enteros sujetos a restricciones da-
das. Por ejemplo, ubican en la recta numérica números enteros menores
que -4 y mayores que -10.
AE 03
Sumar y restar números
enteros e interpretar estas
operaciones.
› Realizan adiciones y sustracciones de números enteros en la recta numérica.
› Explican sumas y restas de números enteros.
› Utilizan y elaboran estrategias para sumar y restar números enteros.
› Identifican sumas y restas de números enteros en diversos contextos e
interpretan estas operaciones en función del contexto.
AE 04
Reconocer propiedades relati-
vas a la adición y sustracción
de números enteros y aplicar-
las en cálculos numéricos.
› Transforman la sustracción entre dos números enteros en una adición de
estos. Por ejemplo: 70 – 45 = 70 + (-45)
› Reconocen propiedades de la adición en los números enteros.
› Calculan sumas y restas de números enteros utilizando propiedades.
AE 05
Reconocer una proporción
como una igualdad entre dos
razones.
› Comparan los cuocientes entre dos razones para plantear una proporción.
› Argumentan si dos razones forman una proporción utilizando el teorema
fundamental de las proporciones.
› Determinan el término desconocido de una proporción.
› Discriminan en el entorno entre las relaciones proporcionales y las no
proporcionales.

Unidad 1
capaces de:
AE 06
Caracterizar expresiones
semejantes y reconocerlas en
contextos diversos.
› Identifican expresiones semejantes y no semejantes en contextos alge-
braicos y reconocen las diferencias.
› Reconocen expresiones semejantes en contextos geométricos. Por ejem-
plo, reconocen que los lados de triángulos expresados en centímetros son
expresiones semejantes.
AE 07
Establecer estrategias para
reducir términos semejantes.
› Reducen sumas de términos semejantes utilizando estrategias establecidas.
› Convierten sumas y restas de términos en expresiones semejantes y las
reducen. Por ejemplo, la suma 2a+3b+3c+a la expresan en la forma
2(a+b+c) + (a+b+c) y posteriormente la reducen.
AE 08
Resolver problemas que
impliquen plantear y resolver
ecuaciones de primer grado
con una incógnita en el ámbito
de los números enteros y frac-
ciones o decimales positivos,
y problemas que involucran
proporcionalidad.
› Identifican situaciones que se pueden abordar mediante el planteamiento
de ecuaciones de primer grado en el ámbito numérico de los enteros,
fracciones positivas o decimales positivos.
› Distinguen los datos relevantes de los irrelevantes para la solución del
problema.
› Identifican la incógnita del problema y le asignan un nombre de x, por
ejemplo.
› Establecen las relaciones entre las variables que se desprenden del enun-
ciado del problema.
› Resuelven correctamente la ecuación resultante.
› Verifican si la solución de la ecuación es la solución del problema.
› Comunican en forma oral o escrita las soluciones del problema.
› Utilizan las propiedades de la adición en el conjunto de los números ente-
ros para resolver problemas asociados a situaciones aditivas.
› Aplican proporcionalidad directa para calcular porcentajes en diversos
contextos.
› Calculan problemas relativos a proporcionalidad directa.

38
Se sugiere trabajar actividades que ofrezcan la posibi-
lidad de observar la proporcionalidad directa e inversa
en variados contextos, que posibiliten comparar entre
ellas y con magnitudes que no se relacionan propor-
cionalmente. Por ejemplo, se les puede mostrar que
dos variables no necesariamente están en proporción
directa cuando el crecimiento de una de ellas implique
el crecimiento de la otra.
Se recomienda poner especial cuidado en los pro-
cedimientos seleccionados para resolver ecuaciones
de primer grado con números positivos y negativos.
Los algoritmos tradicionales de “pasar de un lado
para otro” generan aprendizajes de reglas mecánicas
no siempre comprendidas, que llevan a errores que
permanecen por largo tiempo. Por ejemplo, si no
se ha trabajado correctamente la interpretación del
signo negativo de un número (diferente al signo de
la sustracción), los estudiantes presentarán sistemá-
ticamente problemas para despejar una ecuación del
tipo x – 3 = 5, “pasando” el 3 positivo al otro lado de la
igualdad, por el solo hecho de asociar el signo negati-
vo a la sustracción.
Para evitar este tipo de errores, es necesario fomen-
tar el trabajo y desarrollo de actividades en parejas o
grupos pequeños. Es preferible que estos grupos estén
compuestos por estudiantes de capacidades similares.
Esto permitirá entregarles actividades a los grupos de
acuerdo con sus capacidades.
Orientaciones didácticas para la unidad
En esta unidad, se propone un trabajo integrado entre
álgebra y números, buscando de esta manera apoyar el
establecimiento de conexiones entre estas dos áreas.
Se recomienda iniciar el trabajo con los números ente-
ros, situando a los estudiantes en su contexto histórico,
en particular en la relevancia que estos números tuvie-
ron en la resolución de problemas y en la representación
de cantidades negativas. También resulta interesante
presentar los números enteros a partir de situaciones
que no tienen solución en los números naturales (como
las deudas, las temperaturas o altitudes). Una discusión
atractiva en la presentación del conjunto de los enteros
es la interpretación del cero. Se puede observar con los
estudiantes que el cero representa situaciones distintas,
dependiendo del contexto en que se encuentra (por
ejemplo, en un contexto de temperaturas, cero grado
no representa “templado”, sino el punto de congelación
del agua; en el contexto de la altitud, el cero representa
el nivel de mar).
No es fácil para los estudiantes entender las reglas para
sumar y restar con números enteros. Se recomienda la
utilización de metáforas y representaciones visuales para
facilitar la comprensión de los procedimientos involucra-
dos, por sobre la ejercitación rutinaria. Cuando un estu-
diante no comprende lo que está haciendo, su única posi-
bilidad es apelar a la memoria, tanto para intentar grabar
ideas y conceptos como para recordarlos más tarde. Esta
es una de las razones por las cuales es común en este nivel
encontrar estudiantes que generan reglas, generalmente
incorrectas, a partir de un grupo de reglas válidas.
Aprendizajes Esperados en relación con los OFT
Actitudes de perseverancia, rigor, flexibilidad y originalidad al resolver problemas matemáticos
› Tener un orden y método para el registro de información.
› Terminar los trabajos iniciados.
› Ser tenaz frente a obstáculos o dudas que se le presenten en problemas matemáticos numéricos y
algebraicos.
Trabajo en equipo e iniciativa personal en la resolución de problemas en contextos diversos
› Participar de manera propositiva en actividades grupales.
› Ser responsable en la tarea asignada.
› Tomar iniciativa en actividades de carácter grupal.
› Proponer alternativas de solución a problemas matemáticos numéricos y algebraicos en actividades
grupales.

Unidad 1
Ejemplos de
Actividades
AE 01
Identificar problemas que no
admiten solución en los nú-
meros naturales y que pueden
ser resueltos en los números
enteros.
1
Los estudiantes resuelven mentalmente y de manera escrita una lista
de ecuaciones de primer grado, cuya solución es un número natural, y
argumentan acerca de las estrategias empleadas.
Por ejemplo:
a. 2x + 1 = 17
b. 3x - 2 = 16
2
El docente exhibe a sus estudiantes situaciones, cuyos modelos son ecua-
ciones con soluciones en los números naturales, y les propone que:
› Inventen ecuaciones con solución en los naturales
› Inventen problemas, cuyo planteamiento sean ecuaciones con solucio-
nes en los naturales
3
El docente exhibe a sus estudiantes ejemplos de problemas que no tie-
nen solución en los naturales:
› En contextos cotidianos
› En contextos matemáticos
Por ejemplo:
En una semana de invierno en una ciudad se registraron las siguientes
temperaturas mínimas:
lunes: -2ºC
martes: -5ºC
miércoles: 0ºC
jueves: 1ºC
viernes: 4ºC
sábado: -6ºC
domingo: -6ºC
- ¿Cuál fue el promedio de las temperaturas mínimas esa semana en
esa ciudad?
- ¿Qué número, sumado con el doble de 5, da como resultado 0?
A continuación les pide que propongan problemas similares. Luego los
estudiantes argumenten qué diferencia a este tipo de problemas con
otros que admitan solución en los naturales.
El docente y los alumnos revisan estas propuestas de problemas y carac-
terizan estas diferencias.

40
AE 02
Establecer relaciones de
orden entre números enteros
y ubicar estos números en la
recta numérica.
4
Los estudiantes indagan en diferentes medios de comunicación para ex-
traer situaciones contextualizadas que estén representadas por números
enteros (que incluyan positivos y negativos).
5
Exponen las situaciones encontradas y justifican la necesidad de un con-
junto numérico con números negativos.
1
Los estudiantes dibujan la recta numérica que utilizan para ubicar nú-
meros naturales y la extienden a aquella que incluya el cero y números
enteros negativos.
2
Establecen resultados respecto de la posición de los números ubicados
en ella; por ejemplo, que mientras más a la derecha se encuentren los
números, mayores son; que los números negativos cercanos al cero son
mayores que los más alejados de él.
3
Los estudiantes ubican números enteros en la recta numérica de acuerdo
a restricciones dadas; por ejemplo, ubican enteros que se encuentren
entre -5 y 5, ubican enteros mayores que -20 y menores que -4 y que
sean pares.
4
Ordenan, de menor a mayor, información referida a fechas importantes.
(Historia)
Por ejemplo:
Ubican en una línea de tiempo las siguientes fechas:
› El año 1492 DC corresponde al año del descubrimiento de América y al
comienzo de los tiempos modernos
› La invención de la escritura data del año 3000 AC
› El año 476 DC marca el fin de la Edad Antigua
› En el año 1789 DC se produjo la Revolución Francesa
› La Segunda Guerra Mundial finalizó el año 1945 DC
› Los primeros desarrollos de la agricultura están fechados en el 8000 AC
aproximadamente

Unidad 1
AE 03
Sumar y restar números
enteros e interpretar estas
operaciones.
AE 04
Reconocer propiedades
relativas a la adición y sus-
tracción de números enteros
y aplicarlas en cálculos
numéricos.
1
Ordenan, suman y restan números enteros. Por ejemplo, 50 - 35 + 24 -
36 - 47, de manera que los enteros negativos queden asociados con los
enteros negativos y los positivos con los positivos; en este ejemplo: (-35
- 36 - 47) + (50 + 24). Expresan el resultado como una resta, en este caso
74 -118
2
Expresan restas de enteros positivos como sumas; por ejemplo,
40 - 75 - 23 como 40 + (-75) + (-23)
3
El docente trabaja sumas de enteros y les pide que reconozcan propieda-
des de esta operación.
Por ejemplo, les presenta pares de sumas:
-24 + (-48)
35 + (-10)
-48 + (-24)
-10 + 35
-8 + (-15)
Les propone que efectúen las operaciones involucradas y que reconozcan
la propiedad conmutativa de la suma.
4
Leen datos sobre temperaturas máximas y mínimas y responden pregun-
tas del tipo:
› ¿Cómo se determina la diferencia de temperaturas en un día?
› ¿Cuál fue la máxima variación de temperaturas registradas?
› ¿Qué se puede decir con respecto a la suma de las variaciones
registradas?
! Observaciones al docente: Es importante no entregar a priori reglas como
“restar dos números negativos...” sino incentivar a los estudiantes a que ob-
serven los diferentes casos y hagan las asociaciones correspondientes entre la
adición y la sustracción. Por otra parte, es importante también que redacten
en su propio lenguaje las conclusiones, para que luego el docente observe los
errores y los haga reflexionar sobre ellos.
Los problemas de temperaturas no cubren todas las posibilidades de ope-
raciones con números enteros. Con el fin de completarlas, se propone que el
profesor plantee ejercicios numéricos o problemas, donde se realicen adicio-
nes y sustracciones con números de distintos signos.

42
AE 05
Reconocer una proporción
como una igualdad entre dos
razones.
1
El docente muestra a sus estudiantes una serie de situaciones relativas
a proporciones y define los elementos involucrados en ellas. De esta
manera, define lo que es una razón, lo que es una proporción y la razón
de proporcionalidad o factor de conversión. Les pide que:
› Reconozcan razones en contextos diversos
› Relacionen razones con proporciones en situaciones en contextos
diversos
› Determinen la constante de proporcionalidad en situaciones de pro-
porcionalidad en contextos diversos
2
Utilizan distintas estrategias para resolver ecuaciones que se que se
expresan en la forma ax = bc, donde a, b, c son números enteros, o frac-
ciones positivas, o decimales positivos y x es la incógnita.
Por ejemplo:
2
x
=
3
4
ó
2
0,5
=
x
2
3
3
Plantean ecuaciones relativas a situaciones que involucran pares de mag-
nitudes proporcionales. Por ejemplo, conocido que la relación entre el
lado de un cuadrado y su perímetro es proporcional, plantean ecuaciones
que permiten completar los valores de la siguiente tabla.
Lado del cuadrado Perímetro
1 4
2
3
16
7
36
48
15
En el caso del perímetro asociado al lado 7, se podría plantear la ecuación
1
7
=
4
x
5
Deducen que la razón entre el peso de un cuerpo y su masa es constante,
e identifican el valor de esa constante. (Ciencias Naturales)

Unidad 1
AE 06
Caracterizar expresiones
semejantes y reconocerlas en
contextos diversos.
AE 07
Establecer estrategias para
reducir términos semejantes.
AE 08
Resolver problemas que impli-
quen plantear y resolver ecua-
ciones de primer grado con
una incógnita, en el ámbito de
los números enteros y frac-
ciones o decimales positivos,
y problemas que involucran
proporcionalidad.
1
A partir de una lista de términos algebraicos de la forma abcn
, donde
a es una constante, identifican los términos semejantes. Por ejemplo,
identifican los términos que son semejantes en las listas siguientes:
› 2x, 3y, 4x, x, -5y
› 2a2
, 5y4
, -4a2
, -y4
, -7y4
› ux2
, 3u2
v, -5vu2
, 7uv2
, 5x2
u
2
Convierten términos no semejantes en términos semejantes, modificando
su parte literal. Por ejemplo, modifican el exponente de y en el término
2x2
y5
para que sea semejante a 2x2
y4
3
Reducen términos semejantes en sumas y restas de expresiones
algebraicas.
4
Aplican la reducción de términos semejantes en cálculos en contextos di-
versos. Por ejemplo, calculan perímetros de polígonos, cuyos lados están
expresados mediante términos algebraicos con coeficientes en el ámbito
de los racionales, y entregan el resultado de manera reducida.
1
El docente entrega a los estudiantes una serie de equivalencias entre
palabras del lenguaje común y el lenguaje matemático. Por ejemplo:
de · , doble 2 y las utiliza para traducir expresiones en lenguaje común
a lenguaje matemático, y expresiones en lenguaje matemático a lenguaje
común. Por ejemplo: la suma entre el doble de un número y el triple de 5
equivale a cuatro veces 6, lo traduce en la forma 2x+3·5=4·6
Les propone que traduzcan expresiones del lenguaje común al lenguaje
matemático y viceversa.
2
Plantean ecuaciones, utilizando lenguaje matemático.
Por ejemplo:
En un triángulo cualquiera, uno de sus ángulos interiores mide 30°. El
segundo ángulo interior es el doble del tercero. Plantear la ecuación que
relaciona los ángulos interiores del triángulo.
3
Plantean y resuelven ecuaciones relativas a problemas en contextos
diversos, como el cálculo de calificaciones, conocidas algunas notas y el
promedio.

44
Por ejemplo:
Marisol está calculando la nota que necesita para obtener de promedio
un 6,3 y así eximirse del examen final. Solo le falta una nota para cerrar el
promedio y sus notas hasta el momento son: 5,8 ; 6,5 ; 6,2 ; 6,8 ; 6,7 ; 5,7.
¿Cuál es la nota mínima que necesita para obtener el promedio deseado?
4
Resuelven ecuaciones de primer grado con una incógnita y coeficientes
enteros, evaluando la pertinencia de la solución en el contexto original
del problema.
5
El docente presenta a los estudiantes problemas sobre enteros, y en su re-
solución aplica propiedades referidas a adiciones y sustracciones. Posterior-
mente les pide que indaguen en libros de matemática y en internet acerca
de problemas donde se aplica estas propiedades para su resolución.
6
Resuelven ecuaciones de primer grado con una incógnita y coeficientes
fraccionarios o decimales positivos, evaluando la pertinencia de la solu-
ción en el contexto original del problema.
! Observaciones al docente: Se sugiere al profesor cerciorarse de que la
resolución de la ecuación no se transforme en un procedimiento mecánico.
Además, debe poner atención en la interpretación que los estudiantes hagan
de los resultados finales, y pedir que expliquen el resultado obtenido.
7
El docente caracteriza la proporcionalidad directa y discute con ellos
ejemplos referidos a situaciones donde se presenta este tipo de propor-
cionalidad. Les presenta problemas para que los resuelvan y les pide que
justifiquen matemáticamente sus respuestas.
8
El docente caracteriza la proporcionalidad inversa y pide a los estudiantes
que comparen ambos tipos de proporciones y que den conclusiones al
respecto. Les presenta problemas para que los resuelvan y les pide que
justifiquen matemáticamente sus respuestas.

Unidad 1
Ejemplo de
Evaluación
Ejemplo de
Evaluación
Actividad
A continuación se presenta un problema. Léalo cuidadosamente y responda las preguntas
planteadas.
Una caja contiene 70 bombones rellenos con manjar, licor de naranja y licor de guinda.
El número de bombones rellenos con manjar es el doble que el número de bombones
rellenos con licor de naranja, y el número de bombones rellenos con licor de naranja es el
doble que el número de bombones rellenos con licor de guinda. ¿Cuántos bombones de
cada tipo hay en la caja?
Preguntas:
1 ¿Qué datos entrega el enunciado que son necesarios para resolver el problema?
2 ¿Qué datos del enunciado es o son irrelevantes para la solución del problema?
3 Si representamos por z el número de chocolates rellenos con licor de naranja ¿qué repre-
senta la expresión 2z+
z
2
?
4 Escriba una ecuación cuya solución sea respuesta a la pregunta planteada en el problema.
Fundamente.
5 Responda la pregunta del problema. Justifique.
Continúa en página siguiente á
AE 08
Resolver problemas que
impliquen plantear y
resolver ecuaciones de
primer grado con una
incógnita en el ámbito
de los números enteros
y fracciones o decimales
positivos, y problemas
que involucran proporcio-
nalidad.
Indicadores de Evaluación sugeridos
› Identifican situaciones que se puede abordar mediante
el planteamiento de ecuaciones de primer grado en el
ámbito numérico de los enteros, fracciones positivas o
decimales positivos.
› Distinguen los datos relevantes de los irrelevantes para
la solución del problema.
› Identifican la incógnita del problema y le asignan un
nombre x por ejemplo.
› Establecen las relaciones entre las variables que se des-
prenden del enunciado del problema.
› Resuelven correctamente la ecuación resultante.
› Verifican si la solución de la ecuación es la solución del
problema.
› Comunican en forma oral o escrita las soluciones del
problema.
› Utilizan las propiedades de la adición en el conjunto de
los números enteros para resolver problemas asociados a
situaciones aditivas.
› Aplican proporcionalidad directa para calcular porcenta-
jes en diversos contextos.
› Calculan problemas relativos a proporcionalidad directa.

46
Criterios de evaluación
Se sugiere considerar los siguientes aspectos:
1 Distingue los datos relevantes de los irrelevantes del problema.
2 Identifica las incógnitas del problema: número de bombones rellenos con manjar, número de
bombones rellenos con licor de naranja, número de bombones rellenos con licor de guinda.
3 Reconoce las relaciones entre datos e incógnitas del problema.
4 Establece una ecuación, cuya solución es la solución del problema.
5 Resuelve la ecuación en forma correcta.
6 Comunica, por escrito, la solución del problema.

Unidad 1

49
Unidad 2
Geometría
Propósito
Esta unidad ofrece a los estudiantes la posibilidad de
resolver desafíos que estimulen el pensamiento y la
imaginación, a través de las construcciones geomé-
tricas con regla y compás o un procesador geométri-
co, y la posibilidad de desarrollar la deducción, base
de estas construcciones.
La unidad se inicia con los trazados fundamentales
en el plano (que son las bases de las construccio-
nes), como las perpendiculares, las paralelas, las
bisectrices, y la copia de segmentos y ángulos. Se
caracterizan los elementos lineales de los triángulos
y se comprueban algunas de sus propiedades. Se
construyen triángulos a partir de las medidas de sus
lados y/o ángulos, y se construyen ángulos utilizando
regla y compás o un procesador geométrico.
› Rectas paralelas y perpendiculares
› Bisectrices, alturas, transversales de gravedad,
simetrales
› Ángulos agudos, rectos y obtusos
› Triángulos según sus lados y según sus ángulos
Palabras clave
Construcciones de triángulos, construcciones de
ángulos, justificación de las construcciones, trazados
fundamentales.
contenidos
› Trazados fundamentales en el plano mediante
regla y compás o un procesador geométrico
› Construcción de ángulos y triángulos mediante
regla y compás o un procesador geométrico
› Caracterización de elementos lineales del trián-
gulo mediante regla y compás o un procesador
geométrico
› Justificación de construcciones geométricas rea-
lizadas mediante regla y compás o un procesador
geométrico
› Redacción de pasos de una construcción mediante
regla y compás
Habilidades
› Realizar trazados fundamentales en el plano
› Efectuar construcciones de triángulos según lados
y ángulos
› Realizar construcciones de ángulos
› Caracterizar elementos lineales de triángulos
› Realizar justificaciones de construcciones
Actitudes
› Perseverancia, rigor, flexibilidad y originalidad al
resolver problemas matemáticos

50
Aprendizajes
Esperados
capaces de:
AE 01
Construir rectas perpendicula-
res, paralelas y bisectrices de
ángulos, usando instrumentos
manuales o procesadores
geométricos.
› Bisecan ángulos que se forman entre rectas oblicuas, utilizando regla y
compás.
› Construyen la altura de un paralelogramo, utilizando regla y compás o un
procesador geométrico.
› Construyen paralelas a lados de triángulos, utilizando regla y compás o un
› Dividen segmentos en partes iguales, utilizando regla y compás.
AE 02
Comprobar propiedades de al-
turas, simetrales, bisectrices y
transversales de gravedad de
triángulos, utilizando instru-
mentos manuales o procesa-
dores geométricos.
› Comprueban, utilizando regla y compás, propiedades de las bisectrices de
un triángulo.
› Comprueban, utilizando regla y compás, la relación que existe entre las
alturas, bisectrices y transversales de gravedad de un triángulo equilátero.
AE 03
Construir triángulos a partir
de la medida de sus lados y/o
ángulos, usando instrumen-
tos manuales o procesadores
geométricos.
› Determinan si un conjunto de datos son suficientes para construir un
triángulo.
› Redactan pasos para construir triángulos, dadas las medidas de sus lados.
› Verifican mediante regla y compás redacciones realizadas para construir
triángulos.
AE 04
Construir ángulos, utilizando
instrumentos manuales o un
› Utilizan regla y compás para construir ángulos mediante bisecciones con-
secutivas de ángulos. Por ejemplo, construyen 7,5° mediante bisecciones
del ángulo de 60°.
› Construyen ángulos mediante regla y compás o un procesador geométri-
co, utilizando construcciones de ángulos conocidas. Por ejemplo, utilizan
los ángulos 60° y 90° para construir el ángulo 150°.
› Utilizan construcciones de ángulos hechas para construir mediante regla y
compás polígonos regulares. Por ejemplo, construyen hexágonos regula-
res, utilizando el ángulo 60°.

Unidad 2
construcción. Por lo tanto, se sugiere trabajar junto a los
alumnos en la redacción de los pasos que se debe dar
para lograr las construcciones pedidas. Así los estudian-
tes podrán verificar (con regla y compás o con un proce-
sador geométrico) si la secuencia de pasos está correcta.
El docente debe resaltar en todo momento la secuen-
cia, el orden y el respeto de los conocimientos que los
estudiantes ya poseen: por ejemplo, si el objetivo es
construir un ángulo de 30º, puede resultar más exitoso
partir de la construcción del triángulo equilátero y pos-
teriormente realizar la bisección de un ángulo interior
del triángulo.
El foco de esta unidad, como lo sugieren los Aprendiza-
jes Esperados, está puesto en la construcción de figuras
geométricas a través de regla y compás o por medio de
un software de geometría. Las construcciones geomé-
tricas se prestan para trabajar en grupos y ambientes
distintos a la sala de clases. El monitoreo de actividades
de construcciones geométricas resulta más fácil que
otros temas, debido a que el producto al que tienen
que llegar los estudiantes es muy concreto.
Las construcciones en geometría permiten a los alumnos
sistematizar y ordenar instrucciones. Estas tienen que
seguirse de forma rigurosa para completar con éxito la
Actitudes de perseverancia, rigor, flexibilidad y originalidad al resolver problemas matemáticos
› Demostrar un método para realizar las construcciones geométricas.
› Terminar las construcciones iniciadas.
› Desarrollar tenacidad frente a obstáculos o dudas que se le presenten en problemas propuestos
sobre construcciones.
› Participar de manera propositiva en actividades grupales.
› Ser responsable en la tarea asignada.
› Tomar iniciativa en actividades de carácter grupal.
› Proponer alternativas de solución a problemas matemáticos en actividades grupales.

52
Ejemplos de
Actividades
AE 01
Construir rectas perpendicula-
res, paralelas y bisectrices de
ángulos, usando instrumentos
manuales o procesadores
geométricos.
1
Trabajan copiando ángulos y trazos. Con este propósito, los estudiantes
observan ángulos y encuentran sumas y restas de ellos, utilizando regla
y compás.
! Observaciones al docente: Se sugiere al profesor, previo a la determinación
de sumas y restas de ángulos, trabajar la copia de ángulos sobre rectas y la
copia de ángulos sobre las rectas que determinan los lados de ángulos.
2
El docente solicita a los estudiantes que redacten los pasos para la cons-
trucción de una recta paralela a una recta L que pase por un punto P del
plano, y que verifiquen la construcción ejecutando los pasos.
Los guía, solicitándoles que repasen la construcción de rectas perpendi-
culares a una recta L que pasa por un punto P cuando P L. El profesor,
a modo de ejemplo, muestra la redacción de los pasos para construir la
perpendicular a L que pasa por P cuando P L:
› Paso 1: con centro en P y radio r >d (P, L), donde d (P, L) denota la
distancia entre P y L, trazar una circunferencia. Denotar por A y B los
puntos en los que la circunferencia corta a L
› Paso 2: con centro en A y con centro en B, trazar circunferencias CA y
CB de radio r
› Paso 3: trazar la recta que pasa por P y cualquiera de los puntos que
pertenecen a CA CB. Esta es la recta pedida
El docente verifica, utilizando regla y compás de pizarra, que al ejecutar
estos pasos se logra la construcción.
! Observaciones al docente: Se sugiere al profesor mostrar, cuando sea
posible, una construcción de rectas paralelas diferente a las construidas por
los estudiantes.
Se sugiere al docente revisar las redacciones hechas por los estudiantes en
conjunto con ellos y dar indicaciones para mejorarlas en caso que presenten
imperfecciones.

Unidad 2
AE 02
Comprobar propiedades de al-
turas, simetrales, bisectrices y
transversales de gravedad de
triángulos, utilizando instru-
mentos manuales o procesa-
dores geométricos.
AE 03
Construir triángulos a partir
de la medida de sus lados y/o
ángulos, usando instrumen-
tos manuales o procesadores
geométricos.
1
Los estudiantes caracterizan las alturas, bisectrices y transversales de
gravedad de:
› Triángulos rectángulos
› Triángulos equiláteros
› Triángulos isósceles
2
El docente da a los alumnos las propiedades de las transversales de
gravedad de triángulos y les pide, que utilizando regla y compás las veri-
fiquen. Por ejemplo, les dice que las transversales de gravedad de un trián-
gulo se cortan en la razón 2 es a 1. Los estudiantes verifican esa propiedad,
usando regla y compás.
3
Con regla y compás verifican si la altura, transversal de gravedad y bisec-
triz de un triángulo isósceles coinciden.
1
Los estudiantes redactan los pasos para construir un triángulo de lados
dados. A continuación verifican esas construcciones, ejecutando los
pasos redactados. Por ejemplo, redactan los pasos para construir el
triángulo de lados:
a
b
c
2
Los estudiantes redactan los pasos para construir un triángulo ABC, dados
el lado AB = c, el ángulo CAB= y el ángulo CBA= . Verifican la construc-
ción redactada, ejecutando los pasos mediante regla y compás.
! Observaciones al docente: Es importante que el docente sugiera a los
estudiantes que, antes de la redacción, realicen un bosquejo del triángulo que
se desea construir y que se guíen por él para redactar esos pasos.
Se sugiere al docente mostrar a los alumnos redacciones técnicas relativas a
la construcción con regla y compás; por ejemplo, “trazar un arco de circunfe-
rencia con centro en un punto dado y con un radio dado”.
c

54
AE 04
Construir ángulos, utilizando
instrumentos manuales o un
1
Construyen un triángulo equilátero de lado cualquiera y lo utilizan para
construir un ángulo de 30°.
2
Elaboran estrategias para construir ángulos mediante regla y compás y las
verifican, utilizando regla y compás. Por ejemplo, elaboran una estrategia
para construir el ángulo de 150° y la verifican, utilizando regla y compás.
3
Utilizan el software Geogebra para construir ángulos de distintas medidas.

Unidad 2
Ejemplo de
Evaluación
Actividad
Leer cuidadosamente las situaciones dadas y responder a las preguntas.
1 Se tiene tres varillas de 4 cm, 1 cm y 8 cm de largo. Se quiere construir una figura triangu-
lar, utilizando dichas varillas, de modo que la longitud de los lados de la figura coincida con
la longitud de las varillas.
Pregunta:
¿Es posible construir dicha figura?
› Si su respuesta es sí, fundamente y construya con regla y compás una representación
geométrica de ella
› Si su respuesta es no, argumente por qué no es posible esa construcción
2 Se afirma que una condición necesaria (pero no suficiente) para construir un triángulo
es que uno de los datos dados sea uno de sus elementos lineales y que, sin embargo, se
puede construir un triángulo conociendo solo datos lineales (sin datos angulares).
¿Está de acuerdo con esa afirmación? Fundamente su respuesta.
3 Construir un triángulo, si se sabe que sus lados miden 10 cm y 9 cm y el ángulo compren-
dido entre ellos mide 65°.
1 Establecen si con los datos de la situación N°1 se puede o no construir un triángulo.
2 Argumentan por qué es posible o no la construcción del triángulo en la situación N°1.
3 Argumentan correctamente su acuerdo o desacuerdo con la afirmación dada en la
situación N°2.
4 Construyen el triángulo apoyados en una figura análisis.
5 Discuten las soluciones posibles.
AE 03
Construir triángulos a
partir de la medida de sus
lados y/o ángulos, usando
instrumentos manuales o
procesadores geométricos.
› Determinan si un conjunto de datos son suficientes para
construir un triángulo.
› Redactan pasos para construir triángulos, dadas las me-
didas de sus lados.
› Verifican mediante regla y compás redacciones realizadas
para construir triángulos.

57
Unidad 3
Propósito
Esta unidad ofrece a los estudiantes la posibilidad
de profundizar sus conocimientos con respecto a las
potencias de base y exponente natural, extendiendo
sus propiedades a potencias de base fraccionaria
o decimal positiva y exponente natural, y a poten-
cias de base 10 y exponente entero. Se espera que
interpreten estos números, apliquen algunas de sus
propiedades, conjeturen con respecto a ellas y verifi-
quen las conjeturas formuladas.
Se les presenta la oportunidad de trabajar el con-
cepto de raíz cuadrada, su cálculo y su estimación,
y utilizar este conocimiento para aplicar el teorema
de Pitágoras y el teorema recíproco de Pitágoras en
la resolución de problemas en contextos diversos,
incluyendo el matemático. Esta es la ocasión que tie-
nen, además, de utilizar estrategias para obtener el
volumen de prismas rectos y pirámides, y de formular
y verificar conjeturas relacionadas con el volumen y
perímetro de las formas geométricas en estudio.
› Potencias de base y exponente natural
› Perímetro de figuras planas
› Elementos de prismas rectos y pirámides
Palabras clave
Potencias de base fraccionaria o decimal, potencias
de base 10 y exponente entero, raíz cuadrada, teo-
rema de Pitágoras, volumen de prismas y pirámides,
variación de perímetros de polígonos.
contenidos
› Potencias de exponente natural cuya base es un
número fraccionario o decimal positivo, y poten-
cias de base 10 con exponente entero
› Raíz cuadrada de un número entero positivo
› Teorema de Pitágoras y teorema recíproco de
Pitágoras
› Estudio de la variación en el perímetros de
polígonos
› Volúmenes de prismas rectos y pirámides
Habilidades
› Interpretar información expresada en potencias
› Conjeturar, verificar y aplicar propiedades de las
potencias
› Establecer relaciones entre potencias y raíces
cuadradas
› Resolver problemas, utilizando el teorema de
Pitágoras
› Utilizar estrategias para calcular volúmenes de
prismas rectos y pirámides
› Formular y verificar conjeturas con respecto a la
variación del perímetro de polígonos al variar sus
elementos lineales
Actitudes

58
Aprendizajes
Esperados
capaces de:
AE 01
Interpretar potencias de expo-
nente natural cuya base es un
número fraccionario o decimal
positivo.
› Identifican situaciones que pueden ser representadas por medio de po-
tencias de base fraccionaria positiva o decimal positiva.
› Interpretan información expresada por potencias de base fraccionaria
positiva o decimal positiva.
AE 02
Interpretar potencias de base
10 y exponente entero.
› Identifican situaciones que pueden ser representadas por medios de
potencias de base 10 y exponente entero.
› Interpretan información expresada en potencias de base 10 y exponente
entero.
AE 03
Conjeturar y verificar algunas
propiedades8
de las potencias
de base y exponente natural.
› Descubren regularidades relativas a propiedadesde las potencias de base y
exponente natural.
› Verifican conjeturas relacionadas con las propiedades de las potencias de
base y exponente natural.
AE 04
Calcular multiplicaciones y di-
visiones de potencias de base
y exponente natural.
› Multiplican potencias de base y exponente natural utilizando propiedades.
› Dividen potencias de base y exponente natural utilizando propiedades.
AE 05
10 y exponente entero.
› Multiplican potencias de base fraccionaria positiva o decimal positiva y
exponente natural utilizando propiedades.
› Dividen potencias de base fraccionaria positiva o decimal positiva y expo-
nente natural utilizando propiedades.

Unidad 3
capaces de:
AE 06
Comprender el significado de
la raíz cuadrada de un número
entero positivo.
› Relacionan la raíz cuadrada de un número entero positivo con las poten-
cias de exponente dos.
› Relacionan raíces cuadradas con números positivos.
AE 07
Determinar y estimar el valor
de raíces cuadradas.
› Estiman en forma mental y de manera escrita números que son cuadrados
perfectos.
› Identifican en forma mental y de manera escrita números que no son
cuadrados perfectos.
› Calculan en forma mental raíces cuadradas en casos simples,
por ejemplo 16
AE 08
Comprender el teorema de Pi-
tágoras y el teorema recíproco
de Pitágoras.
› Verifican en casos particulares el teorema de Pitágoras, de manera manual
o utilizando un procesador geométrico.
› Verifican en casos particulares el teorema recíproco de Pitágoras, en forma
manual o utilizando un procesador geométrico.
› Identifican situaciones donde se aplica el teorema de Pitágoras.
› Reconocen la importancia del teorema recíproco de Pitágoras en la resolu-
ción de problemas en contextos geométricos.
AE 09
Utilizar estrategias para ob-
tener el volumen en prismas
rectos y pirámides en contex-
tos diversos, y expresar los
resultados en las unidades de
medida correspondiente.
› Reconocen la unidad de medida de volumen en contextos diversos.
› Interpretan información relativa a volúmenes de cubos en contextos
diversos.
› Utilizan estrategias para obtener el volumen de paralelepípedos y expre-
san el resultado en la unidad correspondiente.
› Utilizan estrategias para obtener el volumen de pirámides rectas expre-
sando los resultados en la unidad de medida correspondiente.

60
AE 10
en casos particulares, relativas
a cambios en el perímetro de
polígonos al variar uno o más
de sus elementos lineales.
› Conjeturan acerca de los cambios que se producen en el perímetro de
paralelogramos cuando varían las medidas de sus lados.
› Verifican en casos particulares las conjeturas formuladas acerca de los
cambios que se producen en el perímetro de rectángulos cuando varían
sus lados.
› Conjeturan acerca de los cambios que se producen en el perímetro de
rombos cuando varía la medida de sus diagonales.
AE 11
Formular y verificar conje-
turas, en casos particulares,
relativas a cambios en el
volumen de prismas rectos y
pirámides al variar uno o más
› Conjeturan acerca de los cambios que se producen en el volumen de pris-
mas rectos cuando varían las medidas de los lados de su base y su altura.
› Verifican en casos particulares las conjeturas formuladas acerca de los
cambios que se producen en el volumen de prismas rectos cuando varían
las medidas de los lados de su base y su altura.
AE 12
Resolver problemas en con-
textos diversos:
a. Aplicando propiedades
de las potencias de base
y exponente natural, y las
potencias de base 10 y
exponente entero
b. Utilizando el teorema de
Pitágoras y el teorema recí-
proco de Pitágoras
› Utilizan las propiedades de las potencias de base y exponente natural para
resolver problemas que involucren este tipo de potencias.
› Utilizan las propiedades de las potencias de base 10 y exponente entero
para resolver problemas que involucren este tipo de potencias.
› Utilizan la calculadora para resolver problemas que involucren raíces
cuadradas de números enteros positivos cuando su resultado es un
número irracional.
› Resuelven problemas relativos a cálculos de lados en triángulos rectángulos.
› Aplican el teorema de Pitágoras para calcular longitudes en figuras planas,
por ejemplo, calculan los lados de triángulos rectángulos.
› Verifican que un triángulo no es rectángulo utilizando el teorema de
Pitágoras.
› Construyen ángulos rectos, utilizando el teorema recíproco de Pitágoras.
Por ejemplo, construyen el ángulo recto dividiendo una cuerda en 23
partes iguales.
› Evalúan las soluciones de problemas resueltos en función del contexto del
problema.
capaces de:

Unidad 3
edad de los estudiantes del nivel (que, en general, son
enérgicos y dispersos), es probable que requieran de un
monitoreo permanente.
El teorema de Pitágoras es una buena instancia para
verificar propiedades y relaciones geométricas, traba-
jando no solo su verificación directa, sino también su
recíproco. De esta manera, los alumnos podrán resolver
problemas en contextos matemáticos y cotidianos, apli-
cando ambos teoremas. En la medida de lo posible, se
sugiere profundizar la comprensión de estos teoremas,
su verificación y sus aplicaciones con algún software
geométrico. La utilización de material concreto ayuda en
la verificación de las relaciones que se producen.
En este contexto, la raíz cuadrada aparece de manera
casi natural y puede ser trabajada tanto con resultados
naturales como decimales. Sin embargo, en el nivel
todavía no se estudia los números irracionales, por lo
que el énfasis debe estar solo en la relación que tiene
la raíz cuadrada de un número entero positivo con las
potencias cuadradas.
En el caso de las figuras 3D, se recomienda presentar
actividades que involucran variaciones en las medi-
das de las aristas de prismas y pirámides, ya que esto
facilitará que los alumnos hagan conjeturas relativas a
los cambios que se producen en el volumen de estos
cuerpos cuando varían las medidas de sus aristas, y les
facilitará la verificación de las conjeturas formuladas en
casos particulares.
En esta unidad, se amplía el campo de potencias con
base y exponente natural a potencias también con
exponente natural, pero con base fraccionaria o decimal
positivo. Dado que el exponente aún es un número
natural, las potencias pueden ser representadas como
una multiplicación iterada; es decir, multiplicar la base
por sí misma tantas veces como indique el exponente.
En el desarrollo de potencias de este tipo, se debe poner
el énfasis en la detección de regularidades. En este
contexto, las actividades que se presente a los estu-
diantes deben facilitar el establecimiento de conjeturas
y su posterior verificación; por ejemplo, en el caso de
potencias con base fraccionaria, debería surgir natural-
mente la regla que dice “el exponente multiplica tanto
al numerador como al denominador”. También resultan
desafiantes actividades conducentes a detectar ciertas
reglas que se dan con las potencias de base decimal,
por ejemplo (0,02)4
, que son posibles de resolver sin
necesidad de realizar la multiplicación.
Las propiedades de potencias son una ampliación
normal de las propiedades de las potencias para base y
exponente natural. El docente puede hacer actividades
que permitan a los estudiantes conectar sus conoci-
mientos previos con los nuevos conceptos, verificando
que las propiedades ya estudiadas para potencias son
válidas también para potencias de base fraccionaria y
decimal positiva.
El trabajo en parejas o grupos de discusión resulta
atractivo para los alumnos; sin embargo, debido a la
El trabajo en equipo y la iniciativa personal en la resolución de problemas en contextos diversos
› Proponer ideas durante el trabajo con sus pares en la clase.
› Ser responsable con los compromisos asumidos en actividades grupales.
› Tomar la iniciativa en relación con el trabajo colectivo.
› Proponer alternativas de solución a problemas matemáticos en actividades grupales.

62
AE 03
Conjeturar y verificar algunas
propiedades9
de las potencias
de base y exponente natural.
AE 01
Interpretar potencias de
exponente natural cuya base
es un número fraccionario o
decimal positivo.
AE 02
Interpretar potencias de
Ejemplos de
Actividades
1
Identifican potencias de base fraccionaria o decimal positiva y expo-
nente natural en la expresión que representa el volumen de un cubo de
arista 2,3 cm.
2
Identifican potencias de base 10 y exponente entero en la conversión de
kilómetros a centímetros y de centímetros a kilómetros.
3
Interpretan información expresada en potencias de base 10 y exponente
entero. Por ejemplo, comparan la masa de la Tierra expresada en gramos
con la masa de un electrón expresada en gramos.
1
Los estudiantes realizan las siguientes actividades:
› Conjeturan acerca de la multiplicación de potencias del tipo an · am,
donde la base y los exponentes son números naturales
! Observaciones al docente:
Respecto de la conjetura: El profesor puede guiar a los estudiantes en esta
actividad, sugiriéndoles, por ejemplo, que expresen multiplicaciones del tipo
23
· 24
en la forma 2 ·2 ·2 ·2 ·2 ·2 ·2
Que posteriormente relacionen los exponentes de la multiplicación 23
· 24
con
el exponente del resultado de la multiplicación anterior: 27
Que repitan el experimento anterior las veces que sea necesario, hasta que
descubran un patrón y lo generalicen. Esa será la conjetura.
› Verifican la conjetura formulada
! Observaciones al docente: El profesor puede guiar a los estudiantes en esta
actividad, sugiriéndoles, por ejemplo, que comprueben la propiedad conjetu-
rada en la multiplicación: 75
· 73

Unidad 3
AE 04
y exponente natural.
AE 05
Calcular multiplicaciones y
divisiones de potencias de
2
Los alumnos ahora:
› Conjeturan acerca de potencias de potencias; es decir, acerca de ex-
presiones del tipo (an)
m
, donde la base y los exponentes son números
naturales
! Observaciones al docente:
Respecto de la conjetura: El profesor puede guiar a los estudiantes en esta
actividad sugiriéndoles, por ejemplo, que expresen multiplicaciones del tipo
(53
)4
en la forma (5·5·5)4
Que posteriormente expresen (5·5·5)4
en la forma (5·5·5) · (5·5·5) · (5·
5·5) · (5·5·5) y que relacionen los exponentes de (53
)4
con el exponente del
resultado de la multiplicación anterior: 512
Que repitan el experimento anterior las veces que sea necesario, hasta que
descubran un patrón y lo generalicen. Esa será la conjetura.
› Verifican la conjetura formulada
! Observaciones al docente: El profesor puede guiar a los alumnos en esta
actividad, sugiriéndoles, por ejemplo, que comprueben la propiedad conjetu-
rada en la potencia de potencia: (45
)2
1
Los estudiantes establecen procedimientos para calcular potencias de
distinta base natural y exponentes naturales iguales. Por ejemplo, para
calcular 43
· 53
.
! Observaciones al docente: Se sugiere al profesor que, antes de estable-
cer estos procedimientos trabaje con los alumnos la conmutatividad de la
multiplicación y que ejercite la multiplicación de números en paréntesis. Por
ejemplo, que en el caso de la multiplicación, utilice esta propiedad y el traba-
jo con paréntesis para expresar 43
· 53
en la forma (4·4·4) · (5·5·5) = (4·
5) · (4·5) · (4·5)
2
Aplican este resultado para resolver expresiones del tipo 103
· 22
· 54
! Observaciones al docente: Se sugiere al profesor que repase con sus estu-
diantes descomposiciones de números en forma multiplicativa; en este caso,
que descomponga 10 = 2 · 5 y que aplique el procedimiento anterior; de esta
manera, 103
· 22
· 54
= 23
· 53
· 22
· 54

64
AE 06
Comprender el significado de
la raíz cuadrada de un número
entero positivo.
AE 07
Determinar y estimar el valor
de raíces cuadradas.
AE 08
Comprender el teorema de Pi-
tágoras y el teorema recíproco
de Pitágoras.
3
Los estudiantes resuelven las siguientes operaciones con potencias:
› 153
· 34
· 54

›
243
22
· 34
›
203
10-5
1
Aplican el concepto de raíz cuadrada para estimar medidas. Por ejemplo,
estiman el lado desconocido de un polígono, si la medida de dicho lado
está expresada por una raíz cuadrada.
! Observaciones al docente: Se sugiere al profesor que dé al estudiante
estrategias para aproximar raíces cuadradas.
2
Relacionan raíces cuadradas con potencias de exponente dos.
! Observaciones al docente: Se sugiere al profesor trabajar, en primer lugar,
actividades relacionadas con el cálculo de cuadrados de números enteros
positivos y, en segundo lugar, actividades asociadas al cálculo de raíces de
cuadrados perfectos.
1
Verifican en casos particulares que:
› la suma de las áreas de triángulos equiláteros construidos sobre los
catetos de un triángulo rectángulo es igual al área del triángulo equilá-
tero construido sobre la hipotenusa del triángulo rectángulo
› la suma de las áreas de los semicírculos construidos sobre los catetos
de un triángulo rectángulo es igual al área del semicírculo construido
sobre la hipotenusa del triángulo rectángulo
2
Identifican otras figuras, distintas a cuadrados, triángulos equiláteros y
semicírculos, que satisfacen el teorema de Pitágoras.
3
Utilizan el teorema recíproco de Pitágoras para verificar que, para cons-
truir un segmento perpendicular a otro segmento, una posibilidad es unir
los segmentos y dividir en doce partes iguales esta unión.
4
Elaboran estrategias para determinar, en contextos cotidianos, que ciertas
figuras son rectangulares. Por ejemplo, verifican utilizando el teorema
recíproco de Pitágoras si una ventana de forma rectangular está cuadrada.

Unidad 3
AE 09
Utilizar estrategias para ob-
tener el volumen en prismas
rectos y pirámides en contex-
tos diversos, y expresar los
resultados en las unidades de
medida correspondiente.
AE 10
en casos particulares, relativas
a cambios en el perímetro de
polígonos al variar uno o más
1
Utilizan las propiedades de potencias para establecer unidades de me-
didas que expresen volúmenes. Por ejemplo, calculan el volumen de un
paralelepípedo de aristas 20 cm, 30 cm y 25 cm.
2
Utilizan las propiedades de potencias para transformar unidades de me-
dida. Por ejemplo, para transformar m3
en cm3
y m2
en cm2
3
Utilizan estrategias para deducir el volumen de pirámides rectas de base
cuadrada. Por ejemplo, de una pirámide recta de base cuadrada de lado 6
cm y altura 9 cm.
! Observaciones al docente: Se sugiere al profesor guiar a los estudiantes en
esta deducción. Por ejemplo, recomendarles que construyan un paralelepí-
pedo de aristas 6 cm, 6 cm y 9 cm con material concreto y que a partir de él
formen la pirámide.
4
Utilizan estrategias para deducir el volumen de prismas rectos de base
hexagonal. Por ejemplo, de un prisma recto de base hexagonal de lado
8 cm y de altura 12 cm.
! Observaciones al docente: Se sugiere al profesor guiar al estudiante en esta
deducción. Por ejemplo, recomendarles que en la base del prisma relacionen
el lado del prisma con la altura del hexágono que se forma, y que construyan
un paralelepípedo a partir de la altura del hexágono y la altura del prisma.
5
Calculan volúmenes de prismas rectos y pirámides en contextos de la
vida cotidiana y las expresan en las unidades de medida correspondiente.
Por ejemplo, calculan la cantidad de agua que se necesita para llenar una
piscina de largo 8 m, ancho 6 m y alto 2 m.
1
Los estudiantes formulan conjeturas relativas a:
› La variación del perímetro de pentágonos cuando varían sus lados
formulación. Por ejemplo, que dibuje un pentágono, que asigne valores a sus
lados en centímetros y que registre el perímetro. Luego, que varíe en 1 cm el
lado del pentágono y que registre el perímetro. A continuación, que varíe en
2 cm el lado del pentágono y que registre el perímetro, y así sucesivamente.
Después, que descubra regularidades en la secuencia de datos de los lados y
del perímetro del pentágono, y que formule la conjetura.
› La variación del perímetro de triángulos rectángulos cuando varían
sus catetos

66
AE 12
Resolver problemas en con-
textos diversos:
› Aplicando propiedades
de las potencias de base
y exponente natural, y las
potencias de base 10 y
exponente entero
› Utilizando el teorema de
Pitágoras y el teorema recí-
proco de Pitágoras
formulación. Por ejemplo, que dibuje un triángulo rectángulo de catetos 3 cm
y 4 cm, que calcule su hipotenusa y que posteriormente calcule su perímetro.
A continuación, que varíe en 1 cm el lado de los catetos, que calcule la hipo-
tenusa de manera aproximada y que registre el perímetro aproximado. Luego,
que varíe en 2 cm el lado de los catetos, que calcule la hipotenusa de manera
aproximada y que registre el perímetro aproximado, y así sucesivamente.
Después, que descubra regularidades en la secuencia de datos correspondien-
tes a los catetos y al perímetro del triángulo, y que formule la conjetura.
2
Los estudiantes verifican las conjeturas formuladas, en pentágonos de
lados dados y en triángulos de catetos dados.
1
Los estudiantes formulan conjeturas relativas a:
› La variación del volumen de prismas rectos cuando varían los lados de
su base y su altura
formulación. Por ejemplo, que dibuje un prisma recto, que asigne valores en
centímetros a los lados de su base y a su altura y que registre su volumen. A
continuación, que varíe en 1 cm cada uno de los lados de la base y la altura y
que registre el volumen. Luego, que varíe en 2 cm los lados de la base y de la
altura del prisma recto y que registre el perímetro, y así sucesivamente. Des-
pués, que descubra regularidades en la secuencia de datos correspondientes a
los lados de la base y de la altura del prisma, y que formule la conjetura.
› En la variación del volumen de pirámides de base cuadrada y triangular
cuando varían los lados de su base y su altura
2
Los estudiantes verifican las conjeturas formuladas en prismas de lados
de la base y altura dados y en pirámides de base cuadrada y triangular de
datos de la base y la altura dados.
1
Resuelven problemas relativos a cálculos de valores en contextos
matemáticos:
Por ejemplo:
› transforman expresiones
› aplican propiedades de potencias, para obtener soluciones de ecuacio-
nes del tipo ax = b, donde b se relaciona con potencias de a
› aplican propiedades para expresar 8 en la forma 23
y para concluir que
3 es la solución de la ecuación 2x = 8
AE 11
Formular y verificar conje-
turas, en casos particulares,
relativas a cambios en el
volumen de prismas rectos y
pirámides al variar uno o más

Unidad 3
2
Utilizan las potencias de base 10 y exponente natural para analizar las
distancias que separan a diversos cuerpos celestes. (Ciencias Naturales)
3
Resuelven problemas relativos a cálculos de áreas y volúmenes en con-
textos cotidianos.
Por ejemplo:
› Calculan la cantidad de centímetros cúbicos que están contenidos en
1 litro de agua
› Calculan la medida de superficies rectangulares, cuyos lados están
expresados en potencias de 10. Por ejemplo: de un rectángulo de largo
103
cm, y ancho 10-1
cm
4
Utilizan propiedades de potencias para modelar situaciones. Por ejemplo,
modelan la siguiente cadena alimenticia:
Una persona desea recolectar arroz para una campaña benéfica. Con ese
propósito (etapa 1) contacta tres personas, cada una de las cuales dona
3 kilos de arroz; después cada una de estas personas contacta otras tres
personas, cada una de las cuales dona tres kilos de arroz (etapa 2), y así
sucesivamente. ¿Cuánto arroz se recolecta en la etapa 9?
5
Determinan tríos pitagóricos. Por ejemplo, determinan los valores de a, b,
c que satisfacen la condición a2
+ b2
= c2
! Observaciones al docente: Es importante que el profesor guíe a los estudian-
tes a que deduzcan que, de los tríos a, b, cque satisfacen la condición “la suma
de los cuadrados de los primeros dos términos es igual al cuadrado del tercer
término”, se obtienen tríos ka, kb, kc, k Nque satisfacen dicha condición.
Es importante que guíe a los alumnos a que deduzcan tríos a, b, c, de manera
que el máximo común divisor entre ellos sea 1 y que satisfagan la condición
a2
+ b2
= c2
6
Utilizan tríos pitagóricos tales, que su máximo común divisor sea 1 para
calcular lados de triángulos rectángulos.
! Observaciones al docente: Se sugiere al profesor entregar a los estudiantes
estrategias para encontrar tríos pitagóricos de máximo común divisor 1. Por
ejemplo, la siguiente estrategia: a) que encuentren un trío pitagórico, b) que
determinen si estos elementos tienen factores comunes, y si es así, c) que di-
vidan los números por ese factor hasta obtener este tipo de tríos. Por ejemplo,
que si encuentran el trío 6, 8, 10, determinen que estos números tienen un
factor común que es el 2, y que dividan estos números por 2 hasta obtener el
trío pitagórico 3, 4, 5.

68
7
Resolver problemas en contextos diversos, utilizando el teorema de
Pitágoras.
Por ejemplo:
› Obtienen de manera práctica el ángulo recto, utilizando los tríos
pitagóricos
› Calculan perímetros de triángulos rectángulos
› Estiman perímetros de triángulos rectángulos, cuya hipotenusa no es un
número entero; por ejemplo, de un triángulo de catetos 2 cm y 3 cm
› Determinan áreas de triángulos rectángulos, utilizando el teorema de
Pitágoras
› Utilizan el teorema de Pitágoras para resolver problemas en contextos
geométricos. Por ejemplo, los estudiantes determinan el perímetro del
trapecio rectángulo de la siguiente figura:
! Observaciones al docente: Se sugiere al docente trabajar actividades rela-
cionadas con trazados de segmentos en figuras, de manera que los estudian-
tes visualicen figuras desde otras perspectivas.
8cm
8 cm
14 cm

Unidad 3
Ejemplo de
Evaluación
Ejemplo de
Evaluación
Actividad
Leer cuidadosamente las situaciones dadas y responder a las preguntas.
El maestro Pedro tiene que construir un radier rectangular. No sabe cómo asegurarse de que
los ángulos, en las esquinas, sean realmente rectos. Le manifiesta su problema al maestro
Juan, que tiene más experiencia. Este le indica que use la “regla de los tres nudos”. ¿Cuál es
esa? —le pregunta Pedro—, a lo que Juan responde: “Toma una cuerda y en uno de sus extre-
mos haz un nudo, a partir del nudo mide 30 cm y haz un segundo nudo; finalmente, haz un
tercer nudo a una distancia de 40 cm del segundo”.
¿Y? —pregunta Pedro—, ¿qué hago ahora?
Juan: Clava una estaca en el lugar donde quieres dibujar tu ángulo recto, y coloca la cuerda
de modo que el segundo nudo quede en la estaca. Fija uno de los extremos de la cuerda
de modo que quede tensa y mueve el otro extremo, midiendo la distancia entre el primer y
tercer nudo hasta que esa distancia sea igual a 50 cm, fija ahí el extremo libre de la cuerda. Y
entonces, mi amigo, tendrás un ángulo recto.
Preguntas:
1 ¿Es verdad que el procedimiento descrito por Juan permite construir ángulos rectos?
Justifique.
2 ¿Qué conocimiento geométrico serviría para apoyar el método descrito por Juan para
construir ángulos rectos? Justifique.
Nudo 1
Nudo 2 Nudo 3
Continúa en página siguiente á
AE 08
Comprender el teorema
de Pitágoras y el teorema
recíproco de Pitágoras.
› Verifican en casos particulares el teorema de Pitágoras, de
manera manual o utilizando un procesador geométrico.
› Verifican en casos particulares el teorema recíproco de
Pitágoras, en forma manual o utilizando un procesador
geométrico.
› Identifican situaciones donde se aplica el teorema de
Pitágoras.
› Reconocen la importancia del teorema recíproco de
Pitágoras en la resolución de problemas en contextos
geométricos.

70
3 Construya un triángulo rectángulo de catetos iguales a 30cm y 40 cm respectivamente.
¿Cuánto medirá la hipotenusa? ¿Por qué?
1 Reconoce al inverso el teorema de Pitágoras.
2 Explica la situación, basándose en el teorema de Pitágoras.
3 Aplica el teorema de Pitágoras para calcular la hipotenusa, conocida la longitud de los
catetos.

Unidad 3

73
Unidad 4
Datos y Azar
Propósito
El propósito de esta unidad es profundizar en las
habilidades de interpretar, comparar y analizar
información a partir de diversos tipos de tablas y
gráficos en diferentes contextos, y también en la
capacidad de organizar y representar datos a través
de los instrumentos mencionados. Los estudiantes
trabajarán con tablas y gráficos revisados en años
anteriores (gráficos de barras, barras múltiples, de
líneas y circulares), fundamentalmente en contextos
extraídos de los medios de comunicación.
El énfasis en este nivel está puesto en el análisis crí-
tico de la información y en la selección de las formas
de organizar y representar los datos, en función del
tipo de análisis que se desee realizar. Por otro lado,
se profundiza en los conceptos de población y se
muestra como algo fundamental en el estudio de la
estadística. Se espera que los estudiantes reconoz-
can que la naturaleza de la muestra y el método de
selección inciden en el estudio de la población.
Por otra parte, en esta unidad los estudiantes conti-
núan su trabajo con el tópico de probabilidades, pro-
fundizando en el estudio de situaciones de incerteza
y experimentos aleatorios. En este nivel se enfatiza el
trabajo con tablas de frecuencia a partir del registro
de los resultados de experimentos aleatorios. Será
importante la iteración de cada experimento e ir
registrando lo que sucede con la frecuencia relativa
para cada evento, de modo que sea también posible
comparar más de un evento. También cobra relevan-
cia el uso de herramientas tecnológicas para simular
un gran número de veces un cierto experimento
aleatorio; por ejemplo, lanzar dos monedas.
› Gráficos de línea, barras y circulares
› Selección de escalas numéricas, adecuadas a los
datos, para los ejes de un sistema de coordenadas
› Razones y proporciones
› Cálculo de porcentajes
› Comparación de cantidades
Palabras clave
Población, frecuencia, frecuencia relativa, tablas de
frecuencias, azar, probabilidad, experimento aleato-
rio, evento de un experimento aleatorio.
contenidos
› Frecuencia absoluta
› Frecuencia relativa
› Frecuencia relativa porcentual
› Población
› Muestra
› Representatividad de una muestra
› Experimento aleatorio
› Evento de un experimento aleatorio
› Ocurrencia de un evento
› Probabilidad de ocurrencia de un evento
Habilidades
› Extraer información desde datos organizados en
tablas y gráficos
› Resolver problemas, utilizando datos organizados
en tablas y gráficos
› Representar un conjunto de datos a través de
tablas y gráficos
› Comparar información gráfica
› Evaluar críticamente información gráfica
› Utilizar herramientas tecnológicas en la construc-
ción de gráficos
› Obtener muestras aleatorias desde una población
› Estimar la probabilidad de ocurrencia de un evento
asociado a un experimento aleatorio
Actitudes
› Interés por conocer la realidad al trabajar con
información cuantitativa de diversos contextos
› Actitud crítica frente a la información gráfica pre-
sente en los medios de comunicación

74
Aprendizajes
Esperados
capaces de:
AE 01
Analizar información presente
en diversos tipos de tablas
y gráficos.
› Leen e interpretan información a partir de datos organizados en diversos
tipos de tablas. Por ejemplo, tablas de frecuencia donde se incorpora la
frecuencia relativa porcentual.
› Comparan información extraída de diversos tipos de gráficos y tablas y
comunican sus conclusiones.
› Leen e interpretan información a partir de datos organizados en gráficos
que usualmente aparecen en los medios de comunicación. Por ejemplo,
gráficos de barras, circulares, de líneas y pictogramas.
› Comparan información gráfica, que usualmente aparece en los medios de
comunicación, con las descripciones o textos que les acompañan y evalúan
la coherencia entre ambas.
› Evalúan si las conclusiones presentadas en los medios de comunicación
son pertinentes apoyándose en la información gráfica.
AE 02
Seleccionar formas de orga-
nización y representación de
datos de acuerdo al tipo de
análisis que se quiere realizar.
› Resuelven problemas que involucren la construcción de tablas de fre-
cuencias, seleccionando el tipo de frecuencia10
según el análisis que se
requiera hacer.
› Organizan un conjunto de datos en diferentes tipos de gráficos, por
ejemplo de barras, circular o líneas y seleccionan aquel que les permita
responder mejor las preguntas planteadas.
› Seleccionan la representación gráfica más adecuada para la representación
de un conjunto de datos y justifican su elección basándose en el tipo de
datos involucrados.
› Resuelven problemas, en diversos contextos, que involucren la compa-
ración de dos o más conjuntos de datos seleccionando la representación
gráfica más adecuada.
› Evalúan si una tabla o tabla de frecuencia es suficiente para organizar un
conjunto de datos o si es necesario construir un gráfico para comunicar
información.
10 Frecuencia absoluta, relativa, porcentual o acumulativa.

Unidad 4
capaces de:
AE 03
Reconocer que la naturaleza
y el método de selección de
muestras inciden en el estudio
de una población.
› Establecen estrategias para escoger muestras de un determinado tamaño
desde una población específica.
› Señalan las ventajas y desventajas de las estrategias establecidas para esco-
ger muestras de un determinado tamaño desde una población específica.
› Deciden y argumentan acerca del número y las formas de extraer mues-
tras, de modo que las conclusiones se generalicen a la población.
› Identifican elementos que caracterizan a una muestra representativa.
› Argumentan si una muestra es o no representativa a partir de diferentes
ejemplos.
› Identifican la muestra tomada desde estudios y encuestas publicadas en
medios de comunicación, y evalúan la pertinencia sobre las conclusiones
obtenidas en el estudio.
AE 04
Predecir la probabilidad de
ocurrencia de eventos a partir
de la frecuencia relativa obte-
nida en la realización de expe-
rimentos aleatorios simples.
› Realizan diferentes experimentos aleatorios simples (con dados, monedas,
ruletas, etc.) para identificar los resultados posibles y los registran en tablas
de frecuencia que involucren una gran cantidad de iteraciones11
.
› Determinan eventos que tienen mayor ocurrencia a partir del registro de
los resultados de un experimento aleatorio en tablas de frecuencias.
› Señalan si un suceso es más o menos probable, a partir de la interpreta-
ción de información entregada en una tabla de frecuencia.
› Predicen acerca de la probabilidad de ocurrencia de un evento, a partir
de la simulación (un número grande de iteraciones) de un experimento
aleatorio usando tecnología.
11 Sobre 100 para que el análisis tenga sentido.

76
el tipo de gráfico que mejor comunique la información.
También se puede discutir sobre si, para determinada
situación, basta con organizar un conjunto de datos en
una tabla (de frecuencia, por ejemplo) o si es necesario
emplear algún gráfico. En cuanto a los conceptos de
población y muestra, se recomienda proponer a los
alumnos discusiones relacionadas con las formas de
seleccionar una muestra, con el concepto de represen-
tatividad y respecto de si las conclusiones de un estudio
pueden ser o no generalizables a la población.
En la parte de probabilidades (Azar) se sugiere proponer
a los estudiantes diversas situaciones y experimentos
aleatorios, a través de los cuales puedan registrar los
resultados en tablas de frecuencia y establecer com-
paraciones entre los distintos eventos. Por ejemplo, se
puede considerar el lanzamiento de dos monedas o dos
dados unas 200 veces por lo menos. El énfasis debe
estar en el registro de la frecuencia relativa para los
diferentes eventos y en las regularidades observadas a
medida que se aumenta el número de lanzamientos.
Cabe señalar que en esta unidad es importante el traba-
jo con herramientas tecnológicas que permitan realizar
simulaciones de los experimentos aleatorios (1.000,
5.000 o más repeticiones). De este modo será posible
Tal como lo sugieren los Aprendizajes Esperados, esta
unidad se conecta naturalmente con los Objetivos Fun-
damentales Transversales. A través del trabajo propuesto
en Datos y Azar, se puede incentivar el interés por co-
nocer la realidad y la búsqueda de la información en di-
versas fuentes. Por otra parte, el terreno es propicio para
promover una actitud crítica frente a la información
presente en los diferentes medios de comunicación, y
el trabajo en equipo en la resolución de problemas que
involucren el análisis de datos.
Se sugiere trabajar la parte estadística (Datos) con
contextos de interés para los estudiantes, tomados de
diarios, revistas o internet, de modo que vean que la
Estadística está en conexión con la vida cotidiana y es
una herramienta para interpretar y modelar la realidad,
a través de representaciones como tablas y gráficos. Se
sugiere seleccionar situaciones en que los alumnos re-
suelvan problemas que impliquen interpretar informa-
ción presentada en diversos tipos de tablas y gráficos.
También pueden evaluar la coherencia de los gráficos
presentes en los medios de comunicación y los textos
asociados con los datos del estudio en cuestión.
Se sugiere crear situaciones en las que los estudiantes
decidan la manera de organizar un conjunto de datos y
Actitudes de interés por conocer la realidad al trabajar con información cuantitativa de diversos
contextos
› Buscar información cuantitativa por iniciativa propia.
› Formular preguntas sobre los temas implicados en la información trabajada.
Una actitud crítica frente a la información gráfica presente en los medios de comunicación
› Verificar las fuentes de información.
› Evaluar las formas de representación de los datos (gráficos, tablas y medidas de tendencia central y de
dispersión).
› Evaluar las conclusiones enunciadas.
› Participan de manera propositiva en actividades grupales.
› Demuestran responsabilidad en la tarea asignada.
› Toman la iniciativa en actividades de carácter grupal.
› Proponen alternativas de solución a problemas matemáticos en actividades grupales.

Unidad 4
observar con más claridad las regularidades de ciertos
eventos, algo que es muy difícil de percibir con pocos
lanzamientos (por ejemplo, al lanzar dos monedas, el
evento “cara y sello” es más frecuente que los eventos
“cara-cara” o “sello-sello”). Es importante que los estu-
diantes conjeturen acerca de los resultados y luego los
verifiquen o refuten, por medio de experimentos.
Es importante dejar que los alumnos lean, analicen e
interpreten situaciones expresadas a través de tablas y
gráficos, que respondan preguntas y resuelvan proble-
mas de manera grupal e individual, y que observen y
busquen regularidades en la información.
Se debe ser cuidadoso con cualquier situación de
sesgo cultural, socioeconómico o de género.

78
Ejemplos de
Actividades
AE 01
Analizar información presente
en diversos tipos de tablas y
gráficos.
1
Observan tablas y gráficos de interés obtenidos desde distintos medios
de comunicación y escriben información relevante en el contexto. Comu-
nican las conclusiones. Por ejemplo, discuten acerca de cierta información
presentada en un gráfico, extraída desde un diario local12
.
Baja de días críticos
Los días de altas concentraciones de esmog bajarona niveles de 2005,
en que también hubo buenas condiciones climáticas.
› Responden preguntas, cuyas respuestas se extraen del gráfico. Por
ejemplo: ¿Qué significa cada barra?, ¿qué representa el eje X?, ¿qué se
está comparando?
› Responden preguntas más específicas respecto del gráfico, como:
¿en qué años las concentraciones de smog fueron más bajas? ¿En qué
año las condiciones del aire fueron más críticas? ¿Qué sucedió con la
calidad del aire en el 2009? El profesor debe evaluar las respuestas
entregadas por los estudiantes y llegar a una interpretación correcta en
conjunto con ellos.
› Proponen otras preguntas que puedan ser respondidas desde el gráfico.
! Observaciones al docente: Es importante motivar a los estudiantes para
que observen los gráficos, comprendan el contexto y entiendan los números
que aparecen. Se sugiere orientar el trabajo mediante preguntas del tipo
¿qué significa cada barra?, ¿qué representa el eje X?, ¿qué se está comparan-
do? Luego, introducirlos a situaciones más específicas que se pueden extraer
desde el gráfico. Se recomienda que los estudiantes, con el apoyo del profesor,
puedan analizar a fondo la información presentada, evalúen la pertinencia de
las conclusiones entregadas por los medios de comunicación y las contrasten
con sus propias conclusiones.
12 El gráfico aquí presentado fue extraído del diario La Tercera del jueves 13 de agosto de 2009. El docente podría utilizar este
mismo gráfico u otro para la actividad.
1 Índice de calidad de aire por partículas
2 Episodios constatados en 2009
Fuente Conama RM, La Tercera.
2005 2006 2007 2008 2009
500
201 Alerta
301 Preemergencia
401 Emergencia
100
0
ICAP1
Calidad del Aire
Peligroso
Crítico
Malo
Bueno4
2 2
14 14
102
3
22
6 6
Alerta
Preemergencias

Unidad 4
2
Recopilan información en diferentes medios de comunicación, men-
cionando la fuente. Se aseguran de que aparezca organizada en tablas
y en distintos tipos de gráficos para compararla con la hallada por otros
estudiantes u otros grupos.
Por ejemplo:
› Observan una tabla y gráfico como los siguientes.
Usuarios de Internet por Países y Regiones13
Regiones Población (2010)
Usuarios, dato
más reciente
África 1.013.779.050 110.948.420
Asia 3.834.792.852 828.930.856
Europa 813.319.511 475.121.735
Oriente Medio 212.336.924 63.240.946
Norteamérica 344.124.450 266.224.500
Latinoamérica / Caribe 592.556.972 205.097.470
Oceanía / Australia 34.700.201 21.272.470
Total Mundial 6.845.609.960 1.970.836.397
Usuarios de Internet por Zonas Geográficas
13 © 2000-2010, Miniwatts Marketing Group, www.exitoexportador.com/stats.htm (consultado el 03/10/2010)
Oceanía/Australia
1,1%
África
5,6%
Asia
42,1%
Europa
24,1%
Oriente Medio
3,2%
Norteamérica
13,5%
Latinoamérica/Caribe
10,4%

80
AE 02
Seleccionar formas de orga-
nización y representación de
datos de acuerdo al tipo de
› Comparan la información de la tabla con la información del gráfico.
Verifican cada uno de los porcentajes que muestra el gráfico circular.
› Discuten la manera en que la información de la tabla pueda ser repre-
sentada en un gráfico de barras múltiples u otras representaciones.
› Responden preguntas como: ¿qué región es la que tiene mayor pobla-
ción?, ¿qué región es la que tiene menor población?, ¿qué región tiene
una mayor cantidad de usuarios conectados?, ¿qué regiones tienen
una cantidad similar de usuarios conectados? En relación con su pobla-
ción total, ¿qué región tiene mayor cantidad de usuarios conectados?
! Observaciones al docente: Se sugiere al profesor trabajar con tablas que
incluyan, además de la frecuencia, la frecuencia relativa y la frecuencia rela-
tiva porcentual, de modo que los estudiantes visualicen su importancia.
La presentación de información proveniente de diversas fuentes genera
inquietudes en los alumnos y ellos formulan preguntas. Se sugiere al docente
propiciar el intercambio de la información e investigación individual, con el
objeto de motivar la búsqueda por iniciativa propia en los alumnos.
Estas actividades apuntan a que verifiquen las fuentes de información,
evalúen las conclusiones enunciadas y participen de manera propositiva en
actividades grupales.
1
Realizan un estudio14
en el colegio con respecto al uso de Facebook en
relación con dos aspectos:
› Frecuencia de uso: ¿Cuán a menudo se conecta usted a Facebook?
Alta
Todos los días
2 a 3 veces por semana
Media 1 vez por semana
Baja
Cada 2 a 3 semanas
1 vez al mes o menos
› Red de amigos: ¿Cuántos amigos tiene en Facebook?
3 a 19
20 a 37
38 a 70
70 a 300
Más de 300
14 Para esta actividad, los estudiantes se pueden apoyar en otros estudios anteriores, como www.iccom.cl/html/difusion/estudios_
difusion/Uso%20de%20Facebook/Uso%20de%20Facebook%20-%20ICCOM%202008.pdf

Unidad 4
AE 03
Reconocer que la naturaleza
y el método de selección de
muestras inciden en el estudio
de una población.
2
A partir de los datos no organizados, recogidos a través de la encuesta
anterior, construyen una tabla de frecuencias que incluya las columnas de
frecuencia, frecuencia relativa y frecuencias relativas porcentuales.
3
Determinan la mejor forma de organizar los datos (información básica,
tabla de frecuencias simple o diferentes tipos de gráficos), realizando la
construcción en el cuaderno.
1
Realizan una encuesta de un tema de interés, categorizando las respuestas.
Por ejemplo:
Encuestar a 40 personas sobre su preferencia de equipo de fútbol de
primera división de Chile con el siguiente espacio muestral: Colo-Colo, U.
de Chile, U. Católica, Cobreloa, U. Española, otros.
2
Escriben los criterios que utilizaron para escoger la muestra (encuestados).
3
Responden preguntas sobre la idoneidad de la muestra escogida, como:
› ¿estos resultados son representativos de la realidad de su barrio? ¿co-
muna? ¿región? ¿país?
› ¿qué elementos aseguran que la muestra sea o no representativa?
4
Describen en su cuaderno experimentos y encuestas en los cuales los
resultados no son representativos de la población, porque la muestra
tampoco lo es.
5
A partir de distintos estudios extraídos de medios de comunicación, rea-
lizan un análisis crítico sobre la validez o pertinencia de las conclusiones
que se enuncian.
! Observaciones al docente: Se sugiere al profesor que este tipo de activida-
des sean desarrolladas en grupos de trabajo a fin de promover la discusión
entre los estudiantes.

82
AE 04
Predecir la probabilidad de
ocurrencia de eventos a partir
de la frecuencia relativa obte-
nida en la realización de expe-
rimentos aleatorios simples.
1
En grupos de 3 o 4 estudiantes realizan una actividad de repetición de un
experimento aleatorio y uno de ellos registra los resultados obtenidos.
Por ejemplo:
Dos miembros del grupo deben lanzar un dado 50 veces cada uno. Un
tercer integrante debe registrar los resultados en la siguiente tabla:
N° de
Lanzamiento 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Dado 1
Dado 2
N° de
Lanzamiento 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
Dado 1
Dado 2
N° de
Lanzamiento 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30
Dado 1
Dado 2
N° de
Lanzamiento 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40
Dado 1
Dado 2
N° de
Lanzamiento 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50
Dado 1
Dado 2
Con esta información, completan una tabla de frecuencias simple que
incluye la frecuencia absoluta y la frecuencia relativa de cada resultado.
2
Consideran para el lanzamiento de dos dados como resultados, por ejem-
plo, los relativos a:
› la suma de los puntajes de los dados
› el producto de los puntajes de los dados
3
Observan la columna de frecuencias relativas y determinan qué resulta-
dos tienen mayor y menor probabilidad de ocurrencia.

Unidad 4
4
Conjeturan acerca de la probabilidad a priori de obtener un determina-
do resultado.
5
Utilizan alguna herramienta tecnológica para simular los resultados del
lanzamiento de dos dados y elevar el número de lanzamientos, por ejem-
plo, a 5 mil o 10 mil. Buscan regularidades.
6
Analizan la existencia de tendencias de datos representados en tablas de
frecuencias o gráficos de barras. Por ejemplo, con respecto al lanzamien-
to de dados o monedas con ayuda de la tecnología. Responden preguntas
del tipo:
› Si se lanza una moneda, ¿qué resultado es más probable, cara o sello?
› Si se lanzan dos monedas, ¿cómo podrían ser representados los posi-
bles resultados? ¿a qué resultado apostarían, cara-cara, sello-sello o
mezclado?
! Observaciones al docente: Se sugiere al docente que este tipo de activida-
des sea desarrollado en grupos de trabajo a fin de promover la discusión entre
los estudiantes.
Se sugiere incorporar el uso de tecnología, que permita la simulación de
experimentos aleatorios y una gran cantidad de iteraciones.

84
Ejemplo de
Evaluación
Ejemplo de
Evaluación
Actividad
La siguiente actividad se realizará en grupos de 5 personas. Cada grupo recibe 5 dados, uno
por integrante.
Cada integrante del grupo debe lanzar 25 veces su dado y registrar los resultados en una
tabla. Finalizados los lanzamientos, se deben resumir los resultados totales —resultados de los
125 lanzamientos— en la siguiente tabla.
Resultados
Posibles
Frecuencia
Absoluta
Frecuencia Relativa
Porcentual
1
2
3
4
5
6
De acuerdo a los resultados obtenidos y registrados en la tabla, responda las siguientes
preguntas:
1 ¿Cuál de los siguientes eventos tiene mayor ocurrencia?
› “que salga un número mayor o igual a 3”
› “que salga un número par”
15 Sobre 100 para que el análisis tenga sentido.
AE 04
Predecir la probabilidad
de ocurrencia de eventos
a partir de la frecuencia
relativa obtenida en la rea-
lización de experimentos
aleatorios simples.
› Realizan diferentes experimentos aleatorios simples (con
dados, monedas, ruletas, etc.) para identificar los resul-
tados posibles y los registran en tablas de frecuencia que
involucren una gran cantidad de iteraciones15
.
› Determinan eventos que tienen mayor ocurrencia a partir
del registro de los resultados de un experimento aleatorio
en tablas de frecuencias.
› Señalan si un suceso es más o menos probable, a partir de
la interpretación de información entregada en una tabla
de frecuencia.
› Predicen acerca de la probabilidad de ocurrencia de un
evento, a partir de la simulación (un número grande de ite-
raciones) de un experimento aleatorio usando tecnología.

Unidad 4
2 Al lanzar nuevamente un dado, ¿qué es más probable: “que salga un número mayor que 2
o que salga un número menor que 5”? Justifique.
3 Si lanza nuevamente un dado, ¿qué cree que ocurrirá?, ¿con qué probabilidad? Una vez
que haya respondido a la pregunta anterior, lance el dado y contraste el resultado con su
predicción. Explique lo ocurrido.
1 Realiza el experimento aleatorio.
2 Construye la tabla de frecuencia con los resultados.
3 Compara eventos de acuerdo a la ocurrencia según la tabla de frecuencias.
4 Compara eventos de acuerdo a su probabilidad de ocurrencia.
5 Predice acerca de la probabilidad de ocurrencia.

88
Bibliografía para el docente
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geometría. Síntesis.
ALSINA CATALÁ, C., FORTUNY AYMENI, J. M., BURGUÉS
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geometría. Madrid: Síntesis.
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Enseñar matemáticas. Madrid: Graó.
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matemáticas en Secundaria. Madrid Universidad
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Álgebra. México: Iberoamericana.
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¿Para qué? Síntesis.
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transversales. Santiago: Lom.
Sitios web
Ministerio de Educación de Chile: www.mineduc.cl
Instrumentos Curriculares (Mapas de Progreso, Programas
de estudio, etc.): www.curriculum-mineduc.cl
Instituto Nacional de Estadísticas: www.ine.cl
Red Maestros de Maestros (Mineduc): www.rmm.cl
Sitio Key Currículum Press de textos de matemática:
Geometría: www.keypress.com/x19850.xml (Ver
capítulos de lecciones en español).
Álgebra: www.keypress.com/x19578.xml (Ver
capítulos de lecciones en español).
Textos para docentes y estudiantes, educación
secundaria México: www.reformasecundaria.sep.
gob.mx/matematicas/recdidactico.html
http://telesecundaria.dgme.sep.gob.mx/mat_
ed/mat_ed_01.php
Recursos digitales interactivos en la web
Portal Educar Chile: www.educarchile.cl/Portal.Base/
Web/verContenido.aspx?ID=186119
Enlaces: www.catalogored.cl/recursos-educativos-
digitales?nivel_educativo=50&subsector_
basica=65

Bibliografía
Proyecto Descartes, España: http://recursostic.
educacion.es/descartes/web
Biblioteca Nacional de Manipuladores Virtuales, applets
de la Universidad de UTAH: http://nlvm.usu.edu/
es/nav/vlibrary.html
Eduteka, Portal Educativo, Colombia: www.eduteka.org/
directorio, luego elegir la carpeta “Matemáticas” o bien
desde el enlace directo: www.eduteka.org/directorio/
index.php?t=sub_pages&cat=204
Actividades sugeridas por temas: www.eduteka.org/MI/
master/interactivate
Bibliografía para el estudiante
ARAYA S., Roberto y MATUS, Claudia. (2008).
Buscando un orden para el azar. Santiago: Centro
Comenius, Universidad de Santiago de Chile.
ARGÜELLES RODRÍGUEZ, J. (1989). Historia de la
matemática. Akal.
ARIAS, NAFRÍA, DOMÍNGUEZ, SANTISO, DÍEZ, y otros.
(1992). Hoja de Cálculo en la enseñanza de las
matemáticas en Secundaria. Madrid: Universidad
Autónoma de Madrid.
AZCÁRATE GIMÉNEZ, C., DEULOFEU PIQUET, J. (1990).
Funciones y gráficas. Síntesis.
DE MELLO E SOUZA, Julio César (Malba Tahan).
(2002). El hombre que calculaba. Limusa.
GOVINDEN L., Portus. (1998). Introducción a la
Estadística. Mc Graw Hill.
HONSBERGER, R. (1994). El ingenio en las Matemáticas.
Madrid: DLS-Euler.
Sitios web
Textos para el docente y el estudiante de educación
secundaria, México: www.reformasecundaria.
sep.gob.mx/matematicas/recdidactico.html
http://telesecundaria.dgme.sep.gob.mx/mat_
ed/mat_ed_01.php
Recursos digitales interactivos en la web
Proyecto Descartes, España: http://recursostic.
educacion.es/descartes/web/aplicaciones.php
Biblioteca Nacional de Manipuladores Virtuales, applets
de la Universidad de UTAH: El enlace genérico
es http://nlvm.usu.edu/es/nav, o bien puede
escoger los enlaces directos:
Números y operaciones: http://nlvm.usu.edu/es/
nav/category_g_3_t_1.html
Álgebra: http://nlvm.usu.edu/es/nav/
category_g_3_t_2.html
Geometría: http://nlvm.usu.edu/es/nav/
category_g_3_t_3.html http://nlvm.usu.edu/
es/nav/category_g_3_t_4.html
Análisis de Datos y Probabilidad: http://nlvm.usu.
edu/es/nav/category_g_3_t_5.html
Portal Educar Chile: www.educarchile.cl/Portal.Base/
Web/verContenido.aspx?ID=186119
Enlaces: www.catalogored.cl/recursos-educativos-
digitales?nivel_educativo=50&subsector_
basica=65
Eduteka, Portal Educativo, Colombia:
Actividades sugeridas: www.eduteka.org/MI/
master/interactivate/
El enlace genérico de las unidades temáticas
es www.eduteka.org/directorio o bien puede
escoger los enlaces directos:
Números y operaciones: www.eduteka.org/
directorio/index.php?t=sub_pages&cat=362
Geometría: www.eduteka.org/directorio/index.
php?t=sub_pages&cat=363 www.eduteka.org/
Probabilidad y Estadística: www.eduteka.org/
Álgebra: www.eduteka.org/directorio/index.
php?t=sub_pages&cat=366
Bibliografía CRA
A continuación se detallan publicaciones que se puede
encontrar en las bibliotecas de los Centros de Recursos
para el Aprendizaje (CRA) en cada establecimiento:
Unidad 2
VARIOS AUTORES. Juegos de naipes ingleses., s.d.
Unidad 3
VARIOS AUTORES. Tangramas, s.l., s.n., s.f.
VARIOS AUTORES. Sólidos geométricos, Learning Resources.
VARIOS AUTORES. Cubos en base dos. Santiago de Chile,
s.n., s.f.
VARIOS AUTORES. Cuerpos geométricos, s.l., s.n., s.f.
Todas las Unidades
BLUM, Raymond. (2008). Festival de ingenio. Santiago de
Chile: RIL.
COLLANTES, J., PÉREZ, A. (2006). Matecuentos 3: cuentos
con problemas. Madrid: Nivola.
GARDNER, Martin. El idioma de los espías. Santiago de
Chile, RIL.
MOSCOVICH, Ivan. (2006). Imaginación geométrica.
México: La Vasija.
SIERRA I FABRA, Jordi. (2000). El asesinato del profesor
de matemáticas. Madrid: Anaya.
SNAPE, Charles; SCOTT Heather. (2005). ¡Sal si puedes!
México: Limusa.
VARIOS AUTORES. (2007). Apuntes de matemáticas.
Barcelona: Parramón.
VARIOS AUTORES. Calculadora. Dallas, Texas, s.f.
VARIOS AUTORES. (2005). Usa las matemáticas: soluciona
desafíos de la vida real. Madrid: Alfaguara.

92
Anexo 1
Uso flexible de otros instrumentos curriculares
Existe un conjunto de instrumentos curriculares que los docentes pueden utilizar de
manera conjunta y complementaria con el programa de estudio. Estos se pueden usar
de manera flexible para apoyar el diseño e implementación de estrategias didácticas y
para evaluar los aprendizajes.
Mapas de Progreso16
. Ofrecen un marco global para conocer cómo progresan los
aprendizajes clave a lo largo de la escolaridad.
Pueden usarse, entre otras posibilidades, como un apoyo para abordar la diversidad de
aprendizajes que se expresa al interior de un curso, ya que permiten:
› caracterizar los distintos niveles de aprendizaje en los que se encuentran los estu-
diantes de un curso
› reconocer de qué manera deben continuar progresando los aprendizajes de los
grupos de estudiantes que se encuentran en estos distintos niveles
Textos escolares. Desarrollan los Objetivos Fundamentales y los Contenidos Mínimos
Obligatorios para apoyar el trabajo de los alumnos en el aula y fuera de ella, y les en-
tregan explicaciones y actividades para favorecer su aprendizaje y su autoevaluación.
Los docentes también pueden enriquecer la implementación del currículum, haciendo
uso de los recursos entregados por el Mineduc a través de:
› Los Centros de Recursos para el Aprendizaje (CRA) y los materiales impresos,
audiovisuales, digitales y concretos que entregan
› El Programa Enlaces y las herramientas tecnológicas que ha puesto a disposición
de los establecimientos
Orientan sobre la
progresión típica de
los aprendizajes
Apoyan el trabajo
didáctico en el aula
16 En una página describen, en 7 niveles, el crecimiento típico del aprendizaje de los estudian-
tes en un ámbito o eje del sector a lo largo de los 12 años de escolaridad obligatoria. Cada
uno de estos niveles presenta una expectativa de aprendizaje correspondiente a dos años de
escolaridad. Por ejemplo, el Nivel 1 corresponde al logro que se espera para la mayoría de los
niños y niñas al término de 2° básico; el Nivel 2 corresponde al término de 4° básico, y así su-
cesivamente. El Nivel 7 describe el aprendizaje de un alumno que, al egresar de la Educación
Media, es “sobresaliente”; es decir, va más allá de la expectativa para IV medio descrita en el
Nivel 6 en cada mapa.

Anexos
Objetivo Fundamental semestre 1 semestre 2
OF 01
Comprender que los números enteros constituyen un conjunto numérico en el que
es posible resolver problemas que no tienen solución en los números naturales.
unidad1
OF 02
Establecer relaciones de orden entre números enteros, reconocer algunas de sus
propiedades, y efectuar e interpretar adiciones y sustracciones con estos números y
aplicarlas en diversas situaciones.
unidad1
OF 03
Emplear proporciones para representar y resolver situaciones de variación propor-
cional en diversos contextos.
unidad1
OF 04
Interpretar potencias de exponente natural cuya base es un número fraccionario
o decimal positivo y potencias de 10 con exponente entero, conjeturar y verificar
algunas de sus propiedades, utilizando multiplicaciones y divisiones y aplicarlas en
situaciones diversas.
unidad3OF 05
Comprender el significado de la raíz cuadrada de un número entero positivo, calcu-
lar o estimar su valor y establecer su relación con las potencias de exponente dos.
unidad3
OF 06
Resolver problemas en diversos contextos que impliquen plantear y resolver ecua-
ciones de primer grado con una incógnita en el ámbito de los números enteros17
,
fracciones o decimales positivos, identificando términos semejantes y estrategias
para su reducción.
unidad1
OF 07
Construir triángulos a partir de la medida de sus lados y ángulos, caracterizar sus
elementos lineales y comprobar que algunas de sus propiedades son válidas para
casos particulares, en forma manual y usando procesadores geométricos.
unidad2
OF 08
Comprender el teorema de Pitágoras y aplicarlo en situaciones concretas.
unidad3
Anexo 2
Objetivos Fundamentales por semestre y unidad
17 Es importante que las ecuaciones involucradas tengan procesos de resolución que no contemplen la multiplicación y división de
enteros negativos, ya que estas operaciones no corresponden a este nivel.

94
Objetivo Fundamental semestre 1 semestre 2
OF 09
Utilización de estrategias para la obtención del volumen en prismas rectos y pirá-
mides en contextos diversos, expresar los resultados en las unidades de medida
correspondiente y formular y verificar conjeturas, en casos particulares, relativas a
cambios en el perímetro de polígonos y al volumen de dichos cuerpos al variar uno
o más de sus elementos lineales.
unidad3
OF 10
Analizar información presente en diversos tipos de tablas y gráficos, y seleccio-
nar formas de organización y representación de acuerdo a la información que se
quiere analizar.
unidad4
OF 11
Reconocer que la naturaleza y el método de selección de muestras inciden en el
estudio de una población.
unidad4
OF 12
Predecir acerca de la probabilidad de ocurrencia de un evento a partir de resultados
de experimentos aleatorios simples.
unidad4OF 13
Emplear formas simples de modelamiento matemático, aplicar las habilidades pro-
pias del proceso de resolución de problemas en contextos diversos y significativos,
utilizando los contenidos del nivel, y analizar la validez de los procedimientos utiliza-
dos y de los resultados obtenidos fomentando el interés y la capacidad de conocer
la realidad.
unidad1
unidad2
unidad3
unidad4

Anexos
Anexo 3
Contenidos Mínimos Obligatorios por semestre y unidad
Contenidos Mínimos Obligatorios semestre 1 semestre 2
NÚMEROS
CMO 01
Identificación de situaciones que muestran la necesidad de ampliar el conjunto
de los números naturales al conjunto de los números enteros y caracterización de
estos últimos.
unidad1
CMO 02
Interpretación de las operaciones de adición y sustracción en el ámbito de los
números enteros, empleo de procedimientos de cálculo de dichas operaciones,
argumentación en torno al uso del neutro e inverso aditivo y su aplicación en la
resolución de problemas.
unidad1
CMO 03
Representación de números enteros en la recta numérica y determinación de
relaciones de orden entre ellos, considerando comparaciones de enteros negativos
entre sí y de enteros positivos y negativos, utilizando la simbología correspondiente. unidad1
CMO 04
Interpretación de potencias que tienen como base un número natural, una fracción
positiva o un número decimal positivo y como exponente un número natural,
establecimiento y aplicación en situaciones diversas de procedimientos de cálculo
de multiplicación de potencias de igual base o igual exponente, formulación y veri-
ficación de conjeturas relativas a propiedades de las potencias utilizando multiplica-
ciones y divisiones.
unidad3
CMO 05
Caracterización de la raíz cuadrada de un número entero positivo en relación con
potencias de exponente 2, y empleo de procedimientos de cálculo mental de raíces
cuadradas en casos simples o de cálculo, utilizando herramientas tecnológicas, en
situaciones que implican la resolución de problemas.
unidad3
CMO 06
Interpretación de una proporción como una igualdad entre dos razones cuando las
magnitudes involucradas varían en forma proporcional, y su aplicación en diversas
situaciones, por ejemplo, en el cálculo de porcentajes.
unidad1
CMO 07
Elaboración de estrategias de cálculo mental y escrito que implican el uso de
potencias de 10 con exponente entero y su aplicación para representar números
decimales finitos como un producto de un número natural por una potencia de 10
de exponente entero.
unidad3

96
CMO 08
Resolución de problemas en contextos diversos y significativos en los que se utilizan
adiciones y sustracciones con números enteros, proporciones, potencias y raíces
como las estudiadas, enfatizando en aspectos relativos al análisis de las estrategias
de resolución, la evaluación de la validez de dichas estrategias en relación con la
pregunta, los datos y el contexto del problema.
unidad1
unidad3
ÁLGEBRA
CMO 09
Caracterización de expresiones semejantes, reconocimiento de ellas en distintos
contextos y establecimiento de estrategias para reducirlas considerado la elimina-
ción de paréntesis y las propiedades de las operaciones.
unidad1
CMO 10
Traducción de expresiones en lenguaje natural a lenguaje simbólico y viceversa.
unidad1
CMO 11
Resolución de problemas que implican el planteamiento de una ecuación de primer
grado con una incógnita, interpretación de la ecuación como la representación
matemática del problema y de la solución en términos del contexto.
unidad1
GEOMETRÍA
CMO 12
Transporte de segmentos y ángulos, construcción de ángulos y bisectrices de ángu-
los, construcción de rectas paralelas y perpendiculares, mediante regla y compás o
un procesador geométrico.
unidad2
CMO 13
Análisis y discusión de las condiciones necesarias para construir un triángulo a partir
de las medidas de sus lados y de sus ángulos. Determinación del punto de intersec-
ción de las alturas, transversales de gravedad, bisectrices y simetrales18
en un trián-
gulo, mediante construcciones con regla y compás o un procesador geométrico.
unidad2
CMO 14
Verificación, en casos particulares, en forma manual o mediante el uso de un proce-
sador geométrico del teorema de Pitágoras, del teorema recíproco de Pitágoras y su
aplicación en contextos diversos.
unidad3
18 También conocidas como mediatrices.

Anexos
CMO 15
Establecimiento de estrategias para la obtención del volumen de prismas rectos de
base rectangular o triangular y de pirámides, cálculo del volumen en dichos cuerpos
expresando el resultado en milímetros, centímetros y metros cúbicos y aplicación a
situaciones significativas.
unidad3
CMO 16
Formulación de conjeturas relativas a los cambios en el perímetro de polígonos y volu-
men de cuerpos geométricos, al variar la medida de uno o más de sus elementos linea-
les, y verificación, en casos particulares, mediante el uso de un procesador geométrico.
unidad3
DATOS Y AZAR
CMO 17
Análisis de ejemplos de diferentes tipos de tablas y gráficos, argumentando en cada
caso acerca de sus ventajas y desventajas en relación con las variables representa-
das, la relación de dependencia entre estas variables, la información a comunicar y
el tipo de datos involucrado.
unidad4
CMO 18
Establecimiento y aplicación de criterios para la selección del tipo de tablas o gráficos
a emplear para organizar y comunicar información, obtenida desde diversas fuentes, y
construcción de dichas representaciones mediante herramientas tecnológicas. unidad4
CMO 19
Caracterización de la representatividad de una muestra, a partir del tamaño y los
criterios en que esta ha sido seleccionada desde una población. Discusión acerca de
cómo la forma de escoger una muestra afecta las conclusiones relativas a la población.
unidad4
CMO 20
Discusión acerca de la manera en que la naturaleza de la muestra, el método de
selección, y el tamaño de ella, afectan los datos recolectados y las conclusiones
relativas a una población.
unidad4
CMO 21
Predicción con respecto a la probabilidad de ocurrencia de un evento en un experi-
mento aleatorio simple y contrastación de ellas mediante el cálculo de la frecuencia
relativa asociada a dicho evento e interpretación de dicha frecuencia a partir de sus
formatos decimal, como fracción y porcentual.
unidad4

98
Anexo 4
Relación entre Aprendizajes Esperados, Objetivos Fundamentales (OF)
y Contenidos Mínimos Obligatorios (CMO)
Aprendizajes Esperados OF CMO
Unidad 1
Números y álgebra
AE 01 1 1
Identificar problemas que no admiten solución en los números naturales y que
pueden ser resueltos en los números enteros.
AE 02 2 3
Establecer relaciones de orden entre números enteros y ubicarlos en la recta
numérica.
AE 03 2 2
Sumar y restar números enteros e interpretar estas operaciones.
AE 04 2 2
Reconocer propiedades relativas a la adición y sustracción de números enteros y
aplicarlas en cálculos numéricos.
AE 05 3 6
Reconocer una proporción como una igualdad entre dos razones.
AE 06 6 10 - 11
Caracterizar expresiones semejantes y reconocerlas en contextos diversos.
AE 07 6 9
Establecer estrategias para reducir términos semejantes.
AE 08 6 - 13 2 – 6 – 8 - 11
Resolver problemas que impliquen plantear y resolver ecuaciones de primer grado
con una incógnita en el ámbito de los números enteros y fracciones o decimales
positivos, y problemas que involucran proporcionalidad.

Anexos
Unidad 2
Geometría
AE 01 7 12
Construir rectas perpendiculares, paralelas y bisectrices de ángulos, usando regla y
compás o procesadores geométricos.
AE 02 7 13
Comprobar propiedades de alturas, simetrales, bisectrices y transversales de grave-
dad de triángulos, utilizando regla y compás o procesadores geométricos.
AE 03 7 13
Construir triángulos a partir de la medida de sus lados y/o ángulos, usando regla y
compás o procesadores geométricos.
AE 04 7 12
Construir ángulos, utilizando regla y compás o un procesador geométrico.

100
Unidad 3
AE 01 4 4
Interpretar potencias de exponente natural cuya base es un número fraccionario o
decimal positivo.
AE 02 4 7
Interpretar potencias de base 10 y exponente entero.
AE 03 4 4
Conjeturar y verificar algunas propiedades19
de las potencias de base y exponente
natural.
AE 04 4 4
Calcular multiplicaciones y divisiones de potencias de base y exponente natural.
AE 05 4 7
Calcular multiplicaciones y divisiones de potencias de base 10 y exponente entero.
AE 06 5 5
Comprender el significado de la raíz cuadrada de un número entero positivo.
AE 07 5 5
Determinar y estimar el valor de raíces cuadradas.
AE 08 8 14
Comprender el teorema de Pitágoras y el teorema recíproco de Pitágoras.
AE 09 9 15
Utilizar estrategias para obtener el volumen en prismas rectos y pirámides en contex-
tos diversos, y expresar los resultados en las unidades de medida correspondiente.
AE 10 9 16
Formular y verificar conjeturas, en casos particulares, relativas a cambios en el perí-
metro de polígonos al variar uno o más de sus elementos lineales.

Anexos
Unidad 4
Datos y Azar
AE 01 10 17
Analizar información presente en diversos tipos de tablas y gráficos.
AE 02 10 17 - 18
Seleccionar formas de organización y representación de datos de acuerdo al tipo de
AE 03 11 19
Reconocer que la naturaleza y el método de selección de muestras inciden en el
estudio de una población.
AE 04 12 21
Predecir la probabilidad de ocurrencia de eventos a partir de la frecuencia relativa
obtenida en la realización de experimentos aleatorios simples.
AE 11 9 16
Formular y verificar conjeturas, en casos particulares, relativas a cambios en el volu-
men de prismas rectos y pirámides al variar uno o más de sus elementos lineales.
AE 12 4 - 8 - 13 4 – 7 – 8 - 14
Resolver problemas en contextos diversos:
› Aplicando propiedades de las potencias de base y exponente natural, y las poten-
cias de base 10 y exponente entero
› Utilizando el teorema de Pitágoras y el teorema recíproco de Pitágoras

En este programa se utilizaron las tipografías Helvetica Neue
en su variante Bold y Digna (tipografía chilena diseñada por
Rodrigo Ramírez) en todas sus variantes.
Se imprimió en papel Magnomatt (de 130 g para interiores y
250 g para portadas) y se encuadernó en lomo cuadrado, con
costura al hilo y hot melt.

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