![AE 04
Comprender el concepto de 1
variable aleatoria y aplicarlo Describen espacios muestrales de experimentos aleatorios. Por ejemplo,
en diversas situaciones que describen el espacio muestral que resulta al lanzar cuatro monedas.
involucran experimentos
aleatorios. 2
Asignan valores numéricos a cada punto de un espacio muestral. Por
ejemplo, asignan valores numéricos a cada punto (a, b) de un espacio
muestral S que resulta del lanzamiento de dos dados.
! Observaciones al docente: El docente debe cerciorarse de que la regla para
asignar valores numéricos a cada punto del espacio muestral sea fácil de
seguir. En el caso de la actividad propuesta, sería fácil asignar a cada punto
(a, b) el mínimo entre a y b. De esta manera (2, 5) 2, (1, 6) 1.
3
Caracterizan una variable aleatoria de un espacio muestral de un
experimento.
! Observaciones al docente: Es importante que el profesor trabaje con
sus estudiantes en esta caracterización y los guíe para que concluyan, por
ejemplo, que una de las características de una variable aleatoria es que
todas las preimágenes de cada intervalo de los números reales es un suceso
del espacio muestral.
4
Verifican que la función X : S R es una variable aleatoria, donde S es el
espacio muestral del experimento (que consiste en lanzar cinco veces una
moneda) y X (A1 A2 A3 A4 A5), con Ai cara o sello, corresponde al número
de caras que salen.
5
Al tirar un par de dados, los estudiantes determinan:
› el espacio muestral S
› X (1,5)
› X (6,3)
donde X es la variable aleatoria que asigna a cada punto (a, b) de S la
suma de los números; es decir, X(a, b) = a + b
6
Determinan el conjunto de pares ordenados [(x i ), f (x i )], donde f es la fun-
ción que asigna probabilidades a los puntos del conjunto del recorrido de
la variable aleatoria X : {x 1, x 2, ... x n } ; es decir, f ( x k ) P ( X = x k ), y repre-
sentan el gráfico de probabilidad de la variable aleatoria en un diagrama
de barras o histograma. Por ejemplo, en el lanzamiento de una moneda
tres veces, donde X es la variable aleatoria que asigna a cada punto del
espacio muestral:
S = {CCC, CCS, CSC, CSS, SCC, SCS, SSC, SSS}
El número de sellos que resultan representa el gráfico de probabilidad de
X en un diagrama de barras o en un histograma.
Segundo Año Medio / Matemática 85
Unidad 4](https://image.slidesharecdn.com/matematica2mweb-130331183136-phpapp01/85/PROGRAMA-DE-ESTUDIO-SEGUNDO-ANO-MEDIO-MATEMATICA-89-320.jpg)
PROGRAMA DE ESTUDIO SEGUNDO AÑO MEDIO MATEMÁTICA
- 1. Matemática Programa de Estudio Segundo Año Medio Ministerio de Educación
- 4. IMPORTANTE En el presente documento, se utilizan de manera inclusiva los términos como “el docente”, “el estudiante”, “el profesor”, “el alumno”, “el compañero” y sus respectivos plurales (así como otras palabras equivalentes en el contexto educativo); es decir, se refieren a hombres y mujeres. Esta opción obedece a que no existe acuerdo universal respecto de cómo evitar la discriminación de géneros en el idioma español, salvo usando “o/a”, “los/las” y otras similares para referirse a ambos sexos en conjunto, y ese tipo de fórmulas supone una saturación gráfica que puede dificultar la comprensión de la lectura.
- 5. Matemática Programa de Estudio Segundo Año Medio Ministerio de Educación
- 7. Estimados profesores y profesoras: La entrega de nuevos programas es una buena ocasión para reflexionar acerca de los desafíos que enfrentamos hoy como educadores en nuestro país. La escuela tiene por objeto permitir a todos los niños de Chile acceder a una vida plena, ayudándolos a alcanzar un desarrollo integral que comprende los aspectos espiritual, ético, moral, afectivo, intelectual, artístico y físico. Es decir, se aspira a lograr un conjunto de aprendizajes cognitivos y no cognitivos que permitan a los alumnos enfrentar su vida de la mejor forma posible. Los presentes Programas de Estudio, aprobados por el Consejo Nacional de Educación, buscan efectivamente abrir el mundo a nuestros niños, con un fuerte énfasis en las herramientas clave, como la lectura, la escritura y el razona- miento matemático. El manejo de estas habilidades de forma transversal a todos los ámbitos, escolares y no escolares, contribuye directamente a disminuir las brechas existentes y garantizan a los alumnos una trayectoria de aprendizaje continuo más allá de la escuela. Asimismo, el acceso a la comprensión de su pasado y su presente, y del mundo que los rodea, constituye el fundamento para reafirmar la confianza en sí mismos, actuar de acuerdo a valores y normas de convivencia cívica, conocer y respetar deberes y derechos, asumir compromisos y diseñar proyectos de vida que impliquen actuar responsablemente sobre su entorno social y natural. Los presentes Programas de Estudio son la concreción de estas ideas y se enfocan a su logro. Sabemos que incrementar el aprendizaje de todos nuestros alumnos requiere mucho trabajo; llamamos a nuestros profesores a renovar su compromiso con esta tarea y también a enseñar a sus estudiantes que el esfuerzo personal, realizado en forma sostenida y persistente, es la mejor garantía para lograr éxito en lo que nos proponemos. Pedimos a los alumnos que estudien con intensidad, dedicación, ganas de aprender y de formarse hacia el futuro. A los padres y apoderados los animamos a acompañar a sus hijos en las actividades escolares, a comprometerse con su estableci- miento educacional y a exigir un buen nivel de enseñaza. Estamos convencidos de que una educación de verdad se juega en la sala de clases y con el compromiso de todos los actores del sistema escolar. A todos los invitamos a estudiar y conocer en profundidad estos Programas de Estudio, y a involucrarse de forma opti- mista en las tareas que estos proponen. Con el apoyo de ustedes, estamos seguros de lograr una educación de mayor calidad y equidad para todos nuestros niños. Felipe Bulnes Serrano Ministro de Educación de Chile
- 8. Matemática Programa de Estudio para Segundo Año Medio Unidad de Currículum y Evaluación ISBN 978-956-292-327-9 Ministerio de Educación, República de Chile Alameda 1371, Santiago Primera Edición: 2011
- 9. Índice Presentación 6 Nociones Básicas 8 Aprendizajes como integración de conocimientos, habilidades y actitudes 10 Objetivos Fundamentales Transversales 11 Mapas de Progreso Consideraciones Generales para Implementar el Programa 13 16 Orientaciones para planificar 19 Orientaciones para evaluar Matemática 24 Propósitos 25 Habilidades 26 Orientaciones didácticas Visión Global del Año 28 Aprendizajes Esperados por semestre y unidad Unidades 31 Semestre 1 33 Unidad 1 Números 49 Unidad 2 Geometría Semestre 2 61 Unidad 3 Álgebra 79 Unidad 4 Datos y azar Bibliografía 91 Anexos 97 Segundo Año Medio / Matemática
- 10. Presentación El programa es una El programa de estudio ofrece una propuesta para organizar y orientar el trabajo propuesta para lograr los pedagógico del año escolar. Esta propuesta pretende promover el logro de los Objetivos Fundamentales Objetivos Fundamentales (OF) y el desarrollo de los Contenidos Mínimos Obliga- y los Contenidos torios (CMO) que define el Marco Curricular1. Mínimos Obligatorios La ley dispone que cada establecimiento puede elaborar sus propios programas de estudio, previa aprobación de los mismos por parte del Mineduc. El presen- te programa constituye una propuesta para aquellos establecimientos que no cuentan con programas propios. Los principales componentes que conforman la propuesta del programa son: › una especificación de los aprendizajes que se deben lograr para alcanzar los OF y los CMO del Marco Curricular, lo que se expresa a través de los Aprendi- zajes Esperados2 › una organización temporal de estos aprendizajes en semestres y unidades › una propuesta de actividades de aprendizaje y de evaluación, a modo de sugerencia Además, se presenta un conjunto de elementos para orientar el trabajo pedagó- gico que se realiza a partir del programa y para promover el logro de los objetivos que este propone. Este programa de estudio incluye: › Nociones básicas. Esta sección presenta conceptos fundamentales que es- tán en la base del Marco Curricular y, a la vez, ofrece una visión general acerca de la función de los Mapas de Progreso › Consideraciones generales para implementar el programa. Consisten en orientaciones relevantes para trabajar con el programa y organizar el tra- bajo en torno a él 1 Decretos supremos 254 y 256 de 2009 2 En algunos casos, estos aprendizajes están formulados en los mismos términos que al- gunos de los OF del Marco Curricular. Esto ocurre cuando esos OF se pueden desarrollar íntegramente en una misma unidad de tiempo, sin que sea necesario su desglose en definiciones más específicas. 6
- 11. › Propósitos, habilidades y orientaciones didácticas. Esta sección presenta sintéticamente los propósitos y sentidos sobre los que se articulan los aprendi- zajes del sector y las habilidades a desarrollar. También entrega algunas orien- taciones pedagógicas importantes para implementar el programa en el sector › Visión global del año. Presenta todos los Aprendizajes Esperados que se debe desarrollar durante el año, organizados de acuerdo a unidades › Unidades. Junto con especificar los Aprendizajes Esperados propios de la unidad, incluyen indicadores de evaluación y sugerencias de actividades que apoyan y orientan el trabajo destinado a promover estos aprendizajes3 › Instrumentos y ejemplos de evaluación. Ilustran formas de apreciar el lo- gro de los Aprendizajes Esperados y presentan diversas estrategias que pue- den usarse para este fin › Material de apoyo sugerido. Se trata de recursos bibliográficos y electró- nicos que pueden emplearse para promover los aprendizajes del sector; se distingue entre los que sirven al docente y los destinados a los estudiantes 3 Relaciones interdisciplinarias. En algunos casos las actividades relacionan dos o más sectores y se simbolizan con Segundo Año Medio / Matemática 7 Presentación
- 12. Nociones Básicas Aprendizajes como integración de conocimientos, habilidades y actitudes Habilidades, Los aprendizajes que promueven el Marco Curricular y los programas de estu- conocimientos dio apuntan a un desarrollo integral de los estudiantes. Para tales efectos, esos y actitudes… aprendizajes involucran tanto los conocimientos propios de la disciplina como las habilidades y actitudes. …movilizados para Se busca que los estudiantes pongan en juego estos conocimientos, habilidades enfrentar diversas y actitudes para enfrentar diversos desafíos, tanto en el contexto del sector de situaciones y desafíos… aprendizaje como al desenvolverse en su entorno. Esto supone orientarlos hacia el logro de competencias, entendidas como la movilización de dichos elementos para realizar de manera efectiva una acción determinada. …y que se desarrollan Se trata una noción de aprendizaje de acuerdo con la cual los conocimientos, de manera integrada las habilidades y las actitudes se desarrollan de manera integrada y, a la vez, se enriquecen y potencian de forma recíproca. Deben promoverse de Las habilidades, los conocimientos y las actitudes no se adquieren espontánea- manera sistemática mente al estudiar las disciplinas. Necesitan promoverse de manera metódica y estar explícitas en los propósitos que articulan el trabajo de los docentes. Habilidades Son importantes, porque… Son fundamentales en …el aprendizaje involucra no solo el saber, sino también el saber hacer. Por otra el actual contexto social parte, la continua expansión y la creciente complejidad del conocimiento de- mandan cada vez más capacidades de pensamiento que permitan, entre otros aspectos, usar la información de manera apropiada y rigurosa, examinar críti- camente las diversas fuentes de información disponibles y adquirir y generar nuevos conocimientos. Esta situación hace relevante la promoción de diversas habilidades, como re- solver problemas, formular conjeturas, realizar cálculos en forma mental y es- crita y verificar proposiciones simples, entre otras. Se deben desarrollar de manera integrada, porque… Permiten poner en juego …sin esas habilidades, los conocimientos y conceptos que puedan adquirir los alum- los conocimientos nos resultan elementos inertes; es decir, elementos que no pueden poner en juego para comprender y enfrentar las diversas situaciones a las que se ven expuestos. 8
- 13. Conocimientos Son importantes, porque… …los conceptos de las disciplinas o sectores de aprendizaje enriquecen la com- Enriquecen la prensión de los estudiantes sobre los fenómenos que les toca enfrentar. Les per- comprensión y la miten relacionarse con el entorno, utilizando nociones complejas y profundas relación con el entorno que complementan, de manera crucial, el saber que han obtenido por medio del sentido común y la experiencia cotidiana. Además, estos conceptos son funda- mentales para que los alumnos construyan nuevos aprendizajes. Por ejemplo, si se observa una información en un diario que contenga datos re- presentados en tablas o gráficos, el estudiante utiliza sus conocimientos sobre estadística para interpretar a esa información. Los conocimientos previos le capa- citan para predecir sobre lo que va a leer para luego verificar sus predicciones en la medida que entiende la información y así construir este nuevo conocimiento. Se deben desarrollar de manera integrada, porque… …son una condición para el progreso de las habilidades. Ellas no se desarrollan en Son una base para el un vacío, sino sobre la base de ciertos conceptos o conocimientos. desarrollo de habilidades Actitudes Son importantes, porque… …los aprendizajes no involucran únicamente la dimensión cognitiva. Siempre Están involucradas en están asociados con las actitudes y disposiciones de los alumnos. Entre los pro- los propósitos formativos pósitos establecidos para la educación, se contempla el desarrollo en los ámbitos de la educación personal, social, ético y ciudadano. Ellos incluyen aspectos de carácter afectivo y, a la vez, ciertas disposiciones. A modo de ejemplo, los aprendizajes de Matemática involucran actitudes como perseverancia, rigor, flexibilidad y originalidad al resolver problemas matemá- ticos, trabajo en equipo e iniciativa personal en la resolución de problemas en contextos diversos y respeto por ideas distintas a las propias. Se deben enseñar de manera integrada, porque… …en muchos casos requieren de los conocimientos y las habilidades para su de- Son enriquecidas por sarrollo. Esos conocimientos y habilidades entregan herramientas para elaborar los conocimientos juicios informados, analizar críticamente diversas circunstancias y contrastar cri- y las habilidades terios y decisiones, entre otros aspectos involucrados en este proceso. Segundo Año Medio / Matemática 9 Nociones Básicas
- 14. Orientan la forma de A la vez, las actitudes orientan el sentido y el uso que cada alumno otorgue a los usar los conocimientos conocimientos y las habilidades adquiridos. Son, por lo tanto, un antecedente y las habilidades necesario para usar constructivamente estos elementos. Objetivos Fundamentales Transversales (oft) Son propósitos Son aprendizajes que tienen un carácter comprensivo y general, y apuntan al generales definidos desarrollo personal, ético, social e intelectual de los estudiantes. Forman parte en el currículum… constitutiva del currículum nacional y, por lo tanto, los establecimientos deben asumir la tarea de promover su logro. …que deben Los OFT no se logran a través de un sector de aprendizaje en particular; conse- promoverse en toda la guirlos depende del conjunto del currículum. Deben promoverse a través de las experiencia escolar diversas disciplinas y en las distintas dimensiones del quehacer educativo (por ejemplo, por medio del proyecto educativo institucional, la práctica docente, el clima organizacional, la disciplina o las ceremonias escolares). Integran conocimientos, No se trata de objetivos que incluyan únicamente actitudes y valores. Supone habilidades y actitudes integrar esos aspectos con el desarrollo de conocimientos y habilidades. Se organizan en A partir de la actualización al Marco Curricular realizada el año 2009, estos ob- una matriz común jetivos se organizaron bajo un esquema común para la Educación Básica y la para educación Educación Media. De acuerdo con este esquema, los Objetivos Fundamentales básica y media Transversales se agrupan en cinco ámbitos: crecimiento y autoafirmación per- sonal, desarrollo del pensamiento, formación ética, la persona y su entorno y tecnologías de la información y la comunicación. 10
- 15. Mapas de Progreso Son descripciones generales que señalan cómo progresan habitualmente los Describen aprendizajes en las áreas clave de un sector determinado. Se trata de formu- sintéticamente laciones sintéticas que se centran en los aspectos esenciales de cada sector. A cómo progresa el partir de esto, ofrecen una visión panorámica sobre la progresión del aprendizaje aprendizaje… en los doce años de escolaridad4. Los Mapas de Progreso no establecen aprendizajes adicionales a los definidos en …de manera el Marco Curricular y los programas de estudio. El avance que describen expresa congruente con el de manera más gruesa y sintética los aprendizajes que esos dos instrumentos Marco Curricular y los establecen y, por lo tanto, se inscribe dentro de lo que se plantea en ellos. Su programas de estudio particularidad consiste en que entregan una visión de conjunto sobre la progre- sión esperada en todo el sector de aprendizaje. ¿Qué utilidad tienen los Mapas de Progreso para el trabajo de los docentes? Pueden ser un apoyo importante para definir objetivos adecuados y para evaluar Sirven de apoyo para (ver las Orientaciones para Planificar y las Orientaciones para Evaluar que se planificar y evaluar… presentan en el programa). Además, son un referente útil para atender a la diversidad de estudiantes dentro del aula: › permiten más que simplemente constatar que existen distintos niveles de …y para atender aprendizaje dentro de un mismo curso. Si se usan para analizar los desempe- la diversidad al ños de los estudiantes, ayudan a caracterizar e identificar con mayor precisión interior del curso en qué consisten esas diferencias › la progresión que describen permite reconocer cómo orientar los aprendiza- jes de los distintos grupos del mismo curso; es decir, de aquellos que no han conseguido el nivel esperado y de aquellos que ya lo alcanzaron o lo superaron › expresan el progreso del aprendizaje en un área clave del sector, de manera sintética y alineada con el Marco Curricular 4 Los Mapas de Progreso describen en siete niveles el crecimiento habitual del apren- dizaje de los estudiantes en un ámbito o eje del sector. Cada uno de estos niveles presenta una expectativa de aprendizaje correspondiente a dos años de escolaridad. Por ejemplo, el Nivel 1 corresponde al logro que se espera para la mayoría de los niños y niñas al término de 2° básico; el Nivel 2 corresponde al término de 4° básico, y así sucesivamente. El Nivel 7 describe el aprendizaje de un alumno o alumna que, al egresar de la Educación Media, es “sobresaliente”, es decir, va más allá de la expectativa para IV medio que describe el Nivel 6 en cada mapa. Segundo Año Medio / Matemática 11 Nociones Básicas
- 16. Relación entre Mapa de Progreso, Programa de Estudio y Marco Curricular Marco Curricular Prescribe los Objetivos Fundamentales y los Contenidos Mínimos obligatorios que todos los estudiantes deben lograr. Ejemplo: Objetivo Fundamental II medio Utilizar los números reales en la resolución de problemas, ubicarlos en la recta numérica, demostrar algunas de sus propiedades y realizar aproximaciones. Contenido Mínimo Obligatorio Aproximación del valor de un número irracional por defecto, por exceso y por redondeo. Mapa de progreso Entrega una visión sintética del progreso del aprendizaje en un área clave del sector, y se ajusta a las expectativas del Programa de estudio Marco Curricular. Orienta la labor pedagógica, esta- bleciendo Aprendizajes Esperados que dan cuenta de los Objetivos Ejemplo: Fundamentales y Contenidos Mapa de Progreso Números y Operaciones Mínimos, y los organiza temporal- Nivel 7 Comprende los diferentes conjuntos… mente a través de unidades. Nivel 6 Reconoce los números complejos como... Nivel 5 Reconoce a los números racionales como un conjunto numérico en el que es posible resolver problemas Ejemplo: que no admiten solución en los enteros, a los irracionales Aprendizaje Esperado II medio como un conjunto numérico en el que es posible resolver Describir las características problemas que no admiten solución en los racionales, y propias de una población y los a los reales como la unión entre racionales e irracionales. factores que la regulan. Interpreta potencias de base racional y exponente racional, raíces enésimas y logaritmos; establece relaciones entre ellos y los utiliza para resolver diversos problemas. Realiza operatoria con números reales, calcula potencias, raíces y logaritmos y los aplica en diversos contextos. Resuelve problemas, utilizando estrategias que implican descompo- ner un problema o situaciones propuestas en partes o sub- problemas. Argumenta sus estrategias o procedimientos y utiliza ejemplos y contraejemplos para verificar la validez o falsedad de conjeturas. Nivel 4 Reconoce a los números enteros como… Nivel 3 Reconoce que los números naturales… Nivel 2 Utiliza los números naturales hasta 1.000.000… Nivel 1 Utiliza los números naturales hasta 1.000… 12
- 17. Consideraciones Generales para Implementar el Programa Las orientaciones que se presentan a continuación destacan algunos elementos La lectura, la escritura relevantes al momento de implementar el programa. Algunas de estas orien- y la comunicación oral taciones se vinculan estrechamente con algunos de los OFT contemplados en deben promoverse en el currículum. los distintos sectores de aprendizaje Uso del lenguaje Los docentes deben promover el ejercicio de la comunicación oral, la lectura y la escritura como parte constitutiva del trabajo pedagógico correspondiente a cada sector de aprendizaje. Esto se justifica, porque las habilidades de comunicación son herramientas fun- Estas habilidades se damentales que los estudiantes deben emplear para alcanzar los aprendizajes pueden promover propios de cada sector. Se trata de habilidades que no se desarrollan únicamente de diversas formas en el contexto del sector Lenguaje y Comunicación, sino que se consolidan a tra- vés del ejercicio en diversos espacios y en torno a distintos temas y, por lo tanto, involucran los otros sectores de aprendizaje del currículum. Al momento de recurrir a la lectura, la escritura y la comunicación oral, los do- centes deben procurar: Lectura › la lectura de distintos tipos de textos relevantes para el sector (textos informa- tivos propios del sector, textos periodísticos y narrativos, tablas y gráficos) › la lectura de textos de creciente complejidad en los que se utilicen conceptos especializados del sector › la identificación de las ideas principales y la localización de información relevante › la realización de resúmenes y la síntesis de las ideas y argumentos presenta- dos en los textos › la búsqueda de información en fuentes escritas, discriminándola y seleccio- nándola de acuerdo a su pertinencia › la comprensión y el dominio de nuevos conceptos y palabras Escritura › la escritura de textos de diversa extensión y complejidad (por ejemplo, repor- tes, ensayos, descripciones, respuestas breves) › la organización y presentación de información a través de esquemas o tablas › la presentación de las ideas de una manera coherente y clara › el uso apropiado del vocabulario en los textos escritos › el uso correcto de la gramática y de la ortografía Segundo Año Medio / Matemática 13 Consideraciones Generales para Implementar el Programa
- 18. Comunicación oral › la capacidad de exponer ante otras personas › la expresión de ideas y conocimientos de manera organizada › el desarrollo de la argumentación al formular ideas y opiniones › el uso del lenguaje con niveles crecientes de precisión, incorporando los conceptos propios del sector › el planteamiento de preguntas para expresar dudas e inquietudes y para superar dificultades de comprensión › la disposición para escuchar información de manera oral, manteniendo la atención durante el tiempo requerido › la interacción con otras personas para intercambiar ideas, analizar informa- ción y elaborar conexiones en relación con un tema en particular, compartir puntos de vista y lograr acuerdos Uso de las Tecnologías de la Información y la Comunicación (tics) Debe impulsarse El desarrollo de las capacidades para utilizar las Tecnologías de la Información el uso de las TICs a y la Comunicación (TICs) está contemplado de manera explícita como uno de través de los sectores los Objetivos Fundamentales Transversales del Marco Curricular. Esto demanda de aprendizaje que el dominio y uso de estas tecnologías se promueva de manera integrada al trabajo que se realiza al interior de los sectores de aprendizaje. Para esto, se debe procurar que la labor de los estudiantes incluya el uso de las TICs para: Se puede recurrir › buscar, acceder y recolectar información en páginas web u otras fuentes, y a diversas formas seleccionar esta información, examinando críticamente su relevancia y calidad de utilización de › procesar y organizar datos, utilizando plantillas de cálculo, y manipular la in- estas tecnologías formación sistematizada en ellas para identificar tendencias, regularidades y patrones relativos a los fenómenos estudiados en el sector › desarrollar y presentar información a través del uso de procesadores de texto, plantillas de presentación (power point) y herramientas y aplicaciones de ima- gen, audio y video › intercambiar información a través de las herramientas que ofrece internet, como correo electrónico, chat, espacios interactivos en sitios web o comuni- dades virtuales › respetar y asumir consideraciones éticas en el uso de las TICs, como el cuidado personal y el respeto por el otro, señalar las fuentes de donde se obtiene la información y respetar las normas de uso y de seguridad de los espacios virtuales 14
- 19. Atención a la diversidad En el trabajo pedagógico, el docente debe tomar en cuenta la diversidad entre La diversidad los estudiantes en términos culturales, sociales, étnicos o religiosos, y respecto entre estudiantes de estilos de aprendizaje y niveles de conocimiento. establece desafíos que deben tomarse Esa diversidad conlleva desafíos que los profesores tienen que contemplar. Entre en consideración ellos, cabe señalar: › promover el respeto a cada uno de los estudiantes, en un contexto de toleran- cia y apertura, evitando las distintas formas de discriminación › procurar que los aprendizajes se desarrollen en relación con el contexto y la realidad de los estudiantes › intentar que todos los alumnos logren los objetivos de aprendizaje señalados en el currículum, pese a la diversidad que se manifiesta entre ellos Atención a la diversidad y promoción de aprendizajes Se debe tener en cuenta que atender a la diversidad de estilos y ritmos de aprendizaje no implica “expectativas más bajas” para algunos estudiantes. Por el contrario, la necesidad de educar en forma diferenciada aparece al constatar que hay que reconocer los requerimientos didácticos personales de los alumnos, para que todos alcancen altas expectativas. Se aspira a que todos los estudiantes alcancen los aprendizajes dispuestos para su nivel o grado. En atención a lo anterior, es conveniente que, al momento de diseñar el traba- Es necesario atender jo en una unidad, el docente considere que precisarán más tiempo o métodos a la diversidad para diferentes para que algunos estudiantes logren estos aprendizajes. Para esto, que todos logren debe desarrollar una planificación inteligente que genere las condiciones que los aprendizajes le permitan: › conocer los diferentes niveles de aprendizaje y conocimientos previos de Esto demanda conocer los estudiantes qué saben y, sobre › evaluar y diagnosticar en forma permanente para reconocer las necesidades esa base, definir con de aprendizaje flexibilidad las diversas › definir la excelencia, considerando el progreso individual como punto de partida medidas pertinentes › incluir combinaciones didácticas (agrupamientos, trabajo grupal, rincones) y materiales diversos (visuales, objetos manipulables) › evaluar de distintas maneras a los alumnos y dar tareas con múltiples opciones › promover la confianza de los alumnos en sí mismos › promover un trabajo sistemático por parte de los estudiantes y ejercitación abundante Segundo Año Medio / Matemática 15 Consideraciones Generales para Implementar el Programa
- 20. Orientaciones para planificar La planificación La planificación es un elemento central en el esfuerzo por promover y garantizar los favorece el logro de aprendizajes de los estudiantes. Permite maximizar el uso del tiempo y definir los los aprendizajes procesos y recursos necesarios para lograr los aprendizajes que se debe alcanzar. El programa sirve de Los programas de estudio del Ministerio de Educación constituyen una herra- apoyo a la planificación mienta de apoyo al proceso de planificación. Para estos efectos, han sido elabo- a través de un conjunto rados como un material flexible que los profesores pueden adaptar a su realidad de elementos elaborados en los distintos contextos educativos del país. para este fin El principal referente que entrega el programa de estudio para planificar son los Aprendizajes Esperados. De manera adicional, el programa apoya la pla- nificación a través de la propuesta de unidades, de la estimación del tiempo cronológico requerido en cada una y de la sugerencia de actividades para de- sarrollar los aprendizajes. Consideraciones generales para realizar la planificación Se debe planificar La planificación es un proceso que se recomienda realizar, considerando los tomando en cuenta la siguientes aspectos: diversidad, el tiempo real, › la diversidad de niveles de aprendizaje que han alcanzado los estudiantes las prácticas anteriores y del curso, lo que implica planificar considerando desafíos para los distintos los recursos disponibles grupos de alumnos › el tiempo real con que se cuenta, de manera de optimizar el tiempo disponible › las prácticas pedagógicas que han dado resultados satisfactorios › los recursos para el aprendizaje con que se cuenta: textos escolares, materia- les didácticos, recursos elaborados por la escuela o aquellos que es necesa- rio diseñar; laboratorio y materiales disponibles en el Centro de Recursos de Aprendizaje (CRA), entre otros Sugerencias para el proceso de planificación Lograr una visión lo más Para que la planificación efectivamente ayude al logro de los aprendizajes, debe clara y concreta posible estar centrada en torno a ellos y desarrollarse a partir de una visión clara de lo sobre los desempeños que los alumnos deben aprender. Para alcanzar este objetivo, se recomienda que dan cuenta de elaborar la planificación en los siguientes términos: los aprendizajes… › comenzar por una especificación de los Aprendizajes Esperados que no se limite a listarlos. Una vez identificados, es necesario desarrollar una idea lo más clara posible de las expresiones concretas que puedan tener. Esto im- plica reconocer qué desempeños de los estudiantes demuestran el logro de los aprendizajes. Se deben poder responder preguntas como ¿qué deberían 16
- 21. ser capaces de demostrar los estudiantes que han logrado un determinado Aprendizaje Esperado?, ¿qué habría que observar para saber que un aprendi- zaje ha sido logrado? › a partir de las respuestas a esas preguntas, decidir las evaluaciones a realizar …y, sobre esa base, y las estrategias de enseñanza. Específicamente, se requiere identificar qué decidir las evaluaciones, tarea de evaluación es más pertinente para observar el desempeño espera- las estrategias de do y qué modalidades de enseñanza facilitarán alcanzar este desempeño. De enseñanza y la acuerdo a este proceso, se debe definir las evaluaciones formativas y sumati- distribución temporal vas, las actividades de enseñanza y las instancias de retroalimentación Los docentes pueden complementar los programas con los Mapas de Progreso, que entregan elementos útiles para reconocer el tipo de desempeño asociado a los aprendizajes. Se sugiere que la forma de plantear la planificación arriba propuesta se use tanto en la planificación anual como en la correspondiente a cada unidad y al plan de cada clase. La planificación anual En este proceso, el docente debe distribuir los Aprendizajes Esperados a lo largo del año escolar, considerando su organización por unidades; estimar el tiempo que se requerirá para cada unidad y priorizar las acciones que conducirán a lo- gros académicos significativos. Para esto, el docente tiene que: › alcanzar una visión sintética del conjunto de aprendizajes a lograr duran- Realizar este te el año, dimensionando el tipo de cambio que se debe observar en los proceso con una estudiantes. Esto debe desarrollarse a partir de los Aprendizajes Esperados visión realista de los especificados en los programas. Los Mapas de Progreso pueden resultar un tiempos disponibles apoyo importante durante el año › identificar, en términos generales, el tipo de evaluación que se requerirá para verificar el logro de los aprendizajes. Esto permitirá desarrollar una idea de las demandas y los requerimientos a considerar para cada unidad › sobre la base de esta visión, asignar los tiempos a destinar a cada unidad. Para que esta distribución resulte lo más realista posible, se recomienda: - listar días del año y horas de clase por semana para estimar el tiempo disponible - elaborar una calendarización tentativa de los Aprendizajes Esperados para el año completo, considerando los feriados, los días de prueba y de repaso, y la realización de evaluaciones formativas y retroalimentación - hacer una planificación gruesa de las actividades a partir de la calendarización - ajustar permanentemente la calendarización o las actividades planificadas Segundo Año Medio / Matemática 17 Consideraciones Generales para Implementar el Programa
- 22. La planificación de la unidad Realizar este proceso Implica tomar decisiones más precisas sobre qué enseñar y cómo enseñar, con- sin perder de vista la siderando la necesidad de ajustarlas a los tiempos asignados a la unidad. meta de aprendizaje de la unidad La planificación de la unidad debiera seguir los siguientes pasos: › especificar la meta de la unidad. Al igual que la planificación anual, esta visión debe sustentarse en los Aprendizajes Esperados de la unidad y se recomienda complementarla con los Mapas de Progreso › crear una evaluación sumativa para la unidad › idear una herramienta de diagnóstico de comienzos de la unidad › calendarizar los Aprendizajes Esperados por semana › establecer las actividades de enseñanza que se desarrollarán › generar un sistema de seguimiento de los Aprendizajes Esperados, especifi- cando los tiempos y las herramientas para realizar evaluaciones formativas y retroalimentación › ajustar el plan continuamente ante los requerimientos de los estudiantes La planificación de clase Procurar que los Es imprescindible que cada clase sea diseñada considerando que todas sus par- estudiantes sepan qué y tes estén alineadas con los Aprendizajes Esperados que se busca promover y con por qué van a aprender, la evaluación que se utilizará. qué aprendieron y de qué manera Adicionalmente, se recomienda que cada clase sea diseñada distinguiendo su inicio, desarrollo y cierre y especificando claramente qué elementos se con- siderarán en cada una de estas partes. Se requiere considerar aspectos como los siguientes: › inicio: en esta fase, se debe procurar que los estudiantes conozcan el propó- sito de la clase; es decir, qué se espera que aprendan. A la vez, se debe buscar captar el interés de los estudiantes y que visualicen cómo se relaciona lo que aprenderán con lo que ya saben y con las clases anteriores › desarrollo: en esta etapa, el docente lleva a cabo la actividad contemplada para la clase › cierre: este momento puede ser breve (5 a 10 minutos), pero es central. En él se debe procurar que los estudiantes se formen una visión acerca de qué aprendieron y cuál es la utilidad de las estrategias y experiencias desarrolladas para promover su aprendizaje. 18
- 23. Orientaciones para evaluar La evaluación forma parte constitutiva del proceso de enseñanza. No se debe Apoya el proceso usar solo como un medio para controlar qué saben los estudiantes, sino que de aprendizaje al cumple un rol central en la promoción y el desarrollo del aprendizaje. Para que permitir su monitoreo, cumpla efectivamente con esta función, debe tener como objetivos: retroalimentar a los › ser un recurso para medir progreso en el logro de los aprendizajes estudiantes y sustentar › proporcionar información que permita conocer fortalezas y debilidades de los la planificación alumnos y, sobre esa base, retroalimentar la enseñanza y potenciar los logros esperados dentro del sector › ser una herramienta útil para la planificación ¿Cómo promover el aprendizaje a través de la evaluación? Las evaluaciones adquieren su mayor potencial para promover el aprendizaje si se llevan a cabo considerando lo siguiente: › informar a los alumnos sobre los aprendizajes que se evaluarán. Esto facilita que Explicitar qué se evaluará puedan orientar su actividad hacia conseguir los aprendizajes que deben lograr › elaborar juicios sobre el grado en que se logran los aprendizajes que se bus- Identificar logros ca alcanzar, fundados en el análisis de los desempeños de los estudiantes. Las y debilidades evaluaciones entregan información para conocer sus fortalezas y debilidades. El análisis de esta información permite tomar decisiones para mejorar los resulta- dos alcanzados › retroalimentar a los alumnos sobre sus fortalezas y debilidades. Compartir esta Ofrecer retroalimentación información con los estudiantes permite orientarlos acerca de los pasos que debe seguir para avanzar. También da la posibilidad de desarrollar procesos metacognitivos y reflexivos destinados a favorecer sus propios aprendizajes; a su vez, esto facilita involucrarse y comprometerse con ellos ¿Cómo se pueden articular los Mapas de Progreso del Aprendizaje con la evaluación? Los Mapas de Progreso ponen a disposición de las escuelas de todo el país un Los mapas apoyan mismo referente para observar el desarrollo del aprendizaje de los alumnos y diversos aspectos del los ubican en un continuo de progreso. Los Mapas de Progreso apoyan el segui- proceso de evaluación miento de los aprendizajes, en tanto permiten: › reconocer aquellos aspectos y dimensiones esenciales de evaluar › aclarar la expectativa de aprendizaje nacional, al conocer la descripción de cada nivel, sus ejemplos de desempeño y el trabajo concreto de estudiantes que ilustran esta expectativa Segundo Año Medio / Matemática 19 Consideraciones Generales para Implementar el Programa
- 24. › observar el desarrollo, la progresión o el crecimiento de las competencias de un alumno, al constatar cómo sus desempeños se van desplazando en el mapa › contar con modelos de tareas y preguntas que permitan a cada alumno evi- denciar sus aprendizajes ¿Cómo diseñar la evaluación? La evaluación debe diseñarse a partir de los Aprendizajes Esperados, con el obje- to de observar en qué grado se alcanzan. Para lograrlo, se recomienda diseñar la evaluación junto a la planificación y considerar las siguientes preguntas: Partir estableciendo › ¿Cuáles son los Aprendizajes Esperados del programa que abarcará la los Aprendizajes evaluación? Esperados a evaluar… Si debe priorizar, considere aquellos aprendizajes que serán duraderos y pre- rrequisitos para desarrollar otros aprendizajes. Para esto, los Mapas de Progre- so pueden ser de especial utilidad › ¿Qué evidencia necesitarían exhibir sus estudiantes para demostrar que dominan los Aprendizajes Esperados? Se recomienda utilizar como apoyo los Indicadores de Evaluación sugeridos que presenta el programa. …y luego decidir qué › ¿Qué método empleará para evaluar? se requiere para su Es recomendable utilizar instrumentos y estrategias de diverso tipo (pruebas evaluación en términos escritas, guías de trabajo, informes, ensayos, entrevistas, debates, mapas con- de evidencias, métodos, ceptuales, informes de laboratorio e investigaciones, entre otros). preguntas y criterios En lo posible, se deben presentar situaciones que pueden resolverse de distintas maneras y con diferente grado de complejidad, para que los diversos estudiantes puedan solucionarlas y muestren sus distintos niveles y estilos de aprendizaje. › ¿Qué preguntas se incluirá en la evaluación? Se deben formular preguntas rigurosas y alineadas con los Aprendizajes Espe- rados, que permitan demostrar la real comprensión del contenido evaluado › ¿Cuáles son los criterios de éxito?, ¿cuáles son las características de una respuesta de alta calidad? Esto se puede responder con distintas estrategias. Por ejemplo: - comparar las respuestas de sus estudiantes con las mejores respuestas de otros alumnos de edad similar. Se pueden usar los ejemplos presentados en los Mapas de Progreso 20
- 25. - identificar respuestas de evaluaciones previamente realizadas que expresen el nivel de desempeño esperado, y utilizarlas como modelo para otras eva- luaciones realizadas en torno al mismo aprendizaje - desarrollar rúbricas5 que indiquen los resultados explícitos para un des- empeño específico y que muestren los diferentes niveles de calidad para dicho desempeño 5 Rúbrica: tabla o pauta para evaluar Segundo Año Medio / Matemática 21 Consideraciones Generales para Implementar el Programa
- 26. 22
- 27. Matemática Programa de Estudio Segundo Año Medio 23
- 28. Matemática Propósitos El aprendizaje de la matemática ayuda a comprender presentar información con precisión y rigurosidad y, por la realidad y proporciona herramientas para desenvol- otra, a demandar exactitud y rigor en las informaciones verse en la vida cotidiana. Entre ellas se encuentran el y argumentos que se recibe. cálculo, el análisis de la información proveniente de diversas fuentes, la capacidad de generalizar situacio- El conocimiento matemático y la capacidad para nes, formular conjeturas, evaluar la validez de resultados usarlo provocan importantes consecuencias en el y seleccionar estrategias para resolver problemas. Todo desarrollo, el desempeño y la vida de las personas. El esto contribuye a desarrollar un pensamiento lógico, entorno social valora el conocimiento matemático y ordenado, crítico y autónomo, y a generar actitudes lo asocia a logros, beneficios y capacidades de orden como precisión, rigurosidad, perseverancia y confianza superior. Aprender matemática influye en el concep- en sí mismo, que se valoran no solo en la ciencia y la to que niños, jóvenes y adultos construyen sobre sí tecnología, sino también en la vida cotidiana. mismos y sus capacidades; por lo tanto, contribuye a que la persona se sienta un ser autónomo y valioso. En Aprender matemáticas acrecienta también las habilida- consecuencia, la calidad, la pertinencia y la ampli- des relativas a la comunicación; por una parte, enseña a tud de ese conocimiento afectan las posibilidades y Habilidades de pensamiento matemático 5° básico 6° básico 7° básico Resolver problemas en contextos Resolver problemas en contextos Resolver problemas en contextos diversos y significativos significativos diversos y significativos, utilizando los contenidos del nivel Analizar la validez de los pro- cedimientos utilizados y de los resultados obtenidos Formular y verificar conjeturas, en casos particulares Ordenar números y ubicarlos en la Ordenar números y ubicarlos en la recta numérica recta numérica Realizar cálculos en forma mental Realizar cálculos en forma mental Realizar cálculos en forma mental y escrita y escrita y escrita Emplear formas simples de mode- lamiento matemático 24
- 29. Habilidades la calidad de vida de las personas y el potencial de Al estudiar matemáticas, el estudiante adquiere el razo- desarrollo del país. namiento lógico, la visualización espacial, el pensamien- to analítico, el cálculo, el modelamiento y las destrezas La matemática ofrece también la posibilidad de trabajar para resolver problemas. La tabla siguiente puede con entes abstractos y sus relaciones, y prepara a los resultar útil para: estudiantes para que entiendan el medio y las múltiples › observar transversalmente las habilidades que se relaciones que se dan en un espacio simbólico y físico desarrollan en el sector de complejidad creciente. Se trata de espacios en los › focalizarse en un nivel y diseñar actividades y evalua- que la cultura, la tecnología y las ciencias se redefinen ciones que enfaticen dichas habilidades en forma permanente y se hacen más difíciles, y las › situarse en el nivel, observar las habilidades que se finanzas, los sistemas de comunicación y los vínculos pretendió enseñar en los años anteriores y las que se entre naciones y culturas se relacionan y se globalizan. trabajarán más adelante › advertir diferencias y similitudes en los énfasis por ciclos de enseñanza 8° básico I medio II medio Resolver problemas en contextos Analizar estrategias de resolución Aproximar números mediante diversos y significativos de problemas de acuerdo con variados métodos criterios definidos Evaluar la validez de los resultados Fundamentar opiniones y tomar Argumentar respecto a las varia- obtenidos y el empleo de dichos decisiones ciones que se producen en la re- resultados para fundamentar presentación gráfica de funciones opiniones y tomar decisiones Ubicar raíces en la recta numérica Realizar cálculos en forma mental y escrita Emplear formas simples de mo- Aplicar modelos lineales que repre- Modelar situaciones diversas a delamiento matemático sentan la relación entre variables través de funciones Verificar proposiciones simples, Diferenciar entre verificación y Demostrar propiedades y teoremas para casos particulares demostración de propiedades Segundo Año Medio / Matemática 25 Matemática
- 30. Orientaciones didácticas Se ha concebido este sector como una oportunidad ayuda a razonar en vez de actuar de modo mecánico. para que los estudiantes adquieran aprendizajes de vida. Por eso es importante invitar a los alumnos a buscar La matemática es un área poderosa de la cultura, pues regularidades. También se busca desarrollar y explicar permite comprender, explicar y predecir situaciones la noción de estrategia, comparar diversas formas de y fenómenos del entorno. Por eso, es importante que abordar problemas y justificar y demostrar las pro- los docentes se esfuercen para que todos los alumnos posiciones matemáticas. El docente debe procurar, del país aprendan los conocimientos y desarrollen las asimismo, que los estudiantes conjeturen y verifiquen capacidades propias de esta disciplina. Estos programas cómo se comportan los elementos y las relaciones con entregan algunas orientaciones que ayudarán a los que se trabaja. Tienen que analizar los procedimientos profesores a cumplir con este objetivo por medio de la para resolver un problema y comprobar resultados, planificación y en el transcurso de las clases. propiedades y relaciones. Los conceptos matemáticos: profundidad Aunque deben ser competentes en diversas habilidades e integración matemáticas, el profesor tiene que evitar que pongan Los estudiantes deben explorar en las ideas matemáti- demasiado énfasis en los procedimientos si no com- cas y entender que ellas constituyen un todo y no frag- prenden los principios matemáticos correspondientes. mentos aislados del saber. Tienen que enfrentar variadas experiencias para que comprendan en profundidad los Uso del error conceptos matemáticos, sus conexiones y sus aplica- Usar adecuadamente el error ayuda a crear un am- ciones. De esta manera, podrán participar activamente biente de búsqueda y creación. Un educador puede y adquirir mayor confianza para investigar y aplicar aprovechar la equivocación para inducir aprendizajes las matemáticas. Se recomienda que usen materiales especialmente significativos, si lo hace de manera concretos, realicen trabajos prácticos y se apoyen en la constructiva. Se debe considerar el error como un tecnología, en especial en el ciclo básico. elemento concreto para trabajar la diversidad en clases y permitir que todos los alumnos alcancen los aprendi- El uso del contexto zajes propuestos. Es importante que el docente aclare que esta disciplina está enraizada en la cultura y en la historia; asimismo, Aprendizaje matemático y desarrollo que impacta en otras áreas del conocimiento científico, personal crea consecuencias y permite aplicaciones. Preguntarse La clase de Matemática ofrece abundantes ocasiones cómo se originaron los conceptos y modelos matemáti- para el autoconocimiento y las interacciones sociales. cos, en qué períodos de la historia y cómo se enlazaron Es una oportunidad para la metacognición6: ¿cómo con la evolución del pensamiento, es un ancla impor- lo hice?, ¿cómo lo hicieron?, ¿de qué otra manera es tante para el aprendizaje. Se recomienda usar analogías posible? Además, la percepción que cada cual tiene de y representaciones cercanas a los estudiantes, en es- su propia capacidad para aprender y hacer matemática, pecial en las etapas de exploración. También se sugiere surge de la retroalimentación que le ha dado la propia aplicar las matemáticas a otras áreas del saber y en la experiencia. En ese sentido, el docente tiene en sus ma- vida diaria como un modo de apoyar la construcción nos un poderoso instrumento: reconocer los esfuerzos y del conocimiento matemático. los logros de los alumnos. Otros aspectos que también ayudan a que cada estudiante aumente la confianza en Razonamiento matemático y resolución sí mismo son valorar las diferencias, aceptar los éxitos o de problemas las acciones de sus pares, crear un clima de confianza y Esta disciplina se construye a partir de regularidades distinguir de qué modo enfrenta cada uno el triunfo o el que subyacen a situaciones aparentemente diversas y fracaso, sea propio o de los demás. 6 Metacongición: manera de aprender a razonar sobre el propio razonamiento 26
- 31. Tecnologías digitales y aprendizaje de objetos matemáticos. Los procesadores geométricos matemático permiten experimentar con nociones y relaciones de la El presente programa propone usar software para am- geometría euclidiana, cartesiana o vectorial. Se trata de pliar las oportunidades de aprendizaje de los estudian- un espacio muy atractivo para los estudiantes y que los tes. Estas tecnologías permiten representar nociones ayudará mucho a formarse para una vida cada vez más abstractas a través de modelos en los que se puede influida por las tecnologías digitales. experimentar con ideas matemáticas; también se puede crear situaciones para que los alumnos exploren las ca- Clima y motivación racterísticas, los límites y las posibilidades de conceptos, Se debe propiciar un ambiente creativo para que los relaciones o procedimientos matemáticos. Los procesa- alumnos formulen, verifiquen o refuten conjeturas dores geométricos, simbólicos y de estadística son labo- respecto de los problemas que abordan. Ese ambiente ratorios para investigar relaciones y ponerlas a prueba. debe admitir que el error, la duda y la pregunta son Con un procesador simbólico, se puede analizar y en- importantes y valiosos para construir conocimiento; tender números grandes o muy pequeños. Y se puede asimismo, tiene que valorar los aportes de todos y apro- estudiar el comportamiento de funciones, incluso las de vecharlos para crear una búsqueda y una construcción alta complejidad. Internet ofrece múltiples ambientes colectiva. En ese espacio será natural analizar acciones y con representaciones dinámicas de una gran cantidad procedimientos y explorar caminos alternativos. Segundo Año Medio / Matemática 27 Matemática
- 32. Visión Global del Año Aprendizajes Esperados por semestre y unidad Semestre 1 Unidad 1 Unidad 2 Números Geometría AE 01 AE 01 Comprender que los números irracionales permiten re- Comprender el concepto de semejanza de figuras solver problemas que no tienen solución en los números planas. racionales. AE 02 AE 02 Identificar los criterios de semejanza de triángulos. Aproximar números irracionales por defecto, por exceso AE 03 y por redondeo. Utilizar los criterios de semejanza de triángulos para el AE 03 análisis de la semejanza de figuras planas. Ordenar números irracionales y representarlos en la AE 04 recta numérica. Comprender el teorema de Thales sobre trazos propor- AE 04 cionales y aplicarlo en el análisis y la demostración de Conjeturar y verificar propiedades de los números teoremas relativos a trazos. irracionales. AE 05 AE 05 Demostrar los teoremas de Euclides relativos a propor- Comprender que los números reales corresponden a la cionalidad de trazos. unión de los números racionales e irracionales. AE 06 AE 06 Demostrar el teorema de Pitágoras y el teorema recí- Demostrar algunas propiedades de los números reales. proco de Pitágoras. AE 07 AE 07 Analizar la existencia de las raíces en el conjunto de los Identificar ángulos inscritos y del centro en una circun- números reales. ferencia, y relacionar las medidas de dichos ángulos. AE 08 AE 08 Utilizar relaciones entre las potencias y raíces para Demostrar relaciones que se establecen entre trazos de- demostrar propiedades de las raíces. terminados por cuerdas y secantes de una circunferencia. AE 09 AE 09 Establecer relaciones entre los logaritmos, potencias Demostrar teoremas relativos a la homotecia de figuras y raíces. planas. AE 10 AE 10 Deducir propiedades de los logaritmos. Resolver problemas relativos a: a. el teorema de Thales sobre trazos proporcionales AE 11 b. la división interior de un trazo Resolver problemas en contextos diversos relativos a c. teoremas de Euclides relativos a proporcionalidad números reales, raíces y logaritmos. de trazos Tiempo estimado Tiempo estimado 78 horas pedagógicas 62 horas pedagógicas 28
- 33. Semestre 2 Unidad 3 Unidad 4 Álgebra Datos y azar AE 01 AE 01 Analizar gráficamente la función exponencial, en forma Determinar el rango, la varianza y la desviación estándar manual y con herramientas tecnológicas. de conjuntos de datos. AE 02 AE 02 Analizar gráficamente la función logarítmica, en forma Comparar características de dos o más conjuntos de manual y con herramientas tecnológicas. datos, utilizando medidas de tendencia central, de posición y de dispersión. AE 03 Analizar gráficamente la función raíz cuadrada, en forma AE 03 manual y con herramientas tecnológicas. Emplear elementos del muestreo aleatorio simple para inferir sobre la media de una población. AE 04 Analizar la validez de una expresión algebraica AE 04 fraccionaria. Comprender el concepto de variable aleatoria y aplicar- lo en diversas situaciones que involucran experimentos AE 05 aleatorios. Establecer estrategias para operar7 fracciones alge- braicas simples, con binomios en el numerador y en el AE 05 denominador, y determinar los valores que indefinen Calcular medias muestrales. estas expresiones. AE 06 AE 06 Verificar que, a medida que el número de pruebas crece, Resolver sistemas de ecuaciones lineales con dos incóg- la media muestral se aproxima a la media de la población. nitas, gráfica y algebraicamente. AE 07 AE 07 Resolver problemas en contextos diversos, aplicando las Modelar y aplicar la función exponencial, raíz cuadrada propiedades de la suma y el producto de probabilidades. y logarítmica en la resolución de problemas, y resol- ver problemas que involucren sistemas de ecuaciones Tiempo estimado lineales con dos incógnitas. 55 horas pedagógicas Tiempo estimado 80 horas pedagógicas 7 Suma, resta, multiplicación, división, simplificación, amplificación. Segundo Año Medio / Matemática 29 Visión Global del Año
- 34. 30
- 35. Unidades Semestre 1 Unidad 1 Números Unidad 2 Geometría Semestre 2 Unidad 3 Álgebra Unidad 4 Datos y azar 31
- 36. 32
- 37. Unidad 1 Números Propósito En esta unidad se recogen los aprendizajes que los estudiantes ya tienen sobre números racionales y sus propiedades, para introducir ahora los números irracionales y posteriormente los reales. Se espera que comprendan las características y propiedades de los nuevos números y sean capaces de ordenarlos, ubicarlos en la recta numérica, aproximarlos y operar con ellos. En esta unidad se incorporan, además, las potencias Habilidades de exponente racional y el estudio de sus propie- › Reconocer si un problema puede o no tener solu- dades, las raíces enésimas y los logaritmos. Será ciones en los números racionales importante que los estudiantes realicen conjeturas › Identificar los números irracionales como aquellos sobre propiedades, las verifiquen y apliquen los con- que tienen un desarrollo infinito no periódico y tenidos aprendidos anteriormente en la resolución que no se pueden escribir como fracción de problemas. › Aproximar números irracionales mediante algún método Conocimientos previos › Ubicar raíces en la recta numérica, usando alguna › Operaciones de números racionales estrategia › Potencias de base racional y exponente entero › Conjeturar acerca del valor a obtener al sumar, › Propiedades de las potencias de base racional y restar, multiplicar o dividir dos números racionales exponente entero › Resolver situaciones en las que es necesario operar con números reales Palabras clave › Demostrar propiedades de las raíces enésimas a Números irracionales, números reales, potencias de partir de las propiedades de las potencias de expo- exponente racional, raíces enésimas, logaritmos. nente racional › Transformar raíces enésimas a notación de poten- Contenidos cias y viceversa › Números irracionales y propiedades › Demostrar propiedades de los logaritmos a partir › Números reales y propiedades de las propiedades de las potencias › Operaciones aritméticas con números reales › Relacionar potencias, raíces enésimas y logaritmos › Potencias de exponente racional › Resolver situaciones en las que es necesario operar › Propiedades de las potencias de exponente racional con raíces enésimas y logaritmos › Raíces enésimas › Propiedades de las raíces enésimas Actitudes › Logaritmos › Trabajo en equipo e iniciativa personal en la reso- › Propiedades de los logaritmos lución de problemas en contextos diversos 33
- 38. Aprendizajes Esperados aprendizajes esperados indicadores de evaluación sugeridos Se espera que los estudiantes sean Cuando los estudiantes han logrado este aprendizaje: capaces de: AE 01 Comprender que los números › Identifican problemas geométricos, cuya solución corresponde a núme- irracionales permiten resol- ros irracionales. Por ejemplo: determinar el valor de la diagonal de un ver problemas que no tienen cuadrado de lado 1, la altura de un triángulo equilátero o la arista de un solución en los números cubo de lado 2. racionales. › Explican los argumentos usados para demostrar la irracionalidad de 3. AE 02 Aproximar números irraciona- › Construyen números irracionales a partir del concepto de no pe- les por defecto, por exceso y riodicidad y explican su razonamiento. Por ejemplo, el número por redondeo. 0,1234567891011121314… › Aproximan un número irracional por defecto y por exceso de acuerdo a una precisión dada (por ejemplo, con 4 decimales). Por ejemplo, 2 con 4 decimales. › Usan métodos visuales (áreas de cuadrados) para aproximar raíces cua- dradas. AE 03 Ordenar números irracionales › Ordenan un conjunto de números irracionales de manera creciente. y representarlos en la recta › Ubican raíces cuadradas en la recta numérica, usando una variedad de es- numérica. trategias, y explican su razonamiento. Por ejemplo, usando regla y compás. › Ubican números irracionales en la recta numérica de acuerdo a restriccio- nes dadas. Por ejemplo, ubican tres números irracionales mayores que 2 y menores que 4. AE 04 Conjeturar y verificar pro- › Conjeturan y verifican aproximaciones del número π, evaluando el error piedades de los números 22 355 cometido. Por ejemplo: , ó 10 irracionales. 7 113 › Argumentan, a partir de la definición de un número irracional, acerca de la P relación D = π, donde P es el perímetro de una circunferencia, D es el diámetro y π es un irracional. › Conjeturan acerca del número obtenido a partir de operaciones como irracional + irracional, irracional ∙ irracional o bien irracional : irracional. 34
- 39. aprendizajes esperados indicadores de evaluación sugeridos Se espera que los estudiantes sean Cuando los estudiantes han logrado este aprendizaje: capaces de: AE 05 Comprender que los números › Representan, usando un esquema, la relación entre los números reales y reales corresponden a la unión los números naturales, enteros, racionales e irracionales. de los números racionales e › Identifican situaciones donde el resultado no pertenece o no está definido irracionales. en los números reales. Por ejemplo: -2, 4 -16, etc. › A partir de un conjunto de números, forman conjuntos de números racio- nales y de números que son irracionales. AE 06 Demostrar algunas propieda- › Verifican la propiedad “entre dos números reales, siempre existe otro real”. des de los números reales. › Verifican en casos particulares propiedades de la clausura, asociatividad, distributividad y conmutatividad para números reales. › Demuestran algunas propiedades para los números reales, como: Si a = b y c = d, entonces a + c = b + d; o bien si a ∙ b = 0, entonces a = 0 o b = 0 AE 07 n Analizar la existencia de las › Determinan para qué valores de a existe a , cuando n es par. n raíces en el conjunto de los › Determinan para qué valores de n natural existe a , cuando a es cual- números reales. quier número real. AE 08 Utilizar relaciones entre las po- › Reconocen la relación que existe entre las raíces y las potencias de expo- tencias y raíces para demos- nente racional. trar propiedades de las raíces. › Utilizan la relación que existe entre las raíces y las potencias para demos- n n n trar que a · b = ab Segundo Año Medio / Matemática 35 Unidad 1
- 40. aprendizajes esperados indicadores de evaluación sugeridos Se espera que los estudiantes sean Cuando los estudiantes han logrado este aprendizaje: capaces de: AE 09 Establecer relaciones entre los › Reconocen potencias en el cálculo de logaritmos de números. Por ejem- logaritmos, potencias y raíces. plo, en el cálculo log2 8, reconocen que 23 = 8 › Deducen la relación que hay entre raíces y logaritmos a partir de la relación que existe entre raíces y potencias y la relación que existe entre potencias y logaritmos. › Establecen resultados referidos a logaritmos. Por ejemplo, establecen que loga a = 1 AE 10 Deducir propiedades de los › Demuestran propiedades de los logaritmos, a partir de las propiedades logaritmos. de las potencias. Por ejemplo, que: a. logb xy = logb x + logb y b. logb ax = xlogb a › Calculan logaritmos, utilizando propiedades. AE 11 Resolver problemas en › Resuelven problemas que involucran el cálculo de logaritmos y la apli- contextos diversos relativos cación de propiedades en diversos contextos. Por ejemplo, calculan la a números reales, raíces y energía liberada por un sismo de magnitud 5,5. logaritmos. › Resuelven problemas en contextos matemáticos que involucran opera- ciones con raíces. › Aplican propiedades de los números reales en la resolución de problemas. 36
- 41. Aprendizajes Esperados en relación con los OFT Trabajo en equipo e iniciativa personal en la resolución de problemas en contextos diversos › Participa de manera propositiva en actividades grupales › Es responsable en la tarea asignada › Toma iniciativa en actividades de carácter grupal › Propone alternativas de solución a problemas relacionados con números enteros y potencias de base natural y exponente natural en actividades grupales Orientaciones didácticas para la unidad Al introducir los números irracionales, es importan- con el conjunto de los números reales y sus propiedades, te poner énfasis en que estos constituyen un nuevo haciendo énfasis, por ejemplo, en que así se completa la conjunto numérico, el cual permite resolver problemas recta numérica. Esto facilitará estudiar las funciones que que no admiten solución en los racionales. Hay que ahora estarán definidas de IR8 en IR. recordar que los estudiantes ya experimentaron este tipo de transición, cuando pasaron de los naturales a los Se sugiere trabajar las cuatro operaciones con núme- enteros y luego, de los enteros a los racionales. Por otra ros reales para resolver problemas ligados a la vida parte, el docente tiene que explicar que, al considerar cotidiana y a temas de otros sectores de aprendizaje. los números racionales y los irracionales, se genera un La resolución de problemas genera, además, espacio conjunto más grande denominado “conjunto de los para abordar el concepto de cifras significativas y de números reales”. aproximación. Por otra parte, es importante revisar las propiedades de las operaciones con números reales, Debe notarse que, a diferencia de los números racio- como la clausura, la conmutatividad, la asociatividad, los nales, los irracionales no pueden expresarse como un elementos neutros, etc. Aunque algunas propiedades cuociente entre dos números enteros y con denomi- ya han sido estudiadas, esta es una oportunidad para nador distinto de cero. Los alumnos deberán acep- profundizar en ellas y en toda la magnitud que permite tar esta situación en primera instancia hasta que el ahora el conjunto de los números reales como cuerpo docente revise con ellos, por ejemplo, la demostración ordenado. A partir de estas propiedades o axiomas, de la irracionalidad de 2. Puede hacer más sentido a los alumnos pueden demostrar otras propiedades; el los estudiantes que con los irracionales no es posible docente debe entender que esta es una habilidad de encontrar un período, a diferencia de los números mayor nivel y que necesita trabajar con los estudiantes racionales. Los alumnos enfrentarán su primer desafío partiendo con casos sencillos. con las calculadoras, dada las limitaciones que estas presentan al momento de entregar un número deter- En niveles anteriores, los alumnos ya han trabajado con minado de decimales. Se sugiere utilizar diferentes tipos las potencias y sus propiedades. En esta oportunidad de calculadora; por ejemplo, una básica, una científica, se hace la extensión a las potencias de exponente ra- la calculadora de Windows, la planilla excel, etc. cional y sus propiedades. Es importante que el profesor repase con ellos todas las propiedades de las poten- Se recomienda situar a los estudiantes en el contexto cias, pero ahora en el caso de exponente racional. Con histórico en que estos números cobraron relevancia y esto, los estudiantes estarán a un paso del estudio de los problemas que causaron al no comportarse como los las raíces enésimas. Al entender las propiedades de las números conocidos hasta ese momento. Una vez intro- potencias, podrán comprender mejor las propiedades ducidos los irracionales, los alumnos deben familiarizarse de las raíces y verificarlas. De hecho, el ejercicio inicial 8 IR: números reales Segundo Año Medio / Matemática 37 Unidad 1
- 42. será transformar las raíces a notación de potencia de lo largo de la unidad. En este sentido, se recomien- exponente racional y viceversa. Se sugiere que verifi- da —cada vez que se pueda— proponerles problemas quen la mayor cantidad de propiedades de las raíces abiertos que los impulsen a encontrar soluciones y enésimas, a partir de las propiedades de las potencias. aventurarse en la búsqueda de patrones, de soluciones Este ejercicio les será muy útil cuando se estudien las más generales, etc. Los alumnos deben comunicar propiedades de los logaritmos. procedimientos y resultados, discutirlos y explicar las conclusiones obtenidas en el desarrollo sistemático También es importante que trabajen ejercicios en los de las actividades. que calculen diferentes raíces enésimas, simplifiquen expresiones o transformen expresiones en otras equiva- Respecto de la evaluación, se aconseja ir monitorean- lentes por medio de la amplificación, usando términos do el logro de los Aprendizajes Esperados a medida convenientes; por ejemplo, para suprimir un radical que avanza la unidad y no solo al final de ella. De este del denominador. Conviene incorporar el trabajo con modo, el docente sabrá si los estudiantes asimilan los las raíces en el contexto de la resolución de problemas, conceptos centrales y podrá diseñar estrategias para analizando algunas aplicaciones en otras áreas. trabajar con la diversidad de niveles de aprendizaje que conviven en el aula. El trabajo de la unidad termina con el estudio de los logaritmos y su relación con los conceptos de potencia Es importante que estas evaluaciones midan habilidades y de raíz. En el caso de los logaritmos, deben com- y conocimientos y que contengan preguntas intere- prender que, en los ejercicios y cálculos que involucran santes y desafiantes, pero deben adecuarse a la edad logaritmos, lo que buscan es un “exponente”. Es im- de los alumnos. Se sugiere diseñar preguntas abiertas y portante que establezcan la relación con las potencias, problemas que demanden a los estudiantes elaborar es- pues a partir de eso podrán verificar las propiedades de trategias y utilizar procedimientos, considerando que los los logaritmos. Se sugiere incorporar el trabajo con los problemas en matemática no siempre tienen respuesta logaritmos en el contexto de la resolución de proble- única ni importa siempre el resultado final. Con pregun- mas, analizando algunas aplicaciones en otras áreas. tas de este tipo, el docente podrá observar también los distintos niveles de desempeño de los alumnos y diseñar Es fundamental que los estudiantes puedan elaborar procesos de retroalimentación para aquellos aspectos sus propias estrategias para enfrentar una situación a que entiendan menos. 38
- 43. Ejemplos de Actividades AE 01 Comprender que los números 1 irracionales permiten resol- Identifican problemas geométricos que no tienen solución en los racionales. ver problemas que no tienen Por ejemplo: determinar el valor de la diagonal de un cuadrado de lado 1. solución en los números racionales. Con ese propósito los estudiantes: a. dibujan un cuadrado de lado 1 y marcan su diagonal AE 05 b. construyen un nuevo cuadrado sobre la diagonal del cuadrado de lado 1 Comprender que los núme- ros reales corresponden a la unión de los números racionales e irracionales. c. plantean estrategias para determinar el valor del área del nuevo cuadrado ! Observaciones al docente: Se sugiere poner énfasis en la discusión de las estrategias utilizadas en cada actividad. Además, es importante apoyar a los estudiantes respecto de la relación entre los diferentes conceptos utilizados, como el área de un cuadrado o la magnitud de un trazo. El propósito final de las actividades consiste en debatir sobre la naturaleza del valor obtenido para la diagonal del cuadrado de lado 1. d. a partir del área del nuevo cuadrado, obtienen aproximaciones del valor de la diagonal del cuadrado de lado 1, usando calculadora ! Observaciones al docente: Para esta última actividad, se sugiere que los estudiantes utilicen diferentes calculadoras (por ejemplo, simple, científica o calculadora de Windows). La idea es que observen distintas aproximaciones, según las limitaciones de cada calculadora, y que discutan acerca de las características del número obtenido ( 2 ) 2 Calculan raíces cuadradas a números primos y sacan conclusiones con respecto a los valores obtenidos. Por ejemplo: 2, 3, 5 3 Identifican problemas en contextos matemáticos que no tienen solución en los números racionales. Por ejemplo, encontrar números cuyo cuadra- do sea un número primo. ! Observaciones al docente: Con estas dos actividades, los estudiantes deberían plantear alguna conjetura, mediante casos específicos, sobre la particularidad que presentan los números primos cuando están presentes en algún cálculo de raíces. Segundo Año Medio / Matemática 39 Unidad 1
- 44. AE 02 Aproximar números irraciona- 1 les por defecto, por exceso y Aproximan los valores de 2 y 3 por defecto y por exceso, con una por redondeo. precisión de 3 decimales. AE 03 2 Obtienen valores aproximados de 2 y 3, usando una calculadora. Ordenar números irracio- 3 nales y representarlos en la Ubican de manera aproximada los números 2 y 3 en la recta numérica. recta numérica. 4 Ubican los valores de 2 y 3 en la recta numérica, usando regla y compás. 5 Verifican los valores obtenidos, utilizando el teorema de Pitágoras. ! Observaciones al docente: Se sugiere poner énfasis en las distintas formas en que los estudiantes puedan ubicar los números irracionales solicitados en la recta. Pueden obtener valores aproximados con la calculadora e intentar ubicarlos aproximadamente en relación a los números enteros 1 y 2. Es importante revisar después una forma geométrica para ubicar estos números irracionales. Se debe recordar que ella forma parte de la construc- ción de un cuadrado de lado 1 en la recta numérica, tal como se muestra a continuación: 3 2 3 2 1 -3 -2 3 2 -1 0 1 2 3 2 3 Los estudiantes deben entender que 2 < 3, lo que queda representado en la recta numérica. También pueden usar un programa geométrico para construir la recta numérica. 40
- 45. AE 04 Conjeturar y verificar pro- 1 piedades de los números Conjeturan acerca del número obtenido al sumar dos números irracionales. irracionales. 2 Conjeturan acerca del número obtenido al multiplicar dos números irracionales. 3 Conjeturan acerca del número obtenido al multiplicar un número racional por uno irracional. ! Observaciones al docente: En este grupo de actividades, los estudiantes deberían plantear una conjetura mediante casos particulares y después, generalizar el resultado. Se sugiere poner atención a las argumentaciones de los alumnos, en especial aquellas que apunten a alguna generalización. 4 Analizan y discuten la relación π = P , a partir de la naturaleza del nú- D mero π (donde P es el perímetro de una circunferencia y D su diámetro). ! Observaciones al docente: Partiendo de la imposibilidad de representar un número irracional mediante un cuociente de enteros, esta actividad abierta permite a los estudiantes debatir si es posible plantear que π = P D 5 Analizan y discuten acerca de la naturaleza del número áureo, a partir de 1+ 5 la expresión 2 ! Observaciones al docente: También es interesante analizar cómo obtener 1+ 5 la expresión , a partir del rectángulo áureo de Euclides. En este rectán- 2 AE 1+ 5 gulo se verifica que = AD 2 1 A G B E D C F 2 Segundo Año Medio / Matemática 41 Unidad 1
- 46. AE 06 Demostrar algunas propieda- 1 des de los números reales. Argumentan, a través de ejemplos, acerca de la propiedad de clausura en los números reales. 2 Argumentan, a través de ejemplos, acerca de la propiedad de asociativi- dad en los números reales. 3 Argumentan, a través de ejemplos, acerca de la propiedad de conmutati- vidad en los números reales. ! Observaciones al docente: Para estas actividades, se sugiere que los estudiantes utilicen diferentes números; por ejemplo, 1, -3, 3/4, 0,5, y que 1+ 5 también incorporen números como π, 2, 3, 2 Pueden trabajar en forma algebraica o numérica, usando aproximaciones mediante la calculadora. Lo importante es darse cuenta de que, independien- temente del tipo de números, las propiedades se cumplen ineludiblemente. 4 Demuestran la siguiente propiedad de los números reales: Si a = b y c = d, entonces a · c = b · d ! Observaciones al docente: Esta actividad requiere un mayor apoyo del profesor, ya que implica realizar una demostración a partir de los axiomas o propiedades de las operaciones de los números reales. En primera instancia, se debe distinguir claramente los conceptos de hipótesis y tesis: Hipótesis: a = b y c = d Tesis: a · c = b · d Para poder demostrar la proposición completamente, se tiene que reali- zar una secuencia de argumentos a partir de las propiedades básicas. Por ejemplo: dado que hay que demostrar que a · c = b · d, es importante ver que si esta igualdad se cumple; entonces necesariamente (a · c) – (b · d) = 0 por la existencia del elemento neutro aditivo en IR. Por lo tanto, bastaría compro- bar esto para demostrar el teorema. 5 Analizan y discuten acerca de la propiedad “entre dos números reales, siempre existe otro real”. ! Observaciones al docente: Esta es una actividad abierta. Los estudiantes proponen argumentos y ejemplos prácticos de que es posible encontrar un número real entre otros dos reales “cada vez que uno quiera”. Por ejemplo, se puede proponer un juego con el intervalo entre 0 y 1. El juego consiste en dividir el intervalo a la mitad. Luego de la primera división, en que el intervalo queda 0 y 1/2, volver a dividirlo a la mitad y así sucesivamente. 42
- 47. 6 Demuestran que, en la multiplicación de dos números reales negativos, se obtiene como producto un número real positivo, es decir: − · − = + ! Observaciones al docente: Esta actividad debe ser guiada por el profesor. Al respecto, puede recordar los axiomas de este conjunto a los alumnos y decirles que los usen para realizar la demostración. AE 07 Analizar la existencia de las 1 raíces en el conjunto de los Utilizan la definición x2 = | x | para deducir que las raíces cuadradas son números reales. números mayores o iguales a cero, y determinan los valores de a para los cuales está definida a 2 Determinan los valores para los cuales está definida 3 x y el conjunto de valores que toma esta raíz. 3 Determinan los valores para los cuales están definidas las raíces 4 x, 5 x, y el conjunto de valores que toman estas raíces. 4 n Generalizan resultados de las actividades anteriores a x para n par o impar. AE 08 Utilizar relaciones entre las A partir de las relaciones entre potencias y raíces, efectúan demostracio- potencias y raíces para de- nes como las siguientes: mostrar propiedades de las n n raíces. a. x y = n xy , para x, y apropiados y n natural n m n b. xp = x m p , para x apropiado y m, n naturales n x n x c. = , para x, y apropiado y n naturales n y y AE 09 Establecer relaciones entre los 1 logaritmos, potencias y raíces. Relacionan logaritmos con potencias, a partir de la definición de logaritmo. 2 Argumentan sobre la relación que existe entre raíces y logaritmos, a partir de la relación entre potencias y logaritmos y entre raíces y potencias. Segundo Año Medio / Matemática 43 Unidad 1
- 48. AE 10 Deducir propiedades de los 1 logaritmos. Si M y N son dos números reales positivos, deducen la siguiente propie- dad de los logaritmos a partir de la definición de logaritmo: logM + logN = log( M · N ) 2 Si M y N son dos números reales positivos, deducen la siguiente propie- dad de los logaritmos a partir de la definición de logaritmo: logNm = m · logN 3 Aplicando propiedades de logaritmos, resuelven los siguientes ejercicios: a. Calcular log2 32 b. Expresar en términos de a, log25, cuando a = log2 AE 11 Resolver problemas en 1 3 contextos diversos relativos Encuentran una expresión equivalente a que no tenga un radical en a números reales, raíces, y 5 el denominador. Explican la estrategia utilizada. logaritmos. ! Observaciones al docente: Para esta actividad, se puede discutir con los estudiantes respecto del sentido de este tipo de ejercicios relacionados con la racionalización de expresiones. En este caso, importa analizar el tipo de estrategia usada; por ejemplo, la amplificación de la fracción por un término conveniente y el uso de propiedades de las raíces. 2 Determinan la aceleración de gravedad del lugar donde se encuentra un péndulo simple, si su longitud es 37,1 cm. y oscila con una frecuencia de 0,8190 Hz. (Física) ! Observaciones al docente: Las ecuaciones que permiten describir el movi- miento de un péndulo simple son las siguientes: (1) f= 1 y (2) T = 2 π L T g donde f es frecuencia, T es el período, L su longitud y g la aceleración de gravedad. En el aspecto interdisciplinario, se sugiere conectar esta actividad con la asignatura de Física, específicamente con “Fuerza y movimiento”. ! Observaciones al docente: Tanto para el cálculo de logaritmos como para la verificación de sus propiedades, es fundamental que los estudiantes comprendan su significado a través de su relación con las potencias. Deben entender que, al buscar el valor de un logaritmo, lo que buscan es el valor de un “exponente”. 44
- 49. 3 Determinan la intensidad sonora, en decibeles, del sonido que un transeúnte percibe en la esquina de una calle transitada (considerar esto como 10-4 W/m2). (Física) ! Observaciones al docente: El nivel de intensidad sonora en decibeles (dB) está dado por la expresión = 10 · log I I0 El umbral de sensibilidad, I0 , se usa como valor de referencia para definir el decibel (dB) El valor de este umbral es: I0 = 10-12 W/m2 En el aspecto interdisciplinario, se sugiere conectar esta actividad con la asig- natura de Física, específicamente con “La materia y sus transformaciones”. 4 Determinan la cantidad de años que se requiere tener depositada una cantidad de dinero a un interés anual dado bajo el régimen de interés compuesto, para que rindan un determinado capital. Segundo Año Medio / Matemática 45 Unidad 1
- 50. Ejemplo de Evaluación AE 08 Indicadores de Evaluación sugeridos Utilizar relaciones entre › Reconocen la relación que existe entre las raíces y las las potencias y raíces para potencias de exponente racional. demostrar propiedades de › Utilizan la relación que existe entre las raíces y las poten- n n n las raíces. cias para demostrar que a · b = ab Actividad A continuación se presenta una expresión fraccionaria donde intervienen raíces. Se pide al estudiante que realice las siguientes actividades: 3 3 n 1 transformar la expresión en una expresión de la forma 3 3 3 3 n 2 calcular el valor de 729 Criterios de evaluación Se sugiere considerar los siguientes aspectos: 1 transforman raíces a potencias. 2 amplifican por la potencia adecuada. Si utilizan propiedades de raíces: 1 amplifican por la raíz adecuada. 2 expresan correctamente la expresión que resulta del proceso de racionalización. 3 calculan correctamente la raíz pedida. 46
- 51. Segundo Año Medio / Matemática 47 Unidad 1
- 52. 48
- 53. Unidad 2 Geometría Propósito contenidos En esta unidad, los estudiantes conocerán la se- › Semejanza de figuras planas mejanza de figuras planas en el plano cartesiano, › Criterios de semejanza de figuras planas retomarán el teorema de Pitágoras y estudiarán los › Trazos proporcionales teoremas de Thales y Euclides. Además, aplicarán la › Propiedades invariantes en modelos a escala semejanza en la construcción de modelos a escala. › Teorema de Pitágoras › Teorema de Thales Por otro lado, identificarán los ángulos del centro y › Teorema de Euclides ángulos inscritos en una circunferencia y los teore- › Ángulo del centro en la circunferencia mas relacionados con ellos. › Ángulo inscrito en una circunferencia Conocimientos previos Habilidades › Ángulos en polígonos › Construir modelos a escala › Área de polígonos › Resolver problemas, aplicando semejanza de figu- › Perímetro de polígonos ras planas › Congruencia de figuras planas › Demostrar el teorema de Pitágoras › Criterios de congruencia › Demostrar el teorema de Euclides › Proporciones › Aplicar el teorema de Thales › Teorema de Pitágoras › Aplicar el teorema que relaciona las medidas de los › Circunferencia ángulos del centro y de los ángulos inscritos en una circunferencia Palabras clave Semejanza, criterios de semejanza, proporcionalidad Actitudes de trazos, modelos a escala, teorema de Thales, teo- › Perseverancia, rigor, flexibilidad y originalidad al rema de Euclides, ángulo del centro, ángulo inscrito. resolver problemas matemáticos 49
- 54. Aprendizajes Esperados aprendizajes esperados indicadores de evaluación sugeridos Se espera que los estudiantes sean Cuando los estudiantes han logrado este aprendizaje: capaces de: AE 01 Comprender el concepto de › Identifican polígonos semejantes en contextos diversos y los caracterizan. semejanza de figuras planas. › Construyen polígonos semejantes a un polígono dado, en forma manual o utilizando un procesador geométrico. AE 02 Identificar los criterios de › Ejemplifican situaciones donde se utilizan los criterios de semejanza. semejanza de triángulos. › Explican los criterios de semejanza. AE 03 Utilizar los criterios de seme- › Utilizan el criterio lado-ángulo-lado para realizar cálculos relativos a trazos janza de triángulos para el en figuras geométricas. análisis de la semejanza de › Emplean el criterio ángulo-ángulo para analizar la semejanza de triángu- figuras planas. los que se forman en cuadriláteros. AE 04 Comprender el teorema de › Identifican la hipótesis y la tesis del teorema general de Thales. Thales sobre trazos proporcio- › Analizan la demostración del teorema general de Thales. nales y aplicarlo en el análisis › Emplean el teorema de Thales para demostrar teoremas relativos a medi- y la demostración de teoremas das de trazos en triángulos. relativos a trazos. › Dividen segmentos en partes congruentes, utilizando el teorema de Thales. AE 05 Demostrar los teoremas de › Deducen la relación que existe entre la altura de un triángulo rectángulo y Euclides relativos a proporcio- las proyecciones de sus catetos sobre la hipotenusa. nalidad de trazos. › Deducen la relación que existe entre un cateto, su proyección sobre la hipotenusa y la hipotenusa de un triángulo rectángulo. AE 06 Demostrar el teorema de Pitá- › Deducen la relación que existe entre los catetos y la hipotenusa de un goras y el teorema recíproco triángulo rectángulo a partir de los teoremas de Euclides. de Pitágoras. › Relacionan el teorema de Pitágoras con el teorema recíproco de Pitágoras. › Determinan los pasos involucrados en la demostración del teorema recí- proco de Pitágoras. 50
- 55. aprendizajes esperados indicadores de evaluación sugeridos Se espera que los estudiantes sean Cuando los estudiantes han logrado este aprendizaje: capaces de: AE 07 Identificar ángulos inscritos y › Relacionan el ángulo inscrito y del centro en una circunferencia. del centro en una circunferen- › Calculan la medida de un ángulo inscrito en una circunferencia, conociendo cia, y relacionar las medidas el valor de la medida del ángulo del centro que subtiende el mismo arco. de dichos ángulos. AE 08 Demostrar relaciones que se › Utilizan la noción de semejanza para demostrar la relación que existe entre establecen entre trazos deter- los trazos que determinan dos cuerdas de una circunferencia que se cortan. minados por cuerdas y secan- › Utilizan la noción de semejanza para demostrar la relación entre los trazos tes de una circunferencia. que se determinan entre una circunferencia y las secantes de una circun- ferencia que se cortan. AE 09 Demostrar teoremas relati- › Utilizan la noción de semejanza para demostrar que dos trazos homotéti- vos a la homotecia de figuras cos son paralelos. planas. › Utilizan la noción de semejanza para demostrar que dos polígonos homo- téticos son semejantes. AE 10 Resolver problemas relativos a: › Resuelven problemas relativos a trazos proporcionales en figuras planas, a. el teorema de Thales sobre utilizando el criterio asociado a lados proporcionales en triángulos. trazos proporcionales › Resuelven problemas relativos a divisiones interiores de trazos en una b. la división interior de un trazo razón dada. c. teoremas de Euclides rela- › Resuelven problemas relativos a cálculos de segmentos en triángulos tivos a proporcionalidad de rectángulos, utilizando los teoremas de Euclides. trazos › Aplican el teorema de Thales para resolver problemas relativos a cálculos de segmentos en triángulos. › Aplican el teorema de Thales para resolver problemas relativos a divisiones de segmentos en partes congruentes. › Identifican situaciones donde se requiere dividir un trazo en una razón dada. › Resuelven problemas relativos a la división interior de un trazo en una razón dada, empleando el teorema de Thales. Segundo Año Medio / Matemática 51 Unidad 2
- 56. Aprendizajes Esperados en relación con los OFT Trabajo en equipo e iniciativa personal en la resolución de problemas en contextos diversos › Participa de manera propositiva en actividades grupales › Es responsable en la tarea asignada › Toma iniciativa en actividades de carácter grupal Orientaciones didácticas para la unidad La unidad tiene un foco en la proporcionalidad de figu- diversas ampliaciones de una fotografía, entre otros, son ras geométricas y otro en las propiedades de los ángulos ejemplos de modelos a escala. Por ejemplo, se pueden del centro e inscritos de una circunferencia. realizar preguntas como la siguiente sobre un mapa de escala 1: 25.000 : ¿qué distancia en el mapa representa La primera parte descansa en la noción de proporciona- un kilómetro en la realidad? lidad de trazos y desarrolla los conceptos y relaciones en que se fundamentan los modelos a escala. El tema de la circunferencia y las propiedades de los ángulos inscritos y al centro ofrece una buena oportu- Como actividades iniciales, se recomienda que los alum- nidad para aplicar el concepto de lugar geométrico, al nos puedan experimentar la medición y comparación referirse al arco que contiene los vértices de ángulos de magnitudes de trazos, pues interesa que construyan inscritos que subtienden una cuerda dada. Los proce- trazos a partir de sus relaciones con otros trazos dados. sadores geométricos digitales brindan una excelente Por ejemplo, construir trazos que sean el doble, el representación de ese lugar geométrico, pues permiten triple, la mitad o la cuarta parte de un trazo dado. Esas variar las posiciones relativas y medir los ángulos involu- relaciones dan origen a expresiones algebraicas como crados. Sobre esa base, los alumnos pueden conjeturar a = 3b, que indica que el trazo de magnitud a es el triple en torno a preguntas como: ¿qué relación encuentra del trazo de magnitud b. De este modo, los estudiantes entre el ángulo al centro y uno inscrito que sustente la conocerán diversas representaciones de las relaciones misma cuerda? entre trazos: la geométrica (mediante la construcción), la verbal (que enuncia la relación) y la algebraica. La unidad trabaja con tres teoremas centrales en la geometría: los de Thales9, Pitágoras y Euclides; es una Aparte de las construcciones geométricas en papel, se oportunidad para regresar a los conceptos de teorema y puede generar actividades de trazado, medida y com- demostración. paración en un procesador geométrico digital, lo que constituye otra representación de las relaciones entre Los criterios de semejanza merecen una mención magnitudes de trazos. especial. Por una parte, representan una generalización de los criterios de congruencia ya trabajados en I medio. Dichas relaciones se pueden expresar mediante propor- Por otra, a partir de una definición de semejanza de ciones, preparando el terreno para aplicar la proporcio- triángulos como “aquellos triángulos que tienen sus tres nalidad a figuras como triángulos o polígonos. lado proporcionales y sus tres ángulos interiores con- gruentes”, los alumnos pueden analizar las combinacio- Se puede introducir la semejanza como “la matemática nes de las propiedades mencionadas, que bastan para de los modelos a escala”. Planos, mapas, maquetas, garantizar las restantes. 9 También es frecuente, en la literatura matemática, escribir “Tales”. 52
- 57. Ejemplos de Actividades AE 01 Comprender el concepto de 1 semejanza de figuras planas. Dibujan triángulos que satisfacen las condiciones siguientes: › tienen ángulos congruentes › tienen lados de diferentes medidas Ordenan los perímetros Pi de los triángulos, de manera que P1 < P2 < P3 < P4 < ... Ubican los triángulos de manera que el de perímetro P1 queda conteni- do en el de perímetro P2 , el de perímetro P2 queda contenido en el de perímetro P3, etc. Sacan conclusiones sobre el concepto de semejanza, observando la dis- posición de los triángulos. 2 Identifican polígonos semejantes en distintos contextos. 3 Caracterizan triángulos, cuadriláteros, pentágonos y, en general, polígo- nos semejantes. 4 Dibujan un pentágono, lo fotografían y miden los lados de la imagen y los lados de la figura original. Denotan los vértices del pentágono mediante A, B, C, D, E y los vértices de la imagen, por A’, B’, C’, D’, E’. Comparan las longitudes de los lados correspondientes. Discuten respecto de la forma, la razón de los lados, etc. AE 02 Identificar los criterios de 1 semejanza de triángulos. Dibujan dos triángulos con la medida de sus ángulos congruentes, pero con distinta medida en sus lados, utilizando procesadores geométricos. AE 03 Establecen resultados relativos a la proporcionalidad que se establece entre pares de lados correspondientes de cada triángulo. Utilizar los criterios de se- 2 mejanza de triángulos para Observan dos triángulos que tienen sus ángulos correspondientes con- el análisis de la semejanza gruentes e identifican que ellos son semejantes. de figuras planas. 3 Observan dos triángulos que tienen dos pares de lados correspondientes proporcionales y los ángulos comprendidos por estos lados congruentes. Reconocen que dichos triángulos son semejantes. Segundo Año Medio / Matemática 53 Unidad 2
- 58. 4 Realizan cálculos, utilizando los criterios de semejanza. Por ejemplo, determinan la altura de un árbol por medio de información relativa a la sombra que proyecta una persona a una hora determinada. 5 Utilizan criterios de semejanza de triángulos para realizar mediciones que no se pueden realizar directamente con instrumentos. Por ejemplo, para medir el ancho de un canal o de un río. 6 Estiman medidas en contextos astronómicos. Por ejemplo, usan una mo- neda y lentes adecuados para estimar, por semejanza, el diámetro del Sol. ! Observaciones al docente: Es importante que el docente guíe al estudiante en estas actividades de aplicación, para que efectúe los montajes necesarios para realizar estos cálculos. AE 04 Comprender el teorema de 1 Thales sobre trazos proporcio- Analizan la demostración del teorema general de Thales. nales y aplicarlo en el análisis y la demostración de teoremas 2 relativos a trazos. Identifican casos particulares del teorema de Thales. 3 Reconocen el recíproco del teorema de Thales. 4 Realizan cálculos referidos a rectas paralelas cortadas transversalmente. 5 Utilizan el teorema de Thales para justificar construcciones geométricas relativas a la división de segmentos en partes iguales. ! Observaciones al docente: Se sugiere que el docente repase con sus estu- diantes algunos elementos básicos de las construcciones geométricas; en este caso, cómo construir paralelas a rectas dadas que pasen por puntos dados, con regla y compás. 54
- 59. AE 05 Demostrar los teoremas de 1 Euclides relativos a proporcio- A los estudiantes se les presenta un triángulo rectángulo en C, donde el nalidad de trazos. segmento CD es altura. C A B D a. si es el ángulo CAB y es el ángulo ABC, deben determinar los ángu- los ACD y DCB en función de ellos b. tienen que verificar que los triángulos ADC, DBC y ABC son semejantes A continuación, se les pide que demuestren: c. que el cuadrado de la altura CD es el producto de las proyecciones de los catetos sobre la hipotenusa d. que el cuadrado de cada cateto es igual al producto entre la hipote- nusa y su proyección sobre ella ! Observaciones al docente: Se sugiere que el docente trabaje junto con sus estudiantes la deducción de otras relaciones que se pueden establecer entre los trazos que se forman en el triángulo. AE 06 Demostrar el teorema de Pitá- 1 goras y el teorema recíproco Utilizan las relaciones establecidas por el teorema de Euclides entre la de Pitágoras. altura h correspondiente a la hipotenusa c de un triángulo rectángulo, la proyección p del cateto a sobre c y la proyección q del cateto b sobre c , para demostrar el teorema de Pitágoras; es decir, las relaciones: › h2 = pq › a2 = pc › b2 = qc 2 Enuncian el teorema recíproco de Pitágoras, para luego demostrarlo. Con este propósito: › suponen que en un triángulo de lados a, b, c se verifica que a2 + b2 = c2 › demuestran que el ángulo comprendido entre a y b es recto ! Observaciones al docente: Se sugiere al docente que trabaje algunas de- mostraciones por contradicción antes de esta. En este caso, que los estudian- tes supongan que el ángulo que se forma entre estos lados no es recto y que consideren las posibilidades que surgen a raíz de esta suposición. 3 Realizan actividades concretas para verificar el teorema recíproco de Pitá- goras en casos particulares. Por ejemplo, hacen 11 nudos en una cuerda, igualmente espaciados, para construir el ángulo recto. Segundo Año Medio / Matemática 55 Unidad 2
- 60. AE 07 Identificar ángulos inscritos y 1 del centro en una circunferen- Se les solicita a los estudiantes que: cia, y relacionar las medidas › dibujen una circunferencia, un ángulo del centro y cinco ángulos ins- de dichos ángulos. critos que subtiendan el mismo arco › midan el ángulo del centro y los ángulos inscritos › completen una tabla con las mediciones › realicen este mismo proceso con tres ángulos distintos del centro › formulen una conjetura basada en sus datos y argumenten su validez ! Observaciones al docente: Esta actividad busca que los alumnos investi- guen las relaciones entre los ángulos inscritos y del centro de una circunferen- cia que subtienden arcos iguales. Para esto, se les solicitará que traigan a la clase compás, regla y transportador. 2 Los estudiantes deducen la relación que existe entre un ángulo inscrito y del centro que subtienden arcos iguales. Con este propósito: › dibujan una circunferencia de radio r y centro O › marcan en ella tres puntos: A, B y C › forman los triángulos AOC, BOC y ABO › demuestran que AOC = 2 ACB AE 08 Demostrar relaciones que se 1 establecen entre trazos deter- Demuestran la relación que se establece entre los segmentos que se minados por cuerdas y secan- forman al cortarse dos cuerdas de una circunferencia. tes de una circunferencia. 2 Utilizan la noción de semejanza para demostrar la relación entre los tra- zos que se determinan al cortar una circunferencia con dos secantes. AE 09 Demostrar teoremas relati- 1 vos a la homotecia de figuras Los estudiantes identifican, a partir de una representación gráfica, los planas. conceptos de: › homotecia › centro de homotecia › razón de homotecia 2 Demuestran que dos trazos homotéticos son paralelos, para: › homotecia positiva › homotecia negativa 3 Demuestran que dos polígonos homotéticos son semejantes. 56
- 61. AE 10 Resolver problemas relativos a: 1 a. el teorema de Thales sobre Trazan tres rectas paralelas y dos rectas transversales a ellas. Aplican el trazos proporcionales teorema de Thales respecto de esta figura, para identificar las proporcio- b. la división interior de un nes que se establecen entre los segmentos que se forman. trazo c. teoremas de Euclides rela- 2 tivos a proporcionalidad de Demuestran el teorema de la bisectriz interior de un triángulo. trazos 3 Resuelven problemas relativos a determinar la medida de segmentos cuando dos rectas paralelas son cortadas por rectas transversales, utili- zando el teorema de Thales. 4 Modelan situaciones referidas a triángulos rectángulos y emplean los teoremas de Euclides para calcular segmentos en ellos. 5 Resuelven problemas relativos a la división interior de un segmento. Por ejemplo: › dividir interiormente un segmento de longitud a en la razón 1 : 4 › un segmento mide 140 cm. y ha sido dividido interiormente por un punto Q en la razón 3 : 4. Deben determinar la medida del trazo de mayor longitud Segundo Año Medio / Matemática 57 Unidad 2
- 62. Ejemplo de Evaluación AE 03 Indicadores de Evaluación sugeridos Utilizar los criterios de se- › Utilizan el criterio lado-ángulo-lado para realizar cálculos mejanza de triángulos para relativos a trazos en figuras geométricas. el análisis de la semejanza › Emplean el criterio ángulo-ángulo para analizar la seme- de figuras planas. janza de triángulos que se forman en cuadriláteros. Actividad A continuación se presenta una situación relativa a cálculos de trazos en triángulos rectángu- los. Se pide que realicen las siguientes actividades: 1 dibuje el triángulo ABC, rectángulo en C, donde A = 30º, AC = 2 cm. y la altura h c = 3 cm. 2 verifique que los triángulos ADC, DBC y ABC son semejantes, donde h c = CD 3 calcule la longitud de los trazos AD y DB, empleando criterios relativos a la semejanza de triángulos. Criterios de evaluación Se sugiere considerar los siguientes aspectos: 1 Dibujan de manera correcta el triángulo con los datos dados. 2 Deducen correctamente todos los ángulos involucrados. 3 Verifican que los triángulos son semejantes. 4 Determinan las longitudes de los trazos pedidos, aplicando correctamente los criterios de semejanza. 58
- 63. Segundo Año Medio / Matemática 59 Unidad 2
- 64. 60
- 65. Unidad 3 Álgebra contenidos › Función exponencial y representación gráfica › Función logarítmica y representación gráfica › Función raíz cuadrada y representación gráfica Propósito › Sistemas de ecuaciones lineales con dos incógnitas Los alumnos han estudiado en años anteriores el › Métodos de resolución de un sistema de ecuacio- concepto de función y, en particular, la función lineal nes lineales con dos incógnitas y afín. En esta unidad se introducen las funciones › Gráfica de un sistema de ecuaciones exponencial, logaritmo y raíz cuadrada en diversos › Expresiones algebraicas fraccionarias contextos y las respectivas representaciones gráficas › Operaciones de expresiones algebraicas con la ayuda de herramientas tecnológicas. fraccionarias Por otra parte, se enseña la resolución de sistemas Habilidades de ecuaciones lineales con dos incógnitas, estrecha- › Identificar las funciones exponenciales, logarítmi- mente ligada a la resolución de problemas. Además, cas y raíz cuadrada en contextos diversos se puede apoyar la representación gráfica de estos › Modelar situaciones diversas a través de las fun- sistemas con herramientas tecnológicas. ciones exponenciales, logarítmicas y raíz cuadrada › Representar gráficamente las funciones exponen- Con respecto a las expresiones algebraicas, los estu- ciales, logarítmicas y raíz cuadrada diantes generalizarán las estrategias que usaban en › Argumentar respecto de las variaciones que se las operaciones de números fraccionarios para operar producen en la representación gráfica de las fun- con expresiones algebraicas fraccionarias e iden- ciones exponenciales, logarítmicas y raíz cuadrada, tificarán los valores para los cuales se indefine una al modificar los parámetros fracción algebraica. › Resolver problemas mediante sistemas de ecua- ciones lineales con dos incógnitas Conocimientos previos › Representar gráficamente un sistema de ecuacio- › Función nes lineales con dos incógnitas › Dominio › Resolver problemas que involucren expresiones › Recorrido algebraicas fraccionarias › Función lineal › Relacionar las operaciones de fracciones con › Función afín las operaciones de expresiones algebraicas › Ecuación de primer grado con una incógnita fraccionarias › Expresiones algebraicas › Argumentar respecto de los valores permitidos › Operaciones de fracciones del denominador de una expresión algebraica fraccionaria Palabras clave Función exponencial, función logarítmica, función Actitudes raíz cuadrada, sistemas de ecuaciones lineales con › La perseverancia, el rigor, la flexibilidad y la origi- dos incógnitas, expresiones algebraicas fraccionarias. nalidad al resolver problemas matemáticos 61
- 66. Aprendizajes Esperados aprendizajes esperados indicadores de evaluación sugeridos Se espera que los estudiantes sean Cuando los estudiantes han logrado este aprendizaje: capaces de: AE 01 Analizar gráficamente la › Representan gráficamente la función exponencial f ( x ) = ax, con a IR y función exponencial, en forma a > 0, en forma manual y usando herramientas tecnológicas. manual y con herramientas › Identifican las características gráficas de una función exponencial, inclu- tecnológicas. yendo dominio, recorrido e interceptos. › Argumentan acerca de las variaciones que se producen en la gráfica al modificar los parámetros de la función exponencial. Por ejemplo, caracte- rizan la función f ( x ) = a x + b , con a , b IR y a > 0, observando en el gráfico la traslación vertical que resulta al variar el parámetro b. AE 02 Analizar gráficamente la › Representan de modo gráfico la función logaritmo en base a f ( x ) = loga x, función logarítmica, en forma con x, a IR+, a ≠ 1, en forma manual y con herramientas tecnológicas. manual y con herramientas › Identifican la función logaritmo natural como un caso particular de la tecnológicas. función logaritmo en base a cuando a = e › Identifican las características gráficas de una función logarítmica, inclu- yendo dominio, recorrido e interceptos. › Argumentan sobre las variaciones que se producen en la gráfica al modi- ficar los parámetros de la función logarítmica. Por ejemplo, caracterizan la función f ( x ) = log ( x + a ) , con a IR, observando en el gráfico la traslación horizontal que resulta al variar el parámetro a. AE 03 Analizar gráficamente la fun- › Representan gráficamente la función raíz cuadrada f ( x ) = x, con x ción raíz cuadrada, en forma IR0+en forma manual y usando herramientas tecnológicas. manual y con herramientas › Identifican las características gráficas de una función raíz cuadrada, inclu- tecnológicas. yendo dominio y recorrido. › Argumentan acerca de las variaciones que se producen en la gráfica al modificar los parámetros de la función raíz cuadrada. Por ejemplo, carac- terizan la función f ( x ) = x - a con x - a > 0, observando en el gráfico la traslación horizontal que resulta al variar el parámetro a . 62
- 67. aprendizajes esperados indicadores de evaluación sugeridos Se espera que los estudiantes sean Cuando los estudiantes han logrado este aprendizaje: capaces de: AE 04 Analizar la validez de una ex- › Identifican aquellos valores para los cuales una fracción algebraica se presión algebraica fraccionaria. indefine y justifican adecuadamente. › Analizan fórmulas e interpretan las variaciones que se producen por cam- bios en las variables. AE 05 Establecer estrategias para › Relacionan la operatoria de números fraccionarios con la operatoria de las operar10 fracciones algebraicas expresiones algebraicas fraccionarias, y establecen analogías y diferencias. simples, con binomios en el nu- › Establecen estrategias para simplificar fracciones algebraicas. merador y en el denominador, › Establecen estrategias para sumar o restar fracciones algebraicas, consi- y determinar los valores que derando si los denominadores son iguales o diferentes. indefinen estas expresiones. › Establecen estrategias para multiplicar y dividir fracciones algebraicas. › Resuelven problemas, utilizando operatoria con expresiones algebraicas fraccionarias, productos notables y factorizaciones. AE 06 Resolver sistemas de ecuacio- › Determinan y verifican la solución gráfica de un sistema de ecuaciones nes lineales con dos incógni- lineales con dos incógnitas en el plano cartesiano, manualmente. tas, gráfica y algebraicamente. › Determinan y verifican la solución gráfica de un sistema de ecuaciones lineales con dos incógnitas en el plano cartesiano, usando un software gráfico. › Resuelven sistemas de ecuaciones lineales con dos incógnitas mediante sustitución. › Resuelven sistemas de ecuaciones lineales con dos incógnitas mediante reducción. › Resuelven sistemas de ecuaciones lineales con dos incógnitas mediante igualación. › Fundamentan acerca de cuál es el método más eficiente para resolver un sistema de ecuaciones lineales dado y determinan su solución. › Discuten acerca de la existencia y pertinencia de las soluciones de siste- mas de ecuaciones lineales con dos incógnitas. 10 Suma, resta, multiplicación, división, simplificación, amplificación. Segundo Año Medio / Matemática 63 Unidad 3
- 68. aprendizajes esperados indicadores de evaluación sugeridos Se espera que los estudiantes sean Cuando los estudiantes han logrado este aprendizaje: capaces de: AE 07 Modelar y aplicar la función › Modelan una situación, usando un sistema de ecuaciones lineales con dos exponencial, raíz cuadrada y incógnitas. logarítmica en la resolución de › Relacionan un sistema de ecuaciones lineales con dos incógnitas con el problemas, y resolver proble- contexto de un problema. mas que involucren sistemas › Interpretan la solución de un sistema de ecuaciones lineales con dos de ecuaciones lineales con incógnitas según el contexto del problema asociado. dos incógnitas. › Identifican la función exponencial en contextos diversos. › Modelan situaciones diversas, cuyo modelo resultante sea una función exponencial. Por ejemplo, la reproducción bacteriana. › Identifican la función raíz cuadrada en contextos diversos. › Modelan situaciones diversas, cuyo modelo resultante sea una función raíz cuadrada. › Identifican la función logarítmica en contextos diversos. › Modelan situaciones diversas, cuyo modelo resultante sea una función logarítmica. Por ejemplo, la medición de la energía que libera un sismo a través de la escala de Richter. 64
- 69. Aprendizajes Esperados en relación con los OFT La perseverancia, el rigor, la flexibilidad y la originalidad al resolver problemas matemáticos › Tiene un orden y método para el registro de información › Termina los trabajos iniciados › Es tenaz frente a los obstáculos o dudas que se le presentan en problemas matemáticos Orientaciones didácticas para la unidad En la unidad anterior, los estudiantes ampliaron su También debe proponerse la resolución de sistemas de conocimiento con respecto a los conjuntos numéri- ecuaciones como una herramienta matemática capaz cos. En esta, trabajarán las funciones exponenciales de resolver situaciones de la vida cotidiana. Es impor- logarítmicas y las funciones raíz cuadrada e identificarán tante usar algún programa matemático que apoye la correctamente el dominio, el recorrido y los valores que verificación gráfica de la solución. pueden tomar algunos parámetros, incluyendo este nuevo conjunto numérico (los números reales) donde Es fundamental que los estudiantes desarrollen sus pro- sea pertinente hacerlo. pias estrategias para enfrentar una situación a lo largo de la unidad. En este sentido, se recomienda –cada vez Se recomienda apoyar el estudio de estas funciones con que se pueda– proponerles problemas abiertos que los algún programa matemático que permite usar gráfica, impulsen a encontrar soluciones y aventurarse en la como Graphmatica o funciones para Windows. El pro- búsqueda de patrones, de soluciones más generales, grama libre GeoGebra permite modificar las funciones etc. Los alumnos deben comunicar procedimientos y de manera más dinámica. resultados, discutirlos y explicar las conclusiones obte- nidas en el desarrollo sistemático de las actividades. Se sugiere que el docente ponga énfasis en la aplica- ción de las funciones señaladas en contextos cien- Respecto de la evaluación, se aconseja monitorear el lo- tíficos, naturales, geográficos y otro; así, el alumno gro de los Aprendizajes Esperados a medida que avanza la extenderá el ámbito de las matemáticas a situaciones unidad y no solo al final de ella. De este modo, el docente de la vida cotidiana y aterrizará los conceptos que sabrá si los estudiantes asimilan los conceptos centrales y parecen muy abstractos cuando se estudian separados podrá diseñar estrategias para trabajar con la diversidad del mundo real. de niveles de aprendizaje que conviven en el aula. Con respecto a las expresiones algebraicas, se incor- Es importante que estas evaluaciones midan habilidades poran las expresiones algebraicas fraccionarias. El y conocimientos y que contengan preguntas intere- profesor debe guiar a los estudiantes a los procesos santes y desafiantes, pero deben adecuarse a la edad que ellos ya conocen (como las operaciones de núme- de los alumnos. Se sugiere diseñar preguntas abiertas y ros racionales) para que relacionen los procedimientos problemas que demanden a los estudiantes elaborar es- que hacían al sumar dos fracciones, con la suma de trategias y utilizar procedimientos, considerando que los expresiones algebraicas. Deben visualizar que en estos problemas en matemática no siempre tienen respuesta casos también se busca un denominador común entre única ni importa siempre el resultado final. Con pregun- dos expresiones, como cuando lo hacían al sumar tas de este tipo, el docente podrá observar también los números; por lo tanto, tienen que generalizar los pro- distintos niveles de desempeño de los alumnos y diseñar cedimientos conocidos y aplicarlos en las operaciones procesos de retroalimentación para aquellos aspectos de fracciones algebraicas. que entiendan menos. Segundo Año Medio / Matemática 65 Unidad 3
- 70. Ejemplos de Actividades AE 01 Analizar gráficamente la 1 función exponencial, en forma Estudian la función exponencial f ( x ) = a x para distintos valores de a, con manual y con herramientas a IR+ tecnológicas. Construyen tablas de valores para distintos valores de a, para luego grafi- car. Por ejemplo, para: a. a=2 1 b. a = 2 9 c. a = 10 d. a = e ! Observaciones al docente: Se sugiere poner énfasis en los valores que puede tomar el parámetro a, ¿Qué sucede si se construye la tabla de valores para la función f ( x ) = ( - 2 ) x ? El profesor puede pedir a los alumnos que construyan esta tabla y observen los valores que se obtienen. ¿Por qué el valor de a está definido en los reales positivos? Estudiar el caso de f (0,5). Luego propone que obtengan la tabla de valores de la función f ( x ) = -2 x y observen que este caso sí es una función exponencial. 2 Analizan la gráfica de las funciones y responden para cada uno de los casos estudiados: › ¿cuál es el dominio? › ¿cuál es el recorrido? › ¿en qué punto la función se intersecta con el eje de las ordenadas? 3 Responden preguntas acerca de la función exponencial f ( x ) = ax + b, con a, b IR y a > 0 › ¿cuál es el dominio? › ¿cuál es el recorrido? › ¿en qué punto la función se intersecta con el eje de las ordenadas? ! Observaciones al docente: Se sugiere promover el uso de programas gráfi- cos, sin dejar de lado la gráfica manual, para comprobar lo realizado por los estudiantes. También es importante apoyarse de una calculadora científica y obtener aproximaciones de ciertos valores, ya que se está trabajando en el conjunto de los números reales. Para el caso de la función f ( x ) = a x + b , con a , b IR y a > 0, se recomienda preguntar a los alumnos qué sucede con la gráfica al variar el parámetro b. 66
- 71. Se puede proponer el estudio de otras funciones, modificando la posición del parámetro b ; por ejemplo: f ( x ) = a x · b , con a , b IR , a > 0 y b ≠ 0, y formu- lar preguntas acerca del crecimiento y decrecimiento de la función. AE 02 Analizar gráficamente la 1 función logarítmica, en forma Estudian la función logarítmica f ( x ) = log10 x, para distintos valores de x, manual y con herramientas con x Î IR. tecnológicas. Construyen tablas de valores para distintos valores de x. Por ejemplo, para: › x = 10 › x = 100 › x = 20 › x = -10 ! Observaciones al docente: Los estudiantes deben descubrir por qué es importante precisar el dominio de la función logaritmo. Se les puede formular preguntas como: ¿qué pasa si x < 0? Se propone que el docente los guíe, recordándoles la definición de un logaritmo y cuáles son sus restricciones con respecto al dominio. 2 Estudian la función logarítmica f ( x ) = log a x para distintos valores de a , con a IR+ y a ≠ 1. Construyen las tablas de valores para distintos valores de a. Por ejemplo, para: › a = 10 › a = e › a = 2 ! Observaciones al docente: Se sugiere preguntar a los estudiantes por qué es importante precisar el dominio de la base del logaritmo. Puede formular preguntas como: ¿qué pasa si a < 0? Se propone que el docente les recuerde la definición de un logaritmo y las propiedades estudiadas en la unidad de Números, especialmente la propie- dad de cambio de base. Así los ayudará a encontrar los valores de la función logarítmica en base 2, que no se pueden obtener directamente de una calcu- ladora científica convencional. 3 Grafican las funciones propuestas en las actividades 1 y 2. Segundo Año Medio / Matemática 67 Unidad 3
- 72. 4 Analizan la gráfica de las funciones y responden las siguientes preguntas para cada uno de los casos estudiados: › ¿cuál es el dominio? › ¿cuál es el recorrido? › ¿en qué punto la función se intersecta con el eje de las abscisas? 5 Dada la función logarítmica f ( x ) = log ( x + a ) , con a IR, responden: › ¿cuál es el dominio? › ¿cuál es el recorrido? › ¿en qué punto la función se intersecta con el eje de las abscisas? ! Observaciones al docente: Para estas funciones, se sugiere usar un progra- ma gráfico y una calculadora científica para apoyar la gráfica manual. Para el caso de la función f ( x ) = log ( x + a ), con a IR , el profesor puede preguntar a los alumnos qué sucede con la gráfica al variar el parámetro a . Se puede estudiar otras funciones, modificando la posición del parámetro a ; por ejemplo: f ( x ) = a log ( x ) , con a IR y a ≠ 0, y preguntar acerca del crecimiento y decrecimiento de la función. AE 03 Analizar gráficamente la fun- 1 ción raíz cuadrada, en forma Estudian la función raíz cuadrada f ( x ) = a bx, con bx IR0+ y a IR. manual y con herramientas tecnológicas. Construyen tablas de valores para distintos valores de a y b. Por ejemplo, para: › a = b = 1 › a = -2 y b = 1 › a = 1 y b = -2 1 › a = - y b = -5 2 ! Observaciones al docente: Se sugiere observar las tablas de valores que construyen los estudiantes y utilizar los errores. Por ejemplo, algunos estu- diantes podrían pensar que no se puede obtener el valor aproximado de una raíz solo por el hecho de ver el signo negativo en el radicando. Algunos alum- nos también pueden considerar números negativos de la función j ( x ) = x en la tabla de valores y no percatarse de que ese valor no existe en los números reales; por ejemplo, quizás escriban x = -4, j (-4) = -2 La idea es hacer la prueba en una calculadora para que vean qué resultado arroja al pedir el valor de -4. Se recomienda recordar después el concepto de raíz cuadrada de un número. 2 Grafican las funciones propuestas en la actividad 1. 68
- 73. 3 Analizan la gráfica de las funciones y responden para cada uno de los casos estudiados: › ¿cuál es el dominio? › ¿cuál es el recorrido? Describen los cambios producidos en los gráficos al variar los valores de los parámetros a y b. 4 Sea la función raíz cuadrada f ( x ) = x - h + k , con h, k IR. Responden: › ¿cuál es su dominio? › ¿cuál es el recorrido? Describen los cambios producidos en los gráficos al variar los valores de los parámetros h y k . ! Observaciones al docente: Se sugiere usar algún graficador para estudiar mejor los cambios que se registran al variar los distintos parámetros y anali- zar el dominio y el recorrido de todos esos casos. AE 04 Analizar la validez de 1 a una expresión algebraica Dada la expresión b , responder: fraccionaria. › ¿por qué se dice que esta expresión se indefine cuando b = 0 para cualquier valor de a IR con a ≠ 0? › ¿qué sucede en el caso a = b = 0 ? ¿También se indefine o ese valor es infinito? Fundamente. 2 Si x pertenece a los números reales, ¿qué restricción pondría usted al valor de x en las siguientes expresiones? › x3 + x 4 x2 + 4 3x › 2x + 1 › x +1 2x 2x - 3 › 3x + 7 ! Observaciones al docente: Se sugiere poner énfasis en la importancia de restringir el dominio de las variables en los denominadores de las fracciones algebraicas, dar algunos ejemplos algebraicos y formular preguntas con ejemplos numéricos que conduzcan a los estudiantes al algoritmo de la división. Por ejemplo: 10 : 5 = 2 , porque existe un único número en el conjunto de los números reales que multiplicado por 5 resulte 10, y ese número es 2. ¿Qué sucede en el caso 10 : 0 = x? ¿Es posible atribuir un valor definido para x en esta expresión? También puede proponer el caso 0 : 0 = x. Segundo Año Medio / Matemática 69 Unidad 3
- 74. AE 05 Establecer estrategias para 1 operar11 fracciones algebraicas En las siguientes expresiones, n pertenece a los números naturales. simples, con binomios en el nu- 3n n +1 , 2 n , merador y en el denominador, 4n + 1 2n 3n + 7 y determinar los valores que a. los estudiantes evalúan esas expresiones para distintos valores de n identifiquen estas expresiones. b. responden las siguientes preguntas: › ¿cuál es el menor valor que toma cada una de esas expresiones?, ¿para qué n se produce? › ¿qué se puede decir de esas expresiones cuando n toma valores grandes; por ejemplo, n =100, n =1.000, n =10.000 ? 2 Factorizan expresiones algebraicas. Por ejemplo: a2 - b2, a3 - b3, a4 - b4, a5 - b5 › Identifican regularidades en esas factorizaciones y la aplican para fac- torizar; por ejemplo, las expresiones a7 - b7, a3 + b3, a5 + b5, a7 + b7 › Identifican regularidades en esas factorizaciones y la aplican para fac- torizar; por ejemplo, la expresión a9 + b9 › Utilizan factorizaciones del tipo x2 +( a + b ) x + ab = ( x + a )( x + b ) para factorizar las siguientes expresiones: a. x 2 + 7x +10 b. a 2 + 3a - 4 c. b 2 - 12b +27 › Usan factorizaciones para determinar magnitudes del mundo. Por ejemplo, la suma por diferencia para determinar el radio de la Tierra, conocida su masa. (Física) ! Observaciones al docente: Se sugiere trabajar esta actividad junto con el profesor de Física. Uno de los objetivos que debieran alcanzar los estudiantes es llegar a la ecuación GMT m = m g , donde m g es el peso de un cuerpo que r2 está en la superficie de la Tierra, G la constante de gravitación universal, MT la masa de la Tierra y r , su radio. 3 Simplifican al máximo expresiones fraccionarias, justificando los procedi- mientos utilizados. Por ejemplo, simplifican las siguientes expresiones: › a2 + 2a - 3 , a ≠ -2, a ≠ -3 a2 + 5a + 6 › m3 + m 4m2 + 4 9x y - 7x 7 › , y ≠ -2, y ≠ 9y2 + 11y + 14 9 ( n - 3)2 ( m - 1) › , m ≠ 1, n ≠ 3 (1- m ) (9 - 3n ) 11 Suma, resta, multiplicación, división, simplificación, amplificación. 70
- 75. › m3 + n3 , m ≠ ± n m2 - n2 4 Obtienen el mínimo común múltiplo de expresiones algebraicas. Por ejemplo, el mínimo común múltiplo de: › 5m2 nr y 25mn3 › x2 -x y x2 -1 › a2 + b2 + 2ab, a2 - b2 y a2 + ab › a3 + b3 , a2 - b2 y a2 + ab 5 Operan expresiones fraccionarias y justifican los procedimientos utiliza- dos. Por ejemplo, realizan las siguientes operaciones: 2 3 › - x2 x a+b a+b › + a( a - b ) b ( a - b ) a a+ b › + a2- ab ab- b2 1 b a › - + a2 + ab + b2 a3- b3 a2 - ab y -1 y +1 › : x +2 x +2 a2 + b2 + 2 ab ab + b2 › : a2 - b2 a-b ! Observaciones al docente: Es importante que los estudiantes: › reconozcan y justifiquen los procedimientos que utilizan, si usan propieda- des como conmutatividad, distributividad; › identifiquen los nombres de los factores que trabajan (monomios, bino- mios, etc.), si realizan simplificaciones, factorizaciones, para que se vayan apropiando del lenguaje matemático y comprendan las acciones que realizan; es decir, que razonen matemáticamente, no que me- moricen procedimientos. AE 06 Resolver sistemas de 1 ecuaciones lineales con Para cada una de las ecuaciones de los siguientes sistemas, asignan valo- dos incógnitas, gráfica y res a una de las variables (por ejemplo, a x ) y calculan la otra variable (en algebraicamente. este caso, y ). Registran los valores en una tabla. › -3x + y = -2 2x + y = 8 Segundo Año Medio / Matemática 71 Unidad 3
- 76. › 2x - y = 2 3x + y = 3 Grafican las tablas de valores asociadas a cada una de las ecuaciones. La solución del sistema es la intersección de las rectas obtenidas. 2 Resuelven algebraicamente los siguientes sistemas de ecuaciones lineales, utilizando el método más apropiado. Justifican la elección del método. › x - 2y = 3 3x + 6y = 4 › a + m = 40 4a + 2m = 100 › -3p - q = 2 p - q = -7 3 Antes de la resolución, analizan los sistemas y determinan si tienen una, ninguna o infinitas soluciones. Por ejemplo, indican si los siguientes siste- mas de ecuaciones tienen una, ninguna o infinitas soluciones: › 2a + b = 6 a+ b =1 2 1 › x+ 1 y=2 2 2 x+y=4 ! Observaciones al docente: Se sugiere al profesor usar un graficador para resolver un sistema de ecuaciones gráficamente o comprobar resultados obtenidos algebraicamente. También debe asegurarse de dejar clara la diferencia entre rectas paralelas coincidentes y no coincidentes, tanto gráfica como algebraicamente. AE 07 Modelar y aplicar la función 1 exponencial, raíz cuadrada y Determinan los sistemas de ecuaciones lineales asociados a situaciones logarítmica en la resolución en diversos contextos. Por ejemplo, determinan el sistema asociado a la de problemas, y resolver siguiente situación: problemas que involucren sistemas de ecuaciones Una compañía A de telefonía móvil ofrece un plan nocturno para los lineales con dos incógnitas. teléfonos de prepago a un costo de $0,5 el segundo más un cargo fijo de $40 por llamada. Una compañía B ofrece otro plan nocturno para los teléfonos de prepago a un costo de $0,2 el segundo, pero con un cargo fijo de $70 por llamada. ¿Cuál es el plan más económico? 72
- 77. 2 Considerando el problema de la actividad 1, analizan los resultados en función del problema y responden: › ¿cuál es el punto de intersección de las rectas asociadas a las ecuacio- nes del problema? › ¿qué interpretación tiene el punto de intersección en ese problema? › ¿cuál es el plan más conveniente para contratar? › ¿siempre es más económico un plan que otro? ! Observaciones al docente: Se sugiere que el profesor proponga situaciones de la vida cotidiana que sean significativas para los alumnos. Por ejemplo, problemas de comparación de cuentas de insumos básicos, telefonía y com- pañías de servicios, entre otros. 3 Formulan situaciones de interés, asociadas a modelos consistentes en sistemas de ecuaciones, y elaboran estos modelos. Por ejemplo, los estudiantes de II medio de un colegio desean saber qué cantidad de entradas se vendió en una fiesta a jóvenes y adultos; conocen el valor para adultos y el valor para jóvenes, el monto recaudado y la cantidad total de asistentes. 4 De una lista de situaciones en contexto, identifican cuáles son modelos exponenciales. Por ejemplo: Situación Modelo Variables 1 Población de N ( t ) = 100 · e 0,9t N ( t ) : cantidad de ciervos en una ciervos biorreserva t : tiempo en años 2 Altura que alcanza h ( t ) = 19,6t - 4.9t2 h ( t ) : altura en metros un objeto con una t : tiempo en segundos velocidad inicial de 19,6 metros por se- gundo en un tiempo determinado 3 Eliminación de un f ( x ) = 0,8 x f ( x ) : cantidad de dosis fármaco por la orina en el cuerpo en mg. x : número de días Segundo Año Medio / Matemática 73 Unidad 3
- 78. 5 Aplican un modelo exponencial para resolver problemas. Por ejemplo: La cantidad de miligramos f ( t ) de un medicamento que queda en el organismo de una persona, luego de t horas de haber sido administrado, está dada por la función f ( t ) = 10 · e (-0,2 t ). Responden las siguientes preguntas: › ¿cuántos miligramos contiene el medicamento al momento de admi- nistrarlo? › al cabo de 12 horas, ¿cuántos miligramos quedan en el organismo de la persona que lo tomó? 6 Grafican la función anterior de acuerdo al contexto del problema plantea- do. ¿Cuál es el dominio de la función en ese contexto? ! Observaciones al docente: Es importante que los estudiantes reconozcan un modelo exponencial en un contexto que les permita apreciar que, en esos casos, la variable independiente es el exponente de una base real positiva dada; así se evitará que, por el solo hecho de ver una potencia en un modelo, concluyan que ese modelo es una función exponencial. Además de reconocer un modelo exponencial, deben aplicarlo para resolver problemas. Se sugiere que el profesor presente a los alumnos (o los incentive a investigar) situaciones como la población de un lugar determinado, la repro- ducción de alguna célula o bacteria, la estimación de la antigüedad por medio del carbono 14, etc. 7 Aplican un modelo logarítmico para resolver problemas. (Física) Por ejemplo: La escala de Richter es una de las que se usa para medir la magnitud de un sismo. La cantidad de energía liberada en un movimiento sísmico está dada por la función R( E ) = log ( E ) - 11.8 , 1.5 donde E es la energía liberada medida en ergios12 y R es la magnitud del sismo en grados de la escala de Richter. Responden las siguientes preguntas: › ¿cuál es la magnitud de un sismo que liberó 6,309573445 · 1017 ergios? › ¿cuál es la magnitud de un sismo que liberó 1,9952622315 · 1025 ergios? 12 Ver detalles en http://es.wikipedia.org/wiki/Ergio 74
- 79. ! Observaciones al docente: Se recomienda que el profesor motive a los estu- diantes a recopilar información acerca de las distintas escalas de medidas de sismos, identifique algunos sucesos de esta naturaleza y los relacione con las magnitudes involucradas en cada uno. Esta actividad se puede relacionar con la asignatura de física, en la unidad “Tierra y universo”, donde han estudiado contenidos relativos a movimientos sísmicos. 8 Aplican un modelo de raíz cuadrada para resolver problemas. Por ejemplo: El tiempo que tarda un cuerpo en caer verticalmente a una distancia determinada se representa a través de la siguiente función: 2d t (d) = , g donde: d : distancia recorrida en caída libre vertical medida en metros g : constante de aceleración de gravedad medida en metros por segun- m dos cuadrados (utiliza esta aproximación de la constante: 10 ) s2 t : tiempo medido en segundos Responden: › se deja caer una piedra en sentido vertical desde un acantilado de 180m de altura sobre el mar; ¿cuánto tiempo demora en llegar al mar? › se deja caer una manzana desde un edificio de 15 metros, ¿cuántos segundos tarda en llegar al suelo? › averigüe la altura de la torre Eiffel y calcule el tiempo que demoraría un cuerpo en llegar al suelo › con respecto a la constante de aceleración de gravedad, averigüe el valor exacto que se ocupa para estos cálculos o si hay un rango de este valor › ¿influye la masa de un cuerpo en caída libre? ! Observaciones al docente: Se sugiere relacionar esta actividad con los con- ceptos estudiados en la unidad de “Fuerza y movimiento” en Física. Además, los alumnos pueden hacer una investigación más acabada en la que analicen qué otras variables intervienen en este tipo de movimientos, cuáles son las unidades de medida involucradas, etc. Segundo Año Medio / Matemática 75 Unidad 3
- 80. Ejemplo de Evaluación AE 05 Indicadores de Evaluación sugeridos Establecer estrategias › Relacionan la operatoria de números fraccionarios con la para operar13 fracciones operatoria de las expresiones algebraicas fraccionarias, y algebraicas simples, con establecen analogías y diferencias. binomios en el numerador › Establecen estrategias para simplificar fracciones algebraicas. y en el denominador, y › Establecen estrategias para sumar o restar fracciones determinar los valores que algebraicas, considerando si los denominadores son indefinen estas expresiones. iguales o diferentes. › Establecen estrategias para multiplicar y dividir fracciones algebraicas. › Resuelven problemas, utilizando operatoria con expre- siones algebraicas fraccionarias, productos notables y factorizaciones. Actividad Se presenta una situación relativa a operaciones con expresiones algebraicas fraccionarias. Se pide que calculen la siguiente suma: b a- b + a4- ab 3 a3 + a2 b + ab2 Criterios de evaluación Se sugiere considerar los siguientes aspectos: 1 Factorizan correctamente las expresiones de los denominadores de las fracciones. 2 Determinan correctamente el mínimo común denominador. 3 Realizan correctamente la suma. 13 Suma, resta, multiplicación, división, simplificación, amplificación. 76
- 81. Segundo Año Medio / Matemática 77 Unidad 3
- 82. 78
- 83. Unidad 4 Datos y azar Propósito Uno de los objetivos de esta unidad es que los estu- diantes comprendan que, para analizar la dispersión palabras clave de datos, es razonable considerar las desviaciones Rango, varianza, desviación estándar, medidas de respecto de la media. De esta manera se introduce el posición, medidas de dispersión, medidas de ten- concepto de desviación estándar como herramienta dencia central, muestreo aleatorio, variable aleatoria, para realizar ese análisis. Es útil que los estudiantes media muestral, media de la población, probabilidad. utilicen las medidas de tendencia central y las de posición para resumir bien la información, especial- Contenidos mente cuando hay un conjunto numeroso de datos. › Medidas de dispersión: desviación estándar Se incorpora el concepto de variable aleatoria y los › Variables aleatorias alumnos la identifican como una herramienta funda- › Media muestral mental para entender resultados de la probabilidad y › Ley de los grandes números de la estadística y aplicar estos resultados. Es el caso › Pruebas independientes de la ley de los grandes números, en la cual se basa › Eventos independientes gran parte de la probabilidad y de la estadística y que › Eventos mutuamente excluyentes los estudiantes trabajan de manera central. Tam- › Cálculo de probabilidades de eventos indepen- bién se busca que los alumnos caractericen eventos dientes y mutuamente excluyentes independientes, utilizando la medida de probabili- dad, generen resultados donde interviene este tipo Habilidades de eventos y los apliquen para resolver problemas › Analizar información, utilizando la desviación asociados al cálculo de probabilidades. estándar › Organizar datos, usando cuartiles y percentiles Conocimientos previos › Caracterizar variables aleatorias › Población y muestra › Determinar medias maestrales › Experimento aleatorio › Conjeturar acerca de la relación entre la media › Muestreo aleatorio simple muestral y la media de una variable aleatoria y › Equiprobabilidad de eventos verificar las conjeturas formuladas › Principio multiplicativo › Resolver problemas acerca de las probabilidades de › Espacio muestral asociado a un experimento sucesos independientes o mutuamente excluyentes aleatorio › Probabilidad teórica de un evento Actitudes › Medidas de tendencia central › Interés por conocer la realidad al trabajar con › Medidas de posición: cuartiles y percentiles información cuantitativa de diversos contextos 79
- 84. Aprendizajes Esperados aprendizajes esperados indicadores de evaluación sugeridos Se espera que los estudiantes sean Cuando los estudiantes han logrado este aprendizaje: capaces de: AE 01 Determinar el rango, la varian- › Interpretan las fórmulas que permiten calcular la desviación estándar de za y la desviación estándar de un conjunto de datos. conjuntos de datos. › Analizan datos a través de la desviación estándar de ese conjunto de datos. › Determinan el rango de un conjunto de datos. AE 02 Comparar características › Determinan las medidas de tendencia central para uno o más conjuntos de dos o más conjuntos de de datos e interpretan correctamente la información. datos, utilizando medidas de › Determinan las medidas de posición para uno o más conjuntos de datos e tendencia central, posición y interpretan correctamente la información. dispersión. › Comparan dos conjuntos de datos a partir de sus medidas de tendencia central, de posición y de dispersión. AE 03 Emplear elementos del mues- › Producen muestras aleatorias de una población, utilizando diferentes treo aleatorio simple para métodos. inferir sobre la media de una › Emplean medios computacionales para hacer inferencias de una población. población. AE 04 Comprender el concepto de › Reconocen una variable aleatoria como una clase especial de función. variable aleatoria y aplicarlo › Asignan números específicos a resultados de experimentos aleatorios. en diversas situaciones que involucran experimentos aleatorios. AE 05 Calcular medias muestrales. › Calculan la media muestral de pruebas independientes de experimentos probabilísticos. › Realizan experimentos con medias muestrales y establecen resultados. 80
- 85. aprendizajes esperados indicadores de evaluación sugeridos Se espera que los estudiantes sean Cuando los estudiantes han logrado este aprendizaje: capaces de: AE 06 Verificar que, a medida que el › Calculan la media de una población. Por ejemplo, la media de los resulta- número de pruebas crece, la dos del lanzamiento de un dado no trucado. media muestral se aproxima a › Extraen muestras de una población y calculan sus medias. Por ejemplo, la media de la población. si se tira 4 veces un dado no trucado y si los números son x1=4, x2=5, x3=1, x4=3, calculan la media de estos resultados. › Analizan los resultados de las medias obtenidas de las muestras cuando el número de datos de las muestras aumenta. Por ejemplo, analizan los resultados de las medias obtenidas al lanzar un dado 5 veces, 6 veces, 7 veces, 8 veces, etc. AE 07 Resolver problemas en con- › Identifican cuándo dos eventos son independientes. textos diversos, aplicando las › Establecen cuándo la probabilidad de la intersección de dos eventos equi- propiedades de la suma y el vale a la multiplicación de las probabilidades. producto de probabilidades. › Establecen cuándo la probabilidad de la unión de dos eventos equivale a la suma de las probabilidades. › Resuelven problemas relativos al cálculo de probabilidades, aplicando propiedades de la suma de probabilidades. › Resuelven problemas relativos al cálculo de probabilidades, aplicando propiedades del producto de probabilidades. Segundo Año Medio / Matemática 81 Unidad 4
- 86. Aprendizajes Esperados en relación con los OFT Interés por conocer la realidad al trabajar con información cuantitativa de diversos contextos › Propone temas de su interés para trabajar en clases › Aporta información complementaria sobre los temas abordados › Formula preguntas sobre los temas implicados en la información trabajada › Plantea opiniones al interpretar los datos › Argumenta y contrargumenta con base en los datos analizados Orientaciones didácticas para la unidad Respecto de las medidas de dispersión, conviene que valores de llegada o su imagen son los números reales. el docente trabaje en profundidad el concepto de Es recomendable ejercitar actividades relacionadas con desviación estándar y la fórmula asociada a él; especí- la generación de distintas variables aleatorias que ten- ficamente, por qué esta fórmula mide la dispersión de gan como dominio un mismo espacio muestral. valores respecto de la media y la importancia que tiene para comparar muestras. Es importante que el estudiante asimile uno de los resultados más importantes de estas áreas: la ley de los Respecto de las medidas de posición, es importante grandes números. Para ello, se sugiere trabajar la noción promover actividades que lleven a los estudiantes a de pruebas independientes e identificarlas en contextos proponer maneras de ordenar datos y de contrastar diversos. Se recomienda que el estudiante identifique, esos métodos con los que entregan los cuarteles y per- en el caso de una variable aleatoria X de media , que el centiles. Se sugiere al docente trabajar las fórmulas que resultado de cada prueba es una variable aleatoria con permiten calcular los cuartiles y percentiles y, específi- la misma media que X, y que el valor medio (o media camente, orientar a los alumnos para que las entiendan. muestral) de todos los resultados también es una variable Ellos deben ordenar cantidades grandes de datos que aleatoria. Conviene hacer muchos experimentos para emanan de contextos diversos. que verifiquen que, mientras más experimentos lleven a cabo, más se aproxima la media muestral a la media . Respecto de las variables aleatorias, el profesor tiene que destacar la importancia que tienen en la probabili- Respecto del cálculo de probabilidades de eventos dad y la estadística y explicar que, sin ellas, no se puede independientes y mutuamente excluyentes, se sugiere comprender ni aplicar resultados en estas áreas. Es trabajar de manera exhaustiva las operaciones con necesario que los estudiantes entiendan estas variables conjuntos; asimismo, usar los diagramas de Venn para como una clase especial de función y ejerciten el cálculo verificar y generar resultados que midan la probabilidad de espacios maestrales. Asimismo, que den ejemplos de de uniones e intersecciones entre ellos. Se tiene que distintas instancias donde se presentan (como conjunto aplicar estas actividades a distintos contextos con ese de partida de estas funciones) y que constaten que sus tipo de eventos. 82
- 87. Ejemplos de Actividades AE 01 Determinar el rango, la varian- 1 za y la desviación estándar de Calculan el rango de diferentes conjuntos de datos. Por ejemplo, el rango conjuntos de datos. de las notas de una prueba de matemática que obtuvieron los estudian- tes de un curso. 2 ( x 1- ) 2 + ( x 2- ) 2+...+( x n - ) 2 Analizan, a través de ejemplos, la fórmula , n que permite calcular la desviación estándar de n valores x1, x2, x3, ..., xn de una población que tiene media . Por ejemplo, utilizan los datos 1, 2, 2, 4, 12, 15 y los datos 4, 5, 5, 7, 7, 8, ambos de media = 6, para analizar esta fórmula. 3 Comprueban, a través de ejemplos, que una manera alternativa de calcular la desviación estándar es a través de la fórmula = x12 + x22 + ... + xn2 - 2 , donde es la media de los datos n x1, x2, x3, ..., x n de una población. 4 Interpretan correctamente que la dispersión de los n valores x1, x2, x3, ..., xn de una muestra respecto de su media x se puede medir a través de la fórmula: (x1 - x)2 + (x2 - x)2 + ... + (xn - x)2 n-1 En cambio, si x1, x2, x3, ..., x n son los n valores numéricos de una pobla- ción total con media , su desviación estándar se calcula mediante la fórmula: (x1 - )2 + (x2 - )2 + ... + (xn - )2 n Aplican estos resultados para calcular varianzas y desviaciones estándar de poblaciones y de muestras de esas poblaciones. Segundo Año Medio / Matemática 83 Unidad 4
- 88. AE 02 Comparar características 1 de dos o más conjuntos de Aplican la definición de la mediana para calcular esa medida en cantidades datos, utilizando medidas de de datos pares e impares. tendencia central, posición y dispersión. 2 Organizan datos en tablas de frecuencias y calculan la media de esos datos en función de esas frecuencias. Por ejemplo, en un condominio de 21 casas, el número de habitantes de cada casa es: 3 3 2 1 1 4 5 4 3 2 5 1 1 3 2 4 3 1 4 2 5 › realizan una tabla de frecuencias › calculan la media del conjunto de datos, utilizando las frecuencias 3 Establecen que, aunque la media y la mediana se sitúan en el centro de los datos, la mediana es sensible al número de ellos y la media lo es respecto de sus valores. Por ejemplo, de 30 afiliados de una AFP, 6 de ellos cotizan mensualmente $70.000, 12 cotizan $80.000, 8 cotizan $90.000, 3 coti- zan $100.000 y 1 cotiza $110.000. › calculan la media y la mediana de las cotizaciones › calculan la media y la mediana de las cotizaciones cuando las personas que cotizan $100.000 y $110.000 aumentan este monto en $40.000 y $50.000 › analizan los resultados obtenidos y entregan conclusiones 4 Distinguen muestras de igual media a partir de la medida de la dispersión de sus valores respecto de esa media. Por ejemplo, distinguen las muestras A y B a partir de la desviación estándar de los siguientes conjuntos de datos: A: 18, 18, 19, 20, 20 B: 5, 10, 10, 30, 40 AE 03 Emplear elementos del mues- 1 treo aleatorio simple para Generan números aleatorios, usando una calculadora. Por ejemplo, em- inferir sobre la media de una plean la tecla RAN de la calculadora para seleccionar de manera aleatoria población. una muestra de 70 personas de una población de 1.500 personas. 2 Infieren acerca de la media de una población, utilizando elementos del muestreo aleatorio simple. Por ejemplo, estiman la estatura promedio de los estudiantes de un colegio de 3.000 estudiantes con una tabla de números aleatorios para seleccionar una muestra aleatoria de 20 estudiantes. 84
- 89. AE 04 Comprender el concepto de 1 variable aleatoria y aplicarlo Describen espacios muestrales de experimentos aleatorios. Por ejemplo, en diversas situaciones que describen el espacio muestral que resulta al lanzar cuatro monedas. involucran experimentos aleatorios. 2 Asignan valores numéricos a cada punto de un espacio muestral. Por ejemplo, asignan valores numéricos a cada punto (a, b) de un espacio muestral S que resulta del lanzamiento de dos dados. ! Observaciones al docente: El docente debe cerciorarse de que la regla para asignar valores numéricos a cada punto del espacio muestral sea fácil de seguir. En el caso de la actividad propuesta, sería fácil asignar a cada punto (a, b) el mínimo entre a y b. De esta manera (2, 5) 2, (1, 6) 1. 3 Caracterizan una variable aleatoria de un espacio muestral de un experimento. ! Observaciones al docente: Es importante que el profesor trabaje con sus estudiantes en esta caracterización y los guíe para que concluyan, por ejemplo, que una de las características de una variable aleatoria es que todas las preimágenes de cada intervalo de los números reales es un suceso del espacio muestral. 4 Verifican que la función X : S R es una variable aleatoria, donde S es el espacio muestral del experimento (que consiste en lanzar cinco veces una moneda) y X (A1 A2 A3 A4 A5), con Ai cara o sello, corresponde al número de caras que salen. 5 Al tirar un par de dados, los estudiantes determinan: › el espacio muestral S › X (1,5) › X (6,3) donde X es la variable aleatoria que asigna a cada punto (a, b) de S la suma de los números; es decir, X(a, b) = a + b 6 Determinan el conjunto de pares ordenados [(x i ), f (x i )], donde f es la fun- ción que asigna probabilidades a los puntos del conjunto del recorrido de la variable aleatoria X : {x 1, x 2, ... x n } ; es decir, f ( x k ) P ( X = x k ), y repre- sentan el gráfico de probabilidad de la variable aleatoria en un diagrama de barras o histograma. Por ejemplo, en el lanzamiento de una moneda tres veces, donde X es la variable aleatoria que asigna a cada punto del espacio muestral: S = {CCC, CCS, CSC, CSS, SCC, SCS, SSC, SSS} El número de sellos que resultan representa el gráfico de probabilidad de X en un diagrama de barras o en un histograma. Segundo Año Medio / Matemática 85 Unidad 4
- 90. AE 05 Calcular medias muestrales. 1 Calculan la media muestral X n de pruebas independientes de experi- AE 06 mentos aleatorios. Los estudiantes lanzan cuatro veces una moneda y consideran que la variable aleatoria es el número de caras que salen. Utilizan el computador para simular el experimento: repiten a veces el Verificar que, a medida experimento de lanzar la moneda cuatro veces y registran los resultados que el número de pruebas en la tabla siguiente para a =10, a = 50, a =100. Luego registran la media crece, la media muestral se muestral X n : aproxima a la media de la 0 1 2 3 4 Xn población. 10 experimentos 50 experimentos 100 experimentos 2 Comparan los valores X 10 , X 50 , X 100 con el valor 2. 3 Realizan otros experimentos; por ejemplo, el lanzamiento de dados. 4 Establecen conclusiones respecto del valor al que se aproxima la media muestral X n a medida que n aumenta. ! Observaciones al docente: El profesor debe realizar actividades adiciona- les para trabajar la ley de los grandes números. Los estudiantes tienen que asimilar esa ley, debido a su importancia. AE 07 Resolver problemas en con- 1 textos diversos, aplicando las Identifican eventos mutuamente excluyentes y aplican el postulado re- propiedades de la suma y el lativo a la probabilidad de la unión de eventos mutuamente excluyentes producto de probabilidades. A1, A2, A3, ... : P(A1 U A2 U A3 U...) = P(A1) + P(A2) + P(A3) + ... en el cálculo de probabilidades. Por ejemplo, se basan en el postulado anterior para calcular la probabili- dad de sacar, al menos, una cara al lanzar dos veces una moneda. ! Observaciones al docente: El profesor debe definir las probabilidades como los valores de una función de conjunto que asigna números reales a los diferentes subconjuntos de un espacio muestral. Se sugiere que muestre a sus estudiantes los postulados de probabilidad; es decir, que la probabilidad de un evento satisface: 1) P(A) 0, para cualquier subconjunto A del espacio muestral S 2) P(S) = 1 3) P(A1 U A2 U A3 U...) = P(A1) + P(A2) + P(A3) + ..., para eventos mutuamente excluyentes A1, A2, A3, ... de S 86
- 91. 2 Usan diagramas de Venn para verificar que la probabilidad de la unión de dos eventos es la suma de las probabilidades de esos eventos menos la probabilidad de la intersección entre ellos, y la aplican en el cálculo de probabilidades. Por ejemplo, calculan la probabilidad de que una familia posea cualquiera de dos aparatos (un televisor convencional o un televisor de alta defini- ción) o ambas clases de aparatos, sabiendo que las probabilidades de que una familia escogida aleatoriamente para una encuesta de muestreo en una región tenga un televisor convencional, un LCD o ambas clases de aparatos, son 0,85, 0,32 y 0,28, respectivamente. 3 Aplican la definición de eventos independientes para determinar los eventos que satisfacen esa condición. Por ejemplo, al lanzar una moneda tres veces, determinan si los eventos A y B o B y C son independientes, donde A es el evento de que ocurra cara en los dos primeros lanzamien- tos, B el evento de que en el tercer lanzamiento se obtenga sello, y C el evento de que se obtengan dos sellos en los tres lanzamientos. 4 Identifican situaciones donde la igualdad entre la probabilidad de la intersección de tres eventos y la multiplicación entre sus probabilidades no garantiza la independencia entre ellos. Por ejemplo, en un espacio equiprobable S = {a, b, c, d, e, f, g, h} se definen los eventos: A1={a, b, c, d}, A2={a, b, c, d}, A3={a, b, c, d} Se puede verificar que P(A1 A2 A3) = P(A1) P(A2) P(A3), pero que P ( A1 A2) ≠ P(A1) P(A2) P(A1 A3) ≠ P(A1) P (A3) P(A2 A3) ≠ P(A2) P(A3) ! Observaciones al docente: Se sugiere trabajar actividades de generaliza- ción de la independencia entre eventos. Segundo Año Medio / Matemática 87 Unidad 4
- 92. Ejemplo de Evaluación AE 02 Indicadores de Evaluación Sugeridos Comparar características de › Determinan las medidas de tendencia central para uno dos o más conjuntos de da- o más conjuntos de datos e interpretan correctamente tos, utilizando medidas de la información. tendencia central, posición › Determinan las medidas de posición para uno o más y dispersión. conjuntos de datos e interpretan correctamente la información. › Comparan dos conjuntos de datos a partir de sus medi- das de tendencia central, de posición y de dispersión. Actividad A continuación, se presenta una situación relativa a comparaciones de conjuntos de datos. Explique las similitudes y diferencias de las siguientes distribuciones: Edad Frecuencia Edad Frecuencia 20-29 15 20-29 1 30-39 17 30-39 5 40-49 20 40-49 50 50-59 23 50-59 30 60-69 15 60-69 4 Criterios de evaluación Se sugiere considerar los siguientes aspectos: 1 Interpretan correctamente el problema. 2 Identifican que, para comparar ambas distribuciones, deben calcular sus medias y desvia- ción estándar. 3 Calculan correctamente las medias y las desviaciones estándar en cada distribución. 4 Explican las similitudes y diferencias de estas dos distribuciones. 88
- 93. Segundo Año Medio / Matemática 89 Unidad 4
- 94. 90
- 95. Bibliografía 91
- 96. Bibliografía para el docente CEDILLO, Tenoch. Calculadoras: Introducción al álgebra. México, Grupo Editorial Iberoamericana, 1997. ALEKSANDROV, A., KOLMOGOROV, A., LAURENTIEV, M. CENTENO, Julia. Números decimales. y otros. La matemática: su contenido, métodos Madrid, Ed. Síntesis, 1995. y significado. Tres volúmenes. Madrid, Alianza CHEVALLARD, Y. La transposición didáctica del saber sabio Universidad, 1976. al saber enseñado. Buenos Aires, Aique, 1991. ALSINA CATALÁ, C. y otros. Simetría dinámica. CHEVALLARD, Y., BOSCH, M., GASCÓN, J. Estudiar Ed. Síntesis, 1990. matemáticas. El eslabón perdido entre enseñanza ALSINA CATALÁ, C., BURGUÉS FLAMERICH, C., FORTUNY y aprendizaje. Barcelona, Horsori, 1997. AYMENY, J. M. Materiales para construir la CORBALÁN, Fernando. La matemática aplicada a la vida geometría. Ed. Síntesis, 1988. cotidiana. Barcelona, Ed. Grao, 1995. ALSINA CATALÁ, C., FORTUNY AYMENI, J. M., BURGUÉS COXETER, H. S. M., GREITZER, S. L. Retorno a la FLAMERICH, C. Invitación a la didáctica de la geometría. Madrid, Ed. Euler, 1994. geometría. Madrid. Ed. Síntesis. DE MELLO S., Julio César (Malba Tahan). El hombre ARAYA S., Roberto, MATUS, Claudia. Buscando un que calculaba. Ed. Limusa, 2002. orden para el azar, Proyecto Enlaces Matemática. DÍAZ, J. et al. Azar y probabilidad. 2ª ed. Ed. Centro Comenius, Universidad de Madrid, Ed. Síntesis, 1987. Santiago de Chile, 2008. DICKSON, L., BROWN, M., GIBSON, O. El aprendizaje de las ARGÜELLES RODRÍGUEZ, J. Historia de la matemática. matemáticas. Barcelona, Ed. Labor, 1991. Ed. Akal, 1989. DOLORES, C. et al. Matemática educativa. ARIAS, NAFRÍA, DOMÍNGUEZ et al. Hoja de cálculo en la Madrid, Ed. Díaz de Santos, 2007. enseñanza de las matemáticas en secundaria. Ed. DOUGLAS C., Giancoli. Física. Principios con Aplicaciones, de la Universidad Autónoma de Madrid, 1992. 4ª edición. Prentice Hall, 1997. ARTIGUE, M. Una introducción a la didáctica de la DUHALDE, M. E. y GONZÁLEZ, M. T. Encuentros cercanos matemática. En: Enseñanza de la Matemática, con la matemática. Argentina, Ed. Aique, 2003. Selección bibliográfica. Traducción para el PTFD, ELPHICK, D., WINSTON, H. et al. (2001). 101 Actividades MCyE, 1994. para implementar los objetivos fundamentales ARTIGUE, Michéle et al. Ingeniería didáctica en transversales. Santiago: Lom. educación matemática. México, Grupo Editorial FORTUNY AYMEMI, Josep M. et al. (1996). Iberoamericana, 1995. Enseñar matemáticas. Barcelona: Graó. AZCÁRATE GIMÉNEZ, C., DEULOFEU PIQUET, J. GARCÍA TALAVERA, G. (1998). Heurística geométrica. Funciones y gráficas. Ed. Síntesis, 1990. México: Limusa. BAEZA R., Osvaldo. Funciones potencia, exponencial y GHYKA, Malila C. (1968). Estética de las proporciones logaritmo. Proyecto Enlaces Matemática. 2ª ed. en la naturaleza y en las artes. Buenos Aires: Centro Comenius, Universidad de Santiago de Poseidón. Chile, 2008. GOÑI, J. M. (coord.). (2000). El currículo de matemática BERLANGA, R., BOSCH, C., RIVAUD, J. Las matemáticas, en los inicios del siglo XXI. Barcelona: Graó. perejil de todas las salsas. México, Fondo de GOVINDEN PORTUS, Lincoyán. (1998). Introducción a la Cultura Económica, 2000. estadística. Mc Graw Hill. BOYER, C. B. Historia de las Matemáticas. Madrid, Alianza GUEDJ, Denis. (2000). El teorema del Loro. Novela para Universidad Textos, 1987. aprender matemáticas. Anagrama. BOBADILLA A., GLADYS, BILLIKE, J. Apuntes de Cálculo I. HONSBERGER, R. (1994). El ingenio en las matemáticas. Universidad de Santiago de Chile, 1997. Madrid: DLS-Euler. BROUSSEAU, Guy . “Fundamentos y métodos de la JIMÉNEZ, MATUS, MOYA, MUÑOZ. (2009). Unidad de didáctica de la matemática”, traducción realizada Algebra y Funciones. Santiago: Enlaces. por Dilma Fregona (FAMAF), Universidad de JOHSUA, S., DUPIN, J. (2005). Introducción a la Córdoba y Facundo Ortega, Centro de Estudios didáctica de las ciencias y la matemática. Avanzados. Argentina. UNC, 1993. Buenos Aires: Colihue. BURGOS DE, J. Curso de Álgebra y Geometría. KOSTOVSKY, A. N. (1984). Construcciones geométricas Madrid, Alhambra Longman, 1994. mediante un compás. Moscú: Mir. CALLEJO, María Luz. Un club de matemática para la LEHMANN, Charles. (2001). Álgebra. Limusa. diversidad. Madrid, Nancea, 1994. MILLER, Ch., HEEREN, V., HORNSBY, E. (1999). CANTORAL, R. et al. Desarrollo del pensamiento Matemática: Razonamiento y Aplicaciones. matemático. México, D.F, México, Trillas, 2003. Addison Wesley Longman. Pearson. CAÑÓN, C. La matemática creación y descubrimiento. MINISTERIO DE EDUCACIÓN. (2004). Matemática. Madrid, Universidad Pontifica de Comillas, 1993. Programa de Estudio, 2° Medio. 92
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- 98. Bibliografía para el estudiante RODRÍGUEZ, G., ESCALANTE, M. (2008). Unidad función cuadrática y raíz cuadrada, Santiago: Centro ARAYA S., Roberto, MATUS, Claudia. (2008). Buscando Comenius, Universidad de Santiago de Chile. un orden para el azar. Santiago: Centro Comenius, Universidad de Santiago de Chile. Páginas y recursos digitales interactivos ARGÜELLES RODRÍGUEZ, J. (1989). Historia de la Portal Educar Chile: www.educarchile.cl/Portal.Base/ matemática. Akal. Web/verContenido.aspx?ID=186119 ARIAS, NAFRÍA, DOMÍNGUEZ, SANTISO, DÍEZ, GARRÁN, Enlaces: www.catalogored.cl/recursos-educativos-digita TIMÓN, CARAVANTES, MARTÍNEZ, VILLARINO, les?nivel_educativo=50&subsector_basica=65 SÁENZ y GONZÁLEZ. (1992). Hoja de cálculo en Biblioteca Nacional de Manipuladores Virtuales, applets la enseñanza de las matemáticas en secundaria. de la Universidad de UTAH. El enlace genérico es Madrid: Universidad Autónoma de Madrid. http://nlvm.usu.edu/es/nav o bien los siguientes AZCÁRATE GIMÉNEZ, C., DEULOFEU PIQUET, J. (1990). enlaces directos: Funciones y gráficas. Síntesis. Geometría: http://nlvm.usu.edu/es/nav/catego BAEZA R., Osvaldo. (2008). Funciones potencia, ry_g_4_t_3.html http://nlvm.usu.edu/es/nav/ exponencial y logaritmo. Santiago: Centro category_g_4_t_4.html Comenius, Universidad de Santiago de Chile. Números y operaciones: http://nlvm.usu.edu/es/ BERLANGA, R., BOSCH, C., RIVAUD, J. (2000). nav/category_g_4_t_1.html Las matemáticas, perejil de todas las salsas. Álgebra: http://nlvm.usu.edu/es/nav/category_ México: Fondo de Cultura Económica. g_4_t_2.html BOYER, C. B. (1987). Historia de las matemáticas. Análisis de Datos y Probabilidad: http://nlvm.usu. Madrid: Alianza Universidad. edu/es/nav/category_g_4_t_5.html CANTORAL, R. et al. (2003). Desarrollo del pensamiento Proyecto Descartes, España: http://recursostic. matemático. México: Trillas. educacion.es/descartes/web/aplicaciones.php CAÑÓN LOYES, Camino. (1993). La matemática: creación Eduteka, portal educativo, Colombia: enlace genérico de y descubrimiento. Madrid: Universidad Pontificia las unidades temáticas es www.eduteka.org/dire de Comillas. ctorio o bien los siguientes enlaces directos: COXETER, H. S. M., GREITZER, S. L. (1994). Retorno a la Actividades sugeridas: www.eduteka.org/MI/m geometría. Madrid: Ed. Euler. aster/interactivate DE BURGOS, Juan. (1994). Curso de álgebra y geometría. Álgebra: www.eduteka.org/directorio/index.php Madrid: Alambra. ?t=sub_pages&cat=366 DE MELLO S., Julio César (Malba Tahan). (2002). Geometría: www.eduteka.org/directorio/index.p El hombre que calculaba. Limusa. hp?t=sub_pages&cat=363 GARCÍA TALAVERA, G. (1998). Heurística geométrica. www.eduteka.org/directorio/index.php?t=sub_ México: Limusa. pages&cat=364 GOVINDEN PORTUS, Lincoyán. (1998). Introducción a la Números y operaciones: www.eduteka.org/ estadística. Mc Graw Hill. directorio/index.php?t=sub_pages&cat=362 HONSBERGER, R. El ingenio en las matemáticas (1994). Probabilidad y Estadística: www.eduteka.org/ Madrid: DLS-Euler. directorio/index.php?t=sub_pages&cat=365 MAGNUS E., Hans. (1997). El Diablo de los números. Madrid: Siruela. Bibliografía CRA MIRANDA V., HERNÁN, MOYA, Mauricio. (2008). Álgebra. El poder generalizador de los símbolos. A continuación se detallan publicaciones que se puede Santiago: Centro Comenius, Universidad de encontrar en las bibliotecas de los Centros de Recursos Santiago de Chile. para el Aprendizaje (CRA) en cada establecimiento: OTEÍZA M., Fidel, ZAMORANO A., Lucrecia, BAEZA R., Osvaldo. (2008). La geometría de los modelos Unidad 1 a escala. Semejanza de figuras planas. Santiago: BALDOR, Aurelio. (2002). Aritmética. Centro Comenius, Universidad de Santiago México: Publicaciones Cultural. de Chile. OTEÍZA M., Fidel, ZAMORANO A., Lucrecia, BAEZA R., Unidad 2 Osvaldo. (2008). La circunferencia y un par de BALDOR, Aurelio. Geometría y trigonometría. rectas en el plano. Ángulos en el plano. México: Publicaciones Cultural. Santiago: Centro Comenius, Universidad FILLOY, E.; HITT, F. (1981). Geometría analítica., de Santiago de Chile. Iberoamérica. 94
- 99. MASJUÁN, Gonzalo; ARENAS, Fernando. (1997). GARDNER, Martin. (1994). Matemática para divertirse. Ejercicios de geometría elemental. España: Zugarto. Santiago, Universidad Católica de Chile. GUEDJ, Denis. (1998). El imperio de las cifras y los RICH, Barnett. Geometría. Mc Graw-Hill. números. Barcelona: Ediciones B. RIERA, Gonzalo. (1996). Lecciones de geometría clásica. HEBER NIETO, José. (2005). Olimpíadas matemáticas: Santiago: Universidad Católica de Chile. el arte de resolver problemas. México: Los libros de El Nacional. Unidad 1 y2 IRIZO, Constanza; LÓPEZ, Jorge. (1992). De la prensa VARIOS AUTORES. Aritmética y álgebra. a las matemáticas. Barcelona: Octaedro. Santiago de Chile, Santillana. JIMENEZ, Douglas. (2006). Matemáticos que cambiaron al mundo. México: Los libros de Unidad 3 El Nacional. CARREÑO, Ximena; CRUZ, Ximena. (1997). KLINE, Morris. (1992). Matemáticas para los Álgebra. Santiago: Arrayán. estudiantes de humanidades. México: Fondo de OTEYZA, Elena de. Conocimientos fundamentales de Cultura Económica. matemáticas: álgebra. Prentice Hall. MATAIX, Mariano. (1993). Esbozos biográficos ROJANO, T.; URSINI, S. Aprendiendo álgebra con hojas y pasatiempos matemáticos. Barcelona: electrónicas de cálculo. Iberoamérica. Marcombo. NOMDEDEU, X. (2000). Mujeres, manzanas Todas las unidades y matemáticas, entretejidas. ARGÜELLES, Juan. (1994). Matemática recreativa. Madrid: Nivola Libros. México: Akal. PÉREZ-RUIZ SOBERON, Mario. (2002). Pitágoras. ARGÜELLES, Juan. (1989). Historia de la matemática. El misterio de la voz interior. Una investigación México: Akal. de arqueología filosófica. Barcelona: Océano. BERLANGA y otros. (1999). Las matemáticas, perejil de SERRANO, Esteban. (2007). ¡Ojalá no hubiera números! todas las salsas. Fondo de Cultura Económica. Madrid: Nivola Libros. CORBALÁN, Fernando. (1995). La matemática aplicada a TAHAN, Malba. (2006). El hombre que calculaba. la vida cotidiana. Barcelona: Graó. Buenos Aires: Pluma y Papel. GALDOS, L. (1995). Consultor matemático. TAHAN, Malba. (2006). Matemática curiosa y divertida. Madrid: Cultural de Ediciones. Buenos Aires: Pluma y Papel. GARDNER, Martin. (2007). Los acertijos de Sam Loyd. VANCLEAVE, Janice. (1997). Matemáticas para niños y España: Zugarto. jóvenes. México: Limusa. GARDNER, Martin. (1992). Magia Inteligente. España: Zugarto. Segundo Año Medio / Matemática 95 Bibliografía
- 100. 96
- 101. Anexos 97
- 102. Anexo 1 Uso flexible de otros instrumentos curriculares Existe un conjunto de instrumentos curriculares que los docentes pueden utilizar de manera conjunta y complementaria con el programa de estudio. Estos se pueden usar de manera flexible para apoyar el diseño e implementación de estrategias didácticas y para evaluar los aprendizajes. Orientan sobre la Mapas de Progreso14. Ofrecen un marco global para conocer cómo progresan los progresión típica de aprendizajes clave a lo largo de la escolaridad. los aprendizajes Pueden usarse, entre otras posibilidades, como un apoyo para abordar la diversidad de aprendizajes que se expresa al interior de un curso, ya que permiten: › caracterizar los distintos niveles de aprendizaje en los que se encuentran los estu- diantes de un curso › reconocer de qué manera deben continuar progresando los aprendizajes de los grupos de estudiantes que se encuentran en estos distintos niveles Apoyan el trabajo Textos escolares. Desarrollan los Objetivos Fundamentales y los Contenidos Mínimos didáctico en el aula Obligatorios para apoyar el trabajo de los alumnos en el aula y fuera de ella, y les en- tregan explicaciones y actividades para favorecer su aprendizaje y su autoevaluación. Los docentes también pueden enriquecer la implementación del currículum, haciendo uso de los recursos entregados por el Mineduc a través de: › Los Centros de Recursos para el Aprendizaje (CRA) y los materiales impresos, audiovisuales, digitales y concretos que entregan › El Programa Enlaces y las herramientas tecnológicas que ha puesto a disposición de los establecimientos 14 En una página describen, en 7 niveles, el crecimiento típico del aprendizaje de los estudian- tes en un ámbito o eje del sector a lo largo de los 12 años de escolaridad obligatoria. Cada uno de estos niveles presenta una expectativa de aprendizaje correspondiente a dos años de escolaridad. Por ejemplo, el Nivel 1 corresponde al logro que se espera para la mayoría de los niños y niñas al término de 2° básico; el Nivel 2 corresponde al término de 4° básico, y así su- cesivamente. El Nivel 7 describe el aprendizaje de un alumno que, al egresar de la Educación Media, es “sobresaliente”; es decir, va más allá de la expectativa para IV medio descrita en el Nivel 6 en cada mapa. 98
- 103. Anexo 2 Objetivos Fundamentales por semestre y unidad Objetivo Fundamental semestre 1 semestre 2 OF 01 Comprender que los números irracionales constituyen un conjunto numérico en el unidad 1 que es posible resolver problemas que no tienen solución en los números raciona- les, y que los números reales corresponden a la unión de los números racionales e irracionales. OF 02 Utilizar los números reales en la resolución de problemas, ubicarlos en la recta nu- unidad 1 mérica, demostrar algunas de sus propiedades y realizar aproximaciones. OF 03 Establecer relaciones entre potencias, logaritmos y raíces en el contexto de los unidad 1 números reales, demostrar algunas de sus propiedades y aplicarlas a la resolución de problemas. OF 04 Utilizar las funciones exponenciales, logarítmicas y raíz cuadrada como modelos de situaciones o fenómenos en contextos significativos y representarlas gráficamente unidad 2 en forma manual o usando herramientas tecnológicas. OF 05 Interpretar las operaciones con expresiones algebraicas fraccionarias como una unidad 2 generalización de las operaciones con fracciones numéricas, establecer estrategias para operar con este tipo de expresiones y comprender que estas operaciones tienen sentido solo en aquellos casos en que estas están definidas. OF 06 Modelar situaciones o fenómenos, cuyos modelos resultantes sean sistemas de unidad 2 ecuaciones lineales con dos incógnitas. OF 07 Comprender conceptos, propiedades e identificar invariantes y criterios asociados a unidad 3 la semejanza de figuras planas y sus aplicaciones a los modelos a escala. OF 08 Identificar ángulos inscritos y del centro en una circunferencia y relacionar las unidad 3 medidas de dichos ángulos. OF 09 Comprender el concepto de dispersión y comparar características de dos o más unidad 4 conjuntos de datos, utilizando indicadores de tendencia central, de posición y de dispersión. Segundo Año Medio / Matemática 99 Anexos
- 104. Objetivo Fundamental semestre 1 semestre 2 OF 10 Comprender el concepto de variable aleatoria y aplicarlo en diversas situaciones que unidad 4 involucran experimentos aleatorios. OF 11 Comprender que la media muestral de pruebas independientes de un experimen- unidad 4 to aleatorio se aproxima a la media de la población cuando crece el número de pruebas. OF 12 Aplicar propiedades de la suma y el producto de probabilidades en diversos contextos, unidad 4 a partir de la resolución de problemas que involucren el cálculo de probabilidades. 100
- 105. Anexo 3 Contenidos Mínimos Obligatorios por semestre y unidad Contenidos Mínimos Obligatorios semestre 1 semestre 2 NÚMEROS CMO 01 Identificación de situaciones que muestran la necesidad de ampliar los números unidad 1 racionales a los números reales, reconocimiento de algunas de las propiedades de los números y de las operaciones y su uso para resolver diversos problemas. CMO 02 Aproximación del valor de un número irracional por defecto, por exceso y por unidad 1 redondeo. CMO 03 Ubicación de algunas raíces en la recta numérica, exploración de situaciones unidad 1 geométricas en que ellas están presentes y análisis de la demostración de la irracio- nalidad de algunas raíces cuadradas. CMO 04 Análisis de la existencia de la raíz enésima en el conjunto de los números reales, unidad 1 su relación con las potencias de exponente racional y demostración de algunas de sus propiedades. CMO 05 Interpretación de logaritmos, su relación con potencias y raíces, deducción de sus unidad 1 propiedades y aplicaciones del cálculo de logaritmos a la resolución de problemas en diversas áreas del conocimiento. ÁLGEBRA CMO 06 Establecimiento de estrategias para simplificar, sumar, restar, multiplicar y dividir unidad 3 fracciones algebraicas simples, con binomios en el numerador y en el denomina- dor, y determinación de aquellos valores que indefinen una expresión algebraica fraccionaria. CMO 07 Reconocimiento de sistemas de ecuaciones lineales como modelos que surgen de unidad 3 diversas situaciones o fenómenos. CMO 08 Resolución de problemas asociados a sistemas de ecuaciones lineales con dos unidad 3 incógnitas en contextos variados, representación en el plano cartesiano, usando un software gráfico, y discusión de la existencia y pertinencia de las soluciones. Segundo Año Medio / Matemática 101 Anexos
- 106. Contenidos Mínimos Obligatorios semestre 1 semestre 2 CMO 09 Uso de un programa gráfico en la interpretación de funciones exponenciales, unidad 3 logarítmicas y raíz cuadrada, análisis de las situaciones que modela y estudio de las variaciones que se producen por la modificación de sus parámetros. GEOMETRÍA CMO 10 Exploración de diversas situaciones que involucran el concepto de semejanza y su unidad 2 relación con formas presentes en el entorno. CMO 11 Identificación y utilización de criterios de semejanza de triángulos para el análisis de unidad 2 la semejanza en diferentes figuras planas. CMO 12 Aplicación del teorema de Thales sobre trazos proporcionales, división interior de un unidad 2 trazo en una razón dada y uso de un procesador geométrico para verificar relaciones en casos particulares. CMO 13 Demostración de los teoremas de Euclides relativos a la proporcionalidad de trazos unidad 2 en el triángulo rectángulo, demostración del teorema de Pitágoras y del teorema recíproco de Pitágoras. CMO 14 Aplicación de la noción de semejanza a la demostración de relaciones entre segmen- unidad 2 tos en cuerdas y secantes en una circunferencia y a la homotecia de figuras planas. CMO 15 Identificación de ángulos del centro y ángulos inscritos en una circunferencia, unidad 2 demostración del teorema que relaciona la medida del ángulo del centro con la del correspondiente ángulo inscrito. DATOS Y AZAR CMO 16 Determinación del rango, la varianza y la desviación estándar, aplicando criterios unidad 4 referidos al tipo de datos que se están utilizando, en forma manual y con herra- mientas tecnológicas. 102
- 107. Contenidos Mínimos Obligatorios semestre 1 semestre 2 CMO 17 Análisis de las características de dos o más muestras de datos, usando indicadores unidad 4 de tendencia central, posición y dispersión. CMO 18 Empleo de elementos básicos del muestreo aleatorio simple en diversos experimen- unidad 4 tos para inferir sobre la media de una población finita a partir de muestras extraídas. CMO 19 Aplicación del concepto de variable aleatoria en diferentes situaciones que involucran unidad 4 azar e identificación de ella como una función. CMO 20 Exploración de la ley de los grandes números, a partir de la repetición de experimen- unidad 4 tos aleatorios, con apoyo de herramientas tecnológicas y su aplicación a la asignación de probabilidades. CMO 21 Resolución de problemas de cálculo de probabilidades, aplicando las técnicas del cál- unidad 4 culo combinatorio, diagramas de árbol, lenguaje conjuntista, operaciones básicas15 con conjuntos y propiedades de la suma y el producto de probabilidades. 15 Unión, diferencia y complemento de conjuntos. Segundo Año Medio / Matemática 103 Anexos
- 108. Anexo 4 Relación entre Aprendizajes Esperados, Objetivos Fundamentales (OF) y Contenidos Mínimos Obligatorios (CMO) Aprendizajes Esperados OF CMO Unidad 1 Números AE 01 1 1-3 Comprender que los números irracionales permiten resolver problemas que no tienen solución en los números racionales. AE 02 2 2–3 Aproximar números irracionales por defecto, por exceso y por redondeo. AE 03 2 2–3 Ordenar números irracionales y representarlos en la recta numérica. AE 04 2 1 Conjeturar y verificar propiedades de los números irracionales. AE 05 1 1–3 Comprender que los números reales corresponden a la unión de los números racio- nales e irracionales. AE 06 2 1 Demostrar algunas propiedades de los números reales. AE 07 3 4 Analizar la existencia de las raíces en el conjunto de los números reales. AE 08 3 4 Utilizar relaciones entre las potencias y raíces para demostrar propiedades de las raíces. AE 09 3 5 Establecer relaciones entre los logaritmos, potencias y raíces. AE 10 3 5 Deducir propiedades de los logaritmos. AE 11 3 4-5 Resolver problemas en contextos diversos relativos a números reales, raíces y logaritmos. 104
- 109. Aprendizajes Esperados OF CMO Unidad 2 Geometría AE 01 7 10 Comprender el concepto de semejanza de figuras planas. AE 02 7 10 – 11 Identificar los criterios de semejanza de triángulos. AE 03 7 10 – 11 Utilizar los criterios de semejanza de triángulos para el análisis de la semejanza de figuras planas. AE 04 7 12 Comprender el teorema de Thales sobre trazos proporcionales y aplicarlo en el análisis y la demostración de teoremas relativos a trazos. AE 05 7 13 Demostrar los teoremas de Euclides relativos a proporcionalidad de trazos. AE 06 7 13 Demostrar el teorema de Pitágoras y el teorema recíproco de Pitágoras. AE 07 8 15 Identificar ángulos inscritos y del centro en una circunferencia y relacionar las medi- das de dichos ángulos. AE 08 8 14 Demostrar relaciones que se establecen entre trazos determinados por cuerdas y secantes de una circunferencia. AE 09 7 14 Demostrar teoremas relativos a la homotecia de figuras planas. AE 10 7 12 - 13 Resolver problemas relativos a: a. el teorema de Thales sobre trazos proporcionales b. la división interior de un trazo c. teoremas de Euclides relativos a proporcionalidad de trazos Segundo Año Medio / Matemática 105 Anexos
- 110. Aprendizajes Esperados OF CMO Unidad 3 Álgebra AE 01 4 9 Analizar gráficamente la función exponencial en forma manual y con herramientas tecnológicas. AE 02 4 9 Analizar gráficamente la función logarítmica, en forma manual y con herramientas tecnológicas. AE 03 4 9 Analizar gráficamente la función raíz cuadrada, en forma manual y con herramientas tecnológicas. AE 04 5 6 Analizar la validez de una expresión algebraica fraccionaria. AE 05 5 6 Establecer estrategias para operar fracciones algebraicas simples, con binomios en el numerador y en el denominador, y determinar los valores que indefinen estas expresiones. AE 06 6 7-8 Resolver sistemas de ecuaciones lineales con dos incógnitas, gráfica y algebraicamente. AE 07 4-6 7-8-9 Modelar y aplicar la función exponencial, raíz cuadrada y logarítmica en la resolu- ción de problemas, y resolver problemas que involucren sistemas de ecuaciones lineales con dos incógnitas. 106
- 111. Aprendizajes Esperados OF CMO Unidad 4 Datos y azar AE 01 9 16 – 17 Determinar el rango, la varianza y la desviación estándar de conjuntos de datos. AE 02 9 16 – 17 Comparar características de dos o más conjuntos de datos, utilizando medidas de tendencia central, de posición y de dispersión. AE 03 11 18 Emplear elementos del muestreo aleatorio simple para inferir sobre la media de una población. AE 04 10 19 Comprender el concepto de variable aleatoria y aplicarlo en diversas situaciones que involucran experimentos aleatorios. AE 05 11 17 - 18 Calcular medias muestrales. AE 06 11 20 Verificar que, a medida que el número de pruebas crece, la media muestral se aproxima a la media de la población. AE 07 12 21 Resolver problemas en contextos diversos, aplicando las propiedades de la suma y el producto de probabilidades. Segundo Año Medio / Matemática 107 Anexos
- 112. En este programa se utilizaron las tipografías Helvetica Neue en su variante Bold y Digna (tipografía chilena diseñada por Rodrigo Ramírez) en todas sus variantes. Se imprimió en papel Magnomatt (de 130 g para interiores y 250 g para portadas) y se encuadernó en lomo cuadrado, con costura al hilo y hot melt.