Programa de cuarto medio

4
Educación Media Formación General

Matemática

Programa de Estudio
Cuarto Año Medio

Matemática

Programa de Estudio
Cuarto Año Medio

Matemática
Programa de Estudio, Cuarto Año Medio, Formación General
Educación Media, Unidad de Curriculum y Evaluación
ISBN 956-7933-86-3
Registro de Propiedad Intelectual Nº 122.854
Ministerio de Educación, República de Chile
Alameda 1371, Santiago
Primera Edición 2001
Segunda Edición 2004

Santiago, noviembre de 2001.

Estimados profesores y profesoras:

EL PRESENTE PROGRAMA DE ESTUDIO de Cuarto Año Medio de la Formación General ha
sido elaborado por la Unidad de Curriculum y Evaluación del Ministerio de Educación y
aprobado por el Consejo Superior de Educación, para ser puesto en práctica, por los
establecimientos que elijan aplicarlo, en el año escolar 2002.

En sus objetivos, contenidos y actividades busca responder a un doble propósito: articular
a lo largo del año una experiencia de aprendizaje acorde con las definiciones del marco
curricular de Objetivos Fundamentales y Contenidos Mínimos Obligatorios de la Educación
Media, definido en el Decreto N° 220, de mayo de 1998, y ofrecer la mejor herramienta de
apoyo a la profesora o profesor que hará posible su puesta en práctica.

Los nuevos programas para Cuarto Año Medio de la Formación General plantean objetivos
de aprendizaje de mayor nivel que los del pasado, porque la vida futura, tanto a nivel de las
personas como del país, establece mayores requerimientos formativos. A la vez, ofrecen
descripciones detalladas de los caminos pedagógicos para llegar a estas metas más altas.
Así, al igual que en el caso de los programas del nivel precedente, los correspondientes al
Cuarto Año Medio incluyen numerosas actividades y ejemplos de trabajo con alumnos y
alumnas, consistentes en experiencias concretas, realizables e íntimamente ligadas al logro
de los aprendizajes esperados. Su multiplicidad busca enriquecer y abrir posibilidades, no
recargar ni rigidizar; en múltiples puntos requieren que la profesora o el profesor discierna
y opte por lo que es más adecuado al contexto, momento y características de sus alumnos y
alumnas.

Los nuevos programas son una invitación a los docentes de Cuarto Año Medio para ejecutar
una nueva obra, que sin su concurso no es realizable. Estos programas demandan cambios
importantes en las prácticas docentes. Ello constituye un desafío grande, de preparación y
estudio, de fe en la vocación formadora, y de rigor en la gradual puesta en práctica de lo
nuevo. Lo que importa en el momento inicial es la aceptación del desafío y la confianza en
los resultados del trabajo hecho con cariño y profesionalismo.

MARIANA AYLWIN OYARZUN
Ministra de Educación

Cuarto Año Medio Matemática Ministerio de Educación 7

Presentación 9
Objetivos Fundamentales Transversales y su presencia en el programa 12
Objetivos Fundamentales 14
Cuadro sinóptico: unidades, contenidos y distribución temporal 15

Unidad 1: Estadística y probabilidad 16
Actividades para el aprendizaje y ejemplos 19
Actividades para la evaluación y ejemplos 37

Unidad 2: Funciones potencia, logarítmica y exponencial 44

Unidad 3: Geometría 66

Bibliografía 97
Objetivos Fundamentales y Contenidos Mínimos Obligatorios
Primer a Cuarto Año Medio 99

8 Cuarto Año Medio Matemática Ministerio de Educación


Presentación

EL PROGRAMA DE ESTUDIO para Cuarto Año crecimiento que modelan y el análisis de sus pa-
Medio se orienta hacia la culminación de los rámetros en los casos pertinentes.
procesos de construcción y adquisición de La unidad Geometría presenta el modelo
habilidades intelectuales y conocimientos de vectorial como un paradigma que enriquece el
matemática en el nivel escolar, junto con una modelo euclidiano y analítico. Su desarrollo
mirada retrospectiva y ordenadora de lo estu- permite un análisis más profundo de propieda-
diado en los años anteriores. des de figuras planas en el espacio, incorpora el
En la unidad de Estadística y probabili- movimiento y la trayectoria, siendo un facilita-
dades, la primera del año, se trata de analizar dor para la adquisición de los conceptos físicos
las ventajas y/o desventajas de las diferentes ma- como fuerza, desplazamiento, aceleración.
neras de organizar e interpretar datos y
reconocer la importancia de una muestra alea-
Organización del programa
toria simple como una forma de realizar
inferencias sobre una población. Además se pro- Este programa se organiza en torno a tres uni-
mueve el uso de calculadoras y planillas de dades:
cálculo para facilitar el manejo, la graficación, Unidad 1: Estadística y probabilidades
el análisis y la interpretación de la información. Unidad 2: Funciones potencia, exponencial
La invitación es a mirar la información esta- y logarítmica
dística presente en los medios de comunicación, Unidad 3: Geometría
analizarla utilizando algunos indicadores estadís-
ticos y representaciones gráficas, con el propósito
Organización interna de cada unidad
de apoyar a los estudiantes en el análisis crítico de
dicha información. Cada unidad, en forma similar a los programas
Para continuar el proceso de construcción anteriores para la Educación Media, se estruc-
de modelos matemáticos de situaciones del tura considerando los siguientes puntos:
mundo real, se incorpora durante este último • Contenidos
año de la educación escolar el estudio de las • Aprendizajes esperados
Funciones potencia, logarítmica y exponen- • Orientaciones didácticas
cial. Estas funciones permiten medir y/o • Actividades para el aprendizaje complemen-
modelar situaciones cercanas a la experiencia tadas con ejemplos
de los estudiantes, como son lo relativo a in- • Actividades para la evaluación y ejemplos
tensidad del sonido, escala Richter para medir
magnitud de los sismos, ingesta de alcohol y A continuación se plantea una breve descrip-
sus consecuencias, etc. ción de cada uno de estos elementos.
El estudio de estas funciones se hace con-
siderando su representación gráfica, el tipo de


CONTENIDOS la dinámica que se dé en el desarrollo de la cla-
Los contenidos corresponden a los señalados se puede favorecer más a unos que a otros.
en el marco curricular. Con el propósito de en- Para la realización de cada actividad se su-
fatizar y/o clarificar algunos de ellos se han gieren ejemplos que pueden ser implementados
desglosado en contenidos más específicos. tal cual se propone en el programa, adaptados a
Es necesario dejar establecido que la pala- la realidad escolar o sustituidos por otros que
bra contenidos, en este enfoque curricular, se consideren más pertinentes. Al hacer estas
incorpora lo conceptual y procedimental; el de- adecuaciones locales hay que procurar el desa-
sarrollo de habilidades, disposiciones y actitudes. rrollo de las habilidades de pensamiento que el
programa promueve.
APRENDIZAJES ESPERADOS Para numerosas actividades, los ejemplos
Expresan las capacidades y competencias que seleccionados se ordenan según nivel de difi-
se busca que los alumnos y alumnas logren, con- cultad; todos los ejemplos se complementan con
siderando los contenidos de cada unidad y los comentarios pedagógicos específicos.
objetivos fundamentales para el año escolar. Su
número es variable por unidad. ACTIVIDADES PARA LA EVALUACIÓN Y EJEMPLOS
Los aprendizajes esperados orientan el pro- La evaluación se considera parte del proceso de
ceso pedagógico y dan una dirección al proceso aprendizaje. Debe proveer al joven y al docente
de aprendizaje. En consecuencia son determi- de la retroalimentación necesaria como referen-
nantes para definir los criterios de evaluación. te para continuar, corregir y orientar las
actividades futuras.
ORIENTACIONES DIDÁCTICAS Es recomendable que se evalúen diversos
En este punto se precisan los focos de la uni- aspectos del proceso de enseñanza-aprendiza-
dad; se incorporan comentarios pedagógicos je, y no sólo los resultados de los diversos
relativos al aprendizaje del tema y sus relacio- ejercicios. Cobra relevancia en esta propuesta
nes intramatemáticas. observar y evaluar el tipo de razonamiento uti-
lizado, el método empleado, la originalidad de
ACTIVIDADES PARA EL APRENDIZAJE Y EJEMPLOS la o las ideas planteadas.
Las actividades explicitan acciones y procesos Al término de cada unidad se incluye un
que importa e interesa que vivan los alumnos y conjunto de preguntas, propuestas de trabajo y
las alumnas para el logro de los aprendizajes problemas, utilizables como parte de una eva-
esperados. No existe una correspondencia biuní- luación de término de la unidad. La evaluación,
voca entre los aprendizajes esperados y las en consonancia con el proceso de aprendizaje,
actividades; una actividad puede estar al servi- aporta a un proceso de integración y relación
cio de varios aprendizajes esperados; además, entre los conceptos.


Los siguientes criterios orientan el proceso de Interesa además considerar que el aprendizaje
evaluación: de matemática contribuye al desarrollo de ha-
• Resolución de problemas que involucren re- bilidades en el ámbito de la comunicación:
laciones matemáticas: analizar e interpretar cuadros, gráficos y fór-
reconocer la o las incógnitas e interpretar mulas, traducir de un registro a otro, registrar,
las preguntas; diseñar una estrategia o plan describir, explicar ideas, argumentos, relaciones
de trabajo con los datos; establecer relacio- o procedimientos.
nes matemáticas entre datos, variables, in- Finalmente, no está ajeno al aprendizaje
cógnitas; traducirlas, representar y/o expre- de matemática el desarrollo de actitudes y dis-
sar en un lenguaje y simbología comprensible posiciones para el estudio y el trabajo: abordar
y adecuada; seleccionar y aplicar procedi- problemas y desafíos; analizar errores; escuchar
mientos; explicitar la respuesta al problema otros argumentos, analizarlos; expresar criticas
y analizar su pertinencia. fundamentadas.

• Desarrollo de habilidades de razonamiento
matemático:
conjeturar, relacionar, establecer conclusio-
nes; organizar y encadenar argumentos ma-
temáticos; demostrar propiedades; recono-
cer regularidades numéricas, algebraicas,
geométricas.

• Organización y estructuración de concep-
tos matemáticos:
reconocer la noción o el concepto involu-
crado; reconocer equivalentes y establecer
relaciones con otras nociones o conceptos;
generalizar, particularizar.

• Comprensión y aplicación de procedimien-
tos rutinarios:
seleccionar y utilizar reglas, algoritmos, fór-
mulas y/o formas para realizar cálculos o
transformar relaciones matemáticas en otras
más sencillas o más convenientes de acuer-
do al contexto.


Objetivos Fundamentales Transversales y
su presencia en el programa

LOS OBJETIVOS FUNDAMENTALES Transversales Los Objetivos Fundamentales Transversales
(OFT) definen finalidades generales de la edu- definidos en el marco curricular nacional (De-
cación referidas al desarrollo personal y la creto Nº 220) corresponden a una explicita-
formación ética e intelectual de alumnos y ción ordenada de los propósitos formativos de
alumnas. Su realización trasciende a un sector la Educación Media en cuatro ámbitos: Creci-
o subsector específico del currículum y tiene miento y Autoafirmación Personal, Desarrollo del
lugar en múltiples ámbitos o dimensiones de la Pensamiento, Formación Ética, Persona y Entor-
experiencia educativa, que son responsabilidad no; su realización, como se dijo, es responsa-
del conjunto de la institución escolar, incluyen- bilidad de la institución escolar y la experien-
do, entre otros, el proyecto educativo y el tipo cia de aprendizaje y de vida que ésta ofrece en
de disciplina que caracteriza a cada estableci- su conjunto a alumnos y alumnas. Desde la
miento, los estilos y tipos de prácticas docentes, perspectiva de cada sector y subsector, esto sig-
las actividades ceremoniales y el ejemplo coti- nifica que no hay límites respecto a qué OF T
diano de profesores y profesoras, administrativos trabajar en el contexto específico de cada dis-
y los propios estudiantes. Sin embargo, el ám- ciplina; las posibilidades formativas de todo
bito privilegiado de realización de los OFT se contenido conceptual o actividad debieran
encuentra en los contextos y actividades de considerarse abiertas a cualquier aspecto o di-
aprendizaje que organiza cada sector y subsec- mensión de los OF T.
tor, en función del logro de los aprendizajes Junto a lo señalado, es necesario destacar
esperados de cada una de sus unidades. que hay una relación de afinidad y consistencia
Desde la perspectiva señalada, cada sector en términos de objeto temático, preguntas o
o subsector de aprendizaje, en su propósito de problemas, entre cada sector y subsector, por
contribuir a la formación para la vida, conjuga un lado, y determinados OFT, por otro. El pre-
en un todo integrado e indisoluble el desarro- sente programa de estudio ha sido definido
llo intelectual con la formación ético-social de incluyendo (‘verticalizando’), los objetivos
alumnos y alumnas. De esta forma se busca su- transversales más afines con su objeto, los que
perar la separación que en ocasiones se establece han sido incorporados tanto a sus objetivos y
entre la dimensión formativa y la instructiva. contenidos, como a sus metodologías, activida-
Los programas están construidos sobre la base des y sugerencias de evaluación. De este modo,
de contenidos programáticos significativos que los conceptos (o conocimientos), habilidades y
tienen una carga formativa muy importante, ya actitudes que este programa se propone traba-
que en el proceso de adquisición de estos co- jar integran explícitamente gran parte de los
nocimientos y habilidades los estudiantes OF T definidos en el marco curricular de la
establecen jerarquías valóricas, formulan juicios Educación Media.
morales, asumen posturas éticas y desarrollan • Los OFT de ámbito Crecimiento y Autoafir-
compromisos sociales. mación Personal referidos al interés y capa-


cidad de conocer la realidad y utilizar el co- definiciones sobre habilidades intelectuales y
nocimiento y la información. comunicativas.
• Los OFT del ámbito Desarrollo del Pensa- Además, el programa se hace cargo de los
miento, en especial los relativos a habilida- OFT de Informática incorporando en diversas
des de investigación, a través de las activi- actividades y tareas la búsqueda de información
dades que suponen selección y organización a travéencuentrans de redes de comunicación y
de información y datos; y las de resolución el empleo de softwares.
de problemas y de pensamiento lógico, a tra-
vés del conjunto de contenidos y activida-
des orientados al aprendizaje de algoritmos
o procedimientos rutinarios, así como a la
aplicación de leyes y principios, por un lado,
y de generalización a partir de relaciones
observadas, por otro. El desarrollo del pen-
samiento probabilístico así como el análisis
estadístico contribuye a tomar decisiones
fundamentadas en situaciones sociales.
• Los OFT del ámbito Persona y su Entorno
referidos al trabajo, y que plantean el desa-
rrollo de actitudes de rigor y perseverancia,
así como de flexibilidad, originalidad y asun-
ción del riesgo, y las capacidades de recibir
y aceptar consejos y críticas.
• A través de los problemas a resolver mate-
máticamente y el estudio de la estadística,
que plantean las actividades del programa
es posible ampliar el trabajo de los OFT con
alumnos y alumnas a su capacidad de juicio,
y la aplicación de criterios morales, a pro-
blemas del medio ambiente, económicos y
sociales.

Junto a lo señalado, el programa, a través de las
sugerencias al docente que explicita, invita a
prácticas pedagógicas que realizan los valores y
orientaciones éticas de los OFT, así como sus


Objetivos Fundamentales
Los alumnos y las alumnas desarrollarán la capacidad de:

1. Conocer y utilizar conceptos matemáticos asociados al estudio de rectas y planos en
el espacio, de volúmenes generados por rotaciones o traslaciones de figuras planas;
visualizar y representar objetos del espacio tridimensional.

2. Analizar informaciones de tipo estadístico presente en los medios de comunicación;
percibir las dicotomías, determinista-aleatorio, finito-infinito, discreto-continuo.

3. Aplicar el proceso de formulación de modelos matemáticos al análisis de situaciones
y a la resolución de problemas.

4. Reconocer y analizar las propias aproximaciones a la resolución de problemas
matemáticos y perseverar en la sistematización y búsqueda de formas de resolución.

5. Percibir la matemática como una disciplina que ha evolucionado y que continúa
desarrollándose, respondiendo a veces a la necesidad de resolver problemas prácticos,
pero también planteándose problemas propios, a menudo por el sólo placer intelectual
o estético.


Unidades, contenidos y distribución temporal
Cuadro sinóptico

Unidades

1 2 3
Estadística y probabilidad Funciones potencia, Geometría
logarítmica y exponencial

Contenidos

• Graficación e interpretación • Función potencia: y = a x n , • Resolución de problemas
de datos estadísticos a > 0, para n = 2, 3, y 4, su sencillos sobre áreas y
provenientes de diversos gráfico. Análisis del gráfico volúmenes de cuerpos
contextos. Crítica del uso de de la función potencia y su generados por rotación o
ciertos descriptores comportamiento para traslación de figuras planas.
utilizados en distintas distintos valores de a. Resolución de problemas
informaciones. • Funciones logarítmica y que plantean diversas
• Selección de diversas exponencial, sus gráficos relaciones entre cuerpos
formas de organizar, correspondientes. geométricos; por ejemplo,
presentar y sintetizar un Modelación de fenómenos uno inscrito en otro.
conjunto de datos. Ventajas naturales y/o sociales a • Rectas en el espacio,
y desventajas. Comentario través de esas funciones. oblicuas y coplanares.
histórico sobre los orígenes Análisis de las expresiones Planos en el espacio,
de la estadística. algebraicas y gráficas de las determinación por tres
• Uso de planilla de cálculo funciones logarítmica y puntos no colineales. Planos
para análisis estadístico y exponencial. Historia de los paralelos, intersección de
para construcción de tablas logaritmos; de las tablas a dos planos. Ángulos diedros,
y gráficos. las calculadoras. planos perpendiculares,
• Análisis y comparación de intersección de tres o más
• Muestra al azar, planos. Coordenadas
considerando situaciones de tasas de crecimiento.
Crecimiento aritmético, y cartesianas en el espacio.
la vida cotidiana; por
ejemplo, ecología, salud geométrico. Plantear y
pública, control de calidad, resolver problemas sencillos
juegos de azar, etc. que involucren el cálculo de
Inferencias a partir de interés compuesto.
distintos tipos de muestra. • Uso de programas
computacionales de
manipulación algebraica y
gráfica.

Distribución temporal
Tiempo estimado: Tiempo estimado: Tiempo estimado:
30 a 35 horas 25 a 30 horas 25 a 30 horas


Unidad 1

Estadística y probabilidad

Contenidos

1. Graficación e interpretación de datos estadísticos provenientes de diversos
contextos. Crítica del uso de ciertos descriptores utilizados en distintas
informaciones.
2. Selección de diversas formas de organizar, presentar y sintetizar un conjunto de
datos. Ventajas y desventajas. Comentario histórico sobre los orígenes de la
estadística.
3. Uso de planilla de cálculo para análisis estadístico y para construcción de tablas y
gráficos.
4. Muestra al azar, considerando situaciones de la vida cotidiana; por ejemplo, ecología,
salud pública, control de calidad, juegos de azar, etc. Inferencias a partir de distintos
tipos de muestra.


Aprendizajes esperados

Los alumnos y alumnas:
1. Conocen distintas maneras de organizar y presentar información
incluyendo el cálculo de algunos indicadores estadísticos, la elaboración
de tablas y gráficos utilizando planilla de cálculo o calculadora.
2. Reconocen la importancia de una muestra aleatoria simple para hacer
inferencias sobre la población.
3. Conocen antecedentes históricos sobre la estadística y su relación con
las probabilidades.
4. Comprenden y aprecian el papel de la estadística en la sociedad,
conociendo algunos campos de aplicación.


Orientaciones didácticas
La estadística es una parte importante de la educación general deseable para los jóvenes y adultos;
su conocimiento aporta a la interpretación de informaciones que con frecuencia aparecen en los
medios de prensa. Es también una herramienta para la vida laboral, ya que en diversos tipos de
trabajo se necesita conocimientos básicos del tema.
Además, su estudio ayuda al desarrollo personal, fomentando un razonamiento crítico, basado
en la valoración de la evidencia objetiva; la estadística es un buen vehículo para alcanzar las capaci-
dades de comunicación, tratamiento de la información, resolución de problemas, uso y exploración
de programas computacionales específicos y trabajo cooperativo.
Las dimensiones políticas y éticas del uso y posible abuso de la información estadística contri-
buyen, asimismo, a la necesidad de su estudio.
Desde otro ángulo, la naturaleza interdisciplinaria del tema hace que los conceptos estadísticos
aparezcan en otras materias, como ciencias sociales, biología, geografía, etc., de ahí la necesidad de
establecer coordinaciones entre docentes de distintas áreas para desarrollar trabajos pedagógicos en
conjunto.
En el desarrollo de esta unidad interesa pasar de lo descriptivo censal, tema que ocupa las dos
primeras actividades, a nociones muy básicas sobre estadística inferencial. La idea central de la
inferencia es obtener información sobre una población a partir del estudio de una muestra extraída
de ella.
La comprensión de esta idea básica implica el equilibrio adecuado entre dos ideas aparente-
mente antagónicas: la representatividad muestral y la variabilidad muestral. La primera de estas
ideas nos sugiere que la muestra tendrá a menudo características similares a las de la población, si
ha sido elegida con las precauciones adecuadas. La segunda, el hecho de que no todas las muestras
son iguales entre sí. El punto adecuado de equilibrio entre los extremos de información total e
información nula respecto a la población depende principalmente de la variabilidad de la población,
el tamaño de la muestra y el coeficiente de confianza.
En esta unidad se inicia el aprendizaje sobre estos temas, principalmente orientado a una no-
ción de muestra, apoyado en las regularidades de la probabilidad.


Actividades para el aprendizaje y ejemplos

Actividad 1

Describen y comparan distribuciones de datos utilizando representaciones gráficas,
calculando, comparando y relacionando indicadores de tendencia central y
dispersión.

Ejemplo A

Recoger información en el curso, sobre los aspectos siguientes: edad, estatura, sexo, color
de pelo, tipo de música preferida, estatura del padre, estatura de la madre.

I. Ordenar la información en tablas.

II. Distinguir variables cuantitativas y cualitativas; señalar para estas últimas los valores
que puede tomar cada variable y especificar el rango para los valores de las variables
cuantitativas.
III. Presentar la información utilizando el tipo de gráfico que se considere más adecuado,
explicitando las ventajas de los tipos de gráficos seleccionados y las razones para
desestimar otros.
IV. Calcular la media aritmética para las variables cuantitativas, analizar su significado y
constatar si es o no necesario el cálculo de otros indicadores para dar una imagen
aproximada de la distribución de los datos.
V. Utilizar porcentaje para cuantificar las variables cualitativas; graficar los resultados.
VI. Explorar las posibilidades de organización de los datos, cálculo de indicadores y
elaboración de tablas y gráficos en una planilla de cálculo.

INDICACIONES AL DOCENTE
Es necesario que los estudiantes ordenen la información recogida ya sea manualmente o utilizando
una planilla de cálculo; se sugiere complementar el ejemplo incorporando variables que sean de
interés para los alumnos y alumnas, que permitan una descripción del curso o de otro grupo de
jóvenes en relación con sus preferencias e intereses.
Es importante que los estudiantes perciban que las distintas formas de representación gráfica
son una herramienta que favorece la visualización de comportamientos y relaciones de la variable;
asimismo, que distingan entre las representaciones posibles para variables cualitativas y cuantitativas.
Se sugiere incentivar a los estudiantes que discutan sobre la relación entre los indicadores
calculados y la distribución de los valores de la variable en estudio.


Ejemplo B

Las dos tablas que siguen resumen las notas obtenidas en una misma prueba de
matemática, aplicada en dos cursos diferentes.

Curso A Curso B
Notas Frecuencia Notas Frecuencia
7,0 3 6,0 2
6,7 5 5,5 5
6,3 4 5,3 9
6,0 8 5,2 5
4,0 8 5,1 3
3,4 2 5,0 10
3,0 4 34 alumnos
34 alumnos

Calcular para ambos cursos el valor de la media aritmética y de la desviación estándar;
graficar ambas distribuciones en un gráfico de barras. Comparar los gráficos y el valor de
los indicadores calculados.

Para realizar estos cálculos los alumnos y alumnas pueden utilizar una calculadora científica en el
modo estadística, o una planilla de cálculo.
Interesa que los estudiantes constaten que la media aritmética como indicador de tendencia
central se complementa con la desviación estándar.
Además, la visualización de ambos gráficos aporta a la constatación de las diferencias entre
ambas distribuciones, pese a que ambas tienen la misma media aritmética.
Se sugiere recurrir al gráfico de tallo y hoja para visualizar ambas distribuciones. El gráfico que
sigue corresponde al curso A; las hojas están constituidas por la cifra decimal de las notas.

7 0 0 0
6 7 7 7 7 7 3 3 3 3 0 0 0 0
5
4 0 0 0 0 0 0 0 0
3 4 4 0 0 0 0


Ejemplo C

Analizar el siguiente cuadro que resume la distribución del ingreso per cápita.

Evolución de la distribución del ingreso
monetario según quintiles de ingreso 1987 - 1998

Quintil 1987 1990 1992 1994 1996 1998
I 4,3 4,4 4,6 4,3 4,1 4,1
II 7,9 8,2 8,5 8,2 8,2 8,2
III 11,7 12,3 12,2 12 11,9 11,8
IV 19 18,1 18,4 18,5 19,1 19,1
V 57,2 56,9 56,3 56,9 56,7 56,9
Total 100 100 100 100 100 100

Fuente: MIDEPLAN, Encuestas CASEN.

I. Investigar sobre el monto de los ingresos per cápita en los años que indica el cuadro y
establecer los valores por año y quintil.
II. Establecer el significado de los quintiles y su aporte como complemento a la media
aritmética que es el ingreso per cápita.

Siempre es interesante y conveniente que los estudiantes opinen y tomen posiciones respecto a lo
que estos indicadores dicen y lo que pueden ocultar.
Importa que los estudiantes perciban la necesidad de complementar los indicadores de tenden-
cia central con aquellos que reflejan la mayor o menor distribución de los datos.
Se sugiere coordinar acciones con los profesores o profesoras de Historia y Ciencias Sociales
para eventualmente profundizar y/o ampliar sobre este tema.

Ejemplo D

Pedir a algunos alumnos o alumnas que registren sus pulsaciones, tomadas durante 1
minuto, cinco veces cada uno, antes y después de hacer un ejercicio físico. Buscar formas
de organizar y presentar la información recogida de modo que sea posible comparar la
información para un mismo alumno antes y después de los ejercicios y comparar también
para todos los alumnos.


Interesa que los estudiantes escojan las formas gráficas y/o los indicadores adecuados que les permi-
tan hacer buenas comparaciones, teniendo en cuenta la variabilidad de la variable.
Un gráfico de caja permite visualizar los cambios en la distribución de la frecuencia de pulsa-
ciones, antes y después de hacer el ejercicio.
El dibujo que sigue ilustra dicho tipo de gráfico. Por debajo de la mediana hay 50% de los datos,
por debajo del primer cuartil hay 25% de los datos y bajo el tercer cuartil, un 75% de los datos.
Estos gráficos facilitan comparaciones entre dos o más grupos.

Punto atípico

3er cuartil

Mediana

1er cuartil

Mínimo

Ejemplo E

El análisis de las notas de un curso al término del primer y segundo trimestre señala que
en ambos trimestres el promedio en matemática es 5.1, la nota máxima es 7 y la mínima es
3.2. Sin embargo, los alumnos tienen la sensación de mejores resultados en un trimestre
que en otro. Determinar cuál es ese mejor trimestre y por qué se considera mejor.

Las notas en cada trimestre se presentan en los cuadros que siguen.

Primer trimestre

7 7 6,9 6,8 6,5 6,3 5,8 5,7 5,6 5,6
5,6 5,4 5,4 5,2 5,2 5,2 4,8 4,8 4,8 4,5

4,3 4,3 4,3 4,1 4,1 4,1 4,1 3,2 3,2 3,2

Segundo trimestre

7 6,4 6,1 6 5,7 5,5 5,4 5,3 5,3 5,3
5,3 5,2 5,2 5,2 5,1 5 5 5 5 5

5 4,9 4,7 4,7 4,7 4,6 4,5 4,5 3,2 3,2


Interesa que los estudiantes complementen el promedio con el concepto de dispersión de los datos.
Un gráfico de barra es un buen instrumento para percibirla.
El diagrama de tallo y hoja es también una herramienta adecuada para visualizar la dispersión
de los datos y la comparación entre las notas de ambos trimestres, como se puede apreciar en el
diagrama siguiente.

0 7 0 0
0 1 4 6 9 8 5 3
0 0 0 0 0 0 1 2 2 2 3 3 3 3 4 5 7 5 8 7 6 6 6 4 4 2 2 2
5 5 6 7 7 7 9 4 8 8 8 5 3 3 3 1 1 1 1
2 2 3 2 2 2

En este caso el tallo lo constituye la parte entera de las notas; las hojas son las cifras decimales de
cada nota. Las hojas de la izquierda corresponden a un trimestre en tanto que las de la derecha son
del otro trimestre, favoreciendo así la comparación entre ambos.
La comprensión de este gráfico con el tallo en común suele ofrecer dificultades para los estudiantes.
Es necesario que los alumnos y alumnas visualicen la dispersión de los datos como un comple-
mento necesario para la interpretación del promedio. Además, es conveniente que hagan los cálculos
del promedio y de la desviación estándar en una planilla de cálculos o utilizando una calculadora
científica en la modalidad de cálculos estadísticos.
También es importante que los estudiantes hagan los gráficos de frecuencias de los datos en
cuestión y desarrollen la capacidad de estimar el valor de la desviación estándar, mirando el gráfico.
De este modo la percepción de la dispersión de los datos se puede confirmar con un resultado numérico.

Ejemplo F

En un grupo, los varones obtienen las siguientes notas en Educación Física:

5,6; 5,5; 4,8; 7; 6,4; 5,5; 4,5; 5,6; 5,4; 5,8; 6,0; 5,2

Las damas, a su vez, obtuvieron:

6,6; 6,5; 5,8; 4,8; 5,9; 7

Un niño dijo: nuestro promedio es 5,6; y una niña dijo nuestro promedio es 6,1.

Julio, que estaba escuchando, realizó los siguientes cálculos en su cuaderno:
5,6
+ 6,1
11,7 : 2 = 5,85
11.7
y dijo: este grupo tiene promedio 5,9; ¿qué error cometió Julio? Fundamente su respuesta.


Es importante que los alumnos y alumnas constaten que el promedio de promedios no tiene sentido
si se consideran universos de distinto tamaño. Se sugiere buscar formas para demostrar que el pro-
medio de dos promedios es diferente al promedio de la totalidad de los datos salvo si ambos grupos
de datos tienen el mismo tamaño.

Actividad 2

Analizan e interpretan información estadística actualizada y comunican las
conclusiones de estos análisis.

Ejemplo A

Seleccionar algunas de las variables del cuadro de datos sobre 97 países, que se incorpora
al final de esta unidad (pág. 41). Esta información está tomada de internet.

I. Analizar el significado de esas variables considerando la definición propuesta al inicio
del cuadro.
II. Construir un diagrama de barras que represente el número de países en los diferentes
grupos. A partir del mismo, construir una tabla de frecuencias y discutir el significado
de las frecuencias absolutas, relativas y porcentajes.

El profesor o profesora podrá pedir a los alumnos y alumnas que busquen artículos en la prensa en
que se hable de alguno de estos indicadores, expliquen con sus propias palabras la utilidad que
pueden tener y averigüen la fuente responsable de esa información.
En este cuadro se ha usado un código para agrupar los países en función de la zona geográfica
y desarrollo económico. Los estudiantes podrían sugerir otras variables de clasificación de los países
o añadir otras variables o países.
Los alumnos y alumnas pueden analizar las ventajas que el diagrama de barras tiene frente a la
tabla para visualizar el grupo que tiene mayor o menor número de países. Asimismo pueden elabo-
rar otros gráficos adecuados para representar algunas de las variables elegidas.

Ejemplo B

Elaborar un gráfico y calcular la media aritmética y la mediana de la variable población
para cada grupo de países del cuadro que se incluye al final de la unidad.


La clase puede dividirse en equipos de trabajo para calcular estos promedios y para explicar lo que
representa cada uno. Se puede pedir a los alumnos y alumnas que señalen las principales diferencias
entre los gráficos y que decidan cuál de los promedios acentúa más las diferencias, explicando la
razón.

Ejemplo C

En los gráficos siguientes se representa la esperanza media de vida en hombres y mujeres,
para los 97 países.

Comparar estos dos gráficos e indicar cuál les parece más adecuado para representar la
diferencia entre la esperanza media de vida de mujeres y hombres.

Esperanza de vida media en hombres y mujeres

66 70

60
65
50
Esperanza de vida al nacer

Esperanza de vida al nacer

64 40

30
63

20
62
10

0
Hombres Mujeres Hombres Mujeres

Cada país ponderado por Cada país ponderado por
número de habitantes número de habitantes

Es necesario observar que el cálculo de los años de esperanza media de vida al nacer, para los 97
países, es un promedio ponderado.
Además interesa hacer notar la distorsión en la interpretación que se puede inducir por la
manipulación interesada en la escala de los gráficos.


Ejemplo D

El gráfico que sigue corresponde a las tasas de natalidad de los 97 países; el tallo está
definido por la cifra de las decenas del indicador y las hojas por la cifra de las unidades,
sin hacer aproximación.

0 9 9
1 0 0 1 1 1 1 2 2 2 2 2 3 3 3 3 3 3 3 4 4 4 4 4 4
1 5 5 6 7 7 8 0 1 1 2 2 2 3 3 4
2 6 7 7 8 8 8 8 9 9
3 0 0 1 1 1 1 2 2 2 3 4
3 5 5 6 8 8 9 9
4 0 1 1 1 2 2 2 2 4 4 4 4
4 5 5 5 6 6 6 7 7 7 8 8 8 8 8
5 0 0 1 2

Construir un gráfico similar al anterior, para cada grupo de países y caracterizar cada
grupo de acuerdo a este indicador.

A partir de las gráficas realizadas por los estudiantes, se puede investigar qué países tienen una tasa
de natalidad atípica respecto a su grupo.
Esta información se puede complementar con el gráfico siguiente:

Gráficos de caja

1

2

3

Grupo
4

5

6

0 10 20 30 40 50 60

Tasa natalidad


Ejemplo E

Según estudios realizados por la FAO, la disponibilidad de agua por persona ha descendido
bruscamente en un lapso de aproximadamente 50 años.

La siguiente tabla señala la disponibilidad de agua en miles de metros cúbicos:

1950 2000
1 ÁFRICA 17,8 4,8
2 ASIA 7,6 2,9
3 EUROPA 5,9 4,5
4 AMÉRICA NORTE 32,4 17,6
5 AMÉRICA LATINA 72,1 22,8
6 EX URSS 24,1 14,8
7 OCEANÍA 159,5 65,6

Fuente: FAO.

I. Hacer el gráfico de barras que permite comparar la disponibilidad de agua en ambos
años.
II. Calcular el porcentaje de descenso para cada región.
III. ¿Qué explicación le daría Ud. a estos descensos en la cantidad de agua per cápita?
IV. ¿Por qué cree Ud. que en algunos continentes o regiones este descenso es mayor que
en otras?
V. ¿Qué cree Ud. que sucederá en los próximos 50 años con respecto al agua disponible
per cápita en el mundo? (seguirá disminuyendo, se mantendrá o subirá).
VI. Conversar sobre la siguiente aseveración: “Las futuras guerras serán por el control
de las fuentes de agua”.

El desarrollo de esta actividad es una invitación a interpretar la información y reflexionar sobre las
reservas de agua dulce.
Este ejemplo se puede complementar considerando la siguiente información.

Agua dulce usada diariamente por persona en labores domésticas:
Se considera agua de uso doméstico aquella que es utilizada diariamente por las personas en higie-
ne, preparación de alimentos, riego de jardines, etc.).
Senegal 30 litros
Chile 300 litros
EEUU 700 litros
Estos valores son promedios nacionales lo que significa que pueden existir marcadas diferencias al
interior de cada país.


Por ejemplo en algunos sectores de Santiago, el consumo doméstico diario por persona es:

Clientes empresa La Dehesa 600 litros
Lo Castillo Los Dominicos 1800 litros
Lo Curro 3000 litros

Fuente: El Mercurio, 24 de noviembre 1996.

Ejemplo F

Según EMOS (Empresa Metropolitana de Obras Sanitarias), el consumo promedio de agua,
en m3, en una familia de 5 integrantes es:

Uso invierno verano
Duchas 250 350
Aseo en lavatorios 50 60
Descargas WC 300 300
Comidas y lavado vajilla 80 90
Lavado general 150 185
Riego 5 165
Total diario 835 1.150
Total mensual 25.050 34.500

Fuente: Emos.

Interpretar esta información y responder las preguntas siguientes:

I. ¿Qué indican y qué ocultan estos valores promedios?
II. ¿Que significaría dividir por 5 cada uno de los valores de la tabla dada?
III. Analizar el tema de la escasez de agua y su mal uso.
IV. Investigar en la propia realidad familiar y encontrar indicadores que permitan
compararlos con los datos anteriores.

Unidad 1: Estadísticas y probabilidad 29

Ejemplo G

El gráfico y la tabla que se presentan a continuación corresponden al precio promedio de
remedios en Chile según su origen de elaboración.

7

6

5

4
US$

3
Serie 1
2

1

0
1 2 3
Promedio general Laboratorios nacionales Laboratorios extranjeros

Fuente: Asociación Industrial de Laboratorios Farmacéuticos de Chile. (4º trimestre de 1999).

Laboratorios Promedio US$
Nacionales 2,30
Extranjeros 6,54
Promedio general 3,30

I. Interpretar el significado de “precio promedio” de los remedios en Chile.
II. Explicar por qué el promedio general de los remedios no corresponde a la semi-suma
de 2,30 y 6,54.

Aquí se trata de una situación de cálculo del promedio ponderado que se explica por la información
siguiente: las ventas totales de esta industria durante el año 2000 en farmacias fueron de 165 millo-
nes de unidades valorizadas en US$ 552 millones. Sobre esa cifra la industria nacional tiene una
participación del 77% en unidades vendidas, pero en valores ello representa sólo el 54% del merca-
do, por lo tanto, el 46% restante corresponde a los laboratorios extranjeros que venden menos cantidad
de medicamentos pero a un mayor precio.


Actividad 3

Experimentan con muestras aleatorias simples tomadas de una población conocida;
plantean conclusiones que derivan de la comparación entre la media aritmética y
la desviación estándar de la población con la de todas las muestras de un mismo
tamaño.

Ejemplo A

I. Para estimar el número de peces que hay en un lago, se realizó lo siguiente:
a) se capturó una muestra al azar de peces, se les marcó y fueron devueltos al agua.
b) un breve tiempo después, se capturó una nueva muestra, se registró la proporción
de peces marcados versus el total de peces de la muestra.
Si las muestras fueron efectivamente aleatorias, entonces se espera que la frecuencia
relativa de peces marcados en la segunda muestra sea aproximadamente la misma
que la de peces marcados en la población.
Suponer que en el primer proceso se capturan y marcan 120 peces. Posteriormente se
capturan 100 peces de los cuales 22 están marcados. Estimar el número de peces del
lago.
II. Aplicar el procedimiento anterior para estimar el número de bolitas que hay en una
bolsa.

En esta experiencia se puede proponer que los alumnos y alumnas trabajen con un determinado
número de bolitas de dos colores en una bolsa de la que extraigan al azar muestras de igual tamaño;
interesa observar algunas regularidades asociadas a las muestras que se sacan aleatoriamente y son
de un mismo tamaño.
Recoger información sobre estudios relativos a estimación de poblaciones de animales y espe-
cies en extinción.
En el sitio www.ideamas.uchile.cl se incluye un programa de simulación para el estudio de
distribuciones de muestras de un mismo tamaño en la que intervienen dos atributos en una propor-
ción conocida.


Ejemplo B

Ocho amigos conversan sobre el número de hermanos que tiene cada uno. Llegan a la
información que se resume en la tabla siguiente:

N° de hermanos Frecuencia
1 2
2 2
3 2
4 2
Total 8

I. Calcular el promedio de hermanos del grupo.
II. Para experimentar en relación con las muestras, formar todos los dúos de amigos y
para cada dúo calcular el promedio de hermanos.
III. Hacer el gráfico de la distribución del promedio de hermanos de todas las muestras,
calcular la desviación estándar de esta distribución y compararla con el promedio y la
distribución estándar del número de hermanos del grupo de amigos.
IV. Formar todos los tríos de amigos y proceder a hacer los mismos cálculos.
V. Comparar con los resultados obtenidos en relación con los promedios calculados.
VI. Constatar la relación s = σ/ √ n en que s es la desviación estándar de la distribución
de todas las muestras, σ es la de la población y n es el número de elementos de la
muestra.

En este caso la población son los 8 amigos, la variable aleatoria es ‘número de hermanos’ y las
muestras son de dos y de tres elementos en cada caso.
La realización de ejemplos de este tipo pone en evidencia las relaciones entre la media de la
distribución de todas las muestras y la media de la población y las correspondientes desviaciones
estándar.
Es una manera de aproximar a los estudiantes a las muestras y su relación con las probabilida-
des. Para el desarrollo de ejemplos de este tipo, es necesario que los estudiantes recurran al uso de
una planilla de cálculo o bien a una calculadora científica en el modo estadística. Para facilitar la
manipulación de las muestras, necesariamente la población es pequeña.
En el sitio www.ideamas.uchile.cl se incluye un programa de simulación para el estudio de la
distribución de la media aritmética en un conjunto de muestras de igual tamaño.


Ejemplo C

Se dispone de una bolsa con 100 fichas numeradas distribuidas como indica la tabla:

Nº en la ficha 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Cantidad 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10

Se pide:

I. Obtener muestras al azar de tamaño 10 y calcular para cada una de ellas la media de
los valores de las fichas como también su desviación estándar.
II. Obtener muestras al azar de tamaño 20 y calcular para cada una de ellas la media de
III. Obtener muestras al azar de tamaño 30 y calcular para cada una de ellas la media de
IV. Comparar los valores de las medias y desviaciones estándar obtenidos en los
experimentos anteriores.
V. Realizar inferencias sobre el valor de la media poblacional a partir de algunas de las
muestras anteriores.

En este caso la variable aleatoria es el valor de las fichas. Este experimento se puede realizar en
forma práctica, o bien simulada, utilizando la tecla RAN de una calculadora científica.
Es interesante que los alumnos y alumnas reflexionen sobre la variabilidad que presentan las
medias obtenidas en las muestras y cuán lejano o cercano está su valor de 5,5 que es el promedio del
valor de las fichas de la población.
Además que constaten que la desviación estándar de los valores obtenidos con las muestras de
tamaño 30 es muy semejante a la desviación estándar de la población, que en este caso también es
fácil de calcular.


A manera de ilustración se presentan los resultados obtenidos para una muestra elegida al azar, de
tamaño 30.

Valor de la ficha Frecuencia
1 4
2 1
3 3
4 1
5 4
6 4
7 4
8 4
9 4
10 1

el promedio es x = 5,63

la desviación estándar de esta muestra es s = 2,70

A partir de esta muestra se puede estimar un intervalo de valores en el cual la media de la población
estará ubicada con un alto grado de confianza; no se puede señalar el valor exacto de la media de la
población.
Utilizando fórmulas sencillas, se puede calcular dicho intervalo que viene dado por:

5,63 ± 1,7 • 2,7 = 5,63 ± 0,83
√ 30
en que:
5,63 es el promedio de la muestra
1,7 es el coeficiente k asociado al nivel de confianza deseado
2,7 es la desviación estándar de la muestra
√ 30 es la raíz cuadrada del tamaño de la muestra.
El coeficiente k se obtiene de la siguiente tabla:

Nivel de confianza 68% 90% 95% 99% 99,7%
Coeficiente k 1 1,7 2 2,6 3

Lo que finalmente se puede afirmar es que la media de la población se encontrará en el intervalo
[4,80 ; 6,46] con un nivel de confianza de un 90%.

4,8 < media población < 6,46


Actividad 4

Estudian la representatividad de muestras en relación con una población. Interpretan
los márgenes de error y los grados de confianza señalados en las investigaciones y
encuestas de opinión.

Ejemplo A

En su columna dominical un periodista plantea la siguiente pregunta a sus lectores:
¿donaría usted sus órganos?

De las casi 5000 cartas recibidas, aproximadamente el 70% dijo que no. Sin embargo, una
investigación del Instituto de Estadísticas señala que de 1573 personas encuestadas, un
87% dijo que sí donaría sus órganos.

¿Qué explicaciones da usted a esta diferencia?

El tema central que se propone con este ejemplo es la representatividad de las muestras; se puede
pedir a los alumnos y alumnas que inventen muestras que no son representativas de una población
pero que a la vez sean un poco engañosas. También se puede hacer referencias a las muestras de
sangre, orina, de tejidos u otros en los laboratorios clínicos; probar las comidas u otras acciones
diarias que están referidas a muestras.

Ejemplo B

En una encuesta se pregunta, ¿debiera haber una legislación que prohíba el trabajo infantil?

Las respuestas fueron: 43% a favor; 48% en contra; 9% indecisos.

En una segunda encuesta se reformuló esta pregunta: ¿debiera haber una legislación que
proteja el derecho a la educación y recreación de los niños?

Las respuestas fueron: 62% a favor; 27% en contra; 11% indecisos.

I. Analizar las diferencias de las preguntas y su posible incidencia en los porcentajes de
respuesta.
II. Redactar dos o más formas de hacer una pregunta orientada a la búsqueda de la misma
información, con las que suponen obtendrían distintos resultados en una encuesta.
III. Experimentar con las preguntas que se consideren más adecuadas.


Es necesario que los jóvenes analicen las formas de preguntar y su incidencia en los resultados de las
encuestas y además que se interesen por conocer las preguntas que se incluyen en las encuestas
cuyos resultados se publican frecuentemente en los medios de comunicación.

Ejemplo C

El candidato A que postula a la presidencia afirma: ya tengo ganada esta elección de
acuerdo a la encuesta publicada hoy en los diarios.

B, el otro candidato dice: de acuerdo a los resultados de la encuesta publicada hoy en los
diarios, hay claramente un empate.

En los diarios se informa que una encuesta con un 2% de margen de error y alto nivel de
confianza indica que para el candidato A hay un 38,7% de intención de voto y para el
candidato B, esta intención de voto llega a un 35,3%.

I. Según la encuesta, ¿cuál de los dos candidatos ganaría la elección?
II. ¿Cuál es el significado de 2% de error en los resultados?

Es necesario analizar las informaciones numéricas y contrastarlas con los márgenes de error e inter-
valos de confianza de la investigación.
En el desarrollo de esta unidad no se calculan ni se establecen sus definiciones sino que se
espera que los estudiantes las puedan interpretar; principalmente, el margen de error en un contex-
to de intervalo de confianza alto. El estudio de estos conceptos desde la estadística inferencial
supera los propósitos de esta unidad.


Actividad 5

Realizan un proyecto de investigación relativo a la historia de la estadística, o bien,
a sus aplicaciones en investigaciones y estudios específicos.

Ejemplo A

Realizar un proyecto en el que optan por:

I. Investigar sobre el inicio de la estadística moderna asociada al estudio de las
probabilidades y a técnicas de muestreo.
II. Recoger antecedentes y entrevistar a personas que trabajen en investigaciones
estadísticas.
III. Diseñar y llevar a la práctica una investigación sobre algún tema de interés juvenil,
restringido a su comuna, localidad, comunidad escolar u otro ámbito.

Si los intereses de los alumnos lo permiten se puede dar una diversidad que tome los tres tipos de
investigación.
Importa que una vez que ésta concluya se dé cuenta al curso de los resultados obtenidos y de la
metodología de trabajo utilizada.
El desarrollo de estos proyectos se puede iniciar después de algunas horas de clases sobre el
tema.
En el caso de la historia de la estadística es interesante establecer comparaciones entre la des-
criptiva censal y la estadística inferencial.


Actividades para la evaluación y ejemplos
Las actividades que se proponen a continuación se complementan con algunos ejemplos. Para cada
ejemplo se propone un conjunto de indicadores que importa tener en cuenta para evaluar el logro de
los aprendizajes esperados por el alumno o alumna.

Actividad 1

Analizan distribuciones de datos a partir de gráficos, indicadores de tendencia
central y de dispersión.

Ejemplo A

Considerar los siguientes gráficos de barra, que representan los mm de agua caída en
dos ciudades diferentes, durante los primeros días de un mes.

mm mm
30

25

20 20

15

10

5

0
días Ciudad B días
Ciudad A

I. A partir de los gráficos, ¿qué se puede afirmar en relación con la cantidad de agua
caída en esos días en las dos ciudades?
II. ¿Cuál es la media aritmética de mm de agua caída en cada ciudad?

Observar qué cálculos realizan y cómo éstos reflejan la interpretación de ambos gráficos.


Ejemplo B
En una reunión de alumnos se escucha el siguiente diálogo:
Juan: Mi curso obtuvo promedio 5 en lenguaje.
Andrea: El mío obtuvo promedio 5,1, por lo tanto es un curso mejor.
Mateo: Momento, ¿me pueden dar la desviación estándar de las notas de cada curso?
Juan: Al calcularla resulta 0,2.
Andrea: A mí me dio 0,6.

De acuerdo a estos datos, ¿cuál es su opinión respecto a ambos cursos?

Observar si relacionan los indicadores (media aritmética y dispersión) para fundamentar
la opinión.

Ejemplo C

Según el Informe sobre Desarrollo Mundial (1994) las áreas naturales protegidas a nivel
mundial representan, en promedio, el 5,4% de la superficie de los países.

Chile, en cambio, cuenta con un 18,3% de su superficie total protegida.

(http://www.infor.cl/webinfor/producyserv/inforestad/estadisticas.htm)

País Superficie protegida
(% de superficie del país)
Brasil 3,3
Uruguay 0,2
México 5,1
Argentina 3,4
Puerto Rico 4,0
Nueva Zelanda 10,7
España 6,9
Canadá 5,0
Irlanda 0,6
Francia 9,8
EEUU 10,5
Australia 10,6
Singapur 2,6
Finlandia 2,5
Noruega 5,0
Suecia 6,6
Promedio 5,4
Chile 18,3


De acuerdo a estos datos, responder las siguientes preguntas:

• ¿Está el dato de Chile incluido en el cálculo del promedio? Fundamentar la respuesta.
• ¿Cómo interpreta el valor 5,4%?
• Observando los valores de la tabla anterior, ¿le parecen a Ud. muy dispersos? Explicar.
• Representar gráficamente los datos de la tabla.
Observar qué cálculos realizan, si hacen referencia al referente del % y cómo explican el
que corresponde al promedio; si tienen nociones sobre la dispersión; si muestran
competencia para hacer el gráfico.

Actividad 2

Establecen diferencias entre estadística descriptiva e inferencial.

Ejemplo A

Clasificar los estudios siguientes en estadística descriptiva o inferencia estadística:

a) Pedro predice que el candidato Belaire va a ganar la elección presidencial con un
53% de los votos a partir de los resultados de 45 comunas.
b) El ecologista Dr. Valverde dice que la carne de los peces del lago Rapel contiene un
promedio de 400 unidades de mercurio.
c) En el Colegio Fuente Nueva, el promedio de la PAA Verbal fue de 550.
d) Se prevé 25 accidentes de tránsito el próximo fin de semana largo.
e) El año pasado 72% de los trabajadores de la fábrica de zapatos Tacones perdieron, al
menos, un día de trabajo.

Ejemplo B

Indicar por qué las muestras que se proponen a continuación no son adecuadas:

a) Para tener una información sobre si una obra de teatro fue o no del agrado del público
se encuestó a diez personas familiares de los actores.
b) Para tener información sobre las preferencias de los electores para la próxima elección
presidencial se hizo una encuesta a 50 personas que trabajan en la minería del cobre.
c) Para tener información sobre la lectura de una revista entre los jóvenes se encuestó a
30 estudiantes de la carrera de diseño de una universidad.
Observar si hacen referencia a la representatividad de las muestras en relación con la
población que debiera considerarse.


Actividad 3

Interpretan los márgenes de error y los grados de confianza señalados en las
investigaciones y encuestas de opinión.

Ejemplo A

Considerar encuestas que se publican en la prensa, constatar si indican o no los márgenes
de error y el nivel de confianza.

De acuerdo a esa información opinar sobre los resultados.

Ejemplo B

Conocer investigaciones hechas por instituciones responsables y analizar los resultados
considerando los índices de error y los grados de confianza.


Informaciones estadísticas sobre 97 países
(http://www.amstat.org/publications/jse/).

Esta información se basa en un documento preparado por Rouncenfield (1995), quien usó como
fuentes Day (1992) y UNESCO (1990). Está tomada de internet, del servidor de Journal of Statis-
tical Education.
Contiene las siguientes variables, que se refieren a 1990:
I. Tasa de natalidad: Niños nacidos vivos en el año por cada 1000 habitantes;
II. Tasa de mortalidad: Número de muertes en el año por cada 1000 habitantes;
III. Mortalidad infantil: Número de muertes en el año por cada 1000 niños de menos de 1 año;
IV. Esperanza de vida al nacer para hombres y mujeres;
IV. PNB. Producto Nacional Bruto per cápita en dólares (USA);
VI. Grupo: Clasificación de países en función de la zona geográfica y situación económica, en las
siguientes categorías:
1. = Europa Oriental
2. = Iberoamérica
3. = Europa Occidental, Norte América, Japón, Australia, Nueva Zelanda
4. = Oriente Medio
5. = Asia
6. = Africa.
VII. Población: número de habitantes en 1990 en miles de personas, tomado del anuario publicado
por el periódico español “El País”.

Tabla 1: Fichero de datos del proyecto “Análisis demográfico”

País Grupo Tasa Tasa Mortalidad Esperanza Esperanza PNB Población
natalidad mortalidad infantil vida vida (miles)
hombre mujer
Afganistán 5 40.4 18.7 181.6 41.0 42.0 168 16000
Albania 1 24.7 5.7 30.8 69.6 75.5 600 3204
Alemania (Oeste) 3 11.4 11.2 7.4 71.8 78.4 22320 16691
Alemania Este 1 12.0 12.4 7.6 69.8 75.9 . 61337
Algeria 6 35.5 8.3 74.0 61.6 63.3 2060 24453
Angola 6 47.2 20.2 137.0 42.9 46.1 610 9694
Arabia Saudí 4 42.1 7.6 71.0 61.7 65.2 7050 13562
Argentina 2 20.7 8.4 25.7 65.5 72.7 2370 31883
Austria 3 14.9 7.4 8.0 73.3 79.6 17000 7598
Bahrein 4 28.4 3.8 16.0 66.8 69.4 6340 459
Bangladesh 5 42.2 15.5 119.0 56.9 56.0 210 111590
Bélgica 3 12.0 10.6 7.9 70.0 76.8 15540 9886
Bielorusia 1 15.2 9. 13.1 66.4 75.9 1880 .
Bolivia 2 46.6 18.0 111.0 51.0 55.4 630 7110
Botswana 6 48.5 11.6 67.0 52.3 59.7 2040 1217


hombre mujer
Brasil 2 28.6 7.9 63.0 62.3 67.6 2680 147294
Bulgaria 1 12.5 11.9 14.4 68.3 74.7 2250 9001
Camboya 5 41.4 16.6 130.0 47.0 49.9 . 8250
Canadá 3 14.5 7.3 7.2 73.0 79.8 20470 26302
Colombia 2 27.4 6.1 40.0 63.4 69.2 1260 32335
Congo 6 46.1 14.6 73.0 50.1 55.3 1010 2208
Corea (Norte) 5 23.5 18.1 25.0 66.2 72.7 400 21143
Checoslovaq 1 13.4 11.7 11.3 71.8 77.7 2980 15641
Chile 2 23.4 5.8 17.1 68.1 75.1 1940 12980
China 5 21.2 6.7 32.0 68.0 70.9 380 1105067
Dinamarca 3 12.4 11.9 7.5 71.8 77.7 22080 5132
Ecuador 2 32.9 7.4 63.0 63.4 67.6 980 10329
Egipto 6 38.8 9.5 49.4 57.8 60.3 600 51390
Emiratos Arabes 4 22.8 3.8 26.0 68.6 72.9 19860 1544
España 3 10.7 8.2 8.1 72.5 78.6 11020 39161
Etiopía 6 48.6 20.7 137.0 42.4 45.6 120 48861
Filipinas 5 33.2 7.7 45.0 62.5 66.1 730 61224
Finlandia 3 13.2 10.1 5.8 70.7 78.7 26040 4974
Francia 3 13.6 9.4 7.4 72.3 80.5 19490 56119
Gabón 6 39.4 16.8 103.0 49.9 53.2 390 1105
Gambia 6 47.4 21.4 143.0 41.4 44.6 260 848
Ghana 6 44.4 13.1 90.0 52.2 55.8 390 14425
Grecia 3 10.1 9.2 11.0 65.4 74.0 5990 10039
Guayana 2 28.3 7.3 56.0 60.4 66.1 330 95
Holanda 3 13.2 8.6 7.10 73.3 79.9 17320 14828
Hong-Kong 5 11.7 4.9 6.10 74.3 80.1 14210 5735
Hungría 1 11.6 13.4 14.8 65.4 73.8 2780 10587
India 5 30.5 10.2 91.0 52.5 52.1 350 832535
Indonesia 5 28.6 9.4 75.0 58.5 62.0 570 178211
Irán 4 42.5 11.5 108.1 55.8 55.0 2490 50204
Iraq 4 42.6 7.8 69.0 63.0 64.8 3020 18271
Irlanda 3 15.1 9.1 7.5 71.0 76.7 9550 3537
Israel 4 22.3 6.3 9.7 73.9 77.4 10920 4525
Italia 3 9.7 9.1 8.8 72.0 78.6 16830 57537
Japón 3 9.9 6.7 4.0 75.9 81.8 25430 123045
Jordania 4 38.9 6.4 44.0 64.2 67.8 1240 4041
Kenya 6 47.0 11.3 72.0 56.5 60.5 370 23277
Kuwait 4 26.8 2. 15.6 71.2 75.4 16150 2020
Líbano 4 31.7 8.7 48.0 63.1 67.0 . 2900
Libia 6 44.0 9.4 82.0 59.1 62.5 5310 4395
Malasia 5 31.6 5.6 24.0 67.5 71.6 2320 17340
Malawi 6 48.3 25.0 130.0 38.1 41.2 200 8230
Marruecos 6 35.5 9.8 82.0 59.1 62.5 960 24567


hombre mujer
México 2 29.0 23.2 43.0 62.1 66.0 2490 85440
Mongolia 5 36.1 8.8 68.0 60.0 62.5 110 2128
Mozambique 6 45.0 18.5 141.0 44.9 48.1 80 15357
Namibia 6 44.0 12.1 135.0 55.0 57.5 1030 1300
Nepal 5 39.6 14.8 128.0 50.9 48.1 170 18431
Nigeria 6 48.5 15.6 105.0 48.8 52.2 360 113665
Noruega 3 14.3 10.7 7.8 67.2 75.7 23120 4215
Omán 4 45.6 7.8 40.0 62.2 65.8 5220 1486
Pakistán 5 30.3 8.1 107.7 59.0 59.2 380 109950
Paraguay 2 34.8 6.6 42.0 64.4 68.5 1110 4161
Perú 2 32.9 8.3 109.9 56.8 66.5 1160 21142
Polonia 1 14.3 10.2 16.0 67.2 75.7 1690 38061
Portugal 3 11.9 9.5 13.1 66.5 72.4 7600 10333
Rumania 1 13.6 10.7 26.9 66.5 72.4 1640 23148
Sierra Leona 6 48.2 23.4 154.0 39.4 42.6 240 4040
Singapur 5 17.8 5.2 7.5 68.7 74.0 11160 2664
Somalia 6 50.1 20.2 132.0 43.4 46.6 120 6089
Sri-Lanka 5 21.3 6.2 19.4 67.8 71.7 470 16779
Sudáfrica 6 32.1 9.9 72.0 57.5 63.5 2530 34925
Sudán 6 44.6 15.8 108.0 48.6 51.0 480 24423
Suecia 3 14.5 11.1 5.6 74.2 80.0 23660 8485
Suiza 3 12.5 9.5 7.1 73.9 80.0 34064 6541
Swazilandia 6 46.8 12.5 118.0 42.9 49.5 810 761
Tailandia 5 22.3 7.7 28.0 63.8 68.9 1420 55200
Tanzania 6 50.5 14.0 106.0 51.3 54.7 110 25627
Túnez 6 31.1 7.3 52.0 64.9 66.4 1440 7988
Turquía 4 29.2 8.4 76.0 62.5 65.8 1630 54899
U.K. 3 13.6 11.5 8.4 72.2 77.9 16100 57270
U.S.A. 3 16.7 8.1 9.1 71.5 78.3 21790 248243
Ucrania 1 13.4 11.6 13.0 66.4 74.8 1320 .
Uganda 6 52.2 15.6 103.0 49.9 52.7 220 16722
Uruguay 2 18.0 9.6 21.9 68.4 74.9 2560 3067
URSS 1 17.7 10.0 23.0 64.6 74.0 2242 287664
Venezuela 2 27.5 4.4 23.3 66.7 72.8 2560 19244
Vietnam 5 31.8 9.5 64.0 63.7 67.9 . 65758
Yugoslavia 1 14.0 9.0 20.2 68.6 74.5 . 23707
Zaire 6 45.6 14.2 83.0 50.3 53.7 220 34442
Zambia 6 51.1 13.7 80.0 50.4 52.5 420 7837
Zimbabwe 6 41.7 10.3 66.0 56.5 60.1 640 9567


Unidad 2

Funciones potencia, logarítmica y
exponencial

Contenidos

1. Función potencia: y = a xn, a > 0, para n = 1, 2, 3, y 4, su gráfico. Análisis del gráfico
de la función potencia y su comportamiento para distintos valores de a.
2. Funciones logarítmica y exponencial, sus gráficos correspondientes. Modelación
de fenómenos naturales y/o sociales a través de esas funciones. Análisis de las
expresiones algebraicas y gráficas de las funciones logarítmica y exponencial.
Historia de los logaritmos; de las tablas a las calculadoras.
3. Análisis y comparación de tasas de crecimiento. Crecimiento aritmético, y
geométrico. Plantear y resolver problemas sencillos que involucren el cálculo de
interés compuesto.
4. Uso de programas computacionales de manipulación algebraica y gráfica.



1. Analizan el comportamiento gráfico y analítico de las funciones potencia,
logarítmica y exponencial.
2. Reconocen las funciones exponencial y logarítmica una como inversa de
la otra.
3. Analizan las relaciones entre los gráficos, los exponentes y los parámetros
en la función potencia.
4. Utilizan las funciones potencia, logarítmica y exponencial para modelar
situaciones o fenómenos naturales o sociales.


El concepto de función es una de las llaves de la matemática actual y por lo tanto del desarrollo de
la ciencia y la tecnología moderna. Es la formalización del reconocimiento de la existencia de rela-
ciones entre diferentes variables que describen una situación y que pueden provenir de ámbitos tan
diversos como la química, la física, la arqueología, la economía, la medicina y naturalmente de la
matemática misma.
A lo largo del estudio de Matemática en la Educación Media, se han construido distintas
funciones que han servido para modelar y describir variados aspectos del mundo real. Se han intro-
ducido funciones como las funciones lineales, parte entera, valor absoluto, cuadráticas, raíz cuadrada,
y otras que han ayudado a que las alumnas y alumnos perciban la potencia de las funciones como
herramienta sólida para modelar fenómenos de la realidad.
En esta unidad se introducen las funciones potencia, exponencial y logarítmica dada la impor-
tancia que éstas tienen tanto desde el punto de vista de la construcción matemática como desde la
posibilidad que ofrecen para la modelación de nuevos fenómenos comprensibles y cercanos a los
estudiantes.
En el desarrollo de esta unidad se enfatiza la utilización del gráfico como una herramienta que
apoya la aprehensión del tipo de crecimiento que modelan estas funciones. Es importante incorpo-
rar y utilizar la tecnología disponible como calculadoras científicas o gráficas y programas
computacionales. Sin embargo, es importante destacar también la génesis de algunos conceptos que
permite vincular la creación matemática con el desarrollo de la cultura humana. En este sentido es
pertinente destacar, por ejemplo, que los logaritmos se desarrollaron primeramente por el mejora-
miento que trajeron a la aritmética, y que sus sorprendentes propiedades facilitadoras de los cálculos
hicieron posible los grandes adelantos del siglo XVII en navegación y mecánica celeste. A pesar de
disponer de calculadoras y computadores para efectuar los cálculos, las propiedades de los logarit-
mos no sólo permanecen sino que facilitan la modelación de nuevos fenómenos.
Para unificar los conceptos que se encuentran detrás de los modelos funcionales estudiados a lo
largo de la enseñanza media, se sugiere incorporar el estudio y análisis de los elementos básicos del
concepto de función.
Es importante que como culminación de la formación matemática escolar, los estudiantes ten-
gan la noción de:
Función: como correspondencia entre dos variables en donde a cada variable independiente le co-
rresponde una única variable dependiente.
Dominio: como el conjunto de los valores posibles de la variable independiente.
Recorrido: como el conjunto de los valores resultantes o imágenes.
Gráfico: como el conjunto de los puntos del plano que representan a la función.
También es importante dejar una ventana abierta a las alumnas y alumnos para que compren-
dan que con las funciones estudiadas no se ha agotado el repertorio de funciones inventadas por el
hombre.



Actividad 1

Analizan gráfica y analíticamente algunos fenómenos o situaciones que se modelan
por una función potencia y estudian estas funciones considerando la paridad del
exponente, variaciones en los valores de los parámetros, restricciones en el dominio
y explicitación del recorrido.

Ejemplo A

Expresar el área y el volumen de un cubo en términos de la arista; construir una tabla de
valores, el gráfico de la función correspondiente y determinar los valores posibles que
puede tomar la variable independiente.

Interesa que los alumnos y alumnas relacionen los valores de la tabla con la expresión algebraica y la
representación gráfica de la función; que distingan en cada caso la variable dependiente y la inde-
pendiente.
Es importante que los estudiantes se den cuenta que, dado el contexto, la variable indepen-
diente sólo puede tomar valores positivos.
El uso de una planilla de cálculo puede ser un buen instrumento para organizar rápidamente
muchos valores en una tabla que considere las medidas de arista, área y volumen del cubo.
Además, se sugiere comentar las diferencias entre un gráfico hecho a partir de una tabla de
valores y el que se obtiene por valores continuos de la variable independiente: puntos sólo en el
primer cuadrante versus curva continua con valores positivos y negativos.
Convendría hacer uso de la notación

A(a) = a2
V(a) = a3

en que a es la longitud de la arista; distinguir los dominios y recorridos de las respectivas funciones,
de aquellos valores que son pertinentes para el contexto.
Si no es posible que los alumnos y alumnas accedan directamente a un computador, se sugiere
obtener buenas transparencias de los gráficos correspondientes. De este modo se ahorra tiempo y se
favorece una reflexión sobre los modelos y sus campos de validez. Es necesario indicar las unidades
de medida en cada uno de los ejes.


Ejemplo B

Se desea hacer una caja de cartón con forma de paralelepípedo recto de base cuadrada,
que tenga el mayor volumen posible, sabiendo que se dispone de 1,2 m de una cinta
decorativa para pegarla en todas las aristas y que se quiere ocupar toda la cinta.

Es necesario que los alumnos y alumnas visualicen distintas cajas que cumplen la condición de 1,2
m. en la suma total de las medidas de las aristas, pero que tienen diferentes volúmenes. A partir de
esta diversidad de cajas, tiene sentido buscar aquélla que tiene el volumen máximo.
Los estudiantes saben que V= a2 h permite determinar el volumen de un paralelepípedo de base
cuadrada en que a es la medida del lado del cuadrado y h, la altura del prisma.
Además, de acuerdo al problema,
8a + 4h = 12

lo que lleva a la expresión
V(a) = a2 (3 – 2a)

en que a está expresado en dm y cuyo gráfico es el siguiente:

De acuerdo al contexto, los valores de a son siempre positivos y el valor máximo se puede obtener a
partir del gráfico. Es interesante observar con los estudiantes que este volumen máximo correspon-
de a una caja con forma de cubo cuya arista mide 1dm.


Ejemplo C

I. Graficar las funciones y = x3; y = x 4; comparar ambos gráficos.
II. Graficar funciones de la forma y = ax 2; y = ax 4 ; considerar valores de a positivos y
negativos.
III. Graficar funciones de la forma y = ax 3; y = ax 5 ; considerar valores de a positivos y
negativos.

Se sugiere utilizar un graficador computacional; si esto no fuera posible, conviene disponer de tras-
parencias para superponerlas, después de algunos intentos de graficación manual.
En el caso I, interesa que los alumnos y alumnas distingan ambos gráficos y busquen explica-
ciones sobre esta diferencia de forma y especulen sobre los gráficos de exponente par e impar.
En el caso II el gráfico permite establecer la relación entre el signo de a y la orientación de la
gráfica. Ello incide directamente en el recorrido de la función. Se observa una simetría en torno al
eje y, la que se puede expresar anotando f(x) = f(–x).
Si se considera oportuno, se puede ampliar el análisis a las funciones potencia con exponente
4
fraccionario, como y = √ x ; y = √ x ; constatar cómo en ambos casos el gráfico tiene sólo una rama en
el primer cuadrante a causa de la paridad del índice de la raíz. Es un buen momento para retomar
los conceptos de dominio y recorrido.
En el caso III, a diferencia de las funciones del caso II, no se observa una simetría en torno a uno
de los ejes, sino una simetría central en torno al origen, la que se puede expresar como f(x) = – f(- x).
En forma similar al caso anterior, los alumnos y alumnas podrán graficar funciones potencia
3 5
con exponente fraccionario como y = √ x ; y = √ x ; constatar cómo, a diferencia de los ejemplos an-
teriores, en estos casos el gráfico tiene ramas en el primer y tercer cuadrante lo que incide en que
tanto el dominio como el recorrido sean todos los números reales.
A partir de estos gráficos, los alumnos y alumnas pueden llegar a establecer características
generales para las representaciones gráficas de la función potencia según la paridad de su exponente
y el signo del parámetro a.

Ejemplo D

En un mismo sistema de coordenadas, graficar las siguientes funciones:

I. y = x 5 ; y = (x + 1)5; y = (x - 2) 5
II. y = x 5 ; y = x5 + 1; y = x5 - 2
III. Analizar el rol que juegan los parámetros b y c en las expresiones de la forma
y = (x + b)n ; y = xn + c


El uso de un graficador computacional es útil para analizar la relación entre estas expresiones al-
gebraicas y el correspondiente gráfico, ya sea para que los estudiantes mismos lo manipulen, o en su
defecto, para proveer de gráficos de calidad que se pueden imprimir en transparencias para su uso
en clases.
Interesa que los estudiantes lleguen a expresar las relaciones entre los desplazamientos del
gráfico y la posición del parámetro en la expresión de la función. Para el caso del exponente par,
puede resultar interesante observar que f(x) = xn + c, c ≠ 0, tiene recorrido en el intervalo [c, + ∞[
Es importante recalcar aquí que estas expresiones no agotan las posibles funciones que se pue-
den obtener usando potencias. Si se considera oportuno se podría motivar a los alumnos a graficar
funciones polinomiales tales como f(x) = x2 + x + 1; g(x) = 5x4 – x3 + 3 y comentar acerca de sus
gráficos, dominios y recorridos. Análogamente podrían graficarse funciones racionales sencillas como
f(x) = 1 ; g(x) = 2 1 observando las restricciones necesarias en el dominio.
x x -4

Actividad 2

Estudian y relacionan las propiedades y las gráficas de las funciones logarítmica y
exponencial en distintas bases.

Ejemplo A

Supongamos que se dispusiera de una cartulina de 1 mm de grosor que se pudiera doblar
sucesivamente de modo que cada doblez se hiciese sobre el anterior:

I. ¿Cuál es la expresión matemática que indica la relación entre la altura del papel
doblado y el número de dobleces? Graficar esta expresión.
II. ¿Qué altura alcanzaría el papel doblado si se hiciesen 5, 15, 20, dobleces?
III. Si en lugar de duplicar la altura en cada doblez, ésta se triplicara, ¿cuál es, en ese
caso, la expresión matemática que expresa la relación entre la altura del papel doblado
y el número de dobleces? Graficar la relación en el mismo sistema de coordenadas
del gráfico anterior.
IV. Y, si la altura aumentase según potencias de 10, ¿cuál es el modelo matemático que
expresa la relación entre la altura del papel doblado y el número de dobleces? Graficar
la relación en el mismo sistema de coordenadas del gráfico anterior.
V. Comparar los tres gráficos y señalar sus características.
VI. En el caso que la altura se duplica en cada doblez, ¿cuántos dobleces son necesarios
para obtener una altura de 250 metros aproximadamente?


VII. Y, si se quisiera una altura de 800 metros, en el caso que la altura se triplica con cada
doblez, ¿cuántos dobleces son necesarios?
VIII.Y, si la altura aumenta en potencias de 10, y se quiere una altura de 500 metros,
¿cuántos dobleces son necesarios?

Esta situación se trabajó en Primer Año Medio, asociada a las potencias y como ejemplo de un
crecimiento diferente a las adiciones sucesivas de un mismo sumando.
El tipo de pregunta genera otras reflexiones relativas al mismo tema. Las cinco preguntas ini-
ciales se refieren a la función exponencial y las tres últimas a la función logaritmo.
Es importante que los alumnos y alumnas visualicen la rapidez del crecimiento exponencial y
comparen los crecimientos de acuerdo a las bases; ayuda a esta percepción la conversión, en este
ejemplo, de milímetros a metros o kilómetros.
Si se estima conveniente se puede profundizar más en el estudio de alguna de las funciones
consideradas; se sugiere plantear a los estudiantes el cálculo de valores que permita explicar el sig-
1 4
nificado de 2 2 para valores reales de x: calcular 22, 28, 2 , 2 √ 2 , 2 , 2π. En esos cálculos es necesario
2 5

discutir sobre las características de algunas calculadoras en relación con notación y aproximación de
los resultados.
Además, es interesante comparar y sacar conclusiones a partir del estudio de los gráficos de las
siguientes funciones:
y = 2x; y = 10 x; y = 2-x; y = 10 -x

Es conveniente en cada caso establecer el dominio y el recorrido correspondiente.
Los tres últimos casos del ejemplo abren el espacio para definir la función logaritmo con dis-
tintas bases. Nuevamente es importante resaltar el dominio y recorrido de la función logaritmo por
su relación con el dominio y recorrido de la correspondiente función exponencial.

Ejemplo B

Calcular el capital final que se obtiene al cabo de 10 meses, al depositar 4 millones de
pesos a un interés mensual de 2,5%.

En este ejemplo importa que los estudiantes lleguen a determinar la fórmula para el cálculo del
capital final. En esta perspectiva, puede ser oportuno incentivarlos para que construyan una tabla
de valores como la siguiente.

N° de mes 1° 2° 3° 4° 5°
Capital inicial 4000000 4100000 4202500,0
Incremento del capital
debido al interés 100000 102500 105062,5
Capital final 4100000 4202500 4307562,5


i
Generalizar la fórmula obtenida a Cf = Ci(1 + 100 ) t en que Cf es el capital final, Ci el capital inicial,
i es el interés fijado de acuerdo con la unidad de tiempo elegida y t son unidades de tiempo. Com-
plementar con informaciones relativas a préstamos financieros y a compras a crédito en las casas
comerciales.
Hacer notar que se trata de una función que utiliza valores discretos.
Para una mejor comprensión del interés compuesto se sugiere que los alumnos y alumnas desa-
rrollen este ejemplo calculando interés simple y establezcan las comparaciones.

Ejemplo C

Sofía soñaba que había un banco que ofrecía el 100% de interés anual sobre los depósitos.
En su sueño, ella depositaba un capital de 1 millón de pesos y al cabo de un año retiraba
los 2 millones correspondientes.

Continuando con su sueño, ella lograba llegar a un acuerdo con el agente del banco para
que el 100% anual se lo aplicaran mensualmente, distribuido en 12 partes iguales, y lo
incorporaran cada vez al capital depositado. En esas condiciones del sueño, ¿cuánto dinero
tiene en depósito al cabo de un año?

Continuando en la línea de ese sueño, si los intereses se los abonaran diariamente y
pasaran a ser depositados automáticamente, ¿cuánto sería el dinero depositado al cabo
de un año?

Si se disminuyera aún más la fracción del tiempo en que le abonan los intereses, ¿llegaría
Sofía a triplicar su capital?

Este ejemplo es una manera de introducir el número e, a partir de una situación obviamente ficticia.
Es importante establecer que ningún banco aceptaría las condiciones soñadas.
Al hacer las liquidaciones mensualmente, la fórmula que permitiría determinar el dinero al
cabo de un año es
C(f ) = 1 000 000 (1 + 1 ) 12
12

Si el interés se calculara diariamente, la fórmula para determinar el total de capital es

C(f ) = 1 000 000 (1 + 1 )365
365

Es necesario que constaten con la calculadora que por mucho que se minimice la unidad de tiempo,
el factor por el cual se multiplica el capital inicial no llega al valor 3 sino que tiende a estabilizarse
en un número comprendido entre 2,5 y 3.


Como complemento a este ejemplo, para una buena definición del número e, proponer a los estu-
diantes que evalúen la expresión (1 + 1 )n para n= 10; 100; 1 000; 10 000; 100 000; que observen y
n
describan la tendencia que se observa y, además, que grafiquen la expresión

1
y = (1+ x ) x, con x > 0.

El gráfico de la función muestra que y tiende a estabilizarse en la medida que x aumenta.

Ejemplo D

I. Calcular log 100; log 1; log 1021; log 10; log 100000. En cada caso explicar la relación
con la correspondiente potencia base 10.
II. Graficar las funciones y = log x; y = 10 x
III. Especular sobre el valor para log 50 teniendo como referencia los valores de log 10 y
log 100; constatar sus intuiciones con los resultados que proporciona una calculadora
y con el gráfico.

Es importante que los estudiantes perciban la función logaritmo asociada a la función exponencial.
Este ejemplo se puede complementar pidiendo que señalen el orden de magnitud de un núme-
ro si se conoce su logaritmo; que lleguen a percibir que la diferencia de una unidad entre un logaritmo
y otro indica una diferencia de un factor 10 en el antilogaritmo.


Este ejemplo se puede complementar pidiendo a los estudiantes que grafiquen las funciones

y = ex; y =Ln (x)

Es importante visualizar, tanto para la base 10 como para la base e, el eje de simetría de ambos
gráficos y relacionarlo con el concepto de funciones inversas entre sí.

Ejemplo E

I. Transformar a su forma exponencial las siguientes expresiones:
2 = log 525; a = log2b; a = logbc
II. Transformar a su forma logarítmica las siguientes expresiones:
9 = 3 2; a = 7 4; b = 5a ; a = bc;

Es necesario que los estudiantes ejerciten la transformación de la forma exponencial a la logarítmi-
ca y viceversa utilizando diferentes bases; que se den cuenta que la base 10 y base e son casos
particulares. Interesa que perciban que fundamentalmente se trata de un cambio de notación.


Ejemplo F

Obtener, a partir de las propiedades de las potencias, las siguientes propiedades de los
logaritmos.

I. log1 = 0
II. log 10 = 1
III. log (ab) = log a + log b
IV. log ( a ) = log a – log b
b
V. log (a b) = b log a

Es importante que los alumnos y alumnas visualicen los logaritmos, desde una perspectiva históri-
ca, como herramientas facilitadoras del cálculo.
Si se considera oportuno, se puede hacer referencia a las tablas de logaritmos y/o a las reglas de
cálculo como instrumentos de apoyo para el trabajo con los logaritmos y, principalmente, con los
logaritmos base 10, por la facilidad en los cálculos.
Se sugiere enriquecer la comprensión de las propiedades de los logaritmos, graficando log(x),
log(10x), log(100x) en un mismo sistema de coordenadas y comparar los tres gráficos.

Es importante que los alumnos y alumnas sepan que la imagen que puede obtenerse con algún
graficador en la que las gráficas parecieran intersectar el eje es equívoca; esto se puede aclarar utili-
zando una calculadora científica para constatar qué valores toma y en cada caso, para valores de x
positivos, próximos a cero.


La ilustración permite ver con relativa precisión los valores de y tanto para x = 1 como para x =10
en cada una de las tres gráficas y tener la intuición visual que entre las gráficas la distancia es
constante lo que es coherente con la propiedad de transformar el producto en suma.
Como complemento, para los logaritmos naturales, se puede graficar Ln(x), Ln(ex), Ln(e2x), en
un mismo gráfico, para visualizar los gráficos y establecer las diferencias para un mismo valor de x.

Ejemplo G

Resolver ecuaciones exponenciales sencillas como:

I. 2x = 1; 2x=8
II. 2(x+1) = 4(x+2) ; 3 x = 81(x + 1)
III. 2 x = 5; 8•3x=5
IV. 5(x-2) = 3(3x+2)

Es interesante que los estudiantes resuelvan estas ecuaciones recurriendo a los procedimientos que
consideren más cómodos; posteriormente, analizar las ventajas de cada uno.

Ejemplo H

Considerar las funciones f(x) = 4x + 1 y g(x) = 3x

I. Graficar ambas funciones en un mismo sistema de coordenadas.
II. Comparar f(1) y g(1)
5 5
f( ) y g( )
2 2
f(3) y g(3)
f(5) y g(5)
III. ¿Para qué valores de x es f(x) ≥ g(x)?
IV. ¿Para qué valores de x es f(x) ≤ g(x)?

Es importante que los alumnos y alumnas diferencien los distintos tipos de crecimiento; en este
caso, diferenciar el crecimiento lineal o aritmético del geométrico.


Actividad 3

Resuelven problemas acerca de fenómenos de distintos ámbitos que se modelan a
través de la función exponencial y logarítmica.

Ejemplo 1

En un equipo de amplificación se lee la siguiente información: “2.000 watts/m2 de salida”.
¿A qué nivel de sonido, en decibeles, corresponde esta información?

Si otro equipo tuviera la lectura “4.000 watts/m2 de salida”, ¿correspondería a un nivel de
sonido igual al doble de decibeles que el anterior?

Considere que si I es la intensidad del sonido medido en watts/m2, el nivel de decibeles
(db) del sonido es:

D = 10 log10(I • 1012) db

Este es un tema muy próximo a la generalidad de los estudiantes. Es conveniente coordinar accio-
nes con profesores o profesoras de Física y de Artes Musicales para precisar conceptos relativos a
sonidos, unidades de medida de la intensidad y potencia.
En la tabla que sigue se incluye una diversidad de sonidos habituales y sus correspondientes
decibeles; esto permitirá desarrollar algunas argumentaciones sobre la contaminación acústica y
sobre el cuidado de los oídos.

Relación sonido vs decibeles
Fuente Intensidad dB
Umbral auditivo 10-12 0
-10
Susurro 10 20
Tráfico callejero intenso 10 -5 70
-3,5
Posible daño auditivo 10 85
Cercano a un trueno 100 120
Umbral de dolor 10 1 130
Perforación instantánea del tímpano 104 160


Ejemplo B

Un modelo matemático del crecimiento de la población mundial, para períodos cortos de
tiempo, está dado por: P = P0 e rt, donde P 0 es la población cuando t = 0, r es la tasa de
crecimiento en % anual, t es el tiempo en años, P es la población en el tiempo t.

Si actualmente la población de Chile es de 15 millones de habitantes y la tasa de
crecimiento, de acuerdo al período intercensal 1982 a 1992, es igual a 1,6% anual, ¿cuánto
tiempo tardará en duplicarse la población, de acuerdo a este modelo?

Es interesante retomar el tema de los modelos matemáticos y sus restricciones al aplicarse a situa-
ciones concretas; en este caso no se considera ningún accidente que pueda alterar el proceso
demográfico sino que se supone que se mantiene la tasa.
Este problema abre un espacio para conversar sobre las consecuencias del crecimiento pobla-
cional sobre los ecosistemas y su relación con los problemas ambientales globales.

Ejemplo C

La cantidad de miligramos de un medicamento que queda en el organismo de una persona
luego de h horas de haber sido administrado está dada por 10e(– 0,2 h).

I. Graficar la función y comentarla.
II. Si la cantidad de remedio no puede bajar de 2 mg, ¿cada cuánto tiempo en horas deberá
tomar el medicamento?

Con motivo de este ejemplo se puede conversar con los estudiantes sobre el problema de la autome-
dicación y la necesidad de cumplir adecuadamente los horarios de ingesta de remedios.


Ejemplo D

Se sabe que mientras un animal o planta esté vivo mantiene en sus tejidos una
concentración constante de carbono 14 (radiactivo). Al morir, los tejidos dejan de absorber
carbono con lo cual comienza a disminuir su presencia por desintegración radiactiva según
el modelo matemático:

C(t) = Ci e -(0.000124 t)

donde C(t) es la cantidad restante de carbono después de t años, Ci es la cantidad inicial
y t es el tiempo en años.

I. Graficar la función determinando dominio y recorrido.
II. Determinar en cuántos años la cantidad inicial de carbono 14 baja a la mitad.
III. Calcular la antigüedad de un cráneo descubierto en un sitio arqueológico, si aún está
presente el 10% de la cantidad original de carbono 14.

Al intentar graficar surgirán probablemente dificultades dado que la constante que multiplica a t es
muy pequeña, por lo cual convendrá trabajar con t expresado en siglos.


Ejemplo E

Una escala utilizada para medir la magnitud de un sismo es la escala de Richter. La cantidad
de energía liberada en un movimiento sísmico está dada por la fórmula:

log E = 1,5 R + 11,8

donde E es la energía liberada medida en ergios y R es la magnitud del sismo en grados de
la escala de Richter.

I. Expresar la energía liberada en su forma exponencial.
II. ¿Qué cantidad de energía se libera en un temblor de grado 4?; ¿de grado 5?
III. ¿Cuál es la relación numérica entre ambos valores?
IV. El aumento de un grado en la escala Richter, ¿qué aumento representa, aproximadamente,
en la cantidad de energía liberada? Y si el aumento fuera de dos grados, ¿qué incremento
se produce en la energía liberada?
V. Desde que se dispone de instrumentos de medición sísmica, el terremoto de mayor
magnitud registrada es el de Valdivia en el año 1960, que tuvo una magnitud de 9,5
grados en la escala de Richter. Comparar la energía liberada en este terremoto con la
de otros de magnitud conocida.

Es interesante que los alumnos y alumnas relacionen este ejemplo con el ejemplo D de la actividad
anterior y encuentren significado al incremento de una unidad en una escala logarítmica.
Los estudiantes pueden investigar sobre la escala de Mercalli, que es cualitativa, en el sitio de
internet del Servicio Sismológico de la Universidad de Chile o en otras fuentes.

Ejemplo F

Investigaciones médicas afirman que el riesgo R, expresado en porcentaje, que tiene una
persona de sufrir un accidente mientras conduce un vehículo bajo los efectos del alcohol,
está dado por la expresión:

R= 6 e(kx)

donde x es la concentración porcentual de alcohol en la sangre y k es una constante.

I. Calcular la constante sabiendo que una concentración de un 4% de alcohol en la sangre
significa un riesgo de un 10% de tener un accidente.
II. Graficar la función y comentarla.
III. Comentar sobre el máximo riesgo posible.
IV. Calcular la máxima concentración posible para no sobrepasar el 20% de riesgo.


A partir del gráfico, será interesante conversar con los estudiantes sobre el rango de validez del
modelo y averiguar acerca de la concentración máxima de alcohol que puede soportar el cuerpo
humano.

Además, la información que se obtiene desde el gráfico se puede constatar con cálculos más preci-
sos, con ayuda de una calculadora.


Estos indicadores son concordantes con los siguientes criterios de evaluación, ya descritos en
la presentación de este programa:
• Resolución de problemas que involucren relaciones matemáticas.
• Desarrollo de habilidades de razonamiento matemático.
• Organización y estructuración de conceptos matemáticos.
• Comprensión y aplicación de procedimientos rutinarios.

Actividad 1

Relacionan la expresión algebraica y el gráfico de la función potencia; la utilizan
para el estudio de algunos fenómenos.

Ejemplo A

En el gráfico siguiente identificar el tipo de expresión algebraica que representa a cada
uno de los gráficos.


Observar si asocian los parámetros con los desplazamientos de los gráficos. Es posible
que algunos alumnos y alumnas recurran a un graficador para confirmar o para averiguar
la respuesta.

Ejemplo B

Determinar los puntos de intersección con el eje x de la función

y = x (x2 – 9)

Observar si grafican la función y encuentran la respuesta a través del gráfico o bien, si la
resuelven algebraicamente, igualando y = 0


Ejemplo C

Caracterizar el parámetro a y el exponente n en la función y = axn, si el gráfico es del tipo
siguiente

Observar si asocian la forma simétrica en torno al eje y con el exponente par mayor que 2
y la orientación de la gráfica con el signo del parámetro a .


Actividad 2

Utilizan la función exponencial, en particular la de base e para el estudio de algunos
fenómenos.

Ejemplo A

Comparar el costo de un préstamo al 12% anual con otro al 1% mensual.

Observar si relacionan el tiempo con el encarecimiento del préstamo, si aplican
adecuadamente la fórmula y hacen correctamente lo cálculos.

Ejemplo B

La ecuación del decaimiento del gas radón es y(t) = y(0) • e(–0,8 t), en que t está medido en
días. ¿Cuánto tiempo demorará para decaer el 90% de la cantidad inicial?

Observar si logran interpretar bien la expresión porcentual, la reemplazan correctamente
en la fórmula y hacen la operatoria pertinente.

Ejemplo C

El estroncio 90 se utiliza en los reactores nucleares y se desintegra según la fórmula
A = Pe(-0,0248 t), donde P es la cantidad presente cuando t=0, A es la cantidad restante
después de t años. Encontrar t tal que A sea la mitad de P.

Observar si interpretan las condiciones del problema y las traducen en la fórmula; la
operatoria algebraica tiene menos grados de dificultad que los dos pasos anteriores.


Unidad 3

Geometría

Contenidos

1. Resolución de problemas sencillos sobre áreas y volúmenes de cuerpos generados
por rotación o traslación de figuras planas. Resolución de problemas que plantean
diversas relaciones entre cuerpos geométricos; por ejemplo, uno inscrito en otro.
2. Rectas en el espacio, oblicuas y coplanares. Planos en el espacio, determinación
por tres puntos no colineales. Planos paralelos, intersección de dos planos. Angulos
diedros, planos perpendiculares, intersección de tres o más planos. Coordenadas
cartesianas en el espacio.



1. Conocen y utilizan la operatoria básica con vectores en el plano y en el
espacio (adición, sustracción y ponderación por un escalar), y la relacionan
con traslaciones y homotecias de figuras geométricas.
2. Conocen y valoran la capacidad del modelo vectorial para representar
fenómenos físicos como desplazamientos y fuerzas.
3. Resuelven problemas relativos al cálculo de áreas y volúmenes de cuerpos
generados por rotación o traslación de figuras planas.


El mundo en el que nos desenvolvemos es tridimensional. Sin embargo, a lo largo de la Educación
Media los estudiantes se han visto enfrentados fundamentalmente a situaciones en las que sólo han
necesitado desarrollar habilidades geométricas en el plano. Por ello, la intención fundamental de
esta unidad es situar al alumno o alumna en el contexto geométrico real tridimensional, entregán-
dole una nueva herramienta de representación del plano y del espacio, como es el modelo vectorial.
Este modelo constituye hoy uno de los pilares básicos de la física y de la matemática.
Interesa que los estudiantes desarrollen capacidades de representación de vectores tanto en el
plano como en el espacio y que puedan manejar con soltura la operatoria básica que se presenta. A
través de la comprensión y utilización de esta operatoria, tendrán las herramientas que les permiti-
rán representar rectas en el plano y el espacio, y también una diversidad de planos contenidos en el
espacio.
Metodológicamente, se propone trabajar inicialmente con vectores en el plano, que son fáciles
de dibujar e imaginar, para luego extender la representación y la operatoria al espacio. Esto podría
invitar a los estudiantes a reflexionar sobre las posibilidades de extensión a dimensiones mayores
que tres.
Con el fin de mantener presente la consistencia interna de la matemática y las fuertes relacio-
nes que existen entre los diferentes tópicos, es importante enfatizar las relaciones entre las respectivas
ecuaciones cartesianas y vectoriales de las figuras geométricas. Ello se propone con fuerza en la
Actividad 2, con el fin de aprovechar también los conocimientos previos de los estudiantes.
Finalmente, debe enfatizarse la diferencia entre magnitudes escalares y vectoriales. Estas últi-
mas tienen asociada una dirección y un sentido, lo cual permite que los vectores puedan utilizarse
para representar traslaciones. Es importante que se distinga entre traslaciones y rotaciones y, más
aún, que en este último caso se comprenda que tiene sentido rotar figuras planas en el espacio.



Actividad 1

Representar vectores en el plano cartesiano, calcular gráfica y algebraicamente
sumas y diferencias de vectores; determinar el producto de un escalar por un vector.

Ejemplo A

En el mapa siguiente marcar los desplazamientos que han hecho Diego y Cecilia. Ambos
partieron desde la plazoleta del Arrayán con Flor del Inca y Los Duendes; Diego se fue
hacia el sur por Los Duendes, dobló hacia el poniente por Mosqueto y subió en dirección
noroeste por El Sauce hasta Arrayán. Cecilia en cambio, se fue en dirección suroeste por
Arrayán, dobló en Retamo hacia el oeste y al llegar a El Sauce dobló por esta calle hacia
el sureste hasta llegar a Flor del Inca, donde ambos amigos se encontraron después de
haber hecho algunas diligencias.

I. Distinguir entre el camino recorrido por cada uno (la trayectoria) y el desplazamiento
entre el punto de partida y el de la llegada final.
II. Codificar los caminos recorridos utilizando un sistema de coordenadas.
III. Codificar otros caminos que cumplan la condición de tener, aproximadamente, la misma
longitud que el de Diego, pero que conducen a otros puntos de llegada.
IV. Establecer diferencias entre magnitudes escalares y vectoriales.


Este ejemplo esta orientado a poner en la conversación con los alumnos y alumnas la noción de
vector. Una flecha es una representación cómoda que pone en evidencia el punto de partida, la
magnitud, dirección y sentido del vector.
Puede ser interesante para los estudiantes que el mapa corresponda a algún sector de su ciudad.
Para la claridad de vocabulario importa que comprendan que en el lenguaje habitual se suelen usar
las palabras dirección y sentido como sinónimos; la dirección está asociada directamente con el
paralelismo entre rectas; una misma dirección acepta dos sentidos; el sentido lo da la punta de
flecha.
Al dibujar los vectores del ejemplo en un sistema de coordenadas, elegir una unidad de medida.
Comparar las representaciones que se dibujen.
De acuerdo a los intereses de los alumnos y alumnas conversar sobre otros conceptos físicos en
los que se usan vectores: fuerza, velocidad, entre otros.

Ejemplo B

Una de las actividades que se desarrolla en los puertos es el atraque de los barcos a un
sitio, por medio de uno o dos remolcadores.

El siguiente dibujo ilustra ambas situaciones:

I. Dibujar la traza del movimiento que se espera realiza el barco, en cada caso.
II. En un sistema de coordenadas, representar ambas situaciones.


Será conveniente coordinar acciones con el profesor o profesora de Física para precisar los concep-
tos físicos involucrados en el ejemplo: fuerza, movimiento, peso del cuerpo, etc.
En este ejemplo se plantea de manera explícita la suma de vectores.
Se sugiere llevar este ejemplo a una representación en un sistema de coordenadas para visuali-
zar la regla del paralelogramo.

Ejemplo C

En el sistema de coordenadas están dibujados dos vectores: el vector (3; 1,5) representa
el desplazamiento que se quiere realizar al término de un viaje y el vector (1,1) lo que ya
se ha realizado. ¿Cuál es el vector que representa lo que falta por realizar del viaje?

Este ejemplo permite determinar algebraicamente e interpretar geométricamente la diferencia en-
tre dos vectores. Es necesario insistir en la representación de los vectores con su punto de partida en
el origen del sistema de coordenadas; además, es importante que los alumnos y alumnas relacionen
lo algebraico y lo geométrico.
Además, es conveniente enfatizar sobre las nociones de dirección y sentido de los vectores;
ejemplificar un vector y su correspondiente vector opuesto con números y en el gráfico para aclarar
ambos conceptos; además, constatar que por ejemplo: (2,3) = – (– 2, – 3) y generalizar.


Ejemplo D

En el sistema de coordenadas que sigue se representa el camino recorrido por un móvil
en una hora.

I. Si se mantiene la velocidad, dirección y sentido del movimiento, ¿cuál es la
representación, en este sistema, del camino recorrido en 6 horas?

II. Si se supone que el móvil se ha venido desplazando en esta misma dirección y con la
misma velocidad, ¿cuál es el vector que indica la posición hace 3 horas?

Este ejemplo permite determinar algebraicamente e interpretar geométricamente la ponderación
de un vector por un escalar. Como en el ejemplo anterior, es importante que los alumnos y alumnas
relacionen lo algebraico y lo geométrico.
Se sugiere hacer ejercicios considerando números enteros, decimales y fraccionarios, positivos
y negativos, como factores de ponderación.

Ejemplo E

Dibujar en un sistema cartesiano un polígono irregular cualquiera y representar el
desplazamiento si se traslada 3 unidades hacia la derecha y 2 unidades hacia el sentido
negativo del eje de las y.

I. Caracterizar las flechas que representan esta traslación para cada vértice del polígono.
II. Determinar el vector que corresponde a esta traslación.


III. Si los vértices de un cuadrilátero son (1,0); (0,2); (–3,0); (0, –1), ¿cuáles serán los vértices
de este cuadrilátero si se le aplica la traslación (3, –2)?

El dibujo que sigue ilustra esta traslación; se puede constatar que el polígono trasladado es con-
gruente con el original, tema ya conocido desde Primer Año Medio. Además, sólo es necesario
dibujar la imagen de los vértices trasladados y unir los correspondientes para obtener el polígono
trasladado; al realizar este procedimiento se constata que las flechas asociadas a la traslación de cada
vértice son paralelas y de igual medida.

Será necesario que el profesor o profesora explique que a cualquier par ordenado de números (x, y)
se le puede asociar un punto –tema que es conocido por los alumnos y alumnas– y un vector en el
plano; que el vector se representa por una flecha que parte desde el origen con su otro extremo en el
punto (x, y); que además se puede anotar v = (x, y) .
De acuerdo al dibujo es necesario que los alumnos y alumnas reconozcan como vector (3, –2) a
todas las flechas paralelas y de igual magnitud y sentido que la que representa al vector (3, –2) con
el punto inicial en el origen.
Ejercitar con diferentes traslaciones, con distintas figuras de fácil dibujo. Interesa que los estu-
diantes constaten que la traslación de un punto a otro punto del plano está definida por un vector
con origen en el punto (0, 0).


Ejemplo F

Si una circunferencia de radio 1 tiene su centro en el punto (2,2); aplicar a esta
circunferencia una traslación (1, –2).

I. ¿Cuáles son las coordenadas del centro de la circunferencia trasladada?
II. El punto (3,2) pertenece a la circunferencia en su ubicación inicial, ¿cuáles son sus
coordenadas después de la traslación?
III. Si a la circunferencia inicial se le aplicase una traslación tal que al punto (3,2) de la
circunferencia le correspondiera el punto (–3, –5) en la circunferencia trasladada, ¿cuál
sería el vector traslación en ese caso y cuáles serían las coordenadas del nuevo centro
de la circunferencia?

Ejemplos de este tipo se pueden utilizar para comprender la suma de vectores. Si al centro de la
circunferencia se le asocia un vector posición (2,2) y a la traslación aplicada el vector (1, –2), el
nuevo centro tendrá asociado el vector posición (3,0) que corresponde a:

(2,2) + (1, -2) = (2 + 1, 2 – 2) = (3, 0);

Es necesario representar esta expresión en el gráfico y constatar que este último corresponde a la
diagonal del paralelogramo formado por los dos vectores que se suman.


Es necesario que los alumnos y alumnas ejerciten tanto gráfica como numéricamente la adición de
vectores.

Ejemplo G

Considerar, como en el gráfico que sigue, dos posiciones diferentes de una misma
circunferencia: una con centro en O = (– 2, – 3) y la otra con centro en A = (– 1, 1).

I. Determinar y trazar el vector que permite trasladar la circunferencia desde la posición
con centro en O a la posición con centro en A .
II. A partir del resultado obtenido, determinar el vector que permite realizar el traslado
inverso.
III. En ambos casos, expresar ese vector en función de los vectores que definen los centros
de ambas circunferencias.


Ejemplos de este tipo se pueden utilizar para el cambio de signo de los vectores y, por supuesto, para
la sustracción de vectores.
En el dibujo que sigue se ilustran el vector que permite trasladar la circunferencia de centro O
a la posición de la circunferencia de centro A.

A partir del ejemplo anterior se puede anotar (–2, –3) + (x, y) = (–1, 1), de donde se deduce que
(x, y) = (–1, 1) – (–2, –3) = (1, 4).
Será necesario que los alumnos y alumnas ejerciten la adición y la sustracción de vectores y lo
relacionen con la interpretación gráfica correspondiente.

Ejemplo H

Ejercitar adición y sustracción de vectores resolviendo y graficando situaciones como las
siguientes

I. (3 , 4) + (5 , –2)=
II. (2 , –3) – (6 , –7) =
III. (x , y) + (–3, 13) = (0 , –5) ¿cuál es el valor de (x , y)?
IV. Calcular algebraica y gráficamente la suma siguiente: (3,2) + (–2, –4) + (–3, 0) + (–1, 4) =


En la adición y la sustracción de vectores se sugiere relacionar constantemente la parte algebraica
del cálculo, que suele ofrecer menos dificultades a los estudiantes, con la parte gráfica; es esta última
la que permite relacionar plano y operatoria con vectores.
Para los alumnos y alumnas es sorprendente constatar la relación entre la suma y el gráfico que
se ilustra a continuación.

Se sugiere contactar al profesor o profesora de Física para coordinar acciones que puedan llevar a
comentar con los estudiantes distintas contextualizaciones en relación con este u otro diagrama de
suma de vectores. Por ejemplo, interpretándolos como fuerza, se puede pensar en mover algo en
cierta dirección por combinación de fuerzas distintas ejercidas en diferentes direcciones y sentidos.
Será necesario y conveniente desarrollar otros ejemplos con tres vectores y construir los parale-
logramos correspondientes para llegar a esta síntesis gráfica.

Ejemplo I

Considerar los vectores (1 , 3); (4 , 12); (0 , 0); (–2 , –6).

Expresar algebraicamente, por medio del producto de un escalar por un vector, cada uno
en términos del otro; graficar los cuatro vectores.

Interesa que los alumnos y alumnas consideren tanto la expresión

(4,12) = 4 (1, 3) como la expresión (1, 3) = 1 (4, 12).
4


Además, conviene que dibujen estos vectores y constaten que están en una misma recta que pasa por
el origen; no se trata que ‘formalicen’ el concepto de dependencia lineal, sino que sólo tengan una
aproximación empírica con esta regularidad.
Se pueden proponer cinco o seis vectores y que ellos seleccionen aquellos que se pueden expre-
sar uno en función del otro o, lo que es lo mismo, que pertenezcan a una misma recta que pasa por
el origen.

Ejemplo J

Dado un cuadrilátero cuyos vértices tienen coordenadas determinadas; anticipar qué figura
resulta al multiplicar los vectores que definen los vértices por el escalar 3, o bien por el
escalar 0,5.

Dibujar la figura que se obtiene y comparar con la primitiva.

En el dibujo siguiente se presenta el cuadrilátero de coordenadas A = (2,2); B = (1, –2); C = (–2, -2);
D = (-3, 1) de modo que el origen pertenece al interior del cuadrilátero.
En este caso, los vectores se han multiplicado por el escalar 0,5 y los lados del cuadrilátero
también se han reducido a la mitad.

Averiguar si estas condiciones se mantienen para una figura plana si el origen del sistema de coor-
denadas está en el exterior del polígono.
Es importante relacionar lo que ocurre en casos como este con la homotecia estudiada en
Segundo Año Medio en relación con el tema de semejanza de figuras planas. Se puede complemen-
tar estableciendo las razones de semejanza entre los elementos lineales y el área de ambas figuras.


Actividad 2

Generalizan la noción de vector y la de operatoria vectorial desde el plano al espacio
tridimensional.

Ejemplo A

Representar puntos del espacio en el sistema de coordenadas x, y, z;

• A = (3, 4, 0) B = (3, 4, 1) C = (3, 4, –1)
• D = (1, 1, 1) E = (2, 2, 2) F = (3, 3, 3)
• G =(3, 0, –1) H = (4, 0, –1) I = (5, 0, –1)

Se sugiere al profesor o profesora que utilice medios físicos para que los estudiantes puedan visua-
lizar estos puntos en el espacio y establecer la relación con su ubicación en cualquiera de los ocho
octantes en que se divide el espacio.
Podría pegar cartulinas con cuadrículas en los muros que concurren en alguna de las esquinas
de la sala de clases; así es más fácil distinguir los planos XY, XZ y ZY en cada uno de los muros y el
octante positivo de los tres ejes de coordenadas.
También se pueden utilizar una escuadra, de modo que un cateto se quede sobre el plano XY
con el ángulo recto en el punto (x, y); si uno de los otros vértices de la escuadra se ubica en el origen,
el tercer vértice corresponderá a la coordenada (x, y, z); en esta ubicación, la hipotenusa de la escuadra
corresponde al vector que se representa por una flecha con su origen en (0,0,0) y su extremo en (x,y,z).


Ejemplo B

Definen un cubo en el espacio por medio de las coordenadas de los vértices.

Se sugiere motivar a los alumnos y alumnas para que ubiquen el cubo en diversas posiciones en
relación con el origen.
Si el origen corresponde al centro del cubo, los estudiantes pueden visualizar los ocho octantes
y tener un vértice en cada uno de ellos.

En cualquiera de los casos, es interesante observar las regularidades que presentan las coordenadas
de los vértices de una misma cara, o bien, de caras paralelas.
Este ejemplo se puede complementar proponiendo dos vértices del cubo y pidiendo a los estu-
diantes que definan las coordenadas de los otros seis vértices; en este caso, hay variadas soluciones.
También se podría fijar la longitud de las aristas del cubo, o bien, ante un cubo ya definido,
duplicar, por ejemplo, la longitud de sus aristas.
Lo importante es que los alumnos y alumnas se imaginen cuerpos en el espacio que ofrezcan
alguna regularidad, que visualicen los ocho octantes y las coordenadas de sus vértices.

Ejemplo C

Considerando las coordenadas de los vértices de un cubo (pueden tomarse las del ejemplo
anterior), determinar las nuevas coordenadas si se lo moviera 3 unidades hacia delante, 4
hacia la derecha y 2 hacia arriba.


Es necesario relacionar las traslaciones realizadas en el plano con estas en el espacio tridimensional
y asociarles los vectores correspondientes. Este ejemplo permite utilizar la adición de vectores.
Es preferible trabajar con un modelo físico para visualizar el movimiento del cubo desde su
posición inicial a la posición después de la traslación.
Se sugiere hacer traslaciones del cubo por uno de los planos de sus caras y anticipar qué cam-
bios se producirían en las coordenadas y cuáles permanecerían constantes en ese caso.

Ejemplo D

Determinar qué traslación hay que aplicar a un cubo de coordenadas (1,1,0); (1,2,0) (2,1,0);
(2,2,0); (1,1, –1); (1,2, –1) (2,1, –1); (2,2, –1); para obtener otro tal que dos de sus coordenadas
sean (1, –1, 0) y (2, –1, 0).

Este es un ejemplo muy interesante por la variedad de soluciones que presenta.
Es un ejemplo que se puede relacionar con la resta de vectores en el espacio y generalizar la
resta de vectores con dos dimensiones.

Ejemplo E

Ampliar el cubo del ejemplo anterior al doble de sus aristas.

Este es un ejemplo que permite darle sentido a la multiplicación por un escalar; relacionar este
ejemplo en el espacio tridimensional con los ejemplos del plano.
Proponer otros ejemplos con escalares no enteros y con números menores que 1. Relacionar,
además, con la semejanza de cuerpos regulares.

Ejemplo F

Resolver los siguientes ejercicios de cálculo vectorial:

I. (3,4,-5) – (–2,4,0) + 0,5 (0, –3,2) =
II. (–2, 3, 0) + 0,3 (2, –3, 0) =
¿Cómo se pueden caracterizar estos vectores?
III. Determinar los valores de x, y ,z sabiendo que (x, –4, 0) – 1,5 (x, –y, + 3) = – (2, 6, z)

Es importante que los alumnos y alumnas desarrollen y utilicen sus destrezas para efectuar cálculos.


Actividad 3

Determinan la ecuación vectorial de la recta en el plano, la relacionan con la
ecuación cartesiana de la misma y extienden a la ecuación vectorial de una recta
en el espacio.

Ejemplo A

Versión 1

I. Graficar en el plano la recta L: y = x.
• Determinar qué tienen de común los vectores (o los puntos) que pertenecen a ella;
• seleccionar 7 de estos vectores y expresar cada uno de ellos como producto de un
escalar por uno de los otros vectores;
• reconocer que expresiones de la forma v (t) = t(1,1) o bien v (t) = t(5,5) son ecuaciones
vectoriales de la misma recta y que esta recta pasa por el origen.
II. En el mismo gráfico anterior, trazar la recta L’ : y = x + 3.
• Reconocer el paralelismo gráfico entre ambas rectas y justificarlo desde la geometría
analítica;
• marcar el punto (0,3) y cuatro puntos más de esta recta;
• expresar cada uno de estos cuatro puntos como suma entre el vector (0,3) y uno de los
vectores de la recta L;
• reconocer que expresiones de la forma v (t) = (0,3) + t(1,1) u otras equivalentes son
ecuaciones vectoriales de la recta L’; distinguir entre vector posición y vector dirección.
III. Generalizar la ecuación vectorial para cualquier recta que pasa por un punto cualquiera
del plano y es paralela a una recta L, que pasa por el origen.

Versión 2

Considerar el vector (1,2) y todos los vectores que resulten de multiplicar éste por un
número real. ¿Qué figura se obtiene?

Considerar la recta y = 3x, graficarla y obtener la ecuación vectorial siguiendo el
procedimiento anterior.

Trasladar la recta y = 3x en el vector (0,3). ¿Qué figura se obtiene? Plantear la ecuación de
la nueva figura.


Para introducir la ecuación vectorial de la recta se proponen dos formas diferentes y complementa-
rias; en la versión 1 se parte de la ecuación analítica mientras que en la versión 2 se recurre a la
ponderación de un vector por números reales.
En ambos casos se recurre a rectas que pasan por el origen como momento inicial y en un
segundo momento se establece la ecuación vectorial de una recta paralela a la primera, generalizan-
do para cualquier recta del plano.
En la versión 2, los alumnos o alumnas pueden reconocer que se trata de una recta que pasa por
el origen y por el punto (1,2) y que su ecuación vectorial es v (t) = t(1,2).
Interesa que los estudiantes lleguen a generalizar que todas las rectas que pasan por el origen se
obtienen de esta manera y tienen este tipo de ecuación vectorial.
Al hacer la traslación de la recta, los alumnos y alumnas pueden constatar que se obtiene una
recta que pasa por el punto (0,3) y que es paralela a la recta anterior. Con apoyo gráfico logran
establecer que la ecuación vectorial de la nueva recta se obtiene sumando el vector (0,3), es decir,
v (t) = (0,3) + t(1,2).
Es muy importante graficar las rectas, distinguir los vectores posición y dirección y mostrar,
con algunos puntos de la recta, que éstos se pueden expresar como suma de los vectores posición y
dirección.
Si se considera necesario, se puede constatar que todos los puntos de la recta y = x + 3 que se
ubican a la derecha del eje y corresponden a la suma del vector (0,3) con el producto de un escalar
positivo por el vector (1,1); además, que todos los puntos que están a la izquierda del eje y corres-
ponden a la suma del mismo vector (0,3) con el producto de escalar negativo por el vector (1,1).


Ejemplo B

Establecer la ecuación vectorial y analítica de la recta que pasa por el punto (5, –2) y es
paralela a la dirección del vector d = (–2, 3).

Es importante que los alumnos y alumnas grafiquen la recta en función de los vectores dados; la
representación gráfica es un soporte para escribir la ecuación vectorial de la recta.

A partir del dibujo el profesor o profesora puede establecer la relación entre el vector dirección de la
∆y
ecuación vectorial y la pendiente m de la ecuación analítica; m = = – 3 . En consecuencia, la
∆x 2
ecuación analítica de la recta es 2y = –3x + 11.


Ejemplo C

Establecer la ecuación vectorial de la recta que pasa por dos puntos dados:

A = (–2, 3); B = (2, –1).

Se sugiere dibujar un gráfico con los puntos dados y la correspondiente recta.
A partir de éste, los alumnos y alumnas deberán proponer un vector posición y determinar el
vector dirección. Es necesario observar que este último está dado por la diferencia de los vectores
que corresponden a los dos puntos dados.

Conviene que los estudiantes constaten que es la misma recta si el vector dirección que se considere
es A – B o bien, B – A.


Ejemplo D

• Establecer la ecuación analítica y vectorial de la recta que pasa por el punto A = (–3,2)
y es paralela a la recta y = 3x – 2.
• Determinar si los puntos (0,0); (0,11); (– 3,0) pertenecen o no a esta recta.

Un gráfico que incluya la recta dada y el punto por el que pasa la recta pedida sirve de apoyo para
definir el vector posición y el vector dirección y así establecer la ecuación vectorial y también la
ecuación analítica de la misma.

Ejemplo E

Determinar la ecuación vectorial de una recta perpendicular a la recta.

v (t) = (5, –3) + t(2,3).

Con ayuda del gráfico los alumnos y alumnas pueden determinar un vector perpendicular al vector
dirección de la recta, por ejemplo el vector (-3,2).
Se puede sacar conclusiones generales acerca de cómo obtener este vector y relacionar esto con
las condiciones analíticas de perpendicularidad.
Es tan importante que los estudiantes establezcan relaciones entre el gráfico y las expresiones
analíticas y vectoriales como que desarrollen una relativa fluidez en la ejercitación.


Ejemplo F

Versión 1

En un modelo físico ubicar los puntos (3, 3, 3); (5, 5, 5); (10, 10, 10); (15, 15, 15) u otros que
tengan el mismo número en sus tres coordenadas.

I. ¿Qué tienen en común estos puntos en relación con su ubicación espacial?
II. Expresar cada uno de ellos como producto de un escalar por uno de los otros vectores.
III. Reconocer que expresiones de la forma
v (t) = t(1,1,1) o bien v (t) = t (5,5,5)

son ecuaciones vectoriales de la recta que pasa por los puntos de la forma (t, t, t) con
t en los reales.
IV. Generalizar a la ecuación vectorial de una recta en el espacio que pasa por el origen.
V. Generalizar la ecuación vectorial para una recta que pasa por un punto cualquiera del
espacio y es paralela a una recta L que pasa por el origen.

Versión 2

I. Considerar un vector cualquiera, ponderarlo por escalares reales; escribir y reconocer
lo que se obtiene.
II. Escribir la ecuación vectorial de una recta que pasa por el origen; comparar con el
caso anterior.
III. Graficar esta recta y trasladarla según un vector. Comparar ambas rectas y escribir la
ecuación de la segunda recta.
IV. Generalizar para la ecuación vectorial de cualquier recta en el espacio.

INDICACIONES AL DOCENTES
Nuevamente, dos versiones complementarias de un ejemplo.
En esta extensión del modelo de ecuación de recta vectorial desde el plano al espacio tridimen-
sional, para algunos estudiantes es indispensable el modelo físico que ayuda a ver la colinealidad de
los puntos y darle sentido a lo algebraico; otros estudiantes, en cambio, podrán hacer la extensión a
partir de lo algebraico ya trabajado en el plano.


Actividad 4

Conocen la ecuación vectorial y analítica de un plano en el espacio y consideran
las condiciones de paralelismo entre planos.

Ejemplo A

I. Determinar valores para α y β, en la suma α(1, 0) + β(0, 1) que permitan obtener los
puntos (5,6); (0,9); (–9, 4); (–3, –7); (π, –π); y marcar estos puntos en un sistema de
coordenadas.
II. ¿Existe algún punto del plano que no se pueda obtener por la suma α(1, 0) + β(0, 1), si
no hay restricciones para los valores de α y β?
III. Elegir otro par de vectores cualesquiera v 1 y v 2 del plano XY; analizar si la suma de la
forma α v 1 + β v 2 en que α y β toman cualquier valor numérico, permite obtener todos
los puntos del plano. Establecer las restricciones para los vectores v 1 y v 2.

En este primer ejemplo sólo se involucran vectores en el plano; interesa que, en esta primera instan-
cia, los alumnos y alumnas lleguen a establecer en forma empírica que si α y β son parámetros
reales, α v 1 + β v 2 = v es la ecuación vectorial del plano XY si v 1 y v 2 son vectores del plano XY con
la restricción que ambos vectores no estén en la misma recta.

Ejemplo B

I. Caracterizar el plano que se define por α (2,2,0) + β(0,0,1) = v en que α y β son dos
números cualesquiera.
II. Estudiar la suma α v + β(0,0,1) para cualquier valor de α y β, en que v es un vector del
espacio tridimensional; ¿qué se obtiene?
III. Generalizar la ecuación vectorial de planos que pasan por el origen: α v 1 + β v 2 = v
en que, si α y β son parámetros reales, v 1 y v 2 son vectores del espacio tridimensional;
establecer la restricción para v 1 y v 2.

Inicialmente, se sugiere proponer diversas ecuaciones de planos que pasan por alguno de los ejes del
sistema de coordenadas tridimensional y, eventualmente, hacer el modelo físico correspondiente; la
intención es que los alumnos y alumnas puedan, en cierta medida, constatar que realmente se pue-
den generar todos los puntos de ese plano, variando los valores numéricos de los escalares que
ponderan los dos vectores elegidos.
A continuación, se propone establecer la ecuación de planos que pasan por el origen: α v 1 + β v 2 = v
manteniendo la restricción que ambos vectores deben ser linealmente independientes.


Se sugiere proponer ecuaciones de planos que pasan por el origen y que los estudiantes los caracte-
ricen, así como a la inversa, proponer planos específicos y que los estudiantes determinen la
correspondiente ecuación, manteniendo la condición que sean planos que pasan por el origen.

Ejemplo C

Situar un cubo con un vértice en el origen, de modo que las aristas se ubiquen sobre los
ejes X, Y, Z. Determinar las ecuaciones vectorial y analítica de los planos portadores de
sus caras y de las rectas portadoras de sus aristas.

Es importante comentar con los estudiantes que las ecuaciones de los planos portadores de las
caras, suponiendo una arista de longitud igual a 1, en su forma analítica son

x = 0; x = 1; y = 0; y = 1; z = 0; z = 1.

Es importante destacar y conversar con los estudiantes que estas expresiones podrían tener otra
interpretación en otro contexto:
x = 0 en el plano XY corresponde al eje y;
x = 1, en el mismo plano, es la recta paralela al eje y que pasa por el punto (0,1).
En su expresión vectorial, tres de los planos pedidos pasan por el origen; los otros tres son
planos trasladados en un vector ya conocido.

De este modo, el plano portador de la cara anterior se puede anotar como:
(x,y,z) = (1, 0, 0) + α(0, 0, 1) + β(0, 1, 0) paralelo al plano YZ cuya ecuación es
(x, y, z) = α(0, 0, 1) + β(0, 1, 0).


Ejemplo D

Determinar la ecuación analítica y vectorial del plano que interesecta a los ejes del sistema
de coordenadas en los puntos (1, 0, 0); (0, 1, 0); (0, 0, 1).

Se sugiere representar físicamente este plano en el primer octante y visualizar que se extiende infi-
nitamente por los octantes contiguos.
Se pueden trabajar en paralelo las ecuaciones vectorial y analítica o bien, primero lo vectorial y
después lo analítico.
Para determinar su ecuación vectorial se puede trasladar este plano en el vector –1(0,0,1).
Con esta traslación los puntos de intersección (1, 0, 0); (0, 1, 0); (0, 0, 1) se trasladan a las
ubicaciones (1, 0, –1); (0, 1, –1); (0, 0, 0), lo que permite establecer la ecuación de este plano que
pasa por el origen.

De acuerdo a esta representación, si a y b son parámetros reales
(x, y, z) = α (1, 0, –1) + β (0, 1, –1)
es la ecuación vectorial del plano que pasa por el origen y es paralelo al plano que intersecta a los
ejes X, Y, Z en los puntos (1, 0, 0); (0, 1, 0); (0, 0, 1).
Y, en consecuencia,
(x, y, z) = (0, 0, 1) + α (1, 0, –1) + β (0, 1, –1)
es la ecuación vectorial del plano pedido.
Para continuar con el análisis vectorial y profundizar en el tema, se puede analizar una ecuación
como la siguiente:
(x, y, z) = (1, 2, 3)+ α (1, 0, –1) + β (0, 1, –1)


Se podría llegar a generalizar que
(x, y, z) = (a, b, c)+ α (1, 0, –1) + β (0, 1, –1)
son todos los planos que pasan por el punto (a, b, c) paralelos al plano que intersecta a los ejes X, Y,
Z en los puntos que tienen una distancia 1 desde el origen.
Desde el punto de vista analítico, en relación con el plano que intesecta los tres ejes a una distancia
1 del origen, apoyándose en lo vectorial ya estudiado,
(x, y, z) = (0, 0, 1) + α (1, 0, –1) + β (0, 1, –1)
se puede anotar: x = α; y = β; z=1–α–β
de donde x + y + z = 1 es la ecuación analítica del plano pedido.
En forma similar, se pueden analizar otros planos paralelos.
Así se puede obtener que
(x, y, z) = (1, 2, 3)+ α (1, 0, –1) + β (0, 1, –1)
es la ecuación vectorial en tanto que
x+y+z=6
es la ecuación analítica del mismo plano.
Asimismo, se puede pedir que conjeturen sobre expresiones analíticas de la forma
x+y+z=k

Actividad 5

Visualizan el cuerpo que se genera por traslación o rotación de una figura
geométrica, lo caracterizan y calculan sus volúmenes y áreas.

Ejemplo A

Suponer un cuadrado con uno de sus vértices en el origen, con dos de sus lados sobre los
ejes de coordenadas y con una arista de 4 unidades de longitud.

I. ¿Qué se genera al trasladar este cuadrado por un vector (0, 0, 4)?
II. ¿Cuál es el volumen de este cuerpo?
III. ¿Cuál es el área total del cuerpo generado?
IV. Variar la posición del cuadrado de modo que se ubique centrado en el origen; calcular
el volumen y el área total del cuerpo que se genera por la traslación por el vector (0, 0, –4).
V. Comparar con el caso anterior; establecer diferencias y semejanzas.
VI. Si el vector traslación fuera (0, 0, –8), ¿qué cuerpo se generaría y cuánto sería su
volumen?
VII.¿Cuál debiera ser el vector traslación que se aplique a este cuadrado para generar un
paralelepípedo que tenga un volumen igual a 1000 unidades cúbicas?


Se sugiere utilizar numerosos cuadrados congruentes apilados, para dar una imagen del cuerpo que
se genera por traslación perpendicular de un cuadrado al plano que lo contiene.

Se puede complementar este ejemplo generando cuerpos por la traslación de diferentes polígonos
en la dirección perpendicular al plano que los contiene. Se puede ampliar a polígonos irregulares.
Se pueden comparar volúmenes y áreas.
Es conveniente considerar la circunferencia como un caso interesante de analizar.

Ejemplo B

Imaginar que un rectángulo de lados 4 cm y 6 cm gira en torno a su lado menor:

I. Visualizar el sólido que se genera.
II. Calcular su volumen.
III. Comparar con el volumen del sólido que se obtiene si la rotación se hiciera en torno al
lado mayor.
IV. Calcular las áreas de ambos sólidos.
V. Determinar las condiciones que debe satisfacer un rectángulo para que el volumen
del sólido generado por rotación en torno a uno de sus lados sea igual al doble del
volumen del sólido que se genera al rotar sobre el otro lado.


Es necesario que los alumnos y alumnas imaginen la rotación del rectángulo y puedan visualizar el
cuerpo que se genera. Puede ser necesario apoyar esta visualización con material concreto. Por ejemplo,
recortar unos diez o más rectángulos congruentes y ubicarlos radialmente en torno al lado que se
constituye en eje de rotación, como lo indica el dibujo siguiente:

También es posible generar el movimiento sobre un rectángulo u otra figura a partir de una cons-
trucción artesanal con una plataforma que gira por la acción de un pequeño motor; un dispositivo
de este tipo permite visualizar bien los cuerpos que se pueden generar por rotación.
Este ejemplo se puede complementar considerando otros polígonos. Parece aconsejable consi-
derar ejes de rotación externos a la figura geométrica que rota, sólo para visualizar el cuerpo que se
genera sin hacer cálculos de sus volúmenes ni de sus áreas.

Ejemplo C

Comparan entre el tipo de cuerpo que se genera por rotación con el que se puede generar
por traslación.

I. ¿Se puede generar un cono por traslación?
II. ¿Se puede generar un cilindro por traslación?
III. ¿Cómo se puede generar un cubo?
IV. ¿Se puede generar una pirámide por traslación, por rotación?


Los alumnos y alumnas podrían llegar a ordenar sus conclusiones en una tabla como la siguiente:

Rotación Traslación
Es posible cilindro prisma, cubo
cono cilindro
No es posible prisma, cubo pirámide
pirámide cono

En los casos en que es posible generar la figura, será interesante indicar qué figura plana lo posibilita.

Ejemplo D

Considerar una circunferencia inscrita en un cuadrado, como lo indica el dibujo que sigue:

I. Describir qué cuerpos se generan si ambas figuras rotan solidariamente en torno a
una de las rectas que une los puntos medios de los lados opuestos del cuadrado.
II. Describir qué cuerpos se generan si ambas figuras se trasladan por un vector (0, 0, a)
en que a es la medida del lado del cuadrado.
III. Calcular, en cada caso, la diferencia de volumen entre ambos cuerpos.

Interesa que los estudiantes visualicen los cuerpos que se forman y puedan hacer los cálculos corres-
pondientes; es posible que algunos aún necesiten considerar medidas numéricas para el lado del
cuadrado y el radio de la circunferencia.
Se puede enriquecer este ejemplo e incrementar su dificultad incorporando las razones entre
los volúmenes de un cuerpo contenido en otro. Esto se puede contextualizar en el diseño de objetos
como una alcuza, por ejemplo, que contenga aceite y vinagre, en sendos depósitos separados, pero
contenido uno dentro del otro; según estimaciones, los usuarios consumen aceite y vinagre en una
razón de 4:1.


Estos indicadores son concordantes con los siguientes criterios de evaluación, ya descritos en
la presentación de este programa:
• Resolución de problemas que involucren relaciones matemáticas.
• Desarrollo de habilidades de razonamiento matemático.
• Organización y estructuración de conceptos matemáticos.
• Comprensión y aplicación de procedimientos rutinarios.

Actividad 1

Calculan sumas y diferencias de vectores en el plano y en el espacio; determinan el
producto de un escalar por un vector.

Ejemplo A

Calcular y representar en un sistema de coordenadas:

(2, –3) + (5, 0) =

(0, 0) – 3 (–1, 0) =

(a, b) + (3, c) =

(a, 3, b) – (2, –3, -b) =

Observar si establecen la relación entre la operatoria algebraica, que no ofrece gran
dificultad, con la representación gráfica de la suma o diferencia.

Ejemplo B

Considerar los vectores (2,4); (3, 9); (6, 36); ( 1 , 1); (7,14).
2
Seleccionar los pares de vectores tales que uno se puede expresar como producto del
otro vector por un escalar.

Observar si averiguan en forma mental o por cálculos escritos los escalares que permiten
transformar un vector en otro.


Ejemplo C

Proponer tres vectores del espacio tales que cada uno se pueda expresar como ponderados
de los otros dos. Escribir los seis casos que resultan.

Observar la manera de generar los tres vectores; si optaran por generarlos a partir de uno
que ponderan por número enteros, ¿qué dificultades se observan al escribir los seis casos
que resultan?

Actividad 2

Determinan la ecuación vectorial de la recta en el plano y en el espacio.

Ejemplo A

Determinar la ecuación vectorial de la recta que pasa por el punto (3, –3) y es paralela al
vector (5, 0).

Observar si la solución es desde lo algebraico y si distinguen el vector posición del vector
dirección y los utilizan adecuadamente para proponer la ecuación; o bien, si recurren al
gráfico para resolverlo.

Ejemplo B

Escribir la ecuación vectorial de la recta que pasa por el punto (0,0) y es paralela a la
recta x + y = 1.

Observar si recurren a un gráfico para resolver el problema, o bien, identifican desde la
expresión algebraica que se trata de expresar vectorialmente la recta x + y= 0.

Ejemplo C

a) Escribir la ecuación vectorial de la recta y = 3x.
b) Escribir la ecuación vectorial de la recta que pasa por los puntos (0,1) y (0,3).
c) Determinar tres puntos que pertenezcan a la recta v (t) = (4, –2) + t(4,–2) con t real.
d) Escribir la ecuación de una recta que pasa por el punto (3,3) y es paralela a la recta
y = 2x – 4.
Observar si recurren a un gráfico a mano alzada para identificar las rectas y las condiciones
planteadas o si sólo les basta la información de la expresión algebraica.


Bibliografía

Berlanga, Ricardo; Bosch, Carlos; Rivaud, Juan Peterson, Ivars (1991). El turista matemático.
José (1999). La matemática, el perejil de todas las Alianza Editorial. España.
salsas. Ciencia para todos. Fondo de Cultura Eco-
nómica. México. Stewart, Ian (1996). Juega Dios a los dados, Gri-
jalbo Mandadori. España.
Chevallard, Yves; Bosch, Mariana; Gascon, Joep
(1997). Estudiar matemática. El eslabón perdido Stewart, Ian (1998). De aquí al infinito. Drakon-
entre enseñanza y aprendizaje. Editorial Sínte- tos. España.
sis. España.
Graficadores en internet
De Guzmán, Miguel; Colera, José (1989). Ma- http://www.mfsoft.com/equationgrapher/
temática I COU. Anaya. España. http://graphmataica.com/

De Guzmán, Miguel; Colera, José (1989). Ma- Sitios en internet
temática II COU. Anaya. España. (Es posible que algunas direcciones hayan dejado
de existir o se modifiquen después de la publica-
De la Peña, José Antonio (1999). Álgebra en to- ción de este programa).
das partes. Ciencia para todos. Fondo de Cultura
Económica. México. http://www.enlaces.cl
http://www.ciudadfutura.com/juegosmensa
Guillen, Michael (1995). Cinco ecuaciones que http://www.dim.uchile.cl/
cambiaron el mundo. Temas de debate. España. http://www.nalejandria.com/forms/matemas.htm
http://www.mat.puc.cl/ socmat
Paulos, John Allen (1999). Érase una vez un http://rsme.uned.es
número. Libros para pensar la ciencia. España. http://fermat.usach.cl/ somachi/index.html
http://roble.pntic.mec.es/ jcamara/websup1.htm
Paulos, John Allen (1997). El hombre anuméri- httpo://nti.educa.rcanaria.es/usr/matematicas
co. Libros para pensar la ciencia. España. http:/members.xoom.com/pmatematicas
http://www-groups.dcs.st-and.ac.uk/
Paulos, John Allen (1998). Más allá de los nú- http://www.redemat.com
meros. Libros para pensar la ciencia. España.

Perry, Patricia y otros (1996). Matemáticas,
Azar, Sociedad. Conceptos básicos de estadísti-
ca. Grupo Editorial Iberoamérica. Colombia.


Objetivos Fundamentales y

Contenidos Mínimos Obligatorios

Primer a Cuarto Año Medio

100 Matemática Ministerio de Educación

º
Objetivos Fundamentales 1
Los alumnos y las alumnas desarrollarán la capacidad de: 4. Resolver problemas seleccionando secuencias adecua-
1. Conocer y utilizar conceptos matemáticos asociados al das de operaciones y métodos de cálculo, incluyendo
estudio de la proporcionalidad, del lenguaje algebraico una sistematización del método ensayo-error; analizar
inicial y de la congruencia de figuras planas. la pertinencia de los datos y soluciones.
2. Analizar aspectos cuantitativos y relaciones geométri- 5. Percibir la matemática como una disciplina en evolu-
cas presentes en la vida cotidiana y en el mundo de las ción y desarrollo permanente.
Primer Año Medio ciencias; describir y analizar situaciones, con precisión. 6. Representar información cuantitativa a través de gráfi-
3. Utilizar diferentes tipos de números en diversas formas cos y esquemas; analizar invariantes relativas a des-
de expresión (entera, decimal, fraccionaria, porcentual) plazamientos y cambios de ubicación utilizando el di-
para cuantificar situaciones y resolver problemas. bujo geométrico.

º
2
Los alumnos y las alumnas desarrollarán la capacidad de: 3. Explorar sistemáticamente diversas estrategias para la
1. Conocer y utilizar conceptos matemáticos asociados al resolución de problemas; profundizar y relacionar con-
estudio de la ecuación de la recta, sistemas de ecua- tenidos matemáticos.
ciones lineales, semejanza de figuras planas y nocio- 4. Percibir la relación de la matemática con otros ámbitos
nes de probabilidad; iniciándose en el reconocimiento del saber.
y aplicación de modelos matemáticos. 5. Analizar invariantes relativas a cambios de ubicación y
Segundo Año Medio 2. Analizar experimentos aleatorios e investigar sobre las ampliación o reducción a escala, utilizando el dibujo
probabilidades en juegos de azar sencillos, establecien- geométrico.
do las diferencias entre los fenómenos aleatorios y los
deterministas.

º
3
Los alumnos y las alumnas desarrollarán la capacidad de: 3. Aplicar y ajustar modelos matemáticos para la resolu-
1. Conocer y utilizar conceptos matemáticos asociados al ción de problemas y el análisis de situaciones concre-
estudio de los sistemas de inecuaciones, de la función tas.
cuadrática, de nociones de trigonometría en el triángu- 4. Resolver desafíos con grado de dificultad creciente,
lo rectángulo y de variable aleatoria, mejorando en ri- valorando sus propias capacidades.
gor y precisión la capacidad de análisis, de formula- 5. Percibir la matemática como una disciplina que recoge
Tercer Año Medio ción, verificación o refutación de conjeturas. y busca respuestas a desafíos propios o que provienen
2. Analizar información cuantitativa presente en los me- de otros ámbitos.
dios de comunicación y establecer relaciones entre es-
tadística y probabilidades.
Matemática

º
4
Los alumnos y las alumnas desarrollarán la capacidad de: 4. Reconocer y analizar las propias aproximaciones a la
1. Conocer y utilizar conceptos matemáticos asociados al resolución de problemas matemáticos y perseverar en
estudio de rectas y planos en el espacio, de volúmenes la sistematización y búsqueda de formas de resolución.
generados por rotaciones o traslaciones de figuras pla- 5. Percibir la matemática como una disciplina que ha evo-
nas; visualizar y representar objetos del espacio tridi- lucionado y que continua desarrollándose, respondien-
mensional. do a veces a la necesidad de resolver problemas prác-
Cuarto Año Medio 2. Analizar informaciones de tipo estadístico presente en ticos, pero también planteándose problemas propios, a
los medios de comunicación; percibir las dicotomías, menudo por el sólo placer intelectual o estético.
determinista-aleatorio, finito-infinito, discreto-continuo.
3. Aplicar el proceso de formulación de modelos mate-
máticos al análisis de situaciones y a la resolución de
problemas.

Matemática Ministerio de Educación 101

º
Contenidos Mínimos Obligatorios 1
I. Números y Proporcionalidad d. Comentario histórico sobre la invención del cero, de los
1. Números números negativos y de los decimales.
a. Distinción entre números racionales e irracionales. e. Potencias de base positiva y exponente entero. Multi-
Aproximación y estimación de números irracionales. plicación de potencias.
Estimaciones de cálculos, redondeos. Construcción de 2. Proporcionalidad
decimales no periódicos. Distinción entre una aproxi- a. Noción de variable. Análisis y descripción de fenóme-
Primer Año Medio mación y un número exacto. nos y situaciones que ilustren la idea de variabilidad.
b. Análisis de la significación de las cifras en la resolu- Tablas y gráficos.
ción de problemas. Conocimiento sobre las limitacio- b. Proporcionalidad directa e inversa. Constante de pro-
nes de las calculadoras en relación con truncar y aproxi- porcionalidad. Gráfico cartesiano asociado a la propor-
mar decimales. cionalidad directa e inversa (primer cuadrante).
c. Resolución de desafíos y problemas numéricos, tales c. Porcentaje. Lectura e interpretación de información
como cuadrados mágicos o cálculos orientados a la científica y publicitaria que involucre porcentaje. Aná-
identificación de regularidades numéricas. lisis de indicadores económicos y sociales. Planteo y
resolución de problemas que perfilen el aspecto multi-

º
2
I. Algebra y Funciones 2. Funciones
1. Lenguaje algebraico a. Representación, análisis y resolución de problemas con-
a. Expresiones algebraicas fraccionarias simples, (con bi- textualizados en situaciones como la asignación de pre-
nomios o productos notables en el numerador y en el cios por tramos de consumo, por ejemplo, de agua, luz,
denominador). Simplificación, multiplicación y adición gas, etc. Variables dependientes e independientes. Fun-
de expresiones fraccionarias simples. ción parte entera. Gráfico de la función.
Segundo Año Medio b. Evolución del pensamiento geométrico durante los si-
b. Relación entre la operatoria con fracciones y la opera-
toria con expresiones fraccionarias. glos XVI y XVII; aporte de René Descartes al desarrollo
de la relación entre álgebra y geometría.
c. Resolución de desafíos y problemas no rutinarios que
involucren sustitución de variables por dígitos y/o nú- c. Ecuación de la recta. Interpretación de la pendiente y
meros. del intercepto con el eje de las ordenadas. Condición
de paralelismo y de perpendicularidad.
d. Potencias con exponente entero. Multiplicación y divi-
sión de potencias. Uso de paréntesis. d. Resolución de sistemas de ecuaciones lineales con dos
incógnitas. Gráfico de las rectas. Planteo y resolución
de problemas y desafíos que involucren sistemas de
ecuaciones. Análisis y pertinencia de las soluciones.

º
3
I. Algebra y Funciones 2. Funciones
1. Algebra a. Función cuadrática. Gráfico de las siguientes funcio-
a. Raíces cuadradas y cúbicas. Raíz de un producto y de nes:
un cuociente. Estimación y comparación de fracciones y=x2
que tengan raíces en el denominador. y = x 2 ± a, a > 0
b. Sistemas de inecuaciones lineales sencillas con una y = (x ± a) 2, a > 0
Tercer Año Medio
incógnita. Intervalos en los números reales. Planteo y
resolución de sistemas de inecuaciones con una incóg- y = ax 2 + bx + c
nita. Análisis de la existencia y pertinencia de las solu- Discusión de los casos de intersección de la parábola
ciones. Relación entre las ecuaciones y las inecuacio- con el eje x. Resolución de ecuaciones de segundo gra-
nes lineales. do por completación de cuadrados y su aplicación en la
resolución de problemas.

º
4
I. Algebra y Funciones c. Análisis y comparación de tasas de crecimiento. Creci-
a. Función potencia: y = a xn, a > 0, para n = 2, 3 y 4, y su miento aritmético y geométrico. Plantear y resolver pro-
gráfico correspondiente. Análisis del gráfico de la fun- blemas sencillos que involucren el cálculo de interés
ción potencia y su comportamiento para distintos valo- compuesto.
res de a. d. Uso de programas computacionales de manipulación
b. Funciones logarítmica y exponencial, sus gráficos co- algebraica y gráfica.
Cuarto Año Medio rrespondientes. Modelación de fenómenos naturales y/
o sociales a través de esas funciones. Análisis de las
expresiones algebraicas y gráficas de las funciones lo-
garítmica y exponencial. Historia de los logaritmos; de
las tablas a las calculadoras.

102 Matemática Ministerio de Educación

plicativo del porcentaje. Análisis de la pertinencia de II. Algebra y Funciones d. Comentario histórico sobre la evolución del lenguaje
las soluciones. Relación entre porcentaje, números de- a. Sentido, notación y uso de las letras en el lenguaje al- algebraico.
cimales y fracciones. gebraico. Expresiones algebraicas no fraccionarias y su e. Demostración de propiedades asociadas a los concep-
d. Planteo y resolución de problemas que involucren pro- operatoria. Múltiplos, factores, divisibilidad. Transfor- tos de múltiplos, factores y divisibilidad. Interpretación
porciones directa e inversa. Análisis de la pertinencia mación de expresiones algebraicas por eliminación de geométrica de los productos notables.
de las soluciones. Construcción de tablas y gráficos aso- paréntesis, por reducción de términos semejantes y por f. Ecuación de primer grado. Resolución de ecuaciones
ciados a problemas de proporcionalidad directa e in- factorización. Cálculo de productos, factorizaciones y de primer grado con una incógnita. Planteo y resolu-
versa. Resolución de ecuaciones con proporciones. productos notables. ción de problemas que involucren ecuaciones de pri-
e. Relación entre las tablas, los gráficos y la expresión b. Análisis de fórmulas de perímetros, áreas y volúmenes mer grado con una incógnita. Análisis de los datos, las
algebraica de la proporcionalidad directa e inversa. Re- en relación con la incidencia de la variación de los ele- soluciones y su pertinencia.
lación entre la proporcionalidad directa y cuocientes mentos lineales y viceversa.
constantes y entre la proporcionalidad inversa y pro- c. Generalización de la operatoria aritmética a través del
ductos constantes. uso de símbolos. Convención de uso de los paréntesis.

Relación entre las expresiones gráficas y algebraicas II. Geometría d. Angulos del centro y ángulos inscritos en una circunfe-
de los sistemas de ecuaciones lineales y sus solucio- a. Semejanza de figuras planas. Criterios de semejanza. rencia. Teorema que relaciona la medida del ángulo del
nes. Dibujo a escala en diversos contextos. centro con la del correspondiente ángulo inscrito. Dis-
e. Función valor absoluto; gráfico de esta función. Inter- tinción entre hipótesis y tesis. Organización lógica de
b. Teorema de Thales sobre trazos proporcionales. Divi- los argumentos.
pretación del valor absoluto como expresión de distan- sión interior de un trazo en una razón dada. Planteo y
cia en la recta real. resolución de problemas relativos a trazos proporcio- e. Uso de algún programa computacional geométrico que
f. Uso de algún programa computacional de manipulación nales. Análisis de los datos y de la factibilidad de las permita medir ángulos, y ampliar y reducir figuras.
algebraica y gráfica. soluciones.
c. Teoremas relativos a proporcionalidad de trazos, en
triángulos, cuadriláteros y circunferencia, como aplica-
ción del Teorema de Thales. Relación entre paralelis-
mo, semejanza y la proporcionalidad entre trazos. Pre-
sencia de la geometría en expresiones artísticas; por
ejemplo, la razón áurea.

b. Función raíz cuadrada. Gráfico de: y = √ x, enfatizando II. Geometría III. Estadística y Probabilidad
que los valores de x, deben ser siempre mayores o igua- a. Demostración de los Teoremas de Euclides relativos a a. Variable aleatoria: estudio y experimentación en casos
les a cero. Identificación de √ x 2 = |x|. Comentario his- la proporcionalidad en el triángulo rectángulo. concretos. Gráfico de frecuencia de una variable alea-
tórico sobre los números irracionales; tríos pitagóricos; toria a partir de un experimento estadístico.
comentario sobre el Teorema de Fermat. b. Razones trigonométricas en el triángulo rectángulo.
c. Resolución de problemas relativos a cálculos de altu- b. Relación entre la probabilidad y la frecuencia relati-
c. Uso de algún programa computacional de manipulación va. Ley de los grandes números. Uso de programas
algebraica y gráfica. ras o distancias inaccesibles que pueden involucrar pro-
porcionalidad en triángulos rectángulos. Análisis y per- computacionales para la simulación de experimentos
tinencia de las soluciones. Uso de calculadora científica aleatorios.
para apoyar la resolución de problemas. c. Resolución de problemas sencillos que involucren
suma o producto de probabilidades. Probabilidad con-
dicionada.

II. Geometría III. Estadística y Probabilidad
a. Resolución de problemas sencillos sobre áreas y volú- a. Graficación e interpretación de datos estadísticos pro-
menes de cuerpos generados por rotación o traslación venientes de diversos contextos. Crítica del uso de cier-
de figuras planas. Resolución de problemas que plan- tos descriptores utilizados en distintas informaciones.
tean diversas relaciones entre cuerpos geométricos; por b. Selección de diversas formas de organizar, presentar y
ejemplo, uno inscrito en otro. sintetizar un conjunto de datos. Ventajas y desventa-
b. Rectas en el espacio, oblicuas y coplanares. Planos en jas. Comentario histórico sobre los orígenes de la esta-
el espacio, determinación por tres puntos no colinea- dística.
les. Planos paralelos, intersección de dos planos. An- c. Uso de planilla de cálculo para análisis estadístico y
gulos diedros, planos perpendiculares, intersección de para construcción de tablas y gráficos.
tres o más planos. Coordenadas cartesianas en el es-
pacio. d. Muestra al azar, considerando situaciones de la vida
cotidiana; por ejemplo, ecología, salud pública, control
de calidad, juegos de azar, etc. Inferencias a partir de
distintos tipos de muestra.

Matemática Ministerio de Educación 103

III. Geometría 2. Transformaciones
1. Congruencia a. Traslaciones, simetrías y rotaciones de figuras planas.
a. Congruencia de dos figuras planas. Criterios de con- Construcción de figuras por traslación, por simetría y
gruencia de triángulos. por rotación en 60, 90, 120 y 180 grados.
b. Resolución de problemas relativos a congruencia de tra- Traslación y simetrías de figuras en sistemas de coor-
zos, ángulos y triángulos. Resolución de problemas re- denadas.
lativos a polígonos, descomposición en figuras elemen- b. Análisis de la posibilidad de embaldosar el plano con
tales congruentes o puzzles con figuras geométricas. algunos polígonos. Aplicaciones de las transformacio-
c. Demostración de propiedades de triángulos, cuadrilá- nes geométricas en las artes, por ejemplo, M.C. Escher.
teros y circunferencia, relacionadas con congruencia. c. Clasificación de triángulos y cuadriláteros consideran-
Aporte de Euclides al desarrollo de la Geometría. do sus ejes y centros de simetría.
d. Uso de regla y compás; de escuadra y transportador;
manejo de un programa computacional que permita di-
bujar y transformar figuras geométricas.

III. Estadística y Probabilidad
a. Juegos de azar sencillos; representación y análisis de
los resultados; uso de tablas y gráficos. Comentarios
históricos acerca de los inicios del estudio de la proba-
bilidad.
b. La probabilidad como proporción entre el número de
resultados favorables y el número total de resultados
posibles, en el caso de experimentos con resultados
equiprobables. Sistematización de recuentos por me-
dio de diagramas de árbol.
c. Iteración de experimentos sencillos, por ejemplo, lan-
zamiento de una moneda; relación con el triángulo de
Pascal. Interpretaciones combinatorias.

“...haz capaz a tu escuela de todo lo grande
que pasa o ha pasado por el mundo.”

Gabriela Mistral

Matemática Cuarto Año Medio

www.mineduc.cl

Programa de cuarto medio

Más contenido relacionado

La actualidad más candente (15)

Destacado (14)

Similar a Programa de cuarto medio (20)

Último (20)

Programa de cuarto medio