Programa Primero Medio

MATEMÁTICA

Programa de Estudio

Primero Medio

Propuesta presentada a revisión del
Consejo Nacional de Educación

MINISTERIO DE EDUCACIÓN
UNIDAD DE CURRICULUM Y EVALUACIÓN
DICIEMBRE 2010

MINISTERIO DE EDUCACIÓN 2
DICIEMBRE 2010

INDICE

Presentación 4
Nociones básicas 5
-Aprendizajes como integración de conocimientos, habilidades y actitudes 5
-Objetivos Fundamentales Transversales 7
-Mapas de Progreso 8
Consideraciones generales para implementar el programa 10
-Uso del lenguaje 10
-Uso de las Tecnologías de Información y Comunicación 11
-Atención a la diversidad 11
Orientaciones para planificar y evaluar 13
-Orientaciones para planificar 13
-Orientaciones para la evaluación 16
Matemáticas: Propósitos, habilidades y orientaciones didácticas 19
Visión global del año 23
- Cuadro sinóptico de aprendizajes esperados 23
Unidades
- Semestre 1 24
- Unidad 1. Números 25
- Unidad 2. Álgebra 36
-Semestre 2 45
- Unidad 3. Geometría 46
- Unidad 4. Datos y Azar 55
Material de apoyo sugerido 69
Anexos:
-Anexo 1: Uso flexible de otros instrumentos curriculares 74
-Anexo 2: Ejemplo de Calendarización Anual 76
-Anexo 3: Objetivos Fundamentales por Semestre y Unidad. 79
-Anexo 4: Contenidos Mínimos Obligatorios por semestre y unidad 80
-Anexo 5: Relación entre Aprendizajes Esperados, Objetivos
Fundamentales (OF) y Contenidos Mínimos Obligatorios (CMO) 82

DICIEMBRE 2010

PRESENTACIÓN
El programa de estudio ofrece una propuesta para organizar y orientar el trabajo pedagógico
del año escolar. Esta propuesta tiene como propósito promover el logro de los Objetivos
Fundamentales (OF) y el desarrollo los Contenidos Mínimos Obligatorios (CMO) que define el
marco curricular1.
El programa como
propuesta para La ley establece que cada establecimiento puede elaborar sus propios programas de estudio,
lograr los Objetivos previa aprobación de los mismos por parte del Mineduc. El presente programa constituye una
Fundamentales y propuesta para aquellos establecimientos que no cuentan con programas propios.
Contenidos Mínimos

Los principales componentes que conforman la propuesta del programa son:

• Una especificación de los aprendizajes que se deben lograr para alcanzar los OF y CMO
del marco curricular, lo que se expresa a través de los aprendizajes esperados2.

• Una organización temporal de estos aprendizajes en semestres y unidades

• Una propuesta de actividades de aprendizaje y de evaluación, presentadas a modo de
sugerencia.

De manera adicional a estos componentes, se presenta un conjunto de elementos que se
entregan con la finalidad de orientar el trabajo pedagógico realizado a partir del programa y
promover el logro de los objetivos que éste propone.

La totalidad de los elementos que componen el programa se organizan de la siguiente
manera:

• Nociones básicas. Esta sección presenta conceptos fundamentales que están a la base del
Marco Curricular, y a la vez una visión general sobre la función de los mapas de
progreso.

• Consideraciones generales para implementar el programa. Consisten en orientaciones
relevantes para trabajar con el programa y organizar el trabajo en torno al mismo.

• Orientaciones para planificar y evaluar. Entregan sugerencias generales para poner estos
procesos al servicio del logro de los aprendizajes definidos en el programa.

• Propósitos, habilidades y orientaciones didácticas. Esta sección presenta sintéticamente
los propósitos y sentidos sobre los que se articulan los aprendizajes del sector y las
habilidades a desarrollar. También entrega algunas orientaciones pedagógicas relevantes
para implementar el programa en el sector.

• Visión global del año. Presenta la totalidad de aprendizajes esperados a desarrollar
durante el año, organizados de acuerdo a unidades.

• Unidades. Junto con especificar los aprendizajes esperados propios a la unidad, incluyen
indicadores de evaluación y sugerencias de actividades que apoyan y orientan el trabajo
destinado a promover estos aprendizajes.

• Instrumentos y ejemplos de evaluación. Ilustran formas de apreciar el logro de los
aprendizajes esperados, y presentan estrategias diversas que pueden ser utilizadas para
este fin.

• Material de apoyo sugerido. Se trata de recursos bibliográficos y electrónicos que pueden
ser utilizados para promover los aprendizajes del sector, distinguiendo aquéllos para ser
consultados por el docente de los que pueden ser utilizados por los estudiantes.

1
Decretos supremos 254 y 256 de 2009.
2
Algunos casos estos aprendizajes están formulados en los mismos términos que algunos de los OF del marco curricular. Esto ocurre cuando dicho OF
puede ser desarrollado de manera íntegra en una misma unidad de tiempo, sin que sea necesario su desgloce en definiciones más específicas.

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NOCIONES BÁSICAS

1. Aprendizajes como integración de conocimientos, habilidades y actitudes
Los aprendizajes que promueve el marco curricular y los programas de estudio apuntan a un
Habilidades,
conocimientos y desarrollo integral de los estudiantes. Para estos efectos, estos aprendizajes involucran tanto
actitudes… al desarrollo de conocimientos propios de la disciplina, como habilidades y actitudes.

Se busca que los estudiantes pongan en juego estos conocimientos, habilidades y actitudes
…movilizados para para enfrentar diversos desafíos, tanto en el contexto del sector de aprendizaje, como al
enfrentar diversas
situaciones y
desenvolverse en su entorno. Esto supone una orientación hacia el logro de competencias,
desafíos… entendidas como la movilización de conocimientos, habilidades y actitudes para desarrollar de
manera efectiva una acción determinada.

…y que se
desarrollan de Se trata de una noción de aprendizaje en la que estas habilidades, conocimientos y actitudes
manera integrada. se desarrollan de manera integrada, enriqueciéndose y potenciándose de manera recíproca.

Las habilidades, conocimientos y actitudes no se adquieren espontáneamente a través del
Requieren ser
promovidas de estudio de las disciplinas. Requieren ser promovidas de manera metódica y estar explícitas en
manera sistemática los propósitos que articulan el trabajo de los docentes.

Habilidades

Son importantes porque…

… el aprendizaje involucra no sólo el saber, sino también el saber hacer. Por otra parte, la
Son fundamentales continua expansión y complejización del conocimiento demanda crecientemente capacidades
en el actual contexto de pensamiento que permitan, entre otras cosas, utilizar el conocimiento de manera
social
apropiada y rigurosa; adquirir nuevos conocimientos; examinar críticamente la diversidad de
fuentes de información disponibles; y generar nuevos conocimientos e información.

Esta situación hace relevante la promoción de diversas habilidades, como por ejemplo:
resolver problemas, formular conjeturas, realizar cálculos en forma mental y escrita y
verificar proposiciones simples, entre otras.

Se deben desarrollar de manera integrada porque…

Permiten poner en … sin el desarrollo de habilidades, los conocimientos y conceptos que puedan adquirir los
juego los alumnos resultan elementos inertes, es decir, elementos que no pueden ser puestos en juego
conocimientos
para comprender y enfrentar las diversas situaciones a las que se ven enfrentados.

DICIEMBRE 2010

Conocimientos


… los conceptos de las disciplinas o sectores de aprendizaje enriquecen la comprensión de los
estudiantes sobre los fenómenos a los que se ven enfrentados. Les permiten relacionarse con
Enriquecen la
comprensión y la el entorno utilizando nociones de una complejidad y profundidad que complementan de una
relación con el
manera crucial el saber obtenido desde el sentido común y de la experiencia cotidiana.
entorno
Adicionalmente, estos conceptos son fundamentales para la construcción de nuevos
aprendizajes por parte de los estudiantes.

Por ejemplo, si se observa una información en un diario que contenga datos representados en
tablas o gráficos, el estudiante utiliza sus conocimientos sobre estadística para interpretar a
esa información. Los conocimientos previos le capacita para predecir sobre lo que va a leer
para luego verificar sus predicciones en la medida que entiende la información y así construir
este nuevo conocimiento.


Son una base para el … son una condición para el desarrollo de las habilidades. Las habilidades no se desarrollan
desarrollo de en un vacío, sino sobre la base de ciertos conceptos o conocimientos determinados.
habilidades

Actitudes


… los aprendizajes no son elementos que involucran únicamente la dimensión cognitiva.
Están involucradas
en los propósitos Siempre están asociados con las actitudes y disposiciones de los estudiantes. Dentro de los
formativos de la propósitos establecidos para la educación se contempla el desarrollo en los ámbitos personal,
educación
social, ético y ciudadano. Estos involucran aspectos de carácter afectivo, y a la vez el
desarrollo de ciertas disposiciones.

A modo de ejemplo, los aprendizajes involucran actitudes tales como perseverancia, rigor,
flexibilidad y originalidad al resolver problemas matemáticos, trabajo en equipo e iniciativa
personal en la resolución de problemas en contextos diversos y respeto por ideas distintas a
las propias.


… en muchos casos requieren de los conocimientos y habilidades para su desarrollo. Estos
Son enriquecidas por
los conocimientos y conocimientos y habilidades entregan herramientas necesarias para elaborar juicios
habilidades
informados, analizar críticamente diversas circunstancias, y para contrastar criterios y
decisiones, entre otros procesos involucrados en el desarrollo de actitudes.

A la vez, las actitudes orientan el sentido y el uso que cada alumno otorgue a los
conocimientos y habilidades adquiridas. Son por lo tanto un antecedente necesario para hacer
un uso constructivo de estos elementos.

DICIEMBRE 2010

2. Objetivos Fundamentales Transversales (OFT)

Son propósitos
Son aprendizajes que tienen un carácter comprensivo y general, y que apuntan al desarrollo
generales definidos personal, ético, social e intelectual de los estudiantes. Forman parte constitutiva del
en el curriculum…
currículum nacional, y por lo tanto los establecimientos deben hacerse cargo de promover su
logro.

Los OFT no se desarrollan a través de un sector de aprendizaje en particular, sino que
… que deben ser
promovidos en la dependen del conjunto del currículum. Tienen lugar tanto a través de las diversas disciplinas
totalidad de la del currículum, como de las diversas dimensiones del quehacer educativo (por ejemplo, a
experiencia escolar.
través del proyecto educativo institucional, la práctica docente, el clima organizacional, la
disciplina o las ceremonias escolares).

Integran No se trata de objetivos que involucran únicamente actitudes y valores. Supone la integración
conocimientos,
habilidades y de estos elementos con el desarrollo de conocimientos y habilidades.
actitudes

A partir de la actualización al marco curricular realizada el año 2009, estos objetivos están
Se organizan en una organizados bajo un esquema común para la Educación Básica y la Educación Media. De
matriz común para
educación básica y acuerdo a este esquema, los Objetivos Fundamentales Transversales se Organizan en 5
media. ámbitos: crecimiento y autoafirmación personal, desarrollo del pensamiento, formación ética,
la persona y su entorno, y tecnologías de información y comunicación.

DICIEMBRE 2010

3. Mapas de progreso

Son descripciones generales que señalan de qué manera progresan típicamente los
Describen aprendizajes en las áreas clave de un sector determinado. Se trata de formulaciones
sintéticamente
cómo progresa el sintéticas que se centran en los aspectos esenciales de cada sector. A partir de esto ofrecen
aprendizaje… una visión panorámica sobre el conjunto de la progresión del aprendizaje en los 12 años de
escolaridad 3.

Los mapas de progreso no establecen aprendizajes adicionales a los definidos en el marco
… de manera
congruente con el curricular y los programas de estudios. La progresión que describen es una expresión más
marco curricular y gruesa y sintética de los aprendizajes que estos dos instrumentos establecen, y que por lo
los programas de
estudio. tanto se inscribe dentro de lo que se plantea en ellos. Su particularidad consiste en la visión
de conjunto que entregan sobre la progresión esperada a lo largo de toda la asignatura.

¿Qué utilidad tienen los mapas de progreso para el trabajo de los docentes?

Sirven de apoyo Los mapas de progreso pueden ser un apoyo importante tanto para definir objetivos
para planificar y adecuados como para realizar el proceso de evaluación (ver orientaciones para la
evaluar…
planificación y para la evaluación que se presentan en el programa).

Adicionalmente, los mapas de progreso son un referente útil para atender a la diversidad
de estudiantes dentro del aula.

… y para atender la
diversidad al - Permiten dar un paso que va más allá de la simple constatación que existen distintos
interior del curso. niveles de aprendizaje dentro de un mismo curso. Dan pie para caracterizar e
identificar con mayor precisión en qué consisten estas diferencias, a partir de su uso
para analizar los desempeños de los estudiantes.

- La progresión que describen permite reconocer en qué sentido orientar los
aprendizajes de los distintos grupos que se manifiestan en un mismo curso, tanto de
aquellos que no han logrado el nivel esperado para el curso, como para aquellos que
ya lo han alcanzado o superado.

Expresan el progreso del aprendizaje en un área clave del sector de manera sintética y
alineada al marco curricular.

3
Los mapas de progreso describen en 7 niveles el crecimiento típico del aprendizaje de los estudiantes en un ámbito o eje del sector. Cada uno de estos
niveles presenta una expectativa de aprendizaje correspondiente a dos años de escolaridad. Por ejemplo, el Nivel I corresponde al logro que se espera
para la mayoría de los niños y niñas al término de Segundo Básico; el nivel 2 corresponde al término de Cuarto Básico, y así sucesivamente. El nivel 7
describe el aprendizaje de un alumno o alumna que al egresar de la Educación Media es “sobresaliente”, es decir, va más allá de la expectativa para
Cuarto Medio, que describe el nivel 6 en cada mapa.

DICIEMBRE 2010

Relación entre Mapas de progreso, Programa de estudio y Marco Curricular

Marco Curricular
Prescribe los Objetivos Fundamentales y Contenidos Mínimos obligatorios que todos los
estudiantes deben lograr.

Ejemplo:
Objetivo Fundamental Iº medio
Representar números racionales en la recta numérica, usar la representación decimal y de fracción de un racional
justificando la transformación de una en otra, aproximar números racionales, aplicar adiciones, sustracciones,
multiplicaciones y divisiones con números racionales en situaciones diversas y demostrar algunas de sus propiedades.

Contenido Mínimo Obligatorio
Representación de números racionales en la recta numérica; verificación de la cerradura de la adición, sustracción,
multiplicación y división en los racionales.

Programa de estudio Mapa de Progreso
Orientan la labor pedagógica estableciendo Entregan una visión sintética del progreso del aprendizaje en un área
Aprendizajes Esperados que dan cuenta de los clave del sector, y que se ajusta a las expectativas del marco
Objetivos Fundamentales y Contenidos curricular.
Mínimos, y los organiza temporalmente a
través de unidades.
Ejemplo:
Mapa de progreso Números y Operaciones

Ejemplo: Nivel 7
Comprende los diferentes conjuntos numéricos…
Aprendizaje Esperado I° medio
Aplicar las cuatro operaciones aritméticas con Nivel 6
números racionales en situaciones diversas, Reconoce los números complejos cómo…
aproximar los resultados, reconociendo las
limitaciones de la calculadora. Nivel 5
Reconoce a los números racionales como un conjunto numérico en
el que es posible resolver problemas
que no admiten solución en los enteros, a los irracionales como un
Integrados en la conjunto numérico en el que es posible resolver problemas que no
admiten solución en los racionales, y a los reales como la unión
formulación del entre racionales e irracionales. Interpreta potencias de base
mapa de progreso racional y exponente racional, raíces enésimas y logaritmos,
establece relaciones entre ellos y los utiliza para resolver diversos
problemas.
Realiza operatoria con números reales, calcula potencias, raíces y
logaritmos y los aplica en diversos contextos. Resuelve problemas
utilizando estrategias que implican descomponer un problema o
situaciones propuestas en partes o sub-problemas. Argumenta sus
estrategias o procedimientos y utiliza ejemplos y contraejemplos
para verificar la validez o falsedad de conjeturas.

Nivel 4
Reconoce a los números enteros como…
Nivel 3
Reconoce que los números naturales…
Nivel 2
Utiliza los números naturales hasta1.000…
Nivel 1
Utiliza los números naturales hasta 1.000…
DICIEMBRE 2010

CONSIDERACIONES GENERALES PARA IMPLEMENTAR EL PROGRAMA

Las orientaciones que se presentan a continuación destacan algunos elementos relevantes al momento de
implementar el programa. Algunas de estas orientaciones se vinculan estrechamente con algunos de los OFT
contemplados en el currículum.

1. Uso del lenguaje

Los docentes deben promover el ejercicio de la comunicación oral, de la lectura y la escritura
La lectura, la como parte constitutiva del trabajo pedagógico correspondiente a cada sector de aprendizaje.
escritura y la
comunicación oral
deben ser Esto se justifica porque las habilidades de comunicación son herramientas fundamentales que
promovidas en los
distintos sectores
los estudiantes deben emplear para alcanzar los aprendizajes propios de cada sector. Se trata
de aprendizaje de habilidades que no se desarrollan únicamente en el contexto del sector Lenguaje y
Comunicación, sino que se consolidan a través del ejercicio en diversos espacios y en torno a
diversos temas, y por lo tanto, involucran los otros sectores de aprendizaje del currículum.

Al momento de recurrir a la lectura, la escritura y la comunicación oral, los docentes deben
procurar:

Lectura:
- la lectura de distintos tipos de textos relevantes para el sector (textos informativos
propios del sector, textos periodísticos, narrativos, tablas y gráficos);
- la lectura de textos de creciente complejidad en los que se utilicen conceptos
especializados del sector;
- la identificación de las ideas principales y la localización de información relevante;
- la realización de resúmenes, síntesis de las ideas y argumentos presentados en los
textos;
Se deben - la búsqueda de información en fuentes escritas, discriminándola y seleccionándola de
contemplar diversas acuerdo a su pertinencia ;
consideraciones al - la comprensión y dominio de nuevos conceptos y palabras.
promover estas
habilidades
Escritura:
- la escritura de textos de diversa extensión y complejidad (por ejemplo, reportes,
ensayos, descripciones, respuestas breves);
- la organización y presentación de información a través de esquemas o tablas;
- la presentación de las ideas de una manera coherente y clara;
- el uso apropiado del vocabulario en los textos escritos;
- el uso correcto de la gramática y de la ortografía.

Comunicación oral:
- la capacidad de exponer ante otras personas;
- la expresión de ideas y conocimientos de manera organizada;
- el desarrollo de la argumentación al formular ideas y opiniones;
- un uso del lenguaje con niveles crecientes de precisión, incorporando los conceptos
propios del sector;
- el planteamiento de preguntas para expresar dudas, inquietudes, y para superar
dificultades de comprensión;
- la disposición para escuchar información de manera oral, manteniendo la atención
durante el tiempo requerido;
- la interacción con otras personas para intercambiar ideas, analizar información y elaborar
conexiones en relación a un tema en particular, compartir puntos de vista y desarrollar
acuerdos.

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2. Uso de las Tecnologías de Información y Comunicación (TICs)

El desarrollo de las capacidades para utilizar las tecnologías de la información y comunicación
El uso de las TICs (TICs) está contemplado de manera explícita como uno de los Objetivos Fundamentales
debe ser promovido
a través de los Transversales del marco curricular. Esto demanda que el dominio y uso de estas tecnologías
sectores de se promueva de manera integrada al trabajo realizado al interior de los sectores de
aprendizaje
aprendizaje. Para esto se debe procurar que la labor de los estudiantes incluya el uso de las
TICs para:

- buscar, acceder y recolectar información en páginas web u otras fuentes; y seleccionar esta
información examinando críticamente su relevancia y calidad
- procesar y organizar datos utilizando plantillas de cálculo, y manipular la información
sistematizada en éstas para identificar tendencias, regularidades y patrones relativos a los
Se puede recurrir a
diversas formas de fenómenos estudiados en el sector
utilizar estas
- desarrollar y presentar información a través del uso de procesadores de texto, plantillas de
tecnologías.
presentación (Power Point), así como herramientas y aplicaciones de imagen, audio y video
- intercambiar información a través de las herramientas que ofrece Internet como el correo
electrónico, Chat, espacios interactivos en sitios web, o comunidades virtuales
- respetar y asumir consideraciones éticas en el uso de las TICs, como el cuidado personal y
el respeto por el otro al utilizar estas herramientas, señalar las fuentes de donde se obtiene
la información, y respetar las normas de uso y de seguridad de los espacios virtuales.

3. Atención a la diversidad

En el trabajo pedagógico, el docente debe tomar en cuenta la diversidad entre los
estudiantes, ya sea en términos culturales, sociales, étnicos o religiosos; así como en
La diversidad entre términos de estilos de aprendizaje y de los niveles de conocimiento.
estudiantes
establece desafíos
que deben ser Esta diversidad trae consigo desafíos que requieren ser contemplados por los docentes. Entre
tomados en
consideración
estos cabe señalar:

- promover el respeto a cada uno de los estudiantes, en un contexto de tolerancia y
apertura, evitando las distintas formas de discriminación
- procurar que los aprendizajes se desarrollen de una manera significativa en relación al
contexto y la realidad de los estudiantes
- procurar que todos los estudiantes logren los objetivos de aprendizaje señalados en el
currículum, pese a la diversidad que se manifiesta entre ellos

Atención a la diversidad y promoción de aprendizajes

Se debe tener en cuenta que atender a la diversidad de estilos y ritmos de aprendizaje no
implica “expectativas más bajas” para algunos estudiantes. Por el contrario, la necesidad de
educar en forma diferenciada aparece cuando nos damos cuenta que para que todos los
alumnos alcancen altas expectativas, debemos reconocer sus necesidades didácticas
personales. Aspiramos a que todos los estudiantes alcancen los aprendizajes dispuestos para
su nivel o grado.

DICIEMBRE 2010

Se debe tener en cuenta que atender a la diversidad no implica “expectativas más bajas”, por
Es necesario el contrario, la necesidad de educar en forma diferenciada aparece cuando nos damos cuenta
atender a la
diversidad para que que para que los alumnos alcancen altas expectativas, debemos reconocer sus necesidades
todos logren los didácticas personales. Aspiramos a que todos los estudiantes alcancen los aprendizajes
aprendizajes.
dispuestos para su nivel de curso.

En atención a lo anterior, es conveniente que al momento de diseñar el trabajo en una
unidad, el docente debe considerar que para que algunos estudiantes logren estos
aprendizajes precisarán más tiempo o métodos diferentes. Para esto debe desarrollar una
planificación inteligente que genere las condiciones que le permitan:

conocer los diferentes niveles de aprendizaje y conocimientos previos de los estudiantes
Esto demanda evaluar y diagnosticar en forma permanente para reconocer las necesidades de
conocer qué saben,
y en base a esto aprendizaje
definir flexiblemente definir la excelencia considerando el progreso individual como punto de partida
las diversas
medidas pertinentes incluir combinaciones didácticas (agrupamientos, trabajo grupal, rincones) y materiales
diversos (Visuales, objetos manipulables)
evaluar de diversas maneras a los alumnos y dar tareas con múltiples opciones
promover la confianza de los alumnos en sí mismo
Promover un trabajo sistemático por parte de los estudiantes y ejercitación abundante

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ORIENTACIONES PARA PLANIFICAR Y EVALUAR

I. ORIENTACIONES PARA PLANIFICAR

La planificación La planificación es un elemento central en el esfuerzo por promover y garantizar los
favorece el logro de aprendizajes de los estudiantes. Permite maximizar el uso del tiempo y definir los procesos y
los aprendizajes
recursos necesarios para que los estudiantes logren los aprendizajes que deben alcanzar.

Los programas de estudio del Ministerio de Educación constituyen una herramienta de apoyo
al proceso de planificación. Para estos efectos han sido elaborados como un material flexible
El programa sirve de que los profesores pueden adaptar a su realidad en los distintos contextos educativos del
apoyo a la
planificación a través
país.
de un conjunto de
elementos
elaborados para este
El principal referente que entrega el programa de estudio para planificar son los
fin aprendizajes esperados. De manera adicional, el programa apoya de planificación a través
de la propuesta de unidades, de la estimación del tiempo cronológico requerido en cada
una, y de la sugerencia de actividades para desarrollar los aprendizajes.

Consideraciones generales para realizar la planificación

La planificación es un proceso que se recomienda realizar considerando los siguientes
aspectos

• La diversidad de niveles de aprendizaje que han alcanzado los estudiantes del curso, lo
Se debe planificar
tomando en cuenta que implica planificar considerando desafíos para distintos grupos de alumnos.
la diversidad, el • El tiempo real con que se cuenta, de manera de optimizar el tiempo disponible.
tiempo real, las
prácticas anteriores • Las prácticas pedagógicas que han dado resultados satisfactorios.
y los recursos
disponibles • Los recursos para el aprendizaje con que se cuenta: textos escolares, materiales
didácticos, recursos elaborados por la escuela o aquellos que es necesario diseñar,
laboratorio, materiales disponibles en el Centro de Recursos de Aprendizaje (CRA), entre
otros.

DICIEMBRE 2010

Sugerencias para el proceso de planificación

Para que la planificación efectivamente ayude al logro de los aprendizajes, debe estar
centrada en torno a estos y desarrollarse a partir de una visión clara de lo que los estudiantes
deben aprender. Para lograr esto se recomienda elaborar la planificación en los siguientes
términos:

Lograr una visión lo - Partir por una especificación de los aprendizajes esperados que no se limite a listarlos.
más clara y Una vez identificados, es necesario desarrollar una idea lo más clara posible de las
concreta posible
sobre los expresiones concretas que estos puedan tener. Esto implica reconocer qué desempeños
desempeños que de los estudiantes dan cuenta del logro de los aprendizajes. Se debe poder responder
dan cuenta de los
aprendizajes … preguntas como ¿Qué deberían ser capaces de demostrar los estudiantes que han
logrado un determinado aprendizaje esperado?, ¿qué habría que observar para saber que
un aprendizaje ha sido logrado?

- A partir de las respuestas a estas preguntas, decidir las evaluaciones a realizar y las
… y en base a esto estrategias de enseñanza. Específicamente, se requiere identificar qué tarea de
decidir las
evaluaciones, las evaluación es más pertinente para observar el desempeño esperado, así como las
estrategias de modalidades de enseñanza que facilitarán alcanzar este desempeño. En base a este
enseñanza, y la
distribución proceso se deben definir las evaluaciones formativas y sumativas, las actividades de
temporal. enseñanza, y las instancias de retroalimentación.

Para llevar a cabo este proceso, los docentes pueden complementar los programas con los
mapas de progreso. Estos entregan elementos útiles para reconocer el tipo de desempeño
asociado a los aprendizajes.

Se sugiere que la forma de plantear la planificación arriba propuesta sea utilizada tanto en la
planificación anual como en la correspondiente a cada unidad y al plan de cada clase.

La planificación anual: En este proceso el docente debe distribuir los aprendizajes
esperados a lo largo del año escolar considerando su organización por unidades, estimar el
tiempo que se requerirá para cada unidad, y priorizar las acciones que conducirán a logros
académicos significativos

Para esto el docente debe:

Realizar este
- Lograr una visión sintética del conjunto de aprendizajes a lograr durante el año,
proceso dimensionando el tipo de cambio que se debe observar en los estudiantes. Esto debe
considerando una
desarrollarse a partir de los aprendizajes esperados especificados en los programas.
visión realista de los
tiempos disponibles Adicionalmente, los mapas de progreso pueden resultar un apoyo importante.
durante el año

- Identificar, en términos generales, el tipo de evaluación que se requerirá para verificar el
logro de los aprendizajes. Esto permitirá desarrollar una idea de las demandas y
requerimientos a considerar para cada unidad.

DICIEMBRE 2010

- Sobre la base de esta visión, asignar los tiempos a destinar a cada unidad. Para procurar
que esta distribución resulte lo más realista posible se recomienda realizar lo siguiente:

• Listar días del año y horas de clase por semana para estimar el tiempo
disponible.
• Hacer una calendarización tentativa de los aprendizajes esperados para el año
completo, considerando los feriados, los días de prueba, de repaso, así como la
realización de evaluaciones formativas y retroalimentación.4
• Hacer una planificación gruesa de las actividades a partir de la calendarización.
• Ajustar permanentemente la calendarización o las actividades planeadas (ver
ejemplo en tabla adjunta).

La planificación de la unidad: Implica la toma de decisiones más precisas sobre qué
enseñar y cómo enseñar, considerando la necesidad de ajustarlas a los tiempos asignados a
la unidad.

La planificación de la unidad debiera seguir los siguientes pasos:

- Especificar la meta de la unidad. Al igual que la planificación anual, esta visión debe
Realizar este
proceso sin perder
sustentarse en los aprendizajes esperados de la unidad, y se recomienda
de vista la meta de complementarla con los mapas de progreso.
aprendizaje de la
unidad
- Crear una evaluación sumativa para la unidad
- Crear una herramienta de diagnóstico de comienzos de la unidad
- Calendarizar los aprendizajes esperados por semana
- Establecer el tipo de actividades de enseñanza que se desarrollará
- Crear un sistema de seguimiento de los aprendizajes esperados, especificando los
tiempos y las herramientas para realizar evaluaciones formativas y realizar
retroalimentación.
- Ajustar el plan continuamente ante los requerimientos de los estudiantes.

La planificación de clase: Es imprescindible que cada clase sea diseñada considerando que
todas sus partes estén alineadas con los aprendizajes esperados que se busca promover y
Procurar que los
estudiantes sepan con la evaluación que se utilizará.
qué y por qué van a
aprender, qué
aprendieron y de Adicionalmente, se recomienda que cada clase sea diseñada distinguiendo su inicio,
qué manera desarrollo y cierre, especificando claramente qué elementos se considerarán en cada una de
estas partes. Para cada uno de estos momentos de la clase resulta necesario considerar
aspectos como los siguientes:

Inicio: En esta fase se debe procurar que los estudiantes conozcan el propósito de la clase, es
decir, qué se espera que aprendan. A la vez se debe buscar captar el interés de los
estudiantes, y que visualicen cómo lo que aprenderán se relaciona con lo que ya saben y con
las clases anteriores.

4
En el Anexo 2 se presenta un ejemplo de calendarización anual.

DICIEMBRE 2010

Desarrollo: En esta etapa el docente lleva a cabo la actividad contemplada para la clase.

Cierre: Esta etapa puede ser breve (5 a 10 minutos), pero es central. En ella se debe
procurar que los estudiantes logren formar una visión sobre qué aprendieron, así como sobre
la utilidad de las estrategias y experiencias desarrolladas para efectos de promover su
aprendizaje.

II. ORIENTACIONES PARA LA EVALUACIÓN

La evaluación es un proceso que forma parte constitutiva del proceso de enseñanza. No sólo
Apoya el proceso debe ser utilizada como un medio para controlar qué saben los estudiantes, sino que cumple
de aprendizaje al un rol central en la promoción y desarrollo del aprendizaje. Para que la evaluación
permitir su efectivamente cumpla con esta función debe tener como objetivos.
monitoreo,
retroalimentar a
los estudiantes y • Ser un medio con el cual medimos progreso en el logro de los aprendizajes.
sustentar la • Proporcionar información que permita conocer fortalezas y debilidades de los
planificación.
estudiantes, y sobre esta base retroalimentar la enseñanza y potenciar los logros
esperados dentro del sector.
• Ser una herramienta útil para la planificación

¿Cómo promover el aprendizaje a través de la evaluación?

Las evaluaciones adquieren su mayor potencial para promover el aprendizaje si se llevan a
cabo considerando lo siguiente:

- Informar a los alumnos sobre los aprendizajes que se evaluarán. Esto facilita que
Explicitar qué se
puedan orientar su actividad hacia la consecución de los aprendizajes que deben lograr.
evaluará

- Elaborar juicios sobre el grado en que se logran los aprendizajes que se busca
alcanzar, fundados en el análisis de los desempeños de los alumnos. Las
Identificar logros y
debilidades evaluaciones entregan información para conocer las fortalezas y debilidades de los
estudiantes. El análisis de esta información permite tomar decisiones dirigidas a mejorar
resultados alcanzados.

- Retroalimentar a los alumnos sobre sus fortalezas y debilidades. Compartir esta
Ofrecer información con los estudiantes permite orientarlos acerca de los pasos que deben seguir
retroalimentación para avanzar. Permite también desarrollar procesos metacognitivos y reflexivos
destinados a favorecer sus propios aprendizajes, y que a la vez facilitan involucrarse y
comprometerse con éstos.

¿Cómo se pueden articular los Mapas de Progreso del Aprendizaje con la
evaluación?

DICIEMBRE 2010

Los Mapas de Progreso ponen a disposición de las escuelas de todo el país un mismo
referente para observar el desarrollo del aprendizaje de los alumnos, ubicándolos en un
continuo de progreso.

Los Mapas de Progreso apoyan el seguimiento de los aprendizajes en tanto permiten:

Los mapas apoyan
diversos aspectos del • Reconocer aquellos aspectos y dimensiones que son esenciales de evaluar.
proceso de evaluación

• Clarificar la expectativa de aprendizaje nacional, al conocer la descripción de cada nivel,
sus ejemplos de desempeño y el trabajo concreto de estudiantes que ilustran esta
expectativa.

• Observar el desarrollo, progresión o crecimiento de las competencias de un alumno, al
constatar cómo sus desempeños se van desplazando en el mapa.

• Contar con modelos de tareas y preguntas que permiten a cada alumno evidenciar sus
aprendizajes.

¿Cómo diseñar la evaluación?

La evaluación debe diseñarse a partir de los aprendizajes esperados, con el objeto de
observar el grado en que éstos son logrados. Para lograr esto se recomienda diseñar la
evaluación junto a la planificación y considerar al desarrollarla las siguientes preguntas:

Partir estableciendo • ¿Cuáles son los aprendizajes esperados del programa que abarcará la evaluación?
los aprendizajes
esperados a evaluar
(Si debe priorizar piense en aquellos aprendizajes que serán duraderos y prerrequisitos
… para desarrollar otros aprendizajes. Para esto los mapas de progreso pueden ser de
especial utilidad).

• ¿Qué evidencia necesitaría que sus estudiantes exhiban para demostrar que dominan
los aprendizajes esperados? (Para esto se recomienda utilizar como apoyo los
indicadores de logro que presenta el programa).

• ¿Qué método empleará para evaluar? Es recomendable utilizar instrumentos y
estrategias de diverso tipo (ej., pruebas escritas, guías de trabajo, informes, ensayos,
… y luego decidir entrevistas, debates, mapas conceptuales, informes de laboratorio, investigaciones).
qué se requiere para
su evaluación en
términos de En lo posible se deben presentar situaciones que pueden ser resueltas de distintas
evidencias, métodos,
preguntas y criterios maneras y con diferente grado de complejidad, para que los diversos estudiantes puedan
resolverlas evidenciando sus distintos niveles y estilos de aprendizaje.

• ¿Qué preguntas incluirá en su evaluación? Debe formular preguntas rigurosas y alineadas
con los aprendizajes esperados y que permitan demostrar la real comprensión del
contenido evaluado.

• ¿Cuáles son los criterios de éxito ¿ Cuáles son las características de una respuesta de
alta calidad?

DICIEMBRE 2010

Esto se puede responder utilizando distintas estrategias, como por ejemplo:
o Comparar las respuestas de sus estudiantes con las mejores respuestas de otros
alumnos de edad similar. Para esto se pueden utilizar los ejemplos presentados en
los mapas de progreso.
o Identificar respuestas de evaluaciones previamente realizadas que expresen el nivel
de desempeño esperado, y utilizarlas como modelo para otras evaluaciones
realizadas en torno al mismo aprendizaje.
o Desarrollar rúbricas que indiquen los resultados explícitos para un desempeño
específico y muestren los diferentes niveles de calidad para dicho desempeño.

DICIEMBRE 2010

Matemática: Propósitos, Habilidades y Orientaciones Didácticas

El aprendizaje de la Matemática ayuda en la comprensión de la realidad y proporciona herramientas para
desenvolverse en la vida cotidiana. Entre estas herramientas se encuentra el cálculo, el análisis de la información
proveniente de diversas fuentes, la capacidad de generalizar situaciones, formular conjeturas, evaluar la validez de
resultados y la selección de estrategias para resolver problemas. Todo esto contribuye al desarrollo de un
pensamiento lógico, ordenado, crítico y autónomo y al desarrollo de actitudes tales como la precisión, rigurosidad,
perseverancia y confianza en sí mismo, las cuales se valoran no sólo en la Ciencia y la Tecnología sino también en
todos los aspectos de la vida cotidiana.

El aprendizaje de la matemática contribuye también al desarrollo de habilidades asociadas a la comunicación,
proporcionando precisión y rigurosidad en la presentación de la información, así mismo generando en el receptor,
las competencias para exigir precisión y rigor tanto en la información como en los argumentos que recibe.

El conocimiento matemático y la capacidad para usarlo tienen profundas e importantes consecuencias en el
desarrollo, desempeño y vida de las personas. En efecto, el entorno social valora el conocimiento matemático y lo
asocia a logros, beneficios y capacidades de orden superior. De esta forma el aprendizaje de la matemática influye
en el concepto que niños, jóvenes y adultos construyen sobre sí mismos y sus capacidades. El proceso de aprender
matemática, por lo tanto, interviene en la capacidad de la persona para sentirse un ser autónomo y valioso en la
sociedad. En consecuencia, la calidad, pertinencia y amplitud de ese conocimiento afecta las posibilidades y la
calidad de vida de las personas, y a nivel de la sociedad, afecta el potencial de desarrollo del país.

La matemática ofrece también la posibilidad de trabajar con entes abstractos y sus relaciones, preparando a los
estudiantes en la comprensión del medio y de las complejas relaciones que se dan en un espacio simbólico y físico
de complejidad creciente. Espacios en los que la cultura, la tecnología y las ciencias se están redefiniendo y
complejizando en forma permanente, donde las finanzas, los sistemas de comunicaciones, las interrelaciones entre
naciones y culturas se relacionan y se globalizan.

DICIEMBRE 2010

Habilidades Matemáticas

En el aprendizaje de las Matemáticas se desarrollan competencias intelectuales del estudiante tales como el
razonamiento lógico, la visualización espacial y el pensamiento analítico, el cálculo, el razonamiento, el
modelamiento y las habilidades para resolver problemas.

La tabla siguiente puede resultar útil, por ejemplo, para:

• Observar transversalmente las habilidades que se desarrollan en el n sector
• Focalizarse en un nivel y diseñar actividades y evaluaciones que enfaticen dichas habilidades.
• Situarse en el nivel y observar las habilidades que se intencionaron los años anteriores y las que
se trabajarán más adelante.
• Observar diferencias y similitudes en los énfasis por ciclos de enseñanza.

Habilidades de pensamiento matemático
7° Básico 8° Básico I° Medio II° Medio
Resolución de Resolución de problemas Analizar estrategias de Aproximar números
problemas en en contextos diversos y resolución de problemas mediante variados
contextos diversos y significativo de acuerdo con criterios métodos
significativos definidos
utilizando los
contenidos del nivel.
Analizar la validez de Evaluar la validez de los Fundamentar opiniones y Argumentar respecto a las
los procedimientos resultados obtenidos y el tomar decisiones. variaciones que se
utilizados y de los empleo de dichos producen en la
resultados obtenidos. resultados para representación gráfica de
fundamentar opiniones y funciones
tomar decisiones.
Ordenar números y Ubicar raíces en la recta
ubicarlos en la recta numérica
numérica.
Realizar cálculos en Realizar cálculos en
forma mental y forma mental y escrita.
escrita.
Emplear formas Emplear formas simples Aplicar modelos lineales Modelar situaciones
simples de de modelamiento que representan la diversas a través de
modelamiento matemático. relación entre variables. funciones
matemático
Verificar proposiciones Diferenciar entre Demostrar propiedades y
simples, para casos verificación y teoremas
particulares demostración de
propiedades

DICIEMBRE 2010

Orientaciones didácticas

Este sector está concebido como una oportunidad para que los estudiantes desarrollen aprendizajes para la vida,
ya que la Matemática constituye un área de la cultura poderosa en la comprensión, explicación y predicción de
situaciones y fenómenos del medio que nos rodea. De esto se desprende la importancia del esfuerzo que deben
hacer los docentes para que todos los estudiantes en nuestro país aprendan los conocimientos y desarrollen las
capacidades propias de esta disciplina. Se sugieren en estos programas algunas orientaciones que pueden ayudar a
los docentes en su planificación y en sus clases para cumplir con este objetivo:

Los conceptos Matemáticos: profundidad e integración

Los estudiantes deben desarrollar y explorar las ideas matemáticas en profundidad y deben ver las matemáticas
como un todo integrado, no como fragmentos aislados del conocimiento. A los estudiantes se les debe enfrentar a
variadas experiencias de aprendizaje para ayudarlos a desarrollar una comprensión profunda de los conceptos
matemáticos así como sus conexiones y aplicaciones de tal manera que les permita participar activamente y
obtener mayor confianza en explorar y aplicar las matemáticas. Se recomienda especialmente para la enseñanza
media, el uso de representaciones visuales, metáforas, trabajos prácticos y el apoyo de la tecnología como parte de
estas experiencias de aprendizaje.

El uso del contexto

Es importante que la matemática sea presentada como una disciplina culturalmente situada, con historia, con
impacto en otras áreas del conocimiento científico, social o tecnológico, con consecuencias y aplicaciones. La
pregunta acerca del origen de los modelos matemáticos y su ubicación histórica en el desarrollo del pensamiento de
la humanidad, son anclas importantes del conocimiento que debemos proponer a nuestros estudiantes. El uso de
metáforas y representaciones cercanas a los estudiantes, son un recurso didáctico altamente recomendado,
especialmente en las etapas iniciales. A su vez, se sugiere el uso de las aplicaciones de la matemática a otras áreas
del conocimiento y en la vida diaria, como un apoyo en la construcción del conocimiento matemático. Este enfoque
puede ser complementado en la enseñanza media enfatizando la generalización y la importancia de los modelos
abstractos.

Razonamiento matemático y resolución de problemas

La matemática se construye a partir de regularidades que subyacen a situaciones aparentemente diversas, de esta
forma contribuye al desarrollo del razonamiento por sobre la acción mecánica. Por esto es central hacer uso
frecuentemente de preguntas y situaciones que inviten a buscar regularidades, desarrollar la noción de estrategia,
hacerlas explícitas, comparar diversas formas de abordar problemas, a justificar y cuando sea adecuado, de
acuerdo con el nivel e interés de los estudiantes, demostrar las proposiciones matemáticas, así como generar
situaciones en las que sea natural que los estudiantes formulen y verifiquen conjeturas acerca del comportamiento
de los elementos y relaciones con que se trabaja, analizar los procedimientos por medio de los cuales se resuelve
un problema justificar y cuando sea adecuado, verificar en casos particulares, resultados , propiedades y relaciones.
Aunque los estudiantes deben ser competentes en variadas y diferentes habilidades matemáticas, el exceso de
énfasis en las habilidades de procedimiento sin comprensión de los principios matemáticos subyacentes debe
evitarse.

En la enseñanza media el modelamiento matemático ofrece múltiples oportunidades para comprender el sentido de
las relaciones y conceptos que se propone a los estudiantes. Variadas disciplinas como la física, economía o la
administración, hacen frecuentemente uso de modelos matemáticos, lo cual permite que éstos, puedan servir tanto
de contexto para relaciones matemáticas como de situaciones en sí mismas en las que se puede aplicar el
conocimiento matemático en elaboración.

Uso del error

Asociado a un ambiente de búsqueda y creación, está el uso adecuado del error. En un clima de construcción, un
error puede, en manos de un educador, ser una oportunidad para aprendizajes especialmente significativos. El error
puede considerarse como un elemento concreto para trabajar en clases la diversidad, permitiendo que todos los
alumnos alcancen los aprendizajes propuesto.

DICIEMBRE 2010

Aprendizaje matemático y desarrollo personal

La clase de matemática ofrece abundantes oportunidades para el auto conocimiento y las interacciones sociales. Es
una oportunidad para la meta cognición: ¿cómo lo hice?, ¿cómo lo hicieron?, ¿de qué otra manera es posible?
Adicionalmente, el concepto que cada uno de nosotros tiene acerca de su capacidad para aprender y hacer
matemática se ha construido a través de la retroalimentación que la experiencia nos ha brindado. En este aspecto,
el reconocimiento, tanto de los esfuerzos como de los logros, es un instrumento poderoso en manos del docente. A
su vez, la valoración de las diferencias, la aceptación de los logros o acciones de los pares, un clima de confianza y
la forma que cada uno enfrenta las situaciones de éxito o fracaso, tanto propias como las de los demás, contribuyen
a desarrollar en cada alumno o alumna la confianza en sí mismos.

Tecnologías digitales y aprendizaje matemático

El programa propone el uso de software y ambientes creados con tecnologías digitales para ampliar las
oportunidades de aprendizaje de los estudiantes. Estas tecnologías permiten representar nociones abstractas a
través de modelos en los que es posible experimentar con ideas matemáticas, y crear situaciones en las que los
estudiantes pueden explorar las características, límites y posibilidades de conceptos, relaciones o procedimientos
matemáticos. Los procesadores geométricos, simbólicos y de estadística son laboratorios para explorar relaciones y
ponerlas a prueba. Con un procesador simbólico, grandes números o números muy pequeños pueden ser
analizados y dotados de sentido, y se puede estudiar el comportamiento de funciones, incluso de alta complejidad.
Internet ofrece múltiples ambientes en los que se puede encontrar representaciones dinámicas de una gran
cantidad de objetos matemáticos. Los procesadores geométricos, en tanto, permiten la experimentación con
nociones y relaciones, sea de la geometría euclidiana, cartesiana o vectorial. Todo esto, en un espacio de alto
interés para los niños, niñas y jóvenes, y de alto impacto en cuanto a su formación para una vida cada vez más
influida por las tecnologías digitales.

Clima y motivación

En el proceso de enseñanza y aprendizaje de la Matemática se debe propiciar un ambiente creativo y crítico que
favorezca la formulación verificación o refutación, de parte del que aprende, de conjeturas en los problemas que
aborda. Un ambiente en que el error la duda o pregunta , son considerados parte integrante y valiosa del proceso
de construcción del conocimiento, ambiente en el que los aportes de todos son valorados y puestos en el contexto
de una búsqueda y construcción colectiva. Debe constituirse en un espacio en el que es natural el análisis de las
acciones y procedimientos de modo de comparar caminos alternativos.

DICIEMBRE 2010

VISIÓN GLOBAL DEL AÑO

Cuadro sinóptico de aprendizajes esperados

1° Semestre 2° semestre
Unidad 1 Unidad 2 Unidad 3 Unidad 4
Números Álgebra Geometría Datos y Azar
1. Distinguir problemas 1. Identificar patrones 1. Identificar y representar 1. Obtener información a partir del
que no admiten en multiplicaciones puntos y coordenadas de análisis de datos, en diversos
solución en los de expresiones figuras geométricas en el contextos, presentados en gráficos y
números enteros y algebraicas no plano cartesiano, tablas de frecuencia, considerando
que pueden ser fraccionarias. manualmente o usando un la interpretación de medidas de
resueltos en los 2. Factorizar procesador geométrico. tendencia central.
números racionales. expresiones 2. Representar en el plano, 2. Producir información, en contextos
2. Justificar algebraicas no adiciones, sustracciones de diversos, a través de gráficos y
matemáticamente fraccionarias. vectores y multiplicaciones tablas de frecuencia con datos
que los decimales 3. Establecer de un vector por un agrupados en intervalos,
periódicos y estrategias para escalar. manualmente o mediante
semiperiódicos son resolver ecuaciones 3. Aplicar composiciones de herramientas tecnológicas.
números racionales. lineales. funciones para realizar 3. Obtener la cardinalidad de espacios
3. Establecer relaciones 4. Analizar transformaciones muestrales y eventos, en
de orden entre representaciones isométricas en el plano experimentos aleatorios finitos,
números racionales. de la función lineal cartesiano. usando más de una estrategia.
4. Representar números y de la función afín. 4. Identificar regularidades en 4. Calcular la media aritmética de las
racionales en la recta 5. Realizar la aplicación de medias de muestras de igual
numérica. composiciones de transformaciones tamaño, extraídas desde una
5. Utilizar la calculadora funciones y isométricas a figuras en el población.
para realizar cálculos establecer algunas plano cartesiano. 5. Formular conjeturas y verificarlas en
reconociendo sus propiedades 5. Formular y verificar casos particulares acerca de la
limitaciones. algebraicas de esta conjeturas acerca de la relación que existe entre la media
6. Verificar la densidad operación. aplicación de aritmética de una población de
de los números 6. Resolver problemas transformaciones tamaño finito y la media aritmética
racionales. asociados a isométricas a figuras de las medias de muestras de igual
7. Verificar la cerradura situaciones cuyos geométricas en el plano tamaño, extraídas de dicha
de las operaciones en modelos son cartesiano. población.
los números ecuaciones literales 6. Establecer el concepto de 6. Interpretar información, en diversos
racionales. de primer grado. congruencia a partir de las contextos, mediante el uso de
8. Comprender el transformaciones medidas de posición y de tendencia
significado de las isométricas. central, aplicando criterios referidos
potencias de base 7. Formular y verificar al tipo de datos que se están
racional y exponente conjeturas acerca de utilizando.
entero. criterios de congruencia en 7. Producir información, en contextos
9. Resolver problemas triángulos. diversos, mediante el uso de
en contextos diversos 8. Resolver problemas medidas de posición y de tendencia
que involucran relativos a cálculos de central, aplicando criterios referidos
números racionales o vértices y lados de figuras al tipo de datos que se están
potencias de base geométricas del plano utilizando.
racional y exponente cartesiano y a la 8. Utilizar el cálculo de medidas de
entero. congruencia de triángulos. tendencia central y de posición para
analizar muestras de datos
agrupados en intervalos.
9. Resolver problemas referidos a
cálculos de probabilidades,
aplicando el modelo de Laplace o
frecuencias relativas, dependiendo
de las características del
experimento aleatorio.

Tiempo estimado Tiempo estimado Tiempo estimado Tiempo estimado
65horas 7o horas 65 horas 80 horas

DICIEMBRE 2010

SEMESTRE 1

DICIEMBRE 2010

UNIDAD 1
Números

Propósito de la unidad

En esta unidad se recogen los aprendizajes que los estudiantes ya tienen sobre números enteros, fracciones y
decimales, para introducir los números racionales. Se espera que los estudiantes comprendan sus características y
propiedades, y sean capaces de ordenarlos, transformar de fracciones a números decimales justificando la
transformación realizada, y operar con ellos. En esta unidad se introducen también las potencias de base racional y
exponente entero, de modo que los estudiantes comprendan sus propiedades y las apliquen en la resolución de
problemas.

Conceptos claves

Números racionales – potencias de base racional y exponente entero.

Prerrequisitos

• Operatoria de números enteros.
• Potencias de base entera y exponente natural.
• Propiedades de las potencias de base natural, fraccionaria y decimal con exponente natural.

Contenidos disciplinares

• Operaciones aritméticas con números racionales.
• Potencias de base racional y exponente entero.
• Propiedades de las potencias de base racional y exponente entero.

Habilidades

• Reconocer si un problema puede tener solución en los números enteros.

• Identificar los números racionales como un cuociente de dos números enteros, con denominador distinto de
cero.

• Transformar números de notación decimal a fracción y viceversa.

• Resolver situaciones en las que es necesario operar con números racionales.

• Conjeturar acerca de las propiedades de los números racionales.

• Utilizar las potencias de base racional y exponente entero para representar situaciones.

Actitudes

• Trabajo en equipo e iniciativa personal en la resolución de problemas en diversos contextos.

DICIEMBRE 2010

Aprendizajes esperados Sugerencias de Indicadores de evaluación

Se espera que los estudiantes sean
Cuando los estudiantes han logrado este aprendizaje:
capaces de:

1. Distinguir problemas que no • Indican si la solución de una ecuación de primer grado pertenece o
admiten solución en los no al conjunto de números enteros.
números enteros y que • Reconocen cuando un problema, contextualizado, puede o no tener
pueden ser resueltos en los soluciones en el conjunto de los números enteros.
números racionales. • Establecen condiciones para que al dividir dos números enteros el
cuociente sea un número entero, y condiciones para que sea un
número decimal positivo o negativo.
• Dan ejemplos de la vida cotidiana en que la información numérica
corresponde a números racionales negativos.
• Identifican los números racionales como aquellos que pueden
expresarse como un cociente de dos números enteros, con
denominador distinto de cero.

2. Justificar matemáticamente • Dan características del conjunto de los números racionales.
que los decimales periódicos y • Justifican los pasos de un procedimiento para expresar como
semiperiódicos son números cociente de enteros un número decimal periódico o semiperiódico.
racionales. • Conjeturan acerca de la existencia de números que expresados
como decimales no tengan periodo.
• Conjeturan acerca de la existencia de números que no pueden ser
expresados como cociente de enteros.

3. Establecer relaciones de orden • Formulan estrategias para comparar números decimales
entre números racionales. semiperiódicos.
• Comparan números periódicos.
• Ordenan números racionales de manera creciente.

4. Representar números • Formulan estrategias para ubicar en la recta numérica números
racionales en la recta decimales periódicos.
numérica. • Ubican en la recta numérica números racionales de acuerdo a
restricciones dadas. Por ejemplo, ubican cinco números que se
encuentren entre 0,01 y 0,02 de manera que la cifra de las
milésimas sea un número par.

5. Utilizar la calculadora para • Sistematizan procedimientos de cálculo escrito con ayuda de la
realizar cálculos reconociendo calculadora de las cuatro operaciones con números racionales.
sus limitaciones. • Realizan aproximaciones de los resultados obtenidos, mediante
redondeo y truncamiento.
• Reconocen las limitaciones de la calculadora para aproximar
decimales.

DICIEMBRE 2010

6. Verificar la densidad de los • Proponen algoritmos que permiten intercalar números entre dos
números racionales. números racionales dados. Por ejemplo, el promedio de los números
dados.
• Usan el valor posicional para mostrar que, por ejemplo, entre 0,1 y
0,2 se encuentran : 0,11 , 0,12;…..

7. Verificar la cerradura de las • Argumentan acerca de la cerradura de la suma y multiplicación en
operaciones en los números los racionales.
racionales. • Establecen las operaciones que son cerradas en los números
racionales y justifican matemáticamente sus resultados.

8. Comprender el significado de • Identifican situaciones que pueden ser representadas por medios de
las potencias de base racional potencias de base racional y exponente entero.
y exponente entero. • Realizan operaciones de multiplicación y división de potencias de
base racional y exponente entero utilizando sus propiedades.
• Resuelven problemas utilizando potencias de base racional y
exponente entero.

• Explican los procedimientos empleados para resolver problemas que
9. Resolver problemas en involucran números racionales.
contextos diversos que • Evalúan las soluciones de problemas con racionales en función del
involucran números racionales contexto.
o potencias de base racional y • Aplican propiedades de las potencias de base racional y exponente
exponente entero. entero en la resolución de problemas.
• Emplean más de una estrategia para resolver problemas referidos a
potencias de base racional y exponente entero.

En relación a los OFT, esta unidad promueve

Trabajo en equipo e iniciativa personal en la resolución de problemas en contextos diversos.

• Participa de manera propositiva en actividades grupales.
• Es responsable en la tarea asignada.
• Toma iniciativa en actividades de carácter grupal.
• Proponen alternativas de solución a problemas relacionados con números enteros y potencias de base natural
y exponente natural en actividades grupales.

DICIEMBRE 2010

Observaciones al docente. 1° Medio

Se sugiere introducir los números racionales como una extensión del conjunto de los números enteros, justificando
su necesidad al mostrar problemas donde es imposible una solución contando sólo con números enteros. Se
propone caracterizar los números racionales como aquellos que se pueden expresar como un cociente entre dos
números enteros con divisor distinto de cero. Se recomienda, además, situar a los estudiantes en el contexto
histórico en que estos números cobraron relevancia y los problemas que solucionaron, así como también mostrar
ejemplos de números que no son racionales.

La unidad ofrece la oportunidad para visitar, nuevamente, los conceptos de fracción y de número decimal, así
como sus propiedades y los procedimientos para operar con esos números. Estos son dos temas en los que suele
haber dificultades y lagunas de aprendizaje; de modo que, reubicar esos números y sus operaciones en el contexto
de los racionales y mediante el uso de las potencias de diez, puede contribuir, tanto a su comprensión, como a
asegurar las necesarias destrezas en la operatoria.
La condición, impuesta a los números racionales, de ser expresables mediante un cociente de números enteros
sugiere la necesidad de expresar decimales como fracciones. En esa búsqueda cobra sentido y valor, tanto la
divisibilidad entre enteros como la relación entre el resto de la división con el período en la representación decimal.
Más que las reglas de operación o los algoritmos, lo que interesa son los procesos. La exploración de situaciones
en los que el desarrollo decimal presenta o no un período es la distinción con la que los estudiantes pueden
comprender la diferencia entre un número racional y uno irracional.

La ubicación de números en la recta numérica contribuye a la comprensión de dichos números. La ubicación de un
racional en la recta numérica, prepara la noción de intervalo que será utilizada más adelante para tratar las
probabilidades.

La unidad introduce las potencias de exponente cero y negativas de números racionales. Completando así las
potencias de base racional y exponente entero. Se sugiere relacionar el valor posicional de la notación decimal con
las potencias de diez.
Se sugiere trabajar las cuatro operaciones con números racionales, en contextos de la resolución de problemas
ligados a la vida cotidiana y a temas de otros sectores de aprendizaje. La resolución de problemas genera además,
espacio para abordar el concepto de cifras significativas y de aproximación.

DICIEMBRE 2010

Ejemplos de actividades

AE 1: Distinguir problemas que no admiten solución en los números enteros y que pueden ser resueltos
en los números racionales.

Actividades

1.- Identifican ecuaciones de primer grado que no admiten solución en los números enteros, pero que sí admiten
solución en los números racionales no enteros. Por ejemplo, ecuaciones del tipo:

• 2x − 1 = 6
• 5(4 x + 1) = 2(6 x + 3)

2.- En ecuaciones del tipo ax + b = c , donde la incógnita es x , determinan valores para a, b, c , de manera que:
• La ecuación admita una solución entera.
• La ecuación admita una solución racional no entera.

3.- Identifican problemas en contextos cotidianos cuya solución pertenece a los números enteros y aquellos que
admiten solución en los números racionales no enteros. Por ejemplo, identifican cuál de los problemas siguientes
admite solución entera y cuál solución racional no entera:

- Si al triple de las bolitas que tiene una persona le agrega una bolita, entonces tiene 21 bolitas.
- Una persona abona $10.000 de una deuda y el resto lo divide en tres partes iguales de $6.000. ¿Cuál es la
deuda?

4.- Inventan problemas que:

- Admiten solución en los números enteros.

- Admiten solución en los números racionales no enteros.

AE 2: Justificar matemáticamente que los números decimales periódicos y semiperiódicos son números
racionales.

Actividades

1.- Caracterizan el conjunto de los números racionales.

2.- Demuestran que los siguientes números se pueden escribir como una fracción:

- Números de la forma 0, a , 0, ab , 0, abc , etc.

- Números de la forma 0,0a , 0,0ab , 0,0abc , etc.

- Números de la forma 0,00a , 0,000a , 0,00ab , 0,00abc , 0,000abc etc.

- Números de la forma 0, ab , 0,0ab , 0, cd ab , 0,00cdeabc , 0,000abc etc.

- Números de la forma a,0b , a,0bc , a,00bc def , a, bc , etc.

DICIEMBRE 2010

Observaciones al docente: Para el caso de un número decimal infinito periódico el docente podría plantear, por
ejemplo, la siguiente ecuación usando el decimal 0,666… (se repite el número 6 infinitamente)

x = 0, 666... amplificando ambos lados por 10 tendrá:

10 · x = 10 · 0, 666...
Restando la primera ecuación a la segunda, se obtiene:

9· x =6
6 2
Y multiplicando por el inverso multiplicativo de 9 se obtiene: x= =
9 3
Se sugiere dar tiempo a los estudiantes para que intenten el mismo procedimiento usado anteriormente (amplificar
por 100) para transformar este número 1,1444… a fracción. Verifican que el número decimal asociado a la fracción
obtenida es igual al número decimal 1,144. Se sugiere al docente someter a discusión este procedimiento y dar
tiempo para que los alumnos intenten otra estrategia.

Para el caso de número decimal infinito semiperiódico el docente podría plantear, por ejemplo, la siguiente ecuación
usando el decimal 1,1444… (explica a los estudiantes que el número 4 se repite infinitamente)

x = 1,1444 amplificando ambos lados por 100, se obtendrá:

100·x = 114,44
Restando la primera ecuación a la segunda, se obtiene:

99 · x = 113,3
Amplificando ambos lados por 10, obtenemos:

990 · x = 1133
Y multiplicando por el inverso multiplicativo de 990, se obtiene:
1.133
x=
990

AE 3: Establecer relaciones de orden entre números racionales.
AE 4: Representar números racionales en la recta numérica.

Actividades

1.- Formulan estrategias para ubicar en la recta numérica los siguientes tipos de números:

- Decimales finitos

- Decimales periódicos.

- Decimales semiperiódicos.

2.- Formulan estrategias para comparar números:

- Decimales finitos.

DICIEMBRE 2010

- Decimales periódicos y semiperiódicos.

3.- Comparan fracciones utilizando los siguientes procedimientos:

- Conversión a decimales.

- Conversión a fracciones de denominadores iguales.

a c
- Multiplicaciones de numeradores por denominadores: > ⇔ ad > bc
b d

4.- Determinan números de acuerdo a restricciones dadas. Por ejemplo:

- Determinan 10 números racionales mayores que 0,11 y menores que 0,12

1 1
- Determinan 10 números racionales x , tales que <x<
7 6

2 5 12
- Determinan números racionales cuya distancia a es mayor que y que sean menores que
3 3 5
Observaciones al docente

Se sugiere al docente que 0,11 lo presente en la forma 0,110, o en la forma 0,1100, lo mismo para el decimal
0,12.
En el caso de la fracciones 1/7 y 1/6 se sugiere que las amplifiquen por un número adecuado de manera de tener
denominadores iguales, y posteriormente que amplifiquen por potencias de 10 hasta obtener claridad acerca de
los números que se deben insertar.

AE 5: Utilizar la calculadora para realizar cálculos reconociendo sus limitaciones.

Actividades

1.- Realizan aproximaciones de cálculos y las verifican utilizando la calculadora.

2.- Verifican que los resultados que se obtienen con calculadoras al realizar cálculos de números decimales
periódicos y semiperiódicos son aproximaciones del resultado real.

Por ejemplo, discuten acerca de los diferentes resultados que se obtiene al calcular el área de un rectángulo de
5 17
lados cm y cm utilizando calculadoras que arrojan distinta cantidad de cifras decimales en el visor.
3 7
3.- Utilizan la calculadora para realizar evaluar expresiones en contextos del mundo que nos rodea. Por ejemplo,
gr 2
determinan la masa de la tierra evaluando la expresión MT = , donde
G
g = 9,8m / s 2 , r = 6,38 ⋅ 10 6 , G = 6,67 ⋅ 10 24 Nm 2 / kg 2

DICIEMBRE 2010

AE 6: Verificar la densidad de los números racionales.

Actividades

1.- Realizan las siguientes actividades:

- Eligen dos números racionales positivos al azar, por ejemplo 3 y 7.
A continuación:

• Los ubican en la recta numérica.

• Sacan su promedio y lo ubican en la recta numérica.

• Verifican que la distancia entre el promedio y 3, y la distancia entre el promedio y 7 son iguales.

- Realizan el proceso anterior con números enteros negativos.

- Realizan el proceso anterior con números racionales no enteros.

- Generalizan el proceso seguido, es decir, concluyen la propiedad: “entre dos números racionales siempre hay un
número racional”.


El docente puede proponer a sus estudiantes que realicen la actividad anterior pero con expresiones
algebraicas. Es decir, que:

• Consideren a, b racionales tales que a < b.
• Obtengan su promedio y demuestren que es mayor que a , pero menor que b .
a+b
• Obtengan el promedio entre a y el promedio , y que demuestren que
2
se encuentre entre esos números.

Y así sucesivamente.

AE 7: Verificar la cerradura de las operaciones en los números racionales.

Actividades

1.- Demuestran que la suma de dos racionales es siempre racional.

2.- Demuestran que operaciones combinadas con números racionales siempre dan un número racional.

AE 8: Comprender el significado de las potencias de base racional y exponente entero.

Actividades

1.- Identifican la propiedad que permite resolver potencias del tipo:

m n m n
a a a a
a)     , m, n ¸Z ,o   :   , m, n ¸Z
b b b b

DICIEMBRE 2010

m m m m
a  c  a a
b)     , m ¸ , o
Z   :  ,m∈ Z
b d  b b
m
 a n 
c)     , m, n ∈ Z
 b  
 
m
a
d)   , m ∈ Z
b
2.- Utilizando las propiedades anteriores realizan las siguientes demostraciones:

−m
a 1
a)   = m
,m∈Z .
b a
 
b
−m m
a b
b)   =   ,m∈Z
b a

AE 9: Resolver problemas en contextos diversos que involucran números racionales o potencias de base
racional y exponente entero.

Actividades

1.- Resuelven problemas que involucran potencias de base racional y exponente entero. Por ejemplo:

a) Un trozo rectangular de cartulina de lado 40cm de largo por 30cm de ancho se dobla sucesivamente por la mitad
según muestra la figura:

- Responden preguntas tales como:

• ¿Cuánto medirá el área del cuadrado de la figura resultante después de hacer 8 dobleces?
• ¿Cuánto medirá el área del cuadrado resultante después de hacer n dobleces?

Observaciones al docente: Los estudiantes pueden realizar cálculos apropiados para estimar el área de la figura
obtenida después del octavo doblez. Sin embargo, se sugiere al docente guiar el trabajo de los estudiantes en la
notación de potencias para concluir que, después de n dobleces, el área de la figura es 2 −n ⋅ 1200 cm2.

b) Calculan el volumen de un paralelepípedo de largo 0,2 km, ancho 100 m y 30.000 cm de alto, y lo expresan en
m3

DICIEMBRE 2010

c) Realizan comparaciones entre cantidades expresadas en potencias. Por ejemplo, calculan cuántas veces es
mayor la distancia de la tierra a la estrella más cercana, que el largo de una bacteria que mide 1,5 ⋅ 10 −4 cm 2.-
Resuelven problemas en contextos cotidianos. Por ejemplo,

Las diferentes compañías telefónicas presentan ofertas de planes en UF a sus clientes en los que se incluye una
determinada cantidad de minutos para hablar y un tiempo determinado para una conexión a Internet, por ejemplo:

Telefonía e Internet
Planes Velocidad (kbps) Precio
A 128 – 64 kbps 1,82 UF
B 256 – 128 kbps 2,5 UF
C Inalámbrico 512 – 128 kbps 1,93 UF + instalación
D Inalámbrico 256 – 128 kbps 2,35 UF + instalación

Precio de instalación: $9.990

Responden preguntas como las siguientes:

• ¿Cuánto cuesta cada plan con el valor de la UF al día de hoy?
• ¿Cuál es la diferencia en pesos entre los planes A y B, y entre C y D?
• Si la UF aumenta un 0,1%, ¿en cuánto aumenta el valor del plan más caro?

3.- Resuelven problemas relativos a operaciones aritméticas en contextos matemáticos. Por ejemplo:

- Dados dos números racionales P y Q tales que: 0 < P < Q < 1,

• Demuestran que P⋅Q se encuentra entre 0 y P
• Demuestran que P+Q se encuentra entre Q y 2Q

Actividad de Evaluación (Números 1° Medio)

Aprendizaje Esperado:

Distinguir problemas que no admiten solución en los números enteros y que pueden ser resueltos
en los números racionales.

Indicadores de Evaluación:

• Indican si la solución de una ecuación de primer grado pertenece o no al conjunto de números enteros.
• Reconocen cuando un problema, contextualizado, puede o no tener soluciones en el conjunto de los
números enteros.
• Establecen condiciones para que al dividir dos números enteros el cuociente sea un número entero y
condiciones para que sea un número decimal positivo o negativo.
• Dan ejemplos de la vida cotidiana en que la información numérica corresponde a números racionales.
• Identifican los números racionales como aquellos que pueden expresarse como un cociente de dos
números enteros, con denominador distinto de cero.

Instrucciones.

Responde a las interrogantes de acuerdo a las condiciones dadas en los enunciados.

DICIEMBRE 2010

Criterios de Evaluación.
1. Indique las condiciones que deben cumplir tres números enteros:
a, b y c, para que la ecuación a x + b =c
1. Indican si la solución de
una ecuación de primer grado
• tenga una solución entera.
es entera.

• tenga como solución un número racional positivo.
2. Reconocen el tipo de
soluciones de un problema:
2. Una excursión tiene una relación Mujeres – Hombres de 5 es a 3.
entera o racional.
Se incorporan tres hombre y la relación pasa a ser 2 es a 1.

• ¿Cuáles son los datos del problema? 3. Identifican números
racionales.
• ¿Cuáles son las incógnitas?

• Escriba una ecuación que represente la relación entre las
variables y los datos del problema.

• La solución del problema, ¿pertenece a los números enteros?
Justificar.

DICIEMBRE 2010

UNIDAD 2
Álgebra


Esta unidad ofrece la oportunidad a los estudiantes de explorar naturalmente contextos multiplicativos de
expresiones algebraicas y desarrollar productos, productos notables y factorizaciones de expresiones algebraicas. El
programa prioriza en el desarrollo de multiplicaciones algebraicas, la comprensión de los procedimientos y el
descubrimiento de reglas y propiedades a través de la formulación y verificación de conjeturas.

Por otra parte, en cuanto a la progresión en el aprendizaje relacionado con las funciones, se introduce el estudio de
las funciones lineales y afín. Se propone a los estudiantes identificar y representar dichas funciones a través de
tablas, gráficos y algebraicamente.

Finalmente, en este nivel se trabaja la composición de funciones como un paso más en el estudio de funciones. Este
contenido más adelante se conecta con la unidad de Geometría, en la cual se trata bajo la mirada de las
transformaciones isométricas.

Conceptos claves

Productos notables – factorización de expresiones algebraicas – ecuaciones literales – función lineal y afín –
modelamiento – composición de funciones

Prerrequisitos

• Concepto de variable.
• Dependencia e independencia de variables.
• Variación proporcional directa e inversa.
• Concepto de función.
• Dominio y recorrido de una función.
• Representación gráfica de funciones.
• Ecuación de primer grado con dos incógnitas.


• Funciones lineales y afines como modelos de situaciones o fenómenos.
• Representación gráfica de funciones lineales y afines.
• Resolución de problemas mediante ecuaciones literales.
• Composición de funciones y propiedades asociadas.
• Dominio y recorrido de funciones que se obtienen al componer otras funciones.

Habilidades

• Establecer los productos notables a través de la búsqueda de regularidades en la multiplicación de expresiones
algebraicas.
• Factorizar expresiones algebraicas usando los productos notables.
• Resolver problemas mediante ecuaciones literales.
• Modelar situaciones o fenómenos en diferentes contextos utilizando funciones lineales.
• Representar gráficamente funciones lineales y afines.
• Argumentar respecto a las variaciones que se producen en la representación gráfica de funciones lineales y
afines, al modificar los parámetros.
• Resolver problemas que involucren composición de funciones.
• Identificar el dominio y recorrido de funciones que son el resultado de la composición de otras.

Actitudes

• La perseverancia, el rigor, la flexibilidad y originalidad, al resolver problemas matemáticos.

DICIEMBRE 2010

Aprendizajes esperados Sugerencias de indicadores de evaluación

capaces de:
1. Identificar patrones en • Multiplican expresiones algebraicas y reducen el resultado.
multiplicaciones de expresiones • Establecen expresiones para sumas por diferencias y cuadrados
algebraicas no fraccionarias. de binomios.
• Reconocen regularidades en multiplicaciones de expresiones
algebraicas. Por ejemplo, en los productos
(a + b)(a − b), (a 2 − b 2 )(a 2 + b 2 ), (a 3 − b 3 )(a 3 + b 3 ) ,
…….

2. Factorizar expresiones • Sacan factor común en expresiones algebraicas.
algebraicas no fraccionarias. • Factorizan expresiones algebraicas utilizando productos
notables.
• Expresan trinomios como el producto de dos binomios.

3. Establecer estrategias para • Emplean técnicas algebraicas para expresar ecuaciones literales
resolver ecuaciones lineales. de primer grado en la forma ax = b .
• Resuelven ecuaciones literales de primer grado.
• Verifican las soluciones obtenidas.

• Reconocen la proporcionalidad directa como un caso de la
4. Analizar representaciones de función lineal.
la función lineal y de la función • Reconocen como funciones lineales relaciones de la física como
afín. F = ma (Newton), V = Ri (en circuitos eléctricos) y
F = kx (ley de Hooke), señalando variables y constantes.
• Organizan en una tabla pares ordenados de una función.
• Generan el gráfico cartesiano a partir de una tabla de valores.
• Usan un procesador simbólico para registrar diversos valores de
y = kx , variando los valores de k .
• Demuestran que la composición de funciones cumple la
5. Realizar composiciones de propiedad de clausura.
funciones y establecer algunas • Dadas algunas funciones realizan composiciones de ellas y
propiedades algebraicas de esta determinan el dominio y recorrido de la función resultante
operación. • Discuten acerca de la conmutatividad de la composición de
funciones. Analizan el caso en que las funciones son
• Verifican que la composición de funciones es asociativa.
• Verifican que la función identidad en un conjunto opera como
elemento neutro para la composición de funciones.
• Identifican ecuaciones literales de primer grado en diversos
6. Resolver problemas contextos.
asociados a situaciones cuyos • Reconocen situaciones cuyos modelos son ecuaciones literales.
modelos son ecuaciones • En situaciones cuyos modelos son ecuaciones literales:
literales de primer grado. a) Plantean la ecuación
b) La resuelven
c) La evalúan en función del contexto

DICIEMBRE 2010

Aprendizajes esperados en relación a los OFT

La perseverancia, el rigor, la flexibilidad y originalidad, al resolver problemas matemáticos.

• Tiene un orden y método para el registro de información.
• Termina los trabajos iniciados.
• Es tenaz frente a obstáculos o dudas que se le presente en problemas matemáticos.

Observaciones al docente. 1° Medio. Álgebra (2)

Tal como lo sugieren los aprendizajes esperados, la unidad de Álgebra es una buena oportunidad para
promover los Objetivos Fundamentales Transversales. A través del trabajo propuesto, se puede incentivar
aspectos como el rigor, la flexibilidad y la originalidad al resolver problemas. Por otro lado, interesa que los
estudiantes sean ordenados y metódicos en el registro de la información.

Respecto al trabajo con Productos Notables, el enfoque tradicional ha sido exponer a los estudiantes a su
estudio categorizados por nombre según el tipo de expresión (cuadrado de binomio, trinomio de cuadrado
perfecto, etc.), y vistos como reglas de resolución de ciertas expresiones que los estudiantes en ocasiones no
son capaces de conectar, por ejemplo, con la multiplicación. Por el contrario, este programa propone que
ellos, conocedores de la multiplicación de expresiones algebraicas, conjeturen sobre productos que tienen
ciertas características que los hacen justamente “notables”. Por ejemplo, el docente podría ofrecer un listado
de multiplicaciones a sus estudiantes, el cual prepare el camino para que descubran las reglas que definen los
productos notables. En caso de que no se produzcan los hallazgos, se sugiere tensionar las conjeturas
realizando preguntas tales como: “¿existe alguna relación o regularidad entre los términos de la expresión
original y los que resultan luego de realizar el producto propuesto?

Respecto al estudio de las funciones lineales y afines, el propósito es que los estudiantes establezcan
conexiones entre los aprendizajes nuevos propuestos en esta unidad y aquellos logrados en años anteriores,
por ejemplo, los relacionados con proporcionalidad directa. Pero más aún con el concepto mismo de función
que comienza a desarrollarse desde 8° básico, a través del cual se introducen la notación y elementos tales
como dominio y recorrido.

Por otra parte, se recomienda introducir la composición de funciones a través de metáforas que faciliten su
comprensión y, posteriormente, realizar la formalización a través de la utilización del lenguaje algebraico, el
cual facilitará la verificación y demostración de propiedades de la composición de funciones. Se sugiere poner
énfasis en este contenido, ya que se retomará en la unidad de geometría a través del estudio de las

Finalmente, el estudio de funciones se presta naturalmente para realizar análisis de representaciones usando
software gráfico, de modo que sea posible explorar las distintas formas que toman estas funciones al variar
los parámetros que las constituyen. En otras palabras este tipo de recursos tecnológicos facilitan al estudiante
el análisis, la formulación de conjeturas y su verificación.

DICIEMBRE 2010

Ejemplos de actividades de aprendizaje

AE 1: Identificar patrones en multiplicaciones de expresiones algebraicas no fraccionarias.

Actividades

1.- Realizan multiplicaciones entre expresiones algebraicas. Por ejemplo, multiplican:

• (a + b)(a − 2b)
• (a + b − c )(a − b + 2c )
• (a 2 + b 2 − 1)(2a 2 − 3b 2 + 4)
2.- Establecen relaciones al observar regularidades en productos especiales:

• (a − b)(a 2 + ab + b 2 ) = a 3 − b3
• (a − b)(a 3 + a 2b + ab 2 + b3 ) = a 4 − b 4
• (a − b)(a 4 + a 3b + a 2 b 2 + ab 3 + b 4 ) = a 5 − b 5
3.- Establecen relaciones al observar regularidades en cuadrados de polinomios:

• (a + b) 2 = a 2 + b 2 + 2ab

• (a + b + c) 2 = a 2 + b 2 + c 2 + 2ab + 2ac + 2bc

• (a + b + c + d ) 2 = a 2 + b 2 + c 2 + d 2 + 2ab + 2ac + 2ad + 2bc + 2bd + 2cd
Observaciones al docente: Es importante que el docente permita a sus estudiantes deducir los productos
trabajados, a partir de las regularidades observadas. De esta manera se constituye en un aprendizaje significativo.
Los estudiantes pueden conjeturar sobre los productos notables presentados y otros que ellos puedan encontrar.
Pueden verificar resultados mediante tablas que les ayuden a organizar los datos.

AE 2: Factorizar expresiones algebraicas no fraccionarias.

Actividades

1.- Factorizan expresiones utilizando productos notables. De este tipo son las siguientes factorizaciones:

• 4 x 2 − 16 y 2
• x 2 + 4 xy + y 2
• 4( x − z ) 2 − 36( y + 2) 2
• ( x + 2) 2 + 8( x + 2) + 16
• x 4 − 16 y 4

DICIEMBRE 2010

2.- Utilizando la forma a 2 + a (b + c) + bc = (a + b)(a + c ) . De este tipo son las siguientes factorizaciones:
• x 2 + 7 x + 10
• a 2 + 6a − 7
• b 2 − 3b − 54
• 4a 2 + 14a − 8

3.- Un terreno rectangular tiene una superficie x 2 + 7 x + 12 y como largo a x + 4 . Respecto de este enunciado
los estudiantes determinan:
- su ancho
- su perímetro cuando x = 100 metros.

3.- Realizando factorizaciones intermedias para llegar a la factorización final. De este tipo son las siguientes
factorizaciones:

• ac + bc + ad + bd
• ax − 2ay + 3a + bx − 2by + 3b
• ad − dx + ac − cx
4.- Transforman expresiones algebraicas aplicando productos notables y factorizan la expresión transformada. Por
ejemplo:

• Factorizan la expresión 4a 4 + b 4 , con este propósito transforman esta expresión en la forma
(2a 2 + b 2 ) 2 − (2ab) 2 .
4
• Factorizan la expresión 16 x + 4 , con este propósito transforman esta expresión en la forma

(4 x 2 + 2) 2 − 16 x 2 .
5.- Utilizan la suma por diferencia para determinar el cambio de temperatura (dilatación) que experimenta una
plancha metálica rectangular cuando, producto del calentamiento a que se expone, tanto su ancho como su largo se
dilatan.

AE 3: Establecer estrategias para resolver ecuaciones lineales.

Actividades

1.- Elaboran estrategias para expresar una variable en función de otras variables. Por ejemplo:
2a
• Dada la ecuación − x = y , buscan una estrategia para obtener una expresión para “x” en función de las
3
otras variables.
• Dada la ecuación x + 2 y − 3a = 4 , buscan una estrategia para obtener una expresión para a en función de
las otras variables.

2.- Establecen estrategias para resolver ecuaciones literales. Por ejemplo,

• Resuelven la ecuación ax = bx + c , donde x es la incógnita.
• Resuelven la ecuación ax = bx + cx + d , donde x es la incógnita.

DICIEMBRE 2010


En este tipo de actividades el propósito es que los estudiantes sean capaces de relacionar variables a partir de
diversos contextos y trabajar con expresiones ya entregadas, o bien que ellos deban obtener o deducir como en la
actividad 2.
Es importante apoyar a los estudiantes en el manejo de las ecuaciones literales, que por lo general se presentan
como fórmulas en diferentes contextos, pero al ser ecuaciones es posible “despejar” cada una de las variables
involucradas en función de las otras.

AE 4: Analizar representaciones de la función lineal y de la función afín.

Actividades

1.- Identifican funciones lineales en contextos de proporcionalidad. Por ejemplo, en el contexto geométrico del
perímetro y área de un cuadrado de lado a, establecen diferencias entre la relación lado–perímetro y la relación
lado–área. Para ello:

• Utilizan tablas en las que asignan distintos valores al lado (a) y obtienen tanto el perímetro (P) como el
área (A).
2
• Identifican las expresiones P = 4 a y A = a
• Grafican ambas relaciones en el plano cartesiano.
• Establecen cocientes entre los valores del perímetro y el lado, así como también cuocientes entre el área y
el lado.
• Identifican en qué caso ocurre la proporcionalidad directa.

Esta actividad se focaliza en el estudio de las funciones. Tiene como objetivo que los estudiantes relacionen la
función lineal con la proporcionalidad entre cantidades, que grafiquen y modelen diversas situaciones.
Para lograr este objetivo es importante que los estudiantes generen datos, que los registren en tablas y
posteriormente que los grafiquen. Los estudiantes a partir de cocientes entre variables deben identificar la
proporcionalidad directa.
Pueden verificar lo anterior considerando una función lineal cualquiera, por ejemplo, f ( x) = 3x .

2.- Modelan situaciones asociadas a la función afín. Por ejemplo, se puede presentar la siguiente situación a sus
estudiantes:

Una compañía de teléfonos celulares ofrece el siguiente plan: cargo fijo de $8.590 y $94 por cada minuto
que se habla en cualquier horario.

Y proponerles que respondan las siguientes preguntas:

• ¿Cuáles son las variables involucradas?
¿Cuánto se paga por hablar 25, 37 y 55 minutos, respectivamente? Registrar estos valores en una tabla y graficar,
manualmente o usando un software adecuado los valores.

Observando el gráfico, ¿qué diferencias observas respecto de la función lineal?
• Si llamamos “t” al valor total de la cuenta y “x” a los minutos hablados, expresa t en función de x.
¿Qué concluyes ?

DICIEMBRE 2010

3.- Identifican gráficos que representan la función lineal y gráficos que representan la función afín. Por ejemplo,
identifican cuál de los gráficos siguientes representa la función lineal y cuál representa la función afín, justificando
su elección.

a) b)

4.- A partir de las expresiones algebraicas de las funciones o usando tablas de valores, obtienen el gráfico de una
función lineal o afín, en forma manual o utilizando algún software gráfico.

5.- Determinan si una situación particular puede ser modelada por una función lineal o afín. Por ejemplo:

Considerar un conjunto de rectángulos cuyo perímetro es siempre igual a 48 cm. Los distintos rectángulos tienen
bases y alturas diferentes, pero el perímetro es el mismo en cada caso.

• Encontrar una función que modele esta situación.
• Determinar el dominio de la función.
• Graficar la función.


Para esta actividad, cada solicitud es importante, en particular lo de graficar la situación. También es clave hablar
de los “valores permitidos” en este contexto particular y afianzar el concepto de dominio de una función. Además,
se puede solicitar el recorrido de la función en cuestión.

®6.- Realizan experimentos relativos a la ley de Hook. Con ese propósito se toma un resorte cualquiera y de él se
suspenden masas. Se registran en una tabla la fuerza ejercida sobre el resorte: peso de la masa medido en
Newton, y la deformación medida en metros. A continuación demuestran que el cociente entre la fuerza y la
deformación es constante.

AE5: Realizar composiciones de funciones y establecer algunas propiedades algebraicas de esta
operación.

1.- A partir de dos funciones dadas, determinan la función resultante de componer dichas funciones, así como
también el dominio y el recorrido de la nueva función. Por ejemplo, si se tienen las funciones h( x) = 2 x con

x
dominio Dh = {2, 4, 6,8,10} y g ( x) = con dominio Dg = {4,8,12,16, 20} , determinan g o h .
4
2.- Demuestran algunas propiedades respecto de la composición de funciones. Por ejemplo:

• Verifican si la composición de funciones cumple o no la propiedad de asociatividad.

• Verifican que la composición de funciones no es conmutativa.

DICIEMBRE 2010

3.- Comprueban otras propiedades de la composición de funciones. Por ejemplo:

a) Sean f y g funciones afines, comprobar si f o g y g o f son también funciones afines.
b) Si f, g y h son funciones lineales, demostrar que (f o g) o h = f o (g o h). ¿Se cumple lo mismo en el caso de
funciones afines?

c) ¿Qué sucede con f o g, si g es una función constante y f una función cualquiera?

4.- A partir de dos funciones obtienen la nueva función compuesta, verifican valores y relaciones. Por ejemplo:

• Si f ( x) = ax y g ( x) = bx , encuentran la relación entre ( f o g )( x ) y ( g o f )( x ) .
  b 
• Si f (t ) = at y g (t ) = b − t , determinan el valor de g f   .
 a 
  

AE 6: Resolver problemas asociados a situaciones cuyos modelos son ecuaciones literales de primer
grado.

Actividades

1.- Identifican situaciones cuyos modelos son ecuaciones literales de primer grado.

2.- Resuelven problemas que involucran ecuaciones literales en contextos geométricos. Por ejemplo:

• Obtienen una expresión algebraica para altura de una pirámide, a partir de la fórmula de su volumen.
• Encuentran una expresión para el área del trapecio en función de sus bases y altura.
• Obtienen los valores de la altura de un cono para distintos valores de su volumen y del radio de su base.

®3.- Resuelven problemas relativos a la velocidad del sonido. Por ejemplo, dos personas que se encuentran a s
metros separadas desean escuchar, cada una, la voz de la otra persona. ¿Después de cuanto tiempo , en función
de s se produce esto?

DICIEMBRE 2010

Actividad de Evaluación (Álgebra 1° Medio)


Realizar composiciones de funciones y establecer algunas propiedades algebraicas de esta
operación.


• Demuestran que la composición de funciones cumple la propiedad de clausura.
• Dadas algunas funciones realizan composiciones de ellas y determinan el dominio y recorrido de la
función resultante
• Discuten acerca de la conmutatividad de la composición de funciones. Analizan el caso en que las
funciones son transformaciones isométricas.
• Verifican que la composición de funciones es asociativa.
• Verifican que la función identidad en un conjunto opera como elemento neutro para la composición de
funciones.

Instrucciones.

A continuación se presentan tres funciones definidas en los racionales. Responda las preguntas
referidas a la composición de estas funciones.

Criterios de Evaluación.
Situación
1. Determina el valor de la
Considere las funciones f, g y h definidas en el conjunto de los
composición de dos funciones
números racionales, definidas por f(x) = x2, g(x) = x – 3 y h(x) =
en un elemento del dominio.
2x + 1; para todo x racional.

Preguntas 2. Verifica propiedades de la
composición de funciones.
a) ¿Cuál es el valor de (f ο g)(2) ?
3. Demuestra que la
b) ¿Indique el dominio de la función g ο f? composición de funciones no
es conmutativa.
c) Verifique que f ο g ≠ g ο f

d) Defina una función j(x) en los números racionales, tal que 4. Identifica a la función
(j ο f)(x) = f(x) y (f ο j)(x) = f(x) identidad como elemento
neutro de la composición de
e) Verifique la siguiente propiedad de la composición de funciones: (f ο funciones.
g) ο h = f ο (g ο h)

DICIEMBRE 2010

SEMESTRE 2

DICIEMBRE 2010

UNIDAD 3
Geometría


Esta unidad ofrece a los estudiantes la posibilidad de trabajar la geometría en el plano cartesiano, donde
estudian las transformaciones isométricas y la congruencia de figuras, de esta manera se les presenta la
oportunidad de obtener resultados geométricos y de profundizar los ya adquiridos relativos a estas
transformaciones en octavo año de manera analítica.
Específicamente, los estudiantes trabajan los elementos básicos del plano cartesiano, transforman figuras
del plano a través de la aplicación de traslaciones, rotaciones y reflexiones, desarrollan el concepto de
congruencia a partir del concepto de transformación isométrica, establecen los criterios de congruencia en
triángulos, y los utilizan en la resolución de problemas y en el establecimiento de propiedades en polígonos.

Conceptos claves

Plano cartesiano – vector – traslación reflexión y rotación en el plano cartesiano – congruencia y criterios de
congruencia.

Prerrequisitos

• Transformaciones isométricas en el Plano Euclídeo.
• La recta numérica.
• Ángulos y lados en polígonos.
• Composición de funciones.


• Caracterización del plano cartesiano.
• Ubicación de puntos y figuras en el plano cartesiano e identificación de las coordenadas de los vértices
de polígonos dibujados en él.
• Vectores en el plano cartesiano.
• Aplicación de transformaciones isométricas y composiciones de ellas en el plano cartesiano.
• Concepto de congruencia.
• Criterios de congruencia en triángulos.
• Aplicaciones de los criterios de congruencia.

Habilidades

• Caracterizar el plano cartesiano.
• Realizar transformaciones isométricas en el plano cartesiano.
• Caracterizar la congruencia de figuras a partir de las transformaciones isométricas.
• Utilizar el concepto de congruencia en la resolución de problemas.

Actitudes

• Actitudes de perseverancia, rigor, flexibilidad y originalidad al resolver problemas matemáticos.

• Trabajo en equipo e iniciativa personal en la resolución de problemas en contextos diversos

DICIEMBRE 2010


capaces de:
1. Identificar y representar puntos y • Identifican puntos y coordenadas de vértices de polígonos y de
coordenadas de figuras elementos de la circunferencia en el plano cartesiano.
geométricas en el plano • Dibujan puntos, polígonos y circunferencias en el plano cartesiano
cartesiano, manualmente o en forma manual o usando un procesador geométrico.
usando un procesador geométrico.

2. Representar en el plano, • Representan gráficamente vectores en el plano cartesiano, dadas
adiciones, sustracciones de sus componentes.
vectores y multiplicaciones de un • Identifican vectores y encuentran las componentes resultantes de
vector por un escalar. adiciones y sustracciones entre ellos.
• Encuentran las componentes de vectores que resultan de la
multiplicación de vectores por escalar.

3. Aplicar composiciones de • Efectúan composiciones de transformaciones isométricas en el plano
funciones para realizar cartesiano.
transformaciones isométricas en • Reconocen las figuras resultantes al aplicar composiciones de
el plano cartesiano. transformaciones isométricas a figuras en el plano cartesiano.

4. Identificar regularidades en la • Identifican regularidades al aplicar composiciones de reflexiones a
aplicación de transformaciones figuras en el plano cartesiano.
isométricas a figuras en el plano • Identifican regularidades al aplicar sucesivas composiciones de
cartesiano. traslaciones a figuras del plano cartesiano.

5. Formular y verificar conjeturas • Conjeturan acerca de la aplicación de composiciones de
acerca de la aplicación de transformaciones isométricas a figuras del plano cartesiano.
transformaciones isométricas a • Conjeturan acerca de la conmutatividad de transformaciones
figuras geométricas en el plano isométricas y verifican las conjeturas formuladas en casos
cartesiano. particulares.
• Verifican, en casos particulares, conjeturas formuladas acerca de la
aplicación de sucesivas traslaciones a figuras en el plano cartesiano,
en forma manual o usando un procesador geométrico.

• Reconocen que dos figuras son congruentes cuando existen
6. Establecer el concepto de transformaciones isométricas que aplicadas en una de ellas permite
congruencia a partir de las obtener la otra figura.
transformaciones isométricas. • Identifican las transformaciones isométricas que transforman una
figura en otra que es congruente a ella.

DICIEMBRE 2010

• Conjeturan acerca del criterio lado-ángulo-lado.
7. Formular y verificar conjeturas • Conjeturan acerca de criterios de congruencia en triángulos y dan
acerca de criterios de congruencia ideas geométricas para verificar esas conjeturas.
en triángulos. • Calculan trazos en triángulos aplicando criterios de congruencia
verificados. Por ejemplo, utilizan el criterio lado- lado- lado para
calcular segmentos en triángulos.

8. Resolver problemas relativos a • Resuelven problemas relativos a la congruencia en triángulos
cálculos de vértices y lados de figuras utilizando los criterios establecidos.
geométricas del plano cartesiano y a • Demuestran propiedades de congruencia en polígonos utilizando los
la congruencia de triángulos. criterios de congruencia en triángulos.
• Resuelven problemas relativos a cálculos de medidas de segmentos
en el plano cartesiano.
• Resuelven problemas relativos coordenadas de vértices de figuras en
el plano cartesiano.

Aprendizajes esperados en relación a los OFT

Actitudes de perseverancia, rigor, flexibilidad y originalidad al resolver problemas
matemáticos.

• Mostrar un método para realizar las tareas propuestas.
• Terminar los trabajos iniciados.
• Desarrollar tenacidad frente a obstáculos o dudas que se les presenten en problemas propuestos
sobre transformaciones isométricas y congruencias.

Trabajo en equipo e iniciativa personal en la resolución de problemas en contextos diversos

• Participar de manera propositiva en actividades grupales.
• Es responsable en la tarea asignada.
• Tomar iniciativa en actividades de carácter grupal.
• Proponer alternativas de solución a problemas propuestos en actividades grupales.

Observaciones al docente. 1° Medio. Geometría (3)

Tal como lo sugieren los aprendizajes esperados, la unidad de Geometría es una buena oportunidad para promover
los Objetivos Fundamentales Transversales. A través del trabajo propuesto, se puede incentivar aspectos como el
rigor, la flexibilidad y la originalidad al resolver problemas. Por otro lado, interesa que los estudiantes sean ordenados
y metódicos en el registro de la información. Además, particularmente en esta unidad cobra relevancia el que los
estudiantes tomen la iniciativa en el trabajo de equipo, así como también el que propongan alternativas de solución a
problemas propuestos.

Se sugiere al docente enfatizar la importancia que tiene trabajar la geometría en el plano cartesiano, ya que este es
un nuevo escenario que permite ver los conceptos geométricos desde una perspectiva analítica. Es importante que el

DICIEMBRE 2010

docente caracterice este plano y que mencione las diferencias que tiene con el plano euclidiano, y que las explicite a
través de ejemplos. Esto cobra sentido, por ejemplo, considerando que en 8° básico también se trabajan las
transformaciones isométricas, pero realizando construcciones con regla y compás. Esta vez el protagonista es el plano
cartesiano. Por ello se sugiere al docente incorporar actividades que permitan a los estudiantes relacionarse con las
coordenadas, por ejemplo, representando puntos, polígonos y circunferencias, así como también la resolución de
problemas que involucren el cálculo de medidas de lados de polígonos.

Respecto del trabajo con las transformaciones isométricas, el énfasis está puesto en el formular y verificar conjeturas
respecto al resultado de aplicar traslaciones, reflexiones o rotaciones a figuras en el plano cartesiano. Primero en
casos particulares, y luego generalizando algunas propiedades, por ejemplo, relacionadas con los vértices de las
figuras resultantes respecto de la figura original. Por otra parte, respecto a la composición de transformaciones
isométricas, se sugiere establecer una relación estrecha con lo estudiado en la unidad de álgebra. Esta es una buena
oportunidad para que los estudiantes contextualicen el estudio de la composición de funciones. Por último, se sugiere
potenciar todo el trabajo con el uso de un procesador geométrico.

Es importante que los estudiantes vinculen las transformaciones isométricas con el concepto de congruencia,
definiendo dos figuras como congruentes cuando es posible aplicar una o más transformaciones isométricas a una de
esas figuras para luego obtener la otra. También se sugiere al docente que muestre a sus estudiantes que para
trasladar, rotar o reflejar una figura basta con aplicar estas transformaciones isométricas a determinados puntos de la
figura, en el caso de los polígonos, basta aplicar esas transformaciones a los vértices. Se sugiere, además,
profundizar en el concepto de las teselaciones y su análisis a partir de las transformaciones isométricas.

Finalmente, los criterios de congruencias deben ser establecidos en la clase con la participación del profesor y los
estudiantes, y que no sean dados por el docente como un conocimiento que debe ser memorizado. Estos criterios son
relevantes para todo lo que signifique la demostración de propiedades de congruencia en polígonos. Es importante
para este nivel, que los estudiantes sean motivados para profundizar en el aspecto de la demostración matemática.


AE 1: Identificar y representar puntos y coordenadas de figuras geométricas en el plano cartesiano,
manualmente o usando un procesador geométrico.

Actividades

1.- Determinan las coordenadas de puntos en el plano cartesiano.

2.- Dadas las coordenadas de algunos puntos, los estudiantes los ubican en el plano cartesiano.

3.- Dibujan polígonos en el plano cartesiano conocidos las coordenadas de sus vértices.

4.- Dibujan en el plano cartesiano una circunferencia conocidos las coordenadas del centro y la medida de su
radio.

5.- Dadas las coordenadas de tres puntos que pertenecen a una circunferencia, la dibujan en el plano cartesiano.

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AE 3: Representar en el plano, adiciones, sustracciones de vectores y multiplicaciones de un vector por
un escalar.

Actividades:

1.- Dibujan diferentes vectores en el plano cartesiano, dadas sus coordenadas. Por ejemplo:
r r
• u = (3, 2) y v = (−3,1)
r
• a = (5,1) en un sistema de coordenadas rectangulares con origen en (2,3).

2.- Determinan y dibujan el vector resultante de la suma de vectores. Por ejemplo:

r r
- Obtienen el vector resultante de la suma u+v cuando u = (2,−1) y v = (−4, 5) y lo dibujan en el
plano cartesiano.

- Determinan la relación que existe entre vectores dibujados en el plano cartesiano. Por ejemplo, de los

vectores u , v, w del gráfico siguiente:

3.- Determinan y dibujan el vector resultante del producto entre un vector y un escalar. Por ejemplo:

• 2u , donde 3u = (−1,4)
• −u +u
• − 3u + 2v , cuando se sabe que − u + v = (2,5)
4.- Determinan el vector que representa la fuerza resultante de fuerzas aplicadas sobre un objeto.

Se sugiere al docente trabajar estas actividades con el docente de física. De esta manera los estudiantes pueden
conocer herramientas que les permitirán entender conceptos de la física en este nivel o en niveles superiores.

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AE 4: Identificar regularidades en la aplicación de transformaciones isométricas a figuras en el plano
cartesiano.

Actividades

1.- Identifican regularidades al aplicar sucesivas traslaciones a figuras en el plano cartesiano. Por ejemplo, al

aplicar la composición de traslaciones Tu o Tu o Tu o Tu o ...... o Tu , donde u = (2,4) , al paralelogramo de

vértices (1,1), (5,1), (7,4), (3,4) .
2.- Identifican regularidades al rotar respecto al origen y en un ángulo de 30º sucesivas veces una figura ene este
plano.

3.- Identifican regularidades al reflejar respecto al eje L sucesivas veces la configuración formada por dos
octógonos regulares y un cuadrado: 8 8 4

L

AE5: Formular y verificar conjeturas acerca de la aplicación de transformaciones isométricas a figuras
geométricas en el plano cartesiano.

Actividades

1.- Observan figuras que están rotadas y conjeturan acerca de:

• Procedimientos para determinar el ángulo de rotación.
• Procedimientos para determinar el punto respecto al cuál se rotó la figura.

2.- Conjeturan acerca de la transformación isométrica que corresponde a la composición de reflexiones, cuando:

• Los dos ejes de simetría son paralelos.
• Los ejes de simetría se intersectan en un punto O formando un ángulo α.
Es importante que los estudiantes realicen las actividades anteriores:
a) En forma manual, utilizando regla y compás.
b) Utilizando un procesador geométrico.

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2.- Verifican las conjeturas formuladas en las actividades 1) y 2).

3.- Conjeturan acerca de la relación entre la composición de traslaciones y la operatoria vectorial asociada.

AE 6: Establecer el concepto de congruencia a partir de las transformaciones isométricas.

Actividades

1.- Dibujan una figura en el plano cartesiano y aplican sobre ella una transformación isométrica. Por ejemplo, al
triángulo de vértices A(2,1), B(5,2), C(4,5) aplican la traslación T(1,3) y obtienen el triángulo A' , B' , C' .
Comparan las medidas de los lados de los triángulos A, B, C y A' , B' , C' y sacan conclusiones respecto a la
forma, al tamaño de sus lados y al área de ellos. De esta manera, concluyen que son congruentes.

2.- Observan dos figuras congruentes y determinan las transformaciones isométricas o composiciones de
transformaciones isométricas que lleven una figura en la otra.

Se sugiere al docente guiar al estudiante en la segunda actividad. Esta es una actividad que requiere de
concentración y de capacidad de visualización científica por parte del estudiante.

3.- Elaboran una definición del concepto de congruencia de figuras del plano en términos de las transformaciones
isométricas.

AE 7: Formular y verificar conjeturas acerca de criterios de congruencia en triángulos.

Actividades

1.- Formulan conjeturas acerca de criterios de congruencia en triángulos respecto a:
• Lados
• Lados y ángulos

2.- Describen una idea geométrica de la demostración de las conjeturas acerca de los criterios formulados.

AE 8: Resolver problemas relativos a cálculos de vértices y lados de figuras geométricas del plano
cartesiano y a la congruencia de triángulos.

Actividades

1.- Determinan las coordenadas de los vértices de rectángulos, cuadrados, rombos, triángulos rectángulos y
triángulos equiláteros a partir de información acerca de vértices de esos polígonos. Por ejemplo, determinan las
coordenadas del cuarto vértice de un rectángulo, si se sabe que las coordenadas de tres de sus vértices son (1, 1),
(1, 6) y (8,1).

Se sugiere al docente facilitar el trabajo de sus estudiantes, proponiendo polígonos convexos que tengan vértices de
coordenadas enteras, de esta manera se centra el trabajo en el proceso geométrico que involucra la determinación de las
coordenadas y no en el cálculo numérico que implica coordenadas de lados racionales e irracionales.
Se sugiere también al docente trabajar con coordenadas que sean enteras negativas o mezclas entre enteros positivos y
negativos.

2.- Calculan perímetros y áreas de rectángulos cuyos lados son paralelos a los ejes coordenados utilizando
información relativa a sus vértices.

3.- Determinan los pasos para resolver el siguiente problema: Calcular el área de un rectángulo si se sabe que los
puntos (1,2) y (7,6) son los extremos de su diagonal y que sus lados son paralelos a la abscisa y ordenada.

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4.- Elaboran estrategias para calcular perímetros y áreas de paralelogramos, donde un par de lados paralelos sean,
a su vez, paralelos a uno de los ejes coordenados, y para calcular perímetros y áreas de triángulos, cuando uno de
sus lados es paralelos a uno de los ejes coordenados, utilizando información relativa a sus vértices y el teorema de
Pitágoras. Calculan los perímetros y las áreas de esas figuras.

5.- Utilizar los criterios de congruencia en triángulos para demostrar, por ejemplo, que las diagonales de un
paralelogramo se dimidian, que todo punto de la simetral de un trazo equidista de sus extremos, etc.

Observaciones al docente: Es importante que el estudiante en cada demostración indique el criterio de congruencia
empleado, la hipótesis y la tesis. Se sugiere que el docente enseñe explícitamente los pasos de una demostración y enfatiza en
la justificación formal y matemática de cada paso de la secuencia demostrativa.

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Actividad de Evaluación (Geometría 1° Medio)


Resolver problemas relativos a cálculos de vértices y lados de figuras geométricas del plano cartesiano
y a la congruencia de triángulos.


• Resuelven problemas relativos a la congruencia en triángulos utilizando los criterios establecidos.
• Demuestran propiedades de congruencia en polígonos utilizando los criterios de congruencia en triángulos.
• Resuelven problemas relativos a cálculos de medidas de segmentos en el plano cartesiano.
• Resuelven problemas relativos coordenadas de vértices de figuras en el plano cartesiano.

Instrucciones.

A continuación se presentan dos triángulos. Responder las interrogantes referidas a las condiciones
para que se cumpla la congruencia entre ellas.

Criterios de evaluación
Dados los triángulos ABC y A’B’C’ de la figura:
1. Reconocen que los triángulos son
congruentes por aplicación de
transformaciones.

2. Conjeturan acerca de criterios de
congruencia.

3. Verifican propiedades de la
congruencia de triángulos.

4. Resuelven problemas relativos a la
congruencia de triángulos.
a) Se afirma que los triángulos son congruentes.

¿Qué transformaciones isométricas aplicarías al triángulo ABC para
verificar (o descartar) la afirmación? Fundamentar.

b) Se sabe que los trazos AB y A’B’ son congruentes y que la medida de los
ángulos de los vértices en A y en A’ son iguales.

¿Qué condición, mínima, agregarías para asegurar la congruencia de los
triángulos? Justificar.

c) Se sabe que los triángulos ABC y A’B’C’ tienen la medida sus ángulos
interiores respectivamente iguales, esto es A = A’, B= B’ y C =
C’.

¿Podemos concluir que los triángulos son congruentes?

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UNIDAD 4
Datos y Azar


En el ámbito del tratamiento de datos, los estudiantes comienzan el estudio de representaciones gráficas para datos
agrupados en intervalos tales como histogramas y polígonos de frecuencia. El propósito es que al finalizar la unidad, los
estudiantes sean capaces tanto de interpretar, como de producir información a través de estos gráficos, en diversos
contextos. El énfasis estará puesto en el análisis de diferentes situaciones donde deban tomar decisiones respecto de
cuándo es pertinente utilizar histogramas o polígonos de frecuencia. Asimismo, se espera que los estudiantes interpreten y
produzcan información, en diversos contextos, utilizando tanto medidas de tendencia central como medidas de posición,
considerando el tipo de datos involucrados. Respecto a los conceptos de población y muestra, se espera que los estudiantes
reconozcan relaciones entre la media aritmética de una población finita y la media aritmética de las medias muestrales,
cuando se extraen muestras de igual tamaño desde la misma población.

En cuanto al ámbito del manejo del azar, en esta unidad continúa el trabajo con la probabilidad desde un punto de vista
teórico (modelo de Laplace) y desde lo experimental (frecuencias relativas), solo que ahora los estudiantes deben decidir
cuándo es posible aplicar un modelo u otro, dependiendo de las condiciones particulares de cada situación o experimento
aleatorio. Además, se incorporan las técnicas combinatorias, que se constituyen como verdaderas herramientas para ayudar
en el conteo de los elementos de un espacio muestral. Por ejemplo, dado un conjunto de 4 elementos diferentes {a, b, c y
d} es interesante plantear a los estudiantes que establezcan la diferencia entre determinar el número de subconjuntos de
dos o más elementos en los casos:

Conceptos claves

Gráficos de datos agrupados en intervalos tales como histogramas y polígonos de frecuencia.

Prerrequisitos

• Población y muestra.
• Experimento aleatorio.
• Gráficos de frecuencia.
• Tablas de frecuencia con datos agrupados en intervalos.
• Media aritmética y moda para datos agrupados en intervalos.
• Muestreo aleatorio simple.
• Equiprobabilidad de eventos.
• Principio multiplicativo.
• Espacio muestral asociado a un experimento aleatorio.
• Probabilidad Teórica de un evento.
• Modelo de Laplace.
• Condiciones del modelo de Laplace: finitud del espacio muestral y equiprobabilidad.


• Histogramas, polígonos de frecuencia y de frecuencias acumuladas, considerando la interpretación de medidas de
tendencia central y posición.
• Medidas de tendencia central (media, moda y mediana) y medidas de posición (percentiles y cuartales) de datos
• Técnicas combinatorias para resolver diversos problemas que involucren el cálculo de probabilidades.
• Muestras de un tamaño dado, en las que se pueden extraer desde una población de tamaño finito, con y sin reemplazo.
• Formulación y verificación de conjeturas, en casos particulares, acerca de la relación que existe entre la media
aritmética de una población de tamaño finito y la media aritmética de las medias de muestras de igual tamaño extraídas
de dicha población, con y sin reemplazo.
• Resolución de problemas en contextos de incerteza, aplicando el cálculo de probabilidades mediante el modelo de
Laplace o frecuencias relativas, dependiendo de las condiciones del problema.

Habilidades

• Obtener información a partir del análisis de los datos presentados en histogramas, polígonos de frecuencia y de
frecuencias acumuladas, considerando la interpretación de medidas de tendencia central y posición.
• Organizar y representar datos usando histogramas, polígonos de frecuencia y frecuencias acumuladas, construidos
manualmente y con herramientas tecnológicas.

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• Analizar una muestra de datos agrupados en intervalos, mediante el cálculo de medidas de tendencia central (media,
moda y mediana) y medidas de posición (percentiles y cuartiles), en diversos contextos y situaciones.
• Resolver diversos problemas que involucren técnicas combinatorias para el cálculo de probabilidades.
• Utilizar y establecer estrategias para determinar el número de muestras de un tamaño dado, que se pueden extraer
desde una población de tamaño finito, con y sin reemplazo.
• Formular y verificar conjeturas, en casos particulares, acerca de la relación que existe entre la media aritmética de una
población de tamaño finito y la media aritmética de las medias de muestras de igual tamaño extraídas de dicha
población, con y sin reemplazo.
• Resolver problemas en contextos de incerteza, aplicando el cálculo de probabilidades mediante el modelo de Laplace o
frecuencias relativas, dependiendo de las condiciones del problema.

Actitudes

• Interés por conocer la realidad al trabajar con información cuantitativa de diversos contextos.

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Se espera que los estudiantes sean capaces de: Cuando los estudiantes han logrado este aprendizaje:

1. Obtener información a partir del análisis • Explican la pertinencia y ventajas de representar un
de datos presentados en gráficos, conjunto de datos, a través de un histograma o polígono
considerando la interpretación de medidas de frecuencia, respecto a otras representaciones gráficas.
de tendencia central. • Obtienen información mediante el análisis de datos
presentados en histogramas y polígonos de frecuencia.
• Interpretan datos agrupados en intervalos y organizados
en tablas de frecuencia, en diversos contextos.
• Calculan la media, moda y mediana, a partir de una tabla
de frecuencia con datos agrupados en intervalos, y las
interpretan de acuerdo al contexto.
• Comparan dos o más conjuntos de datos usando medidas
de tendencia central.
2. Producir información, en contextos • Determinan un número adecuado de intervalos para
diversos, a través de gráficos obtenidos organizar (agrupar) un conjunto de datos, acorde a la
desde tablas de frecuencia con datos cantidad de datos disponibles.
agrupados en intervalos, manualmente o • Construyen tablas de frecuencias con datos agrupados,
mediante herramientas tecnológicas. donde seleccionen el tipo de frecuencia según el análisis
que se requiera hacer.
• Representan un conjunto de datos agrupados en intervalos
mediante un histograma e interpretan la información
acorde al contexto.
• Construyen, a partir de un histograma, el polígono de
frecuencia asociado y justifican la utilización de dicha
representación gráfica.
• Construir un histograma o polígono de frecuencia,
utilizando una herramienta tecnológica.

3. Obtener la cardinalidad de espacios • Determinan la cardinalidad de un espacio muestral
muestrales y eventos, en experimentos utilizando el principio multiplicativo en diversos
aleatorios finitos, usando más de una experimentos aleatorios. Por ejemplo, al lanzar un dado y
estrategia. una moneda, el espacio muestral tiene 6 · 2 = 12
resultados posibles.
• Obtienen el número de muestras aleatorias posibles de un
tamaño dado que se pueden extraer, sin reposición, desde
una población de tamaño finito, aplicando el número
combinatorio.
• Seleccionan la técnica combinatoria apropiada para
resolver problemas que involucren el cálculo de
probabilidades, acorde a los requerimientos de cada
problema.
4. Calcular la media aritmética de las medias • Establecen estrategias para determinar el número de
de muestras de igual tamaño, extraídas muestras de un tamaño dado, con o sin reemplazo, que se
desde una población. pueden extraer desde una población de tamaño finita.
• Calculan el promedio de cada una de las muestras de igual
tamaño extraídas desde una población.
• Calculan el promedio de todos los promedios de muestras
de igual tamaño extraídas desde una población.

5. Formular conjeturas y verificarlas en
casos particulares acerca de la relación • Realizan diferentes comparaciones entre la media de una
que existe entre la media aritmética de población con la media de cada uno de los promedios de
una población de tamaño finito y la media muestras de igual tamaño extraídas desde una población.
aritmética de las medias de muestras de • Conjeturan acerca de la relación que existe entre la media
igual tamaño, extraídas de dicha de una población y el promedio de cada uno de los

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población. promedios de muestras de igual tamaño extraídas desde
una población.
• Verifican, utilizando herramientas tecnológicas, la
conjetura formulada.
6. Interpretar información, en diversos • Interpretan información estadística, expresada en términos
contextos, mediante el uso de medidas de de cuartiles o quintiles publicada en medios de
posición y de tendencia central, aplicando comunicación.
criterios referidos al tipo de datos que se • Evalúan la pertinencia del uso de medidas de posición o
están utilizando. tendencia central de acuerdo al tipo de datos involucrados.
• Extraen información respecto de medidas de posición, a
partir de un polígono de frecuencias acumuladas.
• Comparan información respecto a dos o más conjuntos de
datos, utilizando medidas de tendencia central y de
posición y comunican sus conclusiones.
• Extraen información en relación a una situación o
fenómeno, en la que se presentan datos por medio de
alguna de las medidas de tendencia central.

7. Producir información, en contextos • Comunican información estadística acerca de algún
diversos, mediante el uso de medidas de fenómeno utilizando medidas de posición, por ejemplo,
posición y de tendencia central, aplicando cuartiles.
criterios referidos al tipo de datos que se • Construyen un polígono de frecuencias acumuladas, en
están utilizando. forma manual o mediante herramientas tecnológicas, a
partir de un cierto contexto, e interpretan desde esta
representación algunas medidas de posición.
• Deciden según el tipo de datos (ordinales, nominales,
cuantitativos, etc.) los parámetros a utilizar para resumir
información estadística referida a algún fenómeno o
situación.
• Determinan medidas de tendencia central o posición
mediante una planilla electrónica u otra herramienta
tecnológica.

8. Utilizar el cálculo de medidas de tendencia • Determinan el valor de la media muestral de datos
central y de posición para analizar agrupados en intervalos.
muestras de datos agrupados en • Determinan la mediana de muestras de datos agrupados
intervalos. en intervalos.
• Determinan cuartiles y percentiles de muestras de datos
• Analizan muestras de datos agrupados en intervalos
mediante cuartiles.
• Utilizan la media para analizar muestras de datos

9. Resolver problemas referidos a cálculos • A partir de diferentes experimentos aleatorios, identifican
de probabilidades, aplicando el modelo de resultados equiprobables. Por ejemplo, una ruleta dividida
Laplace o frecuencias relativas, en sectores iguales.
dependiendo de las características del • Identifican experimentos aleatorios que permiten asignar
experimento aleatorio. probabilidades a sus eventos en forma teórica mediante el
modelo de Laplace.
• Identifican experimentos aleatorios que permiten asignar
probabilidades a sus eventos de acuerdo a las frecuencias
relativas.

• Asignan probabilidades de ocurrencia a eventos, mediante
el modelo de Laplace o las frecuencias relativas, de
acuerdo a las características del experimento aleatorio.

DICIEMBRE 2010

En relación a los OFT, esta unidad promueve

Interés por conocer la realidad al trabajar con información cuantitativa de diversos contextos.

• Propone temas de su interés para trabajar en clases.
• Aporta información complementaria sobre los temas abordados.
• Formula preguntas sobre los temas implicados en la información trabajada.
• Plantea opiniones al interpretar los datos.
• Argumenta y contraargumenta con base en los datos analizados.


Tal como lo sugieren los aprendizajes esperados, esta unidad se conecta naturalmente con los Objetivos
Fundamentales Transversales. A través del trabajo propuesto en Datos y Azar, se puede incentivar el interés
por conocer la realidad y la búsqueda de la información en diversas fuentes. Por otra parte, el terreno es
propicio para promover una actitud crítica frente a la información presente en los diferentes medios de
comunicación y el trabajo en equipo en la resolución de problemas que involucren el análisis de datos.
Aspectos deseables son también el formular preguntas, plantear opiniones y argumentar con base en los
datos analizados

Es importante trabajar en contextos de interés para los estudiantes, especialmente en el ámbito de la
estadística. Estos contextos pueden extraerse de diarios, revistas o Internet, de modo que los estudiantes
vean permanentemente que la estadística está en conexión con la vida cotidiana y es una herramienta para
interpretar y modelar la realidad a través de representaciones tales como tablas y gráficos. Se recomienda
motivar a los estudiantes a que discutan respecto a cuándo es más pertinente utilizar histogramas y cuándo
es pertinente usar polígonos de frecuencia, de modo que ellos desarrollen la capacidad de decidir respecto al
uso de este tipo de representaciones, en función del tipo de datos y el propósito de un estudio. Dado que
también deben trabajar las medidas de tendencia central (media, moda y mediana), es importante que los
estudiantes verifiquen las formas de obtener dichas medidas a partir de un conjunto de datos agrupados. Se
sugiere además incorporar a la discusión las medidas de posición, las cuales permiten obtener nueva
información y comparar conjuntos de datos. A partir de los cuartiles, esta es una buena ocasión para
mostrar la utilidad de los gráficos de “caja y bigotes”, los cuales permiten comparar conjuntos de datos.

Respecto a los contenidos de población y muestra, se recomienda plantear discusiones con los estudiantes
acerca de qué sucede al tomar distintas muestras de igual tamaño desde una misma población. Por ejemplo,
si se tiene el conjunto {1, 2, 3, 4, 5} y se toman muestras de tamaño 2, la idea sería comparar la media
aritmética del conjunto original que es igual a 3, con la media aritmética de las medias muestrales y
conjeturar acerca de la relación existente. Finalmente, concluir acerca de ¿qué sucede si se toman todas las
muestras de tamaño 2?

En la parte de probabilidades, se pone énfasis en la obtención de la “cardinalidad de espacios muestrales y
eventos, en experimentos aleatorios finitos, usando más de una estrategia y aplicarlo al cálculo de
probabilidades en diversas situaciones”. Esa es una oportunidad para incorporar las técnicas combinatorias
que principalmente potencian el conteo.

Por otra parte, se sugiere realizar situaciones experimentales en las que no sea posible aplicar el modelo de
Laplace. El propósito es que los estudiantes verifiquen las condiciones del experimento y establezcan que si
no es posible aplicar Laplace, entonces – por ejemplo – se puede realizar el experimento o simularlo y
verificar qué sucede con las frecuencias relativas. En otras palabras deben buscar regularidades en los
resultados al ejecutar los lanzamientos. Por ejemplo, utilizar un dado cargado (no está perfectamente
equilibrado) con el cual no se puede fijar a priori que cada cara tiene 1/6 de posibilidades de salir. En este
caso es necesario utilizar una tabla de frecuencias y registrar un número razonablemente elevado de
lanzamientos para ver dónde se estabilizan las frecuencias para cada cara del dado. Otros casos resultan al
analizar experimentos aleatorios donde se deja caer un vaso plástico (material liviano) o un “chinche”. Lo
primero es determinar cuáles son los eventos posibles al caer: hacia arriba, de costado o hacia abajo. Luego
la pregunta es ¿cuál es la probabilidad de ocurrencia para cada uno de los eventos? Al igual que el caso del
dado, aquí es necesario hacer el experimento.

DICIEMBRE 2010

Por último, se puede referenciar situaciones en las que el modelo de Laplace, por ejemplo, ha sido aplicado
erróneamente. Un ejemplo histórico es el clásico “error de D’Alembert” al trabajar con el experimento de
lanzar dos monedas.


AE1: Obtener información a partir del análisis de datos, en diversos contextos, presentados en gráficos
y tablas de frecuencia con datos agrupados en intervalos, considerando la interpretación de medidas de
tendencia central.

Actividades

1.- Obtienen información a partir de la lectura de histogramas y polígonos de frecuencia en diferentes contextos.
Por ejemplo, el siguiente histograma 5, representa las frecuencias relativas obtenidas de las estaturas de un grupo
aleatorio de 100 personas.
0,05

Clases
0,04 [120 - 130[

[130 - 140[

[140 - 150[
0,03
[150 - 160[
0,024
[160 - 170[
0,02 [170 - 180[
0,017
0,016
0,015
[180 - 190[
0,012
0,01 [190 - 200]
0,01

0,004
0,002

0
[120 - 130[ [130 - 140[ [140 - 150[ [150 - 160[ [160 - 170[ [170 - 180[ [180 - 190[ [190 - 200]


Notar que cada barra debe tener área igual a la frecuencia relativa del intervalo que forma su base. Por esta
razón se divide la frecuencia relativa de un intervalo por su longitud, y se usa este valor como la altura del
rectángulo que dibujamos en el gráfico.
Dado que cada rectángulo del histograma tiene área igual a la frecuencia relativa, y como la suma de todas
las frecuencias relativas es igual a 1, se tiene que el área total bajo el histograma es igual a 1, pues
corresponde a la suma de las áreas de los rectángulos. Puedes observar esto en el histograma anterior.
Cuando las longitudes de las clases (intervalos) sean iguales, como en el ejemplo anterior, es posible
construir el histograma considerando, como alto de barras, sólo las frecuencias relativas o absolutas de la
variable.

5
Tomado del texto del estudiante “El poder de la información y la toma de decisiones”. Unidad de Estadística 4°
Medio. Enlaces Matemática. Centro Comenius USACH.

DICIEMBRE 2010

Responden preguntas del tipo:

Aproximadamente, ¿dónde se encuentran la media y la moda del conjunto de datos?

2.- Extraen información y escriben conclusiones de información estadística entregada con distintos tipos de
gráficos. Por ejemplo:

Observan el gráfico6 que se presenta a continuación y responden:

- La cantidad de hombres mayores de 35 años va disminuyendo sistemáticamente. ¿Qué ocurre con la
cantidad de mujeres en ese rango de edad?
- El grupo de mayores de 80 años, ¿por qué sexo está compuesto mayoritariamente?


Se sugiere que el docente genere más preguntas para incentivar la discusión entre los estudiantes con opiniones
basadas en la extracción correcta de información del gráfico. Se puede complementar el análisis pidiendo a los
estudiantes que justifiquen el uso de este tipo de gráfico para representar el conjunto de datos.

6
FUENTE: Chile Proyecciones y Estimación de población Censo 2002.
http://www.ine.cl/canales/menu/publicaciones/compendio_estadistico/pdf/2009/1_2_estadisticas_demograficas.pdf

DICIEMBRE 2010

3.- Extraen información y escriben conclusiones de información estadística entregada en tablas de frecuencia. Por
ejemplo:

La tabla que se muestra a continuación resume la estatura de 60 deportistas de un club.
Frecuencia
Punto Frecuencia
Intervalo Frecuencia Relativa
medio Relativa
Porcentual

[1,65 – 1,70[ 8

[1,70 – 1,75[ 12

[1,75 – 1,80[ 18

[1,80 – 1,85[ 14

[1,85 – 1,90[ 6

[1,90 – 1,95] 2

N=60

a) Completan la tabla de distribución de frecuencias con las columnas que aparecen.

b) Calculan las medidas de tendencia central (media, mediana y moda) de la muestra.

c) Interpretan el significado de cada una de las medidas de tendencia central acorde al contexto.

Observaciones al docente: Se sugiere que el docente genere más preguntas para justificar la construcción de
cada columna de la tabla, de modo que de cada una de ellas el estudiante pueda extraer información útil.

Se sugiere que los estudiantes en conjunto con el docente revisen y discutan procedimientos para obtener las
medidas de tendencia central para datos agrupados en intervalos. Es necesario considerar cuándo se está
realizando una aproximación del valor. Los estudiantes pueden verificar esto, por ejemplo, tomando un conjunto de
datos y determinar el promedio con todos ellos. Luego aplican alguna estrategia para trabajar con los datos
agrupados y obtienen el promedio de esta manera. Deben comparar ambos resultados.

AE2: Producir información, en contextos diversos, a través de gráficos y tablas de frecuencia con datos
agrupados en intervalos, manualmente o mediante herramientas tecnológicas.

Actividades

1.- Producen información relevante, a partir de un conjunto de datos en un cierto contexto. Por ejemplo:

A un grupo de 45 fumadores de distintas edades se les consultó por la cantidad de años que llevan fumando. El
resultado de la encuesta se da en la siguiente tabla:

1 41 38 22 43 29 19 16 1 35 29 2 29 46 20
31 2 20 25 22 25 31 3 19 15 42 38 30 16 18
28 18 3 27 23 28 6 12 32 36 7 28 10 50 28

2.- Construyen una tabla de distribución de frecuencias en intervalos para organizar la información, estableciendo
la cantidad de intervalos y su ancho más adecuado. Incluyen en la tabla el punto medio o marca de clase del
intervalo, las frecuencias, las frecuencias relativas y las frecuencias relativas porcentuales.

3.- Escogen y construyen un gráfico para presentar la información.

4.- Calculan las medidas de tendencia central de la muestra (media, mediana y moda).

DICIEMBRE 2010

5.- Ingresan los datos a una planilla electrónica y construyen un gráfico adecuado para verificar la respuesta
anterior.

6.- Responden a la pregunta: ¿cuál es la menor cantidad de años que lleva un fumador? ¿Y la mayor?

7.- Responden a la pregunta: ¿cuánto tiempo como mínimo lleva fumando la mayoría de los encuestados?

Observaciones al docente: La construcción de la tabla requiere el cálculo del rango de los datos y la
determinación del ancho de los intervalos que se formarán, valores que están sometidos a recomendaciones
prácticas para no perder exactitud de la información y no dificultar su tratamiento.

Se sugiere al docente enseñar explícitamente la utilización de un software que permita la manipulación de datos y
la construcción de gráficos.

AE 3:
Obtener la cardinalidad de espacios muestrales y eventos, en experimentos aleatorios finitos, usando
más de una estrategia.

Actividades

1.- Determinan las combinaciones posibles a partir de un conjunto finito de objetos. Por ejemplo, ante la siguiente
situación: María tiene en su closet 6 blusas de las cuales 2 son blancas, 3 son verdes y una es negra con lunares
blancos, 8 pantalones 4 negros dos café y dos azules, los estudiantes pueden responder preguntas del tipo:

¿De cuántas maneras posibles puede combinar las blusas con los pantalones?

¿Cuántas combinaciones posibles puede hacer de una blusa verde con un pantalón negro?

Si María se viste sacando al azar una blusa y un pantalón ¿cuál es la probabilidad que María vista una blusa
negra con lunares blancos y un pantalón negro?


Se debe estimular el uso de técnicas combinatorias, en particular el principio multiplicativo, como herramientas
para ayudar en el conteo de los elementos de un espacio muestral.

Finalmente, generar discusión en torno a las técnicas utilizadas para responder las preguntas.

2.- Utilizan diagramas de árbol para determinar el espacio muestral de diversos experimentos aleatorios. Por
ejemplo, el lanzamiento de dos dados, el lanzamiento de un dado y una moneda, el lanzamiento de tres monedas,
etc.

3.- Utilizan técnicas combinatorias apropiadas para determinar la cardinalidad de espacios muestrales de
experimentos aleatorios.

4.- Seleccionan la técnica combinatoria apropiada para resolver problemas que involucren el cálculo de
probabilidades, acorde a los requerimientos de cada problema. Por ejemplo, combinaciones.

AE 4:
Calcular la media aritmética de las medias de muestras de igual tamaño, extraídas desde
una población.

AE 5:
Formular conjeturas y verificarlas en casos particulares acerca de la relación que existe
entre la media aritmética de una población de tamaño finito y la media aritmética de las
medias de muestras de igual tamaño, extraídas de dicha población.

DICIEMBRE 2010

Actividades

1.- Extraen muestras al azar de igual tamaño de una población finita P. Por ejemplo, de una población que tiene
como elementos los números 2, 4, 5, 6, 7, 9:

a) Extraen 5 muestras al azar de tamaño 3.

b) Calculan la media de cada una de las muestras, con esto obtiene los números x1 , x 2 , x3 , x 4 , x 5
c) Calculan la media de los números x1 , x 2 , x3 , x 4 , x 5 y la denota X5
d) Calculan la media de la población y la compara con X4

2.- Extraen, de P, un número mayor de muestras de tamaño 3, por ejemplo 7 y repite el proceso anterior, es decir:

a) Calculan la media de cada una de las muestras, con esto obtiene los números x1 , x 2 , x3 , x 4 , x5 , x 6 , x7
c) Calculan la media la media de los números x1 , x 2 , x3 , x 4 , x5 , x 6 , x7 y la denota X7

d) Comparan la media de la población P con X7

3.- Realizan nuevamente el experimento anterior pero con mayor cantidad de muestras de tamaño 3 y calculan la
media de las medias y la comparan con la media de la población.

4.- Conjeturan acerca de la relación que existe entre la media de las medias de muestras de igual tamaño
extraídas desde una población y la media de ésta.

5.- Verifican la conjetura formulada en casos particulares.

Observaciones al docente Puede resultar útil proponer el uso de la calculadora para generar números aleatorios.
La idea es utilizar la función “aleatorio” para generar números al azar entre 0 y 1. También puede generar números
aleatorios entre 1 y 15, usando la misma función. Cabe mencionar que en esta experiencia también se podría
utilizar una planilla electrónica para generar dichos números.

Esta actividad es una oportunidad para observar la manera en que los estudiantes establecen métodos para generar
muestras aleatorias a partir de un conjunto mayor o población.

En la elección de muestras aleatorias podría ser útil usar “papelitos” con los números de las bolitas y extraer 5 de
ellos al azar. En este punto es importante destacar que cada bolita – dada las condiciones de la elección – tiene la
misma probabilidad de ser escogida que las demás. La comprensión de este hecho apunta a la importancia de la
elección de muestras aleatorias, en el sentido de que no haya un sesgo en el experimento.
Ahora bien, el uso de la calculadora o planilla electrónica permite el mismo resultado que la bolsa con papelitos. El
potencial en este caso es la simulación de números aleatorios entre dos valores dados.

AE 6:
Interpretar información, en contextos diversos, mediante el uso de medidas de posición y de tendencia
central, aplicando criterios referidos al tipo de datos que se están utilizando.

AE 7:
Producir información, en contextos diversos, mediante el uso de medidas de posición y de tendencia
central, aplicando criterios referidos al tipo de datos que se están utilizando.

DICIEMBRE 2010

Actividades

®1.- A partir de un gráfico o de una tabla de datos de su interés, extraen información relevante para el contexto.
Por ejemplo:

El siguiente gráfico muestra el gasto y el ingreso medio de los hogares de Santiago, según quintil.

http://www.ine.cl/canales/chile_estadistico/encuestas_presupuestos_familiares/2008/Presentacion%20EPF%20200
6-2007.pdf

• Interpretan el gráfico extrayendo información relevante basada en las medidas de posición (quintiles) y de
tendencia central (promedio) que se muestran (hacen una estimación de estas medidas).
• Conjeturan acerca del gasto-ingreso medio del percentil 80.
• Comparan los promedios de gasto e ingreso en los primeros cuatro quintiles.
• Estiman el valor de las medidas de tendencia central de la muestra.
• Discuten sobre los factores que influyen en los datos.

2.- Comparan dos o más conjuntos de datos usando medidas de tendencia central y de posición. Por ejemplo,
comparan usando diagramas de caja y bigotes. En el siguiente gráfico7 se muestra la valoración (puntaje) hacia las
opciones de TV abierta y TV pagada respecto de la programación infantil. Se evalúan 297 programas.

7
Fuente: CNTV Departamento de Estudios 2007.

DICIEMBRE 2010

Otros datos son:

Media Mediana
TV Abierta 5,14 5,08
TV Pagada 5,47 5,43

Responden a la pregunta ¿qué se puede concluir respecto a la valoración de la TV pagada versus la TV abierta?


Esta es una buena oportunidad para introducir los diagramas de caja y bigotes, los cuales permiten comparar
conjuntos de datos a partir de los valores: máximo, primer cuartil, segundo cuartil, tercer cuartil y mínimo.

3.- A partir de información gráfica expresada en polígonos de frecuencia acumulada, establecen relaciones
considerando medidas de posición tales como cuartiles, quintiles u otro percentil.

4.- Realizan un estudio estadístico de un tema de interés que incluya:

- Recopilación de información
- Síntesis de la información mediante el cálculo de las medidas de tendencia central y algunas medidas de
posición
- Representación gráfica de la información, seleccionando el gráfico más adecuado de acuerdo a la
clasificación de la variable en estudio
- Análisis de la información a través de una planilla electrónica que facilita los cálculos y permite verificar los
propios, además de contribuir en la exactitud de la representación gráfica.


Esta actividad puede constituirse como un proyecto de curso, en el cual los estudiantes se motiven a realizar un
estudio de interés que parte de una o varias preguntas que necesitan ser respondidas. La importancia de este
trabajo radica en el hecho de que puede integrar a más de un aprendizaje esperado.

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AE 8:Utilizar el cálculo de medidas de tendencia central y de posición para analizar muestras de datos

Actividades

1.- Calculan la media de muestras obtenidas de una población y que están agrupadas en intervalos, y utilizan este
cálculo para analizar la muestra. Por ejemplo, en un colegio se toman muestras de estudiantes de edades entre 10
y 11 años para analizar sus pesos. El docente entrega a los estudiantes información relativa a estas muestras en
intervalos y les pide que la analicen utilizando cálculos de la media de estos datos.

2. El docente pide ahora a sus estudiantes que utilicen cuartiles para analizar la información anterior y que
entreguen conclusiones al respecto.

AE 9: Resolver problemas referidos a cálculos de probabilidades, aplicando el modelo de Laplace o
frecuencias relativas, dependiendo de las características del experimento aleatorio.

Actividades

1.- Realizan una lista de experimentos aleatorios y destacan aquéllos que tienen resultados equiprobables.

2.- Discuten situaciones o anécdotas históricas respecto a la equiprobabilidad de sucesos y el modelo de Laplace:
Por ejemplo, acerca del error de D’Alembert respecto al lanzamiento de dos monedas idénticas.


Para mayor información respecto al error de D’Alembert, se puede ingresar a:

http://www2.scielo.org.ve/scielo.php?script=sci_arttext&pid=S1317-58152009000100004&lng=es&nrm=iso

3.- Realizan una lista de experimentos en los que “a priori” no pueden asegurar equiprobabilidad de los resultados.
Por ejemplo, lanzar dados cargados o no equilibrados, lanzar chinches o vasos plásticos. Justifican entonces por qué
no se puede aplicar el modelo de Laplace.

4.- Calculan probabilidades en experimentos de diversos contextos, escribiendo en su cuaderno la justificación del
modelo (frecuencias relativas o Laplace) utilizado en el cálculo. Por ejemplo:

En el juego de la ruleta, cierto jugador experto registró los resultados de 100.000 lanzamientos en un mes.
Obtuvo que la bolita cayó aproximadamente 49.500 veces en el color negro, aproximadamente 48.500
veces en el color rojo y, el resto de las ocasiones cayó en el cero (verde).

Si el jugador se dispone a apostar, ¿por qué color lo hará? Justifique su respuesta.

La ruleta tiene 36 números negros, 36 números rojos y 1 número verde. Sabiendo que los resultados son
equiprobables, ¿qué color jugaría usted?

¿Todos los colores tienen la misma probabilidad de ocurrencia?

Observaciones al docente Se sugiere al docente implementar el cálculo de probabilidades utilizando tanto el modelo de
frecuencias relativas como el modelo de Laplace.

DICIEMBRE 2010

Actividad de Evaluación

Aprendizajes Esperados:

• Obtener la cardinalidad de espacios muestrales y eventos, en experimentos aleatorios
finitos, usando más de una estrategia.

• Resolver problemas referidos a cálculos de probabilidades, aplicando el modelo de
Laplace o frecuencias relativas, dependiendo de las características del experimento
aleatorio.


• Determinan la cardinalidad de un espacio muestral utilizando el principio multiplicativo en diversos
experimentos aleatorios. Por ejemplo, al lanzar un dado y una moneda, el espacio muestral tiene 6 · 2
= 12 resultados posibles.
• Obtienen el número de muestras aleatorias posibles de un tamaño dado que se pueden extraer, sin
reposición, desde una población de tamaño finito, aplicando el número combinatorio.
• Seleccionan la técnica combinatoria apropiada para resolver problemas que involucren el cálculo de
probabilidades, acorde a los requerimientos de cada problema.
• Asignan probabilidades de ocurrencia a eventos, mediante el modelo de Laplace o las frecuencias
relativas, de acuerdo a las características del experimento aleatorio.

Instrucciones.

Responda a las siguientes preguntas de acuerdo a las situaciones propuestas.

1. Una caja contiene 6 fichas numeradas del 1 al 6. Se sacan al azar Criterios de evaluación
tres fichas de una vez. Luego se forman, con las tres fichas sacadas,
todos los números de tres cifras posibles. 1. Determinan cardinalidad
de un espacio muestral.
a) ¿Cuántos elementos tiene el espacio muestral?
2. Obtienen número de
b) ¿Cuál es la probabilidad que al sacar las tres fichas se pueda formar muestras posibles.
exactamente un número par?
3. Calculan la probabilidad de
c) ¿Cuál es la probabilidad que al sacar las tres fichas se pueda formar un evento utilizando técnicas
al menos un número impar? de combinatoria.

2. En un curso de 50 estudiantes, ¿cuántas muestras de 5 estudiantes
se pueden seleccionar al azar, sin que se repitan estudiantes en las
distintas muestras?

DICIEMBRE 2010

MATERIAL DE APOYO SUGERIDO

Referencias bibliográficas para el docente

• Objetivos Fundamentales y Contenidos Mínimos Obligatorios, Matemática. Ministerio de Educación de
Chile. Mayo 2009.
• Ministerio de Educación. Matemática. Programa de Estudio, Primer Año Medio.2004.
• Ministerio de Educación. Matemática. Programa de Estudio, Segundo Año Medio. 2004.
• Ministerio de Educación. Matemática. Guía didáctica para el profesor. Primer Año Medio. Reyes, C. y
Valenzuela, Marisol. Editorial Mc Graw Hill. 2006.
• Enseñar matemáticas. Alsina, Burgués, Fortuny, Giménez y Torra. Editorial Graó, Madrid. 1996.
• Ingeniería didáctica en educación matemática. Artigue, Michéle y otros. Grupo Editorial Iberoamericana,
México, 1ª edición. 1995.
• Números decimales. Centeno Jlia. Editorial Síntesis. Madrid. 1995.
• La matemática aplicada a la vida cotidiana. Corbalán Fernando. Editorial Graó, Barcelona, 1995.
• El aprendizaje de las Matemáticas. Dickson L., Brown M., y Gibson O. Editorial Labor S.A. Barcelona, 1991.
• Razonamiento Matemático. Rodriguez, José y otros. Internacional Thompson Editores, México, 1997, 1ª
edición.
• Números Enteros. Matemáticas: Cultura y Aprendizaje. Vargas-Machuca, Inmaculada; González, José
Luis y otros. Editorial Síntesis, Madrid. 1990
• 101 Actividades para implementar los Objetivos Fundamentales transversales. Winston H Elphick D.
Lom Ediciones, 2001.
• Fundamentos de matemática universitaria. Álgebra y Cálculo. Valenzuela, P. H. Editorial Pearson. 2006.
• Álgebra y Trigonometría. Séptima Edición. Sullivan, M. Pearson/ Prentice Hall. 2006.
• Álgebra Superior. Schaum. Tercera Edición. Spiegel M., Moyer R. E. Mc Graw Hill. 2006.
• Álgebra. Lehmann, Charles. Editorial Limusa. 2001.
• Álgebra, trigonometría y geometría. Smith, Stanley A. Prentice Hall.
• El poder de la generalización. Primero Medio. Material del Estudiante. Enlaces Matemática Aprender
Matemática Creando Soluciones. Moya, M.; Troncoso, M.; Yañez, M. 2008.
• Calculadoras: Introducción al Álgebra. Cedillo, Tenoch. Grupo Editorial Iberoamericana, México, 1997. 1ª
edición.
• Estética de las proporciones en la naturaleza y en las artes. Malila C. Ghyka. Editorial Poseidón, Buenos
Aires. 1968.
• El hombre que calculaba. Júlio César de Mello e Souza (Malba Tahan). Editorial Limusa S.A. De C.V., 2002.
• Construcciones Geométricas Mediante un Compás, A. N. Kostovsky, Editorial Mir, Moscú, 1984.
• Geometría elemental. Villanueva y otros. Ediciones Universidad Católica de Chile, Santiago 1993.
• Buscando un orden para el azar, Proyecto Enlaces Matemática. Araya S. Roberto y Matus Claudia.
Editado por Centro Comenius Universidad de Santiago de Chile. 2008. 2ª edición.
• Azar y probabilidad. Díaz J y otros. Editorial Síntesis, Madrid, 1987.
• Introducción a la Estadística. Portus Govinden L. Editorial Mc Graw Hill, 1998. 2ª Edición.
• Contenidos Básicos de Estadística y Probabilidad. Saavedra G. Eugenio. Editorial Universidad de Santiago,
colección ciencias. 2005.
• Educación Matemática y buenas prácticas. Nuria Planas y Ángel Alsina. Editorial Grao. Barcelona. 2005.
• Didáctica de la Matemática. Bruno D’Amore. Cooperativa Editorial Magisterio. Colombia. 2006.
• Enseñar Matemática Hoy. P. Sadovsky. Libros del Zorzal. Argentina 2005.
• Aprendizaje Cooperativo en Matemática. J.M. Serrano y otros. Universidad de Murcia. 1997.
• El Currículo de Matemática en los inicios del siglo XXI. J.M. Goñi (Coord.). Editorial Grao. Barcelona.
2000.
• Las Matemáticas en el entorno. Revista UNO. Editorial Grao. Barcelona. 1997
• Encuentros cercanos con la matemática. M.E. Duhalde, M.T González. Editorial AIQUE. Argentina. 2003.
• Un club de Matemática para la diversidad. Luz Callejo. Narcea. Madrid.1994.
• Heurística Geométrica. G. García Talavera Editorial Limusa. México. 1998.
• Las Matemáticas, perejil de todas las salsas. R. Berlanga, C. Bosch, J. Rivaud Fondo de Cultura
Económica. México. 2000.
• Matemática Educativa. C. Dolores, G. Martínez, R. Farfán, C. Carrillo, I. López y C. Navarro Edit. Díaz de
Santos. Madrid. 2007.
• Desarrollo del pensamiento Matemático. R. Cantoral, R. Farfán, F. Cordero, J. Alanis, R. Rodríguez, A.
garza 2003.
• “Una introducción a la didáctica de la matemática”, en Enseñanza de la Matemática, Artigue, M.,
Selección bibliográfica, traducción para el PTFD, MCyE 1994.

DICIEMBRE 2010

• Introducción a la didáctica de las ciencias y la matemática, Johsua S., Dupin J. (2005), Buenos Aires,
Colihue.
• La matemática: su contenido, métodos y significado. Tres volúmenes. Aleksandrov, A; Kolmogorov, A;
Laurentiev, M y otros. Alianza universidad. Madrid. 1976.
• Materiales para construir la geometría. Alsina Catalá, C., Burgués Flamerich, C., Fortuny Aymeny, J. M.
Editorial Síntesis. 1988.
• Invitación a la didáctica de la geometría. Alsina Catalá, C.; Fortuny Aymeni, J. M.; Burgués Flamerich, C.
Editorial Síntesis. Madrid.
• Simetría dinámica. Alsina Catalá, C. Y otros. Editorial Síntesis. 1990.
• Historia de la matemática. Argüelles Rodríguez, J. Editorial Akal. 1989.
• Hoja de Cálculo en la enseñanza de las matemáticas en Secundaria. Arias, Nafría, Domínguez, Santiso,
Díez, Garrán, Timón, Caravantes, Martínez, Villarino, Sáenz Y González. Ediciones de la Universidad Autónoma
de Madrid. 1992.
• Funciones y gráficas. Azcárate Giménez, C.; Deulofeu Piquet, J. Editorial Síntesis. 1990.
• Historia de las Matemáticas. Boyer, C.B. Alianza Universidad Textos. Madrid. 1987.
• Curso de Álgebra y Geometría. Burgos De, J. Alhambra Longman. Madrid. 1994.
• La matemática creación y descubrimiento. Cañón, C. Universidad Pontifica de Comillas. Madrid. 1993.
• Retorno a la Geometría. Colección "La Tortuga de Aquiles". Coxeter, H.S.M. y S.L. Greitzer. DLS-Euler
Editores. Madrid. 1994.
• El ingenio en las Matemáticas. Colección "La Tortuga de Aquiles". Honsberger, R. DLS-Euler Editores.
Madrid. 1994.

Páginas Web recomendadas:

• Ministerio de Educación de Chile
http://www.mineduc.cl
• Instrumentos Curriculares (Mapas de Progreso, Programas de estudio, etc)
http://www.curriculum-mineduc.cl/
• Instituto Nacional de Estadísticas
http://www.ine.cl
• Red Maestros de Maestros (MINEDUC)
http://www.rmm.cl
• Sitio Key Curriculum Press de textos de matemática
Geometría:
http://www.keypress.com/x19850.xml (Ver capítulos de lecciones en español)
Álgebra
http://www.keypress.com/x19578.xml (Ver capítulos de lecciones en español)
• Textos para el docente y el estudiante educación secundaria México:
http://www.reformasecundaria.sep.gob.mx/matematicas/recdidactico.html
http://telesecundaria.dgme.sep.gob.mx/mat_ed/mat_ed_01.php

Recursos digitales interactivos en la Web:

- Portal Educar Chile:
http://www.educarchile.cl/Portal.Base/Web/verContenido.aspx?ID=186119

- Enlaces:
http://www.catalogored.cl/recursos-educativos-digitales?nivel_educativo=50&subsector_basica=65

• Proyecto Descartes, España:
http://recursostic.educacion.es/descartes/web/
• Biblioteca Nacional de Manipuladores Virtuales, applets de la Universidad de UTAH:
http://nlvm.usu.edu/es/nav/vlibrary.html
• EDUTEKA, Portal Educativo, Colombia:
- http://www.eduteka.org/directorio, luego elegir la carpeta “Matemáticas” o bien desde el enlace directo:
- http://www.eduteka.org/directorio/index.php?t=sub_pages&cat=204
- Actividades sugeridas por temas: http://www.eduteka.org/MI/master/interactivate/

DICIEMBRE 2010

Referencias bibliográficas para el alumno

• Heurística Geométrica. G. García Talavera Editorial Limusa. México. 1998.
• Desarrollo del pensamiento Matemático. R. Cantoral, R. Farfán, F. Cordero, J. Alanis, R. Rodríguez, A.
garza 2003.
• Historia de la matemática. Argüelles Rodríguez, J. Editorial Akal. 1989.
• Hoja de Cálculo en la enseñanza de las matemáticas en Secundaria. Arias, Nafría, Domínguez, Santiso,
Díez, Garrán, Timón, Caravantes, Martínez, Villarino, Sáenz Y González. Ediciones de la Universidad Autónoma
de Madrid. 1992.
• Funciones y gráficas. Azcárate Giménez, C.; Deulofeu Piquet, J. Editorial Síntesis. 1990.
• Historia de las Matemáticas. Boyer, C.B. (1987). Alianza Universidad Textos. Madrid.
• Curso de Álgebra y Geometría. Burgos De, J. Alhambra Longman. Madrid. 1994.
• La matemática creación y descubrimiento. Cañón, C. Universidad Pontifica de Comillas. Madrid. 1993.
• Retorno a la Geometría. Colección "La Tortuga de Aquiles". Coxeter, H.S.M. y S.L. Greitzer. DLS-Euler
Editores. Madrid. 1994.
• El ingenio en las Matemáticas. Colección "La Tortuga de Aquiles". Honsberger, R. DLS-Euler Editores.
Madrid. 1994.
• El hombre que calculaba. Júlio César de Mello e Souza (Malba Tahan). Editorial Limusa S.A. De C.V., 2002.
• Buscando un orden para el azar. Proyecto Enlaces Matemática. Araya S. Roberto y Matus Claudia.
Editado por Centro Comenius, Universidad de Santiago de Chile. 2008. 2ª edición.
• Introducción a la Estadística. Portus Govinden L. Editorial Mc Graw Hill, 1998. 2ª Edición.
• El poder de la generalización. Primero Medio. Material del Estudiante. Enlaces Matemática
Aprender Matemática Creando Soluciones. Moya, M.; Troncoso, M.; Yañez, M. 2008.

Páginas Web sugeridas:

• Textos para el docente y el estudiante educación secundaria México:
http://www.reformasecundaria.sep.gob.mx/matematicas/recdidactico.html
http://telesecundaria.dgme.sep.gob.mx/mat_ed/mat_ed_01.php

Recursos digitales interactivos en la Web:

- Portal Educar Chile:
http://www.educarchile.cl/Portal.Base/Web/verContenido.aspx?ID=186119

- Enlaces:
http://www.catalogored.cl/recursos-educativos-digitales?nivel_educativo=50&subsector_basica=65

• Proyecto Descartes, España:
http://recursostic.educacion.es/descartes/web/aplicaciones.php

• Biblioteca Nacional de Manipuladores Virtuales, applets de la Universidad de UTAH:
- El enlace genérico es http://nlvm.usu.edu/es/nav, o bien puede escoger los enlaces directos:
- Números y operaciones:
http://nlvm.usu.edu/es/nav/category_g_4_t_1.html
- Álgebra:
- Geometría:
- Análisis de Datos y Probabilidad:

• EDUTEKA, Portal Educativo, Colombia:
- Actividades sugeridas: http://www.eduteka.org/MI/master/interactivate/
- El enlace genérico de las unidades temáticas es http://www.eduteka.org/directorio o bien puede escoger los
enlaces directos:

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- Números y operaciones:
http://www.eduteka.org/directorio/index.php?t=sub_pages&cat=362
- Geometría
- Probabilidad y Estadística
- Álgebra

Referencias bibliográficas CRA

Unidad 1
Baldor, Aurelio. Aritmética. México D.F., Publicaciones Cultural, 2002.
Gardner, Martin. Carnaval matemático. Madrid, Alianza Editorial, 1995, 1ª ed..

Unidad 2
Moreno, R.. Alhacén, el arquímides árabe. Madrid, Nivola Libros, 2007.
Rojano, T. ; Ursini, S.. Aprendiendo algebra con hojas electrónicas de cálculo. ,
Iberoamérica, 1997.

Unidad 3
Baldor, Aurelio. Geometría y trigonometría. México D.F., Publicaciones Cultural.
Filloy, E. ; Hitt, F.. Geometría analítica. , Iberoamérica, 1981

Unidades 1 y 2
Varios Autores. Aritmética y álgebra. Santiago de Chile, Santillana, .

Todas las Unidades
Argüelles, Juan. Matemática recreativa. México, Akal, 1994.
Argüelles, Juan. Historia de la matemática. , Akal, 1989.
Berlanga ; otros. Las matemáticas, perejil de todas las salsas. , Fondo de Cultura
Económica, 1999.
Corbalán, Fernando. La matemática aplicada a la vida cotidiana. Barcelona, Graó, 1995.
Galdós, L. Consultor matemático. Madrid, Cultural de Ediciones, 1995, 1ª ed.
Gardner, Martin. Los acertijos de Sam Loyd. España, Zugarto, 2007.
Gardner, Martin. Magia Inteligente. España, Zugarto, 1992, 1ª edición.
Gardner, Martin. Matemática para divertirse. España, Zugarto, 1994, 1ª ed.
Guedj, Denis. El imperio de las cifras y los números. Barcelona, Ediciones B, 1998.
Heber Nieto, José. Olimpiadas matemáticas: el arte de resolver problemas. , Los libros de
El Nacional, 2005.
Irizo, Constanza ; López, Jorge. De la prensa a las matemáticas. Barcelona, Octaedro,
1992.
Jiménez, Douglas. Matemáticos que cambiaron al mundo. , Los libros de El Nacional, 2006.
Kline, Morris. Matemáticas para los estudiantes de humanidades. México, Fondo de Cultura
Económica, 1992.
Mataix, Mariano. Esbozos biográficos y pasatiempos matemáticos. Barcelona, Marcombo,
1993, 1ª ed.
Nomdedeu, X. Mujeres, manzanas y matemáticas, entretejidas. Madrid, Nivola Libros,
2000.

DICIEMBRE 2010

Pérez-Ruiz Soberón, Mario. Pitágoras. El misterio de la voz interior. Una investigación de
arqueología filosófica. Barcelona, Océano, 2002.
Serrano, Esteban. ¡Ojalá no hubiera números!. Madrid, Nivola Libros, 2007.
Tahan, Malba. El hombre que calculaba. Buenos Aires, Pluma y Papel, 2006, 1ª ed.
Tahan, Malba. Matemática curiosa y divertida. Buenos Aires, Pluma y Papel, 2006.
VanCleave, Janice. Matemáticas para niños y jóvenes. México, Limusa , 1997.
Carreño, Ximena ; Cruz, Ximena. Algebra. Santiago de Chile, Arrayán Editores, 1997, 4ª
ed.

DICIEMBRE 2010

Anexo 1: Uso flexible de otros instrumentos curriculares
Existe un conjunto de instrumentos curriculares que los docentes pueden utilizar de manera conjunta y
complementaria con el programa de estudio. Estos pueden ser usados de manera flexible para apoyar el diseño e
implementación estrategias didácticas y para evaluar los aprendizajes.

Mapas de progreso8. Ofrecen un marco global para conocer cómo progresan los
aprendizajes clave a lo largo de la escolaridad 9. imagen
Orientan sobre mapas
Pueden ser usados, entre otras posibilidades, como un apoyo para abordar la diversidad de
la progresión
aprendizajes que se expresa al interior de un curso, ya que permiten:
típica de los - caracterizar los distintos niveles de aprendizaje en los que se encuentran los estudiantes
aprendizaje de un curso.
- reconocer de qué manera deben continuar progresando los aprendizajes de los grupos de
estudiantes que se encuentran en estos distintos niveles.

Apoyan el Textos escolares. Desarrollan los Objetivos Fundamentales y los Contenidos Mínimos
trabajo Imagen
Obligatorios para apoyar el trabajo de los alumnos en el aula y fuera de ella, y les entregan
didáctico en el explicaciones y actividades para favorecer su aprendizaje y su autoevaluación. texto
aula

Los docentes pueden enriquecer la implementación del currículum haciendo también uso de los recursos entregados
por el Mineduc a través de:

Los Centros de Recursos para el Aprendizaje (CRA) y los materiales impresos, audiovisuales, digitales y
concretos entregados a través de éstos.
El Programa Enlaces, y las herramientas tecnológicas que éste ha puesto a disposición de los
establecimientos.

8
En la página web del Ministerio de Educación se encuentra disponible el documento “Orientaciones para el uso de
los Mapas de Progreso del Aprendizaje” y otros materiales que buscan apoyar el trabajo con los mapas
(http://www.curriculum-mineduc.cl/ayuda/documentos/).
9
En una página describen en 7 niveles el crecimiento típico del aprendizaje de los estudiantes en un ámbito o eje del
sector a lo largo de los 12 años de escolaridad obligatoria. Cada uno de estos niveles presenta una expectativa de
aprendizaje correspondiente a dos años de escolaridad. Por ejemplo, el Nivel I corresponde al logro que se espera
para la mayoría de los niños y niñas al término de Segundo Básico; el nivel 2 corresponde al término de Cuarto
Básico, y así sucesivamente. El nivel 7 describe el aprendizaje de un alumno o alumna que al egresar de la
Educación Media es “sobresaliente”, es decir, va más allá de la expectativa para Cuarto Medio, que describe el nivel
6 en cada mapa

DICIEMBRE 2010

DICIEMBRE 2010

Anexo 2: Ejemplo de Calendarización Anual

Marz May Julio
o

M2 Presentación del curso. M3 gráficos de barras V1 Evaluación expresiones Mi14 Estimación de áreas de Mi1 Repaso de los temas
múltiples. algebraicas. superficies planas 0 vistos en geometría.

Mie Diagnóstico Mi 4 Escalas y variables. M5 Revisión de la evaluación. J 15 estrategias para estimar J Ejercicios adicionales
3 áreas y formas de 11 acerca de áreas.
rectángulos .
J4 Lectura de números de más J5 Construcción de gráficos Mi 6 Repaso de los temas V 16 Calculo de áreas de figuras V Repaso números
de 6 cifras. de línea tratados. planas. 12 naturales,
fraccionarios y
decimales.
V5 Escritura de números de más V6 Construcción de gráficos J7 Repaso de los temas M 13 Áreas de triángulos M Repaso
de 6 cifras. de barras múltiples tratados. rectángulos. 15

M8 Posición de los dígitos M Gráficos de líneas o barras V8 Prueba global. V 16 Ejercitación de áreas Mi Repaso
10 múltiples. rectángulos y triángulos 16
rectángulos.
Mie Números naturales. Mi gráficos de líneas o barras 11 a Revisión de la prueba M 20 Evaluación acerca de J Repaso
9 11 múltiples usando 24 global. cálculos de áreas en 17
herramientas tecnológicas. rectángulos y triángulos
rectángulos.
J 10 Números naturales. J 12 Variables en contexto. M 26 de fracciones propias, Mi21 Revisión de la evaluación. V Repaso acerca e
impropias y números 18 temas referentes a
mixtos. datos.
V 11 Estimar V 13 Predicción gráficos de Mi27 Lectura y escritura de J 22 Estrategias M Repaso acerca e
barras y de líneas del decimales positivos. Cálculo 15 temas referentes a
comportamiento de áreas en paralelogramos. datos.
variables.
M 15 Múltiplos. M Evaluación de la materia J 28 fracciones propias o V 23 Calculo áreas Mi Repaso datos.
17 tratada referente a datos. impropias y números paralelogramos,. 16
mixtos en magnitudes.
Mie MCM. V 18 Revisión de la evaluación. V 29 Fraccionamientos a nivel M Ejercitación acerca de áreas J Repaso
16 concreto y gráfico. 27 en paralelogramos. 17 probabilidades.

J 17 Divisores. M Descripción de situaciones Agos Ejemplos números Mi2 Ejercicios y revisión áreas V Repaso
19 de incerteza. to decimales. 8 en paralelogramos. 18 probabilidades.

V 18 MCD. V 20 Justificación de la M2 fracciones y decimales. J 29 estrategias calculo áreas de M Repaso
probabilidad de ocurrencia triángulos acutángulos. 22 probabilidades.

DICIEMBRE 2010

M 22 Determinar reglas de M Comparación y descripción Mi 3 Fracciones en números V 30 estrategias cálculo de las Mi Repaso álgebra.
divisibilidad. 24 de eventos decimales. áreas. 23

Mie factores, divisores y Mi2 Ejemplos probabilidad J4 decimales finitos Oct Revisión estrategias J Repaso álgebra.
23 múltiplos. Conjeturas 5 segura, posible, probable o positivos a fracciones. 24
imposible.
J 24 Verificar conjeturas J 26 Repaso a probabilidades. V5 Comparar fracciones M4 Ejercicios triángulos V Repaso álgebra.
positivas y decimales acutángulos. 25
positivos.
V 25 Diviidir Relación . V 27 Repaso probabilidades. M9 Orden de fracciones Mi5 Evaluación triángulos M Resolución de
positivas. acutángulos. 29 ejercicios prueba de
síntesis.
M 29 Evaluación M Trabajo a probabilidades. Mi Orden en los decimales J6 Revisión de la evaluación. Mi Ejercicios para la
31 Computador 10 positivos. 30 prueba de síntesis.

Mie Revisión de la evaluación Juni J 11 Resolución de problemas V7 triángulo obtusángulo. Dic
30 o fracciones y decimales.

J 31 Problemas de divisiones. Mi 1 Actividad grupal acerca de V 12 Estimación de cantidades M Trabajo áreas de triángulos J1 ejercicios para la
probabilidades de eventos. o medidas. 11 obtusángulos. prueba de síntesis.

Abril J2 M 16 Resolución de problemas Mi1 Trabajo calcular áreas de V2 Prueba de síntesis.
con estimaciones. 2 triángulos obtusángulos.

V1 Estimación resolución de un V3 Evaluación probabilidad. Mi números naturales, J 13 Revisión de las estrategias M6 Revisión prueba de
problema. 17 fracciones y decimales en formuladas. síntesis.
la recta numérica.
M5 Composición y M7 Revisión de la evaluación. J 18 fracciones equivalentes V 14 Justificación de resultados Mi
descomposición suma y resta en l problema. 7

Mie sumar y restar mentalmente Mi 8 Introducción al álgebra. V 19 Justificación de M Trabajo grupal áreas en J8 Feriado
6 resultados en función del 18 triángulos obtusángulos.
contexto del problema.
J7 Calculo mental de adiciones y J9 numéricos de expresiones M 23 Adición y sustracciones Mi1 Revisión del trabajo. V9
sustracciones múltiplos de algebraicas. de fracciones 9
100 mil millón y aplicación simplificando fracciones.
en la resolución de
problemas.
V8 Composición y V 10 Ejercitación algebraicas y Mi24 Adición y sustracción de J 20 Concepto de variación. M
descomposición aditiva de ejercicios propuestos. fracciones mediante 13
factores para multiplicar factorización prima.
números.
M 12 cálculo mental en que se M Revisión de los ejercicios J 25 Calculo de adiciones y V 21 Conjeturas . área de Mi
reemplaza un factor por un 14 propuestos. sustracciones con paralelogramos. al variar la 14
cuociente equivalente. decimales , propiedades medida de lados.

DICIEMBRE 2010

de la adición de números
naturales.

Mie Calculo mental Mi Identificación de V 26 Resolución de problemas M Formulación de conjeturas J
13 multiplicaciones y divisiones 15 propiedades en lenguaje adición y sustracción con 25 relativas variaciones del 15
múltiplos de 100 mil y de un simbólico. fracciones positivas. área de paralelogramos al
millón resolución de variar la medida de lados.
problemas.
J 14 Orden en números naturales J 16 Ejercitación acerca de las M30 Resolución de problemas Mi2 Trabajo verificación de V Cierre del año
de más de 6 cifras. propiedades identificadas. adición y sustracción con 6 conjeturas formuladas. 16
decimales positivos.
V 15 Calculo escrito de V 17 Control acerca de Mi31 Estimaciones de J 27 área de un rombo o
multiplicaciones y divisiones valorización de resultados de romboide al variar las
números naturales de más de expresiones algebraicas. operaciones. medidas de sus diagonales.
6 cifras.
M 19 Cálculos utilizando la M Revisión del control. Sept V 28 área de un rombo o
calculadora. 21 romboide al variar las
medidas de sus diagonales.
Mie Evaluación acerca de las Mi factores numéricos y J1 Justificación de Nov
20 materias tratadas. 22 literales en expresiones resultados en problema.
algebraicas.
J 21 Revisión de la evaluación. J 23 Escritura, propiedades de V2 Evaluación de fracciones M1 Feriado
las operaciones de los y decimales positivos.
números naturales.
V 22 Semana Santa V 24 Conjeturas respecto a la M6 Revisión de la evaluación Mi2 Conjeturas área de
inclusión del cero como triángulos acutángulos y
factor o divisor. obtusángulos.
M 26 Recapitulación de los M Propiedades adición y Mi 7 Introducción a la unidad J3 Conjeturas variación del
contenidos tratados. 28 multiplicación de geometría área de triángulos
acutángulos y obtusángulos.
Mie Lectura e interpretación de Mi Equivalencia en la J8 Repaso acerca de temas V4 Verificación de las
27 información a partir de datos 29 escritura de expresiones. referentes a áreas conjeturas formuladas.
organizados en gráficos de tratados en cuarto
línea. básico.
J 28 Lectura e interpretación J 30 equivalencia de V9 Unidades de medidas de M8 Evaluación acerca de
gráficos de barras múltiples. expresiones algebraicas. áreas. variaciones de áreas.

V 29 Comparación n gráficos de M 13 Repaso álgebra Mi9 Revisión de la evaluación.
línea.

(* Ejemplo válido para todos los niveles, las fechas son referenciales)

DICIEMBRE 2010

Anexo 3: Objetivos Fundamentales por semestre y unidad

Semestre 1 Semestre 2
Objetivo Fundamental Unidades: Unidades:
1 2 1 2
1. Comprender que los números racionales constituyen un conjunto numérico en
el que es posible resolver problemas que no tienen solución en los números
x
enteros y caracterizarlos como aquellos que pueden expresarse como un
cuociente de dos números enteros con divisor distinto de cero.
2. Representar números racionales en la recta numérica, usar la representación
decimal y de fracción de un racional justificando la transformación de una en
otra, aproximar números racionales, aplicar adiciones, sustracciones, x
multiplicaciones y divisiones con números racionales en situaciones diversas y
demostrar algunas de sus propiedades.
3. Comprender el significado de potencias que tienen como base un número
x
racional y exponente entero y utilizar sus propiedades.
4. Transformar expresiones algebraicas no fraccionarias utilizando diversas
estrategias y utilizar las funciones lineales y afines como modelos de
x
situaciones o fenómenos y representarlas gráficamente en forma manual o
usando herramientas tecnológicas.
5. Identificar regularidades en la realización de transformaciones isométricas en
el plano cartesiano, formular y verificar conjeturas respecto de los efectos de x
la aplicación de estas transformaciones sobre figuras geométricas.
6. Comprender los conceptos y propiedades de la composición de funciones y
utilizarlos para resolver problemas relacionados con las transformaciones x
isométricas.
7. Conocer y utilizar conceptos y propiedades asociados al estudio de la
congruencia de figuras planas, para resolver problemas y demostrar x
propiedades.
8. Interpretar y producir información, en contextos diversos, mediante gráficos
que se obtienen desde tablas de frecuencia, cuyos datos están agrupados en x
intervalos.
9. Obtener la cardinalidad de espacios muestrales y eventos, en experimentos
aleatorios finitos, usando más de una estrategia y aplicarlo al cálculo de x
probabilidades en diversas situaciones.
10. Comprender la relación que existe entre la media aritmética de una población
de tamaño finito y la media aritmética de las medias de muestras de igual x
tamaño extraídas de dicha población.
11. Interpretar y producir información, en contextos diversos, mediante el uso de
medidas de posición y de tendencia central, aplicando criterios referidos al x
tipo de datos que se están utilizando.
12. Seleccionar la forma de obtener la probabilidad de un evento, ya sea en forma
teórica o experimentalmente, dependiendo de las características del x
experimento aleatorio.
13. Aplicar modelos lineales que representan la relación entre variables,
diferenciar entre verificación y demostración de propiedades y analizar
x x x
estrategias de resolución de problemas de acuerdo con criterios definidos,
para fundamentar opiniones y tomar decisiones.

DICIEMBRE 2010

ANEXO 4: Contenidos Mínimos Obligatorios por semestre y unidad

Semestre 1 Semestre 2
Contenidos Mínimos Obligatorios Unidades: Unidades:
1 2 1 2
NÚMEROS:
1. Identificación de situaciones que muestran la necesidad de ampliar el
conjunto de los números enteros al conjunto de los números x
racionales y caracterización de éstos últimos.
2. Representación de números racionales en la recta numérica,
verificación de la cerradura de la adición, sustracción, multiplicación
x
y división en los racionales y verificación de la propiedad: “entre dos
números racionales siempre existe otro número racional”.
3. Justificación de la transformación de números decimales infinitos
x
periódicos y semiperiódicos a fracción.
4. Sistematización de procedimientos de cálculo escrito y con ayuda de
herramientas tecnológicas de adiciones, sustracciones,
x
multiplicaciones y divisiones con números racionales y su aplicación
en la resolución de problemas.
5. Aproximación de racionales a través del redondeo y truncamiento, y
reconocimiento de las limitaciones de la calculadora para aproximar x
decimales.
6. Extensión de las propiedades de potencias al caso de base racional y
x
exponente entero y aplicación de ellas en diferentes contextos.
7. Resolución de problemas en contextos diversos que involucran
números racionales o potencias de base racional y exponente entero,
x
enfatizando el análisis crítico de los procedimientos de resolución y
de los resultados obtenidos.
ALGEBRA:
8. Establecimiento de estrategias para transformar expresiones
algebraicas no fraccionarias en otras equivalentes, mediante el uso x
de productos notables y factorizaciones.
9. Resolución de problemas cuyo modelamiento involucre ecuaciones
x
literales de primer grado.
10. Análisis de las distintas representaciones de la función lineal10, su
aplicación en la resolución de diversas situaciones problema y su x
relación con la proporcionalidad directa.
11. Estudio de la composición de funciones, análisis de sus propiedades y
x
aplicación a las transformaciones isométricas.
12. Uso de un software gráfico en la interpretación de la función afín,
análisis de las situaciones que modela y estudio de las variaciones x
que se producen por la modificación de sus parámetros11.
GEOMETRÍA:
13. Identificación del plano cartesiano y su uso para representar puntos
y figuras geométricas manualmente y haciendo uso de un procesador x
geométrico.
14. Notación y representación gráfica de vectores en el plano cartesiano
y aplicación de la suma de vectores para describir traslaciones de x
figuras geométricas.
15. Formulación de conjeturas respecto de los efectos de la aplicación de
traslaciones, reflexiones y rotaciones sobre figuras geométricas en el
plano cartesiano y verificación, en casos particulares, de dichas x
conjeturas mediante el uso de un procesador geométrico o
manualmente.
16. Relación del concepto de congruencia de figuras planas con las
transformaciones isométricas, formulación y verificación de conjeturas, en
casos particulares, acerca de criterios de congruencia en triángulos y utilización x
de estos criterios en la resolución de problemas y en la demostración de
propiedades en polígonos.

10
Mediante expresiones algebraicas, tablas y gráficos.
11
Pendiente e intercepto con el eje Y.

DICIEMBRE 2010

DATOS Y AZAR:
17. Obtención de información a partir del análisis de los datos
presentados en histogramas, polígonos de frecuencia y de
x
frecuencias acumuladas, considerando la interpretación de medidas
de tendencia central y posición.
18. Organización y representación de datos, extraídos desde diversas
fuentes, usando histogramas, polígonos de frecuencia y frecuencias
x
acumuladas, construidos manualmente y con herramientas
tecnológicas.
19. Análisis de una muestra de datos agrupados en intervalos, mediante
el cálculo de medidas de tendencia central (media, moda y mediana)
x
y medidas de posición (percentiles y cuartiles), en diversos contextos
y situaciones.
20. Uso de técnicas combinatorias para resolver diversos problemas que
x
involucren el cálculo de probabilidades.
21. Utilización y establecimiento de estrategias para determinar el
número de muestras de un tamaño dado, que se pueden extraer x
desde una población de tamaño finito, con y sin reemplazo.
22. Formulación y verificación de conjeturas, en casos particulares,
acerca de la relación que existe entre la media aritmética de una
población de tamaño finito y la media aritmética de las medias de x
muestras de igual tamaño extraídas de dicha población, con y sin
reemplazo.
23. Resolución de problemas en contextos de incerteza, aplicando el
cálculo de probabilidades mediante el modelo de Laplace o x
frecuencias relativas, dependiendo de las condiciones del problema.

DICIEMBRE 2010

Anexo 5: Relación entre Aprendizajes Esperados, Objetivos Fundamentales (OF) y
Contenidos Mínimos Obligatorios (CMO)

Semestre 1:
Aprendizajes Esperados OF CMO
Unidad 1: Números
1.- Distinguir problemas que no admiten solución en los números
enteros y que pueden ser resueltos en los números racionales no
1 1
enteros.

2.- Justificar matemáticamente que los decimales periódicos y
semiperiódicos son números racionales. 2 3

3.- Establecer relaciones de orden entre números racionales. 2 2

4.- Representar números racionales en la recta numérica.
2 2
5.- Utilizar la calculadora para realizar cálculos reconociendo sus
limitaciones. 2 4-5

6.- Verificar la densidad de los números racionales.
2 2
7.- Verificar la cerradura de las operaciones en los números
2 2
racionales.
8.- Comprender el significado de las potencias de base racional y
exponente entero. 3 6

9.- Resolver problemas en contextos diversos que involucran
números racionales o potencias de base racional y exponente
2-3 7
entero.

Unidad 2: Álgebra
1.- Identificar patrones en multiplicaciones de expresiones
algebraicas no fraccionarias. 4 8

2.- Factorizar expresiones algebraicas no fraccionarias.
4 8
3.- Establecer estrategias para resolver ecuaciones lineales.
4 9
4.- Analizar representaciones de la función lineal y de la función
afín. 4 10-12

5.- Realizar composiciones de funciones y establecer algunas
propiedades algebraicas de esta operación.
6 11

6.- Resolver problemas asociados a situaciones cuyos modelos son
ecuaciones literales de primer grado. 4 9

DICIEMBRE 2010

Semestre 2:

Aprendizajes Esperados OF CMO

Unidad 3: Geometría

1.- Identificar y representar puntos y coordenadas de figuras geométricas en el
plano cartesiano, manualmente o usando un procesador geométrico. 5 13

2.- Representar en el plano, adiciones, sustracciones de vectores y
multiplicaciones de un vector por un escalar. 5-6 14

3.- Aplicar composiciones de funciones para realizar transformaciones isométricas
en el plano cartesiano. 5-6 11- 15

4.- Identificar regularidades en la aplicación de transformaciones isométricas a
figuras en el plano cartesiano. 5 15

5.- Formular y verificar conjeturas acerca de la aplicación de transformaciones
isométricas a figuras geométricas en el plano cartesiano. 5 15

6.- Establecer el concepto de congruencia a partir de las transformaciones
isométricas. 5 16

7.- Formular y verificar conjeturas acerca de criterios de congruencia en
triángulos. 5 16

8.- Resolver problemas relativos a cálculos de vértices y lados de figuras
geométricas del plano cartesiano y a la congruencia de triángulos. 7 13 - 16

Unidad 4: Datos y Azar

1.- Obtener información a partir del análisis de datos, en diversos contextos,
presentados en gráficos y tablas de frecuencia, considerando la interpretación de
8 17
medidas de tendencia central.

2.- Producir información, en contextos diversos, a través de gráficos y tablas de
frecuencia con datos agrupados en intervalos, manualmente o mediante 8 18-19
herramientas tecnológicas.

3.- Obtener la cardinalidad de espacios muestrales y eventos, en experimentos
aleatorios finitos, usando más de una estrategia. 9 20

4.- Calcular la media aritmética de las medias de muestras de igual tamaño,
10 21-22
extraídas desde una población.
5.- Formular conjeturas y verificarlas en casos particulares acerca de la relación
que existe entre la media aritmética de una población de tamaño finito y la media
aritmética de las medias de muestras de igual tamaño, extraídas de dicha 10 21-22
población.
6.- Interpretar información, en diversos contextos, mediante el uso de medidas
de posición y de tendencia central, aplicando criterios referidos al tipo de datos
11 19-22
que se están utilizando.

7.- Producir información, en contextos diversos, mediante el uso de medidas de
posición y de tendencia central, aplicando criterios referidos al tipo de datos que 11 19-22
se están utilizando.

DICIEMBRE 2010

8.- Resolver problemas referidos a cálculos de probabilidades, aplicando el
modelo de Laplace o frecuencias relativas, dependiendo de las características del
experimento aleatorio. 12 20-23

DICIEMBRE 2010

Programa Primero Medio

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