Programación separable(change-pdf-page-size).pdf
- 2. DEFINICIÓN La programación separable permite aproximar ciertos MPNL a Modelos de Programación Lineales,obteniendo una solución óptima aproximada. Sólo se aplica esta técnica cuando en un MPNL las variables de decisión aparecen en términos separados tanto en la función objetivo como en las restricciones.
- 3. POR EJEMPLO,ESTE MPNL NO ES SEPARABLE: Porque las expresiones matemáticas no lineales de color rojo están en función de más de una variable de decisión.
- 4. PERO ESTE MPNL SÍ ES SEPARABLE: Porque todas las expresiones matemáticas no lineales del modelo (color azul) se expresan en función de una sola variable.
- 5. ¿CÓMO SE LOGRA DICHAAPROXIMACIÓN? Se logra mediante la sustitución de las expresiones no lineales por funciones lineales por tramos. La sustitución puede ser de dos tipos: Sustitución aproximada. Sustitución exacta.
- 6. SUSTITUCIÓNAPROXIMADA Se reemplazan las expresiones no lineales por funciones lineales por tramos de manera aproximada. A menor amplitud que posean los tramos,mayor precisión;pero también el modelo resultante se hace más grande. Ejemplo: Resolver el siguiente MPNL aplicando programación separable:
- 7. SOLUCIÓN Son dos las expresiones no lineales:x1 2 y x2 2 Analizando la primera restricción,el máximo valor que podría tomar: x1:2500.5 = 15.81 16 x2:(250 / 2)0.5 = 11.18 12 Ambos valores máximos satisfacen también la segunda restricción (no exceden de 20) Luego,se efectúa la siguiente sustitución: X1 2 = F1 X2 2 = F2
- 8. SEAPROXIMA CADA EXPRESIÓN NO LINEALA FUNCIONES LINEALES PORTRAMOS: Arbitrariamente,se emplearán 4 tramos. Para cada tramo,se calculará la pendiente: F1 = x1 2 Aproximación de F1
- 9. DE IGUAL MANERA,PARA F2 = X2 2 F2 = x2 2 Aproximación de F2
- 10. MODELAMIENTO DE LAS FUNCIONES LINEALES POR TRAMOS: Se asigna una variable auxiliar por cada tramo: A1,A2,A3,A4 :Representan a cada tramo de la recta que contiene a x1.En consecuencia: x1 =A1 +A2 +A3 +A4 A1 ≤ 4, A2 ≤ 4, A3 ≤ 4, A4 ≤ 4 Por ejemplo:Si x1 toma el valor de 9,entonces:A1 = 4,A2 = 4,A3 = 1 yA4 = 0 B1,B2,B3,B4 :Representan a cada tramo de la recta que contiene a x2.En consecuencia: x2 = B1 + B2 + B3 + B4 B1 ≤ 3, B2 ≤ 3, B3 ≤ 3, B4 ≤ 3
- 11. MODELAMIENTO DE LAS FUNCIONES LINEALES POR TRAMOS: F1 se expresa en función de las variables A1,A2,A3,A4 y de las pendientes obtenidas en cada tramo: F1 = 4A1 + 12A2 + 20A3 + 28A4 F2 se expresa en función de las variables B1,B2,B3,B4 y de las pendientes obtenidas en cada tramo: F2 = 3B1 + 9B2 + 15B3 + 21B4
- 12. ENTONCES EL MODELO CAMBIA DE LA SIGUIENTE MANERA: 𝑴𝒂𝒙 𝒁 = 𝟑𝟎𝒙𝟏 + 𝟑𝟓𝒙𝟐 − 𝟐𝑭𝟏 − 𝟑𝑭𝟐 𝑺𝒖𝒋𝒆𝒕𝒐 𝒂: 𝑭𝟏 + 𝟐𝑭𝟐 ≤ 𝟐𝟓𝟎 𝒙𝟏 + 𝒙𝟐 ≤ 𝟐𝟎 𝑭𝟏 = 𝟒𝑨𝟏 + 𝟏𝟐𝑨𝟐 + 𝟐𝟎𝑨𝟑 + 𝟐𝟖𝑨𝟒 𝑭𝟐 = 𝟑𝑩𝟏 + 𝟗𝑩𝟐 + 𝟏𝟓𝑩𝟑 + 𝟐𝟏𝑩𝟒 𝒙𝟏 = 𝑨𝟏 + 𝑨𝟐 + 𝑨𝟑 + 𝑨𝟒 𝑨𝟏 ≤ 𝟒 𝑨𝟐 ≤ 𝟒 𝑨𝟑 ≤ 𝟒 𝑨𝟒 ≤ 𝟒 𝒙𝟐 = 𝑩𝟏 + 𝑩𝟐 + 𝑩𝟑 + 𝑩𝟒 𝑩𝟏 ≤ 𝟑 𝑩𝟐 ≤ 𝟑 𝑩𝟑 ≤ 𝟑 𝑩𝟒 ≤ 𝟑 𝒙𝟏,𝒙𝟐 ≥ 𝟎 Modelo No Lineal Original Modelo Linealizado con sustitución aproximada
- 13. ANÁLISIS DE LA SOLUCIÓN ÓPTIMA DEL MODELO NO LINEAL ORIGINAL La solución óptima que LINGO arroja del modelo no lineal (originalmente formulado) es: Óptimo Local:214.5833 Valores: x1 = 7.5 ;x2 = 5.8333 La región factible del modelo es convexa y la función objetivo es una función cóncava;por lo tanto esta solución es también global.
- 14. ANÁLISIS DE LA SOLUCIÓN ÓPTIMA DEL MODELO LINEALIZADO: La solución óptima que LINGO arroja del modelo“linealizado” es: Óptimo Global:214 Valores:x1 = 8 ;x2 = 6 LINGO le da la categoría de Global porque ha resuelto un modelo lineal al fin y al cabo;pero en realidad es una aproximación a la verdadera solución debido a que las expresiones no lineales han sido sustituidas de manera aproximada a funciones lineales por tramos.
- 15. SUSTITUCIÓN EXACTA Puede darse el caso que todas las expresiones no lineales puedan ser sustituidas de manera exacta por funciones lineales por tramos. En ciertos casos,se emplearán variables auxiliares binarias para que el software calcule correctamente las expresiones no lineales. Esto ocurre cuando en el enunciado del caso a optimizar aparecen de manera explícita funciones lineales por tramos.
- 16. PROCEDIMIENTO GENERAL DE SOLUCIÓN: 1) Identificar las variables de decisión. 2) Graficar cada función lineal por tramos.Para cada una de ellas,se asigna: Al Eje de lasAbscisas,una variable de decisión o una combinación lineal de variables de decisión;y a cada tramo una variable auxiliar. Al Eje de las Ordenadas,una variable auxiliar. 3) Si una función lineal por tramos es continua,se debe determinar si es necesario o no el uso de variables binarias para representarla correctamente. Las funciones que son ni cóncavas ni convexas y las discontinuas requieren variables binarias. 4) Se construyen las expresiones matemáticas separables que representan a dichas funciones. 5) Se construye el modelo matemático de optimización,incorporando las expresiones construidas en el paso anterior
- 17. CASO 1: Una empresa produce dos tipos de productos:P1 y P2.Se dispone de 120 horas hombre (H-H) y todo lo que se produce se va a vender.la información técnica económica se muestra en la tabla siguiente: Se pide determinar el mix de producción que maximice la utilidad total. Producto Precio de venta ($/t) Costo de venta ($/t) Venta máxima (t) Requerimiento de mano de obra (H-H/t) P1 (*) 40 60 1 P2 120 (**) 50 2 • (*) El precio de venta del producto P1 es:100 $/t para las primeras 10 t,98 $/t para las siguientes 15 t y 96 $/t para las siguientes toneladas. • (**) El costo de venta del producto P2 es:40 $/t para las primeras 10 t,45 $/t para las siguientes 10 t y 50 $/t para las siguientes toneladas.
- 18. SOLUCIÓN: Variables de decisión: X1,X2 :Cantidad (en t) a producir del producto P1 y P2,respectivamente. Gráfica de la función de ingreso total de P1 • La función lineal por tramos es continua,por lo tanto hay que determinar si es necesario el uso de variables binarias. • En este caso,no es necesario el uso de variables binarias porque el mayor precio de venta lo tiene el primer intervalo,el segundo intervalo tiene el siguiente mayor precio de venta y el tercer intervalo tiene el menor precio de venta. • Es decir,los precios de venta están en orden decreciente
- 19. CONSTRUYENDO LAS EXPRESIONES SEPARABLES DEL INGRESOTOTAL DE P1 X1 =A1 +A2 +A3 Ingreso = 100A1 + 98A2 + 96A3 A1 ≤ (10 – 0) A2 ≤ (25 – 10) A3 ≤ 99999 Ecuación del eje de las abscisas: Ecuación del eje de las ordenadas: Amplitud máxima de cada intervalo:
- 20. CONSTRUYENDO LAS EXPRESIONES SEPARABLES DEL INGRESO TOTAL DE P2 La función lineal por tramos es continua,por lo tanto hay que determinar si es necesario el uso de variables binarias. En este caso,tampoco es necesario el uso de variables binarias porque el menor costo unitario lo tiene el primer intervalo, el segundo intervalo tiene el siguiente menor costo unitario y el tercer intervalo tiene el subsiguiente menor costo unitario. Es decir, los costos unitarios están en orden creciente. Gráfica de la función de costo total de P2
- 21. CONSTRUYENDO LAS EXPRESIONES SEPARABLES DEL COSTO TOTAL DE P2 X2 =A4 +A5 +A6 Costo = 40A4 + 45A5 + 50A6 A4 ≤ (10 – 0) A5 ≤ (20 – 10) A6 ≤ 99999 Ecuación del eje de las abscisas: Ecuación del eje de las ordenadas: Amplitud máxima de cada intervalo:
- 22. CONSTRUYENDO EL MODELO DE OPTIMIZACIÓN MATEMÁTICA: Max Z = Ingreso + 120X2 – (40X1 + Costo) Sujeto a: Venta máxima de cada producto: X1 ≤ 60 X2 ≤ 50 Disponibilidad de mano de obra: X1 + 2X2 ≤ 120 Ingreso total de X1: X1 =A1 +A2 +A3 Ingreso = 100A1 + 98A2 + 96A3 A1 ≤ (10 – 0) A2 ≤ (25 – 10) A3 ≤ 99999 Costo total total de X2: X2 =A4 +A5 +A6 Costo = 40A4 + 45A5 + 50A6 A4 ≤ (10 – 0) A5 ≤ (20 – 10) A6 ≤ 99999 No negatividad: X1,X2 ≥ 0
- 23. MODELOY REPORTE DE LA SOLUCIÓN ÓPTIMA EN LINGO Se debe producir 60t de P1 y 30t de P2,la máxima utilidad será $5680
- 24. CASO 2: Una empresa produce dos tipos de productos:P1 y P2.Se dispone de 120 horas hombre (H-H) y todo lo que se produce se va a vender.la información técnica económica se muestra en la tabla siguiente: Se pide determinar el mix de producción que maximice la utilidad total. Producto Precio de venta ($/t) Costo de venta ($/t) Venta máxima (t) Requerimiento de mano de obra (H-H/t) P1 (*) 40 60 1 P2 120 (**) 50 2 • (*) El precio de venta del producto P1 es:100 $/t si se vende hasta 10 t,98 $/t si se venden más de 10t hasta 25t;y 96 $/t si se venden más de 25t. • (**) El costo de venta del producto P2 es:50 $/t para las primeras 10 t,45 $/t para las siguientes 10 t y 40 $/t para las siguientes toneladas.
- 25. SOLUCIÓN: Variables de decisión: X1,X2 :Cantidad (en t) a producir del producto P1 y P2,respectivamente. Gráfica de la función de ingreso total de P1 • Por la manera como se describe la función del ingreso total de P1,la función lineal por tramos es discontinua,por lo tanto es necesario el uso de variables binarias (W1, W2,W3). • De no hacerlo,sería igual que el caso 1.
- 26. CONSTRUYENDO LAS EXPRESIONES SEPARABLES DEL INGRESOTOTAL DE P1 X1 =A1 +A2 +A3 + 0W1 + 10W2 + 25W3 Ingreso = 100A1 + 98A2 + 96A3 + 0W1 + 980W2 + 2400W3 W1 +W2 +W3 = 1 A1 ≤ (10 – 0)W1 A2 ≤ (25 – 10)W2 A3 ≤ 99999W3 W1,W2,W3 es binaria. Ecuación del eje de las abscisas: Ecuación del eje de las ordenadas: Amplitud máxima de cada intervalo: Sólo una variable binaria debe activarse: Declaración de binarias:
- 27. CONSTRUYENDO LAS EXPRESIONES SEPARABLES DEL INGRESO TOTAL DE P2 La función lineal por tramos es continua,por lo tanto hay que determinar si es necesario el uso de variables binarias. En este caso,es necesario el uso de variables binarias (W4,W5,W6) porque los costos unitarios están en orden creciente. De no hacerlo,el modelo aplicará el menor costo:40 $/t a cualquier valor que tome X2, lo cual no es correcto. Gráfica de la función de costo total de P2
- 28. CONSTRUYENDO LAS EXPRESIONES SEPARABLES DEL COSTO TOTAL DE P2 X2 =A4 +A5 +A6 + 0W4 + 10W5 + 20W6 Costo = 50A4 + 45A5 + 40A6 + 0W4 + 500W5 + 950W6 W4 +W5 +W6 = 1 A4 ≤ (10 – 0)W4 A5 ≤ (20 – 10)W5 A6 ≤ 99999W6 W4,W5,W6 es binaria. Ecuación del eje de las abscisas: Ecuación del eje de las ordenadas: Amplitud máxima de cada intervalo: Sólo una variable binaria debe activarse: Declaración de binarias:
- 29. CONSTRUYENDO EL MODELO DE OPTIMIZACIÓN MATEMÁTICA: Max Z = Ingreso + 120X2 – (40X1 + Costo) Sujeto a: Venta máxima de cada producto: X1 ≤ 60 X2 ≤ 50 Disponibilidad de mano de obra: X1 + 2X2 ≤ 120 Ingreso total de P1 X1 =A1 +A2 +A3 + 0W1 + 10W2 + 25W3 Ingreso = 100A1 + 98A2 + 96A3 + 0W1 + 980W2 + 2400W3 W1 +W2 +W3 = 1 A1 ≤ (10 – 0)W1 A2 ≤ (25 – 10)W2 A3 ≤ 99999W3 W1,W2,W3 es binaria. Costo total de P2: X2 =A4 +A5 +A6 + 0W4 + 10W5 + 20W6 Costo = 50A4 + 45A5 + 40A6 + 0W4 + 500W5 + 950W6 W4 +W5 +W6 = 1 A4 ≤ (10 – 0)W4 A5 ≤ (20 – 10)W5 A6 ≤ 99999W6 W4,W5,W6 es binaria. X1,X2 ≥ 0
- 30. MODELOY REPORTE DE LA SOLUCIÓN ÓPTIMA EN LINGO Se debe producir 60t de P1 y 30t de P2,la máxima utilidad será $5610