3-Formas Canonicas.pdf

3: Canónicas 1
ELO211: Sistemas Digitales
Tomás Arredondo Vidal
1er Semestre – 2009
Este material está basado en:
❒ textos y material de apoyo: Contemporary Logic Design 1st / 2nd edition. Gaetano
Borriello and Randy Katz. Prentice Hall, 1994, 2005
❒ material del curso ELO211 del Prof. Leopoldo Silva
❒ material en el sitio http://es.wikipedia.org

3: Canónicas 2
3-Formas Canonicas
3.1 Expresiones canónicas: minterminos y
maxterminos
3.2 Expansión a las formas canónicas
3.3 Síntesis de las formas canónicas
3.4 Diseño lógico y simplificación

3: Canónicas 3
Expresiones Canónicas
❒ Existen dos formas básicas de expresiones
canónicas que pueden ser implementadas en
dos niveles de compuertas:
❍ suma de productos o expansión de minterminos
❍ producto de sumas o expansión de maxterminos
❒ Permiten asociar a una función una
expresión algebraica única
❒ La tabla de verdad también es una
representación única para una función
booleana

3: Canónicas 4
A B C F F’
0 0 0 0 1
0 0 1 1 0
0 1 0 0 1
0 1 1 1 0
1 0 0 0 1
1 0 1 1 0
1 1 0 1 0
1 1 1 1 0
F =
F’ = A’B’C’ + A’BC’ + AB’C’
Suma de productos
❒ También conocida como expansión de
minterminos
F = 001 011 101 110 111
+ A’BC + AB’C + ABC’ + ABC
A’B’C

3: Canónicas 5
forma corta de escribir minterms
(ejemplo de 3 terminos o 23 = 8 minterms)
A B C minterms
0 0 0 A’B’C’ m0
0 0 1 A’B’C m1
0 1 0 A’BC’ m2
0 1 1 A’BC m3
1 0 0 AB’C’ m4
1 0 1 AB’C m5
1 1 0 ABC’ m6
1 1 1 ABC m7
F en forma canónica:
F(A, B, C) = Σm(1,3,5,6,7)
= m1 + m3 + m5 + m6 + m7
= A’B’C + A’BC + AB’C + ABC’ + ABC
forma canónica ≠ forma minima
F(A, B, C) = A’B’C + A’BC + AB’C + ABC + ABC’
= (A’B’ + A’B + AB’ + AB)C + ABC’
= ((A’ + A)(B’ + B))C + ABC’
= C + ABC’
= ABC’ + C
= AB + C
Suma de productos
❒ Términos son productos (o minterms)
❍ productos AND de literales – para las combinacion de input para
los que el output es verdad
❍ en cada producto cada variable aparece exactamente una ves
(puede estar invertida)

3: Canónicas 6
A B C F F’
0 0 0 0 1
0 0 1 1 0
0 1 0 0 1
0 1 1 1 0
1 0 0 0 1
1 0 1 1 0
1 1 0 1 0
1 1 1 1 0
F = 000 010 100
F =
F’ = (A + B + C’) (A + B’ + C’) (A’ + B + C’) (A’ + B’ + C) (A’ + B’ + C’)
Producto de sumas
❒ También conocida como expansión de
maxterminos
(A + B + C) (A + B’ + C) (A’ + B + C)

3: Canónicas 7
A B C maxterms
0 0 0 A+B+C M0
0 0 1 A+B+C’ M1
0 1 0 A+B’+C M2
0 1 1 A+B’+C’ M3
1 0 0 A’+B+C M4
1 0 1 A’+B+C’ M5
1 1 0 A’+B’+C M6
1 1 1 A’+B’+C’ M7
forma corta de escribir minterminos
(ejemplo de 3 términos o 23 = 8 minterminos)
F en forma canónica:
F(A, B, C) = ΠM(0,2,4)
= M0 • M2 • M4
= (A + B + C) (A + B’ + C) (A’ + B + C)
forma canónica ≠ forma minima
F(A, B, C) = (A + B + C) (A + B’ + C) (A’ + B + C)
= (A + B + C) (A + B’ + C)
(A + B + C) (A’ + B + C)
= (A + C) (B + C)
Producto de sumas
❒ Términos son sumas (o maxterminos)
❍ suma OR de literales – para las combinacion de input para los
que el output es falso
❍ en cada producto cada variable aparece exactamente una ves
(puede estar invertida)

3: Canónicas 8
Conversión entre formas canónicas
❒ Es posible convertir entre ambas formas canónicas
❒ Para n variables (0 ≤ i ≤ 2n-1)
mi = Mi
Mi = mi
∑ mi = ∏ Mi
∏ Mi = ∑ mi

3: Canónicas 9
❒ Suma de productos
❍ F’ = A’B’C’ + A’BC’ + AB’C’
❒ Usando de Morgan’s: f’(X1,X2,...,Xn,0,1,+,•) = f(X1’,X2’,...,Xn’,1,0,•,+)
❍ (F’)’ = (A’B’C’ + A’BC’ + AB’C’)’
❍ F = (A + B + C) (A + B’ + C) (A’ + B + C)
❒ Producto de sumas
❍ F’ = (A + B + C’) (A + B’ + C’) (A’ + B + C’) (A’ + B’ + C) (A’ + B’ + C’)
❒ Usando de Morgan’s
❍ (F’)’ = ( (A + B + C’)(A + B’ + C’)(A’ + B + C’)(A’ + B’ + C)(A’ + B’ + C’) )’
❍ F = A’B’C + A’BC + AB’C + ABC’ + ABC

3: Canónicas 10
❒ Conversión de minterminos a maxterminos
❍ usar maxterminos cuyos índices no aparecen en expansión
de minterminos
❍ e.g., F(A,B,C) = Σm(1,3,5,6,7) = ΠM(0,2,4)
❒ Conversión de maxterminos a minterminos
❍ usar minterminos cuyos índices no aparecen en expansión
de maxterminos
❍ e.g., F(A,B,C) = ΠM(0,2,4) = Σm(1,3,5,6,7)
❒ Conversión de expansión de minterminos de F a F’
❍ usar minterminos cuyos índices no aparecen
❍ e.g., F(A,B,C) = Σm(1,3,5,6,7) F’(A,B,C) = Σm(0,2,4)
❒ Conversión de expansión de maxterminos de F a F’
❍ usar maxterminos cuyos índices no aparecen
❍ e.g., F(A,B,C) = ΠM(0,2,4) F’(A,B,C) = ΠM(1,3,5,6,7)

3: Canónicas 11
suma de productos
suma de productos minimizada
producto de sumas
producto de sumas minimizada
F1
F2
F3
B
A
C
F4
Implementaciones alternativas
en dos niveles
❒ Ejemplo: F=ab+c

3: Canónicas 12
Señales para las cuatro alternativas
❒ Esencialmente idénticas
❍ excepto por perturbaciones
❍ retardos son muy similares
❍ otros ejemplos mas adelante

3: Canónicas 13
3-Formas Canonicas
maxterminos

3: Canónicas 14
Expansión a las formas canónicas
❒ Cualquier función booleana puede ser
representada en forma canónica.
❒ El proceso de obtener la forma canónica se
denomina expansión
❒ Un método directo consiste en obtener la
tabla de verdad, y luego identificar los
mintérminos o los maxtérminos
❒ Otra posibilidad, que se estudia a
continuación, es mediante un desarrollo
algebraico basado en los postulados y
teoremas del álgebra de Boole

3: Canónicas 15
Expansión a suma de productos
❒ Basado en el uso repetitivo del teorema de
unificación:
❍ a = ab + ab’
❒ Ejemplo: f(a, b, c) = a + bc’ + abc
Término a: a = ab + ab’
= (ab + ab’)c + (ab + ab’)c’
= abc + ab’c + abc’ + ab’c’
= m7 + m5 + m6 + m4
Término bc’: bc’ = abc’ + a’bc’
= m6 + m2
Entonces, f(a, b, c) = m2 + m4 + m5 + m6 + m7

3: Canónicas 16
Expansión a productos de sumas
❒ Basado en el uso repetitivo del teorema de
unificación:
❍ a = (a + b)(a + b’)
❒ Ejemplo: f(a, b, c) = (a + b)(b + c’)
Término (a+b): (a+b) = (a+b+c)(a+b+c’)
= M0 M1
Término (b+c’): (b+c’) = (a+b+c’)(a’+b+c’)
= M1 M5
Entonces, f(a, b, c) = M0 M1 M5

3: Canónicas 17
3-Formas Canonicas
maxterminos

3: Canónicas 18
Síntesis usando suma de productos
❒ Dada una función mediante una suma de
productos, ésta puede implementarse usando
un OR de AND's
❒ Ejemplo: implementación en dos niveles de
f(a, b, c, d) = ab + cd, se logra directamente

3: Canónicas 19
❒ Una red es de n niveles, cuando una señal
de entrada debe pasar a través de n
compuertas para llegar a la salida.
❒ La señal de entrada que recorra más
compuertas hasta llegar a la salida, es la
que define la cantidad de niveles; el
recorrido se denomina ruta crítica y define
el retardo de propagación de la red.
❒ Debe notarse que se considera que se
dispone de entradas invertidas (e.g. b‘) ya
que si sólo se dispone de variables (e.g. b)
se requiere un nivel adicional.

3: Canónicas 20
❒ También puede implementarse usando
solamente compuertas NAND
❍ Ejemplo: f = ab’+cd

3: Canónicas 21
❒ La técnica anterior se denomina método de
doble complementación:
❒ Se puede visualizar en forma gráfica según:
❒ El siguiente es el equivalente grafico del
Teorema de De Morgan:

3: Canónicas 22
Conversión de producto de sumas a
suma de productos
❒ Si tenemos una función de tipo producto de sumas se
puede convertir usando doble complementación en
suma de productos
❒ Aplicando De Morgan y complementando:
A
B’
C
D
f
A
B’
C
D
f
A
B’
C
D
f f ’
A’
B
C’
D’

3: Canónicas 23
Conversión de producto de sumas a
suma de productos
❒ Hay que notar que la implementación como suma de
productos tiene todas las variables de entrada y
salida complementadas respecto a su forma inicial.
❒ También se puede convertir una expresión de tipo
suma de productos a la forma producto de sumas al
cambiar los ANDs del primer nivel por ORs y en el
segundo nivel los ORs por ANDs además de
complementar variables de entrada y salida.

3: Canónicas 24
3-Formas Canonicas
maxterminos

3: Canónicas 25
Diseño lógico: fan-in y fan-out
❒ Las compuertas lógicas tienen ciertas características
concretas dadas por su implementación física. Dos de
ellas son el fan
- in y el fan
- o
ut.
❒ Fan
- in es el numero de circuitos o compuertas de
entrada (e.g. de dos entradas) que puede soportar
una compuerta.
❒ Una compuerta con un fan
- in mayor tienden a ser mas
lentas por que se incrementa la capacitancia de la
compuerta.

3: Canónicas 26
Diseño lógico: fan-in y fan-out
❒ Fan
- o
ut es el numero de compuertas que pueden ser
alimentadas o comandada por una salida de la
compuerta.
❒ Un mayor numero de niveles en un circuito causa que
este tenga un comportamiento mas lento ya que la
conmutación debe propagarse a través de mas
compuertas.
❒ Un menor numero de niveles requiere compuertas con
un mayor fan
- in lo que generalmente implica ocupar
mas pastillas en la implementación.

3: Canónicas 27
A B C D W X Y Z
0 0 0 0 0 0 0 1
0 0 0 1 0 0 1 0
0 0 1 0 0 0 1 1
0 0 1 1 0 1 0 0
0 1 0 0 0 1 0 1
0 1 0 1 0 1 1 0
0 1 1 0 0 1 1 1
0 1 1 1 1 0 0 0
1 0 0 0 1 0 0 1
1 0 0 1 0 0 0 0
1 0 1 0 X X X X
1 0 1 1 X X X X
1 1 0 0 X X X X
1 1 0 1 X X X X
1 1 1 0 X X X X
1 1 1 1 X X X X
off-set de W
estos patrones de input nunca
se deberían encontrar en la
practica – "don’t care" sobre sus
valores de salida se pueden utilizar
en la minimización
Funciones incompletamente
especificadas
❒ Ejemplo: Numero binarios codificados (BCD) incrementado por 1
❍ BCD codifica números decimales 0 – 9 en los patrones de bits
0000 – 1001
don’t care (DC) set d W
on-set de W

3: Canónicas 28
Descripción de funciones
incompletamente especificadas
❒ Formas canónicas y don’t cares (X)
❍ hasta ahora solo han representado on-set
❍ formas canónicas también representan conjunto don’t-care
❍ se necesitan dos de los tres conjuntos (on-set, off-set, dc-set)
❒ Representación canónicas de la función BCD incrementada por 1:
❍ Z = m0 + m2 + m4 + m6 + m8 + d10 + d11 + d12 + d13 + d14 + d15
❍ Z = Σ [ m(0,2,4,6,8) + d(10,11,12,13,14,15) ]
❍ Z = M1 • M3 • M5 • M7 • M9 • D10 • D11 • D12 • D13 • D14 • D15
❍ Z = Π [ M(1,3,5,7,9) • D(10,11,12,13,14,15) ]

3: Canónicas 29
Simplificación de lógica
combinacional de dos niveles
❒ Encontrar una realización mínima de suma de productos o
productos de suma
❍ explotar información X (don’t care) en el proceso
❒ Simplificación algebraica
❍ no hay procedimiento algorítmico/sistemático
❍ ¿como se sabe cuando la mínima realización se encontró?
❒ Herramientas computacionales
❍ soluciones precisas requieren tiempos de computación largos
especialmente para funciones con muchos inputs (> 10)
❍ heurísticas se usan para encontrar “buenos” resultados
(generalmente no son el optimo global)

3: Canónicas 30
Simplificación de lógica
combinacional de dos niveles
❒ Métodos a mano son relevantes
❍ para encontrar las herramientas automáticas y sus
fuerzas y debilidades
❍ se pueden verificar resultados (en casos pequeños)

3: Canónicas 31
A B F
0 0 1
0 1 0
1 0 1
1 1 0
B tiene el mismo valor en las dos filas– B se
mantiene
A tiene valores diferentes en ambas filas– A
se elimina
F = A’B’+AB’ = (A’+A)B’ = B’
Simplificación de lógica combinacional
de dos niveles
❒ Teorema de unificación, clave para la simplificación :
A (B’ + B) = A
❒ Esencia de la simplificación de lógica de dos niveles
❍ encontrar (o crear) subconjuntos de dos elementos del on-
set en los cuales solo una variable cambia de valor – esta
variable puede ser eliminada y un termino puede
remplazar al los dos termimos previos

3: Canónicas 32
Simplificación de lógica combinacional
de dos niveles
❒ Usando teoremas para minimizar (e.g. idempotencia, commutatividad,
distributividad, unificación, complementariedad, identidad,...)
❒ Ejemplo:
Cout = A’ B Cin + A B’ Cin + A B Cin’ + A B Cin
= A’ B Cin + A B’ Cin + A B Cin’ + A B Cin + A B Cin
= A’ B Cin + A B Cin + A B’ Cin + A B Cin’ + A B Cin
= (A’ + A) B Cin + A B’ Cin + A B Cin’ + A B Cin
= (1) B Cin + A B’ Cin + A B Cin’ + A B Cin
= B Cin + A B’ Cin + A B Cin’ + A B Cin + A B Cin
= B Cin + A B’ Cin + A B Cin + A B Cin’ + A B Cin
= B Cin + A (B’ + B) Cin + A B Cin’ + A B Cin
= B Cin + A (1) Cin + A B Cin’ + A B Cin
= B Cin + A Cin + A B (Cin’ + Cin)
= B Cin + A Cin + A B (1)
= B Cin + A Cin + A B sumar terminos para
factorizar

3: Canónicas 33
Diseño lógico: perturbaciones
❒ Implementaciones de circuitos lógicos pueden
incluir condiciones que causan perturbaciones
(como resultados de carreras) en los outputs
de implementaciones de circuitos
❒ En circuitos con mas de dos niveles pueden
generarse perturbaciones con mas de un
cambio momentáneo

3: Canónicas 34
Ejemplo: perturbaciones
❒ Implementaciones de circuitos lógicos pueden
incluir condiciones que causan perturbaciones
(como resultados de carreras) en los outputs de
implementaciones de circuitos
❒ Una perturbación estática es un cambio
momentáneo de un nivel constante en el output
(un falso cero o un falso uno)
❒ En circuitos con mas de dos niveles pueden
generarse perturbaciones con mas de un cambio
momentáneo
❒ Una perturbación dinámica es una perturbación
que ocurre durante el cambio de una variable de
salida

3: Canónicas 35
Diseño lógico: perturbaciones
❒ Ejemplo: P = (((A’+B)’ + (D’+C)’)’+A)’ =
A’(AB’+C’D)
❍ Con {B=0 y C=1} o {B=0 y D=0} se presentan
perturbaciones en el canto de bajada de A atrasado
❒ Actividad: Mostrar porque y como ocurre esto
e indicar como eliminar el problema
A
B
C
D
P

3: Canónicas 36
Actividad: Diseño lógico y perturbaciones
❒ ¿Porque ocurre las perturbaciones? Recordemos que
las perturbaciones ocurren cuando una misma señal
tiene múltiples caminos que causan carreras en los
inputs a una compuerta.
X
X’
X
X’

3: Canónicas 37
❒ Ejemplo: z = x + x’
❍ En una tabla de verdad se aprecia que y nunca debería ser 0
❍ Pero dado que hay carreras z si es 0 en el diagrama temporal
(perturbación)
X
X’
Z
X
X’
Z
t
perturbación
Carrera en señales de entrada

3: Canónicas 38
❒ Análisis: Si se hace una tabla de verdad se puede
apreciar que la salida P nunca es igual a 1
❒ Cuando A = 1 y {B=0 y C=1} o {B=0 y D=0} después de
un tiempo de propagación X = 1 y X’ = 0
❒ Después del cambio de a A = 0 y de una propagación
en la ruta mas rápida X = 0 y X’ = 0
❒ Es durante este tiempo de propagación que P se
convierte en 1 causando la perturbación
A
B
C
D
P
X
X'
Y
Z

3: Canónicas 39
❒ Solución: Para eliminar la perturbación se puede
simplificar más (para eliminar la carreras de X con X’...):
❒ P = (((A’+B)’ + (D’+C)’)’+A)’ = A’(AB’+C’D)
= A’AB’ + A’C’D = A’C’D
❒ Mas ejemplos en los apuntes...
A
B
C
D
P
A’
C’
D
P

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