Aplicaciones de las funciones en los automóviles
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Este documento presenta tres problemas relacionados con el cálculo diferencial y su aplicación en el diseño y funcionamiento de automóviles. El primer problema involucra determinar las medidas óptimas de una caja de aluminio para un motor. El segundo problema busca encontrar el momento en que un coche alcanza su velocidad máxima y cuál es esa velocidad. El tercer problema concluye que el cálculo diferencial es una herramienta indispensable para los ingenieros para diseñar y analizar el funcionamiento de los automóviles.
Aplicaciones de las funciones en los automóviles
- 2. INTRODUCCIÓN El cálculo diferencial es una parte importante del análisis matemático y dentro del mismo del cálculo. Consiste en el estudio del cambio de las variables dependientes cuando cambian las variables independientes de las funciones o campos objetos del análisis. El principal objeto de estudio en el cálculo diferencial es la derivada. Una noción estrechamente relacionada es la de diferencial de una función. Las derivadas también pueden ser utilizadas para calcular la concavidad. Las funciones no tienen derivadas en los puntos en donde hay una tangente vertical(la cual tiene una pendiente infinita), una discontinuidad o bien un pico. Durante el siguiente trabajo se desarrollará ejemplos de algunos fenómenos físicos en los automóviles.
- 3. 1° Función
- 4. X Y 1 73.5 2 68.5 3 66.83 4 66 5 65.5
- 5. 2° Función
- 7. 3° Función
- 10. Problema: Una compañía automotriz pretende fabricar una caja de aluminio con el fin de poder poner ahí la computadora del motor con una capacidad de 108 cm3. La caja debe tener la forma de un prisma cuadrangular sin tapa. ¿Qué medidas debería tener la caja para ocupar la mínima cantidad de material en su fabricación y con ello reducir los costos?
- 11. Solución.
- 18. Problema 2: Un coche de competición se desplaza a una velocidad que, entre las 0 y 2 horas, viene dada por la expresión v(x)= (2-x)ex, donde x es el tiempo en horas y v(x) es a velocidad en cientos de kilómetros. Hallar en que momento del intervalo circula a la velocidad máxima y calcular dicha velocidad. ¿En qué periodos gano velocidad y en cuáles redujo? ¿Se detuvo alguna vez?
- 19. SOLUCIÓN La derivada es: v’(x)=-1.ex + ex.(2-x)= -ex + 2 ex- x .ex = ex- x. ex Sacando factor común ex se llega a: v’(x)=((1-x)ex Igualando a 0 nos da (1-x).ex =0, de donde 1-x =0 y por tanto x =1, (ya q ex nunca puede ser cero) Estudiamos v en los alrededores de 1 v ‘ + 1 - 2 y crece decrece
- 20. Por lo tanto en x=1 hay máximo y la función crece de 0 a 1 (gana velocidad) y decrece de 1 a 2 (reduce velocidad), veamos los valores en ese punto y en el extremo: v(x)= (2-x)ex v(1)=(2-1).e = e (aquí el máximo como justificamos antes) v(0)=(2-0).1=2 v(2)=(2-2).1=0 como da la velocidad 0 aquí se detuvo.
- 21. LA GRÁFICA: Nos piden que estudiemos el crecimiento y decrecimiento, y el máximo de la función velocidad v. Por eso utilizamos la derivada, ya que sabemos que si la derivada da positiva la función crece y si da negativa decrece. También sabemos que, la función tiene un máximo relativo en un punto, si la derivada, en ese punto, es 0 (condición necesaria) y además cambia el crecimiento (es decir pasa de crecer a decrecer)
- 22. PROBLEMA 3
- 23. Un coche de competición se desplaza a una velocidad que, entre las 0 y 2 horas, viene dada por la expresión v(x)= (2-x).ex, donde x es el tiempo en horas y v(x) es a velocidad en cientos de kilómetros. Hallar en que momento del intervalo circula a la velocidad máxima y calcular dicha velocidad. ¿En que periodos gano velocidad y en cuales redujo? ¿Se detuvo alguna vez? v’(x)=-1(ex )+ ex(2-x)= -ex + 2 ex- x (ex)= ex- xex v’(x)=ex (1-x) ex (1-x)=0 1-x=0 x=1
- 24. v(x)= (2-x)ex v(1)=(2-1).e = e v(0)=(2-0).1=2 v(2)=(2-2).1=0 En este punto a velocidad se detuvo
- 25. CONCLUSION Como podemos comprobar, el uso del calculo es indispensable tanto en los fenómenos ocurridos en cualquier suceso, en este trabajo se manejo como suceso el funcionamiento de los automóviles. Esto demuestra que el calculo es una herramienta indispensable en el trabajo de un ingeniero, ya sea en el diseño, en el ensamble o en el funcionamiento de los automóviles, es la base para el obrar de un ingeniero.
- 26. BIBLIOGRAFIA Paul E. Tippens. (2011). Física, Conceptos y Aplicaciones. México: McGraw-Hill. Alejandro Rosas Snell Juan Zúñiga Contreras. (2011). COLEGIO DE BACHILLERES MATEMÁTICAS II. México: McGraw-Hill.