Imagen abstracta de una mujer sentada en libros y estudiando en una computadora portátil

PROTOCOLOS DE COMO HACER UNA TAREAEN .pdf

R
RafaeFernandez

Este documento trata sobre funciones reales y sus aplicaciones. Explica conceptos básicos como producto cartesiano, relación y función. Luego describe los diferentes tipos de funciones como función constante, lineal, cuadrática, raíz cuadrada y racional. Incluye ejemplos y ejercicios resueltos de cada tipo de función. El objetivo es servir como guía para estudiantes de matemáticas.

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FUNCIONES REALES Y APLICACIONES Ing. Tania Aleyda Acosta Hurtado, MSc. Ing. Nelly Patricia Acosta Vargas, MSc E-mail: tania.acosta@epn.edu.ec E-mail: acostanp@gmail.com Gráficos Dominio Recorrido
Segunda edición en español Prohibida la reproducción total o parcial de esta obra, por cualquier medio o método sin autorización por escrito de las autoras. Revisado por: Remigio Vicente Chalán Paladínez Msc. Paúl Esteban Méndez Silva MSc. ISBN: 978-9942-21-780-6 Noviembre 2015
PRÓLOGO El propósito de la segunda edición de este libro es proporcionar una guía a los estudiantes de bachillerato, como también a quienes estén inician o sus estudios en la universidad, en las diferentes carreras de ingeniería y ciencias. Se provee de teoría, ejercicios propuestos, resueltos y de aplicación, los cuáles serán de gran ayuda para todo estudiante que se inicie sus estudios universitarios. Con los ejercicios que se presentan en este libro se pretende que los estudiantes adquieran las competencias necesarias para aplicar los fundamentos de la matemática y funciones, en problemas de la vida real, llegando a alcanzar aprendizajes significativos.
CONTENIDO FUNCIONES REALES ..........................................................................................1 1.1 PRODUCTO CARTESIANO............................................................................................ 1 1.2 RELACIÓN.................................................................................................................... 4 1.3 FUNCIÓN..................................................................................................................... 5 1.3.1. DOMINIO ................................................................................................................ 6 1.3.2 RECORRIDO O RANGO ............................................................................................. 6 1.3.3 TIPOS DE FUNCIONES ............................................................................................ 10 1.3.3.1 FUNCION CONSTANTE........................................................................................ 10 1.3.3.2 FUNCIÓN LINEAL................................................................................................. 14 1.3.3.3 FUNCIÓN CUADRÁTICA ...................................................................................... 28 1.3.3.5 FUNCIÓN RAÍZ CUADRADA................................................................................. 44 1.3.3.6 FUNCIÓN RACIONAL........................................................................................... 48 1.3.4 MISCELÁNEA DE EJERCICIOS.................................................................................. 52 2.- BIBLIOGRAFÍA.................................................................................................... 63
1 FUNCIONES REALES Y APLICACIONES 1.1 PRODUCTO CARTESIANO El producto cartesiano de dos conjuntos A y B es otro conjunto (A x B) formado por pares ordenados (x,y) tal que la primera componente “x” pertenece al conjunto A ( A xÎ ) ; y la segunda componente “y” pertenece al conjunto B ( A y Î ). Este conjunto se nota por B A x y se lee: “A cruz B”. { } B y A x y x B A Î Ù Î = / ) , ( x Representación gráfica del par ordenado (x,y) en el plano cartesiano: Y (x,y) X Ejemplo 1: A= {1 , 2, 3} ( 3 elementos) B = { 2 , 3 } ( 2 elementos) A x B= {(1,2), (1,3) , (2,2) ,(2,3), (3,2), (3,3)} ( 6 elementos) 1 2 3 2 3 A B
2 B x A= {(2,1);(2,2); (2,3); (3,1);(3,2) );(3,3)} (1, 2) (1, 3) (2, 2) (2, 3) (3, 2) (3, 3) 0 0,5 1 1,5 2 2,5 3 3,5 4 0 0,5 1 1,5 2 2,5 3 3,5 4 Representación Gráfica en el Plano Cartesiano A x B Y X B A 2 3 1 2 3
3 Ejemplo 2: Determinar AxA Si: A= {1, 2, 3} A= {1, 2, 3} x A= {1, 2, 3} AxA= {(1, 1); (1, 2); (1, 3); (2, 1); (2, 2); (2, 3); (3, 1); (3, 2); (3, 3)} Ejemplo 3: Si A= {-1, 2, -3} y B= {3, 4, 5, 6}, Determinar AxB y BxA AxB= {(-1, 3); (-1, 4); (-1, 5); (-1, 6); (2, 3); (2, 4); (2, 5); (2, 6); (-3, 3); (-3, 4); (-3, 5); (-3, 6)} BxA= {(3, -1); (3, 2); (3,-3); (4, -1); (4, 2); (4, -3); (5,- 1); (5, 2); (5, -3); (6, -1); (6, 2); (6, -3)} Ejemplo 4: Si A= {b, c, d} Hallar: AxA. AxA= {(b, b); (b, c); (b, d); (c, b); (c, c); (c, d); (d, b); (d, c); (d, d)} Propiedades: ‫׊‬ǡ ‘Œ—–‘•ˆ‹‹–‘•, se cumple que: 1.- A x B ≠ B x A (El producto cartesiano no es conmutativo) 2.- A x ( B x C) ≠ ( A x B ) x C (El producto cartesiano no cumple la propiedad Asociativa) (2, 1) (2, 2) (2, 3) (3, 1) (3, 2) (3, 3) 0 0,5 1 1,5 2 2,5 3 3,5 4 0 0,5 1 1,5 2 2,5 3 3,5 4 Representación Gráfica en el Plano Cartesiano B x A X Y
4 ͵Ǥ െ ൌ ‫˜׎‬ ൌ ‫׎‬ ՜ š ൌ ‫׎‬ Ejercicios 1. Sean los conjuntos: Hallar: a) B A x b) A B x c) B x B d) A x A 1.2 RELACIÓN Es un subconjunto no vacío del producto cartesiano A x B, Ejemplo: Sean los conjunto A= {1 , 2 } y B = { 2 , 3, -1 } La relación R1 formada por los pares ordenados ( x, y ), subconjunto del producto cartesiano A x B, donde x es menor que y, es la siguiente: R1= {(x, y) ϵ A x B/ x y] R1=[(1, 2); (1, 3); (2, 3)] 2 3 -1 A B { } { } 9 , 8 , 7 , 5 , 4 , 3 , , 1 = = B A 1 2
5 1.3 FUNCIÓN Es un subconjunto del producto cartesiano A x B (relación), tal que se cumplen las siguientes condiciones. 1.- ‫š׊‬ ‫א‬ ǡ ‫›׌‬ ‫א‬ –ƒŽ“—‡ሺšǡ ›ሻ ‫א‬ ˆ 2.- Si (x, y) y (x, z) ‫א‬ ˆ → y = z Es decir que : · Todo elemento del conjunto de salida, debe tener una imagen en elemento del conjunto de llegada. · No puede existir dos pares ordenados con la misma primera componente y la segunda componente distinta. Notación: ݂ǣ‫ܣ‬ ՜ ‫ܤ‬ ‫ݔ‬ ՜ ‫ݕ‬ ൌ ݂ሺ‫ݔ‬ሻ x es la variable independiente y es la variable dependiente y es la imagen de x por la ley f X y = f(x) A B f Conjunto de salida Conjunto de llegada
6 1.3.1. DOMINIO Sea la función: ݂ǣ‫ܣ‬ ՜ ‫ܤ‬ ‫ݔ‬ ՜ ‫ݕ‬ ൌ ݂ሺ‫ݔ‬ሻ El dominio de una función f, es el conjunto formado por todos los x ‫א‬ A, tal que existe un y ‫א‬ B, donde y = f(x) Df= { x ‫א‬ A / (x ,y) ‫א‬ f } 1.3.2 RECORRIDO O RANGO Es el conjunto formado por todos los y ‫א‬ B, que son imágenes de x ‫א‬ A, por la ley f. Rf= { y Є B / y= f(x) ^ x Є A } Ejemplo de funciones: a) A= {1, - 2, 3, - 4, 5} y B = {-1 , 0, 2 , 3 } f = { ( 1, -1) , (- 2, -1) , (3 ,0 ) , ( - 4 , 2), ( 5, 3) , } Df= { 1, -2, 3, -4, 5} Rf= { -1, 0, 2, 3} 1 -2 3 - 4 5 B -1 0 2 3 A
7 b) A= {1, - 2, 3, - 4, 5} y B = {-1 , 0, 2 , 3 } f = { ( 1, 0) , (- 2, 0) , (3 ,0 ) , ( - 4 , 3), ( 5, 3) , } Df= { 1, -2, 3, -4, 5} Rf= { 0, 3} Ejemplo de relaciones que no son funciones: a) Dados los siguientes conjuntos: A= {1, - 2, 3, - 4, 5} B = {-1 , 0, 2 , 3 } f = {(1, -1); (-2, 3); (3, 2)} 1 -2 3 -4 5 B -1 0 2 3 A 1 - 2 3 - 4 5 -1 0 2 3 A B ? ?
8 f no es función. No cumple que “para todo x elemento del conjunto de salida A, existe una imagen y elemento del conjunto de llegada B” b) Dados los siguientes conjuntos: A= {1, - 2, 3, - 4, 5} y B = {-1 , 0, 2 , 3 } f = { ( 1, 0) , (1, 2) , (- 2 1 ) , ( 3 , 2), ( -4, 3), ( 5, 3) } La relación f no es función, ya que no cumple que la siguiente condición: ሺ‫ݔ‬ǡ ‫ݕ‬ሻ ൌሺ‫ݔ‬ǡ ‫ݖ‬ሻ ՜ ‫ݕ‬ ൌ ‫ݖ‬ Ya que existen 2 pares ordenados donde la primera componente es igual, pero las segundas componentes son diferentes : ሺͳǡ Ͳሻ ൌሺͳǡ ʹሻ ՜ Ͳ ് ʹ c) Dados los siguientes conjuntos: A= {1, - 2, 3, - 4, 5} y B = {-1 , 0, 2 , 3 } La relación f = {(- 2, 3); (3, 0); (- 4, 0); (- 4, 3); (5, 3)} ¿es una función? A -1 0 2 3 1 -2 3 -4 5 B
9 Solución: La relación f no es función. No cumple con ninguna de las dos condiciones para ser una función. 1.- No cumple que “para todo x elemento del conjunto de salida A, existe una imagen y elemento del conjunto de llegada B” Al elemento “1” que pertenece al conjunto de salida no le corresponde una imagen elemento del conjunto de llegada f(1)= ? 2.- No cumple que la siguiente condición: ሺ‫ݔ‬ǡ ‫ݕ‬ሻ ൌሺ‫ݔ‬ǡ ‫ݖ‬ሻ ՜ ‫ݕ‬ ൌ ‫ݖ‬ Al elemento “-4” le corresponde dos imágenes del conjunto de llegada (- 4, 0) y (-4, 3) 0≠3 1 -2 3 -4 5 -1 0 2 3 A B ?
10 d) ¿ La siguiente gráfica, representa una función? Solución: No es función ya que existe un infinito número de pares ordenados donde a la primera componente “x” le corresponde 2 imágenes diferentes “y”. Ejemplo ( 4, 2) y (4, -2) 2 ≠ -2 1.3.3 TIPOS DE FUNCIONES 1.3.3.1 FUNCION CONSTANTE Se define como: f = {(x,y) R x R Î / y = k } donde R k Î ó ݂ǣܴ ՜ ܴ ‫ݔ‬ ՜ ‫ݕ‬ ൌ ݇ donde R k Î
11 Gráficamente: La función constante es aquella función en la que, para todos los valores de la variable independiente “x” que pertenecen al dominio de la función, la variable dependiente “y” es igual a k, donde k es un número real. Ejemplo: ݂ǣ ܴ ՜ ܴ ‫ݔ‬ ՜ ‫ݕ‬ ൌ ݂ሺ‫ݔ‬ሻ ൌ ͳ Df : ‫ݔ׊‬ ‫א‬ Rf: ‫ݕ‬ ൌ ͳ ó y ‫א‬ ሼͳሽ a) Sea la función: ݂ǣ ሿ െ ͷǡ ͵ሿ՜ ܴ ‫ݔ‬ ՜ ‫ݕ‬ ൌ െʹ x Y -5 -2 -4 -2 y=k x y x Y x
12 Df : ‫ݔ׊‬ ‫א‬ሿ െ ͷǡ ͵ሿ Rf: ‫ݕ‬ ൌ െʹ b) Sea la función: ݂ǣ ሾെ͹ǡ Ͷሿ՜ ܴ ‫ݔ‬ ՜ ‫ݕ‬ ൌ ݂ሺ‫ݔ‬ሻ ൌ ൝ Ͷ‫݅ݏ‬ െ ͹ ൑ ‫ݔ‬ ൏ െ͵ ʹ‫݅ݏ‬ െ ͵ ൑ ‫ݔ‬ ൑ Ͳ െ͵‫Ͳ݅ݏ‬ ൏ ‫ݔ‬ ൑ Ͷ x y -7 4 -6 4 -5 4 -4 4 -3 2 -2 2 -1 2 0 2 1 -3 2 -3 3 -3 4 -3 Df : ‫ݔ׊‬ ‫א‬ ሾെ͹ǡ Ͷሿ Rf: ‫ݕ‬ ‫א‬ ሼͶǡ ʹǡ െ͵ሽ -3 -2 -2 -2 -1 -2 0 -2 1 -2 2 -2 3 -2 Y x
13 d) La compañía A, ofrece a sus clientes el servicio de internet ilimitado por un pago mensual de $25. ¿ Cuál es la ecuación de la oferta? Solución: El bien que está en oferta es el tiempo de conexión a internet “x” El precio se mantiene constante a cualquier valor del tiempo de conexión a internet. “y” La oferta se representa como una línea horizontal con la función: Y = 25 y x x Y 5 25 10 25 15 25 20 25 25 25 25 25 30 25 35 25 40 25
14 1.3.3.2 FUNCIÓN LINEAL Se define como: ݂ǣԹ ՜ Թ ‫ݔ‬ ՜ ‫ݕ‬ ൌ ݂ሺ‫ݔ‬ሻ ൌax + b con a, b ‫א‬ Թǡ a ≠ 0 a es la pendiente Ejemplos: ‫ݕ‬ ൌ ‫ݔ‬ ൅ ͳ ‫ݕ‬ ൌ ʹ‫ݔ‬ ൅ ͳ ‫ݕ‬ ൌ െͷ‫ݔ‬ ൅ Ͷ ‫ݕ‬ ൌ െ͵x I) ࡿ࢏ a 0 la función es creciente. Df : ‫ݔ׊‬ ‫א‬ Թ Rf: ‫ݕ׊‬ ‫א‬ Թ Ejemplos: a) Sea la función: ݂ǣ Թ ՜ Թ ‫ݔ‬ ՜ ‫ݕ‬ ൌ ʹ‫ݔ‬ ൅ ͺ Y b X - b/a
15 a = 2 b = 8 El valor de la variable x, donde la variable y = 0 es la siguiente: ି௕ ௔ = ି଼ ଶ = - 4 Entonces tenemos el par ordenado (-4, 0) El valor de la variable y, donde la variable x = 0, es y=b: Entonces tenemos el par ordenado (0, 8) Gráficamente: y ‫ݕ‬ ൌ ʹ‫ݔ‬ ൅ ͺ x ‫݂ܦ‬ǣ ‫ݔ׊‬ ‫א‬ Թ Para hallar el recorrido de f
16 ‫ݔ‬ ‫א‬ Թ ʹ‫ݔ‬ ‫א‬ Թ ʹ‫ݔ‬ ൅ ͺ ‫א‬ Թ ‫ݕ‬ ‫א‬ Թ ܴ݂ǣ‫ݕ׊‬ ‫א‬ Թ b) Sea la función: ݂ǣ Թ ՜ Թ ‫ݔ‬ ՜ ‫ݕ‬ ൌ ‫ݔ‬ ൅ ͵ a = 1 b = 3 El valor de la variable x, donde la variable y = 0 es la siguiente: ି௕ ௔ = ିଷ ଵ = - 3 Entonces tenemos el par ordenado (-3, 0) El valor de la variable y, donde la variable x = 0, es y=b: Entonces tenemos el par ordenado (0, 3) Gráficamente: y x
17 c) Sea la función: f: ]-2,2] → Թ x → y = 4x-8 a = 4 b = - 8 El valor de la variable x, donde la variable y = 0 es la siguiente: ି௕ ௔ = ଼ ସ = 2 Entonces tenemos el par ordenado (2, 0) El valor de la variable y, donde la variable x = 0, es y=b: Entonces tenemos el par ordenado (0, - 8) Df: ‫ݔ׊‬ ‫]א‬-2,2] Para hallar el recorrido de f െʹ ൏ ‫ݔ‬ ൑ ʹ െͺ ൏ Ͷ‫ݔ‬ ൑ ͺ െͳ͸ ൏ Ͷ‫ݔ‬ െ ͺ ൑ Ͳ ܴ݂ǣ‫ݕ׊‬ ‫א‬ሿ െ ͳ͸ǡ Ͳሿ X Y -2 -16 2 0
18 Gráficamente: x d) Sea la función: f: ]-4,1[ → Թ x → y = 2 x + 3 a = 2 b = 3 El valor de la variable x, donde la variable y = 0 es la siguiente: X Y -4 -5 1 5
19 ି௕ ௔ = ିଷ ଶ Entonces tenemos el par ordenado ( െ ଷ ଶ , 0) El valor de la variable y, donde la variable x = 0, es y=b: Entonces tenemos el par ordenado (0, 3) Df: ‫ݔ׊‬ ‫]א‬-4, 1[ Para hallar el recorrido de f െͶ ൏ ‫ݔ‬ ൏ ͳ െͺ ൏ ʹ‫ݔ‬ ൏ ʹ െͷ ൏ ʹ‫ݔ‬ ൅ ͵ ൏ ͷ ܴ݂ǣ‫ݕ׊‬ ‫א‬ሿ െ ͷǡ ͷሾ Gráficamente: y x
20 II) Si ࢇ ൏ Ͳ la función es decreciente. Df : ‫ݔ׊‬ ‫א‬ Թ Rf: ‫ݕ׊‬ ‫א‬ Թ Ejemplos: a) Sea la función: f: Թ ՜ Թ x ՜y=f(x) = - 2 x + 6 a= -2 b= 6 El valor de x donde la variable y=0 es la siguiente: ି௕ ௔ = ି଺ ିଶ = 3 Entonces tenemos el par ordenado (3, 0) El valor de la variable y, donde la variable x = 0, es y=b: Entonces tenemos el par ordenado (0, 6) Y b X - b/a
21 ‫݂ܦ‬ǣ ‫ݔ׊‬ ‫א‬ Թ Para hallar el recorrido de f ‫ݔ‬ ‫א‬ Թ െʹ‫ݔ‬ ‫א‬ Թ െʹ‫ݔ‬ ൅ ͸ ‫א‬ Թ ‫ݕ‬ ‫א‬ Թ ܴ݂ǣ‫ݕ׊‬ ‫א‬ Թ y x b) Sea la función: ݂ǣ ሾെͶǡ ͵ሾ ՜ Թ ‫ݔ‬ ՜ ‫ݕ‬ ൌ െʹ‫ݔ‬ െ ͳ
22 a= - 2 b= - 1 El valor de x donde la variable y=0 es la siguiente: ି௕ ௔ = ିሺିଵሻ ିଶ = െ ଵ ଶ Entonces tenemos el par ordenado (െ ଵ ଶ , 0) El valor de la variable y, donde la variable x = 0, es y=b: Entonces tenemos el par ordenado (0, - 1) y Gráficamente x
23 ‫݂ܦ‬ǣ ‫ݔ׊‬ ‫א‬ ሾെͶǡ ͵ሾ Rf: െͶ ൑ ‫ݔ‬ ൏ ͵ െͺ ൑ ʹ‫ݔ‬ ൏ ͸ ͺ ൒ ʹ‫ݔ‬ ൒െ͸ ͹ ൒ െʹ‫ݔ‬ െ ͳ ൐ െ͹ ͹ ൒ ‫ݕ‬ ൐ െ͹ െ͹ ൏ ‫ݕ‬ ൑ ͹ ܴ݂ǣ‫ݕ׊‬ ‫א‬ሿ െ ͹ǡ ͹ሿ c) Sea la función: ݂ǣ ሾെ͵ǡ ʹሾ ՜ Թ ‫ݔ‬ ՜ ‫ݕ‬ ൌ െ‫ݔ‬ ൅ ͷ a= - 1 b= 5 El valor de x donde la variable y=0 es la siguiente: ି௕ ௔ = ିହ ିଵ = ͷ Entonces tenemos el par ordenado (5, 0) El valor de la variable y, donde la variable x = 0, es y=b: Entonces tenemos el par ordenado (0, 5)
24 ࡰࢌǣ ‫࢞׊‬ ‫א‬ ሾെ૜ǡ ૛ሾ Rf: െ͵ ൑ ‫ݔ‬ ൏ ʹ ͵ ൒െ‫ݔ‬ ൐ െʹ ͺ ൒ െ‫ݔ‬ ൅ ͷ ൐ ͵ ͺ ൒ ‫ݕ‬ ൐ ͵ ࡾࢌǣ‫࢟׊‬ ‫א‬ሿ૜ǡ ૡሿ y X
25 1.3.3.2.1.- Ecuación de recta a partir de 2 puntos Se puede determinar la ecuación de una recta, si se conoce dos coordenadas ሺ‫ݔ‬ଵǡ ‫ݕ‬ଵሻ›ሺ‫ݔ‬ଶǡ ‫ݕ‬ଶሻa través de la siguiente fórmula. ሺ࢟ െ࢟૚ሻ ሺ࢞ െ࢞૚ሻ ൌ ሺ࢟૛ െ࢟૚ሻ ሺ࢞૛ െ࢞૚ሻ Siendo la pendiente ݉ ൌ ሺ௬మି௬భሻ ሺ௫మି௫భሻ entonces: ሺ‫ݕ‬ െ‫ݕ‬ଵሻ ൌ ሺ‫ݕ‬ଶ െ‫ݕ‬ଵሻ ሺ‫ݔ‬ଶ െ‫ݔ‬ଵሻ ሺ‫ݔ‬ െ‫ݔ‬ଵሻ ሺ࢟ െ࢟૚ሻ ൌ ࢓ሺ࢞ െ࢞૚ሻ donde m es la pendiente. Ejemplo: a) Determine la ecuación de la recta que pasa por los puntos: A= (2, 1) y B= (4, 5) ሺ‫ݕ‬ െ‫ݕ‬ଵሻ ൌ ሺ௬మି௬భሻ ሺ௫మି௫భሻ ሺ‫ݔ‬ െ‫ݔ‬ଵሻ ሺ‫ݕ‬ െ ͳሻ ൌ ሺͷ െ ͳሻ ሺͶ െ ʹሻ ሺ‫ݔ‬ െ ʹሻ ሺ‫ݕ‬ െ ͳሻ ൌ Ͷ ʹ ሺ‫ݔ‬ െ ʹሻ ‫ݕ‬ െ ͳ ൌ ʹ‫ݔ‬ െ Ͷ ‫ݕ‬ ൌ ʹ‫ݔ‬ െ ͵
26 b) Un fábrica de pantalones tiene una demanda semanal de 500 pantalones cuando el precio es de $60, y de 300 pantalones cuando el precio es de 80. Determine la ecuación de la demanda de pantalones, suponiendo que es una función lineal. A= (60, 500) y B= (80, 300) ሺ‫ݕ‬ െ‫ݕ‬ଵሻ ൌ ሺ‫ݕ‬ଶ െ‫ݕ‬ଵሻ ሺ‫ݔ‬ଶ െ‫ݔ‬ଵሻ ሺ‫ݔ‬ െ‫ݔ‬ଵሻ ሺ‫ݕ‬ െ ͷͲͲሻ ൌ ሺ͵ͲͲ െ ͷͲͲሻ ሺͺͲ െ ͸Ͳሻ ሺ‫ݔ‬ െ ͸Ͳሻ ሺ‫ݕ‬ െ ͷͲͲሻ ൌ െʹͲͲ ʹͲ ሺ‫ݔ‬ െ ͸Ͳሻ ‫ݕ‬ െ ͷͲͲ ൌെͳͲሺ‫ݔ‬ െ ͸Ͳሻ ‫ݕ‬ െ ͷͲͲ ൌെͳͲ‫ݔ‬ ൅ ͸ͲͲ ‫ݕ‬ ൌെͳͲ‫ݔ‬ ൅ ͳͳͲͲ 1.3.3.2.2.- Ecuación de recta a partir la pendiente “m” y un punto. ሺ࢟ െ࢟૚ሻ ൌ ࢓ሺ࢞ െ࢞૚ሻ a) Ejemplo: Si se conoce que la pendiente m = 4 y el punto p=(2 , 3), determinar la ecuación de la recta. ሺ‫ݕ‬ െ‫ݕ‬ଵሻ ൌ ݉ሺ‫ݔ‬ െ‫ݔ‬ଵሻ ሺ‫ݕ‬ െ ͵ሻ ൌ Ͷሺ‫ݔ‬ െ ʹሻ ‫ݕ‬ െ ͵ ൌ Ͷ‫ݔ‬ െ ͺ ‫ݕ‬ ൌ Ͷ‫ݔ‬ െ ͷ
27 b) La empresa eléctrica cobra $0.08 el kilowatio-hora (Kw-h) más un costo fijo mensual por comercialización. La factura mensual de María es $ 18.33 por 173 Kw-h. i) Determine la función que modele el cobro de la planilla mensual de luz. ii) Cuánto debe pagar María si el consuno de luz es de 200 KW-h Solución: i) x = la cantidad de kw-h consumidos y= costo mensual de luz Se conoce el par ordenado: (173, 18.33) ሺ‫ݕ‬ െ‫ݕ‬ଵሻ ൌ ݉ሺ‫ݔ‬ െ‫ݔ‬ଵሻ ሺ‫ݕ‬ െ ͳͺǤ͵͵ሻ ൌ ͲǤͲͺሺ‫ݔ‬ െ ͳ͹͵ሻ ‫ݕ‬ െ ͳͺǤ͵͵ ൌ ͲǤͲͺ‫ݔ‬ െ ͳ͵ǤͺͶ ‫ݕ‬ ൌ ͲǤͲͺ‫ݔ‬ െ ͳ͵ǤͺͶ ൅ ͳͺǤ͵͵ ‫ݕ‬ ൌ ͲǤͲͺ‫ݔ‬ ൅ ͶǤͶͻ ii) Si el consumo de luz es de x= 200, María debe pagar: y = 0.08(200)+4.49 y = $ 20,49
28 1.3.3.3 FUNCIÓN CUADRÁTICA La función cuadrática de define de la siguiente manera: f: Թ Թ x y = f (x) = ax2 + bx + c = ƒ ቀš ൅ ୠ ଶୟ ቁ ଶ െ ୠమିସୟୡ ସୟ donde a ≠ 0 I) a 0 Punto mínimo (x min, y min) x min = ି௕ ଶ௔ y min = ସ௔௖ି௕మ ସ௔ ‫݂ܦ‬ǣ ‫ݔ׊‬ ‫א‬ Թ ܴ݂ǣ‫ݕ׊‬ ‫א‬ ሾ‫ݕ‬௠௜௡ǡ ൅λሾ ܾܵ݅ଶ െ Ͷܽܿ ൐ Ͳ x ܺ ൌ െܾ േ ξܾଶ െ Ͷܽܿ ʹܽ (Xmin, ymin) c y
29 ‫ܾ݅ܵݕ‬ଶ െ Ͷܽܿ ൌ Ͳ X ‫ܾ݅ܵݕ‬ଶ െ Ͷܽܿ ൏ Ͳ (Xmin, ymin) c c (Xmin, ymin) x x
30 II) a 0 Punto máximo (xmax, ymax) x max = ି௕ ଶ௔ y max = ସ௔௖ି௕మ ସ௔ ‫݂ܦ‬ǣ ‫ݔ׊‬ ‫א‬ ܴ ܴ݂ǣ‫ݕ׊‬ ‫א‬ሿ െ λǡ ‫ݕ‬௠௔௫ሿ ›ܾܵ݅ଶ െ Ͷܽܿ ൐ Ͳ x (Xmax, ymax) (Xmax, ymax) (Xmax, ymax)
31 ‫ܾ݅ܵݕ‬ଶ െ Ͷܽܿ ൌ Ͳ x ‫ܾ݅ܵݕ‬ଶ െ Ͷܽܿ ൏ Ͳ x (Xmin, ymin) (Xmax, ymax) (Xmax, ymax)
32 Ejemplos: a) Sea la función: f: Թ ՜ Թ x ՜y=f(x) = 3x2 + 6x - 2 y a = 3 b = 6 c = - 2 x min = ି௕ ଶ௔ ൌ ି଺ ଶሺଷሻ ൌ െͳ y min= ସ௔௖ି௕మ ସ௔ ൌ ସሺଷሻሺିଶሻି଺మ ସሺଷሻ ൌ ି଺଴ ଵଶ ൌ െͷ x Punto mínimo ሺെͳǡ െͷሻ ‫݂݊×݅ܿ݊ݑ݂݈ܽ݁݀݋݅݊݅݉݋ܦ‬ ‫݂ܦ‬ǣ ‫ݔ׊‬ ‫א‬ Թ Para hallar el recorrido de ‫ݕ‬ ൌ ͵šଶ ൅ ͸š െ ʹ › ൌ ͵ሺš ൅ ͳሻଶ െ ͷ ‫ݔ‬ ‫א‬ Թ ‫ݔ‬ ൅ ͳ ‫א‬ Թ ሺ‫ݔ‬ ൅ ͳሻଶ ൒ Ͳ ሺ‫ݔ‬ ൅ ͳሻଶ ൒ Ͳ ሺ‫ݔ‬ ൅ ͳሻଶ െ ͷ ൒ െͷ ‫ݕ‬ ൒ െͷ ܴ݂ǣ‫ݕ׊‬ ‫א‬ሾെͷǡ ൅λሾ
33 b) ݂ǣ ሿെʹǡ ͵ሿ՜ Թ ‫ݔ‬ ՜ ‫ݕ‬ ൌ ‫ݔ‬ଶ െ ʹ‫ݔ‬ ൅ ͳ ൌ ሺ‫ݔ‬ െ ͳሻଶ a = 1 b = -2 c = 1 x min = ି௕ ଶ௔ ൌ ିሺିଶሻ ଶሺଵሻ ൌ ͳ y min= ସ௔௖ି௕మ ସ௔ ൌ ସሺଵሻሺଵሻିሺିଶሻమ ସሺଵሻ ൌ ଴ ସ ൌ Ͳ Punto mínimo ሺെͳǡͲሻ ‘‹‹‘†‡Žƒˆ— ‹×ˆ ‫݂ܦ‬ǣ ‫ݔ׊‬ ‫א‬ ሿെʹǡ ͵ሿ Para hallar el recorrido de la función ‫ݕ‬ ൌ‫ݔ‬ʹ െ ʹ‫ݔ‬ ൅ ͳ › ൌሺ‫ݔ‬ െ ͳሻʹ Rf: െʹ ൏ ‫ݔ‬ ൑ ͵ െ͵ ൏ ‫ݔ‬ െ ͳ ൑ ʹ Ͳ ൑ ሺ‫ݔ‬ െ ͳሻଶ ൏ ͻ 0 ൑ ‫ݕ‬ ൏ ͻ ܴ݂ǣ‫ݕ׊‬ ‫א‬ሾͲǡͻሾ x y
34 d) Sea la función: ݂ǣ ሾെ͵ǡ ʹሾ՜ Թ ‫ݔ‬ ՜ ‫ݕ‬ ൌ ‫ݔ‬ଶ ൅ ʹ‫ݔ‬ ൅ ͵ ൌ ሺ‫ݔ‬ ൅ ͳሻଶ ൅ ʹ a = 1 b = 2 c = 3 x min = ି௕ ଶ௔ ൌ ିଶ ଶሺଵሻ ൌ െͳ y min= ସ௔௖ି௕మ ସ௔ ൌ ସሺଵሻሺଷሻିଶమ ସሺଵሻ ൌ ଵଶିସ ସ ൌ ଼ ସ ൌ ʹ Punto mínimo ሺെͳǡʹሻ ‘‹‹‘†‡Žƒˆ— ‹×ˆ ‫݂ܦ‬ǣ ‫ݔ׊‬ ‫א‬ ሾെ͵ǡ ʹሾ Para hallar el recorrido de la función ‫ݕ‬ ൌ‫ݔ‬ʹ ൅ ʹ‫ݔ‬ ൅ ʹ › ൌሺ‫ݔ‬ ൅ ͳሻʹ ൅ ʹ Rf: െ͵ ൑ ‫ݔ‬ ൏ ʹ െʹ ൑ ‫ݔ‬ ൅ ͳ ൏ ͵ Ͳ ൑ ሺ‫ݔ‬ ൅ ͳሻଶ ൏ ͻ 2 ൑ ‫ݕ‬ ൏ ͳͳ ܴ݂ǣ‫ݕ׊‬ ‫א‬ሾʹǡͳͳሾ x y
35 e) Sea la función: f: Թ ՜ Թ x ՜y=f(x) = - 3x2 + 7x+2 a = -3 b = 7 c = 2 x max = ି௕ ଶ௔ ൌ ି଻ ଶሺିଷሻ ൌ ଻ ଺ y max = ସ௔௖ି௕మ ସ௔ ൌ ସሺିଷሻሺଶሻି଻మ ସሺିଷሻ ൌ ି଻ଷ ିଵଶ ൌ ଻ଷ ଵଶ Punto máximo ቀ ଻ ଺ ǡ ଻ଷ ଵଶ ቁ ‘‹‹‘†‡Žƒˆ— ‹×ˆǡ ˆǣ ‫š׊‬ ‫א‬ Թ Para hallar el recorrido de ‫ݕ‬ ൌ െ͵šଶ ൅ ͹š ൅ ʹ › ൌെ͵ ൬š െ ͹ ͸ ൰ ଶ ൅ ͹͵ ͳʹ ‫ݔ‬ ‫א‬ Թ ‫ݔ‬ െ ͹ ͸ ‫א‬ Թ ൬‫ݔ‬ െ ͹ ͸ ൰ ଶ ൒ Ͳ െ͵ ൬‫ݔ‬ െ ͹ ͸ ൰ ଶ ൑ Ͳ െ͵ ൬‫ݔ‬ െ ͹ ͸ ൰ ଶ ൅ ͹͵ ͳʹ ൑ ͹͵ ͳʹ ‫ݕ‬ ൑ ͹͵ ͳʹ ܴ݂ǣ‫ݕ׊‬ ‫א‬ ൨െλǡ ͹͵ ͳʹ ൨ (Xmax, ymax) x y
36 f) Sea la función: ݂ǣ ሿͲǡ ʹሾ՜ Թ x ՜y=f(x) = - 2x2 + 6x - 4 a = -2 b = 6 c = -4 x max = ି௕ ଶ௔ ൌ ି଺ ଶሺିଶሻ ൌ ଺ ସ ൌ ଷ ଶ y max = ସ௔௖ି௕మ ସ௔ ൌ ସሺିଶሻሺିସሻି଺మ ସሺିଶሻ ൌ ିସ ି଼ ൌ ଵ ଶ Punto máximo ቀ ଷ ଶ ǡ ଵ ଶ ቁ ‘‹‹‘†‡Žƒˆ— ‹óˆǡ ‫݂ܦ‬ǣ ‫ݔ׊‬ ‫א‬ ሿͲǡ ʹሾ Para hallar el recorrido de ‫ݕ‬ ൌെʹšଶ ൅ ͸š െ Ͷ › ൌെʹ ൬š െ ͵ ʹ ൰ ଶ ൅ ͳ ʹ ‫ݔ‬ ‫א‬ ሿͲǡ ʹሾ Ͳ ൏ ‫ݔ‬ 2 െ ଷ ଶ ൏ ‫ݔ‬ െ ଷ ଶ ଵ ଶ െ ଷ ଶ ൏ ‫ݔ‬ െ ଷ ଶ Ͳ˜Ͳ ൑ ‫ݔ‬ െ ଷ ଶ ଵ ଶ Ͳ ൏ቀ‫ݔ‬ െ ଷ ଶ ቁ ଶ ଽ ସ ˜Ͳ ൑ቀ‫ݔ‬ െ ଷ ଶ ቁ ଶ ଵ ସ Ͳ ൑ሺ‫ݔ‬ െ ଷ ଶ ሻଶ ଽ ସ Ͳ ൒ െʹሺ‫ݔ‬ െ ଷ ଶ ሻଶ ൐ െ ଽ ଶ ଵ ଶ ൒ െʹሺ‫ݔ‬ െ ଷ ଶ ሻଶ ൅ ଵ ଶ ൐ െ ଼ ଶ (Xmax, ymax) x y
37 െͶ ൏ ‫ݕ‬ ൑ ଵ ଶ ˆǣ‫›׊‬ ‫א‬ ൨െͶǡ ͳ ʹ ൨ g) Sea la función: ݂ǣ ሾʹǡ Ͷሿ՜ Թ x ՜y=f(x) = - x2 + 5x - 9 a = - 1 b = 5 c = - 9 x max = ି௕ ଶ௔ ൌ ିହ ଶሺିଵሻ ൌ ହ ଶ y max = ସ௔௖ି௕మ ସ௔ ൌ ସሺିଵሻሺିଽሻିହమ ସሺିଵሻ ൌ െ ଵଵ ସ —–‘žš‹‘ቀ ହ ଶ ǡ െ ଵଵ ସ ቁ ‘‹‹‘†‡Žƒˆ— ‹×ˆǡ ˆǣ ‫š׊‬ ‫א‬ ሾʹǡ Ͷሿ Para hallar el recorrido de ‫ݕ‬ ൌ- x2 + 5x - 9 › ൌെ ൬š െ ͷ ʹ ൰ ଶ െ ͳͳ Ͷ ‫ݔ‬ ‫א‬ሾʹǡ Ͷሿ ʹ ൑ ‫ݔ‬ ൑ Ͷ െ ଵ ଶ ൑ ‫ݔ‬ െ ହ ଶ ൑ ଷ ଶ Ͳ ൑ሺ‫ݔ‬ െ ͷ ʹ ሻଶ ൑ ͻ Ͷ Ͳ ൒ െሺ‫ݔ‬ െ ହ ଶ ሻଶ ൒ െ ଽ ସ (Xmax, ymax) x y
38 െ ͳͳ Ͷ ൒ െሺ‫ݔ‬ െ ͵ ʹ ሻଶ െ ͳͳ Ͷ ൒ െͷ െͷ ൑ ‫ݕ‬ ൑െ ଵଵ ସ ܴ݂ǣ‫ݕ׊‬ ‫א‬൤െͷǡ െ ͳͳ Ͷ ൨ h) Se dispone de un alambre de 85 metros para cercar con los 3 lados un terreno de tal manera de se obtenga el área máxima. ¿Cuáles son las dimensiones del terreno.? ancho Solución: El área del rectángulo es: base x altura (largo x ancho) A= b x h A= (85 – 2x ) x A= 85x – 2x2 Se necesita encontrar para que valor de x el área es máxima. x max = ି௕ ଶ௔ ൌ ି଼ହ ଶሺିଶሻ ൌ ଼ହ ସ = 21,25 A max = ସ௔௖ି௕మ ସ௔ ൌ ସሺିଵሻሺ଴ሻି଼ହమ ସሺିଶሻ ൌ ଻ଶଶହ ଼ ൌ ͻͲ͵ǡͳʹͷ Punto máximo ቀ ଼ହ ସ ǡ ଻ଶଶହ ଼ ቁ Las dimensiones del terreno son: ancho x= 21,25 m largo = 85 – 2x largo = 85 – 2(21,25) largo = 42.5 Área máxima= 903.12 x x 85-2x largo (Xmax, ymax)
39 i) Se lanza un proyectil desde el suelo hacia arriba, describiendo un movimiento parabólico. Si se conoce que la altura máxima media en metros que alcanza el proyectil se calcula a través de la función: H(t) = -4t2 + 15t. Calcular: a) ¿En qué momento alcanza la altura máxima? b) ¿ Cuál es la altura máxima? Solución: H(t) = - 4t2 + 15t a= -4 b=15 c=0 t max = ିୠ ଶୟ ൌ ିଵହ ଶሺିସሻ ൌ ିଵହ ି଼ = 1,85 H max = ସୟୡିୠమ ସୟ ൌ ସሺିସሻሺ଴ሻିଵହమ ସሺିସሻ ൌ ିଶଶହ ି଼ ൌ ͳͶǡͲ͸ Punto máximo ቀ ଵହ ଼ ǡ ଶଶହ ଼ ቁ a) La altura máxima es alcanzada a un tiempo t=1,85s b) La altura máxima es H= 14,06m (Xmax, ymax)
40 j) Una compañía que vende agua embotellada vende semanalmente x número de botellas de agua a p dólares cada una, la relación entre p (precio) y x (número de artículos vendidos) está dada por la siguiente ecuación de demanda: P = x - 246 ¿Cuántos botellas de agua debe vender la compañía para obtener un ingreso semanal de $1.000? Solución: Ingreso requerido I =1000 Precio de venta P= x -246 Número de artículos vendidos= x Ingreso= precio de venta x número de artículos vendidos I = P x 1000= (x-246) x 1000= x2 - 246x x2 - 246x -1000=0 x2 - 246x - 1000=0 ‫ݔ‬ ൌ െܾ േ ξܾଶ െ Ͷܽܿ ʹܽ ‫ݔ‬ ൌ െሺെʹͶ͸ሻ േ ඥሺെʹͶ͸ሻଶ െ ͶሺͳሻሺെͳͲͲͲሻ ʹሺͳሻ ‫ݔ‬ ൌ ʹͶ͸ േ ඥ͸Ͳͷͳ͸ ൅ ͶͲͲͲሻ ʹሺͳሻ ‫ݔ‬ ൌ ʹͶ͸ േ ξ͸Ͷͷͳ͸ ʹ X = 250 v x = - 4 Consideramos solamente el valor entero positivo que es x = 250. Por lo tanto la compañía debe vender 250 botellas de agua semanalmente.
41 1.3.3.4 FUNCIÓN VALOR ABSOLUTO La función valor absoluto se define de la siguiente manera: fԹ → Թ x → y = f (x) = ȁ࢞ȁ y ‫݂ܦ‬ǣ ‫ݔ׊‬ ‫א‬ Թ ܴ݂ǣ‫ݕ׊‬ ‫א‬ ሾͲǡ ൅λሾ x Ejemplos: a) Sea la función ݂ǣ Թ ՜ Թ x ՜y=f(x) = ȁʹ‫ݔ‬ െ Ͷȁ Dominio de f: ‫݂ܦ‬ǣ ‫ݔ׊‬ ‫א‬ Թ Recorrido de f: ‫ݔ‬ ‫א‬ Թ ʹ‫ݔ‬ ‫א‬ Թ ʹ‫ݔ‬ െ Ͷ ‫א‬ Թ ȁʹ‫ݔ‬ െ Ͷȁ ൒ Ͳ ܴ݂ǣ‫ݕ׊‬ ‫א‬ ሾͲǡ ൅∞ሾ
42 b) Sea la función ݂ǣሿͲǡ ͵ሿ՜ Թ x ՜y=f(x) = ȁെ͵‫ݔ‬ ൅ ͷȁ y Dominio de f: ‫݂ܦ‬ǣ ‫ݔ׊‬ሿͲǡ ͵ሿ Recorrido de f: ‫ݔ‬ ‫א‬ሿͲǡ ͵ሿ Ͳ ൏ ‫ݔ‬ ൑ ͵ Ͳ ൐ െ͵‫ݔ‬ ൒ െͻ ͷ ൐ െ͵‫ݔ‬ ൅ ͷ ൒ െͶ Ͳ ൑ ȁെ͵‫ݔ‬ ൅ ͷȁ ൏ ͷ Ͳ ൑ ‫ݕ‬ ൏ ͷ x ܴ݂ǣ‫ݕ׊‬ ‫א‬ ሾͲǡ ͷሿ c) Sea la función ݂ǣሿെͳǡ Ͷሿ՜ Թ y x ՜y=f(x) = ȁെͶ‫ݔ‬ ൅ ͺȁ െ ʹ Dominio de f: ‫ݔ‬ ‫א‬ሿെͳǡ Ͷሿ Recorrido de f: െͳ ൏ ‫ݔ‬ ൑ Ͷ Ͷ ൐ െͶ‫ݔ‬ ൒ െͳ͸ ͳʹ ൐ െͶ‫ݔ‬ ൅ ͺ ൒ െͺ Ͳ ൑ ȁെͶ‫ݔ‬ ൅ ͺȁ ൏ ͳʹ െʹ ൑ ȁെͶ‫ݔ‬ ൅ ͺȁ െ ʹ ൏ ͳͲ െʹ ൑ ‫ݕ‬ ൏ ͳͲ ܴ݂ǣ‫ݕ׊‬ ‫א‬ ሾെʹǡ ͳͲሾ x x
43 d) Sea la función y ݂ǣ ሿെʹǡ͵ሿ՜ Թ x ՜y=f(x) = - ȁ͵‫ݔ‬ െ ͵ȁ ൅ ͳ Dominio de f: y ‫ݔ‬ ‫א‬ሿെʹǡ͵ሿ Recorrido de f: െʹ ൏ ‫ݔ‬ ൑ ͵ െ͸ ൏ ͵‫ݔ‬ ൑ ͻ െͻ ൏ ͵‫ݔ‬ െ ͵ ൑ ͸ Ͳ ൑ ȁ͵‫ݔ‬ െ ͵ȁ ൏ ͻ Ͳ ൒ െȁ͵‫ݔ‬ െ ͵ȁ ൐ െͻ ͳ ൒ െȁ͵‫ݔ‬ െ ͵ȁ ൅ ͳ ൐ െͺ െͺ ൏ ‫ݕ‬ ൑ ͳ ܴ݂ǣ‫ݕ׊‬ ‫א‬ ሿെͺǡ ͳሿ y e) Sea la función ݂ǣሿͲǡ ͵ሾ՜ Թ x ՜y=f(x) = - ȁെͶ‫ݔ‬ ൅ Ͷȁ െ ͳ Dominio de f: ‫ݔ‬ ‫א‬ሿെͲǡ ͵ሾ Recorrido de f: Ͳ ൏ ‫ݔ‬ ൏ ͵ Ͳ ൐ െͶ‫ݔ‬ ൐ െͳʹ Ͷ ൐ െͶ‫ݔ‬ ൅ Ͷ ൐ െͺ Ͳ ൑ ȁെͶ‫ݔ‬ ൅ Ͷȁ ൏ ͺ Ͳ ൒ െȁെͶ‫ݔ‬ ൅ Ͷȁ ൐ െͺ Ͳ ൒ െȁെͶ‫ݔ‬ ൅ Ͷȁ െ ͳ ൐ െͻ x x
44 Ͳ ൒ ‫ݕ‬ ൐ െͻ െͻ ൏ ‫ݕ‬ ൑ െͳ ܴ݂ǣ‫ݕ׊‬ ‫א‬ ሿെͻǡ െͳሿ 1.3.3.5 FUNCIÓN RAÍZ CUADRADA La raíz cuadrada se define de la siguiente manera: f: ሾ૙ǡ ൅λሾ՜ሾ૙ǡ ൅λሾ x → y = f (x) = ξ࢞ Dominio de f: ‫݂ܦ‬ǣ ‫ݔ׊‬ ‫א‬ ሾ૙ǡ ൅λሾ Recorrido de f: ܴ݂ǣ‫ݕ׊‬ ‫א‬ ሾͲǡ ൅λሾ Ejemplos: a) Sea la función y = f (x) = ξ૛࢞ െ ૚ Dominio de f: ʹ‫ݔ‬ െ ͳ ൒ Ͳ ‫ݔ‬ ൒ ଵ ଶ ‫݂ܦ‬ǣ ‫ݔ׊‬ ‫א‬ ൤ ૚ ૛ ǡ ൅λ൤ Recorrido de f: ‫ݔ‬ ൒ ͳ ʹ ʹ‫ݔ‬ ൒ ͳ ʹ‫ݔ‬ െ ͳ ൒ Ͳ ξʹ‫ݔ‬ െ ͳ ൒ Ͳ x x y y
45 ‫ݕ‬ ൒ Ͳ ܴ݂ǣ‫ݕ׊‬ ‫א‬ ሾͲǡ ൅λሾ b) Determinar el dominio y recorrido de la siguiente relación para que sea función y = f (x) = ξ૜࢞ ൅ ૝ +2 Dominio de f: ͵‫ݔ‬ ൅ Ͷ ൒ Ͳ ͵‫ݔ‬ ൒ െͶ ‫ݔ‬ ൒ െ ସ ଷ ‫݂ܦ‬ǣ ‫ݔ׊‬ ‫א‬ ቂെ ૝ ૜ ǡ ൅λቂ Recorrido de f: ‫ݔ‬ ൒ െ Ͷ ͵ ͵‫ݔ‬ ൒ െͶ ͵‫ݔ‬ ൅ Ͷ ൒ Ͳ ξ͵‫ݔ‬ ൅ Ͷ ൒ Ͳ ξ͵‫ݔ‬ ൅ Ͷ ൅ ʹ ൒ ʹ ‫ݕ‬ ൒ ʹ ܴ݂ǣ‫ݕ׊‬ ‫א‬ ሾʹǡ ൅λሾ c) Dada la función ࢌǣሿെ૜ǡ ૛ሿ ՜ Թ x ՜ y = f (x) = ξെ࢞ ൅ ૜ - 1 Determinar el recorrido de f x y
46 Dominio de f: ‫ݔ׊‬ ‫א‬ ሿെ૜ǡ ૛ሿ Recorrido de f: െ͵ ൏ ‫ݔ‬ ൑ ʹ ͵ ൐ െ‫ݔ‬ ൒ െʹ ͸ ൐ െ‫ݔ‬ ൅ ͵ ൒ ͳ ξ͸ ൐ ξെ‫ݔ‬ ൅ ͵ ൒ ͳ ξ͸ െ ͳ ൐ ξെ‫ݔ‬ ൅ ͵ െ ͳ ൒ Ͳ 0൑ ‫ݕ‬ ൏ ξ͸ െ ͳ ܴ݂ǣ‫ݕ׊‬ ‫א‬ ሾͲǡ ξ͸ െ ͳሾ d) Dada la función ࢌǣሿെ૚ǡ ૛ሿ ՜ Թ x ՜ y = f (x) = ξ૛࢞ ൅ ૜ - 3 Determinar el recorrido de f Dominio de f: ‫ݔ׊‬ ‫א‬ ሿെ૜ǡ ૛ሿ Recorrido de f: െͳ ൏ ‫ݔ‬ ൑ ʹ െʹ ൏ ʹ‫ݔ‬ ൑ Ͷ ͳ ൐ ʹ‫ݔ‬ ൅ ͵ ൒ ͹ െʹ ൐ ξʹ‫ݔ‬ ൅ ͵ െ ͵ ൒ ξ͹ െ ͵ െʹ ൐ ‫ݕ‬ ൒ ξ͹ െ ͵ ܴ݂ǣ‫ݕ׊‬ ‫א‬ ሾξ͹ െ ͵ǡ െʹሾ x x y y
47 e) Un objeto es soltado en caída libre desde un edificio de 800 m de altura. Determinar el tiempo que tarda en llegar al suelo. Solución: La fórmula que permite calcular el tiempo es: ܶ ൌට ଶ௛ ௚ , donde g=9.8 m/s2 , corresponde a la aceleración de la gravedad que es Datos: H=700 m g = 9.8 m/s2 Aplicando la fórmula ܶ ൌ ට ଶ௛ ௚ Se tiene: ܶ ൌ ඨ ʹሺͺͲͲ݉ሻ ͻǤͺ‫ݏ‬ଶ ܶ ൌ ඨ ͳ͸ͲͲ݉Ȁ‫ݏ‬ ͻǤͺ‫ݏ‬ଶ ܶ ൌ ඥͳ͸͵Ǥʹ͸‫ݏ‬ଶ ܶ ൌ ͳʹǤ͹͹‫ݏ‬ El tiempo que se demora el objeto es llegar al suelo es T=11.95 s
48 1.3.3.6 FUNCIÓN RACIONAL La función racional puede estar expresada de la siguiente manera: ‫ݕ‬ ൌ ݂ሺ‫ݔ‬ሻ ൌ ܰሺ‫ݔ‬ሻ ‫ܯ‬ሺ‫ݔ‬ሻ Donde N y M son polinomios y ‫ܯ‬ሺ‫ݔ‬ሻ ് Ͳ Ejemplo: a) Dada la función y = f (x) = ࢞ି૛ ࢞ା૚ Determinar el dominio y recorrido de f Dominio de f: ࢞ ൅ ૚ ് ૙ ࢞ ് െ૚ ‫݂ܦ‬ǣ‫ݔ׊‬ ‫א‬ Թ െ ሼെ૚ሽ x x y y
49 Recorrido de f: ›ൌˆሺšሻൌ ୶ିଶ ୶ାଵ ൌ ͳ െ ଷ ୶ାଵ ‫ݔ‬ ് െͳ ‫ݔ‬ ൅ ͳ ് Ͳ ͳ ‫ݔ‬ ൅ ͳ ് Ͳ ͵ ‫ݔ‬ ൅ ͳ ് Ͳ െ ଷ ௫ାଵ ് Ͳ ͳ െ ଷ ௫ାଵ ് ͳ x ‫ݕ‬ ് െͳ ܴ݂ǣ‫ݕ׊‬ ‫א‬ Թ െ ሼെͳሽ b) Dada la función y = ૛࢞ି૝ ࢞ି૜ Determinar el dominio y recorrido de f Dominio de f: ࢞ െ ૜ ് ૙ ࢞ ് ૜ ‫݂ܦ‬ǣ‫ݔ׊‬ ‫א‬ ࡾ െ ሼ૜ሽ y
50 Recorrido de f: y = ૛࢞ି૝ ࢞ି૜ ൌ ʹ ൅ ଶ ୶ିଷ ‫ݔ‬ ് ͵ ‫ݔ‬ െ ͵ ് Ͳ ͳ ‫ݔ‬ െ ͵ ് Ͳ ଶ ௫ିଷ ് Ͳ ʹ ൅ ଶ ௫ିଷ ് ʹ ‫ݕ‬ ് ʹ c) Determinar el recorrido de la función f: ࢌǣሾെ૞ǡ ૛ሿ െ ሼെ૛ሽ ՜ Թ x ՜ y = ૜࢞ ૛࢞ା૝ Dominio de f: ‫࢞׊‬ ‫א‬ ሾെ૞ǡ ૛ሿ െ ሼെ૛ሽ Recorrido de f: y = ૜࢞ ૛࢞ା૝ ൌ ଷ ଶ െ ଺ ଶ୶ାସ ൌ ଷ ଶ െ ଷ ୶ାଶ െ૞ ൑ ࢞ ൑ െ૛ v െ૛ ൑ ࢞ ൑ ૛ െ૜ ൑ ࢞ ൅ ૛ ൑ ૙ v ૙ ൑ ࢞ ൅ ૛ ൑ ૝ െ ૚ ૜ ൒ ૚ ࢞ା૛ v ૚ ࢞ା૛ ൒ ૚ ૝ x x y y
51 ૚ ൑ െ ૜ ࢞ା૛ v െ ૜ ࢞ା૛ ൑െ ૜ ૝ ૞ ૛ ൑ ૜ ૛ െ ૜ ࢞ା૛ v ૜ ૛ െ ૜ ࢞ା૛ ൑ ૜ ૝ ૞ ૛ ൑ ࢟ v ࢟ ൑ ૜ ૝ ࡾࢌǣ‫࢟׊‬ ‫א‬൨െλǡ ૜ ૝ ൨ ‫׫‬ ൤ ૞ ૛ ǡ ൅λ൤ d) Una empresa que produce vasos tiene unos costos mensuales de producción igual a los costos fijos más los costos variables. Los costos fijos son de $825 mensuales y los Costos variables son de 2.9 por cada vaso. Determinar la función que describa el costo unitario de los vasos en función de la producción mensual y su gráfico. Solución: CT : Cf + Cv donde CT= costo total Cf : Costos fijos Cv : Costos variables Por lo tanto CT= 825 + 2.9 x x : número de vasos La función que describe el costo unitario es: ۱‫ܝ‬ ൌ ۱‫܂‬ ‫ܠ‬ Cu : costo unitario ۱‫ܝ‬ ൌ ͺʹͷ ൅ ʹǤͻš ‫ܠ‬ Y
52 X 1.3.4 MISCELÁNEA DE EJERCICIOS a) Sea la función: ݂ǣ ሾെͶǡ ͵ሿ՜ Թ ‫ݔ‬ ՜ ‫ݕ‬ ൌ ݂ሺ‫ݔ‬ሻ ൌ ൝ െ͵‫݅ݏ‬ െ Ͷ ൑ ‫ݔ‬ ൏ െʹ ‫ݔ‬ െ ͳ‫݅ݏ‬ െ ʹ ൑ ‫ݔ‬ ൑ Ͳ ‫ݔ‬ଶ െ ʹ‫ݔ‬ െ ͳ‫Ͳ݅ݏ‬ ൏ ‫ݔ‬ ൑ ͵
53 Determinar el recorrido de la función f x i) െͶ ൑ ‫ݔ‬ ൏ െʹ ‫ݕ‬ ൌ െ͵ ii) െʹ ൑ ‫ݔ‬ ൑ Ͳ െ͵ ൑ ‫ݔ‬ െ ͳ ൑ െͳ ‫߳ݕ‬ሾെ͵ǡ െͳሿ iii) ‫ݕ‬ ൌ‫ݔ‬ଶ െ ʹ‫ݔ‬ െ ͳ ൌሺ‫ݔ‬ െ ͳሻଶ െ ʹ Ͳ ൏ ‫ݔ‬ ൑ ͵ െͳ ൏ ‫ݔ‬ െ ͳ ൑ ʹ Ͳ ൑ ሺ‫ݔ‬ െ ͳሻଶ ൑ Ͷ െʹ ൑ ሺ‫ݔ‬ െ ͳሻଶ െ ʹ ൑ ʹ െʹ ൑ ‫ݕ‬ ൑ ʹ Rf = ሼെ͵ሽ ‫׫‬ ሾെ͵ǡ െͳሿ‫׫‬ሾെʹǡ ʹሿ Rf = ‫׊‬‫ݕ‬ ‫א‬ ሾെ͵ǡ ʹሿ b) Dada la función y = f (x) = ට ૛࢞ି૜ ࢞ା૝ Determinar el dominio y recorrido de la función f y
54 Dominio: ૛࢞ െ ૜ ࢞ ൅ ૝ ൒ ૙ ૛࢞ െ ૜ ൒ ૙ ૛࢞ ൒ ૜ ࢞ ൒ ૜ ૛ ࢞ ൅ ૝ ൐ Ͳ ࢞ ൐ െͶ െλ െ Ͷ ଷ ଶ ൅ λ 2x-3 - - + x+4 - + + + - + ‫ݔ‬ ൏ െͶ˜‫ݔ‬ ൒ ଷ ଶ Df: ‫ࣕ࢞׊‬ሿെλǡ െ૝ሾ‫׫‬ ቂ ૜ ૛ ǡ ൅λቂ Recorrido: y = f (x) = ට ૛࢞ି૜ ࢞ା૝ ൌ ට૛ െ ૚૚ ࢞ା૝ š ൏ െͶ˜‫ݔ‬ ൒ ͵ ʹ š ൅ Ͷ ൏ Ͳ˜‫ݔ‬ ൅ Ͷ ൒ ͳͳ ʹ ͳ š ൅ Ͷ ൏ Ͳ˜Ͳ ൏ ͳ š ൅ Ͷ ൑ ʹ ͳͳ െ ͳ š ൅ Ͷ ൐ Ͳ˜Ͳ ൐ െ ͳ š ൅ Ͷ ൒ െ ʹ ͳͳ െ ͳͳ š ൅ Ͷ ൐ ʹ˜Ͳ ൐ െ ͳͳ š ൅ Ͷ ൒ െʹ ʹ െ ͳ š ൅ Ͷ ൐ ʹ˜ʹ ൐ ʹ െ ͳ š ൅ Ͷ ൒ Ͳ › ൐ ʹ˜Ͳ ൑ ‫ݕ‬ ൏ ʹ
55 Rf = ‫ݕ׊‬ ‫א‬ ሿ૛ǡ ൅λሾ‫׫‬ ሾ૙ǡ ૛ሾ Rf = ‫׊‬‫ݕ‬ ‫א‬ ሾͲǡ ൅λሾ െ ሼʹሽ x c) Dada la función y = f (x) = ቚ ૛ି࢞ ૛࢞ା૞ ቚ Determinar el dominio y recorrido de la función f Dominio: ฬ ૛ െ ࢞ ૛࢞ ൅ ૞ ฬ ൒ ૙ ૛࢞ ൅ ૞ ് ૙ ૛࢞ ് െ૞ ࢞ ് െ ૞ ૛ ࡰࢌǣ‫࢞׊‬ ‫א‬ Թ െ ൜െ ૞ ૛ ൠ Recorrido: y
56 y = f (x) = ቚ ૛ି࢞ ૛࢞ା૞ ቚ ൌ ቚെ ૚ ૛ ൅ ૢ ૝࢞ା૚૙ ቚ ࢞ ് െ ૞ ૛ ૝࢞ ് െ૚૙ ૝࢞ ൅ ૚૙ ് ૙ ૚ ૝࢞ ൅ ૚૙ ് ૙ ૢ ૝࢞ ൅ ૚૙ ് ૙ െ ૚ ૛ ൅ ૢ ૝࢞ ൅ ૚૙ ് െ ૚ ૛ ฬെ ૚ ૛ ൅ ૢ ૝࢞ ൅ ૚૙ ฬ ൒ ૙ ࢟ ൒ ૙ Rf = ‫׊‬‫ݕ‬ ‫א‬ ሾͲǡ ൅λሾ d) Dada la función y = f (x) = ξ૛࢞૛ ൅ ૜࢞ ൅ ૚ Determinar el dominio y recorrido de la función f Dominio: ૛࢞૛ ൅ ૜࢞ ൅ ૚ ൒ ૙ ૛ ൬࢞ ൅ ૜ ૝ ൰ ૛ െ ૚ ૡ ൒ ૙ ૛ ൬࢞ ൅ ૜ ૝ ൰ ૛ ൒ ૚ ૡ ൬࢞ ൅ ૜ ૝ ൰ ૛ ൒ ૚ ૚૟ x y
57 ඨቀ࢞ ൅ ૜ ૝ ቁ ૛ ൒ ඨ ͳ ͳ͸ ฬ൬࢞ ൅ ૜ ૝ ൰ฬ ൒ ͳ Ͷ ࢞ ൅ ૜ ૝ ൑ - ଵ ସ ˜࢞ ൅ ૜ ૝ ൒ ଵ ସ ࢞ ൑ - ͳ˜࢞ ൅ ૜ ૝ ൒ െ ૚ ૛ ‫ݔ‬ ൑ െͳ˜‫ݔ‬ ൒ െ ͳ ʹ Df: ‫ࣕ࢞׊‬ሿെλǡ െ૚ሿ‫׫‬ ቂെ ૚ ૛ ǡ ൅λቂ Recorrido: y = f (x) = ξ૛࢞૛ ൅ ૜࢞ ൅ ૚ ൌ ට૛ ቀ࢞ ൅ ૜ ૝ ቁ ૛ െ ૚ ૡ ‫ݔ‬ ൑ െͳ˜‫ݔ‬ ൒ െ ͳ ʹ ‫ݔ‬ ൅ ͵ Ͷ ൑ െͳ Ͷ ˜‫ݔ‬ ൅ ͵ Ͷ ൒ ͳ Ͷ ൬‫ݔ‬ ൅ ͵ Ͷ ൰ ଶ ൒ ͳ ͳ͸ ˜ ൬‫ݔ‬ ൅ ͵ Ͷ ൰ ଶ ൒ ͳ ͳ͸ ൬‫ݔ‬ ൅ ͵ Ͷ ൰ ଶ ൒ ͳ ͳ͸ ʹ ൬‫ݔ‬ ൅ ͵ Ͷ ൰ ଶ ൒ ͳ ͺ
58 ʹ ൬‫ݔ‬ ൅ ͵ Ͷ ൰ ଶ െ ͳ ͺ ൒ Ͳ ‫ݕ‬ ൒ Ͳ x e) Determinar el recorrido de la siguiente función ‫ݕ‬ ൌ ݂ሺ‫ݔ‬ሻ ൌ ቐ ଶ௫ାସ ଶ௫ିଶ ‫݅ݏ‬ െ Ͷ ൑ ‫ݔ‬ ൏ ͳ ͵‫ݔ‬ ൅ ͳ‫ͳ݅ݏ‬ ൑ ‫ݔ‬ ൏ ͵ ‫ݕ‬ ൌ ଶ௫ାସ ଶ௫ିଶ ൌ ͳ ൅ ଺ ଶ௫ିଶ ‫ݕ‬ ൌ ͵‫ݔ‬ ൅ ͳ െͶ ൑ ‫ݔ‬ ൏ ͳ v ͳ ൑ ‫ݔ‬ ൏ ͵ െͺ ൑ ʹ‫ݔ‬ ൏ ʹ v ͵ ൑ ͵‫ݔ‬ ൏ ͻ െͳͲ ൑ ʹ‫ݔ‬ െ ʹ ൏ Ͳ v Ͷ ൑ ͵‫ݔ‬ ൅ ͳ ൏ ͳͲ y
59 ଵ ଶ௫ିଶ ൑ െ ଵ ଵ଴ v Ͷ ൑ ‫ݕ‬ ൏ ͳͲ ଺ ଶ௫ିଶ ൑ െ ଷ ହ ͳ ൅ ͸ ʹ‫ݔ‬ െ ʹ ൑ ʹ ͷ ‫ݕ‬ ൑ ଶ ହ Rf = ‫ݕ׊‬ ‫א‬ ቃെλǡ ૛ ૞ ቃ‫׫‬ ሾ૝ǡ ૚૙ሾ f) Determinar el recorrido de la siguiente función ‫ݕ‬ ൌ ݂ሺ‫ݔ‬ሻ ൌ ቐ ‫ݔ‬ଶ ൅ Ͷ‫ݔ‬ െ ͳ‫݅ݏ‬ȁ‫ݔ‬ȁ ൏ ʹ െͶ‫݅ݏ‬ȁ‫ݔ‬ȁ൒ ʹ x y
60 ‫ݕ‬ ൌ‫ݔ‬ଶ ൅ Ͷ‫ݔ‬ െ ͳ ൌ ሺ‫ݔ‬ ൅ ʹሻଶ െ ͷ i) ȁ‫ݔ‬ȁ ൏ ʹ െʹ ൏ ‫ݔ‬ ൏ ʹ Ͳ ൏ ‫ݔ‬ ൅ ʹ ൏ Ͷ Ͳ ൏ ሺ‫ݔ‬ ൅ ʹሻଶ ൏ ͳ͸ െͷ ൏ ሺ‫ݔ‬ ൅ ʹሻଶ െ ͷ ൏ ͳͳ െͷ ൏ ‫ݕ‬ ൏ ͳͳ ii) ȁ‫ݔ‬ȁ൒ ʹ ‫ݔ‬ ൑െʹ˜š ൒ ʹ y = - 4 Rf = ‫ݕ׊‬ ‫א‬ ሿെ૞ǡ ૚૚ሾ‫׫‬ ሼെ૝ሽ Rf = ‫ݕ׊‬ ‫א‬ ሿെ૞ǡ ૚૚ሾ x y
61 g) Determinar el recorrido de la siguiente función ‫ݕ‬ ൌ ݂ሺ‫ݔ‬ሻ ൌ ቐ െξെ‫ݔ‬ ൅ Ͷ‫݅ݏ‬ െ Ͷ ൏ ‫ݔ‬ ൑ െͳ ȁെ‫ݔ‬ଶ ൅ ‫ݔ‬ ൅ ʹȁ‫ݔ݅ݏ‬ ൐ െͳ i) െͶ ൏ ‫ݔ‬ ൑ െͳ Ͷ ൐ െ‫ݔ‬ ൒ ͳ ͺ ൐ െ‫ݔ‬ ൅ Ͷ ൒ ͷ ξͺ ൐ ξെ‫ݔ‬ ൅ Ͷ ൒ ξͷ െʹξʹ ൏ െξെ‫ݔ‬ ൅ Ͷ ൑ െξͷ െʹξʹ ൏ ‫ݕ‬ ൑ െξͷ ii) ‫ݕ‬ ൌ หെ‫ݔ‬ʹ ൅ ‫ݔ‬ ൅ ʹห ൌ ฬെሺ‫ݔ‬ െ ͳ ʹ ሻ ʹ ൅ ͻ Ͷ ฬ ‫ݔ‬ ൐ െͳ ‫ݔ‬ െ ͳ ʹ ൐ െ ͵ ʹ ൬‫ݔ‬ െ ͳ ʹ ൰ ଶ ൒ Ͳ െ ൬‫ݔ‬ െ ͳ ʹ ൰ ଶ ൑ Ͳ െ ൬‫ݔ‬ െ ͳ ʹ ൰ ଶ ൅ ͻ Ͷ ൑ ͻ Ͷ ቤെ ൬‫ݔ‬ െ ͳ ʹ ൰ ଶ ൅ ͻ Ͷ ቤ ൒ Ͳ
62 ‫ݕ‬ ൒ Ͳ Rf = ‫ݕ׊‬ ‫א‬ ൧െ૛ξ૛ǡ െξ૞൧‫׫‬ ሾ૙ǡ ൅λሾ x y
63 2.- BIBLIOGRAFÍA 1. Nuñez J., (2015). Fundamentos de la Matemática, Quito. 2. Lara, J.; Arroba, J.; (2012). Análisis Matemático. Quinta edición, corregida y aumentada. Julio. Tercera reimpresión. Centro de Matemáticas. Universidad Central del Ecuador, Quito. 3. Castillo C., Navas F. Toro J.,( 2010). Ejercicios de matemática básica, Quito. 4. Thomas, G; (2010). Cálculo en una variable. Décima segunda edición, Pearson Addison Wesley. México. 5. Swokowski E. Cole J. (2007). Algebra y trigonometría con geometría analítica” Grupo Editorial Ibero América, México. 6. Arya, Lander, Ibarra (2009). Matemáticas aplicadas a la administración y a la Economía. Quinta edición. Pearson Educación. México 7. Galindo E. Gortaire D. (2006). Matemáticas Superiores, teoría y ejercicios”.Prociencia editores, Quito. 8. DemidovichB.(2000), Problemas y ejercicios de análisis matemático. Editorial Mir. Addison Wesley. México.
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  • 1. FUNCIONES REALES Y APLICACIONES Ing. Tania Aleyda Acosta Hurtado, MSc. Ing. Nelly Patricia Acosta Vargas, MSc E-mail: tania.acosta@epn.edu.ec E-mail: acostanp@gmail.com Gráficos Dominio Recorrido
  • 2. Segunda edición en español Prohibida la reproducción total o parcial de esta obra, por cualquier medio o método sin autorización por escrito de las autoras. Revisado por: Remigio Vicente Chalán Paladínez Msc. Paúl Esteban Méndez Silva MSc. ISBN: 978-9942-21-780-6 Noviembre 2015
  • 3. PRÓLOGO El propósito de la segunda edición de este libro es proporcionar una guía a los estudiantes de bachillerato, como también a quienes estén inician o sus estudios en la universidad, en las diferentes carreras de ingeniería y ciencias. Se provee de teoría, ejercicios propuestos, resueltos y de aplicación, los cuáles serán de gran ayuda para todo estudiante que se inicie sus estudios universitarios. Con los ejercicios que se presentan en este libro se pretende que los estudiantes adquieran las competencias necesarias para aplicar los fundamentos de la matemática y funciones, en problemas de la vida real, llegando a alcanzar aprendizajes significativos.
  • 4. CONTENIDO FUNCIONES REALES ..........................................................................................1 1.1 PRODUCTO CARTESIANO............................................................................................ 1 1.2 RELACIÓN.................................................................................................................... 4 1.3 FUNCIÓN..................................................................................................................... 5 1.3.1. DOMINIO ................................................................................................................ 6 1.3.2 RECORRIDO O RANGO ............................................................................................. 6 1.3.3 TIPOS DE FUNCIONES ............................................................................................ 10 1.3.3.1 FUNCION CONSTANTE........................................................................................ 10 1.3.3.2 FUNCIÓN LINEAL................................................................................................. 14 1.3.3.3 FUNCIÓN CUADRÁTICA ...................................................................................... 28 1.3.3.5 FUNCIÓN RAÍZ CUADRADA................................................................................. 44 1.3.3.6 FUNCIÓN RACIONAL........................................................................................... 48 1.3.4 MISCELÁNEA DE EJERCICIOS.................................................................................. 52 2.- BIBLIOGRAFÍA.................................................................................................... 63
  • 5. 1 FUNCIONES REALES Y APLICACIONES 1.1 PRODUCTO CARTESIANO El producto cartesiano de dos conjuntos A y B es otro conjunto (A x B) formado por pares ordenados (x,y) tal que la primera componente “x” pertenece al conjunto A ( A xÎ ) ; y la segunda componente “y” pertenece al conjunto B ( A y Î ). Este conjunto se nota por B A x y se lee: “A cruz B”. { } B y A x y x B A Î Ù Î = / ) , ( x Representación gráfica del par ordenado (x,y) en el plano cartesiano: Y (x,y) X Ejemplo 1: A= {1 , 2, 3} ( 3 elementos) B = { 2 , 3 } ( 2 elementos) A x B= {(1,2), (1,3) , (2,2) ,(2,3), (3,2), (3,3)} ( 6 elementos) 1 2 3 2 3 A B
  • 6. 2 B x A= {(2,1);(2,2); (2,3); (3,1);(3,2) );(3,3)} (1, 2) (1, 3) (2, 2) (2, 3) (3, 2) (3, 3) 0 0,5 1 1,5 2 2,5 3 3,5 4 0 0,5 1 1,5 2 2,5 3 3,5 4 Representación Gráfica en el Plano Cartesiano A x B Y X B A 2 3 1 2 3
  • 7. 3 Ejemplo 2: Determinar AxA Si: A= {1, 2, 3} A= {1, 2, 3} x A= {1, 2, 3} AxA= {(1, 1); (1, 2); (1, 3); (2, 1); (2, 2); (2, 3); (3, 1); (3, 2); (3, 3)} Ejemplo 3: Si A= {-1, 2, -3} y B= {3, 4, 5, 6}, Determinar AxB y BxA AxB= {(-1, 3); (-1, 4); (-1, 5); (-1, 6); (2, 3); (2, 4); (2, 5); (2, 6); (-3, 3); (-3, 4); (-3, 5); (-3, 6)} BxA= {(3, -1); (3, 2); (3,-3); (4, -1); (4, 2); (4, -3); (5,- 1); (5, 2); (5, -3); (6, -1); (6, 2); (6, -3)} Ejemplo 4: Si A= {b, c, d} Hallar: AxA. AxA= {(b, b); (b, c); (b, d); (c, b); (c, c); (c, d); (d, b); (d, c); (d, d)} Propiedades: ‫׊‬ǡ ‘Œ—–‘•ˆ‹‹–‘•, se cumple que: 1.- A x B ≠ B x A (El producto cartesiano no es conmutativo) 2.- A x ( B x C) ≠ ( A x B ) x C (El producto cartesiano no cumple la propiedad Asociativa) (2, 1) (2, 2) (2, 3) (3, 1) (3, 2) (3, 3) 0 0,5 1 1,5 2 2,5 3 3,5 4 0 0,5 1 1,5 2 2,5 3 3,5 4 Representación Gráfica en el Plano Cartesiano B x A X Y
  • 8. 4 ͵Ǥ െ ൌ ‫˜׎‬ ൌ ‫׎‬ ՜ š ൌ ‫׎‬ Ejercicios 1. Sean los conjuntos: Hallar: a) B A x b) A B x c) B x B d) A x A 1.2 RELACIÓN Es un subconjunto no vacío del producto cartesiano A x B, Ejemplo: Sean los conjunto A= {1 , 2 } y B = { 2 , 3, -1 } La relación R1 formada por los pares ordenados ( x, y ), subconjunto del producto cartesiano A x B, donde x es menor que y, es la siguiente: R1= {(x, y) ϵ A x B/ x y] R1=[(1, 2); (1, 3); (2, 3)] 2 3 -1 A B { } { } 9 , 8 , 7 , 5 , 4 , 3 , , 1 = = B A 1 2
  • 9. 5 1.3 FUNCIÓN Es un subconjunto del producto cartesiano A x B (relación), tal que se cumplen las siguientes condiciones. 1.- ‫š׊‬ ‫א‬ ǡ ‫›׌‬ ‫א‬ –ƒŽ“—‡ሺšǡ ›ሻ ‫א‬ ˆ 2.- Si (x, y) y (x, z) ‫א‬ ˆ → y = z Es decir que : · Todo elemento del conjunto de salida, debe tener una imagen en elemento del conjunto de llegada. · No puede existir dos pares ordenados con la misma primera componente y la segunda componente distinta. Notación: ݂ǣ‫ܣ‬ ՜ ‫ܤ‬ ‫ݔ‬ ՜ ‫ݕ‬ ൌ ݂ሺ‫ݔ‬ሻ x es la variable independiente y es la variable dependiente y es la imagen de x por la ley f X y = f(x) A B f Conjunto de salida Conjunto de llegada
  • 10. 6 1.3.1. DOMINIO Sea la función: ݂ǣ‫ܣ‬ ՜ ‫ܤ‬ ‫ݔ‬ ՜ ‫ݕ‬ ൌ ݂ሺ‫ݔ‬ሻ El dominio de una función f, es el conjunto formado por todos los x ‫א‬ A, tal que existe un y ‫א‬ B, donde y = f(x) Df= { x ‫א‬ A / (x ,y) ‫א‬ f } 1.3.2 RECORRIDO O RANGO Es el conjunto formado por todos los y ‫א‬ B, que son imágenes de x ‫א‬ A, por la ley f. Rf= { y Є B / y= f(x) ^ x Є A } Ejemplo de funciones: a) A= {1, - 2, 3, - 4, 5} y B = {-1 , 0, 2 , 3 } f = { ( 1, -1) , (- 2, -1) , (3 ,0 ) , ( - 4 , 2), ( 5, 3) , } Df= { 1, -2, 3, -4, 5} Rf= { -1, 0, 2, 3} 1 -2 3 - 4 5 B -1 0 2 3 A
  • 11. 7 b) A= {1, - 2, 3, - 4, 5} y B = {-1 , 0, 2 , 3 } f = { ( 1, 0) , (- 2, 0) , (3 ,0 ) , ( - 4 , 3), ( 5, 3) , } Df= { 1, -2, 3, -4, 5} Rf= { 0, 3} Ejemplo de relaciones que no son funciones: a) Dados los siguientes conjuntos: A= {1, - 2, 3, - 4, 5} B = {-1 , 0, 2 , 3 } f = {(1, -1); (-2, 3); (3, 2)} 1 -2 3 -4 5 B -1 0 2 3 A 1 - 2 3 - 4 5 -1 0 2 3 A B ? ?
  • 12. 8 f no es función. No cumple que “para todo x elemento del conjunto de salida A, existe una imagen y elemento del conjunto de llegada B” b) Dados los siguientes conjuntos: A= {1, - 2, 3, - 4, 5} y B = {-1 , 0, 2 , 3 } f = { ( 1, 0) , (1, 2) , (- 2 1 ) , ( 3 , 2), ( -4, 3), ( 5, 3) } La relación f no es función, ya que no cumple que la siguiente condición: ሺ‫ݔ‬ǡ ‫ݕ‬ሻ ൌሺ‫ݔ‬ǡ ‫ݖ‬ሻ ՜ ‫ݕ‬ ൌ ‫ݖ‬ Ya que existen 2 pares ordenados donde la primera componente es igual, pero las segundas componentes son diferentes : ሺͳǡ Ͳሻ ൌሺͳǡ ʹሻ ՜ Ͳ ് ʹ c) Dados los siguientes conjuntos: A= {1, - 2, 3, - 4, 5} y B = {-1 , 0, 2 , 3 } La relación f = {(- 2, 3); (3, 0); (- 4, 0); (- 4, 3); (5, 3)} ¿es una función? A -1 0 2 3 1 -2 3 -4 5 B
  • 13. 9 Solución: La relación f no es función. No cumple con ninguna de las dos condiciones para ser una función. 1.- No cumple que “para todo x elemento del conjunto de salida A, existe una imagen y elemento del conjunto de llegada B” Al elemento “1” que pertenece al conjunto de salida no le corresponde una imagen elemento del conjunto de llegada f(1)= ? 2.- No cumple que la siguiente condición: ሺ‫ݔ‬ǡ ‫ݕ‬ሻ ൌሺ‫ݔ‬ǡ ‫ݖ‬ሻ ՜ ‫ݕ‬ ൌ ‫ݖ‬ Al elemento “-4” le corresponde dos imágenes del conjunto de llegada (- 4, 0) y (-4, 3) 0≠3 1 -2 3 -4 5 -1 0 2 3 A B ?
  • 14. 10 d) ¿ La siguiente gráfica, representa una función? Solución: No es función ya que existe un infinito número de pares ordenados donde a la primera componente “x” le corresponde 2 imágenes diferentes “y”. Ejemplo ( 4, 2) y (4, -2) 2 ≠ -2 1.3.3 TIPOS DE FUNCIONES 1.3.3.1 FUNCION CONSTANTE Se define como: f = {(x,y) R x R Î / y = k } donde R k Î ó ݂ǣܴ ՜ ܴ ‫ݔ‬ ՜ ‫ݕ‬ ൌ ݇ donde R k Î
  • 15. 11 Gráficamente: La función constante es aquella función en la que, para todos los valores de la variable independiente “x” que pertenecen al dominio de la función, la variable dependiente “y” es igual a k, donde k es un número real. Ejemplo: ݂ǣ ܴ ՜ ܴ ‫ݔ‬ ՜ ‫ݕ‬ ൌ ݂ሺ‫ݔ‬ሻ ൌ ͳ Df : ‫ݔ׊‬ ‫א‬ Rf: ‫ݕ‬ ൌ ͳ ó y ‫א‬ ሼͳሽ a) Sea la función: ݂ǣ ሿ െ ͷǡ ͵ሿ՜ ܴ ‫ݔ‬ ՜ ‫ݕ‬ ൌ െʹ x Y -5 -2 -4 -2 y=k x y x Y x
  • 16. 12 Df : ‫ݔ׊‬ ‫א‬ሿ െ ͷǡ ͵ሿ Rf: ‫ݕ‬ ൌ െʹ b) Sea la función: ݂ǣ ሾെ͹ǡ Ͷሿ՜ ܴ ‫ݔ‬ ՜ ‫ݕ‬ ൌ ݂ሺ‫ݔ‬ሻ ൌ ൝ Ͷ‫݅ݏ‬ െ ͹ ൑ ‫ݔ‬ ൏ െ͵ ʹ‫݅ݏ‬ െ ͵ ൑ ‫ݔ‬ ൑ Ͳ െ͵‫Ͳ݅ݏ‬ ൏ ‫ݔ‬ ൑ Ͷ x y -7 4 -6 4 -5 4 -4 4 -3 2 -2 2 -1 2 0 2 1 -3 2 -3 3 -3 4 -3 Df : ‫ݔ׊‬ ‫א‬ ሾെ͹ǡ Ͷሿ Rf: ‫ݕ‬ ‫א‬ ሼͶǡ ʹǡ െ͵ሽ -3 -2 -2 -2 -1 -2 0 -2 1 -2 2 -2 3 -2 Y x
  • 17. 13 d) La compañía A, ofrece a sus clientes el servicio de internet ilimitado por un pago mensual de $25. ¿ Cuál es la ecuación de la oferta? Solución: El bien que está en oferta es el tiempo de conexión a internet “x” El precio se mantiene constante a cualquier valor del tiempo de conexión a internet. “y” La oferta se representa como una línea horizontal con la función: Y = 25 y x x Y 5 25 10 25 15 25 20 25 25 25 25 25 30 25 35 25 40 25
  • 18. 14 1.3.3.2 FUNCIÓN LINEAL Se define como: ݂ǣԹ ՜ Թ ‫ݔ‬ ՜ ‫ݕ‬ ൌ ݂ሺ‫ݔ‬ሻ ൌax + b con a, b ‫א‬ Թǡ a ≠ 0 a es la pendiente Ejemplos: ‫ݕ‬ ൌ ‫ݔ‬ ൅ ͳ ‫ݕ‬ ൌ ʹ‫ݔ‬ ൅ ͳ ‫ݕ‬ ൌ െͷ‫ݔ‬ ൅ Ͷ ‫ݕ‬ ൌ െ͵x I) ࡿ࢏ a 0 la función es creciente. Df : ‫ݔ׊‬ ‫א‬ Թ Rf: ‫ݕ׊‬ ‫א‬ Թ Ejemplos: a) Sea la función: ݂ǣ Թ ՜ Թ ‫ݔ‬ ՜ ‫ݕ‬ ൌ ʹ‫ݔ‬ ൅ ͺ Y b X - b/a
  • 19. 15 a = 2 b = 8 El valor de la variable x, donde la variable y = 0 es la siguiente: ି௕ ௔ = ି଼ ଶ = - 4 Entonces tenemos el par ordenado (-4, 0) El valor de la variable y, donde la variable x = 0, es y=b: Entonces tenemos el par ordenado (0, 8) Gráficamente: y ‫ݕ‬ ൌ ʹ‫ݔ‬ ൅ ͺ x ‫݂ܦ‬ǣ ‫ݔ׊‬ ‫א‬ Թ Para hallar el recorrido de f
  • 20. 16 ‫ݔ‬ ‫א‬ Թ ʹ‫ݔ‬ ‫א‬ Թ ʹ‫ݔ‬ ൅ ͺ ‫א‬ Թ ‫ݕ‬ ‫א‬ Թ ܴ݂ǣ‫ݕ׊‬ ‫א‬ Թ b) Sea la función: ݂ǣ Թ ՜ Թ ‫ݔ‬ ՜ ‫ݕ‬ ൌ ‫ݔ‬ ൅ ͵ a = 1 b = 3 El valor de la variable x, donde la variable y = 0 es la siguiente: ି௕ ௔ = ିଷ ଵ = - 3 Entonces tenemos el par ordenado (-3, 0) El valor de la variable y, donde la variable x = 0, es y=b: Entonces tenemos el par ordenado (0, 3) Gráficamente: y x
  • 21. 17 c) Sea la función: f: ]-2,2] → Թ x → y = 4x-8 a = 4 b = - 8 El valor de la variable x, donde la variable y = 0 es la siguiente: ି௕ ௔ = ଼ ସ = 2 Entonces tenemos el par ordenado (2, 0) El valor de la variable y, donde la variable x = 0, es y=b: Entonces tenemos el par ordenado (0, - 8) Df: ‫ݔ׊‬ ‫]א‬-2,2] Para hallar el recorrido de f െʹ ൏ ‫ݔ‬ ൑ ʹ െͺ ൏ Ͷ‫ݔ‬ ൑ ͺ െͳ͸ ൏ Ͷ‫ݔ‬ െ ͺ ൑ Ͳ ܴ݂ǣ‫ݕ׊‬ ‫א‬ሿ െ ͳ͸ǡ Ͳሿ X Y -2 -16 2 0
  • 22. 18 Gráficamente: x d) Sea la función: f: ]-4,1[ → Թ x → y = 2 x + 3 a = 2 b = 3 El valor de la variable x, donde la variable y = 0 es la siguiente: X Y -4 -5 1 5
  • 23. 19 ି௕ ௔ = ିଷ ଶ Entonces tenemos el par ordenado ( െ ଷ ଶ , 0) El valor de la variable y, donde la variable x = 0, es y=b: Entonces tenemos el par ordenado (0, 3) Df: ‫ݔ׊‬ ‫]א‬-4, 1[ Para hallar el recorrido de f െͶ ൏ ‫ݔ‬ ൏ ͳ െͺ ൏ ʹ‫ݔ‬ ൏ ʹ െͷ ൏ ʹ‫ݔ‬ ൅ ͵ ൏ ͷ ܴ݂ǣ‫ݕ׊‬ ‫א‬ሿ െ ͷǡ ͷሾ Gráficamente: y x
  • 24. 20 II) Si ࢇ ൏ Ͳ la función es decreciente. Df : ‫ݔ׊‬ ‫א‬ Թ Rf: ‫ݕ׊‬ ‫א‬ Թ Ejemplos: a) Sea la función: f: Թ ՜ Թ x ՜y=f(x) = - 2 x + 6 a= -2 b= 6 El valor de x donde la variable y=0 es la siguiente: ି௕ ௔ = ି଺ ିଶ = 3 Entonces tenemos el par ordenado (3, 0) El valor de la variable y, donde la variable x = 0, es y=b: Entonces tenemos el par ordenado (0, 6) Y b X - b/a
  • 25. 21 ‫݂ܦ‬ǣ ‫ݔ׊‬ ‫א‬ Թ Para hallar el recorrido de f ‫ݔ‬ ‫א‬ Թ െʹ‫ݔ‬ ‫א‬ Թ െʹ‫ݔ‬ ൅ ͸ ‫א‬ Թ ‫ݕ‬ ‫א‬ Թ ܴ݂ǣ‫ݕ׊‬ ‫א‬ Թ y x b) Sea la función: ݂ǣ ሾെͶǡ ͵ሾ ՜ Թ ‫ݔ‬ ՜ ‫ݕ‬ ൌ െʹ‫ݔ‬ െ ͳ
  • 26. 22 a= - 2 b= - 1 El valor de x donde la variable y=0 es la siguiente: ି௕ ௔ = ିሺିଵሻ ିଶ = െ ଵ ଶ Entonces tenemos el par ordenado (െ ଵ ଶ , 0) El valor de la variable y, donde la variable x = 0, es y=b: Entonces tenemos el par ordenado (0, - 1) y Gráficamente x
  • 27. 23 ‫݂ܦ‬ǣ ‫ݔ׊‬ ‫א‬ ሾെͶǡ ͵ሾ Rf: െͶ ൑ ‫ݔ‬ ൏ ͵ െͺ ൑ ʹ‫ݔ‬ ൏ ͸ ͺ ൒ ʹ‫ݔ‬ ൒െ͸ ͹ ൒ െʹ‫ݔ‬ െ ͳ ൐ െ͹ ͹ ൒ ‫ݕ‬ ൐ െ͹ െ͹ ൏ ‫ݕ‬ ൑ ͹ ܴ݂ǣ‫ݕ׊‬ ‫א‬ሿ െ ͹ǡ ͹ሿ c) Sea la función: ݂ǣ ሾെ͵ǡ ʹሾ ՜ Թ ‫ݔ‬ ՜ ‫ݕ‬ ൌ െ‫ݔ‬ ൅ ͷ a= - 1 b= 5 El valor de x donde la variable y=0 es la siguiente: ି௕ ௔ = ିହ ିଵ = ͷ Entonces tenemos el par ordenado (5, 0) El valor de la variable y, donde la variable x = 0, es y=b: Entonces tenemos el par ordenado (0, 5)
  • 28. 24 ࡰࢌǣ ‫࢞׊‬ ‫א‬ ሾെ૜ǡ ૛ሾ Rf: െ͵ ൑ ‫ݔ‬ ൏ ʹ ͵ ൒െ‫ݔ‬ ൐ െʹ ͺ ൒ െ‫ݔ‬ ൅ ͷ ൐ ͵ ͺ ൒ ‫ݕ‬ ൐ ͵ ࡾࢌǣ‫࢟׊‬ ‫א‬ሿ૜ǡ ૡሿ y X
  • 29. 25 1.3.3.2.1.- Ecuación de recta a partir de 2 puntos Se puede determinar la ecuación de una recta, si se conoce dos coordenadas ሺ‫ݔ‬ଵǡ ‫ݕ‬ଵሻ›ሺ‫ݔ‬ଶǡ ‫ݕ‬ଶሻa través de la siguiente fórmula. ሺ࢟ െ࢟૚ሻ ሺ࢞ െ࢞૚ሻ ൌ ሺ࢟૛ െ࢟૚ሻ ሺ࢞૛ െ࢞૚ሻ Siendo la pendiente ݉ ൌ ሺ௬మି௬భሻ ሺ௫మି௫భሻ entonces: ሺ‫ݕ‬ െ‫ݕ‬ଵሻ ൌ ሺ‫ݕ‬ଶ െ‫ݕ‬ଵሻ ሺ‫ݔ‬ଶ െ‫ݔ‬ଵሻ ሺ‫ݔ‬ െ‫ݔ‬ଵሻ ሺ࢟ െ࢟૚ሻ ൌ ࢓ሺ࢞ െ࢞૚ሻ donde m es la pendiente. Ejemplo: a) Determine la ecuación de la recta que pasa por los puntos: A= (2, 1) y B= (4, 5) ሺ‫ݕ‬ െ‫ݕ‬ଵሻ ൌ ሺ௬మି௬భሻ ሺ௫మି௫భሻ ሺ‫ݔ‬ െ‫ݔ‬ଵሻ ሺ‫ݕ‬ െ ͳሻ ൌ ሺͷ െ ͳሻ ሺͶ െ ʹሻ ሺ‫ݔ‬ െ ʹሻ ሺ‫ݕ‬ െ ͳሻ ൌ Ͷ ʹ ሺ‫ݔ‬ െ ʹሻ ‫ݕ‬ െ ͳ ൌ ʹ‫ݔ‬ െ Ͷ ‫ݕ‬ ൌ ʹ‫ݔ‬ െ ͵
  • 30. 26 b) Un fábrica de pantalones tiene una demanda semanal de 500 pantalones cuando el precio es de $60, y de 300 pantalones cuando el precio es de 80. Determine la ecuación de la demanda de pantalones, suponiendo que es una función lineal. A= (60, 500) y B= (80, 300) ሺ‫ݕ‬ െ‫ݕ‬ଵሻ ൌ ሺ‫ݕ‬ଶ െ‫ݕ‬ଵሻ ሺ‫ݔ‬ଶ െ‫ݔ‬ଵሻ ሺ‫ݔ‬ െ‫ݔ‬ଵሻ ሺ‫ݕ‬ െ ͷͲͲሻ ൌ ሺ͵ͲͲ െ ͷͲͲሻ ሺͺͲ െ ͸Ͳሻ ሺ‫ݔ‬ െ ͸Ͳሻ ሺ‫ݕ‬ െ ͷͲͲሻ ൌ െʹͲͲ ʹͲ ሺ‫ݔ‬ െ ͸Ͳሻ ‫ݕ‬ െ ͷͲͲ ൌെͳͲሺ‫ݔ‬ െ ͸Ͳሻ ‫ݕ‬ െ ͷͲͲ ൌെͳͲ‫ݔ‬ ൅ ͸ͲͲ ‫ݕ‬ ൌെͳͲ‫ݔ‬ ൅ ͳͳͲͲ 1.3.3.2.2.- Ecuación de recta a partir la pendiente “m” y un punto. ሺ࢟ െ࢟૚ሻ ൌ ࢓ሺ࢞ െ࢞૚ሻ a) Ejemplo: Si se conoce que la pendiente m = 4 y el punto p=(2 , 3), determinar la ecuación de la recta. ሺ‫ݕ‬ െ‫ݕ‬ଵሻ ൌ ݉ሺ‫ݔ‬ െ‫ݔ‬ଵሻ ሺ‫ݕ‬ െ ͵ሻ ൌ Ͷሺ‫ݔ‬ െ ʹሻ ‫ݕ‬ െ ͵ ൌ Ͷ‫ݔ‬ െ ͺ ‫ݕ‬ ൌ Ͷ‫ݔ‬ െ ͷ
  • 31. 27 b) La empresa eléctrica cobra $0.08 el kilowatio-hora (Kw-h) más un costo fijo mensual por comercialización. La factura mensual de María es $ 18.33 por 173 Kw-h. i) Determine la función que modele el cobro de la planilla mensual de luz. ii) Cuánto debe pagar María si el consuno de luz es de 200 KW-h Solución: i) x = la cantidad de kw-h consumidos y= costo mensual de luz Se conoce el par ordenado: (173, 18.33) ሺ‫ݕ‬ െ‫ݕ‬ଵሻ ൌ ݉ሺ‫ݔ‬ െ‫ݔ‬ଵሻ ሺ‫ݕ‬ െ ͳͺǤ͵͵ሻ ൌ ͲǤͲͺሺ‫ݔ‬ െ ͳ͹͵ሻ ‫ݕ‬ െ ͳͺǤ͵͵ ൌ ͲǤͲͺ‫ݔ‬ െ ͳ͵ǤͺͶ ‫ݕ‬ ൌ ͲǤͲͺ‫ݔ‬ െ ͳ͵ǤͺͶ ൅ ͳͺǤ͵͵ ‫ݕ‬ ൌ ͲǤͲͺ‫ݔ‬ ൅ ͶǤͶͻ ii) Si el consumo de luz es de x= 200, María debe pagar: y = 0.08(200)+4.49 y = $ 20,49
  • 32. 28 1.3.3.3 FUNCIÓN CUADRÁTICA La función cuadrática de define de la siguiente manera: f: Թ Թ x y = f (x) = ax2 + bx + c = ƒ ቀš ൅ ୠ ଶୟ ቁ ଶ െ ୠమିସୟୡ ସୟ donde a ≠ 0 I) a 0 Punto mínimo (x min, y min) x min = ି௕ ଶ௔ y min = ସ௔௖ି௕మ ସ௔ ‫݂ܦ‬ǣ ‫ݔ׊‬ ‫א‬ Թ ܴ݂ǣ‫ݕ׊‬ ‫א‬ ሾ‫ݕ‬௠௜௡ǡ ൅λሾ ܾܵ݅ଶ െ Ͷܽܿ ൐ Ͳ x ܺ ൌ െܾ േ ξܾଶ െ Ͷܽܿ ʹܽ (Xmin, ymin) c y
  • 33. 29 ‫ܾ݅ܵݕ‬ଶ െ Ͷܽܿ ൌ Ͳ X ‫ܾ݅ܵݕ‬ଶ െ Ͷܽܿ ൏ Ͳ (Xmin, ymin) c c (Xmin, ymin) x x
  • 34. 30 II) a 0 Punto máximo (xmax, ymax) x max = ି௕ ଶ௔ y max = ସ௔௖ି௕మ ସ௔ ‫݂ܦ‬ǣ ‫ݔ׊‬ ‫א‬ ܴ ܴ݂ǣ‫ݕ׊‬ ‫א‬ሿ െ λǡ ‫ݕ‬௠௔௫ሿ ›ܾܵ݅ଶ െ Ͷܽܿ ൐ Ͳ x (Xmax, ymax) (Xmax, ymax) (Xmax, ymax)
  • 35. 31 ‫ܾ݅ܵݕ‬ଶ െ Ͷܽܿ ൌ Ͳ x ‫ܾ݅ܵݕ‬ଶ െ Ͷܽܿ ൏ Ͳ x (Xmin, ymin) (Xmax, ymax) (Xmax, ymax)
  • 36. 32 Ejemplos: a) Sea la función: f: Թ ՜ Թ x ՜y=f(x) = 3x2 + 6x - 2 y a = 3 b = 6 c = - 2 x min = ି௕ ଶ௔ ൌ ି଺ ଶሺଷሻ ൌ െͳ y min= ସ௔௖ି௕మ ସ௔ ൌ ସሺଷሻሺିଶሻି଺మ ସሺଷሻ ൌ ି଺଴ ଵଶ ൌ െͷ x Punto mínimo ሺെͳǡ െͷሻ ‫݂݊×݅ܿ݊ݑ݂݈ܽ݁݀݋݅݊݅݉݋ܦ‬ ‫݂ܦ‬ǣ ‫ݔ׊‬ ‫א‬ Թ Para hallar el recorrido de ‫ݕ‬ ൌ ͵šଶ ൅ ͸š െ ʹ › ൌ ͵ሺš ൅ ͳሻଶ െ ͷ ‫ݔ‬ ‫א‬ Թ ‫ݔ‬ ൅ ͳ ‫א‬ Թ ሺ‫ݔ‬ ൅ ͳሻଶ ൒ Ͳ ሺ‫ݔ‬ ൅ ͳሻଶ ൒ Ͳ ሺ‫ݔ‬ ൅ ͳሻଶ െ ͷ ൒ െͷ ‫ݕ‬ ൒ െͷ ܴ݂ǣ‫ݕ׊‬ ‫א‬ሾെͷǡ ൅λሾ
  • 37. 33 b) ݂ǣ ሿെʹǡ ͵ሿ՜ Թ ‫ݔ‬ ՜ ‫ݕ‬ ൌ ‫ݔ‬ଶ െ ʹ‫ݔ‬ ൅ ͳ ൌ ሺ‫ݔ‬ െ ͳሻଶ a = 1 b = -2 c = 1 x min = ି௕ ଶ௔ ൌ ିሺିଶሻ ଶሺଵሻ ൌ ͳ y min= ସ௔௖ି௕మ ସ௔ ൌ ସሺଵሻሺଵሻିሺିଶሻమ ସሺଵሻ ൌ ଴ ସ ൌ Ͳ Punto mínimo ሺെͳǡͲሻ ‘‹‹‘†‡Žƒˆ— ‹×ˆ ‫݂ܦ‬ǣ ‫ݔ׊‬ ‫א‬ ሿെʹǡ ͵ሿ Para hallar el recorrido de la función ‫ݕ‬ ൌ‫ݔ‬ʹ െ ʹ‫ݔ‬ ൅ ͳ › ൌሺ‫ݔ‬ െ ͳሻʹ Rf: െʹ ൏ ‫ݔ‬ ൑ ͵ െ͵ ൏ ‫ݔ‬ െ ͳ ൑ ʹ Ͳ ൑ ሺ‫ݔ‬ െ ͳሻଶ ൏ ͻ 0 ൑ ‫ݕ‬ ൏ ͻ ܴ݂ǣ‫ݕ׊‬ ‫א‬ሾͲǡͻሾ x y
  • 38. 34 d) Sea la función: ݂ǣ ሾെ͵ǡ ʹሾ՜ Թ ‫ݔ‬ ՜ ‫ݕ‬ ൌ ‫ݔ‬ଶ ൅ ʹ‫ݔ‬ ൅ ͵ ൌ ሺ‫ݔ‬ ൅ ͳሻଶ ൅ ʹ a = 1 b = 2 c = 3 x min = ି௕ ଶ௔ ൌ ିଶ ଶሺଵሻ ൌ െͳ y min= ସ௔௖ି௕మ ସ௔ ൌ ସሺଵሻሺଷሻିଶమ ସሺଵሻ ൌ ଵଶିସ ସ ൌ ଼ ସ ൌ ʹ Punto mínimo ሺെͳǡʹሻ ‘‹‹‘†‡Žƒˆ— ‹×ˆ ‫݂ܦ‬ǣ ‫ݔ׊‬ ‫א‬ ሾെ͵ǡ ʹሾ Para hallar el recorrido de la función ‫ݕ‬ ൌ‫ݔ‬ʹ ൅ ʹ‫ݔ‬ ൅ ʹ › ൌሺ‫ݔ‬ ൅ ͳሻʹ ൅ ʹ Rf: െ͵ ൑ ‫ݔ‬ ൏ ʹ െʹ ൑ ‫ݔ‬ ൅ ͳ ൏ ͵ Ͳ ൑ ሺ‫ݔ‬ ൅ ͳሻଶ ൏ ͻ 2 ൑ ‫ݕ‬ ൏ ͳͳ ܴ݂ǣ‫ݕ׊‬ ‫א‬ሾʹǡͳͳሾ x y
  • 39. 35 e) Sea la función: f: Թ ՜ Թ x ՜y=f(x) = - 3x2 + 7x+2 a = -3 b = 7 c = 2 x max = ି௕ ଶ௔ ൌ ି଻ ଶሺିଷሻ ൌ ଻ ଺ y max = ସ௔௖ି௕మ ସ௔ ൌ ସሺିଷሻሺଶሻି଻మ ସሺିଷሻ ൌ ି଻ଷ ିଵଶ ൌ ଻ଷ ଵଶ Punto máximo ቀ ଻ ଺ ǡ ଻ଷ ଵଶ ቁ ‘‹‹‘†‡Žƒˆ— ‹×ˆǡ ˆǣ ‫š׊‬ ‫א‬ Թ Para hallar el recorrido de ‫ݕ‬ ൌ െ͵šଶ ൅ ͹š ൅ ʹ › ൌെ͵ ൬š െ ͹ ͸ ൰ ଶ ൅ ͹͵ ͳʹ ‫ݔ‬ ‫א‬ Թ ‫ݔ‬ െ ͹ ͸ ‫א‬ Թ ൬‫ݔ‬ െ ͹ ͸ ൰ ଶ ൒ Ͳ െ͵ ൬‫ݔ‬ െ ͹ ͸ ൰ ଶ ൑ Ͳ െ͵ ൬‫ݔ‬ െ ͹ ͸ ൰ ଶ ൅ ͹͵ ͳʹ ൑ ͹͵ ͳʹ ‫ݕ‬ ൑ ͹͵ ͳʹ ܴ݂ǣ‫ݕ׊‬ ‫א‬ ൨െλǡ ͹͵ ͳʹ ൨ (Xmax, ymax) x y
  • 40. 36 f) Sea la función: ݂ǣ ሿͲǡ ʹሾ՜ Թ x ՜y=f(x) = - 2x2 + 6x - 4 a = -2 b = 6 c = -4 x max = ି௕ ଶ௔ ൌ ି଺ ଶሺିଶሻ ൌ ଺ ସ ൌ ଷ ଶ y max = ସ௔௖ି௕మ ସ௔ ൌ ସሺିଶሻሺିସሻି଺మ ସሺିଶሻ ൌ ିସ ି଼ ൌ ଵ ଶ Punto máximo ቀ ଷ ଶ ǡ ଵ ଶ ቁ ‘‹‹‘†‡Žƒˆ— ‹óˆǡ ‫݂ܦ‬ǣ ‫ݔ׊‬ ‫א‬ ሿͲǡ ʹሾ Para hallar el recorrido de ‫ݕ‬ ൌെʹšଶ ൅ ͸š െ Ͷ › ൌെʹ ൬š െ ͵ ʹ ൰ ଶ ൅ ͳ ʹ ‫ݔ‬ ‫א‬ ሿͲǡ ʹሾ Ͳ ൏ ‫ݔ‬ 2 െ ଷ ଶ ൏ ‫ݔ‬ െ ଷ ଶ ଵ ଶ െ ଷ ଶ ൏ ‫ݔ‬ െ ଷ ଶ Ͳ˜Ͳ ൑ ‫ݔ‬ െ ଷ ଶ ଵ ଶ Ͳ ൏ቀ‫ݔ‬ െ ଷ ଶ ቁ ଶ ଽ ସ ˜Ͳ ൑ቀ‫ݔ‬ െ ଷ ଶ ቁ ଶ ଵ ସ Ͳ ൑ሺ‫ݔ‬ െ ଷ ଶ ሻଶ ଽ ସ Ͳ ൒ െʹሺ‫ݔ‬ െ ଷ ଶ ሻଶ ൐ െ ଽ ଶ ଵ ଶ ൒ െʹሺ‫ݔ‬ െ ଷ ଶ ሻଶ ൅ ଵ ଶ ൐ െ ଼ ଶ (Xmax, ymax) x y
  • 41. 37 െͶ ൏ ‫ݕ‬ ൑ ଵ ଶ ˆǣ‫›׊‬ ‫א‬ ൨െͶǡ ͳ ʹ ൨ g) Sea la función: ݂ǣ ሾʹǡ Ͷሿ՜ Թ x ՜y=f(x) = - x2 + 5x - 9 a = - 1 b = 5 c = - 9 x max = ି௕ ଶ௔ ൌ ିହ ଶሺିଵሻ ൌ ହ ଶ y max = ସ௔௖ି௕మ ସ௔ ൌ ସሺିଵሻሺିଽሻିହమ ସሺିଵሻ ൌ െ ଵଵ ସ —–‘žš‹‘ቀ ହ ଶ ǡ െ ଵଵ ସ ቁ ‘‹‹‘†‡Žƒˆ— ‹×ˆǡ ˆǣ ‫š׊‬ ‫א‬ ሾʹǡ Ͷሿ Para hallar el recorrido de ‫ݕ‬ ൌ- x2 + 5x - 9 › ൌെ ൬š െ ͷ ʹ ൰ ଶ െ ͳͳ Ͷ ‫ݔ‬ ‫א‬ሾʹǡ Ͷሿ ʹ ൑ ‫ݔ‬ ൑ Ͷ െ ଵ ଶ ൑ ‫ݔ‬ െ ହ ଶ ൑ ଷ ଶ Ͳ ൑ሺ‫ݔ‬ െ ͷ ʹ ሻଶ ൑ ͻ Ͷ Ͳ ൒ െሺ‫ݔ‬ െ ହ ଶ ሻଶ ൒ െ ଽ ସ (Xmax, ymax) x y
  • 42. 38 െ ͳͳ Ͷ ൒ െሺ‫ݔ‬ െ ͵ ʹ ሻଶ െ ͳͳ Ͷ ൒ െͷ െͷ ൑ ‫ݕ‬ ൑െ ଵଵ ସ ܴ݂ǣ‫ݕ׊‬ ‫א‬൤െͷǡ െ ͳͳ Ͷ ൨ h) Se dispone de un alambre de 85 metros para cercar con los 3 lados un terreno de tal manera de se obtenga el área máxima. ¿Cuáles son las dimensiones del terreno.? ancho Solución: El área del rectángulo es: base x altura (largo x ancho) A= b x h A= (85 – 2x ) x A= 85x – 2x2 Se necesita encontrar para que valor de x el área es máxima. x max = ି௕ ଶ௔ ൌ ି଼ହ ଶሺିଶሻ ൌ ଼ହ ସ = 21,25 A max = ସ௔௖ି௕మ ସ௔ ൌ ସሺିଵሻሺ଴ሻି଼ହమ ସሺିଶሻ ൌ ଻ଶଶହ ଼ ൌ ͻͲ͵ǡͳʹͷ Punto máximo ቀ ଼ହ ସ ǡ ଻ଶଶହ ଼ ቁ Las dimensiones del terreno son: ancho x= 21,25 m largo = 85 – 2x largo = 85 – 2(21,25) largo = 42.5 Área máxima= 903.12 x x 85-2x largo (Xmax, ymax)
  • 43. 39 i) Se lanza un proyectil desde el suelo hacia arriba, describiendo un movimiento parabólico. Si se conoce que la altura máxima media en metros que alcanza el proyectil se calcula a través de la función: H(t) = -4t2 + 15t. Calcular: a) ¿En qué momento alcanza la altura máxima? b) ¿ Cuál es la altura máxima? Solución: H(t) = - 4t2 + 15t a= -4 b=15 c=0 t max = ିୠ ଶୟ ൌ ିଵହ ଶሺିସሻ ൌ ିଵହ ି଼ = 1,85 H max = ସୟୡିୠమ ସୟ ൌ ସሺିସሻሺ଴ሻିଵହమ ସሺିସሻ ൌ ିଶଶହ ି଼ ൌ ͳͶǡͲ͸ Punto máximo ቀ ଵହ ଼ ǡ ଶଶହ ଼ ቁ a) La altura máxima es alcanzada a un tiempo t=1,85s b) La altura máxima es H= 14,06m (Xmax, ymax)
  • 44. 40 j) Una compañía que vende agua embotellada vende semanalmente x número de botellas de agua a p dólares cada una, la relación entre p (precio) y x (número de artículos vendidos) está dada por la siguiente ecuación de demanda: P = x - 246 ¿Cuántos botellas de agua debe vender la compañía para obtener un ingreso semanal de $1.000? Solución: Ingreso requerido I =1000 Precio de venta P= x -246 Número de artículos vendidos= x Ingreso= precio de venta x número de artículos vendidos I = P x 1000= (x-246) x 1000= x2 - 246x x2 - 246x -1000=0 x2 - 246x - 1000=0 ‫ݔ‬ ൌ െܾ േ ξܾଶ െ Ͷܽܿ ʹܽ ‫ݔ‬ ൌ െሺെʹͶ͸ሻ േ ඥሺെʹͶ͸ሻଶ െ ͶሺͳሻሺെͳͲͲͲሻ ʹሺͳሻ ‫ݔ‬ ൌ ʹͶ͸ േ ඥ͸Ͳͷͳ͸ ൅ ͶͲͲͲሻ ʹሺͳሻ ‫ݔ‬ ൌ ʹͶ͸ േ ξ͸Ͷͷͳ͸ ʹ X = 250 v x = - 4 Consideramos solamente el valor entero positivo que es x = 250. Por lo tanto la compañía debe vender 250 botellas de agua semanalmente.
  • 45. 41 1.3.3.4 FUNCIÓN VALOR ABSOLUTO La función valor absoluto se define de la siguiente manera: fԹ → Թ x → y = f (x) = ȁ࢞ȁ y ‫݂ܦ‬ǣ ‫ݔ׊‬ ‫א‬ Թ ܴ݂ǣ‫ݕ׊‬ ‫א‬ ሾͲǡ ൅λሾ x Ejemplos: a) Sea la función ݂ǣ Թ ՜ Թ x ՜y=f(x) = ȁʹ‫ݔ‬ െ Ͷȁ Dominio de f: ‫݂ܦ‬ǣ ‫ݔ׊‬ ‫א‬ Թ Recorrido de f: ‫ݔ‬ ‫א‬ Թ ʹ‫ݔ‬ ‫א‬ Թ ʹ‫ݔ‬ െ Ͷ ‫א‬ Թ ȁʹ‫ݔ‬ െ Ͷȁ ൒ Ͳ ܴ݂ǣ‫ݕ׊‬ ‫א‬ ሾͲǡ ൅∞ሾ
  • 46. 42 b) Sea la función ݂ǣሿͲǡ ͵ሿ՜ Թ x ՜y=f(x) = ȁെ͵‫ݔ‬ ൅ ͷȁ y Dominio de f: ‫݂ܦ‬ǣ ‫ݔ׊‬ሿͲǡ ͵ሿ Recorrido de f: ‫ݔ‬ ‫א‬ሿͲǡ ͵ሿ Ͳ ൏ ‫ݔ‬ ൑ ͵ Ͳ ൐ െ͵‫ݔ‬ ൒ െͻ ͷ ൐ െ͵‫ݔ‬ ൅ ͷ ൒ െͶ Ͳ ൑ ȁെ͵‫ݔ‬ ൅ ͷȁ ൏ ͷ Ͳ ൑ ‫ݕ‬ ൏ ͷ x ܴ݂ǣ‫ݕ׊‬ ‫א‬ ሾͲǡ ͷሿ c) Sea la función ݂ǣሿെͳǡ Ͷሿ՜ Թ y x ՜y=f(x) = ȁെͶ‫ݔ‬ ൅ ͺȁ െ ʹ Dominio de f: ‫ݔ‬ ‫א‬ሿെͳǡ Ͷሿ Recorrido de f: െͳ ൏ ‫ݔ‬ ൑ Ͷ Ͷ ൐ െͶ‫ݔ‬ ൒ െͳ͸ ͳʹ ൐ െͶ‫ݔ‬ ൅ ͺ ൒ െͺ Ͳ ൑ ȁെͶ‫ݔ‬ ൅ ͺȁ ൏ ͳʹ െʹ ൑ ȁെͶ‫ݔ‬ ൅ ͺȁ െ ʹ ൏ ͳͲ െʹ ൑ ‫ݕ‬ ൏ ͳͲ ܴ݂ǣ‫ݕ׊‬ ‫א‬ ሾെʹǡ ͳͲሾ x x
  • 47. 43 d) Sea la función y ݂ǣ ሿെʹǡ͵ሿ՜ Թ x ՜y=f(x) = - ȁ͵‫ݔ‬ െ ͵ȁ ൅ ͳ Dominio de f: y ‫ݔ‬ ‫א‬ሿെʹǡ͵ሿ Recorrido de f: െʹ ൏ ‫ݔ‬ ൑ ͵ െ͸ ൏ ͵‫ݔ‬ ൑ ͻ െͻ ൏ ͵‫ݔ‬ െ ͵ ൑ ͸ Ͳ ൑ ȁ͵‫ݔ‬ െ ͵ȁ ൏ ͻ Ͳ ൒ െȁ͵‫ݔ‬ െ ͵ȁ ൐ െͻ ͳ ൒ െȁ͵‫ݔ‬ െ ͵ȁ ൅ ͳ ൐ െͺ െͺ ൏ ‫ݕ‬ ൑ ͳ ܴ݂ǣ‫ݕ׊‬ ‫א‬ ሿെͺǡ ͳሿ y e) Sea la función ݂ǣሿͲǡ ͵ሾ՜ Թ x ՜y=f(x) = - ȁെͶ‫ݔ‬ ൅ Ͷȁ െ ͳ Dominio de f: ‫ݔ‬ ‫א‬ሿെͲǡ ͵ሾ Recorrido de f: Ͳ ൏ ‫ݔ‬ ൏ ͵ Ͳ ൐ െͶ‫ݔ‬ ൐ െͳʹ Ͷ ൐ െͶ‫ݔ‬ ൅ Ͷ ൐ െͺ Ͳ ൑ ȁെͶ‫ݔ‬ ൅ Ͷȁ ൏ ͺ Ͳ ൒ െȁെͶ‫ݔ‬ ൅ Ͷȁ ൐ െͺ Ͳ ൒ െȁെͶ‫ݔ‬ ൅ Ͷȁ െ ͳ ൐ െͻ x x
  • 48. 44 Ͳ ൒ ‫ݕ‬ ൐ െͻ െͻ ൏ ‫ݕ‬ ൑ െͳ ܴ݂ǣ‫ݕ׊‬ ‫א‬ ሿെͻǡ െͳሿ 1.3.3.5 FUNCIÓN RAÍZ CUADRADA La raíz cuadrada se define de la siguiente manera: f: ሾ૙ǡ ൅λሾ՜ሾ૙ǡ ൅λሾ x → y = f (x) = ξ࢞ Dominio de f: ‫݂ܦ‬ǣ ‫ݔ׊‬ ‫א‬ ሾ૙ǡ ൅λሾ Recorrido de f: ܴ݂ǣ‫ݕ׊‬ ‫א‬ ሾͲǡ ൅λሾ Ejemplos: a) Sea la función y = f (x) = ξ૛࢞ െ ૚ Dominio de f: ʹ‫ݔ‬ െ ͳ ൒ Ͳ ‫ݔ‬ ൒ ଵ ଶ ‫݂ܦ‬ǣ ‫ݔ׊‬ ‫א‬ ൤ ૚ ૛ ǡ ൅λ൤ Recorrido de f: ‫ݔ‬ ൒ ͳ ʹ ʹ‫ݔ‬ ൒ ͳ ʹ‫ݔ‬ െ ͳ ൒ Ͳ ξʹ‫ݔ‬ െ ͳ ൒ Ͳ x x y y
  • 49. 45 ‫ݕ‬ ൒ Ͳ ܴ݂ǣ‫ݕ׊‬ ‫א‬ ሾͲǡ ൅λሾ b) Determinar el dominio y recorrido de la siguiente relación para que sea función y = f (x) = ξ૜࢞ ൅ ૝ +2 Dominio de f: ͵‫ݔ‬ ൅ Ͷ ൒ Ͳ ͵‫ݔ‬ ൒ െͶ ‫ݔ‬ ൒ െ ସ ଷ ‫݂ܦ‬ǣ ‫ݔ׊‬ ‫א‬ ቂെ ૝ ૜ ǡ ൅λቂ Recorrido de f: ‫ݔ‬ ൒ െ Ͷ ͵ ͵‫ݔ‬ ൒ െͶ ͵‫ݔ‬ ൅ Ͷ ൒ Ͳ ξ͵‫ݔ‬ ൅ Ͷ ൒ Ͳ ξ͵‫ݔ‬ ൅ Ͷ ൅ ʹ ൒ ʹ ‫ݕ‬ ൒ ʹ ܴ݂ǣ‫ݕ׊‬ ‫א‬ ሾʹǡ ൅λሾ c) Dada la función ࢌǣሿെ૜ǡ ૛ሿ ՜ Թ x ՜ y = f (x) = ξെ࢞ ൅ ૜ - 1 Determinar el recorrido de f x y
  • 50. 46 Dominio de f: ‫ݔ׊‬ ‫א‬ ሿെ૜ǡ ૛ሿ Recorrido de f: െ͵ ൏ ‫ݔ‬ ൑ ʹ ͵ ൐ െ‫ݔ‬ ൒ െʹ ͸ ൐ െ‫ݔ‬ ൅ ͵ ൒ ͳ ξ͸ ൐ ξെ‫ݔ‬ ൅ ͵ ൒ ͳ ξ͸ െ ͳ ൐ ξെ‫ݔ‬ ൅ ͵ െ ͳ ൒ Ͳ 0൑ ‫ݕ‬ ൏ ξ͸ െ ͳ ܴ݂ǣ‫ݕ׊‬ ‫א‬ ሾͲǡ ξ͸ െ ͳሾ d) Dada la función ࢌǣሿെ૚ǡ ૛ሿ ՜ Թ x ՜ y = f (x) = ξ૛࢞ ൅ ૜ - 3 Determinar el recorrido de f Dominio de f: ‫ݔ׊‬ ‫א‬ ሿെ૜ǡ ૛ሿ Recorrido de f: െͳ ൏ ‫ݔ‬ ൑ ʹ െʹ ൏ ʹ‫ݔ‬ ൑ Ͷ ͳ ൐ ʹ‫ݔ‬ ൅ ͵ ൒ ͹ െʹ ൐ ξʹ‫ݔ‬ ൅ ͵ െ ͵ ൒ ξ͹ െ ͵ െʹ ൐ ‫ݕ‬ ൒ ξ͹ െ ͵ ܴ݂ǣ‫ݕ׊‬ ‫א‬ ሾξ͹ െ ͵ǡ െʹሾ x x y y
  • 51. 47 e) Un objeto es soltado en caída libre desde un edificio de 800 m de altura. Determinar el tiempo que tarda en llegar al suelo. Solución: La fórmula que permite calcular el tiempo es: ܶ ൌට ଶ௛ ௚ , donde g=9.8 m/s2 , corresponde a la aceleración de la gravedad que es Datos: H=700 m g = 9.8 m/s2 Aplicando la fórmula ܶ ൌ ට ଶ௛ ௚ Se tiene: ܶ ൌ ඨ ʹሺͺͲͲ݉ሻ ͻǤͺ‫ݏ‬ଶ ܶ ൌ ඨ ͳ͸ͲͲ݉Ȁ‫ݏ‬ ͻǤͺ‫ݏ‬ଶ ܶ ൌ ඥͳ͸͵Ǥʹ͸‫ݏ‬ଶ ܶ ൌ ͳʹǤ͹͹‫ݏ‬ El tiempo que se demora el objeto es llegar al suelo es T=11.95 s
  • 52. 48 1.3.3.6 FUNCIÓN RACIONAL La función racional puede estar expresada de la siguiente manera: ‫ݕ‬ ൌ ݂ሺ‫ݔ‬ሻ ൌ ܰሺ‫ݔ‬ሻ ‫ܯ‬ሺ‫ݔ‬ሻ Donde N y M son polinomios y ‫ܯ‬ሺ‫ݔ‬ሻ ് Ͳ Ejemplo: a) Dada la función y = f (x) = ࢞ି૛ ࢞ା૚ Determinar el dominio y recorrido de f Dominio de f: ࢞ ൅ ૚ ് ૙ ࢞ ് െ૚ ‫݂ܦ‬ǣ‫ݔ׊‬ ‫א‬ Թ െ ሼെ૚ሽ x x y y
  • 53. 49 Recorrido de f: ›ൌˆሺšሻൌ ୶ିଶ ୶ାଵ ൌ ͳ െ ଷ ୶ାଵ ‫ݔ‬ ് െͳ ‫ݔ‬ ൅ ͳ ് Ͳ ͳ ‫ݔ‬ ൅ ͳ ് Ͳ ͵ ‫ݔ‬ ൅ ͳ ് Ͳ െ ଷ ௫ାଵ ് Ͳ ͳ െ ଷ ௫ାଵ ് ͳ x ‫ݕ‬ ് െͳ ܴ݂ǣ‫ݕ׊‬ ‫א‬ Թ െ ሼെͳሽ b) Dada la función y = ૛࢞ି૝ ࢞ି૜ Determinar el dominio y recorrido de f Dominio de f: ࢞ െ ૜ ് ૙ ࢞ ് ૜ ‫݂ܦ‬ǣ‫ݔ׊‬ ‫א‬ ࡾ െ ሼ૜ሽ y
  • 54. 50 Recorrido de f: y = ૛࢞ି૝ ࢞ି૜ ൌ ʹ ൅ ଶ ୶ିଷ ‫ݔ‬ ് ͵ ‫ݔ‬ െ ͵ ് Ͳ ͳ ‫ݔ‬ െ ͵ ് Ͳ ଶ ௫ିଷ ് Ͳ ʹ ൅ ଶ ௫ିଷ ് ʹ ‫ݕ‬ ് ʹ c) Determinar el recorrido de la función f: ࢌǣሾെ૞ǡ ૛ሿ െ ሼെ૛ሽ ՜ Թ x ՜ y = ૜࢞ ૛࢞ା૝ Dominio de f: ‫࢞׊‬ ‫א‬ ሾെ૞ǡ ૛ሿ െ ሼെ૛ሽ Recorrido de f: y = ૜࢞ ૛࢞ା૝ ൌ ଷ ଶ െ ଺ ଶ୶ାସ ൌ ଷ ଶ െ ଷ ୶ାଶ െ૞ ൑ ࢞ ൑ െ૛ v െ૛ ൑ ࢞ ൑ ૛ െ૜ ൑ ࢞ ൅ ૛ ൑ ૙ v ૙ ൑ ࢞ ൅ ૛ ൑ ૝ െ ૚ ૜ ൒ ૚ ࢞ା૛ v ૚ ࢞ା૛ ൒ ૚ ૝ x x y y
  • 55. 51 ૚ ൑ െ ૜ ࢞ା૛ v െ ૜ ࢞ା૛ ൑െ ૜ ૝ ૞ ૛ ൑ ૜ ૛ െ ૜ ࢞ା૛ v ૜ ૛ െ ૜ ࢞ା૛ ൑ ૜ ૝ ૞ ૛ ൑ ࢟ v ࢟ ൑ ૜ ૝ ࡾࢌǣ‫࢟׊‬ ‫א‬൨െλǡ ૜ ૝ ൨ ‫׫‬ ൤ ૞ ૛ ǡ ൅λ൤ d) Una empresa que produce vasos tiene unos costos mensuales de producción igual a los costos fijos más los costos variables. Los costos fijos son de $825 mensuales y los Costos variables son de 2.9 por cada vaso. Determinar la función que describa el costo unitario de los vasos en función de la producción mensual y su gráfico. Solución: CT : Cf + Cv donde CT= costo total Cf : Costos fijos Cv : Costos variables Por lo tanto CT= 825 + 2.9 x x : número de vasos La función que describe el costo unitario es: ۱‫ܝ‬ ൌ ۱‫܂‬ ‫ܠ‬ Cu : costo unitario ۱‫ܝ‬ ൌ ͺʹͷ ൅ ʹǤͻš ‫ܠ‬ Y
  • 56. 52 X 1.3.4 MISCELÁNEA DE EJERCICIOS a) Sea la función: ݂ǣ ሾെͶǡ ͵ሿ՜ Թ ‫ݔ‬ ՜ ‫ݕ‬ ൌ ݂ሺ‫ݔ‬ሻ ൌ ൝ െ͵‫݅ݏ‬ െ Ͷ ൑ ‫ݔ‬ ൏ െʹ ‫ݔ‬ െ ͳ‫݅ݏ‬ െ ʹ ൑ ‫ݔ‬ ൑ Ͳ ‫ݔ‬ଶ െ ʹ‫ݔ‬ െ ͳ‫Ͳ݅ݏ‬ ൏ ‫ݔ‬ ൑ ͵
  • 57. 53 Determinar el recorrido de la función f x i) െͶ ൑ ‫ݔ‬ ൏ െʹ ‫ݕ‬ ൌ െ͵ ii) െʹ ൑ ‫ݔ‬ ൑ Ͳ െ͵ ൑ ‫ݔ‬ െ ͳ ൑ െͳ ‫߳ݕ‬ሾെ͵ǡ െͳሿ iii) ‫ݕ‬ ൌ‫ݔ‬ଶ െ ʹ‫ݔ‬ െ ͳ ൌሺ‫ݔ‬ െ ͳሻଶ െ ʹ Ͳ ൏ ‫ݔ‬ ൑ ͵ െͳ ൏ ‫ݔ‬ െ ͳ ൑ ʹ Ͳ ൑ ሺ‫ݔ‬ െ ͳሻଶ ൑ Ͷ െʹ ൑ ሺ‫ݔ‬ െ ͳሻଶ െ ʹ ൑ ʹ െʹ ൑ ‫ݕ‬ ൑ ʹ Rf = ሼെ͵ሽ ‫׫‬ ሾെ͵ǡ െͳሿ‫׫‬ሾെʹǡ ʹሿ Rf = ‫׊‬‫ݕ‬ ‫א‬ ሾെ͵ǡ ʹሿ b) Dada la función y = f (x) = ට ૛࢞ି૜ ࢞ା૝ Determinar el dominio y recorrido de la función f y
  • 58. 54 Dominio: ૛࢞ െ ૜ ࢞ ൅ ૝ ൒ ૙ ૛࢞ െ ૜ ൒ ૙ ૛࢞ ൒ ૜ ࢞ ൒ ૜ ૛ ࢞ ൅ ૝ ൐ Ͳ ࢞ ൐ െͶ െλ െ Ͷ ଷ ଶ ൅ λ 2x-3 - - + x+4 - + + + - + ‫ݔ‬ ൏ െͶ˜‫ݔ‬ ൒ ଷ ଶ Df: ‫ࣕ࢞׊‬ሿെλǡ െ૝ሾ‫׫‬ ቂ ૜ ૛ ǡ ൅λቂ Recorrido: y = f (x) = ට ૛࢞ି૜ ࢞ା૝ ൌ ට૛ െ ૚૚ ࢞ା૝ š ൏ െͶ˜‫ݔ‬ ൒ ͵ ʹ š ൅ Ͷ ൏ Ͳ˜‫ݔ‬ ൅ Ͷ ൒ ͳͳ ʹ ͳ š ൅ Ͷ ൏ Ͳ˜Ͳ ൏ ͳ š ൅ Ͷ ൑ ʹ ͳͳ െ ͳ š ൅ Ͷ ൐ Ͳ˜Ͳ ൐ െ ͳ š ൅ Ͷ ൒ െ ʹ ͳͳ െ ͳͳ š ൅ Ͷ ൐ ʹ˜Ͳ ൐ െ ͳͳ š ൅ Ͷ ൒ െʹ ʹ െ ͳ š ൅ Ͷ ൐ ʹ˜ʹ ൐ ʹ െ ͳ š ൅ Ͷ ൒ Ͳ › ൐ ʹ˜Ͳ ൑ ‫ݕ‬ ൏ ʹ
  • 59. 55 Rf = ‫ݕ׊‬ ‫א‬ ሿ૛ǡ ൅λሾ‫׫‬ ሾ૙ǡ ૛ሾ Rf = ‫׊‬‫ݕ‬ ‫א‬ ሾͲǡ ൅λሾ െ ሼʹሽ x c) Dada la función y = f (x) = ቚ ૛ି࢞ ૛࢞ା૞ ቚ Determinar el dominio y recorrido de la función f Dominio: ฬ ૛ െ ࢞ ૛࢞ ൅ ૞ ฬ ൒ ૙ ૛࢞ ൅ ૞ ് ૙ ૛࢞ ് െ૞ ࢞ ് െ ૞ ૛ ࡰࢌǣ‫࢞׊‬ ‫א‬ Թ െ ൜െ ૞ ૛ ൠ Recorrido: y
  • 60. 56 y = f (x) = ቚ ૛ି࢞ ૛࢞ା૞ ቚ ൌ ቚെ ૚ ૛ ൅ ૢ ૝࢞ା૚૙ ቚ ࢞ ് െ ૞ ૛ ૝࢞ ് െ૚૙ ૝࢞ ൅ ૚૙ ് ૙ ૚ ૝࢞ ൅ ૚૙ ് ૙ ૢ ૝࢞ ൅ ૚૙ ് ૙ െ ૚ ૛ ൅ ૢ ૝࢞ ൅ ૚૙ ് െ ૚ ૛ ฬെ ૚ ૛ ൅ ૢ ૝࢞ ൅ ૚૙ ฬ ൒ ૙ ࢟ ൒ ૙ Rf = ‫׊‬‫ݕ‬ ‫א‬ ሾͲǡ ൅λሾ d) Dada la función y = f (x) = ξ૛࢞૛ ൅ ૜࢞ ൅ ૚ Determinar el dominio y recorrido de la función f Dominio: ૛࢞૛ ൅ ૜࢞ ൅ ૚ ൒ ૙ ૛ ൬࢞ ൅ ૜ ૝ ൰ ૛ െ ૚ ૡ ൒ ૙ ૛ ൬࢞ ൅ ૜ ૝ ൰ ૛ ൒ ૚ ૡ ൬࢞ ൅ ૜ ૝ ൰ ૛ ൒ ૚ ૚૟ x y
  • 61. 57 ඨቀ࢞ ൅ ૜ ૝ ቁ ૛ ൒ ඨ ͳ ͳ͸ ฬ൬࢞ ൅ ૜ ૝ ൰ฬ ൒ ͳ Ͷ ࢞ ൅ ૜ ૝ ൑ - ଵ ସ ˜࢞ ൅ ૜ ૝ ൒ ଵ ସ ࢞ ൑ - ͳ˜࢞ ൅ ૜ ૝ ൒ െ ૚ ૛ ‫ݔ‬ ൑ െͳ˜‫ݔ‬ ൒ െ ͳ ʹ Df: ‫ࣕ࢞׊‬ሿെλǡ െ૚ሿ‫׫‬ ቂെ ૚ ૛ ǡ ൅λቂ Recorrido: y = f (x) = ξ૛࢞૛ ൅ ૜࢞ ൅ ૚ ൌ ට૛ ቀ࢞ ൅ ૜ ૝ ቁ ૛ െ ૚ ૡ ‫ݔ‬ ൑ െͳ˜‫ݔ‬ ൒ െ ͳ ʹ ‫ݔ‬ ൅ ͵ Ͷ ൑ െͳ Ͷ ˜‫ݔ‬ ൅ ͵ Ͷ ൒ ͳ Ͷ ൬‫ݔ‬ ൅ ͵ Ͷ ൰ ଶ ൒ ͳ ͳ͸ ˜ ൬‫ݔ‬ ൅ ͵ Ͷ ൰ ଶ ൒ ͳ ͳ͸ ൬‫ݔ‬ ൅ ͵ Ͷ ൰ ଶ ൒ ͳ ͳ͸ ʹ ൬‫ݔ‬ ൅ ͵ Ͷ ൰ ଶ ൒ ͳ ͺ
  • 62. 58 ʹ ൬‫ݔ‬ ൅ ͵ Ͷ ൰ ଶ െ ͳ ͺ ൒ Ͳ ‫ݕ‬ ൒ Ͳ x e) Determinar el recorrido de la siguiente función ‫ݕ‬ ൌ ݂ሺ‫ݔ‬ሻ ൌ ቐ ଶ௫ାସ ଶ௫ିଶ ‫݅ݏ‬ െ Ͷ ൑ ‫ݔ‬ ൏ ͳ ͵‫ݔ‬ ൅ ͳ‫ͳ݅ݏ‬ ൑ ‫ݔ‬ ൏ ͵ ‫ݕ‬ ൌ ଶ௫ାସ ଶ௫ିଶ ൌ ͳ ൅ ଺ ଶ௫ିଶ ‫ݕ‬ ൌ ͵‫ݔ‬ ൅ ͳ െͶ ൑ ‫ݔ‬ ൏ ͳ v ͳ ൑ ‫ݔ‬ ൏ ͵ െͺ ൑ ʹ‫ݔ‬ ൏ ʹ v ͵ ൑ ͵‫ݔ‬ ൏ ͻ െͳͲ ൑ ʹ‫ݔ‬ െ ʹ ൏ Ͳ v Ͷ ൑ ͵‫ݔ‬ ൅ ͳ ൏ ͳͲ y
  • 63. 59 ଵ ଶ௫ିଶ ൑ െ ଵ ଵ଴ v Ͷ ൑ ‫ݕ‬ ൏ ͳͲ ଺ ଶ௫ିଶ ൑ െ ଷ ହ ͳ ൅ ͸ ʹ‫ݔ‬ െ ʹ ൑ ʹ ͷ ‫ݕ‬ ൑ ଶ ହ Rf = ‫ݕ׊‬ ‫א‬ ቃെλǡ ૛ ૞ ቃ‫׫‬ ሾ૝ǡ ૚૙ሾ f) Determinar el recorrido de la siguiente función ‫ݕ‬ ൌ ݂ሺ‫ݔ‬ሻ ൌ ቐ ‫ݔ‬ଶ ൅ Ͷ‫ݔ‬ െ ͳ‫݅ݏ‬ȁ‫ݔ‬ȁ ൏ ʹ െͶ‫݅ݏ‬ȁ‫ݔ‬ȁ൒ ʹ x y
  • 64. 60 ‫ݕ‬ ൌ‫ݔ‬ଶ ൅ Ͷ‫ݔ‬ െ ͳ ൌ ሺ‫ݔ‬ ൅ ʹሻଶ െ ͷ i) ȁ‫ݔ‬ȁ ൏ ʹ െʹ ൏ ‫ݔ‬ ൏ ʹ Ͳ ൏ ‫ݔ‬ ൅ ʹ ൏ Ͷ Ͳ ൏ ሺ‫ݔ‬ ൅ ʹሻଶ ൏ ͳ͸ െͷ ൏ ሺ‫ݔ‬ ൅ ʹሻଶ െ ͷ ൏ ͳͳ െͷ ൏ ‫ݕ‬ ൏ ͳͳ ii) ȁ‫ݔ‬ȁ൒ ʹ ‫ݔ‬ ൑െʹ˜š ൒ ʹ y = - 4 Rf = ‫ݕ׊‬ ‫א‬ ሿെ૞ǡ ૚૚ሾ‫׫‬ ሼെ૝ሽ Rf = ‫ݕ׊‬ ‫א‬ ሿെ૞ǡ ૚૚ሾ x y
  • 65. 61 g) Determinar el recorrido de la siguiente función ‫ݕ‬ ൌ ݂ሺ‫ݔ‬ሻ ൌ ቐ െξെ‫ݔ‬ ൅ Ͷ‫݅ݏ‬ െ Ͷ ൏ ‫ݔ‬ ൑ െͳ ȁെ‫ݔ‬ଶ ൅ ‫ݔ‬ ൅ ʹȁ‫ݔ݅ݏ‬ ൐ െͳ i) െͶ ൏ ‫ݔ‬ ൑ െͳ Ͷ ൐ െ‫ݔ‬ ൒ ͳ ͺ ൐ െ‫ݔ‬ ൅ Ͷ ൒ ͷ ξͺ ൐ ξെ‫ݔ‬ ൅ Ͷ ൒ ξͷ െʹξʹ ൏ െξെ‫ݔ‬ ൅ Ͷ ൑ െξͷ െʹξʹ ൏ ‫ݕ‬ ൑ െξͷ ii) ‫ݕ‬ ൌ หെ‫ݔ‬ʹ ൅ ‫ݔ‬ ൅ ʹห ൌ ฬെሺ‫ݔ‬ െ ͳ ʹ ሻ ʹ ൅ ͻ Ͷ ฬ ‫ݔ‬ ൐ െͳ ‫ݔ‬ െ ͳ ʹ ൐ െ ͵ ʹ ൬‫ݔ‬ െ ͳ ʹ ൰ ଶ ൒ Ͳ െ ൬‫ݔ‬ െ ͳ ʹ ൰ ଶ ൑ Ͳ െ ൬‫ݔ‬ െ ͳ ʹ ൰ ଶ ൅ ͻ Ͷ ൑ ͻ Ͷ ቤെ ൬‫ݔ‬ െ ͳ ʹ ൰ ଶ ൅ ͻ Ͷ ቤ ൒ Ͳ
  • 66. 62 ‫ݕ‬ ൒ Ͳ Rf = ‫ݕ׊‬ ‫א‬ ൧െ૛ξ૛ǡ െξ૞൧‫׫‬ ሾ૙ǡ ൅λሾ x y
  • 67. 63 2.- BIBLIOGRAFÍA 1. Nuñez J., (2015). Fundamentos de la Matemática, Quito. 2. Lara, J.; Arroba, J.; (2012). Análisis Matemático. Quinta edición, corregida y aumentada. Julio. Tercera reimpresión. Centro de Matemáticas. Universidad Central del Ecuador, Quito. 3. Castillo C., Navas F. Toro J.,( 2010). Ejercicios de matemática básica, Quito. 4. Thomas, G; (2010). Cálculo en una variable. Décima segunda edición, Pearson Addison Wesley. México. 5. Swokowski E. Cole J. (2007). Algebra y trigonometría con geometría analítica” Grupo Editorial Ibero América, México. 6. Arya, Lander, Ibarra (2009). Matemáticas aplicadas a la administración y a la Economía. Quinta edición. Pearson Educación. México 7. Galindo E. Gortaire D. (2006). Matemáticas Superiores, teoría y ejercicios”.Prociencia editores, Quito. 8. DemidovichB.(2000), Problemas y ejercicios de análisis matemático. Editorial Mir. Addison Wesley. México.
  • 68. 64