Puntos notables
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El documento describe varios puntos notables relacionados con triángulos. Explica que las mediatrices de los lados de un triángulo se cortan en un punto único llamado circuncentro, que es el centro de la circunferencia circunscrita que pasa por los tres vértices. También describe que las alturas de un triángulo se cortan en el ortocentro, y que las bisectrices de los ángulos se cortan en el incentro, que es el centro de la circunferencia inscrita. Además, explica que el bar
Puntos notables
- 1. Puntos notables Circuncentro Según se vio en la lección anterior, cualquier punto de la mediatriz de un lado de un triángulo equidista de los vértices que definen dicho lado. Luego si llamamos O al punto de intersección de las mediatrices de los lados AB y BC , por la propiedad anterior, el punto O equidista de los vértices A y B (por estar en la mediatriz de AB) y de los vértices B y C (por estar en la mediatriz de BC). Luego equidista de A , B y C . Al equidistar de los tres vértices del triángulo, en particular, equidista de A y C, lo que demuestra que también estará en la mediatriz del lado AC y, además, será el centro de una circunferencia que pasa por los tres vértices del triángulo. De lo anterior, concluimos: 1. Las tres mediatrices de un triángulo se cortan en un ÚNICO punto, que denotaremos por O, y que recibe el nombre de CIRCUNCENTRO. 2. El punto de corte de las tres mediatrices es el CENTRO de un circunferencia que pasa por los tres vértices del triángulo, que llamaremos circunferencia circunscrita. Observa el circuncentro en los casos de que el triángulo sea rectángulo, acutángulo u obtusángulo, respectivamente.
- 2. Se llama mediana a la recta que une un vértice con la mitad del lado opuesto. En un triángulo ABC, las tres medianas se cruzan en un punto G llamado Baricentro que es el centro de gravedad del triángulo. Cada mediana divide al triángulo en dos triángulos de igual área. Además el Baricentro dista doble del vértice que del punto medio del lado. Mediatrices y Circuncentro La mediatriz de un segmento es la recta perpendicular en su punto medio. Las mediatrices de un triángulo son las mediatrices de sus lados. El punto O donde se cortan las tres mediatrices se llama Circuncentro y equidista, es decir, está la misma distancia de los tres vértices A, B y C, es por eso que pertenece a las tres mediatrices. La circunferencia que pasa por los tres vértices se llama Circunferencia Circunscrita. Alturas y Ortocentro ALTURAS: se llama altura en un triángulo a la perpendicular trazada desde un vértice al lado opuesto. En un triángulo ABC, las tres alturas se cruzan en un punto llamado Ortocentro. Se puede ver que si trazamos por cada vértice una
- 3. paralela al lado opuesto se obtiene otro triángulo cuyas mediatrices son justamente las alturas del triángulo primitivo. Recta de Euler El baricentro de un triángulo está alineado con el ortocentro y el circuncentro, y a doble distancia del primero que del segundo. La recta que contiene a estos tres puntos se llama Recta de Euler. Bisectrices e Incentro Se llama bisectriz a la recta que divide un ángulo en dos partes iguales. Las bisectrices de un triángulo son las bisectrices de sus ángulos. El punto I donde se cortan las tres bisectrices interiores se llama Incentro, equidista de los tres lados y por eso podemos construir una circunferencia de centro I tangente a los lados del triángulo. Dicha circunferencia se llama Circunferencia Inscrita y es la
- 4. circunferencia más "grande" que se puede definir completamente contenida dentro del triángulo. Consecuencias de estas construcciones: CIRCUNFERENCIA EXINSCRITA: el incentro de un triángulo es el único punto interior que equidista de las rectas de los lados, pero existen también puntos exteriores que tienen la misma propiedad y se llaman Epicentros. Dichos Epicentros se forman en los puntos de intersección de las bisectrices exteriores del triángulo. TRIÁNGULO ÓRTICO: recíprocamente, las alturas de todo triángulo (acutángulo) son bisectrices interiores del triángulo cuyos vértices son los pies de sus alturas. Este triángulo se llama Triángulo Órtico. Como consecuencia se desprende que los lados de un triángulo acutángulo son las bisectrices exteriores de su triángulo órtico y que los vértices de un triángulo son los epicentros de su triángulo órtico. CIRCUNFERENCIA DE FEUERBACH: Dado un triángulo cualquiera, no rectángulo, aplicando las propiedades del triángulo órtico se obtiene que la circunferencia que pasa por los pies de las alturas de un triángulo contiene los puntos medios de sus lados, así como los puntos medios de los segmentos de altura comprendidos entre cada vértice y el ortocentro. Esta circunferencia se llama Circunferencia de los nueve puntos o de Feuerbach, también de Euler.