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Una función no siempre tiene un mínimo o un máximo en un
intervalo. Por ejemplo, en la figura 3.1(a) y (b), es posible ver que
la función f(x)
= x2 + 1 tiene tanto un mínimo como un máximo en el intervalo
cerrado [–1, 2], pero no tiene un máximo en el intervalo abierto (–
1, 2).
Extremos de una función
Figura 3.1(b)
Figura 3.1(a) 4

Además, en la figura 3.1(c),
se observa que la
continuidad (o la falta de la
misma) puede
afectar la existencia de un
extremo
en un interval.
Esto sugiere el siguiente
teorema.
Figura 3.1(c)
Extremos de una función
5

Extremos Relativos y
Números Críticos
6

Extremos relativos y números críticos
En la figura 3.2, la gráfica de f(x) = x3 – 3x2 tiene un máximo
relativo
en el punto (0, 0) y un mínimo relativo en el punto (2, –4).
De manera informal, para
una función continua, puede
pensar que un máximo relativo
se presenta en una “cresta” de la
gráfica, y que un mínimo relativo
se presenta en un “valle” en la
gráfica.

8

Ejemplo 1 – Valor de la derivada en los extremos relativos
Encuentre el valor de la derivada en cada uno de los
extremos relativos que se ilustran en la figura 3.3.
Figura 3.3

9
Observe que en el ejemplo 1 en los extremos relativos la
derivada es cero o no existe. Los valores de x en estos puntos
especiales reciben el nombre de puntos críticos.
La figura 3.4 lustra los dos tipos de números críticos.
Figure 3.4

1
1

Valores Extremos en un
Intervalo Cerrado
12

Ejemplo – Determinar los extremos en un intervalo
cerrado
Determine los extremos
de
[–1, 2].
f(x) = 3x4 – 4x3 en el
intervalo

Funciones crecientes
y decrecientes
14

Funciones crecientes y
decrecientes
Usted aprenderá cómo se pueden utilizar las derivadas para clasificar
extremos relativos ya sea como mínimos o como máximos relativos. En
primer término, es importante definir las funciones crecientes y
decrecientes.
15

16
Una función es creciente si, cuandox se mueve hacia la derecha, su
gráfica asciende, y es decreciente si su gráfica desciende. Por
ejemplo, la función en la figura 3.15 es decreciente en el intervalo es
constante en el intervalo (a, b) y es creciente en el intervalo
Figura 3.15
Funciones crecientes y decrecientes
La derivada se relaciona con la pendiente de una
función.

Valores extremos en un intervalo cerrado
El teorema 3.2 señala que los extremos relativos de una función
sólo pueden ocurrir en los puntos críticos de la función.
Sabiendo lo anterior, puede utilizar las siguientes estrategias
para
determinar los extremos en un intervalo cerrado.
17

Funciones crecientes y decrecientes
Como se muestra en el teorema 3.5, una derivada positiva implica
que la función es creciente, una derivada negativa implica que la
función es decreciente y una derivada cero sobre todo el intervalo
implica que la función es constante en ese intervalo.
18

Ejemplo 1 – Intervalos sobre los cuales f es creciente y
decreciente
Determine los intervalos abiertos sobre los
cuales es creciente o decreciente.

Funciones creciente y decrecientes
Una función es estrictamente monótona en un intervalo si es
creciente o decreciente sobre todo el intervalo.
Por ejemplo, la función f(x) = x3 es estrictamente monótona en
toda la recta de los números reales porque es creciente siempre
sobre ella, como se muestra en la figura 3.17(a).

20
La función que se muestra en la figura 3.17(b) no es
estrictamente monótona en toda la recta de los números reales
porque es constante en el intervalo [0, 1].
Figure 3.17(b)
Funciones crecientes y
decrecientes

Criterio de la Primera
Derivada
22

Criterio de la primera derivada
Una vez que ha determinado los intervalos de crecimiento
o decrecimiento, es fácil localizar los extremos relativos de la
función. Por ejemplo, en la figura 3.18 (del ejemplo1), la función tiene
un máximo relativo en el punto (0, 0) por que f es creciente
inmediatamente a la izquierda de x = 0 y decreciente inmediatamente
a la derecha de x = 0.
Figura 3.18

23
Criterio de la Primera Derivada
Mínimo
relativo
Máximo
relativo
Ni mínimo relativo ni máximo
relativo

Ejemplo 2 – Aplicar el criterio de la primera derivada
Determine los extremos relativos de la
función
en el intervalo (0, 2π).
Solución:
Observe que f es continua en el intervalo (0, 2π).
La
derivada de f es
Para determinar los puntos críticos de f en este
intervalo, haga que f'(x) sea igual a cero.

Ejemplo 2 – Solución
Debido que f' existe en todos los puntos, se puede
concluir que x = π/3 y x = 5π/3 son los únicos puntos
críticos.

La tabla resume las pruebas de los tres
intervalos
determinados por estos dos números críticos.

Mediante de la aplicación de criterio
de
concluir que f tiene un mínimo
relativo
la primera derivada,
puede
en el punto donde
y un máximo relativo en el
punto donde
como se muestra en la
figura 3.19.
27
Figura 3.19

Encuentre los extremos absolutos
de:
Determine los intervalos de crecimiento y decrecimiento, y
encuentre
los extremos locales de:

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