ramsey

1

III.Modelo de Ramsey
A. El control óptimo
1. Método para solucionar problemas de
maximización a través del tiempo

2. Objetivo

a) El agente elige las trayectorias óptimas de
tiempo de unas variables de control para
maximizar una función objetivo como una función
de utilidad o de beneficio. En los modelos de esta
clase, la variable de control, típicamente, es
consumo.

b) Sujeto a varias restricciones que son dinámicas
en el sentido que describen la evolución de la
economía.

(1) Unas restricciones describen los
comportamientos de unas variables, se
denominan variables de estado. La variable
de estado siempre tiene un ‘puntito’ encima
de la variable. El puntito significa la derivada
dx
respecto a tiempo de la variable = x.
&
dt

(2) Otras restricciones pueden describir los
valores iniciales y finales (depende del
problema) de la variable de estado.

2

3. Ejemplo general de tiempo finito, T es el último
T
momento. Max V (0) = ∫ u (ct , k t , t )dt
ct
0

k t = g (k t , ct , t )
&
a) Sujeto a k o = k
k T e − rT T ≥ 0

b) Explicación

(1) El consumidor elige la trayectoria de ct , la
variable de control, para maximizar su
utilidad a través el periodo 0-T, V(0).

(2) La función instantánea de utilidad es u().

(3) Las restricciones.

(a) k es la variable de estado y la evolución
de k es función de k, c, y tiempo t. Se
denomina esta restricción la ecuación de
transición o ecuación de movimiento de k.

(b) La segunda restricción muestra el valor
inicial de k. k está dada

(c) La última restricción indica que el
valor de capital en el último momento no
es negativo. rT es la tasa de descuento en el
último momento

(i) Si T es finito implica que k T ≥ 0 .
Prohíbe los juegos de Ponzi.

(ii) Si T es infinito la restricción
−r T
lim kT e T ≥ 0 implica que
T →∞
e − rT T → 0 así kT puede ser positivo,
negativo, o cero.

3

4. Solucionar el problema-cinco pasos. Caso de
una variable de estado, una variable de control

a) Identifica las variables de estado y de control

(1) Variable de control, c.

(2) Variable de estado, k. (siempre con un
puntito)

b) Escribe el Hamiltoniano

(1) H (ct , k t , t ,ν t ) ≡ u (ct , k t , t ) + ν t g (k t , ct , t )

(2) νt (nu) es un multiplicador de Lagrange
por cada momento t. Hay uno por cada
momento.

(3) En este caso tenemos una variable de
control y una variable de estado

c) Toma la derivada del Hamiltoniano con
respecto de la variable de control y pone igual a
∂H ∂u ∂g
cero. ≡ +ν = 0 . Eliminamos el subíndice
∂c ∂c ∂c
para simplificar la notación.

d) Toma la derivada del Hamiltoniano con
respecto a la variable de estado y pone igual al
negativo del derivado del multiplicador con
∂H ∂u ∂g
respecto a tiempo. ≡ +ν = −ν&
∂k ∂k ∂k

e) La condición de transversalidad-multiplica la
variable de estado por el precio implícito de capital
(multiplicador de Lagrange) en el momento
terminal y pone igual a cero

(1) T finito ν T k T = 0

(2) T infinito limν t k t = 0
t →∞

(3) Nótense en estos dos casos, uno de dos
resultados debe pasar.

4

(a) El precio implícito de capital en el
periodo final (o limite, si T es infinito), νT,
es cero o

(b) La cantidad de capital en el periodo
final (o limite, si T es infinito) es cero

(4) Caso especial. Si la función objetivo no
tiene tasa de descuento lim H t = 0 es la
t →∞

condición de transversalidad.

5. Ejemplo específico-decisión de una persona, se
llama Bonnie.

a) Bonnie produce un bien.

(1) El bien tiene dos usos posibles.
(a) Puede consumir, c, el bien o ahorrar
(invertir) el bien.

(b) Si ahorra, el bien es capital.

(2) No se puede consumir capital, es decir la
decisión de invertir es irreversible.

(3) Supongamos que la tasa de depreciación
es positivo, pero no hay crecimiento de la
población ni tecnología..

5

b) Función instantánea de utilidad con tasa de
1 −θ
− ρt c t −1
descuento, ρ u (⋅) = e
1−θ
∞ 1 −θ
− ρt ct −1
⇒ Max V (0) = ∫ e dt Nótense en este caso, u
ct 0 1−θ
no es función de k. 0 < θ

c) Ecuación de movimiento k t = f (k ) − ct − δk t
&

ko = k
d) Otras restricciones
k T e − rT T ≥ 0

e) Condiciones de primer orden y transversalidad

(1) Variable de control es c, variable de
estado es k

(2) El Hamiltoniano
ct1−θ − 1
H (ct , k t , t ,ν t ) = e − ρt
1−θ
[
+ ν t k tα − ct − δk t ]
∂H
(3) = e − ρt c −θ − ν = 0
∂c

∂H ∂u ∂g
(4) = +ν = 0 + ν [ f ' (k ) − δ ] = −ν&
∂k ∂k ∂k

(5) limν t k t = 0
t →∞

f) Usamos las CPO para determinar la tasa de
crecimiento de consumo.

(1) Escribimos la primera CPO en logaritmos
− ρt − θ ln c = lnν

(2) Diferenciamos la expresión de logaritmos
c ν ν
respecto a tiempo − ρ − θ & = & ⇒ ρ + θ & = − & .
c
c ν c ν
Recuérdense que c y ν son funciones de t,
pero eliminamos el subíndice para simplificar
la notación.

6

(3) Usamos la expresión de la tasa de
crecimiento de ν para eliminarla de la
segunda CPO. Entonces f ' (k ) − δ = ρ + θ &
c
c

(4) Así, la tasa de crecimiento de consumo es
f ' (k ) − (δ + ρ ) &
c
=
θ c

(5) Tres ecuaciones determina el
comportamiento dinámica de la economía.
Las dos de las tasas de crecimiento de
consumo y capital y la condición de
transversalidad.
f ' (k t ) − (δ + ρ )
(a) ct =
& ct
θ

(b) k t = f (k t ) − ct − δk t
&

(c) limν t k t = 0
t →∞

(6) Es posible mostrar que f’(kt)-δ = rt, la tasa
de interés en momento t.

(7) Supongamos que la tasa de interés es
constante y examinamos las trayectorias
óptimas de consumo de Bonnie. 3 casos
&
ct f ' (k t ) − (δ + ρ ) r − ρ
(a) = = > 0 ⇒ r > ρ En
ct θ θ
este caso la tasa de crecimiento de
consumo es positiva, entonces consumo
aumenta cada momento del nivel inicial de
c0.
ct r − ρ
&
(b) = = 0 ⇒ r = ρ . La tasa de
ct θ
crecimiento de consumo es cero, entonces
consumo es constante, igual a su nivel
inicial para siempre.
ct r − ρ
&
(c) = < 0 ⇒ r < ρ En este caso, la
ct θ
tasa de interés no es suficiente por

7

compensar Bonnie por su preferencia de
consumir ahora, es decir r < ρ.

Trayectorias Posibles de Consumo
ln c

r>ρ

ln c0 r=ρ

r<ρ

0 tiempo

8

B. El modelo de Ramsey-Cass-Koopmans
1. Introducción

a) Ramsey (1928) preguntó ¿cuánto debe ahorrar
un país? El modelo que el usó para responder es
el prototipo por estudiar problemas de la
distribución intertemporal de recursos.

b) Cass (1965) y Koopmans (1965) presentaron
extensiones del modelo de Ramsey.

c) La gran diferencia entre el modelo de Solow y
el modelo de Ramsey es que la tasa de ahorro no
es exógena ni tiene por qué ser constante en el
modelo de Ramsey

2. Los básicos del modelo

a) La economía está cerrado sin gobierno
entonces el ahorro agregado es igual a la
inversión agregada.

b) Las economías domésticas (familias)

(1) Muchas familias idénticas. El número de
familias (hogares) es H, fijo. Cada familia
vive para siempre.

(2) El numero de personas/trabajadores, L,
crece a la tasa exógena, n
dL
(a) Es decir Lt =
& = nLt Esta ecuación es
dt
una ecuación diferencial.

(b) Solución
&
Lt
(i) ∫ dt = ∫ ndt + Z Z es una
Lt
constante

(ii) ln Lt = nt + Z ⇒ L(t ) = e nt + Z = e Z e nt = λe nt
donde λ es la constante eZ.

9

(iii) Normalmente en estos
problemas tenemos un valor inicial
de las variables. Supongamos que el
valor inicial de trabajo es L0. Periodo
0 es el periodo inicial. Entonces en
periodo cero
L0 = λe n0 = λ ⇒ L0 = L0 e nt

(3) Cada miembro de la familia oferta una
unidad de trabajo en cada momento.

(4) Las familias son las dueñas de capital.
(a) Los hogares alquilan todo de su capital
a las empresas.

(b) La dotación inicial de capital de la
K0
familia es donde K0 es el stock inicial
H
en la economía.

(c) No hay depreciación de capital.

(5) Fuentes de ingreso de la familia
(a) Salarios de trabajo

(b) Renta de capital

(c) Ganancias de la empresa (si hay)

(6) Usos de ingreso
(a) Consumo

(b) Ahorro

(7) Función de utilidad
∞ L
Max V (0) = ∫ e − ρt u (ct ) t dt
ct 0 H

(a) Objetivo-maximizar la utilidad a lo
largo el ciclo vital de la familia (max U)

10

(b) u(ct)es la función de utilidad
instantánea, ct es el consumo de cada
miembro de la familia en el momento t.
Lt
(c) es el numero de miembros de cada
H
L
familia. Así u (ct ) t es la utilidad
H
instantánea de la familia en momento t.

(d) ρ es la tasa de descuento. Cuanto mayor
es ρ, menor es el valor que la familia da al
consumo futuro en relación al consumo
presente. Ejemplo extremo: si ρ = 0 no
sería ninguna diferencia en la utilidad entre
1 unidad (total) de consumo hoy y una
unidad (total) de consumo en el futuro.

(e) Típicamente se usa una forma
específica para la función de utilidad
instantánea. La forma en este caso se
denomina utilidad con aversión relativa al
riesgo constante (ARRC).

c1−θ − 1
(a) u (⋅) = t La restricción
1−θ
θ>0 implica que la función tiene
utilidad marginal positiva pero
decreciente.

(b) u ' = ct −θ > 0, θ > 0

(c) u ' ' = −θct −θ −1 < 0, θ > 0

(ii) Caso especial-Cuando θ tiende a
1 la función de utilidad es ln ct

(iii) La restricción
ρ − n − (1 − θ ) g > 0 garantiza que la
utilidad a lo largo el ciclo vital no
sea divergente. Sin esta restricción la
utilidad pudiera ser infinita y el
problema de maximización no
tendría una solución.

11

(iv) Inicialmente en nuestra
primera versión del modelo de
Ramsey g=0 entonces la restricción
será ρ-n>0

(v) Se denomina ARRC porque la
coeficiente de aversión relativa al
riesgo es θ (constante), por lo tanto
es independiente de C.
− ct u ' ' (ct ) − ct (−θct−θ −1 )
= =θ
u ' (ct ) ct −θ

(vi) No hay incertidumbre entonces
el riesgo no tiene relevancia.
(a) Pero también θ determina la
disposición de los hogares a la
sustitución intertemporal del
consumo.

d (c s ct )
[c s ct ] d (c s ct ) [u ' (c s ) u ' (ct )] 1
σ (c ) = = =
d [u ' (c s ) u ' (ct )] [c s ct ] d [u ' (c s ) u ' (ct )] θ
[u ' (c s ) u ' (ct )]
(b) es la elasticidad
intertemporal de sustitución.
Obsérvense que en el caso de
la función de utilidad de ARRC
la elasticidad intertemporal de
sustitución es constante y
equivalente al inverso de θ.
Cuando menor es θ (mayor es
σ), mayor es la disposición de la
familia a aceptar variaciones
temporales en su nivel de
consumo.

(f) Incluimos nuestro supuesto sobre la tasa
de crecimiento de la población
∞ ∞ L e nt ∞ L e nt
dt = ∫ e (n − ρ )t u (ct ) 0
− ρt L
∫e u (ct ) t dt = ∫ e − ρt u (ct ) 0 dt
0 H 0 H 0 H

(i) ρ-n > 0 o n-ρ < 0

12

c) Empresas

(1) Son idénticas.

(2) Cada empresa tiene una función de
producción F [K t , Lt ] = Yt

(a) La función tiene las mismas
propiedades como la función de
producción en el modelo de Solow.

(b) Cada empresa contrata trabajadores en
un mercado laboral competitivo. Entonces
el salario real es el producto marginal de
trabajo.

(c) Cada empresa alquila capital en un
mercado competitivo entonces el
rendimiento de capital es la tasa de interés
menos la tasa de depreciación. Las familias
son los dueños de capital.

(d) Vende su producción en un mercado
competitivo.

(3) Las características de la función de
producción
(a) Los productos marginales son positivos
y decrecientes

(i) FK ( K , L) > 0

(ii) FL ( K , L) > 0

(iii) FKK ( K , L) < 0

(iv) FLL ( K , L) < 0

(b) Satisface las condiciones de Inada

(i) lim FK ( K , L) = ∞
K →0

(ii) lim FL ( K , L) = ∞
L →0

13

(iii) lim FK ( K , L) = 0
K →∞

(iv) lim FL ( K , L) = 0
L →∞

(c) Rendimientos constantes de escala.
Dado este supuesto podemos trabajar con
la función de producción intensiva, es decir
por unidad de trabajo efectivo.
Y 1 ⎛K ⎞
(d) = F (K , L ) = F ⎜ ,1⎟ = y = f (k ) La
L L ⎝L ⎠
función indica que la producción agregada
por unidad de trabajo efectivo depende de
la cantidad de capital por unidad de trabajo
efectivo.

(e) Características de la forma intensiva de
la función

(i) f (0) = 0

(ii) f ' (k ) > 0 La primera derivada es
positiva (igual al producto marginal
de capital, FK)

(iii) f ' ' (k ) < 0 La segunda derivada
es negativa

(iv) Las condiciones de Inada
(a) lim f ' (k ) = ∞
k →0

(b) lim f ' (k ) = 0
k →∞

14

La forma intensiva-Función de
producción por unidad de trabajo
y
f(k)

0 k

(4) Supongamos que los mercados son
competitivos y la función de producción es
homogéneo del grado 1, es decir tiene
rendimientos constantes de escala.

(a) Una empresa paga Rt para alquiler una
unidad de capital en momento t.

(i) Es posible mostrar que este
precio es igual a la tasa de interés
más la tasa de depreciación. R=
r + δ.

(ii) El precio (real) del factor es igual
a su producto marginal. Entonces
∂F
r +δ =
∂K

(iii) Pero por el momento
supongamos que la tasa de
depreciación es cero.

(b) Entonces el teorema de Euler indica que
la suma de las cantidades pagadas a los

15

factores (trabajo, capital) es igual a la
producción total. wt Lt + rt K t = Yt

(i) Los beneficios son cero.

(ii) wt Lt + rt K t = Yt ⇒ wt + rt kt = yt = f (k t )
Es decir, un agente recibe su parte
de producción como los pagos por su
trabajo y su capital.

(iii) En modelo con familia
representativa (todas son iguales),
cada familia recibe lo que produce.

(5) La acumulación de capital total es
K t = F (K t , Lt ) − Ct − δK t
&

(6) Derivación de la ecuación de transición
de capital por persona
(a) Dividimos por L
K F (K , L ) C δK
&
= − − = f (k ) − c − δk porque
L L L L
la función de producción tiene
rendimientos constantes de escala
K
(b) k = ⇒ ln k = ln K − ln L
L

& & &
k K L K&
(c) Tomamos la derivada = − = −n
k K L K

&
K &
K K &
K
(d) k =
& k − nk = − nk = − nk
K K L L

&
K &
K &
(e) Entonces k =
& − nk ⇒ = k + nk
L L

&
= k + nk = f (k ) − c − δk ⇒ k = f (k ) − c − (n + δ )k
K &
(f) &
L

16

3. El problema de la familia representativa
∞ ⎛ c1−θ − 1 ⎞ L(0 ) ∞ ⎛ c1−θ − 1 ⎞
Max V (0) = ∫ e ( n − ρ )t ⎜ ⎟ dt = B ∫ e ( n − ρ )t ⎜ ⎟dt
⎜ 1−θ ⎟ H ⎜ 1−θ ⎟
c 0 ⎝ ⎠ 0 ⎝ ⎠
s.a.k t = f (k ) − ct − (δ + n )k t
&
k0 > 0

L(0)
a) B = constante. Es conveniente normalizar a
H
fin de que B = 1. No afecta nada importante.

b) Para tener una solución es necesario que el
término de integral tiende a cero cuando t tiende a
infinidad. Entonces, también tenemos la restricción
que ρ > n.

c) El Hamiltoniano
c1−θ − 1
H (ct , k t , t ,ν t ) = e (n− ρ )t t + ν [ f (k t ) − ct − (n + δ )k t ]
1−θ

(1) ν es el multiplicador de Lagrange

(2) ν es el precio implícito del capital, es decir
el valor a la familia de una unidad adicional
de capital.

d) Las condiciones de primer orden
∂H
(1) = e (n − ρ )t c −θ − ν = 0
∂c

∂H
(2) = ν [ f ' (k ) − (δ + n )] = −ν&
∂k

(3) limν t k t = 0
t →∞

(4) Escribimos la primera condición en
logaritmos (n − ρ )t − θ ln c = lnν y diferenciamos
esta expresión con respecto a tiempo y
ponemos el resultado igual a la segunda
condición de primer orden

17

f ' (k ) − (ρ + δ )
(n − ρ ) − θ c = ν& = δ + n − f ' (k ) ⇒ c =
& &
c ν c θ

(5) A veces esta ecuación se denomina la
ecuación de Euler.

4. El diagrama de fases

a) El comportamiento de c.

(1) En el estado estacionario c es constante
f ' (k ) − (δ + ρ )
entonces, c =
& c=0
θ

(2) Dado que f(k) es una función neoclásico
hay solo un valor de k que satisface este
relación por todos los valores positivos de c.
Llamemos k* a este nivel de k.
c(t )
(3) Cuando f ' (k ) > δ + ρ ⇒ & > 0
c(t )

c(t )
(4) Cuando f ' (k ) < δ + ρ ⇒ & < 0
c(t )

(5) Podemos dibujar una gráfica que muestra
estas relaciones.

18

Comportamiento de c
c c(t ) = 0
&

f ' (k ) > ρ + δ f ' (k ) < ρ + δ

c>0
& c<0
&
k
k*

b) El comportamiento de k

(1) El cambio de k es la diferencia entre la
inversión (ahorro) y la inversión de
reposición. k = f (k ) − c − (n + δ )k .
&

(2) El comportamiento de c cuando k = 0 . En
&
este caso c = f (k ) − (n + δ )k

(3) Queremos saber sobre las combinaciones
&
de c y k que satisfacen k = 0 . Entonces
diferenciamos la expresión de c para
determinar la pendiente de la función.

dc = f ' (k )dk − (n + δ )dk ⇒ = f ' (k ) − (δ + n )
dc
dk

dc
(a) Cuando f ' (k ) > n + δ ⇒ >0
dk

dc
(b) Cuando f ' (k ) < n + δ ⇒ <0
dk

19

dc
(c) Cuando f ' (k ) = n + δ ⇒ = 0 el
dk
máximo de c.

(i) Piensan de la diferenciación por
arriba como la condición de primer
orden donde escogemos k para
maximizar c.

(ii) La condición de segundo orden
∂ 2c
sería = f ' ' (k ) < 0 entonces este
∂k 2
valor de c es el máximo.

(iii) Observación: el valor de k que
dc
produce f ' (k ) = n + δ ⇒ = 0 es la
dk
cantidad de capital de la regla de oro.

(4) La gráfica.
(a) Nótense que cuando k = 0, c = 0
entonces la función empieza al origen.

(b) También, hay un nivel grande de k
donde c = 0 así k = f (k ) − (n + δ )k = 0 . En
&
este caso usan todo la producción para
mantener constante el nivel de k.

(5) Escribimos c como el valor de c que hace
ˆ
k = 0 , dado k. Nótense que c varía con k.
& ˆ
Así k = f (k ) − c − (n + δ )k
&

(6) ¿Qué pasa con valores de c diferente de
ellos que producen k = 0 ?
&

(a) Consideremos
c > c ⇒ k = f ( k ) − c − (δ + n )k < 0 Así, arriba
~ ˆ & ~
de la función k = 0, k < 0 , es decir el capital
& &
disminuye

(b) Consideremos
c < c ⇒ k = f ( k ) − c − (δ + n )k > 0 Así, abajo
~ ˆ & ~
de la función k = 0, k > 0 el capital crece
& &

20

Comportamiento de k
c
k <0
&

cmax

k =0
&
k >0
&

k
0 koro

c) Las dos gráficas juntas-El diagrama de fases

El Diagrama de Fases
c c=0
&

cmax k =0
&
E

k
k* k*oro k**

(1) Las flechas hacia la izquierda y hacia la
derecha muestran la dirección de cambio de
k. Por ejemplo, abajo k = 0 k aumenta
&
entonces la flecha señala eso.

21

(2) Las flechas hacia arriba y hacia abajo
muestran la dirección de cambio de c. Por
ejemplo, en la izquierda de c = 0 c aumenta
&
entonces la flecha señala eso.

(3) Estado estacionario
(a) Caso de tecnología constante-Punto E
donde todos los valores por persona del
modelo son constantes, es decir punto
donde c = k = 0
& &

(b) Hay tres estados estacionarios pero
solamente uno es óptimo.

(i) El origen-consumo y capital por
persona son cero. No es interesante

(ii) Punto k**, donde k = 0 toca el eje
&
horizontal. La tasa de ahorro es una
en este punto, es decir el consumo es
cero. k = 0 ⇒ f (k ) = (n + δ )k
&

(a) Usan toda la producción
para mantener constante k. No
es interesante.

(b) En el caso de la función de
Cobb-Douglas es el punto
donde

1
⎛ A ⎞ 1−α
f (k ) = Ak α = (n + δ )k ⇒ ⎜ ⎟ =k
⎝n +δ ⎠

(iii) Punto E

(4) Obsérvense que k* < k*RO en el diagrama
(a) El valor de k donde c = 0 es k*. La
&
condición de c & = 0 ocurre cuando
f ' (k ) = ρ + δ

(b) El valor de k en la regla de oro ocurre
cuando f ' (k ) = n + δ

22

(c) Pero para ser convergente tenemos la
condición que n-ρ < 0
ρ + δ > n + δ ⇒ f ' (k * ) > f ' (k RO ) ⇒ k * < k RO
* *

porque f ' ' (k ) < 0

(5) Análisis de la estabilidad de cada estado
estacionario
(a) Un estado estacionario es estable si la
economía tiende al estado estacionario
cuando empezamos de puntos cerca del
estado estacionario.

(b) Origen-inestable. Las flechas muestran
que la economía mueve en dirección
contraria al estado estacionario

(c) k**-estable

(d) E-estabilidad de ‘punto de silla’

(i) De puntos en la parte noreste
(arriba de k = 0 y a la derecha de
&
c = 0 ) de la gráfica, hay movimiento
&
en la dirección de E

(ii) De puntos en la parte suroeste
(abajo de k = 0 y a la izquierda de
&
&
en la dirección de E

(iii) De puntos en la parte noroeste
(arriba de k = 0 y a la izquierda de
&
c = 0 ) y de puntos en la parte sureste
&
(abajo de k = 0 y a la derecha de
&
&
en la dirección contraria de E.

(6) Trayectoria al estado estacionario E. El
SENDERO DE SILLA
(a) Sin más información sobre los
parámetros del modelo es imposible decir
exactamente la ubicación del sendero de
silla. Pero es posible decir que el sendero

23

de silla está en las partes suroeste y noreste
de la gráfica y pasa por E.

Sendero de Silla
c c=0
&

k =0
&
c* E

k
k* k*oro k**

(b) La parte más interesante está en el
suroeste porque a través este parte de la
trayectoria, la economía crece, es decir c y
k (y también) aumentan.

(7) Otras trayectorias, son explosivas

(a) Mostramos que el sendero de silla es la
única que satisfacen las condiciones de
primer orden incluyendo la condición de
transversalidad.

(b) Consideremos una economía con capital
de k0 < k*.

(i) Sea c0 el valor de consumo que
corresponde a k0 en el sendero de
silla.

(ii) Sea c’0 > c0 es el valor inicial de
consumo cuando k = k0.

24

valor inicial de capital es k<k*
c c=0
&

A

cmax k =0
&
E

B

c’0

c0
c’’0
k
k0 k* k*oro k**

(iii) Dado que el punto k0, c’0 está
en la parte suroeste de la gráfica, c
aumenta y k aumenta.
(a) Pero dado que hay
demasiado consumo, c’0 > c0, el
capital no crece bastante.

(b) La economía gana un punto
en la función k = 0 antes que
&
llegue al estado estacionario.

(iv) Por el momento que la
economía está en k = 0 , el capital es
&
constante pero el consumo crece.

(v) Dado el crecimiento del
consumo, la trayectoria cruce k = 0 .
&
En este momento, capital empieza
decrecer porque está en la parte
noroeste de la gráfica.

(vi) Pero consumo continua crecer
y el capital decrecer hasta kT = 0, T
< ∞. En este momento el consumo
salta a cero porque no hay capital así
no hay producción.

25

(a) Antes que kT = 0, la tasa de
crecimiento de consumo
aumenta cada momento porque
el PMK aumenta
c f ' ( k ) − (ρ + δ )
&
=
c θ

(b) Supongamos que el
momento antes periodo T, el
consumo es c > 0 .

(c) ¿Cuál es la tasa de
crecimiento al momento final, T,
cuando consumo salta a cero?
Es la tasa z que satisface
cT = c e z = 0

(d) Es decir, el valor de z que
satisface la expresión es z=
- ∞. Entonces la tasa de
crecimiento de c en el momento
final es - ∞.

(e) Pero

&
c f ' (k ) − ρ − δ
= −∞ ⇒ = −∞ ⇒ f ' (k ) = −∞
c θ

cuando k = 0

(f) Un PMK = -∞ viola la
condición de Inada que
lim f ' (k ) = ∞ Entonces, k0, c’0
k →0

no puede ser un óptimo.

(c) Otra vez, consideremos una economía
con capital de k0 < k*.

(i) Sea c’’0 < c0 es el valor inicial de
consumo cuando k = k0.

(ii) Dado que el punto k0, c’’0 está en
la parte suroeste de la gráfica, c
aumenta y k aumenta.
(a) Pero dado que hay
demasiado poco consumo, c’’0 <

26

c0, el consumo no crece
bastante.

(b) La economía gana un punto
en la función c = 0 antes que
&
llegue al estado estacionario.

(iii) Por el momento que la
economía está en c = 0 , el consumo
&
es constante pero el capital crece.

(iv) Dado el crecimiento del
capital, la trayectoria cruce c = 0 . En
&
este momento, consumo empieza
decrecer porque está en la parte
sureste de la gráfica.

(v) Ahora la economía converge a
k**.

(vi) El máximo de consumo a
través la función k = 0 ocurre donde
&
f ' (k RO ) = (n + δ ) Así en punto k**, el
PMK de k** es menos que su valor
de kRO f ' (k * *) < f ' (k RO ) = (n + δ )

(vii) Entonces, podemos decir que
la tasa de interés al valor constante
de capital k** es
r * * = f ' (k * *) − δ < f ' (k RO ) − δ = n
Este condición conlleva una
violación de la condición de
transversalidad.
(a) Para ver la violación
regresamos a una de las CPO
(cualquier óptimo tiene que
satisfacer esta condición). Así
supongamos que k** es un
óptimo

∂H ∂u ∂g
(d) = +ν = 0 + ν [ f ' (k * *) − (δ + n )] = −ν&
∂k ∂k ∂k

27

(a) Sustituimos con
r * * = f ' (k * *) − δ
∂H
= ν (r * * − n ) = −ν&
∂k

(b) Integramos la expresión

ν&
∫ ν dt = lnν t − ln v0 = − ∫ (r * * − n )dt = (n − r * *)t

(c) Incluimos las constantes de
cada integración en lnν0 y ν0 es
el valor inicial de ν.

(d) Tomamos antilogaritmos
ν t = v0 e ( n − r**)t

(e) Sustituimos en la condición
de transversalidad
limν 0 e ( n − r**)t k * * = 0 es una
t →∞

contradicción. ¿Por qué?

(f) Mostramos antes que r** <
n entonces la ponencia es
positiva y e ( n − r **)t > 0, k * * > 0 .

(g) De la CPO

∂H
(e) = e − ρt c −θ − ν = 0 ⇒ c0 θ = ν 0 > 0
−

∂c

(a) Entonces, cada parte del
límite es positiva.

(b) Así el límite tiende a infinito
positivo, no a cero. Entonces k0,
c’’0 no puede ser óptimo.

d) El caso de horizonte finito

(1) Dos razones por examinar este caso

(a) Caso interesante porque, obviamente,
una persona no vive para siempre.

(b) Muestra la importancia de la condición
de transversalidad en la decisión del
consumidor/familia.

28

(2) Problema-horizonte es de periodo 0 a
periodo T
T
⎛ c 1−θ − 1 ⎞
Max V (0) = ∫ e ( n − ρ )t ⎜
⎜ 1 − θ ⎟dt ⎟
c
0 ⎝ ⎠
& = f (k ) − c − (n + δ )k
(3) s.a.k
k (0) > 0, dada

(4) El Hamiltoniano
ct1−θ − 1
H (ct , k t , t ,ν t ) = e (n − ρ )t
+ ν t [ f (k ) − ct − (δ + n )k t ]
1−θ

(a) Variable de control, c.

(b) Variable de estado, k.

(5) Condiciones de primer orden y condición
de transversalidad.
∂H
(a) = e (n − ρ )t c −θ − ν = 0 La misma como
∂c
anteriormente
∂H ∂u ∂g
(b) = +ν = 0 + ν [ f ' (k ) − (δ + n )] = −ν&
∂k ∂k ∂k
La misma como anteriormente

(c) ν T k T = 0 Diferente del caso de
horizonte infinito.

(6) Como antes, las primeras dos
condiciones de primer orden implican
f ' (k ) − ρ − δ
(a) c =
& c
θ

(b) k = f (k ) − c − (n + δ )k
&

(c) Así las funciones del diagrama de fase
son iguales.

(7) La trayectoria óptima
(a) Obsérvense lo que indica la condición
de transversalidad. El precio implícito de
capital en momento T, νT, es positivo (vale

29

capital) así la cantidad de capital en
momento T debe ser cero.

(b) Sendero de silla, la óptima en el caso de
tiempo infinito, no es óptima ahora porque
tiene k > 0 en el estado estacionario E.

(c) k0, c’0 es el punto inicial (dado k0) en la
trayectoria óptima porque en momento T
llega a k = 0.

(i) Dado k0 cualquier valor de c >
c’0 implica que consume demasiado,
y toca el eje vertical antes de periodo
T. Quiere terminar al punto B pero
no se puede.

(ii) Dado k0 cualquier valor de c <
c’0 implica que consume demasiado
poco, y no gana el eje vertical en
periodo T. Es decir, el consumidor/la
familia muere con capital y este no
es óptima. Termina en punto A.

30

Horizonte Finito
c A
c=0
&

B

k =0
&
E

c’0
c0

k
k(0) k* k*RO k**

e) La tasa de ahorro a lo largo el sendero de silla

(1) Vamos a ver si existe una configuración
de parámetros en el modelo de Ramsey para
los cuales una tasa de ahorro constante es
óptima.

(2) Usaremos la función de producción de
Cobb-Douglas y = Ak α ⇒ ln y = ln A + α ln k

y−c c
(3) Tasa de ahorro es = 1 − La
y y
importancia de eso es que podemos
determinar el comportamiento de la tasa de
ahorro por examinar el comportamiento de la
fracción de ingreso que consume
c
(a) Si crece, la tasa de ahorro disminuye
y

c
(b) Si decrece, la tasa de ahorro crece
y

c
(c) Si es constante, la tasa de ahorro es
y
constante

31

(d) Dado la relación entre la tasa de ahorro
y la tasa de consumo (c/y) vamos a estudiar
el diagrama de fase del modelo de Ramsey
en una gráfica con k en el eje horizontal y
c/y en el eje vertical.

(e) En este discusión, como van a ver, es
necesario suponer que θ > 1

(4) La función d (c y ) / dt = 0

&
y &
k
(a) Producción, y =α
y k

(b) Consumo
c d (c y ) / dt c y c
& & & &
k
⇒ ln c − ln y ⇒ = − = −α
y c y c y c k
Así, podemos sustituir las dos expresiones
de las condiciones de primer orden.

& k αAk α −1 − ρ − δ
& ⎡
α −1
⎤ αAk − ρ − δ ⎡ ⎤
− α ⎢ Ak α −1 − − (δ + n )⎥ = − (δ + n )⎥ =
c c c y
−α = − α ⎢ Ak α −1 −
c k θ ⎣ k ⎦ θ ⎣ k y ⎦
α −1 α −1 α
αAk − ρ − δ ⎡ ⎤ αAk − ρ − δ ⎡ ⎤
− (δ + n )⎥ = − (δ + n )⎥ =
c y c Ak
− α ⎢ Ak α −1 − − α ⎢ Ak α −1 −
θ ⎣ yk ⎦ θ ⎣ y k ⎦
αAk α −1 − ρ − δ ⎡ ⎤ ⎛1
− α ⎢ Ak α −1 − Ak α −1 − (δ + n )⎥ = αAk α −1 ⎜ − 1 +
c c⎞ ⎡
⎟ + ⎢α (δ + n ) −
(ρ + δ )⎤ =
θ ⎜θ ⎟
y⎠ ⎣ θ ⎥
⎣ y ⎦ ⎝ ⎦
⎛1−θ
αAk α −1 ⎜ +
c⎞ ⎡
⎟ + ⎢α (δ + n ) −
(ρ + δ )⎤
⎜ ⎟ θ ⎥
⎝ θ y⎠ ⎣ ⎦

(c) Una tasa de ahorro constante significa
d (c y ) / dt c y c
& & & &
k
que = − = − α = 0 Ahora
c y c y c k
c
solucionamos por
y

32

& & ⎛1 − θ c ⎞ ⎡ (ρ + δ )⎤
⎜ θ + y ⎟ + ⎢α (δ + n ) − θ ⎥ = 0 ⇒
c k
− α = αAk α −1 ⎜ ⎟
c k ⎝ ⎠ ⎣ ⎦
⎛ θ − 1 ⎞ ⎡ (ρ + δ ) ⎤ c ⎛ θ − 1 ⎞ k 1−α ⎡ (ρ + δ ) ⎤
− α (δ + n )⎥ ⇒ = ⎜ − α (δ + n )⎥
c
αAk α −1 = αAk α −1 ⎜ ⎟+⎢ ⎟+ ⎢ θ
y ⎝ θ ⎠ ⎣ θ ⎦ y ⎝ θ ⎠ αA ⎣ ⎦

(i) La idea con estas
manipulaciones de las condiciones
de primer orden es producir un
diagrama de fase en el espacio de k,
c/y. Del comportamiento de c/y
podemos determinar el
c
comportamiento de s = 1 −
y

(ii) Diferenciamos la expresión de
c/y respecto de k para determinar el
comportamiento de c/y a lo largo la
d (c y ) / dt c y
& &
función = − = 0 , es
c y c y
decir para determinar el signo de la
pendiente.
c θ − 1 k 1−α ⎡ ρ + δ ⎤ d (c y ) k −α ⎡ ρ + δ ⎤
= + ⎢ θ − α (δ + n )⎥ ⇒ = (1 − α ) ⎢ θ − α (δ + n )⎥
y θ αA ⎣ ⎦ dk αA ⎣ ⎦

(a) El signo de la expresión
depende del signo de la parte
en los corchetes porque
−α
(1 − α ) k >0
αA

(b) ⎡ ρ + δ − α (δ + n )⎤ > 0 ⇒ d (c y ) > 0
⎢ θ ⎥
⎣ ⎦ dk

33

Comportamiento de c/y
⎡ ρ +δ ⎤
⎢ θ − α (δ + n )⎥ > 0
⎣ ⎦
c/y d (c y ) / dt
=0
c y

k

(c) ⎡ ρ + δ − α (δ + n )⎤ < 0 ⇒ d (c y ) < 0
⎢ θ ⎥
⎣ ⎦ dk

⎡ ρ +δ ⎤
⎢ θ − α (δ + n )⎥ < 0
⎣ ⎦
c/y

d (c y ) / dt
=0
c y

k

(d) ⎡ ρ + δ − α (δ + n )⎤ = 0 ⇒ d (c y ) = 0
⎢ θ ⎥
⎣ ⎦ dk

34

⎡ ρ +δ ⎤
⎢ θ − α (δ + n )⎥ = 0
⎣ ⎦
c/y

d (c y ) / dt
=0
c y

k

(d) Comportamiento de c/y en el diagrama
de fase. Usamos el caso de
⎡ρ +δ ⎤ d (c y )
⎢ − α (δ + n )⎥ = 0 ⇒ =0
⎣ θ ⎦ dk

& & ⎛1 − θ c ⎞ ⎡ (ρ + δ )⎤
⎜ θ + y ⎟ + ⎢α (δ + n ) − θ ⎥
(i) c k
− α = αAk α −1 ⎜ ⎟
c k ⎝ ⎠ ⎣ ⎦
pero podemos eliminar la última
parte porque es cero en esta
&
c &
k ⎛1 −θ c ⎞
situación. − α = αAk α −1 ⎜
⎜ θ + y⎟⎟
c k ⎝ ⎠

&
c &
k
(ii) Obsérvense que −α = 0 cuando
c k
c θ −1
=
y θ

(iii) Consideremos un valor de
consumo, (c/y)1, menor que θ − 1 .
θ

(a) En este caso
&
c &
k ⎛1 − θ c ⎞
− α = αAk α −1 ⎜
⎜ θ + y⎟<0
⎟
c k ⎝ ⎠
porque la parte en parentesis es
negativo (recuérdense que θ >
1)

35

(b) Entonces, c/y disminuye

(iv) Consideremos un valor de
consumo, (c/y)2, mayor que θ − 1 .
θ

(a) En este caso
&
c &
k ⎛1 − θ c ⎞
− α = αAk α −1 ⎜
⎜ θ + y⎟>0
⎟
c k ⎝ ⎠
porque la parte en parentesis es
positivo (recuérdense que θ > 1)

(b) Entonces, c/y aumenta

⎡ ρ +δ ⎤
⎢ θ − α (δ + n )⎥ = 0
⎣ ⎦
c/y

(c/y)2 d (c y ) / dt
=0
θ −1 c y

θ
(c/y)1

kˆ k

(v) Estes resultados aplica a los otros
casos
(a) Valores de c/y por debajo de
& &
la función c − α k = 0 implica
c k
que c/y disminuye

(b) Valores de c/y por encima
& &
de la función c − α k = 0 implica
c k
que c/y aumenta

(5) La función k = 0
&

36

(a) Otra vez el diagrama de fase en este
caso está en el espacio de k, c/y. Entonces
tenemos que reescribir la función en
términos de c/y.
&
k c
(i) k = Ak α − c − (n + δ )k ⇒ = Ak α −1 − − (n + δ )
&
k k

c c y c Ak α c
(ii) = = = Ak α −1
k yk y k y

(iii) Podemos escribir
&
k c ⎛ c⎞
= Ak α −1 − Ak α −1 − (n + δ ) = Ak α −1 ⎜1 − ⎟ − (n + δ )
⎜
k y ⎝ y⎟
⎠

(iv) Ahora determinamos el valor
de c/y que implica k = 0
&

c c c k 1−α
Ak α −1 − Ak α −1 − (n + δ ) = 0 ⇒ Ak α −1 = Ak α −1 − (n + δ ) ⇒ = 1 − (n + δ )
y y y A

(v) La pendiente de la función k = 0
&
d (c y ) k −α
= −(1 − α ) (n + δ ) < 0
dk A

37

Comportamiento de k

c/y

(c/y)2

(c/y)’

(c/y)1
k =0
&
k
k’

(b) ¿Cómo comporta k por encima de la
función y por debajo de la función?

(i) k’, (c/y)’ es un punto en la
función.

(ii) k’, (c/y)1 es un punto por debajo.
Entonces
&
k ⎡ ⎛c⎞ ⎤
= Ak α −1 ⎢1 − ⎜ ⎟ ⎥ − (n + δ ) > 0
⎜ ⎟
k ⎢ ⎝ y ⎠1 ⎥
⎣ ⎦
porque el término en los corchetes es
más grande. Así por debajo de la
función, k aumenta.

(iii) k’, (c/y)2 es un punto por
encima de la función. Entonces
&
k ⎡ ⎛c⎞ ⎤
= Ak α −1 ⎢1 − ⎜ ⎟ ⎥ − (n + δ ) < 0
⎜ ⎟
k ⎢ ⎝ y ⎠2 ⎥
⎣ ⎦
porque el término en los corchetes es
más pequeño. Así por encima de la
función, k disminuye.

(6) Las dos ecuaciones, el diagrama de fase,
y el comportamiento de la tasa de ahorro.

38

(a) d (c y ) = ⎧αAk α −1 ⎛ 1 − θ
⎨ ⎜
⎜ +
c⎞ ⎡
⎟ + ⎢α (δ + n ) −
⎟
(ρ + δ )⎤ ⎫ c = 0
⎬
dt ⎩ ⎝ θ y⎠ ⎣ θ ⎥⎭ y
⎦
⎡ρ +δ
1−α
c θ −1 k ⎤
o = + − α (δ + n )⎥
y θ αA ⎢ θ
⎣ ⎦

⎧ ⎛ c⎞ ⎫
(b) k = ⎨ Ak α −1 ⎜1 − ⎟ − (n + δ )⎬k = 0 o
&
⎜ ⎟
⎩ ⎝ y⎠ ⎭
1−α
c k
= 1− (n + δ )
y A

(c) Los tres casos

(i) Nótense que existe un sendero de
silla, es decir la trayectoria óptima
de punto de silla en cada caso.

(ii) Caso I
⎡ρ +δ ⎤ d (c y )
⎢ θ − α (δ + n )⎥ > 0 ⇒ dk > 0
⎣ ⎦

Caso I
⎡ρ +δ ⎤
c/y ⎢ θ − α (δ + n )⎥ > 0
⎣ ⎦
d (c y ) / dt
=0
c y

(c/y)*

(c/y)0
k =0
&
k
k0 k*

(a) Del punto inicial k0, (c/y)0, la
tasa de consumo aumenta y la
cantidad de capital crece hasta
que gana el estado
estacionario.

39

(b) Del punto inicial k0, (c/y)0, la
tasa de ahorro disminuye
monotónicamente hasta que
gana el estado estacionario

(iii) Caso II-también mira la
discusión de abajo.
⎡ρ +δ d (c y )
⎢ θ ( )⎤
−α δ + n ⎥ < 0 ⇒ <0
⎣ ⎦ dk

Caso II
⎡ ρ +δ ⎤
⎢ θ − α (δ + n )⎥ < 0
⎣ ⎦
c/y

(c/y)0

(c/y)*

d (c y ) / dt
=0
c y
k =0
&
k
k0 k*

(a) Del punto inicial k0, (c/y)0, la
tasa de consumo disminuye
montónicamente y la cantidad
de capital crece hasta que gana
el estado estacionario.

(b) Del punto inicial k0, (c/y)0, la
tasa de ahorro aumenta
monotónicamente hasta que
gana el estado estacionario.

(iv) Caso III
⎡ρ +δ ⎤ d (c y )
⎢ θ − α (δ + n )⎥ = 0 ⇒ dk = 0
⎣ ⎦

40

Caso III
⎡ ρ +δ ⎤
c/y ⎢ θ − α (δ + n )⎥ = 0
⎣ ⎦

d (c y ) / dt
=0
θ −1 c y
θ

k =0
&

k
k0 k*

(a) Del punto inicial k0,
c θ −1
= la tasa de consumo es
y θ
constante y la cantidad de
capital crece hasta que gana el
estado estacionario.

(b) Del punto inicial k0,
c θ −1
= la tasa de ahorro es
y θ
constante a lo largo el sendero
de silla.

(c) La tasa de ahorro
(constante) es
c θ −1 1
1− = 1− =
y θ θ

(d) Así, solo en el caso de
⎡ρ +δ ⎤
⎢ θ − α (δ + n )⎥ = 0
obtenemos
⎣ ⎦
una tasa de ahorro constante en
el modelo de Ramsey.

41

C. Dos conclusiones sobre las funciones del diagrama de
fase. Elaboración de caso II

Diagrama de Fase-Caso II
⎡ρ +δ ⎤
⎢ θ − α (δ + n )⎥ < 0
⎣ ⎦
c/y

d (c y ) / dt
=0
c y
k =0
&
k

1. Comparamos las pendientes:

d (c y ) / dt
a) La pendiente de = 0 es
c y
d (c y ) k −α ⎡ ρ + δ ⎤
= (1 − α ) ⎢ θ − α (δ + n )⎥
dk αA ⎣ ⎦

b) La pendiente de k = 0 es
&
d (c y ) k −α
= −(1 − α ) (n + δ ) < 0
dk A

2. Reescribimos la primera ecuación como.
(Nótense que α cancela en la primera parte de la
ecuación) d (c y ) = −(1 − α ) k (δ + n ) + (1 − α ) k ⎛ ρ + δ ⎞
−α −α
⎜ ⎟
dk A αA ⎝ θ ⎠
Puesto que la primera parte de la ecuación es la
misma como la función de k = 0 y la segunda parte
&
de la ecuación es positiva tenemos dos
conclusiones.

42

a) Las dos funciones no pueden ser paralelos
porque las pendientes son diferentes.
d (c y ) / dt
b) La pendiente de la función = 0 es
c y
mayor (menos negativa) que la pendiente de la
d (c y ) / dt
función k = 0 . Entonces la función
& =0
c y
debe cruzar la función k = 0 de abajo (moviendo de
&
la izquierda a la derecha) como mostrado en la
gráfica.

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