Ecuaciones de la recta
- 1. IES “VEGA DEL TURIA”
- 2. IES “VEGA DEL TURIA” 1.- ECUACIONES DE LA RECTA Una recta queda determinada si conocemos: - Un punto y un vector director. - Dos puntos. - Un punto y su pendiente. A) DADOS UN PUNTO Y UN VECTOR Dado el punto A(xo, yo) y el vector direccional de la recta v=(v1,v2) y un punto desconocido X(x,y) de la recta Nos fijamos OX = OA + AX OX = OA + t v ( x, y ) = ( xo , yo ) + t (v1 , v2 ) Ec. vectorial de la recta
- 3. IES “VEGA DEL TURIA” Operamos y obtenemos ( x, y ) = ( xo , yo ) + t (v1 , v2 ) x = xo + tv1 ( x, y ) = ( xo , yo ) + (tv1 , tv2 ) Es decir ( x, y ) = ( xo + tv1 , yo + tv2 ) y = y o + tv2 Ec. paramétricas de la recta Ahora despejamos la t en las dos ecuaciones x − xo tv1 = x − xo → t = v1 Igualando obtenemos y − yo tv2 = y − yo → t = x − xo y − y o v2 = v1 v2 La ec. continua de la recta
- 4. IES “VEGA DEL TURIA” Multiplicamos en cruz para eliminar los denominadores v2 x − v2 xo = v1 y − v1 yo Pasamos al primer miembro y cambiamos las letras v2 x − v1 y + v1 y o − v2 xo = 0 Ax + By + C = 0 A B C Ec general, implícita o cartesiana de la recta Ahora vamos a despejar la y para obtener otra ecuación By = − Ax − C −A C y= x− → y = mx + n B B − A v2 m= = = tgα m n Ec. explícita de la recta B v1 Al número m = -A/B se le llama pendiente y nos indica la inclinación de la recta y al número n= -C/B ordenada en el origen indica el punto de corte con el eje Y
- 5. IES “VEGA DEL TURIA” Ejemplos 1) Encontrar todas las ecuaciones de la recta que pasa por el punto (1, 2) y tiene de vector director (1,-1) 2) Dibujar las rectas: r: 2x – y – 3 = 0 s: y = 2x + 1 t: 2x - 3y + 6 = 0 3) La siguiente gráfica muestra una recta. a) Escribe la ecuación continua de la recta b) ¿Pertenece el punto (-6,4) a la recta?
- 6. IES “VEGA DEL TURIA” B) DADOS DOS PUNTOS Dados los puntos A(x1, y1) y B(x2, y2) Yo eligo de referencia el punto A y el vector AB y realizando los mismos pasos se obtiene la ecuación: x − x1 y − y1 = x2 − x1 y 2 − y1 Ec. de la recta que pasa por dos puntos Ejemplo – Calcula la ecuación general de la recta que pasa por los puntos (-2, -3) y (1, -4)
- 7. IES “VEGA DEL TURIA” C) DADOS UN PUNTO Y LA PENDIENTE De una recta conocemos un punto (xo, yo) y su pendiente m Entonces la ecuación de la recta es: y − y o = m( x − x o ) Ec. punto-pendiente Ejemplos 2) Ecuación explícita de la recta que pasa por el punto (1, -2) y tiene de pendiente 3. Dibuja dicha recta 3) Calcula la ecuación de la siguiente recta
- 8. IES “VEGA DEL TURIA” 2.- POSICIONES RELATIVAS DE DOS RECTAS Dadas las rectas r: Ax + By + C = 0 y s: A’x + B’y + C’ = 0 para averiguar su posición resolvemos el sistema formado por ellas y puede suceder: Sistema Una solución Sin solución Infinitas soluciones Rectas secantes Rectas paralelas Rectas coincidentes r r s r=s s A B C A B C A B = ≠ = = ≠ A' B ' C ' A' B ' C ' A' B'
- 9. IES “VEGA DEL TURIA” x + 2 y = 4 2 x + 4 y = 8 3 x − 4 y = −6 x + 2 y = 8 x + 2y = 4 x + 2y = 8 Ejemplo - Halla la posición relativa de la recta y = 3x - 1 con cada una de las siguientes. A) y = -3x + 2 B) -15x + 5y + 1 = 0
- 10. IES “VEGA DEL TURIA” 3.- RECTAS PARALELAS Y PERPENDICULARES Dos rectas son paralelas si tienen la misma inclinación, es decir mr = ms Ejemplo – Halla la ecuación de la recta que pasa por el punto (5,1) y es paralela a la recta x + 2y – 4 = 0 Dos rectas son perpendiculares si se cortan formando cuatro ángulos rectos, además se cumple mr · ms = -1 Ejemplo – Halla la ecuación de la recta que pasa por el punto (5,1) y es perpendicular a la recta x + 2y – 4 = 0