Rectángulo áureo
- 1. Rectángulo Áureo Un rectángulo especial es el llamado rectángulo áureo. Se trata de un rectángulo armonioso en sus dimensiones. Por mucho tiempo se ha afirmado que las proporciones de este rectángulo son “armoniosas” por naturaleza y que, cualquier diseño que esté basado en el valor de = 1.618033…, será visualmente atractivo. Entre los argumentos más importantes para afirmar que las proporciones del rectángulo áureo son visualmente atractivas se dice que estas proporciones son comunes en la naturaleza; de alguna forma se afirma que la naturaleza “utiliza” estas proporciones en el diseño de los seres vivos. En "el hombre ideal" de Leonardo, el cociente entre el lado del cuadrado y el radio de la circunferencia que tiene por centro el ombligo, es el número de oro. Otra propiedad de este rectángulo es que si se colocan dos iguales como en la figura de la derecha, se forma otro rectángulo áureo más grande. .Los egipcios ya conocían esta proporción y la usaron en la arquitectura de la pirámide de Keops (2600 años a.C.). Aparece en pinturas de Dalí, en la Venus de Boticelli. Esta razón también la usaron en sus producciones artistas del Renacimiento. En España, en la Alhambra, en edificios renacentistas como El Escorial... y en la propia Naturaleza en las espirales de las conchas de ciertos moluscos.
- 2. Los griegos también la usaron en sus construcciones, especialmente El Partenón, cuyas proporciones están relacionadas entre sí por medio de la razón áurea. El símbolo Ø para la relación áurea fue elegido por el matemático americano Mark Barr. La letra fue elegida porque era la primera del nombre de Phidias que solía usar la relación áurea en sus esculturas. También se ha usado en el diseño del DNI, en la construcción de muebles, marcos para ventanas, camas, etc. Construcción de un rectángulo áureo 1) Tomamos un papel, una pluma , una regla y un compas 2) Dibujaremos un cuadrado que tenga 2 cm de lado 3) Encontraremos el punto medio de la base 4) Tomamos la regla y unimos el punto medio anterior al vértice superior derecho.
- 3. 5) Tomamos el compás y haciendo centro en el punto medio de la base y con radio igual a la longitud de la recta que acabamos de trazar dibujaremos una circunferencia 6) Prolonga la línea de la base hasta cortarse con la circunferencia y borra parte de la circunferencia. 7) Calculamos la longitud del radio de la circunferencia, es decir, de r:
- 4. Haciendo el uso del teorema de Pitágoras escribimos: 8) La línea de color amarillo de la siguiente figura valdrá: 9) Cuánto vale la línea AB de la figura siguiente 10) Traza una perpendicular de 2 cm a la línea AB en el punto B
- 5. 11) Unimos el vértice superior derecho del cuadrado con la perpendicular al punto B, de la base y escribes las medidas del nuevo rectángulo: Espiral áurea: Disponemos de un rectángulo áureo tal como lo tienes en la figura siguiente: Determinamos el cuadrado mayor (amarillo) y trazamos un arco de circunferencia con centro en el vértice superior derecho e inicio en el ángulo superior izquierdo y final del arco en el vértice inferior derecho de dicho cuadrado.
- 6. El resto de la figura, es decir, todo el dibujo que nos queda prescindiendo del cuadrado amarillo, es otro rectángulo áureo del que calculamos el cuadrado, en color verde y dibujamos un arco de circunferencia con centro en el ángulo superior izquierdo de dicho cuadrado verde, inicio en el vértice inferior izquierdo y final en el vértice superior derecho del citado cuadrado de color verde. Si a la figura completa le quitas los cuadrados de color amarillo y verde te queda otro rectángulo áureo del que determinas su cuadrado y repites las acciones anteriores. Al final, obtenemos la espiral áurea la que dentro del arte, arquitectura, escultura, etc., tiene aplicaciones dada su armonía y belleza. También en la naturaleza encontramos espirales áureas en las conchas de algunos moluscos. Es interesante observar la belleza de líneas que esconde un rectángulo áureo. Veremos al tratar el icosaedro lo útil de los rectángulos áureos. Número Aureo El número áureo (también llamado número de oro, razón extrema y media, razón áurea, razón dorada, media áurea, proporción áurea y divina proporción ) es un número irracional, representado por la letra griega φ (phi) (en minúscula) o Φ (Phi) (en mayúscula) en honor al escultor griego Fidias. La ecuación se expresa de la siguiente manera: El número áureo surge de la división en dos de un segmento guardando las siguientes proporciones: La longitud total a+bes al segmento más largo a, como aes al segmento más corto b. También se representa con la letra griega Tau (Τ τ),4 por ser la primera letra de la raíz griega τομή, que significa acortar, aunque es más común encontrarlo representado con la letra fi (phi) (Φ,φ). También se representa con la letra griega alpha minúscula.5 Se trata de un número algebraico irracional (su representación decimal no tiene período) que posee muchas propiedades interesantes y que fue descubierto en la antigüedad, no como una expresión aritmética, sino como relación o proporción entre dos segmentos de una recta, es decir, una construcción geométrica. Esta proporción se encuentra tanto en algunas figuras geométricas como en la naturaleza: en las nervaduras de las hojas de algunos árboles, en el grosor de las ramas, en el caparazón de un caracol, en los flósculos de los girasoles, etc. Una de sus propiedades aritméticas más curiosas es que su cuadrado (Φ2 = 2,61803398874988...) y su inverso (1/Φ = 0,61803398874988...) tienen las mismas infinitas cifras decimales. Asimismo, se atribuye un carácter estético a los objetos cuyas medidas guardan la proporción áurea. Algunos incluso creen que posee una importancia mística. A lo largo de la historia, se ha atribuido su inclusión en el diseño de diversas obras de arquitectura y otras artes, aunque algunos de estos casos han sido cuestionados por los estudiosos de las matemáticas y el arte.
- 7. Historia del Numero Áureo Algunos autores sugieren que el número áureo se encuentra como proporción en varias estelas de Babilonia y Asiria de alrededor de 2000 a. C. Sin embargo, no existe documentación histórica que indique que el número áureo fuera utilizado conscientemente por dichos artistas en la elaboración de las estelas. Cuando se mide una estructura compleja, es fácil obtener resultados curiosos si se tienen muchas medidas disponibles. Además, para que se pueda afirmar que el número áureo está presente, las medidas deben tomarse desde puntos significativos del objeto, pero este no es el caso de muchas hipótesis que defienden la presencia del número áureo. Por todas estas razones Mario Livio concluye que es muy improbable que los babilonios hayan descubierto el número áureo.6 Antigüedad El primero en hacer un estudio formal del número áureo fue Euclides (c. 300-265 a. C.), quien lo definió de la siguiente manera: "Se dice que una recta ha sido cortada en extrema y media razón cuando la recta entera es al segmento mayor como el segmento mayor es al segmento menor". Euclides Los Elementos Definición 3 del Libro Sexto. Euclides demostró también que este número no puede ser descrito como la razón de dos números enteros; es decir, es un número irracional. Platón (c. 428-347 a. C.) vivió antes de que Euclides estudiara el número áureo. Sin embargo, a veces se le atribuye el desarrollo de teoremas relacionados con el número áureo debido a que el historiador griego Proclo escribió: "Eudoxo... multiplicó el número de teoremas relativos a la sección a los que Platón dio origen". Proclo en Un comentario sobre el Primer Libro de los Elementos de Euclides. Aquí a menudo se interpretó la palabra sección (τομή) como la sección áurea. Sin embargo a partir del siglo XIX esta interpretación ha sido motivo de gran controversia y muchos investigadores han llegado a la conclusión de que la palabra sección no tuvo nada que ver con el número áureo. No obstante, Platón consideró que los números irracionales, descubiertos por los pitagóricos, eran de particular importancia y la llave de la física del cosmos. Esta opinión tuvo una gran influencia en muchos filósofos y matemáticos posteriores, en particular los neoplatónicos. A pesar de lo discutible de su conocimiento sobre el número áureo, Platón se ocupó de estudiar el origen y la estructura del cosmos, cosa que intentó usando los cinco sólidos platónicos, construidos y estudiados por Teeteto. En particular, combinó la idea de Empédocles sobre la existencia de cuatro elementos básicos de la materia, con la teoría
- 8. atómica de Demócrito. Para Platón, cada uno de los sólidos correspondía a una de las partículas que conformaban cada uno de los elementos: la tierra estaba asociada al cubo, el fuego al tetraedro, el aire al octaedro, el agua al icosaedro, y finalmente el Universo como un todo, estaba asociado con el dodecaedro. Edad Moderna En 1509 el matemático y teólogo italiano Luca Pacioli publicó De Divina Proportione (La Divina Proporción), donde plantea cinco razones por las que estima apropiado considerar divino al número áureo: 1. La unicidad; Pacioli compara el valor único del número áureo con la unicidad de Dios. 2. El hecho de que esté definido por tres segmentos de recta, Pacioli lo asocia con la Trinidad. 3. La inconmensurabilidad; para Pacioli la inconmensurabilidad del número áureo y la inconmensurabilidad de Dios son equivalentes. 4. La autosimilaridad asociada al número áureo; Pacioli la compara con la omnipresencia e invariabilidad de Dios. 5. Según Pacioli, de la misma manera en que Dios dio ser al Universo a través de la quinta esencia, representada por el dodecaedro, el número áureo dio ser al dodecaedro. En 1525, Alberto Durero publicó Instrucción sobre la medida con regla y compás de figuras planas y sólidas, donde describe cómo trazar con regla y compás la espiral áurea basada en la sección áurea, que se conoce como “espiral de Durero”. El astrónomo Johannes Kepler (1571-1630) desarrolló un modelo platónico del Sistema Solar utilizando los sólidos platónicos, y se refirió al número áureo en términos grandiosos: “La geometría tiene dos grandes tesoros: uno es el teorema de Pitágoras; el otro, la división de una línea entre el extremo y su proporcional. El primero lo podemos comparar a una medida de oro; el segundo lo debemos denominar una joya preciosa”. Johannes Kepler en Mysterium Cosmographicum (El misterio cósmico). El primer uso conocido del adjetivo áureo, dorado, o de oro, para referirse a este número lo hace el matemático alemán Martin Ohm, hermano del célebre físico Georg Simon Ohm, en la segunda edición de 1835 de su libro Die Reine Elementar Matematik (Las matemáticas puras elementales). Ohm escribe en una nota al pie: "Uno también acostumbra llamar a esta división de una línea arbitraria en dos partes como éstas la sección dorada". Martin Ohm en Die Reine Elementar Matematik (Las matemáticas puras elementales).
- 9. A pesar de que la forma de escribir sugiere que el término ya era de uso común para la fecha, el hecho de que no lo incluyera en su primera edición sugiere que el término pudo ganar popularidad alrededor de 1830. En los textos de matemáticas que trataban el tema, el símbolo habitual para representar el número áureo fue τ, del griego τομή, que significa ‘corte o sección’. Sin embargo, la moderna denominación Φ o φ la efectuó en 1900 el matemático Mark Barr en honor a Fidias, ya que ésta era la primera letra de su nombre escrito en griego (Φειδίας). Este honor se le concedió a Fidias por el máximo valor estético atribuido a sus esculturas, propiedad que ya por entonces se le atribuía también al número áureo. Mark Barr y Schooling fueron responsables de los apéndices matemáticos del libro The Curves of Life, de sir Theodore Cook. El Numero Áureo en la Naturaleza En la naturaleza, hay muchos elementos relacionados con la sección áurea y/o los números de Fibonacci: Leonardo de Pisa (Fibonacci), en su Libro de los ábacos (Liber abacci, 1202, 1228), usa la sucesión que lleva su nombre para calcular el número de pares de conejos n meses después de que una primera pareja comienza a reproducirse (suponiendo que los conejos están aislados por muros, se empiezan a reproducir cuando tienen dos meses de edad, tardan un mes desde la fecundación hasta la aparición y cada camada es de dos conejos). Este es un problema matemático puramente independiente de que sean conejos los involucrados. En realidad, el conejo común europeo tiene camadas de 4 a 12 individuos y varias veces al año, aunque no cada mes, pese a que la preñez dura 32 días. El problema se halla en las páginas 123 y 124 del manuscrito de 1228, que fue el que llegó hasta nosotros, y parece que el planteamiento recurrió a conejos como pudiera haber sido a otros seres; es un soporte para hacer comprensible una incógnita, un acertijo matemático. El cociente de dos términos consecutivos de la sucesión de Fibonacci tiende a la sección áurea o al número áureo si la fracción resultante es propia o impropia, respectivamente. Lo mismo sucede con toda sucesión recurrente de orden dos, según demostraron Barry Schooling en la revista The Field del 14 de diciembre de 1912.
- 10. La disposición de los pétalos de las flores (el papel del número áureo en la botánica recibe el nombre de Ley de Ludwig). La distribución de las hojas en un tallo. Ver: Sucesión de Fibonacci. La relación entre las nervaduras de las hojas de los árboles. La relación entre el grosor de las ramas principales y el tronco, o entre las ramas principales y las secundarias (el grosor de una equivale a Φ tomando como unidad la rama superior). La cantidad de espirales de una piña (ocho y trece espirales), flores o inflorescencias. Estos números son elementos de la sucesión de Fibonacci y el cociente de dos elementos consecutivos tiende al número áureo. La distancia entre el ombligo y la planta de los pies de una persona, respecto a su altura total. La cantidad de pétalos en las flores. Existen flores con 3, 5 y 8 pétalos y también con 13, 21, 34, 55, 89 y 144. La distribución de las hojas de la yuca y la disposición de las hojas de las alcachofas. La relación entre la distancia entre las espiras del interior espiralado de cualquier caracol o de cefalópodos como el nautilus. Hay por lo menos tres espirales logarítmicas más o menos asimilables a proporciones aúreas. La primera de ellas se caracteriza por la relación constante igual al número áureo entre los radiovectores de puntos situados en dos evolutas consecutivas en una misma dirección y sentido. Las conchas del Fusus antiquus, del Murex, de Scalaria pretiosa, de Facelaria y de Solarium trochleare, entre otras, siguen este tipo de espiral de crecimiento. Se debe entender que en toda consideración natural, aunque involucre a las ciencias consideradas más matemáticamente desarrolladas, como la Física, ninguna relación o constante que tenga un número infinito de decimales puede llegar hasta el límite matemático, porque en esa escala no existiría ningún objeto físico. La partícula elemental más diminuta que se pueda imaginar es infinitamente más grande que un punto en una recta. Las leyes observadas y descriptas matemáticamente en los organismos las cumplen transgrediéndolas orgánicamente. Para que las hojas esparcidas de una planta (Ver Filotaxis) o las ramas alrededor del tronco tengan el máximo de insolación con la mínima interferencia entre ellas, éstas deben crecer separadas en hélice ascendente según un ángulo constante y teóricamente igual a 360º (2 - φ) ≈ 137º 30' 27,950 580 136 276 726 855 462 662 132 999..." En la naturaleza se medirá un ángulo práctico de 137º 30' o de 137º 30' 28" en el mejor de los casos. Para el cálculo se considera iluminación vertical y el criterio matemático es que las proyecciones horizontales de unas sobre otras no se recubran exactamente. Aunque la iluminación del Sol no es, en general, vertical y varía con la latitud y las estaciones, esto
- 11. garantiza el máximo aprovechamiento de la luz solar. Este hecho fue descubierto empíricamente por Church y confirmado matemáticamente por Weisner en 1875. En la práctica no puede medirse con tanta precisión el ángulo y las plantas lo reproducen "orgánicamente"; o sea, con una pequeña desviación respecto al valor teórico. No todas las plantas se benefician con un máximo de exposición solar o a la lluvia, por lo que se observan otros ángulos constantes diferentes del ideal de 137. 30. Puede encontrar una tabla en la página 26 del documento completo accesible en el enlace de la referencia. En la cantidad de elementos constituyentes de las espirales o dobles espirales de las inflorescencias, como en el caso del girasol, y en otros objetos orgánicos como las piñas de los pinos se encuentran números pertenecientes a la sucesión de Fibonacci. El cociente de dos números sucesivos de esta sucesión tiende al número áureo. Existen cristales de pirita dodecaédricos pentagonales (piritoedros) cuyas caras son pentágonos irregulares. Sin embargo, las proporciones de dicho poliedro irregular no involucran el número áureo. En el mundo inorgánico no existe el pentágono regular. Éste aparece (haciendo la salvedad de que con un error orgánico; no podemos pretender exactitud matemática al límite ) exclusivamente en los organismos vivos Conclusión: El rectángulo dorado muchos lo ven como meras suposiciones, aunque en sí, puede que esto sea cierto, ya que si hay estudios demostrados como lo vemos en el documento anterior. Aún hay muchas cosas que se ignoran ya sea porque aún no han sido reveladas o nunca se dieron a la luz, pero a mi punto de vista, esto si fue cierto.