Refuerzo 10

NIVELACION RESTITUTIVA
Matemática
MAS EDUCACION EN PRIMERO MEDIO
LIBRO DE TRABAJO 3
“División y divisibilidad de números naturales”

Ministerio de Educación
Programa Liceo Para Todos
NIVELACION RESTITUTIVA
Matemática
> Material Elaborado
Clara Balbontín
Victoria Marshall
María Isabel Raul
Gloria Schwarze
> Coordinación
MAS EDUCACION EN PRIMERO MEDIO
Victoria Marshall
Pontificia Universidad Católica de Chile
> Colaboración edición 2003
Daniel Contreras
Daniela Eroles
Matías Flores
Carlos Ossa
Andrea Palma
Cecilia Richards
Daniela Zenteno
Pamela Berríos González
Héctor Hernández Nanjarí
Ivonne Strange Fuentes
Aurora Valdebenito Gutiérrez
> Diseño >
La Maestranza, Facultad de Arquitectura y
Urbanismo, Universidad de Chile
LIBRO DE TRABAJO 3
“División y divisibilidad de números naturales”

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GUIAS DE TRABAJO
GUIA 29: Dividir por dos
Problema resuelto
Josefa compró una bolsa que traía 50 bolitas.
Si las reparte en partes iguales entre sus hijos
Nicolás y Cristóbal, ¿con cuántas se quedará
cada uno?
Solución
Josefa debe repartir las 50 bolitas entre sus
dos hijos, luego a cada uno le corresponden
50 : 2 = 25 bolitas.
Esto se puede resumir en el siguiente esquema:
Procedimiento:
El total de bolitas es 50 y hay que calcular la
mitad de 50.
Operación y resultado:
50 : 2 = 25
Respuesta:
A cada uno le corresponden 25 bolitas.
Resuelve los siguientes problemas
indicando en cada caso:
(a) El procedimiento.
(b) La operación con su resultado.
(c) La respuesta del problema.
Problema 1:
Carlos y su hermano Javier vendieron una radio
antigua y repartieron en partes iguales el dinero
obtenido que fue $12500. ¿Con cuánto dinero
se quedó cada hermano?
Problema 2:
Vicente se propuso contar cuántas ruedas había
en la tienda de bicicletas de su tío Guillermo.
Si contó 36 ruedas, ¿a cuántas bicicletas
corresponden?
Problema 3:
Julián guarda, en uno de sus cajones, 24
calcetines de variados colores. ¿ A cuántos
pares de calcetines corresponden?
Problema 4:
A comienzos de temporada una multitienda
vendía una chaqueta de cuero a $25.300, pero
como es época de liquidaciones, la rebajaron
a mitad de precio. ¿En cuánto quedó la
chaqueta?
Problema 5:
En el curso de Margarita, el número de niños
es la mitad que el de niñas. Si en el curso hay
22 niñas, ¿cuántos niños hay?
Realiza los siguientes ejercicios:
1. 24 : 2 es
2. 3542 : 2 es
3. 7680 : 2 es
4. 1216 : 2 es
5. (124 : 2) : 2 es
6. 528 : ( 4 : 2 ) es

3
GUIA 30: División por un dígito
Problema resuelto
Magdalena practica natación. Si esta tarde
debe dar 8 vueltas a la piscina, lo que equivale
a un total de 400 metros, ¿cuánto recorre
Magdalena en cada vuelta?
Solución
Para determinar la distancia que recorre
Magdalena en cada vuelta, debemos dividir los
400 metros recorridos, por el número de vueltas,
que corresponden a 8.
Procedimiento:
Debemos dividir 400 por 8.
Operaciones:
400 : 8 = 50
Respuesta:
En cada vuelta, Magdalena recorre 50 metros.
Problema 1:
Eduardo compró 5 Kg. de pan en $ 2150.
¿Cuánto le costó cada kilo?
Problema 2:
En el almacén de Don Luis venden queso a
$2740 el kilo, ¿cuánto cuesta el cuarto?
Problema 3:
Manuel con cinco amigos más están pensando
en hacer una reunión en casa. Si gastan, en
total, $13254 y deciden dividir los gastos en
partes iguales, ¿cuánto debe pagar cada uno?
Problema 4:
La familia de Loreto se compró un televisor en
una casa comercial, a crédito, pagándolo en 8
cuotas mensuales iguales. Si pagó un total de
$152.168, ¿cuánto pagó mensualmente?
Problema 5:
Francisco y Rodrigo son muy deportistas. El
Sábado fueron a correr juntos, pero la distancia
que recorrió Francisco fue el triple de la que
corrió Rodrigo.
Si Francisco corrió 7.536 mt., ¿cuántos metros
corrió Rodrigo?
Realiza las siguientes operaciones:
1. 25 : 5 es
2. 1275 : 3 es
3. 111114 : 6 es
4. 2000 : 8 es
5. 100017 : 9 es
6. 86415 : 7 es

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GUIA 31: Cuociente de la división
Problema resuelto
Teresa quiere repartir, en partes iguales, 32
bolitas entre sus 5 nietos. Si quiere repartir
todas las bolitas, ¿cuál es el máximo de bolitas
que puede dar a cada uno?
Solución
Para calcular el número máximo de bolitas que
se pueden repartir, debemos dividir 32 que es
la cantidad de bolitas, por 5 que es la cantidad
de nietos.
Procedimiento:
Operaciones:
32 : 5 = 6
2
Respuesta:
Teresa puede repartir máximo 6 bolitas a cada
nieto.
Problema 1:
¿Cuál es el número máximo de personas, todas
de 70 kilos, que pueden subir a un ascensor
que soporta una carga máxima de 450 kilos?
Problema 2:
Una municipalidad desea repartir 100 libros
entre 17 liceos de su comuna de modo que
todos reciban la misma cantidad. ¿Cuál es el
máximo de libros que puede repartir a cada
liceo?
Problema 3:
Si el profesor de Lenguaje desea formar grupos
de 3 alumnos, ¿cuál es el número máximo de
grupos que puede formar con un curso de 42
alumnos?
Problema 4:
Un bus tiene capacidad para 38 personas
sentadas y no puede llevar pasajeros de pie.
Para desplazar a 400 personas, ¿cuántos viajes
realizará con la capacidad completa?
Problema 5:
Si se cuenta con 32 globos, ¿cuál es el número
máximo de globos que puede repartirse a cada
uno de los 5 niños que hay en la fiesta?
Determina el cuociente de la división.
1. 25 : 6
2. 36 : 7
3. 253: 15
4. 168 : 73
5. 144 : 28
6. 1980 : 15

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GUIA 32: Resto de la división
Problema resuelto
Una empresa dispone de 20 empleados y los
debe repartir en 3 grupos con el mismo número
de integrantes. ¿Cuántos empleados quedarán
necesariamente fuera?
Solución
Para calcular el número de integrantes que
quedarán fuera debemos dividir 20 por 3 y
considerar el resto de la división.
Procedimiento:
Operaciones:
20 : 3 = 6
2
Respuesta:
2 empleados quedarán fuera.
Problema 1:
Don Álvaro reparte 11 chocolates cada vez que
van sus nietos. Si compra una caja con 100,
¿cuántos le sobrarán cuando ya no pueda
repartir más?
Problema 2:
La profesora de 5° básico reparte 80 hojas de
un block entre sus 25 alumnos. Si le da el
mismo número de hojas a cada uno, ¿cuántas
hojas le sobran?
Problema 3:
Doña Berta hizo 100 empanadas para vender
por docenas. ¿Cuántas le sobrarán si quiere
vender la mayor cantidad posible?
Problema 4:
Pedro juega a los naipes con tres amigos y
para hacer sus apuestas reparten una caja con
50 fósforos en partes iguales. ¿Cuántos fósforos
sobran?
Problema 5:
Si se dispone de 25 chocolates y se quieren
repartir en partes iguales entre 5 niños, ¿cuántos
chocolates sobran?
Determina el resto de la división.
1. 28 : 5
2. 664 : 11
3. 534 : 8
4. 647 : 16
5. 785 : 12
6. 1234 : 21

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Trabajo de síntesis - Guía 1
Trabajo en grupo
Para trabajar en grupos de 3 alumnos y después poner en común:.
La profesora del 1º medio del liceo quiere dejar armados los grupos de trabajo
para las guías de síntesis y para esto tiene varias alternativas pero no está
clara en cuál es la mejor. El curso consta de 42 alumnos.
1. Si quiere armar grupos de 6 alumnos.¿cuántos grupos armaría?
2. Si quiere armar grupos de 7 alumnos.¿cuántos grupos armaría?
3. Si considera que el ideal es que los grupos estén formados por 5 alumnos; en éste
caso, ¿cuántos alumnos quedarían sin grupo?
4. Si un día faltan 3 alumnos, ¿cuántos grupos de 3 alumnos puede formar?
5. ¿Es posible formar grupos de a 4 alumnos, con todo el curso?¿ y de a 8 alumnos?
6. Haga un listado de todos los grupos posibles ( según número de integrantes) que
se pueden formar y calcule cuántos grupos se formarán con los 42 alumnos.
7. Averigua en tu curso cuál sería el número ideal de componentes por grupo de trabajo
y cuántos grupos se pueden formar.

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GUIA 33: División de dos números
Problema resuelto
Manuel y Alejandra pasaron 552 horas en un
crucero por el Caribe.
¿Cuántos días duró el crucero?
Solución
Para calcular el número de días que duró el
crucero, debemos dividir 552, que es la cantidad
de horas que duró, por 24, que es la cantidad
de horas de un día.
Procedimiento:
Operaciones:
552 : 24 = 23
Respuesta:
El crucero duró 23 días.
Problema 1:
Octavio necesita comprar 1840 metros de
alambre para cercar 8 terrenos de igual
tamaño.
¿Cuántos metros de alambre necesita para
cercar cada terreno?
Problema 2:
En la fiesta de cumpleaños de Ignacio se
repartirán, en partes iguales, 253 globos entre
23 invitados. ¿Cuántos globos recibirá cada
uno?
Problema 3:
Entre Carola y Jaime juntaron 28 bolitas. Si
deciden dividirlas en partes iguales, ¿con
cuántas bolitas se quedará Carola?
Problema 4:
El Ministerio de Salud dispone de 27600
vacunas contra el sarampión, las que debe
repartir en partes iguales entre 23 consultorios
de la Región Metropolitana.
¿Cuántas vacunas recibirá cada consultorio?
Problema 5:
Viajando de ida y vuelta entre dos ciudades,
se recorren 3000 kilómetros de distancia.
¿Cuántos kilómetros separan ambas ciudades?
1. 300 : 12 es
2. 253 : 11 es
3. 567 : 9 es
4. 168 : 21 es
5. 144 : 12 es
6. 1980 : 60 es

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GUIA 34: División y suma
Problema resuelto
Claudio y Ricardo trabajan empaquetando platos
por docenas en una fábrica de loza. Claudio dispone
de 312 platos; Ricardo, de 492 y ambos empaquetan
por separado. ¿Cuántas docenas empaquetan entre
los dos?
Solución
Para determinar cuántas docenas empaquetan entre
ambos, debemos primero calcular cuántas docenas
empaqueta cada uno, dividiendo el número de platos
que empaquetan por 12. Luego hay que sumar las
docenas que empaqueta cada uno.
Procedimiento:
Para Claudio, hay que dividir 312 por 12 y para
Ricardo, hay que dividir 492 por 12.
Luego se suman ambos resultados.
Operaciones:
312 : 12 = 26
492 : 12 = 41
26 + 41 = 67
Respuesta:
Entre los dos empaquetan 67 docenas.
Problema 1:
En una biblioteca, hay 4 estantes con 60 libros de
Historia y 120 de Filosofía.
Si cada estante contiene igual cantidad de textos
de cada ramo, ¿cuántos libros hay en cada estante?
Problema 2:
Pedro y Pablo trabajan en una empresa exportadora.
Pedro debe embalar 5 kilos de uva por caja; y Pablo,
7 kilos de ciruelas por caja.
Si Pedro dispone de 75 kilos de uva y Pablo de 63
kilos de ciruelas, ¿cuántas cajas podrán embalar
en conjunto?
Problema 3:
Una profesora necesita imprimir 2 guías de
Matemática por alumno para el 4º Medio A y 3
guías de Física por alumno para el 4º Medio B. Si
la profesora imprimió 60 guías de Matemática y 90
de Física, ¿cuántos alumnos hay en total en ambos
cursos?
Problema 4:
En la fiesta de Pablito, se repartieron 36 collares
entre las niñas y 20 bolitas entre los niños. Si cada
niña recibió 3 collares; y cada niño, 2 bolitas,
¿cuántos invitados tenía la fiesta?
Problema 5:
Luis y Clara trabajan en la misma fábrica. Su labor
es empaquetar juguetes en bolsas que contengan
7 unidades cada una.
Si Luis debe empaquetar 175 juguetes y Clara 154
juguetes, ¿cuántas bolsas logran llenar entre los
dos?
1. ( 6 + 16 ) : 2 es
2. 16 : ( 4 + 4 ) es
3. ( 4 + 7 ) : 11 es
4. ( 6 : 3 ) + ( 15 : 5 ) es
5. ( 150 : 6 ) + ( 20 : 4 ) es
6. ( 20 : 10 ) + ( 20 : 1) es

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GUIA 35: División y resta
Problema resuelto
Lorena le dio a su hijo $2000 para que le
comprara varias docenas de huevos. Hecha la
compra, recibió $350 de vuelto.
¿Cuántas docenas compró el hijo, si cada
docena cuesta $550?
Solución
Para calcular el número de docenas que
compró, hay que calcular la cantidad total
gastada y el resultado dividirlo por 550.
Procedimiento:
Restamos 350 a 2000 para calcular el dinero
gastado, luego dividimos el resultado por 550.
Operaciones:
2000 – 350 = 1650
1650 : 550 = 3
Respuesta:
El hijo compró 3 docenas de huevos.
Problema 1:
Alejandro se ganó $ 60000 en una rifa y se
compró varios discos que estaban a precio de
oferta a $5500. Si al hacer la compra le
sobraron $10.500, ¿cuántos discos compró
Alejandro?
Problema 2:
Una sala que tiene 81 asientos repartidos en
9 filas iguales se ocupó para tomar una prueba.
Si sobraron 18 asientos y en cada fila se sentó
la misma cantidad de alumnos ¿Cuántos
alumnos se sentaron por fila?
Problema 3:
Felipe llevó $3000 para cancelar 3 entradas de
una fiesta. Si recibió $1800 de vuelto, ¿cuánto
costaba cada entrada?
Problema 4:
José llevó $2000 para comprar manzanas. Si
recibió $500 de vuelto y el kilo costaba $300,
¿cuántos kilos compró?
Problema 5:
Rosita tiene 130 globos para repartir entre
sus amigas, pero se le reventaron 25.
Si cada amiga recibió 5 globos, ¿entre cuántas
amigas repartió los globos Rosita?
1. (12 – 3) : 3 es
2. (25 – 1) : 12 es
3. (210 – 2) : 26 es
4. (2010 – 10) : 25 es
5. (2716 - 700 ) : 36 es
6. (4568 – 36 ) : 44 es

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GUIA 36: División, suma y resta
Problema resuelto
Camilo va a distribuir los $6000 que le regaló su
mamá, en cantidades iguales de Lunes a Viernes.
Si diariamente Camilo hace dos viajes y cada uno
de éstos le cuesta $300, ¿cuánto dinero le quedará
al día para gastar en otras cosas?
Solución
El dinero que le queda a Camilo es la diferencia
entre lo que tiene para gastar diariamente y lo que
gasta en viajes.
Esto puede resumirse en el siguiente esquema:
Procedimiento:
Cada día dispone de 6000 : 5 y gasta en viajes
300 + 300. La diferencia entre estos resultados es
lo que tiene para gastar.
6000 : 5 = 1200
300 + 300 = 600
1200 – 600 = 600
Respuesta:
A Camilo le quedan $600 para gastar en otras
cosas.
Problema 1:
El 5º Básico tiene 23 niñas y 19 niños. Este año,
el establecimiento regaló libros a los alumnos con
promedio igual o mayor a 6.5.
Si hay 18 libros para repartir y 33 alumnos del curso
bajo ese promedio, ¿cuántos libros recibirá cada
alumno premiado?
Problema 2:
Jaime tiene 25 discos de rock, 12 de jazz y 18 de
tecno. Para ordenarlos compró una repisa con 5
estantes y puso igual cantidad de discos en cada
uno. Al finalizar su tarea, Jaime sacó 7 discos del
primero para prestárselos a un amigo, ¿cuántos
discos le quedarán en ese estante?
Problema 3:
Josefa tiene 15 manzanas y 5 naranjas para comer
entre lunes y viernes. Cada mañana, Josefa le da
una fruta a su vecina Margarita, ¿cuántas frutas le
quedan para cada día?
Problema 4:
Eliana cría perros. Para alimentarlos, mezcla 843
gramos de alimento A con 351 gramos de alimento
B. Luego, reparte la mezcla en partes iguales entre
los 9 perros. Este domingo, Eliana vendió 3 perros,
si continúa preparando la misma cantidad de
comida, ¿cuántos gramos de alimento recibirá cada
perro a partir del lunes?
Problema 5:
Después de lavar, Doña María guarda los calcetines
en una bolsa. Al revisarlos, ve que hay 24 calcetines
rojos, 34 azules, 8 verdes y 16 amarillos. Si después
de hermanarlos, Doña María ve que hay 13 pares
de calcetines en mal estado, ¿cuántos pares están
en buen estado?
1. (125 : 5) – ( 8+7) es
2. (18 :3 + 5 ) – 2 es
3. ((24 + 132) – 98) : 2 es
4. (560 + 280) : ( 256 – 251) es
5. 101010 : 5 – ( 1001 + 101) es
6. ((159357-85265) : 2) + 953157 es

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Venta de pasteles
Para trabajar en grupos de 3 alumnos y, después, poner en común:
Un curso del liceo decidió armar un pequeño stand con vente de pasteles, para
recolectar fondos. En principio sólo van a vender chilenitos, berlines y alfajores
y queques. Los precios son los siguientes:
Chilenitos $300
Berlines $350
Alfajores $320
Queques $200
8. Se vendieron $4200 en berlines y cada alumno compró sólo un berlín. ¿cuántos
alumnos compraron un berlín?
9. Si hay a la venta 30 chilenitos y cada alumno de un determinado grupo compró 2
chilenitos cada uno y quedaron 16, ¿cuántos alumnos integraban el grupo?
10. Si un día obtuvieron $15500 por la venta de queques y chilenitos y 40 alumnos
compraron queques,¿cuántos alumnos compraron chilenitos?
11. El día en que la venta de alfajores fue mejor, se obtuvo $13440, ¿cuántos se
vendieron?
12. El día Martes se vendieron 12 alfajores menos que el del día Lunes, ¿cuántos
alumnos compraron el día Martes, si el Lunes se obtuvo $5760 por la venta de los
alfajores?
13. Un alumno tiene $3000 semanales que debe distribuir de Lunes a Viernes, de
forma tal, que le alcance para $220 de locomoción y para comprarse un alfajor .¿Cuánto
dinero le queda diariamente?
14. Haz una encuesta en tu curso acerca de cuales son los dulces preferidos y porqué.

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GUIA 37: División y producto
Problema resuelto
Clara dispone a la semana de 8 horas para
estudiar. Si la mitad de ese tiempo la dedica
a Matemáticas, ¿ cuántas horas dedica
Clara a Matemáticas en 3 semanas?
Solución
El número de horas dedicadas a Matemáticas
en 3 semanas corresponde al producto de las
horas dedicadas a la semana que es 8 : 2 ,
por las 3 semanas.
Procedimiento:
El número de horas dedicadas a Matemáticas
a la semana es 8 : 2 y, en 3 semanas, es el
resultado anterior por 3.
8 : 2 = 4
4 . 3 = 12
Respuesta:
En 3 semanas Clara dispone de 12 horas para
Matemáticas.
Problema 1:
Jorge compró un block de 100 hojas para sus Laura
permanece 8 horas diarias en la universidad, tiempo
que distribuye, en partes iguales, en estudiar y asistir
a clases. ¿Cuántas horas dedica Laura al estudio
en la universidad, de Lunes a Viernes?
Problema 2:
Rosita trabaja 6 horas al día en su oficina y toma
clases de computación en un instituto 4 tardes a la
semana.
Si cada una de estas clases dura un tercio del
tiempo que trabaja diariamente, ¿cuántas horas
semanales dedica a la computación?
Problema 3:
Una modista ocupa la cuarta parte de una pieza
de género de 8 metros para confeccionar un
pantalón. Si la modista es capaz de hacer 13
pantalones al día, ¿cuántos metros de género
necesita diariamente?
Problema 4:
En el casino de una empresa se utiliza una docena
de huevos para cocinarle a 6 trabajadores
diariamente. ¿Cuántos huevos consume cualquiera
de estos trabajadores en 3 días?
Problema 5:
Doña Elena abrió una caja de 24 bombones el
sábado y la compartió con su esposo y sus 6 hijos
en partes iguales. Si el domingo compartieron otra
caja de igual tamaño y todos comieron la misma
cantidad, ¿cuántos bombones comió cada integrante
de la familia el fin de semana?
1. 16 · ( 9 : 3 ) es
2. 14 · ( 22 : 11 ) es
3. 7 · ( 81 : 27 ) es
4. 20 · ( 100 : 25 ) es
5. ( 10 : 5 ) . 12 es
6. ( 63 : 9 ) . 5 es

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GUIA 38: Las cuatro operaciones
Problema resuelto
Se repartieron todas las manzanas de una caja
entre 6 personas. Las 3 primeras recibieron 6
manzanas cada una; las 3 últimas personas
recibieron, cada una, la mitad que las 3 primeras.
¿Cuántas manzanas había en la caja?
Solución
Para calcular el total de manzanas del cajón, hay
que calcular primero lo que recibieron las 3 últimas
y sumarle al total lo que recibieron las 3 primeras.
Procedimiento:
Las 3 últimas recibieron 6 : 2 cada una
Luego, entre las 3 recibieron 3 . 3. Las 3 primeras
recibieron 6 . 3 y hay que sumar los totales de los
dos grupos.
6 : 2 = 3
3 . 6 = 18
3 . 3 = 9
18 + 9 = 27
Respuesta:
La caja tenía 27 manzanas.
Problema 1:
Magdalena repartió todos los globos que había en
su fiesta. A cada una de las 15 mujeres le dio 2
globos, a cada uno de los 20 hombres 1 globo, y a
cada uno de los 8 niños le dio la mitad de lo que
ya se había repartido.
¿Cuántos globos había en la fiesta de Magdalena?
Problema 2:
La tía Cecilia repartió lápices entre los 6 niños que
ella dirige y las otras 3 tías del nivel. Cada tía recibió
5 lápices y los niños recibieron el doble de lo que
recibió cada tía. ¿Cuántos lápices se repartieron
en total?
Problema 3:
El lunes, Rafael le regaló a cada uno de sus 2
amigos 3 bolitas. El martes les regaló 2 veces la
cantidad de bolitas que el día anterior y el miércoles
les dio la sexta parte que el martes. ¿Cuántas
bolitas le regaló Rafael a sus 2 amigos?
Problema 4:
El domingo, cada uno de los 5 niños de la familia
Gutiérrez comió 2 panes al almuerzo y 1 en la cena.
Si el lunes los 5 consumieron el doble de lo que
comieron el domingo, ¿cuántos panes comieron en
total los 5 niños entre el domingo y el lunes?
Problema 5:
Jorge pedaleó 20 kilómetros en bicicleta el domingo.
El lunes, anduvo la mitad de esa distancia y el
martes, 3 veces lo del día anterior. ¿Cuántos
kilómetros anduvo Jorge en bicicleta entre esos 3
días?
1. 3 · [( 5 + 9 ) : 2 ] – 7 es
2. 8 · [( 14 + 11 ) : 5 ] – 10 es
3. 4 · [( 33 + 9 ) : 7 ] – 7 es
4. 6 · [( 12 + 12 ) : 12 ] – 9 es
5. 6 · [( 11 + 9 ) : 10 ] – 2 es
6. 5 · [( 25 + 5 ) : 3 ] – 9 es

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GUIA 39: División y orden
Problema resuelto
El 8º básico A rindió un examen de Matemáticas.
Domingo resolvió los ejercicios que sabía en 35
minutos, tardando 5 minutos en cada uno. Pablo
por su parte resolvió 8 problemas en el mismo
tiempo. ¿Resolvió Domingo más problemas que
Pablo?
Solución
Domingo resolvió más problemas que Pablo, si en
los 35 minutos resolvió más de 8 problemas.
Procedimiento:
El número de problemas que resolvió Domingo se
calcula dividiendo 35 que es el tiempo empleado,
por 5 que es el tiempo que tardó en cada problema;
luego hay ver si este resultado es mayor que 8.
35 : 5 = 7
7 < 8
Respuesta:
Domingo resolvió menos problemas que Pablo.
Francisco y Rodrigo son deportistas. Esta
mañana, Francisco corrió 6500 metros en 2
horas; y Rodrigo, 7200 metros en 3 horas. Si
ambos jóvenes mantuvieron un ritmo parejo
mientras corrían, ¿cuál de los dos corrió una
distancia mayor en una hora?
Problema 2:
En el almacén de don Luis, venden 3 kilos de
manzanas rojas en $750 y 4 kilos de manzanas
verdes en $960. ¿Cuáles manzanas son más
baratas, las verdes o las rojas?
Problema 3:
Susana quiere comprar un reloj que cuesta
$22560. En la tienda le ofrecen 2 alternativas:
pagar el total en 8 cuotas iguales, o bien,
pagarlo en cuotas de $2800 cada una. Sin
importar el precio total pagado, ¿qué alternativa
le ofrece pagar menos mensualmente a
Susana?
Problema 4:
Si Pedro lee 18 páginas en 9 minutos y Valeria
lee 6 páginas en 2 minutos, ¿cuál de los dos
lee más páginas por minuto?
Problema 5:
Si Carlos da 7 vueltas a la piscina en 21 minutos
y Vicente da 8 vueltas en 24 minutos, ¿cuál de
los dos tarda menos en dar una vuelta?
1. El mayor entre (25 : 5) y 4 es
2. El mayor entre (72 : 8) y ( 10 : 2) es
3. El mayor entre (2202 : 2) y 1011 es
4. El mayor entre (954 : 9) y ( 345 : 5) es
5. El mayor entre (100 :5 ) y (50 : 2) es
6. El mayor entre ( 77328 : 9 ) y 8952 es

15
GUIA 40: Las cuatro operaciones y el orden
Problema resuelto
Gloria y Cecilia están entrenando para el
campeonato de atletismo.
Gloria dio 6 vueltas a la pista en 24 minutos y Cecilia
dio 5 vueltas más que Gloria y se demoró 33 minutos.
¿Quién demoró más en cada vuelta?
Solución
Debemos calcular cuánto demoró cada una en dar
una vuelta y comparar los resultados.
Procedimiento:
Para determinar lo que se demora Gloria en cada
vuelta, hay que dividir 24 por 6. Para determinar
cuántas vueltas dio Cecilia, hay que sumar 6 más
5 y luego dividir 33 por el resultado anterior.
Por último, hay que comparar el tiempo que demoró
cada una.
Operaciones:
24 : 6 = 4
6 + 5 = 11 ; 33 : 11 = 3
3 < 4
Respuesta:
Gloria demoró más en dar una vuelta.
Problema 1:
Si Luis corrió 2700 metros en 90 minutos y
Carlota corrió 3000 metros más que Luis en
150 minutos, ¿quién recorrió más metros en
un minuto?
Problema 2:
Adriana repartió $2400, en partes iguales, entre
sus 2 hijos. El mayor compró 3 helados de $300
cada uno y el menor gastó $1100. ¿Quién de
los dos quedó con más dinero?
Problema 3:
Luis reparte los $7500 que le dan cada semana
sus padres en cantidades iguales de Lunes a
Viernes. Si el Lunes compró 2 colaciones de
$700 cada una y el Martes además de comprar
una colación de $700 gastó la mitad de lo
destinado a ese día, ¿qué día gastó más dinero?
Problema 4:
Loreto destinó los $4200 que le da su mamá
cada semana para llamadas a su pololo
Roberto. Cada llamada cuesta $180 e hizo dos
por día de Lunes a Viernes. Si el sábado gastó
$720. ¿Podrá hacer más llamadas el Domingo
de las que hizo el Sábado?
Problema 5:
Pablo compró un cajón con 96 huevos para su
restaurante y los repartió en cantidades iguales
entre el Lunes y el Martes. El Lunes ocupó 15
huevos para el almuerzo y 15 para la comida,
y el Martes ocupó para el almuerzo la sexta
parte de lo que correspondía a ese día y para
la comida ocupó 25. ¿Qué día entre el Lunes
y Martes ocupó más huevos?
Realiza los siguientes ejercicios:
Coloca < o > según corresponda.
1. (12 : 3) – (2 · 1) 12 : (3 – 2)
2. (91 : 7) + (6 · 2) (91 – 7) : (6 : 2)
3. (169 : 13) – (4 · 1) 4 . (49 . 7 – 5)
4. (26 : 13) – (1 · 1) 16 : (4 – 2) – (4 . 2)
5. (81 : 3) – (4 · 5) 4 . (18 : 2) – 28
6. (12 : 3) – (2 · 2) 12 : (4 . (9 : 3 ))

16
Paseo del curso
Para trabajar en grupos de 3 alumnos y, después, poner en común:
El 3º Medio A decidió programar un paseo del curso, después de estudiar varias
alternativas, se quedaron con 3 de ellas que se muestran en la siguiente tabla;
los precios están dados por persona o por grupos de 20 alumnos. El curso
tiene 40 alumnos.
Precios:
Lugar Por Persona Por grupo
Cine $1.900 * $35.000
Museo $2.000 $36.000
Zoológico $1.500 $28.000
* Entrada rebajada.
Considerando las tabla anterior, contesta las siguientes preguntas:
1. Si se va a aceptar la oferta por grupo, ¿cuánto paga cada uno?
2. Si el Centro de Padres del liceo les aporta $300 por alumno en el caso en que
decidan ir al Museo, ¿cuánto pagaría ahora cada uno?¿les resulta más barato ir al
Cine o al Museo, en este caso?
3. Si un apoderado se consiguió que se les cobrara $60.000 al curso por ir al Cine,
¿cuánto paga ahora cada uno?¿ ?¿les resulta más barato ir al Cine o al Museo, en
este caso?
4. El Zoológico decidió a última hora rebajar $200 por cada 8 alumnos. ¿Cuánto debería
pagar ahora cada uno? Decide cuál de todas las posibilidades es la más económica,
considerando todos los casos anteriores?.
5. Averigua con tus compañeros cual de estas 3 opciones preferirían y porqué.

17
GUIA 41: Múltiplos de un número
Problema resuelto
Se dispone de una regla no marcada de 7cm.
¿Cuántas medidas menores que 30 cm se
pueden medir en forma exacta?
Solución
Para determinar cuántas medidas podemos
obtener, debemos calcular los múltiplos de 7
que son menores que 30.
Procedimiento:
Calcular los múltiplos de 7 menores que 30.
Operaciones:
Múltiplos de 7 menores que 30: 7, 14, 21 y
28.
Respuesta:
Podemos obtener 4 medidas exactas.
Problema 1:
Si tengo $24000, ¿cuánto dinero puedo pagar
con sólo billetes de $5000, sin que me den
vuelto?
Problema 2:
Gabriela quiere programar su trabajo antes de
empezar las clases. Sabe que tendrá entre 25
y 36 alumnos y quiere formar grupos. ¿Cuántos
alumnos debería tener para formar grupos de
a 7?
Problema 3:
Jaime tiene 3 hijas y quiere darles a todas para
Navidad la misma cantidad de regalos y no
más de 14 en total, para las tres. ¿Cuántos
regalos puede darle a cada una?
Problema 4:
En un pasaje de 50 metros se instalaron postes
de luz cada 10 metros, y postes de teléfono
cada 5 metros. ¿En el pasaje en cuestión,
existen postes que puedan ser usados para
ambas cosas?
Problema 5:
Se dispone de una varilla recta de 30 cm y una
varilla recta de 20 cm. ¿Cuál es la menor
longitud que se puede medir con ambas
varillas?
1. ¿Es 79 múltiplo de 9?
2. ¿Es 15 múltiplo de 3?
3. Calcula los múltiplos de 7 menores que 40.
4. Calcula los múltiplos comunes de 2 y 9
menores que 60
5. Calcula los múltiplos comunes de 7 y 14
menores que 100
6. Calcula el mínimo común múltiplo entre 28
y 35.

18
GUIA 42: Divisores de un número
Problema resuelto
Un grupo de personas llevó 15 regalos para
una rifa. Si todas aportaron el mismo número
de regalos, ¿por cuántas personas pudo haber
estado conformado el grupo?
Solución
Para determinar cuántas personas pudieron
haber conformado el grupo, hay que determinar
todos los divisores de 15.
Procedimiento:
Hay que determinar los divisores de 15.
Operaciones:
Los divisores de 15 son: 1, 3, 5 y 15
Respuesta:
Pueden haber sido 1, 3, 5 ó 15 personas.
Problema 1:
12 jóvenes se van a acampar en grupo.
¿Cuántas posibles carpas se podrían armar,
de modo que todas contuvieran el mismo
número de jóvenes?
Problema 2:
Paulina invitó al matrimonio civil de su hija a
40 personas. ¿Cómo debe sentar a sus
invitados, si deben haber a lo menos 4 personas
en cada mesa y todas las mesas deben tener
el mismo número de personas?
Problema 3:
Josefina quiere ordenar sus 60 libros en un
estante con varias repisas, ¿cuántos libros por
repisa puede poner si todas las repisas deben
tener la misma cantidad de libros y no quiere
poner más de 8 repisas?
Problema 4:
Arturo repartió 8 monedas de $10 y 14 monedas
de $100 entre sus hijos, dándoles a todos la
misma cantidad. ¿Puede Arturo tener 4 hijos?
Problema 5:
Se tienen 12 berlines y 18 pasteles. ¿Cuál es
el mayor número de cajas con pasteles y
berlines que se pueden armar, si todas las cajas
deben tener el mismo número de berlines y el
mismo número de pasteles y se empacan todos
los dulces?
1. Determinar los divisores de 18
4. Determinar los divisores comunes de 11 y 33
5. Determinar los divisores comunes de 14 y
35
6. Determina el máximo común divisor entre 10
y 60

19
Kermesse del liceo
Para trabajar en grupos de 3 alumnos y después poner en común:.
Los cuatro cursos de 1º medio del liceo decidieron en conjunto realizar una
kermesse como actividad de fin de curso con todos los alumnos y sus apoderados.
El colegio facilitó para este efecto, el gimnasio que cuenta con 200 metros
cuadrados y fijó el horario para la kermesse de 11:00 a 20:00.
El 1º medio A quiere obtener el máximo de ganancias y organizar en la mejor
forma posible su stand, para esto se consiguió las jabas de 6 bebidas de 2,5
litros en $3600 y con un apoderado se consiguió los completos a $250 y los
sandwiches a $400.
1. Si el liceo asignó espacios de 2 por 3 metros para cada curso, ¿cuántos metros
cuadrados quedan para que se distribuyan los invitados si cada curso pone un stand?
¿Y si pone 2?
2. Si se desea hacer turnos de media hora por apoderado, ¿Cuál es el número mínimo
de apoderados del 1º medio A que se necesitan?, ¿y si los turnos son de una hora?
3. Se estima que por cada botella de 2,5 litros se obtienen 8 vasos medianos de bebidas
y 12 vasos chicos.
a) ¿Cuál es el costo de cada vaso mediano en una jaba?
b) ¿Cuál es el costo de cada vaso chico en una jaba?

20
c) Si se quiere vender cada vaso mediano de bebida a $500 y los vasos chicos a $350,
¿cuánto se obtiene de ganancia con una jaba si sólo se venden vasos medianos? ¿y
si sólo se venden vasos chicos?
d) ¿Cuál es la utilidad en cada caso anterior si se deduce lo que se pagó por una jaba?
4. Se encargaron 120 completos y 80 sandwiches.
a) ¿A cuánto se deben vender los completos para obtener $12000 de ganancia por
la venta de éstos?
b) ¿Y a cuánto se deben vender los sandwiches para obtener $8000 de ganancia,
por esta venta?
5. ¿Alguna vez han organizado una kermesse en tu liceo? Pregunta a tus compañeros
si les ha gustado y porqué.

21
Proyecto 3
“Construcción de una maqueta del Liceo”
Se relaciona muy cercanamente con la operatoria básica, especialmente con la división.
Profundiza los aprendizajes referidos a figuras y campos geométricos y a través del
uso de escalas, se perfecciona tanto la división como la multiplicación.
Tienen especial presencia en el proyecto de construcción de la maqueta: el cuociente,
el resto, la división y producto, los múltiplos y los divisores. Un adecuado trabajo con
las guías de los Libros anteriores, asegura un mejor desarrollo de este proyecto.
En lo esencial, se relaciona con la Unidad #6 – Factores y Productos- y la Unidad #7
– Congruencia de Figuras Planas- del currículo de primer año medio.
Proyecto 3 : “CONSTRUCCION DE UNA MAQUETA DEL LICEO”
DESCRIPCION DEL PROYECTO:
El desarrollo de este proyecto consistirá en la construcción de una maqueta del liceo.
Permite la organización de un trabajo interdisciplinario con educación tecnológica,
ciencias sociales si, por ejemplo, se incorporan a la maqueta retazos de la historia del
liceo- artes visuales, entre otras.
OBJETIVOS ESPECIFICOS DEL PROYECTO:
El alumno adquirirá conocimientos y desarrollará habilidades para:
1. Realizar diferentes tipos de mediciones.
2. Convertir medidas a escala.
3. Construir cuerpos y figuras geométricas.
4. Buscar , seleccionar y analizar materiales.
OBJETIVOS TRANSVERSALES DEL PROYECTO:
El alumno adquirirá habilidades para:
1. Organizarse en grupos de trabajo y repartir las tareas al interior del grupo.
2. Recopilar y ordenar información
3. Presentar resultados tanto por escrito como oralmente.
4. Organizar una exposición

22
PROPUESTA PARA LA REALIZACION DEL PROYECTO:
Los pasos sugeridos podrán ser ajustados por cada liceo según sus propias necesidades
y posibilidades de ejecución.
1.- El curso se organizará en grupos a fin de construir la maqueta. A cada grupo se
le asignará una tarea específica en la elaboración de la maqueta.
2.- Luego, discutirá acerca de los distintos instrumentos que podrá utilizar para realizar
mediciones en terreno, los materiales necesarios para construir la maqueta y la escala
que usará.
3.- Cada grupo preparará sus instrumentos y realizará sus mediciones.
4.- Cada grupo preparará sus materiales y construirá su parte de la maqueta según
la escala fijada.
5.- Cada grupo expondrá su trabajo al resto del curso e incorporará las sugerencias
de modificación que de allí surjan.
6.- El curso elaborará un informe con una descripción del trabajo realizado, así como
de los aprendizajes logrados.
7.- Finalmente, el curso organizará una exposición con el resultado de su trabajo final
convocando a quienes estime conveniente.
PROPUESTAS PARA LA EVALUACION DEL PROYECTO:
Competencia
Habilidad para
discriminar los
distintos tipos de
cuerpos y figuras
presentes en el
entorno,
identificarlos,
ubicarlos en el
plano o el espacio,
analizarlos y
elaborar versiones
de ellos en distinto
soporte a escala o
no.
Desempeño
Mínimo
El estudiante
reconoce
elementalmente
cuerpos y figuras,
sin hacer
distinciones o
especificaciones
sobre ellos.
Desempeño
Intermedio
El estudiante
identifica las figuras
del plano y del
espacio y algunas
de sus
características, sin
lograr calcular el
lugar que ocupa en
el plano o en el
espacio.
Desempeño
Aceptable
El estudiante
identifica las figuras
del plano y del
espacio y sus
características.
Sabe cómo calcular
mecánicamente a
partir de los datos
obtenidos en el
curso de su
proyecto, pero no
puede proyectarlos.
Construye modelos
de la realidad con
apoyo externo.
Desempeño
Óptimo
El estudiante es
capaz de
interpretar,
proyectar,
readecuar la
realidad y socializar
los resultados de
sus problemas a
partir de los datos
obtenidos en la
investigación.

23
Sugerencias para quiénes trabajen con este proyecto….
Para la construcción del plano dimensionado se incluyen las siguientes
sugerencias:
· Tomar las medidas: Largo y ancho de cada pieza
· Fijar una escala: 1 metro real será equivalente a 1 centímetro
· Dibujar el plano dimensionado
10
6
5 7
8
6
B C
D
12
A
Un dato importante: en cada maqueta que se construya hay que considerar dos etapas
· Construir los cuerpos geométricos necesarios confeccionando redes
· Elegir los colores y dibujar los detalles.
Para la construcción de un cuerpo, las sugerencias son las que siguen:
Paralelepípedo de 6 x 8 x 10
10
6
8

24
8 10 8
6 6
8
6
8
Red:

Refuerzo 10

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