Representacion curvas

Representación de curvas
2º Bachillerato

Información obtenida a partir de f(x)

• Dominio de f(x)
• Encontrado el dominio de f(x) se tienen que excluir de la representación
gráfica todos los puntos cuyas abcisas no pertenecen al dominio.

• Recorrido de f(x)

• Puntos de corte con los ejes
• Eje OX: se resuelve la ecuación f(x) = 0
• Eje OY: si 0 es del dominio es el punto (0, f(0))

• Signo de f(x)
• Se resuelven las inecuaciones f(x) > 0 y f(x) < 0

• Periodicidad

• Simetrías de f(x)

• Puntos de discontinuidad de f(x)

• Asíntotas de f(x)
Verticales Horizontales Oblicuas

Dominio de una función

El dominio de una función f es el conjunto de valores de la variable x para los que está
definido el valor f(x).

Normas útiles para obtener los dominios de algunas funciones:
• El cociente de dos expresiones no está definido para aquellos valores de x en los que se
anula el denominador.
• Las raíces cuadradas sólo están definidas para aquellos valores de x que hacen nulo o
positivo el radicando.
• El logaritmo sólo está definido para valores de x positivos.

x
El dominio de y = ln
| x – 1| El dominio de y = x + 1 es [–1, ∞)
es (0, 1) ∪ (1, ∞)

Dominio de una función: Cálculo

Veamos como se calcula el dominio de funciones.
•Para que un cociente de dos funciones sea real, el denominador ha de ser no
nulo.
•Si una función es irracional, con índice par, el radicando ha de ser positivo o
cero
•Si es una función logarítmica, el argumento debe ser positivo.
•Si es una función exponencial. El dominio son todos os números reales
•Si la función es una operación de funciones, el domino es la intersección de
los dominios.

Recorrido de una función

El recorrido de una función f con dominio D es el conjunto {f(x): x ∈ D} de todos los valores
que esta función toma.
2
El recorrido de y = e– x es (0, 1]

x
El recorrido de y = ln | x – 1|
El recorrido de y = x + 1 es [0, ∞)
es (–∞, ∞)

Signo de una función

Estudiar el signo de una función consiste en determinar en qué intervalos la función toma
valores positivos o negativos, es decir, cuándo la gráfica está por encima o por debajo del
eje x.

Ejemplo: Vamos a estudiar el signo de la función f(x) = x/(x2 + 1).

– +
x
0
+ +
x2 + 1
– 0
+
x/(x + 1)
2

0

No existe
función

No existe
función

Periodicidad

• Una función f es periódica si existe un número real p > 0 tal que para todo x en el dominio
de f se tiene que x + p pertenece también al dominio de f y f(x + p) = f(x)
• Si esta igualdad se cumple para un cierto valor p también se cumple para p1 = 2p, p2 = 3p,
etc.
• Se llama período de f al menor valor de p que cumple la condición de periodicidad f(x) =
f(x + p)

f(x + p) = f(x) • •

x p x+p
período

Simetría respecto al eje Y (x = 0): función par

Cuando una función presenta simetría respecto al eje Y, es decir cuando f(– x) = f(x)
para todo x ∈ D (D: dominio de la función) se dice que la función es par.

f(– x) = f(x)
P(–x, f(–x))
• •P(x, f(x))

–x x

x=0

Simetría respecto al punto (0, 0): función impar

• Si una función es impar: f(– x) = – f(x) ∀x ∈ D (D: dominio de la función).
• Una función es impar cuando su gráfica presenta simetría respecto al origen de
coordenadas: esto significa que su gráfica para valores x < 0 se obtiene mediante dos
simetrías sucesivas respecto al eje de ordenadas y respecto al eje de abscisas.

•P(x, f(x))
f(x)

–x
x

f(– x) = – f(x)

P(–x, f(–x))
•

Puntos de discontinuidad

Una función es discontinua en un punto x = a cuando se cumple alguna de las condiciones
siguientes:
• lim f ( x ) ≠ f(a)
x → a

• lim + ( x ) ≠ lim − ( x )
f
x → a
f
x → a

• La gráfica de f « se va hacia infinito » cuando la variable se acerca al valor a.

Las funciones definidas por medio de varios
criterios pueden presentar discontinuidades en
los puntos en los que hay cambio de criterio.

Además los puntos de discontinuidad de cada
criterio son también posibles puntos de
discontinuidad de la función.


 x si x ≤ –1
f(x) = 1 – x si –1 < x < 2
2


 – 3 si x ≥ 2
puede ser discontinua en los puntos –1 y 2

Asíntotas verticales

La función presenta una asíntota vertical cuando el límite de la función en un
punto es ±∞

La recta vertical, cuya ecuación es x=a, es una asíntota de la función f(x)
cuando se verifica alguna de las siguientes condiciones:
• Lim+f(x) = ∞ (asíntota hacia arriba por la derecha).
x→a+

• lim − (x) =
f ∞ (asíntota hacia arriba por la izquierda).
x→a

• lim + (x) = – ∞
f (asíntota hacia abajo por la derecha).
x→a

• lim − (x) = – ∞
f (asíntota hacia abajo por la izquierda
x→a

Asíntotas horizontales

Una función presenta una asíntota horizontal cuando: lim f ( x)= b
x→ ∞
y en este
caso la recta y = b es la asíntota

Para saber si la curva está por encima o debajo de la asíntotas, se calculan
los límites laterales y se observa si los valores son mayores o menores que b:

lim f ( x) lim f ( x)
x→ ∞ + x→ ∞ −

Asíntotas oblicuas

f(x) – (mx + n)
y = mx + n

α m = tg a
f(x)
mx + n

x
• La pendiente de la asíntota oblicua y las
pendientes de las tangentes a la curva tienden
a coincidir para x → +∞.

f (x)
m = lim f‘(x) = lim
x→+∞ x→ + ∞ x
•[f(x) – (mx + n)] → 0 para x→ +∞

n = lim [f (x) – mx]
x→+∞
• Se observa lo mismo para x→–∞

Información obtenida a partir de f'

• Dominio de f'
• De esta manera se obtienen los puntos en los que f no es derivable.
• Si las derivadas laterales en un punto existen pero son distintas la
gráfica tiene un ángulo.

• Intervalos de crecimiento y decrecimiento.
• Se obtiene a partir del estudio del signo de f' en el dominio de la
función.

• Máximos y mínimos relativos.
• En los puntos del dominio en los que f' cambia de signo tenemos
máximos o mínimos relativos.

Derivada en un punto máximo o mínimo (Interpretación
geométrica)

Sea f(x) una función definida en el intervalo (a, b). Si la función alcanza un máximo o
mínimo en un punto c ∈ (a, b) y es derivable en él, entonces f '(c) = 0

f '(c) = 0 f '(c) = 0

f '(c) = 0

Si A es máximo, la tangente Si A es mínimo, la tangente
Si la función es constante en x = c es horizontal. Su en x = c es horizontal. Su
entonces f '(c) = 0 pendiente es 0 pendiente es 0

Extremos relativos de funciones derivables

•Los puntos críticos son posibles extremos relativos
•La derivada proporciona un criterio para decidir qué puntos
críticos son máximos o mínimos relativos

1. Si una función continua es creciente a la izquierda
del punto y decreciente a la derecha, tiene un
máximo relativo en x = p.
2. Si una función continua es decreciente a la
izquierda del punto y creciente a la derecha, tiene
un mínimo relativo en x = p.

Condición necesaria de extremo

Teorema: Si f es una función que tiene un extremo relativo en x = p y es
derivable en ese punto, se tiene que f ’ (p)=0
D./ Supongamos que en p hay un máximo. Si h>0 (a la derecha de p) f(p+h)<f(p)

f ( p + h) − f ( p ) f ( p + h) − f ( p )
≤ 0 ⇒ f ' ( p ) = Lim ≤0
+
⇒ f(p+h)-f(p)≤0 ⇒
h h →0
h
f ( p + h) − f ( p )
Si h<0 (a la izquierda de p) ⇒ f(p+h)<f(p) ⇒ f(p+h)-f(p)≤0 ⇒ ≥0
h
f ( p + h) − f ( p )
⇒ f ' ( p ) = Lim ≥0 .
−

h →0
h

Como la función es derivable las dos derivadas laterales han de ser iguales luego
f ‘ (p+) = f ‘ (p-) = 0

Si en lugar de máximo es un mínimo se hace exactamente igual.

Máximos y mínimos relativos. Definición

Una función f(x) tiene un máximo (mínimo) relativo en x = a si existe un
intervalo abierto (a – h, a + h), h > 0 , en el que f(x)<f(a) (f(x)>f(a)) para todo x
perteneciente al intervalo.
• La función y = x2 – 6x + 8 tiene un mínimo relativo en
el punto m(3, -1). No tiene máximos relativos.

• La función y = x2 – 6x + 8 tiene un mínimo absoluto en
su dominio, R, en el punto m(3, -1). No tiene máximo
absoluto en su dominio.

• La función y = x2 – 6x + 8 tiene un mínimo absoluto en
1 5 el intervalo [1, 2], en el punto (2, 0). En ese mismo
• m(3, -1) intervalo tiene un máximo absoluto en el punto (1, 3).

• La función y = x2 – 6x + 8 no tiene máximos ni
mínimos en el intervalo (4, 5).

Discriminación de máximos y mínimos relativos

• Si una función tiene en a un máximo o mínimo relativo y en dicho punto es derivable
entonces f '(a) = 0.

• Si en un punto es f '(a) = 0. ¿Cómo se discrimina si es máximo o mínimo?

máximo
relativo de
coordenadas
f ' (b) = 0
(b, f(b))

f' <0 a f'<0

f'>0 b

mínimo relativo de
f ' (a) = 0
coordenadas
(a, f(a))

Valores máximo y mínimo de una función

El valor máximo (mínimo) de una función es el mayor (menor) valor que
toma la función en todo su dominio.
Si en lugar de serlo en todo su dominio lo es en un intervalo los puntos se
llaman máximo (mínimo) relativos. El teorema de Weierstras nos asegura su
existencia para funciones continuas.

Para encontrar los valores máximo o mínimo de una función en un
intervalo
2. Se buscan los puntos críticos de f, que son las soluciones de f ‘(x) = 0
3. Se buscan los puntos singulares, (valores en los que la función no es
derivable)
4. Los extremos del intervalo

Signo de f '(x): monotonía

Sea f(x) una función derivable en (a,b), entonces:
1. si f '(x) es positiva en (a,b), f(x) es creciente.

2. si f '(x) es negativa en (a,b), f(x) es decreciente.

3. si f '(x) es nula en (a,b), f(x) es constante.

f '(x) = tg a > 0 ⇒ función creciente f '(x) = tg a < 0 ⇒ función decreciente

Cálculo de los intervalos de monotonía

Para obtener los intervalos de monotonía bastará calcular el signo de la derivada en
el dominio de la función.

2x
Intervalos de monotonía de y =
1 + x2
2(1 – x)(1 + x) 2(1 – x)(1 + x)
y'= ; = 0 ⇒ x = ±1
(1 + x2)2 (1 + x2)2

Siempre positivo

y'<0 –1 1
decreciente

y'<0
decreciente
y'>0
creciente

Información obtenida a partir de f"

• La derivada f " puede usarse para encontrar los máximos y mínimos
relativos.

• Intervalos de concavidad y convexidad.
• Se obtiene a partir del estudio del signo de f" en el dominio de la
función.

• Puntos de inflexión.
• Se obtienen a partir de los puntos del dominio en los que f" cambia de
signo.

Segunda derivada y extremos relativos

• Si una función tiene en a un máximo o mínimo relativo y en dicho punto es derivable
entonces f '(a) = 0.
• Si en un punto es f '(a) = 0. ¿Cómo se discrimina si es máximo o mínimo?
Si una función satisface la ecuación f ‘(x) = 0 y su derivada segunda es
continua en el intervalo de estudio
1.- Si f ‘’(p) >0 la función tiene un mínimo relativo en p
2.- Si f ‘’(x) <0 la función tiene un máximo relativo en p.

f " (b)< 0
f ' (b) = 0 máxim
o

f">0 a f"<0
b
mínimo
f ' (a) = 0
f " (a)> 0

Signo de f ''(x): curvatura

Teorema primero de curvatura
creciente 
 
Si la derivada primera de una función f(x) es constante  en un intervalo [a, b],
decreciente 
 
cóncava
 
entonces la función f(x) es lineal , respectivamente.
convexa
 

Teorema segundo de curvatura
 mayor que 
 
Si la derivada segunda de una función f(x) es igual a  0 en el intervalo [a, b],
 menor que
 

cóncava 
 
entonces f(x) es lineal  , respectivamente.

convexa 
 

Curvatura y puntos de inflexión

Se estudia la posición relativa de una función variable y su recta
tangente en un punto.
•Si la recta tangente está por debajo de la gráfica de f cerca del punto
de tangencia, la función es cóncava hacia arriba en el punto o
simplemente cóncava.
•Si la recta tangente está por encima de la gráfica de f cerca del
punto de tangencia, la función es cóncava hacia abajo en el punto
o simplemente convexa.
•Si la recta tangente atraviesa la gráfica de f en el punto de
tangencia, la función tiene un punto de inflexión en p.

Derivadas y curvatura: concavidad

Y Y

α1
α2
α2
α1

[ ] X [ ] X
a x1 x2 b a x1 x2 b

tg a1 < tg a2 ⇒ f '(x1) < f '(x2)

Las pendientes de las tangentes aumentan ⇒ f ' es creciente ⇒ f " > 0 ⇒ función
cóncava

Derivadas y curvatura: convexa

Y Y

a2 a1

a1 a2

[ ] X [ ] X
a x1 x2 b a x1 x2 b

tg a1 > tg a2 ⇒ f '(x1) > f '(x2)

Las pendientes de las tangentes disminuyen ⇒ f ' es decreciente ⇒ f " < 0 ⇒ función
convexa

Puntos de inflexión

En un punto de inflexión la gráfica pasa de ser cóncava hacia arriba a cóncava
hacia abajo o viceversa.
Por tanto si f es derivables dos veces en el punto, y p es un punto de inflexión se
cumplirá que: f ‘’ (a) = 0
El recíproco no siempre es cierto, puesto que si f ‘’ (a)= 0 los puntos que verifican
esa ecuación son posibles puntos de inflexión.
Y
f" < 0

P(a, f(a))

f" > 0

X

f"(a) = 0

Para calcular los intervalos de curvatura

Para obtener los intervalos de curvatura bastará calcular el signo de la derivada
segunda en el dominio de la función.

2x
Intervalos de curvatura de y =
1 + x2
2
4x (– 3 + x ) 4x (– 3 + x2) 0
x=
y" = 2 3 ;
( +)
1x

2 3 =0⇒ 3
x=
( +)
1x
– 3
x=

Siempre positivo
y"<0 y">0
cóncava convexa 0
– 3 3

y"<0 y">0
cóncava convexa

Representación gráfica: Esquema

1. Estudiar el dominio y continuidad

2. Comprobar simetrías y periodicidad

Eje X: f ( x) = 0.
3. Puntos de cortes con los ejes
Eje Y:
f (0).
Verticales: Puntos que no están en el dominio.
4. Calcular posibles asíntotas Horizontales u oblicuas: Hallando límites en el
infinito.

Posibles extremos: f ′( x) = 0.
5. Monotonía. Estudiar derivada Crecimiento: ′
primera f ( x) > 0.
Decrecimiento:
f ′( x) < 0.
Posibles puntos de inflexión: f ′′( x) = 0.
6. Curvatura. Estudiar derivada Cóncava: f ′′( x) > 0.
segunda Convexa:
f ′′( x) < 0.

Representación gráfica:Funciones polinómicas I

El dominio es R, es continua y no
Vamos a dibujar la gráfica de la función f ( x) = x − 4 x
3
tiene asíntotas.

1. Puntos de cortes

Eje Y: f (0) = 03 − 4 ⋅ 0 = 0 (0, 0)

{
(− 2,0)
Eje X: x3 − 4 x = 0; x =0, ± 2 (0,0)
(2,0)
2. Simetrías

f (− x) = (− x)3 − 4(− x) = − ( x3 − 4 x) = − f ( x)
IMPAR
lim x 3 − 4 x = +∞
3. Límites en el x →∞
infinito lim x 3 − 4 x = −∞
x →−∞

Representación gráfica: Funciones polinómicas II

Vamos a dibujar la gráfica de la función f ( x) = x3 − 4 x 4. Monotonía

f ′( x ) = 3 x 2 − 4
2 2 3
3x − 4 = 0
2
x= ± = ±
3 3
si 2 3
x<− ⇒ f ′( x ) > 0
3
si 2 3 2 3
− < x< ⇒ f ′( x ) < 0
3 3

si 2 3
x> ⇒ f ′( x ) > 0
3

2 3 2 3
− Máximo, Mínimo
3 3

Representación gráfica: Funciones polinómicas III

Vamos a dibujar la gráfica de la función ) = x 3 − 4 x
f (x 5. Curvatura

f ′′( x) = 6 x

6x = 0 x= 0

si x < 0 ⇒ f ′′( x) < 0

si x > 0 ⇒ f ′′( x) > 0

x = 0 punto de inflexión

Representación gráfica: Funciones racionales I

x−4
Vamos a dibujar la gráfica de la función f ( x) =
4(1 − x)
1. Dominio y
continuidad

4(1 − x) = 0; x =1 R − {1}
2. Puntos de cortes

0− 4
Eje Y: f (0) = = −1 (0, − 1)
4(1 − 0)
Eje X: x − 4 = 0; x =4 (4, 0)

3. Simetrías f (− x) ≠ ± f ( x)

NO TIENE

Representación gráfica: Funciones racionales II

x−4
4(1 − x) 4. Asíntotas

x−4
Vertical:lim
x →1 4(1 − x )
=∞ x =1

}
x−4 −1
Horizontal:lim =
x → +∞ 4(1 − x ) 4 −1
y=
x−4 −1 4
lim =
x → −∞ 4(1 − x ) 4

5. Monotonía
−3
f ′( x) =
4( x − 1) 2

f ′( x) < 0 para todo x ∈ R- {1}
−

No tiene extremos

Representación gráfica: Funciones polinómicas

x−4
4(1 − x) 5. Curvatura
3
f ′′( x) =
2( x − 1)3

si x < 1 ⇒ f ′′( x) < 0

si x > 1 ⇒ f ′′( x) > 0

No punto de inflexión

Proceso para resolver problemas de optimización

•Dar un nombre a cada un de las cantidades o magnitudes
desconocidas.
•Expresar la función a optimiza en función de las variables elegidas.
•Encontrar las condiciones que satisfacen las variables y utilizarlas
para expresar la función a optimizar con una sola variable.
•Identificar el dominio de la función
•Para hallar el punto óptimo (máximo o mínimo) utilizamos el
procedimiento de la derivada aunque esta sólo indica cuales son los
extremos relativos. Para hallar los absolutos, hay que tener en
cuenta los extremos del intervalo y los puntos singulares.
•Expresar el resultado contestando claramente a la pregunta
planteada.

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