S11. 1 PPT_Sesión 11 - Continuidad.pptx CALSE
- 1. Programa de Ingeniería Industrial Sesión 11 Matemática para la Ingeniería Tema: Continuidad de Funciones: Concepto y propiedades. Aplicaciones Prácticas de los Límites en la Ingeniería Industria
- 2. Resultado de aprendizaje Aplica funciones, límites, continuidad y derivadas para formular y resolver problemas específicos en el campo de la ingeniería industrial. Evidencia de aprendizaje Informe colaborativo de ejercicios resueltos y discutidos en clase sobre continuidad.
- 3. Contenido Continuidad de Funciones • Continuidad de Funciones: Concepto y propiedades. • Aplicaciones Prácticas de los Límites en la Ingeniería Industria
- 5. Después de haber visualizado el video en la slide anterior, reflexionamos y respondemos las siguientes interrogantes: 01 ¿Cuál es el tema principal del video? 02 ¿Qué valores deben ser iguales para que la función sea continua en = 2? 𝑥 − 03 ¿Cuántas condiciones debe cumplir una función para ser continua en un punto = ? 𝑥 𝑧
- 6. Tema Continuidad de Funciones: Concepto y propiedades. Aplicaciones Prácticas de los Límites en la Ingeniería Industria
- 7. Continuidad de una función. Tipos de discontinuidad. Aplicaciones Reflexión : ¿Cuál trazo es continuo y cuál no?
- 8. SABERES PREVIOS: ¿Cuál es la definición del límite de una función ) (x f cuando tiende a ? x a 5 25 ) ( 2 x x x f Dada la función definida por ¿Para qué valor de la función no está definida? x ¿Existe ? . Si es así, ¿cuál es el valor de este límite?
- 9. Al finalizar la sesión el estudiante reconoce las condiciones para que una función sea continua en un punto y los tipos de discontinuidad que existen, además , resuelve problemas aplicativos usando correctamente las propiedades. LOGRO DE SESIÓN
- 10. Motivación ¿El crecimiento de una planta con respecto al tiempo, es continua? ¿El consumo de energía con respecto al tiempo, es continua? Respuesta por chat Respuesta por chat
- 11. Motivación Un mayorista vende azúcar a 4 soles el kilogramo, en cantidades no mayores a 100 kilogramos. Si se trata de cantidades entre 100 pero no mayores a 200 kilogramos, la tarifa es de 3 soles el kilogramo y para órdenes por encima de los 200 kilogramos, el precio es de 2 soles el kilogramo. a) Encuentra la función que representa el costo del azúcar. b) Grafica la función y analiza su continuidad.
- 12. 1. Continuidad de una Función Real Si al menos una de las condiciones no cumple, decimos que f no es continua en . lim 𝑥 → 𝑎 𝑓 (𝑥) existe 2 3 lim 𝑥 →𝑎 𝑓 (𝑥)= 𝑓 (𝑎) f (a) existe 1 FUNCIÓN CONTINUA Una función f es continua en el punto , si y sólo si, se cumplen las tres condiciones siguientes: Si se analiza el gráfico de una función, se tiene que ésta es continua cuando se puede trazar su gráfica sin levantar el lápiz del papel.
- 13. 1. Continuidad de una Función Real EJEMPLO 1: 𝑓 (𝑥 )= {𝑥 2 +7 , 𝑥<2 5 𝑥 +1 , 𝑥 ≥2 Sea la función cuya regla de correspondencia está dada por: ¿Es continua la función en ? Se tiene que verificar las tres condiciones. 1. Calcularemos , 2. Verificamos si existe . Para calcular el límite, se tiene que hallar los límites laterales para ello reemplazamos en la función: . Dado que los límites laterales son iguales, entonces existe Por lo tanto, existe. Solución: 3. Se cumple que . Por lo tanto, la función (x) es continua en
- 14. 1. Continuidad de una Función Real EJEMPLO 2: Se tiene que verificar las tres condiciones. 1. Calcularemos , 2. Verificamos si existe . para ello reemplazamos en la función: Por lo tanto, existe . Solución: 3. Se cumple que: Por lo tanto, la función (x) es continua en Determinar si la función es continua en el punto . 𝑓 (9 2 )= √2(9 2 )−5 9 2 −3 = 2 3 2 = 4 3 lim 𝑥 → 9 2 √2𝑥− 5 𝑥− 3 ¿ √2(9 2 )− 5 9 2 −3 ¿ 2 3 2 = 4 3 lim 𝑥 → 9 2 √2 𝑥 − 5 𝑥 − 3 = 𝑓 ( 9 2 )
- 15. 1. Continuidad de una Función Real EJEMPLO 3: Se tiene que verificar las tres condiciones. 1. Calcularemos , 2. Verificamos si existe . para ello reemplazamos en la función: Por lo tanto, existe . Solución: 3. Se cumple que: Por lo tanto, la función (x) es continua en Determinar si la función es continua en el punto . 2 , 6 2 , 2 3 ) ( x x x x x f 4 2 ) 2 ( 3 ) 2 ( f Para calcular el límite, se tiene que hallar los límites laterales lim 𝑥 →2 − (¿ 3𝑥 −2)=4¿ lim 𝑥 → 2 +¿ (¿− 𝑥+6)=4 ¿¿ ¿ ) ( lim 2 x f x ¿ 4 4 ) 2 ( ) ( lim 2 f x f x
- 16. 1. Continuidad de una Función Real EJEMPLO 4: El cargo mensual en dólares por x kilowatt / hora (Kwh) de electricidad usada por un consumidor residencial en Enel, está dado por la siguiente función: 𝑓 (𝑥 )= { 2 .55+0.5296 𝑥 , 0 ≤ 𝑥 ≤ 700 373.27+0.7894 ( 𝑥 −700 ), 700<𝑥 ≤1400 925,85+0.9874 ( 𝑥 − 1400) , 𝑥 >1400 Si analizamos la función cargo mensual podríamos decir que ¿f es continua en todo su dominio?
- 17. 1. Continuidad de una Función Real Solución: I) Analizaremos la continuidad en a) b) Verificamos la existencia de Calcularemos los límites laterales: 𝑙𝑖𝑚 𝑥 → 700+ ¿ (373.27 +0.7894 ( 𝑥− 700) )=373.27+0.7894 ( 700− 700)=¿ 373.27 ¿¿ 𝑙𝑖𝑚 𝑥 →700 − (2.55+0.5296 𝑥)=2.55+0.5296(700)=¿373.27 ¿ Dado que los límites laterales son iguales, afirmamos que existe. c) Dado que se cumplen las tres condiciones, concluimos que la función es continua en
- 18. 1. Continuidad de una Función Real II) Analizaremos la continuidad en b) Verificamos la existencia de Calcularemos los límites laterales: Dado que los límites laterales son iguales, afirmamos que existe. c) Dado que se cumplen las tres condiciones, concluimos que la función es continua en a) 𝑙𝑖𝑚 𝑥 → 1400+ ¿ (925,85+ 0.9874 (𝑥 − 1400))= 925,85+0.9874 (1400 −1400)=¿ 925.85 ¿¿ 𝑙𝑖𝑚 𝑥 → 1400 − (373.27+0.7894(𝑥−700))=373.27+0.7894(1400−700)=¿925.85¿ De I) y II) concluimos que la función es continua en todo su dominio.
- 19. 2. Tipos de Discontinuidad Tipos de Discontinuidad Discontinuida d no evitable De primera clase De segunda clase Discontinuida d evitable o removible El límite no existe El límite existe. Límites laterales diferentes Límite infinito
- 20. 2. Tipos de Discontinuidad 2.1 Discontinuidad Removible o Evitable a) Existe y . Pero: b) Existe pero no existe Una función tiene una discontinuidad removible o evitable en , si : Si la función presenta una discontinuidad removible, ésta función se puede redefinir o definir como el valor de con esto se tendría que la nueva función resultaría continua en . 𝑓 ∗ ( 𝑥 )= { 𝑓 ( 𝑥 ), 𝑠𝑖𝑥 ≠ 𝑎 𝑙𝑖𝑚 𝑥→ 𝑎 𝑓 ( 𝑥) , 𝑠𝑖𝑥=𝑎 En este caso diremos que es una extensión continua de
- 21. 2. Tipos de Discontinuidad EJEMPLO 5: 𝑓 (𝑥 )= {𝑥 2 − 16 , 𝑥<5 𝑥+4 , 𝑥 >5 Sea la función cuya regla de correspondencia es: ¿Es continua la función en ? Solución: Se tiene que verificar las tres condiciones. 1. La función no esta definida en 2. Verificamos si existe . Por lo tanto, NO existe . 3. Se cumple que: Para calcular el límite, se tiene que hallar los límites laterales 𝑙𝑖𝑚 𝑥 → 5 − 𝑓 ( 𝑥)=52 −16=9 𝑙𝑖𝑚 𝑥 → 5 +¿ 𝑓 ( 𝑥)=5 +4 =9 ¿ 𝑙𝑖𝑚 𝑥 →5 𝑓 ( 𝑥)=9 𝑓 (5) ≠𝑙𝑖𝑚 𝑥 → 5 𝑓 ( 𝑥) Luego, la función presenta una discontinuidad en El tipo de discontinuidad es removible.
- 22. 2. Tipos de Discontinuidad Dado que la función presenta una discontinuidad removible, se puede redefinir de forma continua a la función : 𝑓 ∗ ( 𝑥 )= {𝑥2 −16 , 𝑥 <5 𝑥 +4 , 𝑥>5 9 , 𝑥=5 es una función continua en
- 23. 2. Tipos de Discontinuidad EJEMPLO 6: Sea la función cuya regla de correspondencia es: ¿Es continua la función en ? Solución: Se tiene que verificar las tres condiciones. 2. Verificamos si existe . 3. Se cumple que: Para calcular el límite, se tiene que hallar los límites laterales 𝑙𝑖𝑚 𝑥→ 4 𝑓 ( 𝑥)=15 𝑓 (4) ≠𝑙𝑖𝑚 𝑥 →4 𝑓 ( 𝑥) Luego, la función presenta una discontinuidad removible en 𝑓 (𝑥 ) = { 𝑥 2 −1 , 𝑥 < 4 10 , 𝑥= 4 2,5 𝑥 +5 , 𝑥> 4 1. Calcularemos , para ello reemplazamos en la función: Según la regla de correspondencia 𝑙𝑖𝑚 𝑥 → 4 − (𝑥2 −1 )=42 −1=15 𝑙𝑖𝑚 𝑥 → 4 + ¿ (2.5 𝑥+5 )=(2.5)4 +5 =15¿
- 24. 2. Tipos de Discontinuidad Dado que la función presenta una discontinuidad removible, se puede redefinir de forma continua a la función : es una función continua en 𝑓 ∗ ( 𝑥 )= { 𝑥 2 − 1 , 𝑥 <4 15 , 𝑥=4 2,5 𝑥+5 , 𝑥 >4
- 25. 2. Tipos de Discontinuidad 2.2 Discontinuidad No Removible o Inevitable A) Discontinuidad no removible de primera clase Diremos que tiene una discontinuidad no removible de primera clase en si existen y , pero son diferentes. lim 𝑥 → 𝑎 − 𝑓 ( 𝑥 )≠ lim 𝑥→ 𝑎 +¿ 𝑓 ( 𝑥) ¿ ¿ B) Discontinuidad no removible de segunda clase Diremos que tiene una discontinuidad no removible de segunda clase en si se cumplen al menos uno de los siguientes límites: lim 𝑥 → 𝑎 +¿ 𝑓 ( 𝑥)=± ∞ ¿ ¿ 𝑙𝑖𝑚 𝑥 → 𝑎 − 𝑓 ( 𝑥)=± ∞
- 26. 2. Tipos de Discontinuidad EJEMPLO 7: Sea la función cuya regla de correspondencia es: ¿Es continua la función en ? Solución: Se tiene que verificar las tres condiciones. 2. Verificamos si existe . 3. Se cumple que: Para calcular el límite, se tiene que hallar los límites laterales Dado que los límites laterales son diferentes, se tiene que no existe 𝑓 (3) ≠ 𝑙𝑖𝑚 𝑥 → 3 𝑓 ( 𝑥) Por lo tanto, la función presenta una discontinuidad no removible en 1. Calcularemos , para ello reemplazamos en la función: Según la regla de correspondencia 𝑓 (𝑥 )= {𝑥2 +4 , 𝑥 <3 5 𝑥 +6 , 𝑥 ≥ 3 𝑙𝑖𝑚 𝑥 → 3 − (𝑥2 +4 )=32 + 4=13 𝑙𝑖𝑚 𝑥 → 3 + ¿ ( 5 𝑥+ 6 )=5 (3 )+ 6=21 ¿
- 27. 3. Resolución del Problema de la Motivación Un mayorista vende azúcar a 4 soles el kilogramo, en cantidades no mayores a 100 kilogramos. Si se trata de cantidades entre 100 pero no mayores a 200 kilogramos, la tarifa es de 3 soles el kilogramo y para órdenes por encima de los 200 kilogramos, el precio es de 2 soles el kilogramo. a) Encuentra la función que representa el costo del azúcar. b) Grafica la función y analiza su continuidad.
- 28. 3. Resolución del Problema de la Motivación Solución: a) Encuentra la función que representa el costo del azúcar. 𝐶 ( 𝑥)= { 4 𝑥 , 𝑠𝑖 0 ≤ 𝑥 ≤ 100 3 𝑥 , 𝑠𝑖 100< 𝑥 ≤ 200 2 𝑥 , 𝑠𝑖 𝑥 >200 C(x) = costo total por la compra de azúcar, en soles. x = cantidad de kilogramos de azúcar comprados. b) Grafica la función y analiza su continuidad. Analizaremos la continuidad en 1) 2) Calcularemos los límites laterales: 𝑙𝑖𝑚 𝑥 → 200 +¿ ( 2 𝑥)=2 ( 200)=¿ 400 ¿¿ 𝑙𝑖𝑚 𝑥 → 200 − (3 𝑥)=3 (200 )=600 Dado que los límites laterales son diferentes, afirmamos que existe. 3) Dado que no se cumplen los tres criterios, concluimos que la función C(x) presenta una discontinuidad inevitable de primer orden en .
- 30. Ejercicios de Aplicación para el Estudiante Sea la función tal que: 𝑔 ( 𝑥 )= { 𝑎 𝑥 +8 𝑠𝑖 𝑥 <− 2 𝑥 2 − 3 𝑥 𝑠𝑖 𝑥 ≥ −2 Determine el valor de para que la función resulte continua en todo su dominio. Ejercicio de Aplicación 1 Ejercicio de Aplicación 2 En la figura se muestra la gráfica de una función . Identifique, para qué valores la gráfica de la función es discontinua y clasifíquelo.
- 31. Autoevaluación ¡Vamos por más logros! ¡Felicitaciones! Ha concluido la autoevaluación
- 32. Conclusiones La continuidad de funciones es un concepto clave en matemáticas, que asegura que una función no tiene saltos o discontinuidades en su dominio, cumpliendo ciertas condiciones. Las funciones continuas son importantes porque pueden ser integradas y diferenciadas fácilmente, lo que es fundamental en cálculos matemáticos. En la ingeniería industrial, los límites y la continuidad son esenciales para modelar, analizar y optimizar sistemas, asegurando su funcionamiento eficiente y seguro bajo diversas condiciones. Comprender estos conceptos es crucial para resolver problemas prácticos en la ingeniería.
- 33. Referencias