4.- Continuidad y asíntotas.pdf
- 1. Límite lateral y continuidad de funciones Determinar la continuidad de una función en un punto de abscisa c, si existe, que permita verificar si la función está definida en dicho punto, haciendo uso de las propiedades de las funciones y el cálculo de límite. Larson R. Cálculo en una variable, 9° edición, Méjico: Pág. 70 a la 82 Objetivo: Tema:
- 2. Continuidad Definición: De la tercera condición de la definición se observa que para hablar de continuidad en un punto, la función tiene que estar definida en dicho punto ∴ 𝒍í𝒎 𝒙→𝒄 𝒇 𝒙 = 𝒇 𝒄 , es decir, 𝒄 ∈ 𝑫𝒇 De la segunda condición se observa lo siguiente: como el límite existe y es finito, se tiene que los límites laterales existen, son finitos e iguales al valor del límite, es decir, 𝒍í𝒎 𝒙→𝒄 𝒇 𝒙 = 𝑳 ↔ 𝒍í𝒎 𝒙→𝒄+ 𝒇 𝒙 = 𝒍í𝒎 𝒙→𝒄− 𝒇 𝒙 = 𝑳 → 𝐋 ∈ ℝ Si f no cumple alguna de las tres condiciones se dice que f es discontinua en el punto de 𝒙 = 𝒄. En la gráfica de una función que es discontinua en el número c se puede observar un "salto" o un "hueco" precisamente donde x = c. La discontinuidadpuede ser eliminable o esencial. Una función es continuaen 𝒙 = 𝒄, sí y solo sí, satisface las tres condiciones: 1.- 𝒇 𝒄 existe 2.- 𝒍í𝒎 𝒙→𝒄 𝒇 𝒙 𝒆𝒙𝒊𝒔𝒕𝒆 𝒚 𝒆𝒔 𝒇𝒊𝒏𝒊𝒕𝒐 3.- 𝒍í𝒎 𝒙→𝒄 𝒇 𝒙 = 𝒇 𝒄 𝒇 𝒄 no existe 𝒍í𝒎 𝒙→𝒄 𝒇 𝒙 𝒏𝒐 𝒆𝒙𝒊𝒔𝒕𝒆 𝒍í𝒎 𝒙→𝒄 𝒇 𝒙
- 3. Continuidadevitable Si algún límite lateral es infinitose dice que la discontinuidad es esencial. Si 𝐥í𝐦 𝒙→𝒄 𝒇 𝒙 existe y es finito y es diferente a 𝒇 𝒄 o 𝒇 𝒄 no existe, en estos casos se dice que la discontinuidad es evitable y se puede definir una nueva función continua a partir de f de la siguiente manera: 𝑭 𝒙 = ൝ 𝒇 𝒙 ………𝒔𝒊 𝒙 ≠ 𝒄 lím 𝒙→𝒄 𝒇 𝒙 … . 𝒔𝒊 𝒙 = 𝒄 Si 𝐥í𝐦 𝒙→𝒄 𝒇 𝒙 no existe “límites laterales diferentes” se dice que la discontinuidad es esencial o inevitable. Discontinuidad evitable Discontinuidad evitable Discontinuidad esencial Discontinuidad esencial
- 4. Ejercicios resueltos El dominio de f lo constituyen todos los números reales excepto el cero. A partir de la definición de continuidad se puede concluir que f es continua en todos los valores de x de su dominio. En 𝒙 = 𝟎, f tiene una discontinuidad inevitable, puesto que no existe límite y los límites laterales son infinitos y opuestos. En otras palabras, no hay modo de definir 𝒇 𝟎 para hacer que la nueva función sea continua en 𝒙 = 𝟎, puesto lím 𝒙→𝟎− 𝒇 𝒙 ≠ lím 𝒙→𝟎+ 𝒇 𝒙 1.- Analizar la continuidad de la función 𝒇 𝒙 = 𝟏 𝒙 a partir de su gráfica El dominio de 𝒈 lo constituyen todos los números reales excepto el 1. A partir de la definición de continuidad se puede concluir que 𝒈 es continua en todos los valores de x de su dominio. En 𝒙 = 𝟏, 𝒈 tiene una discontinuidad evitable, puesto que si existe el límite y es finito. En otras palabras, sí se puede definir una nueva función que esté definida para 𝒙 = 𝟏, puesto lím 𝒙→𝟏− 𝒈 𝒙 = lím 𝒙→𝟏+ 𝒈 𝒙 = 𝟐 2.- Analizar la continuidad de la función 𝒈 𝒙 = 𝒙𝟐−𝟏 𝒙−𝟏 a partir de su gráfica 𝑮 𝒙 = ቐ 𝒙𝟐 − 𝟏 𝒙 − 𝟏 … … … 𝒔𝒊 𝒙 ≠ 𝟏 𝟐 … … … . . … . 𝒔𝒊 𝒙 = 𝟏 Discontinuidad esencial o inevitable en 𝒙 = 𝟎. Discontinuidad evitable o removible en 𝒙 = 𝟏.
- 5. 4.- Analizar la continuidadde la función 𝐲 = 𝒔𝒆𝒏 𝒙 a partir de su gráfica El dominio de h lo constituyen todos los números reales. A partir de la definición de continuidad se puede concluir que h es continua en todos los valores de x de su dominio. En otras palabras, el lím 𝒙→𝒄 𝒉 𝒙 = 𝑳 𝒚 lím 𝒙→𝒄− 𝒉 𝒙 = lím 𝒙→𝒄+ 𝒉 𝒙 = 𝑳 y lím 𝒙→𝒄 𝒉 𝒙 = 𝒉 𝒄 es decir que es continuaen toda la recta real Esta ecuación corresponde a la función 𝒑 𝒙 = 𝒔𝒆𝒏 𝒙 dominio de 𝒑 lo constituyen todos los números reales. A partir de la definición de continuidad se puede concluir que h es continua en todos los valores de x de su dominio. En otras palabras, el lím 𝒙→𝒄 𝒑 𝒙 = 𝑳 𝒚 lím 𝒙→𝒄− 𝒑 𝒙 = lím 𝒙→𝒄+ 𝒑 𝒙 = 𝑳 y lím 𝒙→𝒄 𝒑 𝒙 = 𝒑 𝒄 es decir que es continua en toda la recta real 3.- Analizar la continuidada partir de la gráfica de la función: 𝒉 𝒙 = ቊ 𝒙 + 𝟏, 𝒙 ≤ 𝟎 𝒙𝟐 + 𝟏, 𝒙 > 𝟎
- 6. Continuidaden un intervalo cerrado La función f que se muestra en la figura, es continua por la derecha en a y continua por la izquierda en b Definición Una función 𝒇 es continua en un intervalo 𝒂, 𝒃 , si es continuaen el intervalo abierto 𝒂,𝒃 y 𝐥í𝐦 𝒙→𝒂+ 𝒇 𝒙 = 𝒇 𝒂 𝒚 𝐥í𝐦 𝒙→𝒃− 𝒇 𝒙 = 𝒇 𝒃 Se pueden establecer definiciones análogas para incluir la continuidad en intervalos con la forma ሺ𝒂, ሿ 𝒃 , ሾ𝒂, ሻ 𝒃 , ሾ𝒂, ሻ ∞ y ሺ−∞, ሿ 𝒃 , que no son abiertos ni cerrados o infinitos.Por ejemplo: La función: 𝒇 𝒙 = 𝒙 . Es continua en el intervalo infinito ሾ𝟎, ሻ ∞ . La función: 𝒈 𝒙 = 𝟐 − 𝒙. Es continua en el intervalo infinito ሺ−∞, ሿ 𝟐 𝒇 𝒙 = 𝒙 𝒈 𝒙 = 𝟐 − 𝒙
- 7. Ejercicio resuelto Se puede concluir que f es continua en el intervalo cerrado −𝟏, 𝟏 , como se ilustra en la figura. 5.- Analizar la continuidad de la función 𝒇 𝒙 = 𝟏 − 𝒙𝟐 El dominio de f es el intervalo cerrado −𝟏,𝟏 . En todos los puntos del intervalo abierto −𝟏, 𝟏 la continuidad de f obedece a las definiciones dadas al respecto, puesto que está definida en todos los puntos del intervalo abierto −𝟏, 𝟏 , además, 𝐥í𝐦 𝒙→𝟏− 𝟏 − 𝒙𝟐 = 𝟎 = 𝒇 𝟏 ∴ 𝒆𝒔 𝒄𝒐𝒏𝒕𝒊𝒏𝒖𝒂 𝒑𝒐𝒓 𝒍𝒂 𝒅𝒆𝒓𝒆𝒄𝒉𝒂 𝒆𝒏 𝒙 = 𝟏 𝐥í𝐦 𝒙→−𝟏+ 𝟏 − 𝒙𝟐 = 𝟎 = 𝒇 −𝟏 ∴ 𝒆𝒔 𝒄𝒐𝒏𝒕𝒊𝒏𝒖𝒂 𝒑𝒐𝒓 𝒍𝒂 𝒊𝒛𝒒𝒖𝒊𝒆𝒓𝒅𝒂 𝒆𝒏 𝒙 = −𝟏 𝒇 𝒙 es continua en el intervalo −𝟏,𝟏 .
- 8. 6.- Ley de Charles y cero absoluto. En la escala Kelvin, el cero absoluto es la temperatura 0°K. A pesar de que se han obtenido temperaturas muy cercanas a 0°K en laboratorio, nunca se ha alcanzado el cero absoluto. De hecho, existen evidencias que sugieren la imposibilidad de alcanzar el cero absoluto. Para determinar que el 0°K es el “límite inferior” de la temperatura de la materia, los científicos observaron que el volumen de un gas a presión constante crece de manera lineal con respecto a la temperatura como muestran los datos que aparecen en la tabla. El volumen V es aproximado y se mide en litros y la temperatura T se mide en grados Celsius. ¿Cuál es el cero absoluto en la escala Celsius? Señale el intervalo donde la función es continua. Finalmente, se puede decir que la función es continua en el intervalo ሾ ሻ −𝟐𝟕𝟑. 𝟏𝟓, +∞ Datos: Volumen = V Temperatura °C = T 𝑽 = 𝟐𝟐.𝟒𝟑𝟑𝟒 si T= 0 Constante = k 𝑽 𝑻 = 𝒌𝑻 + 𝟐𝟐.𝟒𝟑𝟑𝟒 T absoluta Kelvin= 𝑻 𝟎 24.0760= 𝟐𝟎𝑲+ 𝟐𝟐.𝟒𝟑𝟑𝟒 𝟐𝟎𝑲 = 24.0760 − 𝟐𝟐.𝟒𝟑𝟑𝟒 𝑲 = 𝟏.𝟔𝟒𝟐𝟔 𝟐𝟎 𝑲 = 𝟎.𝟎𝟖𝟐𝟐𝟏𝟑 Luego 𝑽 𝑻 = 𝟎.𝟎𝟖𝟐𝟐𝟏𝟑𝑻 + 𝟐𝟐.𝟒𝟑𝟑𝟒 𝑽 = 𝟎.𝟎𝟖𝟐𝟐𝟏𝟑𝑻 + 𝟐𝟐.𝟒𝟑𝟑𝟒 𝟎.𝟎𝟖𝟐𝟐𝟏𝟑𝑻 = 𝑽 − 𝟐𝟐.𝟒𝟑𝟑𝟒 𝑻 𝑽 = 𝑽 − 𝟐𝟐.𝟒𝟑𝟑𝟒 𝟎.𝟎𝟖𝟐𝟐𝟏𝟑 𝑻 𝟎 = 𝐥í𝐦 𝑽→𝟎 𝑽 − 𝟐𝟐.𝟒𝟑𝟑𝟒 𝟎.𝟎𝟖𝟐𝟐𝟏𝟑 = 𝟎 − 𝟐𝟐.𝟒𝟑𝟑𝟒 𝟎. 𝟎𝟖𝟐𝟐𝟏𝟑 𝑻 𝟎 = 𝐥í𝐦 𝑽→𝟎 𝑽 − 𝟐𝟐.𝟒𝟑𝟑𝟒 𝟎.𝟎𝟖𝟐𝟐𝟏𝟑 = −𝟐𝟕𝟑.𝟏𝟓
- 9. Propiedadesde la continuidad Considerando estas propiedades se puede concluir que una gran variedad de funciones elementales, son continuas en sus dominios Continuidadde la funcióncompuesta Si 𝒃 ∈ ℝ, 𝒇 y 𝒈 son funciones continuas en 𝒙 = 𝒄 , entonces las siguientes funciones también son continuas en c: Las funcionesde los siguientes tipos son continuasen sus dominios Si g es continua en c y f es continua en 𝒈 𝒄 , entonces la función compuesta dada por 𝑓 ° 𝑔 𝑥 = 𝒇 𝒈 𝒙 es continuaen c 1.- Múltiploescalar: 𝐛𝒇 2.- Suma y diferencia: 𝒇 ± 𝒈 3.- Producto:𝒇 ∗ 𝒈 4.- Cociente: 𝒇 𝒈 , si 𝒈 𝒄 ≠ 𝟎 1.- FuncionesPolinomiales: 𝒑 𝒙 = 𝒂𝒏𝒙𝒏 + 𝒂𝒏−𝟏𝒙𝒏−𝟏+. . . . +𝒂𝟏𝒙 + 𝒂𝟎 2.- Funcionesracionales: 𝒓 𝒙 = 𝒑 𝒙 𝒒 𝒙 , 𝒒 𝒙 ≠ 𝟎 3.- Funcionesradicales: 𝒇 𝒙 = 𝒏 𝒙 4.- Funcionestrigonométricas: 𝒔𝒆𝒏 𝒙, 𝒄𝒐𝒔 𝒙,𝒕𝒂𝒏 𝒙, 𝒄𝒐𝒕 𝒙,𝒔𝒆𝒄 𝒙, 𝒄𝒔𝒄 𝒙
- 10. Ejercicios resueltos Si 𝐛 = 𝟑, 𝒇 𝒙 = 𝒙𝟐 𝒚 𝒈 𝒙 = 𝒙 − 𝟏; analizarla continuidadde: 7.- 𝒃𝒇 𝒙 8.- 𝒈 − 𝒇 𝒙 9.- 𝒇 + 𝒈 𝒙 10.- 𝒇 ∗ 𝒈 𝒙 11.- 𝒇 𝒈 𝒙 𝒃𝒇 𝒙 = 𝟑𝒙𝟐 𝒈 − 𝒇 𝒙 = 𝒙 − 𝟏 − 𝒙𝟐 𝒈 − 𝒇 𝒙 = −𝒙𝟐 + 𝒙 − 𝟏 𝒇 + 𝒈 𝒙 = 𝒙𝟐 + 𝒙 − 𝟏 𝒇 ∗ 𝒈 𝒙 = 𝒙𝟐 𝒙 − 𝟏 𝒇 ∗ 𝒈 𝒙 = 𝒙𝟑 − 𝒙𝟐 𝒇 𝒈 𝒙 = 𝒙𝟐 𝒙 − 𝟏 𝒉 𝒙 = 𝒇 𝒈 𝒙 = 𝒙 − 𝟏 𝟐 𝒉 𝒙 = 𝒇 𝒈 𝒙 = 𝒙𝟐 − 𝟐𝒙 + 𝟏 12.- 𝒉 𝒙 = 𝒇 ° 𝒈 𝒙 Como 𝟑 ∈ ℝ y 𝒇 𝒙 es continua en la recta real; entonces𝒃𝒇 𝒙 = 𝟑𝒙𝟐, es continuaen la rectareal Como 𝒇 𝒙 y 𝒈 𝒙 son continua en la recta real; entonces 𝒇 + 𝒈 𝒙 = 𝒙𝟐 + 𝒙 − 𝟏, es continua en la rectareal Como 𝒇 𝒙 y 𝒈 𝒙 son continua en la recta real; entonces 𝒇 𝒈 𝒙 = 𝒙𝟐 𝒙−𝟏 , es continua en la recta real,excepto𝒈 𝒙 = 𝟎 Como 𝒇 𝒙 y 𝒈 𝒙 son continua en la recta real; entonces 𝒈− 𝒇 𝒙 = −𝒙𝟐 + 𝒙 − 𝟏, es continua en la rectareal Como 𝒇 𝒙 y 𝒈 𝒙 son continua en la recta real; entonces 𝒈− 𝒇 𝒙 = −𝒙𝟐 + 𝒙 − 𝟏, es continua en la rectareal. Como 𝒇 𝒙 y 𝒈 𝒙 son continua en la recta real; entonces 𝒇 ° 𝒈 𝒙 = −𝒙𝟐 − 𝟐𝒙 + 𝟏 , es continua en la rectareal.
- 11. 13.- Trace la gráfica de la función 𝒇 𝒙 = 𝒙𝟐+𝒙−𝟔 𝒙+𝟑 ; luego observando dónde hay saltos o huecos en la gráfica, determine los valores de la variable independiente en los cuales la función es discontinua y muestre cuál condición no se cumple de los "Criterios de continuidad de una función en número" Solución: 𝑫𝒇 = ℝ − −𝟑 x -4 0 2 𝒇 𝒙 -6 -2 0 Como 𝒇 −𝟑 no existe, entonces la condición 1 de los criterios de continuidad no se cumple en 𝒙 = −𝟑. 𝒇 𝒙 = 𝒙𝟐 + 𝒙 − 𝟔 𝒙 + 𝟑 Para facilitar el diseño del gráfico, se procede a simplificar la fracción 𝒇 𝒙 = 𝒙 + 𝟑 𝒙 − 𝟐 𝒙 + 𝟑 𝒇 𝒙 = 𝒙 − 𝟐 → 𝒙 ≠ −𝟑 Conclusión: 𝒇 𝒙 tiene discontinuidad evitable en -3, dado a que si existe Límite y es -5 𝒇 𝒙 no está definida en 𝒙 = −𝟑, Verificando criterios continuidad 1.- 𝒇 −𝟑 no existe 2.- 𝒍í𝒎 𝒙→−𝟑 𝒇 𝒙 = − 𝟓
- 12. 14.- Trace la gráfica de la función 𝒉 𝒙 = 𝟓 𝒙−𝟒 ; luego observando dónde hay saltos o huecos en la gráfica, determine los valores de la variable independiente en los cuales la función es discontinua y muestre cuál condición no se cumple de los "Criterios de continuidad de una función en número" Solución: Si 𝒉 𝟒 no existe y 𝒍í𝒎 𝒙→𝟒 𝒉 𝒙 es infinito, entonces la condición 1, 2 y 3 de los criterios de continuidad no se cumplen en 𝒙 = 𝟒. 𝒙 = 𝟒 𝒚 = 𝟎 x -6 -1 0 2 3 4 5 6 8 9 14 𝒇 𝒙 -0.5 -1 -1.25 -2.5 5 ∞ 6 2.5 1.25 1 0.5 𝒉 𝒙 = 𝟓 𝒙 − 𝟒 𝒉 𝒙 = 𝟓 𝒙−𝟒 → 𝑫𝒉 = ℝ − 𝟒 𝒍í𝒎 𝒙→𝟒 𝟓 𝒙−𝟒 = 𝟓 𝟒−𝟒 = 𝟓 𝟎 = ∞,∴ 𝒙 = 𝟒 es asíntota vertical 𝒍í𝒎 𝒙→∞ 𝟓 𝒙−𝟒 = 𝟓 ∞−𝟒 = 𝟓 ∞ = 𝟎,∴ 𝒚 = 𝟎 es asíntota horizontal 2.- 𝒍í𝒎 𝒙→𝟒 𝟓 𝒙−𝟒 = ∞,𝐞𝐬 𝐢𝐧𝐟𝐢𝐧𝐢𝐭𝐨 Conclusión: 𝒉 𝒙 tiene discontinuidad esencialen 𝒙 = 𝟒 Verificandocriterioscontinuidaden x = 4 1.- 𝒉 𝟒 no existe,puestoque 𝒉 𝒙 no está definida en 𝒙 = 𝟒
- 13. 15.- Trace la gráfica de la función 𝒇 𝒙 ; luego observando dónde hay saltos o huecos en la gráfica, determine los valores de la variable independiente en los cuales la función es discontinua y muestre cuál condición no se cumple de los "Criterios de continuidad de una función en número" Solución: 𝒇 𝒙 = ቐ −𝟏 𝒔𝒊 𝒙 < 𝟎 𝟎 𝒔𝒊 𝒙 = 𝟎 𝒙 𝒔𝒊 𝒙 > 𝟎 En consecuencia, f es discontinua en 0, puesto que no se cumple la segunda condición, toda vez que no existe el límite de 𝒇 𝒙 cuando x tiende a 0 x -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 9 𝒇 𝒙 -1 -1 -1 -1 0 1 1.4 1.7 2 3 𝒇 𝒙 = ቐ −𝟏 𝒔𝒊 𝒙 < 𝟎 𝟎 𝒔𝒊 𝒙 = 𝟎 𝒙 𝒔𝒊 𝒙 > 𝟎 𝒇 𝟎 = 𝟎 𝒍í𝒎 𝒙→𝟎− 𝒇 𝒙 = 𝒍í𝒎 𝒙→𝟎− −𝟏 = −𝟏 𝒍í𝒎 𝒙→𝟎+ 𝒇 𝒙 = 𝒍í𝒎 𝒙→𝟎+ 𝒙 = 𝟎 ∴ 𝒍í𝒎 𝒙→𝟎 𝒇 𝒙 = 𝒏𝒐 𝒆𝒙𝒊𝒔𝒕𝒆 𝑫𝒇 = ℝ Verificando criterios continuidad
- 14. 16.- Trace la gráfica de la función 𝒇 𝒙 =ۤ ۥ 𝒙 ; luego observando dónde hay saltos o huecos en la gráfica, determine los valores de la variable independiente en los cuales la función es discontinua y muestre cuál condición no se cumple de los "Criterios de contnuidad de una función en número" Solución: La función parte entera o mayor entero no es continua en 0 debido a que no se cumple el segundo criterio de continuidad; ∴ 𝒇 𝒙 es discontinua en 0. Con el mismo análisis se puede concluir que la función parte entera o mayor entero tiene una discontinuidad en cualquier 𝒏 ∈ ℤ x ሾ ሻ −𝟐,−𝟏 ሾ ሻ −𝟏,𝟎 ሾ ሻ 𝟎,𝟏 ሾ ሻ 𝟏,𝟐 ሾ ሻ 𝟐,𝟑 𝒇 𝒙 -2 -1 0 1 2 Criteriosde continuidad: 1.- 𝒇 𝟎 = 𝟎 2.- 𝒍í𝒎 𝒙→𝟎− 𝒇 𝒙 = 𝒍í𝒎 𝒙→𝟎− ۤ ۥ 𝒙 = −𝟏 3.- 𝒍í𝒎 𝒙→𝟎+ 𝒇 𝒙 = 𝒍í𝒎 𝒙→𝟎+ ۤ ۥ 𝒙 = 𝟎 ∴ 𝒍í𝒎 𝒙→𝟎 𝒇 𝒙 = 𝒏𝒐 𝒆𝒙𝒊𝒔𝒕𝒆 Verificando criterios continuidad
- 15. 17.- Describir el intervalo o intervalos donde la función 𝒇 𝒙 = 𝒕𝒂𝒏 𝒙 es continua. En este caso la discontinuidad es esencial e inevitable en los puntos extremos de estos intervalos, tal como se muestran en la figura. La función 𝒇 𝒙 = 𝒕𝒂𝒏 𝒙, no está definida en 𝒙 = 𝝅 𝟐 + 𝒏𝝅, donde 𝒏 ∈ ℤ. En todos los demás puntos es continua. De tal modo que 𝒇 𝒙 = 𝒕𝒂𝒏 𝒙 es continua en todos los intervalos abiertos: … . , − 𝟑𝝅 𝟐 , − 𝝅 𝟐 , − 𝝅 𝟐 , 𝝅 𝟐 , 𝝅 𝟐 , 𝟑𝝅 𝟐 , … Solución: Verificando criterios de continuidad
- 16. 18.- Describir el intervalo o intervalos donde la función 𝒈 𝒙 = 𝒔𝒆𝒏 𝟏 𝒙 , 𝒙 ≠ 𝟎 es continua. En este caso la discontinuidad es evitable o removible, generando una nueva función de la forma: 𝒈 𝒙 = 𝒔𝒆𝒏 𝟏 𝒙 𝒄ሻ 𝑮 𝒙 = ቐ 𝒔𝒆𝒏 𝟏 𝒙 , 𝒙 ≠ 𝟎 𝟎, 𝒙 = 𝟎 La función 𝒈 𝒙 = 𝒔𝒆𝒏 𝟏 𝒙 , no está definida en 𝒙 = 𝟎, donde 𝒈 𝟎 no existe por lo que 0 no es parte del dominio de 𝒈. En todos los demás puntos es continua. De tal modo que 𝒈 𝒙 = 𝒔𝒆𝒏 𝟏 𝒙 es continua en los intervalos no acotados −∞, 𝟎 𝒚 𝟎,+∞ . Verificando criterios de continuidad Solución:
- 17. 𝑭 𝒙 = 𝟗𝒙𝟐 − 𝟒 𝟑𝒙 + 𝟐 , 𝒙 ≠ − 𝟐 𝟑 −𝟒, 𝒙 = − 𝟐 𝟑 19.- Demuestre que la función 𝒇 𝒙 = 𝟗𝒙𝟐−𝟒 𝟑𝒙+𝟐 es discontinua en el número 𝒂 = − 𝟐 𝟑 . Luego determine si la discontinuidad es eliminable o esencial. Si es eliminable redefina 𝒇 𝒙 de manera que la discontinuidad desaparezca. Solución: Verificando criterios de continuidad 1.- 𝒇 − 𝟐 𝟑 :𝒏𝒐 𝒆𝒙𝒊𝒔𝒕𝒆 2.-𝒍í𝒎 𝒙→− 𝟐 𝟑 𝒇 𝒙 = 𝒍í𝒎 𝒙→− 𝟐 𝟑 𝟗𝒙𝟐−𝟒 𝟑𝒙+𝟐 = 𝒍í𝒎 𝒙→− 𝟐 𝟑 𝟑𝒙+𝟐 𝟑𝒙−𝟐 𝟑𝒙+𝟐 = 𝒍í𝒎 𝒙→− 𝟐 𝟑 𝟑𝒙 − 𝟐 = 𝟑 − 𝟐 𝟑 − 𝟐 = −𝟒 Por lo tanto, la discontinuidad es evitable Por lo tanto, 𝒇 𝒙 es discontinua en − 𝟐 𝟑 𝑫𝒇 = ℝ − −𝟐 𝟑 𝟑𝒙 + 𝟐 = 𝟎 𝟑𝒙 = −𝟐 𝒙 = − 𝟐 𝟑 𝒇 𝒙 no está definida para:
- 18. 20.- Demuestre que la función 𝒇 𝒕 = ቊ𝟗 − 𝒕𝟐 𝒔𝒊 𝒕 ≤ 𝟐 𝟑𝒕 + 𝟐 𝒔𝒊 𝒕 > 𝟐 es discontinua en el número 𝒂 = 𝟐. Luego determine si la discontinuidad es eliminable o esencial. Si es eliminable redefina 𝒇 𝒙 de manera que la discontinuidad desaparezca. Solución: Verificando criterios de continuidad 1.- Evaluando la función para x = 2 en 𝒇 𝒕 = 𝟗 − 𝒕𝟐 𝒇 𝟐 = 𝟗 − 𝟐𝟐 = 𝟓 𝒔𝒊 𝒆𝒙𝒊𝒔𝒕𝒆; Se cumple la primera condición 2.- Verificando los límites laterales en x = 2 𝒍í𝒎 𝒕→𝟐− 𝒇 𝒕 = 𝒍í𝒎 𝒕→𝟐− 𝟗 − 𝒕𝟐 = 𝟗 − 𝟐𝟐 = 𝟗 − 𝟒 = 𝟓 𝒍í𝒎 𝒕→𝟐+ 𝒇 𝒕 = 𝒍í𝒎 𝒕→𝟐+ 𝟑𝒕 + 𝟐 = 𝟑 𝟐 + 𝟐 = 𝟔 + 𝟐 = 𝟖 𝒍í𝒎 𝒕→𝟐− 𝒇 𝒕 ≠ 𝒍í𝒎 𝒕→𝟐+ 𝒇 𝒕 ∴ 𝒍í𝒎 𝒕→𝟐 𝒇 𝒕 𝒏𝒐 𝒆𝒙𝒊𝒔𝒕𝒆. En consecuencia, como no se cumple la segunda condición, 𝒇 𝒕 es discontinua en x = 2, y la discontinuidad es esencial
- 19. 21.- Demuestre que la función 𝒇 𝒙 = 𝒙𝟐−𝒙−𝟏𝟐 𝒙𝟐+𝟐𝒙−𝟑 es discontinua en el número 𝒂 = −𝟑. Luego determine si la discontinuidad es eliminable o esencial. Si es eliminable redefina 𝒇 𝒙 de manera que la discontinuidad desaparezca. Solución: 𝑭 𝒙 = 𝒙𝟐 − 𝒙 − 𝟏𝟐 𝒙𝟐 + 𝟐𝒙 − 𝟑 , 𝒙 ≠ −𝟑 𝟕 𝟒 , 𝒙 = −𝟑 1.- 𝒇 −𝟑 :𝒏𝒐 𝒆𝒙𝒊𝒔𝒕𝒆 Por lo tanto, la discontinuidad es eliminable Verificando criterios de continuidad 𝒇 𝒙 no está definida para: 𝒙𝟐 + 𝟐𝒙 − 𝟑 = 𝟎 𝒙 + 𝟑 𝒙 − 𝟏 = 𝟎 𝒙 + 𝟑 = 𝟎; 𝒙 − 𝟏 = 𝟎 𝒙 = −𝟑; 𝒙 = 𝟏 ∴ 𝒇 𝒙 es discontinua en 𝒙 = −𝟑 2.- Verificando la existencia del 𝒍í𝒎 𝒙→−𝟑 𝒇 𝒙 𝒍í𝒎 𝒙→−𝟑 𝒇 𝒙 = 𝒍í𝒎 𝒙→−𝟑 𝒙𝟐 − 𝒙 − 𝟏𝟐 𝒙𝟐 + 𝟐𝒙 − 𝟑 = 𝒍í𝒎 𝒙→−𝟑 𝒇 𝒙 = 𝒍í𝒎 𝒙→−𝟑 𝒙 − 𝟒 𝒙 + 𝟑 𝒙 + 𝟑 𝒙 − 𝟏 𝒍í𝒎 𝒙→−𝟑 𝒇 𝒙 = 𝒍í𝒎 𝒙→−𝟑 𝒙 − 𝟒 𝒙 − 𝟏 = −𝟑 − 𝟒 −𝟑 − 𝟏 = 𝟕 𝟒 𝑫𝒇 = ℝ − −𝟑, 𝟏
- 20. 22.- Demuestre que la función 𝒇 𝒚 = 𝒚+𝟓− 𝟓 𝒚 es discontinua en el número 𝒂 = 𝟎. Luego determine si la discontinuidad es eliminable o esencial. Si es eliminable redefina 𝒇 𝒙 de manera que la discontinuidad desaparezca. Solución: 𝑭 𝒚 = 𝒚 + 𝟓 − 𝟓 𝒚 , 𝒚 ≠ 𝟎 𝟓 𝟏𝟎 , 𝒙 = 𝟎 1.- 𝒇 𝟎 :𝒏𝒐 𝒆𝒙𝒊𝒔𝒕𝒆 Por lo tanto la discontinuidad es eliminable Verificando criterios de continuidad 𝒇 𝒚 no está definida para 𝒚 = 𝟎 𝑫𝒇 = ℝ − 𝟎 ∴ 𝒇 𝒚 es discontinuaen 𝐲 = 𝟎 2.- verificando la existencia del 𝒍í𝒎 𝒙→𝟎 𝒇 𝒚 𝒍í𝒎 𝒚→𝟎 𝒇 𝒚 = 𝒍í𝒎 𝒚→𝟎 𝒚 + 𝟓 − 𝟓 𝒚 𝒍í𝒎 𝒚→𝟎 𝒇 𝒚 = 𝒍í𝒎 𝒚→𝟎 𝒚 + 𝟓 − 𝟓 𝒚 ∗ 𝒚 + 𝟓 + 𝟓 𝒚 + 𝟓 + 𝟓 𝒍í𝒎 𝒚→𝟎 𝒇 𝒚 = 𝒍í𝒎 𝒚→𝟎 𝒚 + 𝟓 𝟐 − 𝟓 𝟐 𝒚 𝒚 + 𝟓 + 𝟓 𝒍í𝒎 𝒚→𝟎 𝒇 𝒚 =𝒍í𝒎 𝒚→𝟎 𝒚 + 𝟓 − 𝟓 𝒚 𝒚 + 𝟓 + 𝟓 𝒍í𝒎 𝒚→𝟎 𝒇 𝒚 = 𝒍í𝒎 𝒚→𝟎 𝒚 𝒚 𝒚 + 𝟓 + 𝟓 𝒍í𝒎 𝒚→𝟎 𝒇 𝒚 = 𝒍í𝒎 𝒚→𝟎 𝟏 𝒚 + 𝟓 + 𝟓 = 𝟏 𝟎 + 𝟓 + 𝟓 = 𝟏 𝟐 𝟓 = 𝟓 𝟏𝟎
- 21. Ejercicios para el trabajo en clases Dadas las siguientes funciones demuestre si son continuas o no en el punto señalado: 𝒇 𝒙 = 𝒙𝟐 − 𝟑 𝒙𝟐 + 𝟐𝒙 − 𝟖 𝒉 𝒙 = 𝟓; 𝒂 = 𝟕 𝒈 𝒙 = 𝟐𝒙𝟐 + 𝟑; 𝒂 = 𝟑 Determine los puntos de discontinuidadde las funciones si es que existen, caso contrario indicar la continuidad de la misma 𝒇 𝒙 = 𝟑𝒙𝟑 − 𝟐𝒙 + 𝟒 𝒇 𝒙 = 𝒙𝟐 − 𝒙 − 𝟐 𝒙 − 𝟐 ; 𝒂 = 𝟐 𝒇 𝒙 = ቐ 𝒙𝟐 𝒔𝒊 𝒙 < 𝟐 𝟓 𝒔𝒊 𝒙 = 𝟐 −𝒙 + 𝟔 𝒔𝒊 𝒙 > 𝟐 𝒇 𝒙 = 𝒙𝟐 − 𝟒 𝒙𝟒 − 𝟏𝟔 𝒈 𝒙 = −𝒙 𝒔𝒊 𝒙 < 𝟎 𝟑 𝒙 + 𝟏 𝒔𝒊 𝒙 ≥ 𝟎 ; 𝒂 = 𝟎
- 22. Tema: Determinar la o las asíntotas de una función, si las tiene, que permita obtener con mayor precisión el bosquejo de su gráfica y analizar su continuidad, haciendo uso de las propiedades de las funciones y el cálculo de límite. Larson R. Cálculo en una variable, 9° edición, Méjico: Pág.70 a la 82 Asíntotas de una función Objetivo:
- 23. En este caso se observa en la figura una recta que prolongada indefinidamente, se aproxima continuamente a la gráfica de la función, la misma que tiene como ecuación 𝒙 = 𝟏, la que se denomina asíntota vertical de f Asíntotas verticales de una función Analizando la gráfica de 𝒇 𝒙 = 𝟏 𝒙−𝟏 𝟐 se observa que cuando x se aproxima a 1 por la derecha o por la izquierda, 𝒙 − 𝟏 𝟐 es un número positivo pequeño. Así, el cociente 𝟏 𝒙−𝟏 𝟐 es un número positivo grande y 𝒇 𝒙 tiende a infinito por ambos lados de 𝒙 = 𝟏. De modo que se puede concluir que el límite por cada lado es infinito. Por lo tanto 𝐥í𝐦 𝒙→𝟏 𝟏 𝒙−𝟏 𝟐 = ∞ ¿Qué es una asíntota? La asíntota de una gráfica, es una recta que prolongada indefinidamente se aproxima continuamente a ella, sin llegar a unirse. 𝒙 = 𝟏 𝒇 𝒙 = 𝟏 𝒙 − 𝟏 𝟐
- 24. Así, el cociente −𝟏 𝒙−𝟏 es un número negativo grande y 𝒇 𝒙 tiende a −∞ por la derecha de 𝒙 = 𝟏. Analizando la gráfica de 𝒇 𝒙 = −𝟏 𝒙−𝟏 se observa que cuando x se aproxima a 1 por la derecha, 𝒙 − 𝟏 es un número negativo pequeño. De la misma manera si se aproxima a 1 por la izquierda, 𝒙 − 𝟏 es un número negativo pequeño. Así, el cociente −𝟏 𝒙−𝟏 es un número positivo grande y 𝒇 𝒙 tiende a +∞ por la izquierda de 𝒙 = 𝟏. De modo que se puede concluir que: lím 𝒙→𝟏+ −𝟏 𝒙 − 𝟏 = −∞; lím 𝒙→𝟏− −𝟏 𝒙 − 𝟏 = +∞ ∴ lím 𝒙→𝟏 𝟏 𝒙 − 𝟏 = ∞ 𝒏𝒐 𝒆𝒙𝒊𝒔𝒕𝒆 En la figura también se observa una recta que prolongada indefinidamente, se aproxima continuamente a la gráfica de la función, la misma que tiene como ecuación 𝒙 = 𝟏 y también corresponde a una asíntota vertical de f 𝒙 = 𝟏 𝒇 𝒙 = −𝟏 𝒙 − 𝟏
- 25. Si 𝒇 𝒙 tiende a infinito (o menos infinito) cuando x tiende a c por la derecha o por la izquierda, se dice que la recta 𝒙 = 𝒄 es una asíntota vertical de la gráfica de f. Definición de asíntota vertical En los ejemplos considerados para este análisis, se observa que ambas funciones son cocientes y la asíntota vertical aparece en el número en el cual el denominador es 0 y el numerador no lo es. Esta es una forma práctica de identificar las asíntotas verticales de la gráfica de una función. Se dice que la recta x = c es una asíntota vertical de la gráfica de la función f , si por lo menos uno de los siguientes enunciadoses verdadero: Una asíntota vertical es una recta paralela al eje y. Trazar las asíntotas, tanto verticales como horizontales (más adelante se analizarán estas últimas), es de gran ayuda para dibujar la gráfica de una función. 𝟏. lím 𝒙→𝒄+ 𝒇 𝒙 = +∞ 𝟐. lím 𝒙→𝒄+ 𝒇 𝒙 = −∞ 𝟑. lím 𝒙→𝒄− 𝒇 𝒙 = +∞ 𝟒. lím 𝒙→𝒄− 𝒇 𝒙 = −∞
- 26. Ejercicios resueltos 1.- Determinar todas las asíntotas verticales de la gráfica de función 𝒇 𝒙 = 𝟏 𝟐 𝒙+𝟏 Cuando 𝒙 = −𝟏 , el denominador de 𝒇 𝒙 = 𝟏 𝟐 𝒙+𝟏 es igual a 0 y el numerador no lo es, por lo tanto, se puede concluir que 𝒙 = −𝟏 es una asíntota vertical, de la gráfica de f, como se observa en la figura. 𝒙 = −𝟏 ൞ lím 𝒙→−𝟏− 𝟏 𝟐 𝒙+𝟏 = −∞ lím 𝒙→−𝟏+ 𝟏 𝟐 𝒙+𝟏 = +∞ Solución: Estudiando ahora su posición relativa 𝒇 𝒙 = 𝟏 𝟐 𝒙 + 𝟏 𝒙 = −𝟏 𝐥í𝐦 𝒙→−𝟏− 𝟏 𝟐 𝒙 + 𝟏 = 𝟏 𝟐 −𝟏.𝟏 + 𝟏 = 𝟏 −𝟎.𝟐 = −∞ 𝐥í𝐦 𝒙→−𝟏+ 𝟏 𝟐 𝒙 + 𝟏 = 𝟏 𝟐 −𝟎.𝟗 + 𝟏 = 𝟏 𝟎.𝟐 = +∞
- 27. 2.- Determinar todas las asíntotas verticales de la gráfica de función 𝒇 𝒙 = 𝒙𝟐+𝟏 𝒙𝟐−𝟏 Cuando 𝒙 = 𝟏, y 𝒙 = −𝟏 el denominador de 𝒇 𝒙 = 𝒙𝟐+𝟏 𝒙𝟐−𝟏 es igual a 0 y el numerador no lo es, por lo tanto se puede concluir que 𝒙 = 𝟏 y 𝒙 = −𝟏 son asíntotas verticales de la gráfica de f, como se observa en la figura. 𝒙 = 𝟏 lím 𝒙→𝟏− 𝒙𝟐+𝟏 𝒙𝟐−𝟏 = −∞ lím 𝒙→𝟏+ 𝒙𝟐+𝟏 𝒙𝟐−𝟏 = +∞ Solución: Estudiando ahora su posición relativa 𝒙 = −𝟏 lím 𝒙→−𝟏− 𝒙𝟐+𝟏 𝒙𝟐−𝟏 = +∞ lím 𝒙→−𝟏+ 𝒙𝟐+𝟏 𝒙𝟐−𝟏 = −∞ 𝒇 𝒙 = 𝒙𝟐 + 𝟏 𝒙𝟐 − 𝟏 𝒙 = −𝟏 𝒙 = 𝟏 lím 𝒙→𝟏− 𝒙𝟐 + 𝟏 𝒙𝟐 − 𝟏 = −∞ lím 𝒙→𝟏+ 𝒙𝟐 + 𝟏 𝒙𝟐 − 𝟏 = +∞ lím 𝒙→−𝟏− 𝒙𝟐 + 𝟏 𝒙𝟐 − 𝟏 = +∞ lím 𝒙→−𝟏+ 𝒙𝟐 + 𝟏 𝒙𝟐 − 𝟏 = −∞ El denominadores cero cuando: 𝒙𝟐 − 𝟏 = 𝟎 𝒙 + 𝟏 𝒙 − 𝟏 = 𝟎 𝒙 + 𝟏 = 𝟎; 𝒙 − 𝟏 = 𝟎 𝒙 = −𝟏; 𝒙 = 𝟏
- 28. 3.- Determinar todas las asíntotas verticales de la gráfica de función 𝒇 𝒙 = 𝒄𝒕𝒈 𝒙 𝒇 𝒙 = 𝒄𝒕𝒈 𝒙 𝟐𝝅 𝟑𝝅 𝟐 𝝅 𝟐 − 𝝅 𝟐 𝜋 − 𝟑𝝅 𝟐 −𝝅 𝝅 𝟐𝝅 Solución: Escribiendo la función cotangente de la forma de cociente se tiene: 𝒇 𝒙 = 𝒄𝒕𝒈 𝒙 = 𝒄𝒐𝒔 𝒙 𝒔𝒆𝒏 𝒙 Puede verse que cuando 𝒙 = 𝟎, 𝒙 = 𝝅, 𝒙 = 𝟐𝝅 ….. 𝒙 = 𝒏𝝅, 𝒏𝝐ℤ; el denominador de 𝒇 𝒙 = 𝒄𝒕𝒈 𝒙 es igual a 0 y el numerador no lo es, por lo tanto se puede concluir que 𝒙 = 𝒏𝝅; 𝒏𝝐ℤ,son asíntotas verticales de la gráfica de f, como se observa en la figura.
- 29. 4.- Determinar todas las asíntotas verticales de la gráfica de función 𝒇 𝒙 = 𝒙𝟐+𝟐𝒙−𝟖 𝒙𝟐−𝟒 𝒙 = −𝟐 lím 𝒙→−𝟐− 𝒙𝟐+𝟐𝒙−𝟖 𝒙𝟐−𝟒 = −∞ lím 𝒙→−𝟐+ 𝒙𝟐+𝟐𝒙−𝟖 𝒙𝟐−𝟒 = +∞ Solución: No definida en 𝒙 = 𝟐 𝒙 − 𝟐 𝒇 𝒙 = 𝒙𝟐 + 𝟐𝒙 − 𝟖 𝒙𝟐 − 𝟒 𝒇 𝒙 crece y decrece sin cota o sin límite cuando 𝒙 𝒕𝒊𝒆𝒏𝒅𝒆 𝟐 Simplificando la expresión se tiene: 𝒇 𝒙 = 𝒙𝟐 + 𝟐𝒙 − 𝟖 𝒙𝟐 − 𝟒 𝒇 𝒙 = 𝒙 + 𝟒 𝒙 − 𝟐 𝒙 + 𝟐 𝒙 − 𝟐 𝒇 𝒙 = 𝒙 + 𝟒 𝒙 + 𝟐 → 𝒙 ≠ −𝟐 Cuando 𝒙 = −𝟐, el denominador de 𝒇 𝒙 = 𝟏 𝟐 𝒙+𝟏 es igual a 0 y el numerador no lo es, por lo tanto se puede concluir que 𝒙 = −𝟐 es una asíntota vertical, de la gráfica de f, como se observa en la figura. Estudiandoahora su posición relativa lím 𝒙→−𝟐− 𝒙𝟐 + 𝟐𝒙 − 𝟖 𝒙𝟐 − 𝟒 = −∞ lím 𝒙→−𝟐+ 𝒙𝟐 + 𝟐𝒙 − 𝟖 𝒙𝟐 − 𝟒 = +∞
- 30. Asíntotas horizontalesde una función En la gráfica de 𝒇 𝒙 = 𝒙+𝟐 𝒙+𝟏 se observa que cuando x crece indefinidamente por la derecha, 𝒇 𝒙 se aproxima a 1, lo que se interpreta que el límite de f cuandox tiende a ∞, es: Así, mismo se observa que cuando x crece indefinidamente por la izquierda, 𝒇 𝒙 se aproxima a 1, lo que se interpreta que el límite de f cuando x tiende a −∞, es: En este caso se observa en la figura, una recta horizontal que prolongada indefinidamente, se aproxima continuamente a la gráfica de la función por la derecha y por la izquierda, la misma que tiene como ecuación 𝐲 = 𝟏. 𝐥í𝐦 𝒙→∞ 𝒙 + 𝟐 𝒙 + 𝟏 = 𝟏 𝐥í𝐦 𝒙→−∞ 𝒙 + 𝟐 𝒙 + 𝟏 = 𝟏
- 31. Definición Una recta " 𝒚 = 𝒃 " es una asíntota horizontal de la función 𝒇 𝒙 si el límite de la función cuando x tiende al infinito es el número “b“ Las funciones que tienen asíntotas horizontales son las racionales, cuando el grado del denominador es mayor al grado de numerador, también cuando el numerador y el denominador son del mismo grado. 𝒍í𝒎 𝒙→∞ 𝒇 𝒙 = 𝒃 Las funciones exponenciales tienen también una asíntota horizontal en 𝒚 = 𝒃 𝒉 𝒙 = 𝒙𝟐 𝒙𝟐 + 𝟏 𝒚 = 𝟏 𝒈 𝒙 = 𝟐𝒙 + 𝟏 𝒚 = 𝟏
- 32. Una función real de variable real puede tener como máximo 2 asíntotas horizontales, como se muestra en la figura Hay funciones que sólo tienen asíntota horizontal por la derecha o por la izquierda. Número de asíntotas horizontalesde una función
- 33. Ejercicios resueltos 5.- Encuentre los límites infinitos,los límites en el infinito y las asíntotas para la función f cuya gráfica se muestra en la figura: Solución: Analizando la gráfica se puede ver que los valores de 𝒇 𝒙 se vuelven cada vez más grandes cuando 𝒙 → −𝟏, tanto por la derecha de −𝟏 como por la izquierda, lo que permite establecer que: 𝒍í𝒎 𝒙→−𝟏 𝒇 𝒙 = +∞ ∴ la recta 𝒙 = −𝟏, es una asíntota vertical de 𝒇 𝒙 Así mismo se ve que los valores de 𝒇 𝒙 se vuelven cada vez más grandes positivos, cuando 𝒙 → 𝟐 por la derecha y cada vez más grandes negativos, cuando 𝒙 → 𝟐 por la izquierda, lo que permite establecer que: 𝒍í𝒎 𝒙→𝟐+ 𝒇 𝒙 = +∞ 𝒚 𝒍í𝒎 𝒙→𝟐− 𝒇 𝒙 = −∞ ∴ la recta 𝒙 = 𝟐, es una asíntota vertical de 𝒇 𝒙 De manera similar se ve que los valores de 𝒇 𝒙 se aproximan cada vez más a 4 cuando 𝒙 → +∞, por lo que el límite de f cuando x tiende a +∞, es: 𝐥í𝐦 𝒙→+∞ 𝒇 𝒙 = 𝟒. ∴ la recta 𝐲 = 𝟐, es una asíntota horizontal de 𝒇 𝒙 También se ve que los valores de 𝒇 𝒙 se aproximan cada vez más a 2 cuando 𝒙 → −∞, por lo que el límite de f cuando x tiende a −∞, es: 𝐥í𝐦 𝒙→−∞ 𝒇 𝒙 = 𝟐. ∴ la recta y= 𝟐, es una asíntota horizontal de 𝒇 𝒙
- 34. 6.- Encuentre las asíntotasverticales y horizontalesde 𝒇 𝒙 = 𝟏 𝒙 Solución: ∴ la recta 𝒙 = 𝟎, es una asíntota vertical de 𝒇 𝒙 = 𝟏 𝒙 ∴ la recta 𝐲 = 𝟎, es una asíntota horizontal de 𝒇 𝒙 = 𝟏 𝒙 𝒙 = 𝟎 ൞ lím 𝒙→𝟎− 𝟏 𝒙 = −∞ lím 𝒙→𝟎+ 𝟏 𝒙 = +∞ 𝒚 = 𝟎 ൞ lím 𝒙→−∞ 𝟏 𝒙 = 𝟏 −∞ = 𝟎− lím 𝒙→+∞ 𝟏 𝒙 = 𝟏 +∞ = 𝟎+
- 35. Solución: 7.- Encuentre las asíntotas verticales y horizontales de 𝒇 𝒙 = 𝟑𝒙𝟐−𝒙−𝟐 𝟓𝒙𝟐+𝟒𝒙+𝟏 𝒍í𝒎 𝒙→∞ 𝒇 𝒙 = 𝒍í𝒎 𝒙→∞ 𝟑𝒙𝟐 − 𝒙 − 𝟐 𝟓𝒙𝟐 + 𝟒𝒙 + 𝟏 = 𝟑 𝟓 = 𝟎. 𝟔 ∴ no hay asíntota vertical Analizando el denominador de la función 𝟓𝒙𝟐 + 𝟒𝒙 + 𝟏, se verifica no tiene raíces reales, por lo que no hay ningún número que lo haga cero. En este caso 𝑫𝒇 = ℝ, lo que determina que no hay ningún número de x para el que 𝒇 𝒙 tienda a ∞ Evaluando 𝒇 𝒙 cuando 𝒙 → ∞ Asíntotas verticales Asíntotas horizontales 𝒇 𝒙 = 𝟑𝒙𝟐 − 𝒙 − 𝟐 𝟓𝒙𝟐 + 𝟒𝒙+ 𝟏 𝒚 = 𝟎.𝟔 ∴ la recta 𝒚 = 𝟎. 𝟔 es una asíntota horizontal de 𝒇 𝒙
- 36. 8.- Encuentre las asíntotasverticales y horizontalesde 𝒇 𝒙 = 𝟐𝒙𝟐+𝟏 𝟑𝒙−𝟓 Solución: 𝐥í𝒎 𝒙→∞ 𝒇 𝒙 = 𝐥í𝒎 𝒙→∞ 𝟐𝒙𝟐 + 𝟏 𝟑𝒙 − 𝟓 = 𝐥í𝒎 𝒙→∞ 𝟐𝒙𝟐 + 𝟏 𝒙 𝟑𝒙 − 𝟓 𝒙 = 𝐥í𝒎 𝒙→∞ 𝟐𝒙𝟐 + 𝟏 𝒙𝟐 𝟑𝒙 𝒙 − 𝟓 𝒙 = 𝐥í𝒎 𝒙→∞ 𝟐𝒙𝟐 𝒙𝟐 + 𝟏 𝒙𝟐 𝟑𝒙 𝒙 − 𝟓 𝒙 = 𝐥í𝒎 𝒙→∞ 𝟐 + 𝟏 𝒙𝟐 𝟑 − 𝟓 𝒙 = 𝟐 + 𝟏 ∞ 𝟑 − 𝟓 ∞ = 𝟐 𝟑 𝑫𝒇 = ℝ − 𝟓 𝟑 𝒙 = 𝟓 𝟑 lím 𝒙→ 𝟓 𝟑 − 𝟐𝒙𝟐+𝟏 𝟑𝒙−𝟓 = −∞ lím 𝒙→ 𝟓 𝟑 + 𝟐𝒙𝟐+𝟏 𝟑𝒙−𝟓 = +∞ Estudiando ahora su posición relativa Evaluando 𝒇 𝒙 cuando 𝒙 → ∞ Asíntotas verticales = 𝟐 𝟓 𝟑 𝟐 + 𝟏 𝟑 𝟓 𝟑 − 𝟓 = 𝟏 𝟑 𝟓𝟗 𝟎 lím 𝒙→ 𝟓 𝟑 𝒇 𝒙 = lím 𝒙→ 𝟓 𝟑 𝟐𝒙𝟐 + 𝟏 𝟑𝒙 − 𝟓 = ∞ Asíntotas Horizontales lím 𝒙→ 𝟓 𝟑 − 𝟐𝒙𝟐 + 𝟏 𝟑𝒙 − 𝟓 = −∞ lím 𝒙→ 𝟓 𝟑 + 𝟐𝒙𝟐 + 𝟏 𝟑𝒙 − 𝟓 = +∞ 𝐥í𝒎 𝒙→∞ 𝟐𝒙𝟐 + 𝟏 𝒙 𝟑𝒙 − 𝟓 𝒙 = 𝐥í𝒎 𝒙→∞ 𝟐𝒙𝟐 + 𝟏 𝒙𝟐 𝟑𝒙 𝒙 − 𝟓 𝒙 = 𝐥í𝒎 𝒙→∞ 𝟐𝒙𝟐 𝒙𝟐 + 𝟏 𝒙𝟐 𝟑𝒙 𝒙 − 𝟓 𝒙 =𝐥í𝒎 𝒙→∞ 𝟐 + 𝟏 𝒙𝟐 𝟑 − 𝟓 𝒙 = 𝟐 + 𝟏 ∞ 𝟑 − 𝟓 ∞ = ± 𝟐 𝟑 ∴ la recta 𝒚 = 𝟐 𝟑 , 𝒚 = − 𝟐 𝟑 son asíntotas horizontalesde 𝒇 𝒙 , por la derechay por la izquierdarespectivamente ∴ la recta 𝒙 = 𝟓 𝟑 , es una asíntota verticalde 𝒇 𝒙 𝒇 𝒙 = 𝟐𝒙𝟐 + 𝟏 𝟑𝒙 − 𝟓 𝒚 = 𝟐 𝟑 𝒚 = − 𝟐 𝟑 𝒙 = 𝟓 𝟑
- 37. 9.- Encuentre las asíntotasverticales y horizontalesde 𝒇 𝒙 = 𝒙𝟐 + 𝟏 − 𝒙 Solución: 𝑫𝒇 = ℝ, lo que determina que no hay ningún número de x para el cual 𝒇 𝒙 tienda a ∞, menos aún cuando 𝒇 𝒙 no es racional.∴ no hay asíntota vertical Evaluando 𝒇 𝒙 cuando 𝒙 → ∞ Asíntotas verticales Asíntotas Horizontales Si se evalúapor sustitucióndirectase genera∞ − ∞ → indeterminado 𝐥í𝒎 𝒙→∞ 𝒇 𝒙 = 𝐥í𝒎 𝒙→∞ 𝒙𝟐 + 𝟏 − 𝒙 𝐥í𝒎 𝒙→∞ 𝒙𝟐 + 𝟏 − 𝒙 = 𝐥í𝒎 𝒙→∞ 𝒙𝟐 + 𝟏 − 𝒙 𝟏 ∗ 𝒙𝟐 + 𝟏 + 𝒙 𝒙𝟐 + 𝟏 + 𝒙 𝐥í𝒎 𝒙→∞ 𝒙𝟐 + 𝟏 − 𝒙 = 𝐥í𝒎 𝒙→∞ 𝒙𝟐 + 𝟏 𝟐 − 𝒙 𝟐 𝒙𝟐 + 𝟏 + 𝒙 = 𝐥í𝒎 𝒙→∞ 𝒙𝟐 + 𝟏 − 𝒙𝟐 𝒙𝟐 + 𝟏 + 𝒙 = 𝐥í𝒎 𝒙→∞ 𝒙𝟐 + 𝟏 − 𝒙 = 𝐥í𝒎 𝒙→∞ 𝟏 𝒙𝟐 + 𝟏 + 𝒙 = 𝟏 ∞𝟐 + 𝟏 + ∞ = 𝟏 ∞ + ∞ = 𝟏 ∞ = 𝟎 ∴ la recta 𝐲 = 𝟎 esuna asíntota horizontalde 𝒇 𝒙 𝐥í𝒎 𝒙→∞ 𝒙𝟐 + 𝟏 − 𝒙𝟐 𝒙𝟐 + 𝟏 + 𝒙 = 𝐥í𝒎 𝒙→∞ 𝟏 𝒙𝟐 + 𝟏 + 𝒙 = 𝟏 ∞𝟐 + 𝟏 + ∞ = 𝟏 ∞ + ∞ = 𝟏 ∞ = 𝟎 𝐲 = 𝟎 𝒇 𝒙 = 𝒙𝟐 + 𝟏 − 𝒙 𝐥í𝒎 𝒙→∞ 𝒙𝟐 + 𝟏 − 𝒙 𝟏 ∗ 𝒙𝟐 + 𝟏 + 𝒙 𝒙𝟐 + 𝟏 + 𝒙 𝐥í𝒎 𝒙→∞ 𝒙𝟐 + 𝟏 𝟐 − 𝒙 𝟐 𝒙𝟐 + 𝟏 + 𝒙 =
- 38. 10.- Encuentrelasasíntotasverticalesy horizontalesde 𝒇 𝒙 = 𝟐𝒙 + 𝟏 Solución: 𝑫𝒇 = ℝ, lo que determina que no hay ningún número de x para el cual 𝒇 𝒙 tienda a ∞, menos aún cuando 𝒇 𝒙 no es racional.∴ no hay asíntotavertical 𝒚 = 𝟏 𝒇 𝒙 = 𝟐𝒙 + 𝟏 Evaluando𝒇 𝒙 cuando𝒙 → ∞ Asíntotasverticales AsíntotasHorizontales 𝐥í𝒎 𝒙→∞ 𝒇 𝒙 = 𝐥í𝒎 𝒙→∞ 𝟐𝒙 + 𝟏 . Si se evalúa por sustitución directa se genera 𝟐∞, lo que da la idea de que no hay asíntota horizontal, para evitar esto se hace un cambio de variable: Sea 𝒙 = −𝒖 → 𝐥í𝒎 𝒙→∞ 𝒇 𝒙 = 𝐥í𝒎 𝒖→∞ 𝟏 𝟐𝒖 + 𝟏 = ∴ la recta 𝐲 = 𝟏 es una asíntota horizontalde 𝒇 𝒙 𝟏 𝟐∞ + 𝟏 = 𝟏 ∞ + 𝟏 = 𝟎 + 𝟏 = 𝟏 = 𝐥í𝒎 𝒖→∞ 𝟐−𝒖 + 𝟏 𝐥í𝒎 𝒙→∞ 𝒇 𝒙 = 𝐥í𝒎 𝒙→∞ 𝟐𝒙 + 𝟏
- 39. 11.- Encuentre las asíntotas verticales y horizontales de 𝒇 𝒙 = 𝟐𝒙 𝒙𝟐+𝟏 Solución: 𝑫𝒇 = ℝ, lo que determina que no hay ningún número de x para el cual 𝒇 𝒙 tienda a ∞ ∴ no hay asíntota vertical. Si x crece indefinidamente por la izquierda, entonces 𝒇 𝒙 se aproxima a −𝟐, lo que determina que 𝒍í𝒎 𝒙→−∞ 𝒇 𝒙 = − 𝟐 y si x crece indefinidamente por la derecha, entonces 𝒇 𝒙 se aproxima a 𝟐, lo que determina que 𝒍í𝒎 𝒙→+∞ 𝒇 𝒙 =𝟐 𝒇 𝒙 = 𝟐𝒙 𝒙𝟐 + 𝟏 Evaluando 𝒇 𝒙 cuando 𝒙 → ∞ 𝒍í𝒎 𝒙→∞ 𝟐𝒙 𝒙𝟐 + 𝟏 = 𝒍í𝒎 𝒙→∞ 𝟐𝒙 𝒙 𝒙𝟐 + 𝟏 𝒙 = 𝒍í𝒎 𝒙→∞ 𝟐𝒙 𝒙 𝒙𝟐 + 𝟏 𝒙𝟐 = 𝒍í𝒎 𝒙→∞ 𝟐 𝒙𝟐 𝒙𝟐 + 𝟏 𝒙𝟐 = 𝒍í𝒎 𝒙→∞ 𝟐 𝟏 + 𝟏 𝒙𝟐 = 𝟐 𝟏 + 𝟏 ∞𝟐 = 𝟐 ±𝟏 = ±𝟐 𝒍í𝒎 𝒙→∞ 𝒇 𝒙 = 𝒍í𝒎 𝒙→∞ 𝟐𝒙 𝒙𝟐 + 𝟏 si se evalúa por sustitución directa se genera ∞ ∞ → indetermnado Asíntotasverticales AsíntotasHorizontales 𝟐 𝟏 = ∴ las rectas 𝒚 = −𝟐; 𝒚 = 𝟐 son asíntotas horizontalesde𝒇 𝒙 , por la izquierday por la derechorespectivamente.
- 40. Asíntotas oblicuas Definición: Una función racional tiene asíntotas oblicuas cuando el grado del numerador es una unidad mayor que el grado del denominador. Si 𝒚 = 𝒎𝒙 + 𝒃 → 𝐦 ≠ 𝟎, es la ecuación de la recta asíntota oblicua de 𝒇 𝒙 , se debe calcular la pendiente m y la ordenada en el origen b, de la forma: 𝒎 = lím 𝒙→∞ 𝒇 𝒙 𝒙 ; 𝒃 = lím 𝒙→∞ 𝒇 𝒙 − 𝒎𝒙 Otra forma de calcular la asíntota oblicua es dividiendo el numerador para el denominador, el cociente que resulte será la ecuación de la asíntota de la función dada. Las asíntotas horizontales y oblicuas son incompatibles, si hay unas no pueden haber las otras, puesto que para que existan asíntotas horizontales el grado del numerador debe ser menor que el grado del denominador, lo que se contrapone a la condición señalada para las asíntotas oblicuas. De esto se deduce que para que exista asíntota oblicua, el lím 𝒙→∞ 𝒇 𝒙 = +∞ Una forma de calcular la ecuación de la asíntota oblicua es la siguiente: 𝒚 = 𝒙 − 𝟏 𝒇 𝒙 = 𝒙𝟐 − 𝟐𝒙 + 𝟐 𝒙 − 𝟏
- 41. Ejercicios resueltos Segunda forma: 12.- Calcularla asíntota oblicuade la función 𝒇 𝒙 = 𝒙𝟐+𝟏 𝒙−𝟏 Luego la asíntota oblicua es 𝒚 = 𝒙 + 𝟏 Como el grado del numerador es una unidad mayor que el grado del denominador, entoncessi hayasíntota oblicua, luego lím 𝒙→∞ 𝒙𝟐+𝟏 𝒙−𝟏 = ∞ Luegola ecuación de la asíntota oblicua es: 𝒚 = 𝒙 + 𝟏 lím 𝒙→∞ 𝒙𝟐 + 𝟏 𝒙 − 𝟏 = lím 𝒙→∞ 𝒙𝟐 𝒙𝟐 + 𝟏 𝒙𝟐 𝒙 𝒙𝟐 − 𝟏 𝒙𝟐 = lím 𝒙→∞ 𝟏 + 𝟏 𝒙𝟐 𝟏 𝒙 − 𝟏 𝒙𝟐 = 𝟏 + 𝟏 ∞ 𝟏 ∞ − 𝟏 ∞ = 𝟏 + 𝟎 𝟎 − 𝟎 = +∞ 𝟏 𝟎 = 𝒎 = lím 𝒙→∞ 𝒇 𝒙 𝒙 = lím 𝒙→∞ 𝒙𝟐 + 𝟏 𝒙 − 𝟏 𝒙 = lím 𝒙→∞ 𝒙𝟐 + 𝟏 𝒙𝟐 − 𝒙 = 𝟏 𝟏 =𝟏 𝒃 = lím 𝒙→∞ 𝒇 𝒙 − 𝒎𝒙 = lím 𝒙→∞ 𝒙𝟐 + 𝟏 𝒙 − 𝟏 − 𝒙 = lím 𝒙→∞ 𝒙𝟐 + 𝟏 − 𝒙𝟐 + 𝒙 𝒙 − 𝟏 = lím 𝒙→∞ 𝒙 + 𝟏 𝒙 − 𝟏 = Primeraforma: Solución: 𝟏 𝟏 =1 𝒇 𝒙 = 𝒙𝟐 + 𝟏 𝒙 − 𝟏 𝒚 = 𝒙 + 𝟏 𝒙 = 𝟏
- 42. 13.- Calcularlas asíntotas de la función 𝒇 𝒙 = 𝟑𝒙𝟑+𝟐𝒙𝟐+𝟒 𝒙𝟐+𝟑𝒙+𝟐 Las asíntotas verticales corresponden a los valores de x que anulan al denominadory no anulan al denominador, haciendo cero eldenominador se tiene: Luego la asíntota oblicua es 𝒚 = 𝟑𝒙 − 𝟕 Asíntotas verticales: Solución: 𝒙𝟐 + 𝟑𝒙 + 𝟐 = 𝟎; 𝒙 + 𝟐 𝒙 + 𝟏 = 𝟎 → 𝒍𝒂𝒔 𝒓𝒂𝒊𝒄𝒆𝒔 𝒔𝒐𝒏 𝒙 = −𝟏;𝒙 = −𝟐 Como ninguno de estos valores anulan alnumerador, ambas rectas son asíntotasverticales Asíntotas horizontales: Para que 𝒇 𝒙 tenga asíntotas horizontales el grado del numerador debe ser menor que el grado deldenominador. Por lo tanto esta función no tiene asíntotas horizontales. Asíntotas oblicuas: Como el grado del numerador es una unidad más que el grado del denominador, 𝒇 𝒙 si tieneasíntotaoblicua.Tambiénporque lím 𝒙→∞ 𝟑𝒙𝟑+𝟐𝒙𝟐+𝟒 𝒙𝟐+𝟑𝒙+𝟐 = +∞, 𝒚 = 𝟑𝒙 − 𝟕 𝒇 𝒙 = 𝟑𝒙𝟑 + 𝟐𝒙𝟐 + 𝟒 𝒙𝟐 + 𝟑𝒙 + 𝟐
- 43. Encuentre las asíntotas de la gráfica de las funciones dadas: Ejercicios para trabajar en clases 𝒇 𝒙 = −𝒙 + 𝟏 𝟑𝒙 + 𝟔 𝒇 𝒙 = 𝟐𝒙 𝒙 − 𝟏 𝒇 𝒙 = 𝟐𝒙𝟑 + 𝟑𝒙 − 𝟐 𝒙𝟐 − 𝟐𝒙 + 𝟑 𝒇 𝒙 = 𝒙 + 𝟏 𝒙 − 𝟏 𝒇 𝒙 = 𝒙𝟐 + 𝟐 𝒙 − 𝟑 𝒇 𝒙 = 𝟒𝒙 − 𝟓 𝒙𝟐+𝟑𝒙 + 𝟔 𝒇 𝒙 = 𝒙 − 𝟐 𝒙𝟐 + 𝟏
- 44. Ejerciciospara el trabajoautónomo En los ejercicios1 al 6, utilizar la gráficapara determinar el límite y analizar la continuidad de la función. 𝑎ሻ lim 𝑥→𝑐− 𝑓𝑥 𝑏ሻ lim 𝑥→𝑐+ 𝑓𝑥 cሻ lim 𝑥→𝑐 𝑓𝑥
- 45. Ejerciciospara el trabajoautónomo En los ejercicios17al 19, analizar la continuidadde la función compuesta 𝒉 𝒙 = 𝒇 𝒈 𝒙 En los ejercicios de 10 al 16, encontrar los valores de x (si existe alguno) en los que f no es continua. ¿Cuáles discontinuidades son evitables o removibles? Si es evitable redefina f de manera que la discontinuidad desaparezca. 7.- 𝒇 𝒙 = 𝟒𝟗− 𝒙𝟐; intervalo −7,7 8.- 𝒈 𝒕 = 𝟑 − 𝟗 − 𝒕𝟐; intervalo −3,3 9.- 𝒈 𝒕 = 𝟑 − 𝟗 − 𝒕𝟐; intervalo −3,3 10.- 𝒇 𝒙 = 𝟏 𝟒−𝒙𝟐 11.- 𝒇 𝒙 = 𝒙−𝟔 𝒙𝟐−𝟑𝟔 12.- 𝒇 𝒙 = 𝒙+𝟐 𝒙𝟐−𝟑𝒙−𝟏𝟎 14.- 𝒇 𝒙 = 𝒙−𝟏 𝒙𝟐+𝒙−𝟐 15.- 𝒇 𝒙 = 𝟑 𝒙+𝟏−𝟏 𝒙 13.- 𝒇 𝒙 = ቊ 𝟑𝒙 − 𝟏 𝒔𝒊 𝒙 < 𝟐 𝟒 − 𝒙𝟐 𝒔𝒊 𝒙 ≥ 𝟐 16.- 𝒇 𝒙 = ൝ 𝟏 𝟑 𝒙 + 𝟏 𝒔𝒊 𝒙 ≤ 𝟐 𝟑 − 𝒙 𝒔𝒊 𝒙 > 𝟐 17.- 𝒇 𝒙 = 𝟏 𝒙−𝟔 𝒈 𝒙 = 𝒙𝟐 + 𝟓 18.- 𝒇 𝒙 = 𝟏 𝒙 𝒈 𝒙 = 𝒙 − 𝟏 19.- 𝒇 𝒙 = 𝒔𝒆𝒏 𝒙 𝒈 𝒙 = 𝒙𝟐 En los ejercicios7 al 9, analizar la continuidadde la función en el intervalo cerrado
- 46. Ejerciciospara el trabajoautónomo En los ejercicios20 al 23, describir los intervalos en los que la función es continua
- 47. Encuentre las asíntotas de la gráfica de las funciones dadas. Ejercicios para el trabajo autónomo 𝒇 𝒙 = 𝒙𝟐 + 𝟏 𝒙𝟐 − 𝟏 𝒇 𝒙 = 𝒙𝟐 + 𝟐 𝒙 − 𝟑 𝒇 𝒙 = 𝟑𝒙𝟑 − 𝟏 𝒙𝟐 − 𝟐𝒙 𝒇 𝒙 = 𝟑𝒙𝟐 𝟐𝒙 + 𝟐 𝒇 𝒙 = −𝒙𝟐 + 𝟏 𝒙𝟐 − 𝟒 𝒇 𝒙 = 𝒙𝟐 𝒙𝟐 − 𝟏 𝒇 𝒙 = 𝒙𝟐 𝒙𝟐 + 𝒙 − 𝟐 𝒇 𝒙 = 𝟓𝒙 𝒙𝟐 + 𝟒 𝒇 𝒙 = 𝒙𝟐 − 𝟓𝒙 + 𝟔 𝒙 − 𝟓 𝒇 𝒙 = 𝟑 + 𝟐𝒙 + 𝟔𝒙𝟐 𝟖 + 𝟒𝒙 − 𝟐𝒙𝟐 𝒇 𝒙 = 𝒙𝟐 − 𝒙 𝒙 − 𝟏𝟎 𝒇 𝒙 = 𝒕𝟐 − 𝟗 𝟐𝒕𝟐 + 𝟕𝒕 + 𝟑 𝒇 𝒙 = 𝒙𝟐 − 𝟑𝒙 𝒙 − 𝟏 𝒇 𝒙 = 𝒙 − 𝟏 𝒙 − 𝟏 𝒇 𝒙 = 𝟐𝒙 + 𝟖 𝒙𝟐 − 𝟐𝟓𝒙 + 𝟔 𝒇 𝒙 = 𝒙𝟐 − 𝟐𝒙 + 𝟐 𝒙 − 𝟏 𝒇 𝒙 = 𝒙 + 𝟏 𝒙𝟐 + 𝟏 𝒇 𝒙 = 𝒙𝟐 + 𝟏 𝒙 − 𝟏 𝒇 𝒙 = 𝒙𝟐 𝒙𝟐 − 𝟒 𝒇 𝒙 = 𝒙 + 𝟑 𝒙𝟐 − 𝟏