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- 1. CONTINUIDAD
- 2. En matemáticas y ciencias utilizamos la palabra continuo para describir un proceso que se lleva a cabo sin cambios abruptos. Es esta noción de continuo que con respecto a funciones es la que ahora se desea precisar.
- 3. Para una función f, la idea intuitiva de continuidad es que la curva que representa a la grafica de la función debe ser un trazo sin interrupciones o saltos.
- 5. De los tres gráficos mostrados, solo el tercer grafico exhibe continuidad en c. • En el primer grafico lim 𝑥⟶𝑐 𝑓 𝑥 no existe . • En el segundo grafico lim 𝑥⟶𝑐 𝑓 𝑥 existe pero no es igual a 𝑓 𝑐 • En el tercer grafico lim 𝑥⟶𝑐 𝑓 𝑥 existe y es igual a 𝑓 𝑐
- 6. DEFINICIÓN( Continuidad en un punto) La función 𝑓: ℝ → ℝ es continua en 𝑐 si a. f esta definida en c. b. lim x→c f(x) existe. c. lim x→c f x = f(c) Si no se cumple alguna de estas condiciones se dice que 𝑓 es discontinua en 𝑐.
- 7. EJEMPLO 1 Sea la función 𝑓 definida por 𝑓 𝑥 = 𝑥2−4 𝑥−2 , 𝑥 ≠ 2 ¿Cómo debe definirse 𝑓 en 𝑥 = 2 para que sea continua en 𝑥 = 2 ? SOLUCION
- 8. SOLUCIÓN lim 𝑥⟶2 𝑥2 − 4 𝑥 − 2 = lim 𝑥⟶2 𝑥 − 2 𝑥 + 2 (𝑥 − 2) = lim 𝑥⟶2 𝑥 + 2 = 4 Por lo tanto, definimos 𝑓 2 = 4 para que la función sea continua en 2.
- 9. EJEMPLO 2 Sea la función 𝑓 definida por 𝑓 𝑥 = ቊ 𝑥 + 1 , 𝑥 ≤ 1 3 − 𝑎𝑥2 , 𝑥 > 1 ¿Cual de ser el valor de 𝑎 para que la función 𝑓 sea continua en x=1? SOLUCION
- 10. SOLUCIÓN i.- 𝑓 1 = 2 ii.- lim 𝑥→1− 𝑓 𝑥 = lim 𝑥→1− 𝑥 + 1 = 2 lim 𝑥→1+ 𝑓 𝑥 = lim 𝑥→1+ 3 − 𝑎𝑥2 = 3 − 𝑎 2 = 3 − 𝑎 ⇒ 𝑎 = 1 Por lo tanto, para 𝑎 = 1 la función es continua en el punto x=1.
- 12. DISCONTINUIDAD REMOVIBLE Un punto 𝑎 es llamado punto de discontinuidad removible o evitable si 𝑓 no esta definida en 𝑥 = 𝑎 pero lim 𝑥→𝑎 𝑓(𝑥) existe o si 𝑓 esta definida en 𝑥 = 𝑎 pero lim 𝑥→𝑎 𝑓(𝑥) ≠ 𝑓(𝑎) Este punto es llamado punto de discontinuidad removible o evitable, pues la función 𝑓 puede ser redefinida en 𝑥 = 𝑎 mediante 𝑓∗ de la siguiente manera: 𝑓∗ (𝑥) = ൞ 𝑓 𝑥 , 𝑠𝑖 𝑥 ≠ 𝑎 lim 𝑥→𝑎 𝑓 𝑥 , 𝑠𝑖 𝑥 = 𝑎 La nueva función 𝑓∗ es continua en 𝑥 = 𝑎 y se llama la extensión o prolongación continua de 𝑓 en 𝑥 = 𝑎.
- 13. DISCONTINUIDAD ESENCIAL Un punto 𝑎 es llamado punto de discontinuidad esencial si lim 𝑥→𝑎 𝑓(𝑥) no existe o no es finito.
- 14. EJEMPLO 3 Sea la función 𝑓 definida por 𝑓 𝑥 = 𝑥2 − 1 𝑥3 − 1 Estudiar la continuidad de 𝑓 en 𝑥 = 1.
- 15. SOLUCIÓN 𝑓 no esta definida en 𝑥 = 1. Como no se satisface la condición 1 de la definición de continuidad se tiene que 𝑓 es discontinua en 𝑥 = 1. lim 𝑥→1 𝑓(𝑥) = lim 𝑥→1 𝑥2 − 1 𝑥3 − 1 = lim 𝑥→1 𝑥 + 1 𝑥 − 1 𝑥 − 1 𝑥2 + 𝑥 + 1 = lim 𝑥→1 𝑥 + 1 𝑥2 + 𝑥 + 1 = 2 3 Dado que lim 𝑥→1 𝑓(𝑥) existe se tiene que la discontinuidad en 𝑥 = 1 es eliminable La extensión continua 𝑓∗ de 𝑓 en 𝑥 = 1 es: 𝑓∗ (𝑥) = 𝑥2 − 1 𝑥3 − 1 , 𝑠𝑖 𝑥 ≠ 1 2 3 , 𝑠𝑖 𝑥 = 1
- 16. EJEMPLO 4 Sea la función 𝑓 definida por 𝑓 𝑥 = ቐ 𝑥 𝑥 , 𝑠𝑖 𝑥 ≠ 0 0, 𝑠𝑖 𝑥 = 0 Estudiar la continuidad de 𝑓 en 𝑥 = 0
- 17. SOLUCION i.- f 0 = 0 ii.- Como lim 𝑥→0− 𝑓(𝑥) = lim 𝑥→0− −𝑥 𝑥 = −1 𝑦 lim 𝑥→0+ 𝑓(𝑥) = lim 𝑥→0+ 𝑥 𝑥 = +1 se tiene que lim 𝑥→0 𝑓(𝑥) no existe. Como no se cumple la condición 2 , se tiene que 𝑓 es discontinua en 𝑥 = 0 y ya que el limite no existe, la discontinuidad en 𝑥 = 0 es esencial.
- 18. EJEMPLO 5 Hallar los valores de 𝑎 y 𝑏 para que la función 𝑓 definida por 𝑓 𝑥 = ቐ 𝑥 + 2𝑎 , 𝑥 < −2 3𝑎𝑥 + 𝑏 , −2 ≤ 𝑥 < 1 3𝑥 − 2𝑏 , 𝑥 ≥ 1 sea continua en ℝ. SOLUCION
- 19. SOLUCION Analizamos la continuidad en los puntos 𝑥 = −2 y 𝑥 = 1 En 𝑥 = −2 lim 𝑥→−2− 𝑓 𝑥 = lim 𝑥→−2− 𝑥 + 2𝑎 = −2 + 2𝑎 lim 𝑥→−2+ 𝑓 𝑥 = lim 𝑥→−2+ 3𝑎𝑥 + 𝑏 = −6𝑎 + 𝑏 de donde se tiene que −2 + 2𝑎 = −6𝑎 + 𝑏 8𝑎 − 𝑏 = 2
- 20. En 𝑥 = 1 lim 𝑥→1− 𝑓 𝑥 = lim 𝑥→1− 3𝑎𝑥 + 𝑏 = 3𝑎 + 𝑏 lim 𝑥→1+ 𝑓 𝑥 = lim 𝑥→1+ 3𝑥 − 2𝑏 = 3 − 2𝑏 de donde se tiene que 3𝑎 + 𝑏 = 3 − 2𝑏 𝑎 + 𝑏 = 1 Resolviendo el sistema ቊ 8𝑎 − 𝑏 = 2 𝑎 + 𝑏 = 1 𝑎 = 1 3 𝑏 = 2 3
- 21. EJEMPLO 6 Estudiar la continuidad de la función 𝑓 definida por 𝑓 𝑥 = 2𝑥 + 8 𝑥2 + 3𝑥 − 4 Determinar los puntos de discontinuidad e identificar el tipo de discontinuidad y cuando sea posible hacer la extensión continua.
- 22. La función 𝑓 definida por 𝑓 𝑥 = 2𝑥 + 8 𝑥 + 4 𝑥 − 1 no esta definida en 𝑥 = −4 y en 𝑥 = 1 , en consecuencia 𝑓 es discontinua en dichos puntos. Análisis del tipo de discontinuidad En 𝑥 = −4 lim 𝑥→−4 2𝑥 + 8 𝑥 + 4 𝑥 − 1 = lim 𝑥→−4 2(𝑥 + 4) 𝑥 + 4 𝑥 − 1 = lim 𝑥→−4 2 𝑥 − 1 = − 2 5 Por lo tanto, en 𝑥 = −4 se tiene una discontinuidad removible
- 23. La extensión continua 𝑓∗ de 𝑓 en 𝑥 = −4 es: 𝑓∗ 𝑥 = 2𝑥 + 8 𝑥 + 4 𝑥 − 1 , 𝑠𝑖 𝑥 ≠ −4 − 2 5 , 𝑠𝑖 𝑥 = −4
- 24. En 𝑥 = 1 lim 𝑥→1+ 2𝑥 + 8 𝑥 + 4 𝑥 − 1 = lim 𝑥→1+ 2(𝑥 + 4) 𝑥 + 4 𝑥 − 1 = 2 0+ = 2 0+ = +∞ lim 𝑥→1− 2𝑥 + 8 𝑥 + 4 𝑥 − 1 = lim 𝑥→1− 2(𝑥 + 4) 𝑥 + 4 𝑥 − 1 = 2 0− = −∞ Por lo tanto, en 𝑥 = 1 se tiene una discontinuidad esencial.