S5-DFT.pdf

Procesamiento digital de señales
Semana 5.
DFT
Dra. María del Pilar Gómez Gil
Otoño 2017
Coordinación de computación
INAOE
Versión: 11 de Octubre 2017
(c) P.Gómez Gil, INAOE 2017 1

Tema
La transformada
Discreta de Fourier
(tarea: leer los capítulo 8 y 9 del libro de texto)
Gran parte del material de esta presentación fue tomado de:
Smith, Steven The Scientist and Engineer's Guide to Digital Signal Processing
W. , Second Edition, 1999, California Technical Publishing
Smith, Steven W. Digital Signal Processing. A Practical Guide for Engineers and
Scientist. Amsterdam: Newnes, Elsevier Science. 2003. ISBN: 0-750674-44-X.

Fasor
O Es la representación de un número
complejo a través de un vector que gira a
cierta velocidad en el plano real-imaginario
O Se puede escribir como:









 
a
b
b
a
bj
a 1
2
2
tan
cis = “Coseno  + i Sen  “

Representación de un número
complejo
Real
Imag.

a
b









 
a
b
b
a
bj
a 1
2
2
tan

Ecuación ó Identidad de Euler
1
constante
)
(
)
(





j
w
wt
jSen
wt
Cos
ejwt
fasor
un
es
jwt
e

Proyección de un fasor en el eje
de los números reales
Animación de la
proyección de la parte
real de un número
complejo que gira, lo
cual dibuja un coseno !!!
By Gonfer at English
Wikipedia, CC BY-SA 3.0,
https://commons.wikim
edia.org/w/index.php?c
urid=11313700

Transformaciones de señales
O Una señal se puede descomponer en la
combinación de otras señales base
O Una transformación es la representación de
una señal utilizando algún otro sistema de
funciones base
O En PDS se utilizan mucho las tranformaciones.
Las mas comunes son las transformadas
discretas de Fourier (DFT), Laplace, Z, Hilbert,
wavelets (WT) y Coseno (DCT)

El concepto de “funciones base” base,
con un ejemplo de “kinder” 
Para hacer plastilina “verde” cuando no tienes…
Verde = 0.4 x Azul + 0.6 x Amarillo
8





































e
d
r
e
v
amarillo
rojo
azul
6
.
0
0
4
.
0

La familia de Transformadas
de Fourier
O El análisis de Fourier debe su nombre a
Jean Baptiste Joseph Fourier (1768-1830)
O Fourier estaba interesado en la
propagación del calor, y en 1807 publicó un
artículo sobre como usar sinusoides para
representar distribuciones de temperatura.
O Allí aseguró que cualquier señal periódica
podría representarse como la suma de
ondas sinusoidales, escogidas
correctamente.
(Smith, 1999)

Tipos de FT
Tipo de Señal Discreta Continua
Periódica Transformada de
Fourier Discreta (DFT)
Serie de Fourier
Aperiódica Transformada de
Fourier en tiempo
discreto (Discrete
Time Fourier
transform, DTFT)
Requiere un número
infinito de sinusoides!
Transformada de
Fourier
Requiere un número
infinito de sinusoides!

(Smith, 1999)

Transformada Discreta de
Fourier (DFT)
(El único tipo que pueden usar las computadoras, pues
solo manejan señale discretas y finitas)
DFT
Señal en el
tiempo (n)
f(n)
Señal en la
frecuencia (u)
F(u)

Transformada Discreta de Fourier
(cont.)
f(n)
n)
K(u,
F(u) 
u = 0,1,2, ..., N-1





1
0
2
)
(
)
(
N
n
un
N
j
e
n
f
u
F

13
K se conoce como el “núcleo” de la transformada

DFT expandida
O La DFT puede expandirse en n (dominio del tiempo),
o en u (dominio de la frecuencia)
(c) P.Gómez Gil, INAOE 2017
14
 
 
 

















1
0
1
2
1
0
1
2
1
0
0
2
)
(
)
1
(
)
(
)
1
(
)
(
)
0
(
N
n
n
N
N
j
N
n
n
N
j
N
n
n
N
j
e
n
f
N
F
e
n
f
F
e
n
f
F





DFT expandida (cont.)
     
1
2
1
2
0
2
)
1
(
)
1
(
)
0
(
)
(







N
u
N
j
u
N
j
u
N
j
e
N
f
e
f
e
f
u
F





Kernel o núcleo de
transformación










































)
1
(
)
1
(
)
0
(
)
1
(
)
1
(
)
0
(
2
N
f
f
f
e
N
F
F
F
un
N
j



<---- n -------->
u







 un
N
j
e

2
W Núcleo de transformación

Ejemplo
O Calcular la DFT de {2, 0, 1, 3}
Para este ejemplo N=4, entonces
ya que, por la ecuación de Euler:
j
j
jSen
Cos
e
j







0
2
2
2



 
 
un
un
j
un
N
j
j
e
e 

















2
2 

W

Cálculo del kernel para el ejemplo
  
  
   j
j
j
j













)
1
(
1
1
1
1
1
1
3
2
Recodar que…

Cálculo del kernel para el
ejemplo (cont.)
 
 
       
           
           
             
               j
j
j
j
j
j
j
j
j
j
j
j
j
j
j
j
j
j
j
j
j
j
j
j
j
j
j
















































)
(
1
1
1
)
(
1
1
1
1
)
1
(
1
1
)
1
(
1
1
1
)
1
(
1
1
1
3
3
3
9
9
2
3
3
6
6
2
2
4
4
2
3
3
2
2
2
1
0

Cálculo del kernel para el
ejemplo (cont.)


















































j
j
j
j
j
j
j
j
j
j
j
j
j
j
j
j
j
j
j
j
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
9
6
3
1
6
4
2
0
3
2
1
0
0
0
0
0
W

Ejemplo (cont.)
























































































2490
.
1
10
0
2490
.
1
10
0
6
3
1
0
3
1
6
3
1
0
2
3
1
0
2
3
1
0
2
3
1
0
2
3
1
0
2
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
j
j
j
j
j
j
j
j
F(u)

Ejemplo sobre manejo de números complejos en
Matlab y uso de función “fft” (código aquí)
(c) P.Gómez Gil, INAOE 2017
22

Ejemplo sobre manejo de números complejos en
Matlab y uso de función “fft” (cont.)

Ejecución del ejemplo

Otro ejemplo de cálculo DFT
Código

Otro ejemplo (cont.)

Sobre la parte real y parte
imaginaria de la DFT
O La DFT de una función con N puntos resulta
en un número complejo con N puntos.
Entonces la DFT puede dividirse en dos
componentes: una parte real y una
imaginaria.
O La parte real corresponde a los
componentes coseno y la imaginaria a los
componentes seno.

Parte real e imaginaria de DFT
(Smith, 1999)

(Smith, 1999)

En el ejemplo anterior…
z= real(fft(x));

¿Qué representa el eje horizontal
de F(u)? (1/3)
O Recordemos que la forma general de una función
coseno continua está dada por:
donde w es la frecuencia, dada en
radianes/segundo
O 2π radianes = 360º = darle una vuelta a un circulo
Entonces:
Donde f = frecuencia en ciclos/segundo = Hertz
33
)
cos(
)
( wt
t
x 
)
2
cos(
)
( ft
t
x 


34
"Sine cosine one period" by Geek3 - Own work.
Licensed under Creative Commons Attribution 3.0 via
Wikimedia Commons -
http://commons.wikimedia.org/wiki/File:Sine_cosine_one_pe
riod.svg#mediaviewer/File:Sine_cosine_one_period.svg

¿Qué representa el eje horizontal
de F(u)? (2/3)
O La función coseno discreta se define como:
donde es el periodo de muestreo.
se conoce como frecuencia
normalizada ó natural
35
)
2
cos(
)
( n
f
f
nT
x
muestreo
señal
muestreo 

)
2
cos(
)
( muestreo
señal
muestreo nT
f
nT
x 

muestreo
T
muestreo
señal
f
f

2



0 N/2 N-1 Sin dimensión
(posicional) u
π 2π Radianes
0.5 1 sin dimensiones
Hz
¿Qué representa el eje horizontal de
F(u)? (3/3)
36
muestreo
señal
f
f
señal
f
Lo sombreado representa al rango “útil” o disponible de frecuencias
de cualquier sistema discreto
2
muestreo
f
Frecuencia de Nyquist !
muestreo
f
muestreo
señal
f
f

2



Funciones base de la DFT
(Smith, 1999)

Figura 8.5 de (Smith, 1999)

Cont. Figura 8.5 de (Smith, 1999)

Síntesis de la DFT
(Ecuaciones 8.2 y 8.3, Smith 1999)

O Se define como:
para n = 0,1 .. N-2
O Al comparar esta ecuación con la de DFT, se
nota que solo el signo del exponencial es
diferente!
DFT inversa
)
(
1
)
(
2
1
0
u
F
e
N
n
f
un
N
j
N
n





41

O Obtener la transformada inversa de:
Ejemplo
 
j
j
u
F 3
1
,
0
,
3
1
,
6
)
( 





























































3
1
0
2
12
4
0
8
4
1
3
1
0
3
1
6
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
)
(
j
j
j
j
j
j
n
f
42

O Multiplicación del primer renglón por
primera columna:
O Multiplicación del cuarto renglón por
primera columna:
Ejemplo (cont.)
8
3
1
0
3
1
6 




 j
j
12
6
6
3
3
6 2
2
2






 j
j
j
j
j
43

O Leer:
Ramirez-Cortés JM, Gómez-Gil MdP, Baez-
López D. “El Algoritmo de la Transformada
Rápida de Fourier y su Controvertido Origen”,
Revista Ciencia y Desarrollo, Vol. XXIV, No.
139, Marzo-Abril 1998.
Disponible en:
http://www-elec.inaoep.mx/~jmram/cvjmr/El algoritmo
de la FFT y su controvertido 1998.pdf
Transformada Rápida de Fourier
44

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