Sistema de kleene

UNIVERSIDAD DE LOS ANGELES
ING.SISTEMAS COMPUTACIONALES
MATERIA:LOGICA MATEMATICA
AVANZADA
SISTEMA KLEENE

 Estructura deductiva:
es una representación
formal de un proceso de razonamiento para
obtener una conclusión a partir de unas
premisas.
 Las deducciones se demuestran fórmula a
fórmula.

 Un sistema de fórmulas válidas.
 Una serie de fórmulas que se asumen como
válidas por hipótesis (axiomas del sistema)
 Unas reglas de demostración o inferencia
que permiten obtener nuevas fórmulas
válidas a partir de los axiomas.
 Una definición de deducción que permita,
aplicando las reglas,
 representar cualquier deducción correcta.

 Es necesario que el conjunto de axiomas y
reglas sea consistente (no contradictorio):
 No pueda demostrarse una fórmula y su
negación.
DEFINICIÓN:
un sistema de demostración formal S o
sistema de pruebas se define
matemáticamente mediante los

SIGUIENTES CUATRO ELEMENTOS:
 A es el alfabeto del sistema: el conjunto de
símbolos que se pueden utilizar,
 F es el conjunto de reglas de sintaxis: las reglas
que permiten definir las fórmulas bien
construidas,
 X es el conjunto de axiomas: fórmulas válidas
por definición,
 R es el conjunto de reglas de inferencias: reglas
de transformación
que permiten inferir una fórmula, la conclusión,
a partir de un conjunto de fórmulas, las
condiciones o premisas.

Un sistema de demostración S como
el anterior se puede representar en
forma compacta como
S = (A,F,X,R):
 Existen varios sistemas, entre los
que podemos
mencionar:
– Sistema L (Lukasiewizc y Church).
– Sistema PM. (Principia
Mathematica)
– Sistema de Kleene.

Sistema axiomático KLEENE:
K = (A,F,X,R)
DEFINIDO POR:
• A: EL ALFABETO ESTÁ COMPUESTO POR LOS SÍMBOLOS P; Q, R, S, T,.. DE
PROPOSICIONES
ATÓMICAS, LOS SÍMBOLOS DE CONECTIVAS (~,∧,∨,→) Y LOS SÍMBOLOS DE
PARÉNTESIS “(“ ,
“)”.
• F: EL CONJUNTO DE LAS FÓRMULAS BIEN CONSTRUIDAS (FBC) SE DEFINE
RECURSIVAMENTE
COMO:
AT : TODA PROPOSICIÓN ATÓMICA ES UNA FBC,
~ : SI A ES UNA FBC ENTONCES ~A ES UNA FBC,
RESTO: SI A Y B SON DOS FBC, ENTONCES A∧B, A∨B, A→B, B→A SON FBC.
– TODA FBC SE OBTIENE MEDIANTE LAS TRES REGLAS ANTERIORES.
– NOTA: EN LO QUE SE SIGUE USAREMOS TAMBIÉN LA CONECTIVA DE EQUIVALENCIA
(O
BICONDICIONAL) ENTRE DOS FÓRMULAS, A↔B: ESTA CONECTIVA SE ENTENDERÁ
COMO
UNA FORMA ABREVIADA DE REPRESENTAR LA FÓRMULA BIEN CONSTRUIDA (A → B) ∧
(B
→ A).

X:
R:
AXIOMAS DE KLEENE Y REGLA DE
DEMOSTRACIÓN
Fórmula válida
De A→B y A,
se puede deducir B
(como fórmulas válidas)

• EJEMPLO DE DEMOSTRACIÓN:
T. IDENTIDAD: A→A
1. ├ A → (A → A) AXIOMA 1 DE KLEENE B􀃙A
2. ├ (A → (A → A)) →
((A→((A→A)→A))→(A→A))
AXIOMA 2 DE KLEENE, DEFINIENDO B􀃙A→A, C
􀃙A, A􀃙A
3. ├ (A→((A→A)→A))→(A→A) MODUS PONENS
1 Y 2
4. ├ (A→((A→A)→A)) AXIOMA 1 DE KLEENE,
DEFINIENDO B􀃙A→A
5. ├ (A→A) MODUS PONENS 4,3

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