-sistemas (1)

Matemáticas aplicadas a las Ciencias Sociales II
Ejercicios resueltos de los exámenes de Selectividad propuestos en Castilla-La Mancha
Autor: Pedro Castro Ortega, profesor del IES “Fernando de Mena” de Socuéllamos (Ciudad Real)
Sistemas de ecuaciones lineales. Método de Gauss 1
Sistemas de ecuaciones. Método de Gauss
(Ejercicios propuestos antes del año 2000)
1. La suma de las edades de un padre y sus dos hijos es 48. Dentro de 10 años, el doble
de la suma de las edades de los hijos, excederá en 6 años a la edad del padre.
Cuando nació el pequeño, la edad del padre excedía en 6 unidades al triple de la
edad que tenía el hijo mayor. Calcula las edades de los tres.
Solución:
Llamemos x a la edad del padre y a la edad del hijo mayor y z a la edad del hijo
pequeño. Dentro de 10 años tendrán, respectivamente, 10x + , 10y + y 10z + años.
Cuando nació el pequeño, el padre y el hijo mayor tenían x z− y y z− años,
respectivamente. Entonces:
( ) ( )( ) ( )
( )
48 48 48
2 10 10 10 6 2 2 40 16 2 2 24
3 3 6 3 2 63 6
x y z x y z x y z
y z x y z x x y z
x z y z x y zx z y z
 + + = + + = + + = 
  
+ + + = + + ⇒ + + = + ⇒ − + + = −  
  − = − + − + =− = − +  
Apliquemos el método de Gauss para resolver el sistema anterior:
3 22 1
3 1
3 4
1 1 1 48 1 1 1 48 1 1 1 48
1 2 2 24 0 3 3 24 0 3 3 24
1 3 2 6 0 4 1 42 0 0 15 30
f ff f
f f
++
−
     
     
− − → →     
     − − − −     
El sistema asociado es
48
3 3 24
15 30
x y z
y z
z
+ + =

+ =
 = −
. De aquí se deduce que 2z = − , 10y = ,
40x = .
Esto quiere decir que el padre tiene 40 años, el hijo mayor 10 años y al hijo menor
todavía le faltan 2 años para nacer.
Observa que la expresión de la última frase “cuando nació el pequeño”, toma un
significado futuro al ser 2z = − ; con lo que querrá decir “dentro de 2 años”. †
2. En una reunión, cierta parte de los presentes están jugando, otra parte, están
charlando y el resto, que es la cuarta parte del total, bailando. Más tarde, 4 dejan el
juego por el baile, 1 de la charla por el juego y 2 dejan el baile por la charla, con lo
cual, el número de personas que está en cada grupo es el mismo. ¿Cuántas personas
componen la reunión?
Solución:
Llamemos x al número de personas que, al principio, están jugando, y al número de
personas que están charlando, y z al número de personas que están bailando.
Los que están bailando son la cuarta parte del total: 4
4
x y z
z z x y z
+ +
= ⇒ = + +
3 0x y z⇒ − − + = . Más tarde:
• 4 dejan el juego por el baile: juegan 4x − y bailan 4z + .

• 1 deja la charla por el juego: charlan 1y − y juegan 4 1 3x x− + = − .
• 2 dejan el baile por la charla: bailan 4 2 2z z+ − = + y charlan 1 2 1y y− + = + .
O sea, que finalmente, juegan 3x − , charlan 1y + y bailan 2z + . Además, en ese
momento el número de personas que está en cada grupo es el mismo: 3 1x y− = + ,
1 2y z+ = + .
Podemos plantear pues el siguiente sistema
3 0 3 0
3 1 4
1 2 1
x y z x y z
x y x y
y z y z
− − + = − − + = 
 
− = + ⇒ − = 
 + = + − = 
Utilizando el método de Gauss para resolverlo se tiene:
3 22 1 2
1 1 3 0 1 1 3 0 1 1 3 0
1 1 0 4 0 2 3 4 0 2 3 4
0 1 1 1 0 1 1 1 0 0 1 6
f ff f ++
− − − − − −     
     
− → − → −     
     − −     
El sistema asociado es:
3 0
2 3 4
6
x y z
y z
z
− − + =

− + =
 =
, de donde 6z = , 7y = , 11x =
Por tanto, al principio había 11 personas jugando, 7 personas charlando y 6 personas
bailando, con lo que la reunión la componen 24 personas. †
3. Tres amigos acuerdan jugar tres partidas de dados de forma que, cuando uno pierda
una partida, entregará a cada uno de los otros dos una cantidad igual a la que cada
uno de ellos posea en ese momento. Cada uno perdió una partida y al final cada uno
tenía 24 pesetas. ¿Cuánto dinero tenía cada jugador al comenzar el juego?
Solución:
Supongamos que, al comenzar el juego, el primer amigo tenía x pesetas, el segundo
y pesetas y el tercer amigo z pesetas. Podemos suponer que la primera partida la
pierde el primer amigo, la segunda el segundo amigo y la tercera el tercer amigo.
Veamos lo que ocurre después de cada partida (tengamos en cuenta que el que
pierde entrega a los otros una cantidad igual a la que tienen en ese momento).
Naturalmente, el total después de cada partida debe ser siempre x y z+ + :
Después de partida 1
(pierde amigo 1)
(pierde amigo 2)
(pierde amigo 3)
Amigo 1 (x) x y z− − ( )2 x y z− − =
2 2 2x y z= − −
( )2 2 2 2x y z− − =
4 4 4x y z= − −
Amigo 2 (y) 2y y y+ =
( )2 2y x y z z− − − − =
3x y z= − + −
( )2 3x y z− + − =
= 2 6 2x y z− + −
Amigo 3 (z) 2z z z+ = ( )2 2 4z z=
( )4 2 2 2z x y z− − − −
( )3x y z− − + − =
7x y z= − − +
Total x y z+ + x y z+ + x y z+ +

Como al final cada uno tiene 24 pesetas podemos plantear el siguiente sistema de
ecuaciones:
4 4 4 24 6
2 6 2 24 3 12
7 24 7 24
x y z x y z
x y z x y z
x y z x y z
− − = − − = 
 
− + − = ⇒ − + − = 
 − − + = − − + = 
, que resolveremos por el
método de Gauss:
3 22 1
3 1
1 1 1 6 1 1 1 6 1 1 1 6
1 3 1 12 0 2 2 18 0 2 2 18
1 1 7 24 0 2 6 30 0 0 4 48
f ff f
f f
++
+
− − − − − −     
     − − → − → −     
     − − −     
6
2 2 18
4 48
x y z
y z
z
− − =

− =
 =
, de donde 12z = , 16y = , 34x =
Por tanto el primer amigo tenía 34 pesetas, el segundo amigo 16 pesetas y el tercer
amigo 12 pesetas. †
4. La suma de las edades, en el momento actual de un padre y sus dos hijos es 73 años.
Dentro de 10 años la edad del padre será el doble de la edad del hijo menor. Hace 12
años la edad del hijo mayor era doble de la edad de su hermano. Hallar la edad de
cada uno.
Solución:
5. Se venden tres especies de cereales: trigo, cebada y mijo. El trigo se vende cada
“cahíz” por 4 denarios. La cebada se vende cada “cahíz” por 2 denarios. El mijo se
vende cada “cahíz” por 0,5 denarios. Si se venden 100 “cahíces” y se obtiene por la
venta 100 denarios, ¿cuántos “cahíces” de cada especie se venden? Interpreta la(s)
solución(es).
Solución:
Llamemos x, y, z, a los “cahíces” que se venden de trigo, cebada y mijo,
respectivamente. Entonces:
100
4 2 0 5 100
x y z
x y , z
+ + =

+ + =
. Resolvamos el sistema por el
método de Gauss:
2 2 12 81 1 1 100 1 1 1 100 1 1 1 100
4 2 0 5 100 8 4 1 200 0 4 7 600
f f f
,
−     
→ →     
− − −     
100
4 7 600
x y z
y z
+ + =

− − = −
. Este sistema tiene infinitas soluciones.
Llamemos z = λ . Entonces
100
4 600 7
x y
y
+ = − λ

− = − + λ
, de donde
600 7
4
y
− + λ
= ⇒
−
7 600
4 4
y
−
⇒ = λ + . Sustituyendo en la primera ecuación
7 600
100
4 4
x − λ + = − λ ⇒

3 200
4 4
x⇒ = λ −
El número de “cahíces” que se venden ha de mayor que cero. Así pues:
7 600 7 600 600
0 0 7 600
4 4 4 4 7
y
− − −
> ⇔ λ + > ⇔ λ > ⇔ − λ > − ⇔ λ <
3 200 3 200 200
0 0 3 200
4 4 4 4 3
x > ⇔ λ − > ⇔ λ > ⇔ λ > ⇔ λ >
Por tanto z = λ debe ser un número comprendido entre
200
66 67
3
,≅ y
600
85 71
7
,≅
Un múltiplo de 4 comprendido entre estos dos valores es, por ejemplo, 68. Una
posible solución sería pues 68z = ,
3 200 3 200
68 1
4 4 4 4
x x x= λ − ⇒ = − ⇒ = ,
7 600 7 600
68 31
4 4 4 4
y y y
− −
= λ + ⇒ = + ⇒ = . En este caso se vendería 1 “cahíz” de
trigo, 31 de cebada y 68 de mijo.
Si se venden “cahíces” enteros, las posibles soluciones para z (“cahíces” de mijo)
son: 68, 72, 76, 80 y 84. A partir de éstas se pueden obtener los correspondientes
“cahíces” que se venden de trigo y cebada. †
6. La edad de un padre es doble que la suma de las edades de sus dos hijos, mientras
que hace unos años (exactamente la diferencia de las edades actuales de los hijos) la
edad del padre era triple que la suma de las edades en aquel tiempo de sus hijos.
Cuando pasen tantos años como la suma de las edades actuales de los hijos, la suma
de edades de las tres personas será 150 años. ¿Qué edad tenía el padre en el
momento del nacimiento de cada uno de sus hijos?
Solución:
7. Resolver los siguientes sistemas de ecuaciones lineales utilizando el método de
Gauss:
a)
1
0
1
2
x y z t
x y z t
x y z t
x y z t
+ + + = 
− + − = 

+ − − = − 
+ + − = 
; b)
3 4 3 3
2 3 1
0
3 2
x y z
x y z
x y z
x y z
+ + = 
+ + = 

− + = 
− − = 
; c)
1
3 2 0
2 3 1
2
x y z t
x y z t
x y z t
x z t
− − + = 
+ + + = 

+ + + = 
− + − = − 
;

d)
3 3 5 8
2 3 3
2 4 7
4
x y z
x y z
x y z
x y z
− − = 
− − = 

− − = 
+ − = 
; e)
3 2 2
3 4
2 2 1
3
x y z t
x y t
x y z t
x y t
− − + = − 
− + − = 

− − + = 
+ + = − 
; f)
2 4
2 3 4 6
3 5 1
2 3 4 3
x y z
x y z
x y z
x y z
+ + = 
− + = 

− + = 
− + = − 
;
g)
3 0
2 2 2
4 3 3
5 6
x y z t
x y z t
x y z t
x y z t
+ − + = 
+ + + = − 

+ − + = − 
+ + − = 
Solución:
a)
1
0
1
2
x y z t
x y z t
x y z t
x y z t
+ + + = 
− + − = 

+ − − = − 
+ + − = 
⇒ 2 1
3 1
4 1
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
1 1 1 1 0 0 2 0 2 1
1 1 1 1 1 0 0 2 2 2
1 1 1 1 2 0 0 0 2 1
f f
f f
f f
   
   −− − − − −   
   −− − − − − −
   
−− −   
El sistema asociado a esta última matriz es
1
2 2 1
2 2 2
2 1
x y z t
y t
z t
t
+ + + = 
− − = − 

− − = − 
− = 
, de donde
1
2
t = − ,
3
2
z = , 1y = , 1x = − †
b)
3 4 3 3
2 3 1
0
3 2
x y z
x y z
x y z
x y z
+ + = 
+ + = 

− + = 
− − = 
⇒
2 1
3 2 33 1
3 2 34 1
3 4 3 3 3 4 3 3 3 4 3 3
31 2 3 1 0 2 6 0 0 2 6 0
2 7 731 1 1 0 0 7 0 3 0 0 42 6
2 13 631 3 1 2 0 13 6 3 0 0 66 6
f f
f f f /f f
f f f /f f
     
     −     
     +−− − − −
     
+−− − − −     
4 3
3 4 3 3 3 4 3 3
0 2 6 0 0 2 6 0
0 0 7 1 0 0 7 1
7 110 0 11 1 0 0 0 18f f
   
   
   
   − −
   
−   
Sistema incompatible (no tiene solución), pues la última ecuación da lugar a una
contradicción ( 0 18 0 18z = ⇒ = ).†

c)
1
3 2 0
2 3 1
2
x y z t
x y z t
x y z t
x z t
− − + = 
+ + + = 

+ + + = 
− + − = − 
⇒
⇒ 2 1
3 23 1
3 24 1
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
33 1 1 2 0 0 4 4 1 3
4 522 3 1 1 1 0 5 3 1 1
41 0 1 1 2 0 1 0 0 1
f f
f ff f
f ff f
− − − −   
   − − −   
    −− − −
   
++− − − − −   
4 3
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
0 4 4 1 3 0 4 4 1 3
0 0 8 1 11 0 0 8 1 11
20 0 4 1 7 0 0 0 1 3f f
− − − −   
   
− − − −   
   − −
   
+− − − −   
.
1
4 4 3
8 11
3
x y z t
y z t
z t
t
− − + = 
+ − = − 

− + = 
− = − 
, de donde 3t = ,
1z = − , 1y = , 2x = − †
d)
3 3 5 8
2 3 3
2 4 7
4
x y z
x y z
x y z
x y z
− − = 
− − = 

− − = 
+ − = 
⇒ 2 1
3 1 3 2
4 1 4 2
3 3 5 8 3 3 5 8
31 2 3 3 0 3 4 1
3 22 1 4 7 0 3 2 5
3 21 1 1 4 0 6 2 4
f f
f f f f
f f f f
− − − −   
   −− − − −   
   − +− − −
   
− +−   
4 3
3 3 5 8 3 3 5 8
0 3 4 1 0 3 4 1
0 0 6 6 0 0 6 6
0 0 6 6 0 0 0 0f f
− − − −   
   
− − − −   
   − −
   
−−   
3 3 5 8
3 4 1
6 6
x y z
y z
z
− − = 

− − = 
− = 
, de donde 1z = − ,
1y = , 2x = †

e)
3 2 2
3 4
2 2 1
3
x y z t
x y t
x y z t
x y t
− − + = − 
− + − = 

− − + = 
+ + = − 
⇒
2 1
3 1 3 2
4 1 4 2
3 1 1 2 2 3 1 1 2 2
31 3 0 1 4 0 8 1 1 10
3 2 22 2 1 1 1 0 4 1 1 7
3 21 1 0 1 3 0 4 1 1 7
f f
f f f f
f f f f
− − − − − −   
   +− − − −   
   − +− − − − −
   
− −− −   
4 3
3 1 1 2 2 3 1 1 2 2
0 8 1 1 10 0 8 1 1 10
0 0 3 3 24 0 0 3 3 24
0 0 3 3 24 0 0 0 0 0f f
− − − − − −   
   
− − − −   
   − − − −
   
+−   
3 2 2
8 10
3 3 24
x y z t
y z t
z t
− − + = − 

− − = 
− − = 
. Este sistema es compatible
indeterminado (infinitas soluciones). Llamemos t = λ . El sistema anterior se
puede escribir así:
3 2 2
8 10
3 3 24
x y z
y z
z
− − = − λ − 

− = λ + 
− = λ + 
. De la última ecuación se obtiene
8z = −λ − . De la segunda ( )
1
8 8 10 8 2
4
y y y− −λ − = λ + ⇒ = ⇒ = . Y de la
primera ( )
1 39 39
3 8 2 2 3 3
4 4 12
x x x− − −λ − = − λ − ⇒ = − λ − ⇒ = −λ − ⇒
13
4
x⇒ = −λ − †
f)
2 4
2 3 4 6
3 5 1
2 3 4 3
x y z
x y z
x y z
x y z
+ + = 
− + = 

− + = 
− + = − 
⇒ 2 1
3 1 3 2
4 1 4 2
1 2 1 4 1 2 1 4
22 3 4 6 0 7 2 2
33 1 5 1 0 7 2 11
22 3 4 3 0 7 2 11
f f
f f f f
f f f f
   
   −− − −   
   − −− − −
   
− −− − − −   
1 2 1 4
0 7 2 2
0 0 0 9
0 0 0 9
 
 
− − 
 −
 
− 
. Sistema incompatible (no tiene solución), pues las últimas
ecuaciones dan lugar a una contradicción (0 9 0 9z = ⇒ = ).†

g)
3 0
2 2 2
4 3 3
5 6
x y z t
x y z t
x y z t
x y z t
+ − + = 
+ + + = − 

+ − + = − 
+ + − = 
⇒
2 1
3 1 3 2
4 1 4 2
1 3 1 1 0 1 3 1 1 0
22 2 1 1 2 0 4 3 1 2
4 4 94 3 1 1 3 0 9 3 3 3
21 5 1 1 6 0 2 2 2 6
f f
f f f f
f f f f
− −   
   −− − − −   
   − −− − − − −
   
− +− −   
4 3
1 3 1 1 0 1 3 1 1 0
0 4 3 1 2 0 4 3 1 2
0 0 15 3 6 0 0 15 3 6
15 70 0 7 5 10 0 0 0 96 192f f
− −   
   
− − − − − −   
   − − − −
   
+− −   
3 0
4 3 2
15 3 6
96 192
x y z t
y z t
z t
t
+ − + = 
− + − = − 

− − = 
− = 
. De la última
ecuación
192
2
96
t t= − ⇒ = − . De la tercera ecuación 0z = . De la segunda se
obtiene 1y = . Finalmente, de la primera 1x = − .†
8. Clasificar y resolver los siguientes sistemas de ecuaciones:
a)
2 2 4
5
6
6 3 3 2 32
x y z t
x y z t
x y z t
x y z t
− − + = 
+ + − = 

− − + = 
− − + = 
; b)
4 2
2 1
2 3 1
4 9 5
x y z
x y z
x y z
x y z
+ − = 
− − = 

− + = − 
+ − = 
Solución:
9. Entre Carlos, Pedro y Raúl suman 515 libros de distintos géneros literarios. Si al
número de libros que posee Carlos le sumamos el triple de la diferencia entre los
que tienen Pedro y Raúl, entonces Carlos tendría tantos como Raúl. Además 8 veces
el número de volúmenes de Pedro equivale a 9 veces el número de los de Carlos.
¿Cuántos libros tiene cada uno?
Solución:
Llamemos x a los libros que tiene Carlos, y a los que tiene Pedro y z a los libros que
tiene Raúl.
Entonces ( )
515 515
3 3 4 0
9 8 08 9
x y z x y z
x y z z x y z
x yy x
+ + = + + = 
 
+ − = ⇒ + − = 
 − + == 
. Utilizando el método de Gauss:

3 22 1
3 1
2 17
9
1 1 1 515 1 1 1 515 1 1 1 515
1 3 4 0 0 2 5 515 0 2 5 515
9 8 0 0 0 17 9 4635 0 0 103 18025
f ff f
f f
−−
+
     
     
− → − − → − −     
     −     
515
2 5 515
103 18025
x y z
y z
z
+ + =

− = −
 =
. De la tercera ecuación
18025
175
103
z z= ⇒ = . Sustituyendo en la segunda 2 5 175 515y − ⋅ = − ⇒
2 360 180y y⇒ = ⇒ = . Y sustituyendo en la primera 180 175 515 160x x+ + = ⇒ =
Por tanto Carlos tiene 160 libros, Pedro tiene 180 libros y Raúl tiene 175 libros. †
10. Los gastos diarios de tres estudiantes, Marta, Raúl y Pedro suman 1545 pesetas. Si a
lo que gasta Marta se le suma el triple de la diferencia entre los gastos de Raúl y
Pedro obtendremos lo que gasta Pedro. Ocho veces la diferencia entre el gasto de
Raúl y de Marta es igual al gasto de Marta. Averiguar cuál es la cantidad que gasta
cada uno.
Solución:
Llamemos x a la cantidad que gasta Marta, y a la cantidad que gasta Raúl y z a la
cantidad que gasta Pedro. Entonces:
( )
( )
1545 1545
3 3 4 0
9 8 08
x y z x y z
x y z z x y z
x yy x x
 + + = + + =
 
+ − = ⇒ + − = 
 − + =− = 
Resolvamos el sistema por el método de Gauss:
3 22 1
3 1
2 17
9
1 1 1 1545 1 1 1 1545
1 3 4 0 0 2 5 1545
9 8 0 0 0 17 9 13905
f ff f
f f
−−
+
   
   
− → − − →   
   −   
1 1 1 1545
0 2 5 1545
0 0 103 54075
 
 
− − 
 
 
. El sistema asociado es
1545
2 5 1545
103 54075
x y z
y z
z
+ + =

− = −
 =
, de donde se
obtiene
54075
525
103
z z= ⇒ = . Sustituyendo en la segunda ecuación obtenemos:
2 5 1545 2 2625 1545 2 1080 540y z y y y− = − ⇒ − = − ⇒ = ⇒ = . Y sustituyendo en
la primera: 1545 540 525 1545 480x y z x x+ + = ⇒ + + = ⇒ = .
Resumiendo: Marta gasta 480 pesetas, Raúl gasta 540 pesetas y Pedro gasta 525
pesetas. †
11. Una tienda ha vendido 330 discos compactos de música clásica, rock y cantautores
por un importe total de 740.000 pesetas. El precio de un disco compacto de música
clásica es de 2.500 pesetas, y los de grupos de rock y cantantotes un 15% y un 20%
más baratos que los de música clásica, respectivamente. También se sabe que se ha

vendido una cantidad de compactos de cantautores que es igual a los dos tercios del
número de compactos de rock vendidos. Averiguar cuántos discos compactos se han
vendido de cada clase.
Solución:
12. En una tienda de alimentación hay tres productos en oferta: harina, vinagre y botes
de guisantes. Un cliente compró un paquete de harina, cuatro botellas de vinagre y
dos botes de guisantes, por un importe de 200 pesetas, otro cliente compró un bote
de guisantes, dos botellas de vinagre y devolvió un paquete de harina que tenía
insectos en su interior, pagó 70 pesetas, y un tercer cliente compró tres botellas de
vinagre y devolvió dos paquetes de harina, pagando 20 pts. ¿Cuáles eran los precios
de los tres productos? ¿Cómo sería el sistema si el tercer cliente hubiera comprado
dos botes de guisantes y 4 botellas de vinagre y hubiera devuelto dos paquetes de
harina y le hubieran cobrado 150 pesetas?
Solución:
13. Una editorial va a lanzar al mercado tres libros de bolsillo L1, L2 y L3. El importe
total de la edición es 3.750.000 pesetas. Los costes en pesetas por unidad son 700,
500 y 600 respectivamente. Se sabe que el número de ejemplares de L3 es igual a los
dos séptimos de los del tipo L2, y que si al triple del número de ejemplares de L1 se
le suma el número de ejemplares de L3 se obtiene el doble del número de ejemplares
de L2. Averiguar cuántos libros se han editado de cada tipo.
Solución:
Llamemos x, y, z a los libros que se ha editado del tipo L1, L2 y L3, respectivamente.
Entonces:
700 500 600 3750000
700 500 600 3750000
2
2 7 0
7
3 2
3 2
x y z
x y z
z y y z
x y z
x z y
+ + =
+ + =
 
= ⇒ − + = 
  − + =+ =
Aplicando el método de Gauss:
3 1700 3
700 500 600 3750000 700 500 600 3750000
0 2 7 0 0 2 7 0
3 2 1 0 0 2900 1100 11250000
f f−
   
   − → −   
   − − − −   
3 21450
700 500 600 3750000
0 2 7 0
0 0 11250 11250000
f f−
 
 
→ − 
 − − 

700 500 600 3750000
2 7 0
11250 11250000
x y z
y z
z
+ + =

− + =
− = −
, de donde 1000z = ,
3500y = , 2000x =
Por tanto se han editado 2000 libros del tipo L1, 3500 del tipo L2 y 1000 libros del
tipo L3. †
(Ejercicios propuestos a partir del año 2000)
14. En la lista de precios de una cafetería figura la siguiente información:
− Cuatro cafés y un bocadillo cuestan lo mismo que cinco refrescos.
− Cuatro cafés y tres bocadillos cuestan lo mismo que diez refrescos.
− Dos cafés, un refresco y un bocadillo cuestan 950 pesetas.
Calcular el precio de un café, de un refresco y de un bocadillo.
(Junio, 2000)
Solución:
15. Los 345 atletas que llegaron a la meta en una prueba de maratón se peden agrupar
así: Grupo A: Atletas cuyo tiempo final está comprendido entre 2 y 3 horas. Grupo
B: Atletas cuyo tiempo final está comprendido entre 3 y 4 horas y grupo C: Atletas
cuyo tiempo final está comprendido entre 4 y 5 horas. El número de atletas del
grupo A excede en 4 unidades al triple del número de atletas del grupo C. La
diferencia entre el número de atletas del grupo B y el número de atletas del grupo A
es cuatro veces el número de atletas del grupo C disminuido en 4 unidades. Calcular
el número de atletas que hay en cada grupo.
(Septiembre, 2000)
Solución:
Nombremos las incógnitas:
x : Número de atletas del grupo A (tiempo final comprendido entre 2 y 3 horas).
y : Número de atletas del grupo B (tiempo final comprendido entre 3 y 4 horas).
z : Número de atletas del grupo C (tiempo final comprendido entre 4 y 5 horas).
Entonces
345 345
3 4 3 4
4 4 4 4
x y z x y z
x z x z
y x z x y z
+ + = + + = 
 
= + ⇒ − = 
 − = − − + − = − 
Resolviendo el sistema por el método de Gauss:
3 22 1
3 1
2
1 1 1 345 1 1 1 345 1 1 1 345
1 0 3 4 0 1 4 341 0 1 4 341
1 1 4 4 0 2 3 341 0 0 11 341
f ff f
f f
+−
+
     
     
− → − − − → − − −     
     − − − − − −     

345
4 341
11 341
x y z
y z
z
+ + =

− − = −
− = −
.
De la tercera ecuación se obtiene 31z = .
De la segunda 4 341 124 341 217 217y z y y y− − = − ⇒ − − = − ⇒ − = − ⇒ =
Y de la primera 345 217 31 345 97x y z x x+ + = ⇒ + + = ⇒ =
Por tanto hay 97 atletas del grupo A (tiempo final comprendido entre 2 y 3 horas),
217 atletas del grupo B (tiempo final comprendido entre 3 y 4 horas), y 31 atletas
del grupo C (tiempo final comprendido entre 3 y 4 horas). †
16. Según la Guía Oficial de Hoteles, en una ciudad del litoral levantino existen 106
establecimientos contando los de 2*
(dos estrellas), los de 3*
(tres estrellas) y los de
4*
(cuatro estrellas). Si 9 hoteles de 3*
pasaran a la categoría de 2*
, entonces habría
igual número de hoteles de 2*
y de 3*
. En cambio, si hubiera un hotel más de 2*
,
entonces el número de éstos sería cuatro veces el número de los de 4*
. ¿Cuántos
hoteles hay de 2*
, 3*
y de 4*
?
(Reserva 1, 2000)
Solución:
17. Una persona reparte entre sus tres hijos el premio obtenido en un sorteo, de la forma
siguiente: Al mayor le asigna la mitad de la suma de las cantidades que
corresponden a los otros dos. Al hijo mediano le asigna la mitad de la suma de las
cantidades que corresponden a los otros dos. Al hijo menor le asigna la mitad de la
diferencia de las cantidades que corresponden a los otros dos más 100 euros. Hallar
la cantidad de dinero asignada a cada hijo y el importe total del premio.
(Reserva 2, 2000)
Solución:
Llamemos x a la cantidad de dinero asignada al hijo mayor, y a la cantidad de
dinero asignada al hijo mediano, y z a la cantidad de dinero asignada al hijo menor.
Entonces:
2 2 0
2 0
2
2 200
100
2
y z
x
x y z
x z
y x y z
x y z
x y
z
+
=
− − =
+ 
= ⇒ − + − = 
 − + + =−
= +

Por el método de Gauss: 2 1
3 1 3 2
2 1 1 0 2 1 1 0
1 2 1 0 2 0 3 3 0
1 1 2 200 2 0 1 3 400 3
f f
f f f f
− − − −   
   
− − + −   
   − + −   

2 1 1 0
0 3 3 0
0 0 12 1200
− − 
 
− 
 
 
. El sistema asociado a esta matriz es
2 0
3 3 0
12 1200
x y z
y z
z
− − =

− =
 =
, de
donde 100z = , 100y = , 100x =
Por tanto a cada uno de los tres hijos le corresponde la misma cantidad: 100 euros. †
18. En una competición deportiva celebrada en un I.E.S. participaron 50 atletas
distribuidos, según la edad, en tres categorías: Infantiles, Cadetes y Juveniles. El
doble del número de atletas infantiles, por una parte excede en una unidad al número
de atletas cadetes y, por otra parte, coincide con el quíntuplo del número de atletas
juveniles. Determina el número de atletas que hubo en cada categoría.
(Junio, 2001)
Solución:
19. Dividimos un número de tres cifras “xyz”, entre la suma de éstas y obtenemos 20
de cociente y 3 de resto. La cifra de las decenas, “y”, es igual a la mitad de la suma
de las otras dos. La cifra de las unidades, “z”, es igual a la suma de las otras dos.
Hallar el número “xyz”.
(Septiembre, 2001)
Solución:
Se debe saber que el número “xyz” es 100x + 10y + z. Por tanto dividir el número
“xyz” entre la suma de sus cifras es dividir 100x + 10y + z entre x + y + z:
100x + 10y + z x + y + z
3 20
Como Dividendo = Divisor × Cociente + Resto: ( )100 10 20 3x y z x y z+ + = + + + .
Esta es la primera ecuación del sistema. Las otras dos son sencillas de plantear:
( )100 10 20 3
80 10 19 3
2 0
2
0
x y z x y z
x y z
x z
y x y z
x y z
z x y
+ + = + + +
− − =
+ 
= ⇒ − + − = 
 − − + == +
. Resolvamos el sistema
por el método de Gauss:
3 22 1
3 1
5 380
80
80 10 19 3 80 10 19 3 80 10 19 3
1 2 1 0 0 150 99 3 0 150 99 3
1 1 1 0 0 90 61 3 0 0 8 24
f ff f
f f
++
+
− − − − − −     
     − − → − → −     
     − − −     
80 10 19 3
150 99 3
8 24
x y z
y z
z
− − =

− =
 =
. De aquí se obtiene fácilmente que:
3z = , 2y = , 1x = .
Por tanto el número pedido es el 123. †

20. Las edades de tres miembros de una misma familia, el abuelo, el hijo y el nieto,
verifican lo siguiente: La suma de las edades del abuelo y del nieto excede en 5 años
al doble de la edad que tienen el hijo. Hace 5 años la edad del abuelo era doble de la
edad que tenía el hijo. Sumando las edades que tendrán los tres dentro de 10 años se
obtiene 28 veces la edad que tenía el nieto hace 5 años. Halla las edades actuales de
los tres.
(Reserva 1, 2001)
Solución:
21. Se reparten 18400 euros entre tres personas A, B y C de modo que: Por cada 2 euros
que recibe A, recibe B tres euros. Por cada 5 euros que recibe B, recibe C siete
euros. ¿Qué cantidad corresponde a cada persona?
(Reserva 2, 2001)
Solución:
A la cantidad que le corresponde a la persona A la llamaremos x, la que corresponde
a la persona B la llamaremos y, y la que corresponde a la persona C la llamaremos
z.
Está claro que 18400x y z+ + = . Además, por un lado, 2 es a 3 como x es a y; es
decir
2
2 3 3 2 0
3
x
y x x y
y
= ⇒ = ⇒ − + = . Por otro lado 5 es a 7 como y es a z; es
decir
5
5 7 7 5 0
7
y
z y y z
z
= ⇒ = ⇒ − + =
Tenemos así el siguiente sistema:
18400
3 2 0
7 5 0
x y z
x y
y z
+ + =

− + =
− + =
Utilizando el método de Gauss para su resolución:
3 22 1 5 73
1 1 1 18400 1 1 1 18400
3 2 0 0 0 5 3 55200
0 7 5 0 0 7 5 0
f ff f ++
   
   
− → →   
   − −   
1 1 1 18400
0 5 3 55200
0 0 46 386400
 
 
 
 
 
, cuyo sistema asociado es
18400
5 3 55200
46 386400
x y z
y z
z
+ + =

+ =
 =
. De la última
ecuación se obtiene
386400
8400
46
z z= ⇒ = . Sustituyendo en la segunda ecuación:
30000
5 3 8400 55200 5 25200 55200 6000
5
y y y y+ ⋅ = ⇒ + = ⇒ = ⇒ = . Por último,
de la primera ecuación se tiene 6000 8400 18400 4000x x+ + = ⇒ = .
Conclusión: a la persona A le corresponden 4000 euros, a la B 6000 euros y a la C
8400 euros. †

22. De la edad de tres hermanos, Ana, Jesús y Fernando, se sabe que: el doble de la edad
de Ana más el triple de la edad de Jesús es tres años superior a cuatro veces la edad
de Fernando; el triple de la edad de Fernando menos el doble de la edad de Jesús es
siete años inferior al doble de la edad de Ana; y el doble de la edad de Ana más el
doble de la edad de Fernando es tres años inferior a cinco veces la edad de Jesús.
Calcular la edad de cada uno de los hermanos.
(Junio, 2002)
Solución:
Llamemos x a la edad de Ana, y a la edad de Jesús y z a la edad de Fernando.
Entonces:
2 3 4 3 2 3 4 3
3 2 7 2 2 2 3 7
2 2 3 5 2 5 2 3
x y z x y z
z y x x y z
x z y x y z
+ = + + − = 
 
− + = ⇒ − − + = − 
 + + = − + = − 
Utilizando el método de Gauss:
3 22 1
3 1
8
2 3 4 3 2 3 4 3 2 3 4 3
2 2 3 7 0 1 1 4 0 1 1 4
2 5 2 3 0 8 6 6 0 0 2 38
f ff f
f f
++
−
− − −     
     
− − − → − − → − −     
     − − − − − −     
2 3 4 3
4
2 38
x y z
y z
z
+ − =

− = −
− = −
, de donde se obtiene
que 19z = , 15y = , 17x = .
Por tanto, Ana tiene 17 años, Jesús 15 años y Fernando 19 años. †
23. Una determinada compañía de teatro presenta una obra en una ciudad, dando sólo
tres representaciones. Se sabe que el número de espectadores que asiste a la segunda
representación se incrementó en un 12% respecto a la primera, que en la tercera
representación asistieron 336 espectadores menos que a la segunda y que el número
de espectadores de la primera superó en 36 espectadores el de la tercera. Calcular el
número de espectadores que asistieron a cada representación.
(Septiembre, 2002)
Solución:
24. Los habitantes de una ciudad tienen los ojos de color azul, o de color negro o de
color marrón. El número de los que tienen ojos azules, aumentado en 5, es igual a la
sexta parte del número de los que tienen los ojos negros o marrones. El número de
los que tienen ojos negros, disminuido en 75, es igual a la mitad de los que tienen
los ojos azules o marrones. Finalmente, el número de los que tienen ojos marrones,
aumentado en 50, es igual al número de los que tienen ojos azules o negros.
¿Cuántos habitantes tiene la ciudad?
(Reserva 1, 2002)
Solución:

Llamemos x a los habitantes que tienen los ojos de color azul, y a los habitantes que
tienen los ojos de color negro, y z a los habitantes que tienen los ojos de color
marrón.
Según el enunciado
5
6 6 30
75 2 150
2
50
50
y z
x
x y z
x z
y x y z
x y z
z x y
+
+ =
− − = −
+ 
− = ⇒ − + − = 
 − − + = −+ = +


. Por el método de Gauss:
2 1
3 1 3 2
6 1 1 30 6 1 1 30 6 1 1 30
1 2 1 150 6 0 11 7 870 0 11 7 870
1 1 1 50 6 0 7 5 330 11 7 0 0 6 2460
f f
f f f f
− − − − − − − − −     
     
− − + − −     
     − − − + − − +     
El sistema asociado a la última ecuación es
6 30
11 7 870
6 2460
x y z
y z
z
− − = −

− =
 =
, de donde 410z = ,
340y = , 120x = .
Por tanto hay 120 habitantes que tienen los ojos de color azul, 340 habitantes que
tienen los ojos de color negro, y 410 habitantes que tienen los ojos de color
marrón.†
25. Tres amigas, Elena, Carmen y Cristina, entran en una tienda de deportes en la que
sólo hay tres tipos de artículos. Elena se compra 2 pares de zapatillas, 1 sudadera y 1
pantalón. Carmen se compra 1 par de zapatillas, 2 sudaderas y 2 pantalones, y
Cristina se compra 2 pares de zapatillas y 3 pantalones. Elena se ha gastado en total
70 euros, Carmen 80 euros y Cristina 75 euros. ¿Cuánto vale cada artículo?
(Reserva 2, 2002)
Solución:
26. Un grupo de 30 alumnos de 2º de bachillerato realiza una votación a fin de
determinar el destino de la excursión fin de curso, entre los siguientes lugares:
Baleares, Canarias y París. El número de los que prefieren Baleares triplica al
número de los que prefieren París. El 40% de los que prefieren Canarias coincide
con la quinta parte de la suma de los que prefieren los otros dos lugares. Halla el
número de votos que obtuvo cada destino.
(Junio, 2003)
Solución:
Llamemos x al número de votos que obtuvo Baleares, y al número de votos que
obtuvo Canarias, y z al número de votos que obtuvo París. Entonces:

( )
30 30 30
3 3 0 3 0
40 1 2 1 1 2 0
100 5 5 5 5
x y z x y z x y z
x z x z x z
x y z
y x z y x z
 
 + + = + + = + + =
  
= ⇒ − = ⇒ − =  
  − + − = = + = +
 
Utilizando el método de Gauss:
2 1
3 1
1 1 1 30 1 1 1 30
1 0 3 0 0 1 4 30
1 2 1 0 0 3 0 30
f f
f f
−
+
   
   
− → − − −   
   − −   
30
4 30
3 30
x y z
y z
y
+ + =

− − = −
 =
, de donde 10y = ,
5z = , 15x = .
Por tanto Baleares obtuvo 15 votos, Canarias 10 votos y París 5 votos. †
27. Tres amigos A, B y C, deciden hacer un fondo común con el dinero que tienen para
hacer una compra de golosinas. La razón entre la suma y la diferencia de las
cantidades que tienen A y B es 11/5. Dividiendo la cantidad de dinero que tiene A
entre la cantidad de dinero que tiene B se obtiene de cociente 2 y de resto la
cantidad de dinero que tiene C. Halla la cantidad de dinero que tiene cada uno
sabiendo, además, que el doble de la suma de las que tienen B y C excede en dos
euros a la que tiene A.
(Septiembre, 2003)
Solución:
28. Hallar las edades de un padre y de sus dos hijos sabiendo que actualmente las tres
suman 88 años; que dentro de 10 años, la suma de las edades que tendrán el padre y
el hijo menor excederá en 2 años al triple de la edad que tendrá el hijo mayor y que
hace 12 años, la suma de las edades que tenía el padre y el hijo mayor era doce
veces la edad que tenía el hijo pequeño.
(Reserva 1, 2003)
Solución:
Llamemos x a la edad del padre, y a la edad del hijo mayor y z a la edad del hijo
pequeño. Según el enunciado:
( )
( )
88 88
10 10 3 10 2 3 12
12 12012 12 12 12
x y z x y z
x z y x y z
x y zx y z
 + + = + + =
 
+ + + = + + ⇒ − + = 
  + − = −− + − = − 

2 1
3 1
1 1 1 88 1 1 1 88
1 3 1 12 0 4 0 76
1 1 12 120 0 0 13 208
f f
f f
   
   
− − − −   
   − − − − −   
El sistema asociad a esta última matriz es
88
4 76
13 208
x y z
y
z
+ + =

− = −
− = −
, de donde 16z = , 19y = ,
53x = .
Por tanto el padre tiene 53 años, el hijo mayor 19 años y el hijo pequeño 16 años. †
29. A los 10 minutos de comenzar una clase de matemáticas de 2º de bachillerato, una
parte de los alumnos están mirando las anotaciones que el profesor hace en la
pizarra, otra parte está tomando apuntes y el resto, que es la sexta parte del total,
están distraídos. Quince minutos más tarde, tres alumnos distraídos pasan a tomar
apuntes, un alumno de los que toma apuntes pasa a mirar la pizarra y 8 alumnos que
miraban la pizarra, se distraen. En este momento hay el mismo número de alumnos
en cada uno de los tres grupos: los que miran la pizarra, los que toman apuntes y los
distraídos. Hallar el número de alumnos que hay en la clase.
(Reserva 2, 2003)
Solución:
30. Las edades de tres vecinos suman 54 años y son proporcionales a 2, 3 y 4. Halla la
edad de cada uno de ellos.
(Junio, 2004)
Solución:
Llamemos x a la edad del primer vecino, y a la del segundo y z a la del tercero.
Entonces, por un lado, 54x y z+ + = y, por otro, x es a 2 como y es a 3 y como z es
a 4:
2 3 4
x y z
= = , de donde 3 2x y= , 4 3y z= .
Podemos plantear pues el siguiente sistema de ecuaciones
54
3 2 0
4 3 0
x y z
x y
y z
+ + =

− =
 − =
.
Utilizando el método de Gauss para resolver el sistema tenemos:
3 22 1 5 43
1 1 1 54 1 1 1 54 1 1 1 54
3 2 0 0 0 5 3 162 0 5 3 162
0 4 3 0 0 4 3 0 0 0 27 648
f ff f +−
     
     
− → − − − → − − −     
     − − − −     

54
5 3 162
27 648
x y z
y z
z
+ + =

− − = −
− = −
. De la tercera ecuación 24z = .
Sustituyendo en la segunda 5 72 162 5 90 18y y y− − = − ⇒ − = − ⇒ = . Finalmente,
sustituyendo en la primera 54 18 24 54 12x y z x x+ + = ⇒ + + = ⇒ = .
Por tanto la edad del primer vecino es 12 años, la del segundo 18 años y la del
tercero 24 años. †
31. En una clase se celebran elecciones para Delegado. Se presentan dos candidatos: X e
Y. El 5% del total de votos emitidos es nulo. Cuatro veces el número de votos
obtenido por Y menos tres veces el número de votos obtenidos por X excede al
número de votos nulos en una unidad. Si dividimos el número de votos obtenidos
por X entre el número de los obtenidos por Y se obtiene de cociente 1 y de resto 7.
¿Cuántos votos obtuvo cada candidato?
(Septiembre, 2004)
Solución:
32. Una determinada Universidad tiene 1000 profesores entre Catedráticos, Titulares y
Asociados. Si 50 Titulares pasaran a ser Catedráticos, el número de Titulares
restantes sería doble que el número de Catedráticos que resultarían del traspaso más
el número de Asociados. En cambio si 100 Titulares pasaran a ser Catedráticos,
entonces el número de Titulares restantes sería igual que la suma del número de
Catedráticos resultantes del traspaso y el número de Asociados. Halla el número
inicial de profesores de cada categoría.
(Reserva 1, 2004)
Solución:
Llamemos x al número de Catedrático, y al número de profesores Titulares, y z al
número de Asociados. Entonces:
( )
1000 1000
50 2 50 2 150
200100 100
x y z x y z
y x z x y z
x y zy x z
+ + = + + = 
 
− = + + ⇒ − + − = 
 − + − =− = + + 
Apliquemos el método de Gauss para resolver el sistema anterior:
2 1
3 1
1 1 1 1000 1 1 1 1000
2 1 1 150 2 0 3 1 2150
1 1 1 200 0 2 0 1200
f f
f f
   
   
− − +   
   − − +   
El sistema asociado a la última matriz es
1000
3 2150
2 1200
x y z
y z
y
+ + =

+ =
 =
, de donde 600y = ,
350z = , 50x = .

Por tanto hay 50 Catedráticos, 600 profesores Titulares y 350 Asociados. †
33. En una bolsa hay canicas de tres colores: amarillo, verde y negro. Si sacamos una
bola de la bolsa, el total de bolas negras coincide con un tercio de las que quedan.
Introducimos de nuevo la bola en la bolsa y a continuación sacamos dos bolas.
Entonces pueden ocurrir dos cosas: El total de bolas verdes coincide con la mitad de
las que quedan o el total de bolas amarillas coincide con la cuarta parte de las que
quedan. Determina el número de bolas de cada color que hay en la bolsa.
(Reserva 2, 2004)
Solución:
34. Un video-club está especializado en películas de tres tipos: Infantiles, Oeste
americano y Terror. Se sabe que: (a) El 60% de las películas Infantiles más el 50%
de las del Oeste representan el 30% del total de las películas. (b) El 20% de las
infantiles más el 60% de las del Oeste más el 60% de las de terror representan la
mitad del total de películas. (c) Hay 100 películas más del Oeste que de Infantiles.
Halla el número de películas de cada tipo.
(Junio, 2005)
Solución:
Llamemos x al número de películas infantiles, y al número de películas del oeste
americano, y z al número de películas de terror.
(a) ( ) ( )
60 50 30 3 1 3
100 100 100 5 2 10
x y x y z x y x y z+ = + + ⇒ + = + + ⇒
6 5 3 3 3 3 2 3 0x y x y z x y z⇒ + = + + ⇒ + − =
(b)
20 60 60 1 3 3
100 100 100 2 5 5 5 2
x y z x y z
x y z x y z
+ + + +
+ + = ⇒ + + = ⇒
2 6 6 5 5 5 3 0x y z x y z x y z+ + = + + ⇒ − + + =
(c) 100 100y x x y= + ⇒ − + =
El sistema de ecuaciones es por tanto
3 2 3 0
3 0
100
x y z
x y z
x y
+ − =

− + + =
− + =
, que lo resolveremos por el
método de Gauss:
3 22 1
3 1
3 5
3
3 2 3 0 3 2 3 0 3 2 3 0
3 1 1 0 0 3 2 0 0 3 2 0
1 1 0 100 0 5 3 300 0 0 1 900
f ff f
f f
−+
+
− − −     
     
− → − → −     
     − −     
, cuyo
sistema asociado es
3 2 3 0
3 2 0
900
x y z
y z
z
+ − =

− =
 =
. De aquí se deduce con facilidad que
900z = , 600y = , 500x = .
Por tanto hay 500 películas infantiles, 600 películas del oeste americano, y 900
películas de terror. †

35. Los 30 alumnos de un grupo de 4º de ESO cursan tres asignaturas optativas
distintas: Francés, Cultura Clásica y Energías alternativas. Si dos alumnos de
Francés se hubiesen matriculado de Cultura Clásica, entonces estas dos asignaturas
tendría el mismo número de alumnos. Si dos alumnos de Cultura Clásica se
hubiesen matriculado en Energías Alternativas, entonces Energías Alternativas
tendría doble número de alumnos que Cultura Clásica. Halla el número de alumnos
matriculado en cada asignatura.
(Septiembre, 2005)
Solución:
36. Para poder comprar 5 bolígrafos necesito 2 euros más de los que tengo. En cambio,
me sobra un euro de lo que tengo si compro 2 lapiceros. Finalmente, necesito 60
céntimos de euro más de lo que tengo para poder comprar dos bolígrafos y dos
lapiceros. Halla el precio de un bolígrafo y el de un lapicero. ¿De cuánto dinero
dispongo?
(Reserva 1, 2005)
Solución:
37. Se consideran, el número de tres cifras “xyz” y el que resulta de éste al permutar las
cifras de las unidades y de las centenas. Halla el valor de las cifras “x”, “y” y “z”
sabiendo que la suma de los dos números es 585, que la división del primero entre el
segundo tiene de cociente 1 y de resto 99 y que la suma de la cifra de las centenas y
la cifra de las decenas del primer número es 7.
(Reserva 2, 2005)
Solución:
El primer número es “xyz” y el segundo “zyx”. Descomponiendo en centenas,
decenas y unidades, el primer número es 100 10x y z+ + y el segundo
100 10z y x+ + . Como la suma de los dos números es 585 ⇒
100 10 100 10 585x y z z y x+ + + + + = ⇒ 101 20 101 585x y z+ + =
Además:
100 10x y z+ + 100 10z y x+ +
99 1
Como el dividendo es igual al divisor por el cociente más el resto se tiene que
100 10 100 10 99 99 99 99 1x y z z y x x z x z+ + = + + + ⇒ − = ⇒ − =
Por tanto el planteamiento es el siguiente:
101 20 101 585
1
7
x y z
x z
x y
+ + =

− =
 + =

3 22 1
3 1
20 81101
101
101 20 101 585 101 20 101 585
1 0 1 1 0 20 202 484
1 1 0 7 0 81 101 122
f ff f
f f
+−
−
   
   
− → − − − →   
   −   
101 20 101 585
0 20 202 484
0 0 18382 36764
 
 
− − − 
 − − 
. El sistema asociado a esta última matriz es
101 20 101 585
20 202 484
18382 36764
x y z
y z
z
+ + =

− − = −
− = −
. De la última ecuación se obtiene:
36764
2
18382
z z
−
= ⇒ =
−
.
Sustituyendo en la segunda ecuación: 20 202 484 20 404 484y z y− − = − ⇒ − − = − ⇒
20 80 4y y⇒ − = − ⇒ = . Y sustituyendo finalmente en la primera ecuación se tiene:
101 20 101 585 101 80 202 585 101 303 3x y z x x x+ + = ⇒ + + = ⇒ = ⇒ = .
Por tanto los valores de las cifras son 3x = , 4y = , 2z = ; con lo que los números
son el 342 y el 243. †
38. Un hombre le dice a su esposa: ¿Te has dado cuenta que desde el día de nuestra
boda hasta el día del nacimiento de nuestro hijo transcurrieron el mismo número de
años que desde el día del nacimiento de nuestro hijo hasta hoy? El día del
nacimiento de nuestro hijo la suma de nuestras edades era de 55 años. La mujer le
replicó: “Me acuerdo que en ese día del nacimiento de nuestro hijo, tú tenías la edad
que yo tengo ahora y además recuerdo que el día de nuestra boda el doble de la edad
que tu tenías excedía en 20 años a la edad que yo tengo hoy”. Halla las edades
actuales de ambos.
(Junio, 2006)
Solución:
Para hacer este problema llamaremos x a la edad actual del hombre, y a la edad
actual de su esposa, y z a la edad del hijo (esta última edad no se pide, pero la
utilizaremos en el planteamiento del problema).
La primera pregunta que el hombre hace a su esposa quiere decir que han pasado 2z
años desde la boda de ambos.
• Cuando el hijo nació el hombre tenía x z− años y la mujer y z− años. Por
tanto 55 2 55x z y z x y z− + − = ⇒ + − =
• Además cuando el hijo nació el hombre tenía la edad que su esposa tiene
actualmente. Es decir 0x z y x y z− = ⇒ − − =
• El día de la boda el hombre tenía 2x z− años. Por tanto ( )2 2 20x z y− = + ⇒
2 4 20 2 4 20x z y x y z⇒ − = + ⇒ − − =

Por tanto podemos plantear el siguiente sistema de ecuaciones para resolver el
problema:
2 55
0
2 4 20
x y z
x y z
x y z
+ − =

− − =
 − − =
, que lo resolveremos utilizando el método de Gauss:
2 1
3 12
1 1 2 55 1 1 2 55
1 1 1 0 0 2 1 55
2 1 4 20 0 3 0 90
f f
f f
−
−
− −   
   
− − → − −   
   − − − −   
2 55
2 55
3 90
x y z
y z
y
+ − =

− + = −
− = −
, de donde 30y = ,
5z = , 35x =
Por tanto la edad actual del hombre es de 35 años y la de su esposa 30. Por cierto,
el hijo de ambos tiene 5 años. †
39. Para la compra de un artículo de precio 10,70 euros se utilizan monedas de 1 euro,
de 50 céntimos de euro y de 20 céntimos de euro. El número total de monedas
excede en una unidad al triple de monedas de 1 euro. El 30% de la suma del número
de monedas de 1 euro con el doble del número de monedas de 50 céntimos coincide
con el número de monedas de 20 céntimos. Halla el número de monedas que se
utilizan de cada clase.
(Septiembre, 2006)
Solución:
40. En un grupo de 2º de Bachillerato todos los alumnos tienen como materia optativa
una de estas tres asignaturas: Literatura, Psicología o Francés. El número de
alumnos matriculados en Literatura representa el 60% del total de alumnos del
grupo. Si tres alumnos de Psicología se hubiesen matriculado en Francés, entonces
estas dos asignaturas tendrían el mismo número de alumnos. Finalmente, el doble de
la diferencia del número de matriculados en Literatura y en Psicología es el triple de
la diferencia de los matriculados en Psicología y en Francés. Halla el número de
alumnos matriculados en cada una de las materias optativas y el número alumnos
del grupo.
(Reserva 1, 2006)
Solución:
Sea x el número de alumnos matriculados en Literatura, y el número de alumnos
matriculados en Psicología, y z el número de alumnos matriculados en Francés.
Entonces:
( )
( ) ( )
60
100 60 60 60 2 3 3 0100
3 3 6 6
2 2 3 3 2 5 3 02 3
x x y z
x x y z x y z
y z y z y z
x y y z x y zx y y z

= + + = + + − − = 
  
− = + ⇒ − = ⇒ − =  
  − = − − + =− = −  


Resolvamos el sistema anterior por el método de Gauss:
3 1 3 2
2 3 3 0 2 3 3 0 2 3 3 0
0 1 1 6 0 1 1 6 0 1 1 6
2 5 3 0 0 2 6 0 2 0 0 4 12f f f f
− − − − − −     
     − − −     
     − − − +     
2 3 3 0
6
4 12
x y z
y z
z
− − =

− =
 =
, de donde 3z = , 9y = ,
18x = .
Por tanto hay 18 alumnos matriculados en Literatura, 9 alumnos matriculados en
Psicología y 3 alumnos matriculados en Francés. †
41. En un Instituto se imparten enseñanzas de ESO, Bachillerato y Ciclos Formativos.
La suma del número de los alumnos de Bachillerato y del doble de los alumnos de
Ciclos Formativos excede en 100 al número de los alumnos de ESO. Si sumamos el
40% de los matriculados en ESO con el 30% de los matriculados en Bachillerato y
con el 20% de los matriculados en Ciclos Formativos se obtiene un número que
excede en 45 unidades al 30% del número total de alumnos. Sabiendo que cursan
estos tres tipos de enseñanza un total de 1200 alumnos, halla el número de
matriculados en cada tipo de enseñanza.
(Reserva 2, 2006)
Solución:
42. Un alumno de 2º de Bachillerato emplea en la compra de tres lápices, un sacapuntas
y dos gomas de borrar, tres euros. El doble del precio de un lápiz excede en cinco
céntimos de euro a la suma de los precios de un sacapuntas y de una goma de borrar.
Si cada lápiz costara cinco céntimos de euro más, entonces su precio duplicaría al de
una goma de borrar. Determina el precio de un lápiz, de un sacapuntas y de una
goma de borrar.
(Junio, 2007)
Solución:
Llamemos x al precio de un lápiz, y al precio de un sacapuntas y z al precio de una
goma de borrar. Entonces:
3 2 3 3 2 3
2 0 05 2 0 05
0 05 2 2 0 05
x y z x y z
x y z , x y z ,
x , z x z ,
+ + = + + = 
 
= + + ⇒ − − = 
 + = − = − 
. Resolvamos el sistema por el método de
Gauss:
3 22 1
3 1
53 2
3
3 1 2 3 3 1 2 3 3 1 2 3
2 1 1 0 05 0 5 7 5 85 0 5 7 5 85
1 0 2 0 05 0 1 8 3 15 0 0 33 9 9
f ff f
f f
, , ,
, , ,
− +−
−
     
     − − → − − − → − − −     
     − − − − −     

3 2 3
5 7 5 85
33 9 9
x y z
y z ,
z ,
+ + =

− − = −
 =
. De aquí se obtiene que
9 9
0 3
33
,
z ,= = ;
3 75
5 7 0 3 5 85 5 2 1 5 85 5 3 75 0 75
5
,
y , , y , , y , y ,
−
− − ⋅ = − ⇒ − − = − ⇒ − = − ⇒ = =
−
;
1 65
3 0 75 2 0 3 3 3 3 0 75 0 6 3 1 65 0 55
3
,
x , , x , , x , x ,+ + ⋅ = ⇒ = − − ⇒ = ⇒ = = .
Por tanto el precio de un lápiz es 0,55 € = 55 céntimos, el de un sacapuntas 0,75 € =
= 75 céntimos, y el de una goma de borrar 0,3 € = 30 céntimos. †
43. La suma de las edades actuales de los tres hijos de un matrimonio es 59 años. Hace
cinco años, la edad del menor era un tercio de la suma de las edades que tenían los
otros dos. Dentro de cinco años, el doble de la edad del hermano mediano excederá
en una unidad a la suma de las edades que tendrán los otros dos. Halla las edades
actuales de cada uno de los hijos.
(Septiembre, 2007)
Solución:
Llamemos x a la edad del hijo mayor, y a la edad del hijo mediano, y z a la edad del
hijo menor. Entonces, según el enunciado: ( )
( ) ( )
59
1
5 5 5
3
2 5 5 5 1
x y z
z x y
y x z
 + + =


− = − + −

 + = + + + +
⇒
⇒
59 59
3 15 5 5 3 5
2 10 11 2 1
x y z x y z
z x y x y z
y x z x y z
+ + = + + = 
 
− = − + − ⇒ − − + = 
 + = + + − + − = 
. Aplicando el método de Gauss:
2 1
3 1
1 1 1 59 1 1 1 59
1 1 3 5 0 0 4 64
1 2 1 1 0 3 0 60
f f
f f
   
   
− − +   
   − − +   
. El sistema asociado a esta última matriz
es
59
4 64
3 60
x y z
z
y
+ + =

=
 =
, de donde 20y = , 16z = , 23x = .
Así pues, el hijo mayor tiene 23 años, el mediano 20 años y el hijo menor tiene 16
años. †
44. Un Instituto compra 500 paquetes de folios a tres proveedores diferentes a 2,75;
2,70 y 2,80 euros cada paquete, respectivamente. La factura total asciende a 1360
euros. La diferencia entre el número de paquetes suministrados por el 2º y el 3º

proveedor, es triple del número de paquetes suministrados por el 1º proveedor.
¿Cuántos paquetes suministra cada uno de los proveedores?
(Reserva 1, 2007)
Solución:
45. En una población se han presentado dos partidos políticos A y B a las elecciones
municipales. Si 250 votantes del partido A hubiesen votado el partido B, ambos
partidos hubiesen empatado a votos. El número de votos en blanco o nulos es el 1%
de la suma del número de votos obtenidos por ambas candidaturas. Sabiendo que
fueron a votar 11615 electores, halla el número de votos obtenido por cada partido y
cuantos son blancos o nulos.
(Reserva 2, 2007)
Solución:
Llamemos x al número de votos obtenidos por el partido A, y al número de votos
obtenidos por el partido B y z al número de votos en blanco o nulos.
Entonces ( )
250 250
500
1
100 0
100
11615
11615
x y
x y
x y z x y z
x y z
x y z
− = +
− =
 
+ = ⇒ + − = 
  + + =+ + =
Resolvamos el sistema anterior por el método de Gauss:
3 22 1
3 1
1 1 0 500 1 1 0 500
1 1 100 0 0 2 100 500
1 1 1 11615 0 2 1 11115
f ff f
f f
−−
−
− −   
   
− → − − →   
   
   
3 2
1 1 0 500
0 2 100 500
0 0 101 11615
f f−
− 
 
→ − − 
 
 
500
2 100 500
101 11615
x y
y z
z
− =

− = −
 =
. Entonces
11615
115
101
z z= ⇒ = .
Sustituyendo en la segunda ecuación: 2 100 115 500 2 11500 500y y− ⋅ = − ⇒ − = − ⇒
2 11000 5500y y⇒ = ⇒ = . Finalmente, de la primera ecuación se obtiene
5500 6000 6000x x− = ⇒ = .
Por tanto el partido A obtiene 6000 votos, el partido B 5500 votos, y hay 115 votos
en blanco o nulos. †
46. En una fábrica de artículos deportivos se dispone de 10 cajas de diferente tamaño:
Grandes, Medianas y Pequeñas para envasar las camisetas de atletismo producidas,
con capacidad para 50, 30 y 25 camisetas, respectivamente. Si una caja grande fuera

mediana, entonces habría el mismo número de grandes y de medianas. En total se
envasan 390 camisetas. Determina el número de cajas que hay de cada clase.
(Junio, 2008)
Solución:
47. En la XXI Olimpiada Nacional de Química se contrataron 5 autobuses de 55 plazas
cada uno, incluida la del conductor, para el transporte de alumnos, profesores y
acompañantes. La suma del 10% del número de profesores y del 20% del número de
acompañantes excede en una unidad al 10% del número de alumnos. El número de
alumnos duplicaría al de profesores en el caso de que hubieran asistido 5 profesores
menos. Determina el número de alumnos, de profesores y de acompañantes.
(Septiembre, 2008)
Solución:
48. Los 147 alumnos de un Instituto participan en un taller de percusión organizado por
el Departamento de Música. Hay tres modalidades: Merengue, Tango y Samba. Si
15 alumnos de los que han elegido Merengue hubieran elegido Samba, entonces
ambas modalidades hubieran tenido el mismo número de alumnos inscritos. La
suma del número de inscritos en Merengue y del doble del número de inscritos en
Samba excede en 20 al doble del número de inscritos en Tango. Determina el
número de alumnos inscritos en cada modalidad.
(Reserva 1, 2008)
Solución:
Llamemos x al número de alumnos inscritos en la modalidad de Merengue, y al
número de alumnos inscritos en la modalidad de Tango y z al número de alumnos
inscritos en la modalidad de Samba.
Entonces
147 147
15 15 30
2 2 20 2 2 20
x y z x y z
x z x z
x z y x y z
+ + = + + = 
 
− = + ⇒ − = 
 + = + − + = 
Aplicando el método de Gauss tenemos:
3 22 1
3 1
3
1 1 1 147 1 1 1 147 1 1 1 147
1 0 1 30 0 1 2 117 0 1 2 117
1 2 2 20 0 3 1 127 0 0 7 224
f ff f
f f
−−
−
     
     
− → − − − → − − −     
     − − −     
147
2 117
7 224
x y z
y z
z
+ + =

− − = −
 =
, de donde fácilmente se
obtiene que 32z = , 53y = , 62x =
Por tanto hay 62 alumnos inscritos en la modalidad de Merengue, 53 alumnos
inscritos en la modalidad de Tango y 32 alumnos inscritos en la modalidad de
Samba. †

49. En una tienda especializada, un cliente adquiere dos Pen Drive de 1 GB, uno de 2
GB y uno de 4 GB abonando por todos ellos 33 euros. Otro cliente adquiere uno de
1 GB, dos de 2 GB y devuelve uno de 4 GB adquirido el día anterior, abonando por
todo ello 6 euros. Sabiendo que una rebaja del 20% en el precio de los de 1 GB
permitiría adquirir dos de éstos por el precio de uno de 2 GB. Calcula el precio de
los Pen Drive de cada clase.
(Reserva 2, 2008)
Solución:
50. Con las 12 monedas que tengo en el bolsillo (de 50 céntimos, de 20 céntimos y de
10 céntimos de euro) puedo comprar un pastel cuyo precio es 2,80 euros. Si una
moneda de 50 céntimos lo fuera de 20, entonces el número de las de 20 céntimos y
el número de las de 10 céntimos coincidiría. ¿Cuántas monedas tengo de cada clase?
(Junio, 2009)
Solución:
Llamemos x al número de monedas de 50 céntimos, y al número de monedas de 20
céntimos y z al número de monedas de 10 céntimos. Entonces:
12 12 12
0 5 0 2 0 1 2 8 0 5 0 2 0 1 2 8 5 2 28
1 1 1
x y z x y z x y z
, x , y , z , , x , y , z , x y z
y z y z y z
+ + = + + = + + =  
  
+ + = ⇒ + + = ⇒ + + =  
  + = − = − − = −  
(observa que se ha multiplicado la segunda ecuación por 10 para que en el método
de Gauss no aparezcan decimales).
Resolvamos el sistema:
3 22 1 35
1 1 1 12 1 1 1 12 1 1 1 12
5 2 1 28 0 3 4 32 0 3 4 32
0 1 1 1 0 1 1 1 0 0 7 35
f ff f +−
     
     
→ − − − → − − −     
     − − − − − −     
12
3 4 32
7 35
x y z
y z
z
+ + =

− − = −
 − = −
, de donde se obtiene
fácilmente que 5z = , 4y = , 3x = .
Por tanto tengo 3 monedas de 50 céntimos, 4 monedas de 20 céntimos y 5 monedas
de 10 céntimos. †
51. En una caja hay monedas de 1, de 2 y de 5 céntimos de euro. El número de monedas
de 1 céntimo excede en cuatro unidades a la suma del número de las de 2 céntimos y
del número de las de 5 céntimos. El número de monedas de 2 céntimos excede en
una unidad al 40% del número de monedas de 1 céntimo. Sabiendo que si
tuviéramos una moneda más de 1 céntimo, el valor de todas ellas sería de 50
céntimos, calcula el número de monedas que hay de cada clase.
(Septiembre, 2009)

Solución:
Llamemos x al número de monedas de 1 céntimo, y al número de monedas de 2
céntimos y z al número de monedas de 5 céntimos. Entonces:
( )
4
4 4
40
1 100 40 100 2 5 5
100
2 5 49 2 5 49
1 2 5 50
x y z
x y z x y z
y x y x x y
x y z x y z
x y z
 = + +
− − = − − = 
  
= + ⇒ = + ⇒ − + =  
  + + = + + =  + + + =
(en el primer paso
se ha multiplicado la segunda ecuación por 100 y en el siguiente se ha dividido
entre 20).
Apliquemos el método de Gauss:
3 22 1
3 1
2
1 1 1 4 1 1 1 4 1 1 1 4
2 5 0 5 0 3 2 13 0 3 2 13
1 2 5 49 0 3 6 45 0 0 8 32
f ff f
f f
−+
−
− − − − − −     
     
− → − → −     
     
     
Sistema asociado:
4
3 2 13
8 32
x y z
y z
z
− − =

− =
 =
⇒ 4z = , 7y = , 15x = .
Tenemos entonces en la caja 4 monedas de 1 céntimo, 7 monedas de 2 céntimos y
15 monedas de 5 céntimos. †
52. En una bolsa hay caramelos de tres sabores: menta, café y limón. Cada caramelo
cuesta 5 céntimos de euro. El precio total de la bolsa es de 3 euros. El 30% del
número de los de sabor menta excede en dos unidades al 10% de la suma de los de
café y los de limón. Sabiendo que la suma del número de los de sabor menta y los de
sabor limón es el triple de los de sabor café, determina el número de caramelos de
cada sabor que hay en la bolsa
(Reserva 1, 2009)
Solución:
Llamemos x al número de caramelos de menta, y al número de caramelos de café y
z al número de caramelos de limón.
Entonces:
( )
( )
0 05 3
30 10
2
100 100
3
, x y z
x y z
x z y
+ + =


= + +

+ =
. Multiplicando las dos primeras ecuaciones por
100 se tiene
( )
( )
5 300
30 10 200
3
x y z
x y z
x z y
+ + =

= + +
 + =
, y dividiendo la primera entre 5 y la segunda
entre 10 obtenemos finalmente
60
3 20
3 0
x y z
x y z
x y z
+ + =

− − =
 − + =
Apliquemos el método de Gauss para resolver el sistema:

3 22 1
3 1
53
5
1 1 1 60 1 1 1 60 1 1 1 60
3 1 1 20 0 4 4 160 0 4 4 160
1 3 1 0 0 20 0 300 0 0 20 500
f ff f
f f
−−
−
     
     
− − → − − − → − − −     
     − − −     
60
4 4 160
20 500
x y z
y z
z
+ + =

− − = −
 =
, de donde 25z = , 15y = , 20x = .
Por tanto en la bolsa hay 20 caramelos de menta, 15 caramelos de café y 25
caramelos de limón. †
53. La suma de las edades de tres hermanos es 32 años. Dividiendo la edad del mayor
entre la edad del más pequeño se obtiene 2 de cociente y 1 de resto. Sabiendo que la
edad del pequeño es igual a la suma del 20% de la edad del mayor y del 40% de la
edad del mediano, determina las edades de cada uno de ellos.
(Reserva 2, 2009)
Solución:
Llamemos x a la edad del hermano mayor, y a la edad del mediano y z a la edad del
hermano pequeño.
Por un lado 32x y z+ + = .
Además:
x z
1 2
Como el dividendo es igual al divisor por el cociente más el resto se tiene que
2 1x z= + .
Por tanto el sistema es:
32 32 32 32
2 1 2 1 2 1 2 1
20 40 100 20 40 5 2 2 5 0
100 100
x y z x y z x y z x y z
x z x z x z x z
z x y z x y x y z
z x y

 + + = + + = + + = + + =  
   
= + ⇒ = + ⇒ = + ⇒ − =   
   = + = + − − + =   = +

Apliquemos el método de Gauss para resolverlo:
3 22 1
3 1
1 1 1 32 1 1 1 32 1 1 1 32
1 0 2 1 0 1 3 31 0 1 3 31
1 2 5 0 0 1 6 32 0 0 9 63
f ff f
f f
−−
+
     
     
− → − − − → − − −     
     − − −     
32
3 31
9 63
x y z
y z
z
+ + =

− − = −
 =
, de donde se deduce que 7z = , 10y = ,
14x = .
Por tanto el hermano mayor tiene 14 años, el mediano 10 y el pequeño 7 años. †

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