Sistemas lineales - Ejercicios

130 SOLUCIONARIO
©GrupoEditorialBruño,S.L.
4 Sistemas lineales
con parámetros
■ Piensa y calcula
Dado el siguiente sistema en forma matricial, escribe sus ecuaciones:
=
Solución:
°
¢
£
x + 2y – 3z = 0
2x – y = 2
)0
2()x
y
z()1 2 –3
2 –1 0(
1. Escribe los siguientes sistemas en forma matricial:
Solución:
=
=
2. Escribe en forma ordinaria el siguiente sistema:
=
Solución:
3. Discute los siguientes sistemas:
Solución:
a) Se calcula el determinante de la matriz de los coefi-
cientes:
|C| = = –13
Como el determinante de C es distinto de cero, el
R(C) = 3 y se tiene:
R(C) = R(A) = 3 = número de incógnitas ò Sistema
compatible determinado.
b) Se calcula el determinante de la matriz de los coefi-
cientes:
|C| = = 0
Como el determinante de C es igual a cero, se halla
el rango de A y C por Gauss:
R =
= R =
= R =
3ª : 4
)–1 3 3 3
0 7 7 8
0 4 4 16(
2ª + 3 · 1ª
3ª – 2ª
)–1 3 3 3
3 –2 –2 –1
3 2 2 15(
)3 2 2 15
3 –2 –2 –1
–1 3 3 3(
|3 2 2
3 –2 –2
–1 3 3
|
|3 –1 2
1 4 1
2 –5 0
|
°
§
¢
§
£
3x + 2y + 2z = 15
3x – 2y – 2z = –1
–x + 3y + 3z = 3
b)°
§
¢
§
£
3x – y + 2z = 1
x + 4y + z = 0
2x – 5y = –2
a)
°
§
¢
§
£
x – 2z = 1
3x + y + z = 3
2x – y + 2z = 0
)1
3
0()x
y
z()1 0 –2
3 1 1
2 –1 2(
)2
5
3()x
y
z()2 1 –1
1 1 2
–1 0 5(b)
)2
0
1()x
y
z()1 –1 0
2 1 2
1 –1 2(a)
°
§
¢
§
£
2x + y – z = 2
x + y + 2z = 5
–x + 5z = 3
b)°
§
¢
§
£
x – y = 2
2x + y + 2z = 0
x – y + 2z = 1
a)
● Aplica la teoría
1. Teorema de Rouché

TEMA 4. SISTEMAS LINEALES CON PARÁMETROS 131
= R =
= R
R(C) = 2 < R(A) = 3 ò Sistema incompatible.
4. Discute los siguientes sistemas:
Solución:
a) Se calcula el determinante de la matriz de los coefi-
cientes:
|C| = = 0
Como el determinante de C es igual a cero, se halla
el rango de A y C por Gauss:
R =
= R =
= R = R
R(C) = R(A) = 2 < número de incógnitas ò Sistema
compatible indeterminado.
b) Se calcula el determinante de la matriz de los coefi-
cientes:
|C| = = –1
Como el determinante de C es distinto de cero, el
R(C) = 3 y se tiene:
R(C) = R(A) = 3 = número de incógnitas ò Sistema
compatible determinado.
|1 2 1
2 3 2
1 1 2
|
)1 1 0 1
0 1 1 2()1 1 0 1
0 1 1 2
0 1 1 2(
2 · 1ª – 2ª
1ª + 3ª
)1 1 0 1
2 1 –1 0
–1 0 1 1(
)2 1 –1 0
1 1 0 1
–1 0 1 1(
|2 1 –1
1 1 0
–1 0 1
|
°
§
¢
§
£
x + 2y + z = 1
2x + 3y + 2z = 0
x + y + 2z = 3
b)°
§
¢
§
£
2x + y – z = 0
x + y = 1
–x + z = 1
a)
)–1 3 3 3
0 7 7 8
0 0 0 20(
7 · 3ª – 2ª
)–1 3 3 3
0 7 7 8
0 1 1 4(
5. Resuelve por Cramer:
Solución:
a) Determinante de los coeficientes:
|C| = = –29
La solución es:
x = = = 1
y = = = 3
z = = = 5
b) Determinante de los coeficientes:
|C| = = 2
|1 1 –2
2 3 –7
5 2 1
|
–145
–29
2 1 5
|1 0 16
|0 5 10
–29
–87
–29
2 5 0
|1 16 3
|0 10 –1
–29
–29
–29
5 1 0
|16 0 3
|10 5 –1
–29
|2 1 0
1 0 3
0 5 –1
|
°
§
¢
§
£
x + y – 2z = 6
2x + 3y – 7z = 16
5x + 2y + z = 16
b)°
§
¢
§
£
2x + y = 5
x + 3z = 16
5y – z = 10
a)
Dado el siguiente sistema, resuélvelo matricialmente:
=
Solución:
= = )2
1()3
4()2 –1
–1 1()x
y(
)3
4()x
y()1 1
1 2(
2. Regla de Cramer y forma matricial

132 SOLUCIONARIO
La solución es:
x = = = 3
y = = = 1
z = = = –1
6. Resuelve por Cramer en función del parámetro a:
Solución:
Determinante de los coeficientes:
|C| = = –2
La solución es:
x = = = a – 1
y = = = 1
z = = = 1 – a
Solución:
Determinante de los coeficientes:
|C| = = –290
La solución es:
x = = = 1
y = = = –1
z = = = 2
t = = = –2
8. Resuelve matricialmente el sistema:
Solución:
= =
x = 2, y = –1, z = 1
=
Solución:
= =
x = –3, y = 2, z = 1
Solución:
= =
La solución es: x = –1, y = 1, z = –2
)–1
1
–2()–7
–1
–5()8 –4 –10
2 –1 –3
–8 5 11(1
2)x
y
z(
°
§
¢
§
£
2x – 3y + z = –7
x + 4y + 2z = –1
x – 4y = –5
)–3
2
1()2
–7
–5()–4 9 50
15 –7 –27
7 11 –34(1
107)x
y
z(
)2
–7
–5()x
y
z()5 8 1
3 –2 6
2 1 –1(
)2
–1
1()5
6
–3()5 –5 –3
–1 1 1
–11 13 7(1
2)x
y
z(
°
§
¢
§
£
3x + 2y + z = 5
2x – y + z = 6
x + 5y = –3
580
–290
4 4 5 0
2 0 3 10
|1 1 –5 –10 |0 3 2 1
–290
–580
–290
4 4 0 5
2 0 10 –1
|1 1 –10 0 |0 3 1 0
–290
290
–290
4 0 5 5
2 10 3 –1
|1 –10 –5 0 |0 1 2 0
–290
–290
–290
0 4 5 5
10 0 3 –1
|–10 1 –5 0 |1 3 2 0
–290
|
4 4 5 5
2 0 3 –1
1 1 –5 0
0 3 2 0
|
°
§
§
¢
§
§
£
4x + 4y + 5z + 5t = 0
2x + 3z – t = 10
x + y – 5z = –10
3y + 2z = 1
2a – 2
–2
1 1 a
|1 0 0
|1 2 2
–2
–2
–2
1 a 0
|1 0 1
|1 2 1
–2
2 – 2a
–2
a 1 0
|0 0 1
|2 2 1
–2
|1 1 0
1 0 1
1 2 1
|
°
§
¢
§
£
x + y = a
x + z = 0
x + 2y + z = 2
–2
2
1 1 6
|2 3 16
|5 2 16
2
2
2
1 6 –2
|2 16 –7
|5 16 1
2
6
2
6 1 –2
|16 3 –7
|16 2 1
2

11. Discute, según los valores del parámetro a, los si-
guientes sistemas:
Solución:
a) Se calcula |C| = = a3 – 3a + 2
a3 – 3a + 2 = 0 ò a = –2, a = 1
Para todo valor de a ? –2 y a ? 1 se verifica que:
R(C) = R(A) = 3 = número de incógnitas y, por lo
tanto, el sistema es compatible determinado.
Se estudian los valores que son raíces de |C|
• Para a = –2 se tiene:
R =
= R =
= R =
= R = R
Se tiene que R(C) = 2 < R(A) = 3 y, por lo tanto, el
sistema es incompatible.
• Para a = 1 se tiene:
R =1
Se tiene que R(C) = R(A) = 1 < número de incógni-
tas y, por lo tanto, el sistema es compatible indeter-
minado.
b) Se calcula |C| = = a3 + 3a
a3 + 3a = 0 ò a2(a + 3) = 0 ò a = –3, a = 0
R = R =
= R = R
minado.
R =1
minado.
)1 1 1
1 1 1
1 1 1(
)1 1 –2
0 1 –1(2ª : 3
= 2ª
)1 1 –2
0 3 –3
0 3 –3(
1ª – 2ª
2 · 1ª + 3ª
)1 1 –2
1 –2 1
–2 1 1()–2 1 1
1 –2 1
1 1 –2(
|a + 1 1 1
1 a + 1 1
1 1 a + 1
|
)1 1 1 1
1 1 1 1
1 1 1 1(
)1 1 –2 4
0 1 –1 2
0 0 0 1(3ª – 2ª
)1 1 –2 4
0 1 –1 2
0 1 –1 3(
2ª : 3
3ª : 3
)1 1 –2 4
0 3 –3 6
0 3 –3 9(
1ª – 2ª
2 · 1ª + 3ª
)1 1 –2 4
1 –2 1 –2
–2 1 1 1(
)–2 1 1 1
1 –2 1 –2
1 1 –2 4(
|a 1 1
1 a 1
1 1 a
|
°
§
¢
§
£
(a + 1)x + y + z = 0
x + (a + 1)y + z = 0
x + y + (a + 1)z = 0
b)
°
§
¢
§
£
ax + y + z = 1
x + ay + z = a
x + y + az = a2
a)
Discute, según los valores de k, el siguiente sistema:
Solución:
ò
Para todo valor k ? 6 el sistema es incompatible.
Para k = 6 el sistema se reduce a x + y = 3 ò Compatible indeterminado.
°
¢
£
x + y = 3
0 = k – 6
°
¢
£
x + y = 3
2x + 2y = k
°
¢
£
x + y = 3
2x + 2y = k
3. Discusión de sistemas con parámetros

134 SOLUCIONARIO
12. Discute, según los valores del parámetro k, los si-
guientes sistemas:
Solución:
a) Se calcula |C| = = k2 – 1
k2 – 1 = 0 ò k = –1, k = 1
Para todo valor de k ? –1 y k ? 1 se verifica que:
• Para k = –1 se tiene:
R = R
• Para k = 1 se tiene:
R =
= R = R
b) Se calcula |C| = = –k2 – k + 6
k2 + k – 6 = 0 ò k = –3, k = 2
Para todo valor de k ? –3 y k ? 2 se verifica que:
R =
= R = R
minado.
R =
= R = R
minado.
13. Discute, según los valores del parámetro a, el siguien-
te sistema:
Solución:
Como hay más ecuaciones que incógnitas, se calcula el
determinante de la matriz ampliada:
Se calcula |A| = = 2 – 2a
2 – 2a = 0 ò a = 1
Para todo valor de a ? 1 se verifica que:
R(C) < R(A) = 3 y, por lo tanto, el sistema es incompa-
tible.
R = R =
= R = R =
= R
Se tiene que R(C) = R(A) = 2 = número de incógnitas
y, por lo tanto, el sistema es compatible determinado.
14. Discute, según los valores del parámetro m, los si-
guientes sistemas:
°
§
¢
§
£
(2m + 2)x + my + 2z = 2m – 2
2x + (2 – m)y = 0
(m + 1)x + (m + 1)z = m – 1
b)
°
§
¢
§
£
x + y = 1
mx + z = 0
x + (1 + m)y + mz = m + 1
a)
)1 1 1
0 1 –1(
= 2ª
)1 1 1
0 1 –1
0 1 –1(2ª : 2
3ª : 7
)1 1 1
0 2 –2
0 7 –7(
2ª – 1ª
3ª – 3 · 1ª
)1 1 1
1 3 –1
3 10 –4()3 10 –4
1 1 1
1 3 –1(
|3 10 –4
a 1 1
1 3 –1
|
°
§
¢
§
£
3x + 10y = –4
ax + y = 1
x + 3y = –1
)1 1 1
0 1 0()1 1 1
0 2 0
0 1 0(
2 · 1ª – 2ª
2ª – 3ª
)1 1 1
2 0 2
2 –1 2(
)1 1 1
0 3 5(= 2ª
)1 1 1
0 3 5
0 3 5(
2ª + 3 · 1ª
2 · 1ª – 3ª
)1 1 1
–3 0 2
2 –1 –3(
|1 1 1
k 0 2
2 –1 k
|
)1 1 1 4
0 1 0 1
0 0 0 3(3ª : 2
)1 1 1 4
0 0 0 3
0 2 0 2(
1ª – 2ª
1ª – 3ª
)1 1 1 4
1 1 1 1
1 –1 1 2(
)–1 1 1 4
0 2 2 3
0 0 0 6(1ª + 2ª
1ª + 3ª
)–1 1 1 4
1 1 1 –1
1 –1 –1 2(
|k 1 1
1 1 1
1 –1 k
|
°
§
¢
§
£
x + y + z = 0
kx + 2z = 0
2x – y + kz = 0
b)°
§
¢
§
£
kx + y + z = 4
x + y + z = k
x – y + kz = 2
a)

Solución:
a) Se calcula |C| = = –m2 – m
m2 + m = m(m + 1) = 0 ò m = –1, m = 0
Para todo valor de m ? –1 y m ? 0 se verifica que:
• Para m = –1 se tiene:
R = =
= R
minado.
• Para m = 0 se tiene:
R = R
minado.
b) Se calcula el |C| = =
= –2m(m + 1)(m – 1)
m(m + 1)(m – 1) = 0 ò m = 0, m = – 1, m = 1
Para todo valor de m ? 0, m ? –1 y m ? 1 se verifica
que:
R =
= R = R
minado.
R = R
R = R =
= R = R =
= R
minado.
)1 0 1
0 1 –2(
= 2ª
)1 0 1
0 1 –2
0 1 –2(2ª – 4 · 1ª
3ª – 2 · 1ª
)1 0 1
4 1 2
2 1 0(
)4 1 2
2 1 0
1 0 1(3ª : 2
)4 1 2
2 1 0
2 0 2(
)2 3 0 0
0 –1 2 –4
0 0 0 –2()0 –1 2 –4
2 3 0 0
0 0 0 –2(
)1 1 0 0
0 1 –1 1(1ª – 2ª
)1 1 0 0
1 0 1 –1(
= 2 · 3ª
2ª : 2
)2 0 2 –2
2 2 0 0
1 0 1 –1(
|2m + 2 m 2
2 2 – m 0
m + 1 0 m + 1
|
)1 1 0 1
0 0 1 0(= 1ª
)1 1 0 1
0 0 1 0
1 1 0 1(
)1 1 0 1
0 1 1 1(
)1 1 0 1
0 1 1 1
0 0 0 0(1ª + 2ª
2ª + 3ª
)1 1 0 1
–1 0 1 0
1 0 –1 0(
|1 1 0
m 0 1
1 1 + m m
|

136 SOLUCIONARIO
Ejercicios y problemas
Preguntas tipo test
PAU
Un sistema lineal heterogéneo es compatible deter-
minado si (C, matriz de los coeficientes, y A, matriz
ampliada con los términos independientes):
R(C) < R(A)
R(C) = R(A) = Nº de incógnitas
R(C) > R(A)
R(C) ? R(A)
Si tenemos el sistema lineal matricial CX = B tal que
existe C–1, la solución es:
X = BC X = BC–1
X = CB X = C–1B
Un sistema lineal homogéneo:
siempre es compatible.
siempre es incompatible.
unas veces es compatible y otras incompatible.
ninguna de las anteriores es cierta.
Un sistema lineal de tres ecuaciones con dos incógnitas:
si R(C) = R(A) = 2, es compatible.
si R(A) = 3, es compatible.
si R(C) = 3, es compatible.
si R(C) = R(A) = 3, es compatible.
Un sistema lineal de tres ecuaciones con tres incóg-
nitas:
si R(C) = R(A) = 2, es compatible determinado.
si R(C) ? R(A), es compatible determinado.
si R(C) = R(A) = 3, es compatible determinado.
si R(C) < R(A), es compatible determinado.
Se considera el sistema lineal de ecuaciones, depen-
dientes del parámetro real a:
Discute el sistema para los distintos valores de a
a ? –7/4, S.C.D., si a = –7/4, S.I.
a = –7/4, S.C.D., si a ? –7/4, S.I.
a ? 2, S.C.D., si a = 2, S.I.
a = 2, S.C.D., si a ? 2, S.I.
Resuelve el sistema del ejercicio 6 para a = 4
x = 2, y = 3, z = 4
x = –2, y = 3, z = –4
x = y = z = 1
x = –1, y = –2, z = –3
Discute, en función del parámetro a, la solución del
siguiente sistema de ecuaciones lineales.
a ? –1, S.C.D., si a = –1, S.I.
a ? 1, S.C.D., si a = 1, S.C.I.
a = 1, S.C.D., si a ? 1 S.C.I.
a = 2, S.C.D., si a ? 2 S.I.
Resuelve el sistema del ejercicio 8 cuando sea com-
patible determinado.
x = y = z = 5
x = 15, y = 6, z = 1
x = –1/2, y = 2/3, z = –4/5
x = 15/13, y = 6/13, z = –1
Resuelve el sistema del ejercicio 8 cuando sea com-
patible indeterminado.
x = y – 2, z = –y + 2
x = 9y – 3, z = –13y + 5
x = 3y – 1, z = –3y + 1
x = –9y + 3, z = 13y – 5
✘
10
✘
9
✘
x + 4y + z = 2
3x – y + 2z = 1
2x – 5y + az = –a
°
§
¢
§
£
8
✘
7
✘
x – 2y + z = 0
3x + 2y – 2z = 3
2x + 2y + az = 8
°
§
¢
§
£
6
✘
5
✘
4
✘
3
✘
2
✘
1
Contesta en tu cuaderno:

1. Teorema de Rouché
15. Discute el siguiente sistema:
21. Discute y resuelve, si es posible, el siguiente sistema:
Solución:
Como hay más incógnitas que ecuaciones, se pasa t al
2º miembro y se resuelve por Gauss, y se obtiene la solu-
ción:
x = , y = , z =
La solución en ecuaciones parámetricas es:
l é‫ޒ‬
2. Regla de Cramer y forma matricial
Solución:
Como |C|= –36, el sistema es de Cramer.
La solución es: x = 2, y = –1, z = 1
Solución:
Como |C| = 5, el sistema es de Cramer.
La solución es: x = – , y = 0, z =
2
5
1
5
°
§
¢
§
£
3x + 2y + 4z = 1
2x + y + z = 0
x + 2y + 3z = 1
°
§
¢
§
£
7x + 2y + 3z = 15
5x – 3y + 2z = 15
10x – 11y + 5z = 36
°
§
§
§
¢
§
§
§
£
3l – 2
x = —
13
9 – 7l
y = —
13
4l + 32
z = —
13
t = l
4t + 32
13
9 – 7t
13
3t – 2
13
°
§
¢
§
£
2x + 4y – z + 2t = 0
x + y + z = 3
5x – 2y – 4z – t = –12
Solución:
Como |C| = 0, se halla el rango de C y de A por Gauss y
se obtiene:
R(C) = 2 = R(A) < número de incógnitas y, por lo tanto,
el sistema es compatible indeterminado.
°
§
¢
§
£
x + 2y – 4z = 1
2x + y – 5z = –1
x – y – z = –2
Solución:
se obtiene: R(C) = 2 < R(A) = 3 y, por lo tanto, el sistema
es incompatible.
°
§
¢
§
£
2x – y + z = –2
x + 2y + 3z = –1
x – 3y – 2z = 3
Solución:
se obtiene: R(C) = 2 = R(A) < número de incógnitas y,
por lo tanto, el sistema es compatible indeterminado.
°
§
¢
§
£
8x + y + 4z = 9
5x – 2y + 4z = 6
x + y = 1
Solución:
se obtiene:
R(C) = 2 < R(A) = 3 y, por lo tanto, el sistema es incom-
patible.
°
§
¢
§
£
2x + y + 4z = 0
4x – y + 2z = –4
3x – y + z = –2
Solución:
Como |C| = –10, el R(C) = R(A) = 3 y, por lo tanto, el
sistema es compatible determinado.
°
§
¢
§
£
5x + 4y + 5z = 9
x – 2y = 1
5x + 3y + 5z = 5
Solución:
se obtiene:
°
§
¢
§
£
3x – y + 2z = 1
x + 4y + z = 3
2x – 5y + z = –2

138 SOLUCIONARIO
Solución:
Como |C| = 46, el sistema es de Cramer.
La solución es: x = , y = – , z =
Solución:
Como |C| = –2, el sistema es de Cramer.
26. Resuelve matricialmente:
=
Solución:
|C|= –5. Calculando la matriz inversa de los coeficientes
se tiene:
=
–1
ò
= – · =
La solución es: x = –1, y = 0, z = 2
27. Resuelve matricialmente:
=
Solución:
|C|= 2. Calculando la matriz inversa de los coeficientes se
tiene:
=
–1
ò
= · =
3. Discusión de sistemas
con parámetros
28. Discute, según el valor del parámetro m, el siguiente
sistema:
Solución:
Se calcula |C| = = m2 – 2m
m2 – 2m = 0 ï m(m – 2) = 0 ò m = 2, m = 0
Para todo valor de m ? 2 y m ? 0 se verifica que:
R(C) = R(A) = 2 = número de incógnitas y, por lo tanto, el
R(C) = R(A) = 1 < número de incógnitas y, por lo tanto,
R(C) = 1 < R(A) = 2 y, por lo tanto, el sistema es in-
compatible.
29. Discute, según el valor del parámetro m, el siguiente
sistema:
Solución:
|C| = = –m3 – m2 + 6m
m3 + m2 – 6m = 0 ï m = 0, m = –3, m = 2
Para todo valor de m ? 0, m ? –3 y m ? 2 se verifica que:
compatible.
compatible.
|m + 1 1 1
1 2 m
1 m 2
|
°
§
¢
§
£
(m + 1)x + y + z = 3
x + 2y + mz = 4
x + my + 2z = 2
|m m
1 m – 1|
°
¢
£
mx + my = 6
x + (m – 1)y = 3
)0
–2
2()2
–2
0()1 1 –1
–1 1 1
1 –1 1(1
2)x
y
z(
)2
–2
0()1 0 1
1 1 0
0 1 1()x
y
z(
)2
–2
0()x
y
z()1 0 1
1 1 0
0 1 1(
)–1
0
2()1
2
3()–4 –3 1
–2 1 0
3 1 –1(1
5)x
y
z(
)1
2
3()1 2 1
2 –1 2
1 1 2()x
y
z(
)1
2
3()x
y
z()1 2 1
2 –1 2
1 1 2(
°
§
¢
§
£
x + 2y + 3z = 0
x + 2y + z = 0
2x + 3y + 4z = 2
9
46
17
46
27
23
°
§
¢
§
£
x + y + z = 1
3x – 4y = 5
7x – y – 3z = 8

30. Discute, según el valor del parámetro a, el siguiente sis-
tema:
Solución:
Se calcula |C| = = 2a + 16
2a + 16 = 0 ò a = –8
Para todo valor de a ? –8 se verifica que:
31. Discute, según el valor del parámetro a, el siguiente sis-
tema:
Solución:
|C| = = –3a + 24
3a – 24 = 0 ò a – 8 = 0 ò a = 8
Se estudian los valores que son raíces de |C| = 0
32. Discute, según el valor del parámetro k, el siguiente sis-
tema:
Solución:
Como hay una ecuación más que incógnitas, se estudia el
determinante de la matriz ampliada.
|A| = = –11k + 22
11k – 22 = 0 ò k – 2 = 0 ò k = 2
Para todo valor de k ? 2 se verifica que:
R(C) < R(A) = 3 y,por lo tanto,el sistema es incompatible.
Se estudian los valores que son raíces de |A|
R(C) = R(A) = 2 = número de incógnitas y, por lo tanto,
el sistema es compatible determinado.
33. Discute, según el valor del parámetro k, el siguiente sis-
tema:
Solución:
Como hay una ecuación más que incógnitas se estudia el
determinante de la matriz ampliada.
|A| = = k + 20
k + 20 = 0 ò k = –20
Para todo valor de k ? –20 se verifica que:
R(C) < R(A) = 3 y, por lo tanto, el sistema es incompa-
tible.
Se estudian los valores que son raíces de |A|
R(C) = R(A) = 3 = número de incógnitas y, por lo tanto,
el sistema es compatible determinado.
34. Se considera el siguiente sistema lineal de ecuaciones,
dependiente del parámetro m:
a) Discute el sistema para los distintos valores de m
b) Resuelve el sistema para m = 3
Solución:
a) |C| = m – 1
m – 1 = 0 ò m = 1
Para todo valor de m ? 1 se verifica que:
R(C) = R(A) = 3 = número de incógnitas y, por lo tan-
to, el sistema es compatible determinado.
R(C) = R(A) = 2 < número de incógnitas y, por lo
tanto, el sistema es compatible indeterminado.
b) Para m = 3 la solución del sistema es:
x = –3, y = 8, z = 0
°
§
¢
§
£
2x + y – z = 2
x + y + 2z = 5
–x + (m + 2)z = 3
|
1 1 0 1
3 2 –1 3
k 3 –2 0
–1 0 –4 3
|
°
§
§
¢
§
§
£
x + y = 1
3x + 2y – z = 3
kx + 3y – 2z = 0
–x – 4z = 3
|3 –5 6
1 1 k
1 2 2
|
°
§
¢
§
£
3x – 5y = 6
x + y = k
x + 2y = 2
|1 1 2
2 –1 3
5 –1 a
|
°
§
¢
§
£
x + y + 2z = 2
2x – y + 3z = 2
5x – y + az = 6
|1 1 2
2 –1 a
1 –1 –6
|
°
§
¢
§
£
x + y + 2z = 3
2x – y + az = 9
x – y – 6z = 5

140 SOLUCIONARIO
dependiente del parámetro real a:
a) Discute el sistema según los diferentes valores del
parámetro a
b) Resuelve el sistema para a = –1
c) Resuelve el sistema para a = 2
Solución:
a) |C| = a2 + a = a(a + 1)
a2 + a = 0 ò a(a + 1) = 0 ò a = 0, a = –1
compatible.
b) Para a = –1 la solución del sistema es:
x = 2 + y, z = 1
La solución en ecuaciones paramétricas es:
con l é‫ޒ‬
c) Para a = 2 la solución es:
x = 1, y = –1, z = –1/2
36. Sea el siguiente sistema de ecuaciones lineales:
a) Discute el sistema según los valores del parámetro a
b) Resuelve el sistema cuando tenga más de una solu-
ción.
Solución:
a) |C| = a2 – a – 2
a2 – a – 2 = 0 ò a = –1, a = 2
compatible.
b) Para a = 2 la solución del sistema es:
x = z – 1 , y = 2 – z
La solución, en ecuaciones paramétricas, es:
con l é‫ޒ‬
37. Siendo a un número real cualquiera, se define el sis-
tema:
a) Discute el sistema en función del valor de a
b) Encuentra todas sus soluciones para a = 1
Solución:
a) |C| = –a2 + 2a – 1
a2 – 2a + 1 = 0 ò a = 1
x = 1 – z, y = z
con l é‫ޒ‬
dependiente del parámetro real l:
Discute el sistema según los diferentes valores del pa-
rámetro l y resuélvelo.
°
§
¢
§
£
x + y + 5z = 0
2x – ly = 0
x – y + z = 0
°
§
¢
§
£
x = 1 – l
y = l
z = l
°
§
¢
§
£
x + 2y – az = 1
–y + z = 0
ax + z = a
°
§
¢
§
£
x = l – 1
y = 2 – l
z = l
°
§
¢
§
£
ax + y – z = 0
2x + ay = 2
–x + z = 1
°
§
¢
§
£
x = 2 + l
y = l
z = 1
°
§
¢
§
£
x – y = 2
ax + y + 2z = 0
x – y + az = 1
Para ampliar

Solución:
a) |C| = 4l – 12
4l – 12 = 0 ò l = 3
Para todo valor de l ? 3 se verifica que:
• Para l = 3 se tiene:
b) Para l = 3 la solución del sistema es:
x = –3z , y = –2z
con t é‫ޒ‬
Para l ? 3 la solución del sistema es la solución trivial:
x = 0, y = 0, z = 0
39. Se considera el siguiente sistema de ecuaciones:
a) Discute la compatibilidad del sistema en función del
parámetro m
b) Encuentra, cuando existan, sus soluciones.
Solución:
a) |C| = 0 para cualquier valor de m
Se estudia el sistema por Gauss y se obtiene que es in-
compatible.
b) No hay soluciones.
a) Discute el sistema en función del parámetro a
b) Resuélvelo para a = 2
Solución:
a) |C| = 2a2 – 8
a2 – 4 = 0 ò a = –2, a = 2
• Para a = –2 se tiene: R(C) = 2 < R(A) = 3 y, por lo
tanto, el sistema es incompatible.
• Para a = 2 se tiene: R(C) = R(A) = 2 < número de in-
cógnitas y, por lo tanto, el sistema es compatible inde-
terminado.
x = 3 – y, z = –1
con l é‫ޒ‬
°
§
¢
§
£
x = 3 – l
y = l
z = –1
°
§
¢
§
£
ax + 2y + 6z = 0
2x + ay + 4z = 2
2x + ay + 6z = a – 2
°
§
¢
§
£
mx + y + z = 1
x – y = m
x + my + z = 1
°
§
¢
§
£
x = –3t
y = –2t
z = t
Problemas
a) Discute el sistema en función del parámetro real a
b) Resuélvelo para a = 4
Solución:
a) |C| = –2a + 4
2a – 4 = 0 ò a – 2 = 0 ò a = 2
• Para a = 2 se tiene: R(C) = 2 < R(A) = 3 y, por lo tan-
to, el sistema es incompatible.
x = –5, y = –2, z = 9
°
§
¢
§
£
x – y + z = 6
–x – y + (a – 4)z = 7
x + y + 2z = 11

142 SOLUCIONARIO
42. Sea el sistema de ecuaciones:
a) Discute el sistema en función del parámetro real a
b) Resuelve el sistema en los casos en que resulte com-
patible determinado.
Solución:
a) |C| = a + 1
a + 1 = 0 ò a = –1
Para todo valor de a ? –1 se verifica que:
• Para a = –1 se tiene: R(C) = R(A) = 2 < número de
incógnitas y, por lo tanto, el sistema es compatible in-
determinado.
b) Para a ? –1 la solución del sistema es:
x = 1, y = 0, z = 2
43. Se considera el sistema:
a) Discute el sistema según los valores de m
b) Resuelve el sistema para m = 6
Solución:
a) |C| = m2 – 5m
m2 – 5m = 0 ò m(m – 5) = 0 ò m = 0, m = 5
Para todo valor de m ? 0 y m ? 5 se verifica que:
• Para m = 0 se tiene: R(C) = R(A) = 2 < número de in-
terminado.
• Para m = 5 se tiene: R(C) = 2 < R(A) = 3 y, por lo tan-
to, el sistema es incompatible.
b) Para m = 6 la solución del sistema es:
x = –12, y = 4, z = 3
44. Sea el sistema homogéneo:
a) Calcula el valor de m para el que el sistema tenga
soluciones distintas de la trivial.
b) Halla las soluciones.
Solución:
a) |C| = 2m
2m = 0 ò m = 0
Para todo valor de m ? 0, la solución es la trivial.
b) Para m = 0 se tiene:
R(C) = R(A) = 2 < número de incógnitas y, por lo tan-
to, el sistema es compatible indeterminado.
La solución es: x = 0, z = 0
con l é‫ޒ‬
45. Dado el sistema de ecuaciones:
a) estudia su compatibilidad.
b) añade al sistema una ecuación de tal forma que el
sistema resultante tenga solución única. Justifica la
respuesta y encuentra dicha solución.
c) añade al sistema dado una ecuación de tal forma que
el sistema resultante sea incompatible. Justifica la
respuesta.
Solución:
a) R(C) = R(A) = 2 < número de incógnitas y, por lo tan-
b)
El sistema tiene como solución:
x = 1, y = –1, z = 0
c) Se añade una ecuación contradictoria con las otras
dos; por ejemplo, sumando y cambiando el término in-
dependiente:
3x + 2z = 0
46. Se considera el siguiente sistema:
a) Discute el sistema según los valores del parámetro
real a
b) Resuelve el sistema para a = 3
°
§
¢
§
£
x – y = a
x + a2z = 2a + 1
x – y + a(a – 1)z = 2a
°
§
¢
§
£
2x + y + z = 1
x – y + z = 2
z = 0
°
¢
£
2x + y + z = 1
x – y + z = 2
°
§
¢
§
£
x = 0
y = l
z = 0
°
§
¢
§
£
x + z = 0
x + my + 2mz = 0
2x + my + (2m + 3)z = 0
°
§
¢
§
£
2x + my = 0
x + mz = m
x + y + 3z = 1
°
§
¢
§
£
(a + 1)x + 2y + z = a + 3
ax + y = a
ax + 3y + z = a + 2

Solución:
a) |C| = a2 – a
a2 – a = 0 ò a(a – 1) = 0 ò a = 0, a = 1
Para todo valor de a ? 0 y a ? 1 se verifica que:
compatible.
x = 5/2, y = –1/2, z = 1/2
Para profundizar
47. Se considera el siguiente sistema de ecuaciones en las
incógnitas x, y, z, t:
a) Encuentra los valores de k para los que el rango de
la matriz de los coeficientes del sistema es 2
b) Resuelve el sistema anterior para k = 0
Solución:
a) Estudiando la matriz de los coeficientes por Gauss se
obtiene que si k = 3/2, el R(C) = 2
b) Para k = 0, la solución es:
x = t/2, y = 0, z = –t/2
La solución en ecuaciones paramétricas es:
con l é‫ޒ‬
a) Halla todos los valores del parámetro l para los que
el sistema correspondiente tiene infinitas soluciones.
b) Resuelve el sistema para los valores de l obtenidos
en el apartado anterior.
c) Discute el sistema para los restantes valores de l
Solución:
a) |C| = 2l2 + 12l – 14
2l2 + 12l – 14 = 0 ò l2 + 6l – 7 = 0 ò l = –7, l = 1
• Para l = –7 se tiene: R(C) = 2 < R(A) = 3 y, por lo
tanto, el sistema es incompatible.
• Para l = 1 se tiene: R(C) = R(A) = 2 < número de in-
terminado.
b) Para l = 1 la solución del sistema es:
x = 1 + 2z , y = 1 – z
con l é‫ޒ‬
c) Para todo valor de l ? –7 y l ? 1 se verifica que:
49. Discute el sistema, según el valor del parámetro m, y
resuelve en los casos de compatibilidad.
Solución:
a) |C| = 14m – 14
14m – 14 = 0 ò m – 1 = 0 ò m = 1
Para todo valor de m ? 1 se verifica que:
compatible.
b) Para m ? 1 la solución del sistema es:
x = , y = , z =
50. Dado el siguiente sistema:
a) discute el sistema según el valor del parámetro a
b) resuelve el sistema en todos los casos de compatibi-
lidad.
°
§
¢
§
£
x + z = 1
y + (a – 1)z = 0
x + (a – 1)y + az = a
–m
2(m – 1)
–m(2m – 3)
14(m – 1)
3m2 + 27m – 28
14(m – 1)
°
§
¢
§
£
2x + 3y + z = 4
3x + y + mz = 6
–2x – 10y – 2z = m – 4
°
§
¢
§
£
x = 1 + 2l
y = 1 – l
z = l
°
§
¢
§
£
lx + 2y = 3
–x + 2lz = –1
3x – y – 7z = l + 1
°
§
§
¢
§
§
£
l
x = —
2
y = 0
l
x = –—
2
t = l
°
§
¢
§
£
x + 2y + z = 0
y + 2z + t = 0
2x + 2ky – t = 0

144 SOLUCIONARIO
Solución:
a) |C| = –a2 + 3a – 2
a2 – 3a + 2 = 0 ï a = 1, a = 2
Para todo valor de a ? 1 y a ? 2 se verifica que:
R(C) = R(A) = 2 < número de incógnitas y, por lo tan-
compatible.
b) Para a = 1 la solución es:
x = 1 – z, y = 0
con l é‫ޒ‬
Para a ? 1 y a ? 2, la solución es:
x = , y = , z = –
1
a – 2
a – 1
a – 2
a – 1
a – 2
°
§
¢
§
£
x = 1 – l
y = 0
z = l

Windows Derive
55. Resuelve el sistema:
56. Considera el siguiente sistema de ecuaciones:
a) Resuélvelo para el valor de a que lo haga compa-
tible indeterminado.
b) Resuelve el sistema que se obtiene para a = 2
Solución:
ax + y + z = 4
x – ay + z = 1
x + y + z = a + 2
°
§
¢
§
£
Solución:
°
§
¢
§
£
2x – y + z = –8
x + 3y – 2z = 5
2x + y + 3z = 4
52. Resolver matricialmente el siguiente sistema:
53. Discute, según los valores de k, el siguiente sistema:
54. Internet. Abre: www.editorial-bruno.es y elige
Matemáticas, curso y tema.
Solución:
Resuelto en el libro del alumnado.
°
§
¢
§
£
(1 – k)x + y + z = 0
x + (1 – k)y + z = k
x + y + (1 – k)z = k2
Solución:
°
§
¢
§
£
x + 2y – z = 0
2x + 5y = 4
x + 3y + 2z = 5
Solución:
°
§
¢
§
£
x + 2y + z = 1
3x + y + 4z = 5
2x – y + 3z = 4
Paso a paso
Practica

146 SOLUCIONARIO
Linux/Windows
57. Discute, según los valores del parámetro k, el si-
guiente sistema:
58. Clasifica el sistema siguiente según los valores del
parámetro k
59. Dado el sistema homogéneo:
averigua para qué valores de k tienen soluciones
distintas de x = y = z = 0. Resuélvelo en tales casos.
Solución:
°
§
¢
§
£
x + ky – z = 0
kx – y + z = 0
(k + 1)x + y = 0
Solución:
°
§
¢
§
£
kx + y – 2z = 0
–x – y + kz = 1
x + y + z = k
Solución:
°
§
¢
§
£
kx + y = 1
x + (k + 1)y = 1
x + ky = 1

60. Dado el sistema de ecuaciones lineales
determina para qué valor o valores de a el sistema
tiene una solución en la que y = 2
61. Plantea y resuelve el sistema de ecuaciones dado por:
=
62. Dada la matriz:
A =
calcula dos números reales x e y tales que se verfique:
A + xA + yI = 0
siendo I la matriz unidad de orden 2 y O la matriz
nula de orden 2
63. Se considera el sistema:
a) Discutir el sistema para los distintos valores de a
b) Halla todas las soluciones para a = 3
Solución:
x – 2y + (a – 2)z = 1
3x – 5y + (a – 2)z = 4
x – y + (a – 2)z = 2
°
§
¢
§
£
Solución:
)2 1
2 3(
Solución:
)5
4()3
y()1+ 3x 2
x –1(
Solución:
°
¢
£
x – ay = 2
ax – y = a + 1
Windows Derive

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