![Concepto de integral definida
La integral definida es un concepto utilizado para determinar el valor de las áreas limitadas por curvas
y rectas. Dado el intervalo [a, b] en el que, para cada uno de sus puntos x, se define una función f (x)
que es mayor o igual que 0 en [a, b], se llama integral definida de la función entre los puntos a y b al
área de la porción del plano que está limitada por la función, el eje horizontal OX y las rectas verticales
de ecuaciones x = a y x = b.
La integral definida de la función entre los extremos del intervalo [a, b] se denota como:
Propiedades de la Integral definida
La integral de la suma de dos funciones es igual a la suma de las integrales de
dichas funciones:
La integral del producto de un número real k por una función es igual al
producto de k por la integral de dicha función:
En una integral definida el limite superior de integración puede ser menor que el limite inferior de
integración y](https://image.slidesharecdn.com/slideshare-121104053524-phpapp02/85/Slideshare-1-320.jpg)
![En particular, si , entonces
Analogamente, si , entonces
Teorema fundamental del cálculo integral
La relación entre derivada e integral definida queda establecida definitivamente por medio del
denominado teorema fundamental del cálculo integral, que establece que, dada una función f (x), su
función integral asociada F (x) cumple necesariamente que:
Teorema del Valor Medio para Integrales
Dada una función "f" contínua en un intervalo cerrado [a, b], existe al menos un
valor dentro del mismo, tal que la derivada de la función evaluada en "c",
representa dicho valor promedio, conocido también como valor medio para
integrales.
Sumas de Riemann
Consideremos lo siguiente:
• una función
donde D es un subconjunto de los números reales
• I = [a, b] un intervalo cerrado contenido en D.
• Un conjunto finito de puntos {x0, x1, x2, ... xn} tales que a = x0 < x1 < x2 ... < xn = b
crean una partición de I](https://image.slidesharecdn.com/slideshare-121104053524-phpapp02/85/Slideshare-3-320.jpg)
![P = {[x0, x1), [x1, x2), ... [xn-1, xn]}
Si P es una partición con n elementos de I, entonces la suma de Riemann de f sobre I con la partición
P se define como
donde xi-1 ≤ yi ≤ xi. La elección de yi en este intervalo es arbitraria.
Si yi = xi-1 para todo i, entonces denominamos S como la suma de Riemann por la izquierda.
Si yi = xi, entonces denominamos S como la suma de Riemann por la derecha.](https://image.slidesharecdn.com/slideshare-121104053524-phpapp02/85/Slideshare-4-320.jpg)
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- 1. Concepto de integral definida La integral definida es un concepto utilizado para determinar el valor de las áreas limitadas por curvas y rectas. Dado el intervalo [a, b] en el que, para cada uno de sus puntos x, se define una función f (x) que es mayor o igual que 0 en [a, b], se llama integral definida de la función entre los puntos a y b al área de la porción del plano que está limitada por la función, el eje horizontal OX y las rectas verticales de ecuaciones x = a y x = b. La integral definida de la función entre los extremos del intervalo [a, b] se denota como: Propiedades de la Integral definida La integral de la suma de dos funciones es igual a la suma de las integrales de dichas funciones: La integral del producto de un número real k por una función es igual al producto de k por la integral de dicha función: En una integral definida el limite superior de integración puede ser menor que el limite inferior de integración y
- 2. Si hacemos a=b en la igualdad anterior se tiene que como el único número que coincide con su opuesto es el cero, llegamos a la conclusión de que para cualquier número real a. Dados tres números reales cualesquiera, a,b,c se tiene que: Si en el intervalo (a,b) la función f es mayor o igual que la función g entonces En particular, si , entonces Analogamente, si , entonces Si en el intervalo (a,b) la función f es mayor que la función g entonces
- 3. En particular, si , entonces Analogamente, si , entonces Teorema fundamental del cálculo integral La relación entre derivada e integral definida queda establecida definitivamente por medio del denominado teorema fundamental del cálculo integral, que establece que, dada una función f (x), su función integral asociada F (x) cumple necesariamente que: Teorema del Valor Medio para Integrales Dada una función "f" contínua en un intervalo cerrado [a, b], existe al menos un valor dentro del mismo, tal que la derivada de la función evaluada en "c", representa dicho valor promedio, conocido también como valor medio para integrales. Sumas de Riemann Consideremos lo siguiente: • una función donde D es un subconjunto de los números reales • I = [a, b] un intervalo cerrado contenido en D. • Un conjunto finito de puntos {x0, x1, x2, ... xn} tales que a = x0 < x1 < x2 ... < xn = b crean una partición de I
- 4. P = {[x0, x1), [x1, x2), ... [xn-1, xn]} Si P es una partición con n elementos de I, entonces la suma de Riemann de f sobre I con la partición P se define como donde xi-1 ≤ yi ≤ xi. La elección de yi en este intervalo es arbitraria. Si yi = xi-1 para todo i, entonces denominamos S como la suma de Riemann por la izquierda. Si yi = xi, entonces denominamos S como la suma de Riemann por la derecha.