Stema2

PROBLEMAS RESUELTOS TEMA: 2

1.‐ a) Tenemos una cuerda que pasa por una polea. En un extremo de la cuerda cuelga
un peso de 5 N y por el otro se aplica una fuerza de 10 N. Hallar la aceleración del
peso.
b) Si en lugar de la fuerza de 10 N, colgamos un peso de 10 N. ¿Será igual la aceleración
que en el caso a).

a)

La fuerza de 10N que se aplica a la cuerda, se transmite al peso. Aplicamos la segunda ley
de Newton al peso:
Sobre el peso actúan la fuerza de 10N que se aplica y el peso de 5N pero con sentido
contrario a la fuerza:

Donde , con lo que la ecuación es la siguiente:
10 → 5 → 9.81 /    Esta es la aceleración con la que sube
el peso.

b)

En el caso en que colgamos un peso de 10 N, aplicamos la 2ª ley de Newton a cada uno de
los dos bloques. Llamamos P1 al bloque de 10 N y P2 al bloque de 5 N. Con lo que hallamos las
dos ecuaciones siguientes:

Donde T es la tensión en la cuerda, la cual va siempre en dirección contraria al bloque
respecto al cual estamos realizando la ecuación, y en los dos bloques es la misma tensión ya que es
la misma cuerda y en la polea la cuerda circula libremente.
Si sumamos las dos ecuaciones anteriores llegamos a la siguiente ecuación:
→
5
15 3
3.27 /
Ahora el bloque de 5 N asciende con una aceleración de 3.27 m/s. Esto ocurre así porque
ahora la fuerza del bloque (10 N), el peso del bloque, debe mover ambas masas, mientras que en el
caso a) sólo se movía la masa del bloque de 5 N.

2.‐ El sistema más sencillo de poleas se denomina máquina de Atwood y se utiliza para
medir la aceleración de la gravedad g a partir de la aceleración de los dos bloques.
Suponiendo que la cuerda y la polea tienen una masa despreciable y la polea carece de
rozamiento, demostrar que la aceleración de cualquiera de los bloques y la tensión de
la cuerda son:

Para poder demostrar que la aceleración y la tensión son la fórmula que anuncia el
problema empezamos aplicando la 2ª ley de Newton a cada bloque por separado (suponemos que
m2 > m1) :

Si sumamos las dos ecuaciones resulta la siguiente ecuación:
→
Despejando T en la segunda ecuación:

Y sustituyendo la aceleración por la fórmula que hemos hallado anteriormente:

En la segunda parte de la ecuación se ha introducido una fracción que no influye en el
resultado pero es útil para poder simplificar y que el resultado sea idéntico al que da el enunciado.
Por lo que el resultado final es:

2

3.‐ La polea de una máquina de Atwood experimenta una aceleración a hacia arriba.
Determinar la aceleración de cada masa y la tensión de la cuerda.

Para poder realizar este problema debemos de hacer una suposición, que el bloque m1 sube
con su aceleración propia (apr) (relativa a la polea) más la aceleración externa (a), por lo que
suponemos que m2 > m1, esto es, (a + apr) será la aceleración absoluta de m1.
Supondremos igualmente que el bloque m2 asciende también pero con una aceleración
absoluta (a − apr) ya que m2 descenderá con respecto a la polea. Es evidente que nuestras
suposiciones dependerán de los valores reales de las masas, lo cual podría hacer que al sustituir
dichos valores, los resultados numéricos de las aceleraciones fueran negativos.
Si aplicamos la 2ª ley de Newton a cada bloque por separado obtenemos las siguientes
ecuaciones:

(ya que hemos supuesto que ambas masas ascienden, las tensión será mayor que los pesos)
Si restamos la segunda ecuación a la primera obtenemos la siguiente ecuación:

Para hallar apr basta con despejarla de la ecuación anterior, y el resultado es el siguiente:

Como podemos observar la aceleración relativa de los bloques con respecto a la polea es la
misma que en el problema 2 pero con (g + a) en lugar de g.
Teniendo el resultado de apr podemos hallar la aceleración total de cada bloque.
Para el bloque m2 obtenemos:

En la primera parte de la ecuación se ha introducido una fracción que no influye en el
resultado pero es útil para poder simplificar.
Por lo que el resultado de la aceleración absoluta del bloque m2 queda así:
2

Para el bloque m1 obtenemos:

En la primera parte de la ecuación se ha introducido una fracción que no influye en el
resultado pero es útil para poder simplificar.
Por lo que el resultado de la aceleración absoluta del bloque m1 queda así:
2

Para obtener la tensión utilizamos la ecuación que obtuvimos con la 2ª ley de Newton
aplicada para el bloque m2:

2

Una vez obtenido esta ecuación sólo que simplificar, por lo que el resultado de la tensión
sería el siguiente:
2

2

Podemos observar que esta tensión también coincide con la del problema 2 pero
cambiando (g + a) en vez de g.

4.‐ De una polea cuelga una cuerda sin rozamiento; en uno de los lados hay un mono, y
en el otro una pesa exactamente igual al peso de dicho animal. Se desea saber lo que
ocurre si aquel decide trepar.

Se pueden pensar dos cosas, que el mono suba normal y la pesa se quede quieta, o que el
mono se que en el mismo sitio y sea la pesa la que suba. Ninguna de estas dos situaciones ocurre.
En realidad, la fuerza extra que el mono ejercerá para trepar elevará tanto a la pesa como a
él mismo, de modo que ambos se elevan a la vez. Lo que pasa es que si el mono recorre una
distancia “d” sobre la cuerda, él solo se elevará d/2, debido a que los otros d/2 los ha subido el
peso permaneciendo mono y peso siempre enfrentados.
Si en lugar de la pesa hubiera otro mono del mismo peso y ambos se pusieran a trepar a la
vez, ahora sí subirían a la velocidad a la que trepan debido a que la cuerda no se movería.

Adaptado de la cuestión 6.24 del libro ¿Por qué? 1700 Cuestiones de Física de F.
Senent y J. Aguilar.

5.‐ En el sistema representado en la figura, dos bloques de masas m1 = 10 kg y m2 = 6
kg están unidos por un cable inextensible de masa despreciable. Las poleas se
suponen lisas y sin peso. Se pide determinar la aceleración que adquiere cada uno de
los cuerpos y las tensiones de las cuerdas.

Los sistemas de puntos materiales conectados por
ciertos vínculos o ligaduras se llaman sistemas
holónomos (condición de rigidez). En este caso, la
ligadura es la longitud constante del cable. Los
sistemas holónomos pueden tener uno (como en
este caso) o más grados de libertad.
La longitud de cable es,
2 →
Y si derivamos dos veces con respecto al tiempo e igualamos a cero
2 0 → 2 0
(donde la notación con el punto significa derivada respecto del tiempo)
Según esta ecuación, cuando el bloque m1 se mueva y se desplace hacia la derecha con una
aceleración “a”, el bloque m2 desciende con una aceleración " ". Por tanto:
2

Como norma general podemos afirmar que cuando un cuerpo está en una polea móvil su
aceleración será la mitad.
Si aplicamos la 2ª Ley de Newton al bloque m1 que sólo está sometido a la tensión T1 de la
cuerda:
[1]
Para el bloque m2 obtendríamos:
[2]
Si despejamos T2:
2
→
2

X1
X2
b

Ahora, según el diagrama, para la polea móvil inferior de peso
despreciable, se cumple:
2 [3]
Entonces ahora, con las ecuaciones obtenidas [1] y [2] podemos sustituir
en la ecuación [3],
2
1
2

Y si despejamos podemos obtener la aceleración,
2
6 9,8
2 10
2,56 ⁄
Entonces podemos afirmar, con el resultado de a1 y sustituyendo en nuestras ecuaciones [1] y [2]
que,

1,3 ⁄ 25,6 51,1

T2

6.‐ En el sistema de la figura, las masas de los bloques son m1 = 8 kg, m2 = 12 kg y m3 =
20 kg. La cuerda que los une se supone inextensible y de masa despreciable y las
poleas se consideran lisas y sin peso. El coeficiente de rozamiento dinámico entre el
bloque y la superficie del plano inclinado es µ = 0,15. Se pide determinar la
aceleración de los bloques y las tensiones de las cuerdas.
Podemos comprobar por el dibujo que:
2
donde la aceleración de m3 es la mitad porque está en una polea móvil (ver problema anterior)
Aplicamos la 2ª Ley de Newton a cada bloque suponiendo que m1 desciende*:
[1]
[2] 30°
[3]

Igual que en el problema anterior, para la polea móvil se cumple la relación de tensiones:
2
Entonces, con esta relación y sustituyendo las aceleraciones obtenidas obtenemos,
2 2 30° 2
Si despejamos a3 obtendríamos,
2 30° 2 30° 2
4
0,45
Con este resultado y sustituyendo en las ecuaciones anteriores podemos obtener,
0,9 71,2
102,7 205,4
30°

*Nota: El hecho de presuponer que m1 desciende se puede deducir comparando las fuerzas que
hacen que el sistema se mueva hacia la izquierda y hacia la derecha. Hacia la izquierda actúan: el
peso de m1 (8g = 78.4 N) y la componente del peso de m2 en dirección del plano (12gsen30 = 58.8
N). Esto es, 78.4 + 58.8 = 137.2 N. Hacia la derecha actúa sólo la mitad del peso de m3 ya que éste
está sobre la polea móvil, m3g/2 = 98N. Como 137.2 N > 98 N, el balance neto hace que el
sistema se mueva hacia la izquierda, esto es, m1 descienda.
Intentar evaluar previamente el sentido del movimiento en los problemas con rozamiento es
importante ya que, debido al rozamiento, las ecuaciones de Newton no se pueden invertir en
signo si se elige un sentido erróneo.

7.‐Un bloque de 60 kg se desliza por la parte superior de otro bloque de 100 kg con
una aceleración de 3 m/s2 por la acción de una fuerza horizontal F de 320 N. El bloque
de 100 kg se apoya sobre una superficie horizontal sin rozamiento, pero hay
rozamiento entre los dos bloques.
a) Determinar el coeficiente de rozamiento cinético entro los
bloques.
b) Determinar la aceleración del bloque de 100 kg durante el
tiempo que el bloque de 60 kg mantiene el contacto.

a) El bloque superior se encuentra sometido a la fuerza F y a la fuerza de rozamiento con el
bloque inferior. Por tanto, la 2ª Ley de Newton aplicada al bloque superior será:
60 → 320 60 60 3
Ahora, despejando el rozamiento:
0,24
b) El bloque inferior sólo se encuentra sometido al rozamiento con el bloque superior que es
la única fuerza en dirección del movimiento que actúa sobre él. Si aplicamos la 2ª Ley de
Newton al bloque inferior:
60 100 → 1,41

8. Un bloque de 2 kg está situado sobre otro de 4 kg, que a su vez se apoya sobre una
mesa sin rozamiento. Los coeficientes de rozamiento entre los dos bloques son
, , .
a) ¿Cuál es la fuerza máxima F que puede aplicarse al
bloque de 4 kg de tal modo que el bloque de 2 kg no
deslice?
b) Si F es la mitad de ese valor máximo, determinar la
aceleración de cada bloque y la fuerza de rozamiento
que actúa sobre cada uno de ellos.
c) Si F es el doble del valor determinado en a),
calcular la aceleración de cada bloque.

a) Si los dos cuerpos están unidos es como si tuviéramos un solo bloque de masa (m1 + m2).
Luego F = (m1 + m2) · a = (2 + 4) · a
Vemos que el bloque superior se mantiene fijo al inferior por la fuerza de rozamiento
estática que es quien le proporciona la aceleración “a” y la única fuerza que actúa sobre él (en
dirección del movimiento). Luego si aplicamos la 2ª ley de Newton al bloque superior, tenemos:
2 → 2 0,3 2
2 4
→ 17,64
Otra forma de entender el problema es mediante el concepto de fuerza ficticia o de inercia.
Así, cuando el conjunto de ambos bloques se acelera hacia adelante con aceleración “a”, entonces
el bloque superior va a sentir una reacción o fuerza ficticia (fuerza de inercia) hacia atrás del valor
. Entonces, el problema será una situación de equilibrio estático entre (hacia atrás) y el
rozamiento µc m1 g (hacia delante):

Como,

y obtendríamos el mismo valor de F que
antes.
b) Si ′ ,
8,77 como 8,77 N < 17.64 N sabemos que los dos bloques se van a mover
juntos.
con ′
′
1,47 / ². La fuerza de rozamiento es simplemente la que mueve al bloque
superior, esto es, le proporciona la aceleración de 1,47 m/s²:
2,74
(ojo, esta fuerza de rozamiento no es la máxima posible (µcm1g = 5,88 N) sino sólo la que se
necesita para proporcionar la aceleración necesaria de 1,47 m/s² al bloque superior).

c) Si F’’
= 17,54 x 2 = 35,28 N, la 2ª Ley para aplicada al bloque interior es:
2 0,2 4
de donde:
7,85 / ²
Se ha utilizado el coef. de rozamiento cinético puesto que ahora sabemos que ambos bloques van a
deslizar.
Puesto que el rozamiento cinético es la única fuerza externa (en dirección del movimiento) que
actúa sobre el bloque superior, al aplicarle 2ª ley de Newton tendríamos:
2 0,2 2
1,96 / ² respecto al suelo. Esta aceleración de 1,96 m/s² es independientemente de la
fuerza F’’ aplicada siempre que se cumpla que F > 17,54 N

9.‐ Un bloque de masa m descansa sobre una mesa horizontal. El coeficiente de
rozamiento estático es . Se aplica una fuerza al cuerpo bajo un ángulo .
a) Determinar la fuerza F necesaria para desplazar el bloque en función del ángulo .
b) Para el ángulo en que esta fuerza es mínima, la pendiente dF/d de la curva F en
función de es cero. Calcular dF/d y demostrar que esta derivada es cero para el
ángulo que satisface la expresión tg = .

a) Si el bloque no se mueve 0 , al aplicar la 2ª ley de Newton tendremos que el sumatorio de
las fuerzas es nulo, quedando:
∑ 0                 0
donde N es la fuerza neta que el suelo hace sobre el bloque (o fuerza normal).
∑ 0             0  (donde la )

(ver que tira hacia la derecha y tira hacia la izquierda)
b) F es mínima cuando el denominador es máximo:
0 (si es un extremo)
Ahora despejamos :

Esta es una expresión muy conocida que relaciona el coef. de rozamiento estático con el
ángulo en muchos problemas de estática (por ejemplo, como ocurre con cuerpos que reposan sin
deslizar sobre un plano inclinado).

10.‐ Considerar una cuenta de masa que puede moverse libremente sobre un
alambre delgado y circular de radio . Se da a la cuenta una velocidad inicial y el
coeficiente de rozamiento cinético es . El experimento se realiza en ausencia de
gravedad.
a) Determinar la velocidad de la cuenta en cualquier tiempo posterior.
b) Determinar la aceleración centrípeta de la cuenta.
c) Hallar la aceleración tangencial de la cuenta.
d) ¿Cuál es la magnitud de la aceleración resultante?

a) Pensando el problema a nivel de fuerzas de inercia (fuerzas centrífugas), cuando la masa gira
sufre una fuerza de inercia hacia el exterior que con el coeficiente de rozamiento nos
dará una fuerza de rozamiento, la cual disminuirá la velocidad creando una aceleración tangencial
despejamos la velocidad y nos queda:
En este caso, la aceleración es función de la velocidad y utilizaremos la correspondiente
ecuación de cinemática (ojo, no se pueden utilizar las ecuaciones de MRUA):
1 1 1

Ahora, despejamos la velocidad:




b) la aceleración centrípeta o normal es:

2
0
2
0
1
1












r
tvr
v
a
c
c 

c) en el apartado a) hemos visto que la aceleración tangencial cumplía:
entonces: (siendo el signo negativo debido a que se trata de
una desaceleración). Esto es, la aceleración tangencial de frenado depende de la aceleración
centrífuga (es decir, de la velocidad).
También podríamos haber deducido la aceleración tangencial derivando la expresión de la
velocidad obtenida en el apartado a). Mediante la aplicación de la regla de la cadena de la
derivación, obtenemos:

1
1

d) la magnitud de la aceleración resultante es:
1 /

11.‐ Una cadena flexible de longitud L y peso W está colocada inicialmente en reposo,
sobre una superficie sin fricción ABC, estando D a una distancia (L−a) de B. Demostrar
que cuando el extremo D llega al punto B la velocidad de la cadena es:
/ ² ²
‐
Primeramente, definimos una densidad lineal de peso
En cualquier instante tenemos que tener en cuenta que habrá una distancia x de cadena más
allá de B que variará desde a (en el instante inicial) hasta L (en el instante final).
Esta distancia x ejercerá una fuerza
que es la componente del peso de la cadena en
dirección paralela al plano. Esta es la fuerza que
acelerará toda la cadena completa de masa total . Por
lo tanto, al aplicar la 2ª ley de Newton a toda la
cadena, tendremos que la fuerza aplicada a la cadena deberá ser igual a la masa total por la
aceleración. Esto es:

Siendo el peso de la cadena que cuelga y su masa total.
Despejamos la aceleración y nos queda:
Entonces la aceleración es función del desplazamiento x y entonces usamos la
correspondiente ecuación cinemática que nos interesa:
2
2
2 2

Donde se ha tomado v0 = 0, ya que la cadena parte del reposo.
Finalmente: como queríamos demostrar.
Este problema también se puede resolver aplicando la conservación de la energía.

POR ENERGÍAS
Sea Δh1 lo que desciende el CM del trozo de cuerda (L – a) desde la situación inicial a la final:
Δh1 = (L – a) senα / 2
Sea Δh2 lo que desciende el CM del trozo de cuerda (a) desde la situación inicial a la final:
Δh2 = (L – a) senα
La masa m1 del trozo de cuerda (L – a) es igual a la densidad lineal de masa de la cuerda (W/gL)
multiplicado por la longitud (L – a), esto es: [(W/gL) ∙ (L – a)]
Luego el cambio de energía potencial de ese trozo será:
m1∙g ∙ Δh1 = [(W/L) ∙ (L – a)]∙ ((L – a) senα / 2)
La masa m2 del trozo de cuerda (a) es igual a la densidad lineal de masa de la cuerda (W/gL)
multiplicado por la longitud (a), esto es: [(W/gL) ∙ (a)]
Luego el cambio de energía potencial de ese trozo será:
m2∙g ∙ Δh2 = [(W/L) ∙ (a)]∙ (L – a) senα
Por tanto, el cambio total en energía potencial desde la situación inicial a la final será la suma de
ambas contribuciones anteriores. Dicho cambio será igual al cambio en energía cinética de la
cuerda, esto es:
m1∙g ∙ Δh1 + m2∙g ∙ Δh2 = (1/2) (W/g) v2
Luego:
[(W/L) ∙ (L – a)]∙ ((L – a) senα / 2) + [(W/L) ∙ (a)]∙ (L – a) senα = (1/2) (W/g) v2
Dividimos ambos miembros entre W. En el primer miembro, sacamos factor común
(senα / L) (L – a). Resulta:
(senα / L) (L – a) ∙ [(L – a)/2 + 2a/2] = (senα / L) (L – a) (L + a)/2 =
= (senα / 2L) (L² - a²) = (1/2) 1/g) v2
O bien:
v2
= (g / L) (L² - a²) senα
/ ² ²
Que es el mismo resultado obtenido por la aplicación de la 2ª ley de Newton.

L ‐ a
a

12.‐ Un estudiante montado en una bicicleta sobre una superficie horizontal, recorre
un círculo de radio 20 m. La fuerza resultante ejercida sobre la bicicleta (fuerza
normal más la fuerza de rozamiento) forma un ángulo de 15° con la vertical:
a) ¿cuál es la velocidad del estudiante?
b) Si la fuerza de rozamiento es la mitad de su valor máximo, ¿cuál es el coeficiente de
rozamiento estático?
a) Si aplicamos la 2ª ley de Newton a la masa estudiante-bicicleta, vemos que:
∑ 0 0
∑ donde es la fuerza de rozamiento y es la aceleración
normal o centrípeta.
Esto quiere decir que crea la aceleración centrípeta (sin no se podría dar la curva).
Ahora:
15°

Sacamos la velocidad:
mg
r
v
m
tan
2
15  15 tenemos que: 7,25 /
b) Hemos visto que y, según nos dicen en el apartado b), la fuerza de rozamiento
que actúa (la fuerza centrípeta) es la mitad de la máxima posible :
2 2 0,536
Gracias a que (que es la fuerza centrípeta) y son proporcionales a la masa del
móvil, este factor se cancela y podemos hallar el coeficiente de rozamiento estático .
Para dicho valor del coef. de rozamiento estático, es interesante calcular cuál sería la
velocidad máxima a la que se puede dar el círculo y con qué inclinación.

13.‐ Un ingeniero de caminos recibe la siguiente consulta. Hay que diseñar una
sección curva de carretera que cumpla las siguientes condiciones: Con hielo sobre la
carretera, cuando el coeficiente de rozamiento estático entre la carretera y el caucho
es de 0,08, un coche en reposo no debe deslizar hacia la cuneta y un coche que circule
a una velocidad inferior de 60 km/h no debe deslizarse hacia el exterior de la curva.
¿Cuál debe ser el radio mínimo de la curva y el ángulo de peralte de la carretera?

Para la condición de no deslizamiento en reposo debemos igualar la componente de peso
paralela al plano (dirigida hacia abajo) con la fuerza de rozamiento (dirigida hacia arriba).
Entonces, tenemos que:
            0,08            4,57°

Por la condición en movimiento aplicamos la 2ª Ley de Newton, siguiendo el esquema y
con los ejes X e Y elegidos:
∑ 
∑ 
Se ha tomado que la fuerza de rozamiento apunta hacia abajo (como ) ya
que no queremos que el cuerpo deslice hacia arriba (cuneta).
Resolviendo el sistema:
            [a]


θ
θ θ
N
mg
mg cosθ
mv²/r
mv² senθ/r
mv² cosθ/r
X
Y

176
Puede resultar más sencillo o intuitivo interpretar el problema desde el punto de vista de
fuerzas de inercia (en este caso centrífugas). Supondremos que la fuerza centrífuga es una fuerza
real aplicada sobre el cuerpo y resolveremos el problema de equilibrio estático correspondiente.
Para ello, igualaremos las fuerzas que “tiran” del cuerpo hacia arriba [m cos ] con las fuerzas
que “tiran” hacia abajo [mg sen + µe ·(mg cos + m sen )]. Esto es:
m cos = mg sen + µe (mg cos + m sen )
que es la misma ecuación [a] que obtuvimos antes.

θ
θ
θ
N
mg
mg cosθ
mv²/r
mv² cosθ/r
x
y
)sencos(sen
2

r
v
mmgmg e 

14.‐Determinar la fuerza constante que es necesaria aplicar durante 0,005 s a una
pelota de golf de 0,01 kg de masa, inicialmente en reposo, para que deje el suelo a una
velocidad de 40 m/s.

Como:
⟹ ⟹
Esto nos dice que la variación del impulso coincide con la variación del momento lineal.
En nuestro caso, nos dicen que la fuerza aplicada es constante y, como 0, tendremos:
0,01 40
0,05
80

15.‐ Para t = 0, un cuerpo de masa de 3,0 kg está en x m y tiene una velocidad
x + 6 y) m/s. Si actúa sobre la partícula una fuerza constante y N,
encontrar:
a) el cambio en el momento lineal del cuerpo después de 3 s.
b) el cambio en el momento angular del cuerpo después de 3 s.

a) Puesto que sabemos:

y como es constante:
→ 5 3 15 /
Δt = 3s
También podíamos haber calculado como:
donde
6
5
3
3 11 /
Ahora, restando directamente los momentos lineales:
3 6 3 18 /
3 11 3 33 /
/
y hemos obtenido el mismo resultado que antes.
b) Para hallar el cambio en , hallamos primero
4 3 6 72 ²/
Para hallar necesitamos antes : Para t = 3 segundos.
1
2
² 4 6 3
1
2
5
3
3² 7
51
2

Y ahora:
5
3
/

7
51
2
0
3 33 0
231 76,5 154,5 ²/
Por lo tanto:
154,5 72 , ²/
Podemos comprobar el resultado si observamos que como:
→
donde, el momento de fuerza viene dado por:

Por cinemática, sabemos:
1
2
4 6
1
2
5
3

4 6
5
6

4 6
5
6
0
0 5 0
5 4
Queda, al integrar el momento de fuerza:
5 4
2
3
0
60 22,5 , /
que es igual que antes.

16.‐ El vector posición de un cuerpo de masa 6 kg está dado por:
.
Encontrar:
a) La fuerza que actúa sobre la partícula.
b) El torque con respecto al origen de la fuerza que actúa sobre la partícula.
c) El momento lineal y el momento angular de la partícula con respecto al origen.
d) Verificar que

a) Debemos hallar: donde
6 6 12 3
6 24 → 36 144
b) 3 6 4 3 2
36 144 0

432 288 108 72 288 864
c) La fórmula del momento lineal es la siguiente:
6 6 6 12 3
36 36 72 18 /
3 6 4 3 2
36 36 72 18
144 144 54 72 72 72 288 /
d) Es inmediato comprobar derivando que se cumple:

y que también se cumple:

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