Tema 5 construccion algoritmos EDA 1.pdf
- 1. TEMA 5: Estrategias para construir algoritmos OBJETIVO: El alumno conocerá y aplicará las principales técnicas para construir algoritmos, así como la recursividad como estrategia para desarrollar algoritmos eficientes.
- 2. 5.1 Aspectos generales de la construcción de algoritmos
- 3. 5.1 Estrategias de diseño Las estrategias de diseño establecen la forma en la que se modela el problema que se va a resolver Saber cual es la estrategia apropiada para cada problema depende de factores como los datos que se trabajan, las entradas y salidas esperadas
- 4. 5.1.1 Top-down Consiste en establecer una serie de etapas, niveles o jerarquías iniciando desde los aspectos más generales hasta llegar a los más específicos. Se busca establecer una relación entre las etapas de la solución del problema. Puede ser mediante módulos conectados entre si, de entradas y salidas de información o de datos abstractos que contienen otros.
- 5. 5.1.1 Top-down Esta técnica tiene los siguientes aspectos: Simplificación del problema y sus módulos haciendo una descomposición. Las diferentes partes del problema pueden ser programadas de modo independiente e incluso por diferentes personas. El programa final queda estructurado en forma de bloque o módulos lo que hace más sencilla su lectura y mantenimiento.
- 6. 5.1.2 Bottom-Up Parte desde los módulos particulares o específicos que son parte de la solución general de un problema. Se suele utilizar cuando ya se elaboró el diseño de una solución y se va a realizar la implementación de la misma.
- 7. 5.1.2 Bottom-Up Si el diseño de la solución se realiza siguiendo este modelo, puede ser complicado ya que no se tiene un panorama general del problema completo. Se utiliza cuando el punto de partida es simple y después se agregan nuevas funcionalidades a un sistema
- 8. 5.1.3 Problemas de Optimización Un problema de optimización consiste en minimizar o maximizar el valor de una variable. La variable que se desea minimizar o maximizar debe ser expresada como función de otra de las variables relacionadas en el problema.
- 9. 5.1.3 Problemas de Optimización En un problema de optimización no solo se busca una solución, sino que se busca "la mejor" de todas. En los problemas de optimización, la dinámica de los algoritmos busca tomar una serie de decisiones, cuyo efecto general es reducir o maximizar un recurso (una variable) especifico (Mínimo costo - Máximo beneficio)
- 10. 5.2 Búsqueda exhaustiva o fuerza bruta
- 11. 5.2.1 Fuerza Bruta - Definición Consiste en verificar todas las posibles soluciones a un problema hasta encontrar aquella o aquellas que cumplan con el propósito de resolver el problema. Es la forma de aproximación más simple para resolver un problema.
- 12. 5.2.2 Fuerza Bruta – Ventajas y Desventajas VENTAJAS Simplicidad en los algoritmos Aplicable a diferentes tipos de problemas DESVENTAJAS Carece de eficiencia en muchos casos. Funcional para instancias relativamente pequeñas de los problemas que se resuelven
- 13. 5.2.2 Fuerza Bruta – Ejemplos Buscar los divisores de un número ✓ Verificar si un número es primo. Dado un conjunto de números, encontrar la suma máxima entre ellos Dada una cierta longitud y un conjunto de caracteres, encontrar un password. Búsqueda lineal
- 14. 3.3 Algoritmos ávidos (Greedy)
- 15. 5.3.1 Algoritmos Ávidos - Definición Un algoritmo ávido es aquel que, para resolver un determinado problema, elige la mejor opción en cada paso local (de manera directa) con la esperanza de llegar a una solución general óptima. Este esquema algorítmico plantea pocas dificultades al ejecutarse y comprobar su funcionamiento.
- 16. 5.3.1 Algoritmos Ávidos - Definición Consiste en tomar las decisiones sucesivamente, de modo que cada decisión individual sea la mejor de acuerdo con algún criterio “a corto plazo” cuya evaluación no sea demasiado costosa. Una vez tomada una decisión, no se podrá revertir, ni siquiera si más adelante se hace obvio que no fue una buena.
- 17. 5.3.2 Algoritmos Ávidos – Forma general 1. Establecer el problema en función de decisiones directas de tal forma que cada decisión resulte en un nuevo subproblema a resolver. 2. Mostrar que siempre hay una solución al problema original a partir de la decisión que tome la etapa actual. 3. Demostrar que el subproblema obtenido a partir de la primer solución proporcionada con el algoritmo “greedy” aún tiene una solución al problema.
- 18. 5.3.3 Algoritmos Ávidos – Ejemplos La estrategia en la que trabaja un algoritmo greedy es top-down. Los algoritmos de tipo “GREEDY” no necesariamente obtienen la solución óptima. Algunos ejemplos típicos de problemas conocidos que se resuelven utilizando un algoritmo ávido son: ➢ Problema del cambio de monedas. ➢ Problema de la mochila.
- 19. 5.3.3 Algoritmos Ávidos – Ejemplos Problema del cambio de monedas Consiste en descomponer una cantidad n en el menor numero de monedas. El enfoque de resolución de este problema utilizando un algoritmo de tipo greedy es tomar siempre la moneda de más alta denominación que no rebase la cantidad n.
- 20. 5.3.3 Algoritmos Ávidos – Ejemplos Ejemplo: Pesos Mexicanos {10,5,2,1} a) $24: {10,10,2,2} b)$15: {10,5} Ejemplo: Otra moneda {11,5,1} $15: { 11, 1, 1, 1, 1} $18:{11,5,1,1}
- 21. 5.3.3 Algoritmos Ávidos – Ejemplos Problema de la mochila Se tiene una mochila con una capacidad de n kilogramos y se tiene un conjunto de objetos con un peso y un valor económico cada uno. El objetivo es llevar en la mochila el mayor valor posible. Mochila de 100 kg … ¿Qué objetos seleccionar? Peso 10 20 30 40 50 Costo 20 10 65 40 60
- 22. 5.3.3 Algoritmos Ávidos – Ejemplos Primero el más ligero Peso = 10 + 20 + 30 + 40 = 100 kg Valor = 20 + 10 + 65 + 40 = 135 Primero el más valioso Peso = 30 + 50 + 10 = 90kg Valor = 65 + 60 + 20 = 145 Primero el que tenga mas valor por unidad de peso Peso = 30 + 10 + 50 = 90kg Valor = 65 + 20 + 60 = 145 Peso 10 20 30 40 50 Costo 20 10 65 40 60
- 23. 5.3.3 Algoritmos Ávidos – Ejemplos Problema de la mochila fraccional En esta variante del problema, se puede tomar “fracciones” de los objetos de tal manera que siempre se llena la mochila a su máxima capacidad Peso 10 20 30 40 50 Costo 20 10 65 40 60 Valor x unidad 2 0.5 2.1666 1 1.2
- 24. 5.3.3 Algoritmos Ávidos – Ejemplos Primero el más ligero Peso = 10 + 20 + 30 + 40 +10 ( de 50)= 110 kg Valor = 20 + 10 + 65 + 40 + 12 = 147 Primero el más valioso Peso = 30 + 50 + 30 (de 40) = 110kg Valor = 65 + 60 + 30 = 155 Primero el que tenga mas valor por unidad de peso Peso = 30 + 10 + 50 + 20( de 40)= 110kg Valor = 65 + 20 + 60 + 20= 165 Peso 10 20 30 40 50 Costo 20 10 65 40 60 Valor x unidad 2 0.5 2.1666 1 1.2
- 25. 5.4 Divide y vencerás
- 26. 5.4.1 Divide y vencerás - Generalidades Además de ser una estrategia para construir algoritmos, es una técnica que suele ser considerada para resolver problemas en general. En el campo de los algoritmos consiste en resolver un problema a partir de la solución de sub-problemas del mismo tipo pero de menor tamaño.
- 27. 5.4.2 Divide y vencerás - Descripción La idea es hacer una división del problema general en sub-problemas del mismo tipo pero de menor tamaño. Si después de hacer la “división”, los sub-problemas son relativamente grandes, se aplica de nuevo la técnica tantas veces como sean necesarias hasta alcanzar problemas suficientemente pequeños para resolverlos directamente.
- 28. 5.4.2 Divide y vencerás -Descripción El resultado del diseño de estos algoritmos suele ser simple (pocas instrucciones), lo que da lugar a una mejor legibilidad, mayor facilidad en la depuración y análisis del algoritmo. La técnica de divide y vencerás suele ir de la mano con la recursividad.
- 29. 5.4.2 Divide y vencerás - Descripción Otra consideración importante a la hora de diseñar algoritmos divide y vencerás, es el reparto de la carga entre los sub-problemas, puesto que es importante que la división en sub-problemas se haga de la forma más equilibrada posible.
- 30. 5.4.3 Divide y vencerás – Forma general La técnica consiste a grandes rasgos en los siguientes pasos: 1.- Se debe plantear el problema de tal forma que se pueda descomponer en k sub-problemas del mismo tipo pero de menor tamaño. A esta parte del procedimiento se le conoce como división. 2.- Se deben resolver los k problemas de manera independiente. 3.- Combinar las soluciones de cada uno de los k problemas para construir la solución al problema original.
- 31. 5.4.3 Divide y vencerás – Forma general
- 32. 5.4.2 Divide y vencerás – Ejemplos Búsqueda binaria Divide: Seleccionar al elemento central en la lista y compararlo con el que buscamos Conquista: Si el valor objetivo es igual al elemento central, se ha encontrado y el algoritmo termina. En caso de no ser igual se continua de manera recursiva en la mitad izquierda o derecha. Combinar: Los pasos de división y conquista se repiten en la mitad seleccionada de la lista; hasta que se encuentre la coincidencia o hasta que la lista se reduzca a un tamaño mínimo y no se pueda dividir más.
- 33. 5.4.2 Divide y vencerás – Ejemplos
- 34. 5.4.2 Divide y vencerás – Ejemplos
- 35. 5.4.2 Divide y vencerás – Ejemplos Ordenamiento por Intercalación (Mergesort) Dada una lista desordenada, el procedimiento para ordenarla es el siguiente: ✓ Dividir la lista de n elementos en dos sub-listas de n/2 elementos cada una ✓ Ordenar las dos sub-listas utilizando mergesort ✓ Combinar (intercalar) las dos sub-listas ordenadas para obtener la lista ordenada final.
- 36. 5.4.2 Divide y vencerás – Ejemplos Ordenamiento por Intercalación (Mergesort) Divide: Partir recursivamente la lista por la mitad hasta que cada sublista tenga un solo elemento. Conquista: Una vez que las sublistas tienen un solo elemento, se considera que están ordenadas. Por lo tanto, no es necesario realizar más divisiones y se considera una solución directa. Combina: A medida que se resuelve la recursión, se combinan las sublistas ordenadas en pares y se fusionan en sublistas más grandes y ordenadas.
- 37. 5.4.2 Divide y vencerás – Ejemplos
- 38. 5.4.2 Divide y vencerás – Ejemplos Algoritmos de ordenamiento Multiplicación de matrices Par de puntos más cercano FFT (Transformada Rápida de Fourier) Calendarización de actividades.
- 39. 3.6 BACKTRACK
- 40. 3.6.1 Backtrack - Descripción Backtracking (o búsqueda atrás) es una estrategia de construcción de algoritmos que permite realizar una búsqueda sistemática a través de un espacio de soluciones. El objetivo es encontrar soluciones parciales a medida que progresa el recorrido, estas soluciones parciales limitan las regiones en las que se puede encontrar una solución completa.
- 41. 3.6.1 Backtrack - Descripción La búsqueda de solución a un problema no tiene éxito si en alguna etapa, la solución parcial construida hasta el momento no puede continuar. En tal caso, la búsqueda de la solución regresa hacia “atrás” e intenta otra opción de camino.
- 42. 3.6.1 Backtrack - Descripción La construcción de estrategias backtrack es similar a “greedy” ya que en cada paso se busca un posible camino que conduce a una solución. La diferencia radica en que en este caso si es posible regresar y buscar un camino diferente
- 43. 3.6.1 Backtrack - Descripción ESTRATEGIA GENERAL Comprobar si la solución parcial actual es una solución completa y válida. Si la solución parcial no es completa o válida, se elige una opción disponible y se toma una decisión. Se realiza una llamada recursiva para continuar explorando con la nueva solución parcial. Después de la llamada recursiva, se deshace la última decisión tomada. Se repiten los pasos para todas las opciones disponibles, hasta que se encuentre una solución o se hayan explorado todas las opciones.
- 44. 3.6.2 Backtrack - Ejemplos Recorrer un laberinto hasta encontrar la salida. ✓ No se puede “dividir” el problema ✓ No hay mucha información al inicio ✓ Se requiere tomar decisiones conforme se avanza o progresa en el recorrido. ✓ Si esas decisiones resultan en un camino equivocado, se puede regresar e intentar otra solución
- 45. 3.6.2 Backtrack - Ejemplos Problema de la “n” reinas ✓ Dado un tablero de ajedrez de n x n, colocar n reinas de tal manera que no se puedan ver (que no se maten) entre ellas ✓ No hay mucha información al inicio ✓ Se requiere tomar decisiones sobre la colocación de las reinas. ✓ Si esas decisiones resultan en una solución equivocada, se puede regresar e intentar otra solución
- 46. 3.6.2 Backtrack - Ejemplos
- 47. 3.6.2 Backtrack - Ejemplos El problema tiene una estructura de solución incremental, donde la decisión tomada en cada etapa afecta las opciones disponibles en las etapas siguientes. Dado que el problema de las n reinas implica tomar decisiones y descartar opciones inválidas en cada etapa, es una aplicación adecuada para el algoritmo de backtrack. Permite explorar exhaustivamente todas las posibles soluciones en el espacio de búsqueda del problema. Se van descartando las opciones que no cumplen las restricciones evitando explorar ramas que no llevarán a una solución válida.
- 48. 3.6.2 Backtrack - Ejemplos Sudoku
- 49. 3.6 Backtrack - Ventajas y desventajas La mayor ventaja de la estrategia Backtrack es la flexibilidad que proporciona, ya que dependiendo el enfoque del problema puede encontrar una o todas las soluciones al problema. La desventaja es que dependiendo de la dificultad del problema, puede tomar mucho tiempo en resolverse.
- 50. 3.6.4 Backtrack - Aplicaciones Se usa en la implementación de los lenguajes de programación, principalmente de inteligencia artificial Se utiliza en análisis sintácticos de los compiladores Algunos algoritmos de teoría de grafos también se pueden analizar con este enfoque
- 51. 5.4 Recursividad
- 52. 3.4.1 El concepto de Recursividad Una función recursiva es aquella que hace una llamada a sí misma. ¿Cómo puede un método resolver un problema llamándose a sí mismo? La clave está en que esa llamada se hace en un contexto diferente, que generalmente es más simple que el anterior.
- 53. 3.4.1 El concepto de Recursividad La función puede invocarse a sí misma (una o más veces) hasta llegar a una versión que no requiere una nueva llamada. Para que una definición recursiva sea válida, la referencia a sí misma debe ser más simple que el caso previo.
- 54. 3.4.2 Definición de una función recursiva Una función recursiva requiere de 2 partes: 1.- Llamada recursiva (a sí misma): En alguna de sus instrucciones se invoca a sí misma, con un parámetro de entrada diferente, que implica un caso más simple. Se hacen nuevas llamadas a la función, cada vez más próximas al caso base. 2.- Caso Base: Trivial o fin de recursión. Es la parte donde el problema se resuelve directamente sin una nueva llamada a sí mismo. Evita la continuación indefinida de la ejecución.
- 55. 3.4.3 Otros aspectos de Recursividad La recursión es una potente herramienta que se aplica en la resolución de problemas. Las estructuras autoreferenciales son un buen ejemplo de aplicación de naturaleza recursiva.
- 56. 3.4.3 Otros aspectos de Recursividad La contraparte de la recursividad es la “iteración” o la resolución a través de una fórmula directa. En las funciones iterativas se resuelve un problema aplicando procedimientos de solución repetidamente y no se considera la posible estructura interna del problema. En algunos casos la función recursiva es más eficiente, en otros la iterativa es mejor.
- 57. 3.4.3 Otros aspectos de Recursividad El diseño de una función recursiva suele ser complicado y algunos de los problemas que ocurren frecuentemente son: ➢ Creación de una lógica circular que ocasiona que la función no termine su ejecución. ➢ Error en la definición del caso base. ➢ El número de operaciones crece excesivamente
- 58. 3.4.4 Recursividad e Inducción matemática La inducción matemática es la base de la recursividad. Las demostraciones por inducción, muestran que si se sabe que una afirmación es cierta para el caso mas pequeño y se puede demostrar que un caso implica el siguiente, entonces se sabe que la afirmación es cierta para todos los casos. Para probar que una definición recursiva es correcta se debe demostrar por inducción
- 60. 3.4.5 Ejemplos cotidianos de recursividad Los archivos de una computadora suelen estar almacenados en directorios. Los usuarios pueden crear subdirectorios que almacenan archivos y otros directorios. Al descender o ascender por una escalera se realiza un recorrido recursivo ya que se realiza la misma acción hasta llegar a un caso base (no más escaleras)
- 61. 3.4.5 Ejemplos cotidianos de recursividad Las palabras de los diccionarios se definen utilizando otras palabras. Al buscar, es posible que no se comprenda la definición y se tenga que buscar el significado de las palabras que contiene dicha definición. Como el diccionario es finito, llega un momento en el que se comprenden todas las palabras, que se caiga en una definición circular, o que alguna palabra no exista.
- 62. 3.4.6 Funciones matemáticas recursivas La suma de los N primeros enteros. Definición Directa Definición Recursiva Caso Base: S(1) = 1 N N S N S + − = ) 1 ( ) ( 2 ) 1 ( ) ( + = N N N S
- 63. para s(4)…
- 64. 3.4.6 Funciones matemáticas recursivas En código int sumaEnteros(int n){ if (n==1) return 1; else return sumaEnteros(n-1) + n }
- 65. 3.4.6 Funciones matemáticas recursivas Números de Fibonacci: 1,1,2,3,5,8,13,21,34… Caso Base: fib(0) = 0, fib(1) = 1 ) 2 ( ) 1 ( ) ( − + − = n fib n fib n fib
- 67. 3.4.6 Funciones matemáticas recursivas En código int fibonacci(int n){ if (n<=2) return 1; else return fibonacci(n-1)+ fibonacci(n-2)
- 68. 3.4.6 Funciones matemáticas recursivas La suma de 2 números. s𝑢𝑚𝑎 𝑎, 𝑏 = ቐ 𝑎 𝑏 = 0 𝑠𝑢𝑚𝑎 𝑎 − 1, 𝑏 + 1 𝑏 < 0 𝑠𝑢𝑚𝑎 𝑎 + 1, 𝑏 − 1 , 𝑏 > 0
- 69. 3.4.6 Funciones matemáticas recursivas En código int sumaRec (int num1, int num2){ if(num2 == 0) return num1; else if(num2 < 0) return sumaRec(num1-1, num2+1); else return sumaRec(num1+1, num2-1); }
- 70. 3.4.6 Funciones matemáticas recursivas En código int rec (int a, int b){ if(b == 0) return a; else if(b < 0) return rec(a-1, b+1); else return rec(a+1, b-1); }
- 71. 3.4.6 Funciones matemáticas recursivas La potencia de un numero (exponente positivo) 𝑝𝑜𝑡𝑒𝑛𝑐𝑖𝑎 𝑏, 𝑛 = ቊ 1 𝑛 = 0 𝑏 ∙ 𝑝𝑜𝑡𝑒𝑛𝑐𝑖𝑎 𝑏, 𝑛 − 1 , 𝑛 > 0
- 72. 3.4.6 Funciones matemáticas recursivas Factorial de un número Iterativo: Recursivo: Caso Base: fact(0)=1 )) 1 ( )...( 2 )( 1 ( ) ( − − − − = n n n n n n fact ) 1 ( ) ( − = n fact n n fact