Teorema de Pitágoras

Considerado el primer matemático, Pitágoras fundó un
movimiento en el sur de la actual Italia, en el siglo VI a.C., que
enfatizó el estudio de las matemáticas con el fin de intentar
comprender todas las relaciones del mundo natural. Sus
seguidores, llamados pitagóricos, fueron los primeros en
formular la teoría que decía que la Tierra es una esfera que
gira en torno al Sol.

El teorema de Pitágoras establece que en todo triángulo
rectángulo, el cuadrado de la hipotenusa ("el lado de mayor
longitud del triángulo rectángulo") es igual a la suma de los
cuadrados de los catetos (los dos lados menores del triángulo,
los que conforman el ángulo recto).

Teorema de Pitágoras
En todo triángulo
rectángulo el cuadrado de
la hipotenusa es igual a la
suma de los cuadrados de
los catetos.
Pitágoras de Samos

ELEMENTOS DE UN
TRIÁNGULO RECTÁNGULO
¿QUÉ ES UN TRIÁNGULO
RECTÁNGULO?
90º
Es un triangulo que tiene
un ángulo recto, esta
formado por dos catetos y
la hipotenusa
Cateto: Son los lados
adyacentes al ángulo de 90º
La hipotenusa es más
grande que cualquiera de
los catetos. y es el lado
opuesto al angulo de 90º

Consideramos un triángulo rectángulo de catetos 3 y 4 cm
Por tanto: 32 + 42 = 52
El área del cuadrado
construido sobre el
primer cateto vale 9
Hay 3·3 = 9
cuadraditos
El área del cuadrado
construido sobre el
segundo cateto vale 16
Hay 4·4 = 16
cuadraditos
Hallemos el área del
cuadrado construido
sobre la hipotenusa.
Observa:
1. El área del triángulo es 6
2. El cuadrado sobre la
hipotenusa contiene 4
triángulos de área 6.
Además contiene un
cuadradito de área 1.
3. Su área total es 6·4 + 1 = 25.
Luego es un cuadrado de lado 5
3
4

En un triángulo rectángulo los catetos miden 5 y 12 cm, calcula la
hipotenusa.
Como c2 = a2 + b2 se tiene:
Haciendo la
raíz cuadrada
c2 = 52 + 122 = 25 + 144 = 169 c = 13 cm

Tenemos un cuadrado de 7 cm de lado.
¿Cuánto mide su diagonal?
La diagonal es la hipotenusa
de un triángulo rectángulo
cuyos catetos miden 7 cm
cada uno.
Cumplirá que: d2 = 72 + 72
Luego, d2 = 49 + 49 = 98
d  98  9,9

Tenemos un rectángulo cuyos lados miden 6 y 8 cm.
¿Cuánto mide su diagonal?
La diagonal es la hipotenusa
de un triángulo rectángulo
cuyos catetos miden 6 y 8
cm, respectivamente.
Luego, d2 = 36 + 64 = 100
6
8
d
Cumplirá que: d2 = 62 + 82
d = 10

Aquí tienes otro ejercicio de muestra: Dado las medidas en el siguiente
triángulo encontraremos el valor del cateto b, que en este caso esta
determinado por x
Determina el valor de x en:
La formula es:
c2 = a2 + b2
Entonces reemplazamos tanto el
valor de c como el de a, cojiendo los
datos dados en el triángulo...
102 = 62 + x2
Despeja x:
102 – 62 = x2
Esto es igual a:
100 – 36 = x2
a = 6
c = 10
b = x
90º
Se resta:
64 = x2
Aplicamos raíz para despejar x:
8 = x

APLICACIONES DEL TEOREMA
El teorema de Pitágoras es de
mucha utilidad en la resolución
de problemas de la vida
cotidiana.
Por ejemplo: El famoso Galileo
Galilei, utilizó el teorema de
Pitágoras para determinar la
medida de algunas montañas
lunares.

Conocer la altura de un
edificio, sabiendo la medida
de la sombra que proyecta y
la distancia del punto más
alto del edificio al extremo
de la sombra.

Se desean bajar frutos de un árbol
de naranjas, para ello se quiere
construir una escalera que sea
capaz de alcanzarlos, sabiendo la
altura a la que se encuentran los
frutos y la distancia del árbol a la
base de la escalera.

Si un triángulo rectángulo tiene catetos de
longitudes y , y la medida de la hipotenusa es , se
establece que:
푐2 = 푎2 + 푏2

Ejercicio:
Cálculo de la diagonal de un cuadrado
Si trazamos la diagonal de un cuadrado de lado l
obtenemos dos triángulos rectángulos iguales.
l l
l
l
La diagonal es la hipotenusa de cada uno de los triángulos.
Aplicando el Teorema de Pitágoras obtenemos el valor de la
diagonal en función del lado del cuadrado:

Aplicando el Teorema en un cuadrado de 6 cm
de lado:
6 cm 6 c.m.
6 c.m.

Ejercicio:
Cálculo de la altura de un triángulo isósceles
Sea un triángulo isósceles cuya base mide 12 cm y sus lados laterales 10
cm.
Al trazar la altura se obtienen dos triángulos rectángulos
iguales de hipotenusa 10 cm y de cateto horizontal 6 cm

La altura del triángulo es uno de los catetos.
Aplicando el Teorema de Pitágoras:

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