Teoria de Funciones de variable real. dominio y rango

Manuel Pontigo Alvarado.
ISBN 978-9968 9634-2-8
Definiciones
La Prueba de la Línea Vertical
La Distancia entre dos puntos.
La forma estándar de una ecuación lineal
Los ceros de una función.
Las Funciones Polinomiales
Las Funciones Cuadráticas.
Las funciones racionales.
Operaciones con funciones: La Suma
Familia de funciones cuadráticas.
Familia de funciones cúbicas.
Familia de funciones de valor absoluto.
Menú:
Abrir la HE con Ejemplos y ejercicios.

2
Definición.
Una Función es una relación en la que cada
elemento de la variable independiente x,
que se conocerá como Dominio de la función le
corresponde un solo elemento del conjunto
de valores de la variable dependiente y
denominado Rango de la función.
Dominio; Rango; Función.

3
Una sola variable x del dominio puede conectar con varias de la
variable y o rango. Por esto, se puede comprobar que una relación x
con y, se hace mediante la prueba de la línea vertical. Trace una línea
vertical movible en su gráfica, si esta interfecta a la línea del gráfico
entonces la relación no es una función.
¿Cuál de estas relaciones no es una Función?
La Prueba de la Línea Vertical.
Respuesta: _La gráfica B. La relación enter x e y no es únivoca.
Gráfica A
0,0
2,0
4,0
6,0
8,0
10,0
12,0
14,0
16,0
18,0
-6,0 -4,0 -2,0 0,0 2,0 4,0 6,0
Gráfica B.
-5,0
-4,0
-3,0
-2,0
-1,0
0,0
1,0
2,0
3,0
4,0
5,0
0,0 5,0 10,0 15,0 20,0
Gráfica C.
-1
-0,5
0
0,5
1
1,5
2
-6 -4 -2 0 2 4 6
Gráfica D.
-10
-8
-6
-4
-2
0
2
4
6
8
10
-3 -2 -1 0 1 2 3
3

La función lineal.
Las funciones lineales tienen la forma:
b
mx
y
b
mx
x
f 


 o
;
)
(
En donde m es la pendiente
y b la intersección de la
línea de la función en el eje
y. Por ejemplo:
1
4
)
( 
 x
x
f
x y
0,00 -1
0,25 0
0,50 1
0,75 2
1,00 3
1,25 4
1,50 5
1,75 6
2,00 7
2,25 8
1,4 Gráfico de una función lineal.
-2
-1
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
0,00 0,50 1,00 1,50 2,00 2,50
La Pendiente es: 4 / 1 esto
es: la distancia vertical
entre la distancia
horizontal)
Y la intersección con el eje
y es: 1.
R: 1; 4 / 1
4

La Distancia entre dos puntos.
La distancia entre dos puntos de
una recta se puede encontrar
mediante:    2
1
2
2
1
2 y
y
x
x
d 



En el ejemplo:
(x2 – x1)2
= (1 – 0)2
= 1
(y2 – y1)2
= (–1 – 0)2
La distancia es: 1,4142
En un triángulo
|x2 – x1| es el cateto b
|y2 – y1| es el cateto a
Y d es h = hipotenusa
El planteamiento es un teorma famoso de: Pitágoras
a
b
d
x
0,5 1,0
0
-0,5
-1,0
Respuesta: Pitágoras; h = hipotenusa; (1 – 0)2
= 1; b; a;1,4142; (–1 – 0)2
= 1.
5

El punto medio.
Elabore un gráfico de un rectángulo cuyas coordenadas son: (1, 1) y
ubique los puntos.
El punto medio de un segmento de recta se puede encontrase con la
fórmula del punto medio:
 
   





 


2
,
2
,
i
j
i
j y
y
x
x
y
x
El punto medio para x = 1 es:
0,5
El punto medio para y = -1 es: -0,5
El punto medio del segmento d = (x = 1, y = -1) es: (0,5; -0,5).
En el gráfico, señale mediante líneas punteadas las coordenadas al
punto medio d:
R: -0,5; (0,5; -0,5); 0,5
6
(0,5;-05)
a
b
d
x
0,5 1,0
0
-0,5
-1,0
Punto medio de un segmento de recta

esta definida por:
0


 C
By
Ax
La pendiente se calcula mediante:
La intersección con el eje y mediante:
B
C
b 

B
A
m 

El ejemplo que se ha desarrollado puede
escribirse como:
Despejando para y:
Independizando términos a la izquierda de Ec.
Sustituyendo:
7
By
C
Ax 


y
B
C
Ax



y
B
C
x
B
A



;
1
4
1
1
1
4
y
x
x 



















R:
y
B
C
Ax



By
C
Ax 


y
B
C
x
B
A



;
1
4
1
1
1
4
y
x
x 




















Los ceros de una función.
Los ceros de una función se encuentran haciendo f(x) = 0 y despejando
para x:
Grafique las funciones: de los ejemplos e incorpórelos en la diapositiva:
Ej; 1.1: f(x) = 4x – 1; f(x) = 0(x) + 6; x = 4
¿Cuál de los gráficos no representa una función? El tercero
Debido a: La función tiene un sección de puntos vertical al eje x.
8
f(x) = 4x - 1
-6,0
-4,0
-2,0
0,0
2,0
4,0
6,0
8,0
10,0
-2,0 -1,0 0,0 1,0 2,0 3,0
y = 4(0,25) - 1= 0
f(x)=0x+6
-4
-2
0
2
4
6
8
10
12
-6 -4 -2 0 2 4 6
x = 4.
-5
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
5
0 1 2 3 4 5

Las Funciones Polinomiales.
Las funciones polinomiales son de la forma
n
n
n
n x
a
x
a
x
a
x
a
a
x
f 




 

1
1
2
2
1
1
0 ...
)
(
1.- Cuando la potencia más alta de la función es un entero impar, hay por lo menos un
cero real.
2.- Cuando la potencia más alta es un entero par, puede no haber ceros reales.
3.- Ambos tipos pueden tener raíces imaginarias de la forma a + bi.
4.- A la potencia más alta de un polinomio se le llama grado.
10
2
)
( 2
4



 x
x
x
x
f
9
Ejemplo 1.4. Desarrolle y grafique la función: que tiene 4
ríacices (soluciones).
Función de grado 4 y 4 raices (soluciones).
9,6
9,8
10,0
10,2
10,4
10,6
10,8
11,0
-0,60 -0,40 -0,20 0,00 0,20 0,40 0,60
x; Dominio
y;Rango
10
2
)
( 2
4



 x
x
x
x
f
Intersectada 10
a1 1
a2 1
a3 2
Incremento 0,125
x y
-0,50 9,9
-0,38 9,8
-0,25 9,8
-0,13 9,9
0,00 10,0
0,13 10,1
0,25 10,3
0,38 10,6
0,50 10,9

3
2
2
)
( 2
3



 x
x
x
x
f
1.10 Polinomios ejemplo de polinomio de tercer grado. 10
Desarrolle y grafique la función polinomial :
Intersectada 3
a1 -2
a2 1
a3 2
Incremento x 0,5
x y
-2,65 -22,02
-2,15 -8,03
-1,65 0,00
-1,15 3,57
-0,65 4,18
-0,15 3,32
0,35 2,51
0,85 3,24
1,35 7,00
1,85 15,31
2,35 29,65
Ésta es de grado 3. Tiene un cero real en -1,6535, y dos raíces que no son
reales.
Función de grado 3 y un cero real
-30,0
-20,0
-10,0
0,0
10,0
20,0
30,0
40,0
-3,00 -2,00 -1,00 0,00 1,00 2,00 3,00
x; Dominio
y;
Rango
x = -1,6535

11
Polinomios ejemplo 1.6
Desarrolle y grafique la función polinomial :
Que tiene dos raíces que no son reales.
1
)
( 2

x
x
f
Funcion de grado 2 con dos raices no
reales.
0,00
5,00
10,00
15,00
20,00
25,00
30,00
35,00
40,00
-10,00 -5,00 0,00 5,00 10,00
x; Dominio
y;
Rango
Intersectada 1,00
a1 1,00
Incremento x 1
x y
-6,00 37,00
-5,00 26,00
-4,00 17,00
-3,00 10,00
-2,00 5,00
-1,00 2,00
0,00 1,00
1,00 2,00
2,00 5,00
3,00 10,00
4,00 17,00
5,00 26,00
6,00 37,00

12
Las Funciones Cuadráticas.
1. La ecuación general de las funciones cuadráticas es:
2. La Gráfica de una función cuadrática se llama parábola.
3. Algunas parábolas son ecuaciones cuadráticas pero no son funciones cuadráticas.
.
)
( 2
c
bx
ax
x
f 


4. El vértice de una parábola se llama punto crítico.
5. Se puede usar la fórmula:
a
ac
b
b
2
4
2



para encontrar las raíces reales de las funciones cuadráticas.
6.- El valor dentro del símbolo de la raíz cuadrada se llama discriminante e indica el
tipo de raices de ecuación cuadrática.
Si b2
– 4ac > 0, indicará dos raíces reales diferentes;
Si b2
– 4ac = 0, indicará exactamente una raíz real;
Si b2 – 4ac < 0, indicará que no hay raíces reales (dos raíces imaginarias
distintas).
R: parábola; funciones; punto crítico; discriminante ecuaciones;

La Parábola 13
Desarrolle la función
2
)
( x
x
f 
El discriminate D =
0
0
0
4
0
4 2
2





 ac
b
La raíz positiva:
La raíz negativa:
x y
-5 25,00
-4 16,00
-3 9,00
-2 4,00
-1 1,00
0 0,00
1 1,00
2 4,00
3 9,00
4 16,00
5 25,00
La Parábola
0,00
5,00
10,00
15,00
20,00
25,00
30,00
-6 -4 -2 0 2 4 6
Dominio x
Rango
y
2
)
( x
x
f 
raíz real
x = 0
;
2
4
no
0
2
a
ac
b
b
a





;
2
4
no
0
2
a
ac
b
b
a





R:
;
2
4
no
0
2
a
ac
b
b
a





0
0
0
4
0
4 2
2





 ac
b
;
2
4
no
0
2
a
ac
b
b
a






Una Parábola con dos raíces: negativa y positiva 14
El discriminate D =
La raíz positiva:
La raíz negativa:
R:
2
)
( 2

x
x
f
  8
2
1
4
0
4 2
2






 ac
b
x y
-4,0 14,00
-3,3 9,09
-2,7 5,08
-2,0 1,96
-1,3 -0,26
-0,7 -1,58
0,0 -2,00
0,7 -1,52
1,4 -0,15
2,0 2,12
2,7 5,29
3,4 9,36
4,0 14,32
 
1,4142
1
2
2
1
4
0
0 2







 Parábola con dos raices reales
-4,00
-2,00
0,00
2,00
4,00
6,00
8,00
10,00
12,00
14,00
16,00
-6,0 -4,0 -2,0 0,0 2,0 4,0 6,0
x, Dominio de la función
y,
Rango
de
la
función
Dos raíces:
x = 1,4142
-x = -1,4142
2
)
( 2

x
x
f
  8
2
1
4
0
4 2
2






 ac
b
 
1,4142
1
2
2
1
4
0
01 2









 
1,4142
1
2
2
1
4
0
01 2








  
1,4142
1
2
2
1
4
0
0 2









Una Parábola con dos raíces: ambas positivas 15
El discriminate D =
La raíz positiva:
La raíz negativa:
R:
1
4
)
( 2


 x
x
x
f
  12
1
1
4
4
4 2
2






 ac
b
   
0,2679
1
2
1
1
4
4
4 2








    
3,7321
1
2
1
1
4
0
4
4 2








x y
-4,0 33
-3,0 22
-2,0 13
-1,0 6
0,0 1
1,0 -2
2,0 -3
3,0 -2
4,0 1
5,0 6
6,0 13
7,0 22
8,0 33
Dos raices reales positivas
-5
0
5
10
15
20
25
30
35
-6,0 -4,0 -2,0 0,0 2,0 4,0 6,0 8,0 10,0
x; Dominio
y;
Rango
Dos raices
positivas
x1 = 0,26
x2 = 3,73
1
4
)
( 2


 x
x
x
f
   
0,2679
1
2
1
1
4
4
4 2









  12
1
1
4
4
4 2
2






 ac
b
   
3,7321
1
2
1
1
4
0
4
4 2









1.15 Función cuadrática con una solución real. 16
Desarrolle la función: 0
2
)
( 2


 x
x
x
f
R:
El discriminate D =
La raíz positiva:
La raíz negativa:
  1
0
2
4
1
4 2
2





 ac
b
 
0
2
2
0
2
4
1
1 2






  
5
,
0
2
2
0
2
4
1
0 2








x y
-3,00 15,00
-2,50 10,00
-2,00 6,00
-1,50 3,00
-1,00 1,00
-0,50 0,00
0,00 0,00
0,50 1,00
1,00 3,00
1,50 6,00
2,00 10,00
2,50 15,00
3,00 21,00
Parábola con una función real
-5,00
0,00
5,00
10,00
15,00
20,00
25,00
-4,00 -3,00 -2,00 -1,00 0,00 1,00 2,00 3,00 4,00
x; Dominio
y;
Rango
Una raíz
x = -0,5
 
0
2
2
0
2
4
1
1 2







  1
0
2
4
1
4 2
2





 ac
b
 
5
,
0
2
2
0
2
4
1
0 2









17
Parábola con discriminate D = 0
2
)
( 2


 x
x
x
f
El discriminate D =
  0
1
2
4
2
4 2
2





 ac
b
La raíz 1:
La raíz 2:
R:  
1
1
2
1
1
4
2
2 2








 
1
1
2
1
1
4
2
2 2








x y
-4,0 9,00
-3,5 6,25
-3,0 4,00
-2,5 2,25
-2,0 1,00
-1,5 0,25
-1,0 0,00
-0,5 0,25
0,0 1,00
0,5 2,25
1,0 4,00
1,5 6,25
2,0 9,00
Una raíz real y Discriminante = 0
0,00
1,00
2,00
3,00
4,00
5,00
6,00
7,00
8,00
9,00
10,00
-5,0 -4,0 -3,0 -2,0 -1,0 0,0 1,0 2,0 3,0
x; Dominio
y;
Rango
Una raiz
x = -1
1
2
)
( 2


 x
x
x
f
 
1
1
2
1
1
4
2
2 2








  0
1
2
4
2
4 2
2





 ac
b
 
1
1
2
1
1
4
2
2 2









18
Parábola invertida con dos raices
2
)
( 2


 x
x
x
f
El discriminate D =
La raíz 1:
La raíz 2:
R:   64
5
3
4
2
4 2
2







 ac
b
 
1,6667
3
2
5
3
4
2
2 2










  
1,0000
3
2
1
3
4
2
2 2










x y
-3,0 -16,00
-2,5 -8,75
-2,0 -3,00
-1,5 1,25
-1,0 4,00
-0,5 5,25
0,0 5,00
0,5 3,25
1,0 0,00
1,5 -4,75
2,0 -11,00
2,5 -18,75
3,0 -28,00
Parábola invertida con dos raices
-30,00
-25,00
-20,00
-15,00
-10,00
-5,00
0,00
5,00
10,00
-4,0 -3,0 -2,0 -1,0 0,0 1,0 2,0 3,0 4,0
x; Dominio
y
=
Rango
  64
5
3
4
2
4 2
2







 ac
b
 
1,6667
3
2
5
3
4
2
2 2











 
1,0000
3
2
1
3
4
2
2 2











19
Parábola con dos raíces imaginarias
Desarrolle la función:
El discriminate D =
La raíz 1:
La raíz 2:
R:
3
2
2
)
( 2


 x
x
x
f
  0
2
3
2
4
2
4 2
2






 ac
b
 
2
2
3
2
4
2
2
aplica,
no
0
D
2








x y
-3,0 15
-2,5 11
-2,0 7
-1,5 5
-1,0 3
-0,5 3
0,0 3
0,5 5
1,0 7
1,5 11
2,0 15
2,5 21
3,0 27
Parábola sin raices reales
0
5
10
15
20
25
30
-4,0 -2,0 0,0 2,0 4,0
x; Dominio
y;
Rango
3
2
2
)
( 2


 x
x
x
f
Dos raices
imaginarias
 
1,0000
3
2
1
3
4
2
2 2










 
2
2
3
2
4
2
2
aplica,
no
0
D
2








 
1,0000
3
2
1
3
4
2
2 2










  0
2
3
2
4
2
4 2
2






 ac
b

20
Una parábola que no es función
En general, si se invierten los valores de las coordenadas en las funciones
cuadráticas se obtienen parábolas que no son funciones. El gráfico muestra
esta clase de parábolas.
x' y'
-16,0 -3,00
-8,8 -2,50
-3,0 -2,00
1,3 -1,50
4,0 -1,00
5,3 -0,50
5,0 0,00
3,3 0,50
0,0 1,00
-4,8 1,50
-11,0 2,00
Gráfico de una parábola que no es función
-4,00
-3,00
-2,00
-1,00
0,00
1,00
2,00
3,00
-20,0 -15,0 -10,0 -5,0 0,0 5,0 10,0
x no es dominio
y
no
es
rango

Las funciones racionales.
Las funciones racionales tienen la forma:
)
(
)
(
)
(
x
h
x
g
x
f 
1.- La función racional básica es:
x
x
f
1
)
( 
2.- La gráfica de estas funciones consta de dos partes en
diferentes cuadrantes debido a que cuando x = 0 la función
se indefine y pega un salto.
3.- Las ramas de las funciones racionales se
aproximan a rectas llamadas asíntotas porque no
llegan a ser paralelas a alguno de los ejes.
21

1.22 Ejemplo de la función racional básica de las
asíntotas y su ubicación.
22
Es evidente que
las funciones
racionales no
están definidas
para x = 0. En es
función, los
valores de y o
rango son más
altos cuando x se
aproxima a cero
y se van pegado
x y
-18 -0,06
-16 -0,06
-14 -0,07
-12 -0,08
-10 -0,10
-8 -0,13
-6 -0,17
-4 -0,25
-2 -0,50
0 0,00
2 0,50
4 0,25
6 0,17
8 0,13
10 0,10
12 0,08
14 0,07
16 0,06
18 0,06
al eje x a medida que se aumenta el valor del dominio.
Cuando x es negativo y grande la función es asíntota en y = 0. Cuando x es
positiva y grande la función es asíntota en x = 0.
R: y = 0; x = 0.
Gráfico de la función racional básica y las
asíntotas
-0,60
-0,40
-0,20
0,00
0,20
0,40
0,60
-20 -15 -10 -5 0 5 10 15 20
x; Dominio de la función
y;
Rango
de
la
fumción
Cuadrante 1
Cuadrante 2
Cuadrante 3
Cuadrante 4
Asíntotas
x = 0; y = 0

1.23 Función racional en los cuadrantes uno y cuatro.
3
)
(


x
x
x
f
Elabore el cuadro de datos y el gráfico respectivo para la función:
En esta función, cuando x es positivo la función se hace asintótica en y =
1. Cuando x es negativo se hace asintótica en x = 3
R: y = 1; x = 3
Función racional en Cuadrantes 2 y 4
-3,00
-2,00
-1,00
0,00
1,00
2,00
3,00
4,00
5,00
-8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8
x; Dominio
y;
Rango
3
)
(


x
x
x
f
Asíntota en y = 1
Asíntota en x = -3
N° x y
1 -6 2,00
2 -5 2,50
3 -4 4,00
4 -3
5 -2 -2,00
6 -1 -0,50
7 0 0,00
8 1 0,25
9 2 0,40
10 3 0,50
11 4 0,57
12 5 0,63
13 6 0,67
23

1.24 Función racional en cuadrantes uno y tres.
x
x
f
3
)
( 
Elabore el cuadro de datos y el gráfico
respectivo para la función:
La función no está definida para x = 0. Por tanto es
asintótica en x = 0 e y = 0.
R: x = 0; x = 0; x = 0
24
Función racional en cuadrantes uno y tres.
-0,80
-0,60
-0,40
-0,20
0,00
0,20
0,40
0,60
0,80
-40 -30 -20 -10 0 10 20 30 40
x; Dominio
Y;
Rango
x
x
f
3
)
( 
Asíntotas en:
x = 0
y = 0
N° x y
1 -30 -0,10
2 -25 -0,12
3 -20 -0,15
4 -15 -0,20
5 -10 -0,30
6 -5 -0,60
7 0
8 5 0,60
9 10 0,30
10 15 0,20
11 20 0,15
12 25 0,12
13 30 0,10

1.25 Funciones racionales en cuadrantes uno y cuatro.
Elabore el cuadro de datos y el gráfico
respectivo para la función:
3
2
1
)
( 


x
x
f
25
N° x y
1 -6 2,88
2 -5 2,86
3 -4 2,83
4 -3 2,80
5 -2 2,75
6 -1 2,67
7 0 2,50
8 1 2,00
9 2
10 3 4,00
11 4 3,50
12 5 3,33
13 6 3,25
Función racional en cuadrantes uno y cuatro
0,00
0,50
1,00
1,50
2,00
2,50
3,00
3,50
4,00
4,50
-8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8
x; Dominio
y;
Rango
Asíntotas en
x = 2; y = 3
3
2
1
)
( 


x
x
f
La función se indetermina cuando x = 2. Sin embargo, y mantiene
el valor y = 3. Por tanto, las asíntotas se presentan para x = 2 y
para y = 3.
R: y = 3; x = 2; x= 2; y = 3.

Operaciones con funciones: La Suma
La suma de funciones está definida por:    )
(
)
( x
g
x
f
x
g
f 


Calcule la suma de las funciones:  
4
)
(
,
2




x
x
x
g
x
x
f
La función resultante:
N° x f(x) g(x) f(x) + g(x) f(Integrada)
1 -24 -22 0,86 -21,14 -21,14
2 -20 -18 0,83 -17,17 -17,17
3 -16 -14 0,80 -13,20 -13,20
4 -12 -10 0,75 -9,25 -9,25
5 -8 -6 0,67 -5,33 -5,33
6 -4 -2 0,50 -1,50 -1,50
7 0 2 0,00 2,00 2,00
8 4 6
9 8 10 2,00 12,00 12,00
10 12 14 1,50 15,50 15,50
11 16 18 1,33 19,33 19,33
12 20 22 1,25 23,25 23,25
13 24 26 1,20 27,20 27,20
Suma de dos funciones
-30
-20
-10
0
10
20
30
-30 -20 -10 0 10 20 30
x; Dominio
y;
Rango
f(x) g(x) f(x) + g(x)
Asíntota de la
suma: x = 4; y = 6
4
8
)
)(
(
2





x
x
x
x
g
f
La función g(x) es racional, no está definida para x = 4. La función
compuesta, o suma de funciones es asíntota en x = 4 e y = 6.
Respuestas: y = 6; x = 4; x = 4;
26
      4
y
;
4
8
4
4
2
4
2
,
2













 x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
g
f
      4
y
;
4
8
4
4
2
4
2
,
2













 x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
g
f

Operaciones con funciones: La Resta o Diferencia
La resta o diferencia de funciones está definida por:
Calcule la diferencia de las funciones:
   )
(
)
( x
g
x
f
x
g
f 


 
4
)
(
,
2




x
x
x
g
x
x
f
27
La función resultante:
Diferencia de funciones. Ej: 1,20
N° x f(x) g(x) f(x)-g(x) f(Integrada) Diferencia
1 -6 -4 0,60 -4,60 -4,60 0,00
2 -5 -3 0,56 -3,56 -3,56 0,00
3 -4 -2 0,50 -2,50 -2,50 0,00
4 -3 -1 0,43 -1,43 -1,43 0,00
5 -2 0 0,33 -0,33 -0,33 0,00
6 -1 1 0,20 0,80 0,80 0,00
7 0 2 0,00 2,00 2,00 0,00
8 1 3 -0,33 3,33 3,33 0,00
9 2 4 -1,00 5,00 5,00 0,00
10 3 5 -3,00 8,00 8,00 0,00
11 4 6 0,00
12 5 7 5,00 2,00 2,00 0,00
13 6 8 3,00 5,00 5,00 0,00
La diferencia entre funciones
-6
-4
-2
0
2
4
6
8
10
-8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8
x: Dominio
y;
Rango f(x) g(x) f(x)-g(x)
La función g(x) es racional, no está definida para x = 4. La función
compuesta, o suma de funciones es asíntota en x = 4.
Respuestas:; x = 4.       4
y
;
4
8
3
4
4
2
4
2
,
2













 x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
g
f
      4
y
;
4
8
3
4
4
2
4
2
,
2













 x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
g
f

Operaciones con funciones: El Producto
El producto de funciones está definida por:    )
(
)
( x
g
x
f
x
g
f 


Calcule el producto de las funciones:  
4
)
(
,
2




x
x
x
g
x
x
f
La función resultante: Espacio para la
fórmula
28
N° x f(x) g(x) f(x) x g(x) f(Integrada)
1 -6 -4 0,60 -2,40 -2,40
2 -5 -3 0,56 -1,67 -1,67
3 -4 -2 0,50 -1,00 -1,00
4 -3 -1 0,43 -0,43 -0,43
5 -2 0 0,33 0,00 0,00
6 -1 1 0,20 0,20 0,20
7 0 2 0,00 0,00 0,00
8 1 3 -0,33 -1,00 -1,00
9 2 4 -1,00 -4,00 -4,00
10 3 5 -3,00 -15,00 -15,00
11 4 6
12 5 7 5,00 35,00 35,00
13 6 8 3,00 24,00 24,00
El producto de funciones
-20
-10
0
10
20
30
40
-8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8
x; Dominio
y;
Rango f(x) g(x) f(x) x g(x)
La ecuación no esta definida para x = 4.
Respuestas:; x = 4.

Operaciones con funciones: El Cociente
El cociente de funciones está definida por:
Calcule el cociente de las funciones:
   
 
0
)
(
; 









x
g
x
g
x
f
x
g
f
 
4
)
(
,
2




x
x
x
g
x
x
f
29
fórmula
Cociente de funciones.
N° x f(x) g(x) (f / g)(x) f(Integrada)
1 -6 -4 0,60 -6,67 -6,67
2 -5 -3 0,56 -5,40 -5,40
3 -4 -2 0,50 -4,00 -4,00
4 -3 -1 0,43 -2,33 -2,33
5 -2 0 0,33 0,00 0,00
6 -1 1 0,20 5,00 5,00
7 0 2 0,00
8 1 3 -0,33 -9,00 -9,00
9 2 4 -1,00 -4,00 -4,00
10 3 5 -3,00 -1,67 -1,67
11 4 6 0,00
12 5 7 5,00 1,40 1,40
13 6 8 3,00 2,67 2,67
Cociente de funciones
-10
-8
-6
-4
-2
0
2
4
6
8
10
-8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8
x; Dominio
y;
Rango
f(x) g(x) (f / g)(x)
La función g(x) no está de finida para x = 4, mientras que la función
integrada no está definida para x = 0. Las asíntotas son x = 4 y x = 0
respectivamente.
Respuesta: x = 0; x = 4; x = 0; x = 4.

Funciones compuestas o anidadas.
    
 
x
g
f
x
g
f 

4
)
(
,
2
)
(




x
x
x
g
x
x
f
N° x f(x) g(x) f(g(x)) f(sintética)
1 -6 -4 0,60 2,60 2,60
2 -5 -3 0,56 2,56 2,56
3 -4 -2 0,50 2,50 2,50
4 -3 -1 0,43 2,43 2,43
5 -2 0 0,33 2,33 2,33
6 -1 1 0,20 2,20 2,20
7 0 2 0,00 2,00 2,00
8 1 3 -0,33 1,67 1,67
9 2 4 -1,00 1,00 1,00
10 3 5 -3,00 -1,00 -1,00
11 4 6
12 5 7 5,00 7,00 7,00
13 6 8 3,00 5,00 5,00
Funciones integradas
-6
-4
-2
0
2
4
6
8
10
-8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8
x; Dominio
y;
Rango
f(x) g(x) f(g(x))
30
El cociente de funciones está definida por:
Calcule la coposición de las funciones:
fórmula
La función compuesta f(g(x)) se hace asintótica igual que la función
cociente g(x) en x = 4.
Respuestas: x = 4; f(g(x)): g(x)

Funciones inversas.
Las funciones inversas tiene la forma      
x
f
g
x
g
f 
 
Dadas:  
2
4
)
(
,
4
2




x
x
g
x
x
f
31
La compuesta de la función f(g(x)): x
x
x
g
f 






 
 4
2
4
2
))
(
(
La compuesta de la función g(f(x)):      )
(
2
4
4
2
x
g
x
x
x
g 




El gráfico de las funciones involucradas:
N° x f(x) g(x) f(g(x))=x g(f(x))=g(x)
1 -6 -16 -1,00 -6,00 -1,00
2 -5 -14 -0,50 -5,00 -0,50
3 -4 -12 0,00 -4,00 0,00
4 -3 -10 0,50 -3,00 0,50
5 -2 -8 1,00 -2,00 1,00
6 -1 -6 1,50 -1,00 1,50
7 0 -4 2,00 0,00 2,00
8 1 -2 2,50 1,00 2,50
9 2 0 3,00 2,00 3,00
10 3 2 3,50 3,00 3,50
11 4 4 4,00 4,00 4,00
12 5 6 4,50 5,00 4,50
13 6 8 5,00 6,00 5,00
Funciones inversas
-20
-15
-10
-5
0
5
10
-8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8
x; Dominio
y;
Rango
f(x) g(x) f(g(x))=x g(f(x))=g(x)

Familias de funciones. Ejemplos de familia
polinomial cuadrática.
En una familia de funciones, los cambios en los valores de la
función básica afectan la apariencia de la gráfica básica. Una
gráfica básica es la presentación en el eje cartesiano de la
función fundamental de una familia. Todos los demás
miembros de la familia están desplazados hacia arriba, hacia
abajo, hacia la derecha, hacia la izquierda o girados en torno a
ella, de acuerdo con los cambios de los valores de las
funciones.
Como ejemplo se considerarán funciones polinomiales de
grado 2, de grado 3 y la del valor absoluto.
32

1.33 Las funciones cuadráticas o parabólicas y
lineales de un elemento.
Incremento 0,5
Funciones Cuadráticas
N° x f(x) = x² f(x) = 2x² f(x) = 0,5x² f(x) = -x²
1 -3,0 9,0 18,0 4,50 -9,00
2 -2,5 6,3 12,5 3,13 -6,25
3 -2,0 4,0 8,0 2,00 -4,00
4 -1,5 2,3 4,5 1,13 -2,25
5 -1,0 1,0 2,0 0,50 -1,00
6 -0,5 0,3 0,5 0,13 -0,25
7 0,0 0,0 0,0 0,00 0,00
8 0,5 0,3 0,5 0,13 -0,25
9 1,0 1,0 2,0 0,50 -1,00
10 1,5 2,3 4,5 1,13 -2,25
11 2,0 4,0 8,0 2,00 -4,00
12 2,5 6,3 12,5 3,13 -6,25
13 3,0 9,0 18,0 4,50 -9,00
2
)
( x
x
f  2
2
)
( x
x
f  ²
5
,
0
)
( x
x
f  ²
)
( x
x
f 

Funciones cuadráticas
0,0
2,0
4,0
6,0
8,0
10,0
12,0
14,0
16,0
18,0
20,0
-4,0 -3,0 -2,0 -1,0 0,0 1,0 2,0 3,0 4,0
x; Dominio
y;
Rango
2
)
( x
x
f 
2
2
)
( x
x
f 
Funciones cuadráticas
-10,00
-8,00
-6,00
-4,00
-2,00
0,00
2,00
4,00
6,00
-4,0 -3,0 -2,0 -1,0 0,0 1,0 2,0 3,0 4,0
x; Dominio
y;
Rango
²
5
,
0
)
( x
x
f 
²
)
( x
x
f 

33
Dadas las funciones:
2
)
( x
x
f    2
2x
x
f  2
5
,
0
)
( x
x
f  2
)
( x
x
f 

Desarróllelas y grafíquelas:

1.34 Funciones cuadráticas o parabólicas:
lineales de dos elementos y lineal cuadrática
34
Dadas las funciones:   2
2

x
x
f
2
)
( 2

x
x
f    2
2

 x
x
f    2
2

 x
x
f
Incremento 0,5
Funciones Cuadráticas
N° x f(x) = x² + 2 f(x) = x²-2 f(x) = (x+2)² f(x)=(x-2)²
1 -3,0 11,0 7,0 1,0 25,0
2 -2,5 8,3 4,3 0,3 20,3
3 -2,0 6,0 2,0 0,0 16,0
4 -1,5 4,3 0,3 0,3 12,3
5 -1,0 3,0 -1,0 1,0 9,0
6 -0,5 2,3 -1,8 2,3 6,3
7 0,0 2,0 -2,0 4,0 4,0
8 0,5 2,3 -1,8 6,3 2,3
9 1,0 3,0 -1,0 9,0 1,0
10 1,5 4,3 0,3 12,3 0,3
11 2,0 6,0 2,0 16,0 0,0
12 2,5 8,3 4,3 20,3 0,3
13 3,0 11,0 7,0 25,0 1,0
2
)
( 2

x
x
f 2
)
( 2

x
x
f
2
)
2
(
)
( 
 x
x
f
2
)
( 2

x
x
f
Funciones cuadráticas y lineales de un
elemento
-4,0
-2,0
0,0
2,0
4,0
6,0
8,0
10,0
12,0
-4,0 -3,0 -2,0 -1,0 0,0 1,0 2,0 3,0 4,0
x; Dominio
y;
Rango
º
2
)
( 2

x
x
f
2
)
( 2

x
x
f
Función lineal cuadrática
0,0
5,0
10,0
15,0
20,0
25,0
30,0
-4,0 -3,0 -2,0 -1,0 0,0 1,0 2,0 3,0 4,0
x; Dominio
y;
rango
2
)
2
(
)
( 
 x
x
f
2
)
( 2

x
x
f

1.35 Funciones cúbicas: polinomio de un
elemento y con coeficientes.
35
Dadas las funciones:
3
)
( x
x
f 
3
)
( x
x
f 
 3
2
)
( x
x
f 
3
5
,
0
)
( x
x
f 
Incremento 0,5
Funciones cúbicas
N° x f(x)=x^3 f(x)=-x^3 f(x)=2x^3 f(x)=0,5x^3
1 -3,0 -27,0 27,0 -54,0 -13,5
2 -2,5 -15,6 15,6 -31,3 -7,8
3 -2,0 -8,0 8,0 -16,0 -4,0
4 -1,5 -3,4 3,4 -6,8 -1,7
5 -1,0 -1,0 1,0 -2,0 -0,5
6 -0,5 -0,1 0,1 -0,3 -0,1
7 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0
8 0,5 0,1 -0,1 0,3 0,1
9 1,0 1,0 -1,0 2,0 0,5
10 1,5 3,4 -3,4 6,8 1,7
11 2,0 8,0 -8,0 16,0 4,0
12 2,5 15,6 -15,6 31,3 7,8
13 3,0 27,0 -27,0 54,0 13,5
3
)
( x
x
f  3
)
( x
x
f 

3
2
)
( x
x
f  3
5
,
0
)
( x
x
f 
Función cúbica (sigmoides): polinomio de un
elemento.
-30,0
-20,0
-10,0
0,0
10,0
20,0
30,0
-4,0 -3,0 -2,0 -1,0 0,0 1,0 2,0 3,0 4,0
x; Dominio
y;
Rango
3
)
( x
x
f 
3
)
( x
x
f 

Función cúbica (sigmoides): polinomio de un
elemento con coeficiente.
-60,0
-40,0
-20,0
0,0
20,0
40,0
60,0
-4,0 -3,0 -2,0 -1,0 0,0 1,0 2,0 3,0 4,0
x; Dominio
y;
Rango
3
2
)
( x
x
f 
3
5
,
0
)
( x
x
f 

1.36 Funciones cúbicas: Polinomios de dos
elementos y cúbicas de polinmio.
36
Dadas las funciones: 2
)
( 3

x
x
f
2
)
( 3

x
x
f  3
2
)
( 
 x
x
f  3
2
)
( 
 x
x
f
Incremento 0,5
Funciones cúbicas
N° x f(x)=x^3+2 f(x)=x^3-2 f(x)=(x+2)^3 f(x)=(x+2)^3
1 -3,0 -25,0 -29,0 -8,0 -125,0
2 -2,5 -13,6 -17,6 -8,0 -91,1
3 -2,0 -6,0 -10,0 0,0 -64,0
4 -1,5 -1,4 -5,4 0,1 -42,9
5 -1,0 1,0 -3,0 1,0 -27,0
6 -0,5 1,9 -2,1 3,4 -15,6
7 0,0 2,0 -2,0 8,0 -8,0
8 0,5 2,1 -1,9 15,6 -3,4
9 1,0 3,0 -1,0 27,0 -1,0
10 1,5 5,4 1,4 42,9 -0,1
11 2,0 10,0 6,0 64,0 0,0
12 2,5 17,6 13,6 91,1 0,1
13 3,0 29,0 25,0 125,0 1,0
2
)
( 3

x
x
f 2
)
( 3

x
x
f  3
2
)
( 
 x
x
f  3
2
)
( 
 x
x
f
Funciones cúbicas de un polinomio con dos
unidades
-50,0
-40,0
-30,0
-20,0
-10,0
0,0
10,0
20,0
30,0
40,0
50,0
-2,0 -1,5 -1,0 -0,5 0,0 0,5 1,0 1,5 2,0
x; Dominio
y;
rango
 3
2
)
( 
 x
x
f
 3
2
)
( 
 x
x
f
Funciones cúbicas de polinomios con dos
elementos.
-6,0
-4,0
-2,0
0,0
2,0
4,0
6,0
-2,0 -1,5 -1,0 -0,5 0,0 0,5 1,0 1,5 2,0
x; Dominio
y;
Rango
2
)
( 3

x
x
f
2
)
( 3

x
x
f

1.37 Familia de funciones de valor absoluto:
funciones lineales de un elemento.
Dadas las funciones: x
x
f 
)
(
x
x
f 

)
( x
x
f 2
)
(  x
x
f 5
,
0
)
( 
Incremento x 1
Funciones Val. Absoluto
N° x f(x)=!x! f(x)=-!x! f(x)=-!2x! f(x)=-!0,5x!
1 -6 6 -6 12 3,0
2 -5 5 -5 10 2,5
3 -4 4 -4 8 2,0
4 -3 3 -3 6 1,5
5 -2 2 -2 4 1,0
6 -1 1 -1 2 0,5
7 0 0 0 0 0,0
8 1 1 -1 2 0,5
9 2 2 -2 4 1,0
10 3 3 -3 6 1,5
11 4 4 -4 8 2,0
12 5 5 -5 10 2,5
13 6 6 -6 12 3,0
x
x
f 
)
( x
x
f 

)
( x
x
f 2
)
(  x
x
f 5
,
0
)
( 
Funciones de valor absoluto: polinomios de
elemento.
-8
-6
-4
-2
0
2
4
6
8
-8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8
x; Dominio
y;
rango
x
x
f 

)
(
x
x
f 
)
(
37
Funciones de valor absoluto: polinomio con
coeficiente.
0
2
4
6
8
10
12
14
-10 -5 0 5 10
x; Dominio
y;
Rango
x
x
f 2
)
( 
x
x
f 5
,
0
)
( 

1.38 Familia de funciones de valor absoluto:
lineales de dos elementos.
Incremento x 1
Funciones Val. Absoluto
N° x f(x)=!x+2! f(x)=!x-2! f(x)=!x!+2 f(x)=!x!-2
1 -6 4 8 8 4
2 -5 3 7 7 3
3 -4 2 6 6 2
4 -3 1 5 5 1
5 -2 0 4 4 0
6 -1 1 3 3 -1
7 0 2 2 2 -2
8 1 3 1 3 -1
9 2 4 0 4 0
10 3 5 1 5 1
11 4 6 2 6 2
12 5 7 3 7 3
13 6 8 4 8 4
2
)
( 
x
x
f 2
)
( 
 x
x
f 2
)
( 
 x
x
f
2
)
( 
 x
x
f
Dadas las funciones: 2
)
( 
 x
x
f
Funciones de valor absoluto de funciones
lineales de dos elemnetos
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
-8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8
x; Dominio
y;
Rango
2
)
( 
x
x
f
2
)
( 
 x
x
f
2
)
( 
 x
x
f 2
)
( 
 x
x
f 2
)
( 
 x
x
f
Funciones de valor absoluto de la variable en
función lineal de dos elementos.
-4
-2
0
2
4
6
8
10
-8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8
x; Dominio
y;
rango
2
)
( 
x
x
f
2
)
( 
 x
x
f

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