Teoria y Problemas de Funciones de una Variable Real ccesa007
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1. El documento describe conceptos básicos de funciones como dominio, rango, funciones polinomiales y racionales, y composición de funciones. 2. También presenta modelos matemáticos para describir el crecimiento poblacional usando funciones exponenciales y la desintegración radiactiva usando funciones logarítmicas. 3. Se incluye un ejemplo de resolución de un problema de crecimiento poblacional usando el modelo exponencial.
Teoria y Problemas de Funciones de una Variable Real ccesa007
- 1. Lic. Demetrio Ccesa Rayme.
- 2. Contenido. 1. Definición de función. 2. Definición de Dominio de una función. 3. Lista de funciones básicas 4. Operaciones con funciones 5. Funciones polinomial y racional 6. Composición de funciones.
- 3. Funciones. 1. Definición de función: Una función f es una regla que asocia a cada elemento x de un conjunto de números reales A, un único número real y en un conjunto B. 2. Notación: La expresión indica que f es una función, que toma valores del conjunto A y los transforma en valores de un conjunto B. Veamos el siguiente gráfico. BAf :
- 4. Funciones. Este gráfico muestra como actúa una función f desde un conjunto A hacia un conjunto B. Toma un valor x y le hace corresponder un valor en B denominado f(x).
- 5. Funciones. 3. Definición de Dominio de una función. Es el conjunto de valores numéricos que la función puede procesar. En general, estos valores corresponden a la variable x. Ejemplo: La función definida por medio de Tiene como dominio al conjunto de números reales mayores o iguales a 2, es decir, el intervalo 2)( xxf ,2
- 6. Funciones. 4. Lista de funciones básicas. Funciones Dominios ( )f x k ( )Dom f R ( )f x x ( )Dom f R ( )f x kx ( )Dom f R
- 7. Funciones. Funciones Dominios ( ) n f x x ( ) n f x x ( ) 1/f x x ( )Dom f R ( ) 0Dom f R si es impar ( ) 0, si es par R n Dom f n
- 8. Funciones. 5. Operaciones con funciones. Las operaciones básicas entre las funciones anteriormente definen nuevas funciones que conoceremos como función suma, función multiplicación y función división o cociente. 5.1 Función suma: 5.2 Función multiplicación: 5.3 Función División: )()())(( xgxfxgf )().())(.( xgxfxgf )(/)())(/( xgxfxgf
- 9. Funciones. El dominio de las funciones suma y multiplicación es Pero el dominio de la función división es )()()( gDomfDomgfDom )()().( gDomfDomgfDom 0)(:)()()/( xgxgDomfDomgfDom
- 10. Funciones. 6. Función Polinomio. Esta función es una función suma de multiplicaciones de funciones constantes por funciones potenciales o identidad. La forma general es Su dominio es la intersección de todos los dominio de las funciones que se suman, pero como esos dominio son todos el mismo conjunto R entonces el dominio resultante es el mismo R. 01 1 1 ......)( axaxaxaxf n n n n
- 11. Funciones. 7. Funciones Racionales generalizadas. Una función se denomina racional generalizada si es la división de dos polinomios. Tiene la forma siguiente. El dominio de una función de este tipo es 01 1 1 01 1 1 ...... ...... )( )( )( bxbxbxb axaxaxa xq xp xf m m m m n n n n qRxqxRfDom deraíces 0)(:)(
- 12. Funciones. 8. Composición de funciones: La composición de funciones es una operación que se realiza sustituyendo el valor de una función en el argumento de otra. Como se ve en el gráfico, el valor de x es procesado por la función f, la cual emite el valor f(x). Este a su vez es procesado por la función g, la cual emite el valor g(f(x)).
- 13. Funciones. Entonces, definamos la función compuesta de g con f : El símbolo ◦ se lee “compuesta con”. Un ejemplo nos ayudará a entender la definición. Ejemplo: Sean f y g funciones definidas por medio de ))(())(( xfgxfg xxgxxf 23)(1)( 3 y
- 14. Funciones. Veamos el siguiente esquema: • Valor de inicial x • Función f • Función g 3 ( ) 1f x x 3 (( )) 3 2( 1)g x x
- 15. Funciones. De esta manera, la función compuesta de g con f es la función En general, la composición de g con f, no es la misma que la composición de f con g. 3 21))(( xxfg
- 16. MODELO DE CRECIMIENTO POBLACIONAL 0 k > 0, k=cte. tk P Pe En donde 0 ( ) de t crecimiento P t Número de población en función P Población inicial k Tasa de t Tiempo CRECIMIENTO POBLACIONAL El Modelo Matemático para describir el crecimiento de una población esta representado por la función exponencial. La función exponencial es muy utilizada para resolver situaciones de la vida real. Crecimiento de bacterias de cierto cultivo Proyección de crecimiento de poblaciones.
- 17. MODELO DE DESINTEGRACIÓN RADIOACTIVA 0 ( ) k > 0, k = cte. kt R R e En donde 0 final de radioactividad de t radioactivo . en años R Cantidad en función R cantidad inicial de k Cte t Tiempo DESINTEGRACIÓN RADIACTIVA Por su naturaleza los elementos radioactivos tienden disminuir hasta agotarse completamente conforme transcurre el tiempo. Se utilizan funciones logarítmicas cuando deseamos conocer la antigüedad de restos arqueológicos analizando la cantidad de carbono 14 que contienen
- 18. SOLUCIÓN 1. Identificación del conocimiento. Modelo exponencial y logarítmica /crecimiento poblacional 2.Modelo Crecimiento poblacional 0( t) tk P P e 3.Datos , según enunciado del problema 0 1600, 000 1200, 000 2009-1990 =19 P P k k t 4.Resolver según modelo 0 19 1916 12 19 ( t) 1600,000 = 1200,000 1.33.. tk k k k P P e e e e 1. Aplicando propiedad de logaritmo natural 19 ln1.33.. 19 ln1.33.. ln ln1.33.. 19kln ln1.33.. 19k.1 k k= 0,0151 k e e Rpta 1,tasa de creciento k =0,015 2. Calculado la población al 2020 0 0 ( t) P = P, 1200, 000 =2020-1990 =30, 0.0151 tk P P e P t k Resolviendo tk 0 30(0,0151) 0,453 P( t) = P e P = 1200, 000 e P = 1200, 000 e P = 1, 888 Rpta. La población de la ciudad será aprxim, 1880000 habitantes en 2020 Problema de Aplicación La Población de la Ciudad que vivía Manuel en 1990 era de 1.2 Millones de Habitantes y en el Año 2009 la Población creció en 1.6 Millones de Habitantes ¿ cual será la Población proyectada para el Año 2020?