Triangulos ablicuangulos
- 1. Geometría y Trigonometría Resolución de triángulos oblicuángulos 135 9. RESOLUCIÓN DE TRIÁNGULOS OBLICUÁNGULOS Un triángulo es oblicuángulo cuando no presenta un ángulo recto, se denomina de dos formas: triángulo acutángulo si tiene tres ángulos agudos y triángulo obtusángulo si tiene un ángulo obtuso, por lo que no es posible resolverlo si aplicamos las funciones trigonométricas. Ejemplos: Triángulo acutángulo Triángulo obtusángulo Para la solución de triángulos oblicuángulos se utiliza: • Ley de seno. • Ley de coseno. 9.1 Ley de Seno “En cualquier triángulo, las longitudes de los lados son proporcionales a los senos de los ángulos opuestos”. senC c senB b senA a == La ley de seno es muy útil para resolver triángulos oblicuángulos cuando se conocen: caso 1 AAL Dos ángulos y el lado opuesto a uno de ellos. caso 2 LLA Dos lados y el ángulo opuesto a uno de ellos.
- 2. Unidad tres Geometría y Trigonometría 136 Ejemplos: Resuelve el siguiente triángulo oblicuángulo con los datos que se dan a continuación. Caso 1(AAL Dos ángulos y el lado opuesto a uno de ellos). Datos: Fórmulas senC c senB b senC c senA a CBA ===++ 180 -Primero encontraremos el ángulo B. 13022180180queImplica 180Como °−°−°=−−°= °=++ CAB CBA -Segundo encontraremos “a”. 7660.0 )3746.0(80 130 2280 130 80 22 = ° ° = ° = ° a sen sen a sensen a - Tercero encontraremos “b”. )7660.0( )4694.0)(80( 130 28)80( 130 80 28 = ° ° = ° = ° b sen sen b sensen b Lados Ángulos a = ? A =22° b = ? B = ? c = 80 C =130° senC c senB b senA a == Caso 2 (LLA Dos lados y el ángulo opuesto a uno de ellos). Datos: Fórmulas senC c senB b senB b senA a CBA ===++ 180 -Primero encontraremos “A”. 703207032.0 29.11 )9925.0(8 29.11 838 83 29.118 1 ).(senAsenA senA sen senA sensenA - == = ° = ° = -Segundo encontraremos “C”. 8368.44180180queImplica 180Como °−°−°=−−°= °=++ BAC CBA -Tercero encontraremos “c”. )9925.0( )7914.0)(29.11( c 83 32.52)29.11( 32.52 c 83 29.11 = ° ° = ° = ° sen sen c sensen Lados Ángulos a = 8 A =? b = 11.29 B =83° c = ? C =? senCsenBsenA == cba 130° A C 22° b a B c B = 28° a = 39.12 b = 49.02 B c 83° a A C b A = 44.68° C = 52.32° c = 9
- 3. Geometría y Trigonometría Resolución de triángulos oblicuángulos 137 EJERCICIO 9-1 INSTRUCCIONES.- Con los datos que se proporcionan, traza el triángulo y calcula los elementos que faltan. 1) Lados Ángulos a = 68.7 A=? b = 45 B=38° 57’ c =? C=? 2) Lados Ángulos a = ? A=? b = 11.36 B=? c = 9.77 C=53.67° 3) Lados Ángulos a = 42.3 A=? b = ? B=? c = 83.44 C=105.5° b = 61.51 A = 29.23° B = 45.27° a = 10.15 A = 56.82° B = 69.51° c = 66.07 A = 73.68° C = 67.37°
- 4. Unidad tres Geometría y Trigonometría 4) Lados Ángulos a = 50 A = 99° b = 40 B = ? c = ? C = ? 5) Lados Ángulos a = ? A = 26° b = ? B = ? c = 18 C = 106° c = 24.39 B = 52.20° C = 28.8° 6) Lados Ángulos a = ? A = ? b = 40 B = 41° c = ? C = 120° a = 8.21 b = 13.91 B = 48° a = 19.85 c = 52.8 A = 19° 138
- 5. Geometría y Trigonometría Resolución de triángulos oblicuángulos 139 EJERCICIO 9-2 INSTRUCCIONES.- Resuelve los siguientes triángulos oblicuángulos, según la información proporcionada. 1) 2) b CA B a = 26 c 45°49° b = 34.37 c = 24.36 B =86° A B C b = 120.8 35° 61° a c a = 209.45 c = 184.20 A =84°
- 6. Unidad tres Geometría y Trigonometría 3) 8° 4) B b = 27.9 a = 38.1 c C A c = 65.10 A = 10.95° C = 161.05° b = 5.44 A = 56.61° B = 17.39° 106° a = 15.2 c = 17.5 B A C b 140
- 7. Geometría y Trigonometría Resolución de triángulos oblicuángulos 141 5) C A B b =40 c = 56 a 80° 6) b = 64.34 c = 65.08 B = 71° a = 46.75 A = 55.3° B = 44.7° C A 36° B 73° a = 40 cb
- 8. Unidad tres Geometría y Trigonometría 9.2 Ley de Cosenos “En todo triángulo, el cuadrado de un lado es igual a la suma de los cuadrados de los otros dos, menos el doble producto de los mismos lados por el coseno del ángulo que forman”. PARA ENCONTRAR LADOS PARA ENCONTRAR ÁNGULOS ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ −+ = − bc acb A 2 cos 222 1 Abccba Abccba cos2 cos2 22 222 −+= −+= Baccab Baccab cos2 cos2 22 222 −+= −+= ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ −+ = − ac bca B 2 cos 222 1 ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ −+ = − ab cba C 2 cos 222 1 Cabbac Cabbac cos2 cos2 22 222 −+= −+= La ley de coseno es muy útil para resolver triángulos oblicuángulos cuando se conocen: caso 1 LLL Los tres lados. caso 2 LAL Dos lados y el ángulo comprendido. 142
- 9. Geometría y Trigonometría Resolución de triángulos oblicuángulos 143 Ejemplos: Resuelve el siguiente triángulo oblicuángulo con los datos que se dan a continuación. Caso 1 (LLL Cuando se conocen los tres lados). Datos: Fórmulas despejadas: °=++⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ −+ =⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ −+ =⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ −+ = −−− 180, 2 cosC, 2 cos, 2 cos 222 1 222 1 222 1 CBA ab cba ac bca B bc acb A -Primero encontraremos el ángulo A. ( )8666.0cos 60 52 cos 60 93625 cos )6)(5(2 )3()6()5( cos 111 222 1 −−−− =⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ =⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ −+ =⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ −+ =A -Segundo encontraremos el ángulo B. ( )5555.0cos 36 20 cos 36 25369 cos )6)(3(2 )5()6()3( cos 111 222 1 −−−− =⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ =⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ −+ =⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ −+ =B -Tercero encontraremos el ángulo C. 25.5692.29180180180 °−°−°=°=°=++ C-A-BCCBA Lados Ángulos a = 3 A = ? b = 5 B = ? c = 6 C = ? Caso 2(LAL Dos lados y el ángulo comprendido). Datos: Fórmulas °=++⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ −+ =−+= − 180, 2 cos,cos2 222 1222 CBA ac bca BCabbac -Primero encontraremos c. 13,1225),5.0(24169,60cos)4)(3(2)4()3( 222222 =−=−+=°−+= cccc -Segundo encontraremos “B”. ( )2759.0cos 6.21 96.5 cos 6.21 1696.129 cos )60.3)(3(2 )4()60.3()3( cos 111 222 1 −−−− =⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ =⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ −+ =⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ −+ =B -Tercero encontraremos A. °−°−°=−−°=°=++ 6098.73180,180,180 ACBACBA Lados Ángulos a = 3 A =? b = 4 B =? c = ? C =60° C b = 53a = B C = 6 A A = 29.92° B = 56.25° C = 93.83° B A C 60° a = 3 b = 4 c c = 3.60 B = 73.98° A = 46.02°
- 10. Unidad tres Geometría y Trigonometría EJERCICIO 9-3 INSTRUCCIONES.- Con los datos que se proporcionan, traza el triángulo y calcula los elementos que faltan. 1) Lados Ángulos a = 12 A = ? b = 10 B = ? c = ? C = 78° 2) Lados Ángulos a = 40 A = ? b = ? B = 42° c = 80 C = ? 3) Lados Ángulos a = A = 46.57° b = 10 B = ? c = 20 C = ? a = 15 B = 28.96° C = 104.47° b = 56.95 A = 28.03° C = 109.97° c = 13.93 A = 57.41° B = 44.59° 144
- 11. Geometría y Trigonometría Resolución de triángulos oblicuángulos 145 4) Lados Ángulos a = A = 114.97° b = 50 B = ? c = 90 C = ? 5) Lados Ángulos a = A = 29.5° b = 208 B = ? c = 208 C = ? 6) Lados Ángulos a = 7 A = ? b = 12 B = ? c = C = 33° c = 7.21 A = 31.85° B = 115.15° a = 105.91 B = 75.25° C = 75.25° a = 120 B = 22.19° C = 42.84°
- 12. Unidad tres Geometría y Trigonometría EJERCICIO 9-4 INSTRUCCIONES.- Determina los elementos indicados en las siguientes figuras. 1) C B = ? A a = 40 b = 50 c = 60 B = 55.71° 2) a = 36.82 C 16° B A b = 38.2 c = 72 a = ? 146
- 13. Geometría y Trigonometría Resolución de triángulos oblicuángulos 147 3) C B A a = 47 b = 27 c = ? 125° c = 66.29 4) b = 123 b = ? B A a = 94 C 115° c = 49
- 14. Unidad tres Geometría y Trigonometría 5) A = ?C B a = 136 b = 152 c = 176 A = 48.31° 6) a = 45 b = 22 c = 35 A B = ? C B = 28.6° 148