Tutorial de matrices matlab

C´lculo Inﬁnitesimal
a
CURSO 2009-10

Clase Pr´ctica No. 5
a

´
CALCULO DIFERENCIAL.
ESTUDIO EXPERIMENTAL DE FUNCIONES

´
INDICE
Secciń
o Diapositiva
Sugerencias 4
Introducciń
o 5
Objetivos 6
Metodolog´ ıa 7
Derivaciń simb´lica
o o 10
Ejercicios 13
C´lculo de as´
a ıntotas, extremos, etc 16
Polinomio de Taylor 20
Funciones de varias variables 22
Matriz jacobiana 28
Gradiente 30
Derivadas direccionales 33
Extremos 35
Derivada de la compuesta 37
Polinomio de Taylor en dos variables 38
Respuestas 39
Apńdice
e 42

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o Ctrl+N+k (versiń 6)
o

SUGERENCIAS
Crear una carpeta personal temporal (al final de la sesiń puede ser
o
eliminada) y declarar la correspondiente trayectoria (PATH). Esto es
esencial para la ejecuciń de programas. Puede accederse al MENU
o
principal de la ventana de comandos, opciń FILESET PATH. Como
o
alternativa basta ejecutar lo siguiente.

>>!mkdir C:calculocarpeta_personal

>>path(’C:calculocarpeta_personal’,path)

La primera l´ınea crea nuestra carpeta personal, mientras que la segunda
informa a Matlab dńde se encuentra ´sta, y la sitá al comienzo de la
o e u
lista de trayectorias.

Se recomienda el uso de los programas que aparecen en la Web de la
asignatura para facilitar el trabajo con las herramientas Maple diseãdas
n
para el c´lculo simb´lico de derivadas.
a o

Introducciń
o
El acceso a la tecnolog´ hace que cambiemos nuestros m´todos de trabajo
ıa e
y estudio. Lo frecuente es que, directamente en el papel, sin otro
instrumento que no sea el bol´ ıgrafo, tengamos que estudiar una funciń o
calculando sus derivadas, o las ra´ de ciertas ecuaciones para hallar las
ıces
intersecciones con los ejes de coordenadas, o ciertos l´ ımites para
determinar el carćter asint´tico de una funciń cerca de puntos
a o o
(incluyendo el infinito), etc. Los problemas a nivel acad´mico son
e
relativamente sencillos, pero tal simplicidad no se garantiza en la prćtica
a
profesional. Hallar las ra´ de una ecuaciń trascendente, o algebraica
ıces o
(polinomial) puede constituir un problema muy dif´ o imposible de
ıcil
resolver artesanalmente. Herramientas inform´ticas como las que ofrece el
a
MatLab permiten aumentar significativamente nuestras posibilidades de
´xito. Con ellas, para obtener la gr´fica de una funciń basta con invocar
e a o
comandos como PLOT, EZPLOT y FPLOT, para que una parte de dicha
gr´fica aparezca en la pantalla. Luego, es posible que nuestro trabajo
a
comience por lo que antes era el final. Es as´ que podemos partir del
ı
conocimiento de la gr´fica para despu´s establecer conjeturas sobre
a e
intervalos de crecimiento, m´ximos o m´
a ınimos relativos, etc. Para realizar
con ´xito este trabajo, nuestra preparaciń te´rica es esencial.
e o o

OBJETIVOS
Abordar el estudio te´rico-experimental de las propiedades locales y
o
globales de algunas funciones. Esta clase incluye como aspecto esencial el
estudio de la diferenciabilidad de funciones en una y dos variables, y la
utilizaciń de la diferencial como herramienta.
o

El alumno deber´ conocer la sintaxis de algunos comandos simb´licos
a o
Matlab-Maple, que se aplican directamente al c´lculo de derivadas.
a

Resolver eficientemente diversos problemas mediante el uso de programas
basados en los comandos estudiados.

Aplicar herramientas gr´ficas Matlab para concluir experimentalmente
a
acerca de las caracter´
ısticas de las funciones.

METODOLOG´
IA

Al igual que en clases anteriores, el m´todo consiste en combinar los
e
recursos inform´ticos con el an´lisis matem´tico. Mediante la teor´
a a a ıa
podremos contrastar la verosimilitud de los resultados experimentales.

Ejecutando herramientas simb´licas Matlab-Maple que permiten simular los
o
procesos de diferenciaciń, se intentar´ el estudio de algunas funciones en
o a
subregiones de su dominio. Para facilitar este trabajo se han confeccionado
varios programas que pueden descargarse desde la WEB de la asignatura.

La aplicaciń de comandos de la familia PLOT se utilizar´ para producir
o a
gr´ficos cuya interpretaciń nos ofrecer´ informaciń acerca de las
a o a o
principales caracter´
ısticas de algunas funciones elementales seleccionadas.

METODOLOG´ (cont.)
IA
Se investigar´ la naturaleza de las funciones atendiendo a:
a

-Campo de definiciń
o

-Simetr´
ıas

-Periodicidad

-Cortes con los ejes

-As´
ıntotas

-Continuidad de la funciń
o

-Derivabilidad

-Crecimiento. Extremos

-Concavidad. Convexidad

-Puntos inflexiń, etc
o

METODOLOG´ (cont.)
IA
En los problemas que se plantearń en las siguientes diapositivas
a
aplicaremos comandos simb´licos y num´ricos que permiten calcular
o e
l´
ımites, derivadas, ra´ de ecuaciones, y hacer gr´ficas. Las funciones
ıces a
tendrń que ser definidas mediante cadenas de caracteres (strings), o
a
mediante la declaraciń previa de variables simb´licas, mediante el
o o
comando INLINE directamente en la l´ ınea de comandos, o mediante la
confecciń de programas encabezados con la directiva FUNCTION (ver
o
clases prćticas anteriores).
a

El trabajo del alumno se basar´ en su conocimiento sobre MatLab, en las
a
ayudas que brinda el propio sistema, en los manuales ON LINE, y en la
ayuda directa del profesor.

Comenzaremos esta clase viendo los comandos que permiten el c´lculo
a
simb´lico de derivadas de cualquier orden. A continuaciń repasaremos los
o o
comandos que permiten recrear en pantalla el gr´fico de una funciń dada.
a o

En cuanto a derivaciń num´rica nos limitaremos a presentar unos breves
o e
apuntes situados al final, en el apńdice (pag. 42), donde se muestra una
e
aplicaciń de la f´rmula de Taylor.
o o

Expresiń exacta de la derivada en´sima de una funciń.
o e o
Ejemplo 1. f es una cadena de caracteres (string) que se corresponde
sintćticamente con una funciń Matlab
a o

>>diff(f,’x’)

Ejemplo 2. f es una expresiń simb´lica que se corresponde
o o
sintćticamente con una funciń Matlab
a o

>>syms x, diff(f,x)

Ejemplo 3. Derivada en´sima de f (string)
e

>>diff(f,’x’,n)

Ejemplo 4. Derivada en´sima de f (simb´lica)
e o

>>syms x, diff(f,x,n)

Ejemplo 5. Derivada en´sima de f (string→sym). Esta variante permite
e
incluir par´metros no declarados previamente como simb´licos.
a o

>>diff(sym(f),’x’,n)

C´lculo simb´lico de derivadas
a o

Ejemplo 6.
d
sin(2x) + cos(x2 + 5x)
dx
Ejecuci´n en la l´
o ınea de comandos

>>diff(’sin(2*x)+cos(x^2+5*x)’,’x’)

ans=2*cos(2*x)-sin(x^2+5*x)*(2*x+5)

>>syms x

>>diff(sin(2*x)+cos(x^2+5*x))

ans=2*cos(2*x)-sin(x^2+5*x)*(2*x+5)

C´lculo simb´lico de derivadas
a o

Ejemplo 7.
d3
sin(2x) + cos(x2 + 5x)
dx3
Ejecuci´n en la l´
o ınea de comandos

>>diff(’sin(2*x)+cos(x^2+5*x)’,’x’,3)

ans=-8*cos(2*x)+sin(x^2+5*x)*(2*x+5)^3-6*cos(x^2+5*x)*(2*x+5)

>>syms x

>>diff(sin(2*x)+cos(x^2+5*x),x,3)

ans=-8*cos(2*x)+sin(x^2+5*x)*(2*x+5)^3-6*cos(x^2+5*x)*(2*x+5)

Calcular con Matlab las siguientes derivadas en los
puntos que se indican (uso del comando EVAL)
Ejercicio 1. (Resuelto)

d5 x4 − 2x
, x=1
dx5 x2 −4

>>D5f=char(diff(’(x^4-2*x)/(x^2-4)’,’x’,5));
>>x=1;
>>Df5_eval_en_1=eval(D5f)
Df5_eval_en_1=-3.591769547325103e+02

Ejercicio 2.

d10 sen(ex − x4)
, x = 1.6405
dx10 log(x6 + cos2(x − 2) + 1)

NOTA: Las respuestas al ﬁnal de la presentaci´n
o

Ejecutar el comando indicado y establecer conjeturas
acerca de la presencia de extremos relativos, puntos de
inflexiń, intervalos de crecimiento y convexidad.
o
Ejercicio 3. Gr´fico de f (x) = csc(x) en [−2π, 2 ∗ π]
a

>>ezplot(’csc’,[-2*pi,2*pi])

Ejercicio 4. Gr´fico de f (x) = arcsin(x) en [−1, 1]
a

>>ezplot(’asin’,[-1,1])

Ejercicio 5. Gr´fico de f (x) = |x3 + x + 1| en [−2, 1]
a

>>ezplot(’abs(x^3+x+1)’,[-2,1])

Ejercicio 6. Gr´fico de f (x) = (x3 − 3x + 2)1/3 en [−2, 10]
a

>>ezplot(’(x^3-3*x+2)^(1/3)’,[-2,10])

Analizar gr´ficamente la presencia de extremos relativos,
a
puntos de inflexiń, intervalos de crecimiento y
o
convexidad. (Usar DERIVA 3.M)
Ejercicio 7. En el intervalo [0, 3] analizar los puntos x = 1, x = 1.5 y
x = 2 para la funciń
o

f (x) = 2x3 − 9x2 + 12x + 3

Ejercicio 8. En el intervalo [0, 3.5] analizar en los puntos x = 1 y
x = 2 a la funciń
o
f (x) = ex(x − 3) + 4
√ √
Ejercicio 9. En los intervalos [−1, 4], [2 + 2 − 0.5, 2 + √ + 0.5] y
√ √ 2
[2 − 2 − 0.5, 2 − 2 + 0.5], analizar los puntos x = 2 ± 2, x = 0
y x = 2 para la funciń
o
f (x) = x2e−x

NOTA: Contrastar, si es posible, con resultados obtenidos artesanalmente.

Herramientas Matlab-Maple para el estudio de funciones
Ejemplo 8. Sea la funci´n
o

x3
f (x) = .
x2 − 1

Detecci´n de as´
o ıntotas horizontales

>>maple(’limit(x^3/(x^2-1),x=infinity)’)
ans =
inf
>>maple(’limit(x^3/(x^2-1),x=-infinity)’)
ans =
-inf

Se concluye experimentalmente que no tiene as´
ıntotas horizontales.

Detecciń de as´
o ıntotas verticales.

>>fzero(’x^2-1’,[-10 0])
Zero found in the interval: [-10, 0].
ans=-1
>>fzero(’x^2-1’,[0 10])
Zero found in the interval: [0, 10].
ans =1

El c´lculo de los posibles ceros del denominador permite concluir
a
experimentalmente que tiene al menos dos as´ ıntotas verticales, a saber, las
rectas de ecuaciń x = 1 y x = −1.
o

Detecciń de as´
o ıntotas oblicuas

>>limit(x^3/(x^2-1)/x,x,inf)
ans =1
>>limit((x^3/(x^2-1))-x,x,inf)
ans =0

Las evidencias apuntan a que y = x es as´
ıntota oblicua.

B´squeda de puntos de extremo relativo
u

>>solve(diff(’x^3/(x^2-1)’,1))
ans =
[ 0]
[ 0]
[ 3^(1/2)]
[ -3^(1/2)]

Se detectan tres posibles puntos de extremo. Para concluir acerca del
car´cter de cada uno de estos puntos hacemos
a

>>syms x,f=x^3/(x^2-1);
>>numeric(subs(diff(f,2),0))
ans=0
>>numeric(subs(diff(f,2),sqrt(3)))
ans=2.5981e+00
numeric(subs(diff(f,2),-sqrt(3)))
ans =-2.5981e+00


√
De momento deber´ √ aceptar que x = 3 es un punto de m´
ıamos ınimo
relativo, y que x = − 3 es un punto de m´ximo relativo. En cuanto a
a
x = 0 podemos juzgarle observando el gr´fico que obtendremos con
a

>>fplot(’[x^3/(x^2-1),x]’,[-6,6]).

¿Hay alguna otra opciń Matlab para concluir acerca de x = 0?
o

Ejercicio 10. Estudiar la siguiente funciń
o

f (x) = e4x+2(x2 + 4x)

POLINOMIO DE TAYLOR
Recordemos que si f (x) admite derivada continua hasta el orden n en la
vecindad V del punto x0, entonces el polinomio de Taylor de f , de grado
n, en el punto x0, est´ dado por
a

(1 f (n(x0)(x − x0)n
Pf,n,x0 (x) = f (x0) + f (x0)(x − x0) + · · · +
n!

La herramienta Matlab TAYLOR permite calcular el polinomio de Taylor
de f (x) en un punto dado x0. La sintaxis de este comando es

>>syms x;f=expresion_en_x;
>>PolyTaylor=taylor(f,n,x,x0)

donde n es el grado m´s uno.
a

Tambi´n puede ejecutarse cuando f es un string. En tal caso
e

>>PolyTaylor=taylor(sym(f),n,’x’,x0)

El programa TAYLOR_N es una interfaz que facilita el acceso a TAYLOR.M
y muestra juntos a los gr´ﬁcos de f y de su polinomio de Taylor.
a

POLINOMIO DE TAYLOR (cont.)
Ejercicio 11. Hallar el polinomio de Taylor de la siguiente funciń
o

sen(3x5 + 3x + π)
f (x) =
(56x12 + x6 + 2)(4x6 + 6x4 + 3))

de grado n = 5, en el punto x0 = 0.

Mostrar el gr´fico de ambos en el intervalo [−1, 1].
a

Obtenga una estimaciń experimental del error absoluto m´ximo entre los
o a
valores del polinomio hallado y la funciń, en el intervalo [−0.3, 0.3].
o

Para obtener una estimaciń gruesa del error en [−0.3, 0.3] hacemos lo
o
siguiente

>>x=linspace(-0.3,0.3,200);
>>f=(sin(3*x.^5+3*x+pi))./(56*x.^(12)+x.^6+2)./(4*x.^6+6*x.^4+3);
>>P=-1/2*x+3/4*x.^3+13/80*x.^5;
>>errorabs=max(abs(f-P))
errorabs=3.145407625933239e-004

FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES
Sea z = f (x, y) una funciń de dos variables, definida en cierta regiń Ω
o o
del plano R2. Sea (x0, y0) ∈ Ω. Si existe el l´
ımite

f (x, y0) − f (x0, y0)
lim ,
x→x0 x − x0

decimos que f es derivable parcialmente, respecto a x, en el punto
(x0, y0).

An´logamente, con respecto la segunda variable se dice que f es derivable
a
parcialmente en (x0, y0) si existe el l´
ımite

f (x0, y) − f (x0, y0)
lim .
y→y0 y − y0

En lo que sigue estudiaremos funciones de dos variables.

Derivadas parciales con Matlab-Maple
Comando Maple
fx se obtiene mediante maple(’D[1](f)’);
fy ” ” ” maple(’D[2](f)’);
fxx ” ” ” maple(’D[1,1](f)’);
fxy ” ” ” maple(’D[1,2](f)’);
fxxyy ” ” ” maple(’D[1,1,2,2](f)’);

Comando Matlab

Si f est´ creada como STRING, entonces
a

fxn) se obtiene mediante diff(f,’x’,n)
(

fyn) se obtiene mediante diff(f,’y’,n)
(

Si f est´ creada como SYM (>>syms x y) entonces
a

fxn) se obtiene mediante diff(f,x,n)
(

fyn) se obtiene mediante diff(f,y,n)
(

La salida es SYM en todos los casos.

Ejemplo 9. Dada f (x, y) = sin(xy) + cos(xy 2), calcular fx.

>>syms x y
>>maple(’f:=(x,y)->sin(x*y)+cos(x*y^2)’);
>>maple(’D[1](f)’)

Ejercicio 12. Calcular las siguientes derivadas a la funciń del Ejemplo 9.
o

a) fy , b) fxx, c) fxy , d) fyx, e) fyy , f ) fxxyy .

Ejemplo 10. Sea la funciń de dos variables
o

xy/(x2 + y 2) x2 + y 2 = 0,
f (x, y) =
0 x = y = 0.

Usando herramientas Matlab estudiar su derivabilidad y diferenciabilidad
en (0, 0).

La soluciń aparece en la siguiente p´gina.
o a

Soluci´n del Ejemplo 10
o
>>maple(’f:=(x,y)->(x*y)/(x^2+y^2)’);
>>maple(’(f(h,0)-0)/h’)
ans=0
>>maple(’(f(0,k)-0)/k’)
ans=0

La funci´n tiene derivadas parciales en (0, 0). Sin embargo
o

>> maple(’limit(m*(x)^2/(x^2+(m*x)^2),x=0)’)
ans =m/(1+m^2)

por tanto NO es diferenciable en el origen (¿por qu´?).
e

Matriz jacobiana (Maple)
Comando JACOBIAN de Maple. Sintaxis

>>maple(’jacobian([f1,f2,...,fn],[x1,x2,...,xn])’)

Ejemplo 11. Calcular la matriz jacobiana para la funci´n:
o

f (x, y, z) = (ex, cos(y), sen(z)),

en el punto (0, π/2, 0).

Soluci´n del Ejemplo 11.
o

>>maple(’jacobian([exp(x),cos(y),sin(z)],[x,y,z])’)
>>maple(’M:=(x,y,z)->([[exp(x), 0, 0], ...
[0, -sin(y), 0], [0, 0, cos(z)]])’);
>>maple(’M(0,-pi/2,0)’)
ans =[[1, 0, 0], [0, 1, 0], [0, 0, 1]]

Matriz jacobiana (Matlab)

Comando JACOBIAN de Matlab. Sintaxis

>>syms x1 x1 ... xn
>>jacobian([f1;f2;...;fn],[x1,x2,...,xn])

Ejemplo 12. Calcular la matriz jacobiana para la funci´n:
o

f (x, y, z) = (ex, cos(y), sen(z)),

en el punto (0, π/2, 0).

Matriz jacobiana (Matlab)
o

>>syms x y z
>>J=jacobian([exp(x);cos(y);sin(z)],[x y z])
J =
[ exp(x), 0, 0]
[ 0, -sin(y), 0]
[ 0, 0, cos(z)]
>>M0=subs(J,[x,y,z],[0,pi/2,0])
M0 =
1 0 0
0 -1 0
0 0 1

Matriz jacobiana. Ejercicios

Ejercicio 13. Calcular la matriz jacobiana para la funci´n:
o

f (x, y, z) = (xyz, 1/(x2 + y 2 + 1), xy + z),

en el punto (1, 2, 1).

Ejercicio 14. Calcular la matriz jacobiana para la funci´n:
o

f (x, y, z) = (y sin(ex) + z, cos(xy), sen(zx)),

en el punto (1, π/2, π).

Gradiente

Comando GRAD de Maple. Sintaxis

>>maple(’grad(f,[x1,...,xn])’)

Ejemplo 13. Calcular el gradiente de la funci´n:
o

1
f (x, y, z) = .
1− x2 − y2 − z2

o

>>maple(’w:=1/sqrt(1-x^2-y^2-z^2)’);
>>pretty(simple(sym(maple(’grad(w,[x,y,z])’))))

Derivadas direccionales. Diferenciabilidad

Ejemplo 14. Hallar la derivada direccional de la funciń
o

1


 , x2 + y 2 + z 2 = 0
x2 + y 2 + z 2

f (x, y, z) =


0 (x, y, z) = (0, 0, 0)


en el punto (2, 1, 1), segń la direcciń del vector V = (1, 1, 0).
u o

¿Es diferenciable esta funciń en (2, 1, 1)? ¿Y en (0, 0, 0)? ¿Por qu´?
o e

o
Observemos que existen y son continuas las derivadas parciales de f en
(2, 1, 1), luego, f es diferenciable en dicho punto. Calculemos la derivada
direccional seg´n V como
u

∂
f = (f ), V
∂V

En t´rminos de comandos Maple tendr´
e ıamos lo siguiente

>>maple(’f:=(x,y,z)-> 1/sqrt(x^2+y^2+z^2)’);
>>maple(’dotprod([D[1](f)(2,1,1),D[2](f)(2,1,1),...
D[3](f)(2,1,1)],[1,1,0])’)
ans =
-1/12*6^(1/2)
>>numeric(maple(’dotprod([D[1](f)(2,1,1),D[2](f)(2,1,1),...
D[3](f)(2,1,1)],[1,1,0])’))
ans =
-2.041241452319315e-001

Soluci´n del Ejemplo 14 (cont.).
o
Con herramientas Matlab tendr´ ıamos

>>f=’1/sqrt(x^2+y^2+z^2)’;
>>Dirf=dot([subs(diff(f,’x’),{’x’,’y’,’z’},{2,1,1}),...
subs(diff(f,’y’),{’x’,’y’,’z’},{2,1,1}),...
subs(diff(f,’z’),{’x’,’y’,’z’},{2,1,1})],[1 1 0])
Dirf =
-2.041241452319315e-001

La coincidencia de ambos resultados num´ricos, obtenidos con Maple y
e
Matlab, es una evidencia favorable.

Ejercicio 15. Calcular la derivada de f (x, y, z) = cos(x + y)ez en el
punto (π/4, −π/4, 0).


Diferenciabilidad.

Ejemplo 15. Sea

xy log(x2 + y 2) x2 + y 2 = 0
f (x, y) =
0 x=y=0

Se veriﬁca que fx(0, 0) = 0 y fy (0, 0) = 0. En polares podemos calcular

>>syms r b
>>limit((r^2*log(r^2)*sin(b)*cos(b))/r,r,0)
ans =0

lo cual indica que f s´ es diferenciable en (0, 0).
ı

Extremos
Ejemplo 16. Hallar los extremos de la funci´n
o

f (x, y) = −120x3 − 30x4 + 18x5 + 5x6 + 30xy 2

o

>>maple(’f:=(x,y)->-120*x^3-30*x^4+18*x^5+5*x^6+30*x*y^2’);
>>maple(’solve({diff(f(x,y),x)=0, diff(f(x,y),y)=0},{x,y})’)
>>pretty(sym(maple(’hessian(-120*x^3-30*x^4+18*x^5+5*x^6+...
30*x*y^2,[x,y])’)))
>>maple(’M:=(x,y)->hessian (-120*x^3-30*x^4+18*x^5+5*x^6+...
30*x*y^2,[x,y])’);
>>pretty(sym(maple(’subs(x=0,y=0,M(x,y))’))) % PUNTO DEGENERADO
>>pretty(sym(maple(’subs(x=-2,y=0,M(x,y))’))) % MAXIMO
>>pretty(sym(maple(’subs(x=2,y=0,M(x,y))’))) % MINIMO
>>pretty(sym(maple(’subs(x=-3,y=0,M(x,y))’))) % PUNTO DE SILLA

Aplicarle el c´digo extrem.m.
o

Ejercicio sobre extremos

Ejercicio 16. Hallar los extremos de la funci´n
o

f (x, y) = 4x2 − 3xy + 9y 2 + 5x + 15y + 16.

Ejercicio 17. Hallar los extremos de la funci´n
o

x
f (x, y) = .
1+ x2 + y2

Ver el c´digo extrem.m.
o

DERIVACION de FUNCIONES COMPUESTAS
Ejemplo 17. Calcular D1Z y D2Z sabiendo que:

u2 + v 2
Z= , con u = ex−y , v = exy
u2 − v 2

Soluci´n INLINE del ejemplo 17.
o

>>maple(’f:=(u,v)->(u^2+v^2)/(u^2-v^2)’);
>>maple(’g:=(x,y)->(exp(x-y),exp(x*y))’);
>>maple(’z:=(x,y)->(f@g)(x,y)’);
>>pretty(sym(maple(’simplify(diff(z(x,y),x))’)))
>>pretty(sym(maple(’simplify(diff(z(x,y),y))’)))

Soluci´n mediante programa.
o

Usar el c´digo RegraCadea.m
o

POLINOMIO DE TAYLOR EN DOS VARIABLES
Sea z = f (x, y) una funci´n con derivadas segundas en cierta regi´n Ω
o o
del plano. El polinomio de Taylor de f , en el punto (x0, y0) ∈ Ω, de
grado dos, est´ dado por
a

P (x, y) = f (x0, y0) + fx(x − x0) + fy (y − y0)+

0.5(fxx(x − x0)2 + fyy (y − y0)2) + fxy (x − x0)(y − y0)

Ejercicio 18. Hallar el polinomio de Taylor de grado dos a las siguientes
funciones en los puntos que se indican

a) ex+y cos(x + y) x0 = 0, y0 = 1
b) 1/(1 + x2 + y 2) x0 = 0.2, y0 = 0.5

Usar el programa PTaylor2.m.

RESPUESTAS
Respuesta al ejercicio 1. D5f(1)=-3.591769547325103e+02

Respuesta al ejercicio 2. D10f(1.6405)= -3.547333292946573e+011

Respuesta al ejercicio 3. As´
ıntotas verticales, m´ximos y m´
a ınimos
relativos

Respuesta al ejercicio 4. Punto de inflexiń (cambio de la convexidad),
o
intervalo de crecimiento

Respuesta al ejercicio 5. M´ınimo absoluto en x ≈ −0.6823, m´ximo
a
absoluto en x = −2, inflexiń en x = 0
o

Respuesta al ejercicio 6. M´ximo y m´
a ınimo relativo en x ≈ −1 y
x ≈ 1.2, resp. En el segundo punto no es derivable.

Respuesta al ejercicio 7. x = 1 es m´ximo, x = 2 es m´
a ınimo y
x = 1.5 es de inflexiń
o

Respuesta al ejercicio 8. x = 1 es de inflexiń y x = 2 es punto de
o
m´
ıinimo relativo

Respuestas
Respuesta al ejercicio 9. x = 0 es m´
√ ınimo relativo, x = 2 es m´ximo
a
relativo, x = 2 2 son puntos de inﬂexi´n.
o

Respuesta al ejercicio 10. No se incluye

x 3x3 13x5
Respuesta al ejercicio 11. P = − + + .
2 4 80

Respuestas
Respuesta al ejercicio 12. DV f (2, 1, 1) = −2.04124142e − 01

Respuesta al ejercicio 13.

2.0000e+000 1.0000e+000 2.0000e+000
-5.5556e-002 -1.1111e-001 0
2.0000e+000 1.0000e+000 1.0000e+000


-3.8930e+000 4.1078e-001 1.0000e+000
-1.5708e+000 -1.0000e+000 0
-3.1416e+000 0 -1.0000e+000

D(π/4,−π/4,0)f = −5.343957625674434e − 002

Respuesta al ejercicio 16. (−1, −1) es punto de m´
ınimo.

Respuesta al ejercicio 17. (1, 0) m´ximo y (−1, 0) m´
a ınimo

Apńdice
e
S´lo dedicaremos un pequeõ espacio al tratamiento num´rico de la
o n e
derivada.

Supongamos que de la funciń f (x) s´lo conocemos un n´mero finito de
o o u
valores
(x0, y0), (x1, y1), ..., (xn, yn).
Queremos calcular aproximadamente el valor de f (x), siendo x un punto
del dominio de f , que no coincide necesariamente con alguno de los xk.
Debemos dejar claro que este problema es inestable, es decir, pequeõs
n
errores en los datos pueden producir resultados muy alejados del valor
correcto. Una de las formas m´s naturales o sencillas consiste en utilizar el
a
polinomio de Taylor que ya sabemos aproxima localmente a la funciń que
o
lo genera bajo ciertas condiciones.

Examinemos primero la f´rmula que define te´ricamente a la derivada
o o

f (x + h) − f (x)
f (x) = lim
h→0 h

En las condiciones dadas es imposible efectuar o simular en un ordenador
este proceso de l´
ımites. No conocemos a f m´s all´ de los valores arriba
a a
enumerados. En realidad, aunque conoci´semos la formulaciń de f (x) en
e o
cualquier x, los errores de redondeo y de cancelaciń para h muy pequeõ
o n
perturbar´ severamente el resultado final.
ıan

Lo que podemos hacer es aplicar la f´rmula de Taylor con resto de
o
Lagrange para deducir diferentes procedimientos num´ricos. Lo haremos
e
para deducir un m´todo de orden dos. Supongamos que f admite derivada
e
tercera continua en su dominio. Entonces

h2 h3
f (x + h) = f (x) + hf (x) + f (x) + f (ξ1) (1)
2! 3!

h2 h3
f (x − h) = f (x) − hf (x) + f (x) − f (ξ2) (2)
2! 3!
donde ξ1 ∈ (x, x + h) y ξ2 ∈ (x − h, x), siendo h > 0.

Si restamos (2) a (1) y despejamos a f (x) obtenemos

f (x + h) − f (x − h) h2
f (x) = − f (ξ1) − f (ξ2) . (3)
2h 12
El error de truncamiento es el que cometemos al despreciar el t´rmino con
e
las derivadas terceras, y aqu´ es del orden n = 2 (Ver pag. 45). La
ı
formulaciń de nuestro primer m´todo para calcular aproximadamente la
o e
derivada de f es

f (x + h) − f (x − h)
f (x) ≈ . (4)
2h

A (4) se le conoce como f´rmula de diferencia centrada. Si la red
o
x0, ..., xn es uniforme en el sentido de que xk+1 − xk = 2h,
k = 0, ..., n − 1, entonces nuestro problema inicial se resuelve como

f (xk+1) − f (xk)
f (˜k) ≈
x , xk = (xk+1 + xk)/2.
˜
2h

La llamada f´rmula adelantada de dos puntos que se deriva directamente
o
de la definiciń cl´sica de derivada aparece en la siguiente diapositiva y es
o a
de orden n = 1.

f (x + h) − f (x)
f (x) ≈ . (5)
h
La siguiente tabla muestra algunos de los errores (absolutos) que se
producen al utilizar (4) y (5) para calcular aproximadamente f (1), siendo
f (x) = xex.
h (4) (5)
1.0e-01 1.8135e-02 4.2644e-01
1.0e-02 1.8122e-04 4.0956e-02
1.0e-03 1.8122e-06 4.0792e-03
1.0e-04 1.8123e-08 4.0776e-04
1.0e-05 2.0599e-10 4.0774e-05
1.0e-06 3.2692e-10 4.0764e-06
1.0e-07 1.1717e-10 4.0868e-07
1.0e-08 1.3206e-08 5.7614e-08
1.0e-09 1.3206e-08 1.3206e-08
1.0e-10 8.7497e-07 1.3455e-06

Notar que los resultados empeoran a partir de cierto valor de h, y que el
orden se maniﬁesta cuando comparamos el rango de h y el error. La
f´rmula (4) parece ser m´s eﬁciente que (5). Sin embargo, (5) muestra
o a
una mayor estabilidad que (4).

Notaci´n
o

El m´todo cuya f´rmula es A(h), para estimar E, se dice de orden n si
e o

|A(h) − E| ≤ M hn,

donde M > 0 no depende de h.

Se denota por
A(h) − E = O(hn).
− − − − − − − − − − − − − − − − −−
Recordar que el error absoluto que se comete al estimar E mediante
A(h) se deﬁne como
|A(h) − E|,
mientras que, si E = 0, el error relativo est´ dado por
a

|A(h) − E|/|E|.

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