TUTORIAL PARA LA RESOLUCIÓN DE ECUACIONES LINEALES UTILIZANDO LA INFORMÁTICA
- 1. TUTORIAL PARA LA RESOLUCIÓN DE ECUACIONES LINEALES UTILIZANDO LA INFORMÁTICA Preparatoria Lic. Benito Juárez García Carolina Itzel Vázquez Moreno Informática 1° “E” Vespertino Profesora: Gloria Pérez Madrid Ciclo Escolar 2015-2916 Benemérita Universidad Autónoma de Puebla
- 2. TUTORIAL PARA LA RESOLUCIÓN DE ECUACIONES LINEALES UTILIZANDO LA INFORMÁTICA
- 3. INTRODUCCIÓN Los sistemas de ecuaciones lineales son: “el problema central del álgebra lineal". En efecto, los conceptos formales del álgebra lineal, como independencia y dependencia lineal, requieren de la formulación y resolución de sistemas de ecuaciones lineales. Estos últimos, además, tienen aplicación en distintas áreas de conocimiento, como la ingeniería o la computación; y desde luego, en áreas de la matemática, como la geometría analítica o la investigación de operaciones. En consecuencia, el estudio y la enseñanza de los sistemas de ecuaciones lineales son esenciales y necesarios en la formación de estudiantes. Es así, como establecemos la necesidad de una propuesta didáctica para la enseñanza y aprendizaje de los sistemas de ecuaciones lineales que tome en cuenta el proceso de resolución, para realizar un análisis y reflexión del mismo; así como, la posibilidad de plantear problemas reales que involucren sistemas de ecuaciones lineales. En este sentido, nuestro propósito de este manual consiste en el desarrollo de un ambiente computacional que apoye la enseñanza en la educación superior de la resolución de sistemas de ecuaciones lineales; permitiendo el análisis, discusión y reflexión del proceso de resolución paso a paso, con el propósito de construir los conceptos inherentes a dicho proceso, como sistema de ecuaciones lineales equivalente.
- 4. DEFINICIÓN Un sistema de ecuaciones es un conjunto de ecuaciones que involucran las mismas variables. Si todas las ecuaciones del sistema son lineales, entonces se denomina sistema de ecuaciones lineales, por ejemplo: 2x+ y =1− 3 x+4y =14 Una solución de un sistema de ecuaciones es el conjunto de valores para las variables que hacen que cada ecuación en el sistema sea cierta. Resolver un sistema de ecuaciones consiste en encontrar todas las soluciones del sistema. En el ejemplo anterior, la solución del sistema es x= -2 y y=5. Esta solución se puede escribir también como un par ordenado (-2, 5). Más adelante, en las siguientes lecciones, aprenderemos las técnicas para encontrar estas soluciones.
- 5. RESOLUCIÓN DE ECUACIONES LINEALES En general para resolver una ecuación lineal o de primer grado debemos seguir los siguientes pasos: 1º Quitar paréntesis. 2º Quitar denominadores. 3º Agrupar los términos en x en un miembro y los términos independientes en el otro. 4º Reducir los términos semejantes. 5º Despejar la incógnita.
- 6. TIPOS DE ECUACIONES LINEALES • Ecuaciones de primer grado o lineales • Ecuaciones fraccionarias • Ecuaciones literales
- 7. ECUACIONES DE PRIMER GRADO O LINEALES Una ecuación es una igualdad donde por lo menos hay un número desconocido, llamado incógnita o variable, y que se cumple para determinado valor numérico de dicha incógnita. Se denominan ecuaciones lineales o de primer grado a las igualdades algebraicas con incógnitas cuyo exponente es 1 (elevadas a uno, que no se escribe). Como procedimiento general para resolver ecuaciones enteras de primer grado se deben seguir los siguientes pasos: 1. Se reducen los términos semejantes, cuando es posible. 2. Se hace la transposición de términos (aplicando inverso aditivo o multiplicativo), los que contengan la incógnita se ubican en el miembro izquierdo, y los que carezcan de ella en el derecho. 3. Se reducen términos semejantes, hasta donde es posible. 4. Se despeja la incógnita, dividiendo ambos miembros de la ecuación por el coeficiente de la incógnita (inverso multiplicativo), y se simplifica.
- 8. • Resolución de ecuaciones de primer grado con una incógnita. Para resolver ecuaciones de primer grado con una incógnita, aplicamos el criterio del operador inverso (inverso aditivo o inverso multiplicativo), como veremos en el siguiente ejemplo: Resolver la ecuación 2x – 3 = 53 Debemos tener las letras a un lado y los números al otro lado de la igualdad (=), entonces para llevar el –3 al otro lado de la igualdad, le aplicamos el inverso aditivo (el inverso aditivo de – 3 es +3, porque la operación inversa de la resta es la suma). Entonces hacemos: 2x – 3 + 3 = 53 + 3 En el primer miembro –3 se elimina con +3 y tendremos: 2x = 53 + 3 2x = 56
- 9. Ahora tenemos el número 2 que está multiplicando a la variable o incógnita x, entonces lo pasaremos al otro lado de la igualdad dividiendo. Para hacerlo, aplicamos el inverso multiplicativo de 2 (que es ½) a ambos lados de la ecuación: 2x • ½ = 56 • ½ Simplificamos y tendremos ahora: x = 56 / 2 x = 28 Entonces el valor de la incógnita o variable "x" es 28
- 10. ECUACIONES EN Q (NÚMEROS RACIONALES O FRACCIONARIOS) En este tipo de ecuación lineal el denominador de a lo menos una de las expresiones algebraicas es diferente de 1 (es una fracción). Para proceder a la resolución se debe: Llevar a ecuación lineal (eliminar la fracción) multiplicando la ecuación por el mínimo común múltiplo de los denominadores (m.c.m.) Ejemplo:
- 11. ECUACIONES LITERALES Una ecuación literal es aquella en la que una o más de las cantidades conocidas se representan mediante el uso de letras. Por lo general, dichas cantidades conocidas se representan con las primeras letras del alfabeto a, b, c... y las incógnitas con las letras finales x, y, z. Ejemplo: a + bx = dy En este ejemplo las letras a, b, d, son cantidades conocidas, mientras que x e y, representan las incógnitas de la ecuación.
- 12. Para resolver estas ecuaciones se aplican las mismas reglas que se utilizan en la resolución de ecuaciones ordinarias: Primero, se efectúan las operaciones indicadas, si las hay. Luego, se trasladan los términos, para agrupar en un miembro los términos que contengan la incógnita y en el otro miembro, los términos que no contienen la incógnita y por lo tanto son conocidos (aunque estén expresados con letras). En un tercer paso, lo prudente es reducir los términos semejantes en los dos miembros, para que sea más fácil el manejo de la incógnita.
- 13. Se despeja la incógnita. Para poder despejar la incógnita, es útil recordar que en una igualdad podemos hacer operaciones iguales a los dos miembros, sin alterar la igualdad. x + 3 = 10 Para despejar la incógnita "x", debemos restar 3 a cada miembro de la igualdad: x + 3 – 3 = 10 – 3 Para que de esta forma, quede: x = 7 Esta regla se aplica a cualquiera de las operaciones que afecten a la incógnita:
- 15. INTERPRETACIÓN GRÁFICA DE SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES Para ilustrar gráficamente la solución de ecuaciones lineales, consideremos sistemas de ecuaciones con dos ecuaciones y dos variables. Cada una de las ecuaciones corresponde a una recta en el plano. Las situaciones que pueden ocurrir son las siguientes:
- 16. Este concepto se puede ampliar a sistemas lineales con mayor cantidad de ecuaciones y variables. Un sistema de ecuaciones lineales puede tener una solución, infinitas soluciones o ninguna solución.
- 17. INTERPRETACIÓN ALGEBRAICA DE SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES Ahora veamos como son las ecuaciones que corresponden a las siguientes gráficas:
- 20. Vimos gráficamente los casos que se pueden presentar con los sistemas de ecuaciones lineales. Cada uno tiene una particularidad. Se dice que un sistema de ecuaciones es consistente si tiene una o más soluciones y es inconsistente si no tiene solución. Cuando un sistema consistente de ecuaciones lineales es equivalente a un sistema que tiene la ecuación 0 = 0, decimos que el sistema es dependiente. Un sistema consistente que no es dependiente se llama independiente. Por ejemplo: {x+2y=7(1) 2x+4y=14(2) es dependiente por que es equivalente al sistema {x+2y=7 0=0
- 21. Ecuación (2) - 2 × Ecuación (1) da: 0 = 0 Mientras el sistema consistente a la derecha es dependiente: {x+2y=7 2x+4y=14 El sistema consistente {x+2y=7 , que tiene la misma solución paramétrica: x = 7 – 2t, y = t para todos los números reales t es independiente. Ejemplo: {x+2y=8(1) 2x+3y=13(2) El sistema anterior es consistente e independiente con solución única x = 2, y = 3. El siguiente sistema es consistente y dependiente con la misma solución única x = 2, y = 3. {x+2y=8 2x+3y=13 3x+5y=21 Es equivalente al siguiente sistema: {x+2y=8 -y=-3 0=0
- 22. Ejemplo:
- 23. 1.- 20 – 7x = 6x – 6 2 .- 7x+2=10x+5 3.- 6x−5=8x+2 4.- 4x + 4 + 9x + 18 = 12 (x+2)