![ACTIVIDADES DE REFUERZO
19 A´rea bajo una curva. Integral definida
1. Una empresa constructora quiere comprar un terreno para lo cual realiza algunas mediciones y dibuja el plano
de la figura. Calcula el valor que debera´ pagar sabiendo que el metro cuadrado tiene un precio de 180 euros.
A
30 m
50 m
40 m
40 m30 m 50 m
30 m
H
B C D
E
F
G
2. Se quiere calcular el a´rea encerrada bajo la curva y ϭ x2
ϩ 2 en el intervalo [2, 3].
a) Halla las abscisas de los puntos que dividen al intervalo [2, 3] en cuatro partes iguales.
b) Halla las ima´genes en los puntos en que has dividido el intervalo.
c) Utiliza el me´todo de los trapecios para aproximar el a´rea.
3. Utiliza el me´todo de los trapecios para aproximar el a´rea limitada por la funcio´n y ϭ 2x2
ϩ 1 en el intervalo
[Ϫ2, 4] dividiendo este en cinco partes iguales.
4. Con ayuda del me´todo de los trapecios, calcula una aproximacio´n del a´rea encerrada por la funcio´n
y ϭ en el intervalo [2, 4] cuando este se ha dividido en cuatro partes iguales.
2
x Ϫ 1
5. Considera la funcio´n f(x) ϭ 2x2
Ϫ 1:
a) Aplicando el me´todo de los trapecios, calcula una aproximacio´n del a´rea encerrada por la funcio´n en el
intervalo [1, 3] cuando este se ha dividido en cinco partes iguales.
b) Escribe una primitiva cualquiera de la funcio´n.
c) Aplicando el teorema de Barrow, calcula el a´rea encerrada por la funcio´n en el intervalo [1, 3].
d) Compara los resultados obtenidos en a y en c.
6. Considera la funcio´n f(x) ϭ :
1
x ϩ 2
a) Aplicando el me´todo de los trapecios, calcula una aproximacio´n del a´rea encerrada por la funcio´n en el
intervalo [Ϫ1, 2] cuando este se ha dividido en seis partes iguales.
b) Escribe una primitiva cualquiera de la funcio´n.
c) Aplicando el teorema de Barrow, calcula el a´rea encerrada por la funcio´n en el intervalo [Ϫ1, 2].
d) Compara los resultados obtenidos en a y en c.
7. Dada la funcio´n y ϭ (x Ϫ 1)2
; dibuja la zona del plano limitada por la funcio´n y por las rectas x ϭ 1 y x ϭ 2
y aplicando el me´todo de Barrow, calcula el a´rea de la zona dibujada.
8. Calcula el a´rea limitada por el eje de abscisas y la gra´fica de la funcio´n y ϭ 2x Ϫ x2
.
9. Expresa el a´rea sombreada en la figura mediante una integral definida. Calcu´lala aplicando el me´todo de Barrow.
Y
O 1
1
X
y = x2
–4x + 4
y = x
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![SOLUCIONES
1. El a´rea del terreno es la suma de las a´reas de los
tres trapecios en que se puede dividir.
A ϭ At(ABGH) ϩ At(BCFG) ϩ At(CDEF) ϭ
ϭ ϭ
(30ϩ40)·30 (40ϩ 50) · 40 (50ϩ 30)·50
ϩ ϩ
2 2 2
ϭ 4 850 m2
Coste total C ϭ 4 850 · 180 ϭ 873 000 euros.
2. a) Longitud de la particio´n: h ϭ ϭ 0,25
3 Ϫ 2
4
Abscisas: x ϭ 2; x ϭ 2,25; x ϭ 2,5; x ϭ 2,75; x ϭ 3.
b) f(2) ϭ 6; f(2,25) ϭ 7,0625; f(2,5) ϭ 8,25;
f(2,75) ϭ 9,5625; f(3) ϭ 11.
c) A ϭ ϩf(2,25)ϩf(2,5)ϩf(2,75)ϩ ϭ
1 f(2) f(3)
΄ ΅4 2 2
ϭ [3 ϩ 7,0625 ϩ 8,25 ϩ 9,5625 ϩ 5,5] ϭ
1
4
ϭ ϭ 8,34375
33,375
4
3. Longitud de la particio´n: h ϭ ϭ 1,2
4 Ϫ (Ϫ2)
5
Abscisas: x ϭ Ϫ2; x ϭ Ϫ0,8; x ϭ 0,4; x ϭ 1,6;
x ϭ 2,8; x ϭ 4.
f(Ϫ2) ϭ 9; f(Ϫ0,8) ϭ 2,28; f(0,4) ϭ 1,32;
f(1,6) ϭ 6,12; f(2,8) ϭ 16,68; f(4) ϭ 33.
A ϭ 1,2 [4,5 ϩ 2,28 ϩ 1,32 ϩ 6,12 ϩ 16,68 ϩ
ϩ 16,5] ϭ 56,88
4. Longitud de la particio´n: h ϭ 0,5.
Abscisas: x ϭ 2; x ϭ 2,5; x ϭ 3; x ϭ 3,5; x ϭ 4.
A ϭ 0,5 · ϩ 1 ϩ 0,8 ϩ ϭ 2,2
2 1
1 ϩ 3v΄ ΅1,5 3
5. a) Longitud de la particio´n: h ϭ 0,4
Abscisas: x ϭ 1; x ϭ 1,4; x ϭ 1,8; x ϭ 2,2;
x ϭ 2,6; x ϭ 3.
A ϭ 0,4 [0,5 ϩ 2,92 ϩ 5,48 ϩ 8,68 ϩ 12,52 ϩ
ϩ 8,5] ϭ 15,44
b) F(x) ϭ (2x2
Ϫ 1) dx ϭ x3
Ϫ x
2
Ύ 3
c) A ϭ (2x2
Ϫ 1) dx ϭ x3
Ϫ x ϭ
3 3
2
Ύ ΄ ΅3 11
ϭ (18 Ϫ 3) Ϫ Ϫ 1 ϭ ϭ 15,
2 46
3v 3 3
d) 15,44 Ϫ ϭ 0,1 es el error cometido.
46
3
6. a) Longitud de la particio´n: h ϭ 0,5
Abscisas: x ϭ Ϫ1; x ϭ Ϫ0,5; x ϭ 0;
x ϭ 0,5; x ϭ 1; x ϭ 1,5; x ϭ 2.
A ϭ 0,5 0,5 ϩ ϩ 0,5 ϩ 0,4 ϩ ϩ ϩ
2 1 2
΄ 3 3 7
ϩ 0,125 ϭ 1,40535...΅
b) F(x) ϭ dx ϭ L Wx ϩ 2W
1
Ύx ϩ 2
c) A ϭ dx ϭ L Wx ϩ 2W ϭ
2 2
1
Ύ ΄ ΅x ϩ 2 Ϫ1Ϫ1
ϭ L4 Ϫ L1 ϭ 1,38629...
d) 1,40535... Ϫ 1,38629... ϭ 0,019 es el error co-
metido.
7. Y
x = 2
x = 1
O 1 2
1
X
f(x) = (x – 1)2 A ϭ (x Ϫ 1)2
dx ϭ
2
Ύ1
ϭ
2
1 13 2
(x Ϫ 1) ϭ u΄ ΅3 31
8. Y
O 1 2
1
X
f(x) = 2x – x2
A ϭ (2x Ϫ x2
)dx ϭ
2
Ύ0
ϭ x2
Ϫ x3
2
1 8 4 2
ϭ 4 Ϫ ϭ u΄ ΅3 3 30
9. Puntos de corte de las dos funciones: (1, 1) y (4, 4)
A ϭ [x Ϫ (x2
Ϫ 4x ϩ 4)] dx ϭ
4
Ύ1
ϭ (Ϫx2
ϩ 5x Ϫ 4) dx ϭ x3
ϩ x2
Ϫ 4x ϭ
4 4
1 5
ϪΎ ΄ ΅3 2 11
ϭ 4,5 u2
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Unidad19
- 1. ACTIVIDADES DE REFUERZO 19 A´rea bajo una curva. Integral definida 1. Una empresa constructora quiere comprar un terreno para lo cual realiza algunas mediciones y dibuja el plano de la figura. Calcula el valor que debera´ pagar sabiendo que el metro cuadrado tiene un precio de 180 euros. A 30 m 50 m 40 m 40 m30 m 50 m 30 m H B C D E F G 2. Se quiere calcular el a´rea encerrada bajo la curva y ϭ x2 ϩ 2 en el intervalo [2, 3]. a) Halla las abscisas de los puntos que dividen al intervalo [2, 3] en cuatro partes iguales. b) Halla las ima´genes en los puntos en que has dividido el intervalo. c) Utiliza el me´todo de los trapecios para aproximar el a´rea. 3. Utiliza el me´todo de los trapecios para aproximar el a´rea limitada por la funcio´n y ϭ 2x2 ϩ 1 en el intervalo [Ϫ2, 4] dividiendo este en cinco partes iguales. 4. Con ayuda del me´todo de los trapecios, calcula una aproximacio´n del a´rea encerrada por la funcio´n y ϭ en el intervalo [2, 4] cuando este se ha dividido en cuatro partes iguales. 2 x Ϫ 1 5. Considera la funcio´n f(x) ϭ 2x2 Ϫ 1: a) Aplicando el me´todo de los trapecios, calcula una aproximacio´n del a´rea encerrada por la funcio´n en el intervalo [1, 3] cuando este se ha dividido en cinco partes iguales. b) Escribe una primitiva cualquiera de la funcio´n. c) Aplicando el teorema de Barrow, calcula el a´rea encerrada por la funcio´n en el intervalo [1, 3]. d) Compara los resultados obtenidos en a y en c. 6. Considera la funcio´n f(x) ϭ : 1 x ϩ 2 a) Aplicando el me´todo de los trapecios, calcula una aproximacio´n del a´rea encerrada por la funcio´n en el intervalo [Ϫ1, 2] cuando este se ha dividido en seis partes iguales. b) Escribe una primitiva cualquiera de la funcio´n. c) Aplicando el teorema de Barrow, calcula el a´rea encerrada por la funcio´n en el intervalo [Ϫ1, 2]. d) Compara los resultados obtenidos en a y en c. 7. Dada la funcio´n y ϭ (x Ϫ 1)2 ; dibuja la zona del plano limitada por la funcio´n y por las rectas x ϭ 1 y x ϭ 2 y aplicando el me´todo de Barrow, calcula el a´rea de la zona dibujada. 8. Calcula el a´rea limitada por el eje de abscisas y la gra´fica de la funcio´n y ϭ 2x Ϫ x2 . 9. Expresa el a´rea sombreada en la figura mediante una integral definida. Calcu´lala aplicando el me´todo de Barrow. Y O 1 1 X y = x2 –4x + 4 y = x Algoritmo Matema´ticas I – 1.o Bachillerato Actividades de refuerzo
- 2. SOLUCIONES 1. El a´rea del terreno es la suma de las a´reas de los tres trapecios en que se puede dividir. A ϭ At(ABGH) ϩ At(BCFG) ϩ At(CDEF) ϭ ϭ ϭ (30ϩ40)·30 (40ϩ 50) · 40 (50ϩ 30)·50 ϩ ϩ 2 2 2 ϭ 4 850 m2 Coste total C ϭ 4 850 · 180 ϭ 873 000 euros. 2. a) Longitud de la particio´n: h ϭ ϭ 0,25 3 Ϫ 2 4 Abscisas: x ϭ 2; x ϭ 2,25; x ϭ 2,5; x ϭ 2,75; x ϭ 3. b) f(2) ϭ 6; f(2,25) ϭ 7,0625; f(2,5) ϭ 8,25; f(2,75) ϭ 9,5625; f(3) ϭ 11. c) A ϭ ϩf(2,25)ϩf(2,5)ϩf(2,75)ϩ ϭ 1 f(2) f(3) ΄ ΅4 2 2 ϭ [3 ϩ 7,0625 ϩ 8,25 ϩ 9,5625 ϩ 5,5] ϭ 1 4 ϭ ϭ 8,34375 33,375 4 3. Longitud de la particio´n: h ϭ ϭ 1,2 4 Ϫ (Ϫ2) 5 Abscisas: x ϭ Ϫ2; x ϭ Ϫ0,8; x ϭ 0,4; x ϭ 1,6; x ϭ 2,8; x ϭ 4. f(Ϫ2) ϭ 9; f(Ϫ0,8) ϭ 2,28; f(0,4) ϭ 1,32; f(1,6) ϭ 6,12; f(2,8) ϭ 16,68; f(4) ϭ 33. A ϭ 1,2 [4,5 ϩ 2,28 ϩ 1,32 ϩ 6,12 ϩ 16,68 ϩ ϩ 16,5] ϭ 56,88 4. Longitud de la particio´n: h ϭ 0,5. Abscisas: x ϭ 2; x ϭ 2,5; x ϭ 3; x ϭ 3,5; x ϭ 4. A ϭ 0,5 · ϩ 1 ϩ 0,8 ϩ ϭ 2,2 2 1 1 ϩ 3v΄ ΅1,5 3 5. a) Longitud de la particio´n: h ϭ 0,4 Abscisas: x ϭ 1; x ϭ 1,4; x ϭ 1,8; x ϭ 2,2; x ϭ 2,6; x ϭ 3. A ϭ 0,4 [0,5 ϩ 2,92 ϩ 5,48 ϩ 8,68 ϩ 12,52 ϩ ϩ 8,5] ϭ 15,44 b) F(x) ϭ (2x2 Ϫ 1) dx ϭ x3 Ϫ x 2 Ύ 3 c) A ϭ (2x2 Ϫ 1) dx ϭ x3 Ϫ x ϭ 3 3 2 Ύ ΄ ΅3 11 ϭ (18 Ϫ 3) Ϫ Ϫ 1 ϭ ϭ 15, 2 46 3v 3 3 d) 15,44 Ϫ ϭ 0,1 es el error cometido. 46 3 6. a) Longitud de la particio´n: h ϭ 0,5 Abscisas: x ϭ Ϫ1; x ϭ Ϫ0,5; x ϭ 0; x ϭ 0,5; x ϭ 1; x ϭ 1,5; x ϭ 2. A ϭ 0,5 0,5 ϩ ϩ 0,5 ϩ 0,4 ϩ ϩ ϩ 2 1 2 ΄ 3 3 7 ϩ 0,125 ϭ 1,40535...΅ b) F(x) ϭ dx ϭ L Wx ϩ 2W 1 Ύx ϩ 2 c) A ϭ dx ϭ L Wx ϩ 2W ϭ 2 2 1 Ύ ΄ ΅x ϩ 2 Ϫ1Ϫ1 ϭ L4 Ϫ L1 ϭ 1,38629... d) 1,40535... Ϫ 1,38629... ϭ 0,019 es el error co- metido. 7. Y x = 2 x = 1 O 1 2 1 X f(x) = (x – 1)2 A ϭ (x Ϫ 1)2 dx ϭ 2 Ύ1 ϭ 2 1 13 2 (x Ϫ 1) ϭ u΄ ΅3 31 8. Y O 1 2 1 X f(x) = 2x – x2 A ϭ (2x Ϫ x2 )dx ϭ 2 Ύ0 ϭ x2 Ϫ x3 2 1 8 4 2 ϭ 4 Ϫ ϭ u΄ ΅3 3 30 9. Puntos de corte de las dos funciones: (1, 1) y (4, 4) A ϭ [x Ϫ (x2 Ϫ 4x ϩ 4)] dx ϭ 4 Ύ1 ϭ (Ϫx2 ϩ 5x Ϫ 4) dx ϭ x3 ϩ x2 Ϫ 4x ϭ 4 4 1 5 ϪΎ ΄ ΅3 2 11 ϭ 4,5 u2 Actividades de refuerzo Algoritmo Matema´ticas I – 1.o Bachillerato