Unidad32016

Facultad de Ciencias Exactas, Ingenier´ıa y Agrimensura
Departamento de Matemática
Escuela de Ciencias Exactas y Naturales
GEOMETRÍA I
Licenciatura en Matemática - Profesorado en Matemática - Año 2016
Equipo docente:
Francisco Vittone - Justina Gianatti - Mart´ın Alegre.
Unidad 3: Congruencia de triángulos, área de figuras planas y el Teorema de
Pitágoras.
1. Introducción.
En la unidad anterior hemos definido qué entendemos por dos triángulos congruentes y hemos establecido
como axioma el primer criterio de congruencia de triángulos, o criterio LAL.
Recordemos que dos triángulos son congruentes si existe una correspondencia entre los vértices de modo que
los pares de lados homólogos y los pares de ángulos homologos para esta correspondencia son congruentes entre
si. El criterio LAL establece que si dos pares de lados homólogos y los ángulos comprendidos entre ellos son
congruentes, entonces los triángulos son congruentes, lo que significa que automáticamente el tercer lado de un
triángulo es congruente con el tercer lado del otro y los otros dos ángulos del primer triángulo son congruentes
con los respectivos ángulos en el otro.
Es decir que un criterio de congruencia nos permite garantizar que dos triángulos son congruentes con mucha
menos información que la que tendr´ıamos que verificar según la definición de congruencia.
El objetivo de esta unidad es establecer otros criterios de congruencia y estudiar algunas de las muchas
aplicaciones que tienen. Sin dudas los criterios de congruencia de triángulos constituyen los resultados más
importantes y que más aplicaciones tienen en la geometr´ıa plana.
Comenzaremos descubriéndolos en base a nuestra experiencia y nos ocuparemos de demostrarlos en la próxi-
ma sección. Como ya hemos mencionado, un criterio de congruencia nos permitirá concluir que dos triángulos
son congruentes cuando conocemos mucha menos información que la que requiere la definición. Determinaremos
por lo tanto cuál es la menor cantidad de información de que debemos disponer para poder asegurar que dos
triángulos son congruentes.
Un triángulo tiene seis elementos que lo caracterizan: sus tres lados y sus tres ángulos. El primer criterio
de congruencia nos dice que si sabemos que tres de estos elementos (dos lados y un ángulo, el comprendido
entre ellos) de un triángulo son congruentes con los respectivos elementos de otro, entonces los triángulos son
congruentes. ¿Pero no podremos llegar a la misma conclusión con menos información?
Supongamos que conocemos sólo uno de estos elementos, es decir, conocemos la medida de un ángulo o
un lado de un triángulo. ¿Cuántos triángulos no congruentes podemos construir con estos datos? Es bastante
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evidente que infinitos. En las siguientes figuras mostramos muchas maneras de construir muchos triángulos no
congruentes que tienen un lado o un ángulo de la misma medida.
Es decir que si sabemos que dos triángulos tienen un lado o un ángulo de la misma medida, esto no nos
alcanza para concluir que los triángulos son congruentes.
Por lo tanto necesitamos conocer más información. Supongamos entonces que tenemos ahora dos datos:
dos ángulos, dos lados, o un ángulo y un lado.
Si conocemos dos ángulos de un triángulo, automáticamente conocemos el tercero. Nuevamente es fácil ver
que existen muchos triángulos no congruentes que tienen ángulos de la misma medida. Basta tomar un triángulo
cualquiera y cortar dos de sus lados por rectas paralelas al tercer lado. Obtenemos as´ı triángulos que tienen los
mismos tres ángulos pero sus lados no tienen obviamente la misma medida, y por lo tanto no son congruentes.
Si conocemos un lado y un ángulo, o dos lados también podemos construir muchos triángulos no congruentes
que tienen estos datos en común, como se muestra en la siguiente figura. Les proponemos que construyan otros.
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Por lo tanto necesitamos conocer al menos tres datos sobre los triángulos. Las posibles formas de “agrupar”
tres datos son dos ángulos y un lado, dos lados y un ángulo, tres lados o tres ángulos.
Ya hemos visto que si dos triángulos tienen sus tres ángulos congruentes no necesariamente son congruentes,
y por lo tanto esto no constituye un criterio de congruencia.
Supongamos ahora que conocemos la medida de dos lados y un ángulo. ¿Cuántos triángulos no congruentes
podemos construir con estos datos? El axioma 17 nos dice que si el ángulo es el comprendido entre los lados
dados, todos los triángulos que construyamos serán congruentes entre s´ı.
¿Qué ocure si el ángulo que tenemos como dato tiene como lado sólo uno de los lados del triángulo de los
que conocemos la medida? Nuestros datos son la medida a y c de dos lados y un ángulo ˆα como los de la figura.
Trataremos de ver cuántos triángulos podemos construir con estos datos, de modo que el ángulo sea adyacente
sólo a uno de los lados dados.
Comenzamos con un punto A cualquiera y con extremo en él construimos, utilizando el compás, un segmento
de la medida c dada. Sea B el extremo del segmento. Sobre la semirrecta
−−→
AB transportamos el ángulo ˆα de
modo que su vértice sea A. Sea
−→
AY el otro lado del ángulo. Con centro en B trazamos una circunferencia de
radio a.
Vemos que la circunferencia interseca a la recta
←→
AY en dos puntos. Estos dos puntos, llamémoslos C y C ,
estarán a distancia a de B, con lo cual ABC y ABC son dos triángulos que tienen dos lados y un ángulo
respectivamente congruentes, pero que no son congruentes.
En este caso, ˆα se opone al menor de los dos lados ya que en el ejemplo c > a. Veamos qué ocurre cuando
ˆα se opone al lado mayor. Partimos ahora de un punto C y marcamos un punto B tal que BC = a. Con vértice
en C y sobre la semirrecta
−−→
CB trasladamos el ángulo ˆα. Sea
−−→
CY el otro lado del ángulo ˆα. Trazamos ahora
con centro en B una circunferencia de radio c. Vemos que la circunferencia corta a
−−→
CY en un único punto A,
y por lo tanto queda determinado un único triángulo ABC con lados AB = c, BC = a y ˆC = ˆα.
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Concluimos que si dos triángulos tienen dos pares de lados homólogos congruentes y los ángulos que se oponen
al mayor de los lados también son congruentes, entonces los triángulos son congruentes. Éste constituye por lo
tanto un criterio de congruencia.
Les poponemos que, siguiendo el procedimiento anterior, intenten construir todos los triángulos no con-
gruentes posibles si se conocen los siguientes datos: la medida de dos ángulos y un lado; la medida de tres lados.
Completen la siguiente tabla con las conclusiones que obtengan:
Si se conocen... ¿Cuántos triángulos no congruentes ¿Determina un criterio
pueden construirse? de congruencia?
dos lados y el ángulo 1 S´ı
comprendido entre ellos
dos lados y el ángulo más de No
opuesto al menor de ellos uno
dos lados y el ángulo
opuesto al mayor de ellos
dos ángulos y un lado
tres lados
tres ángulos
1.1. Ejercicios propuestos
1. En cada ´ıtem, las mismas marcas sobre ángulos o lados indican que son congruentes. Determinar, en
función del análisis realizado en esta sección, si los datos dados en cada caso junto con las propiedades
de las distintas figuras son o no suficientes para determinar que los triángulos indicados son congruentes.
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2. Criterios de congruencia de triángulos
De la actividad propuesta en la introducción, surge que además del axioma 17, existen otros criterios de
congruencia de triángulos. Sin embargo no necesitamos establecer estos criterios como axiomas, ya que pueden
ser deducidos a partir del axioma 17. Dedicaremos esta sección a enunciarlos adecuadamente y demostrarlos.
Recordemos que dos triángulos ABC y A B C son congruentes si existe una correspondencia s : {A, B, C} →
{A , B , C } entre sus vértices de modo que los pares de lados y ángulos homólogos para esta correspondencia
son congruentes.
En el desarrollo teórico de esta unidad, cuando trabajemos con triángulos genéricos ABC y A B C , su-
pondremos, a menos que se especifique de otra manera, que la correspondencia está dada por s(A) = A ,
s(B) = B y s(C) = C . En ese caso, resulta
ABC=cA B C ⇐⇒ AB = A B , AC = A C , BC = B C , Â = Â , ˆB = ˆB , ˆC = ˆC .
Finalmente, utilizaremos la siguiente convención: cuando escribamos ABC=cDEF supondremos que la
correspondencia está dada por s(A) = D, s(B) = E y s(C) = F. As´ı, AB = DE, AC = DF, ˆB = Ê, etc.
CRITERIO LAL: (Axioma 17) Si en dos triángulos dos
pares de lados homólogos y los ángulos comprendidos en-
tre dichos lados son congruentes, entonces los triángulos
son congruentes.
En el dibujo:
AB = A B , AC = A C y Â = Â ⇒ ABC=cA B C .
En la unidad anterior hemos visto varias aplicaciones de este criterio. Veremos a continuación de cada nuevo
criterio que enunciemos algunas aplicaciones y problemas resueltos.
Comenzamos con un resultado muy simple que será de gran utilidad.
Lema 1. La congruencia de triángulos define una relación de equivalencia en el conjunto de todos los
triángulos del espacio. Es decir:
1. es reflexiva, o sea, todo triángulo es congruente a s´ı mismo.
2. es simétrica, o sea, si ABC es congruente con A B C , entonces A B C es congruente con ABC.
3. es transitiva, o sea, si ABC es congruente con A B C y si A B C es congruente con A B C ,
entonces ABC es congruente con A B C .
Demostración: Sean ABC, A B C y A B C tres triángulos.
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1. Consideremos la correspondencia trivial s : {A, B, C} → {A, B, C} tal que s(A) = A, s(B) = B y
s(C) = C. Entonces es claro que los pares de lados y ánguos homólogos son congruentes, pues en efecto
son coincidentes. Luego ABC es congruente consigo mismo.
2. Supongamos ahora que ABC es congruente a A B C y que la congruencia corresponde, sin pérdida de
generalidad, a la correspondencia s tal que s(A) = A , s(B) = B y s(C) = C . Entonces
t : {A , B , C } → {A, B, C} tal que t(A ) = A, t(B ) = B y t(C ) = C es tal que lados y ángulos
homólogos son congruentes. Luego A B C es congruente a ABC.
3. Finalmente supongamos que ABC es congruente a A B C y A B C es congruente a A B C con
correpondencias s y t tales que s(A) = A , s(B) = B , s(C) = C , y t(A ) = A , t(B ) = B , t(C ) = C .
Entonces es fácil verificar que los lados homólogos y los ángulos homólogos para la correspondencia
l : {A, B, C} → {A , B , C } dada por l(A) = A , l(B) = B y l(C) = C , son congruentes. Luego
ABC es congruente a A B C .
Teorema 2. CRITERIO ALA
Si en dos triángulos un par de lados homólogos y los
ángulos con vértices en los extremos de dichos lados
son respectivamente congruentes, entonces los triángu-
los son congruentes.
En el dibujo:
AB = A B , Â = Â y ˆB = ˆB ⇒ ABC=cA B C .
Demostración:
Sean ABC y A B C dos triángulos tales que AB = A B , Â = Â y ˆB = ˆB . Observemos que basta probar
que AC = A C , pues entonces por el criterio LAL resutar´ıa ABC=cA B C y el teorema estar´ıa demostrado.
Supongamos, razonando por el absurdo, que AC = A C . Entonces AC > A C o AC < A C .
Si AC > A C , entonces podemos determinar un punto D sobre el segmento AC de modo que AD = A C .
Como D es un punto interior de ˆB, resulta D ˆBA < ˆB, como se muestra en la figura.
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Comparando los triángulos ABD y A B C , resultan AB = A B y Â = Â por hipótesis, y AD = A C
por construcción. Luego, por el criterio LAL, ABD=cA B C .
Pero entonces A ˆBD = ˆB , lo cuál es absurdo pues ˆB = ˆB por hipótesis y A ˆBD < ˆB. El absurdo proviene
de suponer que AC = A C , con lo cual deberá ser AC = A C como quer´ıamos probar.
Si suponemos que AC < A C la demostración es análoga y se deja como ejercicio.
Problemas resueltos:
1. Un barco atraviesa un r´ıo cuyos márgenes son paralelos. El barco recorre un total de 4km en l´ınea
recta y exactamente a mitad de camino deja caer una boya con un ancla que deberá recoger otro barco.
El segundo barco sale desde la misma orilla y de un punto a 5km del punto de partida del primero y,
navegando siempre en l´ınea recta, recoge la boya al cabo de 4km. ¿Qué distancia total recorre el segundo
barco al atravesar el r´ıo? ¿A qué distancia del primer barco llega el segundo barco a la otra orilla?
Para resolver el problema, comenzamos analizando bien los datos que nos proporciona y realizamos un
dibujo de la situación. El r´ıo corre entre dos márgenes paralelos, que modelizaremos con dos rectas
paralelas que llamamos r y s. Denotemos por A y B el punto de partida y de llegada del primer barco
respectivamente. El barco deja caer la boya en un punto, que denotamos con O, exáctamente a mitad de
camino. En nuestra modelización matemática, esto quiere decir que O es el punto medio del segmento
AB. Sabemos que el barco recorre una distancia total de 4km, o sea que AB = 4km y entonces
AO = OB = 2km.
El segundo barco sale de un punto C de la orilla r. Este punto está a 5km del punto de partida del primer
barco, lo que quiere decir que AC = 5km. El segundo barco se mueve siempre en l´ınea recta, pasando
por O. Llega al margen s del r´ıo en un punto que denotamos por D. Como se mueve siempre en l´ınea
recta, O ∈ CD. Por último, el barco recoge la boya, que se encuentra en el punto O, al cabo de 4km, lo
que nos indica que CO = 4km. Podemos finalmente realizar el dibujo completo de la situación.
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Ya hemos modelizado el problema, para resolverlo debemos trabajar con las herramientas matemáticas
que disponemos, y al final interpretar los resultados que obtengamos en función de lo que cada uno de
los objetos geométricos que tenemos representan en la situación real.
El problema nos pide averiguar la distancia total que recorre el segundo barco, que en nuestro modelo
viene dada por la longitud del segmento CD. También debemos obtener la distancia entre los puntos de
llegada de ambos barcos, que en nuestro modelo está representada por la longitud del segmento BD.
Observemos que las restas r y s son paralelas, y por lo tanto ˆCAO = ÔBD por ser alternos internos entre
r y s cortadas por
←→
AB. Por otro lado, ÂOC = ˆBOD por ser opuestos por el vértice y AO = OB = 2km
por hipótesis.
Concluimos que los triángulos AOC y BOD tienen un lado y los ángulos adyacentes a él respectivamente
congruentes. Por el criterio ALA resultan congruentes.
Los lados homólogos son AO y BO, OC y OD y AC y BD. Esto implica que OD = OC y AC = BD.
Concluimos que OD = 4km y BD = 5km. Luego el segundo barco recorre un total de 8km (longitud de
CD) y llega a un punto a 5km del primer barco (longitud de BD).
2. Sea ABCD un cuadrilátero tal que BD está contenido en la bisectriz de los ángulos ˆB y ˆD. Demostrar
que AB = BC y AD = CD es un romboide.
Este problema es completamente teórico. Comenzamos analizando los datos: tenemos un cuadrilátero
ABCD de modo que su diagonal es bisectriz de ˆB y ˆD. Luego ÂBD = ˆCBD y ÂDB = ˆCDB.
Comparando los triángulos ABD y CBD se tiene ÂBD = ˆCBD, ÂDB = ˆCDB y BD es un lado común
a ambos. Luego, por el criterio ALA ambos triángulos resultan congruentes, y en particular AB = BC y
AD = DC.
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Teorema 3. CRITERIO LLL Si dos triángulos tienen
tres pares de lados homólogos congruentes, entonces
los triángulos son congruentes.
En el dibujo:
AB = A B , AC = A C y BC = B C ⇒ ABC=cA B C .
Demostración:
Sean ABC y A B C dos triángulos tales que AB = A B , AC = A C y BC = B C . Constuiremos un
tercer triángulo que, utilizando criterios distintos, resultará congruente con ambos, lo que implicará que los
triángulos originales son congruentes.
Consideremos un punto D en el semiplano semp←→
AB
(¬C) de modo que ˆBAD = ˆB A C y AD = A C
(¿por qué es esto posible?).
Comparando los triángulos BAD y B A C tenemos AB = A B por hipótesis, y Â = ˆBAD y AD =
A C por construcción. Consideremos la correspondencia s : {A , B , C } → {A, B, D} tal que s(A ) = A,
s(B ) = B, s(C ) = D. Entonces dos pares de lados homólogos para esta correspondencia son congruentes,
y los ángulos comprendidos entre ellos en cada triángulo son congruentes entre s´ı. Luego por el criterio LAL
resulta BAD=cB A C . En particular, como BD y B C son lados homólogos, BD = B C . Por hipótesis,
B C = BC de donde resulta
BD = BC.
Ahora bien, como C y D son puntos en distintos semiplanos de los determinados por
←→
AB, resulta
←→
AB∩CD =
{E}. Existen esencialmente tres opciones: E está entre A y B, E = A o A está entre E y B (en realidad
también podr´ıa ocurrir que E = B o que B está entre A y E, pero estos casos son completamente análogos a
los dos últimos anteriores).
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Demostraremos el teorema para el caso en que E esté entre A y B y dejamos los otros dos como ejercicio. En
este caso, E es un punto interior del ángulo ˆC y del ángulo ˆD, por lo tanto resultan
ˆC = ÂCE + ÊCB y ˆD = ÂDE + ÊDB (1)
Pero AC = AD y por lo tanto ACD es isósceles. Luego ÂCE = ÂDE. Pero también CBD es isósceles, pues
CB = DB. Luego ÊCB = ÊDB. Reemplazando en (1) resulta ˆC = ˆD.
Por lo tanto, si comparamos los triángulos ACB y ADB tenemos AC = AD, CB = DB y ˆC = ˆD.
Por el criterio LAL ABC y ABD son congruentes, y como ABD es congruente con A B C , resulta que
ABC=cA B C .
Utilizaremos los criterios de congruencia para obtener algunas propiedades importantes de los cuadritaleros.
Antes de continuar definiremos los distintos cuadriláteros en función de las propiedades que tienen.
Definiciones:
En un cuadrilátero ABCD, los lados AB y CD, y BC y DA se denominan lados opuestos. Un cuadrilátero
ABCD se denomina:
• cuadrado si sus cuatro lados son congruentes entre s´ı y sus cuatro ángulos son rectos.
• rectángulo si sus cuatro ángulos son rectos.
• paralelogramo si los pares de lados opuestos son paralelos.
• rombo si los cuatro lados son congruentes entre s´ı.
• romboide si AB = BC y CD = DA.
• trapecio si tiene un par de lados opuestos paralelos.
Problemas resueltos
1. Probar que en un rombo los ángulos opuestos son congruentes.
Consideremos un rombo ABCD. Entonces AB = BC = CD = DA. Tracemos la diagonal AC.
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Comparando los triángulos ABC y CDA resultan AB = AD y BC = CD por hipótesis, y AC es lado
común. Consideremos la correspondencia s : {A, B, C} → {C, D, A} tal que s(A) = C, s(B) = D y
s(C) = A. Luego por el criterio LLL resulta ABC=cCDA. Como ˆB y ˆD son ángulos homólogos resulta
ˆB = ˆD. Los otros pares de ángulos homólogos son ˆCAB y ˆDCA, y ˆBCA y ˆDAC. Luego
Â = ˆCAB + ˆDAC = ˆDCA + ˆBCA = ˆC.
2. Probar que un cuadrilátero es un paralelogramo si y sólo si los dos pares de lados opuestos son congruentes.
⇐) Consideremos un cuadrilátero ABCD tal que AB = CD y BC = AD, como en la figura.
Si trazamos la diagonal BD y comparamos los triángulos ABD y CDB tenemos AB = CD y BC = AD
por hipótesis, y BD es un lado común a ambos triángulos. Luego por el criterio LLL, ABD=cCDB para
la correspondencia s : {A, B, D} → {C, D, B} tal que s(A) = C, s(B) = D y s(D) = B. Los ángulos
homólogos son Â y ˆC, ÂBD y ˆCDB, y ÂDB y ˆCBD.
En particular resulta ÂBD =c
ˆCDB. Pero estos ángulos son alternos internos entre las rectas
←→
AB y
←→
DC,
cortados por la transversal
←→
BD. Como los ángulos son congruentes, resulta
←→
AB ||
←→
DC.
También tenemos ÂDB =c
ˆCBD, y estos ángulos son alternos internos congruentes entre las rectas
←→
AD
y
←→
BC cortadas por la transversal
←→
BD. Luego
←→
AD ||
←→
BC y por lo tanto ABCD es un paralelogramo.
⇒) Supongamos ahora que ABCD es un paralelogramo con
←→
AB ||
←→
DC y
←→
AD ||
←→
BC.
Si trazamos la diagonal BD, tenemos que los ángulos ÂBD y ˆCDB resultan congruentes por ser alternos
internos entre las paralelas
←→
AB ||
←→
DC cortadas por
←→
BD. De la misma manera, los ángulos ÂDB y ˆCBD
son congruentes (¿por qué?).
Comparando los triángulos ABD y CDB resultan ÂBD = ˆCDB, ÂDB = ˆCBD y BD es un lado
común. Luego ambos triángulos son congruentes, con la correspondencia dada por s(A) = C, s(B) = D
y s(D) = B. Como AB y CD, y AD y CB son pares de lados homólogos, resultan congruentes como
quer´ıamos probar.
Observemos que hemos probado además que Â = ˆC y ˆB = ˆD. O sea, en todo paralelogramo los ángulos
opuestos son congruentes.
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Teorema 4. Criterio LLA Si dos triángulos tienen
dos pares de lados homólogos congruentes, y los ángu-
los opuestos al mayor de los lados son congruentes,
entonces los triángulos son congruentes.
En el dibujo: AB > AC,
AB = A B , AC = A C y ˆC = ˆC ⇒ ABC=cA B C .
Demostración:
Sean ABC y A B C dos triángulos tales que AB = A B , AC = A C , AB > AC y ˆC = ˆC .
Para probar la congruencia de los triángulos, bastará mostrar que BC = B C . El teorema entonces sigue
del criterio LAL o del criterio LLL.
Para ello razonaremos por el absurdo. Supongamos que fuese BC = B C , entonces BC > B C o BC <
B C . Supongamos primero que BC > B C , Podemos entonces encontrar un punto D ∈ BC tal que CD =
C B , como en la figura
Los triángulos ADC y A B C resultan congruentes pues AC = A C y ˆC = ˆC por hipótesis, y CD = C B
por construcción.
Luego AD = A B . Pero A B = AB por hipótesis, de donde resulta que ADB es un triángulo isósceles. Por
el Pons Asinorum, resulta ˆB = ˆBDA. Pero por ser un ángulo exterior a ÂDC resulta ˆBDA = ˆC + ˆDAC > ˆC.
O sea que ˆB > ˆC lo que es absurdo, pues AB > AC y a mayor lado debe oponerse mayor ángulo.
En esta sección hemos presentado varias aplicaciones de los criterios de congruencia de triángulos. Muchas
de ellas han servido para estudiar propiedades importantes de los cuadriláteros. Proponemos como ejercicio
que prueben algunas más. Estas propiedades deben recordarse ya que pueden ser útiles para resolver muchos
problemas. Los ejercicios que presentan propiedades teóricas importantes estarán marcados con un asterisco (∗).
En las distintas secciones que componen esta unidad estudiaremos muchas otras aplicaciones de estos
criterios.
Finalizamos esta sección introduciendo el concepto de congruencia de pol´ıgonos.
Definiciones:
Sean A1A2 · · · An y A1A2 · · · An dos pol´ıgonos de n lados y sea
s : {A1, A2, · · · , An} → {A1, A2, · · · , An}
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una aplicación que a cada vértice del primer pol´ıgono le hace corresponder un único vértice del segundo, de
modo que a vértices distintos de uno le corresponden vértices distintos del otro. Entonces los pares de lados
AiAi+1y s(Ai)s(Ai+1), i = 1, · · · , n − 1, y AnA1 y s(A1)s(An)
se denominan pares de lados homólogos para la correspondencia s. Los ángulos Âi y ˆs(Ai), i = 1, · · · , n se
denominan pares de ángulos homólogos para la correspondencia s.
Decimos que los pol´ıgonos son congruentes si existe una correspondencia entre sus vértices de modo que
los pares de lados homólogos y los pares de ángulos homólogos son congruentes entre s´ı.
En los ejercicios analizaremos si existen criterios de congruencia de pol´ıgonos.
1.
En la figura,
←→
BD es la bisectriz de ÂBC y ÂDC.
Demostrar que BAD=cBCD.
2.
En la figura AB = AC, D es el punto medio de AB, E es el punto medio de
AC, D, F, C y E, F, B son puntos alineados.
Demostrar que ABE=cACD y DBF=cEFC.
3. En la siguiente figura, AD = CF, Â = ˆF,
←→
BC//
←→
DE y A, C D y F están alineados. Demostrar que
←→
AB//
←→
EF y que AB = EF.
4.
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En la figura, B ∈ AC, {X} = AE ∩ BF ∩ CT, F ∈ TE y
ˆC = ˆCBX,
BX = TX = FX
Probar que AC = TE.
5. En un triángulo ABC se tiene AB = BC. Sea X un punto en el semiplano que define
←→
AB que no contiene
a C, tal que ABX es equilátero. Sea M un punto en el semiplano que define
←→
BC que no contiene al
punto A y tal que BMC es equilátero. Demostrar que AM = CX.
6. ∗ Sea ABCD un cuadrilátero. Demostrar que las siguientes afirmaciones son equivalentes:
a) ABCD es un paralelogramo, es decir, tiene dos pares de lados opuestos paralelos.
b) Los lados opuestos de ABCD son congruentes.
c) Los ángulos opuestos de ABCD son congruentes.
d) Un par de lados opuestos son congruentes y paralelos.
e) Las diagonales AC y BD se bisecan, es decir, se intersecan en su punto medio.
7. ∗ Demostrar que un paralelogramo con un ángulo recto es un rectángulo.
8. ∗ Demostrar que un paralelogramo es un rectángulo si y sólo si sus diagonales son congruentes.
9. ∗ Demostrar que un cuadrilátero es un romboide si y sólo si sus diagonales se cortan perpendicularmente
en el punto medio de una de ellas.
10. Determinar si las siguientes afirmaciones son verdaderas o falsas justificando adecuadamente la respuesta.
a) Dos cuadrados con un lado en común son congruentes.
b) Dos rectángulos con un lado en común son congruentes.
c) Si dos rectángulos tienen un lado y una de las diagonales respectivamente congruentes entonces son
congruentes.
d) Si dos rombos tienen un par de lados homólogos congruentes entonces son congruentes.
e) Si dos paralelogramos tienen sus cuatro pares de lados homólogos congruentes, entonces son con-
gruentes.
11. Sean A el conjunto de todos los cuadrados de un plano, B el conjunto de todos los rectángulos, C el
conjunto de todos los rombos y D el conjunto de todos los paralelogramos del plano. Graficar todos
los conjuntos utilizando diagramas de Venn donde se evidencien las distintas relaciones de contención e
intersección entre ellos.
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12. Demostrar que la congruencia de pol´ıgonos define una relación de equivalencia. Esto es:
es reflexiva: todo pol´ıgono es congruente a s´ı mismo;
es simétrica: si un pol´ıgono P es congruente a un pol´ıgono P , entonces P es congruente con P.
es transitiva: si un pol´ıgono P es congruente a un pol´ıgono P , y P es congruente a P , entonces
P es congruente a P .
13. En la siguiente figura, {H} = EC ∩ AD, {F} = EB ∩ AD, {G} = BD ∩ EC, EB ⊥ AB, DB ⊥ BC,
Ê = ˆD, AB = BC.
a) Probar que Â = ˆC y AD = CE.
b) Probar que BGHF es un romboide.
14. Probar que las bisectrices de dos ángulos interiores y consecutivos de un paralelogramos son perpendicu-
lares.
15. Demostrar que un cuadrilátero es un rombo si y sólo si las diagonales se cortan perpendicularmente en su
punto medio.
3. Área de figuras planas
En esta sección determinaremos qué entendemos por el área de una figura plana. Esta es una forma de medir,
y la definiremos de manera similar a como ya hemos hecho con la longitud y la medida angular. Repasaremos por
lo tanto cuáles son las propiedades que la caracterizan en situaciones reales concretas y veremos cómo podemos
modelizarlas para crear nuestra teor´ıa matemática.
Supongamos que queremos pintar un paredón de 12m de largo por 3m de alto. Necesitamos saber cuántos
litros de pintura debemos comprar, para que no sobre demasiado pero que tampoco falte. Una forma de hacerlo
ser´ıa comprar una lata, ver hasta cuánto nos dura, cuando se termina comprar otra y as´ı sucesivamente hasta
terminar la pared. Sin embargo, nos interesa mantener un registro más preciso que nos permita preveer la
cantidad de pintura a utilizar no sólo en este caso, si no cada vez que debamos pintar otra pared.
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Una forma posible de proceder es la siguiente. Pintamos un cuadrado de un metro de largo por un metro
de alto en la pared, y vemos cuántos litros de pintura necesitamos para esto. Supongamos que hacen falta 0, 2
litros de pintura para pintar este cuadrado. Ahora cubrimos la pared con cuadrados congruentes a éste de modo
de no dejar espacios descubiertos pero que dos de estos cuadrados coincidan en a lo sumo un lado, o sea, los
colocamos sin superponerlos. Llegaremos a la conclusión que necesitamos 36 cuadrados para cubrir la pared, y
por lo tanto necesitaremos 7, 2 litros de pintura.
Si ahora debemos pintar una pared de 2m por 2m, podremos cubrirla con 4 cuadrados de 1m por 1m y
necesitaremos 0, 8 litros.
Se hace evidente que este cuadrado sirve para medir, de la misma manera que un segmento fijo nos serv´ıa
como unidad para a partir de él determinar la longitud de cualquier otro segmento. Esta nueva forma de medir
se denominará área.
La medida del cuadrado que tomamos en el ejemplo es irrelevante, en realidad el cuadrado constituye una
unidad en s´ı mismo. Por ejemplo, si conocemos un cuadrado como el de la figura, y decimos que él tiene un
área de una unidad, ¿qué área tendrán las siguientes figuras?
También es claro que si partimos el rectángulo en dos triángulos congruentes, el área del cada triángulo será
la mitad de la del rectángulo.
Básicamente, determinar el área de una figura plana consistirá en ver cuántas veces entra un cuadrado, que
denominamos unidad, en la figura plana.
Antes de determinar el resultado que nos permita definir correctamente el área, observemos que debe
cumplirse además un principio básico: si una figura se corta en un número cualquiera de piezas que se reacomodan
en su totalidad, como un rompecabezas, para formar una nueva figura, el área de ésta es la misma que el área
de la primera. Lo vemos en el siguiente ejemplo:
76

Comenzamos dando algunas definiciones.
Definiciones:
• Dada una figura plana F, decimos que una colección de pol´ıgonos {F1, F2, · · · , Fn} es una subdivisión
de F si F es la unión de todos ellos, y dos cualesquira de ellos no tienen puntos interiores en común, es decir,
si se intersecan, lo hacen en puntos de sus lados.
• Una figura plana se denomina simple si admite una subdivisión en pol´ıgonos.
El siguiente resultado garantiza que existe una función de área que cumple las propiedades que buscamos.
Su demostración escapa los objetivos de este curso y por lo tanto no la haremos. El lector interesado puede
consultarla en Elementary geometry from an advanced standpoint, Edwin E. Moise, Editorial Adisson-Wesley
Teorema 5. Supongamos que tenemos dada una medida de longitud l en un plano. Existe una única
función A, que denominamos área que a cada figura plana F ∈ F le asigna un número real positivo que
verifica:
1. Si C es un cuadrado de lado de longitud a, entonces A(C) = a2
2. Si F y F son pol´ıgonos congruentes, entonces A(F) = A(F ).
3. Si {F1, F2, · · · , Fn} es una subdivisión de una figura plana F, entonces
A(F) = A(F1) + A(F2) + · · · + A(Fn).
Las dos últimas propiedades implican que si dos figuras planas admiten subdivisiones formadas por pol´ıgonos
congruentes, entonces tienen igual área. Esta es la propiedad de “rearmar un rompecabezas” de modo que el
área se conserva. En la figura del inicio de la página anterior, vemos por ejemplo que el área del paralelogramo
inicial es igual al área del rectángulo final.
El cuadrado C cuyo lado tiene longitud igual a 1 se denomina cuadrado unidad o unidad de área.
As´ı, si tomamos el cuadrado C de la figura como unidad, el rectángulo que se muestra tiene un área de doce
unidades, mientras que si tomamos el cuadrado C , el rectángulo tendrá un área de tres unidades. Obviamente
estas funciones de áreas que tienen distintos cuadrados como unidad de área provienen de distintas funciones
de longitud (cada una de ellas toma el lado del correspondiente cuadrado como segmento unidad).
77

Las unidades de área asociadas a las distintas unidades de longitud tienen nombres particulares. Por ejemplo
si tomamos el metro como unidad de longitud, una unidad de área será un cuadrado de un metro de lado.
Este cuadrado tiene obviamente área 1 para la función de área asociada al metro. Para hacer más evidente esta
relación, decimos que el cuadrado tiene área de un metro cuadrado, que denotamos 1m2.
De la misma manera, si tomamos como unidad de área un cuadrado de un cent´ımetro de lado, su área es 1,
pero para evidenciar que la función de área que utilizamos está asociada al cent´ımetro como unidad de longitud,
decimos que es un cent´ımetro cuadrado, y lo denotamos 1cm2. Podemos hacer lo mismo con cualquier unidad
de longitud.
Calcularemos ahora el área de triángulos y cuadriláteros. No existe en general una fórmula para el área de
un pol´ıgono o una figura plana arbitraria, pero utilizando el “principio del rompecabezas” podremos calcularla
a partir de las anteriores.
De ahora en más supondremos que estamos trabajando con una unidad de longitud fija, y la unidad de
área es la asociada a esta unidad de longitud, sin importar cuál sea esta. Comenzamos calculando el área del
rectángulo:
Teorema 6. El área de un rectángulo de lados de longitudes a y b es ab.
Demostración:
Consideremos un ractángulo R de lados a y b, y construyamos un cuadrado C de lado a + b como en la
figura.
Si llamamos R2 al otro rectángulo de lados b y a, C1 al cuadrado de lado a y C2 al cuadrado de lado b,
tenemos que {R, R2, C1, C2} es una subdivisión de C, y por lo tanto
A(C) = A(R) + A(R2) + A(C1) + A(C2). (2)
Ahora bien, R y R2 son rectángulos congruentes pues tienen lados de la misma longitud, y sus ángulos son
trivialmente congruentes pues son todos rectos. Luego por el Teorema 5, resulta A(R) = A(R2). También por
78

el Teorema 5, resultan A(C) = (a + b)2 = a2 + 2ab + b2, A(C1) = a2, A(C2) = b2. Reemplazando en (2)
tenemos:
a2
+ 2ab + b2
= 2A(R) + a2
+ b2
⇒ A(R) = ab
como quer´ıamos probar.
Determinaremos ahora la fórmula para el área de un triángulo.
Definiciones:
• Sea ABC un triángulo. Trazamos la única recta perpendicular al lado AB que pasa por C. Esta recta
corta a
←→
AB en un punto D, denominado pie de la perpendicular. Se denomina altura de ABC recpecto de
la base AB al segmento DC y a su medida. A su medida generalmente se la denota por la letra h.
Si repetimos este procedimiento determinamos de manera análoga las alturas de ABC respecto de las bases
BC y AC. Por lo tanto todo triángulo tiene tres alturas.
Teorema 7. El área de un triángulo es la mitad del producto de la medida de cualquiera de sus bases por
la altura correspondiente. Solemos escribir:
A(ABC) =
bh
2
Demostración:
Tomaremos como base el lado AB. Debemos analizar tres casos como se muestra en la figura anterior: que
el pie D de la perpendicular a
←→
AB por C coincida con A, que esté entre A y B, o que no pertenezca a AB.
En el primer caso, ABC es un triángulo rectángulo, pues como D = A resulta AC ⊥ AB. Trazamos por
C una paralela a AB y por B una paralela a AC que se cortan en un punto E. Entonces no es dif´ıcil ver que
el cuadrilátero ABEC determinado es un rectángulo (¡probarlo!).
79

Si comparamos los triángulos ABC y CEB, ambos triángulos tienen, por construcción, lados de la misma
longitud. Por el criterio LLL resultan congruentes, y por el Teorema 5 tendrán entonces la misma área.
Por otro lado, {ABC, CEB} es una subdivisión del rectángulo ABEC. Por lo tanto resulta:
AB · AC = A(ABEC) = A(ABC) + A(CEB) = 2A(ABC) ⇒ A(ABC) =
1
2
AB · AC.
Analicemos ahora el caso en que D está entre A y B. En este caso, ADC y BDC son triángulos rectángulos
en D y por lo tanto A(ADC) = 1
2AD · h y A(BDC) = 1
2DB · h. Además {ADC, BDC} es una subdivisión
de ABC y por lo tanto
A(ABC) = A(ADC) + A(BDC) =
1
2
AD · h +
1
2
DB · h =
1
2
(AD + DB) · h =
AB · h
2
Analicemos finalmente el caso en que D /∈ AB. Si consideremos el triángulo rectángulo BDC, tenemos que
{ADC, ABC} es una subdivisión de BDC y por lo tanto
1
2
DB · h = A(BDC) = A(ADC) + A(ABC) =
1
2
DA · h + A(ABC)
de donde obtenemos que
A(ABC) =
1
2
DB · h −
1
2
DA · h =
1
2
AB · h
Definiciones:
• Dado un paralelogramo, se denomina altura del paralelogramo respecto de uno de sus lados, a la medida
de la altura del triángulo cuyos vértices son los vértices del lado dado y uno de los vértices del lado opuesto.
Cada uno de los lados se denomina también una base del paralelogramo.
Siguiendo la definición anterior, fijada una base del paralelogramo, a esta base le corresponden dos alturas,
dependiendo de cuál de los vértices del lado opuesto consideremos. Para que la definición tenga sentido, debemos
probar que ambas alturas son congruentes.
Sea ABCD un paralelogramo, consideremos la base DC y sean E y F los pies de las perpendiculares a
←→
DC por A y B respectivamente.
80

Observemos que al ser
←→
DC paralela a
←→
AB resultan AB ⊥ AE y AB ⊥ BF. Por lo tanto esl cuadrilátero EFBA
es un rectángulo, de donde AE = BF.
Teorema 8. El área de un paralelogramo es el producto de la medida de una base por la altura correspon-
diente.
Demostración:
Consideremos un paralelogramos ABCD y sea E el pie de la perpendicular a
←→
CD por A.
Tracemos la diagonal AC de ABCD. Entonces por el criterio LLL los triángulos ABC y CDA resultan
congruentes, y por lo tanto tienen el mismo área. Además el conjunto formado por ellos dos constituye una
subdivisión del paralelogramo. Pero la altura AE del paralelogramo es también altura del triángulo CDA y por
lo tanto
A(ABCD) = 2A(CDA) = 2 ·
CD · AE
2
= CD · AE
Definiciones:
• Dado un trapecio, los lados paralelos se denominan bases del trapecio. La base de mayor longitud se
denomina base mayor y su longitud se denota B y la de menor longitud base menor y su longitud se denota
como b.
• Se denomina altura del trapecio respecto de una de sus bases, a la medida de la altura del triángulo cuyos
vértices son los vértices de la base y uno de los vértices de la base opuesta.
Dejamos como ejercicio la prueba de los siguiente teoremas, con las figuras como gu´ıa:
Teorema 9. El área de un trapecio T de bases B y b y altura h es
A(T) =
(B + b) · h
2
Definiciones:
• Dado un rombo o un romboide, la diagonal de mayor longitud se denomina diagonal mayor y su longitud
se denota D. La diagonal de menor longitud se denota diagonal menor y su longitud se denota d.
81

Teorema 10. El área de un rombo o un romboide R de diagonales D y d es
A(R) =
D · d
2
Problemas resueltos
1. Una pileta tiene un área total de 340m2 y está formada por un rectángulo para los adultos y un trapecio
para los niños como en la figura. ¿Cuál es el área de cada zona de la pileta? ¿Cuál es la longitud de la
pileta para adultos?
Denotemos por A la pileta para adultos y por N la pileta para niños. N es un trapecio de base mayor de
longitud 15m, base menor de 5m y altura 4m. Por lo tanto
A(N) =
(15 + 5) · 4
2
m2
= 40m2
.
Por otra parte, si denotamos por P a la pileta completa, tenemos A(P) = A(A) + A(N), de donde
340m2 − 40m2 = A(A).
Luego el área del sector para adultos es de 300m2 y el del sector para niños es de 40m2.
Responderemos ahora a la segunda pregunta. Denotemos por l la longitud del lado de la pileta para
adultos. Entonces A(A) = l · 15 = 300, de donde l = 20m.
2. Sea ABCD un rectángulo de área 8cm2. Sean E y F los puntos medios de los lados BC y CD respec-
tivamente. ¿Cuál es el área de AEF?
82

Supongamos que los lados del rectángulo miden AD = a y AB = b. Entonces ab = A(ABCD) = 8. Por
otra parte,
A(AEF) = A(ABCD) − A(FCE) − A(ABE) − A(ADF).
Por otra parte, EB = a
2 , FC = FD = b
2. Luego A(ECF) =
a
2
b
2
2 = ab
8 , A(ABE) =
a
2
b
2 = ab
4 y
A(ADF) =
a b
2
2 = ab
4 .
Por lo tanto,
A(AEF) = ab −
ab
8
−
ab
4
−
ab
4
=
3
8
ab =
3
8
8 = 3.
3. Sea ABCD un cuadrilátero convexo de área 10cm2 y sea E el punto medio de la diagonal AC. Calcular
el área de ABED.
Observemos que el área del cuadrilátero ABCD se obtiene como la suma de las áreas de los triángulos
ACD y ACB. Denotemos por a y a las alturas respectivas de estos triángulos respecto del lado común
AC. Tenemos entonces:
10 = A(ABCD) = A(ACD) + A(ACB) =
AC · a
2
+
AC · a
2
=
AC · (a + a )
2
Por otra parte, A(ABED) = A(AED) + A(AEB). Observemos que estos dos triángulos tienen alturas
a y a respectivamente respecto del lado común AE. Como además AE = 1
2AC, se tiene:
A(ABED) = A(AED) + A(AEB) =
AE · a
2
+
AE · a
2
=
AE · (a + a )
2
=
1
2
AC · (a + a )
2
= 5
1. Calcular en cada caso el área de la figura sombreada expresándola en cm2, en dm2 y en m2, si a = 8cm,
b = 1dm y c = 0, 05m.
83

2. Una hectárea es el área de un cuadrado de 100m de lado, y de denota 1ha. En un campo rectangular
de 250ha está atravesado diagonalmente por un r´ıo. De un lado del r´ıo, se siembra 2/5 del terreno con
ma´ız. Del otro margen del r´ıo, se siembra una tercera parte del terreno con girasol. El resto se detina al
pastoreo.
a) ¿Cuántas hectáreas se destinan al pastoreo?
b) Si se cosechan 335040kg de ma´ız, ¿Cuál es el rendimiento promedio por hectárea?
3. Para embaldosar un patio rectangular de 12m por 6m con baldosas cuadradas pueden utilizarse baldosas
de 30cm de lado a $15 el metro cuadrado, o baldosas de 35cm de lado a $14, 50 el metro cuadrado. ¿Cuál
de las dos opciones es más barata?
4. Sean r y s dos rectas paralelas distintas. Sean A y B dos puntos distintos sobre r y C y D dos puntos
distintos sobre s. Demostrar que A(ABC) = A(ABD).
5. Sea ABC un triángulo escaleno de área 7. Se construye el triángulo XY Z de la siguiente manera: X es el
punto de la semirrecta
−−→
AB tal que AX = 2AB; Y es el punto de la semirrecta
−−→
BC tal que BY = 3BC;
Z es el punto en la semirrecta
−→
CA tal que CZ = 4CA. Hallar el rea del tringulo XY Z.
6. Dado un triángulo ABC, sea D el punto medio del lado AB. Determinar el área de ADC en función de
A(ABC).
7. Demostrar que las alturas correspondientes a los lados congruentes de un triángulo isósceles son con-
gruentes entre s´ı.
8. Sea ABCD un paralelogramo y sea P un punto cualquiera del lado CD. Probar que A(ABP) =
1
2A(ABCD).
9. Sea ABCD un cuadrilátero convexo de área 10cm2. Sean E y F los puntos medios de los lados AB y
BC respectivamente. Calcular el área de EBFD.
10. Sea ABCD un cuadrilátero de área 20cm2. Determinar el área sombreada en la figura correspondiente
si:
a) ABCD es convexo, E, F, G y H son los puntos medios de los lados.
b) ABCD es un rectángulo y E y F son los puntos medios de los lados AB y CD respectivamente.
84

11. Demostrar las fórmulas para calcular el área de un trapecio y de un romboide.
12. En el plano hay dibujado un rectángulo y tres hormigas están paradas en tres de sus vértices (una en cada
vértice). Las hormigas se mueven por turnos. En cada turno, una hormiga se mueve por el plano y las
otras dos se quedan quietas. La hormiga que se mueve camina siguiendo la l´ınea recta que es paralela a la
l´ınea determinada por las dos hormigas que están quietas en ese turno. Es posible que, después de algunos
turnos, las tres hormigas se encuentren ubicadas en los puntos medios de tres lados del rectángulo?
Aclaración: La distancia que recorre una hormiga en cada turno puede ser variable.
4. El Teorema de Pitágoras
El Teorema de Pitágoras constituye uno de los resultados más famosos de la matemática. Coloquialmente,
establece que “en todo triángulo rectángulo, el cuadrado de la hipotenusa es la suma de los cuadrados de
los catetos”. Es además el teorema del que más demostraciones se han publicado (en el libro Pythagorean
Proposition, de Elisha Scott Loomis, aparecen 377 demostraciones).
A pesar de que el resultado se atribuye a Pitágoras de Samos, era ya conocido anteriormente al menos
por los egipcios que lo utilizaban constantemente para realizar mediciones. Es un ejemplo perfecto del salto
cualitativo que realizaron los griegos en matemática: comienzan a demostrarse rigurosamente resultados que
hasta el momento se conoc´ıan emp´ıricamente. Pitágoras de Samos fue un matemático que fundó una escuela
m´ıstica en Crotona, actualmente en el sur de Italia. Se cree que estudió con Thales de Mileto y viajó por Egipto
y Babilonia antes de fundar su hermandad. En general se habla de los pitagóricos, y los resultados que se
atribuyen a Pitágoras deben atribuirse a los miembros de su grupo, fundado en 585 a.C. y que perduró hasta
aproximadamente el 400 a.C.
Por los desarrollos de la lógica en tiempos de Pitágoras es poco probable que él mismo haya dado una
demostración del teorema que lleva su nombre, aunque es probable que los pitagóricos lo demostraran hacia el
final del per´ıodo en que estuvo activa la escuela.
La importancia de los pitagóricos es que fueron los primeros en insistir que el mundo pod´ıa describirse
perfectamente por medio de la matemática, y que las ideas matemáticas eran eso, ideas, y que sus realizaciones
f´ısicas no eran más que modelos de esas ideas (para los egipcios, por ejemplo, una recta no era más que una
cuerda tendida).
La historia de la hermandad pitagórica es de las más interesantes y misteriosas de la historia de la matemática,
probablemente porque sabemos muy poco de ellos lo que da lugar a muchas especulaciones sobre el caracter
m´ıstico de la misma. Para más detalles sobre este y otros temas recomendamos los libros El pensamiento
matemático de la antiguedad a nuestros d´ıas, de Morris Kline, o Historia de las matemáticas de Ian Stewart.
Una buena descripción de cómo funcionaba el ritual de la hermandad pitagórica aparece en la novela El teorema
del loro, de Denis Guedj, y un recuento de la historia matemática relacionada con el teorema de Fermat, y que
incluye una muy linda descripción de la visión numérica que los pitagóricos ten´ıan del mundo, puede encontrarse
en el libro El último teorema de Fermat, de Simon Singh.
Dedicaremos esta sección a dar una de las tantas demostraciones del Teorema de Pitágoras, utilizando el
área de figuras planas como herramienta. Demostraremos además su rec´ıproco, menos famoso pero igualmente
85

útil.
Teorema 11. Teorema de Pitágoras. En todo triángulo rectángulo, la suma de los cuadrados de los catetos
es igual al cuadrado de la hipotenusa.
Demostración:
Sea ABC un triángulo de catetos a y b e hipotenusa c. Construimos un cuadrado de lado a + b de modo
que el vértice del ángulo recto C de ABC sea uno de los vértices del cuadrado y los vértices A y B estén sobre
los lados del cuadrado. Sean D, E y F los otros vértices del cuadrado tal que B está entre C y D y A está
entre C y F, como se muestra en la siguiente figura.
Por construcción CB = a y por lo tanto BD = b, y CA = b y por lo tanto AF = a. Consideremos los
puntos G y H tales que G ∈ DE y DG = a, H ∈ FE y FH = b. En consecuencia GE = b y HE = a.
Comparando los triángulos , ACB, BDG, GEH y HFA, todos resultan congruentes entre s´ı pues todos
tienen un ángulo recto comprendido entre dos lados de medidas a y b (criterio LAL). Por lo tanto se tiene
AB = BG = GH = HA = c.
Además, el área de todos ellos es igual al área de ACB que a su vez es
A(ACB) =
ab
2
.
Por otra parte, estos cuato triángulos junto con el cuadrilátero ABGH constituyen una subdivisión de CDEF.
Por lo tanto:
(a + b)2
= A(CDEF) = 4A(ACB) + A(ABGH) = 2ab + A(ABGH). (3)
Demostraremos ABGH que es un cuadrado. Observemos que ABGH es un paralelogramo pues tiene los
dos pares de lados opuestos congruentes. Nos bastará probar que tiene al menos un ángulo recto (¿por qué?).
Observemos que ˆCAB+ ˆCBA = 1llano− ˆC = 1R. Por otra parte ˆCBA = ˆHAF y ˆCAB+ ˆBAH+ ˆHAF =
1llano, de donde
ˆBAH = 1llano − ( ˆCAB + ˆHAF) = 1R.
86

Concluimos que ABGH es un cuadrado y por lo tanto A(ABGH) = c2. Reemplazando en (3) resulta
(a + b)2
= 2ab + c2
de donde obtenemos a2 + b2 = c2 como quer´ıamos probar.
Teorema 12. Rec´ıproco del Teorema de Pitágoras. Sea ABC un tiángulo de lados a, b y c tales que
a2 + b2 = c2. Entonces ABC es rectángulo en ˆC.
Demostración:
Sea ABC un triángulo de lados a, b y c con c =
√
a2 + b2. Construyamos un triángulo A B C rectángulo
en ˆC tal que C A = b y C B = a. Si aplicamos el Teorema de Pitágoras a A B C , resulta A B =
C A 2 + C B 2 = a2 + b2 = c.
Aplicando el criterio LLL, ABC y A B C resultan congruentes y por lo tanto ABC es rectángulo en ˆC.
87

1. Determinar si los números a, b y c dados en cada caso pueden o no ser las medidas de los lados de un
triángulo rectángulo.
a) a = 50cm, b = 30cm, c = 40cm;
b) a = 9cm, b = 10cm, c = 5cm;
c) a = 15cm, b = 9cm, c = 12cm;
d) a = 13cm, b = 6cm, c = 11cm.
2. Una industria construye bastidores para colocar telas para pintura de 80cm por 60cm. Para reforzarlos se
utlizan dos barillas de pino que se colocan en las diagonales. Las barillas se obtienen cortando tirantes de
pino que miden 2, 10m de largo. ¿De cada tirante pueden obtenerse refuerzos para cuántos bastidores?
3. Sea ABC un triángulo isósceles con AB = BC.
a) Demostrar que el pie de la altura correspondiente al lado AC es el punto medio de AC.
b) Calcular el área de ABC si AC = 22cm y BC = 13.
4. Un trapecio en el cual los lados no paralelos son congruentes se denomina trapecio isósceles. Calcular el
área de un trapecio isósceles si sus lados paralelos miden 5cm y 11cm, y los lados congruentes no paralelos
miden 4cm.
5. Un trapecio isósceles tiene 63cm de per´ımetro, los lados no parelelos miden 12cm y la base mayor es igual
al doble de la base menor. Determinar su área.
6. Determinar la longitud de la altura de un triángulo equilátero de lado 2.
7. Determinar una fórmula para calcular el área de un triángulo equilátero de lado l.
8. Un cuadrado y un triángulo equilátero tienen el mismo per´ımetro, y la diagonal del cuadrado mide 1.
Calcular el área del triángulo.
9. En un cuadrado ABCD de lado 1 se inscribe un triángulo equilátero AEF. Determinar su área.
88

10. Ambos cuadriláteros de la figura son romboides y d(A, A ) = d(B, B ) = d(C, C ) = d(D, D ) = 5cm.
ABCD tiene diagonales de 25cm y 45cm. Calcular el área de la figura sombreada.
11. En la siguiente figura ambos cuadriláteros son cuadrados y todos los triángulos son isósceles. Determinar
el área de la figura sombreada si el cuadrado mayor tiene diagonales de 55dm y el per´ımetro del cuadrado
del centro es 4m.
12. En un cuadrado se traza una perpendicular a uno de los lados que pase por el punto de intersección de
las diagonales. La longitud del segmento que va desde este punto al pie de la perpendicular trazada es de
7cm. Determinar el área del cuadrado.
89

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