Unidades Angulares
- 1. Unidades angulares La trigonometría es la rama de las matemáticas que estudia las relaciones entre los ángulos y los lados de los triángulos.
- 2. El Canadarm 2, un brazo manipulador robótico gigantesco de la Estación Espacial Internacional.Este manipulador es operado controlando los ángulos de sus articulaciones.
- 3. Unidades angulares -Medida de ÁngulosLa medida de un ángulo es una magnitud que depende de la amplitud y del sentido de la rotación. Los ángulos se miden en tres sistemas de unidades: a) Sistema Sexagesimal b) Sistema Circular o Cíclico c) Sistema Centesimal Nota: Como vemos, en la medida de ángulos, y por tanto en trigonometría, se emplean tres unidades, si bien la más utilizada en la vida cotidiana es el Grado sexagesimal, en matemáticas es el Radián la más utilizada, y se define como la unidad natural para medir ángulos, el Grado centesimal se desarrolló como la unidad más próxima al sistema decimal, se usa en topografía, arquitectura o en construcción.Grado sexagesimal: unidad angular que divide una circunferencia en 360 grados.Radián: unidad angular natural en trigonometría, será la que aquí utilicemos. En una circunferencia completa hay 2π radianes. Grado centesimal: unidad angular que divide la circunferencia en 400 grados
- 4. Los dos sistemas más usados son el sistema sexagesimal y el cíclico.Sistema sexagesimalb) Sistema Cíclico* La unidad de medida en este sistema es el “grado”.Se considera a la circunferencia dividida en 360 partes iguales.Cada división de la circunferencia se llama “grado”.Cada grado se considera dividido en 60 partes iguales llamadas “minutos”.Cada minuto se divide en 60 partes iguales llamadas “segundos”.Los símbolos para estas unidades son: grado ° minuto ´ segundo ˝Ejemplo: Si un ángulo ABC mide 38 grados, 15 minutos, 12 segundos, se escribe: 38°15´12” La unidad de medida en este sistema es el “radián”.
- 5. Un radián es el ángulo cuyos lados comprenden un arco cuya longitud es igual al radio de la circunferencia.Ab = r < AOB = 1 radián Como la longitud de la circunferencia es 2π (radios), donde π = 3.141592….. Y r es el radio de la circunferencia, entonces el ángulo que subtiende un arco igual a la circunferencia es: θ = 2πr/r = 2π Por lo tanto, el ángulo de 2π radianes corresponde al ángulo giro de 360°, es decir: Una circunferencia mide 2π radianes ó 6.28 radianes Un radián = 57°17´44,8” – se obtiene de dividir 360° entre 2π
- 6. Equivalencias entre grados y radianes:Ejemplos: * 1 - Un ángulo mide 45°. Calcular su amplitud en radianes. * Entre los dos sistemas existe una relación de proporcionalidad directa.Su solución parte de: a) La organización de los datos en una tabla b) Del planteamiento de la proporción y c) Del cálculo del término desconocido a) Tabla grados 180° 45° radianes πrad X b) Se plantea la proporción180°/ πrad = 45°/X c) Se calcula el valor de X X = 45° * πrad / 180° = πrad / 4 R/ Al ángulo de 45° le corresponde πrad / 4_______________________________________________________________2 – Expresar en grados sexagesimales la amplitud de un ángulo de 5/3πrad. a) Tabla radianes πrad 5/3π grados 180° X b) Se plantea la proporciónπrad / 180° = 5/3 π / X c) Se calcula el valor de X X = 5/3πrad * 180° / πrad = 300° R/ Al ángulo de 5/3π le corresponde 300°Las dos relaciones siguientes permiten calcular, en grados, la amplitud de cualquier ángulo medido en radianes; o la amplitud en radianes, de cualquier ángulo medido en grados:
- 8. 180° = π radianes
- 9. 1° = 60´
- 10. 1´ = 60˝Ejercicios1 – Escribe el equivalente en grados del ángulo medido en radianes: a) π/2, b) π/4, c) π/3, d)7π/12, e)2π/3, f)3π/4,g) 11π/12, h)13π/12, i) 5π/4, j) 4π/32 – Escribe el equivalente en radianes de cada ángulo indicado: a) 15°, b) 30°, c)45°, d)60°, e)75°, f)285°, g) 340° , h)210°, i) 42°, j) 18°. 3 – En un sistema de coordenadas cartesianas construye los ángulos cuyas medidas se indican: a) 60°, b) -60°; c) 45°, d) -45°; e) 30°, f)-30°; g) 135°, h)-135°; i) 210°, j) -210°; k) 315°, l) -315°;m) 1035°, n) -1035°.
- 11. Operaciones con ángulosSuma y Diferencia de Ángulos:Ejemplo - Hallar la suma de los ángulos cuyas amplitudes son: 275°51´53” y 319°32´47”275°51´53”319°32´47” 594°83´100” = 595°24´40”Nota:100” = 1´ + 40” 84´ = 1° +24´ ______________________________________Multiplicación:Ejemplo – Hallar cuatro veces el ángulo cuya amplitud es: 21°25´19”21°25´19” x 4 84°100´76” = 85°41´16” * Al realizar operaciones con amplitudes de ángulos, el método es idéntico al de efectuar las cuatro operaciones con los Números Reales.
- 12. Solo que en el sistema sexagesimal es necesario tener presente que los submúltiplos del grado no son decimales.Ejercicios:1 – Calcula la suma de los siguientes ángulos:
- 13. 2 – Realiza las operaciones indicadas:
- 14. a) 45°15´30” con 30°02´10”
- 15. b) 15°10´20” con 10°08´12”
- 16. c) 75°25´10” con 30°20´10” y 05°20´30”
- 17. d) 120°50´55” con 75°30´50” y 180°30´45”
- 18. a) De 105°45´50” resta 60°15´10”
- 19. b) Resta 30°20´ de 45°50´20”
- 20. c) De 120°05´10” resta 75°20´30”
- 21. d) Resta 135°50´50” de 90°15´10”