V d-matematicas

Educación Primaria. 3º
Plan y programas de estudio, orientaciones didácticas
y sugerencias de evaluación
Para la educación integral
APRENDIZAJES
CLAVE

1. MATEMÁTICAS EN LA EDUCACIÓN BÁSICA
Las matemáticas son un conjunto de conceptos, métodos y técnicas mediante los
cuales es posible analizar fenómenos y situaciones en contextos diversos; inter-
pretar y procesar información, tanto cuantitativa como cualitativa; identificar
patrones y regularidades, así como plantear y resolver problemas. Proporcionan
un lenguaje preciso y conciso para modelar, analizar y comunicar observaciones
que se realizan en distintos campos.
Así, comprender sus conceptos fundamentales, usar y dominar sus técnicas
y métodos, y desarrollar habilidades matemáticas en la educación básica tiene el
propósito de que los estudiantes identifiquen, planteen, y resuelvan problemas, es-
tudien fenómenos y analicen situaciones y modelos en una variedad de contextos.
Además de la adquisición de un cuerpo de conocimientos lógicamente
estructurados, la actividad matemática tiene la finalidad de propiciar procesos
para desarrollar otras capacidades cognitivas, como clasificar, analizar, inferir, ge-
neralizar y abstraer, así como fortalecer el pensamiento lógico, el razonamiento
inductivo, el deductivo y el analógico.
2. PROPÓSITOS GENERALES
1. Concebir las matemáticas como una construcción social en donde se formu-
lan y argumentan hechos y procedimientos matemáticos.
2. Adquirir actitudes positivas y críticas hacia las matemáticas: desarrollar con-
fianza en sus propias capacidades y perseverancia al enfrentarse a problemas;
disposición para el trabajo colaborativo y autónomo; curiosidad e interés por
emprender procesos de búsqueda en la resolución de problemas.
3. Desarrollar habilidades que les permitan plantear y resolver problemas
usando herramientas matemáticas, tomar decisiones y enfrentar situaciones
no rutinarias.
3. PROPÓSITOS POR NIVEL EDUCATIVO
Propósitos para la educación preescolar
1. Usar el razonamiento matemático en situaciones diversas que demanden
utilizar el conteo y los primeros números.
2. Comprender las relaciones entre los datos de un problema y usar procedi-
mientos propios para resolverlos.
3. Razonar para reconocer atributos, comparar y medir la longitud de objetos
y la capacidad de recipientes, así como para reconocer el orden temporal de
diferentes sucesos y ubicar objetos en el espacio.
215

Propósitos para la educación primaria
1. Utilizar de manera flexible la estimación, el cálculo mental y el cálculo es-
crito en las operaciones con números naturales, fraccionarios y decimales.
2. Identificar y simbolizar conjuntos de cantidades que varían proporcional-
mente, y saber calcular valores faltantes y porcentajes en diversos contextos.
3. Usar e interpretar representaciones para la orientación en el espacio, para
ubicar lugares y para comunicar trayectos.
4. Conocer y usar las propiedades básicas de triángulos, cuadriláteros, polígo-
nos regulares, círculos y prismas.
5. Calcular y estimar el perímetro y el área de triángulos y cuadriláteros, y esti-
mar e interpretar medidas expresadas con distintos tipos de unidad.
6. Buscar, organizar, analizar e interpretar datos con un propósito específico,
y luego comunicar la información que resulte de este proceso.
7. Reconocer experimentos aleatorios y desarrollar una idea intuitiva de espa-
cio muestral.
Propósitos para la educación secundaria
1. Utilizar de manera flexible la estimación, el cálculo mental y el cálculo escrito
en las operaciones con números enteros, fraccionarios y decimales positivos
y negativos.
2. Perfeccionar lastécnicasparacalcularvaloresfaltantesen problemas depro-
porcionalidad y cálculo de porcentajes.
3. Resolver problemas que impliquen el uso de ecuaciones hasta de segun-
do grado.
4. Modelar situaciones de variación lineal, cuadrática y de proporcionalidad
inversa; y definir patrones mediante expresiones algebraicas.
5. Razonar deductivamente al identificar y usar las propiedades de triángulos,
cuadriláteros y polígonos regulares, y del círculo. Asimismo, a partir del análisis
216

de casos particulares, generalizar los procedimientos para calcular períme-
tros, áreas y volúmenes de diferentes figuras y cuerpos, y justificar las fór-
mulas para calcularlos.
6. Expresar e interpretar medidas con distintos tipos de unidad, y utilizar
herramientas como el teorema de Pitágoras, la semejanza y las razones
trigonométricas, para estimar y calcular longitudes.
7. Elegir la forma de organización y representación —tabular, algebraica o
gráfica— más adecuada para comunicar información matemática.
8. Conocer las medidas de tendencia central y decidir cuándo y cómo aplicarlas
en el análisis de datos y la resolución de problemas.
9. Calcular la probabilidad clásica y frecuencial de eventos simples y mutua-
mente excluyentes en experimentos aleatorios.
4. Enfoque pedagógico
En la educación básica, la resolución de problemas es tanto una meta de apren-
dizaje como un medio para aprender contenidos matemáticos y fomentar el
gusto con actitudes positivas hacia su estudio.
En el primer caso, se trata de que los estudiantes usen de manera flexible
conceptos, técnicas, métodos o contenidos en general, aprendidos previamente;
y en el segundo, los estudiantes desarrollan procedimientos de resolución que
no necesariamente les han sido enseñados con anterioridad.
En ambos casos, los estudiantes analizan, comparan y obtienen conclu-
siones con ayuda del profesor; defienden sus ideas y aprenden a escuchar a los
demás; relacionan lo que saben con nuevos conocimientos, de manera general;
y le encuentran sentido y se interesan en las actividades que el profesor les
plantea, es decir, disfrutan haciendo matemáticas.114
La autenticidad de los contextos es crucial para que la resolución de
problemas se convierta en una práctica más allá de la clase de matemáticas.
Los fenómenos de las ciencias naturales o sociales, algunas cuestiones de la
vida cotidiana y de las matemáticas mismas, así como determinadas situa-
ciones lúdicas pueden ser contextos auténticos, pues con base en ellos es
posible formular problemas significativos para los estudiantes. Una de las
condiciones para que un problema resulte significativo es que represente un
reto que el estudiante pueda hacer suyo, lo cual está relacionado con su edad
y nivel escolar.
Por lo general, la resolución de problemas en dichos contextos brinda
oportunidades para hacer trabajo colaborativo y para que los estudiantes desa-
rrollen capacidades comunicativas.
114
Sadovsky, Patricia, Enseñar matemáticas hoy. Miradas, sentidos y desafíos, México,
SEP-Libros del Zorzal, 2000.
217

La resolución de problemas se hace a lo largo de la educación básica,
aplicando contenidos y métodos pertinentes en cada nivel escolar, y tran-
sitando de planteamientos sencillos a problemas cada vez más complejos.
Esta actividad incluye la modelación de situaciones y fenómenos, la cual no
implica obtener una solución.
En todo este proceso la tarea del profesor es fundamental, pues a él le
corresponde seleccionar y adecuar los problemas que propondrá a los estudian-
tes. Es el profesor quien los organiza para el trabajo en el aula, promueve la
reflexión sobre sus hipótesis a través de preguntas y contraejemplos, y los im-
pulsa a buscar nuevas explicaciones o nuevos procedimientos. Además, debe
promover y coordinar la discusión sobre las ideas que elaboran los estudiantes
acerca de las situaciones planteadas, para que logren explicar el porqué de sus
respuestas y reflexionen acerca de su aprendizaje.
Por otra parte, el profesor debe participar en las tareas que se realizan en
el aula como fuente de información, para aclarar confusiones y vincular concep-
tos y procedimientos surgidos en los estudiantes con el lenguaje convencional
y formal de las matemáticas.
Visto así, el estudio de las matemáticas representa también un escena-
rio muy favorable para la formación ciudadana y para el fortalecimiento de la
lectura y escritura, porque privilegia la comunicación, el trabajo en equipo,
la búsqueda de acuerdos y argumentos para mostrar que un procedimiento o
resultado es correcto o incorrecto, así como la disposición de escuchar y respe-
tar las ideas de los demás y de modificar las propias.
Todo esto hace que la evaluación se convierta en un aspecto de mayor
complejidad, tanto por sus implicaciones en el proceso de estudio como por lo
que significa para la autoestima del estudiante.
Es por ello que la evaluación no debe circunscribirse a la aplicación de
exámenes en momentos fijos del curso, sino que debe ser un medio que per-
mita al profesor y al estudiante conocer las fortalezas y debilidades surgidas
en el proceso de aprendizaje. Esto se logra con la observación del profesor al
trabajo en el aula, con la recopilación de datos que le permitan proponer tareas
para apuntalar donde encuentre fallas en la construcción del conocimiento.115
En conclusión, la evaluación debe permitir mejorar los factores que intervienen
en el proceso didáctico.
Por otra parte, la transversalidad de la resolución de problemas en los pro-
gramas de matemáticas no significa que todos y cada uno de los temas deban
tratarse con esta perspectiva, pues existen contenidos cuyo aprendizaje pue-
de resultar muy complicado si se abordan a partir de situaciones problemáticas
—por ejemplo, algunas reglas de transformación de expresiones algebraicas—.
No se debe olvidar que la aplicación de las matemáticas se da en mu-
chos ámbitos que no necesariamente corresponden a la vida cotidiana de los
115
Casanova, María Antonia, La evaluación educativa. Escuela básica, México, SEP, Biblioteca
para la actualización del maestro, 1998.
218

estudiantes, pero que pueden propiciar la construcción de estrategias y cono-
cimientos matemáticos, como en cierto tipo de juegos o algunas situaciones
relacionadas con la fantasía.
Mediante actividades que utilizan herramientas tecnológicas es posible
promover en los estudiantes la exploración de ideas y conceptos matemáticos,
así como el análisis y modelación de fenómenos y situaciones problemáticas.
Las herramientas de uso más frecuente en el diseño de actividades para el
aprendizaje en matemáticas son las hojas electrónicas de cálculo, los manipula-
dores simbólicos y los graficadores. El software de uso libre Geogebra conju-
ga las características de los programas anteriores, lo cual permite trabajar con
distintas representaciones dinámicas de conceptos y situaciones, como la re-
presentación gráfica, la numérica y la algebraica. Una de las potencialidades
didácticas de los programas mencionados es que dichas representaciones es-
tán dinámicamente vinculadas entre sí. Por medio de una selección adecuada
de actividades disponibles en internet, diseñadas con esas herramientas y con
otras aplicaciones digitales, el profesor puede incorporar su uso en la clase de
matemáticas cuando el plantel cuente con la infraestructura necesaria.
5. Descripción de los organizadores curriculares
Para su estudio, este espacio curricular se organiza en tres ejes temáticos y
doce temas:
Número, álgebra y variación
• Número
• Adición y sustracción
• Multiplicación y división
• Proporcionalidad
• Ecuaciones
• Funciones
• Patrones, figuras geométricas y expresiones equivalentes
Forma, espacio y medida
• Ubicación espacial
• Figuras y cuerpos geométricos
• Magnitudes y medidas
Análisis de datos
• Estadística
• Probabilidad
Número, álgebra y variación
Este eje incluye los contenidos básicos de aritmética, de álgebra y de situacio-
nes de variación.
219

Con base en las posibilidades cognitivas de los niños de preescolar, sus
experiencias de aprendizaje sobre conteo de colecciones se circunscriben a
series de hasta de 20 elementos y a la representación simbólica convencio-
nal de los números del 1 al 10, a través de diversas situaciones de comu-
nicación que diferencian sus usos —cardinal, ordinal y nominativo— y sus
funciones —medida, transformación y relación—. En preescolar se recurre
al planteamiento de problemas cuyos datos no exceden al diez —aunque el
resultado pueda llegar hasta el 20— para que los niños los resuelvan con
acciones sobre las colecciones y no con operaciones; también es necesario
que los niños exploren el comportamiento de la sucesión numérica escrita
del 1 al 30: entre más se avanza en la sucesión, el número representa una
cantidad con más elementos.
En los niveles de primaria y secundaria se profundiza en el estudio de
la aritmética, se trabaja con los números naturales, fraccionarios, decimales
y enteros, las operaciones que se resuelven con ellos y las relaciones de pro-
porcionalidad. Se espera que los estudiantes se apropien de los significados
de las operaciones y, de esta manera, sean capaces de reconocer las situa-
ciones y los problemas en los que estas son útiles. Además se busca que
desarrollen procedimientos sistemáticos de cálculo escrito, accesibles para
ellos, y también de cálculo mental.
Dentro del estudio de las operaciones aritméticas, desde los primeros
grados de primaria los estudiantes abordan situaciones de variación. Al final
de la primaria, en quinto y sexto grados, y en la secundaria, continúan estu-
diando la variación en el contexto de las relaciones de proporcionalidad, ahora
de manera explícita y de manera integrada con el estudio de las fracciones y
los decimales. En la secundaria, el estudio de la proporcionalidad se incorpora
al de la relación entre variables, en particular al de variación lineal y variación
inversamente proporcional.
A la utilización de las herramientas aritméticas se suma, en la secundaria, la
de las herramientas algebraicas, por un lado, para generalizar y expresar simbó-
licamente las propiedades de los números y sus operaciones; y por otro, para
representar situaciones y resolver problemas que requieren de la compren-
sión de conceptos y dominio de técnicas y métodos propios del álgebra. En
este nivel escolar, se busca que los estudiantes aprendan álgebra a través del
uso flexible de sus elementos fundamentales, a saber, números generales, in-
cógnitas y variables en expresiones algebraicas, ecuaciones y situaciones de
variación; en estas últimas, tanto en su expresión simbólica como en su repre-
sentación por medio de tablas y gráficas cartesianas.
En términos generales, se concibe a la aritmética y al álgebra como he-
rramientas para modelar situaciones problemáticas —matemáticas y extrama-
temáticas—, y para resolver problemas en los que hay que reconocer variables,
simbolizarlas y manipularlas.
Forma, espacio y medida
Este eje incluye los Aprendizajes esperados relacionados con el espacio, las for-
mas geométricas y la medición. Las experiencias dentro del ámbito geométrico
220

y métrico ayudarán a los alumnos a comprender, describir y representar el en-
torno en el que viven, así como resolver problemas y desarrollar gradualmente
el razonamiento deductivo.
El estudio del espacio, desde las matemáticas, se refiere a comunicar y
representar las acciones empíricas mediante un trabajo intelectual en el que
se interpretan y producen representaciones gráficas del mismo. El espacio se
organiza a través de un sistema de referencias que implica establecer relacio-
nes espaciales —interioridad, proximidad, orientación y direccionalidad— las
cuales se crean entre puntos de referencia para ubicar en el espacio objetos o
lugares cuya ubicación se desconoce.
En preescolar los niños interpretan y ejecutan expresiones en las que
se establecen relaciones espaciales entre objetos. A lo largo de la primaria, los
alumnos desarrollan herramientas que les permiten comunicar convencional-
mente, de forma verbal y gráfica, la ubicación de seres, objetos, trayectos, así
como también de puntos, en un plano cartesiano.
Aprender las características y propiedades de las figuras proporciona he-
rramientas para resolver problemas escolares y extraescolares; también permi-
te iniciarse en un modo de pensar propio de las matemáticas, a saber, el razo-
namiento deductivo. El estudio de las figuras y los cuerpos es un terreno fértil
para la formulación de conjeturas o hipótesis y su validación. Se trata de que
los alumnos supongan o anticipen propiedades geométricas y luego traten de
validar sus anticipaciones. En la primaria, la validación puede ser empírica. En
secundaria, los estudiantes deben poder validar lo que afirman con argumen-
tos en los que se establecen asociaciones. Esto conlleva a iniciarlos en el razo-
namiento deductivo.
En el nivel preescolar, las experiencias de aprendizaje sobre la forma tie-
nen como propósito desarrollar la percepción geométrica a través de situa-
ciones problemáticas en las que los niños reproducen modelos y construyen
configuraciones con figuras y cuerpos geométricos. La percepción geométrica
es una habilidad que se desarrolla observando la forma de las figuras, en pro-
cesos de ensayo y error; los niños valoran las características geométricas de
las figuras para usarlas al resolver problemas específicos. Tanto en la primaria
como en la secundaria, los alumnos tendrán que apropiarse paulatinamente
de un vocabulario geométrico que les permita comunicar sus anticipaciones y
sus validaciones.
El estudio de las magnitudes y su medida es de vital importancia; tan-
to por el papel que juega en el aprendizaje de otras nociones de matemáticas
como por sus numerosas aplicaciones en problemas de las ciencias naturales
y sociales. El propósito es que los niños tengan experiencias que les permitan
empezar a identificar las magnitudes. Los problemas principales que propician
el estudio de las magnitudes consisten en comparar y ordenar objetos aten-
diendo características comunes. Las maneras de resolverlos se van refinando
poco a poco: primero, los alumnos se familiarizan con la magnitud a estudiar
mediante comparaciones directas o con un intermediario, posteriormente, es-
tudian maneras en las que estas se pueden medir y, finalmente, aprenden a
calcular su medida.
221

Las magnitudes longitud, área y volumen tienen un fuerte componente
geométrico por lo que su estudio permite a los alumnos integrar Aprendizajes
esperados referentes tanto a la forma como a la aritmética.
Análisis de datos
Con los Aprendizajes esperados del eje “Análisis de datos” se tiene el propósi-
to de propiciar que los estudiantes adquieran conocimientos y desarrollen ha-
bilidades propias de un pensamiento estadístico y probabilístico. Con esto, se
espera que fortalezcan los recursos que tienen para analizar y comprender la
información que los rodea.
La progresión de Aprendizajes esperados sobre análisis de datos se rige
por cuatro ideas fundamentales:
1. La importancia de los datos para entender los fenómenos naturales y sociales.
2. El uso de las distribuciones y sus representaciones —tablas o gráficas—
como recursos para comprender los datos.
3. El uso de medidas de tendencia central y de dispersión para reducir la comple-
jidaddelosconjuntosdedatosyaumentarlasposibilidadesdeoperarconellos.
4. El estudio de la probabilidad como método para tratar con la incertidumbre.
El análisis de datos y su representación en tablas o gráficas forman una de las
líneas a trabajar en este eje. Estas representaciones constituyen un poderoso
instrumento de análisis de datos y son fundamentales para la realización de in-
ferencias. Por ello, no deben concebirse solo como una manera de comunicar la
información, sino también como un instrumento útil para la toma de decisiones.
Desde preescolar, los niños tienen experiencias sobre análisis de datos. Parten
de una pregunta sencilla a la que, para dar respuesta, recaban datos. Luego los
organizan en tablas o pictogramas para analizarlos; de esta manera, no solo lo-
gran contestar la pregunta original, sino también analizar otros aspectos rela-
cionados con la situación.
En estadística, el paso de lo específico a lo general es fundamental y se
logra mediante el cálculo de medias, índices, medidas de variación, etc. Por lo
anterior, otra de las líneas a trabajar en este eje, a partir de la primaria, son las
medidas de tendencia central y algunas medidas de dispersión de datos. Es
importante que los estudiantes entiendan que el uso de la estadística implica
incertidumbre y que es conveniente contar con una forma de medir esa incerti-
dumbre, por ejemplo, el estudio de la probabilidad que ofrece métodos para ello.
6. Orientaciones didácticas
Ayudar a los alumnos a aprender matemáticas resulta extraño para muchos
maestros identificados con la idea de que su papel es enseñar, en el sentido
de transmitir información. Sin embargo, es importante intentarlo, pues abre
el camino a un cambio radical en el ambiente del salón de clases: los alumnos
222

piensan, comentan, discuten con interés y aprenden, y el maestro revalora su
trabajo docente. Para alcanzar este planteamiento es necesario trabajar siste-
máticamente hasta lograr las siguientes metas:
Comprender la situación implicada en un problema
Ello representa que los alumnos comprendan a fondo el enunciado del proble-
ma, así también que identifiquen la información esencial para poder resolverlo.
Este ejercicio, que pudiera parecer más propio de la asignatura de Lengua Ma-
terna. Español, es fundamental para trazar la ruta de solución. A menudo, los
alumnos obtienen resultados incorrectos solamente por una mala lectura del
enunciado, por lo tanto es conveniente averiguar cómo analizan la información
que reciben de manera oral o escrita.
Plantear rutas de solución
Conviene insistir en que sean los alumnos quienes propongan el camino a se-
guir. Habrá desconcierto al principio, pero poco a poco se notará un ambiente
distinto: los alumnos compartirán ideas, habrá acuerdos y desacuerdos, se ex-
presarán con libertad y se tendrá la certeza de que reflexionan en torno al pro-
blema que tratan de resolver. Aquí el papel del docente es propiciar un diálogo
productivo, no ofrecer soluciones.
Trabajo en equipo
Esta estrategia ofrece a los alumnos la posibilidad de expresar sus ideas y enri-
quecerlas con las opiniones de los demás, desarrollar la actitud de colaboración
y la habilidad para fundamentar sus argumentos y facilita la puesta en común
de los procedimientos que encuentran. El maestro debe insistir en que todos
los integrantes asuman la responsabilidad de resolver la tarea, no de manera
individual sino colectiva.
Manejo adecuado del tiempo
Una clase en la que los alumnos resuelven problemas con sus propios medios,
discuten y analizan sus procedimientos y resultados implica más tiempo. Esta
condición orilla a que algunos maestros vuelvan al esquema en el que ellos
dan la clase mientras los alumnos escuchan, aunque no comprendan; pero es
más provechoso dedicar tiempo a que los alumnos logren conocimientos con
significado, desarrollen habilidades para resolver diversos problemas y sigan
aprendiendo, en vez de llenarlos con información que pronto olvidarán. Si ellos
comprenden lo que estudian, se evita repetir las mismas explicaciones, y se al-
canzarán mejores resultados. Asimismo, es indispensable prever tiempo para
analizar con los alumnos lo que producen, aclarar ideas, aportar información o
explicaciones necesarias para que puedan avanzar en sus conclusiones y tam-
bién tiempo para formalizar los conocimientos implicados en los problemas.
Diversificar el tipo de problemas
Conviene pensar en situaciones o actividades que propicien la aplicación de di-
ferentes herramientas matemáticas o que impliquen el uso de la tecnología.
223

También es favorable incluir en la planificación actividades adicionales para
aquellos alumnos que pueden enfrentar situaciones más complejas o para los
que necesiten apoyo para comprender los conceptos matemáticos.
Compartir experiencias con otros profesores
Será de gran ayuda que los maestros compartan experiencias entre ellos en tor-
no al estudio de las matemáticas, pues, sean estas exitosas o no, les permitirá
mejorar permanentemente su trabajo.
7. Sugerencias de evaluación
Como se ha mencionado anteriormente en este documento, la evaluación tiene
un enfoque formativo porque se centra en los procesos de aprendizaje y da se-
guimiento al progreso de los alumnos. Es importante insistir como docente en
que ellos asuman la responsabilidad de reflexionar sobre sus propios avances y
ofrecerles acompañamiento para decidir estrategias de mejora o fortalecimien-
to. En este sentido, los errores de los alumnos son una oportunidad de aprendi-
zaje para ellos y también para el maestro, en la medida en que estos se analicen,
discutan y se tomen como base para orientar estrategias de aprendizaje.
224

Con el fin de tener más elementos para describir el avance de los alumnos
en matemáticas, se establecen estas líneas de progreso que definen el punto
inicial y la meta a la que se puede aspirar en el desempeño de los alumnos.
De resolver problemas con ayuda a solucionarlos autónomamente
Resolver problemas de manera autónoma implica que los alumnos se hagan
cargo del proceso de principio a fin, considerando que el fin no es solo encontrar
el resultado, sino comprobar que este es correcto.
De la justificación pragmática al uso de propiedades
Los conocimientos y las habilidades se construyen mediante la interacción
entre los alumnos, el objeto de conocimiento y el maestro; un elemento impor-
tante en este proceso es la explicación de procedimientos y resultados. De
manera que se espera que los alumnos pasen de explicaciones tipo “porque
así me salió”, a los argumentos apoyados en propiedades conocidas.
De los procedimientos informales a los procedimientos expertos
Al iniciarse el estudio de un tema o de un nuevo tipo de problemas, los alum-
nos usan procedimientos informales, y es tarea del maestro que dichos pro-
cedimientos evolucionen hacia otros cada vez más eficaces. El carácter de
informal depende del problema que se trate de resolver; por ejemplo, para un
problema multiplicativo la suma es un procedimiento “no experto”, pero esta
misma operación es un procedimiento experto para un problema aditivo.
Una relación personal creativa, significativa y de confianza en la propia capaci-
dad con las matemáticas, no se da de un día para otro. Requiere de un trabajo
constante por parte del maestro y los alumnos; la evaluación formativa es una
herramienta que contribuye a este cambio, ya que genera oportunidades para
que los alumnos se vuelvan aprendices activos y proporciona información al
maestro que le permite mejorar su labor docente.
225

8. dosificación de los aprendizajes esperados
Ejes Temas
PREESCOLAR PRIMARIA
1º 2º 3º
PRIMER ciclo SEGUNDO ciclo
1º 2º 3º 4º
Aprendizajes esperados
NÚMERO,ÁLGEBRAYVARIACIÓN
Número • Cuenta colecciones no mayores
a 20 elementos.
• Comunica de manera oral
y escrita los primeros 10 números
en diversas situaciones y de
diferentes maneras, incluida
la convencional.
• Compara, iguala y clasifica
colecciones con base en la
cantidad de elementos.
• Relaciona el número de
elementos de una colección con
la sucesión numérica escrita del
1 al 30.
• Identifica algunas relaciones
de equivalencia entre monedas de
$1, $2, $5 y $10 en situaciones
de compra y venta.
• Resuelve problemas a través
del conteo y con acciones sobre
las colecciones.
• Comunica, lee, escribe y ordena
números naturales hasta 1 000.
• Comunica, lee, escribe y ordena
números naturales de hasta
cinco cifras.
• Usa fracciones con denominador
hasta 12 para expresar relaciones
parte-todo, medidas y resultados
de repartos.
Adición
y sustracción
• Resuelve problemas de suma
y resta con números naturales
hasta 1 000. Usa el algoritmo
convencional para sumar.
• Calcula mentalmente sumas
y restas de números de dos cifras,
dobles de números de dos
cifras y mitades de números
pares menores que 100.
y resta con números naturales
hasta de cinco cifras.
• Calcula mentalmente, de manera
exacta y aproximada, sumas y
restas de números múltiplos de
100 hasta de cuatro cifras.
• Resuelve problemas de suma y
resta de fracciones con el mismo
denominador (hasta doceavos).
Multiplicación
y división
• Resuelve problemas de
multiplicación con números
naturales menores que 10.
multiplicación con números
naturales cuyo producto sea de
cinco cifras. Usa el algoritmo
convencional para multiplicar.
• Resuelve problemas de división
con números naturales y cociente
natural (sin algoritmo).
• Calcula mentalmente, de
manera aproximada y exacta,
multiplicaciones de un número de
dos cifras por uno de una cifra,
y divisiones con divisor de una
cifra.
226

PRIMARIA secundaria
TERCER ciclo
1º 2º 3º
5º 6º
• Lee, escribe y ordena números
naturales hasta de cualquier
cantidad de cifras, fracciones
y números decimales.
• Estima e interpreta números
en el sistema de numeración
maya.
• Lee y escribe números
romanos.
• Resuelve problemas que
impliquen el uso de números
enteros al situarlos en la recta
numérica, y al compararlos
y ordenarlos.
• Convierte fracciones
decimales a notación decimal
y viceversa. Aproxima algunas
fracciones no decimales
usando la notación decimal.
Ordena fracciones y números
decimales.
• Determina y usa los criterios
de divisibilidad y los números
primos.
• Usa técnicas para determinar el
mínimo común múltiplo (mcm)
y el máximo común divisor
(MCD).
• Resuelve problemas de suma y
resta con números naturales,
decimales y fracciones
con denominadores, uno
múltiplo del otro. Usa el
algoritmo convencional para
sumar y restar decimales.
• Calcula mentalmente, de
manera exacta y aproximada,
sumas y restas de decimales.
y resta con números enteros,
fracciones y decimales
positivos y negativos.
multiplicación con fracciones
y decimales, con multiplicador
natural y de división con
cociente o divisor naturales.
multiplicación con fracciones
y decimales, y de división con
decimales.
• Determina y usa la jerarquía
de operaciones y los paréntesis
en operaciones con números
naturales, enteros y decimales
(para multiplicación y división
solo números positivos).
multiplicación y división
con fracciones y decimales
positivos.
multiplicación y división con
números enteros, fracciones
y decimales positivos y
negativos.
potencias con exponente
entero y aproxima raíces
cuadradas.
227

Ejes Temas
PREESCOLAR PRIMARIA
1º 2º 3º
1º 2º 3º 4º
NÚMERO,ÁLGEBRAYVARIACIÓN
Proporcionalidad
Ecuaciones
Funciones
Patrones, figuras
geométricas
y expresiones
equivalentes
FORMA,ESPACIOY
MEDIDA
Ubicación
espacial
• Ubica objetos y lugares cuya
ubicación desconoce, mediante
la interpretación de relaciones
espaciales y puntos de referencia.
• Representa y describe oralmente
o por escrito trayectos para ir de
un lugar a otro en su entorno
cercano (aula, casa, escuela)
o en su comunidad.
228

PRIMARIA secundaria
TERCER ciclo
1º 2º 3º
5º 6º
• Compara razones expresadas
mediante dos números
naturales (n por cada m) y con
una fracción (n/m de); calcula
valores faltantes en problemas
de proporcionalidad directa,
con constante número natural.
cálculo de porcentajes y
de tanto por ciento.
• Calcula mentalmente
porcentajes (50%, 25%, 10%
y 1%) que sirvan de base para
cálculos más complejos.
• Calcula valores faltantes en
problemas de proporcionalidad
directa, con constante natural,
fracción o decimal (incluye
tablas de variación).
• Resuelve problemas de cálculo
de porcentajes, de tanto por
ciento y de la cantidad base.
proporcionalidad directa
e inversa y de reparto
proporcional.
• Resuelve problemas mediante
la formulación y solución
algebraica de ecuaciones
lineales.
algebraica de sistemas
de dos ecuaciones lineales
con dos incógnitas.
algebraica de ecuaciones
cuadráticas.
• Analiza y compara situaciones
de variación lineal a partir de
sus representaciones tabular,
gráfica y algebraica. Interpreta
y resuelve problemas que se
modelan con estos tipos de
variación.
• Analiza y compara situaciones
de variación lineal y
proporcionalidad inversa, a
partir de sus representaciones
tabular, gráfica y algebraica.
Interpreta y resuelve
problemas que se modelan
con este tipo de variación,
incluyendo fenómenos de la
física y otros contextos.
• Analiza y compara diversos
tipos de variación a partir
de sus representaciones
tabular, gráfica y algebraica,
que resultan de modelar
situaciones y fenómenos de la
física y de otros contextos.
• Analiza sucesiones de números
y de figuras con progresión
aritmética y geométrica.
• Formula expresiones
algebraicas de primer grado a
partir de sucesiones y las utiliza
para analizar propiedades de la
sucesión que representan.
• Verifica algebraicamente la
equivalencia de expresiones
de primer grado, formuladas a
partir de sucesiones.
• Formula expresiones de
primer grado para representar
propiedades (perímetros y
áreas) de figuras geométricas
y verifica la equivalencia de
expresiones, tanto algebraica
como geométricamente
(análisis de las figuras).
• Formula expresiones
de segundo grado para
representar propiedades del
área de figuras geométricas
y verifica la equivalencia de
expresiones, tanto algebraica
como geométricamente.
• Diferencia las expresiones
algebraicas de las funciones y
de las ecuaciones.
• Lee, interpreta y diseña croquis,
planos y mapas para comunicar
oralmente o por escrito la
ubicación de seres
u objetos y trayectos.
• Resuelve situaciones que
impliquen la ubicación de
puntos en el plano cartesiano.
229

Ejes Temas
PREESCOLAR PRIMARIA
1º 2º 3º
1º 2º 3º 4º
FORMA,ESPACIOYMEDIDA
Figuras y cuerpos
geométricos
• Reproduce modelos con formas,
figuras y cuerpos geométricos.
• Construye configuraciones
con formas, figuras y cuerpos
geométricos.
• Construye y describe figuras y
cuerpos geométricos.
• Construye y analiza figuras
geométricas, en particular
triángulos y cuadriláteros, a partir
de comparar lados, ángulos,
paralelismo, perpendicularidad y
simetría.
Magnitudes
y medidas
• Identifica la longitud de
varios objetos a través de la
comparación directa o mediante
el uso de un intermediario.
• Compara distancias mediante el
uso de un intermediario.
• Mide objetos o distancias
mediante el uso de unidades no
convencionales.
• Usa unidades no convencionales
para medir la capacidad con
distintos propósitos.
• Identifica varios eventos de su
vida cotidiana y dice el orden en
que ocurren.
• Usa expresiones temporales y
representaciones gráficas para
explicar la sucesión de eventos.
• Estima, mide, compara y ordena
longitudes y distancias, pesos y
capacidades, con unidades no
convencionales, y con metro
no graduado en centímetros,
así como kilogramo y litro,
respectivamente.
• Estima, compara y ordena
eventos usando unidades
convencionales de tiempo:
minuto, hora, semana, mes y año.
longitudes y distancias, pesos
y capacidades con unidades
convencionales, medios y cuartos
así como decímetro, centímetro,
milímetro, mililitro y gramo.
• Compara y ordena la duración
de diferentes sucesos usando
unidades convencionales de
tiempo, incluyendo media hora,
cuarto de hora y minuto. Lee el
tiempo en relojes de manecillas y
digitales.
superficies de manera directa,
con unidades no convencionales
y convencionales.
ANÁLISISDEDATOS
Estadística • Contesta preguntas en las que
necesite recabar datos; los
organiza a través de tablas y
pictogramas que interpreta
para contestar las preguntas
planteadas.
• Recolecta, registra y lee datos
en tablas.
en tablas, y lee pictogramas
sencillos y gráficas de barras.
• Toma decisiones con base en
el uso y la interpretación de la
moda de un conjunto de datos.
Probabilidad
230

PRIMARIA secundaria
TERCER ciclo
1º 2º 3º
5º 6º
• Construye triángulos e
identifica y traza sus alturas.
• Construye círculos a partir
de diferentes condiciones, y
prismas y pirámides rectos
cuya base sean cuadriláteros o
triángulos.
• Analiza la existencia y
unicidad en la construcción
de triángulos y cuadriláteros,
y determina y usa criterios de
congruencia de triángulos.
• Deduce y usa las relaciones
entre los ángulos de
polígonos en la construcción
de polígonos regulares.
• Construye polígonos
semejantes. Determina y usa
criterios de semejanza de
triángulos.
• Resuelve problemas utilizando
las razones trigonométricas
seno, coseno y tangente.
• Resuelve problemas que
involucran longitudes
y distancias, pesos y
capacidades, con unidades
convencionales, incluyendo el
kilómetro y la tonelada.
• Calcula el perímetro de
polígonos y del círculo.
• Calcula y compara el área de
triángulos y cuadriláteros
mediante su transformación en
un rectángulo.
• Estima, compara y ordena el
volumen de prismas cuya base
sea un cuadrilátero mediante
el conteo de cubos.
polígonos y del círculo, y áreas
desarrollando y aplicando
fórmulas.
• Calcula el volumen de prismas
rectos cuya base sea un
triángulo o un cuadrilátero,
fórmulas.
polígonos y del círculo, y áreas
fórmulas.
• Calcula el volumen de prismas
rectos cuya base sea un
triángulo o un cuadrilátero,
fórmulas.
• Formula, justifica y usa el
teorema de Pitágoras.
en tablas y gráficas de barras.
Lee gráficas circulares.
• Toma decisiones con base en
el uso y la interpretación de la
moda, la media aritmética y el
rango de un conjunto de datos.
en gráficas circulares.
• Usa e interpreta las medidas
de tendencia central (moda,
media aritmética y mediana)
y el rango de un conjunto de
datos, y decide cuál de ellas
conviene más en el análisis de
los datos en cuestión.
en histogramas, polígonos de
frecuencia y gráficas de línea.
• Usa e interpreta las medidas
de tendencia central (moda,
media aritmética y mediana), el
rango y la desviación media de
un conjunto de datos, y decide
cuál de ellas conviene más en el
análisis de los datos en cuestión.
• Compara la tendencia central
(media, mediana y moda) y
dispersión (rango y desviación
media) de dos conjuntos de
datos.
• Determina y registra en tablas
de frecuencias los resultados
de experimentos aleatorios.
• Realiza experimentos
aleatorios y registra
los resultados para un
acercamiento a la probabilidad
frecuencial.
• Determina la probabilidad
teórica de un evento en un
experimento aleatorio.
• Calcula la probabilidad de
ocurrencia de dos eventos
mutuamente excluyentes.
231

9. aprendizajes esperados por grado
MATEMÁTICAS. PRIMARIA. 3º
Ejes Temas Aprendizajes esperados
Número,álgebra
yvariación
Número • Lee, escribe y ordena números naturales hasta 10 000.
• Usa fracciones con denominador dos, cuatro y ocho para expresar relaciones parte-todo,
medidas y resultados de repartos.
Adición
y sustracción
• Resuelve problemas de suma y resta con números naturales hasta 10 000. Usa el algoritmo
convencional para restar.
• Calcula mentalmente, de manera exacta y aproximada, sumas y restas con números
hasta de tres cifras.
• Resuelve problemas de suma y resta con fracciones del mismo denominador (medios,
cuartos y octavos).
Multiplicación
y división
• Resuelve problemas de multiplicación con números naturales cuyo producto sea hasta de
tres cifras.
• Calcula mentalmente multiplicaciones de números de una cifra por números de una cifra y
por múltiplos de 10, así como divisiones con divisores y cocientes de una cifra.
• Resuelve problemas de división con números naturales hasta 100, con divisores de una cifra
(sin algoritmo).
Forma,espacio
ymedida
Ubicación
espacial
• Representa y describe oralmente la ubicación de seres u objetos, y de trayectos para ir de un
lugar a otro en su entorno cercano (aula, casa, escuela).
Figuras y cuerpos
geométricos
• Construye y analiza figuras geométricas, en particular triángulos, a partir de comparar sus
lados y su simetría.
Magnitudes
y medidas
• Estima, compara y ordena longitudes y distancias, pesos y capacidades usando metro,
kilogramo, litro y medios y cuartos de estas unidades, y en el caso de la longitud, el
centímetro.
• Compara y ordena la duración de diferentes sucesos usando la hora, media hora, cuarto de
hora y los minutos; lee relojes de manecillas y digitales.
Análisis
dedatos
Estadística • Recolecta, registra y lee datos en tablas.
• Lee pictogramas sencillos.
232

EJE NÚMERO, ÁLGEBRA Y VARIACIÓN
Tema • Número
Aprendizajes esperados • Lee, escribe y ordena números naturales hasta 10 000.
• Usa fracciones con denominador dos, cuatro y ocho para expresar relaciones parte-todo, medidas
y resultados de repartos.
Orientaciones didácticas
En este grado, el estudio de los números naturales
avanza, además de la lectura, escritura y relación
de orden, en el reconocimiento del valor posicio-
nal de las cifras. Para esto son útiles las actividades
en las que los alumnos expresan una cantidad de
varias maneras, teniendo como recurso los billetes
y monedas de juguete.
Con el fin de facilitar la lectura de los núme-
ros, conviene que los alumnos se acostumbren a
separar las cifras en grupos de tres. Junto con esto,
hay que afirmar la idea de que, de dos números, es
mayor el que tiene más cifras. Si ambos tienen la
misma cantidad de cifras, “la primera de la izquier-
da es la que manda”.
En este grado, los alumnos tienen su pri-
mer acercamiento a la noción de fracción en si-
tuaciones de medición y de reparto. Las relaciones
parte-todo están implícitas en las situaciones de
medición y de reparto; no obstante, se sugieren
algunos tipos específicos de actividad.
La relación parte-todo es una manera, en-
tre otras, de concebir la fracción. Se trata de una
unidad o un todo que se divide en partes iguales,
de las cuales se toman algunas. Por ejemplo, 4
3
se
concibe como una unidad o un todo que se divide
en cuatro partes iguales y de la cual se toman tres.
Se sugiere que inicie las situaciones de me-
dición proporcionando a los alumnos tiras de pa-
pel para que midan ciertas longitudes (ancho de
la puerta, largo de la mesa, etc.). De ahí surgirán
expresiones como, “tres y un cachito”, “tres y un
pedazo” y algunas otras. ¿El cachito es más o es
menos que la mitad de la tira? Esta pregunta lleva
a la necesidad de dividir la tira, hay que insistir en
que las partes sean iguales para poder llamarles
mitad o medio, si la tira se dividió en dos partes. La
parte final del proceso es la representación numé-
rica de la fracción.
Las situaciones de reparto constituyen otra
fuente de problemas adecuada para el estudio de
las fracciones. Se sugiere que inicie con repartos
concretos (por ejemplo, hojas de papel que repre-
sentan pasteles), en los que los resultados sean a
veces menores que una unidad y, en otras, mayo-
res (tres pasteles entre dos niños, cinco pasteles
entre ocho niños).
Con frecuencia, antes de hacer un reparto,
conviene que pida a los alumnos anticipaciones
como: “Dados dos repartos muy fáciles de com-
parar, por ejemplo, ‘un pastel entre cuatro niños’
y ‘un pastel entre dos niños’ ”, ellos deberán decir
en cuál creen que los niños recibirán más pastel y
argumentarlo. Después de hacer el reparto físico,
los alumnos verán si su anticipación fue correcta.
A lo largo del proceso de estudio, los alum-
nos harán representaciones propias y usarán es-
crituras aditivas para expresar los resultados de
los repartos. Por ejemplo, para un reparto de tres
pasteles entre cuatro niños, surgirán expresiones
como 2
1 + 4
1 ; 4
1 + 4
1 + 4
1 ; 4
3
. Es muy importante que
compare estas expresiones y ayude a los alumnos
a verificar que representan lo mismo.
Además de las actividades anteriores en las
que las relaciones parte-todo están implícitas, pre-
10. ORIENTACIONES DIDÁCTICAS
Y SUGERENCIAS DE EVALUACIÓN específicas
233

sente a los alumnos figuras en las que una fracción
está sombreada y ellos deben anotar cuál es esa
fracción. Use figuras con fondo blanco y también
con subdivisiones, pero en las que el número de
subdivisiones no siempre coincida con el denomi-
nador, por ejemplo, pídales que indiquen en cuál
de los siguientes cuadrados está coloreado 2
1 .
A la inversa, pida a los alumnos que som-
breen una fracción dada, por ejemplo, “iluminar
4
1
de la figura”, o bien, “sombrea de tres formas la
mitad del rectángulo ”.
Uso de TIC
Descomposiciones de números con calculadora
Con la finalidad de relacionar el valor posicional de
una cifra, se recomienda que organice a los alum-
nos en parejas para que usen la calculadora y re-
suelvan ejercicios como los siguientes:
• Un alumno escribe un número de cuatro cifras
en la calculadora (por ejemplo, 5 687) y le pide a
su compañero que usando solamente el núme-
ro 1 y ceros sume en la calculadora para…
… que el 7 se convierta en 8.
Finalmente deben analizar cuánto se tuvo
que sumar cada vez para resolver el ejercicio
satisfactoriamente.
• Partiendo de un número de cuatro cifras (por
ejemplo, 3 498) pídales que sumen algo para
que el número termine en…
… cero.
… doble cero.
… triple cero.
… cuatro ceros.
• Finalmente anímelos para que inventen otros
ejercicios, en los que utilicen la calculadora,
que involucren números hasta el 10 000 y los
expongan ante el grupo.
234

Los problemas de suma y resta que se trabajan en
este grado son del mismo tipo que los trabajados
en primer y segundo grados, a saber:
• Se reúnen dos cantidades en una sola.
• Se agrega o quita a una cantidad inicial.
• Se comparan dos cantidades.
El avance se produce tanto en que se amplía
el rango de los números en que se pueden plantear
problemas que requieran dos operaciones para lle-
gar al resultado; por ejemplo, “Daniel compró un
pantalón de $315 y una playera de $130. ¿Cuánto
recibirá de cambio si pagó con un billete de $500?”.
Otro avance importante en este grado es
la introducción del algoritmo convencional de la
resta, para ello se sugiere que plantee problemas
como el siguiente: “Antonio tenía $53 y se gastó
$27. ¿Cuánto dinero tiene ahora?”. Represéntelos
con el algoritmo convencional y resuélvalos si-
multáneamente con material concreto y con nú-
meros, así los alumnos observarán lo que ocurre
cuando es necesario cambiar una decena por diez
unidades, como en el caso del problema que se da
como ejemplo.
El material concreto puede ser corcholatas
de colores que representen unidades, decenas y
centenas. En la medida en que los alumnos se apro-
pien de la técnica, irán dejando de lado el material.
Recuerde a los alumnos que al expresar
tanto resultados de medición como de reparto,
ellos han utilizado escrituras aditivas y las han
comparado.
Por ejemplo, al repartir 3 pasteles entre
4 niños, los alumnos han visto que 4
1 + 4
1 + 4
1 es
lo mismo que 2
1 + 4
1 , pues ambos resultados son
equivalentes a 4
3
.
De manera que para trabajar la suma y la
resta con fracciones de igual denominador se su-
giere que plantee un problema como el siguiente:
– En una fiesta, varios niños recibieron diferentes
fracciones de pastelitos iguales. Indica para cada
pareja de niños quién recibió más y cuánto más:
¿Quién
recibió más?
¿Cuánto
más?
Ana: 2
1 Pablo: 4
1 + 4
1
Laura: 4
3 Margo: 4
1 + 4
1 + 4
1
Luisa: 4
3 Emilio: 4
1 + 4
1
Inés:
8
4 José:
8
1 +
8
1 +
8
1
Al llenar la tabla, los alumnos podrán con-
cluir que: 4
1 + 4
1 + 4
1 = 4
3
y que 8
1 + 8
1 + 8
1 = 8
3
.
Después de varios ejercicios de práctica en los
que se pueden plantear problemas de los mismos
tipos que los hechos con números naturales, soli-
cíteles que formulen y escriban una técnica para
sumar y restar fracciones con igual denominador.
Tema • Adición y sustracción
Aprendizajes esperados • Resuelve problemas de suma y resta con números naturales hasta 10 000. Usa el algoritmo
convencional para restar.
• Calcula mentalmente, de manera exacta y aproximada, sumas y restas con números hasta de tres
cifras.
• Resuelve problemas de suma y resta con fracciones del mismo denominador (medios, cuartos y
octavos).
235

Problemas de multiplicación
En segundo grado, los alumnos aprendieron a iden-
tificar las sumas repetidas como multiplicaciones
en actividades de solución de problemas. En este
grado seguirán aprendiendo a reconocer problemas
que se resuelven con multiplicaciones, desarrollarán
formas de calcular los productos de dígitos, a la par
que los van memorizando, y conocerán formas de
calcular productos de números de hasta dos cifras.
Resolución de problemas. Se seguirán plan-
teando dos tipos de problema: los que implican
la suma repetida de la misma cantidad y los de
arreglos rectangulares; en cada caso se solicita-
rá la escritura multiplicativa. Se continuará con
la reflexión sobre la diferencia entre situaciones
aditivas —no todos los sumandos son iguales— y
multiplicativas —todos los sumandos son igua-
les— (véase la orientación didáctica correspon-
diente en segundo grado).
Problemas con constante multiplicativa y uso
de tablas. Se deben plantear problemas de varia-
ción en los que se mantenga un factor constante y
varíe el otro, por ejemplo: “Los cuadernos cuestan
$5 cada uno. ¿Cuánto cuestan dos, tres, cinco, siete,
diez cuadernos?”.
Núm. de cuadernos Precio
1 $ 5
2
4
$30
9
Estos problemas en tablas permiten ex-
plorar varias relaciones entre las cantidades; por
ejemplo, para conocer el precio de nueve cuader-
nos, se puede sumar dos veces el precio de cuatro
de ellos y una vez el precio de un cuaderno, o tam-
bién se puede triplicar el precio de tres cuadernos.
A veces, el término desconocido puede ser el nú-
mero de cuadernos, con lo cual queda implicada
una división.
Memorización de productos. En este grado,
una actividad central es establecer relaciones en-
tre los productos aún no conocidos y los ya cono-
cidos. Para esto es necesario ampliar el repertorio
de productos conocidos (especialmente productos
por 2, por 5, por 10, por 20,…). Por ejemplo, saber
que 5 × 8 = 40 es útil para obtener 6 × 8 o 4 × 8,
ya que:
6 × 8 = 5 × 8 + 8 o 4 × 8 = 5 × 8 – 8
Poco a poco los alumnos irán completando el cua-
dro de multiplicaciones con los productos que se
calculan en las actividades. Recuerde que la obser-
vación de regularidades y el recurso de propieda-
des, en particular la conmutativa, les permitirá a
los alumnos completar el cuadro más fácilmente
(pueden establecer la propiedad conmutativa
mediante un trabajo con arreglos rectangulares,
comprobando que el número de elementos en n
filas y m columnas es el mismo que en m filas y
n columnas). Finalmente, los alumnos pueden
empezar a resolver multiplicaciones en las que se
da el producto pero falta un factor, por ejemplo,
8 × — = 56, y también en las que faltan los dos
Tema • Multiplicación y división
Aprendizajes esperados • Resuelve problemas de multiplicación con números naturales cuyo producto sea hasta de tres
cifras.
• Calcula mentalmente multiplicaciones de números de una cifra por números de una cifra y por
múltiplos de 10, así como divisiones con divisores y cocientes de una cifra.
• Resuelve problemas de división con números naturales hasta 100, con divisores de una cifra (sin
algoritmo).
236

factores, — × — = 12. Deje que los alumnos, a
veces, utilicen la calculadora para hallar o verificar
los resultados.
Multiplicación de números mayores que 10.
Ya que los alumnos sepan multiplicar por 10 sin
dificultad, para hacerlo por números mayores que
diez; por ejemplo, para doce cajas con 25 pelotas
cada una, pueden calcular el número de pelotas de
diez cajas y luego el de dos cajas:
250 + 50 = 300
Problemas de división
En este grado, los alumnos resuelven varios tipos
de problemas con procedimientos diversos y, en
particular, usando la multiplicación. Además, iden-
tifican explícitamente la operación división y la ex-
presan usando el signo correspondiente (÷).
Dos tipos de problemas. Los problemas de di-
visión que se trabajan en este grado tienen que ver
con la partición de una colección inicial en partes
iguales. En un caso (reparto) se conoce la cantidad
inicial y el número de partes (por ejemplo, la canti-
dad de dulces por repartir y la cantidad de niños a
quienes repartir dulces) y se quiere averiguar cuán-
tos elementos tendrá cada parte; en el otro caso
(agrupamiento), se conoce la cantidad inicial y el
número de elementos de cada parte (doce dulces
para dar tres dulces a cada niño) y se quiere averi-
guar el número de partes (es decir, para cuántos
niños alcanzan los dulces).
La verificación. Es necesario que, desde los
primeros problemas de división que plantee a
los alumnos, estos tengan formas de verificar sus
resultados. Al principio, recomiéndeles que verifi-
quen con el material concreto; por ejemplo, si se
trató de un reparto en partes iguales en el que so-
bre lo menos posible, explíqueles que para verifi-
car repliquen el reparto con objetos. Más adelante
los alumnos deben verificar mediante la multipli-
cación del cociente calculado por el divisor y su-
mando el residuo. En algunas ocasiones, facilite
una calculadora a los alumnos para que verifiquen
el resultado.
El uso de la multiplicación para dividir. Las
primeras veces que se plantea a los alumnos pro-
blemas de división, ellos suelen resolverlos con
una gran diversidad de procedimientos: repartos
uno a uno con apoyo gráfico, formando grupos
iguales y contando el número de grupos, su-
mando varias veces una cantidad y contando los
sumandos, entre otras maneras. Recuerde que
un paso importante que los alumnos deben dar
después es usar la multiplicación para calcular un
cociente. Para favorecer este paso, permítales re-
solver las divisiones apoyándose en el cuadro de
multiplicaciones.
Hacer explícita la división e introducir el sig-
no. Los alumnos pueden resolver los problemas de
división usando las operaciones que ya conocen,
sobre todo la suma y la multiplicación. Durante un
tiempo, ellos desconocen que lo que están hacien-
do corresponde a una nueva operación llamada di-
visión, esto se lo debe enseñar usted, así como su
representación convencional: a ÷ b = c.
El residuo. Plantee a los alumnos preguntas
que los lleven a reflexionar sobre la función del
residuo: a veces indica que algo sobra, pero en
otras ocasiones implica aumentar 1 al resultado,
por ejemplo, si se trata de ver cuántos automóviles
con cupo para cuatro personas se requieren para
transportar a 25 personas, el residuo 1 indica “una
persona” para la que hay que considerar un auto-
móvil más.
237

Este tema se inicia en preescolar como parte del
pensamiento matemático, y en primer y segundo
grados de primaria se trabaja principalmente in-
tegrado con los aprendizajes de Geografía. Cuando
se tiene la necesidad de reflexionar sobre el espa-
cio y representarlo, gráfica o verbalmente, para
anticipar un trayecto o ubicar seres u objetos que
no necesariamente están a la vista, se requiere tra-
bajo matemático. En primer y segundo grados de
preescolar, los alumnos han trabajado expresiones
que les permiten ubicar objetos: delante, detrás,
debajo, a un lado, etc. Dentro de las frases para ubi-
car objetos, las más difíciles para los pequeños son
a la derecha de, a la izquierda de. Son difíciles por-
que se requiere un elemento de referencia que no
siempre tiene una orientación. Elementos orienta-
dos son aquellos que tienen un frente bien defini-
do (una persona, un automóvil, una casa, una silla);
los no orientados son los que carecen de este (una
pelota, una caja, un cojín). Al proponer actividades,
tenga cuidado con los elementos que elija.
Para reforzar estas nociones, puede guiar
una actividad como la siguiente: pídales que se or-
ganicen en parejas; un alumno se ubica al lado del
otro, con una mochila en medio para que ningu-
no vea lo que el compañero hace. A ambos se les
dan las mismas figuras de una granja (el granero,
animales, un árbol, una casa) y una hoja blanca, la
consigna es: “Uno de ustedes armará en su hoja
una granja como quiera y después le dará las ins-
trucciones a su compañero para que él haga una
granja igual. Cuando terminen, quitan la mochila
y comparan sus granjas, si no quedaron iguales
analicen por qué”. Al término, haga una puesta
en común, analizando las instrucciones exitosas y
anotándolas para usarlas en actividades posterio-
res. Esta actividad se puede hacer varias veces con
diferentes escenarios (ciudad, parque, zoológico,
etc.) con el propósito de que los alumnos vayan
afinando sus instrucciones para ubicar objetos.
Los niños construyen sus maneras de re-
presentar los trayectos y no necesariamente son
las que se promueven en la escuela; no obstante,
estas producciones deben ser el punto de partida
para llegar a las convencionales que se estudian
en grados posteriores. Es muy probable que en sus
primeras producciones los alumnos representen o
describan trayectos sin considerar puntos de refe-
rencia importantes. Insistir en las actividades de
comunicación de trayectos, seguidas de la realiza-
ción del trayecto representado (cuando sea posi-
ble, por ejemplo, cómo ir del salón a la dirección)
o del análisis de estas producciones en una puesta
en común, tenderá a que perciban la importancia
de incluir elementos de referencia y que mejoren
cada vez más sus representaciones y descripciones.
EJE FORMA, ESPACIO Y MEDIDA
Tema • Ubicación espacial
Aprendizaje esperado • Representa y describe oralmente la ubicación de seres u objetos, y de trayectos para ir de un lugar
a otro en su entorno cercano (aula, casa, escuela).
238

Desde preescolar y en los grados anteriores,
los alumnos han trabajado con diversas figuras
geométricas con el propósito de familiarizarse con
ellas. En tercer grado avanzarán en el estudio de
los triángulos al resolver problemas que impliquen
comparar sus lados. Asimismo, explorarán la si-
metría de diversas figuras respecto a un eje y, en
particular, identificarán este tipo de simetría en los
triángulos.
Para construir las figuras, entre ellas los
triángulos, se seguirán usando diversos recursos:
plantilla o caras de cuerpos geométricos usadas
como moldes, cortado o doblado de papel, o
retículas como las siguientes.
Se pretende que los niños caractericen el
triángulo como una figura de tres lados y que ten-
gan una imagen conceptual muy amplia de esta
figura, para ello es importante trabajar diversos
tipos de triángulos, sin nombrarlos todavía formal-
mente, con diversos materiales y presentados en
diferentes posiciones. Identificarán los triángulos
que tienen simetría respecto a un eje y los que no
la tienen, e identificarán y trazarán los ejes. No es
necesario dar definiciones al respecto.
Algunos ejemplos de actividades son las si-
guientes.
a) ¿Dónde cortarías este hexágono para obtener
triángulos de tres lados iguales? Marca con
un lápiz y luego corta y verifica tu respuesta.
¿Cuántos ejes de simetría tienen los triángulos
que obtuviste?
Tema • Figuras y cuerpos geométricos
Aprendizaje esperado • Construye y analiza figuras geométricas, en particular triángulos, a partir de comparar sus lados y
su simetría.
239

b) En otro hexágono como el anterior, marca con
un lápiz dónde cortarías para obtener triángu-
los con solo dos lados iguales (y uno diferente).
Después haz los cortes y verifica tu respuesta.
¿Cuántos ejes de simetría tienen los triángulos
que obtuviste?
Uso de TIC
Se recomienda que busquen actividades de sime-
tría interactiva en internet o que las hagan en pro-
gramas que incluyan la herramienta de girar hori-
zontal o verticalmente.
Tema • Magnitudes y medidas
Aprendizajes esperados • Estima, compara y ordena longitudes y distancias, pesos y capacidades usando metro, kilogramo,
litro y medios y cuartos de estas unidades y en el caso de la longitud, el centímetro.
• Compara y ordena la duración de diferentes sucesos usando la hora, media hora, cuarto de hora y
los minutos; lee relojes de manecillas y digitales.
En grados anteriores, los alumnos han hecho com-
paraciones directas, con intermediario o usando
unidades no convencionales de longitudes, pesos
y capacidades. Han usado las unidades metro, kilo-
gramo y litro en situaciones sencillas. En este gra-
do, y en congruencia con lo que están estudiando
sobre fracciones, se introducen las nociones de
medios y cuartos de estas unidades.
Respecto a la longitud, en segundo grado los
alumnos midieron longitudes utilizando una uni-
dad; ahora resolverán problemas en los que el uso
de una sola unidad implica márgenes de error muy
grandes por lo que se necesita fraccionarla para lo-
grar mayor precisión. Por ejemplo, si a cada niño se
le da una tira de cartón y debe mandar un mensaje
a un compañero que no puede ver la tira para que
haga otra del mismo tamaño, entonces, al ver
que la unidad no cabe un número entero de veces,
pueden cortarla en mitades y cada mitad en otra
mitad (cuartos). Esto les permitirá enviar mensajes
como: “Mide cuatro tiras, una media tira y un cuar-
to de tira”. Después, se puede hacer la actividad
usando un metro hecho de cartulina para que los
alumnos construyan el medio metro y el cuarto de
metro. La idea de dividir cada unidad en dos partes
y no en diez como en el sistema convencional es,
generalmente, más accesible para los alumnos. En
este grado se introduce la medición en centíme-
tros, para ello se puede usar un metro graduado en
centímetros o la regla.
En el caso del peso se sugiere que los alum-
nos tengan bolsas con semillas que pesen un kilo-
gramo, medio kilogramo y un cuarto de kilogramo,
y que mencionen objetos que ellos estimen que
pesan, por ejemplo, más de medio kilogramo pero
menos de un kilogramo, más de un cuarto de kilo-
gramo pero menos de medio kilogramo. Lo ideal
es contar con una báscula que permita comprobar
sus estimaciones. Un tratamiento similar se reco-
mienda para la capacidad: tener recipientes de un
litro, medio litro y un cuarto de litro, y un recipiente
graduado en medios y cuartos de litro.
Si en la comunidad se emplean unidades
regionales para la longitud, peso o capacidad (por
ejemplo, la vara, el almud o la lata de sardina), ha-
bría que considerarlas para el trabajo escolar.
240

Respecto al tiempo, en los grados anteriores
los alumnos estudiaron el día, la semana, el mes y
el año, ahora interesa que adquieran una idea de
la duración de unidades más pequeñas: la hora
y el minuto. Es importante que los alumnos tengan
experiencias que impliquen comparar y ordenar el
tiempo necesario para ejecutar actividades, ha-
cer una actividad que dure el mismo tiempo que
otra, y hacer y verificar estimaciones primero con
unidades no convencionales (contando, dando pal-
madas, volteando un reloj de arena) y luego con
las convencionales. Dado que por primera vez los
alumnos van a trabajar con la hora y los minutos,
el reloj de manecillas puede ser adecuado para ini-
ciar el trabajo con dichas unidades convencionales
de tiempo, su lectura es un aprendizaje de este
grado. Después es importante que también conoz-
can el reloj digital.
Uso de TIC
Se sugiere que los alumnos busquen un reloj vir-
tual en internet y lo utilicen en algunas actividades.
EJE ANÁLISIS DE DATOS
Tema • Estadística
Aprendizajes esperados • Recolecta, registra y lee datos en tablas.
• Lee pictogramas sencillos.
Es necesario continuar en este grado con las acti-
vidades de recolección y registro de datos porque
son la base sobre la cual se construye el conoci-
miento estadístico. Las preguntas específicas de-
ben ser interesantes para los alumnos, de manera
que detonen la necesidad de búsqueda de datos en
determinados contextos. También es importante
continuar con las actividades de organización de
datos en tablas y de lectura e interpretación de es-
tas por medio de preguntas interesantes.
Lectura de pictogramas
Los pictogramas consisten en una representación
gráfica de los datos recogidos en agrupaciones de
filas y columnas. En este grado se sugiere que intro-
duzca a los alumnos a la interpretación de este tipo
de representaciones. Las actividades pueden consis-
tir, por ejemplo, en preguntar a cada alumno cuál es
sufrutafavorita,suanimalfavoritoosusabordehe-
lado preferido. Después de recoger la información,
los alumnos pueden hacer la tabla correspondiente
y usted organizar los datos en un pictograma e irlo
explicando mientras lo hace; por ejemplo, decir qué
información representan las filas y las columnas.
Una vez construido el pictograma, plantee algunas
preguntas acerca de su lectura; por ejemplo: “¿Cuál
es el sabor de helado que más les gusta a los alum-
nos de esta clase? ¿Cuántos lo prefieren? ¿Cuál es el
que menos les gusta?”. Los pictogramas pueden ha-
cerse con dibujos, con tarjetas o con recortes.
241

Otro ejemplo de actividad consiste en que
usted presente una agrupación de datos en filas o
columnas que contenga información real obtenida
de los medios, de modo que los alumnos tengan
la experiencia de obtener nuevo conocimiento a
partir de información pública y reflexionar sobre la
importancia, por ejemplo, de seguir las recomen-
daciones que las instituciones de salud emiten
para prevenir una enfermedad. Este tipo de acti-
vidades pueden favorecer también la relación de
Matemáticas con Ciencias Naturales u otras asig-
naturas del currículo.
242

Sugerencias de evaluación
El propósito de la evaluación no consiste solo en
asentar una calificación para cada alumno. La eva-
luación debe ser también una forma de recabar in-
formación y evidencias que den cuenta de lo que
los estudiantes saben, de las habilidades matemá-
ticas que han desarrollado y de por qué se equivo-
can o tienen fallas. En este sentido, la evaluación
debe brindarle a usted la posibilidad de conocer
qué han aprendido sus alumnos, la eficacia de las
actividades que les propone y qué puede hacer
para mejorar dicho aprendizaje. Esto se logra en
diferentes momentos, como durante el desarrollo
de la clase, por ejemplo, o bien, cuando un estu-
diante pasa al pizarrón a explicar cómo resolvió un
problema y usted le plantea preguntas acerca de
qué fue lo que hizo para resolverlo, qué entendió y
cómo se le ocurrió ese procedimiento.
Identifique lo que los alumnos aprendieron
y qué les falta por aprender, esto le permite poner
en juego nuevas estrategias que los ayuden a su-
perar esas dificultades de aprendizaje, así como
dar la realimentación pertinente, a fin de superar
determinada carencia.
Para el alumno, la evaluación debe ser una
oportunidad de mostrar y valorar lo que ha apren-
dido, de asumir su responsabilidad en lo que con-
cierne a su aprendizaje, así como de recibir reali-
mentación que lo ayude a superar las dificultades
que se le han presentado para lograrlo.
Por lo anterior, la evaluación en la asignatura
Matemáticas tiene un enfoque formativo, esto es
que brinda una oportunidad de reflexión y apren-
dizaje tanto para el alumno como para usted.
La evaluación formativa no excluye el asen-
tar una calificación ni la posibilidad de incorporar
momentos con el propósito específico de investi-
gar los logros de los alumnos por medio de algún
instrumento para tal efecto.
Dado que es un proceso que se lleva a cabo
de manera sistemática durante el desarrollo de las
clases, a lo largo de todo el ciclo escolar existen di-
versas técnicas e instrumentos que son útiles para
recabar información. Estos pueden ser:
a) Informales, como la observación, la explora-
ción de conocimientos y habilidades a partir de
preguntas orales, que se aplican con el apoyo
de diarios de clase, registros anecdóticos y lis-
tas de control.
b) Semiformales, como la resolución de situacio-
nes problemáticas, ejercicios y prácticas en cla-
se, la explicación de soluciones, el desarrollo de
tareas en casa, a partir del uso de listas de cote-
jo, rúbricas, escalas estimativas y portafolios de
evidencias.
c) Formales, como los exámenes, que conviene
analizar con ayuda de listas de cotejo o escalas
estimativas.
Cabe resaltar que tanto la tarea —enten-
dida como la actividad, el ejercicio o el problema
que se plantea a los alumnos para desarrollar la
capacidad matemática— como la forma en que se
evalúa deben ser congruentes con el propósito de
la evaluación, es decir, con lo que se quiere evaluar.
Por ejemplo, si el interés es valorar la forma como
los alumnos se involucran en el trabajo en grupo o
su habilidad para comprender, comunicar o validar
ideas matemáticas, el examen escrito no es la for-
ma más adecuada para obtener esta información.
De ahí la relevancia de que para evaluar a los alum-
nos se utilicen técnicas e instrumentos diversos
que permitan conocer el avance que van teniendo
en los procesos de apropiación de conocimientos y
actitudes y en el desarrollo de habilidades.
En relación con los exámenes escritos, se re-
comienda que estos sean breves y se elaboren con
preguntas que resalten lo esencial de un tema, sin
darle peso exagerado a las definiciones o a los sig-
nificados; con una estructura que combine tanto
reactivos cerrados como abiertos, donde el alum-
no muestre el dominio que tiene sobre un conteni-
do matemático de varias formas. En algunos casos,
la calculadora puede ser un recurso que se utilice
con el fin de priorizar el tiempo para el desarrollo
de procedimientos y cálculos complejos.
Tradicionalmente, el examen se ha utilizado
como único instrumento para asignar una califica-
243

ción a los alumnos y la única información que de él
se obtiene es el número de aciertos que consiguen.
Esto no da cuenta de aspectos más profundos del
proceso de enseñanza y aprendizaje, por lo que
además de ello —y como se dijo antes— el examen
debe ayudarlo a usted a conocer diferentes res-
puestas correctas y los errores comunes del grupo.
En particular, este análisis le permitirá de-
tectar cuáles y de qué tipo son las dificultades
que tuvieron los alumnos, valorar la pertinencia
de las preguntas y tomar decisiones para ayudar-
los a seguir avanzando.
Es fundamental tener presentes las líneas de
progreso que se describen en las Sugerencias de eva-
luación generales de este documento, ya que estas
definen el punto inicial y la meta a la que se pue-
de aspirar en lo que respecta al desempeño de los
alumnos:
1. De resolver problemas con ayuda, a resolverlos
de manera autónoma.
2. De la justificación pragmática, al uso de propie-
dades.
3. De los procedimientos informales, a los proce-
dimientos expertos.
Finalmente, es importante considerar que
la evaluación también representa una fuente de
información y de acción para las familias de los
alumnos, así como para otros maestros que es-
tán o estarán involucrados en su proceso de edu-
cación escolar. Informar a las familias sobre los
logros, las necesidades de aprendizaje y la forma
como pueden ayudar a sus hijos traerá benefi-
cios, ya que se pueden convertir en colabora-
dores de su proceso de aprendizaje. Para otros
maestros, los resultados de las evaluaciones dan
cuenta del proceso que ha seguido un alumno y
de lo que es capaz de hacer, y les facilita tomar
decisiones para apoyarlo en los aspectos que
necesite superar.
244

Hacia dónde se avanza en este currículo
• Se tiene una posición más clara sobre la concepción de las
matemáticas y sobre el papel de la resolución de problemas.
• Las “Orientaciones didácticas” se recuperan, con explicaciones,
sugerencias de actividades y algunas articulaciones posibles.
• Se integró el eje “Número, Álgebra y Variación” que ahora incluye
“Proporcionalidad”.
• En aritmética se nombran los temas de acuerdo con las operaciones
básicas. Se mantiene el estudio de los sistemas de numeración
romano y maya. En sexto grado se introducen los números enteros.
• El álgebra es una herramienta vinculada al estudio de la
variación.
• Por su amplio uso social, la ubicación espacial se trabaja a partir
de tercer grado; en sexto se estudian los cuatro cuadrantes del
plano cartesiano.
• “La construcción de cuerpos” es el eje para el estudio de las
características de las figuras.
• El tema “Medida”, ahora es “Magnitudes y medidas”, para
enfatizar la importancia de la magnitud en sí misma. Antes de
medir magnitudes se estiman, comparan y ordenan.
• Se retrasó el estudio de los ángulos; las fórmulas con literales para
calcular área y las conversiones de medidas pasan a secundaria.
• El eje “Manejo de la información”, se reorganizó y ahora es
“Análisis de datos”, que incluye solo “Estadística” y “Probabilidad”.
El estudio de la probabilidad ahora se inicia en primaria.
• En tercer grado de primaria, en el eje “Forma, espacio y medida”,
se retoma el trabajo del tema “Figuras y cuerpos geométricos”,
particularmente construyendo y analizando triángulos.
• En este grado se avanza significativamente en el trabajo
con las magnitudes, ya que ahora se incorpora el uso de unidades
convencionales como el kilogramo, el litro y el metro y algunas
fracciones de las mismas.
• Ya no es motivo de estudio el desarrollo y análisis de patrones
y sucesiones.
Afrontar nuevos retos
Cimentar logros
Aspectos del Currículo anterior que
permanecen
• El enfoque didáctico para el estudio de las
matemáticas es la resolución de problemas.
Este enfoque implica plantear situaciones
problemáticas interesantes
y retadoras que inviten a los alumnos a
reflexionar, a encontrar diferentes formas
de resolverlas y a formular argumentos para
validar los resultados; así como también que
favorezcan el empleo de distintas técnicas de
resolución y el uso del lenguaje matemático para
interpretar y comunicar sus ideas.
• El aprendizaje se sustenta en los conocimientos
previos de los alumnos, de tal forma que ellos
aprovechen lo que saben y avancen en la
construcción de conocimientos cada vez más
complejos y en el uso de técnicas más eficaces.
• La actividad fundamental en los procesos de
estudio de la asignatura es el razonamiento; sin
embargo, los ejercicios de práctica y el uso de la
memoria son complementarios y necesarios para
facilitar el tránsito a procesos más complejos.
• El enfoque de la evaluación de la asignatura es
formativo. Se trata de un proceso sistemático
cuyo propósito es mejorar el desempeño de
los alumnos, a partir de la observación de sus
procesos de aprendizaje y el seguimiento a sus
progresos. Un objetivo importante es que ellos
tengan oportunidades para reflexionar acerca de
lo que saben, lo que están aprendiendo y lo que
les falta por aprender.
11. evolución curricular
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