V10n2a2

Revista Latinoamericana de Investigación en Matemática Educativa (2007) 10(2): 191-218
Recepción: Enero 18, 2006/Aceptación: Junio 25, 2007
BRUNO D’AMORE y JUAN D. GODINO
EL ENFOQUE ONTOSEMIÓTICO COMO UN DESARROLLO DE LA
TEORÍA ANTROPOLÓGICA EN DIDÁCTICA DE LA MATEMÁTICA
ONTOSEMIOTIC APPROACH AS A DEVELOPMENT OF THE ANTHROPOLOGICAL
THEORY IN MATHEMATICS EDUCATION
RESUMEN. En este trabajo se presentan las principales características de dos puntos de vista usados
como marcos teóricos de referencia en investigaciones realizadas en Didáctica de la Matemática,
los denominados antropológico y ontosemiótico. El fin es resaltar analogías y diferencias entre estos
dos enfoques y abrir la puerta hacia otros desarrollos teóricos.
PALABRAS CLAVE: Fundamentos teóricos, matemática educativa, epistemología, cognición,
articulación teorías.
ABSTRACT. Presented in this work are the main characteristics of two points of view used as
theoretical frames of reference in studies carried out in mathematical didactics: anthropological and
ontosemiotic. The purpose is to highlight analogies and differences between these two approaches
and open the door to other theoretical developments.
KEY WORDS: Theoretical foundations, mathematics education, epistemology, cognition, theory
articulation.
RESUMO. Neste trabalho apresentamos as principais características de dois pontos de vista usados
como marcos teóricos de referência em investigações realizadas em Didática da Matemática,
denominados antropológico e ontosemiótico. A finalidade é enfatizar analogias e diferenças entre
estas duas aproximações e abrir a porta para outros desenvolvimentos teóricos.
PALAVRAS CHAVE: Fundamentações teóricas; educação matemática; epistemologia; cognição,
articulação de teorias.
RÉSUMÉ. Dans ce travail sont présentées les principales caractéristiques de deux approches
théoriques utilisées dans certaines recherches au sein de la Didactique des Mathématiques, ces
approches sont : l’anthropologique et l’ontosémiotique. Notre objectif est de relever les analogies et
les différences entre ces deux approches, afin de laisser libre au cours à d’autres développements
théoriques.
MOTS CLÉS: Fondements théoriques, didactique des mathématiques, épistémologie, cognition,
articulation des théories.

BRUNO D’AMORE y JUAN D. GODINO192
1. PLURALIDAD DE ENFOQUES TEÓRICOS EN
DIDÁCTICA DE LA MATEMÁTICA (DDM)
Establecer una fecha de nacimiento, aunque sea aproximada, para la Didáctica de
la Matemática (DdM), es una tarea sin éxito seguro y unívoco, como sucede con
cualquier otra disciplina. No obstante, creemos que muchos estarán de acuerdo en
afirmar que, tal como la conocemos en la actualidad, la DdM surgió en los años
setenta.
Si bien en un inicio había tantas interpretaciones de la DdM como
investigadores se ocupaban de ella, a finales de los ochenta Romberg (1988)
la concibió bajo unos parámetros “débiles” para la definición de una “ciencia
consolidada y estable”. Empero, el artículo de Sierpinska y Lerman (1996) sobre
epistemología de la matemática y de la educación matemática mostraba una
amplia variedad de enfoques teóricos para abordar la investigación en DdM, los
cuales todavía son esenciales.
De cierto modo, la existencia de una pluralidad de enfoques teóricos puede
significar enriquecimiento, mas para el progreso de una disciplina y la
potenciación de sus aplicaciones prácticas parece inevitable hacer el esfuerzo para
identificar algunos conceptos y métodos unificadores que, en un futuro inmediato,
puedan cristalizar en un verdadero y propio programa de investigación en DdM
(Lakatos y Musgrave, 1960).
En primer lugar, debemos hacer el esfuerzo de afrontar los problemas
metadisciplinares, ya que hay una necesidad urgente de clarificar las
nociones teóricas que se emplean en DdM, particularmente las que sirven para
analizar los fenómenos cognitivos y del aprendizaje matemático. No obstante, falta
un consenso en este tema, incluso al interior de la corriente que se suele llamar
epistemológica o didáctica fundamental (Gascón, 1998), debido a que ocupa
una variedad de términos e interpretaciones sin haber realizado análisis
previo, confrontación, clarificación y refinamiento, entre los que están
conocimiento, saber, concepción, concepto, esquema, invariante operatorio,
significado, praxeología... Estas son nociones de base, instrumentos o
herramientas cognitivas que tienen sus posibilidades y límites, de acuerdo con la
interpretación que se haga de ellas
Ahora bien, el problema crucial que se ha definido en la DdM durante los
últimos diez años –y, a nuestro entender, aún no terminado– es reconocer la
necesidad de elaborar nuevos constructos cognitivos que superen las eventuales
limitaciones de los existentes, ocupados a veces de manera acrítica. Sólo así será

EL ENFOQUE ONTOSEMIÓTICO 193
posible una sana y fundamental operación de reconocimiento sobre concordancias,
complementariedades, redundancias o discordancias entre las diversas posiciones.
Reparemos en que el uso del término cognitivo es conflictivo en sí mismo, ya
que puede aludir al conocimiento subjetivo o a los procesos mentales que los
sujetos ponen en funcionamiento cuando se enfrentan a los problemas. Desde el
punto de vista psicológico de la cognición matemática, tales procesos mentales
que suceden en el cerebro son los únicos constituyentes del conocimiento que se
deben tomar en cuenta. Sin embargo, dicha afirmación no atiende al hecho de que
los sujetos dialogan entre sí, consensúan y regulan los modos de expresión y
actuación ante cierta clase de problemas, ni que de esos sistemas de prácticas
compartidas emergen objetos institucionales, los cuales a su vez condicionan
los modos de pensar y actuar de los miembros de esas instituciones. Por tanto,
junto con los conocimientos subjetivos, que nacen de los modos de pensar y actuar
de los sujetos, es preciso considerar los conocimientos institucionales, a los cuales
se atribuye cierto grado de objetividad.
Con ello, se puede distinguir en la cognición matemática –y en la cognición en
general– la dualidad cognición individual-cognición institucional, que establece
relaciones dialécticas complejas. La cognición individual es resultado del
pensamiento y la acción del sujeto individual ante cierta clase de problemas,
mientras que la cognición institucional surge del diálogo, el convenio y la
regulación en el seno de un grupo de individuos ante cierta clase de problemas.
Una cognición individual no necesariamente coincide con una institucional
porque se puede identificar la cognición personal con el término cognitivo (lo cual
hace la psicología cognitiva), mientras que la cognición institucional con
epistémico, dado que se ocupa de un conocimiento institucional. Esta distinción
resulta de utilidad para afrontar dos enfoques teóricos de investigación en DdM
sobre los que centraremos nuestra atención: la teoría antropológica de lo didáctico
o TAD (Chevallard, 1992 y 1999) y el enfoque ontosemiótico del conocimiento y
la instrucción matemática o EOS (Godino y Batanero, 1994; Godino, 2002).
El objetivo del presente trabajo consiste en motivar la construcción del EOS a
partir de la identificación de ciertas limitaciones en el desarrollo actual de la TAD,
sobre todo en su manera de interpretar la cognición matemática, que restringe
a su faceta institucional. Con este propósito expondremos una síntesis de
las principales nociones que han desarrollado ambos enfoques teóricos, las
ilustraremos con un resumen de dos investigaciones hechas en dichos marcos, y

concluiremos resaltando la propuesta del EOS de articular la cognición
institucional y la personal1
.
2. EL PUNTO DE VISTA ANTROPOLÓGICO
2.1. Un punto de partida: la perspectiva pragmática del conocimiento matemático
Ante la necesidad de clarificar la naturaleza del significado, se suele mencionar
a dos categorías de teorías del significado, establecidas por Kutchera (1979): la
realista o figurativa y la pragmática. Sólo aclarando el modo de concebir el
significado podrá hablarse de construcción del significado y, por ende, de
conocimiento matemático.
Describiremos brevemente la macrodistinción filosófica entre las teorías
realistas y las pragmáticas, que aparece sintetizada en la Tabla I.2
En la
teoría realista, el significado es una “relación convencional entre el signo y la
entidad concreta o ideal que existe independientemente del signo lingüístico; por
consiguiente, suponen un realismo conceptual” (Godino y Batanero, 1994, p.
328). Como asegura Kutschera (1972): “Según esta concepción, el significado de
una expresión lingüística no depende de su uso en situaciones concretas, sino
que el uso se rige por el significado, siendo posible una división tajante entre
semántica y pragmática” (p. 34).
TABLA I
Principales características de las teorías realistas y pragmáticas (parte 1)
1
Véase Godino (2006), donde se amplía el análisis comparativo del EOS con otros modelos teóricos
desarrollados en el ámbito de la didáctica francesa.
2
Para profundizar en los aspectos críticos, históricos y epistemológicos de este tema, véase Godino y
Batanero (1994) y D’Amore (2003).

TABLA I
Principales características de las teorías realistas y pragmáticas (parte 2)
La semántica realista atribuye a las expresiones lingüísticas funciones
puramente semánticas. Así, el significado de un nombre propio (por ejemplo,
‘Bertrand Russell’) es el objeto que el nombre propio indica (Bertrand Russell);
los enunciados atómicos expresan hechos donde se describe a la realidad (como ‘A
es un río’, donde A es el nombre de un río), y los predicados binarios designan
atributos, indicados en la frase que los expresan (como ‘A lee B’, donde la persona
A lee la cosa B). Por tanto, toda expresión lingüística constituye un atributo
de cierta entidad y la relación nominal que se deriva es la única función semántica.
Se reconoce aquí la base de la posición de Frege, Carnap y la de Wittgenstein en el
Tractatus.
Una consecuencia de esta posición es admitir la posibilidad de una
observación científica objetiva, como puede ser, en un primer nivel, una lógica de
los enunciados y de los predicados.
Desde el punto de vista que nos interesa, si aplicamos los supuestos
ontológicos de la semántica realista a la matemática estamos abocados a una
visión platónica de los objetos matemáticos, desde esta perspectiva elementos
como las estructuras tienen una existencia real que no depende del ser humano, en

cuanto pertenecen a un dominio ideal. Por tanto, conocer desde un punto de vista
matemático significa descubrir entes y sus relaciones en tal dominio.
Es claro que tal perspectiva implica un absolutismo sobre el conocimiento
matemático en cuanto sistema de verdades seguras, eternas, no modificables por la
experiencia humana, ya que estas verdades son precedentes o, por lo menos, ajenas
e independientes a la experiencia humana. Posturas de este tipo, aunque con
diversas matizaciones, fueron sostenidas por Frege, Russell, Cantor, Bernays y
Gödel, pero también hallamos críticas violentas, como el convencionalismo de
Wittgenstein y el quasiempirismo de Lakatos (Ernest, 1991; Speranza, 1997).
Para las teorías pragmáticas, las expresiones lingüísticas tienen significados
diversos, según el contexto en el que se usen, de ahí que resulte imposible
cualquier observación científica objetiva porque el único análisis posible es
personal o subjetivo, en todo caso circunstancial y no generalizable. No se
puede hacer otra cosa que examinar los diversos usos, que determinan el
significado de los objetos.
Se reconoce aquí la posición de Wittgenstein en sus Investigaciones
filosóficas, cuando admite que la significatividad de una palabra depende de su
función en un juego de lenguaje, puesto que allí tiene un modo de uso y un fin
concreto para el cual se ha usado. La palabra no tiene por sí un significado, pero
puede ser contextualmente significativa (Wittgenstein, 1953, 1976).
Los objetos matemáticos son, por tanto, símbolos de unidades culturales que
emergen de los sistemas de usos que caracterizan a la pragmática humana (o, al
menos, a grupos homogéneos de individuos), y se modifican continuamente en el
tiempo, según las necesidades. De hecho, los objetos matemáticos y su significado
dependen no sólo de los problemas que se afrontan en la matemática, sino también
de los procesos de su resolución; en suma, dependen de la práctica humana.
Es obvio que la perspectiva realista y la pragmatista no son del todo
complementarios ni están netamente separados, aunque por motivos de claridad
hemos preferido dar esta impresión fuerte. Volveremos sobre este punto.
Quisiéramos también señalar cómo, según Bloor (1982), la visión pragmática
recoge la herencia de Wittgenstein, y que la elección del campo pragmático
aparece a muchos investigadores como muy próxima a la realidad del proceso
empírico del cual se ocupa la DdM (D’Amore y Fandiño Pinilla, 2001).
2.2. Principales nociones del punto de vista antropológico en DdM
Haber forzado al investigador a centrar toda su atención en las actividades de las
personas implicadas en la matemática –no sólo resolver problemas, sino también

comunicar la matemática– es uno de los méritos que se reconoce al punto de
vista antropológico, el cual ha inspirado a otras perspectivas, como la teoría
antropológica de lo didáctico (Chevallard, 1999).
¿Por qué este adjetivo de antropológico? Esto no es privativo de la
aproximación creada por Chevallard en los años ochenta, como él mismo afirma,
sino un efecto del lenguaje (Chevallard, 1999); distingue a la teoría, la identifica,
pero no le es peculiar de manera unívoca. Ahora bien, la TAD se centra casi de
manera exclusiva en la dimensión institucional del conocimiento matemático,
siendo un desarrollo del programa de investigación iniciado con la didáctica
fundamental (Gascón, 1998). El punto crucial radica en que la TAD “pone
la actividad matemática y, por tanto, la actividad de estudio de la matemática, en
el conjunto de la actividad humana y de las instituciones sociales” (Chevallard,
1999).
En la tradición pragmática, Chevallard (1991) definió al objeto matemático de
la siguiente manera:
Un emergente de un sistema de prácticas donde son manipulados objetos materiales
que se desglosan en diferentes registros semióticos: registro de lo oral, palabras o
expresiones pronunciadas; registro de lo gestual; dominio de la inscripción, lo que
se escribe o dibuja (grafismos, formulismos, cálculos, etc.), es decir, registro de lo
escrito. (p. 8)
Al ser el praxema un objeto material ligado a una práctica, el objeto es
entonces emergente de un sistema de praxemas.
En este enfoque teórico no tiene interés la noción realista ingenua significado
de un objeto (del conocimiento en general, matemático en particular), sino más
bien la de rapport à l’objet, relación al objeto. Sobre esta idea se apoya la
construcción inicial de la teoría del conocimiento o antropología cognitiva de
Chevallard, en cuyo interior se puede ubicar a la didáctica. Además, para esta
postura teórica es central la persona o la institución (como conjunto de personas)
que se pone en relación al objeto, no el objeto en sí:
Un objeto existe desde que una persona X o una institución I reconoce este objeto
como un existente (para ella). Más precisamente, se dirá que el objeto O existe para
X (resp., para I) si existe un objeto, que represento por R(X,O) [resp., R(O)], al cual
llamo relación personal de X a O (resp., relación institucional de I a O) [Chevallard,
1992, p. 9].
Esta posición ha generado un cambio interesante en los enfoques teóricos
usados actualmente en DdM, tanto más si se subrayan las investigaciones de otros
autores para clarificar y hacer operativas las nociones de Chevallard. Por ello, han
creado instrumentos conceptuales adecuados y los han comparado con otros,

introducidos en el campo por otras posiciones relacionadas. Algunas nociones
propuestas como instrumentos para describir la actividad matemática y sus objetos
institucionales emergentes son: obra matemática, praxeología matemática,
praxeología didáctica y relación institucional al objeto.
Obra matemática: Es cualquier cosa que surge como respuesta a un conjunto
de cuestiones y un medio para alcanzar la solución, en el seno de cierta institución,
a tareas o problemas matemáticos (Gascón, 1998). Algunos ejemplos los ofrece
Chevallard:
Podemos considerar la obra matemática que responde, entre otras, a las preguntas
del tipo: ‘¿Cómo conseguir un determinado objeto al menor precio posible?’
‘¿Cómo lograr el mayor efecto posible con determinado esfuerzo?’ ‘¿Cómo
efectuar el máximo trabajo en un tiempo dado?’ (...) Se trata de cuestiones que, de
un modo u otro, se proponen en la institución escolar (Chevallard, 1996).
Las cuestiones o tareas y problemas a los que da respuesta una obra
matemática se cristalizan en uno o más tipos de problemas. Dicho concepto nos
será útil en breve.
Praxeología matemática: Sistema de prácticas que una institución considera
apropiadas para resolver un tipo de tareas, de acuerdo con Chevallard, Bosch y
Gascón (1997). El concepto es análogo al de significado institucional de un objeto
matemático, propuesto por Godino y Batanero (1994).
Si se adopta una epistemología de tipo pragmatista, las praxeologías atañen a
los significados de los objetos matemáticos (teorías, contenidos u organizaciones
matemáticas).
Praxeología didáctica: Coincide con la praxeología matemática, pero la
componente praxémica alude a las tareas del profesor y de los alumnos,
técnicas de estudio, etc. Incluye referencias problemáticas al lenguaje
específico (dialógico) que se instaura entre el profesor y el alumno y al objeto
llamado trayectoria didáctica (proyecto didáctico), en el cual asume
significado específico el tiempo durante el cual se desarrolla (Chevallard, 1999).
Relación personal al objeto: Chevallard (1991) afirma que reagrupa todas las
nociones propuestas en la psicología (como los casos de concepción, intuición,
esquema, representación interna). Es, a su vez, un objeto, R(X,O), definido
anteriormente como relación personal de X (persona) al objeto O (objeto).
Relación institucional al objeto: Chevallard (1991) dice que es a su vez un
objeto R(I,O), definido más arriba como relación institucional de I (institución) a
O (objeto).

La noción de praxeología se ha convertido con el tiempo en una de las bases
para la teoría antropológica. Es descrita por Chevallard (1999) de la siguiente
manera:
Alrededor de un tipo de tareas T se encuentra así, en principio, una tripleta formada
por al menos una técnica, τ, por una tecnología de τ, θ, y por una teoría de θ, Θ. El
total, indicado por [T/τ/θ/Θ], constituye una praxeología puntual, donde este último
calificativo significa que se trata de una praxeología relativa a un único tipo de
tareas, T. Una tal praxeología –u organización praxeológica– está pues constituida
por un bloque práctico-técnico, [T/τ], y por un bloque tecnológico-teórico [θ/Θ].
El bloque [θ/Θ] se identifica habitualmente como un saber, mientras que el
bloque [T/τ] constituye un saber-hacer. Por metonimia, se designa corrientemente
como saber la praxeología [T/τ/θ/Θ] completa, o incluso cualquier parte de ella.
Pero esta manera de hablar estimula una minoración del saber-hacer, sobre todo en
la producción y difusión de las praxeologías. (pp. 224-229)
La teoría antropológica no indica que las técnicas se consideran como
herramientas para el análisis de la cognición del sujeto, sino que la cognición se
interpreta sólo en un sentido institucional. Por tanto, son herramientas de tipo
epistémico, no cognitivo.
Aunque no se ha precisado hasta el momento, parece claro que como
constituyentes de las tecnologías y de las teorías están los conceptos, las
proposiciones y las demostraciones matemáticas, mediante los cuales se logra
justificar y explicar las técnicas. Dichas nociones están implícitamente contenidas
en las praxeologías matemáticas y tienen naturaleza epistémica (por ende,
institucional).
Praxeología matemática global: Es la extensión de la praxeología matemática
puntual a todos los tipos T posibles de problemas, con las variaciones
consiguientes.
2.2.1. Una interpretación de la Teoría Antropológica de Chevallard
Sierpinska y Lerman (1996) presentan una síntesis e interpretación de la
antropología del conocimiento elaborada por Chevallard, a la que consideran como
una ampliación de la epistemología (tradicionalmente, el objeto de estudio de
la epistemología era la producción del conocimiento científico). Ahora bien, la
antropología del conocimiento comprende no sólo los mecanismos de
la producción, sino también las prácticas relacionadas con el uso o
aplicación del conocimiento científico, su enseñanza y transposición, es decir, el
tratamiento del conocimiento que hace que ciertos aspectos del mismo se adapten

para funcionar en distintos tipos de instituciones (por ejemplo, la escuela). Como
el punto de vista antropológico nace de los estudios sobre la transposición
didáctica, este es nuestro punto de partida.
En sus comienzos, la noción de transposición didáctica (Chevallard, 1985,
1990) planteó ciertas hipótesis más o menos tácitas sobre el conocimiento
matemático que la distinguieron fuertemente del constructivismo epistemológico
(Sierpinska y Lerman, 1996). Por ejemplo, consideró que había un
objeto identificable, llamado saber sabio matemático, contra el cual el contenido
de la matemática enseñada en las escuelas podía ser comparado y juzgado como
legítimo o no. Esto era completamente extraño al punto de vista constructivista, ya
que le parecía inexplicable concebir la existencia de conocimiento fuera de las
mentes de los individuos. Asimismo, la teoría de la transposición didáctica asumió
tácitamente que existía un estado de conocimiento ideal al que la enseñanza y el
aprendizaje deberían converger, lo cual fue contrario a la manera en que los
constructivistas veían los procesos de enseñanza y aprendizaje.
Sin embargo, la teoría de la transposición didáctica ha sido criticada por la
vaguedad de la noción saber sabio matemático (Freudenthal, 1986). Una respuesta
a este juicio (Arsac, 1992) reveló el carácter sociocultural de dicha noción: la
sociedad reconoce la existencia de un cierto grupo de profesionales que producen
conocimiento, el cual se considera cognoscible o científico dentro de la cultura.
También Chevallard (1991) se interesó por la relación entre la práctica social
de la investigación en matemática y la práctica social de la enseñanza y
aprendizaje de la matemática en la escuela. Al centrarse más en las prácticas
sociales y las instituciones que en el conocimiento, Chevallard extendió su teoría
de la transposición didáctica a las dimensiones de una antropología (Sierpinska y
Lerman, 1996), al decir que todo conocimiento es conocimiento de una
institución. Bajo este enfoque, la investigación profesional en matemáticas es
una institución, la escuela otra, la familia otra. Además, la matemática vive en la
industria y los negocios, pero por medio de una adaptación, se convierte en una
matemática diferente. Por ello, quienes se ocupen de la epistemología de la
matemática deberán investigar las fuentes, modos de control y mecanismos de
crecimiento de la matemática en todos los nichos ecológicos donde vive.
La aproximación antropológica a la epistemología llevó a Chevallard a adaptar
la noción de conocimiento del individuo. No hay ninguna cuestión de estructuras o
modelos mentales en esta noción, sino una actitud (rapport), una relación a y un
funcionamiento con respecto a lo que una institución define como conocimiento.
Se conoce o no sólo en relación con la opinión de una institución, no en un sentido
absoluto (Arsac, 1992). Por tanto, no interesan los estudios de psicología del

aprendizaje o del conocimiento, sino los análisis antropológicos sobre las
instituciones.
Entre los resultados puestos a discusión desde los inicios de la transposición
didáctica está la diferencia entre los contratos institucionales, que incluyen el
conocimiento producido en la investigación matemática por los investigadores
profesionales y los conocimientos escolares (Sierpinska y Lerman, 1996). Tal
diferencia determina dos actitudes diferentes entre el investigador y el estudiante
que aprende, como ha puesto en evidencia Balacheff (1990), a propósito de la
actividad de demostrar.
La teoría de la transposición didáctica propone otros constructos
epistemológicos, entre ellos las nociones de despersonalización y
descontextualización del conocimiento. Quien crea resultados matemáticos los
despersonaliza y los descontextualiza para comunicarlos a sus colegas
matemáticos; en un contexto eficaz de aprendizaje sucede un proceso inverso. El
aprendiz tiene que hacer el resultado como propio, crear un camino personal para
su comprensión y encarnarlo en el contexto de los problemas donde trabaje: el
conocimiento debe convertirse en conocimiento personal.
Otra distinción útil que establece la teoría de la transposición didáctica es la
que trata el conocimiento como saber a enseñar, y como saber del cual los
alumnos se deben responsabilizar (conocimiento o saber a aprender).
Las propuestas y afirmaciones del punto de vista antropológico contribuyen,
como siempre ocurre cuando se introducen nuevas visiones teóricas, a esclarecer
otras posiciones cuando hay posibilidad de analizarlas críticamente con diversas
perspectivas. En este sentido, nos parece interesante su relación con el
interaccionismo (Bauersfeld, 1994), ya que comparten algunos aspectos
(Sierpinska y Lerman, 1996):
- Ven la educación desde una perspectiva social y cultural.
- Dan prioridad a los procesos que crean dominios de consenso o de
acuerdo, interpretados como mecanismos que dan cuenta sobre la
relativa estabilidad de la cultura, donde ciertos elementos de la cultura
se convierten en aceptados como compartidos o que se imponen por sí,
son transparentes.
Ambos puntos de vista están interesados en los mecanismos de cambio.
Los interaccionistas miran la enseñanza y el aprendizaje a un nivel micro
–desde dentro de la clase– y atribuyen un papel importante a las contribuciones

individuales, a los profesores y a los estudiantes. Aquí, las nociones de
reflexividad y emergencia refieren al cambio en las culturas de la clase.
Para Chevallard, quien estudia los sistemas didácticos a un nivel macro, la
fuente de cambio radica en el trabajo de la noosfera o la interfaz entre las escuelas
y la sociedad en su conjunto, donde se conciben la organización, contenidos y
funcionamiento del proceso educativo (Sierpinska y Lerman, 1996).
La noosfera, que componen grupos como los matemáticos, las comisiones
ministeriales, los padres y directores escolares, se ocupa de manipular el
conocimiento, de acuerdo con las prioridades que emergen en la sociedad, en un
momento dado.
2.3. Ejemplo de investigación
2.3.1. El problema del paso de secundaria a la universidad
Es este apartado describiremos la investigación de Bosch, Fonseca y Gascón
(2004), la cual nos permitirá mostrar el tipo de explicación que aporta la TAD para
el fenómeno del elevado fracaso escolar en los estudiantes de primer curso de
estudios universitarios, basándose principalmente en la naturaleza y diversidad
de las organizaciones matemáticas incluidas en la educación secundaria y
universitaria.
La problemática docente y la hipótesis que se plantean en la investigación
están formuladas en los siguientes términos:
¿Cómo suavizar o disminuir las enormes dificultades que encuentran los alumnos
cuando pasan de estudiar matemáticas en secundaria a estudiar matemáticas en la
universidad? Y, complementariamente, ¿cómo podrían superarse las crecientes
dificultades con las que tropiezan los profesores de matemáticas del primer ciclo
universitario para llevar a cabo su trabajo? Estas dificultades se materializan en un
elevado fracaso escolar, que en el primer curso de algunos estudios universitarios
ha llegado a superar el 80%.
[Se asume como hipótesis básica] una despersonalización de la problemática
didáctica, situando en un primer plano el estudio de la actividad matemática
institucionalizada. Se postula, en contra del punto de vista psicopedagógico
dominante, que el problema del paso de secundaria a la universidad puede ser
explicado a partir del análisis de las prácticas matemáticas que se llevan a cabo en
las instituciones docentes (Bosch, Fonseca y Gascón 2004, p. 209).
Como consecuencia de esta hipótesis básica, se afirma que la causa del fracaso
escolar en el estudio de la matemática durante los primeros cursos universitarios

radica en las contradicciones y discontinuidades –o cambios bruscos– entre los
contratos didácticos institucionales vigentes entre las instituciones universidad y
secundaria. Dichos contratos rigen las organizaciones matemáticas y didácticas
respectivas, es decir, el tipo de prácticas matemáticas que pueden desarrollarse y la
forma como pueden organizarse en cada institución. “Postulamos que el estudio
comparado de las organizaciones que están presentes en la secundaria y en la
universidad nos permitirá explicar mejor las discontinuidades entre ambas
instituciones y los obstáculos que dificultan el tránsito entre ellas” (Bosch,
Fonseca y Gascón, 2004, p. 211).
La investigación se centra en caracterizar cómo son las organizaciones
matemáticas en secundaria y formula la siguiente hipótesis:
La actividad matemática que se lleva a cabo en secundaria es esencialmente
práctico-técnica y raramente alcanza el nivel tecnológico. Como consecuencia, las
OM3
que se estudian en S son generalmente OM puntuales, muy rígidas y aisladas
(o poco coordinadas entre sí), lo que dificulta e incluso impide que en dicha
institución se reconstruyan efectivamente OML relativamente completas (Bosch,
Dicha hipótesis se comprueba a través de una prueba escrita que se aplica a
una muestra de estudiantes de primer curso de universidad, en sus primeros días de
ingreso y el análisis sobre una muestra de libros de texto de secundaria.
El cuestionario consta de 31 cuestiones, agrupadas en torno a cinco
dimensiones:
C1. Dependencia de la nomenclatura asociada a una técnica.
C2. Aplicar una técnica no incluye interpretar el resultado.
C3. No existen dos técnicas diferentes para realizar una misma tarea.
C4. Ausencia de técnicas para realizar una tarea inversa.
C5. Ausencia de situaciones abiertas de modelización.
Las dimensiones también son usadas para hacer una pauta de análisis sobre las
tareas que incluyen los libros de texto.
Los autores precisan que la intención del cuestionario aplicado a los
estudiantes no pretende analizar los conocimientos matemáticos de los
estudiantes, ni individualmente ni colectivamente.
Nuestro objetivo principal consiste en utilizar las respuestas de los estudiantes
como indicadores de algunas características de las OM que se estudian en S y poner
3
OM son las organizaciones matemáticas y OML las organizaciones matemáticas locales.

de manifiesto la existencia y la naturaleza de determinados obstáculos
epistemológicos y didácticos que dificultan el desarrollo del proceso de estudio de
las matemáticas en el paso de secundaria al primer ciclo de la universidad (Bosch,
Los índices de dificultad que tienen los ítems del cuestionario (porcentajes de
respuestas correctas), así como el número total de tareas de los libros que reúnen
ciertas características asociadas a las dimensiones indicadas, son interpretados de
manera conjunta para sacar conclusiones sobre las relaciones “entre los diferentes
aspectos de la rigidez de las OM que se estudian en secundaria, la incompletitud
relativa de las OML que se reconstruyen en dicha institución, las restricciones
institucionales que pesan sobre la actividad matemática escolar y las
discontinuidades entre la secundaria y la universidad” (Bosch, Fonseca y Gascón,
2004, p. 238).
2.3.2. Algunos comentarios críticos
Parece obvio que hay diferencias importantes entre el tipo de matemática que se
estudia en secundaria y la correspondiente al primer curso de la universidad. Si
se introducen cambios en los currículos de matemática de ambos niveles y en la
forma como se desarrolla el estudio, o son modificados los contratos didácticos, se
puede influir en los aprendizajes de los estudiantes. El sentido de esa influencia
(que el aprendizaje se optimice o no) depende de cómo sean los cambios que
se realicen en la matemática y en la forma de estudiarlas.
No está claro que los cambios en las organizaciones matemáticas y didácticas
que se proponen en esta investigación, basados en los postulados de la TAD,
vayan a producir mejorías en los aprendizajes de los estudiantes de secundaria.
Progresar desde unas organizaciones matemáticas puntuales, no articuladas y
rígidas, como se hace actualmente en secundaria, hacia organizaciones
matemáticas locales relativamente completas ⎯que abarcan tipos de tareas
integrados, con uso de diferentes técnicas y criterios para elegir entre ellos;
independencia de los ostensivos que integran las técnicas; existencia de tareas
abiertas y de técnicas inversas; interpretación del resultado de aplicar las
técnicas⎯ puede ayudar, sin duda, a disminuir los índices de fracaso en
la universidad, pero pueden aumentar los índices de fracaso en secundaria.
Lo anterior es consecuencia del postulado principal de la TAD, relativo a la
despersonalización de la problemática didáctica: el sujeto se identifica con
la institución. Si en la institución se configura una matemática de excelencia, los
sujetos aprenderán de manera automática esa matemática excelente. La
despersonalización también afecta al profesor, ya que las organizaciones

didácticas se definen en términos de momentos de la actividad matemática (los
cuales se traducen en tipos de tareas y técnicas que se proponen) y del discurso
tecnológico-teórico que las articula, justifica y generaliza.
En esta investigación, la fusión sujeto-institución que postula el enfoque
antropológico de la didáctica conduce a un planteamiento metodológico que nos
parece inapropiado para corroborar sus hipótesis. Un cuestionario aplicado a los
estudiantes evalúa los aprendizajes alcanzados, los conocimientos que han
adquirido. Sin embargo, como en los aprendizajes influyen múltiples factores,
entre ellos el tipo de matemática pretendida, no nos parece correcto inferir las
características de esa matemática de los porcentajes de respuestas correctas.
Incluso esto tampoco se podría hacer de las características de los libros de texto,
puesto que los significados implantados en las clases no vienen fijados de manera
determinista por el uso de los libros.
Por otra parte, creemos que el nivel de análisis de las organizaciones
matemáticas en términos del cuarteto –tareas, técnicas, tecnologías y teorías– no
permite un análisis suficiente de la complejidad ontosemiótica de esas
organizaciones, lo cual puede ser un factor explicativo sobre las dificultades de
aprendizaje y de los recursos didácticos necesarios para su logro. La brecha entre
la secundaria y la universidad no se puede salvar sólo con base en acercar la
matemática de secundaria a la de la universidad, sino también aproximando esta
última a las competencias cognitivas de los estudiantes que reciben.
2.4. Algunas limitaciones del punto de vista antropológico
Desde nuestro punto de vista, los planteamientos teóricos del enfoque
antropológico tienen ciertas limitaciones al ser tomados como base para la
investigación en Didáctica de la Matemática. Algunas las mencionaremos a
continuación:
- El énfasis epistemológico antipsicológico, a causa del cual no se
concede espacio a la explicación psicológica de algunos fenómenos
didácticos, limita el uso del punto de vista antropológico en el aula.
- Parece limitativo el hecho de querer reconducir todo hacia la
institución, sin valorar y estudiar al individuo (sin enfatizar
excesivamente en los aportes de la tendencia psicologista). En nuestra
opinión, el complejo fenómeno del aprendizaje de la matemática no es
del todo explicable en términos de la adhesión a cierta institución.
- La TAD ofrece herramientas teóricas potentes para estudiar las
organizaciones matemáticas, su relación ecológica y las restricciones

institucionales que condicionan su evolución y desarrollo. Sin embargo,
como hemos visto en el ejemplo anterior, la identificación sujeto-
institución le impide poder dar cuenta de las condiciones bajo las que
ocurre el aprendizaje.
- Otra limitación que reconocemos en la TAD se refiere al nivel de
análisis que permite en lo tocante a las organizaciones matemáticas, ya
que la inclusión del sistema de reglas conceptuales, proposicionales y
argumentativas en el bloque tecnológico-teórico no logra reconocer
la complejidad de los procesos de interpretación, de retención ni de las
capacidades necesarias para que los alumnos sigan esas reglas.
La investigación didáctica debe centrar su atención no sólo en la
ecología de las organizaciones matemáticas, sino también en los
fenómenos cognitivos que las componen, ligados al aprendizaje del
sistema de reglas.
3. EL PUNTO DE VISTA ONTOLÓGICO Y SEMIÓTICO
3.1. Presupuestos de partida
Hemos visto cómo la aplicación de los supuestos ontológicos de la semántica
realista a la matemática corresponde a una visión platónica de los objetos
matemáticos (conceptos, proposiciones, teorías, contextos, entre otros). Según esta
posición filosófica, las nociones y estructuras matemáticas tienen una existencia
real, independiente del ser humano y de su actividad –privada o social–, en algún
dominio real no precisado. El conocimiento matemático consiste en descubrir
relaciones preexistentes que vinculan entre sí tales objetos.
Tal concepción implica una visión absolutista del conocimiento matemático,
en el sentido de que se considera como un sistema de verdades seguras e
inmutables. Bajo esta idea, el significado del término función será simplemente el
concepto de función dada por su definición matemática.
Desde el punto de vista epistemológico, la definición pragmática del
significado, según Kutschera (1979), “es mucho más satisfactoria que la teoría
figurativa realista: al desaparecer los conceptos y proposiciones como datos
independientes de la lengua, se disipa también el problema de cómo pueden ser
conocidas esas entidades, y nos acercamos a los fenómenos que justifican la
dependencia del pensamiento y de la experiencia respecto del lenguaje” (p. 148).

Creemos que los supuestos ontológicos del constructivismo social como
filosofía de la matemática (Ernest, 1991) llevan también a adoptar las teorías
pragmáticas del significado. Los objetos matemáticos necesitan ser vistos como
símbolos de unidades culturales que emergen de un sistema de usos, ligado a las
actividades de resolución de problemas que efectúan ciertos grupos de personas y
van evolucionando con el tiempo. El hecho de que en el seno de ciertas
instituciones se hagan determinados tipos de prácticas, determina la emergencia
progresiva de los objetos matemáticos y que su significado esté íntimamente
relacionado con los problemas y la actividad realizada para su resolución. Por ello,
no se puede reducir el significado del objeto a su mera definición matemática.
Para continuar con el análisis que hemos llevado a cabo, examinaremos las
consideraciones de Ullmann (1962), quien abre el camino a una perspectiva de
articulación, al decir que las posiciones realistas y pragmáticas no son
contradictorias; por ende, la posición antropológica no se opone a la realista.
Ullmann (1962) describe a las teorías realistas como referenciales, y a
las pragmáticas como operacionales o contextuales. Desde su punto de vista, las
teorías pragmáticas son un complemento de las realistas:
(…) el significado de una palabra se puede verificar sólo estudiando su uso. No hay
ningún atajo hacia el significado mediante la introspección o cualquier otro método.
El investigador debe comenzar por reunir una muestra adecuada de contextos y
abordarlos luego con un espíritu abierto, permitiendo que el significado o los
significados emerjan de los contextos mismos. Una vez que se ha concluido esta
fase, puede pasar con seguridad a la fase ‘referencial’ y procurar formular el
significado o los significados así identificados. La relación entre los dos métodos, o
más bien entre las dos fases de la indagación, es en definitiva la misma que hay
entre la lengua y el habla: la teoría operacional trata del significado en el habla; la
referencial, del significado en la lengua. No hay, absolutamente, necesidad de
colocar los dos modos de acceso uno frente a otro: cada uno maneja su propio lado
del problema y ninguno es completo sin el otro». (pp. 76-77)
Si tomamos esta observación de Ullmann, podemos afirmar que el significado
comienza siendo pragmático, relativo al contexto, pero existen tipos de usos que
permiten orientar los procesos de enseñanza y aprendizaje matemático; dichos
usos son objetivados mediante el lenguaje y constituyen los referentes del léxico
institucional.
Lo que estamos vislumbrando es el punto de partida para otro enfoque de la
DdM que amplía la visión antropológica, ya que trata de eliminar los límites
mencionados en el apartado 2.4, se aproxima a la práctica compartida en la clase y
supera la supuesta dicotomía realismo-pragmatismo, así como entre antropología
y psicología.

3.2. Principales nociones del punto de vista ontológico y semiótico
3.2.1. Sistema de prácticas operativas y discursivas ligadas a campos o tipos de
problemas
El significado personal/significado institucional de un objeto matemático se
define como un sistema de prácticas operativas y discursivas realizadas por una
persona o en el interior de una institución para resolver un campo de problemas
(Godino y Batanero, 1994).
Se considera práctica matemática a toda actuación o expresión –verbal,
gráfica, etc.– que efectúa alguien para resolver problemas matemáticos, comunicar
a otros la solución obtenida, validarla o generalizarla a otros contextos y
problemas (Godino y Batanero, 1998). En el estudio de la matemática, más que
una práctica particular ante un problema concreto, interesa reparar en los sistemas
de prácticas operativas y discursivas que manifiestan las personas cuando actúan
ante tipos de situaciones problemáticas.
A las preguntas ¿qué es el objeto matemático media aritmética? y ¿qué
significa o representa la expresión media aritmética?, se propone como respuesta:
“el sistema de prácticas que realiza una persona (significado personal), o
compartidas en el seno de una institución (significado institucional), para resolver
un tipo de situaciones-problema en las cuales se requiere encontrar un
representante de un conjunto de datos”.
La noción de significado institucional y personal de los objetos matemáticos
implica las de práctica personal, sistema de prácticas personales y objeto
personal (o mental), que son herramientas útiles para estudiar la “cognición
matemática individual” (Godino y Batanero, 1994, 1998). Cada uno de esos
conceptos tiene su versión institucional, y con ellos se trata de precisar y hacer
operativo el término de relación personal e institucional al objeto, introducido por
Chevallard (1992).
Aquí se nota bien cómo el punto de vista ontosemiótico se fija más en la
cuestión del aprendizaje individual; presta atención a aquellos aspectos
psicológicos no tomados en cuenta por la perspectiva antropológica.
3.2.2. Objetos intervinientes y emergentes de los sistemas de prácticas
El objeto matemático designa a todo lo que es indicado, señalado o nombrado
cuando se construye, comunica o aprende matemáticas (Godino, 2002). Esta idea
es tomada de Blumer, quien afirma que un objeto es “cualquier entidad o cosa a

la cual nos referimos, o de la cual hablamos, sea real, imaginaria o de cualquier
otro tipo” (Blumer, 1982, p. 8).
Los tipos de objetos matemáticos son los siguientes:
- Lenguaje (términos, expresiones, notaciones o gráficos) en sus diversos
registros (escrito, oral, gestual, entre otros).
- Situaciones (problemas, aplicaciones extra-matemática, ejercicios).
- Procedimientos (operaciones, algoritmos, técnicas de cálculo,
procedimientos).
- Conceptos (que son introducidos mediante definiciones o descripciones,
como recta, punto, número, media o función).
- Propiedad o atributo de los objetos (como los enunciados sobre
conceptos).
- Argumentos (por ejemplo, los que se usan para validar o explicar los
enunciados por deducción o de otro tipo).
A su vez, estos objetos se organizan en entidades más complejas, como
sistemas conceptuales o teorías.
3.2.3. Relaciones entre objetos: función semiótica
La noción de función de signo –tomada de Hjemlesv (1943), y que Eco (1979)
describió como función semiótica– atañe a la dependencia entre un texto y sus
componentes y entre éstos entre sí. Se trata de las correspondencias –ya sea
relaciones de dependencia o función– entre un antecedente (expresión, significante
o representante) y un consecuente (contenido, significado o representado) que
establece un sujeto (persona o institución), de acuerdo con cierto criterio o código
de correspondencia. Los códigos pueden ser reglas –hábitos o convenios– que
informan a los sujetos implicados sobre los términos que se deben poner en
relación en las circunstancias fijadas. Sin embargo, Eco (1979) observa cómo tal
dependencia no tiene siempre un código prefijado y, por tanto, se evidencia su
carácter relativo.
Para nosotros, las relaciones de dependencia entre expresión y contenido
pueden ser de los siguientes tipos:
- Representacional (un objeto se pone en lugar de otro para un cierto
propósito).
- Instrumental (un objeto usa a otro u otros como instrumento).

- Estructural (dos o más objetos componen un sistema del cual emergen
nuevos objetos).
Las funciones semióticas y la ontología matemática asociada tienen en
cuenta la naturaleza esencialmente relacional de la matemática y generalizan
radicalmente la noción de representación (Font, Godino y D’Amore, 2007). Aquí,
el papel de representación no lo asume el lenguaje de manera exclusiva; en
consonancia con la semiótica de Peirce, se postula que los distintos tipos de
objetos (situaciones-problema, procedimientos, conceptos, propiedades y
argumentos) pueden ser también expresión o contenido de las funciones
semióticas: “Signo es cualquier cosa que determina a alguna otra (su
interpretante) para que se refiera a un objeto al cual ella misma se refiere (su
objeto) de la misma manera; el interpretante se convierte a su vez en un signo, y
así ad infinitum” (Peirce, 1931-1958).
La función semiótica surge cuando entre dos objetos (ostensivos o no
ostensivos) se establece una dependencia representacional o instrumental, donde
uno de los objetos se pone en el lugar del otro o bien uno es usado por otro.
Con la idea de función semiótica se evidencia la naturaleza esencialmente
relacional tanto de la actividad matemática como de los procesos que difunden el
conocimiento matemático. Esta noción permite:
- Formular en términos semióticos y de un modo general y flexible el
conocimiento matemático.
- Explicar en términos de conflictos semióticos las dificultades y los
errores de los estudiantes.
3.2.4. Configuraciones de objetos
La noción de sistema de prácticas resulta útil para ciertos análisis de tipo
macrodidáctico, particularmente cuando se trata de comparar la forma que adoptan
los conocimientos matemáticos en distintos marcos institucionales, contextos de
uso o juegos de lenguaje. Para un análisis más fino de la actividad matemática, es
pertinente introducir los seis tipos de entidades primarias:
- Situaciones.
- Procedimientos.
- Lenguajes.
- Conceptos.
- Propiedades.

- Argumentos.
En cada caso, dichos objetos estarán relacionados entre sí formando
configuraciones, que se definen como las redes de objetos intervinientes y
emergentes de los sistemas de prácticas, al igual que las relaciones entre ellos al
resolver un problema matemático. Las configuraciones pueden ser epistémicas
(redes de objetos institucionales) o cognitivas (redes de objetos personales). Ahora
bien, los sistemas de prácticas y las configuraciones se proponen como
herramientas teóricas para describir los conocimientos matemáticos en su doble
versión: personal e institucional.
3.2.5. Atributos contextuales
La noción de juego de lenguaje (Wittgenstein, 1953) ocupa un lugar importante
porque la consideramos, junto con la de institución, como los elementos
contextuales que relativizan los significados de los objetos matemáticos y
les atribuyen una naturaleza funcional.
Por su parte, los objetos matemáticos que intervienen en las prácticas
matemáticas y los que surgen de ellas, de acuerdo con el juego de lenguaje en que
participan, pueden ser vistas desde las siguientes facetas o dimensiones duales
(Godino, 2002):
- Personal-institucional: Si los sistemas de prácticas son compartidos
en el seno de una institución, sus objetos emergentes se consideran
institucionales, mientras que si los sistemas son específicos de una
persona, los objetos serán personales.
- Ostensivos (gráficos o símbolos)-no ostensivos (entidades que se
evocan al hacer matemática, y se representan en forma textual, oral,
gráfica o gestual).
- Extensivo-intensivo: Tal dualidad atañe a la relación entre un objeto
que interviene en un juego de lenguaje como un caso particular (por
ejemplo, la función 2 1y x= + ) y una clase más general o abstracta
(por ejemplo, la familia de funciones ).y mx n= +
- Elemental-sistémico: En algunas circunstancias los objetos
matemáticos intervienen como entidades unitarias –que, se supone,
son conocidas previamente–, y en otras como sistemas que se deben
descomponer para su estudio.
- Expresión-contenido: Alude al antecedente y consecuente de
cualquier función semiótica.

Las facetas aparecen distribuidas en parejas que se complementan de manera
dual y dialéctica. Al concebirse como atributos aplicables a los distintos objetos
primarios y secundarios, dan lugar a sus distintas versiones.
Godino, Batanero y Roa (2005) describen los seis tipos de entidades primarias
y los cinco tipos de dualidades cognitivas mediante ejemplos relativos a una
investigación en el campo del razonamiento combinatorio. Los tipos de objetos
que describen son sistemas de prácticas, entidades emergentes, configuraciones o
redes ontosemióticas, facetas o atributos contextuales duales y función semiótica
como entidad relacional básica, que dan una respuesta operativa al problema
ontológico de la representación y significación del conocimiento matemático.
3.2.6. Conocimiento y comprensión
Saber, conocer y comprender se interpretan en términos de competencia para
resolver problemas cuando ponemos al componente pragmático-antropológico
como base en el punto de vista ontosemiótico de la cognición matemática. Pero la
introducción de los objetos emergentes, de los atributos contextuales y la función
semiótica permite articular de manera coherente una componente referencial sobre
el conocimiento matemático. Así, saber, conocer y comprender un objeto O
(ostensivo o no, concreto o abstracto) por parte de un sujeto X (persona
o institución) se interpretan en términos de las funciones semióticas que X puede
establecer en unas circunstancias fijadas, donde se pone en juego O como funtivo
(expresión o contenido). Cada función semiótica implica un acto de semiosis por
parte de un agente interpretante y forma un conocimiento.
La particular insistencia sobre los objetos justifica su denominación como
ontológica, ya que la atención se dirige a la esencia de los objetos en sí, sin
someterla a crítica, pero aceptándolos como emergentes de la práctica. La atención
en los aspectos semióticos, comprendida en el sentido más amplio posible,
justifica la denominación de la teoría como semiótica.
3.3. Ejemplo de investigación en DdM realizada bajo el punto de vista
ontosemiótico
3.3.1. El problema de la enseñanza y el aprendizaje de la derivada
En este apartado describiremos la investigación que presenta la tesis doctoral de V.
Font, hecha bajo el enfoque ontosemiótico para tratar cuestiones relacionadas con
la enseñanza y el aprendizaje de la derivada en estudiantes de Bachillerato, cuyas
edades fluctúan entre los 16 y 17 años.

Por tal motivo, usaremos como referencia accesible el artículo Contreras,
Font, Luque y Ordóñez (2005), que emplea la noción de significado institucional –
vista como sistema de prácticas– para diseñar, implantar y analizar una
experiencia de estudio sobre la derivada, reconociendo los siguientes tipos de
significados sistémicos: de referencia, pretendido, implantado y evaluado.
Asimismo, recoge información detallada de las prácticas personales de los
estudiantes, lo cual permite caracterizar sus significados personales iniciales y
finales, así como algunos aspectos de su construcción progresiva.
Entre las conclusiones sobre el desarrollo y análisis de la experiencia de
enseñanza destacan las siguientes:
- La consideración conjunta de la complejidad semiótica, los
conflictos semióticos potenciales y la necesidad de actividades que
partan de los conocimientos previos de los alumnos llevan a
proponer significados pretendidos, que se concretan en unidades
didácticas cuya implementación necesita muchos recursos
temporales. Por tal motivo, resulta difícil hacerlas compatibles con
las restricciones materiales y temporales reales.
- El significado personal de objetos, que se suponía que los alumnos
habían estudiado previamente (función, variación de una función,
pendiente, tasa media de variación, velocidad) era insuficiente. De
aquí se deduce que una manera de asegurar que los alumnos
adquieran un buen significado personal del objeto derivada consiste
en lograr un buen significado personal sobre dichos objetos previos.
- La definición de la función derivada como límite de las tasas medias
de variación presenta una gran complejidad semiótica.
- El hecho de diseñar un significado pretendido, que incorporaba
prácticas que permitían calcular la expresión simbólica de funciones
derivadas a partir de gráficas – ( )f x o '( )f x –, modificó los
significados de los objetos personales funciones elementales de
los alumnos. Al finalizar el proceso de estudio, el significado
personal de la mayoría de alumnos incorporaba prácticas que
permitían obtener expresiones simbólicas de funciones elementales a
partir de sus gráficas. Esas prácticas no formaban parte del
significado de sus objetos personales funciones elementales antes del
proceso de instrucción, ni habían sido contempladas de manera
explícita en el diseño previo del significado pretendido.

La noción de función semiótica, junto con las dualidades cognitivas extensivo-
intensivo y expresión-contenido, son usadas de manera sistemática para analizar la
complejidad ontosemiótica de las definiciones derivada en un punto y función
derivada. Este análisis identifica los conflictos semióticos potenciales que son
tomados en cuenta al diseñar la experiencia y trata algunas dificultades
persistentes en la comprensión de dichas nociones.
Otros ejemplos de investigaciones experimentales con la perspectiva
ontosemiótica, que aparecen en tesis de doctorado, artículos y monografías,
pueden ser consultadas en las páginas electrónicas del Grupo de Investigación de
Teoría de la Educación Matemática y Educación Estadística de la Universidad de
Granada, España: http://www.ugr.es/local/jgodino y http://www.ugr.es/local/batanero.
En los trabajos hechos bajo la perspectiva ontosemiótica se puede observar el
interés por articular las facetas institucionales y personales del conocimiento
matemático, en un intento por superar algunas limitaciones de la perspectiva
antropológica, que describimos en el apartado 2.4. Además, se intenta desarrollar
un modelo ontológico-semiótico explícito y detallado que permita realizar análisis
cognitivos a nivel de las respuestas de los sujetos a tareas específicas, así como de
las transcripciones textuales sobre episodios didácticos puntuales.
4. NECESIDAD Y POSIBILIDAD DE ARTICULACIÓN
DE ENFOQUES TEÓRICOS EN DdM
Una de las tareas más urgentes e importantes que deben afrontar los investigadores
en DdM, como hemos sugerido en la primera sección de este artículo, consiste en
clarificar, comparar y articular los enfoques teóricos que se ocupan actualmente.
El problema es urgente y crítico porque nuestra disciplina, al estar vinculada con
otras –entre las que destacamos la epistemología, la psicología, la pedagogía y la
matemática– usan instrumentos y presupuestos teóricos divergentes cuya
coherencia y utilidad no es del todo obvia y no se puede dar por asumida.
En el actual panorama de la DdM notamos un cierto autismo teórico (encierre
en sí mismo) y una desarticulación conceptual y metodológica no sólo entre
paradigmas y escuelas de pensamiento lejanas (pragmatismo, realismo,
constructivismo, cognitivismo), sino también entre las teorías emergentes de nivel
intermedio que comparten un mismo paradigma epistemológico de base. Por
ejemplo, en el caso de la TAD, ¿qué relaciones tiene con la teoría de las
situaciones (Brousseau), la de los campos conceptuales (Vergnaud) y la dialéctica

instrumento-objeto (Douady)? ¿Qué relaciones hay entre esta teoría y la de los
registros de representación semiótica (Duval)?
Para poder hacer esta comparación y articulación es preciso construir un
sistema de referencia más global, que permita situar cada teoría en el panorama
comprensivo de la educación matemática. De igual modo, tener en cuenta
simultáneamente las distintas dimensiones implicadas en los problemas de
enseñanza y aprendizaje de la matemática –epistémica, instruccional, política– y
los diversos niveles de análisis.
El punto de vista ontosemiótico (Godino y Batanero, 1994) inició su camino
de reflexión metadidáctica, al constatar algunas limitaciones de la teoría
antropológica que había comenzado a formular Chevallard (1991, 1992). En
particular trató de matizar la elección antipsicologista inicial, que ha acentuado
en su trabajo posterior y su divergencia con otras teorías precedentes, como la de
situaciones y la de los campos conceptuales.
La finalidad de progresar en la comparación y articulación de modelos
teóricos ha llevado al EOS a formular algunas nociones primitivas con alto grado
de generalidad, como práctica matemática, institución, objeto matemático y
función semiótica, al igual que las dualidades cognitivo-antropológicas (persona-
institución, elemental-sistémico, ostensivo-no ostensivo, extensivo-intensivo,
expresión-contenido). Dichos instrumentos ofrecen una plataforma unificada a
partir de la cual nos parece posible afrontar la tarea de comparar y articular los
enfoques teóricos usados en DdM. Sin embargo, esta afirmación queda como una
labor para próximos trabajos.
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Trabajo realizado en el marco de los proyectos:
Aspetti metodologici (teorici ed empirici) della formazione
iniziale ed in servizio degli insegnanti di matematica di ogni
livello scolastico, Università di Bologna. Italia.
MCYT–FEDER: BS2002-02452 y MCYT–FEDER: SEJ2004-
00789. Ministerio de Ciencia y Tecnología, Plan Nacional de
Investigación Científica, Desarrollo e Innovación
Tecnológica, Madrid, España.

Autores
Bruno D´Amore. Departamento de Matemáticas. Universidad de Bolonia, Italia;
damore@dm.unibo.it
Juan D. Godino. Departamento de Didáctica de la Matemática. Universidad de Granada, España;
jgodino@ugr.es

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