Valores extremos de una función
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El documento describe las aplicaciones de la derivada para localizar valores máximos y mínimos de una función. Explica que la derivada puede identificar el mejor resultado para situaciones que requieren un resultado óptimo. Define valores extremos absolutos y locales de una función, y presenta el Teorema de Fermat y el concepto de punto crítico para determinar extremos en un intervalo cerrado. Incluye un ejemplo para ilustrar cómo calcular los valores máximo y mínimo absolutos de una función en un intervalo dado.
![VALORES EXTREMOS DE UNA FUNCI ´ON
TEOREMA DEL VALOR EXTREMO
Si f es continua sobre un intervalo cerrado [a, b], entonces f alcanza un valor
m´aximo absoluto f(c) y un valor m´ınimo absoluto f(d) en algunos n´umeros
c, d ∈ [a, b]](https://image.slidesharecdn.com/diapositivascd2018ii-180723005851/85/Valores-extremos-de-una-funcion-6-320.jpg)
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PUNTO CR´ITICO
Un n´umero cr´ıtico de una funci´on f es un n´umero c en el dominio de f tal
que f (c) = 0 o f (c) no existe.
TEOREMA
Si f tiene un m´aximo o m´ınimo local en c, entonces c es un n´umero cr´ıtico
de f.
DETERMINACI ´ON DE EXTREMOS EN UN INTERVALO CERRADO
Para hallar los valores m´aximos y m´ınimos absolutos de una funci´on continua
f sobre el intervalo cerrado [a, b]:
1. Se encuentra los puntos cr´ıticos de f en (a, b).
2. Encuentre los valores de f en los n´umeros cr´ıticos de f en (a, b).
3. Halle los valores de f en los extremos del intervalo [a, b].
4. El m´as peque˜no de estos valores es el m´ınimo. El m´as grande es el
m´aximo.](https://image.slidesharecdn.com/diapositivascd2018ii-180723005851/85/Valores-extremos-de-una-funcion-9-320.jpg)
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EJEMPLO
Calcule los valores m´aximo y m´ınimo absolutos de la funci´on
f(x) = x3
− 3x2
+ 1, −
1
2
≤ x ≤ 4
1. Encontremos los puntos
cr´ıticos de f en el intervalo
[−1
2
, 4]
f (x) = 3x2
− 6x
= 3x(x − 2)
f (x) = 0 si x = 0, x = 2
2. f(0) = 1
f(2) = −3
3. f −1
2 = 1
8
f(4) = 17
4. De acuerdo con el paso 2 y 3,
se puede decir que el valor
m´aximo absoluto de f es 17,
y se alcanza en el extremo
derecho del intervalo, en
x = 4. El valor m´ınimo
absoluto es -3 y se alcanza en
el punto interior x = 2.](https://image.slidesharecdn.com/diapositivascd2018ii-180723005851/85/Valores-extremos-de-una-funcion-10-320.jpg)
Valores extremos de una función
- 2. APLICACIONES DE LA DERIVADA Cristian Camilo Penagos Torres Departamento de Matem´aticas, f´ısica y Estad´ıstica Universidad de La Sabana
- 3. APLICACIONES DE LA DERIVADA En esta secci´on se aprender´a c´omo la derivada ayuda a localizar e identificar los valores m´aximos y m´ınimos de una funci´on. A menudo, muchos problemas en la pr´actica exigen el mejor resultado posible para una situaci´on, la derivada proporciona este resultado.
- 4. VALORES EXTREMOS DE UNA FUNCI ´ON EXTREMOS ABSOLUTOS Sea f una funci´on con dominio D. Decimos que f tiene un valor m´aximo absoluto en D en un punto c si f(x) ≤ f(c) ∀x ∈ D y un valor m´ınimo absoluto en D en un punto c si f(x) ≥ f(c) ∀x ∈ D EJEMPLO
- 5. VALORES EXTREMOS DE UNA FUNCI ´ON M ´AXIMO /M´INIMO LOCAL Una funci´on f, definida en un conjunto S tiene m´aximo relativo en un punto c ∈ S si existe un cierto intervalo abierto I que contiene a c tal que f(x) ≤ f(c), para todo x situado en I ∩ S El concepto de m´ınimo relativo se define del mismo modo con la desigualdad invertida. EJEMPLO
- 6. VALORES EXTREMOS DE UNA FUNCI ´ON TEOREMA DEL VALOR EXTREMO Si f es continua sobre un intervalo cerrado [a, b], entonces f alcanza un valor m´aximo absoluto f(c) y un valor m´ınimo absoluto f(d) en algunos n´umeros c, d ∈ [a, b]
- 7. VALORES EXTREMOS DE UNA FUNCI ´ON TEOREMA DE FERMAT Si f tiene un m´aximo o un m´ınimo local en c, y si f (c) existe, por lo tanto f (c) = 0
- 8. VALORES EXTREMOS DE UNA FUNCI ´ON NOTA La siguiente muestra un punto x = 0 donde f (0) = 0 pero no necesariamente hay un m´aximo o un m´ınimo. Adem´as, podr´ıa existir extremos relativos a´un cuando f (c) no exista. Ver figura El teorema de Fermat sugiere que, se debe empezar a buscar los valores extremos de f en los n´umeros c donde f (c) = 0 o donde f (c) no exista.
- 9. VALORES EXTREMOS DE UNA FUNCI ´ON PUNTO CR´ITICO Un n´umero cr´ıtico de una funci´on f es un n´umero c en el dominio de f tal que f (c) = 0 o f (c) no existe. TEOREMA Si f tiene un m´aximo o m´ınimo local en c, entonces c es un n´umero cr´ıtico de f. DETERMINACI ´ON DE EXTREMOS EN UN INTERVALO CERRADO Para hallar los valores m´aximos y m´ınimos absolutos de una funci´on continua f sobre el intervalo cerrado [a, b]: 1. Se encuentra los puntos cr´ıticos de f en (a, b). 2. Encuentre los valores de f en los n´umeros cr´ıticos de f en (a, b). 3. Halle los valores de f en los extremos del intervalo [a, b]. 4. El m´as peque˜no de estos valores es el m´ınimo. El m´as grande es el m´aximo.
- 10. VALORES EXTREMOS DE UNA FUNCI ´ON EJEMPLO Calcule los valores m´aximo y m´ınimo absolutos de la funci´on f(x) = x3 − 3x2 + 1, − 1 2 ≤ x ≤ 4 1. Encontremos los puntos cr´ıticos de f en el intervalo [−1 2 , 4] f (x) = 3x2 − 6x = 3x(x − 2) f (x) = 0 si x = 0, x = 2 2. f(0) = 1 f(2) = −3 3. f −1 2 = 1 8 f(4) = 17 4. De acuerdo con el paso 2 y 3, se puede decir que el valor m´aximo absoluto de f es 17, y se alcanza en el extremo derecho del intervalo, en x = 4. El valor m´ınimo absoluto es -3 y se alcanza en el punto interior x = 2.