Calculo I

CIENCIAS DE LA COMPUTACIÓN NOMBRES CÁLCULO I PERIODO Msc. María Paula Espinosa Vélez Octubre 2008 – Febrero 2009 ESCUELA:

AGENDA La regla de la Cadena Derivación Implícita Aplicaciones de la Derivada Extremos en un intervalo Funciones crecientes y decrecientes y, criterio de la Primera Derivada Concavidad y criterio de la Segunda Derivada Análisis de gráficas

Derivación Implícita Estrategias: Derivar ambos lados de la ecuación respecto de x Agrupar todos los términos en que aparezca dy/dx en el lado izquierdo de la ecuación y pasar todos los demás a la derecha Factorizar dy/dx del lado izquierdo de la ecuación Despejar dy/dx Ecuaciones explícitas: Ecuaciones implícitas:

Aplicaciones de la Derivada Extremos en un intervalo Definición de extremos Sea f definida sobre un intervalo f que comience a c . f(c) es el mínimo de f en I si f (c) ≤ f(x) para toda x en I f(c) es el máximo de f en I si f (c) ≥ f(x) para toda x en I Mínimo absoluto y máximo absoluto Definición de extremos relativos Si hay un intervalo abierto que contiene a c en el cual f(c) es un máximo, entonces f(c) recibe el nombre de máximo relativo de f, o se podría afirmar que f tiene un máximo relativo en (c, f(c)) Si hay un intervalo abierto que contiene a c en el cual f(c) es un mínimo, entonces f(c) recibe el nombre de mínimo relativo de f, o se podría afirmar que f tiene un mínimo relativo en (c, f(c))

Aplicaciones de la Derivada Extremos en un intervalo Número o punto crítico Sea f definida en c . Si f’(c)= 0 o si f no está definida en c , entonces c es un punto crítico de f Los extremos relativos ocurren solo en números o puntos críticos Si f tiene un mínimo relativo o un máximo relativo en x= c , entonces c es un punto crítico de f .

Aplicaciones de la Derivada Extremos en un intervalo Estrategias para determinar los extremos en un intervalo cerrado Para determinar los extremos de una función continua f en un intervalo cerrado [a,b], se siguen estos pasos: Se encuentran los puntos críticos de f en (a,b). Se evalúa f en cada punto crítico en (a,b). Se evalúa f en cada punto extremo de [a,b]. El más pequeño de estos valores es el mínimo. El más grande es el máximo.

Funciones crecientes y decreciente Criterio para las funciones crecientes y decrecientes Sea f una función que es continua en el intervalo cerrado [a,b] y derivable en el intervalo abierto (a,b). Si f’(x) > 0 para todo x en (a,b), entonces f es creciente en [a,b] Si f’(x) < 0 para todo x en (a,b), entonces f es decreciente en [a,b] Si f’(x) = 0 para todo x en (a,b), entonces f es constante en [a,b]

Estrategias para determinar los intervalos en los que una función es creciente o decreciente: Sea f continua en el intervalo (a,b). Para encontrar los intervalos abiertos sobre los cuales f es creciente o decreciente, hay que seguir los siguientes pasos: Localizar los puntos críticos de f en (a,b), y utilizarlos para determinar intervalos de prueba Determinar el signo de f’(x) en un valor de prueba en cada uno de los intervalos. Recurrir al teorema dado para determinar que f es creciente o decreciente para cada intervalo Funciones crecientes y decreciente

Criterio de la primera derivada Sea c un punto crítico de una función f que es una continua en un intervalo abierto I que contiene a c . Si f es derivable en el intervalo, excepto posiblemente en c , entonces f(c) puede clasificarse como sigue: Si f’(x) cambia de negativa a positiva en c , entonces f tiene un mínimo relativo en (c,f(c)) Si f’(x) cambia de positiva a negativa en c , entonces f tiene un máximo relativo en (c,f(c)) Si f’(x) es positiva en ambos lados de c o negativa en ambos lados de c , entonces f(c) no es ni un mínimo relativo ni un máximo relativo

Concavidad y el criterio de la segunda derivada Sea f derivable en un intervalo abierto I . La gráfica de f es cóncava hacia arriba sobre I si f’ es creciente en el intervalo y cóncava hacia abajo en I si f’ es decreciente en el intervalo.

Concavidad y el criterio de la segunda derivada Criterio de concavidad Sea f una función cuya segunda derivada existe en un intervalo abierto I. Si f’’(x) > 0 para todo x en I , entonces la gráfica de f es cóncava hacia arriba en I . Si f’’(x) < 0 para todo x en I , entonces la gráfica de f es cóncava hacia abajo en I .

Concavidad y el criterio de la segunda derivada Punto de inflexión Si (c,f(c)) es un punto de inflexión de la gráfica de f , entonces f’’(c) = 0 o f’’ no existe en x=c Para localizar los posibles puntos de inflexión, se pueden determinar los valores de x para los cuales f’’(x) = 0 o f’’(x) no existe .

Criterio de la segunda derivada Sea f una función tal que f’(c) = 0 y la segunda derivada de f existe en un intervalo abierto que contiene a c. Si f’’(c) > 0, entonces f tiene un mínimo relativo en (c, f(c)). Si f’’(c) < 0, entonces f tiene un máximo relativo en (c, f(c)) Si f’’(c) = 0, el criterio falla ► usar criterio primera derivada

Análisis de Gráficas Estrategia: Determinar el dominio y rango de la función Determinar las intersecciones, asíntotas y simetría de la gráfica Localizar los valores de x para los cuales f’(x) y f’’(x) son cero o no existen. Usar los resultados para determinar los extremos relativos o puntos de inflexión

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