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EDII
Estruturas de Dados
Dreco

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 Grafos
 Conceitos gerais e Representações

Definição
 Um grafo G=(V,E) é formado pelos vértices
V = {v1, v2, ..., vn} e pelas arestas E = {e1, e2, ...,
em}.
 Consideraremos sempre que |V| = n e |E| = m.
 Um exemplo:
e3
e2
e4
e5
e9
e6
e8 e10
e11
e1
e12
e7
v1
v2
v3 v4
v5
v6
v7
v8
v9
V = {v1, v2, v3, v4, v5, v6, v7, v8, v9} n = 9
E = {e1, e2, e3, e4, e5, e6, e7, e8, e9, e10, e11, e12} m = 12

Informações em um grafo
 Pode haver informações nos vértices e/ou nas arestas.
 Ex1: Fornecimento de produtos entre fábricas
 Vértice (fábrica): nome, localização, número de empregados
 Aresta (fornecimento): produto transportado, quantidade, custo
 Ex2: Mapa rodoviário
 Vértice (cidade): nome, número de habitantes, área, etc.
 Aresta (rodovia): distância, qualidade da rodovia, eventuais pedágios
 Ex3: Rede social
 Vértice (pessoa): nome, ocupação, idade, etc.
 Aresta (colaboração): trabalhos em conjunto, área de atuação, artigos

Algumas aplicações
 Administração comercial: diagramas de
processos, organogramas, etc.
 Bioinformática: mapas genéticos, interação de
proteínas
 Bancos de dados: relacionamento de entidades
 Internet: conexões entre redes, projeto e
otimização de sites
 Problemas em geral: diagramas de evolução,
validação de circuitos, autômatos finitos,
análise de linguagens, controle de fluxos, etc.

Exemplo: mapeamento de vizinhanças

Exemplo: escalonamento de provas
 Southern Methodist
University (Dallas)
 Vértices representam
provas, arestas
significam conflitos
(pelo menos um aluno
em comum)
 Exames de mesma cor
poderiam ser realizados
simultaneamente (não
estão conectados)

Exemplo: mapas de redes P2P
 Criado por GnuMap
 Identificação de sub-
redes altamente
conectadas
 Identificação dos
servidores que
ficariam
desconectados em
caso de falha

Exemplo: autômatos e algoritmos
 Algoritmo para verificar a
divisibilidade de um número por 7
 Percurso começa no círculo
 Para cada dígito d do número,
andar d arestas azuis
 Ao passar para o dígito seguinte,
andar 1 aresta vermelha
 Repetir o processo até terminar
os dígitos do número
 Se terminar no círculo, o número
é divisível por 7

Arestas e vértices
 Uma aresta e  E é um par não-ordenado (u,v), onde
u,v  V.
 Neste caso, dizemos que os vértices u e v são
adjacentes entre si, e que a aresta e é incidente em
u e em v.
 Uma aresta e = (u,v) é chamada de laço quando u = v.
 d(u) é o grau do vértice u, isto é, o número de
incidências em u.
 É fácil observar que ΣuєV d(u) = 2.|E|.

Subgrafos
G(X)
X = {2, 3, 4, 5}
G
1 2
3
4
5
6
 O grafo G’=(V’,E’) é um subgrafo de G=(V,E) se V’  V e
E’  E, e todas arestas de E’ têm seus vértices em V’.
 Quando V’=V, G’ é chamado de subgrafo gerador de G.
 Seja X  V e E(X) o conjunto das arestas de E com ambos
os vértices em X. Dizemos que G(X)=(X,E(X)) é o subgrafo
de G induzido por X.
 Exemplo:

Sequências de vértices
 Caminho é uma sequência alternada de vértices e
arestas, onde cada aresta é incidente tanto ao
vértice que a antecede como ao que a segue.
 Caminho simples é um caminho no qual cada vértice
aparece uma única vez.
 Comprimento de um caminho é o seu número de
arestas.
 Ciclo ou circuito é um caminho que começa e termina
no mesmo vértice.

Componentes conexas
Grafo com 3
componentes conexas
 Dois vértices v e u são conectados se
houver um caminho entre eles. Neste caso,
dizemos que esses vértices pertencem à
mesma componente conexa.
 Um grafo é conexo se tiver uma única
componente conexa, ou seja, se todos seus
vértices estiverem conectados entre si.
 Exemplo:

Árvores e florestas
 Árvore é um grafo conexo sem circuitos.
 Exemplo:
 Portanto, todo caminho simples é uma árvore.
 Floresta é um grafo cujas componentes conexas são
árvores.
 Exemplo:

Vértices e arestas de articulação
 Em um grafo G, u  V é chamado de vértice
(ou ponto) de articulação se a sua remoção
desconecta G.
 Exemplo:
u
 Se uma componente conexa de um grafo não possui vértices
de articulação, ela é chamada de componente biconexa.
 Analogamente, uma aresta e, cuja remoção ocasiona a
desconexão do grafo, recebe o nome de ponte (ou aresta de
articulação).
 Exemplo: e

Digrafos ou grafos orientados
1
2
3
4
5
6
u v
v é sucessor de u
u é predecessor de v
 Digrafos são grafos orientados, isto é, suas arestas
possuem direção e são chamadas de arcos.
 Em um digrafo G=(V,E), uma aresta e  E é um par ordenado
(u,v), onde u,v  V.
 Cada vértice v tem um grau de saída d+(v) e um grau de
entrada d-(v), que correspondem respectivamente ao total
de arcos que saem ou chegam em v.
 Exemplo: d+(4) = 0
d-(4) = 3
d+(6) = 1
d-(1) = 1

Sequências de arcos
3
2
4
1
5
e1 e2
e3
e5
e6
e4
e7
e3, e4, e7, e5: caminho entre os vértices 2 e 1
e3, e6, e5, e1: ciclo ou circuito
 Caminho é uma sequência de arcos e1, e2, ..., eq tal
que a extremidade inicial de ei coincide com a
final de ei-1, 2 ≤ i ≤ q.
 Ciclo ou circuito é um caminho que começa e
termina no mesmo vértice.
 Exemplo:

Representação
Matriz de adjacências
1 2
3
4 













0
0
0
0
1
0
0
0
1
1
0
0
0
1
1
0
n
n
A
 Matriz de adjacências é formada por n linhas e n colunas.
 A posição aij dessa matriz indica se o vértice vj é sucessor
ou não do vértice vi.
 Exemplo:
Tamanho da estrutura: O(n2) Útil quando grafo é denso: m ~ n2

Lista de adjacências
1 2
3
4
1
2
3
4
2 3
3 4
4
vértices sucessores
 Lista de adjacências é formada por um vetor de n
ponteiros, onde cada vértice aponta para seus sucessores
(ou predecessores).
 Exemplo:
Tamanho da estrutura: O(n+m)
Código para manipulação do grafo é
mais complicado
Útil quando grafo é esparso: m << n2

Grafos não orientados
1 2
3
4














0
1
1
0
1
0
1
1
1
1
0
1
0
1
1
0
n
n
A
1
2
3
4
2 3
1 3 4
2
1 4
2 3
vértices sucessores
(simétrica em relação
à diagonal principal)
 Exemplo:

Representação mais adequada
 Critérios para se escolher a melhor
representação:
 Espaço de armazenamento (depende do tamanho do
grafo)
 Teste de pertinência de uma aresta (matriz)
 Verificação do grau de um vértice (lista)
 Inserção ou remoção de uma aresta (matriz)
 Percurso no grafo (lista)
 Geralmente, a lista de adjacências costuma ser
mais vantajosa

Exemplo 1
 Fornecimento de produtos entre fábricas:

Representação 1:

Representação 2:

Armazenamento de digrafo
 Seja um digrafo de fornecimento entre fábricas:
 Arcos: custo de fornecimento mensal (em R$)
 Deseja-se representá-lo através de uma lista de
adjacências, onde todas as dimensões são alocadas
dinamicamente

Referências Bibliográficas
 ZIVIANI, N. Projeto de Algoritmos.
 TANENBAUM, A.M., LANSAM, Y.,
AUGENSTEIN, M.J. Estruturas de Dados
usando C.
 GOODRICH, M.T., TAMASSIA, R. Projeto
de Algoritmos.
 PREISS, B.R. Estruturas de Dados e
Algoritmos.
 FEOFILOFF, E.P. Algoritmos em Linguagem
C.

Referências Bibliográficas
 CORMEN, T.H., LEISERSON, C.E., RIVEST,
R.L. Introduction to Algorithms.
 DROZDEK, A. Estrutura de Dados e
Algoritmos em C++
 SEDGEWICK, R. Algorithms in [C, C++,
Java].
 AHO, V. AHOPCROFT, J. E., ULLMAN, J. D.
Data Structures and Algorithms.
 SANCHES, C. A. A. BEZERRA, J. M. Material
Didático ITA. 2007.

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