Cinemática

y = 10,00 reais
y = 19,00 reais
FÍSICA 65
Cinemática – Módulos
1 – Conceito de função
2 – Como representar
uma função em um gráfico
1. Um exemplo
para você entender a
neces sidade da ideia de função
Admita que você queira calcular o custo de uma
corrida de táxi ao se percorrer uma certa distância.
Para tanto, você é informado de que a “bandeirada”
custa R$ 4,00 e, para cada quilômetro rodado, o preço
adicional é de R$ 1,50.
Vamos chamar de y o preço total da corrida (em
reais) e de x a distância percorrida pelo táxi (em km) no
percurso reali zado.
Devemos encontrar uma igualdade matemática que
nos permita, para cada valor da distância x, calcular o
respectivo valor do custo y.
Dizemos então que y será uma função de x, isto é,
para cada valor da distância x, existe, em correspon -
dência, um único valor do custo y.
A expressão matemática que relaciona y e x, no
exemplo mencionado, será:
y = 4,00 + 1,50x
em que x é a distância percorrida medida em quilôme -
tros (km) e y é o preço da corrida calculado em reais.
Exemplificando
1) Se o percurso do carro for de 4km, teremos:
x = 4km ⇒ y = 4,00 + 1,50 . 4 (em reais)
y = 4,00 + 6,00 (reais) ⇒
2) Se o percurso do carro for de 10km, teremos:
x = 10km ⇒ y = 4,00 + 1,50 . 10 (em reais)
y = 4,00 + 15,00 (reais) ⇒
2. Generalizando
o conceito de fun ção
Imagine dois conjuntos, A e B.
Vamos indicar pela letra x um elemento pertencente
ao conjunto A e pela letra y um elemento pertencente ao
con junto B.
Em linguagem matemática, escrevemos:
x ∈ A (x pertence ao conjunto A)
y ∈ B (y pertence ao conjunto B)
O símbolo ∈ significa pertence.
3 – Proporcionalidade
entre duas grandezas
4 – Trigonometria no triângulo
retângulo
5 – O que é uma grandeza física
vetorial?
6 – Introdução à Física
7 – Você sabe medir?
8 – Fundamentos da Cinemática I
9 – Fundamentos da Cinemática II
10 – Fundamentos da Cinemática III
11 – Velocidade escalar média I
12 – Velocidade escalar média II
13 – Velocidade escalar instantânea I
14 – Velocidade
escalar instantânea II
15 – Aceleração escalar
16 – Classificação dos movimentos I
17 – Classificação dos movimentos II
18 – Movimento uniforme I
19 – Movimento uniforme II
20 – Movimento uniforme III
21 – Movimento uniforme IV
22 – Movimento uniforme V
23 – Movimento uniforme VI
24 – Velocidade relativa
1 Conceito de função • Função

Por um critério bem determinado (expressão ma te mática), vamos associar a cada valor de x um único valor de y.
Por exemplo: o critério a ser adotado (expressão ma temá -
tica) é y = x2, em que x e y são números inteiros.
Para x = 1, temos y = 12 = 1
Para x = 2, temos y = 22 = 4
Para x = 3, temos y = 32 = 9
...
Dizemos então que y é função de x e represen ta mos y = f(x).
No Portal Objetivo
Sabe-se que a posição S varia com o tem -
po t para o movimento de um carro con forme a
relação
S = A + Bt
Os valores de t e S são dados pela tabela
t(h) 1,0 2,0
S(km) 140 220
Determine
a) os valores de A e B
b) o valor de S para t = 0,5h
c) o valor de t para S = 80km
Resolução
a) t1 = 1,0h ⇔ S1 = 140km
S = A + Bt ⇒ 140 = A + B . 1,0(1)
t2 = 2,0h ⇔ S2 = 220km
S = A + Bt ⇒ 220 = A + B 2,0 (2)
Fazendo-se (2) – (1), vem: 220 – 140 = B
Em (1): 140 = A + 80 . 1,0
A = 140 – 80 ⇒
A = 60
A é medido em km e B é medido em km/h
b) S = 60 + 80t
t3 = 0,5h ⇒ S3 = 60 + 80 . 0,5 (km)
S3 = 60 + 40 (km) ⇒
c) S = 60 + 80t
S3 = 100km
S4 = 80km ⇒ 80 = 60 + 80t4
80 – 60 = 80t4
20 = 80t4
t4 = (h)
20
–––
80
Respostas: a) A = 60km e B = 80km/h
b) 100km
c) 0,25h
66 FÍSICA
? Saiba mais
t = 0 0 t =T 1 t = 2T 2 t = 3T 3
A altura h de um projétil em relação ao so -
lo terrestre varia com o tempo t segundo a
relação:
h = 10,0 + 20,0t – 5,0t2
t é medido em segundos e h é medido em
metros.
O projétil foi lançado no instante t1 = 0 e atinge
sua altura máxima no instante t2 = 2,0s.
Determine
a) a altura do projétil no instante em que ele
foi lançado.
b) a altura máxima atingida pelo projétil.
c) o que ocorre no instante t3 = 4,0s
Resolução
a) o projétil foi lançado no instante t1 = 0 e por -
tanto sua altura h1 será dada por:
h1 = 10,0 + 20,0 . 0 – 5,0 . 02 (m)
h1 = 10,0m
b) A altura máxima é atingida no instante
t2 = 2,0s e portanto:
h2 = 10,0 + 20,0 . 2,0 – 5,0 (2,0)2 (m)
h2 = 10,0 + 40,0 – 20,0 (m)
h2 = 30,0m
c) Para t3 = 4,0s, temos:
h3 = 10,0 + 20,0 . 4,0 – 5,0 . (4,0)2 (m)
h3 = 10,0 + 80,0 – 80,0 (m)
Isto significa que o projétil voltou ao ponto
de onde foi lançado.
Respostas: a) 10,0m
b) 30,0m
c) o projétil retornou à posi -
ção de lançamen to.
(MODELO ENEM) – Já são comercializados
no Brasil veí culos com mo tores que podem fun -
cionar com o chamado com bustível flexí vel, ou
seja, com gasolina ou álcool em qual quer pro -
porção.
Sabe-se que, para percorrer uma mesma
distância o consumo de álcool é 25% maior
que o consumo de gasolina.
Para que haja equivalência entre o uso dos dois
combustíveis, deve haver igualdade entre os
produtos do custo do litro de combustível pelo
volume gasto do combustível, isto é:
PAVA = PGVG
PA = preço de litro de álcool
VA = volume de álcool gasto
PG = preço do litro de gasolina
VG = volume de gasolina gasto
Determine, para a equivalência do uso dos
combustíveis, qual a relação percentual entre o
preço do álcool e o preço da gasolina.
Resolução
De acordo com o texto: VA = 1,25VG (25%
maior)
Substituindo-se na equação dada:
PA . 1,25 VG = PG . VG
PA= PG= PG
1
––––
1,25
PA = 80% PG
4
–––
5
(PISA-MODELO ENEM) – O processo
mais rigoroso para determinar a frequência
cardíaca máxima (número máximo de
batimentos por minuto) é realizar um teste de
esforço. Mas, pela fórmula indicada, qual quer
pessoa pode estimar a sua fre quência cardíaca
máxima (FCMáx) a partir da sua idade:
FCMáx = 220 – Idade
Quando realizamos esforço físico, para não
termos dores (mus cu lares e/ou articulares)
nem problemas cardíacos, a fre quên cia
cardíaca não deve ultrapassar 85% da nossa
FCMáx.
Para um jovem de 20 anos participando de um
jogo de futebol, para não ter problemas
h3 = 10,0m
t4 = 0,25h
B = 80
A posição do corredor é uma função do tempo. As
posições estão intercaladas em intervalos de tempo
iguais e, como as distâncias entre posições suces -
sivas estão aumentando, dize mos que o deslo -
camento do atleta é uma função crescente do tempo
e a rapidez de seu movimento está au men tando.
Para saber mais sobre o assunto, acesse o PORTAL
OBJETIVO (www.portal.objetivo.br) e, em “localizar”,
digite FIS1M101

FCMáx = 200 batimentos/min FC = 170 batimentos/min
FÍSICA 67
cardíacos nem dores musculares ou ar ti cu -
lares, sua frequência cardíaca não deve ultra -
passar, em ba timentos por minuto:
a) 160 b) 170 c) 200
d) 220 e) 240
Resolução
1) Para um jovem de 20 anos, a FCMáx é dada
por:
FCMáx = 220 – idade
FCMáx = 220 – 20 (batimentos/min)
2) A frequência cardíaca não deve ultrapassar
85% da fre quên cia máxima. Para obtermos
85% de um valor, basta multi pli cá-lo por
0,85.
FC = 0,85 FCMáx
FC = 0,85 . 200 (batimentos/min)
Resposta: B
Dada a função s = 2t + 1, complete a tabela a seguir:
RESOLUÇÃO:
Para t = 0: s = 2 . 0 + 1 ⇒ s = 1
t = 1: s = 2 . 1 + 1 ⇒ s = 3
t = 2: s = 2 . 2 + 1 ⇒ s = 5
Se s = 11: 11 = 2t + 1 ⇒ t = 5
Se s = 17: 17 = 2t + 1 ⇒ t = 8
t s
0
1
2
11
17
Dada a função s = 3t2 + 2t, complete a tabela a seguir:
RESOLUÇÃO:
Por substituição da variável t, a partir da
função dada, obtemos:
Se t = 0 : s = 0
para t = 1 : s = 5
quando t = 2 : s = 16
Se t = 3 : s = 33
(PISA-MODELO ENEM) – Não é possível determinarmos
exata mente a área A da superfície corporal de uma pessoa; no
en tan to, é neces sário conhecer o seu valor aproximado para
proceder a alguns tratamentos médicos.
Vários cientistas têm desenvolvido fórmulas, mais ou mesmos
simples, para calcular um valor aproximado dessa área.
Uma das fórmulas é a seguinte:
em que
h é a altura da pessoa medida em centímetros;
m é a massa da pessoa medida em quilogramas;
A é a área da superfície do corpo medida em m2.
Considere uma pessoa de massa m = 80kg com altura h = 1,8m.
A área da superfície corporal desta pessoa será de:
a) 1,0m2 b) 1,5m2 c) 2,0m2
d) 2,5m2 e) 3,0m2
RESOLUÇÃO:
A2= (m4)
80 . 180
––––––––
3600
A2 = 4,0 (m4)
A = 2,0m2
Resposta: C
m . h
A2 = –––––––
3600
t s
0
1
2
3
1. Coordenadas cartesianas
Uma reta com um ponto escolhido como origem O e com uma orientação positiva é denominada eixo.
Consideremos dois eixos perpendiculares entre si, Ox e Oy, com a mesma origem O.
O eixo Ox é chamado eixo das abscissas e o eixo Oy é chamado eixo das
ordenadas.
Este conjunto de eixos perpendiculares é chamado siste ma de
coordenadas cartesianas.
Para localizarmos um ponto P1, no sistema de coor de na das cartesianas,
devemos conhecer o valor de suas coor denadas cartesianas: a abscissa x1 e a
ordenada y1.
Dizemos que a posição do ponto P1 fica definida pelas coordenadas
cartesianas x1 e y1 e escrevemos:
P1 ≡ (x1; y1)
2
Como representar
uma função em um gráfico • Função do 1.o grau
• Gráfico cartesiano

2. Função do 1.º grau
No estudo da Física, é comum encontrarmos gran -
dezas que se relacionam entre si por uma função bas -
tante simples que é chamada função do 1.o grau. Se in di -
carmos uma das gran dezas por y e a outra por x, a
função y = f(x) será do 1.o grau se for tipo:
y = ax + b
em que a e b são constantes chamadas coeficientes ou
pa râ metros e o valor de a deve ser diferente de zero
(a ≠ 0). O parâmetro b pode ser zero ou não.
Quando b = 0, a função do 1.o grau assume a forma:
y = ax
e passa a ser chamada função proporcional
3. Representação
gráfica da função do 1.º grau
Quando a função y = f(x) é do 1.o grau e repre -
sentamos os valores de x e y em um sistema cartesiano,
os pontos obtidos estarão alinhados, caracterizando que:
68 FÍSICA
Exemplificando
Considere a função: y = 2x + 2
Para obtermos uma reta, precisamos apenas de dois
pontos arbitrários:
P1: x1 = 0 ⇒ y1 = 2 . 0 + 2 ⇒ y1 = 2
P2: x1 = 1 ⇒ y1 = 2 . 1 + 2 ⇒ y1 = 4
Portanto: P1≡ (0; 2) e P2 ≡ (1;4)
4. Coeficientes
da função do 1.º grau
Seja a função do 1.o grau: y = ax + b
A constante b é chamada coeficiente linear da reta
e indica a ordenada y do ponto onde a reta encontra o
eixo das ordenadas Oy. A constante a é chamada coe -
ficiente angular ou declividade da reta e indica se a reta
é crescente (a 0) ou decrescente (a 0).
O gráfico de uma função do 1.o grau é uma reta não
paralela aos eixos cartesianos.
? Saiba mais
Na tela do monitor de ví -
deo de um com pu tador,
os eixos carte sianos Ox e
Oy são orien tados da for -
ma indicada. A reta in di ca -
da tem por equa ção:
y = –0,5x + 50.

FÍSICA 69
A velocidade V de um carro de corrida
varia com o tempo t se gundo uma relação do
tipo:
V = 20 + 4t
t é medido em segundos e V é medido em m/s.
Esta relação é válida para t variando entre 0 e
10s.
Calcule
a a velocidade do carro nos instantes t1 = 0 e
t2 = 10s;
b) construa o gráfico da função V = f(t) no
referido intervalo de tempo.
Resolução
a) t1 = 0 ⇒ V1 = 20 + 4 . 0 (m/s)
V1 = 20m/s
t2 = 10s ⇒ V2 = 20 + 4 . 10 (m/s)
b)
(UEPA-MODELO ENEM) – No mês de se -
tembro, acon te ceu em todo Brasil a Semana
do Trânsito. Levantamentos di ver sos foram
apresentados à sociedade. Os números do
trân sito são alarmantes. De 1980 a 2000 foram
registradas mais de 600.000 mortes no trân -
sito, devido a ruas mal con ser va das, sina liza -
ções deficientes e motoristas embria gados.
Preocu pa do com os constantes proble mas, um
téc nico do Detran fez uma verificação em um
semáforo de um cru za men to de vias. Após
contar várias vezes a quantidade de veículos
que atravessaram o cruzamento com o sinal
aberto, registrou esses dados no gráfico a
seguir:
Com base no gráfico, é correto afirmar que
a) nos 10 primeiros segundos, 12 carros
atravessaram o sinal.
b) nos 20 primeiros segundos, 12 carros
c) nos 30 primeiros segundos, 24 carros
d) nos 30 primeiros segundos, 34 carros
e) até o sinal fechar, 34 carros haviam
atravessado o sinal.
Resolução
Nos 10s iniciais: 10 carros
Nos 20s iniciais: 10 + 12 = 22 carros
Nos 30s iniciais: 10 + 12 + 12 = 34 carros
Nos 40s iniciais: 10 + 12 + 12 + 2 = 36 carros
Resposta: D
(CESGRANRIO-MODELO ENEM) – A
nova lei de trânsito, datada de junho de 2008,
foi batizada de Lei Seca, por au mentar a
vigilância na condução de veículos.
Assim, o Art. 306 da referida lei torna crime:
“conduzir veículo automotor, na via pública,
estando com concentração de álcool por litro
de sangue igual ou superior a 6 (seis)
decigramas, ou sob a influência de qualquer
outra substância psicoativa que determine
dependência”.
Um homem de 70kg vai a um bar à noite e,
entre 20 e 22h, consome uma dose de uísque
e dois copos de chope. O gráfico abaixo
representa a quantidade de álcool no sangue
desse indivíduo (em dg/) ao longo das horas
do dia, e a tabela apresenta informações sobre
os sintomas de intoxicação por álcool com a
correspondente quantidade de álcool no
sangue (g/). Esses sintomas variam de
indivíduo para indivíduo.
O homem citado estará, possivelmente, com
descoordenação motora, e novamente sóbrio
para dirigir, respectivamente, a partir de
a) 19h e 2h.
b) 20h e 4h.
c) 22h e 6h.
d) 23h e 7h.
e) 0h e 8h.
Resolução
1) De acordo com a tabela, na coluna de sin -
tomas, na 3.a linha, encontramos descoor -
denação motora, que corres ponde na 1.a
coluna a uma taxa de etanol no sangue de
1,0 a 2,4g/ ou ainda 10 a 24 dg/, em que
dg significa decigrama. No gráfico dado,
para 10 dg/, o horário correspondente é o
intervalo entre 20h e 0,5h (da manhã),
aproximadamente.
2) De acordo com a tabela, na coluna estágio
(1.a linha), encon tra mos sobriedade, que
corresponde na 1.a coluna a uma taxa de
etanol no sangue de 0,1 a 0,4 g/ ou ainda
de 1 a 4 dg/. No gráfico dado, abaixo de
4 dg/, temos um horário entre 19h e
19h e 30 min ou então após 4h da manhã.
Resposta: B
V2 = 60m/s
t2 = 10s
V2 = 60m/s
t1 = 0
V1 = 20m/s
Nível de Álcool no sangue
16
14
12
10
8
6
4
2
0
1920 212223 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1112
Horas da noite/dia
10
Álcool no sangue (dg/ )
Etanol no
sangue (g/)
Estágio Sintomas
0,1 a 0,4 Sobriedade Nenhuma influência aparente.
0,5 a 0,9 Euforia
Perda de eficiência, diminuição da atenção, do julgamento
e do con tro le.
1,0 a 2,4 Excitação
Instabilidade das emoções, descoordenação motora.
Menor inibição. Perda do julgamento crítico.
2,5 a 3,0 Confusão
Vertigens, desequilíbrio, difi cul dade na fala e distúrbios da
sen sa ção.
3,1 a 4,0 Estupor
Apatia e inércia geral. Vômitos, incontinência urinária e
fecal.
4,1 a 5,0 Coma
Inconsciência, anestesia.
Morte.
Acima de 5,0 Morte Parada respiratória.

Dar as coor de na das cartesianas dos pontos indi ca dos no
gráfico.
A ( ; ) B ( ; ) C ( ; )
F ( ; ) G( ; ) H( ; )
RESOLUÇÃO:
A (5; 0) B (8; 5) C (2; 4)
F (– 4; 0) G (0; –5) H (4, –4)
Localize, no gráfico, os pontos cujas coorde nadas car te -
sianas são indica das a seguir, medidas em cen tímetros.
A (0; 2) B (0; –2) C (2; 2)
D (–2; 3) E (–2; –1)
RESOLUÇÃO:
70 FÍSICA
Nas questões e , construa os gráficos das fun ções in -
dica das, utilizando os eixos cartesianos Ox e Oy das figuras.
y = 2x
y = x + 2
x y
0 0
3 6
x y
0 2
2 4
y
x
1cm
1cm
A
D
E
B
C
No Portal Objetivo
digite FIS1M102

m
–––
V
FÍSICA 71
3
1. Proporção direta
Imaginemos duas grandezas que estejam relaciona -
das de tal maneira que, dobrando-se o valor de uma de -
las, o va lor da outra também dobra; triplicando-se a pri -
meira, a ou tra tam bém fica multiplicada por três, redu zin -
do-se uma à metade, a outra também se reduz à meta -
de; dividindo-se uma por três, a outra também fica dividi -
da por três e assim por diante.
Nesse caso, dizemos que existe entre essas duas
gran dezas uma proporção direta ou que uma delas é
propor cional (ou diretamente proporcional) à outra.
Chamando uma das grandezas de y e a outra de x,
escre vemos:
k é uma constante diferente de zero.
As expressões y é proporcional a x e y é dire -
tamente proporcional a x são equivalentes.
Exemplo
V1 = 1 litro de água ⇒ m1 = 1 quilograma de
água
V2 = 2 litros de água ⇒ m2 = 2 quilogramas
Podemos relacionar matematicamente essas gran-dezas
pe la expressão: = k (constante não nula).
p = 381 atm
No caso, a constante k = (razão entre a mas -
sa e o volume) recebe o nome de densidade da água.
2. Proporção inversa
Imaginemos que um carro em uma primeira viagem
entre duas cidades, A e B, tem uma velocidade média de
50km/h e faz o trajeto em um intervalo de tempo de 6h.
Se o carro fizer uma segunda viagem entre as cida des
A e B com uma velocidade média de 100km/h, o tempo
gasto na viagem será de 3h. Se o carro fizer uma terceira
viagem entre as cidades A e B com uma ve loci dade média
de 150km/h, o tempo gasto na viagem será de 2h.
V1 = 50km/h ⇔ T1 = 6h
V2 = 100km/h ⇔ T2 = 3h
V3 = 150km/h ⇔ T3 = 2h
Nesse caso, dizemos que existe entre a velo cidade
média e o tempo gasto na viagem uma proporção
inversa ou que a velocidade média é inversa mente
proporcional ao tempo gasto.
Podemos então escrever:
k é uma constante não nula.
k
Vm = –––
T
No caso, a constante k = Vm . T (pro duto da ve -
locidade média pelo tempo) corresponde à distância per -
corrida pelo carro entre as cidades A e B
m
–––
V
de água
y = kx
Proporcionalidade
entre duas grandezas
• Inversamente proporcional
• Diretamente proporcional
(PISA-MODELO ENEM) – O gráfico seguinte estabelece a
relação entre a pres são, em atmosferas (atm), a que está sujei -
to um corpo imer so em água e a profundidade, em metros, na
qual o corpo se encontra. Sabe-se que, dentro da água, a pres -
são aumenta 1atm por cada 10m de aumento de profundidade.
Analise as proposições que se seguem:
(I) A pressão e a profundidade são diretamente pro porcionais.
(II) Se uma pessoa estiver na superfície da água, a pressão
exercida sobre ela é de 1 atm.
(II) Um navio afundado a 3 800m de profundidade su porta
uma pressão de 380 atm.
Responda mediante o código:
a) apenas I está correta. b) apenas II está correta.
c) apenas III está correta. d) apenas I e II estão corretas.
e) apenas II e III estão corretas.
RESOLUÇÃO:
I. FALSA. Se p fosse diretamente proporcional a h, o grá fi co seria
uma semirreta passando pela origem.
II. VERDADEIRA. Para h = 0, resulta p = 1 atm.
III. FALSA. A pressão é dada por:
p = 1 atm + 380 atm
Resposta: B

(MODELO ENEM) – Texto para as ques tões
e .
Considere esferas maciças feitas de mesmo
material (mes ma densidade), porém com raios
diferentes e, portanto, massas e volumes
diferentes.
O gráfico a seguir representa as massas
dessas esferas em função de seus volumes.
Qual o valor da densidade do material das
esferas, a qual é a razão entre a sua massa e o
seu volume?
a) 1,0 . 103 kg/m3 b) 2,0 . 103 kg/m3
c) 3,0 . 103 kg/m3 d) 4,0 . 103 kg/m3
e) 5,0 . 103 kg/m3
Resolução
A densidade μ é dada por:
μ = =
Resposta: B
Quais os valores de m1 e V2 indicados no
gráfico, em uni dades do SI?
a) m1 = 2,0 e V2 = 3,0
b) m1 = 2,0 e V2 = 4,0
72 FÍSICA
c) m1 = 3,0 e V2 = 3,0
d) m1 = 3,0 e V2 = 4,0
e) m1 = 2,5 e V2 = 5,0
Resolução
1) Para V1 = 1,0m3, temos:
μ = ⇒ m1 = μ . V1
m1 = 2,0 . 103 . 1,0m3
m1 = 2,0 . 103 kg
2) Para m2 = 6,0 . 103 kg, temos:
μ = ⇒ V2 =
6,0 . 103
–––––––––
2,0 . 103
V2= (m3)
Resposta: A
Um carro vai de uma cidade A até uma
cidade B percor rendo uma distância d.
Sendo V a velocidade escalar média nesta
viagem, o tempo gasto T é dado pela relação:
a) Qual a relação que existe entre os valores
de T e de Vm?
b) Sabendo-se que quando Vm = 80km/h o
valor de T é 1,5h, determine o valor de d.
c) Calcule o valor de Vm quando T = 1,0h.
d) Calcule o valor de T quando Vm = 100km/h.
e) Esboce o gráfico de Vm em função de T.
Resolução
a) Como d é constante, então T e Vm são
inversamente propor cionais.
b) Vm = 80km/h e T = 1,5h
d = Vm . T = 80 . 1,5h ⇒
c) Para d = 120km e T = 1,0h, temos:
d) Para d = 120km e Vm = 100km/h, temos:
T = = h
T = 1,2h
T = 1,0h +0,2h
T = 1,0h + 0,2 . 60 min
e)
T = 1,0h + 12 min
120
100
80
60
40
20
0 1,0 1,5
2,0
arco de hipérbole
equilátera
vm (km/h)
t (h)
1,2
120
––––
100
d
–––
Vm
d 120km
Vm = ––– = –––––––
T h
d = 120km
km
–––
h
d
T = ––––––
Vm
V2 = 3,0m3
m2
–––
μ
m2
–––
V2
kg
–––
m3
m1
–––
V1
μ = 2,0 . 103 kg/m3
4,0 . 103 kg
–––––––––––
2,0m3
m
–––
v
(FEI-SP-MODELO ENEM) – Um estádio de futebol com
ca pa cidade para 150 000 espectadores possui 10 saídas, por
onde pas sam em média 500 pes soas por minuto. Qual é o
tempo mínimo para esvaziar o estádio em um dia em que
de seus lugares estão ocupados?
a) h b) h c) h d) h e) 1h
RESOLUÇÃO:
. 150 000 = 100 000
Em um minuto, saem 500 pessoas por saída e como existem 10
saídas o total é de 5000 pessoas por minuto:
5000 ................... 1min
100 000 ................... Δt
100 000
––––––––
5000
1
–––
3
Δt = (min) ⇒ Δt = 20min = h
Resposta: B
(MODELO ENEM) – A figura abaixo nos mostra a relação
entre a potência de um motor de automóvel em fun ção da
frequência de ro ta ção do motor.
2
–––
3
1
––
4
1
––
3
1
––
2
3
––
4
2
––
3

No Portal Objetivo
digite FIS1M103
FÍSICA 73
Se a fre quência de rota ção é 2 . 103rpm, a po tên cia do motor
é, em cv:
a) 20 b) 30 c) 40 d) 50 e) 60
RESOLUÇÃO:
a = = ⇒ a = 20
b = 0 (A reta passa pela origem do sistema de coordenadas)
y = ax + b ⇒ Pot = 20 . f + 0 ⇒ Pot = 20f, com Pot em cv e f em
103 rpm.
Para f = 2 . 103 rpm:
Pot = 20 . 2 (cv) ⇒ Pot = 40cv
Resposta: C
Considere uma mangueira que esguicha um volume de
água V em um intervalo de tempo T.
Define-se vazão da mangueira, representada por Z, como sen -
do a razão (quociente) entre o volume V e o tempo T, isto é:
Com esta mangueira, pretende-se encher um reservatório cujo
volume total vale V1 (valor mantido constante).
A mangueira tem uma regulagem que permite variar o valor de
sua vazão Z e, portanto, varia também o tempo T gasto para
encher o reser vatório.
a) Qual a relação que existe entre os valores de Z e de T?
b) Sabendo-se que quando a vazão Z vale 2m3/s, o reser vatório
é enchido em 10s, determine o valor de V1.
c) Se a vazão for de 1m3/s, em quanto tempo o reservatório
será enchido?
d) Se o tempo gasto para encher o reservatório for de 5s, qual
será a vazão da mangueira?
e) Esboce um gráfico da função Z = f(T).
RESOLUÇÃO:
a) Sendo o volume constante, então a vazão Z e o tempo T são
inversa mente proporcionais.
b) Z = ⇒ V1 = Z . T
V1 = . 10s ⇒
c) Se a vazão se reduzir à metade, o tempo gasto será duplicado
e passará a valer 20s.
d) Se o tempo gasto se reduziu à metade, é porque a vazão foi
duplicada e passou a valer 4m3/s.
e)
2m3
––––
s
V1 = 20m3
V ––1–
T
V
Z = –––
T
Δy
–––
Δx
40
–––
2
f (103rpm)
0
1
3
Pot (cv)
0
20
60
1. Grandezas trigonométricas:
seno; cosseno; tangente
Consideremos o triângulo retângulo ABC da figura:
Para o ângulo α da figura, o cateto oposto é o lado
AB = c e o cateto adjacente é o lado CA = b.
O lado BC = a é a hipotenusa.
Definem-se para o ângulo α as seguintes funções
trigono métricas:
1)
c
sen α = —–
a
cateto oposto
seno de α = ––––––––––––––––
hipotenusa
Teorema de
Pitágoras
a2 = b 2 + c 2
4
Trigonometria
no triângulo retângulo • Triângulo retângulo
• Funções trigonométricas

Um atleta, treinando para a corrida de São
Sil vestre, faz uma série de percursos retilíneos
conforme des crito a seguir:
1) 8,0km para leste
2) 3,0km para norte
3) 4,0km para oeste
Determine
a) a distância total que o atleta percorreu;
b) a distância entre sua posição inicial e sua
posição final.
Resolução
a) A distância total percorrida é dada por:
D = AB + BC + CD
D = 8,0km + 3,0km + 4,0km
b) A distância entre a posição inicial A e a
posição final D é dada pela aplicação do
Teorema de Pitágoras.
74 FÍSICA
d2 = (AE)2 + (ED)2
d2 = (4,0)2 + (3,0)2 (km)2
d2 = 16,0 + 9,0 (km)2
d2 = 25,0 (km)2
Respostas: a) 15,0km
b) 5,0km
Considere uma bola de futebol des -
crevendo uma trajetória parabólica.
Num dado instante, a velocidade da bola tem
uma com ponente horizontal Vx e uma com -
ponente vertical Vy, conforme mos trado na
figu ra.
São dados:
V = 20km/h e Vx = 12km/h
Determine
a) o valor de Vy
b) o seno, o cosseno e a tangente dos
ângulos θ e α.
Resolução
a) Teorema de Pitágoras:
V2 = Vx
2 + Vy
2
(20)2 = (12)2 + Vy
2
2
400 = 144 + Vy
2 = 256 ⇒
Vy
Vy = 16km/h
b) 1) sen θ = = = 0,8
Vx –––
V
2) cos θ= = = 0,6
Vx –––
V
3) sen α = = 0,6
4) cos α = = 0,8
Observe que: sen θ = cos α
sen α = cos θ
Isto nos mostra que quando dois ân gu los são
comple men tares (somam 90°), o seno de um
é igual ao cosseno do outro.
(VUNESP-MODELO ENEM) – Texto para as
questões e .
A partir do instante em que uma aeronave
atinge a altura de 50 pés (aproxi madamente
15 m) sobre a pista, ela deve manter um ângulo
de 3° até tocar a pista. Chama-se distância de
pouso o compri mento correspondente a 60%
do compri mento total da pista disponível para
aterrizagem.
(Aero Magazine, n.° 159 . Adaptado)
15 m
Distância de pouso
3º
Vy –––
V
12
–––
20
Vy –––
V
16
–––
20
d = 5,0km
D = 15,0km
2)
3)
Apresentamos a seguir os valores do seno, cosseno
e tan gente para os ângulos mais importantes:
Observação: Não se define tg 90°.
cateto adjacente
cosseno de α = –––––––––––––––––
hipotenusa
b
cos α = —–
a
cateto oposto
tangente de α = –––––––––––––––––
cateto adjacente
c
tg α = —–
b
sen
cos
tg
0º
0
1
0
30º 45º 60º 90º
1
2
3
–––
–––
–––
1
2
2
2
3
2
1
–––
–––
–––
0
2
2
2
3
–––
1
3
–
3

cateto oposto
––––––––––––––
hipotenusa
FÍSICA 75
Se a distância de pouso necessária para
uma aeronave é de 1800m, o com primento
total da pista disponível para ater rizagem, em
quilômetros, é igual a
a) 2,6 b) 2,7 c) 2,8
d) 2,9 e) 3,0
Resolução
De acordo com o texto, a distância de pouso
(dP) corresponde a 60% do comprimento total
da pista (LP).
60% equivale a mul ti pli car por 0,6.
Assim, temos:
dP = 0,6 LP
Como dP = 1800m, resulta:
1800 = 0,6 . LP
LP = (m)
Resposta: E
A partir do instante em que a aero nave
atinge a altura de 15m sobre a pista, se o pouso
for realizado de acordo com os parâmetros
indicados no texto e na figura, ela percorrerá,
até tocar o solo, a distância AB, em metros, de
a) 260 b) 280 c) 290
d) 300 e) 310
Adote: sen 3° = 0,05
Resolução
Da figura, temos:
sen 3° = =
Porém, sen 3° = 0,05
0,05 =
15m
–––––
0,05
AB = ⇒
Resposta: D
AB = 300m
15m
–––––
AB
15m
–––––
AB
LP = 3,0 . 103m = 3,0km
1800
–––––
0,6
É dado o triângulo retângulo ABC. Resolva as ques tões de
a .
Aplicando o Teorema de Pitágoras, calcule a hipo te nusa (c).
RESOLUÇÃO:
c2 = a2 + b2 ⇒ c2 = (3)2 + (4)2 ⇒ c2 = 25 ⇒ c = 5
Calcule o seno dos ângulos α e β.
RESOLUÇÃO:
sen α = ⇒ sen α = ⇒ sen α = 0,6
sen β = ⇒ sen β = ⇒ sen β = 0,8
Calcule o cosseno dos ângulos α e β.
RESOLUÇÃO:
cos α = ⇒ cos α = ⇒ cos α = 0,8
cos β = ⇒ cos β = ⇒ cos β = 0,6
Calcule a tangente dos ângulos α e β.
RESOLUÇÃO:
tg α= = ⇒ tg α = 0,75
b
–––
a
4
–––
3
tg β= = ⇒ tg β =
4
–––
3
a
–––
b
3
–––
4
a
–––
c
3
–––
5
b
–––
c
4
–––
5
b
–––
c
4
–––
5
a
–––
c
3
–––
5

(ETEC-MODELO ENEM) – Sobre o vôo do 14-Bis realizado
em 23 de outubro de 1906, o Professor Charly Künzi, ex-reitor
do ITA e membro da Associação Brasileira de Cultura Aeroes -
pacial, escreveu:
“... O Aeroclube da França oferecia um prêmio para quem
conseguisse voar pela primeira vez com um aparelho 'mais
pesado que o ar'. Era a Taça Archdeacon, acompanhada da
quantia de 3 000 francos, que seriam entregues para 'quem
conseguisse construir um aparelho capaz de decolar por seus
próprios meios e voar por uma distância de 25 metros sem
exceder o ângulo de descida de 25%'.
...Chegou então a vez de Santos Dumont. Ele subiu no seu
14-Bis, elegantíssimo, de paletó, gravata e chapéu, cumpri -
mentou o público com uma reverência, fez o motor dar a sua
força máxima, começou a rolar devagar, mais rapidamente,
mais rapidamente ainda e decolou. Ele voou 60 metros a uma
altura de 3 metros.”
(Fonte: http://www.ita.cta.br/online/2005)
Para calcular, aproximadamente, a distância percorrida por
Santos Dumont do início da descida do 14-Bis até o momento
em que ele atingiu o solo, deve-se considerar que
• a trajetória da descida foi retilínea;
• a inclinação da trajetória da descida do 14-Bis manteve-se
constante;
• o ângulo de descida do avião é formado pela trajetória de
descida do avião e o horizonte;
76 FÍSICA
• um ângulo de descida de 25% equivale, aproximada men -
te, a um ângulo de 14°.
Logo, essa distância em metros, é
a) 3,1 b) 5,6 c) 7,3 d) 10,2 e) 12,5
Dados: sen 14° = 0,24; cos 14° = 0,97 e tg 14° = 0,25
RESOLUÇÃO:
sen 14° =
H
–––
d
d = = = 12,5m
Resposta: E
3,0m
–––––––
0,24
H
–––––––
sen 14°
1. Direção e sentido
Consideremos duas retas paralelas, (a) e (b).
Elas têm a mesma direção.
Vamos, agora, orientar quatro retas paralelas, (a), (b),
(c) e (d), conforme in dica a figura ao la do.
Apesar de possuírem orientações diferentes, con ti -
nuam com a mesma dire ção. No entanto, observe mos que:
1.o) a e b têm a mesma orientação e, portanto, têm
o mesmo sentido;
2.o) c e d têm a mesma orientação e, portanto, têm
o mesmo sentido;
3.o) b e c têm orientações opostas e, portanto, têm
sentidos opostos.
Isto posto, podemos definir:
No Portal Objetivo
digite FIS1M104
Direção é a propriedade comum às retas paralelas,
isto é, um conjunto de retas paralelas define uma
direção.
Sentido é a orientação sobre a direção.
Assim, falamos em direção vertical e sentido para
cima ou para baixo; direção horizontal e sentido para a
direita ou para a esquerda.
Uma rua reta define uma direção; nesta rua, pode -
mos caminhar para um lado ou para o ou tro, isto é, em
dois sen tidos.
Na figura, os carros A e B pos suem velo cidades de mesma direção
(para lela à pis ta), porém com sentidos opostos.
5
O que é uma
grandeza física vetorial? • Escalar • Vetor

FÍSICA 77
Quando dois carros trafegam em uma mesma rua
reta, um de encontro ao outro, dizemos que eles se mo -
vem na mesma direção, porém, em sentidos opostos.
2. Grandezas físicas
escalares e vetoriais
As grandezas físicas podem ser classificadas em
dois grupos: as grandezas escalares e as grandezas
vetoriais (tam bém chamadas de grandezas orientadas
ou dirigi das).
Uma grandeza é escalar quando tem apenas in -
tensidade, isto é, fica perfeita mente definida e carac -
terizada pelo seu valor numérico, traduzido por um nú -
mero real e uma unidade.
São grandezas escalares: comprimento, área, volu -
me, tempera tura, den si da de, massa, tempo, energia etc.
Assim, quando dizemos que a massa de uma pes soa
vale 50kg, esgotamos o assunto, não cabendo mais
nenhuma indagação sobre a massa.
Uma grandeza é vetorial quando exige, para sua
completa caracterização, além de sua intensidade, tam -
bém a sua orientação, isto é, a sua direção e sentido.
Para caracterizarmos o efeito da aceleração da
gravidade, por exemplo, devemos informar qual a sua
intensidade, que sua direção é vertical e que seu
sentido é dirigido para baixo.
O efeito produzido por uma força não depende
apenas de sua intensidade, mas também da direção e
do sentido em que ela atua.
São grandezas vetoriais: deslocamento, velocidade,
acele ração, força etc.
A grandeza vetorial é indicada por uma pe que na seta
a
→colocada em ci ma V
→do símbolo da grandeza: des loca -
mento (), velocidade (), aceleração (), força (→F) etc.
d
→? Saiba mais
O tempo é uma grandeza es ca lar,
pois fica perfeitamente de finido
por um número real e a respectiva
uni dade.
A posição de um
avião num dado
ins tante pode ser
de ter minada por
um vetor.
(MODELO ENEM) – Enunciado para as
questões e .
Um carro se move da posição A para a po si ção
B, indicadas na figura.
Define-se deslocamento do carro
→d
como
sendo um vetor que tem origem na posição
inicial e extremidade na posição final.
O deslocamento do carro
→d
tem orien tação
mais bem repre sentada pelo segmento:
a) ↖ b) c) ←
d) ↑ e) ↓
Resolução
De acordo com a definição, o deslocamento
→
d
é um vetor de origem em A e extremidade em
B:
Resposta: E
O deslocamento vetorial
→d
, entre as
posições A e B, tem
a) a mesma direção e o mesmo sentido do
eixo y.
b) a mesma orientação do eixo y.
c) sentido perpendicular ao do eixo x.
d) a mesma direção e sentido oposto ao eixo
y.
e) direção perpendicular e o mesmo sentido
do eixo x.
Resolução
O vetor deslo ca men to
→
d tem a mesma direção
e sentido oposto ao do eixo y.
O vetor deslocamento
→
d tem direção perpen -
dicular à do eixo x.
Só podemos comparar os sentidos em uma
mesma direção.
Resposta: D
No Portal Objetivo
Para saber mais sobre o assunto, acesse o PORTAL OBJETIVO (www.portal.objetivo.br) e, em “localizar”, digite FIS1M105

A massa de um corpo é grandeza escalar ou veto rial?
Justifique sua resposta.
RESOLUÇÃO:
Grandeza escalar, pois fica perfeitamente caracterizada por um
número real e uma unidade.
A grandeza física força é escalar ou vetorial?
Justifique sua resposta.
RESOLUÇÃO:
Grandeza vetorial, pois, para ser perfeitamente caracte riza da, são
necessárias as seguintes informações: módulo, direção e sen tido.
Entre as grandezas indicadas abaixo, assinale aquelas que
são vetoriais.
a) massa e tempo;
b) volume e área;
c) força e deslocamento;
d) energia potencial e cinética;
e) massa e aceleração.
Resposta: C
Considere as grandezas físicas:
I. Velocidade II. Temperatura
III. Deslocamento IV. Força
Dessas, a grandeza escalar é:
a) I b) II c) III d) IV
Resposta: B
78 FÍSICA
(MODELO ENEM) – Quando uma grandeza física tem na -
tu reza escalar, ela não envol ve o conceito de direção e fica
perfeitamente carac te rizada por seu valor numérico associado
a uma unidade.
Para somarmos duas grandezas escalares, basta somar seus
valores numéricos.
Quando uma grandeza tem natureza vetorial, ela envolve o con -
ceito de direção e vai ser representada por um elemento mate -
mático denominado vetor ao qual associamos um módulo, uma
direção e um sentido.
Para somarmos duas grandezas vetoriais, não basta conhecer
suas intensidades: devemos conhecer também o ângulo for -
ma do entre suas direções.
A um corpo em movimento, associamos duas grandezas físi -
cas importantes: velocidade
→
V e energia cinética Ec.
A velocidade tem como unidade metro por segundo (m/s) e a
energia cinética tem como unidade o joule (J).
Considere duas velocidades,
→V
1 e
→V
2, com módulos 10,0m/s e
20,0m/s, respectivamente.
Considere duas energias cinéticas, E1 e E2, com valores 10,0J
e 20,0J, respectivamente.
Analise as proposições a seguir:
I) A soma
→V
1 +
→V
2 tem módulo necessariamente igual a
30,0m/s.
II) A soma E1 + E2 vale necessariamente 30,0J.
III) Não podemos somar
→V
1 com
→V
2 porque não existe soma de
grandezas vetoriais.
IV) A soma
→V1 +
→V
2 poderá ter módulo igual a 30,0m/s
Somente está correto que se afirma em:
a) I e III b) II e IV c) II e III
d) I e IV e) I, II e III
RESOLUÇÃO:
1) FALSA. A soma
→
V1 +
→
V2 vai depender do ângulo formado entre
→
V1 e
→
V2.
2) VERDADEIRA. A energia cinética é grandeza escalar e os
valores numéricos são somados.
3) FALSA. Tanto as grandezas escalares como as vetoriais podem
ser somadas.
4) VERDADEIRA. Quando as velocidades
→
V1 e
→
V2 tiverem a mes ma
direção e o mesmo sentido, as suas intensidades se somam.
Resposta: B

6 Introdução à Física • Método científico
• Massa • Sistema Internacional
2H
tq = ––g––
FÍSICA 79
1. Astrologia: ciência ou crença?
(1)Quando um ramo do conhecimento é conside rado
uma ciência?
(2)Será que a Física sempre foi uma ciência?
(3)Kepler, grande físico e astrônomo, também foi um
astrólogo?
(4)Ufologia pode ser considerada uma ciência?
Quais são as respostas
para essas quatro perguntas?
(1)Qualquer estudo ou ramo de conhecimento só
poderá ser considerado uma ciência se as suas afir ma -
ções ou leis pu derem ser verificadas experi mental men -
te, isto é, se os estudio sos puderem “inventar” uma
experiência capaz de comprovar aquela afirmação ou lei.
(2) A Física nem sempre foi uma ciência. A Física de
Aristóteles, que prevaleceu antes de Galileu, não era
uma ciên cia, pois as afirmações de Aristóteles não eram
comprovadas experimentalmente. Quando Einstein
apresentou sua teoria da Relatividade, que revolucionou
a Física, ela não foi aceita de imediato e Einstein não ga -
nhou o prêmio Nobel por ela e uma das razões é que ela
foi apresentada sem comprovação experi mental. So -
mente mais tarde os cientistas, realizando expe riências
para tentar provar que Einstein estava errado, puderam
na realidade com provar que ele estava certo e a teoria da
Rela ti vidade pôde ser aceita pe la comunidade científica.
(3) É verdade que Ke pler foi um astrólogo, mas se rá
que a Astrologia, in fluên cia dos astros na vida das pes -
soas, é uma ciên cia? A resposta cate górica é não!!!, pois
as afirma ções da Astro logia não têm nenhuma com pro -
vação expe rimental.
Em realidade, Kepler foi astrólogo para ganhar di nhei -
ro e teve sucesso até um dia em que previu que um nobre
poderoso iria ganhar uma certa batalha e a frago ro sa der -
rota deste encerrou a carreira de astrólogo de Kepler.
(4) A Ufologia, embora encante milhões de pessoas,
não pode ser considera da ciência porque não há evi dên -
cia ex perimen tal de que seres ex tra ter restres nos te -
nham visitado. Qual quer cien tista sabe que por ques tões
estatísticas é extre ma mente provável, dir-se-ia mesmo
quase uma certe za, que existe vida inteligente fora da
Terra, porém, em virtude das fantásticas distâncias que
nos separam de outros planetas habitados por seres inte -
li gentes, com os conhecimentos físicos atuais, o con tato
é muito pouco provável, quase impossível.
2. Método científico de Galileu
Foi Galileu Galilei quem deu à Física um caráter de
ciên cia, com a introdução do chamado “método experi -
mental”.
O método experimental baseia-se em quatro etapas:
1) Observação de um fenômeno que ocorre na
natureza;
2) Reprodução do fenômeno em laboratório, com a
pesquisa dos fatores que são relevantes em seu estudo;
3) Elaboração de leis físicas que possam explicar o
fenômeno qualitati vamente e de equações que possam
traduzi-lo quantitativamente;
4) Comprovação experimental das leis enunciadas
com a variação dos fatores considerados relevantes no
estudo do fenômeno observado.
Exemplificando:
1) Fenômeno observado: queda livre de um corpo;
2) Estudo da queda livre em laboratório, pesqui san -
do os fatores que podem influir no tempo de queda: al tu -
ra de queda (H) e valor da aceleração da gravidade (g);
3) A equação que traduz o tempo de queda:
Esta equação é obtida sabendo-se que, durante a
que da, a aceleração é cons tante (aceleração da gravi -
dade g) e usando-se a lei física que estuda os movi -
mentos com aceleração constante;
4) Comprovação da validade da equação do tempo
de queda com medidas feitas em laboratório, variando-se
o valor da altura de queda H.

O tempo de queda é medido com um cro nômetro
pa ra diferentes valores da altura H. Em seguida, calcula -
mos o valor teórico do tempo de queda utilizando a
equação apre sentada.
Se os valores experimentais (medidos no cronô -
metro) coincidirem (pelo menos aproximadamente) com
os valores teóricos (calculados pela equação dada), en tão
a lei física foi comprovada experimental mente e po de
ser considerada verdadeira.
Quando os astronautas estiveram na Lua, eles fize -
ram a chamada “experiência de Galileu”: abandonaram
um martelo e uma pluma de uma mesma altura e eles
chagaram juntos ao solo lunar. Uma questão de vesti -
bular perguntou se era correto dizer que os astronautas
observaram que o martelo e a pluma caíram na Lua com
a mesma aceleração. A resposta da questão era que a
frase estava errada, pois não se pode observar (ver, en -
xer gar) uma aceleração: os astronautas observaram que
o martelo e a pluma chegaram juntos ao solo lunar e
con cluíram, com seus conhecimentos de Cinemática,
que, para isto ocorrer, eles caíram com a mesma ace -
leração.
No Portal Objetivo
digite FIS1M106
3. Grandezas fundamentais
e grandezas deri vadas
De um modo geral, chamamos de grandeza física
to da grandeza que pode ser medida.
Distância, tempo, massa, velocidade, aceleração,
for ça etc. são grandezas físicas.
Algumas dessas grandezas podem ser medidas dire -
ta men te.
No entanto, uma medida direta da aceleração, por
exemplo, é impossível.
Um método de medida da aceleração da gravidade é
o uso de um pêndulo. Você pode amarrar um barbante a
uma pedra, prendê-lo no teto e fazer a pedra oscilar.
O tempo gasto pela pedra para ir e voltar é chamado
período de oscilação (T).
Demonstra-se, usando-se leis físicas, que o período
T, para oscilações com pequena abertura angular, é dado
pela equação:
T = 2π–––
80 FÍSICA
Portanto, podemos me dir o valor da aceleração da
gra vidade g, medindo-se o comprimento L do barbante
(com uma régua), o período de osci lação T (com um cro -
nômetro) e, em segui da, aplicando-se a equa ção que
relaciona as três gran dezas: T, L e g.
As grandezas que podem ser me didas diretamente
são chamadas de gran dezas funda mentais ou primi ti -
vas.
As grandezas que são medidas a partir das gran de -
zas fundamentais (por meio de equa ções) são cha ma das
de gran dezas derivadas.
Na Mecânica, há três gran de zas funda men tais:
Comprimento, Massa e Tempo
Quando dizemos que as gran dezas fun da men tais
ou primi tivas da Mecânica são com pri mento (L), mas sa
(M) e tempo (T), isto significa que a partir dessas três
grandezas podemos defi nir todas as demais grandezas da
Mecâ nica, as quais são, então, chamadas de gran dezas
derivadas.
Em outras palavras: qualquer grandeza de ri va da
da Me cânica resulta de uma combinação ade quada das
três grandezas fundamentais. Exempli ficando: a
grandeza velocidade é obtida dividindo-se uma
distância por um intervalo de tem po, isto é, a
velocidade é definida a partir de uma combina ção das
grandezas fundamentais comprimento (L) e tempo (T).
L (grandeza fundamental)
Velocidade = –––––––––––––––––––––––––––
(grandeza derivada) T (grandeza fundamental)
4. Conceito da
grandeza fundamental massa
Conceito de inércia
Inércia é uma propriedade da matéria que consiste
na difi culdade que um corpo oferece à mudança
de sua velocidade.
Por exemplo, quando você chuta com a mesma for -
ça uma bola de borracha, uma bola de futebol de campo
e uma bola de futebol de salão, você verifica que as
velocidades adquiridas serão diferentes:
Vbola de borracha Vbola de campo Vbola de salão
Isso significa que a bola de futebol de salão tem
mais inércia que a bola de futebol de campo que, por sua
vez, tem mais inércia que a bola de borracha.
Uma das famosas leis de Newton afirma que:
Um corpo, livre da ação de forças, mantém sua ve -
lo cidade constante graças à propriedade chama da
inércia.
L
g

Massa é uma propriedade associada a um corpo
que mede a sua inércia e a sua atratibilidade.
FÍSICA 81
Conceito de atratibilidade
Todo corpo cria em torno de si o que chamamos de
um campo gravitacional, isto é, todo corpo é capaz de
atrair outros com forças chamadas gravitacionais.
Newton traduziu esse fato dizendo que “matéria
atrai ma téria”.
Essa capacidade de um corpo de atrair outros corpos
por meio de forças gravitacionais é chamada de atratibi -
lidade.
Conceito de massa
Tanto a inércia como a atratibilidade são medidas por
uma propriedade associada ao corpo que se conven -
cionou chamar de massa.
Quanto maior a massa de um corpo, maior é a sua
inércia.
A rigor, existem dois conceitos de massa:
1) Massa inercial: medida da inércia.
2) Massa gravitacional: medida da atratibilidade.
Porém, verificou-se que as duas massas (inercial e
gra vita cional) associadas a um corpo eram diretamente
propor cionais.
Isto significa que, se a massa inercial de um corpo A
era o dobro da massa inercial de um corpo B, então a
massa gravi tacional de A também era o dobro da massa
gravitacional de B.
Matematicamente: minercial = k mgravitacional
k = constante de proporcionalidade
Para não complicar as equações da Física, adotou-se
para k o valor 1 e admitiu-se que as duas massas (inercial
e gravitacional) teriam o mesmo valor.
Portanto:
5. Sistema
Internacional de Unidades (SIU)
Para medirmos as grandezas físicas, de vemos ado -
tar padrões que são chama dos de unidades de medidas.
O sistema de unidades adotado pratica mente no
mun do todo é o Sistema Inter na cional de Unidades, re -
pre sentado pela sigla SI ou SIU, que adota para as gran -
dezas fundamentais as seguintes unidades:
Massa: quilograma (símbolo: kg)
Comprimento: metro (símbolo: m)
Tempo: segundo (símbolo: s)
Quanto maior a massa de um corpo, maior é sua
atrati bilidade.
(MODELO ENEM) – Define-se ano-luz como sendo a dis tân cia
que a luz per cor re, no vácuo, em um ano. A estrela mais próxima da
Terra, ex cluin do o Sol, está a uma distância de 4,5 anos-luz. Isto signi -
fica que a luz da estrela gasta 4,5 anos para chegar até nós. A nebulosa
de Caranguejo está a cerca de 6500 anos-luz e resultou da explosão de
uma estrela classifi cada como supernova. Esta explosão foi regis trada
por astrônomos chineses em 1054 dC (depois de Cristo).
A explosão ocorreu em
a) 1054 aC b) 1054 dC c) 6500 aC
d) 6500 dC e) 5446 aC
Resolução
Como a distância da nebulosa até a Terra é de 6500 anos-luz, a explo -
são ocorreu 6500 anos antes de ser detectada na Terra, isto é, 6500
anos antes do ano de 1054:
T = 1054 – 6500
T = –5446, isto é, no ano 5446 aC (antes de Cristo).
Resposta: E
(VUNESP-MODELO ENEM) – Parsec é uma unidade de medida
frequen te mente usada na Astronomia, correspondente a 3,26 anos-luz.
Define-se ano-luz como sendo a distância que a luz per corre, no vácuo,
em um ano. Portanto, o parsec é uma unidade de medida de
a) brilho.
b) velocidade.
c) tempo.
d) distância.
e) magnitude.
Resolução
Ano-luz é a distância que a luz percorre no vácuo em um ano e o parsec
tem as mesmas dimensões do ano-luz.
Resposta: D
Analise as proposições a seguir e assinale a correta.
a) A Física sempre foi uma ciência.
b) A Física de Aristóteles, que viveu antes de Cristo, era uma
ciência.
c) A Astrologia é uma ciência.
d) Somente a partir de Einstein a Física tornou-se uma ciên cia.
e) A Física tornou-se uma ciência quando Galileu introduziu a
comprovação experimental para a validade das leis físicas.

7 Você sabe medir? • Algarismos significativos
1. Algarismos significativos
Qualquer medida de uma grandeza física está sujeita a erros.
Tais erros estão ligados ao limite de precisão da apa relhagem utilizada e à perícia do operador.
Exemplificando: se medirmos um comprimento com uma régua graduada em centímetros, podemos afirmar que
os algarismos que medem centímetros estão cor retos; o algarismo que mede décimo de centímetro será apenas uma
avaliação e, portanto, é um algarismo duvi doso; o algarismo que mede centésimo de centí metro não terá nenhum
significado na medida feita.
No Portal Objetivo
82 FÍSICA
• Medidas
Os algarismos corretos e o primeiro algarismo duvi -
doso são chamados de algarismos significativos.
A figura mostra uma régua mi li me trada e um ob -
jeto (re du zidos na mesma pro por ção). Qual o com -
pri mento real do objeto?
6,42cm
1.º duvidoso
correto
correto
RESOLUÇÃO:
Qualquer ramo do conhecimento só pode ser considerado uma
ciência se tiver comprovação experimental.
Resposta: E
Imagine que um cientista louco propusesse definir massa
como sendo o número total de átomos de um corpo. Qual seria
sua maior crítica a esta definição?
RESOLUÇÃO:
Não existe um critério para contarmos quantos átomos existem
em um corpo.
(INEP-MODELO ENEM) – No fim do século XVIII, algu mas
unidades de medida na Europa eram definidas a partir das
partes do corpo do rei de cada país: palmo, pé e polegada. Em
1875, foi criado o Sistema Métrico Decimal: centímetro, metro,
quilômetro. Este sistema hoje é utilizado em grande parte dos
países.
A criação desse novo sistema de medidas ocorreu, principal -
mente, por causa da
a) ausência de reis em vários países.
b) necessidade de um padrão mundial de medidas.
c) procura constante por revoluções tecnológicas.
d) escassez de novos conhecimentos científicos.
e) necessidade de padrões de unidades ligados ao cotidiano.
RESOLUÇÃO:
A universalização da unidade de medida feita com o sistema
internacional de medidas (SI) é uma necessidade.
Resposta: B

Massa (kg)
1,0 . 105
Carro pequeno 1000
Ser humano grande 100
Cachorro médio 10
Livro didático 1,0
Maçã 0,1
Lápis 0,01
Uva passa 1 . 10–3
Mosca 1,0 . 10–4
FÍSICA 83
2. Múltiplos e submúltiplos das unidades
Para a obtenção de múltiplos e submúltiplos das unidades de medida, usamos os prefixos indicados na tabela a seguir:
Prefixo
tera
giga
mega
quilo
hecto
deca
deci
Símbolo
T
G
M
k
h
da
d
Fator de
Multiplicação
1012
109
106
103
102
101
10–1
Prefixo
centi
mili
micro
nano
pico
femto
atto
Símbolo
c
m
μ
n
p
f
a
Fator de
Multiplicação
10–2
10–3
10–6
10–9
10–12
10–15
10–18
Entenda as potências de 10
10–3 = 0,001
10–2 = 0,01
10–1 = 0,1
100 = 1
102 = 100
103 = 1000
...
106 = 1 000 000
3. Notação científica
É a representação de um número N com o uso de uma
potência de 10 acom pa nhada de um número n tal que 1 ≤ n 10.
N = n . 10x
Veja alguns exem -
plos na tabela ao lado.
N
343
0,0010
0,07
35,80
Notação Científica
3,43 . 102
1,0 . 10–3
7 . 10–2
3,580 . 101
Nas calcu lado ras cien -
tíficas, quan do a no ta -
ção cien tí fi ca é utiliza -
da, omi te-se a base
10.
Na figura, temos o nú -
mero 2,58 . 1012.
? Saiba mais
Na medida de um comprimento L, usa mos
uma régua gradua da em centímetros. A medida
de L foi apresentada da seguinte forma:
L = 2,5789m
Responda aos quesitos a seguir:
a) Nesta medida, quais são os algarismos
corretos, o primeiro duvidoso e quais são os
algarismos significativos?
b) Como seria a medida de L expressa em
milímetros (mm) com notação científica e com
dois algarismos significativos?
Resolução
a) Se colocarmos a medida em centímetros,
teremos:
L = 257,89cm
Os algarismos 2, 5 e 7 medem a quanti -
dade de centí me tros e, por tanto, são
corretos.
O algarismo 8 mede décimo de centí -
metro e, portanto, é o 1.° duvi do so.
O algarismo 9 não tem significado nesta
medida e deve ser eliminado.
Portanto, os algarismos significativos são
os corretos: 2, 5 e 7 e o 1.° duvidoso, 8.
b) Como 1m = 103 mm, temos:
L = 2,578 . 103 mm
Como queremos apenas dois algarismos
significativos, aproximamos para:
Na aproximação, quando o primeiro
algarismo eliminado (7) for superior a 5, o
anterior (5) é acrescido de uma unidade
(passa a ser 6).
(MODELO ENEM) – Enunciado para os
exercícios e .
Considere a seguinte tabela com valores
aproximados de algu mas massas.
Avião comercial
grande
O número de algarismos significati vos das
massas do avião, do carro pequeno e do lápis
são, res pec tivamente:
a) 2 – 4 – 1 b) 1 – 4 – 1
c) 2 – 4 – 2 d) 1 – 3 – 2
e) 2 – 4 – 4
L = 2,6 . 103 mm

Um estudante mediu um comprimento com uma régua
graduada em milí metros e apresentou o seguinte resultado:
L = 2,30456m
Nesta medida:
a) quais são os algarismos corretos?
b) qual o primeiro algarismo duvidoso?
c) quais são os algarismos significativos?
RESOLUÇÃO:
a) 2 3 0 4
m dm cm mm
b) 5
c) 2 3 0 4 5
Observação: No item “a”, se interpretarmos que algarismos cor -
retos seriam aqueles obtidos de uma leitura cor reta, a res posta
seria: 2 3 0 4 5
O algarismo “6” não pode ser obtido numa régua mili me trada e
foi inserto incorretamente. Trata-se de um segundo algarismo
duvi doso.
Qual o número de algarismos significativos nas se guintes
medidas?
a) 4,80kg b) 3,4g
c) 0,03040kg d) 80,4kg
e) 3,00kg f) 4,732 . 10–3kg
g) 6,0130 . 103 kg h) 4 . 10–3kg
RESOLUÇÃO:
a) 3 b) 2 c) 4 d) 3
e) 3 f) 4 g) 5 h) 1
84 FÍSICA
MA
–––– = 1,0 . 109
MM
105
––––
10–4
1,0
––––
1,0
MA
––––
MM
Ache as relações entre as seguintes unidades:
a) km e mm b) m2 e (cm)2
RESOLUÇÃO:
a) 1km = 1 . 103m = 1 . 103 . 103 mm ⇒ 1km = 1 . 106 mm
b) 1 m2 = 1 . (102cm)2
1 m2 = 1 . 104 cm2
A velocidade da luz no vácuo é expressa por:
c = 2,99792458 . 108m/s
Exprimir o valor c em km/s e com dois algarismos significa -
tivos:
RESOLUÇÃO:
c = 3,0 . 105km/s

(FATEC-SP-MODELO ENEM) – César Cielo se tornou o
maior nadador brasileiro na história dos Jogos Olímpicos ao
con quistar a medalha de ouro na prova dos 50 m livres. Pri mei -
ro ouro da natação brasileira em Jogos Olímpicos, Cielo que -
brou o recorde olímpico com o tempo de 21s30’’, ficando a
ape nas dois centésimos de segundo do recorde mundial con -
quistado pelo australiano Eamon Sullivan num tempo igual a
a) 19s28’’. b) 19s30’’. c) 21s10’’.
d) 21s28’’. e) 21s32’’.
RESOLUÇÃO:
O tempo do recorde mundial é de:
T = 21s + 0,30s – 0,02s
T = 21s + 0,28s
T = 21s28”
Resposta: D
Resolução
1) Para o avião: 1,0 . 105 kg
Temos dois algarismos significativos: 1 e 0; a potência de 10 não
interfere na quantidade de algarismos significativos.
2) Para o carro pequeno: 1000kg
Os quatro algarismos são significativos.
3) Para o lápis: 0,01kg
Apenas o 1 é significativo; 0 à esquerda não é algarismo signifi -
cativo.
Resposta: A
A razão entre a massa do avião comercial grande e da mos ca é
mais bem expressa por:
a) 1,0 . 10–9 b) 1,0 . 109 c) 1,0 . 10–9 . kg
d) 0,1 . 109 e) 0,1 . 1010
Resolução
MA = 1,0 . 105kg
MM = 1,0 . 10–4kg
= . ⇒
Observe que a razão não tem unidades e a opção e é falsa porque
apresenta apenas 1 algarismo significativo.
Resposta: B

8 Fundamentos da Cinemática I • Posição • Referencial
Quando o auto mó vel é manobrado
em uma gara gem, o seu tamanho
é re le vante e ele é tratado como
corpo extenso.
Quando o automóvel está per -
correndo uma estrada, o seu
ta manho é irre le van te e ele é
tratado co mo ponto material.
Ponto material tem tamanho desprezível, porém
sua massa não é des prezível.
FÍSICA 85
Operação de abastecimento de um caça em pleno voo. Embora os
aviões estejam em movimento em relação à Terra, não há movimento
relativo entre eles.
1. O que é Mecânica?
Mecânica é a ciência que estuda os movimentos.
Por razões didáticas, a Mecânica costuma ser divi di -
da em três capítulos:
I. Cinemática
II. Dinâmica
III . Estática
A Cinemática é a descrição geo métrica do movi -
men to, por meio de fun ções mate má ticas, isto é, é o
equa cio namento do movimento.
Na Cinemática, usamos apenas os conceitos da
Geo metria associados à ideia de tempo; as grandezas
fun da mentais utilizadas são apenas o com primento (L) e
o tempo (T).
A Dinâmica investiga os fatores que produzem ou
alteram os movimentos; traduz as leis que explicam os
movi mentos.
Na Dinâmica, utilizamos como grandezas funda -
mentais o comprimento (L), o tempo (T) e a massa (M).
A Estática é o estudo das condições de equilíbrio de
um corpo.
2. Ponto material ou partícula
Ponto material (ou partícula) é um corpo de tama -
nho desprezível em compa ração com as distâncias
envolvidas no fenômeno estudado.
Quando as dimensões do corpo são relevantes para
o equacionamento de seu movimento, ele é chamado de
corpo extenso.
Exemplificando:
(I) Um automóvel em uma viagem de São Paulo ao
Rio de Janeiro (distância de 400km) é tratado como pon -
to material, isto é, o seu tamanho não é importante no
equacionamento de seu movimento.
(II) Um automóvel fazendo manobras em uma gara -
gem é tratado como corpo ex ten so.
(III) Um atleta disputando a corrida de São Silvestre
(extensão de 15km) é tra tado como ponto material.
(IV) O planeta Terra em seu movimento de trans -
lação em torno do Sol é tra tado como ponto material.
(V) O planeta Terra em seu movimento de rotação é
tratado como corpo extenso.
Quando vamos calcular quanto tempo um trem gasta para ultrapassar
o outro, os tamanhos dos trens são relevantes e eles são tratados
como corpos extensos.
Quando calculamos quanto tempo um trem gasta entre duas
estações, o tamanho do trem é irrelevante e ele é tratado como ponto
material.
Quando se estuda a rotação de um corpo, suas
dimensões não são despre zíveis; e o corpo é sempre
tratado como corpo extenso.
3. Posição de um ponto material
A posição de um ponto material é definida pelas
suas coordenadas cartesianas (x, y, z) (figura a seguir).
O conjunto de eixos Ox, Oy e Oz, de mesma origem
O e perpendiculares entre si, é chamado sistema
cartesiano triortogonal.

Se o ponto ma terial estiver sempre no mesmo pla -
no, sua posição pode ser de fi nida por apenas duas
coordenadas car tesianas: x e y.
Se o ponto material estiver sempre na mesma reta,
sua posição pode ser definida por uma única coordenada
cartesiana: x.
4. Referencial ou
sistema de referência
O sistema cartesiano triortogonal deve ser fixado em
um local, em relação ao qual pretendemos estudar a
posição do ponto material.
Esse local é chamado sistema de referência ou
referencial.
Quando o referencial for omitido, vamos assumi-lo
como sendo a superfície terrestre.
5. Repouso – Movimento
Repouso e movimento são conceitos relativos, isto
é, dependem do referencial adotado.
Uma partícula está em repouso, para um dado re fe -
ren cial, quando sua posição permanece invariável, isto é,
as três coordenadas cartesianas (x, y e z) permane cem
constantes no decurso do tempo.
86 FÍSICA
Uma partícula está em movimento, para um dado
referencial, quando sua po sição varia no decurso do
tempo, isto é, pelo menos uma das coordenadas carte -
sianas está variando.
Exemplos
(I) Considere um carro em uma rua e um poste. O
velocímetro do carro marca 100km/h. O motorista do
carro está em repouso ou em movimento? A resposta
correta é: depende do referencial.
Se o referencial for a superfície terrestre, o poste
está em repouso e o mo toris ta está em movimento a
100km/h.
Se o referencial for o carro, o motorista está em
repou so e o poste está em mo vi mento a 100km/h.
(II) Considere um avião em pleno voo e um passa -
geiro dormindo em uma poltrona.
Se o referencial for o avião, o passageiro está em
repouso e se o referencial for a superfície terrestre, o
passageiro está em movimento.
A ideia de movimento está asso ciada à mudança de posição. Uma
pessoa sen tada no banco de um ôni bus, que trafega em uma rodo via,
está sem pre na mesma posição em rela ção ao ôni bus, isto é, está em
repouso em relação ao ôni bus. Porém, esta pes soa está mudando de
posição em relação à rodo via, isto é, está em movi mento em relação
à rodo via.
Não existe repouso absoluto nem movimento ab -
so luto.
(UFRJ) – Heloísa, sentada na poltrona de um ônibus, afirma que o
passageiro sentado à sua frente não se move, ou seja, está em re -
pouso. Ao mesmo tempo, Abelardo, sentado à margem da rodovia, vê
o ônibus passar e afirma que o referido passageiro está em movi -
mento.
De acordo com os conceitos de movimento e repouso usados em
Mecânica, explique de que maneira devemos interpretar as afirma -
ções de Heloísa e Abelardo para dizer que ambas estão corretas.
Resolução
Os conceitos de repouso e movimento são relativos, isto é, dependem
do referencial adotado. Para o referencial fixo no ônibus (Heloísa), o
passa geiro está em repouso.
Para o referencial fixo na superfície terrestre (Abelardo), o passageiro
está em movimento.
(GAVE-MODELO ENEM) – No Campeo nato da Europa de Atletis mo
em 2006, na Alemanha, Francis Obikwelu, atleta de nacio nalidade portu -
guesa, ganhou a medalha de ouro nas corridas de 100 e de 200 metros.
As tabelas referem as marcas alcançadas, na prova final da corrida de 100
metros, pelos atletas masculinos e femininos que ficaram nos quatro
primeiros lugares. Numa corrida, consi dera-se tempo de reação o intervalo
de tempo entre o tiro de partida e o mo mento em que o atleta sai dos
blocos de partida. O tempo final inclui o tempo de reação e o tempo de
corrida.

No Portal Objetivo
FÍSICA 87
100m MASCULINOS (PROVA FINAL)
Considere as proposições a seguir:
(I) Na prova de 100m masculinos, o atleta
Francis Obikwelu partiu antes que os
outros e por isso ganhou a corrida.
(II) O tempo de corrida da atleta Irina
Khabarova foi maior que da atleta
Yekaterina Grigoryva.
(III) O tempo médio de reação das mulheres é
menor que o dos homens.
(IV) O tempo médio de corrida dos homens é
menor que o das mulheres.
Somente está correto o que se afirma em:
a) I e III b) I e IV c) II e III
d) II e IV e) II, III e IV
Resolução
I. (F) O atleta Andrey teve o menor tempo
de reação e, portanto, partiu antes dos
outros.
II. (V) O tempo de corrida é a diferença entre
o tempo final e o tempo de reação:
Para Irina:
tC = 11,22s – 0,144s = 11,076s
Para Yekaterina:
tC = 11,22s – 0,150s = 11,070s
III. (V) Os dados da tabela confirmam esta
proposição.
IV. (V) Como o tempo final dos homens é
menor e o tempo de reação é maior, então
o tempo médio de corrida é menor para os
homens.
Resposta: E
(MODELO ENEM) – Os conceitos de re -
pou so e movi mento são relativos, pois depen -
dem do referencial adotado.
Dona Gertrudes, em seu carro novo, se projeta
em cima de um poste a 100km/h.
Tendo resistido ao evento, ela foi prestar
depoimento na dele ga cia e afirmou que o
poste estava com velocidade de 100km/h. Do
ponto de vista exclusivamente da Física, pode -
mos afirmar que
a) o argumento de Gertrudes é absurdo
b) para um referencial no solo terrestre, o
poste tem veloci dade de 100km/h.
c) para um referencial no carro, Gertrudes está
com velocidade de 100km/h.
d) para um referencial no carro, o poste está
com velocidade de 100km/h.
e) em relação a qualquer referencial, o poste
está com velo cidade de 100km/h.
Resolução
Para um referencial no solo terrestre, o carro e
dona Gertrudes estão em movimento com
velocidade de 100km/h e o poste está em
repouso.
Para um referencial no carro, dona Gertrudes
está em repouso e o poste está em movimento
a 100km/h.
Repouso e movimento são conceitos relativos
que dependem do referencial adotado.
Resposta: D
100m FEMININOS (PROVA FINAL)
Lugar Nome
Tempo de
reação
(segundo)
Tempo final
(segundos)
1.o Kim Gevaert 0,144 11,00
2.o Yekaterina
Grigoryva
0,150 11,22
3.o Irina
Khabarova
0,144 11,22
4.o Joice
Maduaka
0,164 11,24
Lugar Nome
Tempo de
reação
(segundo)
Tempo final
(segundos)
1.o Francis
Obikwelu
0,183 9,99
2.o Andrey
Yepishin
0,148 10,10
3.o Matic
Osovnikar
0,167 10,14
4.o Ronald
Pognon
0,184 10,16
(MODELO ENEM) – Considere o seguinte texto, extraído
de um Manual de Física:
“O objetivo da .................................................... cir cuns creve-se,
fundamentalmente, ao problema se guinte: partindo da
posição presente do móvel, num dado referencial, determinar
a sua posição futura no mesmo referencial; ou em outras
palavras: dado o aqui e agora do móvel – posição e instante
iniciais para um determinado observador –, prever o ali e
depois do móvel em relação ao mesmo observador.”
O espaço pontilhado no texto é mais bem pre en chi do pela pala -
vra:
a) Mecânica; b) Cinemática; c) Estática;
d) Dinâmica; e) Hidrostática.
Resposta: B
Responda às questões de a de acordo com o seguinte
código:
a) O corpo em estudo é considerado um ponto mate rial.
b) O corpo em estudo é considerado um corpo exten so.
c) Não há dados suficientes para julgarmos se o corpo é ponto
material ou corpo extenso.
Um atleta praticando judô.
Resposta: B
Um atleta disputando a corrida de São Silvestre.
Resposta: A
A Terra, em movimento de translação.
Resposta: A
A Terra, em movimento de rotação.
Resposta: B

Um carro, viajando de São Paulo para o Rio de Janeiro.
Resposta: A

Um elefante.
Resposta: C
Uma pulga.
Resposta: C
digite FIS1M108

9 Fundamentos da Cinemática II • Trajetória
1. Trajetória
Trajetória de um ponto material é o conjunto das
posições ocupadas pelo ponto material no de cur so do
tempo, isto é, é a união de todas as posições por onde o
ponto material passou.
P1 : posição no instante t1
P2 : posição no instante t2 . . . . .
. . . . .
. . . . .
Pn : posição no instante tn
A linha geométrica P1, P2, …, Pn (união de todas as
posições por onde o ponto material passou) é a
trajetória do ponto material.
Para uma trajetória plana, a equação da trajetória é a
equação que relaciona as coordenadas cartesianas de
posição x e y entre si.
Se o ponto material estiver em repouso, ele ocupa
uma única posição no espaço, e a sua trajetória se reduz
a um ponto.
Como a trajetória está ligada ao conceito de posição,
concluímos que:
Exemplificando
Considere um avião voando em linha reta, paralela
ao solo horizontal, com velocidade constante de valor
500km/h, em um local onde o efeito do ar é despre zível.
Num dado instante, o avião abandona uma bomba.
Qual a trajetória descrita pela bomba? (veja a figura)
A) Para um referencial ligado ao avião, a bomba terá
apenas a queda vertical provocada pela ação da gravi dade
e sua trajetória será um segmento de reta verti cal.
B) Para um referencial ligado à superfície terrestre,
a bomba terá dois movi mentos simultâneos:
(1) movimento horizontal para frente com a mesma
velocidade do avião (500km/h), mantido graças à
propriedade chamada inércia;
88 FÍSICA
(2) movimento de queda vertical provocado pela
ação da gravidade.
A superposição destes dois movimentos origina
uma traje tó ria parabólica.
C) Para um referencial li gado à própria bomba, ela
está em re pou so e sua tra jetória será um ponto.
2. Equação da trajetória
Consideremos uma partícula movendo-se ao longo
de um plano. A posição da partícula é definida pelas
suas coordenadas cartesianas x e y.
A equação da trajetória relaciona as coordenadas
cartesianas x e y entre si.
Se conhecermos como x e y variam com o tempo t,
para obter a equação da trajetória, basta eliminar a va -
riável t.
Exemplo 1
x = 2,0t2 (SI) e y = 4,0t2 (SI)
Dividindo-se membro a membro:
(SI)
y 4,0t2
–– = ––––– = 2,0 ⇒
x 2,0t2
y = 2,0x
Como a relação y = f(x) é do 1.° grau, concluímos
que a trajetória é retilínea.
Exemplo 2
x = 2,0t (SI) e y = 4,0t2 (SI)
x
Isolando-se o tempo na relação x = f(t), vem: t = –––
2,0
Substituindo-se o valor de t na relação y = f(t), vem:
x x2
y = 4,0 –––2
⇒ y = 4,0 ––––
2,0 4,0
(SI)
y = 1,0x2
Como a relação y = f(x) é do 2.° grau, concluímos que
a trajetória é parabólica.
Cada forma de trajetória: retilínea, parabólica, cir -
cular, elíptica etc. é tradu zida por uma determinada
equa ção da trajetória.
A trajetória depende do referencial.
• Equação da trajetória

t t0
t t0
t
b)
t t0
t t0
t
d)
t t0
t
FÍSICA 89
Um projétil foi lançado obliquamente a
partir do solo terrestre. Seu movimento é
descrito por suas coordenadas cartesianas de
posição x (horizontal) e y (vertical), que variam
com o tempo conforme as relações:
x = 20,0 t (SI)
y = 20,0 t – 5,0 t2 (SI)
Determine
a) o instante T (tempo de voo) em que o
projétil chega ao solo (y = 0).
b) o valor da distância D (alcance do projétil)
indicada no grá fico.
c) o instante em que o projétil atinge sua
altura máxima, sa bendo-se que o tempo de
subida é igual ao tempo de queda.
d) o valor da altura máxima H atingida pelo
projétil.
e) a equação da trajetória do projétil: y = f(x).
Resolução
a) Para obtermos o tempo de voo, basta
procurar o ins tante T em que a coordenada
vertical y, que representa a altura do projétil,
se anula:
y = 20,0 t – 5,0 t2 (SI)
20,0 T – 5,0 T2 = 0
5,0 T (4,0 – T) = 0
Soluções da equação do 2.° grau:
T = 0 (instante de lançamento)
(tempo de voo pedido)
b) O alcance D indicado no gráfico representa
o valor da coor denada x quan do o projétil
vol ta ao solo, isto é, o valor de x quando
t = T = 4,0s.
x = 20,0 t (SI)
D = 20,0 . 4,0 (m) ⇒
D = 80,0m
c) O tempo de voo T é a soma do tempo de
subida TS com o tempo de queda TQ.
De acordo com o enunciado, TS = TQ.
Portanto: T = TS + TQ = 2TS
TS= = ⇒
d) O valor da altura máxima H é o valor da
coordenada vertical y quando t = TS = 2,0s.
y = 20,0 t – 5,0 t2 (SI)
H = 20,0 . 2,0 – 5,0 (2,0)2 (m)
H = 40,0 – 20,0 (m)
e) Para obter a equação da trajetória, devemos
eliminar a variá vel tempo t nas relações:
x = f(t) e y = f(t).
x = 20,0 t (SI) (1)
y = 20,0 t – 5,0 t2 (SI) (2)
Em (1): t =
Em (2): y = x – 5,0
y = x – 5,0
(SI)
x 2 –––– 20,0
x2
––––
400
Como a função y = f(x), que traduz a trajetória,
é do 2.° grau, con cluí mos que a trajetória é
parabólica.
Observe que, na equação da trajetória, se
fizermos x = D = 80,0m, resultará y = 0.
De fato:
y = 80,0 – = 80,0 – 80,0 = 0
Observe ainda que, se fizermos
x = = 40,0m, resultará y = H = 20,0m.
De fato:
(40,0)2
––––––
80,0
y = 40,0 – (m)
y = 40,0 – (m)
y = 40,0 – 20,0 (m) ⇒
(UFABC-MODELO ENEM) – Era 6 de agos -
to de 1945, 8h15min da manhã, no Japão, quan -
do o Enola Gay, um bombardeiro B-29 nor -
teamericano, lançou, contra a cidade de Hiro -
xima, o primeiro ataque atômico da história da
humanidade, despejando sobre a cidade uma
bomba atômica de 4500kg. A cidade foi arrasada,
e 70 mil pessoas morre ram nos primeiros se gun -
dos após a explosão. Até hoje, o nú mero de
mortos decorrentes dessa operação está sendo
conta bilizado, e já ultrapassou 250 mil. Lan çada a
bomba, a tripu lação do B-29 assume tática evasi -
va, que permite seu retorno à base.
Supondo-se que a tripulação não realizasse a
manobra evasiva e man tivesse o voo em
trajetória reta e hori zontal com velocidade
constante e, levando-se em conta a resistência
do ar sobre o artefato nuclear, bem como o fato
de que essa bomba não possuía sistema próprio
de propulsão, a situação que melhor descreve a
trajetória da bomba entre os instantes t0
(lançamento) e t (mo mento da explosão) é:
a)
t
t
c)
e)
Resolução
Levando-se em conta a resistência do ar, a
velocidade ho ri zon tal da bomba vai diminuir e
vai ficar menor que a velocidade horizontal do
avião. Isto significa que, em relação ao avião, a
bomba cai verticalmente e desloca-se para trás
em uma traje tória curva que não é uma
parábola.
Resposta: C
(MODELO ENEM) – Se o efeito do ar
fosse desprezível, a trajetória da bomba seria
descrita por qual opção?
Resolução
Se o efeito do ar fosse desprezível, a bomba
conservaria uma velocidade horizontal igual à
do avião, isto é, o avião e a bomba estariam
sempre na mesma vertical.
Em relação ao solo terrestre, a trajetória da
bomba seria para bó lica e, em relação a piloto, a
trajetória seria vertical.
Resposta: B
y = H = 20,0m
1600
–––––
80,0
D
–––
2
(80,0)2
––––––
80,0
x2
y = x – –––––
80,0
x
––––
20,0
H = 20,0m
T
––
2
4,0s
–––––
2
TS = 2,0s
T = 4,0s

Considere um carro e um helicóptero. O carro movi menta-se
em uma estrada reta horizontal com velocidade constante
de valor 100km/h. O heli cóptero, voando sempre à mesma
altura, acompa nha o movimento do carro, exatamente na mes -
ma vertical, com a mesma velocidade horizontal de valor
100km/h.
Num dado instante, o motorista do carro aponta um revólver
para o helicóptero, e dispara verticalmente.
Admita que o ar não afeta o movimento do projétil.
Qual a trajetória do projétil
a) para um observador no carro?
b) para um observador no helicóptero?
c) para um observador fixo na superfície terrestre?
RESOLUÇÃO:
a) Segmento de reta vertical ao solo;
b) Segmento de reta vertical ao solo;
c) Arco de parábola.
A lei de movimento de uma partícula, relativamente a um
referencial cartesiano, é dada pelas equações x = 1,0t e
y = 2,0t2 + 1,0 em unidades do SI.
A trajetória da partícula é uma
a) circunferência; b) elipse; c) hipérbole;
d) parábola; e) reta.
RESOLUÇÃO:
t =
y = 2,0 2
+ 1,0
y = 2,0x2 + 1,0 (parábola)
Resposta: D
Uma partícula está em movimento em um plano de modo
que suas coordenadas cartesianas de posição x e y variam com
o tempo t, segundo as relações:
x = 2,0t2 (SI) y = 8,0t2 (SI)
a) Obter a equação da trajetória y = f(x);
b) Especificar, justificando, qual a forma da trajetória.
RESOLUÇÃO:
a) t2 =
x
–––
2,0
x
–––
2,0
y = 8,0 . ⇒ y = 4,0x
b) A função que relaciona as coordenadas cartesianas é do 1.o
grau, logo, a trajetória é retilínea.
(MODELO ENEM) – Um jovem, em um carro conversível,
se movimenta em linha reta em um plano horizontal com
velocidade constante.
Num dado instante, o jovem lança verticalmente para cima
uma bola. Despreze o efeito do ar.
Assinale a opção que representa corretamente a trajetória des -
cri ta pela bola para um referencial no carro (R1) e para um refe -
rencial no solo terrestre (R2).
x
–––
1,0
x
–––
1,0
90 FÍSICA

RESOLUÇÃO:
A trajetória depende do referencial adotado. Em relação ao carro
(R1), a trajetória é um segmento de reta vertical.
Em relação ao solo terrestre (R2), a trajetória é um arco de
parábola.
Resposta: C
No Portal Objetivo
10 Fundamentos da Cinemática III • Espaço • Equação horária
FÍSICA 91
1. Espaço
Considere uma trajetória orientada e um ponto O
escolhido arbitrariamente como referência (vide figura).
Seja A a posição do ponto material em um instante t.
O espaço (s) indica ape nas onde está o móvel na tra -
je tória, isto é, o espaço é um indicador da posição do
móvel.
O espaço não indica a distância que o móvel percor -
reu, mas apenas o local onde ele se encontra.
O espaço pode ser positivo (ponto A), negativo
(ponto B) ou nulo (ponto O).
O ponto de referência (O) é denominado origem dos
espaços.
Dizer que o espaço (s) é nulo, num dado instante,
significa apenas que, naquele instante, o móvel está
posicionado na origem dos espaços.
Exemplifiquemos
Consideremos um carro em movimento de São
Paulo para Campinas.
Admitamos que a distância entre São Paulo e Jundiaí
seja 60km e de Jundiaí a Campinas, 30km, medidas ao
longo da estrada.
Tomemos Jundiaí como sendo a origem dos
espaços e orientemos a trajetória de São Paulo para
Campinas.
Quando o carro parte de São Paulo, o seu espaço
vale – 60km; ao passar por Jundiaí, o espaço vale zero e,
ao chegar a Campinas, o espaço vale + 30km.
Se tomássemos São Paulo como origem (marco ze -
ro da estrada), o valor do espaço se ria dado pela “quilo -
metragem” marcada à beira da estrada.
Assim, por exemplo, quando o carro passa pelo
“km 20”, significa que o espaço vale 20km, isto é, o
carro está a 20km da origem dos espaços (a 20km de
São Paulo).
Se adotarmos Campinas como origem dos es paços,
quan do o carro partir de São Paulo, ele terá um espaço
inicial igual a – 90km (s0 = –90km); ao passar por Jun -
diaí, o seu espaço valerá –30km (sJ = –30km) e, ao che -
gar a Campinas, o seu espaço valerá zero.
2. Variação de
espaço e distância percorrida
O espaço (s) é um indicador da posição (local) do
móvel em cada instante (t).
A variação de espaço ou deslocamento escalar
indicado por Δs é a dife rença entre o espaço final (s2) e
o espaço inicial (s1) num dado intervalo de tempo.
Define-se espaço (s), no instante t, como sen do a
medida algé brica (leva em conta o sinal) do arco de
traje tória OA.
digite FIS1M109

Δs = s2 – s1
A distância per corrida (d) so men te coincidirá com o
valor absoluto de Δs quando o mó vel ca minhar sem pre
no mesmo sen ti do, is to é, quando não hou ver inver são
no sen tido do movi mento.
Exemplificando
Consideremos um móvel descrevendo a trajetória
retilínea indicada a seguir.
O móvel passa por A no instante t0 = 0, passa por B
no instante t1, para no pon to C no ins tante t2, inverte o
sentido de seu movi mento e chega a B no instante t3.
A variação de espaço (Δs), entre os instan tes t0 e t3,
é dada por:
Δs = 3m
Δs = sB – sA = 5m – 2m ⇒
A distância percorrida, entre os instantes t0 e t3, é
dada por:
d = AC + CB = 5m + 2m ⇒
3. Função
horária do espaço: s = f(t)
d = 7m
Quando um ponto material está em repouso, o seu
espaço permanece cons tante, podendo ser igual a zero
(parado na origem dos espaços) ou diferente de zero
(parado fora da origem dos espaços).
Quando um ponto material está em movimento, o
seu espaço (s) varia com o tempo (t).
A função horária do espaço é também chamada de
equação horária do movimento. Esta denominação é
equivocada, pois, na realidade, trata-se de uma função e
não de uma equação.
Quando a equação horária é do 1.° grau, temos o
movimento chamado uniforme.
Quando a equação horária é do 2.° grau, temos o
movimento chamado unifor me mente variado.
92 FÍSICA
Exemplos
Movimentos uniformes
(1) s = 2,0 + 5,0 t (SI)
(2) s = 4,0t (SI)
Movimentos uniformemente variados
(3) s = –3,0 + 8,0t – 5,0t2 (SI)
(4) s = 4,0 + 2,0t2 (SI)
(SI) significa Sistema Internacional de Unidades; o
tempo (t) é medido em segundos e o espaço (s) é
medido em metros.
4. Espaço inicial (s0)
Denomina-se origem dos tempos, instante inicial ou
instante de referência o instante t = 0.
Na origem dos tempos, o móvel ocupa uma posi -
ção (P0) que é definida por um espaço (s0) deno -
minado espaço inicial.
Observe que o espaço inicial (s0) indica apenas onde
está o móvel no instante t = 0.
Nas equações de (1) a (4), citadas no item 3, o
espaço inicial vale, respecti va mente:
(1) s0 = 2,0m; (2) s0 = 0;
(3) s0 = –3,0m; (4) s0 = 4,0m.
Um instante t positivo significa posterior à origem
dos tempos e um instante t negativo significa
anterior à origem dos tempos.
Não se pode confundir a origem dos tempos (instan te
t = 0) com a origem dos espaços (posição em que s = 0).
Quando o espaço inicial é nulo (s0 = 0), então, na
origem dos tempos (t = 0), o móvel está posicionado na
origem dos espaços (s = 0).
A função que relaciona o espaço (s) com o tempo
(t) é denominada função horária do espaço.
O espaço (s) é um
indicador da posi -
ção do mó vel ao
longo da tra jetória.
Em uma estra da, o
mar co “ze ro” cor -
res pon de à ori gem
dos es pa ços e a
q u i l o me t r a gem
mar ca da à beira da
es tra da in dica o va -
lor do espaço.
? Saiba mais
Quando um guar da rodoviário descreve em seu re -
la tório que um aci dente ocorreu no km 70 da
rodovia, ele está indicando ape nas o “local”, isto é,
a posição onde acon teceu o acidente. Isto não
significa que o carro percorreu 70km, mas apenas
que, no momento do acidente, ele estava posi -
cionado a 70km do marco zero da rodovia.

s1 = 100km
s2 = 62,5km
No Portal Objetivo
FÍSICA 93
Um carro tem equação horária dos espa -
ços dada por:
s = 20,0t (SI), válida para t ≥ 0
Responda aos quesitos a seguir:
a) Construa o gráfico espaço x tempo.
b) Qual a trajetória descrita pelo móvel?
c) Qual a posição do móvel na origem dos
tempos (t = 0)?
d) Se a trajetória for uma circunferência de
comprimento c = 200m, em que instantes o
móvel passará pela origem dos espaços?
Resolução
a)
b) A trajetória não está determinada; a
equação horária não tem nada que ver com
a trajetória.
c) t = 0 ⇒ s = 0: o carro está na origem dos
espaços.
d) Toda vez que o espaço for múltiplo de c
s = 0 …… t0 = 0
s = c = 200m ........... t1 = 10,0s (1 volta)
s = 2c = 400m ......... t2 = 20,0s (2 voltas)
...
s = nc = n . 400m ..... tn = n . 10,0s (n voltas)
(MODELO ENEM) – Texto para as questões
de a .
O esquema a seguir representa o perfil de uma
estrada, que vai ser percorrida por um carro.
O ponto A corresponde ao marco zero da es -
trada e é adotado como origem dos espaços. A
convenção de sinais para a medi da do espa ço é
indicada no desenho (de A para F). A me dida dos
arcos entre os pontos sucessivos é sempre de
50km (AB = BC = CD = DE = EF = 50km).
No instante t = 0, denominado origem dos
tempos, o carro inicia seu movimento,
obedecendo à seguinte lei horária:
(t em h; s em km)
s = 50 + 50t2
Depois de uma hora de viagem, o movimento
do carro passou a obedecer à seguinte lei
horária:
(t ≥ 1,0h)
(t em h; s em km)
Nota: o tempo t é medido desde a partida do
carro.
O ponto de partida do carro é o ponto:
a) A b) B c) C
d) D e) E
Resolução
Como a partida se dá no instante t = 0, temos:
s0 = 50 + 50 . 02 (km) ⇒
Esta posição corresponde, na figura, ao ponto
B.
Resposta: B
O carro mudou o tipo de movimento (a lei
horária) no ponto:
a) A b) B c) C
d) D e) E
Resolução
Como a mudança do tipo de movimento se dá
no instante t = 1,0h, temos:
s1 = 50 + 50 . (1,0)2 (km) ⇒
Esta posição corresponde, na figura, ao ponto
C.
Resposta: C
Após meia hora do início da viagem, o
carro se encontra em uma posição na estrada
entre
a) o quilômetro 12 e o quilômetro 13.
b) o quilômetro 50 e o quilômetro 60.
c) o quilômetro 62 e o quilômetro 63.
d) o quilômetro 0 e o quilômetro 1.
e) o quilômetro 30 e o quilômetro 31.
Resolução
Para t = 0,5h, ainda é válida a primeira função
horária. Assim:
s2 = 50 + 50 . (0,5)2 (km) ⇒
Resposta: C
O carro passa pelo ponto E da estrada após
um tempo de viagem de:
a) 1,0h b) 2,0h c) 3,0h
d) 4,0h e) 5,0h
Resolução
O ponto E da estrada está numa posição tal
que é válida a segunda função horária (ela é
válida a partir do ponto C). Como o arco AE
mede 200km, temos:
200 = 100tE ⇒
Resposta: B
tE = 2,0h
s0 = 50km
s = 100t
Podemos definir o espaço como sendo a distância do mó -
vel até a origem dos espaços? Justifique.
RESOLUÇÃO:
O espaço é medido ao longo da trajetória: é o comprimento do
arco de trajetória entre a origem e a posição do móvel, associado
a um sinal.
Distância é definida, em Matemática, sempre em linha reta.
Se a trajetória for retilínea, então a distância entre o móvel e a
origem dos espaços coincidirá com o valor absoluto do espaço. Para saber mais sobre o assunto, acesse o PORTAL
digite FIS1M110

Complete as lacunas:
I) Se um corpo está em repouso, o seu espaço é
______________ e sua velocidade é ______________.
II) Se um corpo está em movimento, o seu espaço é
______________ e sua velocidade é ______________ .
III) Para um corpo em movimento, a relação entre o espaço (s)
e o tempo (t) é chamada ________________ .
RESOLUÇÃO:
(I) cons tante; nula (II) variável; diferente de zero
(III) função horária dos espaços (eq. horária)
Um carro desenvolve, em uma trajetória reta, um mo vi -
mento descrito pela seguinte função horária do espaço:
s = 200 – 50t (para s em km e t em h)
O ponto “0” representa a origem dos espaços.
a) Qual a posição do carro no instante t = 1,0h?
b) Em que instante o carro passa pela origem dos espa ços?
RESOLUÇÃO:
a) Para t = 1,0h, da função horária dos espaços, obtemos:
s = 200 – 50 . (1,0) (km) ⇒ s = 150km (Ponto Q)
b) Quando o carro passar pela origem dos espaços, teremos s = 0
Substituindo-se na função horária, teremos
0 = 200 – 50 t ⇒ t = 4,0h
(MODELO ENEM) – Participar de uma maratona, corrida
de longa dis tância, é uma ativi dade que não está ao alcance de
qual quer pessoa, mesmo sendo um atleta treinado.
A Folha de São Paulo publicou um texto sobre o as sunto, que
está parcialmente reproduzido a seguir.
94 FÍSICA
Com base no exposto no texto e usando seus conhe cimentos,
analise as proposições a seguir:
(I) O atleta deve ingerir muito líquido e carboi dra tos (bana -
nas, batatas ou barras de cereais) durante a prova para
evitar hipoglicemia e desidratação.
(II) Um atleta amador com massa de 70kg pode perder 3,5kg
ao disputar uma maratona.
(III) Os diabéticos não podem participar de corridas de longo al -
cance em virtude de seu baixo teor de açúcar no san gue.
(IV) Um atleta amador com 1,80m de altura pode perder 9cm
de altura ao disputar uma maratona.
Estão corretas apenas as proposições:
a) III e IV b) II e III c) I e III
d) I, II e III e) I e II
RESOLUÇÃO:
(I) C
(II) C: 3,5kg correspondem a 5% de 70kg.
(III) F: os diabéticos têm alto teor de açúcar no sangue.
(IV) F: a perda de altura não foi quan tificada no texto e certa -
mente não corresponde a 5% da altura total.
Resposta: E

11 e 12 Velocidade escalar média • Velocidade média
cm
• Relação entre unidades
u(V) = —–– = cm . s–1
s
km
u (V) = —– = km . h–1
h
km 1000m 1 m
1 —– = ––––––– = ––– –––
h 3600s 3,6 s
FÍSICA 95
1. Definição
P1 = posição no instante t1, defini da pe lo espaço
s1.
P2 = posição no instante t2, definida pe lo espaço
s2.
Δs = s2 – s1 = variação de espaço.
Δt = t2 – t1 = intervalo de tempo.
Define-se veloci da de escalar média (Vm), entre os
ins tantes t1 e t2 (ou entre as posições P1 e P2), pela re la -
ção:
Notas
(1) se o móvel avançar e, em seguida, recuar, vol -
tando ao ponto de partida, se guindo a mesma trajetória,
então Δs = 0 e Vm = 0.
(2) a velocidade escalar média traduz a velocidade
escalar constante que o móvel deveria ter para partir da
mesma posição inicial e chegar à mesma posição final,
no mesmo intervalo de tempo Δt, seguindo a mesma
trajetória.
2. Unidades de velocidade
Representemos por: u(L) = unidade de comprimento
u(T) = unidade de tempo
a) No Sistema Internacional, temos:
u(L) = metro (m)
u(T) = segundo (s)
b) No Sistema CGS (centímetro-grama-se gundo), te -
mos:
u(L) = centímetro (cm)
u(T) = segundo (s)
c) Unidade prática:
u(L) = quilômetro (km)
u(T) = hora (h)
d) Relações:
1m 102cm
—– = –––––––
s s
m
u (V) = —– = m . s–1
s
Δs s2 – s1 Vm = –––– = –––––––
Δt t2 – t1
Se o carro per cor reu
400km em 4,0h, sua
ve loci da de escalar
mé dia foi de 100km/h.
Porém, durante a via -
gem, a veloci da de do
carro não per maneceu
cons tan te: há tre chos
em que a veloci da de
dimi nui ou, até mes -
mo, situa ções em que
o carro para.
Quando dizemos que
a velocidade es calar
média foi de 100km/h,
? Saiba mais
isto signi fi ca que, se o carro pudesse reali zar a viagem
com ve lo cidade escalar cons tan te, o seu valor de ve ria
ser de 100km/h para percorrer a dis tân cia de 400km no
intervalo de tempo de 4,0h.
No Portal Objetivo

(MODELO ENEM) – Uma família viaja
de carro com velo cidade esca lar cons tante
de 100km/h, durante 2,0h. Após parar em
um posto de gasolina por 30 min, continua
sua viagem por mais 1h 30 min com
velocidade escalar constante de 80km/h.
A velocidade escalar média do carro
durante toda a viagem foi de:
a) 80km/h b) 100km/h
c) 120km/h d) 140km/h
e) 150km/h
Resolução
t = 1,5h V = 100km/h 2 1
Δs1 = V1 Δt1 = 100 . 2,0 (km) = 200km
Δs2 = V2 Δt2 = 80 . 1,5 (km) = 120km
Posição A B C D E
Tempo 0 1,0h 3,0h 5,0h 6,0h
96 FÍSICA
Δs = Δs1 + Δs2 = 320km
Δt = Δt1 + ΔtP + Δt2 = 4,0h
Resposta: A
(ENEM) – As cidades de Quito e
Cingapura encontram-se pró ximas à linha
do Equador e em pontos diametralmente
opostos no globo terrestre. Considerando-se
o raio da Terra igual a 6400 km, pode-se
afirmar que um avião saindo de Quito,
voando em média 800 km/h, chega a
Cingapura em aproxi ma damente
a) 16 horas. b) 20 horas.
c) 24 horas. d) 32 horas.
e) 36 horas.
Note e adote
1) O comprimento C de uma
circunferência de raio R é dado por:
Resolução
A distância percorrida entre dois pontos
da linha do Equador, dia metral men te
opostos, corres ponde à metade da cir cun -
ferência ter res tre:
Δs = = 3 . 6400km = 19 200km
Sendo Vm= , vem:
Δs
––––
Vm
Δt = = (h) ⇒
Resposta: C
19200
––––––
800
Δt = 24h
Δs
––––
Δt
2πR
––––
2
C = 2πR
2) Adote π = 3
Δs 320km
Vm = ––– = ––––––– = 80km/h
Δt 4,0h
A
t = 2,0h 1
V = 80km/h 2
t = 0,5h P
B
C
Um ponto material percorre a trajetória representada a
seguir, na qual AB = BC = CD = DE = 10km.
A posição do ponto material varia com o tempo, de acordo com
a tabela:
Determine a velocidade escalar média do móvel entre as
posições B e D.
RESOLUÇÃO:
Vm= = ⇒ Vm = 5,0km/h
Um carrinho de autorama passa pelo ponto A da pista no
instante t1 = 3,0s, vai até B, onde permanece parado 5,0s. Em
seguida, vai até o ponto C, aí che gan do no instante t2 = 13,0s.
Admitindo-se que o carrinho seja um ponto material, determine
sua velocidade escalar média no percurso AC.
RESOLUÇÃO:
VAC= =
Δs
–––
Δt
VAC = 0,60m/s
6,0(m)
––––––––
10,0(s)
20 (km)
––––––––
4,0 (h)
Δs
–––
Δt
Exercícios Resolvidos – Módulo 11
Exercícios Propostos – Módulo 11

FÍSICA 97
Na trajetória escalonada da figura abaixo, o carrinho que a
percorre pode ser considerado um ponto mate rial.
O carrinho parte do ponto A no instante t0 = 0, vai até o ponto
C e retorna ao ponto B, onde chega no instante t1 = 3,0s.
Calcule
a) a distância percorrida pelo carrinho, entre os ins tan tes t0 e
t1.
b) a velocidade escalar média entre os instantes t0 e t1.
RESOLUÇÃO:
a) d = |ΔsAC| + |ΔsCB|
d = 5,0 + 2,0 (m) ⇒ d = 7,0m
b) Vm= = ⇒ Vm = 1,0m/s
(MODELO ENEM) – Num campeonato mundial de atletis -
mo, realizado em Tó quio, os atletas Leroy Burrel e Carl Lewis ga -
nha ram as me dalhas de ouro e prata na corrida de 100m rasos.
Os desempenhos dos atletas a cada intervalo de 10m estão
descritos na tabela a seguir.
Assinale a proposição correta.
a) Burrel ganhou a medalha de ouro.
b) Os atletas tiveram velocidade escalar constante em todo o
percurso.
c) Lewis ultrapassou Burrel após a marca de 80m.
d) Para os dois atletas, a velocidade escalar média nos últimos
50m é menor do que nos primeiros 50m.
e) A velocidade escalar média de Lewis, nos 100m, foi menor
que a de Burrel.
Distância em
metros
RESOLUÇÃO:
a) Falsa: Lewis venceu porque com ple tou os 100m em um tempo
menor.
b) Falsa: Os intervalos de tempo para per correr a mesma distância
são dife rentes.
c) Correta: Até 80m, o tempo gasto por Burrel era menor e,
portanto, ele es tava à frente.
d) Falsa: Os últimos 50m foram percor ridos em um intervalo de
tempo menor.
e) Falsa: Lewis gastou menos tempo e, portanto, tem velocidade
escalar média maior.
Resposta: C
Tempo em segundos
Lewis Burrel
10 1,88 1,83
20 2,96 2,89
30 3,88 3,79
40 4,77 4,68
50 5,61 5,55
60 6,46 6,41
70 7,30 7,28
80 8,13 8,12
90 9,00 9,01
100 9,86 9,88
m (–––) s
4,0 – 1,0
––––––––
3,0
Δs
–––
Δt
(VUNESP-MODELO ENEM) – O crescen -
te aumento do nú me ro de veículos automo -
tores e o consequente aumento de en gar -
rafamentos têm levado a Prefeitura do Mu -
nicípio de São Paulo a um monitoramento
intensivo das condições de circu la ção nas vias
da cidade. Em uma sondagem, um funcionário
da companhia de trânsito deslocou seu veículo,
constatando que
• permaneceu parado, durante 30 minutos;
• movimentou-se com velocidade de
módulo 20km/h, du rante 12 minutos;
• movimentou-se com velocidade de
módulo 45km/h, du rante 6 minutos.
Da análise de seus movimentos, pôde-se
constatar que, para o deslocamento realizado, a
velocidade escalar média desen vol vida foi, em
km/h,
a) de 10,6 b) de 12,0 c) de 13,5
d) de 15,0 e) de 17,5
Resolução
1) Δs = V . Δt
Δs1 = 20 . (km) = 4,0km
Δs2 = 45 . (km) = 4,5km
Δs = Δs1 + Δs2 = 8,5km
Δt = Δt1 + Δt2 + ΔtP = 48 min = h = 0,8h
2) Vm= = ≅ 10,6
Resposta: A
(MODELO ENEM) – Durante a fase de
treinos e testes de fórmula 1, foi feito um estu -
do do desempenho médio D de um combustível
(medido em km rodados para cada litro do
combustível) em função da velocidade escalar
média Vm para um novo modelo de carro.
O gráfico de D em função de Vm é apresentado
a seguir.
A pista de provas tem um comprimento total
de 24,0km e formato circular.
Considere as proposições a seguir:
I) Se a velocidade escalar média for de 96km/h,
o carro consu mirá 4,0 litros de combustível
para dar uma volta completa na pista.
II) Nas condições de desempenho máximo, o
carro con sumirá 3,0 li tros de combustível
para dar uma volta com pleta na pista.
III) Nas condições de desempenho máximo, o
carro levará 6,0 min para dar uma volta
completa na pista.
IV) Se o carro estiver com velocidade escalar
média de 300km/h para realizar 10 voltas na
pista, o consumo de combustível será de
480 litros.
a) I b) I e II c) I, II e III
d) IV e) III e IV
Resolução
I. (V) Para Vm = 96km/h, o desempenho D é
de 6,0km/
km
–––
h
8,5km
–––––––
0,8 h
Δs
–––
Δt
48
–––
60
6
–––
60
12
–––
60

V = 4,0
(OLIMPÍADA PAULISTA DE FÍSICA-MODELO ENEM) –
Oscar, de 2,05m de altura, e seu amigo João, de ape nas
1,60m, partem juntos para uma caminhada de 5,0km ao longo
de uma pista de preparação física. Com passadas que medem
o dobro das de João, Oscar caminhou os primei ros 2,0km,
tendo sempre ao seu lado seu companheiro João, quando teve
de parar por um momento, mas pediu que João seguisse em
frente. João manteve o seu ritmo e depois de certo tempo
Oscar o alcança, completando a caminhada lado a lado.
Podemos afirmar que
a) nos primeiros 2,0km, a velocidade de Oscar é o do bro da de
João.
b) nos primeiros 2,0km, a velocidade de João foi o dobro da de
Oscar.
c) ambos completaram a caminhada de 5,0km com a mesma
velocidade escalar média.
d) ao longo dos 5,0km, a velocidade escalar média de Oscar foi
maior que a de João.
e) como as passadas de Oscar medem o dobro das de João, a
velocidade de Oscar sempre foi maior que a de João.
RESOLUÇÃO:
Ambos percorreram a mesma distância no mesmo intervalo de
tempo, portanto
Resposta: C
Em uma corrida de 800m, um atleta fez um tempo de 1 mi -
nuto e 40 segundos. Sabendo-se que a extensão do passo do
atleta é de 80cm, pedem-se:
a) a velocidade escalar média do atleta nesta corrida, em km/h.
b) o número de passos que o atleta deu durante a cor rida.
RESOLUÇÃO:
Δs
–––
Δt
800 (m)
–––––––––
100 (s)
a) Vm= = ⇒ Vm = 8,00m/s ou Vm = 28,8km/h
b) 800m –––––––– x
0,80m –––––––– 1 passo
98 FÍSICA
(FUVEST) – Um ônibus sai de São Paulo às 8 horas e che -
ga a Jaboticabal, que dista 350km da capital, às 11h e 30min.
No trecho de Jundiaí a Campinas, de apro xima damente 45km,
a sua velocidade escalar foi cons tante e igual a 90km/h.
a) Qual a velocidade escalar média, em km/h, no trajeto São
Paulo-Jaboticabal?
b) Em quanto tempo o ônibus cumpre o trecho Jundiaí-
Campinas?
RESOLUÇÃO:
a) Vm= = ⇒ Vm = 100km/h
b) Δt = ⇒ Δt = (h) ⇒ Δt = 0,50h
Um automóvel viaja a uma velocidade escalar média de
50km/h durante 10min e a 80km/h durante os 20min seguin -
tes. Qual é a velocidade escalar média no intervalo de 30min?
RESOLUÇÃO:
Vm = V1 Δt1 + V2 Δt2 ––––––––––––––––
⇒ Vm= (km/h)
Δt1 + Δt2
Vm = 70km/h
50 . 10 + 80 . 20
––––––––––––––––
10 + 20
Δs
–––
V
45
––––
90
Δs
–––
Δt
350 (km)
–––––––––
3,5(h)
x = 1,0 . 103 passos
VMJoão
= VMOscar
6,0km –––––––––– 1
24,0km –––––––––– V
II. (V) Para o desempenho máximo
D = 8,0km/, temos:
8,0km –––––––––– 1
24,0km –––––––––– V
III. (V) Para o desempenho máximo
D = 8,0km/, a velocidade escalar
média vale 240km/h.
Vm = ⇒ 240 =
Δt = 0,1h = 6,0min
IV. (F) Para Vm = 300km/h, temos D = 2,0km/
2,0km –––––––––– 1
240km –––––––––– V
V = 3,0 Resposta: C
V = 120
24,0
–––––
Δt
Δs
–––
Δt

13 e 14 Velocidade escalar instantânea • Velocidade • Derivação
FÍSICA 99
1. Definição
A velocidade escalar instantânea traduz a rapidez de
movimento, isto é, a rapidez com que a posição (espaço)
varia no decurso do tempo.
Uma grande velocidade significa movimento rápido;
pequena velocidade significa movimento lento e veloci -
dade nula significa que não há movimento.
Admitamos que se pre -
tenda calcular a velocidade
escalar de um móvel em um
instante t em que ele passa
por uma posição P de sua
trajetória.
Para tanto, calculamos sua velocidade escalar média
entre a posição P (instante t) e a posição P’ (instante t + Δt).
Se fizermos o intervalo de tempo Δt ir di mi nuindo e
ten dendo a zero (Δt → 0), o valor da velocidade escalar
mé dia Vm = vai tender para o valor da veloci da de
escalar no instante t, isto é:
A velocidade escalar instantânea é o limite para o
qual tende a velocidade escalar média, quando o
intervalo de tempo considerado tende a zero.
A velocidade escalar instan -
tânea corresponde à velocidade
escalar média calcu lada em um
intervalo de tempo extre -
mamente pequeno. Para um
automóvel, a velocidade escalar
instan tânea é indica da em seu
velocí metro.
O cálculo desse limite é uma operação matemática
chamada derivação.
Escreve-se V = e lê-se: a velocidade escalar é a
derivada do espaço em relação ao tempo.
Em nosso estudo de Cinemática, só nos interessa a
derivação da função polinomial
Nota: a, b, c e n
são constantes.
Exemplos
(I) s = 5,0 t3 + 8,0 t2 – 9,0 t + 10,0 (SI)
ds
–––
dt
V = = 15,0 t2 + 16,0 t – 9,0 (SI)
(II) s = – 3,0 t2 + 1,0 t – 8,0 (SI)
ds
–––
dt
V = = – 6,0t + 1,0 (SI)
(III) s = – 4,0 + 2,0 t (SI)
ds
–––
dt
V = = 2,0m/s (constante)
s = atn + bt + c
ds
V = ––– = na tn–1 + b
dt
ds
–––
dt
Δs
V = lim Vm = lim ––––
Δt → 0 Δt → 0 Δt
Δs
–––
Δt
O trem-bala, no Japão, atin -
ge a fan tás tica velocidade
es ca lar de 500km/h.
Apresentamos, a seguir,
as veloci dades escalares
mé dias do movi mento de
alguns corpos, bem co -
mo do som e da luz,
medi das em m/s e km/h:
? Saiba mais
1) Lesma: 0,0014m/s – 0,0050km/h
2) Tartaruga: 0,02m/s – 0,072km/h
3) Pedestre: 1,4m/s – 5,0km/h
4) Atleta recordista dos 100m: 10m/s – 36km/h
5) Atleta em corrida de 1 500m: 7,0m/s – 25km/h
6) Atleta em corrida de 10 000m: 5,5m/s – 20km/h
7) Galgo: 17m/s – 61km/h
8) Pombo-correio: 18m/s – 65km/h
9) Lebre: 19m/s – 68km/h
10) Avestruz – Gazela: 22m/s – 79km/h
11) Chita (o mais rápido dos mamíferos): 28m/s – 101km/h
12) Automóvel de passeio: 30m/s – 108km/h
13) Esquiador em competição: 32m/s – 115km/h
14) Carro de corridas: 100m/s – 360km/h
15) Trem-bala: 140m/s – 504km/h
16) Aviões turboélices: 200m/s – 720km/h
17) Som no ar: 340m/s – 1224km/h
18) Aviões supersônicos: 555m/s – 1998km/h
19) Bala de metralhadora: 715m/s – 2574km/h
20) Lua em torno da Terra: 1,0.103m/s – 3,6.103km/h
21) Satélite estacionário da Terra:
3,0.103m/s – 1,08.104km/h
22) Terra em torno do Sol: 3,0.104m/s – 1,08.105km/h
23) Luz no vácuo: 3,0.108m/s – 1,08.109km/h

Um projétil é lançado verticalmente para
cima a par tir do solo terrestre. A altura h do
projétil (espaço) varia com o tempo t, se gundo
a relação:
h = 20,0t – 5,0t2 (SI)
Determine
a) o instante t1 em que o projétil atinge sua
altura máxima.
b) a altura máxima atingida pelo projétil.
Resolução
a) Atinge a altura máxima quando V = 0.
V = = 20,0 – 10,0t (SI)
20,0 – 10,0 t1 = 0 ⇒
b) t = t1 = 2,0s
h = hmáx = 20,0 . 2,0 – 5,0 (2,0)2 (m)
hmáx = 40,0 – 20,0 (m)
Respostas: a) 2,0s
b) 20,0m
(MODELO ENEM) – Uma pessoa preten -
de ir de carro de uma cidade A até uma cidade
B percorrendo uma distância de 120km com
velocidade constante de módulo V, com menor
gasto possível de combustível.
Despreze o tempo gasto pelo carro para
acelerar de 0 a V e para frear de V até zero. Ob -
viamente, o carro parte do repouso da cidade A
e volta ao repouso ao chegar a cidade B.
O desempenho do combustível D corresponde
à distância que o carro percorre para cada litro
de combustível que é gasto.
Para velocidades no intervalo entre 20km/h e
120km/h, o desem penho D, medido em
100 FÍSICA
km/litro, em função de V, medida em km/h, é
dada pela função:
D = – + V –
5
––
4
Nas condições de desempenho máximo, isto é,
menor consumo de combustível nesta viagem,
o tempo de percurso entre A e B será de:
a) 1,0h b) 1,5h c) 2,0h
d) 2,5h e) 3,0h
Dado: Para uma função do 2.o grau do tipo
y = ax2 + bx + c, o valor de y será máximo
(a 0) ou mínimo (a 0) para
Resolução
1) D = – + V –
a = – e b =
O desempenho será máximo para V dado
por:
V = – = – . (–320) (km/h)
V = 60km/h
2) V = ⇒ 60 =
Resposta: C
(OLIMPÍADA BRASILEIRA DE FÍSICA-MODELO
ENEM) – Para manter a se gu rança na
estrada, recomenda-se que as velocidades dos
veículos sejam tais que a distância entre um e
outro seja vencida em no mínimo dois
segundos. Considere uma situação ideal em
que todos os motoristas respeitam esta
recomendação, que os carros seguem em uma
única fila a uma distância segura, que o
tamanho dos automóveis sejam desconsi -
derados e que a velocidade dos veículos,
72km/h (20m/s), seja a máxima permitida para
esta rodovia. Mantendo-se a recomendação de
segurança, se a velocidade máxima permitida
for alterada para 144km/h (40m/s), é correto
afirmar que o fluxo de veículos (número de
veículos que chegam ao destino por hora)
_________, que a distância entre eles na
rodovia _________ e que o tempo de percurso
fique _________.
As expressões que completam corretamente
as lacunas são, respectivamente:
a) não mude; não mude; reduzido à metade
b) dobre; dobre; reduzido à metade
c) dobre; não mude; o mesmo
d) dobre; não mude; reduzido à metade
e) não mude; dobre; reduzido à metade
Resolução
Quando a velocidade dos carros for duplicada,
para que a distância entre eles seja percorrida
em 2,0s, é preciso que essa distância duplique.
O número de carros que chegam ao des tino,
por hora, é o mesmo porque a cada 2,0s, chega
um carro. O tempo de percurso entre a origem
e o destino vai re duzir-se à metade porque a
velocidade escalar duplicou.
Resposta: E
Δt = 2,0h
120
–––
Δt
Δs
–––
Δt
3
–––
16
b
––––
2a
3
––
8
1
––––
320
5
––
4
3
––
8
V2
––––
320
b
x = – –––
2a
3
––
8
V2
––––
320
hmáx = 20,0m
t1 = 2,0s
dh
–––
dt
(OLIMPÍADA DE FÍSICA) – A equação horária de um mó -
vel que se desloca numa trajetória retilínea é:
s = 20,0 + 2,0t – 0,50t2. A equação da velocidade escalar deste
móvel é:
a) V = 2,0 – 1,0t b) V = 2,0 – 0,50t
c) V = 20,0 – 0,50t d) V = 20,0 + 2,0t
e) V = 20,0 – 1,0t
RESOLUÇÃO:
Resposta: A
Um ponto material em movimento obedece à se guin te
fun ção horária: s = 20,0 – 2,0t + 4,0t2 (com o es paço em me -
tros e o tempo em segundos).
a) Determine a função horária da velocidade escalar instantâ -
nea.
b) Determine o valor da velocidade escalar no instante
t1 = 2,0s.
RESOLUÇÃO:
ds
a)
V = –––– = –2,0 + 8,0t (SI)
dt
b) Para t = 2,0s:
V = – 2,0 + 8,0 . 2,0 (m/s) ⇒ V = 14,0m/s
ds
V = –––– = 2,0 – 1,0t (SI)
dt

FÍSICA 101
(FUVEST) – Um corpo se movimenta sobre o eixo x, de
acordo com a equação horária: x = 2,0 + 2,0t – 2,0t2, em que t
é dado em segundos e x em metros.
a) Qual a velocidade escalar média entre os instantes t1 = 0 e
t2 = 2,0s?
b) Qual é a velocidade escalar nos instantes t1 = 0 e
t2 = 2,0s?
RESOLUÇÃO:
a) t1 = 0 ⇒ S1 = 2,0m
t2 = 2,0s ⇒ S2 = – 2,0m
b)
t1 = 0 ⇒ V = 2,0m/s
t2 = 2,0s ⇒ V = – 6,0m/s
(MODELO ENEM) – Um gato vai partir do repouso e des -
cre ver uma trajetória retilínea. Uma lata é amarrada ao rabo
dele e cada vez que ouve a lata bater no solo, ele,
instantaneamente, au menta sua velo cidade escalar de 10m/s.
Esse é o único fato que o faz aumen tar sua veloci dade escalar.
Considere os seguintes da dos:
1) velocidade com que a luz se propaga no vácuo: 3,0 . 108m/s
2) velocidade com que o som se propaga no ar: 3,4 . 102m/s
3) velocidade da Terra em seu movimento orbital: 30km/s
4) velocidade da Lua em seu movimento orbital: 1,0km/s
5) velocidade de um satélite geoestacionário: 3,0km/s
A máxima velocidade teórica que o referido gato pode atingir é:
a) 3,0 . 108m/s b) 3,4 . 102m/s c) 30km/s
d) 1,0km/s e) 3,0km/s
RESOLUÇÃO:
Quando o gato atingir a velocidade do som, 3,4 . 102m/s, ele deixa
de ouvir o som da lata batendo no chão e sua velocidade não
aumenta mais, permanecendo igual a 3,4 . 102m/s.
Resposta: B
Δs – 2,0 – 2,0
Vm = –––– ⇒ Vm = –––––––––– (m/s)
Δt 2,0 Vm = – 2,0m/s
ds
V = –––– ⇒ V = 2,0 – 4,0t (SI)
dt
Um carro movimenta-se ao longo de uma
reta e sua posição é definida em função do
tem po pela relação:
s = 20,0 + 30,0t – 1,0t2 (SI)
Esta relação vale desde o instante t = 0 até o
instante t = T para o qual o carro para.
Determine
a) a função velocidade escalar – tempo: V = f(t).
b) a velocidade escalar do carro na origem dos
tempos (v0).
c) o instante T em que o carro para.
d) a velocidade escalar média entre os
instantes t = 0 e t = T.
e) o gráfico da função V = f(t) entre os instantes
t = 0 e t = T.
Resolução
a) A velocidade escalar é obtida derivando-se a
equação horária:
s = 20,0 + 30,0t – 1,0t2 (SI)
b) Para t = 0, temos V = V0
V0 = 30,0 – 2,0 . 0 (m/s) ⇒
c) O carro para quando sua velocidade escalar
V se anula:
V = 30,0 – 2,0t (SI)
30,0 – 2,0T = 0
30,0 = 2,0T ⇒
d) s = 20,0 + 30,0t – 1,0t2 (SI)
t = 0 ⇒ s = s0 = 20,0m
t = T = 15,0s
s = sf = 20,0 + 30,0 . 15,0 – 1,0 (15,0)2 (m)
sf = 20,0 + 450 – 225 (m)
sf = 245m
Vm= = = (m/s)
Vm= (m/s) ⇒
Nota: Como a função V = f(t) é do 1.° grau, a
velocidade es ca lar média pode ser calculada
pela média aritmética entre a velocidade ini -
cial (V0 = 30,0m/s) e a velocidade final (Vf = 0)
Vm= = (m/s)
e) V = 30,0 – 2,0t (SI)
Como a função V = f(t) é do 1.° grau, o seu
gráfico se rá um seg men to de reta:
t = 0 ⇒ V = V0 = 30,0m/s
t = T = 15,0s ⇒ V = 0
30,0
0
(PUC-RS-MODELO ENEM) – O eco é o
fenômeno que ocor re quando um som emitido
e seu reflexo em um anteparo são percebidos
por uma pessoa com um intervalo de tempo
que permite ao cérebro distingui-los como sons
diferentes. Para que se perceba o eco de um
som no ar, no qual a veloci dade de propagação
tem módulo de 340m/s, é necessário que haja
uma distância de 17,0m entre a fonte e o
anteparo. Na água, em que a velocidade de
propagação do som tem módulo de 1.600m/s,
essa distância precisa ser de
a) 34,0m b) 60,0m c) 80,0m
d) 160,0m e) 320,0m
Resolução
1) VS = ⇒ 340 = ⇒
2) V’S = ⇒ 1600 =
2d = 160 ⇒
Resposta: C
d = 80,0m
2d
–––
0,1
2d
–––
T
T = 0,1s
34,0
–––––
T
Δs
–––
Δt
V(m/s)
t(s)
15,0
Vm = 15,0m/s
30,0 + 0
––––––––––
2
V0 + Vf –––––––
2
Vm = 15,0m/s
225
–––––
15,0
245 – 20,0
––––––––––
15,0
sf – s0 –––––––
Δt
Δs
–––
Δt
T = 15,0s
V0 = 30,0m/s
ds
V = ––– = 30,0 – 2,0t (SI)
dt

(UFMS-MODELO ENEM) – O gráfico
abai xo ilustra a mar cação de um sinaleiro
eletrônico. Nesse tipo de equi pa men to, dois
sensores são ativados quando o carro passa.
Na figura, os pulsos vazios correspondem à
marcação do primeiro sensor, e os pulsos
cheios à marcação do segundo sensor. Con -
sidere que a distância entre os dois sensores
seja de 1,0m.
Δs
–––
V
Um ponto material está em movimento obedecendo à
seguinte função horária dos espaços:
s = 2,0t3 + 4,0t – 4,0 (SI)
Calcule
a) a velocidade escalar média entre os instantes t1 = 0 e
t2 = 2,0s;
b) a velocidade escalar nos instantes t1 = 0 e t2 = 2,0s.
RESOLUÇÃO:
a) t1 = 0 ⇒ s1 = – 4,0m
t2 = 2,0s ⇒ s2 = 20,0m
b)
Δs 24,0 (m)
Vm = –––– = ––––– –––– ⇒ Vm = 12,0m/s
Δt 2,0 (s)
ds
V = –––– ⇒ V = 6,0t2 + 4,0 (SI)
dt
t1 = 0 ⇒ v1 = 4,0m/s
t2 = 2,0s ⇒ v2 = 28,0m/s
(FUNDAÇÃO CARLOS CHAGAS) – Uma partí cu la exe -
cuta um movimento, em trajetória retilínea, obedecendo à
função horária s = 16,0 – 40,0t + 25,0t2, em que s é o espaço
medido em metros e t é o tempo medido em segundos.
a) Qual a velocidade escalar média entre os instantes
t1 = 2,0s e t2 = 6,0s?
b) A partir de que instante a partícula inverte o sen tido de seu
movimento?
RESOLUÇÃO:
a) t1 = 2,0s ⇒ s1 = 36,0m
t2 = 6,0s ⇒ s2 = 676,0m
102 FÍSICA
b)
Vm = 1,6 . 102m/s
V = 0 ⇒ t = 0,80s
3,6
–––
30
Em uma corrida, em uma pista retilínea, com extensão de
50m, a função horária do espaço que descreve o movimento
de um atleta é dada por:
s = 0,5t2 (SI)
Determine
a) o tempo gasto pelo atleta para completar a corrida.
b) a velocidade escalar com que o atleta cruza a linha de
chegada, em km/h.
c) a velocidade escalar média nesta corrida.
RESOLUÇÃO:
a) t = T ⇔ s = 50m
50 = 0,5T2 ⇒ T2 = 100 ⇒
ds
––––
dt
b) V = = 1,0t (SI)
t = 10s ⇒ V = 10m/s = 36km/h
Δs
––––
Δt
50m
–––––
10s Vm = 5,0m/s
c) Vm= = ⇒
T = 10s
ds
V = –––– ⇒ V = – 40,0 + 50,0t (SI)
dt
Δs 676,0 – 36,0 640,0
Vm = –––– = ––––––––––––– (m/s) = ––––––– m/s
Δt 4,0 4,0
Qual(is) veículo(s) teria(m) sido multado(s),
considerando-se que a velocidade máxima
permitida no local seja de 30km/h?
a) Os carros 2 e 4, apenas.
b) Os carros 1 e 2, apenas.
c) Os carros 1 e 4, apenas.
d) Os carros 1 e 3, apenas.
e) Nenhum carro seria multado.
Resolução
V = ⇒ Δt =
V = 30km/h = m/s
Δt = 1,0 . (s) = 0,12s
A velocidade do carro será maior que 30km/h e,
portanto, será multado quando Δt 0,12s.
Δt1 = 0,10s
Δt2 = 0,30s
Δt3 = 0,09s
Δt4 = 0,25s
Os carros (1) e (3) serão multados.
Resposta: D
30
–––
3,6
Δs
–––
Δt

No Portal Objetivo
digite FIS1M112
15 Aceleração escalar • Aceleração
cm
u(γ) = –––– = cm . s–2
s2
m cm
FÍSICA 103
Uma partícula, em trajetória retilínea, tem função horária
do espaço dada por:
s = 4,0t2 – 8,0t (unidades do SI)
Determine
a) os instantes em que o móvel passa pela origem dos
espaços;
b) o instante e a posição em que o móvel para.
RESOLUÇÃO:
a) Na origem dos espaços: s = 0
0 = 4,0 t2 – 8,0t ⇒ t1 = 0 e t2 = 2,0s
b) No instante da inversão do movimento: V = 0
Quando V = 0: t = 1,0s e s = –4,0m
(UEM-PR-MODELO ENEM) – Quanto tempo um carro,
viajando com uma velocidade escalar de 15km/h, levará para
percorrer um trajeto, em linha reta, correspondente a 3,0cm,
em uma carta topográfica cuja escala é 1:100.000?
a) 10 minutos b) 12 minutos c) 15 minutos
d) 30 minutos e) 45 minutos
RESOLUÇÃO:
1) 1 ............. 100 000
3,0cm ............. d
d = 3,0 . 105cm = 3,0 . 103m = 3,0km
Δs
–––
Δt
2) V = ⇒ 15 =
Δt = h
1
––
5
Δt = 60 min ⇒
Resposta: B
Δt = 12 min
1
––
5
3,0
–––
Δt
ds
V = ––– ⇒ V = 8,0t – 8,0 (SI)
dt
1. Aceleração escalar média (γm)
Sejam:
V1 = velocidade escalar no instante t1
V2 = velocidade escalar no instante t2
Define-se aceleração escalar média (γm), entre os
instantes t1 e t2, pela relação:
ΔV V2 – V1 γm = –––– = ––––––––––
2. Unidades
a) No SI:
Δt t2 – t1
u(V) m/s
u(γ) = ––––– = ––––
u(t) s
b) NO CGS:
u(V) cm/s
u(γ) = ––––– = –––––
u(t) s
c) Relação entre as unidades:
1 –––– = 102 ––––
s2 s2
3. Aceleração
escalar instantânea
A aceleração escalar instantânea traduz a rapidez
com que a velocidade escalar varia no decurso do tem -
po, isto é, traduz a velocidade da velocidade.
m
u(γ) = –––– = m . s–2
s2
• Mudança de velocidade

Uma grande aceleração escalar significa que a velo -
ci dade escalar varia rapi damente; uma pequena acele -
ração escalar significa que a velocidade escalar varia len -
ta mente e aceleração escalar nula significa que a veloci -
da de escalar não varia.
A aceleração escalar instantânea é o limite para o
qual tende a aceleração escalar média, quando o
intervalo de tempo considerado tende a zero.
Portanto:
Quando um carro tem uma gran de aceleração escalar, sua velo ci dade
escalar es tá varian do ra pi damente.
A aceleração escalar (instantânea) é a derivada
da velocidade escalar (instantânea) em relação ao
tempo.
Exemplos
s = 2,0t3 + 4,0t2 – 7,0 t + 10,0 (SI)
s = 10,0 + 20,0t – 3,0t2 (SI)
ds
V = –––– = 20,0 – 6,0t (SI)
dt
dV
γ = –––– = –6,0m/s2 (constante)
dt
104 FÍSICA
4. Relações entre
as grandezas cinemáticas
ΔV
γ = lim γm = lim –––––
Δt → 0 Δt → 0 Δt
dV
γ = —–
dt
s = f(t)
s indica a posição do móvel (local)
V traduz a rapidez de movimento
γ traduz a rapidez com que a velo-cidade
escalar varia.
(veloc. instantânea)
γ = –d– V–
d t
(eq. horária)
(vel. média)
(acel. média) (acel. instantânea)
Vm = ––– Δs
Δt
V = –d– s–
d t
Δt γm = –Δ–V–
s = 10,0 – 4,0t (SI)
ds
V = –––– = – 4,0m/s (constante)
dt
dV
γ = –––– = 0 (constante)
dt
ds
V = –––– = 6,0t2 + 8,0t – 7,0 (SI)
dt
dV
γ = –––– = 12,0t + 8,0 (SI)
dt
? Saiba mais
Os “dragsters” são veículos destinados a atin gir
velo ci dades fantásticas em uma cor ri da de pequena
ex ten são (da or dem de 400m) e de pequena
duração (da ordem de 8,0s).
O “dragster”, partindo do repouso, per corre os
400m em um intervalo de tempo de 8,0s, atingindo
a incrível velo cidade escalar de 140m/s (504km/h).
Sua aceleração escalar média, nesta fase, foi de:
γm
140
––––
8,0
ΔV
–––
Δt
= = (m/s2)
γm
= 17,5m/s2
Como os freios são insu fi cientes para de ter o “dragster”, na
fase de retar da men to, é acio nado um sistema de paraque das
que per mi te uma desaceleração em um pequeno intervalo de
tempo.

30,0 – 10,0
–––––––––––
10,0 – 0
ΔV
–––
Δt
γm = 2,0m/s2
Marcha
ΔV
–––
Δt
ΔV
–––
Δt
10
–––
8,0
10
–––––
10,0
γm = 1,0m/s2
FÍSICA 105
Consideremos uma partícula em movi -
mento com função horária do espaço dada por
s = 3,0t3 – 4,0t2 + 10,0 (Sl)
a) Cálculo da velocidade escalar média entre
os instantes t1 = 0 e t2 = 2,0s.
Para t1 = 0, temos s1 = 10,0m
Para t2 =2,0s, temos
s2 = 3,0 . (2,0)3– 4,0(2,0)2 + 10,0(m)
s2 = 3,0 . 8,0 – 4,0 . 4,0 + 10,0 (m)
s2 = 24,0 – 16,0 + 10,0 (m) ⇒ s2 = 18,0m
Δs s2 – s1 18,0 – 10,0
Vm = –––– = ––––––– = ––––––––––– (m/s)
Δt t2 – t1 2,0 – 0
b) Cálculo da velocidade escalar instantânea
nos instantes t1 = 0 e t2 = 2,0s.
Para obtermos a relação V = f(t), basta
derivar o espaço em relação ao tem po.
ds
V = —– = 9,0t2 – 8,0t (SI)
dt
Para t1 = 0, temos
Para t2 = 2,0s, temos
V2 = 9,0(2,0)2 – 8,0 . 2,0 (m/s)
V2 = 9,0 . 4,0 – 16,0 (m/s)
c) Cálculo da aceleração escalar média entre
os instantes t1 = 0 e t2 = 2,0s
Para t1 = 0, temos V1 = 0
Para t2 = 2,0s, temos V2 = 20,0m/s
ΔV 20,0 – 0
γm = –––– = –––––––– (m/s2)
Δt 2,0 – 0
d) Cálculo da aceleração escalar instantânea
nos instantes t1 = 0 e t2 = 2,0s.
Para obtermos a relação γ = f(t), basta
derivar a veloci dade escalar em relação ao
tempo.
dV
γ = –––– = 18,0t – 8,0 (SI)
dt
Para t1 = 0, temos
Para t2 = 2,0s, temos
γ2 = 18,0 . 2,0 – 8,0(m/s2)
Durante um teste de aceleração, um carro
parte do repou so e sua posição, medida a partir
da origem dos espaços, varia com o tempo
conforme a relação:
s = 2,0t2 (SI) válida para 0 ≤ t ≤ 10,0s
Determine
a) a função velocidade escalar – tempo:
V = f(t).
b) a aceleração escalar do carro.
c) a velocidade escalar atingida no instante
t = 10,0s.
d) a distância percorrida pelo carro no intervalo
de t = 0 até t = 10,0s.
Resolução
a) A função V = f(t) é obtida derivando-se a
equação horária:
ds
–––
dt
V = = 4,0t (SI)
b) A aceleração escalar do carro é obtida
derivando-se a função V = f(t):
γ = ⇒ (constante)
c) Para t = 10,0s, temos:
Vf = 4,0 . 10,0 (m/s) ⇒
d) A distância percorrida pelo carro é dada por:
s = 2,0t2 (SI)
t1 = 0 ⇒ s1 = 0
t2 = 10,0s ⇒ s2 = 2,0 (10,0)2 (m) = 200m
Respostas:a) V = 4,0t (SI)
b) γ = 4,0m/s2
c) Vf = 40,0m/s
d) Δs = 200m
(UEL-PR-MODELO ENEM) – A velocidade
escalar de um carro está repre sentada em
função do tempo na figura abai xo.
Podemos concluir que a aceleração escalar
média en tre t1 = 0 e t2 = 10,0s é
a) nula b) 1,0m/s2 c) 1,5m/s2
d) 2,0m/s2 e) 3,0m/s2
Resolução
t1 = 0 ⇒ V1 = 10,0m/s
t2 = 10,0s ⇒ V2 = 30,0m/s
γm= = (m/s2)
Resposta: D
(MODELO ENEM) – Observe o texto e a tabela
para responder às questões de a .
Em um teste de retomada de velocidade de um
automóvel, foram anotados os seguintes
dados:
Sabe-se que, quando a aceleração escalar é
constante, a veloci da de escalar média entre
dois instantes é dada pela média arit mética
entre as velocidades escalares nos referidos
instantes.
As acelerações escalares médias na 3.a e
na 4.a marcha são, respectivamente, iguais a:
a) 1,25m/s2 e 1,0m/s2
b) 1,0m/s2 e 1,0m/s2
c) 1,25m/s2 e 1,25m/s2
d) 1,5m/s2 e 1,0m/s2
e) 1,0m/s2 e 1,25m/s2
Resolução
γm =
3.a marcha:
ΔV = 72km/h – 36km/h = 36km/h = 10m/s
Δt = 8,0s
γm= = m/s2 ⇒
4.a marcha:
ΔV = 108km/h – 72km/h = 36km/h = 10m/s
Δt = 10,0s
γm= = (m/s2)
Resposta: A

Na 3.a marcha, podemos afirmar que
a) a aceleração escalar se manteve, necessa -
riamente, cons tante.
γm = 1,25m/s2
γm = 10,0m/s2
ΔV
–––
Δt
Variação de
velocidade
(em km/h)
Tempo
gasto
(em s)
Distância
percorrida
(em
metros)
3.a 36 a 72 8,0 120
4.a 72 a 108 10,0 ?
Δs = s2 – s1 = 200m
Vf = 40,0m/s
dV γ = 4,0m/s2
–––
dt
γ2 = 28,0m/s2
γ1 = – 8,0m/s2
V2 = 20,0m/s
V1 = 0
Vm = 4,0m/s

b) a aceleração escalar pode ter-se mantido
constante.
c) a aceleração escalar certamente aumentou.
d) a aceleração escalar certamente diminuiu.
e) a aceleração escalar variou, podendo ter
aumentado ou di minuído.
Resolução
Vm = = = 15m/s
MA = = (m/s) = 15m/s
Partindo do repouso, um avião percorre a pista e atinge a
velocidade escalar de 360km/h, em 25 segundos. Qual o valor
da aceleração escalar média em m/s2?
a) 2,0 b) 4,0 c) 6,0 d) 7,2 e) 9,8
RESOLUÇÃO:
γ = 4,0m/s2 ΔV 100
γ = –––– = ––––– (m/s2) ⇒
Δt 25
Resposta: B
Um trem está com velocidade escalar de 72km/h quando
freia com aceleração escalar constante de mó dulo igual a
0,40m/s2. Calcule o intervalo de tempo que o trem gasta para
parar.
RESOLUÇÃO:
Um móvel percorre uma trajetória retilínea com um movi -
mento descrito pela equação horária:
s = 2,0 + 4,0t + 3,0t2 (SI)
Calcule
a) a velocidade escalar no instante t1 = 2,0s.
b) a aceleração escalar.
RESOLUÇÃO:
ds
20 + 30
––––––––
Δs = 250m
V = –––– ⇒ V = 4,0 + 6,0t (SI)
dt
Para t = 2,0s: V = 16,0m/s
dv
γ = –––– ⇒ γ = 6,0m/s2
dt
Uma partícula desloca-se, em traje tória retilínea, com
equa ção horária dos espaços dada por:
s = 2,0t3 – 16,0 (SI)
No instante t1, a partícula passa pela origem dos espaços.
No instante t1, a velocidade escalar vale V1 e a ace leração
escalar vale γ1.
Os valores de V1 e γ1 são dados por:
a) V1 = 24,0m/s e γ1 = 12,0m/s2.
b) V1 = 6,0m/s e γ1 = 24,0m/s2.
c) V1 = 6,0m/s e γ1 = 12,0m/s2.
d) V1 = 12,0m/s e γ1 = 12,0m/s2.
e) V1 = 24,0m/s e γ1 = 24,0m/s2.
RESOLUÇÃO:
1) t = t1 ⇒ s = s1 = 0
2,0 t3
1 – 16,0 = 0
t3
1 = 8,0 ⇒
ds
–––
dt
t1 = 2,0s
2) V = = 6,0t2 (SI)
t1 = 2,0s ⇒ V1 = 24,0m/s
Δv – 20
Δt = –––– = –––––––– (s) ⇒
γ – 0,40 Δt = 50s
106 FÍSICA
Como Vm = MA, a aceleração escalar pode ter-se
mantido constante, porém tal condição,
verificada apenas para dois instantes, é
condição necessária mas não suficiente para a
aceleração escalar ser constante.
Resposta: B
Admitindo-se que, na 4.a marcha, a
aceleração escalar se manteve constante, a
distância percorrida nos 10,0s de movi mento
será igual a:
a) 10m b) 120m c) 150m
d) 250m e) 500m
Resolução
Se a aceleração escalar for constante, temos:
Vm = =
=
Resposta: D
2
Δs
–––––
10,0
V1 + V2 ––––––––
2
Δs
–––
Δt
10 + 20
––––––––
2
V1 + V2 ––––––––
2
120m
–––––
8,0s
Δs
–––
Δt

No Portal Objetivo
16 e 17 Classificação dos movimentos • Progressivo – Retrógrado
MOVIMENTO ⇔ s decrescente ⇔ V 0
RETRÓGRADO
Movimento Acelerado: o módulo da velocidade
aumenta.
FÍSICA 107
1. Quanto à equação horária
a) Quando a relação s = f(t) é do 1.o grau, o movi -
men to é chamado uniforme.
b) Quando a relação s = f(t) é do 2.o grau, o movi -
mento é chamado uniforme mente variado.
2. Quanto ao
sentido do movimento
Movimento Progressivo: o sentido do movi mento
coincide com o sentido positivo da trajetória.
Neste caso, o espaço (s) é crescente e a velo -
cidade escalar (V) é positiva.
Neste caso, o espaço (s) é decrescente e a velo -
cidade escalar (V) é negativa.
3. Quanto ao
módulo da velocidade
Neste caso, a velocidade escalar (V) e a aceleração
escalar (γ) têm mesmo sinal.
V 0 e γ 0 V 0 e γ 0
MOVIMENTO ⇔ s crescente ⇔ V 0
PROGRESSIVO
Movimento Retrógrado: o sentido do movi mento
é oposto ao sentido positivo da trajetória.
• Acelerado – Retardado
3) γ = = 12,0t (SI)
t1 = 2,0s ⇒
Resposta: E

(MODELO ENEM) – Num jogo do Brasil, o tira-teima mos -
trou que o jogador brasileiro chutou a bola diretamente contra
o goleiro do time adversário. A bola atingiu o goleiro com
velocidade de módulo igual a 108km/h e este conseguiu
imobilizá-la em 0,10s, com um movimento de recuo dos
braços. O módulo da aceleração escalar média da bola, durante
a ação do goleiro, foi, em m/s2, igual a:
a) 3,0 . 103 b) 1,1 . 103 c) 3,0 . 102
d) 1,1 . 102 e) 3,0
RESOLUÇÃO:
v = 108km/h = 30m/s
γm= = (m/s2) ⇒
Resposta: C
γ1 = 24,0m/s2
dV
–––
dt
ΔV
–––
Δt
30
–––––
0,10
γm = 3,0 . 102m/s2
digite FIS1M113

Na largada de uma corrida, os automóveis
descrevem movimentos acelerados.
Neste caso, a velocidade escalar (V) e a aceleração
escalar (γ) têm sinais opostos.
? Saiba mais
Uma partícula está em movimento com
equação horá ria dos espaços dada, em unidades
do SI, por:
s = 4,0t2 – 10,0t + 7,0
a) Qual a trajetória da partícula?
b) Calcule, no instante t = 1,0s, os valores da
veloci dade escalar e da aceleração escalar.
c) Classifique o movimento (progressivo ou
retró gra do e ace le rado ou retardado) no
instante t = 1,0s.
Resolução
a) A trajetória não está determinada, pois a
equa ção horária dos es pa ços não indica a
trajetória do móvel.
b) V = 8,0t – 10,0 (SI)
γ = 8,0m/s2 (constante)
t = 1,0s γ1 = 8,0m/s2
V1 = –2,0m/s
c) O movimento é retrógrado, porque a
velocidade escalar é negativa, e é retarda -
108 FÍSICA
do, porque a velocidade escalar e a acelera -
ção escalar têm sinais opostos.
Respostas:a) Não está definida.
b) –2,0m/s e 8,0m/s2.
c) Retrógrado e retardado.
(MODELO ENEM) – Uma bola foi abando -
nada na Lua, a partir do repouso, de uma altura
H acima do solo lunar. Durante a queda da bola,
a) sua aceleração é nula.
b) seu movimento é progressivo e acelerado.
c) seu movimento é retrógrado e acelerado.
d) seu movimento é acelerado, podendo ser
progressivo ou retrógrado.
e) seu movimento é progressivo e retardado.
Resolução
Durante a queda, a velocidade da bola terá
módulo crescente e seu movimento será,
certamente, acelerado.
O sinal de sua velocidade escalar, que definirá
se o movimento é progressivo (V 0) ou
retrógrado (V 0) não está deter mi nado, pois
dependerá da orientação da trajetória.
Se a trajetória foi orientada para baixo, teremos
V 0 e o movimento será progressivo. Se a tra -
jetória foi orientada para cima, teremos V 0 e
o movimento será retrógrado.
Resposta: D
(MODELO ENEM) – Um revólver dispara
um projétil verti calmente para cima e sua velo -
cidade escalar V varia com o tempo t segundo
a relação:
V = 200 – 10t (SI)
O movimento do projétil será retardado durante
o intervalo de tempo que vai do instante t1 = 0
até o instante:
a) t2 = 5s b) t2 = 10s c) t2 = 20s
d) t2 = 40s e) t2 = 50s
Resolução
O projétil terá movimento retardado enquanto
estiver subindo (V 0), isto é, até o instante t2
em que sua velocidade escalar vai anular-se:
V = 0
200 – 10 t2 = 0 ⇒ 10 t2 = 200
t2 = 20s
Resposta: C
O ônibus, ao aproximar-se do ponto pa ra dei xar o
passageiro, efetua um movimento retar dado até
parar.
A classificação de um movimento, quanto
ao sinal da velocidade escalar (V), está re la -
cionada ao sentido do movimento.
Neste caso, a aceleração escalar (γ) será nula.
Movimento Retardado: o módulo da velocidade
diminui.
Movimento Uniforme ⇔ | V | constante ⇔ γ = 0
V 0 e γ 0 V 0 e γ 0
Movimento Uniforme: o módulo da velocidade
per manece constante.

No Portal Objetivo
FÍSICA 109
Complete as lacunas:
(I) Quando o móvel caminha no sentido positivo da trajetória,
sua velocidade escalar é _____________ e o movimento é
chama do_____________.
(II) Quando o móvel caminha no sentido negativo da trajetória,
sua velocidade escalar é _____________ e o movimento é
chamado_____________.
(III) Quando o valor absoluto da velocidade escalar aumenta, o
movimento é _____________ e, neste caso, a velocidade
escalar e a aceleração escalar têm _____________.
(IV) Quando o valor absoluto da velocidade escalar diminui, o
movimento é _____________ e, neste caso, a ve locidade
escalar e a aceleração escalar têm _____________.
RESOLUÇÃO:
(I) positiva – progressivo (II) negativa – retrógrado
(III) acelerado – sinais iguais (IV) retardado – sinais opostos
Um móvel desloca-se em uma trajetória retilínea com equa -
ção horária do espaço dada por:
x = 4,0 + 2,0t – 2,0t2 (SI)
No instante t = 1,0s, o movimento é
a) uniforme e retrógrado;
b) progressivo e acelerado;
c) retrógrado e acelerado;
d) progressivo e retardado;
e) retrógrado e retardado.
RESOLUÇÃO:
V = 2,0 – 4,0t
γ = – 4,0m/s2 (constante)
t = 1,0s ⇒ V = – 2,0m/s e γ = – 4,0m/s2
movimento retrógrado e acelerado
(V 0) (V e γ com sinais iguais)
Resposta: C
Um ponto material está-se movendo, em uma tra je tória re -
ti línea, com equação horária do espaço dada por:
s = 2,0t3 – 5,0t2 + 2,0t – 10,0 (SI)
Na origem dos tempos, o movimento é
a) progressivo e acelerado; b) progressivo e retardado;
c) retrógrado e acelerado; d) retrógrado e retardado;
e) uniformemente variado.
RESOLUÇÃO:
V = 6,0t2 – 10,0t + 2,0 (SI)
γ = 12,0t – 10,0
t = 0 ⇒ V = 2,0m/s e γ = –10,0m/s2
Movimento progressivo e retardado.
Resposta: B
A velocidade escalar de uma partícula é dada pela expres -
são:
V = 3,0 – 1,5t (em unidades do SI)
a) Determine o instante em que ela para e a partir do qual
inverte o sentido de seu movimento.
b) Classifique seu movimento nos instantes t1 = 1,0s e
t2 = 3,0s.
RESOLUÇÃO:
a) t = 2,0s
b) V = 3,0 – 1,5t (SI)
γ = – 1,5m/s2 (constante)
t1 = 1,0s
V = 1,5m/s
t2 = 3,0s V = – 1,5m/s
Mov. retrógrado e acelerado
γ = – 1,5m/s2
Mov. progressivo retardado
γ = – 1,5m/s2
digite FIS1M114

RECRUTA ZERO Mort Walker
Com relação à historinha acima, digamos que a limu sine passe
por dois quebra-molas seguidos, nos ins tantes t1 e t2. Qual é o
gráfico que melhor descreve a velocidade do veículo no trecho
considerado?
(USS-RJ-MODELO ENEM)
O gráfico a seguir representa a altura h em
função do tem po t para um projétil lançado
verticalmente para cima a partir do solo
terrestre, que é tomado como referencial.
O gráfico tem a forma de um arco de parábola.
a) O que ocorre no instante t = t2?
b) Classifique o movimento nos instantes t1 e
t3 como progressivo ou retrógrado e
acelerado ou retardado.
hmáx arco de parábola
Resolução
a) No instante t = t2 (vértice da parábola),
temos o ponto de inversão do movimento e
a velocidade é nula.
b) 1) No gráfico espaço x tempo, a ace -
leração escalar será positiva ou nega -
tiva conforme a parábola tenha conca -
vidade para cima ou para baixo, res -
pec tivamente.
110 FÍSICA
2) No gráfico espaço x tempo, a veloci -
dade escalar será positiva ou ne ga tiva
conforme o espaço seja crescente ou
decrescente, respecti va mente.
V 0
γ 0
3) instante t1 progressivo e
retardado
instante t3 retrógrado e
acelerado
Respostas: a) velocidade nula
b) t1: progressivo e
retardado
t3: retrógrado e acelerado
(MODELO ENEM) – A velocidade escalar
de um carro va ria com o tem po de acordo com
o gráfico a seguir.
O movimento é
a) retardado no intervalo de tempo de t1 a t4.
b) retardado no intervalo de tempo de t0 a t2.
c) retardado somente no intervalo de tempo
de t3 a t4.
d) acelerado no intervalo de tempo de t2 a t3.
e) acelerado no intervalo de tempo de t1 a t2.
Resolução
1) A velocidade escalar é positiva quando o
gráfico V = f(t) estiver acima do eixo dos
tempos.
2) A velocidade escalar é negativa quando o grá -
fico V = f(t) estiver abaixo do eixo dos tem -
pos.
3) A aceleração escalar é positiva quando a
função V = f(t) for crescente.
4) A aceleração escalar é negativa quando a
função V = f(t) for decrescente.
V 0 γ 0
t0 → t1 progressivo e retardado
V 0 γ 0
t1 → t2 retrógrado e acelerado
V 0 γ 0
t3 → t4 retrógrado e retardado
Resposta: E
V 0
γ 0
h
t t 1 0 t2 t3
RESOLUÇÃO
Antes de chegar ao primeiro quebra-molas (instante t1), o carro
deve frear e o módulo de sua velocidade vai diminuir.
Imediatamente após passar o primeiro quebra-molas, o carro ace -
lera e o módulo de sua velocidade aumenta.
Antes de chegar ao segundo quebra-molas (instante t2), o carro
vol ta a frear e o módulo de sua velocidade volta a diminuir. Ime -
diatamente após passar o segundo quebra-molas, o carro volta a
acelerar e o módulo de sua velocidade volta a aumentar.
Esta sequência de eventos ocorre na opção A.
Resposta: A
OBRIGADO POR ME DEIXAR
DIRIGIR A LIMUSINE,
JULIUS!
CUIDADO! ALI
TEM UM QUEBRA-MOLAS!
O QUE É UM
QUEBRA-MOLAS?
SÃO ELEVAÇÕES NA
PISTA QUE VOCÊ ACE-LERA
ENTRE ELAS!
GREG
MORT
WALTER

FÍSICA 111
O gráfico a seguir representa o espaço em função do
tempo para o movimento de uma partícula que descreve uma
trajetória retilínea.
O gráfico tem a forma de um arco de parábola com vértice
corres pon dente ao instante t = t1.
Classifique o movi men to como progres sivo ou retró grado e
ace lerado ou retardado
a) para 0 t t1
b) para t1 t t2
RESOLUÇÃO:
a) De 0 a t1
1) Espaço crescente ⇒ V 0
2) Parábola com concavidade para baixo ⇒ γ 0
Movimento progressivo (V 0) e retardado (V . γ 0)
b) De t1 a t2
1) Espaço decrescente ⇒ V 0
2) Parábola com concavidade para baixo, γ 0
Movimento retrógrado (V 0) e acelerado (V . γ 0)
Respostas:a) progressivo e retardado
b) retrógrado e acelerado
O gráfico representa o espaço em função do tempo para
uma partícula que se desloca ao longo de uma trajetória retilínea.
O trecho OA é retilíneo e os trechos AB, BCD e DEF são arcos
de parábola com eixos de simetria paralelos ao eixo Ox.
Classifique os movimentos nos trechos:
a) OA b) AB c) BC
d) CD e) DE f) EF
RESOLUÇÃO:
a) OA: Movimento uniforme e progressivo (V 0)
b) AB: MUV (arco de parábola)
progressivo (espaço crescente)
acelerado (V 0 e γ 0)
c) BC: MUV; progressivo (V 0) e retardado (V 0 e γ 0)
d) CD: MUV; retrógrado (V 0) e acelerado (V 0 e γ 0)
e) DE: MUV; retrógrado (V 0) e retardado (V 0 e γ 0)
f) EF: MUV; progressivo (V 0) e acelerado (V 0 e γ 0)
(MODELO ENEM) – Um carro está-se
movimen tan do em uma rodovia retilínea e sua
posição x determinada pelo marco quilométrico
da estrada, num certo intervalo de tempo, é
defi ni da pelo gráfico a seguir, formado por dois
arcos de parábola com vértices nos instantes
t = 0 e t = t2.
A análise do gráfico nos permite concluir:
a) No intervalo de tempo de 0 a t1, o movi -
mento do carro é progressivo e retardado.
b) No intervalo de tempo de 0 a t1, o movi -
mento do carro é retrógrado e acelerado.
c) No intervalo de tempo entre t1 e t2, o movi -
mento do carro é progressivo e acelerado.
d) No intervalo de tempo entre t1 e t2, o movi -
mento do carro é progressivo e retardado.
e) No intervalo de tempo entre t1 e t2, o movi -
mento do carro é retrógrado e acelerado.
Resolução
1) O sinal da velocidade escalar V será positi -
vo ou negativo con forme o espaço seja
crescente ou decrescente, respec tiva men -
te.
2) O sinal de aceleração escalar γ será positivo
ou negativo conforme o arco de parábola
tenha concavidade para cima (0 a t1) ou para
baixo (t1 a t2), respectivamente.
3) Intervalo de 0 e t1:
Espaço crescente: V 0
Arco de parábola com concavidade para
cima: γ 0
Sendo V 0, o movimento é progressivo:
Como V e γ têm o mesmo sinal, o
movimento é acelerado.
4) Intervalo de t1 a t2:
Espaço crescente: V 0
arco de parábola com concavidade para
baixo: γ 0
Sendo V 0, o movimento é progressivo.
Como V e γ têm sinais opostos, o
movimento é retardado.
Resposta: D

(MODELO ENEM) – A seguir, está representado o gráfico
da velocidade es calar (V) de um carro em função do tempo (t).
A respeito desse movimento, é correto afirmar que
a) entre 0 e t3 é sempre acelerado.
b) entre 0 e t3 é sempre retardado.
c) entre 0 e t1 é retardado.
d) entre t1 e t2 é retardado.
e) entre t2 e t3 é retrógrado.
RESOLUÇÃO:
1) A velocidade escalar será positiva ou negativa conforme o
gráfico V = f(t) esteja acima ou abaixo do eixo dos tem pos.
2) A aceleração escalar será positiva ou negativa conforme a
velocidade escalar seja crescente ou decrescente.
1) retrógrado porque V 0
0 → t1 {2) retardado porque |V| diminui
1) progressivo porque V 0
t1 → t2 {2) acelerado porque |V| aumenta
1) progressivo porque V 0
t2 → t3 {2) retardado porque |V| diminui
Resposta: C
18 a 23 Movimento uniforme • Velocidade contante
s = A + Bt
112 FÍSICA
A velocidade escalar de uma partícula varia com o tempo,
confor me o gráfico apresentado a seguir.
No gráfico, destacamos quatro secções distintas indicadas por
I (0 ≤ t t1), II (t1 t t2), III (t2 t t3) e IV (t3 t t4).
Classifique, em cada secção, o movimento como progressivo
ou retrógrado; acelerado ou retardado.
RESOLUÇÃO:
(I) O movimento é progressivo porque a velocidade escalar é po -
sitiva e é retardado porque V está diminuindo.
(II) O movimento é retrógrado porque a velocidade escalar é ne -
gativa e é acelerado porque V está aumentando.
(III) O movimento é retrógrado porque a velocidade escalar é ne -
gativa e é retardado porque V está diminuindo.
(IV) O movimento é progressivo porque a velocidade escalar é po -
sitiva e é acelerado porque V está aumentando.
1. Definição
Um movimento é chamado uniforme quando a rela -
ção espaço-tempo é do 1.o grau, isto é, da forma:
em que A e B são parâmetros constantes com B ≠ 0.
2. Parâmetro A
Para t = 0 (origem dos tempos), temos s0 = A e, por -
tanto:
O parâmetro A representa o espaço inicial.
3. Parâmetro B
A velocidade escalar V é dada por:
ds
V = ––– = 0 + B ⇒
dt
O parâmetro B representa a velocidade escalar.
4. Propriedades do
movimento uniforme
a) Equação horária do espaço:
s = s0 + Vt
B = V
A = s0
• Aceleração nula

Δs
tg α N = –––– = V
Δt
No gráfico espaço x tempo, a declividade da reta
s = f(t) mede a velocidade escalar.
Área N= V . Δt = Δs
FÍSICA 113
b) A velocidade escalar média é igual à velocidade
escalar instantânea, é constante e diferente de zero.
c) A aceleração escalar média é igual à aceleração
escalar instantânea, é cons tante e igual a zero.
d) O movimento pode ser progressivo (V 0) ou
retrógrado (V 0), porém não é nem acelerado nem
retardado, pois a velocidade escalar é constante (γ = 0).
5. A denominação uniforme deriva do fato de a velo -
cidade escalar ser constante, isto é, é um movimento
que se processa sempre da mesma forma, com o móvel
percorrendo distâncias iguais em intervalos de tempo
iguais.
6. Podemos ter movimento uniforme em qualquer tra -
jetória.
7. Gráficos do
movimento uniforme
8. Interpretações gráficas
a) Gráfico espaço x tempo:
b) Gráfico velocidade escalar x tempo:
No gráfico velocidade escalar x tempo, a área sob
o gráfico mede a variação de espaço Δs.
Δs
Vm = V = —– = constante ≠ 0
Δt
γm = γ = constante = 0
? Saiba mais
Um paraquedista, partindo do
re pou so e em trajetória vertical,
tem uma fa se inicial de movi -
men to acele rado (pra ti ca mente
uma queda livre) com o para -
que das fecha do; em segui da,
uma fase de movi mento re tar -
dado, com a aber tura do para -
que das, e final men te atin ge
uma veloci dade escalar limite da
ordem de 5,0m/s (18km/h) que é man ti da constante.
Assim, após atingir a velocidade esca lar limite, o para -
quedista assu me um movi mento uni forme.
Uma nave espacial, com o sistema
de jatos desligados e afastada de
outros corpos celestes, desloca-se
em linha reta com ve lo cidade es -
calar cons tan te, isto é, em mo vi -
mento unifor me.

Um carro descreve uma trajetória retilínea
com movimento uniforme.
No instante t1 = 10,0s, a posição do carro é
definida por um espaço s1 = 250m.
No instante t2 = 20,0s, a posição do carro é
definida por um espaço s2 = 450m.
Determine
a) a velocidade escalar do carro em km/h.
b) a posição do carro na origem dos tempos
(t = 0).
Resolução
a) V = = = (m/s)
V = 20,0m/s = 20,0 . 3,6km/h
b) s = s0 + V t
t1 = 10,0s
s1 = 250m
250 = s0 + 20,0 . 10,0 ⇒
Respostas: a) 72,0km/h
b) 50,0m
(PISA-MODELO ENEM) – VOO ESPACIAL
Questões de a .
A estação espacial Mir perma ne ceu em órbita
por 15 anos e deu cerca de 87 600 voltas em
114 FÍSICA
torno da Terra, durante o tempo em que esteve
no espaço.
A permanência mais longa de um astronauta na
Mir foi de, aproximadamente, 680 dias.
Aproximadamente, quantas voltas este
astronauta deu ao redor da Terra?
a) 110 b) 1100 c) 11000
d) 110 000 e) 1100000
Resolução
87 600 ———— 15 . 365
x ———— 680
x = = 10880
Resposta: C
A massa total da Mir é de 143 000kg.
Quando a Mir retornou à Terra, cerca de 80% da
estação queimou-se ao atravessar a atmosfera.
O restante quebrou-se em aproximadamente
1500 pedaços e caiu no Oceano Pacífico.
Qual é a massa média dos pedaços que caíram
no Oceano Pacífico?
a) 19kg b) 76kg c) 95kg
d) 480kg e) 500kg
Resolução
M’ = 0,20M = 0,20 . 143 000kg = 28 600kg
m = = kg ≅ 19kg
Resposta: A
A Mir girou ao redor da Terra a uma altura de,
aproxima da mente, 400 quilômetros. O diâmetro
da Terra mede cerca de 12 700km e sua circun -
ferência, cerca de 40 000km.
Estime a distância total que a Mir percorreu
durante as 87600 voltas realizadas enquanto
estava em órbita. Adote π = 3
Dê a resposta em km, com notação científica e
com dois algaris mos significativos.
a) 3,1 . 109km b) 3,5 . 109km
c) 3,7 . 109km d) 4,2 . 109km
e) 3,5 . 1010km
Resolução
R = RT + h = 6350km + 400km = 6750km
C = 2πR = 6 . 6750km = 40500km
Δs = n C = 87600 . 40500km
Δs = 3548.105km
Δs = 3548.106km
Δs = 3,5 . 109km
Resposta: B
28600
––––––
1500
M’
––––
1500
680 . 87600
––––––––––––
15 . 365
s0 = 50,0m
V = 72,0km/h
450 – 250
–––––––––––
20,0 – 10,0
s2 – s1 –––––––
t2 – t1
Δs
–––
Δt
A função horária do espaço, para o movimento de um
ponto material, é dada por:
s = (a – 5,0)t2 + (b – 3,0) t + 7,0 (SI)
Que valores devem assumir os parâmetros a e b para que o
movimento seja uniforme e retrógrado?
RESOLUÇÃO:
No movimento uniforme, a função horária dos espaços é do 1.o
grau, logo: a – 5,0 = 0 ⇒ a = 5,0.
No movimento retrógrado, V 0, assim:
V = b – 3,0 0
b 3,0
Respostas: a = 5,0 b 3,0
Um automóvel desloca-se em uma estrada com movi -
mento uniforme. No instante inicial (t0 = 0), o automóvel passa
pelo km 20 e duas horas depois passa pelo km 160.
a) Determine a velocidade escalar do automóvel.
b) Determine a função que relaciona a posição do automóvel com
o tempo. Adote para origem dos espaços o marco km 30.
RESOLUÇÃO:
a)
Δs 140 (km)
V = –––– = ––––––––––– ⇒ V = 70km/h
Δt 2 (h)
b) s = – 10 + 70t (s em km, t em h)
S = S0 + V . t
S = (b – 3,0)t + 7,0

FÍSICA 115
(VUNESP-MODELO ENEM) – Conhecida pelo nome de
seu ideali zador, a sonda de Behm determinava com precisão a
profundidade do leito oceânico. Consistia em um cartucho
explosivo que era detonado na água, em um dos lados do
casco do navio. O abalo pro du zido, propagan do-se na água,
atingia o leito do mar e refletia-se para a superfície, onde, do
outro lado da embar cação, um microfone protegido do som
inicial pelo casco do navio recolhia o eco proveniente do fun do.
Um navio em águas oceânicas, após detonar uma sonda,
registra o eco 1,2s após a detonação. Sa ben do-se que o
módulo da veloci dade de propa ga ção do som na água do mar
é 1,4 . 103m/s, a pro fun didade local do leito é, aproxima da -
mente,
a) 260m b) 420m c) 840m
d) 1 260m e) 1 680m
RESOLUÇÃO:
1) O intervalo de tempo dado (1,2s) é o tempo gasto pelo abalo
para ir até o fundo do mar e voltar.
Portanto, o tempo gasto para percorrer a profundidade d do
ocea no é apenas a metade, 0,60s.
2) Δs = Vt (MU)
d = 1,4 . 103 . 0,60(m)
Resposta: C
d = 8,4 . 102m
Um carro move-se com velocidade escalar
constante de 100km/h sobre uma estrada retilí -
nea, e seu movimento é acom panhado numa
tela de radar. Um trecho de 5,0km de compri -
mento da estrada aparece na tela como tendo
10,0cm. Quando o carro está no marco zero da
estrada, o ponto luminoso está na origem do
sistema de coordenadas na tela do radar.
Sabendo-se que no instante t0 = 0 (origem dos
tempos) o carro está em um ponto da estrada
que dista 10,0km do marco zero, obtenha
a) a velocidade escalar do ponto luminoso na
tela do radar, em m/h;
b) a equação horária para o movimento do
ponto luminoso, com s em centímetros e t
em horas.
Resolução
a) A escala que relaciona as distâncias na tela
do radar e na estrada é dada por uma regra
de três:
5,0km –––––––––––––– 10,0cm
D km –––––––––––––– d cm
D em km
5,0 d = 10,0 D ⇒ d = 2,0 D d em cm
Para D = 100km, temos d = 200cm = 2,0m.
A velocidade do carro de 100km/h
corresponde na tela do radar a uma
velocidade de 2,0m/h.
b) De acordo com o texto, s0 = 10,0km para o
carro e s0 = 20,0cm na tela do radar.
Vtela = 2,0m/h = 200cm/h
Portanto: s = s0 + V t
t em horas s em centímetros
Respostas:a) V = 2,0m/h
b) s = 20,0 + 200t
(MODELO ENEM) – Uma bolinha está-se
deslocando com velocidade cons tante de mó -
du lo V ao longo da reta AB indicada na figura.
A luz solar incide perpendicularmente à sua
trajetória, pro vo cando o aparecimento de uma
sombra no plano inclinado CB.
O ângulo θ indicado na figura é um ângulo
agudo (menor que 90°).
P1,P2,P3,… posições da bolinha ao longo da
reta AB.
S1,S2,S3,… posições da sombra da bolinha ao
longo da reta CB.
A velocidade da sombra da bolinha tem módulo
a) igual a V para qualquer valor de θ.
b) maior que V.
c) menor que V.
d) maior ou menor que V, dependendo do
ângulo θ.
e) igual a V somente se θ = 45°.
Resolução
No mesmo intervalo de tempo, a bolinha vai de
A para B e a sombra vai de C para B.
Como a sombra percorre distância maior que a
bolinha, no mes mo intervalo de tempo,
concluímos que a velocidade da sombra é
maior que a da bolinha.
Resposta: B
(UFT-MODELO ENEM) – Em uma tem -
pes tade, o som da descarga atmos férica é
observado depois de seu respectivo clarão, que
acon tece quase que instantaneamente. Foi
obser vado inicialmente que havia um tempo
médio de 7s de atraso entre os clarões e seus
respectivos sons. Após 1 minuto, o tempo
médio de atraso passou a ser de 13s.
Considerando-se que o módulo da velocidade
de propagação do som na atmosfera é de
aproximadamente 340m/s, podemos afirmar:
a) A tempestade está-se aproximando do
observador com uma velocidade de módulo
22m/s.
b) A tempestade está parada com relação ao
observador.
c) A tempestade está-se afastando do obser -
vador com uma velocidade de módulo
22m/s.
d) A tempestade está-se afastando do obser -
vador com uma velocidade de módulo 34m/s.
s = 20,0 + 200 t

Resolução
1) Distância inicial do local do raio ao observa -
dor: d1 = Vsom . T1
2) Distância final do local do raio ao observa -
dor: d2 = Vsom . T2
3) Velocidade com que a tempestade se afasta
do observador:
116 FÍSICA
V = =
V =
340 . (13 – 7)
–––––––––––––
V = (m/s)
V = 34m/s
Resposta: D
60
Vsom (T2 – T1)
––––––––––––––
Δt
Δd
–––
Δt
d2 – d1 –––––––
Δt
Dois móveis, A e B, percorrem uma mesma trajetória reti -
lí nea com movimentos uniformes e velocidades com inten sida -
des respectivamente iguais a 2,0m/s e 1,0m/s e sentidos indi -
cados na figura. No instante t0, o móvel A está posicionado em
A0 e o móvel B em B0.
Adotando-se o ponto 0 como origem dos es pa ços e o ins tante
t0 como origem dos tem pos, determine
a) as equações horárias para os movimentos de A e B;
b) a distância entre os móveis A e B no instante t1 = 10,0s.
RESOLUÇÃO:
a) sA = 1,0 + 2,0 t (SI)
sB = – 1,0 – 1,0 t (SI)
b) Em t = 10,0s:
d = 21,0 – (–11,0) ⇒ d = 32,0m
Um cidadão ouve o trovão 4,0s após ter visto o relâmpago.
A velocidade do som no ar é praticamente constante e tem
módulo igual a 340m/s. Determine a distân cia entre o cidadão
e o local onde foi produzido o relâmpago.
RESOLUÇÃO:
Δs = V . Δt ⇒ Δs = 340 . 4,0 (m) ⇒ Δs = 1360m
Considere o seguinte texto:
“Podemos medir o tempo de reação de uma pessoa usando o
seguinte processo: a pessoa fica com a mão próxima de uma
campainha enquanto observa uma lâmpada que deverá acen -
der-se subitamente; quando a luz aparece, a pessoa aciona a
campainha rapidamente. O tempo de reação da pessoa, para
as mãos, é o intervalo de tempo decorrido entre a luz aparecer
e a campainha tocar; esse tempo é medido por um cronômetro
eletrônico ligado entre a lâmpada e a campainha e é da ordem
de 0,20s.
Para os pés, o tempo de reação é, aproximadamente, 0,40s,
pois os impulsos nervosos que comandam o movimento dos
pés, a partir do cérebro, devem per correr uma distância de,
aproximadamente o dobro da distância do cérebro às mãos.”
Com base neste texto, responda às questões que se seguem:
a) Estime o valor do módulo da velocidade de trans missão dos
impulsos nervosos;
b) Considere um carro a 72km/h quando o motorista vê um
obstáculo à frente. Qual a distância per corrida pelo carro
desde a visão do obstáculo até o motorista acionar o freio?
RESOLUÇÃO:
Δs
–––
Δt
1,0 (m)
–––––––––
0,20 (s)
a) V = = ⇒
V = 5,0m/s
b) Δs = V Δt ⇒ Δs = 20 . 0,40 (m) ⇒ Δs = 8,0m

H—h
(H – h)
———
H
FÍSICA 117
(INEP-MODELO ENEM) – Sabe-se que o tempo que um
motorista leva para pôr os pés no freio, a partir do instante em
que ele vê um acontecimento (tempo de reação), é de, aproxi -
madamente, 0,70 segundo. Se um carro está trafegando numa
avenida a 108km/h (igual a 30,0m/s), apenas nesse intervalo de
tempo de reação do motorista o carro percorrerá uma distância
de, aproximadamente,
a) 2,0m b) 10,0m c) 21,0m
d) 40,0m e) 50,0m
RESOLUÇÃO:
Δs = V t (MU)
D = 30,0 . 0,70 (m)
D = 21,0m
Resposta: C
Um trem possui 12 vagões de 10m de
com pri mento ca da um e uma locomotiva de
15m de comprimento. Sua velocidade es calar é
constante e igual a 45m/s. Deter mine em
quanto tempo o trem ultrapassa com ple -
tamente
a) um poste ao lado da ferrovia;
b) a plataforma de 90m de comprimento de
uma es tação ferro viária.
Resolução
LTREM = 12 . 10 + 15 (m) ⇒ LTREM = 135m
a) Para ultrapassar um poste:
ΔsTREM = LTREM + Lposte
Como Lposte LTREM
ΔsTREM ≅ LTREM = 135m
Δt = ≅ (s)
Δt ≅ 3,0s
b) ΔsTREM = LTREM + Lplataforma = 225m
Δt = = (s)
(UFSC-MODELO ENEM) – Um trem A, de
150m de compri men to, deslocando-se de Sul
para Norte, começa a atraves sar uma ponte
férrea de pista dupla com trilhos retilí neos, no
mesmo instante em que outro trem, B, de 500m
de compri men to, que se desloca de Norte para
Sul, inicia a traves sia da mesma ponte.
O maquinista do trem A observa que seu trem
se desloca com velocidade constante de mó -
dulo 36km/h, enquanto o maqui nis ta do trem B
verifica que seu trem está com veloci dade
cons tan te de módulo 72km/h, ambas as veloci -
dades medidas em relação ao solo. Um obser -
va dor, situado em uma das extremi dades da
ponte, observa que os trens completam a tra -
ves sia da ponte no mesmo intervalo de tempo.
Assinale a proposição correta.
a) Como o trem B tem uma velocidade, em
módulo, igual ao dobro da velocidade do
trem A, é impossível que gastem o mesmo
tempo para atravessar a ponte.
b) Não podemos calcular o comprimento da
ponte, pois não foi dado o tempo gasto
pelos trens para atravessá-la.
c) O comprimento da ponte é de 125m.
d) O tempo gasto pelos trens para atravessar a
ponte é de 15s.
e) O comprimento da ponte é de 200m e o
tempo gasto pelos trens para atravessá-la é
de 35s.
Resolução
O trem começa a atravessar a ponte quando
sua dianteira está no início da ponte e termina
de atravessá-la quando sua traseira está no
final da ponte.
A distância total percorrida pelo trem na traves -
sia da ponte é a soma de seu comprimento
com o da ponte.
VT= = ⇒
De acordo com o enunciado temos: ΔtA = ΔtB
=
=
300 + 2LP = 500 + LP
e Δt = (s)
Resposta: E
(MODELO ENEM) – Em uma rua escura,
está acesa uma única lâmpada L a uma altura H
do solo horizontal.
Uma pessoa de altura h caminha em trajetória
re ti lí nea com velocidade constante de módulo
V, em relação ao solo.
Seja S a sombra de sua cabeça projetada no
solo.
A velocidade de S, em relação ao solo, tem
módulo
a) variável. b) igual a V.
c) igual a V. d) igual a V.
e) igual a .
Resolução
Tomando-se o ponto A como origem dos
espaços e orientando-se a trajetória de A para
S, temos:
—–
AB
= espaço no movimento da pessoa: sP
—–
AS
= espaço no movimento da sombra da
cabeça: sS
H
———
H – h
Δt = 35s
150 + 200
––––––––––
10
LP = 200m
500 + LP ––––––––
20
150 + LP ––––––––
10
LB + LP ––––––––
VB
LA + LP ––––––––
VA
LT + LP Δt = ––––––––
VT
LT + LP ––––––––
Δt
Δs
–––
Δt
Δt = 5,0s
225
–––––
45
ΔsTREM –––––––
V
135
–––––
45
ΔsTREM –––––––
V

Da semelhança dos triângulos ALS e BCS,
vem:
Porém :
–––
LA = H;
–––
CB = h;
–––
AS = sS;
–––
BS = sS – sP
118 FÍSICA
H sS Portanto : —– = —–——
h sS – sP
H (sS – sP) = h sS
H sS – Hsp = hsS
sS (H – h) = HsP
H
sS = —––– sP H – h
Dividindo-se os dois membros pelo intervalo de
tempo Δt, vem:
Resposta: B
––– –––
LA AS
–––––––– = – – –––––––
CB BS
H
Vs = —––— V
H – h
Quantos segundos gasta um trem de 60m de com pri men -
to e com velo ci dade escalar cons tan te de 36km/h, para
atravessar uma ponte de 40m de compri men to?
RESOLUÇÃO:
Δt = = ⇒ Δt = ⇒
(UFCE) – Determine o intervalo de tempo para que um
trem de 240m, com velocidade escalar constante de 108km/h,
atra vesse comple ta mente um túnel de comprimento 1980m.
RESOLUÇÃO:
ΔsT = LTR + LTU = 2220m
Δt = = (s) ⇒
Um automóvel de 5,0m de comprimento está em movi -
mento uniforme com velocidade escalar de 54,0km/h. A circun -
ferência externa do pneu do auto mó vel tem raio de 50cm.
Adotando-se π ≅ 3, pedem-se:
a) o intervalo de tempo para que o carro atravesse com -
pletamente um túnel de 40,0m de comprimento;
b) o número de voltas dadas pelo pneu do carro du rante essa
travessia.
RESOLUÇÃO:
a) ΔsA = LA + LT = 5,0 + 40,0 (m) ⇒ ΔsA = 45,0m
Δt = = (s) ⇒
b) L = 2πR L = 2 . 3 . 0,50(m) L = 3,0m
N = = ⇒
(MODELO ENEM) – Num relógio con ven cional, que fun -
ciona correta men te, o ponteiro dos minutos tem 1,00cm de
com pri mento e o das horas, 0,80cm. Entre o meio-dia e a meia-noite,
a diferença entre a distância percorrida pela ponta do
ponteiro dos minutos e a distância percorrida pela ponta do
ponteiro das horas é aproximadamente igual a:
a) 35,2cm b) 70,3cm c) 75,4cm
d) 140,8cm e) 145,4cm
Dados:
1) O comprimento de uma circunferência de raio R vale 2πR.
2) O período do ponteiro das horas vale 12h.
3) O período do ponteiro dos minutos vale 1h.
4) O valor de π a ser usado é 3,14.
RESOLUÇÃO:
As distâncias percorridas pelas extremidades dos pon teiros dos
minutos e das horas, no intervalo de tempo considerado, são,
respectivamente, ΔsM e ΔsH.
ΔsM = 12 . 2π RM e ΔsH = 2π RH
Sendo D a diferença pedida, temos:
D = ΔsM – ΔsH ⇒ D = 12 . 2π RM – 2π RH
D = 2π (12RM – RH) ⇒ D = 2 . 3,14 (12 . 1,0 – 0,80) cm
Da qual:
Resposta: B
D ≅ 70,3cm
Δs
–––
L
45,0 (m)
––––––––
3,0 (m)
N = 15 voltas
Δs
–––
V
45,0
––––
15,0
Δt = 3,0s
Δs
–––
Δt
2220
–––––––
30
Δt = 74s
Δs
–––
V
Lp + Lt –––––––
V
100m
––––––
10m/s
Δt = 10s

FÍSICA 119
A distância que separa dois automóveis,
num dado ins tante (t0), é 50km. Ambos per -
correm a mesma estrada retilínea, no mesmo
sentido com movimentos uniformes. O carro
da frente tem velocidade escalar de 60km/h e o
de trás, 70km/h.
a) Determine após quanto tempo o de trás
alcançará o da frente.
b) Quantos quilômetros deverá andar o de trás
até alcançar o da frente?
Resolução
a)
Adotando-se como origem dos espaços a
posição do corpo A no instante t0:
SA = S0 + VAt ⇒ SA = 70t (S em km;
t em h)
SB = S0 + VBt ⇒ SB = 50 + 60t (S em km;
t em h)
No encontro: SA = SB
70tE = 50 + 60 . tE ⇒ 10tE = 50
tE = 5,0h
b) ΔsA = VA tE
ΔsA = 70 . 5,0 (km)
(PISA-MODELO ENEM) – Texto para as
ques tões de a .
À VOLTA DA MONTANHA
Desde sempre que os textos de matemática
incluem problemas para os leitores resolverem.
O problema seguinte é adaptado de um
problema de um livro de matemática de um
autor chinês do século V. O li é uma antiga
unidade de medida de comprimento chinesa.
Cada li equivalia a, aproxima damente, 500
metros.
Uma estrada circular à volta de uma
montanha tem 300 li de com primento. Três
pessoas, A, B e C, percorrem a estrada. A
pessoa A caminha a 150 li por dia, a pessoa B,
a 120 li por dia e a pessoa C, a 90 li por dia. Se
partirem todas do mesmo ponto, ao mesmo
tempo, e caminharem no mesmo sentido, ao
fim de quantos dias voltarão a encontrar-se no
ponto de partida pela primeira vez?
a) 5d b) 8d c) 10d
d) 12d e) 15d
Resolução
V =
150 = ⇒
120 = ⇒
90 = ⇒
Para que as três pessoas se encontrem, no
ponto de partida, o intervalo de tempo deve ser
múltiplo dos três períodos.
Isto ocorre para Δt = 10d
A pessoa A terá dado 5 voltas, a pessoa B, 4
voltas e a pessoa C, 3 voltas.
Resposta: C
Imagine que existisse uma quarta pessoa,
D, que partisse do mes mo ponto, ao mesmo
tempo, caminhando por dia sempre a mes ma
distância, mas em sentido contrário. D
encontraria C ao fim de dois dias.
A velocidade escalar de D, medida em li por
dia, seria de:
a) 150 b) 90 c) 60
d) 40 e) 30
Resolução
Para o encontro, devemos ter
|ΔsD| + |ΔsC| = C
VD Δt + VC Δt = C
VD + VC =
VD + 90 =
C
–––
Δt
300
––––
2
Resposta: C
As pessoas B e D partindo juntas de uma
mesma posição X, em sentidos opostos, com
as velocidades anteriormente citadas, voltarão
a se encontrar na mesma posição X após:
a) 2d b) 3d c)5d
d) 6d e) 8d
Resolução
Δs
–––
Δt
VD = ⇒ 60 = ⇒
TE = mmc (TB e TD) = mmc (2,5d; 5d) = 5d
Resposta: C
300
––––
TD
TD = 5d
VD = 60li/d
300
––––
TC
10d
TC = ––––
3
300
––––
TB
TB = 2,5d
300
––––
TA
TA = 2d
C
––
T
ΔsA = 350km
Dois móveis, A e B, deslocam-se sobre uma mesma reta,
segundo as equações horárias:
xA = – 40 + 5,0t e xB = 100 – 2,0t,
com as abscissas medidas em metros e os instantes em
segun dos.
a) Calcule o instante e o local de encontro entre A e B.
b) Calcule a distância percorrida por cada móvel, des de a ori gem
dos tempos até o instante de en con tro.
RESOLUÇÃO:
a) No encontro: xA = xB
– 40 + 5,0 tE = 100 – 2,0 tE ⇒ 7,0 tE = 140 ⇒
t = tE = 20s
xA = xE = 60m
tE = 20s

b) ΔxA = VA tE = 5,0 . 20 (m) = 100m
ΔxB = VB tE = 2,0 . 20 (m) = 40m
As velocidades escalares de dois pontos materiais, A e B,
são constantes. A figura os representa no instante t = 0 e as
setas indicam o sentido de cada movimento. Também estão
indicados os módulos das suas veloci dades escalares.
a) Escreva a função horária dos espaços de cada um e deter -
mine o instante de encontro.
b) Determine o local de encontro.
RESOLUÇÃO:
a) Como os movimentos são uniformes, as funções horárias são
do tipo: s = s0 + V . t
sA = –2,0 + 1,0t (SI) ⇒ sB = 4,0 – 2,0 t (SI)
No encontro: sA = sB
–2,0 + 1,0tE = 4,0 – 2,0 tE ⇒
b) No instante tE = 2,0s:
sA = –2,0 + 1,0 (2,0) (m) ⇒ sA = 0
Assim, concluímos que os corpos encontram-se na origem dos
espaços.
Eduardo e Bena, um jovem casal, costumam fazer cami -
nhadas matinais em torno de um lago percorrendo uma circun -
ferência de comprimento 600m.
Os dois partem de uma mesma posição, no mesmo instante,
com movimentos uniformes em sentidos opostos. Eduardo
tem velocidade escalar com módulo 1,5m/s e Bena tem
velocidade escalar com módulo 1,0m/s.
Determine
a) o tempo gasto por cada um para completar uma volta.
b) o intervalo de tempo desde a partida para que se encontrem
pela primeira vez.
120 FÍSICA
RESOLUÇÃO:
a) Δs = Vt (MU)
Δs = V t
1) 600 = 1,5 t1
t1 = 400s
2) 600 = 1,0t2
b) Para o encontro:
ΔsE + ΔsB = 600
1,5tE + 1,0tE = 600
2,5tE = 600 ⇒
Respostas:a) Eduardo: 400s Bena: 600s
b) 240s
tE = 240s
(MACKENZIE-SP-MODELO ENEM) – O sr. José sai de
sua casa caminhan do com velocidade escalar constante de
3,6km/h, dirigindo-se para o supermercado que está a 1,5km.
Seu filho Fernão, 5 minutos após, corre ao encontro do pai,
levando a carteira que ele havia esquecido. Sabendo-se que o
rapaz encontra o pai no instante em que este chega ao
supermercado, podemos afirmar que a velocidade escalar
média de Fernão foi igual a:
a) 5,4km/h b) 5,0km/h c) 4,5km/h
d) 4,0km/h e) 3,8km/h
RESOLUÇÃO:
1) Tempo gasto pelo sr. José:
Δs = V t (MU)
3,6
––––
3,6
1500 = t1 ⇒
t1 = 1500s
t2 = 600s
tE = 2,0s

FÍSICA 121
2) Tempo gasto pelo filho:
t2 = t1 – 300s
t2 = 1500s – 300s ⇒
3) Velocidade escalar média do filho:
Vm =
Vm= = 1,25
Vm = 1,25 . 3,6 = 4,5km/h
Resposta: C
t2 = 1200s
Δs
–––
Δt
km
–––
h
1500m
–––––––
1200s
m
–––
s
O gráfico a seguir representa o espaço (s)
de um atle ta em função do tempo de trajeto (t).
Assinale a opção correta:
a) a trajetória descrita pelo atle ta é retilínea;
b) a velocidade escalar do atle ta é crescente;
c) o atleta partiu da origem dos espaços;
d) a velocidade escalar do atleta, no instante
t = 5s, vale 2m/s;
e) a distância percorrida pelo atleta, no inter -
valo de 0 a 10s, vale 30m.
Resolução
a) Falsa, pois com os dados fornecidos a
trajetória está inde terminada.
b) Falsa. Sendo o movimento uniforme
(diagrama s x t é cons ti tuído de uma reta
inclinada), a velocidade escalar é cons tante.
c) Falsa. A posição inicial do atleta é tal que
s0 = 10m.
d) Verdadeira.
V = = (m/s)
e) Falsa. No movimento progressivo:
d = Δs = V . Δt = 2 . 10 (m) ⇒ d = 20m
Resposta: D
(PISA-MODELO ENEM)
MEDINDO O TEMPO COM VELAS
Tanto quanto se sa be, no século IX, o rei de
Ingla terra, Alfred, o Grande, in ven tou um pro -
ces so de medir o tem po com velas. Utili zou 6
velas cilín dricas, todas com o mesmo diâ me tro
e mes ma altura, e graduou cada uma delas ao
longo da sua altu ra, co locan do marcas de
2,5cm em 2,5cm. As velas eram colocadas
den tro de uma proteção, como a da fo to grafia,
para evitar o contato com o ven to. As 6 velas
queimavam suces siva mente e, quando a
última se apa gava, tinham passado as 24 horas
do dia. Verificou que uma vela ardia 2,5cm em
20 minutos, de um modo uniforme.
O gráfico que melhor representa a altura h de
cada vela em função do tempo t em que a vela
queima é mais bem traduzido por:
a) h (cm)
c) h (cm)
b) h (cm)
30
0 24 t (h)
d) h (cm)
e) h (cm)
Resolução
Em 1d = 24h, as seis velas vão queimar
totalmente, uma em se quência da outra.
24h
––––
6
Cada vela queima em = 4h.
A velocidade com que a vela queima vale:
V = = = 7,5cm/h
Como a vela queima em 4h, sua altura inicial H0
é dada por:
H0 = V Δt = 7,5 . 4h = 30cm
Resposta: C
(MODELO ENEM) – Eduardo foi com seu
cachorro ao super mer cado. O cachorro tem
uma coleira com uma guia com um extenso fio.
Na impossibilidade de entrar no supermercado
com seu cachorro, Eduardo amarra a extre mi -
dade do fio em um poste e vai fazer compras.
O cachorro, inicialmente parado junto ao poste,
corre com velo cidade constante, em linha reta,
afastando-se do poste até o fio ficar comple -
tamente esticado.
Em seguida, o cachorro descreve uma
trajetória circular em torno do poste com o fio
esticado em seu comprimento máximo e sem
enrolar no poste.
Depois de um certo tempo, já muito cansado,
o cão se dirige lentamente rumo ao poste, com
velocidade constante, em linha reta, parando
junto ao poste.
Despreze o intervalo de tempo gasto pelo cão
para acelerar e para frear.

Assinale a opção que representa como a dis -
tância d entre o cão e o poste varia com o tem -
po t

t
a)

t
b)
0
d
0
d

t
c)
0
d

t
d)
0
d

t
e)
0
d

V
Poste
cão afastando-se
do poste
V
cão girando em
torno do poste
(vista de cima)
V
Poste
cão
aproximando
do poste
-se
cm
–––
h
2,5cm
–––––––
20 min
2,5cm
–––––––
1
–– h
3
30
0 6 t (h)
30
0 4 t (h)
7,5
0 4 t (h)
7,5
0 1 t (h)
V = 2m/s
30 – 10
––––––
10 – 0
Δs
–––
Δt

Resolução
1) Inicialmente o cão se afasta do poste com velocidade cons tante (movimento unifor me). A distância d cresce com o tem po t e o gráfico da
função d = f(t) é um seg mento de reta crescente a partir da origem. O ângulo α é função crescente da velocidade do cão.
2) Quando o cão descreve uma trajetória circular em torno do poste, a distância d permanece constante e o gráfico da fun ção d = f(t) será um
segmento de reta paralela ao eixo dos tempos.
3) Quando o cão volta a se aproximar do poste com velo cidade cons tante, a função d = f(t) passa a ser um seg mento de reta com d decrescente
e, como o ângulo θ é função crescente da velocidade do cão e este está cansa do, a sua velocidade é menor e resulta θ α.
Resposta: D
Assinale a opção que indica a associação de gráficos que
representam corretamente um mesmo movi men to uniforme.
a) apenas (I) b) apenas (II) c) apenas (III)
d) apenas (I) e (III) e) todos os três
RESOLUÇÃO:
A função horária dos espaços de um móvel em movimento
uniforme é de 1.o grau em t, assim o respectivo diagrama horário
dos espaços é constituído de uma reta oblíqua em relação ao eixo
dos tempos.
A referida função é crescente se o movimento for progressivo
(V 0) e decrescente se o movimento for retrógrado (V 0). Em
ambos os casos, a velocidade escalar é constante.
Resposta: D
(ENEM) – Em uma prova de 100m rasos, o desem penho
típi co de um corredor padrão é representado pe lo grá fi co a
seguir:
Baseado no gráfico, em que intervalo de tempo a velo ci dade
do corredor é aproximadamente cons tante?
a) Entre 0 e 1 segundo. b) Entre 1 e 5 segundos.
c) Entre 5 e 8 segundos. d) Entre 8 e 11 segundos.
e) Entre 12 e 15 segundos.
RESOLUÇÃO:
Por simples leitura do gráfico, observamos que a velocidade
escalar é constante entre os instantes t1 = 5s e t2 = 8s.
Resposta: C
(UELON-PR-MODELO ENEM) – O atletismo moderno te -
ve início em meados do século XIX, e muitas de suas provas
atuais foram dis putadas já na Olimpíada de Atenas (Grécia) em
1896. É nesse esporte que o Brasil tem o maior número de
medalhas ganhas, seja em Olimpíadas e Campeonatos
Mundiais, seja em Jogos Pan-Americanos. O gráfico a seguir,
velocidade escalar versus tempo, corresponde à prova, fictícia,
de 100 metros rasos entre dois dos melhores atletas
brasileiros. Vamos supor que cada uma das curvas represente
o desempenho de um dos atletas. Por exemplo, a Robson
Caetano da Silva (medalha de bronze nas Olimpíadas de Seul,
em 1988) associamos a linha pontilhada, enquanto a linha cheia
corresponde ao desempenho do atleta Joaquim Cruz (medalha
de ouro nas Olimpíadas de Los Angeles, em 1984).
Sabendo-se que a prova foi concluída pelo vencedor em 10 se -
gundos, é correto afirmar:
a) Robson Caetano da Silva venceu a prova, e sua acele ração
escalar no intervalo entre 0 e 3 segundos é menor que a de
Joaquim Cruz.
b) No intervalo entre 0 e 3 segundos, os corredores têm a
mesma velocidade escalar e a mesma aceleração esca lar.
c) Robson Caetano da Silva venceu a prova, e no inter valo
entre 3 e 10 segundos ele e Joaquim Cruz têm a mesma
velocidade escalar.
122 FÍSICA

s = 12,0 – 2,0 . t (SI)
t1 = 6,0s
FÍSICA 123
d) Joaquim Cruz venceu a prova, e sua aceleração escalar no
intervalo entre 0 e 3 segundos é maior que a de Robson
Caetano da Silva.
e) Joaquim Cruz venceu a prova, e sua aceleração escalar no
intervalo entre 10 e 14 segundos é maior que a de Robson
Caetano da Silva.
RESOLUÇÃO:
Entre t = 3s e t = 10s, os dois gráficos estão superpostos evi -
denciando que as velocidades escalares de Robson e Joaquim são
iguais.
Até o instante t = 3s, a velocidade escalar de Robson é maior (pon -
tilhado acima da linha cheia) e por isso Robson venceu a corrida.
Resposta: C
(UFRN-MODELO ENEM) – A cidade de João Câmara, a
80km de Natal, no Rio Grande do Norte (RN), tem sido o
epicentro (ponto da superfície terrestre atingido em primeiro
lugar, e com mais intensidade, pelas ondas sísmicas) de alguns
terremotos ocorridos nesse estado. O departamento de Física
da UFRN tem um grupo de pesquisadores que trabalha na área
de sismologia utilizando um sismógrafo instalado nas suas
depen dências, para detecção de terremotos. Num terremoto,
em geral, duas ondas, denominadas de primária (P) e
secundária (S), percorrem o interior da Terra com velocidades
diferentes.
Dados referentes às ondas P e S, associadas a um terremoto
ocorrido no Rio Grande do Norte.
Admita que as informações contidas no gráfico anterior são
referentes a um dos terremotos ocorridos no RN. Considere
ainda que a origem dos eixos da figura é coincidente com a
posição da cidade de João Câmara.
Diante das informações contidas no gráfico, é correto afirmar
que a onda mais rápida e a diferença de tempo de chegada das
ondas P e S ao sismógrafo da UFRN, em Natal, correspondem,
respectivamente,
a) a onda S e 4 segundos. b) a onda P e 8 segundos.
c) a onda P e 16 segundos. d) a onda S e 24 segundos.
RESOLUÇÃO:
De acordo com o gráfico, a onda P chegou a Natal (80km) em 16s,
e a onda S, em 24s. Portanto, a onda P é mais rápida e Δt = 8s.
Resposta: B
O gráfico abaixo re presenta o espaço (s)
em função do tempo (t) para o mo vi men to de
um pon to ma te rial.
a) Calcule a velo ci dade es calar e o es paço
inicial.
b) Classifique o mo vi mento e escre va a
equação ho rá ria do espaço.
c) Determine o instante t1 em que o ponto
material pas sa pela origem dos espaços.
Resolução
a) I. Do diagrama, sabemos que, para
t1 = 2,0s, tem-se s1 = 8,0m e para
t2 = 4,0s, s2 = 4,0m.
Sendo o movimento uniforme, a fun -
ção horária dos espaços é do tipo:
s = s0 + V . t.
Substituindo-se nessa expressão os
valores conhe ci dos, obtemos o
sistema:
{8,0 = s0 + V . 2,0 4,0 = s0 + V . 4,0
Resolvendo-se o sistema de equações,
vem:
s0 = 12,0m e
V = –2,0 m/s
4,0 – 8,0
––––––––
4,0 – 2,0
Δs
–––
Δt
II. V = = (m/s)
V = –2,0 m/s
s = s0 + V . t
8,0 = s0 – 2,0 . 2,0 (m)
b) O movimento é uniforme e retrógrado
(V 0) e sua equa ção horária é:
s = s0 + V . t
c) Na origem dos espaços, s = 0, e no instante
t1, teremos:
0 = 12,0 – 2,0 . t1 (SI)
Portanto:
(MODELO ENEM) – Considere o gráfico
posição x tempo para um carro que se desloca
ao longo de uma estrada retilínea (eixo Ox)
onde a velocidade máxima permitida é de
80km/h.
s0 = 12,0m

Tendo como base o gráfico acima, considere as
afirmações:
I. O carro partiu da origem.
II. O carro nunca se afastou mais do que
100km do seu ponto de partida.
III. O carro excedeu o limite de velocidade
entre a 2.a e a 3.a hora.
IV. O carro deslocou-se sempre afastando-se
da origem.
V. O carro esteve sempre em movimento
entre t = 0 e t = 7h.
VI. A distância entre o ponto de partida e a
posição em t = 7h é de 30km.
a) II e III b) II e IV
c) I e III d) V e VI
e) IV, V e VI
Resolução
I. (F) Para t = 0 ⇒ x0 = 50km
II. (V) O afastamento máximo é de 100km
III. (V) V = = = 150km/h
IV. (F) Quando x aumentou, o móvel se afas -
tou da origem e quan do x diminuiu, o
móvel se aproximou da origem.
V. (F) Nos intervalos entre 1h e 2h e entre 3h
e 5h, o móvel permaneceu parado.
VI. (F) É nula.
Resposta: A
124 FÍSICA
(FMTM-MG-MODELO ENEM) – Na figu -
ra, estão repre sen tados, num plano carte -
siano, os gráficos posição x tempo do movi -
mento de dois carros, A e B, que percorrem
uma mesma reta.
Se esses carros se mantiverem em movimento
com as mes mas carac terísticas, durante o
tempo sufi cien te, eles deverão cruzar-se no
instante e na posição iguais, respectivamente,
a
a) 10s; 200m. b) 10s; 300m.
c) 20s; 400m. d) 25s; 400m.
e) 20s; 200m.
Resolução
1) Cálculo das velocidades escalares de A e B.
400 – 600
–––––––––
VA = (m/s) = – 40m/s
5,0
100 – 0
–––––––––
VB = (m/s) = 20m/s
2) Equações horárias para os movimentos de
A e B.
MU: s = s0 + Vt
sA = 600 – 40t (SI)
sB = 20t (SI)
3) Cálculo do instante de encontro.
No instante de encontro t = tE, os espaços
de A e B são iguais:
sA = sB
600 – 40tE = 20tE
60tE = 600 ⇒
4) A posição de encontro s = sE é obtida subs -
tituindo-se o tempo de encontro tE = 10s
em uma das equações horárias (A ou B):
sB = 20t (SI)
sE = 20 . 10 (m)
sE = 200m
Resposta: A
tE = 10s
5,0
Δs
V = ––––
Δt
150km
–––––––
1h
Δx
––––
Δt
(VUNESP) – O movimento de uma partícula efetua-se ao
longo do eixo x. Num gráfico (x,t) desse mo vimento, podemos
lo ca lizar os pontos P0(25;0), P1(20;1), P2(15;2), P3(10;3) e
P4(5;4), com x em me tros e t em segun dos.
a) Represente no grá fi co (x, t) os pontos da dos;
b) Identifique o tipo de movimento;
c) Deduza a equação ho rária do movi men to;
d) Qual a distância per corrida entre os ins tantes 0 e 5s?
RESOLUÇÃO:
a)
b) Movimento uniforme e retrógrado.
c) Do diagrama, conclui-se que no instante t = 0s o espaço do
móvel é s0 = 25m. Sendo o movimento uniforme:
Δs
–––
Δt
5 – 25
––––––
4 – 0
V = = (m/s) ⇒ V = – 5m/s
A função horária dos espaços é do tipo s = s0 + V . t, então:
s = 25 – 5 . t (SI).
d) d = |ΔS| = |V| . Δt ⇒ d = 5 . 5 (m) ⇒ d = 25m

tE = 30s
FÍSICA 125
(FUVEST-MODELO ENEM) – O gráfico ilustra a po si ção s,
em função do tem po t, de uma pes soa caminhando em linha
reta durante 400 se gun dos. Assi na le a alterna tiva cor reta.
a) A velocidade escalar no instante t = 200s vale 0,50m/s.
b) Em nenhum instante a pessoa parou.
c) A distância total percorrida durante os 400 se gundos foi
120m.
d) O deslocamento escalar durante os 400 segundos foi 180m.
e) O módulo de sua velocidade escalar no instante t = 50s é
me nor do que no instante t = 350s.
RESOLUÇÃO:
a) Falsa, pois, no intervalo de tempo 100s t 300s, o móvel
encontra-se em repouso.
b) Falsa.
c) Verdadeira:
d = |Δsida| + |Δsvolta|
d = 100m + 20m ⇒ d = 120m
d) Falsa. Δs = s2 – s1 ⇒ Δs = 80 – 0 (m) ⇒ Δs = 80m
e) Falsa. No intervalo de tempo 0 ≤ t 100s:
V1= = (m/s) ⇒ v1 = 1,0m/s
No intervalo de tempo 300s t 400s:
V2= = (m/s) ⇒ v2 = –0,20m/s
Assim, sendo |v1| |v2|, concluímos que a afirmação é falsa.
Resposta: C
(PUCC) – O movi mento dos corpos A e B é re pre sentado
pelo gráfico po si ção x tem po.
Su pon do-se que os mó veis per mane çam em seus estados de
mo vi men to, po de-se afir mar que os cor pos se encon tram no ins -
tante:
a) 40s b) 30s c) 20s d) 10s e) 0
RESOLUÇÃO:
Os movimentos dos corpos A e B são uniformes e suas funções
horárias dos espaços são do tipo s = s0 + V . t.
Assim, de acordo com o diagrama:
sA = 45 – 1,0t (SI) e sB = 0,50 t (SI)
No instante do encontro: sB = sA
0,50 tE = 45 – 1,0 tE ⇒ 1,5 tE = 45 ⇒
Resposta: B
(FFFCMPA-RS-MODELO ENEM) – Para responder à ques -
tão, considere a figura a seguir, que repre senta uma circun -
ferência na qual θ = 1 rad. Um inseto pode andar de diversas
maneiras sobre os raios AB e BC e sobre o arco AC sempre
com velocidade escalar constante. Os gráficos relacionam a
distância d, do inseto ao centro da circunferência, em função
do tempo.
Δs
–––
Δt
80 – 100
–––––––––
400 – 300
Δs
–––
Δt
100 – 0
––––––––
100 – 0
No Portal Objetivo
digite FIS1M115

Os gráficos I, II e III podem referir-se, respectivamente, aos
trajetos:
a) ABCA, BCAB, ACBA. b) CBAC, BACB, ABCA.
c) CBCA, BACB, BCAB. d) ABAC, BACB, BCAB.
e) ABCA, BCAB, CAAC.
RESOLUÇÃO:
Se θ = 1 rad, então med(AC) = R e o tempo gasto para percorrer
cada trecho (AB, BC e CA) é o mesmo.
De A para B, d varia de R para zero.
24 Velocidade relativa • Movimento relativo
VBA = VB – VA
126 FÍSICA
De B para C, d aumenta de zero para R.
De C para A, d permanece constante.
Resposta: A
1. Definição
Consideremos dois móveis, A e B, percorrendo uma
mesma trajetória retilínea, com velocidades escalares
respectivamente iguais a VA e VB.
A velocidade do carro A em re lação
ao car ro B tem mó dulo de 200km/h e
em relação ao carro C tem módulo de
20km/h.
Define-se velocidade esca lar relativa do móvel B,
em re lação ao móvel A, co mo sendo a grandeza VBA
dada por:
Segue-se imediatamente que:
2. Exemplos
3. Regra prática
Para obter o módulo da velocidade escalar relati va
entre dois corpos, A e B, uti li zamos a seguinte regra
prática, que decorre imediatamente da definição de velo -
ci dade escalar relativa:
Quando os móveis caminham no mesmo sentido, o
mó dulo da velocidade escalar re la tiva é dado pela
dife ren ça entre os módulos das velocidades esca -
lares de A e B.
|Vrel| = |VA| – |VB|
(com |VA| |VB|)
Quando os móveis caminham em sentidos opos -
tos, o módulo da velocidade re lativa é dado pela
soma dos módulos das velocidades escalares de A
e B.
|Vrel | = |VA| + |VB|
VAB = VA – VB e VBA = –VAB
• Diferença de velocidades

B
d
–––
T
b)
A
d)
A
C
FÍSICA 127
VOANDO EM FORMAÇÃO
? Saiba mais
Na formação abaixo, um caça está em re pouso em
relação ao outro, pois todos têm a mesma veloci dade
em relação ao solo.
Determine o intervalo de tempo que um
auto móvel, de 5,0m de comprimento, gasta
para ultrapassar um caminhão de 15,0m de
com primento.
O automóvel e o caminhão estão em mo -
vimento, no mesmo sentido, com velo cidades
escalares constan tes de 72,0km/h e 36,0km/h,
respectivamente.
Resolução
Em relação ao caminhão:
Vrel = VA – VC ⇒ Vrel = 72,0 – 36,0 (km/h)
Vrel = 36,0km/h = 10,0m/s
Para efetuar a travessia, o automóvel deverá
deslocar-se:
ΔSrel = LC + LA ⇒ ΔSrel = 15,0 + 5,0 (m)
ΔSrel = 20,0m
20,0
––––
10,0
ΔSrel –––––
Vrel
Δt = = (s) ⇒
(VUNESP-MODELO ENEM) – Leia a
tirinha a seguir.
CALVIN - Bill Watterson
O Sr. Jones mora
a 80 km de você.
Vocês dois saem
de casa às 5 horas,
dirigindo-se
um ao encontro
do outro.
O Sr. Jones viaja
a 55 km/h e você
a 65 km/h. A que
horas você e o Sr.
Jones vão se
encontrar na
estrada?
Com o trânsito
das 5 horas,
quem sabe?
Eu sempre percebo
as pegadinhas.
Considerando-se as informações da tirinha e
admitindo-se que a sua velo cidade escalar e a
do Sr. Jones sejam constantes, ou seja, não se
levando em conta os prováveis problemas de
trân sito das 5 horas, o encontro entre vocês na
estrada, suposta retilínea, ocorreria às
a) 5h 20min b) 5h 30min c) 5h 40min
d) 12h 40min e) 13h
Resolução
Vrel = ⇒ 120 =
Δt = h = h
Δt = . 60 min = 40 min
Horário de encontro: TE = 5h + 40 min
Resposta: C
(PISA-MODELO ENEM) – A fotografia
abaixo é de estei ras rolantes.
O gráfico distância-tempo, apresentado abaixo,
permite com parar a marcha em cima da esteira
rolante com a marcha ao lado da esteira rolante.
Supondo-se que, no gráfico anterior, a veloci -
dade com que as duas pessoas andam é apro -
xi madamente a mesma, acrescen te ao gráfico
uma semirreta (indicada pela letra C) que
corres ponda a uma pessoa que permaneça
imó vel na esteira rolante.
a)
c)
e)
Resolução
Para o gráfico A, temos: VA = VE + VB (1)
VE = velocidade da esteira
VB = velocidade da pessoa
De acordo com os dados do gráfico:
2d
––––
T
VA = e VB = ⇒ VA = 2VB (2)
Substituindo-se (2) em (1): 2VB = VE + VB
VE = VB
Quando a pessoa está imóvel em relação à
esteira, sua velocidade é igual à da esteira e o
gráfico C vai coincidir com o gráfico B.
Resposta: B
Δt = 2,0s
D
0
D
0
D
0
t
A
C
B
D
0 t
t
A C
B
D
0 t
B
t
A
C
B C
2
–––
3
2
–––
3
80
–––
120
80
–––
Δt
Δsrel –––––
Δt
(Bill Watterson, As Aventuras de Calvin e Haroldo)
A velocidade resultante do míssil é a soma da veloci -
dade do avião com a velocidade própria do míssil
(velocidade do míssil em relação ao avião).

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