Modulo a6 alunos

1
CCUURRSSOO PPRROOFFIISSSSIIOONNAALL DDEE TTÉÉCCNNIICCOO DDEE __________________________________________________________________________________________________________
FFIICCHHAA DDEE TTRRAABBAALLHHOO DDEE MMAATTEEMMÁÁTTIICCAA MM ÓÓ DD UU LL OO NN .. ºº AA66 –– TTAAXXAA DDEE VVAARRIIAAÇÇÃÃOO
NNoommee:: _____________________________________________________ NN..ºº ____ TTuurrmmaa:: __________ II AAnnoo:: 1111ºº
Índice
1. Taxa média de variação de uma função ___________________________________________________ 2
Taxa média de variação versus velocidade média ……………….…………………………………………….…….. 2
Significado geométrico ………………………………………………………………...…………………………….…… 3
Ficha de exercícios nº 1 ………………………………………………………………………………………….…….… 4
2. Taxa de variação instantânea de uma função. Derivada de uma função num ponto _______________ 6
2.1. Definição de derivada de uma função num ponto ……………………………………..……………...… 6
Derivada versus velocidade instantânea …………………………………………………………………….. 6
2.2. A calculadora gráfica na determinação da derivada de uma função num ponto …...……………… 7
Ficha de exercícios nº 2 ………………………………………………………….………………………….… 8
3. Significado geométrico da derivada de uma função num ponto ______________________________ 10
Ficha de exercícios nº 3 ……………………………………………………………………………………..… 12
4. Função derivada de algumas funções ____________________________________________________ 14
4.1. Derivada de uma constante …………………………………………………………………………….... 14
4.2. Derivada de uma função linear ………………………………………………………………………..… 14
4.3. Qual é a derivada de 2
y x ? ………………………………………………………………………..…. 15
Ficha de exercícios nº 4 …………………..………………………………………………………………...… 17

M a t e m á t i c a M ó d u l o A 6 – T A X A D E V A R I A Ç Ã O
2
1. Taxa média de variação de uma função
Para uma determinada empresa, o rendimento, em euros,
da venda de x unidades é dado por:
  2
10 0,01 , 0 1000R x x x x   
Na figura ao lado representou-se graficamente a função:
Na tabela representaram-se alguns valores de x e de
 R x .
Qual é a variação do rendimento quando x varia de
200 para 400 unidades?
Qual será a taxa média de variação do rendimento por unidade se x varia de 200 para 400 ?
Qual é a taxa média de variação do rendimento por unidade se x varia de 600 para 800 unidades?
x 200 400 500 600 800 1000
 R x 1600 2400 2500 2400

3
O facto de neste caso o rendimento por unidade ser negativo  4 resulta da função ser decrescente no intervalo
 600 , 800 .
Taxa média de variação:
A taxa média de variação de uma função contínua  y f x quando x varia entre a e a h é:
 
   
 
   
,
t.m.v. , 0a a h
f a h f a f a h f a
h
a h a h
   
  
 
.
De outra forma, a taxa média de variação de uma função contínua  y f x num dado intervalo  ,a b é:
 
   
, b
t.m.v.a
f b f a
b a



A taxa média de variação (do espaço relativamente ao tempo) em  ,a b representa a velocidade média em
 ,a b .
Exemplo 1: Taxa média de variação
Considere a função f definida por   2
20 0,04f x x x  .
Calcule a taxa média de variação de f no intervalo  70 , 80 .
Significado geométrico da taxa média de variação de uma função.
Repare que:
 
   
 ,
t.m.v.a a h
f a h f a
m
a h a
 
 
 
sendo m o declive da recta definida pelos pontos   ,a f a
e     ,a h f a h  .
Assim tem-se:

4
FICHA DE EXERCÍCIOS Nº 1
Taxa média de variação de uma função

5

6
2. Taxa de variação instantânea de uma função. Derivada de uma função
num ponto
2.1. Definição de derivada de uma função num ponto
Uma pequena bola é lançada de um prédio muito alto
A distância y , em metros, percorrida pela bola em função do tempo x , em
segundos, é dada por:
2
5y x
 A velocidade média da bola no 1º segundo, isto é, em  0 , 1 é:
   
   
0 , 1 0 , 1
1 0 5 0
t.m.v. 5 m/s
1 0 1
m
f f
v
 
   

A bola vai descendo cada vez mais rapidamente.
Mas como determino a velocidade num dado instante de tempo?
Taxa de variação instantânea, taxa de variação ou derivada:
Seja  y f x , definida no intervalo  ,a b , e seja 0x um ponto desse intervalo.
Chama-se taxa de variação instantânea ou derivada da função f no ponto 0x , e representa-se por  0'f x , ao
limite, quando existe:
   
 0 0
0
0
lim '
h
f x h f x
f x
h
 
 .
De outra forma, considerando 0h x x  , dizer que 0h  é o mesmo que dizer que 0x x e a definição
de derivada pode ser apresentada do seguinte modo:
 
   
0
0
0
0
' lim
x x
f x f x
f x
x x




7
A derivada de uma função (do espaço relativamente ao tempo) no ponto 0x representa a velocidade no instante
0x .
Qual será a velocidade da bola no instante 3 ?
Para responder à questão tenho de determinar
 
   
0
3 3
' 3 lim
h
f h f
v f
h
 
 
ou, de forma equivalente,
 
   
3
3
' 3 lim
3x
f x f
v f
x

 

2.2. A calculadora gráfica na determinação da derivada de uma função num ponto
A calculadora gráfica pode ser utilizada para calcular a derivada de uma função num ponto.
Para respondermos à questão anterior temos de determinar  ' 3f .
Vamos ver como utilizar a calculadora:
 No menu 1: RUN MAT , em OPTN , premir a tecla F4 (CALC).
 Premir a tecla F2 (d/dx).
 Escrevemos a expressão da função e a abcissa do ponto onde queremos calcular a derivada
d/dx(5x2 , 3)
 Premir em EXE e temos o valor da derivada da função 2
5y x em 3x  , ou seja, a velocidade
no instante 3x  segundos que é 30 m/s.

8
Taxa média de variação instantânea de uma função. Derivada de uma função num ponto.

9

10
3. Significado geométrico da derivada de uma função num ponto
Na figura está representada a função  y f x e uma reta secante ao gráfico da função.
O declive da reta secante é m , sendo
   
 
   
0 0
0 0
0 0
f x h f x
m
x h x
f x h f x
h
 

 
 

Este quociente é numericamente igual à taxa média de variação de f no intervalo  0 0,x x h :
 0 0,
t.m.v. x x h
m 

Ou seja:
Geometricamente, o declive da reta secante ao gráfico da função f nos pontos de abcissa 0x e 0x h é
numericamente igual à taxa média de variação de f no intervalo  0 0,x x h .
À medida que 0h  , a reta secante aproxima-se da reta tangente à curva e o declive m da reta tangente
será
   
 0 0
0
0
lim '
h
f x h f x
m f x
h
 
 

11
Geometricamente, a derivada de uma função num ponto 0x é numericamente igual ao declive da reta
tangente ao gráfico da função no ponto   0 0,x f x .
Exemplo 1: Reta tangente a uma curva
Numa calculadora, obteve-se o gráfico da função   3 2
5 6f x x x x   .
1.1. Utilize a calculadora para determinar:
a)  ' 0f
b)  ' 1f
1.2. Determine a equação da reta tangente ao gráfico da função no ponto de abcissa 1.

12
Significado geométrico da derivada de uma função num ponto

13

Cofinanciado por: 14
4. Função derivada de algumas funções
4.1. Derivada de uma constante
Seja y a uma função constante.
Qual é o declive da reta tangente ao gráfico da função no ponto de
abcissa 0x ?
A reta tangente ao gráfico da função em qualquer ponto á a própria reta
y a .
O declive da reta é 0 (zero), pois trata-se de uma reta horizontal.
Então, se:
, ' 0y a y 
A derivada de uma constante é zero.
Exemplo 1:
1.1. 3 , ' 0y y  ou podemos escrever  3 0  .
1.2.
1
, '
2
y y   ou podemos escrever
1
2
 
  
 
1.3. 3 , 'y y   ou podemos escrever  3

 
4.2. Derivada de uma função linear
Seja y ax uma função linear.
Qual é o declive da reta tangente ao gráfico da função no ponto de
abcissa 0x ?
A reta tangente ao gráfico da função em qualquer ponto á a própria
reta y ax .
O declive da reta é a .
Então, se:
, 'y ax y a 

Exemplo 2:
2.1. 3 , ' 3y x y  ou podemos escrever  3 3x   .
2.2.
1
x , '
2
y y   ou podemos escrever
1
2
x
 
  
 
2.3. 3x , 'y y   ou podemos escrever  3x

 
4.3. Qual é a derivada de 2
y x ?
Com a ajuda da calculadora pode observar-se que se 2
y x , ' 2y x .
Formalmente pode chegar-se à conclusão aplicando a definição de derivada.
 
   
0
0
0
0
' lim
x x
f x f x
f x
x x



e
  2
f x x
 
  
 
0
0
0
2 2
0
0
0
0 0
0
0
0 0
0
' lim
lim
lim
2
x x
x x
x x
x x
f x
x x
x x x x
x x
x x
x x
x






 


 
 

Logo,  0 0' 2f x x e  ' 2f x x (c.q.d.)
Mostra-se que:
 1
, 'n n
y x y nx 
 
 1
, 'n n
y ax y anx 
 
 A função derivada da soma (diferença) de duas funções é igual à soma (diferença) das derivadas
das funções parcelas, isto é,
 f g f g    
substitui-se x por 0x
  2 2
0 0 0x x x x x x   

Resumindo…
  0 , em que é uma constante a a
  ax a
 ax b a 
  1
.  n n
x n x
  1
.  n n
ax an x
 f g f g    
Exemplo 3:
3.1.  3 2
3x x  3.2.  10
x   3.3.  100
x  
3.4.  3 2 2
7 7 3 21x x x   
3.5.  8
8x  
3.6. 52
3
x
 
  
 
3.7.      2 2 1
3 1 3 1 3 2 0 6x x x x        
3.8. 2 1
2 5
2
x x
 
   
 
3.9.  2
4,9 3x x   
3.10.  3 2
3 2 1x x x    

Função derivada de algumas funções

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